\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2.5pt plus 1.2pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
 
\noindent{\bf Az november 16-i szemin\'arium t\'em\'aja}
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip\noindent
\medskip \noindent
El\H{o}sz\"or megbesz\'elt\"uk a k\"ovetkez\H{o} h\'azifeladat
megold\'as\'at: \medskip\noindent
{\it Tekints\"unk egy szab\'alyos p\'enzdarab 10~000 egym\'as ut\'ani
(f\"uggetlen) feldob\'as\'ab\'ol sz\'ar\-ma\-z\'o fej-\'{\i}r\'as
sorozatot. Adjunk becsl\'est a Chebishev egyenl\H{o}tlens\'eg
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a fej-dob\'asok sz\'am\'anak
elt\'er\'ese a v\'art 5000 sz\'amt\'ol legal\'abb 100-zal, illetve
legal\'abb 200-zal elt\'er! Milyen becsl\'est ad ezekre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel?}
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/  Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $\le
j\le 10~000$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyekre
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_j$, $1\le j\le 10~000$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\H{o}k,
$E\xi_j=\frac12$, $\text{Var}\, \xi_j=\frac14$, \'es a
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\)$ \'es
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre kell becsl\'et adnunk. A Chebishev
egyenl\H{o}tlens\'eg az els\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre a $\dfrac
{10000\cdot\frac14}{100^2}=\dfrac14$, a m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre pedig a $\dfrac
{10000\cdot\frac14}{200^2}=\dfrac1{16}$ fels\H{o} becsl\'est adja.
 
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint
$P\(\dfrac{\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)}{\sqrt{10000\cdot\frac
14}}>u\) \sim 1-\Phi(u)$. Innen kapjuk, hogy az els\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz az
$u=\pm\frac{100}{\frac12\cdot100}=\pm 2$ \'ert\'ekeket
kell tekinteni, \'es a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $(1-\Phi(2))+\Phi(-2)
=2(1-\Phi(2))\sim2(1-0.97720)=0.0456$. A m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg hasonl\'oan k\"or\"ulbel\"ul
$2(1-\Phi(4))\sim0$, (az els\H{o} 4 tizedesjegy 0).
\medskip\noindent
{\it A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel t\'argyal\'asa.}\medskip
Meg lehet adnia az el\'egs\'eges s\H{o}t alkalmas megfogalmaz\'asban
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et annak, hogy a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel teljes\"ulj\"on. Ez a
k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny: \medskip\noindent
{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.} {\it Legyen $\xi_k$,
$k=1,2,\dots$, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
sorozata, melyre $E\xi_k=0$, $\sigma_k^2=E\xi_k^2<\infty$,
$k=1,2,\dots$, \'es az $s^2_n=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$, $n=1,2,\dots$,
sorozat teljes\'{\i}ti a $\limm_{n\to\infty}s_n^2=\infty$ felt\'etelt.
Ha ezenk\'{\i}v\"ul a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat teljes\'{\i}ti
a k\"ovetkez\H{o} \'ugynevezett Lindeberg felt\'etelt, mely azt
k\"oveteli meg, hogy minden $\e>0$ sz\'amra teljes\"ulj\"on a
$$
\lim_{n\to\infty}\frac1{s_n^2}\sum_{k=1}^nE\xi_k^2I(\{|\xi_k|>\e
s_n\})=0.
$$
rel\'aci\'o, akkor az $\dfrac{S_n}{s_n}$ sorozat, ahol
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$ eloszl\'asban konverg\'al a standard
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enyhez $n\to\infty$ eset\'en.}\medskip
\medskip
Igaz a fenti \'all\'{\i}t\'as megford\'{\i}t\'asa is: Ha a fenti
jel\"ol\'eseket haszn\'alva a $\xi_k$, $E\xi_k=0$,
$E\xi_k^2=\sigma_k^2$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o sorozatra
$s_n^2\to\infty$, $\supp_{1\le k\le n}\dfrac{\sigma_k^2}{s^2_n}\to0$,
ha $n\to\infty$, \'es az $\dfrac{S_n}{s_n}$ sorozat
eloszl\'asban konverg\'al a standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez $n\to\infty$ eset\'en, akkor ez a
sorozat teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt.
 
Jegyezz\"uk meg, hogy ebben a megford\'{\i}t\'asban nem csak azt
k\"ovetelt\"uk meg, hogy a hat\'areloszl\'ast\'etel norm\'alis legyen,
hanem azt is, hogy a ``helyes sz\'or\'assal" rendelkezzen. A
$\supp_{1\le k\le n}\dfrac{\sigma_k^2}{s^2_n}\to0$, ha $n\to\infty$,
felt\'etel megk\"ovetel\'ese term\'eszetes. Egyr\'eszt, ez azt
fejezi ki szeml\'eletesen, hogy az egyes \"osszeadand\'ok hat\'asa
elhanyagolhat\'o, azaz a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel sok kis
eredm\'eny \"osszhat\'asak\'ent \'all el\H{o}, m\'asr\'eszt e
felt\'etelnek teljes\"ulnie kell, mert k\"ovetkezm\'enye a Lindeberg
felt\'etelnek. Val\'oban, tetsz\H{o}leges $\e>0$ \'es
$1\le k\le n$ sz\'amokra
$$
\align
\frac{\sigma_k^2}{s_n^2}&=\frac{E\xi_k^2}{s_n^2}=
\frac{E(\xi_k^2I(|\xi_k|\le\e s_n)}{s_n^2}+
\frac{E(\xi_k^2I(|\xi_k>\e s_n)}{s_n^2}\\
&\le \e^2+\frac1{s_n^2}\sum_{k=1}^nE\xi_k^2I(\{|\xi_k|>\e
s_n\})\le 2\e^2,
\endalign
$$
ha $n\ge n_0(\e)$.
 
K\'et term\'eszetes k\'erd\'es:
\item{1.)} Tudunk-e p\'eld\'at adni arra, hogy a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel nem teljes\"ul, \'es mi van az ilyen
p\'eld\'ak h\'atter\'eben?
\item{2.)} Milyen egyszer\H{u}en ellen\H{o}rizhet\H{o}, hasznos
felt\'eteleket tudunk adni arra, hogy a Lindeberg felt\'etel, ez\'ert a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel teljes\"ulj\"on?
\medskip
\item{1.)} Legyenek $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$P(\xi_k=k)=P(\xi_k=-k)=\dfrac1{2k^2}$, $P(\xi_k=0)=1-\dfrac1{k^2}$.
Ekkor $E\xi_k=0$, $E\xi_k^2=1$, $s_n^2=n$. Viszont a Borel--Cantelli
lemma alapj\'an,  mivel $\summ_{k=1}^\infty P(\xi_k\neq0)<\infty$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok  $k$ indexre teljes\"ul
az, hogy $\xi_k(\oo)\neq0$, ez\'ert $\supp_{1\le n<\infty}
|S_n(\oo)|<\infty$, \'es $\dfrac{S_n(\oo)}{s_n}\to0$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Lehet rafin\'altabb p\'eld\'akat is
konstru\'alni. (P\'eld\'aul tekinthetj\"uk f\"uggetlen $\eta_k$,
$k=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'at,
melyekre $\eta_{2k}=\xi_k$, \'es az $\eta_{2k-1}$, $k=1,2,\dots$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok minden egy\'eb
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok.
Ekkor a $\dfrac1{\sqrt n}\summ_{k=1}^n\xi_k$ v\'eletlen \"osszegek
eloszl\'asban tartanak egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\'u, \'es
$\frac12$, azaz a v\'artn\'al kisebb sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-hoz.) De
minden ellenp\'elda h\'atter\'eben az van, hogy bizonyos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel rendk\'{\i}v\"ul nagy \'ert\'ekeket
vesznek fel. Ezek a rendk\'{\i}v\"uli \'ert\'ekek csak nagyon kis
m\'ert\'ekben befoly\'asolj\'ak a normaliz\'alt \"osszeg
eloszl\'as\'at, de nagyon befoly\'asolj\'ak az \"osszeg
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
 
\item{2.)} A k\"ovetkez\H{o} c\'elunk az, hogy a Lindeberg
felt\'etelre, teh\'at a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-re j\'ol ellen\H{o}r\'{\i}zhet\H{o}
\'es el\'eg \'altal\'anos felt\'etelt adjunk. Ennek \'erdek\'eban a
k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast illetve annak bizony\'{\i}t\'as\'at
fogjuk t\'argyalni.
\medskip\noindent
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, melyre $E\xi_n=0$,
$\sigma_n^2=E\xi_n^2<\infty$, $n=1,2,\dots$,
$\limm_{n\to\infty}s_n^2=\infty$, ahol $s_n^2=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$.
Ez a sorozat teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt, ha a
k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agok egyike teljes\"ul.
\item{a.)} $E|\xi_k|^{2+\alpha}<\infty$, minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra
valamilyen $\alpha>0$ konstanssal, \'es $\limm_{n\to\infty}\dfrac
{\(\summ_{k=1}^n E|\xi_k|^{2+\alpha}\)^{2/(2+\alpha)}}{s_n^2}=0$.
Speci\'alisan, ez a felt\'etel teljes\"ul akkor, ha $E\xi_k^2\ge K$
valamilyen $K>0$ sz\'ammal minden $k=1,2,\dots$ indexre, \'es
ezenk\'{\i}v\"ul \'erv\'enyes az $E\limm_{k\to\infty}k^{-\alpha/2}
E|\xi_k|^{2+\alpha}=0$ rel\'aci\'o.
\item{b.)} A f\"uggetlen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyforma eloszl\'as\'uak.
(Teh\'at f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata is teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt,
ez\'ert a r\'ajuk vonatkoz\'o centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
speci\'alis esete a cent\-r\'a\-lis hat\'areloszl\'ast\'etel Lindeberg
felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkez\H{o} alakj\'anak.)
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ A H\"older egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$
\summ_{k=1}^n E\xi_k^2I(|\xi_k|>\e s_n)\le \( \summ_{k=1}^n
E|\xi_k|^{(2+\alpha)}\)^{(2/\alpha+2)}\(\summ_{k=1}^n P(|\xi_k|>\e
s_n)\)^{\alpha/(2+\alpha)}.
$$
M\'asr\'eszt, a Chebishev egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an $\summ_{k=1}^n
P(|\xi_k|>\e s_n)\le\summ_{k=1}^n\dfrac{E\xi_k^2}{\e^2s_n^2}
=\dfrac1{\e^2}$. Ez\'ert ha az a) eset felt\'etelei teljes\"ulnek,
akkor
$$
\limm_{n\to\infty}\dfrac1{s_n^2}
\summ_{k=1}^n E\xi_k^2I(|\xi_k|>\e s_n)=0,
$$
azaz teljes\"ul a Lindeberg felt\'etel is.
\item{} Az a.) r\'esz v\'eg\'en tekintett esetben $s_n\ge \const n$,
\'es $\summ_{k=1}^E|\xi_k|^{2+\alpha}=o\(n^{(\alpha+2)/2}\)$, ha
$n\to\infty$, ez\'ert ekkor teljes\"ul a a.) r\'eszben
megfogalmazott felt\'etel.
\item{} Ha $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, $E\xi_1=0$,
$0<E\xi_1^2<\infty$, akkor $\dfrac1{s_n^2}\summ_{k=1}^n
E\xi_k^2I(|\xi_k|>\e s_n)=\dfrac1{E\xi_1^2} E\xi_1^2I\(|\xi_1|>\e
\sqrt {nE\xi_1^2}\)\to0$, ha $n\to\infty$. Teh\'at ebben az esetben is
teljes\"ul a Lindeberg felt\'etel.
\medskip\noindent
{\it A t\"obb dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as}
\medskip\noindent
Az els\H{o} megt\'argyaland\'o k\'erd\'es az, hogy mi\'ert fontos
sz\'amunkra ez a fogalom. A h\'att\'erben a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'es
\'all. L\'attuk, hogy f\"uggetlen (val\'os, azaz egydimenzi\'os)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegei nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett
norm\'alis eloszl\'ashoz konverg\'alnak. Felmer\"ul a k\'erd\'es:
Tekints\"unk f\"uggetlen $k$-dimenzi\'os
$\xi_j=\(\xi_j^{(1)},\dots,\xi_j^{(k)}\)$, $j=1,2,\dots$,  v\'eletlen
val\'oszin\H{u}s\'egi vektorokat, mely $\xi_j$ vektorok f\"uggetlenek.
Az egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert korl\'atozzuk figyelm\"unket arra
az esetre, amikor a $\xi_j$ vektorok egyforma eloszl\'as\'uak.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy $E\xi_j^{(l)}=0$, $1\le l\le k$.
Viszont az egyes $\xi_j=\(\xi_j^{(1)},\dots,\xi_j^{(k)}\)$ vektorok
koordin\'at\'ainak kapcsolat\'ar\'ol semmilyen korl\'atoz\'o
felt\'etelt nem tesz\"unk. Tekints\"uk a $\dfrac1{\sqrt
n}\summ_{j=1}^n\xi_j= \dfrac1{\sqrt n}\(\summ_{j=1}^n\xi_j^{(1)},\dots,
\summ_{j=1}^n\xi_j^{(k)}\)$ normaliz\'alt \"osszegeket. Arra vagyunk
kiv\'ancsiak, hogy igaz-e az egy-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel t\"obb-dimenzi\'os v\'altozata, azaz igaz-e
az, hogy a fenti v\'eletlen vektorokb\'ol k\'esz\'{\i}tett
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegek nagyon \'altal\'anos felt\'etelek
mellett el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak. Tov\'abb\'a, milyen
eloszl\'asok jelennek meg mint hat\'areloszl\'asok? A v\'alasz az
els\H{o} k\'erd\'esre igenl\H{o}. A lehets\'eges hat\'areloszl\'asok
j\'ol jellemezhet\H{o}ek, \'es ezeket nevezik t\"obb-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'asoknak.
 
Term\'eszetesen a t\"obb-dimenzi\'os hat\'areloszl\'ast\'eteleket az
egy-dimenzi\'os prob\-l\'e\-m\'ak\-hoz hasonl\'oan t\'argyalhatjuk.
S\H{o}t, a t\"obb-dimenzi\'os probl\'ema egyszer\H{u}en
visszavezethet\H{o} az egydimenzi\'os esetre a k\"ovetkez\H{o}
\'eszrev\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip\noindent
{\bf Lemma:}\/ {\it Legyen $U^{(n)}=\(U^{(n)}_1,\dots,U^{(n)}_k\)$,
$n=1,2,\dots$, $k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata. Ez a sorozat akkkor \'es csak akkor konverg\'al eloszl\'asban
egy $U=\(U_1,\dots,U_k\)$ $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'ahoz, ha tetsz\H{o}leges $(a_1,\dots,a_k)$
egy\"utt\-ha\-t\'ok\-ra a $\summ_{l=1}^k a_l U_l^{(n)}$
line\'aris kombin\'aci\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak a
$\summ_{l=1}^k a_l U_l$ line\'aris kom\-bi\-n\'a\-ci\'o\-hoz, ha
$n\to\infty$.} \medskip
A lemma bizony\'{\i}t\'asa azon alapul, hogy a karakterisztikus
f\"uggv\'enyekre kimondott eredm\'enyek \'erv\'enyesek
t\"obb-dimenzi\'os eloszl\'asok karakterisztikus f\"uggv\'enyeire is.
Nevezetesen, egy $U=(U_1,\dots,U_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o  eloszl\'as\'at meghat\'arozza annak
$\varphi(t_1,\dots,t_k)=Ee^{i(t_1U_1+\cdots+t_kU_k)}$,
$(t_1,\dots,t_k)\in R^k$, karakterisztikus f\"uggv\'enye, tov\'abb\'a
ha val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok egy
$U^{(n)}=\(U^{(n)}_1,\dots,U^{(n)}_k\)$
sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al egy  $U=\(U_1,\dots,U_k\)$
v\'eletlen vektorhoz, ha e v\'altoz\'ok
$\varphi_n(t_1,\dots,t_k)=Ee^{i(t_1U_1^{(n)}+\cdots+t_kU_k^{(n)})}$
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyei minden $(t_1,\dots,t_k)\in
R^k$ pontban konverg\'al az  $U=\(U_1,\dots,U_k\)$ v\'eletlen vektor
$\varphi(t_1,\dots,t_k)=Ee^{i(t_1U_1+\cdots+t_kU_k)}$
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny\'ehez. Tov\'abb\'a, ha
$\varphi^{(n)}_{a_1,\dots,a_k}(t)=E\left\{t\summ_{l=1}^k a_l
U_l^{(n)}\right\}$ jel\"oli a $\summ_{l=1}^k a_l U_l^{(n)}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et, akkor
$$
\varphi^{(n)}_{a_1,\dots,a_k}(t)=\varphi^{(n)}(a_1t,\dots,a_kt),
$$
\'es az analog eredm\'eny \'erv\'enyes az index n\'elk\"uli
$(U_1,\dots,U_k)$ vektorra \'es az e vektor koordin\'at\'aib\'ol
k\'epzett line\'aris kombin\'aci\'okra. Ez\'ert \'atfogalmazva a
Lemma \'all\'{\i}t\'as\'at a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
nyelv\'ere megkapjuk a Lemma bizony\'{\i}t\'as\'at.
 
(Megjegyezz\"uk, hogy az egy-dimenzi\'os esetben megfogalmazott az
itt felid\'ezettn\'el tartalmasabb \'all\'{\i}t\'as megfelel\H{o}je a
t\"obb-dimenzi\'os esetben is \'erv\'enyes. Ha tudjuk, hogy az
$U^{(n)}=\(U^{(n)}_1,\dots,U^{(n)}_k\)$ v\'eletlen vektorok
$\varphi_n(t_1,\dots,t_k)=Ee^{i(t_1U_1^{(n)}+\cdots+t_kU_k^{(n)})}$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei egy az orig\'oban folytonos
f\"uggv\'enyhez konverg\'alnak, akkor a limeszf\"uggv\'eny egy
eloszl\'as karakterisztikus f\"oggv\'enye, \'es a tekintett v\'eletlen
vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak ehhez az eloszl\'ashoz.)
 
T\'erj\"unk vissza a kiidul\'o probl\'em\'ahoz!
Tekints\"unk f\"uggetlen $k$-dimenzi\'os
$\xi_j=\(\xi_j^{(1)},\dots,\xi_j^{(k)}\)$, $j=1,2,\dots$,  v\'eletlen
val\'oszin\H{u}s\'egi vektorokat, melyek f\"uggetlenek, egyforma
eloszl\'as\'uak \'es nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}ek. Tegy\"uk fel
tov\'abb\'a, hogy $E\(\xi_1^{(p)}\)^2<\infty$, $1\le p\le k$. Vezess\"uk
be a $D(p,q)=E\xi_1^{(p)}\xi_1^{(q)}<\infty$, $1\le p,q\le k$. Ekkor a
$\dfrac1{\sqrt n}\summ_{j=1}^n\summ_{p=1}^k a_p\xi_j^{(p)}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok az egy-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel szerint konverg\'alnak a nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} \'es $\summ_{p=1}^k\summ_{q=1}^l D(p,q)a_pa_q$
sz\'or\'asn\'egyzettel, azaz $\varphi (t)=\exp\left\{\left.-t^2
\summ_{p=1}^k\summ_{q=1}^l D(p,q)a_pa_q\right/2\right\}$
karakterisztikus f\"uggv\'ennyel. Innen k\"ovetkezik $t=1$
v\'alaszt\'assal, hogy a limesz eloszl\'as ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enye az $(a_1,\dots,a_k)$ pontban a $\varphi
(a_1,\dots,a_k)=\exp\left\{\left.- \summ_{p=1}^k\summ_{q=1}^l
D(p,q)a_pa_q\right/2\right\}$ f\"uggv\'eny. E formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel megkaphatjuk a t\"obb-dimenzi\'os
centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt, illetve a
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-sok jellemz\'es\'et, azaz a t\"obb-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as fogalm\'at. Miel\H{o}tt a r\'eszleteket
kezden\'enk el t\'argyalni id\'ezz\"unk fel n\'eh\'any line\'aris
algebrai fogalmat \'es eredm\'enyt.
\medskip\noindent
 
\medskip\noindent
{\it Line\'aris algebrai ism\'etl\'es}
\medskip
Tekints\"unk egy $X$ (v\'eges dimenzi\'os) Euklides-i teret, azaz $X$
line\'aris t\'er, melyen l\'etezik skal\'arszorzat. Az, hogy $X$
line\'aris t\'er azt jelenti, hogy ha $x\in X$, $y\in X$ $X$-beli elemek
(melyeket az irodalomban vektornak neveznek) \'es $\alpha$, $\beta$
val\'os sz\'amok, akkor $\alpha x+\beta y\in X$ is teljes\"ulnek,
tov\'abb\'a teljes\"ulnek bizonyos algebrai azonoss\'agok: ($x+y=y+x$,
$x+(y+z)=(x+y)+z$, l\'etezik $0\in X$, (null elem), melyre $x+0=x$,
minden $x$ pontnak l\'etezik $-x$ inverze, melyre $x+(-x)=0$,
$(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x$, $(\alpha(\beta x)=(\alpha\beta) x$,
$0x=0$, azaz, ha egy vektort beszorzunk a nulla sz\'ammal akkor a nulla
vektort kapjuk.) Valamely $x_1,\dots,x_k\in X$ vektorokat line\'arisan
f\"uggetlennek nevezz\"uk, ha a $\summ_{j=1}^k \alpha_jx_j=0$ csak
trivi\'alis m\'odon lehets\'eges, azaz csak akkor, ha minden
$\alpha_j\in R$ egy\"utthat\'ora $\alpha_j=0$. Azt mondjuk, hogy az
$x_1,\dots,x_k$ vektorok gener\'atorrendszert alkotnak, ha minden $y\in
X$ el\H{o}\'all\'{\i}that\'o $y=\summ_{j=1}^k \alpha_k x_k$ alakban. Ha
$x_1,\dots,x_k$ vektorok egyszerre alkotnak gener\'atorrendszert \'es
f\"uggetlen rendszert, akkor ezt b\'azisnak h\'{\i}vj\'ak. Az
\'altal\'anos eredm\'enyek szerint egyr\'eszt minden vektor
egy\'ertelm\H{u}en kifejezhet\H{o}ek, mint egy b\'azis elemeinek
line\'aris line\'aris kombin\'aci\'oja. Egy line\'aris t\'ernek
k\"ul\"onb\"oz\H{o} b\'azisai adhat\'ok meg, de ezek elemsz\'ama minden
b\'azisra ugyanaz. Ezt a sz\'amot nevezik a line\'aris t\'er
dimenzi\'oj\'anak.
 
A line\'aris algebra egyik fontos fogalma a line\'aris
transzform\'aci\'o fogalma. Egy $A\:X\to X$ lek\'epez\'est a
line\'aris transzform\'aci\'onak nevez\"unk, ha miden $x\in X$,
$y\in X$ vektorra $\alpha$ \'es $\beta$ (komplex) sz\'amokra $(\alpha
x+\beta y)A=\alpha(x A)+\beta (y A)$. (Az irodalomban nem egys\'eges
a jel\"ol\'esrendszer, van ahol $x A$-t \'es van ahol $A x$-et
\'{\i}rnak.) K\'et line\'aris transzform\'aci\'o szorzat\'an a
transzform\'aci\'ok egym\'as ut\'ani alkalmaz\'as\'at \'ertj\"uk.
Ha r\"ogz\'{\i}t\"unk egy b\'azist egy $k$-dimenzi\'os line\'aris
t\'erben, akkor minden $x\in X$ vektort term\'eszetes m\'odon
azonos\'{\i}thatunk egy sz\'am-$k$-assal, ha a vektort fel\'{\i}rjuk,
mint a b\'azisbeli elemek (egy\'ertelm\H{u}) line\'aris
kombin\'aci\'oj\'at, \'es a vektort azonos\'{\i}tjuk az ebben a
reprezent\'aci\'oban szerepl\H{o} egy\"utthat\'okkal. Ugyancsak
term\'eszetes, (tanult) m\'odon azonos\'{\i}thatunk egy line\'aris
transzform\'aci\'ot egy m\'atrix-szal.
 
De val\'oj\'aban sz\'amunkra bizonyos extra-tulajdons\'agokkal
rendelkez\H{o} line\'aris terek lesznek az \'erdekesek. \'Ugynevezett
Euklidesi terekr\H{o}l sz\'ol\'o fogalmakra \'es eredm\'enyekre lesz
sz\"uks\'eg\"unk, azaz olyan line\'aris terekkel foglalkozunk,
melyekben be van vezetve egy skal\'arszorzat, azaz minden $x\in X$ \'es
$y\in X$ vektorokra l\'etezik $(x,y)$ skal\'arszorzat, mely egy val\'os
(illetve \'altal\'anosabb esetekben komplex) sz\'am, \'es
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket: $(x,x)\ge0$, s\H{o}t
$(x,x)>0$, ha $x\neq0$, $(\alpha x_1+\beta x_2,y)=\alpha
(x_1,y)+\beta(x_2,y)$, $(x,y)=\overline{(y,x)}$, ahol $\overline z$ a
$z$ komplex sz\'am konjug\'altj\'at jel\"oli. Ez a skal\'aszorzat
az\'ert olyan fontos a sz\'amunkra, mert ez teszi lehet\H{o}ve, hogy
besz\'elhess\"unk egy $x\in X$ vektor $|x|$ hossz\'ar\'ol, melyet az
$|x|^2=(x,x)$ formula defini\'al, valamint k\'et $x$ \'es $y$ vektor
sz\"og\'er\H{o}l, (speci\'alisan mer\H{o}legess\'eg\'er\H{o}l) melyet
a $\cos(x\text{ \'es } y\text{ \'altal bez\'art sz\"og})=\dfrac
{(x,y)}{|x||y|}$ formula defini\'al. Tov\'abb\'a defini\'alhatjuk az
\'ugynevezett $A(x,y)$ biline\'aris form\'akat az $X\times X$ t\'eren.
$A(x,y)$ biline\'aris forma, ha
$A(\alpha_1x+\alpha_2x_2,y)=\alpha_1A(x_1,y)+\alpha_2A(x_2,y)$, \'es
$A(x,\alpha_1y_1+\alpha_2y_2)=\bar\alpha_1A(x,y_1)
+\bar\alpha_2A(x_2,y_2)$. Be lehet l\'atni, hogy egy Euklides-i
t\'erben egy term\'eszetes k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u}
megfeleltet\'es l\'etezik a line\'aris transzform\'aci\'ok \'es a
biline\'aris form\'ak k\"oz\"ott. Nevezetesen, minden $A$ line\'aris
transzform\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alhat\'o egy $(xA,y)$
biline\'aris forma, \'es tetsz\H{o}leges biline\'aris forma
egy\'ertelm\H{u}en ilyen form\'aban \'{\i}rhat\'o. Ez a
k\"ovetkez\H{o}k\'epp lehets\'eges: Igaz az, hogy egy Euklides-i
t\'erben l\'etezik $e_1,\dots,e_k$ ortonorm\'alt b\'azis. (Azaz
l\'etezik olyan vektorokb\'ol \'all\'o b\'azis, mely egym\'asra
mer\H{o}leges egy hossz\'us\'ag\'u vektorokb\'ol \'all. Ilyen b\'azis
t\"obb is l\'etezik. B\'ar nem lenne k\"otelez\H{o}, de Euklidesi
terekben gyakorlatilag mindig ortogon\'alis b\'azis
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'amolnak.) Egy ilyen b\'azisban az $A(x,y)$
biline\'aris form\'at megad\'o $(xA,y)$ kifejez\'esben szerepl\H{o}
$A$ line\'aris transzform\'aci\'o m\'atrixa az a m\'atrix, melynek
$p$-ik sor\'anak $q$-ik hely\'en \'all\'o elem az $a(p,q)=A(e_p,e_q)$
sz\'am. Egy ilyen koordin\'atarendszerben, ha $x=(x_1,\dots,x_k)\in X$,
$y=(y_1,\dots,y_k)\in X$, akkor az $A(x,y)$ biline\'aris form\'at a
$A(x,y)=xAy^*=\summ_{p=1}^k\summ_{q=1}^k a(p,q)x_p\bar y_q$ k\'eplet
adja meg, ahol  $y^*$ az $y$ vektorb\'ol k\'esz\'{\i}tett oszlopvektor.
 
Ha $A$ line\'aris transzform\'aci\'o egy Euklidesi t\'erben, akkor
defini\'alhatjuk, annak transzpon\'altj\'at az $(xA,y)=(x,yA^*)$
formul\'aval. Ha a line\'aris transzform\'aci\'o m\'atrix\'at egy
ortonorm\'alt b\'azisban \'{\i}rjuk fel, akkor annak
transzpon\'altj\'at \'atl\'ora val\'o t\"ukr\"oz\'essel \'es a m\'atrix
(komplex \'ert\'ek\H{u}) elemeinek a konjug\'al\'as\'aval kapjuk meg.
Egy $A$ line\'aris transzform\'aci\'ot \"onadjung\'altnak nevez\"unk,
ha $A=A^*$, unit\'ernek, ha $UU^*=I$, ahol $I$ az identit\'as m\'atrix.
Egy unit\'er m\'atrixra az is \'erv\'enyes, hogy $U^*U=I$. Egy unit\'er
m\'atrix sz\"og \'es t\'avols\'agtart\'o, ez\'ert ortonrm\'alt b\'azist
ortonorm\'alt b\'azisba visz. Egy $A$ \"onadjung\'alt m\'atrixra
$(xA,x)$ val\'os sz\'am minden $x\in X$ sz\'amra, mert
$(xA,x)=(x,xA)=\overline{(xA,x)}$. Azt mondjuk, hogy egy
\"onadjung\'alt m\'atrix pozitiv szemidefinit, ha $(xA,x)\ge0$ minden
$x\in X$ sz\'amra, pozit\'{\i}v definit, ha $(xA,x)>0$ minden $x\neq0$
vektorra. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy ha $A$ \"onadjung\'alt m\'atrix,
akkor ezt a m\'atrixot illetve az \'altala defini\'alt $(xA,y)$
biline\'aris f\"uggv\'enyt meghat\'arozza ennek megszor\'{\i}t\'asa az
$x=y$ pontokra, azaz az $(xA,x)$ f\"uggv\'eny, (kvadratikus alak).
 
Annak \'erdek\'eben, hogy line\'aris oper\'atorok (a nekik
megfelel\H{o}) m\'atrix\'at min\'el jobban \'at tudjuk tekinteni,
\'erdemes olyan ortonorm\'alt rendszert tal\'alni, melyben az
oper\'ator m\'atrixa a lehet\H{o} legegyszer\H{u}bb szerkezet\H{u}.
Ez\'ert fontos eredm\'eny a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as. Ha $A$
\"onadjung\'alt oper\'ator, egy $k$-dimenzi\'os Euklidesi t\'erben,
akkor l\'etezik az $A$ m\'atrixnak $k$ darab $e_1,\dots,e_k$
ortonorm\'alt saj\'atvektorb\'ol \'all\'o b\'azisa, azaz olyan $e_p$,
$1\le p\le k$ vektorokb\'ol \'all\'o b\'azis, mely vektorokra
$e_pA=\lambda_pe_p$ Tov\'abb\'a
$\lambda_p$ val\'os sz\'am, $p=1,\dots,k$. Ebben a b\'azisban az
$A$ m\'atrix egy diagon\'alis $\Lambda$ m\'atrix. E m\'atrix
diagon\'alis elemei a $\lambda_p$ saj\'at\'ert\'ekek. Az $A$
\"onadjung\'alt oper\'ator akkor \'es csak akkor pozit\'{\i}v
szemidefinit, ha minden saj\'at\'ert\'eke nem-negat\'{\i}v.
Megjegyezz\"uk, hogy az $A$ m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o, mint
$A=U\Lambda U^*$ alakban, ahol $U$ unit\'er oper\'ator. Innen
kiolvashat\'o a k\"ovetkez\H{o} sz\'amunkra fontos \'all\'{\i}t\'as:
Ha $A$ pozit\'{\i}v szemidefinit oper\'ator (m\'atrix), akkor $A$
fel\'{\i}rhat\'o $A=BB^*$ alakban. (S\H{o}t, v\'alaszthatjuk a
$B$ m\'atrixot mint \"onadjung\'alt m\'atrixot.) Ugyanis $B=U\sqrt
\Lambda U^*$, ahol $\sqrt\Lambda$ az a diagon\'alis m\'atrix, melynek
elemei $\sqrt{\lambda_p}$, $1\le p\le k$ teljes\'{\i}ti a
felt\'eteleket. Ekkor ugyanis $BB^*=\U\sqrt \Lambda U^* U\sqrt \Lambda
U^*=U\Lambda U^*=A$.
 
 
\bye
