\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2.2pt plus 1.3pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\TagsOnRight
 
%\nopagenumbers
 
 
\noindent{\bf Az november 23-i szemin\'arium t\'em\'aja}
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip\noindent
 
Mi\'ert fontos sz\'amunkra az el\H{o}z\H{o} gyakorlaton t\'argyalt
line\'aris algebrai ismeretek felfriss\'{\i}t\'ese?
\medskip
Tekints\"unk $\xi_1,\dots,\xi_k$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'okat, melyekre $E\xi^2_p<\infty$, $1\le p\le k$.
Megjegyezz\"uk, hogy ekkor $E|\xi_p\xi_q|<\infty$ minden $1\le p,q\le k$
eset\'en, mert ekkor $\(E|\xi_p\xi_q|\)^2<E\xi_p^2E\xi_q^2<\infty$ a
Cauchy--Schwarz egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an. Statisztika
el\H{o}ad\'ason szerepelt egy $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektor
kovariancia m\'atrix\'anak a fogalma. A $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa az a $k\times k$
m\'atrix, melynek $p$-ik sor\'anak \'es $q$ oszlop\'anak a
metszet\'eben a $\text{Cov}\,(\xi_p,\xi_q)=E(\xi_p-E\xi_p)
(\xi_q-E\xi_q)=E\xi_p\xi_q-E\xi_pE\xi_q$ elem \'all. Jellemezni
akarjuk a k\"ul\"onb\"oz\H{o} v\'eletlen vektorokhoz tartoz\'o
kovariancia m\'atrixokat. (A kovariancia m\'atrix fogalma
tulajdonk\'eppen a sz\'or\'asn\'egyzet term\'eszetes
t\"obb-dimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.) Be fogjuk l\'atni,
hogy egy kovariancia m\'atrix szimmetrikus poz\'{\i}tiv definit
m\'atrix. Tov\'abb\'a igaz ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
megford\'{\i}t\'asa. Nevezetesen, minden $k\times k$-as szimmetrikus
pozit\'{\i}v definit m\'atrixhoz l\'etezik olyan $k$-dimenzi\'os
v\'eletlen vektor, melynek ez a kovariancia m\'atrixa. Ez ut\'obbi
\'all\'{\i}t\'as a most t\'argyaland\'o eredm\'enyek k\"oz\"ul a
legnehezebb, viszont erre az eredm\'enyre lesz sz\"uks\'eg\"unk a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok vizsg\'alat\'aban. Annak
\'erdek\'eben, hogy a fenti kijelent\'esek \'ertelm\'et meg\'erts\"uk
fel kell id\'ezn\"unk a line\'aris algebr\'aban tanultakat.
 
A $(x_1,\dots,x_k)$ $k$ hossz\'us\'ag\'u sorozatokb\'ol \'all\'o
sorozatok ter\'et tekinthetj\"uk euklideszi t\'ernek, ha egyr\'eszt
bevezetj\"uk a term\'eszetes (koordin\'at\'ank\'ent v\'egzett)
\"ossze\-ad\'ast \'es (val\'os)
sz\'ammal val\'o szorz\'ast, defini\'aljuk az
$(x,y)=\summ_{p=1}^kx_p y_p$ skal\'arszorzatot. Ennek az
euklideszi t\'ernek egy (term\'eszetes) ortogon\'alis b\'azisa az
$$
e_p=(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0),\quad 1\le p\le k,
$$
vektorokb\'ol \'all\'o b\'azis,ahol az $e_p$ vektor $p$-ik
koordin\'at\'aja 1, az \"osszes t\"obbi koordin\'at\'aja pedig nulla.
Adva egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektor, mely  elemeire
teljes\"ulnek az $E\xi_p=0$, $E\xi^2_p<\infty$, $1\le p\le k$
rel\'aci\'ok vezess\"uk be a $D(p,q)=E\xi_p\xi_q$ mennyis\'egeket,
\'es defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} biline\'aris f\"uggv\'enyt a
fenti euklideszi t\'eren:
$$
A(x,y)=E\(\summ_{p=1}^k x_p\xi_k\)\(\summ_{q=1}^k y_q\xi_q\)
=\summ_{p=1}^k\summ_{q=1}^k D(p,q)x_p y_q,
$$
ahol $x=(x_1,\dots,x_k)$, $y=(y_1,\dots,y_k)$. Az $A$ biline\'aris
f\"uggv\'eny \"onadjung\'alt \'es pozit\'{\i}v szemidefinit,
ugyanis $A(x,y)=A(y,x)$, \'es $A(x,x)= E\(\summ_{p=1}^k
x_p\xi_k\)^2\ge0$. Tov\'abb\'a a fent defini\'alt biline\'aris
f\"uggv\'eny szoros kapcsolatban van az $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
$k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektor $D=\(D(p,q)\)$, $1\le p,q\le k$,
$D(p,q)=A(e_p,e_q)$, kovariancia m\'atrix\'aval. Val\'oban, $A(x,y)=x
D y^*$, ahol $x=(x_1,\dots,x_k)$, $y=(y_1,\dots,y_k)$.
 
A line\'aris algebr\'aban, ha r\"ogz\'{\i}tj\"uk egy $k$-dimenzi\'os
euklideszi t\'er egy $(e_1,\dots,e_k)$ ortonorm\'alt b\'azis\'at akkor
term\'eszetes kapcsolatot tudunk teremteni a bi\-li\-ne\'a\-ris
f\"ugg\-v\'e\-nyek, line\'aris transzform\'aci\'ok \'es m\'atrixok
k\"oz\"ott. Nevezetesen, legyen $A(x,y)$ biline\'aris f\"uggv\'eny,
\'es feleltess\"uk meg neki az $D=D(p,q)$, $1\le p,q\le n$, m\'atrixot,
illetve az ebben a koordin\'atarendszerben az e m\'atrix \'altal
meghat\'arozott line\'aris oper\'atort. Jegyezz\"uk meg, hogy az ahogy
az el\H{o}z\H{o} paragrafusban a kovariancia m\'atrix definici\'oj\'at
megadtuk egy biline\'aris f\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel ezt a
konstrukci\'os m\'odszert k\"oveti.
 
Egy biline\'aris f\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott m\'atrix
f\"ugg a v\'alasztott ortonorm\'alt b\'azist\'ol, de be lehet l\'atni,
hogy az \'altala meghat\'arozott oper\'ator nem. Ez\'ert a fenti
konstrukci\'o k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} line\'aris
oper\'atorok \'es (r\"ogz\'{\i}tett ortogon\'alis b\'azis eset\'en)
$k\times k$-as m\'atrixok k\"oz\"ott. Ez\'ert ha bevezetj\"uk egy
biline\'aris oper\'ator adjung\'altj\'at, az \"onadjung\'alt,
pozit\'{\i}v definit \"onadjung\'alt, unit\'er oper\'atorok fogalm\'at,
akkor besz\'elhet\"unk a neki megfelel\H{o} line\'aris oper\'atorok
adjung\'altj\'ar\'ol, tov\'abb\'a (pozit\'{\i}v definit)
\"onadjung\'alt \'es unit\'er tu\-laj\-don\-s\'a\-g\'a\-r\'ol.
(Eml\'ekeztet\H{o}\"ul: Ha $A$ biline\'aris f\"ugg\-v\'eny, akkor ennek
$A^*$ adjung\'altj\'at az $(xA,y)=(x,yA^*)$ azonoss\'ag minden $x$
\'es $y$ vektorra formula hat\'arozza meg. Tov\'abb\'a $A$
\"onadjung\'alt, ha $A=A^*$, unit\'er, ha $AA^*=A^*A=I$. Egy $A$
\"onadjung\'alt oper\'ator pozit\'{\i}v definit, ha $(Ax,x)>0$ minden
$x\neq0$ vektorra.) Nem mag\'at\'ol \'ertend\H{o}, hogy
van \'ertelme arr\'ol besz\'elni, hogy egy m\'atrix \"onadjung\'alt
vagy unit\'er. Ugyanis, k\"ul\"onb\"oz\H{o} biline\'aris
f\"uggv\'enyeknek ugyanaz a m\'atrix felelhet meg, ha m\'as
ortonorm\'alt b\'azisban \'{\i}rjuk fel a m\'atrixukat, teh\'at
tiszt\'azni kell azt, hogy a fenti fogalmak nem f\"uggnek att\'ol,
hogy melyik ortonorm\'alt b\'azisban dolgozunk. Be lehet l\'atni, hogy
van \'ertelme m\'atrixok adjung\'altj\'ar\'ol, (pozit\'{\i}v definit)
\"ondjung\'alt vagy unit\'er volt\'ar\'ol besz\'elni, csak ehhez
kiss\'e jobban meg kell \'erten\"unk a line\'aris algebra n\'eh\'any
eredm\'eny\'et \'es fogalm\'at. Be lehet l\'atni (nem neh\'ez a
bizony\'{\i}t\'as), hogy ha egy $A$ biline\'aris f\"uggv\'enynek egy
$D=D(p,q)$, $1\le p,q\le k$, m\'atrix felel meg, akkor az $A^*$
adjung\'altj\'anak megfelel\H{o} $D^*=D^*(p,q)$ m\'atrixra
$D^*(p,q)=D(q,p)$, teh\'at a $D^*$ m\'atrix kisz\'am\'{\i}that\'o a
$D$ m\'atrix seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A $D$ m\'atrix akkor \'es csak
akkor \"onadjung\'alt, ha $D=D^*$, unit\'er, ha $DD^*=D^*D=I$, ahol a
szok\'asos m\'atrix szorz\'ast tekintj\"uk, a $D$ \"onadjung\'alt
m\'atrix akkor \'es csak akkor pozit\'{i}v (szemi)definit, ha
$xDx^*\ge0$ minden $x$ vektorra.
 
A fenti eredm\'enyekb\H{o}l l\'athat\'o, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor $D=(D(p,q))$, $1\le p,q\le k$, kovariancia m\'atrixa
pozit\'{\i}v (szemi)definit m\'atrix, (\'es ennek az
\'all\'{\i}t\'asnak van \'ertelme.) Be akarjuk l\'atni, hogy
tetsz\H{o}leges $D$ pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix el\H{o}\'all
mint alkalmas v\'eletlen m\'atrix kovarianciam\'atrixa. Ehhez vegy\"uk
\'eszre, hogy ha $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ koordin\'at\'ai f\"uggetlenek,
(\'altal\'aban korrel\'alatlanok), $\text{Var}\, \xi_p=1$, $1\le p\le
k$, akkor ennek a vektornak a kovarianciam\'atrixa az $I$ identit\'as
m\'atrix, tov\'abba, ha $A$ tetsz\H{o}leges ($k\times k$-as m\'atrix),
akkor az $(\eta_1,\dots,\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A$ v\'eletlen
vektor kovariancia m\'atrixa az $A^*A$ m\'atrix. Val\'oban, ha
$(a_{p,q})$, $1\le p,q\le k$, jel\"oli az $A$ m\'atrixot, akkor
$\text{Cov}\,(\eta_p,\eta_q)=\text{Cov}\,\(\summ_{u=1}^k a_{u,p}\xi_u,
\summ_{v=1}^k a_{v,q}\xi_v\)=\summ_{u=1}^k a_{u,p}a_{u,q}$, mivel
$\text{Cov} (\xi_u,\xi_u)=1$ \'es $\text{Cov} (\xi_u,\xi_v)=0$, ha
$u\neq v$. Ez a  $\summ_{u=1}^k a_{u,p}a_{u,q}$ kifejez\'es viszont
megegyezik az $A^*A$ m\'atrix $p$-ik $p$-ik sor\'aban \'es $q$-ik
oszlop\'aban \'all\'o elemmel.
 
Ez\'ert a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezik a k\"ovetkez\H{o}
(nem trivi\'alis) line\'aris algebrai ered\-m\'eny\-b\H{o}l.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Tetsz\H{o}leges $A$ $k\times k$-as m\'atrixra a
$D=A^*A$ m\'atrix $k\times k$-as szimmetrikus pozit\'{\i}v
szemidefinit m\'atrix. Megford\'{\i}tva, tetsz\H{o}leges $D$ $k\times
k$-as pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrixhoz l\'etezik olyan $A$
$k\times k$-as m\'atrix, melyre $D=A^*A$. S\H{o}t l\'etezik olyan
$k\times k$-as \"onadjung\'alt pozit\'{\i}v szemidefinit $A$ m\'atrix,
melyre $D=AA=A^*A$.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A $D$ m\'atrix fenti el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa
nem egy\'ertelm\H{u}, azaz a $D=A^*A$ egyenlet nem hat\'arozza meg
egy\'ertelm\H{u}en az $A$ m\'atrixot. Val\'oban, ha $D=A^*A$, $U$
unit\'er m\'atrix \'es $\bar A=UA$, akkor $\bar A^*\bar
A=(UA)^*UA=A^*U^*UA=AA^*=D$.
\medskip
A lemma els\H{o} (kev\'esb\'e fontos) \'all\'{\i}t\'asa egyszer\H{u}en
bizony\'{\i}that\'o. Ugyanis, $\(A^*A\)^*=A^*\(A^*\)^*=A^*A$, azaz
$A^*A$ \"onadjung\'alt m\'atrix, \'es $(xA^*A,x)=
\(xA^*,xA^*\)\ge 0$, teh\'at $D$ pozit\'{\i}v
szemidefinit m\'atrix. A Lemma m\'asodik, tartalmasabb
\'all\'{\i}t\'asa egyszer\H{u}en bizony\'{\i}that\'o, abban a
speci\'alis esetben, ha a $D$ m\'atrix diagon\'alis, azaz a
diagon\'alisban $(\lambda_1,\dots,\lambda_k)$ elemek vannak, \'es a
m\'atrix \"osszes t\"obbi eleme z\'er\'o. Ekkor ugyanis az, hogy a $D$
m\'atrix pozit\'{\i}v szemidefinit ekvivalens azzal, hogy
$\lambda_p\ge0$ minden $1\le p\le k$ sz\'amra. Ez\'ert defini\'alhatjuk
azt a pozit\'{\i}v szemidefinit diagon\'alis $A$ m\'atrixot, melynek
diagon\'alis elemei a $\(\sqrt{\lambda_1},\dots,\sqrt{\lambda_k}\)$
sz\'amok. Ekkor ny\'{\i}lv\'anval\'o m\'odon $D=AA=A^*A$.
 
Az \'altal\'anos eset visszavezethet\H{o} erre az egyszer\H{u}bb
speci\'alis esetre a line\'aris algebra azon alapvet\H{o} eredm\'enye
alapj\'an, mely szerint tetsz\H{o}leges \"onadjung\'alt line\'aris
oper\'ator diagoniz\'alhat\'o, azaz alkalmas ortonorm\'alt b\'azisban
az oper\'ator m\'atrixa diagon\'alis. Itt az anal\'{\i}zis egy
alapvet\H{o} \'es nagyon term\'eszetes gondolat\'at alkalmazzuk.
Nevezetesen azt, hogy a megoldand\'o probl\'em\'at tekints\"uk olyan
koordin\'atarendszerben, melyben az a lehet\H{o} legegyszer\H{u}bb
alak\'u. Annak \'erdek\'eben, hogy ezt jobban meg\'erts\"uk,
t\'argyaljuk meg ezt a diagonaliz\'al\'asi m\'odszert a Lemm\'aban
megfogalmazott eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'aban r\'eszletesebben.
 
Az id\'ezett diagonaliz\'alhat\'os\'agi eredm\'eny egyik lehets\'eges,
leggyakrabban megfogalmazott alakja a k\"ovetkez\H{o}: Egy $k\times
k$-as $A$ \"onadjung\'alt m\'atrixnak l\'etezik $k$ darab $\bar
e_1,\dots,\bar e_k$ saj\'atvektora $\lambda_1,\dots,\lambda_k$
saj\'at\'ert\'ekkel, azaz $\bar e_p A=\lambda_p\bar e_p$, $1\le p\le k$.
Tov\'abb\'a a saj\'at\'ert\'ekek val\'osak \'es a saj\'atvektorok
ortongon\'alisak. (A teljess\'eg kedv\'e\'ert jegyezz\"uk meg, hogy
abban az esetben, ha t\"obbsz\"or\"os saj\'at\'ert\'ekek vannak, akkor
a t\"obbsz\"or\"os saj\'at\'ert\'ekekhez tartoz\'o saj\'atvektorok
megv\'alaszt\'asa nem egy\'ertelm\H{u}, \'es ekkor j\'ol kell
defini\'alni ezeket a saj\'atvektorokat.) Ez azt jelenti, hogy ha az
\"onadjung\'alt oper\'atort ebben a koordin\'atarendszerben \'{\i}rjuk
fel, akkor az diagon\'alis, ez\'ert a fenti diagon\'alis m\'atrixokra
vonatkoz\'o \'ervel\'es elegend\H{o} a feladat bizony\'{\i}t\'as\'ahoz.
 
A fenti m\'odszer korrekt bizony\'{\i}t\'ast ad, ha vil\'agosan
kidolgozzuk azokat a r\'esz\-le\-te\-ket, melyek lehet\H{o}v\'e
teszik, hogy m\'atrixok helyett a nekik megfelel\H{o} \'es
koor\-di\-n\'a\-ta\-rend\-szer\-t\H{o}l f\"uggetlen biline\'aris
f\"uggv\'enyekkel illetve line\'aris oper\'atorokkal dolgozhassunk.
M\'egis tanuls\'agos lehet v\'egiggondolni azt, hogy hogyan lehet ezt
a m\'odszert az eredeti koordin\'atarendszerben alkalmazni.
 
Legyen $\bar e_1,\dots,\bar e_k$ egy $D$ \"onadjung\'alt m\'atrix
saj\'atvektorokb\'ol \'all\'o ortonorm\'alt b\'azisa, \'es tekints\"uk
az euklideszi t\'er eredeti $e_1,\dots,e_k$ ortonorm\'alt b\'azis\'at.
Legyenek $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ az $\bar e_1,\dots,\bar e_k$
saj\'atvektorokhoz tartoz\'o saj\'at\'ert\'ekek, tov\'abb\'a $\Lambda$
az a diagon\'alis m\'atrix, melynek diagon\'alis\'aban a
$\lambda_1,\dots,\lambda_k$ sz\'amok \'allnak. Defini\'aljuk az $U$
line\'aris m\'atrixot az $\bar e_p U=e_p$, $1\le p\le k$,
rel\'aci\'oval. Vegy\"uk \'eszre, hogy $U$ unit\'er oper\'ator, \'es
annak $U^*$  adjung\'altj\'at az $e_p U^*=\bar e_p$, $1\le p\le k$,
rel\'aci\'o defini\'alja. (\'Erdemes meg\'erteni az  unit\'er
oper\'atorok geo\-met\-riai tartalm\'at. Az, hogy $U$ unit\'er
oper\'ator, az geometriailag azt jelenti, hogy t\'avols\'ag \'es
sz\"ogtart\'o lek\'epez\'es, teh\'at forgat\'as \'es esetleg ut\'ana
egy tengelyre val\'o t\"ukr\"oz\'es al\-kal\-ma\-z\'a\-sa. Be lehet
l\'atni, hogy $U$ akkor \'es csak akkor unit\'er, ha egy
r\"ogz\'{\i}tett ortonorm\'alt b\'azist egy (\'altal\'aban) m\'asik
ortonorm\'alt b\'azisba visz.) Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
form\'alis bizony\'{\i}t\'asa azon m\'ulik, hogy $(\bar e_p U,
e_q)=(\bar e_p,e_q U^*)$ minden $1\le p,q\le k$ indexre,
mert az azonoss\'ag mind a k\'et oldala nulla vagy egy, att\'ol
f\"ugg\H{o}en, hogy $p\neq q$ vagy $p=q$, $1\le p,q\le k$. Innen
k\"ovetkezik, hogy a defini\'alt $U^*$ lek\'epez\'es val\'oban az $U$
adjung\'altja. V\'eg\"ul $UU^*=U^*U=I$, mert $\bar e_pUU^*=
e_pU^*=\bar e_p$, \'es hasonl\'oan $e_pU^*U=e_p$ minden $1\le p\le k$
indexre. V\'eg\"ul mutassuk meg, hogy a fenti jel\"ol\'esekkel
$D=U\Lambda U^*$. Ez a rel\'aci\'o ekvivalens a $U^*DU=\Lambda$
azonoss\'aggal, vagy az $(e_pU^*DU,e_q)=(e_p\Lambda,e_q)$, minden $1\le
p,q\le k$ azonoss\'aggal. Vi\-szont
$(e_pU^*DU,e_q)=(e_pU^*D,e_qU^*)=(\bar
e_p D,\bar e_q)=\lambda_p(\bar e_p,\bar e_q)=\lambda_p\delta_{p,q}$,
ahol $\delta_{p,q}=1$, ha $p=q$, \'es $\delta_{p,q}=0$, ha $p\neq q$.
Az $(e_p\Lambda,e_q)=\lambda_p\delta_{p,q}$ azonoss\'ag
ny\'{\i}lv\'anval\'o.
 
A fenti azonoss\'ag lehet\H{o}v\'e teszi a Lemma egyszer\H{u}
bizony\'{\i}t\'as\'at. Ha $D$ pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix, akkor
tekints\"uk annak a fenti $D=U\Lambda U^*$ el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at.
Legyen $\sqrt \Lambda$ az a diagon\'alis m\'atrix, melynek
koordin\'at\'aiban a $\lambda_p$ saj\'at\'ert\'ekek $\sqrt{\lambda_p}$
n\'egyzetgy\"okei vannak, $1\le p\le q$. Ekkor az $A=U\sqrt \Lambda
U^*$ m\'atrixra $A=A^*$ \'es $AA=U\sqrt \Lambda U^*U\sqrt\Lambda U^*
\!= U\Lambda U^*=D$, \'es ezt kellett bizony\'{\i}tanunk.
 
\bigskip
A fenti eredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel bel\'athatjuk,
hogy a norm\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok al\'abb megadand\'o h\'arom lehets\'eges definici\'oja
ekvivalens. A  definici\'ok kimond\'asa el\H{o}tt id\'ezz\"uk fel,
hogy a kor\'abban t\'argyalt eredm\'enyek alapj\'an f\"uggetlen
egyforma eloszl\'as\'u nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} v\'eletlen
vektorok normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegei egy olyan eloszl\'as,
melynek karakterisztikus f\"uggv\'enye a $(t_1,\dots,t_k)$ pontban a
$$
\varphi(t_1,\dots,t_k)=\exp\left\{\left.- \summ_{p=1}^k\summ_{q=1}^l
D(p,q)t_pt_q\right/2\right\}
$$
f\"uggv\'eny, ahol a $D(p,q)$ sz\'amok a tekintett v\'eletlen vektorok
kovariancia m\'atrix\'anak megfelel\H{o} elemei. A t\"obb-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as k\"ul\"onb\"oz\H{o} egym\'assal ekvivalens
definici\'oja az ilyen karakterisztikus f\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorokat \'{\i}rja le, ha esetleg m\'eg
egy konstans vektort adunk hozz\'a.
 
\medskip\noindent
{\bf Norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok
fogalma I.:} {\it A $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektor akkor
norm\'alis eloszl\'as\'u, ha a $\summ_{p=1}^k a_p\xi_p$ egydimenzi\'os
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o norm\'alis
eloszl\'as\'u tetsz\H{o}leges $a_1,\dots,a_k$ val\'os sz\'amokkal.}
\medskip\noindent
{\bf Norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok
fogalma II.:} {\it A $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektor akkor
norm\'alis eloszl\'as\'u, ha annak karakterisztikus f\"uggv\'enye
$$
\varphi(t_1,\dots,t_k)=Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+\xi_k)}
=\exp\left\{-\frac12\summ_{p=1}^k\summ_{q=1}^k
D(p,q)t_pt_q+i\summ_{p=1}^k m_pt_p\right\}
$$
alak\'u, ahol $D(p,q)$, $1\le p,q\le k$, pozit\'{\i}v szemidefinit
szimmetrikus m\'atrix, \'es $m_p$, $1\le p\le k$, tetsz\H{o}leges
val\'os sz\'amok. Ekkor $D(p,q)=\text{\rm Cov}\,
(\xi_p-E\xi_p)(\xi_q-E\xi_q)$, $1\le p,q\le k$,
\'es $m_p=E\xi_p$, $1\le p\le k$.}
\medskip\noindent
{\bf Norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok
fogalma III.:} {\it A $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektor akkor norm\'alis
eloszl\'as\'u, ha l\'etezik olyan f\"uggetlen
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o v\'eletlen
vektor, valamint $A=a(p,q)$, $1\le p,q\le k$, $k\times k$ m\'atrix
\'es $(m_1,\dots,m_k)$ $k$-dimenzi\'os val\'os sz\'amokb\'ol \'all\'o
vektor, melyekre az $(\eta_1,\dots,\eta_k)A+(m_1,\dots,m_k)$ azaz a
$(\zeta_1,\dots,\zeta_k)$, $\zeta_p=\summ_{q=1}^k a(q,p)\eta_q+m_p$,
$1\le p\le k$ vektor eloszl\'asa megegyezik a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor eloszl\'as\'aval. Jel\"olje
ebben az esetben $D(p,q)$ az $A^*A$ m\'atrix $p$-ik sor\'anak $q$-ik
elem\'et. Ekkor Ekkor $D(p,q)=\text{\rm Cov}\,
(\xi_p-E\xi_p)(\xi_q-E\xi_q)$, \'es $1\le p,q\le k$, $m_p=E\xi_p$,
$1\le p\le k$.}
 
L\'assuk be el\H{o}sz\"or az al\'abbi definici\'ok ekvivalenci\'aja
k\"oz\"ul a legnehezebbet, a Definici\'o~II. $\Rightarrow$
Definici\'o~III. \'all\'{\i}t\'ast.
 
A Definici\'o II.-ben szerepl\H{o} $D(p,q)$ sz\'amok \'altal
meghat\'arozott $D=\(D(p,q)\)$, $1\le p,q\le q$  $k\times k$-as
m\'atrix \"onadjung\'alt \'es pozit\'{\i}v szemidefinit. Ez\'ert az ezen
gya\-kor\-la\-ton t\'argyalt lemma alapj\'an fel\'{\i}rhat\'o
$D=A^*A$ alakban. Ekkor a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)=(\eta_1,\dots,\eta_k)A+(m_1,\dots,m_k)$
$k$-dimenzi\'os vektor, ahol $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, olyan v\'eletlen vektor, melynek a
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny\'et a Definici\'o~II.
k\'epletben megadott k\'eplet adja meg. Ugyanis tet\-sz\H{o}\-le\-ges
$t_1,\dots,t_k$ val\'os sz\'amokra a $t_1\xi_1+\cdots+t_k\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o norm\'alis eloszl\'as\'u
(eml\'ekeztet\H{o}\"ul: f\"uggetlen (egydimenzi\'os) norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
li\-ne\-\'a\-ris kombin\'aci\'oja is norm\'alis eloszl\'as\'u)
$\text{Var}\,(t_1\xi_1+\cdots+t_k\xi_k)=\summ_{p=1}^k\summ_{q=1}^k
t_pt_q\text{Cov}\,(\xi_p\xi_q)= tA^*At^*=tDt^*$
sz\'or\'asn\'egyzettel, ahol $t=(t_1,\dots,t_k)$
\'es $\summ_{p=1}^k m_pt_p$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. Mivel egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor eloszl\'as\'at meghat\'arozza annak
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye, ez azt jelenti, hogy a fenti
rep\-re\-zen\-t\'a\-ci\'o egy a harmadik definici\'oban szerepl\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektorral azonos eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektort \'all\'{\i}t el\H{o}, azaz
teljes\'{\i}ti a harmadik definici\'ot.
 
A Definici\'o III. $\Rightarrow$ Definici\'o I. \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'asa egyszer\H{u}. Ha a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen
vektor eloszl\'asa megegyezik egy a Definici\'o III.-ban megadott
f\"uggetlen standard eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok line\'aris transzform\'aci\'oj\'aval (plusz egy
de\-ter\-mi\-nisz\-ti\-kus vektor), akkor a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor valamilyen line\'aris
transz\-for\-m\'aci\'o\-j\'a\-nak az eloszl\'asa megegyezik
f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok (\'al\-ta\-l\'a\-ban egy m\'asik) line\'aris
transzform\'aci\'oj\'aval, ez\'ert az is norm\'alis eloszl\'as\'u.
 
A Definici\'o~I. $\Rightarrow$ Definici\'o II. \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'asa is egyszer\H{u}. Ha a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor teljes\'{\i}ti a Definici\'o~I. \'all\'{\i}t\'as\'at,
akkor tetsz\H{o}leges $t_1\xi_1+\cdots+t_k\xi_k$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o norm\'alis
eloszl\'as\'u, melynek ki tudjuk sz\'am\'{\i}tani a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et. Innen l\'athat\'o,
hogy a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enye olyan, mint azt a Definici\'o~II.-ben megadtuk.
 
\bye
