\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
 
\noindent{\bf Az okt\'ober 12-i szemin\'arium t\'em\'aja}
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip\noindent
El\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at t\'argyaljuk:
\medskip
\item{1.} Tekints\"unk egy v\'egtelen f\"uggetlen, szab\'alyos
p\'enzfeldob\'as eredm\'enyek\'ent keletkez\H{o} v\'egtelen
fej-\'{\i}r\'as sorozatot. Azt az esem\'enyt akarjuk vizsg\'alni,
hogy mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fej-dob\'asok
relativ gyakoris\'aga tart valamilyen $c$ sz\'amhoz, ha a
dob\'assz\'am tart v\'egtelenhez. (A leg\'erdekesebb eset az, ha
$c=\frac12$.)
\item{} El\H{o}sz\"or azt akarjuk tiszt\'azni, hogy ez a k\'erd\'es
\'ertelmes, a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as keretein
bel\"ul t\'argyalhat\'o. Azaz azt \'all\'{\i}tjuk, hogy ennek az
esem\'enynek van val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. Ennek az
\'all\'{\i}t\'asnak az igazol\'as\'ahoz azt kell bel\'atnunk,
hogy egy olyan $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, ahol m\'erhet\H{o}ek azok az esem\'enyek, hogy az $n$-ik
dob\'as eredm\'enye fej vagy \'{\i}r\'as, $n=1,2,\dots$, --- azaz
ezek az esem\'enyek elemei az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'anak --- az
az esem\'eny, hogy a fej-dob\'asok relativ gyakoris\'ag\'anak van
hat\'ar\'ert\'eke, \'es ez a hat\'ar\'ert\'ek egy el\H{o}\'{\i}rt
$c$ sz\'am szint\'en m\'erhet\H{o}, azaz szint\'en eleme az
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'anak.
\item{} Ez az \'all\'{\i}t\'as megfogalmazhat\'o a k\"ovetkez\H{o}
ekvivalens m\'odon. Tekints\"uk (f\"uggetlen)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_1,\xi_2,\dots$,
olyan so\-ro\-za\-t\'at valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi me\-z\H{o}n, melyekre
$P(\xi_j=0)=P(\xi_j=1)=\frac12$, $1\le j\le n$. Val\'oj\'aban csak
azt fogjuk kihaszn\'alni, hogy a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok m\'erhet\H{o}ek, \'es k\'et \'ert\'eket vesznek fel,
az egy \'es nulla \'ert\'eket. Mutassuk meg, hogy van \'ertelme
arr\'ol besz\'elni, hogy a $+1$-ek relativ gyakoris\'aga $c$, ahol
$0\le c\le1$ tetsz\H{o}leges sz\'am. Form\'alisan megfogalmazva:
L\'assuk be, hogy az
$$
\align
A&=A(c)\\
&=\left\{\oo: \lim_{n\to\infty}\dfrac{\text{azon $j$ indexek
sz\'ama, melyekre } \xi_j(\oo)=1,\text { \'es } 1\le j\le n}n=c \right\}
\endalign
$$
esem\'eny eleme az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'anak. Teh\'at van
\'ertelme arr\'ol besz\'elni, hogy mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fej dob\'asok relativ
gyakoris\'ag\'anak limesze $c$ (p\'eld\'aul $\frac12$), ha a
dob\'assz\'am tart a v\'egtelenhez. \medskip
A vizsg\'aland\H{o} $A(c)$ esem\'eny \'at\'{\i}rhat\'o, mint
$$
A(c)
=\left\{\oo: \lim_{n\to\infty}\dfrac{
\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}n=c \right\}
$$
El\H{o}sz\"or megt\'argyaltuk azt az \'all\'{\i}t\'ast, hogy a
$\left\{\oo: \dfrac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}n
\in B \right\}$ esem\'eny m\'erhet\H{o} minden r\"ogz\'{\i}tett $n$
sz\'amra \'es a sz\'amegyenes (m\'erhet\H{o}) $B$ halmaz\'ara. Ennek
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\H{o}sz\"or azt mutatjuk meg, hogy
tesz\H{o}leges $x$ sz\'amra az
$$
\left\{\oo: \dfrac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}n=x
\right\}
$$
esem\'eny m\'erhet\H{o}. Val\'oban ez az esem\'eny \"ures, ha
$x\neq kn$ valamely eg\'esz $0\le k\le n$ sz\'ammal, ha pedig
$x=\frac kn$, akkor ez az esem\'eny fel\'{\i}rhat\'o mint v\'eges
sok (pontosabban $\binom nk$) m\'erhet\H{o} halmaz uni\'oja.
Nevezetesen egy ilyen esem\'eny olyan esem\'enyek uni\'oja,
melyekben el\H{o}\'{\i}rjuk minden $\xi_j(\oo)$, $1\le j\le n$
\'ert\'ek\'et, m\'egpedig \'ugy, hogy pontosan $k$ $\xi_j(\oo)$
\'ert\'eke 1 \'es $n-k$ $\xi_j(\oo)$ \'ert\'eke 0.
 
Megjegyezz\"uk, hogy a fent t\'argyalt \'all\'{\i}t\'asnak
\'erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o} \'altal\'anos\'{\i}t\'asa is,
melyet gyakran haszn\'alnak. Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, azaz m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'enyek az $(\Omega, \Cal A,P)$ t\'eren, $g(x_1,\dots,x_n)$
(Borel) m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny az $R^n$  $n$-di\-men\-zi\'os
Euklidesi t\'erben, akkor $g(\xi_1,\dots,\xi_n)$ is
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'eny az $(\Omega, \Cal A,P)$ t\'eren. Speci\'alisan
$g(x_1,\dots,x_n)=\frac{x_1+\cdots+x_n}n$ v\'alaszt\'assal kapjuk
meg innen az el\H{o}bb t\'argyalt \'all\'{\i}t\'ast (kiss\'e
\'altal\'anosabb form\'aban).
 
Az 1. feladat megold\'as\'anak \'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
A(c)=\bigcap_{k=1}^\infty
\left\{\limsup_{n\to\infty}\frac{\xi_1+\cdots+\xi_n}n
<c+\dfrac1k\right\}\cap \bigcap_{k=1}^\infty
\left\{\liminf_{n\to\infty}\frac{\xi_1+\cdots+\xi_n}n
>c-\dfrac1k\right\}.
$$
Tov\'abb\'a,
$$
\align
&\left\{\limsup_{n\to\infty}\frac{\xi_1+\cdots+\xi_n}n
<c+\dfrac1k\right\}=\bigcap_{N=1}^\infty
\left\{\sup_{n>N}\frac{\xi_1+\cdots+\xi_n}n <c+\dfrac1k\right\} \\
&\qquad=\bigcap_{N=1}^\infty
\left\{\bigcupp_{j=1}^\infty \sup_{n>N}\frac{\xi_1+\cdots+\xi_n}n\le
c+\dfrac1k-\frac1j\right\} \\
&\qquad=\bigcap_{N=1}^\infty \(\bigcup_{j=1}^\infty \( \bigcap_{n\ge N}
\left\{\frac{\xi_1+\cdots+\xi_n}n
<c+\dfrac1k-\frac1j\right\}\)\)\in\Cal A,
\endalign
$$
\'es hasonl\'oan
$$
\align
&\left\{\liminf_{n\to\infty}\frac{\xi_1+\cdots+\xi_n}n
>c-\dfrac1k\right\}\\
&\qquad=\bigcap_{N=1}^\infty \(\bigcup_{j=1}^\infty
\(\bigcap_{n\ge N} \left\{\frac{\xi_1+\cdots+\xi_n}n
>c-\dfrac1k+\frac1j\right\}\)\)\in\Cal A,
\endalign
$$
 
\medskip \noindent Kit\H{u}z\"ott feladat: (Nem k\"otelez\H{o})
\medskip
\item{} Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor az
$$
A=A(a)=\left\{\oo\:
\;\limsup_{n\to\infty}\xi_n(\oo)=a \right\}
$$
esem\'eny eleme a $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'anak, teh\'at
l\'etezik a $P(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg.
\medskip
\centerline{\bf Nagy sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s t\"orv\'enye}
\medskip
Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Defini\'aljuk az
$S_n=\summ_{k=1}^m\xi_k$, $n=1,2,\dots$, \"osszegeket.
\medskip\noindent{\bf Definici\'o 1.} {\it Azt mondjuk, hogy az
el\H{o}bb tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata
teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, ha az
$\dfrac{S_n}n$ \'atlagok sztochasztikusan tartanak
alkalmas $a$ val\'os sz\'amhoz, azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\left|\frac {S_n}n-a\right|>\e\)=0
$$
}\medskip\noindent{\bf Definici\'o 2.} {\it Azt mondjuk, hogy az
el\H{o}bb tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata
teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, ha az
$\dfrac{S_n}n$ \'atlagok egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tartanak
alkalmas $a$ val\'os sz\'amhoz, azaz
$$
P\(\oo\:\lim_{n\to\infty}\frac{S_n(\oo)}n=a\)=1.
$$
Ez a rel\'aci\'o azt jelenti, hogy azon $\oo\in\Omega$ elemi
esem\'enyek halmaza, melyekre \'etezik  a
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{S_n(\oo)}n$
limesz, \'es ez a limesz megegyezik egy az $\oo$ elemi
esem\'enyt\H{o}l f\"uggetlen $a$ sz\'amt\'ol egy 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} halmaz, azaz ez az \'all\'{\i}t\'as
egy null m\'ert\'ek\H{u} halmaz kiv\'etel\'evel minden $\oo\in\Omega$
elemi esem\'enyre \'erv\'enyes.} \medskip
A tov\'abbiakban megmutatjuk, hogy  alkalmas el\'egg\'e \'altal\'anos
felt\'etelek mellett \'erv\'enyes a nagy sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s
t\"orv\'enye, tov\'abb\'a megt\'argyaljuk a nagy sz\'amok gyenge \'es
er\H{o}s t\"orv\'eny\'eben szerepl\H{o} sztochasztikus \'es egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi konvergencia kapcsolat\'at.
 
A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek vizsg\'alat\'aban hasznos az
al\'abbi Chebisev egyenl\H{o}tlens\'eg:
\medskip\noindent
{\bf Chebishev egyenl\H{o}tlens\'eg:} {\it Ha a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o m\'asodik momentuma
$E\xi^2=m^2$, akkor tetsz\H{o}leges $x>0$ sz\'amra $$
P(|\xi|>x)\le \dfrac{m_2}{x^2}.
$$
Innen k\"ovetkezik, ha ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget a
$\bar\xi=\xi-E\xi$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
al\-kal\-maz\-zuk, hogy
$$
P(|\xi-E\xi|>x)\le \frac{\text{\rm Var}\,\xi}{x^2},
$$
 }\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Chebishev egyenl\H{o}tlens\'eg a Markov
egyenl\H{o}tlens\'eg k\"ovetkezm\'enye, mely szerint $P(|\xi|>x)\le
\dfrac {E|\xi|}x$. Alkalmazva ezt az \'all\'{\i}t\'ast a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora kapjuk a Chebishev
egyenl\H{o}tlens\'eget. Hasonl\'o m\'odon, alkalmazva a Markov
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get a $\xi^{2k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ora, ahol $k$ tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am,
$x>0$, kapjuk, hogy $P(|\xi|>x)\le\dfrac{E\xi^{2k}}{x^{2k}}$
\medskip
Vizsg\'aljuk meg, hogy milyen becsl\'est adnak a fenti eredm\'enyek
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'atlag\'anak elt\'er\'es\'ere a v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et\H{o}l. Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$. Tegy\"uk fel, hogy $E\xi_1=0$, \'es
vizsg\'aljuk az
$$
E\(\frac{S_n}n\)^2,\quad E\(\frac{S_n}n\)^4\quad\text{\'es}\quad
P\(\frac{|S_n|}n>\e\)=P\(\left|\frac{S_n}n-E\xi_1\right|>\e\),\; \e>0
$$
kifejez\'eseket. Az utols\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
vizsg\'alat\'aban nem jelent megszor\'{\i}t\'ast az $E\xi=0$
felt\'etel, mert helyettes\'{\i}tve a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot a $\xi-E\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval az \'altal\'anos esetet
erre a speci\'alis esetre reduk\'alhatjuk.
$$
\text{Var}\,\frac{S_n}n=\frac1{n^2}\text{Var}\,{S_n}=
\frac n{n^2}\text{Var}\,\xi_1=
\frac 1n\text{Var}\,\xi_1,\quad
P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\le\frac {\text{Var}\,\xi_1}{n\e^2}.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)=0$,
teh\'at \'erv\'enyes a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye.
$$
E\(\frac{S_n}n\)^4=\frac1{n^4}E(\xi_1+\cdots+\xi_n)^4,
$$
$$
\align
E(\xi_1+\cdots+\xi_n)^4&=\sum_{k=1}^n E\xi_k^4+6\sum\Sb 1\le j,k\le
n\\ j\neq k\endSb E\xi_j^2 E\xi_k^2
+4\sum\Sb 1\le j,k\le
n\\ j\neq k\endSb \underbrace{E\xi_j^3E\xi_k}_{=0} \\
&\qquad+4\sum\Sb 1\le j,k,l\le
n\\ j,k,l\text{ k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amok}\endSb
\underbrace{E\xi_j^2E\xi_kE\xi_l}_{=0} \\
&\qquad +\sum\Sb 1\le j,k,l,m\le
n\\ j,k,l,m\text{ k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amok}\endSb
\underbrace{E\xi_jE\xi_kE\xi_lE\xi_m}_{=0} \\
&=n E\xi_1^4+6n(n-1) (E\xi_1^2)^2,
\endalign
$$
ez\'ert
$$
P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\le\frac{\frac1n
E\xi_1^4+6\(1-\frac1n)(E\xi_1)^2\)}{n^2\e^4}\le \frac{\const}{n^2\e^4}.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy
$\summ_{n=1}^\infty P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)<\infty$ minden
$\e>0$ sz\'amra, \'es a Borel--Cantelli lemma (k\"onnyebbik
fel\'eb\H{o}l) k\"ovetkezik, hogy minden $\e>0$ sz\'amra \'es majdnem
minden $\oo\in\Omega$ pontban teljes\"ul, hogy
$\left|\dfrac{S_n(\oo)}n\right|\le \e$, ha $n\ge
n_0(\oo)$. Alkalmazva ezt a rel\'aci\'ot minden $\e=\frac1k$ sz\'amra
$k=1,2,\dots$, kapjuk a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et.
 
Val\'oj\'aban a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et csak abban az
esetben l\'attuk be, ha teljes\"ul az $E\xi_1^4<\infty$ felt\'etel.
Finomabb vizsg\'alatok sz\"uks\'egesek a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz, ha nem akarunk
a t\'etel felt\'etelei k\"oz\"ott elhagyhat\'o felt\'eteleket is
szerpeltetni. Annak \'erdek\'eben, hogy bel\'assuk az $E\xi_1^4<\infty$
felt\'etel nem teljes\"ul automatikusan, oldjuk meg a
k\"ovetkez\H{o} feladatot. \medskip\noindent
\item{} Konstru\'aljunk olyan $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot alkalmas $(\Omega, \Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
me\-z\H{o}n, melyre $E\xi^2<\infty$, de $E\xi^4=\infty$.
\medskip
R\"oviden megeml\'{\i}tj\"uk milyen jelleg\H{u} vizsg\'alatokat kell
tenni akkor, ha a nagy sz\'a\-mok t\"orv\'eny\'enek \'elesebb,
gyeng\'ebb felt\'etelek mellett is \'erv\'enyes v\'altozat\'at akarjuk
bi\-zo\-ny\'{\i}\-ta\-ni. Egyr\'eszt \'erdemes \'eszrevenni, hogy
tipikusan $|S_m-S_n|\ll |S_n|$, ha $|m-n|\ll n$, ez\'ert \'erdemes
azt bizony\'{\i}tani, hogy az \'atlagok egy alkalmas
$\dfrac{S_{n_k}(\oo)}{n_k}$ r\'eszorozata konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $a$ sz\'amhoz, azut\'an azt mutatni
meg, hogy majdnem minden $\oo\in\Omega$-ra az $\dfrac{S_{m}(\oo)}m$
\'atlagok olyan keveset fluktu\'alnak az
$n_{k-1}<m\le n_k$ intervallumokban, hogy innen k\"ovetkezik a nagy
sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye. M\'asr\'eszt, \'erdemes az el\H{o}bbi
\'ervel\'esben felhaszn\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
egyenl\H{o}tlens\'egek helyett \'elesebb, jobban haszn\'alhat\'o
egyenl\H{o}tlens\'eget bizony\'{\i}tani. Jobb eredm\'enyeket lehet
bizony\'{\i}tani, ha f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oknak nemcsak r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ire, hanem ezen
r\'esz\-let\-\"ossze\-gek maximum\'ara is j\'o becsl\'est tudunk
bizony\'{\i}tani. Vannak ilyen becsl\'esek a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban,
\'es ezek k\"oz\"ul k\"ul\"on kiemelend\H{o} a Kolmogorov
egyenl\H{o}tlens\'eg. Ha $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
\'es $S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$, $n=1,2,\dots$, jel\"oli ezen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeit, akkor a
Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg ugyanazt a fels\H{o} becsl\'est adja a
$P\(\max\limits_{1\le m\le n}|S_m|>x\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre,
mint a Chebishev egyenl\H{o}tlens\'eg a
$P(|S_n|>x)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.
 
\'Erdemes megvizsg\'alni, hogy milyen pontos becsl\'est ad a
Chebishev egyenl\H{o}tlens\'eg bizonyos konkr\'et esetekben.
Tekints\"uk egy szab\'alyos p\'enzdarab feldob\'as\'at 10~000
alkalommal. Ekkor tudjuk, hogy nagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
k\"or\"ulbel\"ul 5000 fej \'es 5000 \'{\i}r\'as lesz a dob\'assorozat
eredm\'enye. De mit tekinthet\"unk ett\H{o}l az \'atlagt\'ol val\'o
szignifik\'ans elt\'er\'esnek? A Chebishev egyenl\H{o}tlens\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel fels\H{o} becsl\'est kaphatunk arra, hogy milyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\'er el a fejdob\'asok
aktu\'alis sz\'ama egy adott sz\'amn\'al jobban a v\'arhat\'o 5000
\'ert\'ekt\H{o}l. De ez csak egy fels\H{o} becsl\'es, \'es \'erdekes
lehet \"osszehasonl\'{\i}tani ezt a becsl\'est a pontos \'ert\'ekkel.
Ezt a pontos \'ert\'eket k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg meghat\'arozhatjuk a
centr\'alis hat\'areloszl\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ilyen
\"osszehasonl\'{\i}t\'ast tesz\"unk a k\"ovetkez\H{o} feladatban.
\medskip
\item{} Tekints\"unk egy szab\'alyos p\'enzdarab egym\'as ut\'ani
(f\"uggetlen) feldob\'as\'ab\'ol sz\'ar\-ma\-z\'o 10~000
hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as sorozatot. Adjunk becsl\'est a
Chebishev egyenl\H{o}tlens\'eg se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a fej-dob\'asok sz\'am\'anak
elt\'er\'ese a v\'art 5000 sz\'amt\'ol legal\'abb 100-zal, illetve
legal\'abb 200-zal elt\'er! Milyen becsl\'est ad ezekre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel?
(Haszn\'aljunk norm\'alis eloszl\'as f\"uggv\'eny t\'abl\'azatot!
Ilyen t\'abl\'azat tal\'alhat\'o p\'eld\'aul R\'enyi Alfr\'ed
 Va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
c\'{\i}m\H{u} k\"onyv\'enek a v\'eg\'en, de val\'osz\'{\i}n\H{u}leg a
statisztika jegyzet is tartalmaz ilyen t\'abl\'azatot.)
 
\bigskip
\centerline{\bf Kieg\'esz\'{\i}t\'es}
\smallskip\noindent
{\it Az els\H{o} kit\H{u}z\"ott feladat megold\'asa.}
\smallskip\noindent
A feladat:
\item{} Adott egy urna, \'es abban 7 piros \'es 3 feh\'er
goly\'o. Egym\'as ut\'an h\'uzunk ebb\H{o}l az urn\'ab\'ol. Minden
h\'uz\'as ut\'an a kih\'uzott goly\'ot visszadobjuk egy m\'asik azonos
sz\'{\i}n\H{u} goly\'oval egy\"utt. Mi az els\H{o} t\'{\i}z h\'uz\'as
sor\'an kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak
\itemitem{a.)} v\'arhat\'o \'ert\'eke,
\itemitem{b.)} sz\'or\'asn\'egyzete.
\medskip
Jel\"olje $\xi_j$, $j=1,\dots,10$, a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'eny\'enek
a hozad\'ek\'at a vizsg\'alt \"osszeg\-hez, azaz legyen $\xi_j=1$, ha a
$j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros, \'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er. Ekkor a kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'ama $S=\xi_1+\cdots+\xi_{10}$, ez\'ert
$$
\align
ES&=E\xi_1+\cdots+E\xi_{10}\\
\text{Var}\,S&=\text{Var}\,\xi_1+\cdots\text{Var}\,\xi_{10}
+2\sum_{i=1}^{9}\sum_{j=i+1}^{10}\text{Cov}\,(\xi_i,\xi_j)\\
&=\sum_{j=1}^{10}(E\xi_j^2-(E\xi_j)^2)
+2\sum_{i=1}^{9}\sum_{j=i+1}^{10}(E\xi_i\xi_j-E\xi_iE\xi_j).
\endalign
$$
M\'asr\'eszt, mint azt egy kor\'abbi gyakorlaton megbesz\'elt\"uk, az
$1,\dots,10$ indexek tet\-sz\H{o}\-le\-ges
$(\pi(1),\dots,\pi(10))$
permut\'aci\'oj\'ara
\'es tetsz\H{o}leges $\e_j=0$ vagy $\e_j=1$, $j=1,\dots,10$ sorozatra
$P(\xi_1=\e_1,\dots,\xi_{10}=\e_{10})=
P(\xi_{\pi(1)}=\e_1,\dots,\xi_{\pi(10)}=\e_{10})$. Ebb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy $E\xi_i=E\xi_1$, $E\xi_i^2=E\xi_i^2=E\xi_1^2$ minden
$1\le i\le 10$ indexre, valamint $E\xi_i\xi_j=E\xi_1\xi_2$, ha $1\le
i<j\le10$. Mivel $E\xi_1=E\xi_1^2=\frac7{10}$,
$E\xi_1\xi_2=\frac7{10}\frac8{11}$, innen k\"ovetkezik, hogy
$$
ES=10E\xi_1=10\cdot\frac7{10}=7,
$$
\'es
$$
\align
\text{Var}\, S&=10(E\xi_1-(E\xi_1)^2)+90(E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2)\\
&=10\(\frac7{10}-\frac{49}{100}\)
+90\(\frac7{10}\cdot\frac8{11}-\frac{49}{100}\)
=\frac{42}{11}.
\endalign
$$
 
 
 \bye
 
 
 
