\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 14-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
A szemin\'arium f\H{o} c\'elja az volt, hogy n\'eh\'any feladat
megt\'argyal\'as\'aval p\'eld\'at mutassunk arra, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}k ``absztrakt fogalm\'anak"
felhaszn\'al\'asa lehet\H{o}v\'e teszi bizonyos feladatok egyszer\H{u}
megold\'as\'at, heurisztikus \'ervel\'esek egyszer\H{u}, prec\'{\i}z
megfogalmaz\'as\'at. A k\'es\H{o}bbiekben is igyeksz\"unk ilyen
p\'eld\'akat vizsg\'alni. \medskip
Az els\H{o} vizsg\'alt k\'erd\'es a k\"ovetkez\H{o} volt:
\medskip
Legyen egy urn\'aban 70 piros \'es 30 feh\'er goly\'o. H\'uzzuk ki a
goly\'okat visszatev\'es n\'elk\"ul.
\item{a.)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o}
kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}ne piros, a m\'asodik\'e pedig feh\'er?
\item{b.)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a 13.
kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}ne piros, a 29. kih\'uzott goly\'o
sz\'{\i}ne pedig feh\'er?
\medskip
Sz\'amunkra a feladat b.) r\'esze volt \'erdekes. Elhangzott az a
heurisztikus \'erv, hogy az a.) \'es b.) k\'erd\'esre ugyanaz a
v\'alasz. E (helyes) heurisztikus \'erv indokl\'asa \'erdek\'eben
megfogalmaztuk a feladatot form\'alisan egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} bevezet\'es\'evel.
 
A k\"ovetkez\H{o} modellt defini\'altuk: Tekints\"uk az \"osszes
$\omega=(F,P,F,F,\dots)$ sz\'az hossz\'us\'ag\'u 30 $F$ (feh\'er) \'es
70 $P$ (piros) jelb\H{o}l \'all\'o sorozatot. Legyen $\Omega$ az
\"osszes ilyen $\omega$ sorozat\'ol \'all\'o halmaz, $\Cal A$ a
(m\'erhet\H{o}) halmazok rendszere ($\sigma$-algebr\'aja) $\Omega$
\"osszes r\'eszhalmaza, azaz minden lehets\'eges fent defini\'alt
$\omega$ (elemi esem\'enyekb\H{o}l) \'all\'o halmaz. Legyen minden
$\omega$ elemi esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\dfrac1{\binom{100}{30}}$. Egy $A$ halmaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
pedig az $A$ halmaz \'altal tartalmazott elemi esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek \"osszege. Ebben a modellben az a.)
feladat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege azon $A$ esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, mely azokat az $\omega$ sorozatokat
tartalmazza, melyek els\H{o} eleme $P$ m\'asodik eleme pedig $F$.
A b.) feladatban annak a $B$ esem\'enynek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et vizsg\'aljuk, melyek olyan $\omega$
sorozatokat tekint, melyek 13. jele $P$ 29. jele pedig $F$. Bel\'attuk
term\'eszetes megfeleltet\'essel, hogy $P(A)=P(B)$.
 
Val\'oj\'aban a fenti t\'argyal\'as nem teljesen
kiel\'eg\'{\i}t\H{o}. L\'atnunk kell ugyanis, hogy nincs
jelent\H{o}s\'ege annak, hogy a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket milyen a felt\'eteleket
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} modellben tekintj\"uk. Ez\'ert \'erdemes a fenti
gondolatmenetet \'ugy m\'odos\'{\i}tani, hogy az \'ervel\'es ne
f\"uggj\"on att\'ol, hogy milyen modellt tekint\"unk.
 
Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}, mely tartalmazza az \"osszes olyan esem\'enyt, hogy egy
h\'uz\'assorozat eredm\'enye valamilyen $(F,P,F,F,\dots)$ sz\'az
hossz\'us\'ag\'u 30 $F$ (feh\'er) \'es 70 $P$ (piros) jelb\H{o}l
\'all\'o sorozat. (Nem tessz\"uk fel, hogy ezek az esem\'enyek elemi
esem\'enyek.) Minden ilyen esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
legyen $\dfrac1{\binom{100}{30}}$. Vegy\"uk \'eszre, hogy ilyen
m\'odon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} egy partici\'oj\'at
kapjuk. (Disz\-junkt esem\'enyeket defini\'altunk, melyek
\"osszval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege 1.) Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 100$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros, $\xi_j=0$, ha a
$j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er. (Azaz, ha az el\H{o}bb
defini\'alt partici\'o olyan sorozatot tartalmaz, melynek $j$-ik jele
$P$ illetve $F$.) Ekkor a minket \'erdekl\H{o} k\'erd\'es a
$P(\xi_1=1,\xi_2=0)$ (a.) feladat), illetve a
$P(\xi_{13}=1,\xi_{29}=0)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg (b.) feladat)
kisz\'am\'{\i}t\'asa.
 
Be lehet l\'atni, hogy a fenti jel\"ol\'esekkel
$$
P(\xi_1=\e_1,\xi_2=\e_2,\dots,\xi_{100}=\e_{100})=
P(\xi_{\pi(1)}=\e_1,\xi_{\pi(2)}=\e_2,\dots,\xi_{\pi(100)}=\e_{100}),
$$
ahol $(\pi(1),\dots\pi(100))$ az $(1,\dots,100)$ sz\'amok
tetsz\H{o}leges permut\'aci\'oja, $\e_j$, $1\le j\le100$ vagy nullla
vagy egy. Ez az azonoss\'ag lehet\H{o}v\'e teszi annak
bizony\'{\i}t\'as\'at, hogy az a) \'es b) feladatban szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek megegyeznek.
\bigskip \noindent
Tov\'abbi t\'argyalt feladatok: \medskip
 
\item{1.)} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a dob\'asok eredm\'enyeinek \"osszeg\'et.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az \"osszegnek
\itemitem{a.)} V\'arhat\'o \'ert\'ek\'et,
\itemitem{b.)} Sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} A feladat jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben defini\'aljunk egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t \'es rajta
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ezt a feladatot precizen meg lehet fogalmazni.
\medskip \item{2.)}
Legyen egy urn\'aban 70 piros \'es 30 feh\'er goly\'o. H\'uzzuk ki a
goly\'okat visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'am\'{\i}tsuk ki az els\H{o}
10 h\'uz\'asban kih\'{\i}zott piros goly\'ok sz\'am\'anak
\itemitem{a.)} V\'arhat\'o \'ert\'ek\'et,
\itemitem{b.)} Sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip
Az el\H{o}bbi feladatokban szerepl\H{o} v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es
sz\'or\'ast kisz\'am\'{\i}thatn\'ank a v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek \'es
sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oj\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ez
azonban nagyon f\'arads\'agos lenne. Ehelyett egyszer\H{u}bben
eredm\'enyre jutunk a k\"ovetkez\H{o} m\'odon:
\smallskip\noindent
Az els\H{o} feladat a megfelel\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modell
kidolgoz\'asa ut\'an a k\"ovetkez\H{o} m\'odon fogalmazhat\'o \'at.
Legyen $\eta_1,\dots,\eta_{100}$ {\it f\"uggetlen}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, melyekre
$P(\eta_j=k)=\frac16$, $1\le j\le 100$, $1\le k\le6$. Ekkor a
kisz\'am\'{\i}tand\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
$E\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}E\eta_j$,
$D^2\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}D^2\eta_j$.
A m\'asodik rel\'aci\'o felhaszn\'alja a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'et.
\medskip
 
Hasonl\'oan t\'argyalhat\'o a m\'asodik feladat. Ekkor megfelel\H{o}
modellben a vizsg\'alt feladat az $E\summ_{j=1}^{20}\xi_j$ \'es
$D^2\summ_{j=1}^{20}\xi_j$ kisz\'am\'{\i}t\'asa, ahol $\xi_j=1$, ha a
$j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er. Ekkor
$E\summ_{j=1}^{20}\xi_j=\summ_{j=1}^{20}E\xi_j$. A sz\'or\'asn\'egyzet
kisz\'am\'{\i}t\'asa kiss\'e bonyolultabb, mert a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem f\"uggetlenek. Viszont, mint megt\'argyaltuk
$$
D^2\summ_{j=1}^{20}\xi_j=
\summ_{j=1}^{20}D^2\xi_j+
\summ_{1\le j<k<20}^{20}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).
$$
Tov\'abb\'a, mint bel\'attuk $D^2\xi_j=D^2\xi_1$ minden $1\le j\le 20$
\'es $E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2$ minden $1\le
j<k\le20$ sz\'amra.
\bigskip
 
Ezenk\'{\i}v\"ul annak \'erdek\'eben, hogy meg\'erts\"uk mi\'ert
fontos fogalom a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'as a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban felid\'ezt\"uk a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel megfogalmaz\'as\'at.
 
 \bye
