\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
 
\noindent{\bf Az november 9-i szemin\'arium t\'em\'aja}
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip\noindent
\medskip \noindent
{\it Poisson eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'enye.
Hat\'areloszl\'ast\'etelek Poisson eloszl\'as\'u
ha\-t\'ar\-\'er\-t\'ek\-kel.} \medskip
Legyen $\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz
$P(\xi=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$,
$k=0,1,2.\dots$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi$ karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et.
$$
Ee^{it\xi}=\sum_{k=0}^\infty e^{itk} \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty \dfrac{\(\lambda e^{it}\)^k}{k!}
=\exp\left\{\lambda(e^{it}-1)\right\}.
$$
Innen kiolvashat\'o az az egy\'ebk\'ent ismert eredm\'eny, mely
szerint k\'et f\"uggetlen $\lambda$ \'es $\mu$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszege Poisson
eloszl\'as\'u $\lambda+\mu$ param\'eterrel.
\medskip
Megfogalmazunk \'es bebizony\'{\i}tunk egy hat\'areloszl\'ast\'etelt,
melyben a hat\'areloszl\'as a Poisson eloszl\'as.
 
Legyen adva minden $n=1,2,\dots$, sz\'amra $n$ f\"uggetlen,
$\xi_{1,n},\dots,\xi_{n,n}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
melyek mindegyike 0 vagy 1 \'ert\'eket vesz fel,
$P(\xi_{k,n}=1)=1-P(\xi_{k,n}=0)=\lambda_{k,n}$, $1\le k\le n$.
Tegy\"uk fel, hogy ezek a $\lambda_{k,n}$ \'ert\'ekek egy
r\"ogz\'{\i}tett nagy $n$ sz\'amra egyenletesen kicsik, \"osszeg\"uk
pedig k\"or\"ulbel\"ul $\lambda$, azaz $\limm_{n\to\infty}\supp_{1\le
k\le n}\lambda_{k,n}=0$, \'es
$\limm_{n\to\infty}\summ_{k=1}^n\lambda_{k,n}=\lambda$. Legyen
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_{k,n}$. \'All\'{\i}t\'as: Az $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak a
$\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'ashoz. \medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki az $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et.
$$
Ee^{itS_n}=\prodd_{k=1}^n
Ee^{it\xi_{k,n}}=\prodd_{k=1}^n\(1-\lambda_{k,n}
+\lambda_{k,n}e^{it\lambda_{k,n}}\).
$$
Viszont $1-\lambda_{k,n}+\lambda_{k,n}e^{it\lambda_{k,n}}
=1+\lambda_{k,n}\(e^{it}-1\)=\exp\left\{\lambda_{k,n}
\(e^{it}-1\)+\alpha(k,n,t)\lambda_{k,n}^2)\right\}$ r\"ogzitett $t$-re,
ahol $|\alpha(k,n,t)|\le \const$, mely konstans f\"ugghet a $t$
v\'altoz\'ot\'ol, de nem f\"ugg $n$-t\H{o}l \'es $k$-t\'ol, mert
$1+x=e^x+\bar\alpha x^2$, ahol $\bar \alpha=\bar\alpha(x)\le \const$
egy olyan konstanssal, mely egyenletes, ha $x$ egy r\"ogz\'{\i}tett
v\'eges intervallumban van. Ezt az aszimptotik\'at alkalmazzuk
$x=\lambda_{k,n}\(e^{it}-1\)$ v\'alaszt\'assal, \'es megjegyezz\"uk,
hogy $x\le \const \lambda_{k,n}$ r\"ogz\'{\i}tett $t$-re. E
k\'ep\-le\-te\-ket felhaszn\'alva kapjuk, hogy
$$
Ee^{itS_n}=\exp\left\{\summ_{k=1}^n \lambda_{k,n} \(e^{it}-1\)
+\alpha(k,n,t)\lambda_{k,n}^2\right\}\to\exp\left\{-\lambda(e^{it}-1)
\right\},
$$
mert $\limm_{n\to\infty} \summ_{k=1}^n \lambda_{k,n} \(e^{it}-1\)
=\lambda(e^{it}-1)$, \'es
$$
\summ_{k=1}^n \alpha(k,n,t)\lambda_{k,n}^2
\le\const \summ_{k=1}^n \lambda_{k,n}^2\le\const \(\supp_{1\le k\le
n}\lambda_{k,n}\)\summ_{k=1}^n \lambda_{k,n}\to0,
$$
ha $n\to\infty$. Ez viszont azt jelenti, hogy az $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E^{itS_n}$
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enye konverg\'al a $\lambda$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-hez, ha $n\to\infty$. Teh\'at igaz a
megfogalmazott hat\'areloszl\'ast\'etel.
 
Megfogalmazzuk a fent bebizony\'{\i}tott \'all\'{\i}t\'as egy
\'eles\'{\i}t\'es\'et, mely hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o. A
bizony\'{\i}t\'ast azonban nem t\'argyaljuk, hanem az
nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat. \medskip
\item{} Legyen $\xi_{k,j}$, $j=1,\dots,n_k$
 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sz\'eriasorozata, melyek
r\"ogz\'{\i}tett $k$-ra f\"uggetlenek. Tegy\"uk fel ezenk\'\i{}v\"ul
azt, hogy
\itemitem{(i)} A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem-negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel,
$P(\xi_{k,j}=1)=\lambda_{k,j}$, $P(\xi_{k,j}\ge2)=o(\lambda_{k,j})$,
$1\le j\le n_k$, \'es az $o(\cdot)$ egyenletes $j$-ben.
\itemitem{(ii)} $\lim\limits_{k\to\infty}\sup\limits_{1\le j\le
n_k}\lambda_{k,j}=0$
\itemitem{(iii)} $\lim\limits_{k\to\infty}\sum
\limits_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}\to\lambda>0$
\item{}
Ekkor az $S_k=\sum\limits_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz
$\lambda$ param\'eterrel,
\medskip \noindent
Egy m\'asik h\'azi feladat
\item{} L\'assuk be a (karakterisztikus f\"uggv\'eny m\'odszer
felhaszn\'al\'asa\'aval), hogy ha $\xi_\lambda$ $\lambda$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, akkor a
$\dfrac{\xi_\lambda-\lambda}{\sqrt \lambda}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak a standard norm\'alis
eloszl\'ashoz $\lambda\to\infty$ eset\'en.
\medskip
\'Erdemes megjegyezni, hogy nem v\'eletlen egybees\'esr\H{o}l van
sz\'o, amikor azt l\'atjuk, hogy mind az el\H{o}z\H{o} feladatban mind
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelben ugyanaz a limesz jelenik meg.
Ugyanis abb\'ol, hogy f\"uggetlen $\lambda$ \'es $\mu$ param\'eter\H{u}
Poisson eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok \"osszege $\lambda+\mu$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as, k\"ovetkezik, hogy nagy param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
el\H{o}\'all\'{\i}that\'oak mint f\"uggetlen (Poisson) eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegei.
 
Megfogalmazok n\'eh\'any tov\'abbi h\'azi feladatot, melyben
n\'eh\'any ismert eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et kell
kisz\'am\'{\i}tani.
\item{} Ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda>0$ param\'eterrel, azaz
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(u)=\lambda e^{-\lambda u}$, ha
$u\ge0$, $f(u)=0$, ha $u<0$, akkor $\xi$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi(t)=\dfrac\lambda{\lambda-it}$.
\item{} Ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
negativ binomi\'alis eloszl\'as\'u $n=1$ \'es $p$ param\'eterrel,
$0<p<1$, azaz $P(\xi=k)= p^k(1-p)$, $k=0,1,2,\dots$, akkor $\xi$
karakterisztikus f\"uggv\'enye $\varphi(t)=\dfrac{1-p}{1-pe^{it}}$.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} feladat az el\H{o}bbi \'all\'{\i}t\'as
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa. Ennek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz jobban kell
\'erteni a negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi tartalm\'at, ez\'ert ez nem k\"otelez\H{o}
h\'azi feladat.
\medskip
\item{} Ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o negativ
binomi\'alis eloszl\'as\'u $n$ \'es $p$ param\'eterrel, ahol $n\ge1$
eg\'esz sz\'am, $0<p<1$, azaz $P(\xi=k)=\dbinom{n+k-1}{k}p^k(1-p)^n$,
$k=0,1,2,\dots$, akkor $\xi$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi(t)=\(\dfrac{1-p}{1-pe^{it}}\)^n$.
 
\'Erdemes k\"ul\"on t\'argyalni az \'ugynevezett Cauchy eloszl\'ast.
Ennek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, $\dfrac1{\pi}\dfrac1{1+x^2}$. Be
lehet l\'atni, hogy ennek karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\dsize\int\dfrac{e^{itx}}{\pi(1+x^2)}\,dx=e^{-|t|}$.  Ennek az
integr\'alnak a kisz\'amol\'asa nem trivi\'alis, bizonyos komplex
f\"uggv\'enytani ismereteket (rezidium sz\'am\'{\i}t\'as) ig\'enyel,
ez\'ert m\'eg nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladatk\'ent sem t\'argyaljuk.
Viszont \'erdemes \'eszrevenni ennek a feladatnak a k\"ovetkez\H{o}
k\"ovetkezm\'eny\'et: Legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen Cauchy
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es
te\-kint\-s\"uk ezen $\eta_n=\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$ v\'altoz\'ok
\'atlag\'at. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\eta_n$ karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et. Egyszer\H{u} sz\'amol\'as adja, hogy $\eta_n$
karakterisztikus f\"uggv\'enye $e^{-|t|}$, teh\'at az $\eta_n$ \'atlag
eloszl\'asa megegyezik a $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, \"osszedand\'ok
eloszl\'as\'aval. Ez azt is jelenti, hogy ebben a p\'eld\'aban nem
teljes\"ul a nagy sz\'amok t\"orv\'enye. Megjegyzem, hogy a fenti
eloszl\'asr\'ol sz\'ol\'o \'all\'{\i}t\'as direkt m\'odon,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek konvoluci\'oj\'anak
kisz\'am\'{\i}t\'as\'aval is bizony\'{\i}that\'o, ez azonban igen
f\'a\-rad\-s\'a\-gos. Vegy\"uk \'eszre, hogy a sztochasztikus
konvergencia sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et kimond\'o
t\'etel felt\'eteleit a Cauchy eloszl\'as nem teljes\'{\i}ti.
Val\'oban, ha $F$  jel\"oli a Cauchy eloszl\'as
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et, akkor
$$
\lim_{x\to\infty} x[1-F(x)+F(-x)]=
\lim_{x\to\infty} 2x\int_x^\infty \frac1{\pi(1+u^2)}\,du=\frac 2\pi>0.
$$
\medskip \noindent
{\it Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
szorzat\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke.} \medskip
Tekints\"unk $\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat egy $(\Omega,\Cal A,R)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Mint azt m\'ar t\"obbsz\"or hivatkoztunk r\'a, ekkor
$E(\xi_1+\cdots+\xi_k)=E\xi_1+E\xi_2+\cdots+E\xi_k$. Tov\'abb\'a, ha
$\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, akkor $E\xi_1\cdots \xi_k=E\xi_1\cdots E\xi_k$. A
bevezet\H{o} el\H{o}ad\'asban szerepelt ez az eredm\'eny abban a
speci\'alis esetben, ha a $\xi_j$, $j=1,\dots,k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg v\'altoz\'ok diszkr\'etek, azaz legfeljebb
megsz\'aml\'alhat\'o sok \'ert\'eket vehetnek fel. Az \'altal\'anos
eset visszavezethet\H{o} erre az esetre alkalmas hat\'ar\'atmenettel.
\'Erdemes t\'argyalni, hogyan lehet ezt a hat\'ar\'atmenetet
elv\'egezni. Felsoroljuk a legfontosabb eredm\'enyeket, melyek
seg\'{\i}tenek az ilyen hat\'ar\'atmenet v\'egrehajt\'as\'aban. Ezek
az \'ugynevezett Lebesgue (dominated convergence) t\'etel, a
Beppo--Levy t\'etel \'es a Fatou lemma. \medskip\noindent
{\bf Lebesgue t\'etel.} {\it Legyen $f_n$, $n=1,2,\dots$,
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'enyek sorozata egy $(X,\Cal X,\mu)$
m\'ert\'ekt\'eren. Tegy\"uk fel, hogy $\limm_{n\to\infty}f_n(x)=f_0(x)$
a $\mu$ m\'ert\'ek szerint majdnem minden $x\in X$ pontban, \'es
l\'etezik olyan ``domin\'ans'' $g$ f\"uggv\'eny az $(X,\Cal X,\mu)$
t\'eren, melyre $|f_n(x)|\le g(x)$ a $\mu$ m\'ert\'ek szerint majdnem
minden $x\in X$ pontban minden $n=1,2,\dots,$ indexre, \'es $\int
g(x)\,d\mu(x)<\infty$.
Ekkor $\limm_{n\to\infty}\int f_n(x)\,d\mu(x)=\int f_0(x)\,d\mu(x)$.}
\medskip\noindent
{\bf Beppo-Levy t\'etel.} {\it Legyen $f_n$, $n=1,2,\dots$,
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'enyek sorozata egy $(X,\Cal X,\mu)$
m\'ert\'ekt\'eren. Tegy\"uk fel, hogy az $f_n(x)$ sorozat monoton
n\"ovekszik, azaz $f_1(x)\le f_2(x)\le f_3(x)\le\cdots$ majdnem minden
$x\in X$ pontban. Legyen $\limm_{n\to\infty}f_n(x)=f_0(x)$ az $f_n$
f\"uggv\'enyek limesze. Tegy\"uk fel, hogy teljes\"ul az
$\int f_1(x)\,d\mu(x)>-\infty$ felt\'etel. Ekkor
$\limm_{n\to\infty}\int f_n(x)\,d\mu(x)=\int f_0(x)\,d\mu(x)$. Ez \'ugy
\'ertend\H{o}, hogy amennyiben $\limm_{n\to\infty}\int f_n(x)=\infty$,
akkor $\int f_0(x)\,d\mu(x)=\infty$. } \medskip \noindent
{\bf Fatou lemma.} {\it Legyen $f_n$, $n=1,2,\dots$, m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'enyek sorozata egy $(X,\Cal X,\mu)$ m\'ert\'ekt\'eren.
Tegy\"uk fel, hogy $\limm_{n\to\infty}f_n(x)=f_0(x)$ a $\mu$
m\'ert\'ek szerint majdnem minden $x\in X$ pontban, \'es l\'etezik
olyan ``als\'o korl\'at'' $g$ f\"uggv\'eny az $(X,\Cal X,\mu)$ t\'eren,
melyre $f_n(x)\ge g(x)$ a $\mu$ m\'ert\'ek szerint majdnem minden $x\in
X$ pontban minden $n=1,2,\dots$ indexre, \'es $\int
g(x)\,d\mu(x)>-\infty$. Ekkor $\liminff_{n\to\infty}\int
f_n(x)\,d\mu(x)\ge\int f_0(x)\,d\mu(x)$.} \medskip
A fenti t\'etelekben szerepl\H{o} felt\'etelek jobb meg\'ert\'ese
\'erdek\'eben tekints\"uk a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} p\'eld\'at. Legyen
$(X,\Cal X,\mu)$ a $(0,1]$ intervallum, rajta a Borel $\sigma$-algebra,
\'es Lebesgue m\'ert\'ek a $\mu$ m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $f_n(x)$, $n=1,2,\dots$, f\"uggv\'enyeket
ezen a t\'eren. $f_n(x)=n$, ha $0<x\le \dfrac1n$, $f_n(x)=0$, ha
$\dfrac1n\le x\le 1$. Ekkor $\limm_{n\to\infty}f_n(x)=f_0(x)$ minden
$x\in(0,1]$ pontban, ahol $f_0(x)\equiv0$. Ekkor $\int
f_n(x)\,d\mu(x)=1$ minden $n=1,2,\dots$, sz\'amra, \'es $\int
f_0(x)\,d\mu(x)=0$. Ekkor a Lebesgue t\'etel \'es a Beppo--Levy
t\'etel nem felt\'etelei teljes\"ulnek, a Fatou lemma felt\'etelei
pedig teljes\"ulnek.
 
Legyen $f_n(x)=-\dfrac1x$, ha $0<x\le \dfrac1n$, \'es $f_n(x)=0$, ha
$\dfrac1n< x\le1$, $n=1,2,\dots$. Ekkor ez egy monoton
f\"uggv\'enysorozat, melyre $\limm_{n\to \infty}f_n(x)=f_0(x)$,
$f_0(x)\equiv0$. Ekkor $\int f_n(x)\,dx=-\infty$ minden $n=1,2,\dots$,
sz\'amra, \'es $\int f_0(x)\,dx=0$. Ekkor a Beppo--Levy t\'etelben
szerepl\H{o} felt\'etelek k\"oz\"ul az $\int f_0(x)\,d\mu(x)>0$ nem
teljes\"ul.
 
L\'assuk be, hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
szorzat\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke megegyezik a v\'arhat\'o
\'ert\'ekek szorzat\'aval. Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt az esetet,
amikor mindegyik $\xi_j$, $1\le j\le k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
poz\'{\i}tiv. Minden $n=1,2,\dots$, sz\'amra tekints\"uk ezeknek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak k\"ovetkez\H{o}
diszkretiz\'altjait.
$$
\xi_j^{(n)}(\oo)=p2^{-n},\quad \text{ha } p2^{-n}\le
\xi_j(\oo)<(p+1)2^{-n},\quad p=0,1,2,\dots,\; n=1,2,\dots,
$$
minden $1\le j\le k$ indexre. Ekkor egyr\'eszt
$E\xi_1^{(n)}\cdots\xi_k^{(n)}=E\xi_1^{(n)}\cdots E\xi_k^{(n)}$, mert
diszk\-r\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra tudjuk az
\'all\'{\i}t\'ast. M\'asr\'eszt a $\xi_j^{(n)}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\"ogz\'{\i}tett $j$-re az $n$
param\'eter monoton f\"uggv\'enyei, \'es ugyanez igaz a szorzatukra is.
Ez\'ert a Beppo--Levy t\'etel lehet\H{o}v\'e teszi a hat\'ar\'atmenet
elv\'egz\'es\'et, ahonnan kapjuk az \'all\'{\i}t\'ast nem negat\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'en. Az \'altal\'anos eset
erre k\"onnyen visszavezethet\H{o} erre az esetre a
$\xi_j=\xi_j^+-\xi_j^-$, $1\le j\le k$,
$\xi_j^+(\oo)=\max(\xi_j(\oo),0)$,
$\xi_j^-(\oo)=-\min(\xi_j(\oo),0)$ felbont\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\'Erdemes megjegyezni, hogy el\'eg csak a $E|\xi_j|<\infty$
felt\'eteleket feltenni ahhoz, hogy a szorzat abszolut \'ert\'ek\'enek
a v\'arhat\'o \'ert\'eke v\'eges legyen.
\medskip\noindent
{\it Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.}
 
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel f\"uggetlen \'es nem
felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere is
igaz, ha ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
teljes\'{\i}tenek alkalmas felt\'eteleket. A bizony\'{\i}t\'as
gondolata a k\"ovetkez\H{o}: Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, $E\xi_k=0$,
$E\xi_k^2=\sigma_k^2$, $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$,
$s_n^2=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$. Azt akarjuk bel\'atni, hogy az $\dfrac
{S_n}{s_n}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak van
hat\'areloszl\'asa. Jegyezz\"uk meg, hogy a tekintett normaliz\'al\'as
a term\'eszetes, mert $E\dfrac{S_n}{s_n}=0$ \'es
$E\(\dfrac{S_n}{s_n}\)^2=1$. Azt kell bel\'atnunk, hogy az
$\varphi_n(t)=Ee^{itS_n/s_n}$ karakterisztikus f\"uggv\'enyek
konverg\'alnak egy az orig\'oban folytonos $\psi(t)$ f\"uggv\'enyhez.
Viszont $\varphi_n(t)=Ee^{itS_n/s_n}=\prodd_{k=1}^n Ee^{it\xi_k/s_n}$.
E szorzat aszimptotik\'aj\'anak vizsg\'alat\'ahoz az egyes
t\'enyez\H{o}k j\'o aszimptotik\'aj\'anak ismeret\'ere van
sz\"uks\'eg\"unk. Az \'erdekes,
minket \'erdekl\H{o} esetekben $s_n\to\infty$, ha $n\to\infty$.
Ekkor a $\dfrac t{s_n}$ argumentumok kicsik, ez\'ert term\'eszetes
azt v\'arni, hogy az $\rho_k(t)=Ee^{it\xi_k/s_n}$ tagokra j\'o
aszimptotik\'at ad a Taylor sorfejt\'es. Az orig\'oban vett
deriv\'altakat ki tudjuk fejezni a a $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o momentumaival. Azt kapjuk, hogy $Ee^{it\xi_k/s_n}=1+0\cdot
t-\dfrac{\sigma^2 t^2}{2s_n^2}+$ elhanyagolhat\'o hiba
$=e^{-\sigma^2t^2/2s_n^2+\text{elhanyagolhat\'o hiba}}$, mert
$\log(1+x)\sim x$ kis $x$ sz\'amokra. Ezeket \"osszeszorozva
$\varphi_n(t)=Ee^{itS_n/s_n}=\prodd_{k=1}^n Ee^{it\xi_k/s_n}\sim
e^{-(\sigma_1^2+\cdots+\sigma^2_n)/2s_n^2}=e^{-t^2/2}$. Ha a fenti
sz\'amol\'ast el tudjuk v\'egezni, azaz az el\H{o}fordul\'o hib\'ak
elhanyagolhat\'oak, akkor megkapjuk a k\'{\i}v\'ant eredm\'enyt.
 
 
\bye
