\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 28-i gyakorlat anyaga.}
\medskip\noindent
A szemin\'ariumon a f\"uggetlens\'egr\H{o}l sz\'ol\'o legfontosabb
fogalmakat \'es eredm\'enyeket te\-kin\-tet\-t\"uk \'at.
\medskip\noindent \smallskip \noindent
{\it El\H{o}zetes megjegyz\'es:}\/ A sz\"ovegben $AB$-vel \'es nem
$A\cap B$-vel jel\"ol\"om a metszetet $A+B$-vel \'es nem $A\cup
B$-vel az uni\'ot. Mint \'ertes\"ultem r\'ola, az az el\H{o}ad\'ason
az $A\cap B$ illetve $A\cup B$ jel\"ol\'est haszn\'alj\'ak. Mivel az
irodalomban mind a k\'et jel\"ol\'es gyakran el\H{o}fordul, helyes,
ha mind a k\'et jel\"ol\'esm\'odhoz hozz\'aszoknak. \medskip
 
Mint arr\'ol sz\'o volt esem\'enyeknek egy $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} (m\'erhet\H{o}) halmazait
nevezz\"uk. Egy $A$ \'es $B$ esem\'eny (halmaz) akkor \'es csak
akkor f\"uggetlen, ha $P(AB)=P)A)P(B)$. \'Altal\'anosabban:
\medskip\noindent
{\bf Esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'enek definici\'oja:} {\it Az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek akkor (teljesen)
f\"uggetlenek, ha az $\{1,\dots,n\}$ indexhalmaz minden
$\{j_1,\dots,j_k\}\subset \{1,\dots,n\}$ r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra
$$
P(A_{j_1}\cdots A_{j_k})=P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_k}).
$$
Esem\'enyek v\'egtelen $A_1,A_2,\dots$ sorozata akkor \'es csak akkor
f\"uggetlen, ha tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v $n$ eg\'esz sz\'amra az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek f\"uggetlenek.}
\medskip N\'eh\'any fontos t\'eny a f\"uggetlens\'eggel kapcsolatban:
 
\item{1.} Adva egy $A$ esem\'eny vezess\"uk be az $A^\e$ jel\"ol\'est,
ahol $\e=\pm1$, $\e=1$ est\'eben $A^1=A$, $\e=-1$ eset\'eben
$A^{-1}=\Omega\setminus A$ az $A$  halmaz komplementere. (Gyakran
haszn\'alj\'ak az $\Omega\setminus A=\bar A$ jel\"ol\'est is.) Ha
$A_1,\dots,A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek, akkor az $A_1^{\e_1},\dots,
A_n^{\e_n}$ esem\'enyek az $\e_k=\pm1$, $k=1,\dots,n$ tetsz\H{o}leges
\'ert\'ekei eset\'en f\"uggetlenek.
\item{2.} Ha $A_1,A_2,A_3,\dots,A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek, akkor
$A_1+A_2,A_3,\dots,A_n$ is f\"uggetlen esem\'enyek.
\item{3.} Igaz az el\H{o}z\H{o} \'all\'{\i}t\'as al\'abbi
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa is: Legyenek $A_1$,\dots, $A_k$,
$A_{k+1}$,\dots, $A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek. Ha a $B$ esem\'eny
egy az $A_1$,\dots, $A_k$ esem\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
metszettel, uni\'oval \'es komplementerk\'epz\'essel kifejezhet\H{o}
halmaz, akkor a $B$, $A_{k+1}$,\dots, $A_n$ halmazok f\"uggetlenek
egym\'ast\'ol. Pontosabban megfogalmazva: De\-fi\-ni\'al\-juk
tetsz\H{o}leges $j_s=0$ vagy $j_s=1$, $s=1,\dots,k$ sz\'amokra a
$$
B(j_1,\dots,j_k)=A^{-1^{j_1}}\cdots A^{-1^{j_k}}
$$
halmazt. (Ugyanazt a jel\"ol\'est haszn\'aljuk mint az
1.~megjegyz\'esben.) Ha $B=\bigcupp _{(j_1,\dots,j_k)\in \bold
C}B(j_1,\dots,j_k)$, ahol $\bold C$ az \"osszes lehets\'eges $k$
hossz\'u\-s\'a\-g\'u 0---1 sorozatb\'ol \'all\'o halmaz
tetsz\H{o}leges r\'eszhalmaza, akkor a $B$,
$A_{k+1}$,\dots, $A_n$ esem\'enyek f\"ug\-get\-le\-nek.
\item{4.} L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy p\'eld\'aul $k=3$
eset\'eben egy $A$, $B$ \'es $C$ halmaz eset\'eben a
$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ felt\'etel teljes\"ul\'ese nem elegend\H{o} az
$A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'ehez.
Legyen $\Omega=\{1,2,3,4,5\}$, $A=\{1,2,3\}$, $B=\{1,2,4\}$,
$C=\{2,3,4\}$, $P(\{1\})=P(\{2\})= P(\{3\})=P(\{4\})=\dfrac1{3\sqrt
3}$, $P(\{5\})=1-\dfrac4{3\sqrt3}$. Ekkor $ABC=\{2\}$,
$P(ABC)=\dfrac1{3\sqrt3}$, $P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac1{\sqrt 3}$,
$P(AB)=P(\{2,3\})=\dfrac2{3\sqrt3}$. Ez\'ert $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$,
de $P(AB)\neq P(A)P(B)$.
\medskip\noindent
{\it Az 1. \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'anak v\'azlata:}
Bel\'atjuk, hogy ha $A$ \'es $B$ f\"uggetlen esem\'enyek, akkor az
$A$ \'es $\bar B$ esem\'enyek f\"uggetlenek. Ekkor $P(A\bar
B)=P(A\setminus B)=P(A)-P(AB)$, mert $AB\subset A$. Innen $P(A\bar
B)=P(A)-P(A)P(B)$, mert $A$ \'es $B$ f\"uggetlen esem\'enyek. Ez\'ert
$P(A\bar B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(\bar B)$. Innen, illetve a
f\"uggetlens\'eg definici\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy ha
 $A_1,\dots A_n$ esem\'enyek f\"uggetlenek, $1\le j\le n$, akkor az
 $A_1,\dots,A_{j-1}\bar A_j,A_{j+1},\dots,A_n$ esem\'enyek is
f\"uggetlenek. Val\'oban, tekints\"unk va\-la\-mi\-lyen
$A_{j_1}$,\dots $A_{j_s}$ esem\'enyeket, melyekre teljes\"ul a
$\{j_1,\dots,j_s\}\subset \{1,\dots,n\}\setminus\{j\}$ felt\'etel,
\'es vezess\"uk be az $A=A_{j_1}\cdots A_{j_s}$, $B=A_j$
esem\'enyeket. Ekkor $P(AB)=P(A)P(B)$, mert a
f\"uggetlens\'eg definici\'oja alapj\'an mind a k\'et oldal
a $P(A_j)P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_s})$ ki\-fe\-je\-z\'es\-sel
egyenl\H{o}. Ez\'ert az el\'obbiek alapj\'an, $P(A\bar B)=P(A)
P(\bar B)$. Tov\'abb\'a,
$$
P(A_{j_1}\cdots A_{j_s})= P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_s}),
$$
ez\'ert
$$
P(\bar AA_{j_1}\cdots A_{j_s})=P(A\bar B)=P(A)P(\bar B)
=P(\bar A_j)P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_s}),
$$
\'es az $A_1,\dots,A_{j-1}\bar A_j,A_{j+1},\dots,A_n$ esem\'enyek is
f\"uggetlenek. Innen indukci\'oval k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek  k\"oz\"ul valamely $A_{j_1}$,\dots
$A_{j_k}$ esem\'enyeket kicser\'elve ezek komplementer\'evel az
\'{\i}gy kapott esem\'enyek f\"uggetlenek maradnak.
\bigskip
Ugyancsak fontos fogalom val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege. Id\'ezz\"uk fel el\H{o}sz\"or a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fogalm\'at. Legyen adva egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}. Azt mondjuk,
hogy $\xi=\xi(\oo)$, $\oo\in\Omega$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o ezen a t\'eren, ha $\xi=\xi(\oo)$ ezen a t\'eren
defini\'alt (m\'erhet\H{o}) val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'eny. (Az,
hogy a $\xi$ f\"uggv\'eny m\'erhet\H{o} azt jelenti, hogy a
sz\'amegyenes tetsz\H{o}leges Borel m\'erhet\H{o} $B$ halmaz\'ara
az $\{\oo\:\xi(\oo)\in B\}$ halmaz m\'erhet\H{o} halmaza az
$(\Omega,\Cal A,P)$ t\'ernek, azaz eleme az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'anak. Ez technikai jelleg\H{u} felt\'etel. B\'ar a
r\'eszletek kidolgoz\'asa bizonyos m\'ert\'ekelm\'eleti ismereteket
ig\'enyel, a m\'erhet\H{o}s\'eg k\"o\-ve\-te\-l\'e\-se nem jelent
igazi megszor\'{\i}t\'ast. Ugyanis minden defini\'alhat\'o
f\"uggv\'eny, teh\'at olyan f\"uggv\'eny mely gyakorlatban
el\H{o}fordul, m\'erhet\H{o}.)
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek
definici\'oja:} {\it A $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok akkor \'es csak akkor (teljesen) f\"uggetlenek, ha a
sz\'amegyenes tetsz\H{o}leges Borel m\'erhet\H{o} $B_1,\dots,B_n$
halmazaira
$$
P(\xi_1\in B_1,\xi_2\in B_2,\dots,\xi_n\in B_n)=P(\xi_1\in B_1)
P(\xi_2\in B_2)\cdots P(\xi_n\in B_n).
$$
 
Azt mondjuk, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$\xi_1,\xi_2,\dots$ v\'egtelen sorozata f\"uggetlen, ha a
$\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek tetsz\H{o}leges $n=1,2,\dots$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
N\'eh\'any fontos t\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'eg\'evel kapcsolatban:
 
Ahhoz, hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol
besz\'elhess\"unk sz\"uks\'eg\"unk van annak ellen\H{o}rz\'es\'ere,
hogy a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok val\'oban
f\"uggetlenek-e. Ha a definici\'ot haszn\'aljuk, akkor neh\'ezs\'eget
okozhat az, hogy minden Borel m\'erhet\H{o} $B_k$, $k=1,\dots,n$
hal\-mazt tekinten\"unk kell. Be lehet l\'atni, hogy val\'oj\'aban
el\'eg bizonyos speci\'alis Borel m\'erhet\H{o} halmazokat tekinteni,
ha a f\"uggetlens\'eget akarjuk ellen\H{o}rizni.
\medskip\noindent {\bf 1. T\'etel.} {\it A $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor \'es csak akkor
(teljesen) f\"uggetlenek, ha tetsz\H{o}leges $x_1,\dots,x_n$ val\'os
sz\'amokra
$$
P(\xi_1<x_1,\xi_2<x_2,\dots,\xi_n<x_n)=P(\xi_1<x_1)
P(\xi_2<x_2)\cdots P(\xi_n<x_n).
$$
 
Ugyanezt a t\'enyt kifejezhetj\"uk az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
nyelv\'en is. Jel\"olje
$$
F(x_1,\dots,x_n)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n), \quad
-\infty<x_k<\infty, \;k=1,\dots,n
$$
a $\xi_1$,\dots, $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy\"uttes eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. A $\xi_1$,\dots, $\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok akkor \'es csak
akkor f\"uggetlenek, ha azok $F(x_1,\dots,x_n)$  egy\"uttes
eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x_1,\dots,x_n)=F_1(x_1)\cdots F_n(x_n)$
alak\'u. Ebben az eseetben $F_k(x)=P(\xi_k<x)$, $k=1,\dots,n$, a $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye a fenti
fak\-to\-ri\-z\'a\-ci\'o\-ban.}
\medskip\noindent
{\bf 2. T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor szorzatuk v\'arhat\'o
\'ert\'eke megegyezik az egyes v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
szorzat\'aval. Azaz, k\'epletben kifejezve
$$
E\xi_1\xi_2\cdots \xi_n=E\xi_1\, E\xi_2\cdots E\xi_n
$$
}\medskip\noindent
Val\'oj\'aban n\'emi megszor\'{\i}t\'ast kell tenn\"unk a fenti
t\'etelben. Tegy\"uk fel, hogy $E|\xi_s|<\infty$ minden $1\le s\le n$
eset\'en. Ez a felt\'etel biztos\'{\i}tja, hogy nem l\'ep fel
konvergencia (\'ertelmez\'esi) probl\'ema a 2. t\'etelben.
\medskip\noindent
{\bf 3. T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $g_1(x)$,\dots, $g_n(x)$
(m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'enyek, akkor az $\eta_1=g(\xi_1)$,\dots,
$\eta_n=g(\xi_n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok is
f\"uggetlenek.
 
Kiss\'e \'altal\'anosabban: Legyenek
$$
\xi_1,\dots,\xi_{l_1},\xi_{l_1+1}\dots,\xi_{l_1+l_2}\dots,
\xi_{l_1+\cdots+l_{k-1}+1},\dots,\xi_{l_1+\cdots+l_k}
$$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, ahol
$l_1,\dots,l_k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok. Ha
$g_s(x_1,\dots,x_{l_s})$, $1\le s\le k$ (m\'erhet\H{o}) az $R^{l_s}$
$l_s$ dimenzi\'os Euklidesi t\'eren \'ertelmezett f\"uggv\'enyek,
akkor az $\eta_s=g_s(\xi_{l_{s-1}+1},\dots,\xi_{l_s})$, $1\le s\le k$,
($l_0=0$) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.}
\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny:}  {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es $g_1(x),\dots,g_n(x)$
(m\'er\-he\-t\H{o}) f\"uggv\'enyek a sz\'amegyenesen, akkor
$$
Eg_1(\xi_1)\cdots g_n(\xi_n)=Eg_1(\xi_1)\cdots Eg_n(\xi_n).
$$
}\medskip\noindent
Val\'oban, a 3. t\'etel eredm\'enye alapj\'an az $\eta_s=g(\xi_s)$,
$1\le s\le k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
\'es a 2. t\'etelt alkalmazva az $\eta_s$, $1\le s\le k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra megkapjuk a
K\"ovetkezm\'eny \'all\'{\i}t\'as\'at. \medskip
Adva egy $A$ esem\'eny (azaz halmaz) egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, vezess\"uk be ennek az $A$
halmaznak $\chi_A=\chi_A(\oo)$ indik\'ator f\"uggv\'eny\'et a
$$
\chi_A=\chi_A(\oo)=\cases
1,&\text{ha }\oo\in A\\
0,&\text{ha }\oo\notin A
\endcases
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as:} {\it Legyenek adva valamilyen $A_1,\dots,A_n$
esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Az $A_1,\dots,A_n$  esem\'enyek akkor \'es
csak akkor f\"uggetlenek, ha ezek $\chi_{A_1},\dots,\chi_{A_n}$
indik\'ator f\"uggv\'enyei f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok.} \medskip
Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a bizony\'{\i}t\'asa lesz az egyik
megold\'asra kit\H{u}z\"ott feladat.
 
 
 \bye
