Az november 16-i szeminárium témája Rövid összefoglaló

Először megbeszéltük a következő házifeladat megoldását:

Tekintsünk egy szabályos pénzdarab 10 000 egymás utáni (független) feldobásából származó fej-írás sorozatot. Adjunk becslést a Chebishev egyenlőtlenség segítségével annak valószínűségére, hogy a fej-dobások számának eltérése a várt 5000 számtól legalább 100zal, illetve legalább 200-zal eltér! Milyen becslést ad ezekre a valószínűségekre a centrális határeloszlástétel?

Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, ≤ j ≤ 10 000 valószínűségi változókat, melyekre ξ_{j} = 1, ha a j-ik dobás eredménye fej, ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye írás. Ekkor ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 10 000 független valószínűségi változők, Eξ_{j} = \frac{1}{2}, Var ξ_{j} = \frac{1}{4},

és a P (| ∑_{j=1}^{10000}(ξ_{j} − Eξ_{j})| > 100) és P (| ∑_{j=1}^{10000}(ξ_{j} − Eξ_{j})| > 200) valószínűségekre kell

becslét adnunk. A Chebishev egyenlőtlenség az első valószínűségre a \frac{10000 · \frac{1}{4}}{100^{2}} = \frac{1}{4}, a

második valószínűségre pedig a \frac{10000 · \frac{1}{4}}{200^{2}} = \frac{1}{16} felső becslést adja.

A centrális határeloszlástétel szerint P (\frac{∑_{j=1}^{10000}(ξ_{j} − Eξ_{j})}{\sqrt{10000 · \frac{1}{4}}} > u) ∼ 1 − Φ(u). Innen

kapjuk, hogy az első valószínűség kiszámításához az u = ± \frac{100}{\frac{1}{2} ·100} = ±2 értékeket kell tekinteni, és a vizsgált valószínűség közelítőleg (1 − Φ(2)) + Φ(−2) = 2(1 − Φ(2)) ∼ 2(1 − 0.97720) = 0.0456. A második valószínűség hasonlóan körülbelül 2(1 − Φ(4)) ∼ 0, (az első 4 tizedesjegy 0).

A centrális határeloszlástétel tárgyalása.

Meg lehet adnia az elégséges sőt alkalmas megfogalmazásban szükséges és elégséges feltételét annak, hogy a centrális határeloszlástétel teljesüljön. Ez a következő eredmény:

Centrális határeloszlástétel. Legyen ξ_{k}, k = 1, 2, …, független valószínűségi vál-

tozók sorozata, melyre Eξ_{k} = 0, σ_{k}^{2} = Eξ_{k}^{2} < ∞, k = 1, 2, …, és az s_{n}^{2} = ∑_{k=1}^{n} σ_{k}^{2},

n = 1, 2, …, sorozat teljesíti a lim_{n→∞} s_{n}^{2} = ∞ feltételt. Ha ezenkívül a ξ_{n}, n = 1, 2, …, sorozat teljesíti a következő úgynevezett Lindeberg feltételt, mely azt követeli meg, hogy minden ε > 0 számra teljesüljön a

lim_{n→∞} \frac{1}{s_{n}^{2}} ∑_{k=1}^{n} Eξ_{k}^{2}I(\{|ξ_{k}| > εs_{n}\}) = 0.

reláció, akkor az \frac{S_{n}}{s_{n}} sorozat, ahol S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} eloszlásban konvergál a standard normális

eloszlásfüggvényhez n → ∞ esetén.

Igaz a fenti állítás megfordítása is: Ha a fenti jelöléseket használva a ξ_{k}, Eξ_{k} = 0, Eξ_{k}^{2} = σ_{k}^{2}, k = 1, 2, …, független valószínűségi változókból álló sorozatra s_{n}^{2} → ∞,

sup_{1≤k≤n} \frac{σ_{k}^{2}}{s_{n}^{2}} → 0, ha n → ∞, és az \frac{S_{n}}{s_{n}} sorozat eloszlásban konvergál a standard normális

eloszlásfüggvényhez n → ∞ esetén, akkor ez a sorozat teljesíti a Lindeberg feltételt.

Jegyezzük meg, hogy ebben a megfordításban nem csak azt követeltük meg, hogy a határeloszlástétel normális legyen, hanem azt is, hogy a “helyes szórással” rendelkezzen.

A sup_{1≤k≤n} \frac{σ_{k}^{2}}{s_{n}^{2}} → 0, ha n → ∞, feltétel megkövetelése természetes. Egyrészt, ez azt fejezi

ki szemléletesen, hogy az egyes összeadandók hatása elhanyagolható, azaz a centrális határeloszlástétel sok kis eredmény összhatásaként áll elő, másrészt e feltételnek teljesülnie kell, mert következménye a Lindeberg feltételnek. Valóban, tetszőleges ε > 0 és 1 ≤ k ≤ n számokra

\frac{σ_{k}^{2}}{s_{n}^{2}} = \frac{Eξ_{k}^{2}}{s_{n}^{2}} = \frac{E(ξ_{k}^{2}I(|ξ_{k}| ≤ εs_{n})}{s_{n}^{2}} + \frac{E(ξ_{k}^{2}I(|ξ_{k} > εs_{n})}{s_{n}^{2}}

≤ ε^{2} + \frac{1}{s_{n}^{2}} ∑_{k=1}^{n} Eξ_{k}^{2}I(\{|ξ_{k}| > εs_{n}\}) ≤ 2ε^{2},

ha n ≥ n_{0}(ε).

Két természetes kérdés: 1.) Tudunk-e példát adni arra, hogy a centrális határeloszlástétel nem teljesül, és mi

van az ilyen példák hátterében? 2.) Milyen egyszerűen ellenőrizhető, hasznos feltételeket tudunk adni arra, hogy a Lin-

deberg feltétel, ezért a centrális határeloszlástétel teljesüljön?

1.) Legyenek ξ_{k}, k = 1, 2, …, független valószínűségi változók, P (ξ_{k} = k) = P (ξ_{k} =

−k) = \frac{1}{2k^{2}} , P (ξ_{k} = 0) = 1 − \frac{1}{k^{2}} . Ekkor Eξ_{k} = 0, Eξ_{k}^{2} = 1, s_{n}^{2} = n. Viszont

a Borel–Cantelli lemma alapján, mivel ∑_{k=1}^{∞} P (ξ_{k} ≠ 0) < ∞ egy valószínűséggel

csak véges sok k indexre teljesül az, hogy ξ_{k}(ω) ≠ 0, ezért sup_{1≤n<∞} |S_{n}(ω)| < ∞,

és \frac{S_{n}(ω)}{s_{n}} → 0 egy valószínűséggel. Lehet rafináltabb példákat is konstruálni.

(Például tekinthetjük független η_{k}, k = 1, 2, …, valószínűségi változók sorozatát, melyekre η_{2k} = ξ_{k}, és az η_{2k−1}, k = 1, 2, … valószínűségi változók minden egyéb valószínűségi változótól független standard normális eloszlású valószínűségi válto-

zók. Ekkor a \frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} véletlen összegek eloszlásban tartanak egy nulla várható értékú, és \frac{1}{2}, azaz a vártnál kisebb szórásnégyzetű normális valószínűségi változóhoz.) De minden ellenpélda hátterében az van, hogy bizonyos valószínűségi változók kis valószínűséggel rendkívül nagy értékeket vesznek fel. Ezek a rendkívüli értékek csak nagyon kis mértékben befolyásolják a normalizált összeg eloszlását, de nagyon befolyásolják az összeg szórásnégyzetét.

2.) A következő célunk az, hogy a Lindeberg feltételre, tehát a centrális határeloszlástételre jól ellenőrízhető és elég általános feltételt adjunk. Ennek érdekéban a következő állítást illetve annak bizonyítását fogjuk tárgyalni.

Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, független valószínűségi változók sorozata, melyre Eξ_{n} = 0,

σ_{n}^{2} = Eξ_{n}^{2} < ∞, n = 1, 2, …, lim_{n→∞} s_{n}^{2} = ∞, ahol s_{n}^{2} = ∑_{k=1}^{n} σ_{k}^{2}. Ez a sorozat teljesíti a

Lindeberg feltételt, ha a következő tulajdonságok egyike teljesül. a.) E|ξ_{k}|^{2+α} < ∞, minden k = 1, 2, … számra valamilyen α > 0 konstanssal, és

lim_{n→∞} \frac{( ∑_{k=1}^{n} E|ξ_{k}|^{2+α})^{2/(2+α)}}{s_{n}^{2}} = 0. Speciálisan, ez a feltétel teljesül akkor, ha Eξ_{k}^{2} ≥

K valamilyen K > 0 számmal minden k = 1, 2, … indexre, és ezenkívül érvényes

az E lim_{k→∞} k^{−α/2}E|ξ_{k}|^{2+α} = 0 reláció.

b.) A független ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók egyforma eloszlásúak. (Tehát független egyforma eloszlású valószűségi változók sorozata is teljesíti a Lindeberg feltételt, ezért a rájuk vonatkozó centrális határeloszlástétel speciális esete a centrális határeloszlástétel Lindeberg feltételből következő alakjának.)

Bizonyítás: A Hölder egyenlőtlenség alapján

∑_{k=1}^{n} Eξ_{k}^{2}I(|ξ_{k}| > εs_{n}) ≤ (∑_{k=1}^{n} E|ξ_{k}|^{(2+α)})^{(2/α+2)} (∑_{k=1}^{n} P (|ξ_{k}| > εs_{n}))^{α/(2+α)} .

Másrészt, a Chebishev egyenlőtlenség alapján ∑_{k=1}^{n} P (|ξ_{k}| > εs_{n}) ≤ ∑_{k=1}^{n} \frac{Eξ_{k}^{2}}{ε^{2}s_{n}^{2}} = \frac{1}{ε^{2}} . Ezért

ha az a) eset feltételei teljesülnek, akkor

lim_{n→∞} \frac{1}{s_{n}^{2}} ∑_{k=1}^{n} Eξ_{k}^{2}I(|ξ_{k}| > εs_{n}) = 0,

azaz teljesül a Lindeberg feltétel is.

Az a.) rész végén tekintett esetben s_{n} ≥ const. n, és ∑_{k=1}^{E} |ξ_{k}|^{2+α} = o (n^{(α+2)/2}), ha

n → ∞, ezért ekkor teljesül a a.) részben megfogalmazott feltétel. Ha ξ_{1}, ξ_{2}, …, független egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata, Eξ_{1} =

0, 0 < Eξ_{1}^{2} < ∞, akkor \frac{1}{s_{n}^{2}} ∑_{k=1}^{n} Eξ_{k}^{2}I(|ξ_{k}| > εs_{n}) = \frac{1}{Eξ_{1}^{2}} Eξ_{1}^{2}I (|ξ_{1}| > ε\sqrt{nEξ_{1}^{2}}) →

0, ha n → ∞. Tehát ebben az esetben is teljesül a Lindeberg feltétel.

A több dimenziós normális eloszlás

Az első megtárgyalandó kérdés az, hogy miért fontos számunkra ez a fogalom. A háttérben a következő kérdés áll. Láttuk, hogy független (valós, azaz egydimenziós) valószínűségi változók normalizált részletösszegei nagyon általános feltételek mellett normális eloszláshoz konvergálnak. Felmerül a kérdés: Tekintsünk független k-dimenziós ξ_{j} = (ξ_{j}^{(1)}, …, ξ_{j}^{(k)}), j = 1, 2, …, véletlen valószinűségi vektorokat, mely ξ_{j} vektorok függetlenek. Az egyszerűség kedvéért korlátozzuk figyelmünket arra az esetre, amikor a ξ_{j} vektorok egyforma eloszlásúak. Tegyük fel továbbá, hogy Eξ_{j}^{(l)} = 0, 1 ≤ l ≤ k.

Viszont az egyes ξ_{j} = (ξ_{j}^{(1)}, …, ξ_{j}^{(k)}) vektorok koordinátáinak kapcsolatáról semmilyen

korlátozó feltételt nem teszünk. Tekintsük a \frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{j=1}^{n} ξ_{j} = \frac{1}{\sqrt{n}} ( ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}^{(1)}, …, ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}^{(k)})

normalizált összegeket. Arra vagyunk kiváncsiak, hogy igaz-e az egy-dimenziós centrális határeloszlástétel több-dimenziós változata, azaz igaz-e az, hogy a fenti véletlen vektorokból készített normalizált részletösszegek nagyon általános feltételek mellett eloszlásban konvergálnak. Továbbá, milyen eloszlások jelennek meg mint határeloszlások? A válasz az első kérdésre igenlő. A lehetséges határeloszlások jól jellemezhetőek, és ezeket nevezik több-dimenziós normális eloszlásoknak.

Természetesen a több-dimenziós határeloszlástételeket az egy-dimenziós problémákhoz hasonlóan tárgyalhatjuk. Sőt, a több-dimenziós probléma egyszerűen visszavezethető az egydimenziós esetre a következő észrevétel segítségével.

Lemma: Legyen U^{(n)} = (U_{1}^{(n)}, …, U_{k}^{(n)}), n = 1, 2, …, k-dimenziós valószínűségi változók sorozata. Ez a sorozat akkkor és csak akkor konvergál eloszlásban egy U = (U_{1}, …, U_{k}) k-dimenziós véletlen vektor eloszlásához, ha tetszőleges (a_{1}, …, a_{k}) együtt-

hatókra a ∑_{l=1}^{k} a_{l}U_{l}^{(n)} lineáris kombinációk eloszlásban konvergálnak a ∑_{l=1}^{k} a_{l}U_{l} lineáris

kombinációhoz, ha n → ∞.

A lemma bizonyítása azon alapul, hogy a karakterisztikus függvényekre kimondott eredmények érvényesek több-dimenziós eloszlások karakterisztikus függvényeire is. Nevezetesen, egy U = (U_{1}, …, U_{k}) valószínűségi változó eloszlását meghatározza annak φ(t_{1}, …, t_{k}) = Ee^{i(t_{1}U_{1}+···+t_{k}U_{k})}, (t_{1}, …, t_{k}) ∈ R^{k}, karakterisztikus függvénye, továbbá ha valószínűségi vektorok egy U^{(n)} = (U_{1}^{(n)}, …, U_{k}^{(n)}) sorozata akkor és csak akkor konvergál egy U = (U_{1}, …, U_{k}) véletlen vektorhoz, ha e változók φ_{n}(t_{1}, …, t_{k}) = Ee^{i(t_{1}U_{1}^{(n)}+···+t_{k}U_{k}^{(n)})} karakterisztikus függvényei minden (t_{1}, …, t_{k}) ∈ R^{k} pontban konvergál az U = (U_{1}, …, U_{k}) véletlen vektor φ(t_{1}, …, t_{k}) = Ee^{i(t_{1}U_{1}+···+t_{k}U_{k})} karakte-

risztikus függvényéhez. Továbbá, ha φ_{a_{1},...,a_{k}}^{(n)}(t) = E {t ∑_{l=1}^{k} a_{l}U_{l}^{(n)}} jelöli a ∑_{l=1}^{k} a_{l}U_{l}^{(n)}

valószínűségi változók karakterisztikus függvényét, akkor

φ_{a_{1},...,a_{k}}^{(n)}(t) = φ^{(n)}(a_{1}t, …, a_{k}t),

és az analog eredmény érvényes az index nélküli (U_{1}, …, U_{k}) vektorra és az e vektor koordinátáiból képzett lineáris kombinációkra. Ezért átfogalmazva a Lemma állítását a karakterisztikus függvények nyelvére megkapjuk a Lemma bizonyítását.

(Megjegyezzük, hogy az egy-dimenziós esetben megfogalmazott az itt felidézettnél tartalmasabb állítás megfelelője a több-dimenziós esetben is érvényes. Ha tudjuk, hogy az U^{(n)} = (U_{1}^{(n)}, …, U_{k}^{(n)}) véletlen vektorok φ_{n}(t_{1}, …, t_{k}) = Ee^{i(t_{1}U_{1}^{(n)}+···+t_{k}U_{k}^{(n)})} karakterisztikus függvényei egy az origóban folytonos függvényhez konvergálnak, akkor a limeszfüggvény egy eloszlás karakterisztikus föggvénye, és a tekintett véletlen vektorok eloszlásban konvergálnak ehhez az eloszláshoz.)

Térjünk vissza a kiiduló problémához! Tekintsünk független k-dimenziós ξ_{j} = (ξ_{j}^{(1)}, …, ξ_{j}^{(k)}), j = 1, 2, …, véletlen valószinűségi vektorokat, melyek függetlenek, egy-

forma eloszlásúak és nulla várható értékűek. Tegyük fel továbbá, hogy E (ξ_{1}^{(p)})^{2} < ∞,

1 ≤ p ≤ k. Vezessük be a D(p, q) = Eξ_{1}^{(p)}ξ_{1}^{(q)} < ∞, 1 ≤ p, q ≤ k. Ekkor a

\frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{j=1}^{n} ∑_{p=1}^{k} a_{p}ξ_{j}^{(p)} valószínűségi változók az egy-dimenziós centrális határeloszlástétel

szerint konvergálnak a nulla várható értékű és ∑_{p=1}^{k} ∑_{q=1}^{l} D(p, q)a_{p}a_{q} szórásnégyzettel,

azaz φ(t) = exp {−t^{2} ∑_{p=1}^{k} ∑_{q=1}^{l} D(p, q)a_{p}a_{q}/ 2} karakterisztikus függvénnyel. Innen

következik t = 1 választással, hogy a limesz eloszlás karakterisztikus függvénye az

(a_{1}, …, a_{k}) pontban a φ(a_{1}, …, a_{k}) = exp {− ∑_{p=1}^{k} ∑_{q=1}^{l} D(p, q)a_{p}a_{q}/ 2} függvény. E

formula segítségével megkaphatjuk a több-dimenziós centrális határeloszlástételt, illetve a határeloszlások jellemzését, azaz a több-dimenziós normális eloszlás fogalmát. Mielőtt a részleteket kezdenénk el tárgyalni idézzünk fel néhány lineáris algebrai fogalmat és eredményt.

Lineáris algebrai ismétlés

Tekintsünk egy X (véges dimenziós) Euklides-i teret, azaz X lineáris tér, melyen létezik skalárszorzat. Az, hogy X lineáris tér azt jelenti, hogy ha x ∈ X, y ∈ X X-beli elemek (melyeket az irodalomban vektornak neveznek) és α, β valós számok, akkor αx + βy ∈ X is teljesülnek, továbbá teljesülnek bizonyos algebrai azonosságok: (x + y = y + x, x + (y + z) = (x + y) + z, létezik 0 ∈ X, (null elem), melyre x + 0 = x, minden x pontnak létezik −x inverze, melyre x + (−x) = 0, (α + β)x = αx + βx, (α(βx) = (αβ)x, 0x = 0, azaz, ha egy vektort beszorzunk a nulla számmal akkor a nulla vektort kapjuk.) Valamely x_{1}, …, x_{k} ∈ X vektorokat lineárisan függetlennek nevezzük,

ha a ∑_{j=1}^{k} α_{j}x_{j} = 0 csak triviális módon lehetséges, azaz csak akkor, ha minden α_{j} ∈ R

együtthatóra α_{j} = 0. Azt mondjuk, hogy az x_{1}, …, x_{k} vektorok generátorrendszert alkotnak, ha minden y ∈ X előállítható y = ∑_{j=1}^{k} α_{k}x_{k} alakban. Ha x_{1}, …, x_{k} vektorok

egyszerre alkotnak generátorrendszert és független rendszert, akkor ezt bázisnak hívják. Az általános eredmények szerint egyrészt minden vektor egyértelműen kifejezhetőek, mint egy bázis elemeinek lineáris lineáris kombinációja. Egy lineáris térnek különböző bázisai adhatók meg, de ezek elemszáma minden bázisra ugyanaz. Ezt a számot nevezik a lineáris tér dimenziójának.

A lineáris algebra egyik fontos fogalma a lineáris transzformáció fogalma. Egy A: X → X leképezést a lineáris transzformációnak nevezünk, ha miden x ∈ X, y ∈ X vektorra α és β (komplex) számokra (αx + βy)A = α(xA) + β(yA). (Az irodalomban nem egységes a jelölésrendszer, van ahol xA-t és van ahol Ax-et írnak.) Két lineáris transzformáció szorzatán a transzformációk egymás utáni alkalmazását értjük. Ha rögzítünk egy bázist egy k-dimenziós lineáris térben, akkor minden x ∈ X vektort természetes módon azonosíthatunk egy szám-k-assal, ha a vektort felírjuk, mint a bázisbeli elemek (egyértelmű) lineáris kombinációját, és a vektort azonosítjuk az ebben a reprezentációban szereplő együtthatókkal. Ugyancsak természetes, (tanult) módon azonosíthatunk egy lineáris transzformációt egy mátrix-szal.

De valójában számunkra bizonyos extra-tulajdonságokkal rendelkező lineáris terek lesznek az érdekesek. Úgynevezett Euklidesi terekről szóló fogalmakra és eredményekre lesz szükségünk, azaz olyan lineáris terekkel foglalkozunk, melyekben be van vezetve egy skalárszorzat, azaz minden x ∈ X és y ∈ X vektorokra létezik (x, y) skalárszorzat, mely egy valós (illetve általánosabb esetekben komplex) szám, és teljesíti a következő feltételeket: (x, x) ≥ 0, sőt (x, x) > 0, ha x ≠ 0, (αx_{1} + βx_{2}, y) = α(x_{1}, y) + β(x_{2}, y), (x, y) = \overline{(y, x)}, ahol \overline{z} a z komplex szám konjugáltját jelöli. Ez a skalászorzat azért olyan fontos a számunkra, mert ez teszi lehetőve, hogy beszélhessünk egy x ∈ X vektor |x| hosszáról, melyet az |x|^{2} = (x, x) formula definiál, valamint két x és y vektor

szögéről, (speciálisan merőlegességéről) melyet a cos(x és y által bezárt szög) = \frac{(x, y)}{|x||y|}

formula definiál. Továbbá definiálhatjuk az úgynevezett A(x, y) bilineáris formákat az X × X téren. A(x, y) bilineáris forma, ha A(α_{1}x + α_{2}x_{2}, y) = α_{1}A(x_{1}, y) + α_{2}A(x_{2}, y), és A(x, α_{1}y_{1} + α_{2}y_{2}) = ᾱ_{1}A(x, y_{1}) + ᾱ_{2}A(x_{2}, y_{2}). Be lehet látni, hogy egy Euklides-i térben egy természetes kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létezik a lineáris transzformációk és a bilineáris formák között. Nevezetesen, minden A lineáris transzformáció segítségével definiálható egy (xA, y) bilineáris forma, és tetszőleges bilineáris forma egyértelműen ilyen formában írható. Ez a következőképp lehetséges: Igaz az, hogy egy Euklides-i térben létezik e_{1}, …, e_{k} ortonormált bázis. (Azaz létezik olyan vektorokból álló bázis, mely egymásra merőleges egy hosszúságú vektorokból áll. Ilyen bázis több is létezik. Bár nem lenne kötelező, de Euklidesi terekben gyakorlatilag mindig ortogonális bázis segítségével számolnak.) Egy ilyen bázisban az A(x, y) bilineáris formát megadó (xA, y) kifejezésben szereplő A lineáris transzformáció mátrixa az a mátrix, melynek p-ik sorának q-ik helyén álló elem az a(p, q) = A(e_{p}, e_{q}) szám. Egy ilyen koordinátarendszerben, ha x = (x_{1}, …, x_{k}) ∈ X, y = (y_{1}, …, y_{k}) ∈ X, akkor az A(x, y)

bilineáris formát a A(x, y) = xAy^{∗} = ∑_{p=1}^{k} ∑_{q=1}^{k} a(p, q)x_{p}ȳ_{q} képlet adja meg, ahol y^{∗} az y vektorból készített oszlopvektor.

Ha A lineáris transzformáció egy Euklidesi térben, akkor definiálhatjuk, annak transzponáltját az (xA, y) = (x, yA^{∗}) formulával. Ha a lineáris transzformáció mátrixát egy ortonormált bázisban írjuk fel, akkor annak transzponáltját átlóra való tükrözéssel és a mátrix (komplex értékű) elemeinek a konjugálásával kapjuk meg. Egy A lineáris transzformációt önadjungáltnak nevezünk, ha A = A^{∗}, unitérnek, ha UU^{∗} = I, ahol I az identitás mátrix. Egy unitér mátrixra az is érvényes, hogy U^{∗}U = I. Egy unitér mátrix szög és távolságtartó, ezért ortonrmált bázist ortonormált bázisba visz. Egy A önadjungált mátrixra (xA, x) valós szám minden x ∈ X számra, mert (xA, x) = (x, xA) = \overline{(xA, x)}. Azt mondjuk, hogy egy önadjungált mátrix pozitiv szemidefinit, ha (xA, x) ≥ 0 minden x ∈ X számra, pozitív definit, ha (xA, x) > 0 minden x ≠ 0 vektorra. Nem nehéz belátni, hogy ha A önadjungált mátrix, akkor ezt a mátrixot illetve az általa definiált (xA, y) bilineáris függvényt meghatározza ennek megszorítása az x = y pontokra, azaz az (xA, x) függvény, (kvadratikus alak).

Annak érdekében, hogy lineáris operátorok (a nekik megfelelő) mátrixát minél jobban át tudjuk tekinteni, érdemes olyan ortonormált rendszert találni, melyben az operátor mátrixa a lehető legegyszerűbb szerkezetű. Ezért fontos eredmény a következő állítás. Ha A önadjungált operátor, egy k-dimenziós Euklidesi térben, akkor létezik az A mátrixnak k darab e_{1}, …, e_{k} ortonormált sajátvektorból álló bázisa, azaz olyan e_{p}, 1 ≤ p ≤ k vektorokból álló bázis, mely vektorokra e_{p}A = λ_{p}e_{p} Továbbá λ_{p} valós szám, p = 1, …, k. Ebben a bázisban az A mátrix egy diagonális Λ mátrix. E mátrix diagonális elemei a λ_{p} sajátértékek. Az A önadjungált operátor akkor és csak akkor pozitív szemidefinit, ha minden sajátértéke nem-negatív. Megjegyezzük, hogy az A mátrix felírható, mint A = UΛU^{∗} alakban, ahol U unitér operátor. Innen kiolvasható a következő számunkra fontos állítás: Ha A pozitív szemidefinit operátor (mátrix), akkor A felírható A = BB^{∗} alakban. (Sőt, választhatjuk a B mátrixot mint önadjungált mátrixot.) Ugyanis B = U\sqrt{Λ}U^{∗}, ahol \sqrt{Λ} az a diagonális mátrix, melynek elemei \sqrt{λ_{p}}, 1 ≤ p ≤ k teljesíti a feltételeket. Ekkor ugyanis BB^{∗} = U\sqrt{Λ}U^{∗}U\sqrt{Λ}U^{∗} = UΛU^{∗} = A.