A szeptember 14-i gyakorlat témája Rövid összefoglaló

A szeminárium fő célja az volt, hogy néhány feladat megtárgyalásával példát mutassunk arra, hogy a valószínűségi mezők “absztrakt fogalmának” felhasználása lehetővé teszi bizonyos feladatok egyszerű megoldását, heurisztikus érvelések egyszerű, precíz megfogalmazását. A későbbiekben is igyekszünk ilyen példákat vizsgálni.

Az első vizsgált kérdés a következő volt:

Legyen egy urnában 70 piros és 30 fehér golyó. Húzzuk ki a golyókat visszatevés nélkül. a.) Mi a valószínűsége annak, hogy az első kihúzott golyó színe piros, a másodiké pedig

fehér? b.) Mi a valószínűsége annak, hogy a 13. kihúzott golyó színe piros, a 29. kihúzott

golyó színe pedig fehér?

Számunkra a feladat b.) része volt érdekes. Elhangzott az a heurisztikus érv, hogy az a.) és b.) kérdésre ugyanaz a válasz. E (helyes) heurisztikus érv indoklása érdekében megfogalmaztuk a feladatot formálisan egy (Ω, A, P) valószínűségi mező bevezetésével.

A következő modellt definiáltuk: Tekintsük az összes ω = (F, P, F, F, …) száz hosszúságú 30 F (fehér) és 70 P (piros) jelből álló sorozatot. Legyen Ω az összes ilyen ω sorozatól álló halmaz, A a (mérhető) halmazok rendszere (σ-algebrája) Ω összes részhalmaza, azaz minden lehetséges fent definiált ω (elemi eseményekből) álló halmaz.

Legyen minden ω elemi esemény valószínűsége \frac{1}{\binom{100}{30}}. Egy A halmaz valószínűsége pedig

az A halmaz által tartalmazott elemi események valószínűségének összege. Ebben a modellben az a.) feladat valószínűsége azon A esemény valószínűsége, mely azokat az ω sorozatokat tartalmazza, melyek első eleme P második eleme pedig F. A b.) feladatban annak a B eseménynek a valószínűségét vizsgáljuk, melyek olyan ω sorozatokat tekint, melyek 13. jele P 29. jele pedig F. Beláttuk természetes megfeleltetéssel, hogy P (A) = P (B).

Valójában a fenti tárgyalás nem teljesen kielégítő. Látnunk kell ugyanis, hogy nincs jelentősége annak, hogy a minket érdeklő valószínűségeket milyen a feltételeket kielégítő modellben tekintjük. Ezért érdemes a fenti gondolatmenetet úgy módosítani, hogy az érvelés ne függjön attól, hogy milyen modellt tekintünk.

Legyen adva egy (Ω, A, P) valószínűségi mező, mely tartalmazza az összes olyan eseményt, hogy egy húzássorozat eredménye valamilyen (F, P, F, F, …) száz hosszúságú 30 F (fehér) és 70 P (piros) jelből álló sorozat. (Nem tesszük fel, hogy ezek az események

elemi események.) Minden ilyen esemény valószínűsége legyen \frac{1}{\binom{100}{30}}. Vegyük észre,

hogy ilyen módon a valószínűségi mező egy particióját kapjuk. (Diszjunkt eseményeket definiáltunk, melyek összvalószínűsége 1.) Definiáljuk a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 100, valószínűségi változókat: ξ_{j} = 1, ha a j-ik húzás eredménye piros, ξ_{j} = 0, ha a j-ik húzás eredménye fehér. (Azaz, ha az előbb definiált partició olyan sorozatot tartalmaz, melynek j-ik jele P illetve F.) Ekkor a minket érdeklő kérdés a P (ξ_{1} = 1, ξ_{2} = 0) (a.) feladat), illetve a P (ξ_{13} = 1, ξ_{29} = 0) valószínűség (b.) feladat) kiszámítása.

Be lehet látni, hogy a fenti jelölésekkel

P (ξ_{1} = ε_{1}, ξ_{2} = ε_{2}, …, ξ_{100} = ε_{100}) = P (ξ_{π(1)} = ε_{1}, ξ_{π(2)} = ε_{2}, …, ξ_{π(100)} = ε_{100}),

ahol (π(1), … π(100)) az (1, …, 100) számok tetszőleges permutációja, ε_{j}, 1 ≤ j ≤ 100 vagy nullla vagy egy. Ez az azonosság lehetővé teszi annak bizonyítását, hogy az a) és b) feladatban szereplő valószínűségek megegyeznek.

További tárgyalt feladatok:

1.) Feldobunk egy szabályos dobókockát 100-szor egymás után. Tekintsük a dobások eredményeinek összegét. Számítsuk ki ennek az összegnek

a.) Várható értékét,

b.) Szórásnégyzetét.

A feladat jobb megértése érdekében definiáljunk egy valószínűségi mezőt és rajta valószínűségi változókat, melyek segítségével ezt a feladatot precizen meg lehet fogalmazni.

2.) Legyen egy urnában 70 piros és 30 fehér golyó. Húzzuk ki a golyókat visszatevés nélkül. Számítsuk ki az első 10 húzásban kihízott piros golyók számának

a.) Várható értékét,

b.) Szórásnégyzetét.

Az előbbi feladatokban szereplő várható értéket és szórást kiszámíthatnánk a várható érték és szórásnégyzet definiciójának segítségével. Ez azonban nagyon fáradságos lenne. Ehelyett egyszerűbben eredményre jutunk a következő módon:

Az első feladat a megfelelő valószínűségi modell kidolgozása után a következő módon fogalmazható át. Legyen η_{1}, …, η_{100} független valószínűségi változók sorozata, melyekre P (η_{j} = k) = \frac{1}{6}, 1 ≤ j ≤ 100, 1 ≤ k ≤ 6. Ekkor a kiszámítandó várható érték és

szórásnégyzet E ∑_{j=1}^{100} η_{j} = ∑_{j=1}^{100} Eη_{j}, D^{2} ∑_{j=1}^{100} η_{j} = ∑_{j=1}^{100} D^{2}η_{j}. A második reláció felhasználja

a tekintett valószínűségi változók függetlenségét.

Hasonlóan tárgyalható a második feladat. Ekkor megfelelő modellben a vizsgált

feladat az E ∑_{j=1}^{20} ξ_{j} és D^{2} ∑_{j=1}^{20} ξ_{j} kiszámítása, ahol ξ_{j} = 1, ha a j-ik húzás eredménye piros,

ξ_{j} = 0, ha a j-ik húzás eredménye fehér. Ekkor E ∑_{j=1}^{20} ξ_{j} = ∑_{j=1}^{20} Eξ_{j}. A szórásnégyzet kiszámítása kissé bonyolultabb, mert a tekintett valószínűségi változók nem függetlenek. Viszont, mint megtárgyaltuk

D^{2} ∑_{j=1}^{20} ξ_{j} = ∑_{j=1}^{20} D^{2}ξ_{j} + ∑_{1≤j<k<20}^{20}(Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k}).

Továbbá, mint beláttuk D^{2}ξ_{j} = D^{2}ξ_{1} minden 1 ≤ j ≤ 20 és Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k} = Eξ_{1}ξ_{2} − Eξ_{1}Eξ_{2} minden 1 ≤ j < k ≤ 20 számra.

Ezenkívül annak érdekében, hogy megértsük miért fontos fogalom a várható érték és szórás a valószínűségszámításban felidéztük a centrális határeloszlástétel megfogalmazását.