\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
 
\noindent{\bf Az november 2-i szemin\'arium t\'em\'aja}
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip\noindent
{\it  A sztochasztikus \'es eloszl\'asban val\'o konvergencia k\"oz\"otti
kapcsolat.}
\bigskip
 
T\'argyaljuk a sztochasztikus \'es eloszl\'asban val\'o konvergencia
kapcsolat\'at. Egyszer\H{u} p\'elda mutatja, hogy lehets\'eges az,
hogy $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat eloszl\'asban konverg\'al, de
sztochasztikusan nem. Ha $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, nem
elfajul\'o eloszl\'assal, akkor ezen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak, de sztochasztikusan nem.
Bel\'atjuk, hogy ha val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
so\-ro\-za\-ta sztochasztikusan konverg\'al, akkor eloszl\'asban is
konverg\'al.
 
Tegy\"uk fel, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata sztochasztikusan konverg\'al egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, \'es jel\"olje
$F(u)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at.
Legyen $x$ pont az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontja.
Ekkor tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e)>0$ sz\'am, melyre
$F(x)-\frac\e2<F(x-\delta)\le F(x)\le F(x+\delta)<F(x)+\frac\e2$, \'es
$n_0=n_0(\e,\delta)$ k\"usz\"obindex, melyre
$P(|\xi_n-\xi|>\delta)<\frac\e2$, ha $n\ge n_0$. Ekkor $P(\xi_n<x)\le
P(\xi<x+\delta)+P(|\xi_n-\xi|>\delta)\le F(x+\delta)+\frac\e2\le
F(x)+\e$. Hasonl\'oan mutathat\'o meg, hogy $P(\xi_n>x)\le
P(\xi>x-\delta)+\frac\e2\le 1-F(x)-\e$, azaz $P(\xi_n<x)>F(x)-\e$.
Mivel ezek az \'all\'{\i}t\'asok minden $\e>0$ \'es $n\ge n_0$ sz\'amra
igazak valamilyen $n=n_0(\e)$ k\"usz\"obindex-szel, innen k\"ovetkezik
az \'all\'{\i}t\'as.
 
B\'ar az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'ab\'ol nem k\"ovetkezik
a sztochasztikus konvergencia, igaz a k\"ovetkez\H{o} gyeng\'ebb
\'all\'{\i}t\'as: Ha a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
az $a$ pontba koncentr\'alt eloszl\'ashoz valamilyen $-\infty<a<\infty$
sz\'ammal, azaz konverg\'alnak ahhoz az $F(u)=F_a(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, melyre $F(u)=0$, ha $u\le a$, \'es $F(u)=1$,
ha $u>a$, akkor a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sztochasztikusan konverg\'alnak a $\xi(\oo)\equiv a$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. Val\'oban, ekkor
$P(|\xi_n-a|<\e)=F_n(a+\e)-F_n(a-\e+0)
=1+(F_n(a+\e)-F(a+\e))-(F_n(a-\e+0)-F(a-\e+0))$, ahol $F_n(u)$,
$n=1,2,\dots$, a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye, $G(u+0)=\limm_{\e\:\e>0,\e\to0}G(u+\e)$ egy
$G(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyre, \'es $F(u)=F_a(u)$ az el\H{o}bb
defini\'alt eloszl\'asf\"uggv\'eny. Ekkor $\limm_{n\to\infty}
(F_n(a+\e)-F(a+\e))=0$, \'es
$\limm_{n\to\infty}(F_n(a-\e+0)-F(a-\e+0))=0$
az eloszl\'asban val\'o konvergencia miatt, ez\'ert
$\limm_{n\to\infty}P(|\xi_n-a|<\e)$, azaz teljes\"ul a sztochasztikus
konvergencia is.
\medskip\noindent
{\it Mi\'ert csak a hat\'areloszl\'as folytonoss\'agi pontjaiban
k\"ovetelt\"uk meg a konvergenci\'at az eloszl\'asban val\'o
konvergencia definici\'oj\'aban?} \medskip
Amikor eloszl\'asf\"uggv\'enyeket vizsg\'alunk, akkor sokszor
\'erdemes az eloszl\'asf\"uggv\'eny helyett az \'altaluk
meghat\'arozott val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket
tekinteni. Azaz, adva va\-la\-mi\-lyen $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny, defini\'aljuk azt a $\mu=\mu_F$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket
a sz\'am\-egye\-ne\-sen, melyre $\mu([a,b))=F(b)-F(a)$. A
m\'ert\'ekelm\'elet eredm\'enyeib\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
l\'etezik ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek, \'es azt
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza az $F$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny.
Ezt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket szeml\'eletesen \'ugy
k\'epzelhetj\"uk el, mint egy t\"omegeloszl\'ast a sz\'amegyenesen,
melyre a teljes sz\'amegyenes t\"omege (s\'ulya) 1, \'es a
sz\'amegyenes egy r\'eszhalmaz\'anak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
megegyezik a halmaz s\'uly\'aval. Az, hogy $F_n$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek sorozata konverg\'al valamely
$F$ eloszl\'ashoz val\'oj\'aban azt jelenti, hogy az \'altaluk
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott $\mu_{F_n}$ t\"omegeloszl\'asok
konverg\'alnak a $\mu_F$ t\"omegeloszl\'ashoz.
 
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} p\'eld\'at: Legyen $a_n$
olyan monoton n\"oveked\H{o} sz\'am\-so\-ro\-zat, melyre
$\limm_{n\to\infty}a_n=a$ valamely $-\infty<a<\infty$ sz\'amra. Legyen
$\mu_n$ az a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek,
mely az $a_n$ pontba van koncentr\'alva, $n=1,2,\dots$, azaz
$\mu_n(B)=1$, ha $a_n\in B$, \'es $\mu_n(B)=0$, ha $a_n\notin B$ a
sz\'amegyenes tetsz\H{o}leges m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'ara.
Hasonl\'oan, legyen $\mu$ az $a$ pontba koncentr\'alt m\'ert\'ek.
Term\'eszetes  azt v\'arni, hogy ha alkalmasan defini\'altuk az
eloszl\'asban val\'o konvergencia fogalm\'at, akkor
a $\mu_n$ eloszl\'asok konverg\'alnak a $\mu$ m\'ert\'ekhez. A $\mu_n$
m\'ert\'ek \'altal meghat\'arozott eloszl\'asf\"uggv\'eny, azaz egy
olyan $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak az
eloszl\'asf\"uggv\'enye, melyre $P(\xi_n=a_n)=1$, az az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny, melyre $F_n(u)=0$, ha $u\le a_n$, \'es
$F_n(u)=1$, ha $u>a_n$. Hasonl\'oan, a $\mu$ m\'ert\'ek \'altal
meghat\'arozott eloszl\'asf\"uggv\'eny az az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny,
melyre $F(u)=0$, ha $u\le a$, \'es $F(u)=1$, ha $u>a$. K\"onny\H{u}
ellen\H{o}rizni, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(u)=F(u)$ minden $u\neq a$
sz\'amra ebben a p\'eld\'aban, de ez a rel\'aci\'o az $u=a$ sz\'amra
nem teljes\"ul. Teh\'at a $\mu_n$ m\'ert\'ekek eloszl\'asban
konverg\'alnak ebben a p\'eld\'aban, de ehhez
sz\"uks\'eges volt az eloszl\'asban val\'o konvergencia
definici\'oj\'aban azt a megszor\'{\i}t\'ast tenni, hogy csak
hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny folytonoss\'agi
pontjaiban k\"ovetelj\"uk meg a konvergenci\'at.
 
A $\Phi(x)=\dsize\int_{-\infty}^x\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du$
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny minden pontban folytonos, ez\'ert
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alkalmaz\'as\'aban nincs
jelent\H{o}s\'ege annak, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia csak
az eloszl\'asf\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontjaiban
k\"o\-ve\-te\-l\"unk meg konvergenci\'at. Viszont olyan
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-ben, melyben a
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-nak van szakad\'asi pontja (p\'eld\'aul a
Poisson eloszl\'as vagy b\'armely diszkr\'et eloszl\'as ilyen)
ez a megszor\'{\i}t\'as l\'enyeges. Kimondunk bizony\'{\i}t\'as
n\'elk\"ul egy eredm\'enyt, mely ekvivalens felt\'etelt ad arra, hogy
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozata eloszl\'asban konverg\'aljon egy
hat\'areloszl\'ashoz. Ennek az eredm\'enynek fontos szerepe van a
karakterisztikus f\"uggv\'eny m\'odszer alkalmaz\'as\'aban is.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha minden a sz\'amegyenesen \'ertelmezett
folytonos, korl\'atos $g(u)$ f\"uggv\'enyre
$$
\limm_{n\to\infty}\int g(u)\,dF_n(u)=\int g(u)\,dF(u).
$$
}\medskip\noindent
{\it Eloszl\'asban val\'o konvergencia \'es
hat\'areloszl\'ast\'etelek.} \medskip
 
Vegy\"uk \'eszre, hogy  mivel az $ f_t(x)=e^{itx}$, $-\infty<t<\infty$,
f\"uggv\'enyek folytonosak \'es korl\'atosak, ez\'ert az
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek a fenti T\'etel-ben kimondott jellemz\'ese
alap\-j\'an eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}\int e^{itx}F_n(\,dx)=\int e^{itx}F(\,dx)$, minden
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra, ha az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
eloszl\'asban konverg\'alnak az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
Felmer\"ul a k\'erd\'es: Igaz-e ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
megford\'{\i}t\'asa is, azaz, ha tudjuk, hogy a $\varphi_n(t)=\e^{itx}
F_n(dx)\to\varphi(t)=\int e^{itx}F(\,dx)$, ha $n\to\infty$ rel\'aci\'o
teljes\"ul egy $F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enysorozatra valamint egy $F$
eloszl\'asf\"uggv\'enyre, akkor k\"ovetkezik-e ebb\H{o}l az, hogy az
$F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak az
$F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez? Az el\H{o}z\H{o} formul\'aban
bevezetett $\varphi(t)=\int e^{itx}F(\,dx)$ f\"uggv\'enyt nevezz\"uk
az $F$ eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek.
 
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik alapvet\H{o}
fontoss\'ag\'u eredm\'enye szerint a v\'alasz erre a k\'erd\'esre
igenl\H{o}. Jegyezz\"uk meg, hogy ezen \'all\'{\i}t\'asnak a
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz sz\"uks\'eges egy olyan jelleg\H{u} eredm\'eny,
mely azt mondja ki, hogy az $e(t)=e^{itx}$ trigonometrikus f\"uggv\'enyek
az \"osszes folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all\'o
halmaznak el\'eg nagy r\'eszhalmaza. Ugyanis, ha
$\limm_{n\to\infty}\int e^{itx}F_n(\,dx)=\int e^{itx}F(\,dx)$ minden
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra, akkor teljes\"ul a
$\limm_{n\to\infty}\dsize \int \summ_{k=1}^p c_k e^{it_kx}F_n(\,dx)
=\int \summ_{k=1}^p c_ke^{t_kx}F(\,dx)$ rel\'aci\'o minden
v\'eges line\'aris kombin\'aci\'ora is, s\H{o}t b\'{\i}zonyos
limeszel\'essel eljutunk tov\'abbi olyan $g(\cdot)$  f\"uggv\'enyekhez,
melyekre $\limm_{n\to\infty}\int g(x)F_n(\,dx)=\int g(x)F(\,dx)$. De
eljutunk-e \'{\i}gy minden folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyhez.
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik m\'ely eredm\'enye
szerint igen. (Egy lehets\'eges eredm\'eny, melyet felhaszn\'alhatunk a
bizony\'{\i}t\'asban Weierstrass m\'asodik app\-ro\-xi\-m\'a\-ci\'os
t\'etele, mely szerint minden $2\pi$ szerint periodikus folytonos
f\"uggv\'eny tet\-sz\H{o}\-le\-ges pontoss\'aggal egyenletesen
k\"ozel\'{\i}thet\H{o} trigonometrikus po\-li\-no\-mok\-kal.)
Val\'oj\'aban a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as el\H{o}bb
jelzett klasszikus eredm\'enye egy m\'eg tartalmasabb \'all\'{\i}t\'as.
Ugyanis a r\'eszletesebb vizsg\'alatokban gyakran tal\'alkozunk a
k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'essel: Tud\-juk, hogy a $\varphi_n(t)=\int
e^{itx}F(\,dx)$ karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyek konverg\'alnak
valamely $\varphi(t)$ f\"uggv\'enyhez, de nem tudjuk ab ovo, hogy a
$\varphi(t)$ f\"uggv\'eny el\H{o}\'all\'{\i}that\'o-e, mint egy alkalmas
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'enye. Az al\'abb
megfogalmazott {\it fundament\'alis jelent\H{o}s\'eg\H{u}}\/ eredm\'eny
az ilyen esetek vizsg\'alat\'at is le\-he\-t\H{o}\-v\'e teszi.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o alapt\'etel.} {\it
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, $F_n$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata
$\varphi_n(t)=Ee^{it\xi_n}=\int e^{itx}F_n(dx)$ karakterisztikus
f\"ugg\-v\'ennyel. Ha a $\varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyek minden
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra konverg\'alnak egy $\varphi(t)$
f\"ugg\-v\'eny\-hez, mely az orig\'oban folytonos f\"uggv\'eny, akkor
ez a $\varphi(t)$ limeszf\"uggv\'eny is karakterisztikus f\"uggv\'eny,
azaz l\'etezik olyan (egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott) $F(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny, melyre $\varphi(t)=\int e^{itx}F(\,dx)$.
Tov\'abb\'a, az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
eloszl\'asban konverg\'alnak ehhez az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Megford\'{\i}tva, ha $F_n$ eloszl\'asok, $n=1,2,\dots$,
sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $F$ eloszl\'ashoz, akkor
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra a $\varphi_n(t)=\int e^{itx}F_n(dx)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyek konverg\'alnak a $\varphi(t)=\int
e^{itx}F(dx)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyhez, ha $t\to\infty$.
Tov\'abb\'a ez a konvergencia egyenletes minden v\'eges
intervallumban.} \medskip\noindent
Tal\'an \'erdemes lett volna ennek az eredm\'enynek a megfogalmaz\'asa
el\H{o}tt kimondani a k\"ovetkez\H{o} t\'etelt.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt meghat\'aroz annak
$\varphi(t)=\int e^{itx}F(\,dx)$ karakterisztikus f\"uggv\'enye.}
\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa h\'azi feladat.
\medskip\noindent
\item{}  Egy $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny $\varphi(t)=\int
e^{itx}\,dF(x)$ karakterisztikus f\"uggv\'enye, $-\infty<t<\infty$,
folytonos, s\H{o}t egyenletesen folytonos f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen. \medskip
 
L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy lehets\'eges az, hogy $F_n$,
$n=1,2,\dots$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozat\'anak a
karakterisztikus f\"uggv\'enyei egy az orig\'oban nem folytonos
f\"uggv\'enyhez konverg\'alnak. Ebben az esetben az $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek nem konverg\'alnak eloszl\'asban egy
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. Ez a p\'elda megmutatja, hogy a fent
kimondott t\'etelben az a megk\"ot\'es, hogy a $\varphi_n(\cdot)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyek $\varphi(\cdot)$ hat\'arf\"uggv\'enye
az orig\'oban folytonos f\"uggv\'eny, nem elhagyhat\'o felt\'etel.
 
Legyen az $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny a $[-n,n]$ intervallumben
egyenletes eloszl\'as, azaz legyen a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f_n(x)=\dfrac1{2n}$, \'es $f_n(x)=0$, ha $|x|>n$. Ekkor ezek az $F_n$,
$n=1,2,\dots$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban nem
konverg\'alnak egy hat\'areloszl\'ashoz, mert az \'altaluk
meghat\'arozott t\"omegeloszl\'as ``kifolyik a v\'egtelenben." A
karakterisztikus f\"uggv\'enyek a $\varphi_n(t)=\int e^{itx}F_n(dx)
=\dsize\int_{-n}^n\frac{e^{itx}}{2n}\,dx=\frac{e^{itn}-e^{-itn}}{2int}$
f\"uggv\'enyek, $t\neq0$, $\varphi_n(0)=1$, $n=1,2,\dots$. Ez\'ert
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)=0$, ha $t\neq0$, \'es
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(0)=1$.
 
A karakterisztikus f\"uggv\'eny m\'asik folytonos tulajdons\'aga, mely
hasznoss\'a teszi hat\'areloszl\'ast\'etelek vizsg\'alat\'aban az, hogy
f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a karakterisztikus f\"uggv\'enye megegyezik az egyes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'enyeinek szorzat\'aval. K\'epletben kifejezve: Legyenek
$\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok. Ekkor
$$
Ee^{it(\xi_1+\cdots+\xi_n)}=E\(e^{it\xi_1}e^{it\xi_2}\cdots
e^{it\xi_n}\)=Ee^{it\xi_1}Ee^{it\xi_2}\cdots Ee^{it\xi_n}.
$$
Tov\'abb\'a, ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'enye a $\varphi(t)=Ee^{itX}$ f\"uggv\'eny,
akkor az $AX+B$ karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
\psi(t)=Ee^{it(AX+B)}=e^{itB}Ee^{i(At)\xi}=e^{itB}\varphi(At).
$$
E k\'et k\'eplet felhaszn\'al\'as\'aval kifejezhetj\"uk f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-nek karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et az
egyes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"ugg\-v\'e\-nyei\-nek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Egy ilyen formula valamint az Alapt\'etelnek
nevezett ered\-m\'eny lehet\H{o}v\'e teszi
azt, hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegeire sz\'ol\'o
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-te\-le\-ket bizony\'{\i}tsunk.
 
Egy p\'elda: (Val\'oj\'aban a legfontosabb alkalmaz\'as:) Legyen
$\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, melyekre $E\xi_1=0$,
$E\xi_1^2=1$. Ekkor az $\dfrac {S_n}{\sqrt n}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt. Ennek bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
sz\'amoljuk ki a $\dfrac {S_n}{\sqrt n}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karak\-te\-risz\-tikus f\"uggv\'eny\'et. Jel\"olje a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et $F$,
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et pedig $\varphi(t)$.
Ekkor $S_n$ karakterisztikus f\"uggv\'enye $\varphi^n(t)$, \'es
$\dfrac{S_n}{\sqrt n}$ ka\-rak\-te\-risz\-tikus f\"uggv\'enye
$\varphi^n\(\dfrac t{\sqrt n}\)$. Teh\'at annak
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz, hogy e normaliz\'alt
r\'esz\-let\-\"ossze\-gek\-nek l\'etezik ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-sa
azt kell bel\'atni, hogy minden $t$ sz\'amra l\'etezik a
$\psi(t)=\limm_{n\to\infty}\varphi^n\(\dfrac t{\sqrt n}\)$
hat\'ar\'ert\'ek, \'es ez a $\psi(t)$ f\"uggv\'eny folytonos az
orig\'oban. E vizsg\'alathoz arra van sz\"uks\'eg, hogy $\varphi(t)$
\'ert\'ek\'et j\'ol tudjuk becs\"ulni kis $t$ sz\'amokra. A
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny egyik fontos tulajdons\'aga,
hogy $\varphi(0)=1$, \'es $\left.\dfrac
{d^k\varphi(t)}{dt^k}\right|_{t=0}=i^k E\xi^k$, ha $E|\xi|^k=0$. Ezt
onnan l\'athatjuk, hogy a $\varphi(t)=\int e^{itx}\,dF(x)$ formul\'at
$k$-szor szukcesszive deriv\'alva kapjuk, hogy
$\dfrac{d^k\varphi(t)}{dt^k}=\int i^k e^{itx}\,dF(x)$ k\'epletet, \'es
behelyettes\'{\i}tj\"uk a $t=0$ sz\'amot ebbe a formul\'aba. Az
$E|\xi^k|<\infty$ felt\'etel azt biztos\'{\i}totta, hogy a fenti
sz\'amol\'as jogos, fel lehet cser\'elni az integr\'al\'ast \'es
differenci\'al\'ast.
 
Ez\'ert, ha $E\xi_1=0$, $E\xi_1^2=1$, akkor a Taylor sorfejt\'es
alapj\'an $\varphi(t)=Ee^{it\xi_1}=1-\dfrac{t^2}2+o(t^2)$,
$\varphi\(\dfrac t{\sqrt n}\)=1-\dfrac{t^2}{2n}+o\(\dfrac{t^2}n\)$,
$\limm_{n\to\infty}\varphi^n\(\dfrac t{\sqrt n}\)=\(1
-\dfrac{t^2}{2n}+o\(\dfrac{t^2}n\)\)^n=e^{-t^2/2}$. Ez\'ert l\'etezik
a hat\'areloszl\'as, melynek karakterisztikus f\"uggv\'enye
$e^{-t^2/2}$. Ez a standard norm\'alis eloszl\'as karakterisztikus
f\"uggv\'enye, \'es ez adja a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt.
\medskip\noindent
{\it Kis kit\'er\H{o}: A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye}
\medskip
L\'attuk, hogy az hogy $X_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata sztochasztikusan egy (determinisztikus) $a$ konstanshoz tart
ekvivalens azzal, hogy e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata eloszl\'asban tart a sz\'amegyenes $a$ pontj\'aba
koncentr\'alt m\'ert\'ekhez. Ez pedig az Alapt\'etel szerint  azzal
ekvivalens, hogy ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\psi_n(t)=Ee^{itX_n}$ karakterisztikus f\"uggv\'enyei az $a$ pontba
koncentr\'alt m\'ert\'ek karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-hez,
azaz az $e^{ita}$ f\"uggv\'enyhez tartanak.
 
Legyenek $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, jel\"olje ezek
r\'eszlet\"osszegeit, \'es $\varphi(t)=Ee^{it\xi_1}$ a $\xi_1$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et. E sorozat akkor \'es csak akkor
teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, azaz az
$\dfrac{S_n}n$ \'atlagok akkor \'es csak akkor tartanak
sztochasztikusan egy $-\infty<a<\infty$ sz\'amhoz, ha teljes\"ul az
$\limm_{n\to\infty}\varphi\(\dfrac tn\)=e^{ita}$ minden $t$ sz\'amra.
N\'emi sz\'amol\'assal bel\'athat\'o, hogy ez ekvivalens azzal, hogy a
karakterisztikus f\"uggv\'eny a null\'aban deriv\'alhat\'o, \'es ez a
differenci\'alh\'anyados $\varphi'(0)=ia$. Ez az eredm\'eny azonban nem
teljesen kiel\'eg\'{\i}t\H{o}, ugyanis \'altal\'aban nem a
karakterisztikus f\"uggv\'enyt, hanem az eloszl\'asf\"uggv\'enyt
ismerj\"uk. Ez\'ert hasznosabb a k\"ovetkez\H{o} a Fourier
transzorm\'aci\'o tulajdons\'again alapul\'o t\'etel.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, $F$
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata. Ez
akkor \'es csak akkor teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'et, azaz a $\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$ \'atlag akkor \'es
csak akkor konverg\'al sztochasztikusan  $n\to\infty$ eset\'eben egy
$a$ sz\'amhoz, $-\infty<a<\infty$, ami ekvivalens azzal, hogy a
$\varphi(t)=Ee^{it\xi_1}$ karakterikus f\"uggv\'eny
deriv\'alhat\'o az orig\'oban, \'es $\varphi'(0)=ia$, ha
$$
\lim_{x\to\infty}x\[F(-x)+\(1-F(x)\)\]=0, \quad \text{\'es} \quad
\lim_{u\to\infty}\int_{-u}^u xF(\,dx)=a.
$$
\medskip}
Ez az eredm\'eny \'es a m\'ult alkalommal t\'argyalt eredm\'eny a nagy
sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l lehet\H{o}s\'eget ad olyan
p\'elda konstru\'al\'as\'ara, mely teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok
gyenge t\"orv\'eny\'et, de nem teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et. Val\'oban, legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata melyeknek l\'etezik $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,
melyet a k\"ovetkez\H{o} k\'eplet ad meg.  $f(x)=\dfrac C{x^2\log
|x|}$, ha $|x|>2$. $f(x)=0$, ha $|x|\le 2$, a $C$ konstanst
pedig \'ugy v\'alasztjuk, hogy $\int f(x)\,dx=1$. Ekkor $E|\xi_1|=\int
|x|f(x)\,dx=\infty$, (Mi\'ert?) ez\'ert nem teljes\"ul a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'enye. Az el\H{o}bb kimondott, de nem bizony\'{\i}tott
t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy ez a sorozat teljes\'{\i}ti a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et. De ezt az \'all\'{\i}t\'ast be lehet
l\'atni k\"ozvetlen\"ul is. Err\H{o}l sz\'ol a k\"ovetkez\H{o} (nem
k\"otelez\H{o}) h\'azi feladat.
\medskip
\item{} Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta,
az $f(x)=\dfrac C{x^2\log |x|}$, ha $|x|>2$. $f(x)=0$, ha $|x|\le 2$,
k\'eplettel megadott s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel.
($\dsize\int_{|x|>2}\frac {C\,dx}{|x|\log |x|}=1$.)
Defini\'aljuk az $S_n=\summ_{k=1}^m\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket. L\'assuk be, hogy az $\dfrac{S_n}n$
\'atlagok sztochasztikusan tartanak null\'ahoz, azaz minden $\e>0$
sz\'amra $P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\to0$, ha $n\to\infty$.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Legyen $\bar\xi_k=\bar
\xi_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|\le a_n\)$, $\bar{\bar\xi}_k=\bar{\bar
\xi}_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|>a_n\)$, \'es $\bar
S_n=\summ_{k=1}^n\bar\xi_k$, $\bar{\bar
S}_n=\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k$. Ekkor $P(|S_n|>\e n)\le
P\(|\bar S_n|>\frac\e2n\)+  P\(|\bar{\bar S}_n|>\frac\e2n\)\le \dfrac
{\text {Var}\,\bar S_n}{\frac{\e^2}4n^2}+nP(\bar{\bar \xi_1}\neq0)$.
Adjunk az $a_n$ konstans alkalmas meg\-v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'a\-val
(p\'eld\'aul $a_n=n$) j\'o becsl\'est a $P(|S_n|>n\e)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.
 
 
 \bye
