\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 21-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
 
\item{1.} Adott egy urna, \'es abban 70 piros \'es 30 feh\'er goly\'o.
Egym\'as ut\'an h\'uzunk ebb\H{o}l az urn\'ab\'ol 100 alkalommal.
Minden h\'uz\'as ut\'an a kih\'uzott goly\'ot visszadobjuk egy m\'asik
azonos sz\'{\i}n\H{u} goly\'oval egy\"utt. Arra vagyunk kiv\'acsiak,
hogy mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a 30. h\'uz\'as
eredm\'enye piros.
 
K\'esz\'{\i}ts\"uk el ennek a feladatnak egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
modellj\'et. E feladat modellj\'et, illetve n\'eh\'any ezzel
kapcsolatos alapvet\H{o} fogalmat r\'eszletesen megt\'argyaltunk.
Be\-ve\-zet\-t\"uk ebben a modellben a $\xi_j$, $j=1,\dots,100$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyekre $\xi_j=1$, ha a
$j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros, \'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er. Bel\'attuk, hogy a fenti jel\"ol\'esekkel
$$
P(\xi_1=\e_1,\xi_2=\e_2,\dots,\xi_{100}=\e_{100})=
P(\xi_{\pi(1)}=\e_1,\xi_{\pi(2)}=\e_2,\dots,\xi_{\pi(100)}=\e_{100}),
$$
ahol $(\pi(1),\dots\pi(100))$ az $(1,\dots,100)$ sz\'amok
tetsz\H{o}leges permut\'aci\'oja, $\e_j$, $1\le j\le100$ vagy
nullla vagy egy. Ez az azonoss\'ag lehet\H{o}v\'e tette a feladat
egyszer\H{u} megold\'as\'at. Ugyanis, mint azt megmutattuk, e
t\'enyb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a 30. \'es 1. h\'uz\'as eredm\'enye
ugyanolyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel lesz piros. Ennek a feladat
megold\'asa lehet az alapja az 1. kit\H{u}z\"ott feladat
megold\'as\'anak.
\bigskip
\item{2.} Egy est\'elyen megjelenik 100 h\'azasp\'ar. Egy
t\'ancmester, aki nem tudja, hogy kik h\'azast\'arsak \'es kik nem
v\'eletlen m\'odon p\'arba rendezi a f\'erfiakat \'es n\H{o}ket
a t\'anc el\H{o}tt. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
egyetlen h\'azasp\'ar sem t\'ancol egy\"utt? Mi ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $n$ h\'azasp\'ar eset\'en, \'es mi ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a hat\'ar\'ert\'eke, ha $n\to\infty$.
 
Ennek a feladatnak c\'elja megmutatni, hogy az esem\'enyek halmazokkal
val\'o rep\-re\-zen\-t\'a\-l\'a\-sa, az esem\'enyalgebr\'aval val\'o
sz\'amol\'as, illetve bizonyos alapvet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
(val\'oj\'aban lesz\'amol\'assal kapcsolatos kombinatorikai)
azonoss\'agok seg\'{\i}ts\'eget jelentenek bizonyos feladatok
megold\'as\'aban.
 
Tekints\"unk megfelel\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t,
melyen ez a feladat megfogalmazhat\'o, \'es defini'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $A_j$ esem\'enyeket:
$$
A_j=\text{a $j$-ik h\'azasp\'ar eg\"utt t\'ancol.}\quad 1\le j\le 100.
$$
Ekkor minket a $P(\overline{A_1+\dots+A_{100}})=
1-P(A_1+\dots+A_{100})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Vegy\"uk
\'eszre, hogy a $P(A_{j_1}\cdots A_{j_k})=\dfrac{(100-k)!}{100!}$
azonoss\'ag igaz. Tov\'abb\'a \'erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o} az
irodalomban szita-formul\'anak nevezett eredm\'eny:
$$
P(A_1+\cdots+A_n)=S_1-S_2+S_3-\cdots +(-1)^{n+1}S_n,
$$
ahol
$$
S_k=\sum_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n}
P(A_{j_1}\cdots A_{j_k}).
$$
 Tov\'abb\'a az $S_1$, $S_1-S_2$, $S_1-S_2+S_3$, el\H{o}jeles
\"osszegek v\'altakozva fels\H{o} \'es als\'o becsl\'est adnak a
$P(A_1+\cdots+A_n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.
 
A szita-formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy $n$ h\'azasp\'ar
eset\'eben
$$
S_k=\dbinom nk\dfrac{(n-k)!}{n!}=\dfrac1{k!}.
$$
Innen ad\'odik, hogy a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\align
P(\overline{A_1+\dots+A_{n}})&=1-P(A_1+\dots+A_{n}) \\
&=1-S_1+S_2+\cdots+(-1)^n S_n=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}\quad\to
\frac1e\text{ ha } n\to\infty.
\endalign
$$
 
\medskip
 
Tegy\"unk n\'eh\'any megjegyz\'est a szita-formul\'aval kapcsolatban:
 
Adva egy $A$ esem\'eny vezess\"uk be az $A^\e$ jel\"ol\'est,
ahol $\e=\pm1$, $\e=1$ est\'eben $A^1=A$, $\e=-1$ eset\'eben
$A^{-1}=\Omega\setminus A=\bar A$.
De\-fi\-ni\'al\-juk tetsz\H{o}leges
$j_s=0$ vagy $j_s=1$, $s=1,\dots,n$ sz\'amokra a
$$
A(j_1,\dots,j_n)=A^{-1^{j_1}}\cdots A^{-1^{j_n}}
$$
halmazt. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
A_1+\cdots+A_n=\sum_{(j_1,\dots,j_n)\:(j_1,\dots,j_n)\neq (0,\dots,0)}
A(j_1,\dots,j_n),
$$
\'es
$$
A_k=\sum_{(j_1,\dots,j_n)\:j_k\neq 0} A(j_1,\dots,j_n),
\quad 1\le k\le n.
$$
Tov\'abb\'a az $A(j_1,\dots,j_n)$ esem\'enyek k\"ul\"onb\"oz\H{o}
$(j_1,\dots,j_n)$ param\'eterek diszjunktak. Ilyen m\'odon a
szita-formula k\'et oldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'es kifejezhet\H{o}
a $P(A(j_1,\dots,j_n))$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek line\'aris
kombin\'aci\'oj\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A bizony\'{\i}t\'as
l\'enyege az, hogy a kifejez\'es k\'et oldal\'an ugyanaz a line\'aris
kombin\'aci\'o jelenik meg. A szita-formula elnevez\'es onnan
sz\'armazik, hogy egy r\"ogz\'{\i}tett $A(j_1,\dots,j_n)$ esem\'eny
$P(A(j_1,\dots,j_n))$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege k\"ul\"onb\"oz\H{o}
sz\'amoss\'aggal \'es el\H{o}jellel jelenik meg az $S_1,S_2,\dots$
ki\-fe\-je\-z\'e\-sek\-ben. Ezek \"osszesz\'aml\'asa ``kiszit\'al\'asa"
szolg\'altatja a szita-formula bizony\'{\i}t\'as\'at.
 
 
\medskip
Az el\H{o}ad\'as v\'eg\'en felid\'ezt\"uk a f\"uggetlens\'eg
fogalm\'at. Mivel ez a fogalom alapvet\H{o} fontoss\'ag\'u a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban, err\H{o}l egy
r\'eszletesebb kieg\'esz\'{\i}t\'est \'{\i}rtam, \'es e fogalom
megbesz\'el\'es\'et folytattuk a k\"ovetkez\H{o} alkalommal is.
 
 
 
 \bye
