A szeptember 28-i gyakorlat anyaga.

A szemináriumon a függetlenségről szóló legfontosabb fogalmakat és eredményeket tekintettük át.

Előzetes megjegyzés: A szövegben AB-vel és nem A ∩ B-vel jelölöm a metszetet A + Bvel és nem A ∪ B-vel az uniót. Mint értesültem róla, az az előadáson az A ∩ B illetve A ∪ B jelölést használják. Mivel az irodalomban mind a két jelölés gyakran előfordul, helyes, ha mind a két jelölésmódhoz hozzászoknak.

Mint arról szó volt eseményeknek egy (Ω, A, P) valószínűségi mező (mérhető) halmazait nevezzük. Egy A és B esemény (halmaz) akkor és csak akkor független, ha P (AB) = P)A)P (B). Általánosabban:

Események függetlenségének definiciója: Az A_{1}, …, A_{n} események akkor (teljesen) függetlenek, ha az {1, …, n} indexhalmaz minden {j_{1}, …, j_{k}} ⊂ {1, …, n} részhalmazára

P (A_{j_{1}} ⋯ A_{j_{k}}) = P (A_{j_{1}}) ⋯ P (A_{j_{k}}).

Események végtelen A_{1}, A_{2}, … sorozata akkor és csak akkor független, ha tetszőleges pozitív n egész számra az A_{1}, …, A_{n} események függetlenek.

Néhány fontos tény a függetlenséggel kapcsolatban:

1. Adva egy A esemény vezessük be az A^{ε} jelölést, ahol ε = ±1, ε = 1 estében A^{1} = A, ε = −1 esetében A^{−1} = Ω\A az A halmaz komplementere. (Gyakran használják az Ω \ A = Ā jelölést is.) Ha A_{1}, …, A_{n} független események, akkor az A_{1}^{ε_{1}}, …, A_{n}^{ε_{n}} események az ε_{k} = ±1, k = 1, …, n tetszőleges értékei esetén függetlenek.

2. Ha A_{1}, A_{2}, A_{3}, …, A_{n} független események, akkor A_{1} + A_{2}, A_{3}, …, A_{n} is független események.

3. Igaz az előző állítás alábbi általánosítása is: Legyenek A_{1}, …, A_{k}, A_{k+1}, …, A_{n} független események. Ha a B esemény egy az A_{1}, …, A_{k} események segítségével metszettel, unióval és komplementerképzéssel kifejezhető halmaz, akkor a B, A_{k+1}, …, A_{n} halmazok függetlenek egymástól. Pontosabban megfogalmazva: Definiáljuk tetszőleges j_{s} = 0 vagy j_{s} = 1, s = 1, …, k számokra a

B(j_{1}, …, j_{k}) = A^{−1^{j_{1}}} ⋯ A^{−1^{j_{k}}}

halmazt. (Ugyanazt a jelölést használjuk mint az 1. megjegyzésben.) Ha B = ⋃_{(j_{1},...,j_{k})∈C} B(j_{1}, …, j_{k}), ahol C az összes lehetséges k hosszúságú 0—1 sorozatból

álló halmaz tetszőleges részhalmaza, akkor a B, A_{k+1}, …, A_{n} események függetlenek.

4. Lássunk példát arra, hogy például k = 3 esetében egy A, B és C halmaz esetében a P (ABC) = P (A)P (B)P (C) feltétel teljesülése nem elegendő az A, B és C események függetlenségéhez. Legyen Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 4},

C = \{2, 3, 4\}, P (\{1\}) = P (\{2\}) = P (\{3\}) = P (\{4\}) = \frac{1}{3\sqrt{3}}, P (\{5\}) = 1 − \frac{4}{3\sqrt{3}}.

Ekkor ABC = \{2\}, P (ABC) = \frac{1}{3\sqrt{3}}, P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{\sqrt{3}}, P (AB) =

P (\{2, 3\}) = \frac{2}{3\sqrt{3}}. Ezért P (ABC) = P (A)P (B)P (C), de P (AB) ≠ P (A)P (B).

Az 1. állítás bizonyításának vázlata: Belátjuk, hogy ha A és B független események, akkor az A és B̄ események függetlenek. Ekkor P (AB̄) = P (A \ B) = P (A) − P (AB), mert AB ⊂ A. Innen P (AB̄) = P (A) − P (A)P (B), mert A és B független események. Ezért P (AB̄) = P (A)[1 − P (B)] = P (A)P (B̄). Innen, illetve a függetlenség definiciójából következik, hogy ha A_{1}, … A_{n} események függetlenek, 1 ≤ j ≤ n, akkor az A_{1}, …, A_{j−1}Ā_{j}, A_{j+1}, …, A_{n} események is függetlenek. Valóban, tekintsünk valamilyen A_{j_{1}}, … A_{j_{s}} eseményeket, melyekre teljesül a {j_{1}, …, j_{s}} ⊂ {1, …, n}\{j} feltétel, és vezessük be az A = A_{j_{1}} ⋯ A_{j_{s}}, B = A_{j} eseményeket. Ekkor P (AB) = P (A)P (B), mert a függetlenség definiciója alapján mind a két oldal a P (A_{j})P (A_{j_{1}}) ⋯ P (A_{j_{s}}) kifejezéssel egyenlő. Ezért az elóbbiek alapján, P (AB̄) = P (A)P (B̄). Továbbá,

P (A_{j_{1}} ⋯ A_{j_{s}}) = P (A_{j_{1}}) ⋯ P (A_{j_{s}}),

ezért

P (ĀA_{j_{1}} ⋯ A_{j_{s}}) = P (AB̄) = P (A)P (B̄) = P (Ā_{j})P (A_{j_{1}}) ⋯ P (A_{j_{s}}),

és az A_{1}, …, A_{j−1}Ā_{j}, A_{j+1}, …, A_{n} események is függetlenek. Innen indukcióval következik, hogy az A_{1}, …, A_{n} események közül valamely A_{j_{1}}, … A_{j_{k}} eseményeket kicserélve ezek komplementerével az így kapott események függetlenek maradnak.

Ugyancsak fontos fogalom valószínűségi változók függetlensége. Idézzük fel először a valószínűségi változó fogalmát. Legyen adva egy (Ω, A, P) valószínűségi mező. Azt mondjuk, hogy ξ = ξ(ω), ω ∈ Ω, valószínűségi változó ezen a téren, ha ξ = ξ(ω) ezen a téren definiált (mérhető) valós értékű függvény. (Az, hogy a ξ függvény mérhető azt jelenti, hogy a számegyenes tetszőleges Borel mérhető B halmazára az {ω: ξ(ω) ∈ B} halmaz mérhető halmaza az (Ω, A, P) térnek, azaz eleme az A σ-algebrának. Ez technikai jellegű feltétel. Bár a részletek kidolgozása bizonyos mértékelméleti ismereteket igényel, a mérhetőség követelése nem jelent igazi megszorítást. Ugyanis minden definiálható függvény, tehát olyan függvény mely gyakorlatban előfordul, mérhető.)

Valószínűségi változók függetlenségének definiciója: A ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók akkor és csak akkor (teljesen) függetlenek, ha a számegyenes tetszőleges Borel mérhető B_{1}, …, B_{n} halmazaira

P (ξ_{1} ∈ B_{1}, ξ_{2} ∈ B_{2}, …, ξ_{n} ∈ B_{n}) = P (ξ_{1} ∈ B_{1})P (ξ_{2} ∈ B_{2}) ⋯ P (ξ_{n} ∈ B_{n}).

Azt mondjuk, hogy valószínűségi változók, ξ_{1}, ξ_{2}, … végtelen sorozata független, ha a ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n} valószínűségi változók függetlenek tetszőleges n = 1, 2, … számra.

Néhány fontos tény valószínűségi változók függetlenségével kapcsolatban:

Ahhoz, hogy független valószínűségi változókról beszélhessünk szükségünk van annak ellenőrzésére, hogy a tekintett valószínűségi változók valóban függetlenek-e. Ha a definiciót használjuk, akkor nehézséget okozhat az, hogy minden Borel mérhető B_{k}, k = 1, …, n halmazt tekintenünk kell. Be lehet látni, hogy valójában elég bizonyos speciális Borel mérhető halmazokat tekinteni, ha a függetlenséget akarjuk ellenőrizni.

1. Tétel. A ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók akkor és csak akkor (teljesen) függetlenek, ha tetszőleges x_{1}, …, x_{n} valós számokra

P (ξ_{1} < x_{1}, ξ_{2} < x_{2}, …, ξ_{n} < x_{n}) = P (ξ_{1} < x_{1})P (ξ_{2} < x_{2}) ⋯ P (ξ_{n} < x_{n}).

Ugyanezt a tényt kifejezhetjük az eloszlásfüggvények nyelvén is. Jelölje

F (x_{1}, …, x_{n}) = P (ξ_{1} < x_{1}, …, ξ_{n} < x_{n}), −∞ < x_{k} < ∞, k = 1, …, n

a ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók együttes eloszlásfüggvényét. A ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók akkor és csak akkor függetlenek, ha azok F (x_{1}, …, x_{n}) együttes eloszlásfüggvénye F (x_{1}, …, x_{n}) = F_{1}(x_{1}) ⋯ F_{n}(x_{n}) alakú. Ebben az eseetben F_{k}(x) = P (ξ_{k} < x), k = 1, …, n, a ξ_{k} valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a fenti faktorizációban.

2. Tétel. Ha ξ_{1}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, akkor szorzatuk várható értéke megegyezik az egyes változók várható értékének szorzatával. Azaz, képletben kifejezve

Eξ_{1}ξ_{2} ⋯ ξ_{n} = Eξ_{1} Eξ_{2} ⋯ Eξ_{n}

Valójában némi megszorítást kell tennünk a fenti tételben. Tegyük fel, hogy E|ξ_{s}| < ∞ minden 1 ≤ s ≤ n esetén. Ez a feltétel biztosítja, hogy nem lép fel konvergencia (értelmezési) probléma a 2. tételben.

3. Tétel. Ha ξ_{1}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, g_{1}(x), …, g_{n}(x) (mérhető) függvények, akkor az η_{1} = g(ξ_{1}), …, η_{n} = g(ξ_{n}) valószínűségi változók is függetlenek.

Kissé általánosabban: Legyenek

ξ_{1}, …, ξ_{l_{1}}, ξ_{l_{1}+1} …, ξ_{l_{1}+l_{2}} …, ξ_{l_{1}+···+l_{k−1}+1}, …, ξ_{l_{1}+···+l_{k}}

független valószínűségi változók, ahol l_{1}, …, l_{k} pozitív egész számok. Ha g_{s}(x_{1}, …, x_{l_{s}}), 1 ≤ s ≤ k (mérhető) az R^{l_{s}} l_{s} dimenziós Euklidesi téren értelmezett függvények, akkor az η_{s} = g_{s}(ξ_{l_{s−1}+1}, …, ξ_{l_{s}}), 1 ≤ s ≤ k, (l_{0} = 0) valószínűségi változók függetlenek.

Következmény: Ha ξ_{1}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, és g_{1}(x), …, g_{n}(x) (mérhető) függvények a számegyenesen, akkor

Eg_{1}(ξ_{1}) ⋯ g_{n}(ξ_{n}) = Eg_{1}(ξ_{1}) ⋯ Eg_{n}(ξ_{n}).

Valóban, a 3. tétel eredménye alapján az η_{s} = g(ξ_{s}), 1 ≤ s ≤ k valószínűségi változók függetlenek, és a 2. tételt alkalmazva az η_{s}, 1 ≤ s ≤ k valószínűségi változókra megkapjuk a Következmény állítását.

Adva egy A esemény (azaz halmaz) egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, vezessük be ennek az A halmaznak χ_{A} = χ_{A}(ω) indikátor függvényét a

χ_{A} = χ_{A}(ω) = \{ \begin{matrix}1, & ha ω ∈ A \\ 0, & ha ω ∉ A \end{matrix}

képlet segítségével.

Állítás: Legyenek adva valamilyen A_{1}, …, A_{n} események egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Az A_{1}, …, A_{n} események akkor és csak akkor függetlenek, ha ezek χ_{A_{1}}, …, χ_{A_{n}} indikátor függvényei független valószínűségi változók.

Ennek az állításnak a bizonyítása lesz az egyik megoldásra kitűzött feladat.