\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Az okt\'ober 5-i szemin\'arium t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
A szemin\'arium t\'em\'aja a k\"ovetkez\H{o} feladatok, illetve azok
vizsg\'alata sor\'an felmer\"ul\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi \'es m\'ert\'ekelm\'eleti
k\'erd\'esek megt\'argyal\'asa volt.
\item{1.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk egym\'as ut\'an. Addig
folytatjuk a p\'enz feldob\'as\'at, amig \"ot\"odsz\"or jelenik meg a
dob\'as eredm\'enyek\'ent fej. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy az utols\'o dob\'ast kett\H{o}vel megel\H{o}z\H{o} dob\'as
eredm\'enye fej?
\itemitem{a.)} Mi az el\H{o}z\H{o} esem\'eny felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege azon felt\'etel
mellett, hogy a do\-b\'as\-so\-ro\-zat 20 dob\'asb\'ol \'all?
\item{2.} Egy p\'enzdarabot feldobunk egym\'as ut\'an \'ugy, hogy
el\H{o}sz\"or feldobjuk sz\'azszor, majd egym\'as ut\'an addig m\'{\i}g
el\'osz\"or megjelenik egy fej dob\'as. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az utols\'o el\H{o}tti dob\'as
eredm\'enye fej? \bigskip
Az els\H{o} feladat vizsg\'alat\'aban l\'assuk be el\H{o}sz\"or azt
az \'all\'{\i}t\'ast, hogy egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
v\'eges sok l\'ep\'esen bel\"ul egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
be\-k\"o\-vet\-ke\-zik az, hogy megjelenik \"ot fej-dob\'as, azaz a
dob\'assorozatot egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel befejezz\"uk.
Viszont nem lehet r\"ogz\'{\i}teni olyan v\'eges sz\'amot \'ugy,
hogy ennyi l\'ep\'esen bel\"ul biztosan megjelenik \"ot fej-dob\'as.
Megt\'argyaltuk, hogy ha tekint\"unk egy v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as
dob\'as sorozatot, \'es vesz\"uk az egym\'as ut\'an k\"ovetkez\H{o}
\"ot hossz\'us\'ag\'u blokkokat, akkor annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az els\H{o} $n$ blokkban megjelenik egy \"ot hossz\'us\'ag\'u fej
sorozat az $1-\(1-\frac1{32}\)^n$ sz\'ammal egyenl\H{o}, \'es ez a
mennyis\'eg tart egyhez, ha $n\to\infty$. Innen k\"ovetkezik, hogy
val\'oban egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel bek\"ovetkezik v\'eges sok
l\'ep\'esen bel\"ul \"ot fej dob\'as. Az, hogy ez nem k\"ovetkezhet be
r\"ogz\'{\i}tett sz\'am\'u l\'ep\'esen bel\"ul l\'athat\'o onnan, hogy
$n$ l\'ep\'esen bel\"ul $2^{-n}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csupa
\'{\i}r\'as lesz a dob\'as v\'egeredm\'enye.
 
Val\'oj\'aban, az el\H{o}z\H{o} gondolatmenet hallgat\'olagosan
felhaszn\'alta a m\'ert\'ekelm\'elet illetve az el\H{o}ad\'ason
szerepl\H{o} tananyag egyik fontos, de kor\'antsem k\"onny\H{u}
eredm\'eny\'et. Nevezetesen azt, hogy besz\'elhet\"unk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asnak az el\H{o}ad\'ason
ismertetett modellj\'eben szab\'alyos p\'enzdarabok f\"uggetlen {\it
v\'egtelen}\/ fej-\'{\i}r\'as sorzozat\'ar\'ol. Ez az ered\-m\'eny
ekvivalens a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'assal: Lehets\'eges
megadni egy $(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
me\-z\H{o}t, \'es azon defini\'alni f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan $\xi_1,\xi_2,\dots$,
sorozat\'at, mely sorozat elemeire $P(\xi_n=0)=P(\xi_n=1)=\frac12$.
(Val\'oban, defini\'aljuk a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \'ugy, hogy $\xi_n=1$, ha az
$n$-ik dob\'as ered\-m\'enye fej, \'es $\xi_n=0$, ha az $n$-ik dob\'as
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ez a definici\'o megmutatja,hogy a fenti k\'et
probl\'ema ekvivalens.) Megadjuk bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}nek \'es rajta a k\'{\i}v\'ant
tulajdons\'ag\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'anak
konstrukci\'oj\'at.
 
Egy term\'eszetes konstrukci\'o a k\"ovetkez\H{o}:
Legyenek az elemi esem\'enyek a v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozatok,
teh\'at egy elemi esem\'eny egy $\oo=(F, F, I,\dots)$ sorozat, ahol
mindegyik koordin\'ata vagy $F$ vagy $I$. Legyen $\Omega$ az \"osszes
lehets\'eges v\'egtelen fej--\'{\i}r\'as so\-ro\-za\-tok halmaza. A
k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'es a m\'erhet\H{o} halmazok $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'aj\'anak a definici\'oja. Ezt a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon tessz\"uk: R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy tetsz\H{o}leges $n$
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amot \'es egy $n$ hossz\'us\'ag\'u
fej--\'{\i}r\'as sorozatot. Defini\'aljuk azt a v\'egtelen
fej--\'{\i}r\'as sorozatokb\'ol \'all\'o halmazt, melynek els\H{o}
$n$ jele ez az $n$ hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as sorozat. Az
ilyen halmazok elemei az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'anak, \'es az
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at \'ugy defini\'aljuk, mint a
legsz\H{u}kebb ilyen tipus\'u halmazokat tartalmaz\'o
$\sigma$-algebr\'at. Be lehet l\'atni (\'es a bizony\'{\i}t\'as
egyszer\H{u}), hogy ez a definici\'o \'ertelmes, azaz l\'etezik az
el\H{o}bbi halmazokat tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra.
Jegyezz\"uk meg, hogy ez a definici\'o csak implicit m\'odon
defini\'alja az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at. M\'asr\'eszt ez a
$\sigma$-algebra nem tartalmazza az $\Omega$ halmaz \"osszes
lehets\'eges r\'eszhalmaz\'at. Ez mutatja a k\"ul\"onbs\'eget
a v\'eges \'es v\'egtelen sorozatokat tartalmaz\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}k k\"oz\"ottt.
 
V\'eg\"ul defini\'alnunk kell a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'eket az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ezt \'ugy defini\'aljuk, hogy egy olyan halmaznak, mely az
\"osszes olyan sorozatokb\'ol \'all, melynek els\H{o} $n$ jegye
el\H{o}\'{\i}rt fej vagy \'{\i}r\'as a tov\'abbi jegyek pedig
tetsz\H{o}legesek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $2^{-n}$. Be lehet
l\'atni, hogy l\'etezik {\it egyetlen}\/ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an,
mely az el\H{o}bbi halmazf\"uggv\'eny kiterjeszt\'ese. Az, hogy ez
val\'oban \'{\i}gy van a m\'ert\'ekelm\'elet m\'ely
eredm\'enyeib\H{o}l k\"ovetkezik. Megjegyezz\"uk, hogy az $(\Omega,
\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}nek ez a
kiss\'e komplik\'altnak t\H{u}n\H{o} definici\'oja az\'ert
sz\"uks\'eges, mert nem tudn\'ank az el\H{o}z\H{o} speci\'alis
halmazokon defini\'alt halmazf\"uggv\'enyt kiterjeszteni egy
($\sigma$-addit\'{\i}v) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekk\'e
$\Omega$ \"osszes lehets\'eges r\'eszhalmaz\'ara. Viszont ahhoz, hogy
j\'ol tudjunk sz\'amolni egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi probl\'em\'aban
sz\"uks\'eges feltenni, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
$\sigma$-addit\'{\i}v. M\'asr\'eszt az, hogy csak a fent defini\'alt
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at tekintj\"uk, csak az ebben a
$\sigma$-algebr\'aban lev\H{o} halmazoknak besz\'el\"unk
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l nem jelent kellemetlen
megszor\'{\i}t\'ast. Ugyanis minden term\'eszetes, ``defini\'alhat\'o"
halmaz eleme ennek a $\sigma$-algebr\'anak.
 
A k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u, f\"uggetlen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, me\-lyek\-re
$P(\xi_n=0)=P(\xi_n=1)=\frac12$ egyszer\H{u}en defini\'alhatjuk ezen
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ha az $\oo=(F,F,I,\dots)$
sorozat $n$-ik jele $F$, akkor legyen $\xi_n(\oo)=1$, ha pedig $I$
akkor legyen $\xi_n(\oo)=0$.
 
Az el\H{o}bb t\'argyalt probl\'ema egy m\'asik lehets\'eges
megold\'as\'at adja a k\"ovetkez\H{o} fel\-adat megold\'asa, melyet nem
k\"otelez\H{o} h\'azi feladatk\'ent kit\H{u}ztem: \medskip
\item{} Defini\'aljuk az $\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t a k\"ovetkez\H{o} m\'odon:
$\Omega=[0,1]$, $\Cal A$ a $[0,1)$ intervallum Borel
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazainak a $\sigma$-algebr\'aja, $P$ a Lebesgue
m\'ert\'ek, azaz $P([a,b))=b-a$, ha $0\le a<b<1$. Adva egy $x\in [0,1)$
pont (azaz elemi esem\'eny), \'{\i}rjuk fel ezt a sz\'amot
$x=0.\e_1\e_2\e_3\dots=\summ_{k=1}^\infty\dfrac{\e_k}{2^k}$ v\'egtelen
``kettedes"-t\"ort alakban, ahol $\e_k=0$ vagy $\e_k=1$, $k=1,2,\dots$.
(Az egy\'ertelm\H{u} fel\'{\i}r\'as \'erdek\'eben abban az esetben, ha
egy sz\'amot k\'etf\'elek\'eppen \'{\i}rhatunk fel, a sorozat v\'eg\'en
vagy csupa 0-val vagy csupa 1-gyel, akkor \'{\i}rjuk fel ezt a sz\'amot
a v\'eg\'en csupa egyessel.) Defini\'aljuk a $\xi_n=\xi_n(x)$,
$n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Legyen $\xi_n(x)=0$, ha az
$x=0.\e_1\e_2\e_3\dots$ ``kettedes-t\"ort" $n$-ik sz\'amjegye 0,
$\xi_n(x)=1$, ha ez a sz\'amjegy 1. L\'assuk be, hogy $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
\'es $P(\xi_n=1)=P(\xi_n=0)=\frac12$.
\medskip\noindent
{}{\it Megjegyz\'es:} Annak, hogy a v\'egtelen szab\'alyos
fej-\'{\i}r\'as sorozatok l\'etez\'es\'et a fenti fel\-adat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel l\'atjuk be az a sz\'eps\'eghib\'aja,
hogy a felhaszn\'alt m\'odszer csak ebben a speci\'alis esetben
m\H{u}k\"odik. M\'asr\'eszt ez a k\'erd\'es r\'esze egy sokkal
\'altal\'anosabb prob\-l\'e\-m\'a\-nak, nevezetesen annak a
k\'erd\'esnek, hogy lehet-e konstru\'alni v\'egtelen sok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot el\H{o}\'{\i}rt (v\'eges
dimenzi\'os) eloszl\'asokkal alkalmas val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Megjegyezz\"uk, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik eredm\'enye,
melyet a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as alapt\'etel\'enek
neveznek inform\'alisan \'ugy interpret\'alhat\'o, hogy minden
\'ertelmes esetben lehets\'eges ilyen konstrukci\'o. \medskip
 
Az 1a.) feladat megold\'asa egyszer\H{u}. Defini\'aljunk egy $A$
esem\'enyt mint azt az esem\'enyt, hogy a 20. dob\'as eredm\'enye az
\"otodik fej dob\'as, azaz a 20. dob\'as eredm\'enye fej, az els\H{o}
19 dob\'as k\"oz\"ott pedig pontosan 4 darab fej dob\'as van, a $B$
esem\'enyt pedig mint azt az esem\'enyt, hogy a 18. dob\'as eredm\'enye
fej. Ekkor a $\dfrac{P(AB)}{P(A)}$ kifejez\'est kell
kisz\'am\'{\i}tani. Viszont $P(AB)=\dbinom{18}32^{-20}$, mert annak
az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et kell kisz\'amolnunk,
hogy a 18. \'es 20. dob\'as eredm\'enye fej, az els\H{o} h\'usz dob\'as
marad\'ek 18 helyen 3 fej \'es 15 \'{\i}r\'as dob\'as eredm\'eny fordul
el\H{o}. Hasonl\'o \'ervel\'essel l\'athat\'o, hogy
$P(A)=\dbinom{19}42^{-20}$.
 
Az 1. feladat megold\'asa hasonl\'oan sz\'amolhat\'o. Az ebben a
feladatban ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-tan\-d\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
kifejezhet\H{o} mint
$$
\align
\sum_{n=5}^\infty P&(\text{az $n$-ik \'es $n-2$-ik dob\'as eredm\'enye
fej, az els\H{o} $n$ dob\'asban} \\
&\qquad  \text{pontosan 5 fej fordul el\H{o}}) =\sum_{n=5}^\infty
P(A_n).
\endalign
$$
K\"onnyen l\'athat\'o, hogy $P(A_n)=\dbinom{n-2}3 2^{-n}$. Innen
kisz\'am\'{\i}that\'o a k\'{\i}v\'ant val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg.
Viszont egyszer\H{u}bb ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a
kisz\'am\'{\i}t\'asa, ha \'eszrevessz\"uk hogy annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az els\H{o}
dob\'as eredm\'enye fej, megegyezik a fenti \"osszeggel, mert
$$
\align
&P(\text{az els\H{o} dob\'as eredm\'enye fej})\\
&\quad \;\, =\sum_{n=5}^\infty P(\text{az els\H{o} dob\'as
eredm\'enye fej, az $n$-ik dob\'asban jelenik meg az \"ot\"odik fej}).
\endalign
$$
M\'asr\'eszt  ennek az azonoss\'agnak a jobboldal\'an szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \'ert\'eke meg\-egye\-zik az el\H{o}z\H{o}
proobl\'ema vizsg\'alat\'aban bevezetett $P(A_n)$ sz\'amokkal. Teh\'at
az 1. feladatban vizsg\'alt esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\frac12$.
 
\medskip\noindent
A m\'asodik feladat megold\'asa: A kisz\'am\'{\i}tand\'o esem\'eny azt
jelenti, hogy a 100. \'es 101. dob\'as eredm\'enye fej, \'{\i}gy ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac14$.
 
Az el\H{o}z\H{o} k\'et p\'eld\'aban egy szab\'alyos p\'enzdarab
dob\'as sorozat v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott tagj\'at tekintett\"uk,
\'es kisz\'amoltuk annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
hogy ennek a dob\'asnak az eredm\'enye fej. Az els\H{o} esetben ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg megegyezett annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az $n$-ik dob\'as
eredm\'enye fej, ahol $n$ fix sz\'am, a m\'asodik esetben az eredm\'eny
k\"ul\"onb\"oz\"ott att\'ol. A k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'asa h\'azi feladat.
 
\item{} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, olyan f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre
$P(\xi_n=0)=P(\xi_n=1)=\dfrac12$. Legyen tov\'abb\'a $\tau$ a
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okt\'ol
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyik
pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel. L\'assuk be, hogy a
v\'eletlen index\H{u} $\xi_\tau$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a $P(\xi_\tau=0)=P(\xi_\tau=1)=\frac12$
rel\'aci\'ot.
\medskip
Tov\'abbi kit\H{u}z\"ott, de nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat az
els\H{o} feladat algebrai megold\'asa, azaz a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kifejez\H{o} \"osszeg direkt, nem
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi meggondol\'asokon alapul\'o kisz\'amol\'asa.
 
 
 \bye
 
 
 
 
