\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\nopagenumbers
 
\noindent
{\bf Kit\H{u}z\"ott feladatok} \plainfootnote{} {A ${}^*$
jelz\'es\H{u} feladatok nem k\"otelez\H{o}ek.}
\item{1.${}^*$} Adott egy urna, \'es abban 7 piros \'es 3 feh\'er
goly\'o. Egym\'as ut\'an h\'uzunk ebb\H{o}l az urn\'ab\'ol. Minden
h\'uz\'as ut\'an a kih\'uzott goly\'ot visszadobjuk egy m\'asik azonos
sz\'{\i}n\H{u} goly\'oval egy\"utt. Mi az els\H{o} t\'{\i}z h\'uz\'as
sor\'an kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak
\itemitem{a.)} v\'arhat\'o \'ert\'eke,
\itemitem{b.)} sz\'or\'asn\'egyzete. \quad (Kit\H{u}zve szeptember
21-\'en.)
\item{2.} Legyenek $A_1,\dots,A_k$ f\"uggetlen esem\'enyek egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Fejezz\"uk
ki a $P(A_1+\cdots+A_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget a $P(A_j)$,
$j=1,\dots,k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\quad (Kit\H{u}zve szeptember 21-\'en.)
\item{3.} Legyenek adva valamilyen $A_1,\dots,A_n$
esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Az $A_1,\dots,A_n$  esem\'enyek akkor \'es
csak akkor f\"uggetlenek, ha ezek $\chi_{A_1},\dots,\chi_{A_n}$
indik\'ator f\"uggv\'enyei f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok. \quad (Kit\H{u}zve szeptember 28-\'an.)
\item{4.${}^*$} Defini\'aljuk az $\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t a k\"ovetkez\H{o} m\'odon:
$\Omega=[0,1]$, $\Cal A$ a $[0,1)$ intervallum Borel
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazainak a $\sigma$-algebr\'aja, $P$ a
Lebesgue m\'ert\'ek, azaz $P([a,b))=b-a$, ha $0\le a<b<1$. Adva egy
$x\in [0,1)$ pont (azaz elemi esem\'eny), \'{\i}rjuk fel ezt a
sz\'amot $x=0.\e_1\e_2\e_3\dots=\summ_{k=1}^\infty\dfrac{\e_k}{2^k}$
v\'egtelen ``kettedes"-t\"ort alakban, ahol $\e_k=0$ vagy $\e_k=1$,
$k=1,2,\dots$. (Az egy\'ertelm\H{u} fel\'{\i}r\'as \'erdek\'eben
abban az esetben, ha egy sz\'amot k\'etf\'elek\'eppen \'{\i}rhatunk
fel, a sorozat v\'eg\'en vagy csupa 0-val vagy csupa 1-gyel, akkor
\'{\i}rjuk fel ezt a sz\'amot a v\'eg\'en csupa egyessel.)
Defini\'aljuk a $\xi_n=\xi_n(x)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Legyen $\xi_n(x)=0$, ha az
$x=0.\e_1\e_2\e_3\dots$ ``kettedes-t\"ort" $n$-ik sz\'amjegye 0,
$\xi_n(x)=1$, ha ez a sz\'amjegy 1. L\'assuk be, hogy $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
\'es $P(\xi_n=1)=P(\xi_n=0)=\frac12$. \quad (Kit\H{u}zve okt\'ober
5-\'en.)
\item{5.} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, olyan f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre
$P(\xi_n=0)=P(\xi_n=1)=\dfrac12$. Legyen tov\'abb\'a $\tau$ a
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okt\'ol
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyik
pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel. L\'assuk be, hogy a
v\'eletlen index\H{u} $\xi_\tau$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a $P(\xi_\tau=0)=P(\xi_\tau=1)=\frac12$
rel\'aci\'ot. \quad (Kit\H{u}zve okt\'ober 5-\'en.)
\item{6.$^*$} L\'assuk be, hogy
$$
\sum_{n=k}^\infty\binom nk x^n=(-1)^k
\sum_{n=k}^\infty\binom {-k-1}{n-k} (-x)^n=x^{k} (1-x)^{-k-1},
$$
ha $|x|<1$, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az azonoss\'agnak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az okt\'ober 5-i gyakorlat els\H{o}
feladat\'aban vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget az ott
szerepl\H{o} \"osszeg explicit kisz\'am\'{\i}t\'as\'aval. \quad
(Kit\H{u}zve okt\'ober 5-\'en.)
\item{7.$^*$} Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor az
$$
A=A(a)=\left\{\oo\:
\;\limsup_{n\to\infty}\xi_n(\oo)=a \right\}
$$
esem\'eny eleme a $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'anak, teh\'at l\'etezik a
$P(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg. \quad (Kit\H{u}zve okt\'ober 12-\'en.)
\item{8.} Konstru\'aljunk olyan $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot alkalmas $(\Omega, \Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
me\-z\H{o}n, melyre $E\xi^2<\infty$, de $E\xi^4=\infty$.
\quad (Kit\H{u}zve okt\'ober 12-\'en.)
\item{9.} Tekints\"unk egy szab\'alyos p\'enzdarab egym\'as ut\'ani
(f\"uggetlen) feldob\'as\'ab\'ol sz\'ar\-ma\-z\'o 10~000
hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as sorozatot. Adjunk becsl\'est a
Chebishev egyenl\H{o}tlens\'eg se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a fej-dob\'asok sz\'am\'anak
elt\'er\'ese a v\'art 5000 sz\'amt\'ol legal\'abb 100-zal, illetve
legal\'abb 200-zal elt\'er! Milyen becsl\'est ad ezekre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel?
(Haszn\'aljunk norm\'alis eloszl\'as f\"uggv\'eny t\'abl\'azatot!
Ilyen t\'abl\'azat tal\'alhat\'o p\'eld\'aul R\'enyi Alfr\'ed
Va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
c\'{\i}m\H{u} k\"onyv\'enek a v\'eg\'en, de val\'osz\'{\i}n\H{u}leg a
statisztika jegyzet is tartalmaz ilyen t\'abl\'azatot.)
\quad (Kit\H{u}zve okt\'ober 12-\'en.)
\item{10.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an 10
alkalommal. Kisz\'am\'{\i}tjuk a 10 dob\'as eredm\'eny\'enek az
\"osszeg\'et. Mi ezen v\'eletlen \"osszeg n\'egyzet\'enek a v\'arhat\'o
\'ert\'eke? \quad (Kit\H{u}zve okt\'ober 19-\'en.)
\item{11.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyek tetsz\H{o}leges
$k_1$,\dots, $k_n$ eg\'esz sz\'amokra, \'es az
$1,\dots,n$ tetsz\H{o}leges permut\'aci\'oj\'ara teljes\'{\i}tik a
$$
P(\xi_1=k_1,\dots,\xi_n=k_n)=
P(\xi_{\pi(1)}=k_1,\dots,\xi_{\pi(n)}=k_n)
$$
azonoss\'agot. Ekkor tetsz\H{o}leges $1\le i<j\le n$ sz\'amokra a
$(\xi_1,\xi_2)$ illetve $(\xi_i,\xi_j)$ vektorok eloszl\'asa
megegyezik. Ez\'ert $E\xi_i\xi_j=E\xi_1\xi_2$, $E\xi_1=E\xi_j$.
\quad (Kit\H{u}zve okt\'ober 19-\'en.)
\item{12.$^*$} Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata, akkor \'es csak akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha az $\eta_n=\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata sztochasztikusan
konverg\'al null\'ahoz, azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$P\(\limm_{n\to\infty}\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|>\e\)=0$.
\quad (Kit\H{u}zve okt\'ober 19-\'en.)
\item{13.$^*$} A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak akkor
\'es csak akkor l\'etezik v\'eges m\'asodik momentuma, ha
$\summ_{n=1}^\infty nP(|\xi|>n)<\infty$. \'Altal\'anosabban
$E|\xi|^k<\infty$ valamilyen $k=1,2,\dots$, sz\'amra akkor
\'es csak akkor, ha $\summ_{n=1}^\infty n^{k-1}P(|\xi|>n)<\infty$.
\quad (Kit\H{u}zve okt\'ober 19-\'en.)
\item{14.}  Egy $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny $\varphi(t)=\int
e^{itx}\,dF(x)$ karakterisztikus f\"uggv\'enye, $-\infty<t<\infty$,
folytonos, s\H{o}t egyenletesen folytonos f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen. \quad (Kit\H{u}zve november 2-\'an.)
\item{15.$^*$} Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta,
az $f(x)=\dfrac C{x^2\log |x|}$, ha $|x|>2$. $f(x)=0$, ha $|x|\le 2$,
k\'eplettel megadott s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel.
($\dsize\int_{|x|>2}\frac {C\,dx}{|x|\log |x|}=1$.)
Defini\'aljuk az $S_n=\summ_{k=1}^m\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket. L\'assuk be, hogy az $\dfrac{S_n}n$
\'atlagok sztochasztikusan tartanak null\'ahoz, azaz minden $\e>0$
sz\'amra $P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\to0$, ha $n\to\infty$.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Legyen $\bar\xi_k=\bar
\xi_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|\le a_n\)$, $\bar{\bar\xi}_k=\bar{\bar
\xi}_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|>a_n\)$, \'es $\bar
S_n=\summ_{k=1}^n\bar\xi_k$, $\bar{\bar
S}_n=\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k$. Ekkor $P(|S_n|>\e n)\le
P\(|\bar S_n|>\frac\e2n\)+  P\(|\bar{\bar S}_n|>\frac\e2n\)\le \dfrac
{\text {Var}\,\bar S_n}{\frac{\e^2}4n^2}+nP(\bar{\bar \xi_1}\neq0)$.
Adjunk az $a_n$ konstans alkalmas meg\-v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'a\-val
(p\'eld\'aul $a_n=n$) j\'o becsl\'est a $P(|S_n|>n\e)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre. \quad (Kit\H{u}zve november 9-\'en.)
\item{16.$^*$} Legyen $\xi_{k,j}$, $j=1,\dots,n_k$
 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sz\'eriasorozata, melyek
r\"ogz\'{\i}tett $k$-ra f\"uggetlenek. Tegy\"uk fel ezen k\'\i{}v\"ul,
hogy
\itemitem{(i)} A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem-negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel,
$P(\xi_{k,j}=1)=\lambda_{k,j}$, $P(\xi_{k,j}\ge2)=o(\lambda_{k,j})$,
$1\le j\le n_k$, \'es a $o(\cdot)$ egyenletes $j$-ben.
\itemitem{(ii)} $\lim\limits_{k\to\infty}\sup\limits_{1\le j\le
n_k}\lambda_{k,j}=0$
\itemitem{(iii)} $\lim\limits_{k\to\infty}\sum
\limits_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}\to\lambda>0$
\item{}
Ekkor az $S_k=\sum\limits_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz
$\lambda$ param\'eterrel.  \quad (Kit\H{u}zve november 9-\'en.)
\item{17.} Ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda>0$ param\'eterrel, azaz
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(u)=\lambda e^{-\lambda u}$, ha
$u\ge0$, $f(u)=0$, ha $u<0$, akkor $\xi$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi(t)=\dfrac\lambda{\lambda-it}$. \quad (Kit\H{u}zve november
9-\'en.)
\item{18.} L\'assuk be a (karakterisztikus f\"uggv\'eny m\'odszer
felhaszn\'al\'asa\'aval), hogy ha $\xi_\lambda$ $\lambda$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, akkor a
$\dfrac{\xi_\lambda-\lambda}{\sqrt \lambda}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak a standard norm\'alis
eloszl\'ashoz $\lambda\to\infty$ eset\'en.
\quad (Kit\H{u}zve november 9-\'en.)
\item{19.} Ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
negativ binomi\'alis eloszl\'as\'u $n=1$ \'es $p$ param\'eterrel,
$0<p<1$, azaz $P(\xi=k)= p^k(1-p)$, $k=0,1,2,\dots$, akkor $\xi$
karakterisztikus f\"uggv\'enye $\varphi(t)=\dfrac{1-p}{1-pe^{it}}$.
\quad (Kit\H{u}zve november 9-\'en.)
\item{20.$^*$} Ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
negativ binomi\'alis eloszl\'as\'u $n$ \'es $p$ param\'eterrel, ahol
$n\ge1$ eg\'esz sz\'am, $0<p<1$, azaz
$P(\xi=k)=\dbinom{n+k-1}{k}p^k(1-p)^n$,
$k=0,1,2,\dots$, akkor $\xi$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi(t)=\(\dfrac{1-p}{1-pe^{it}}\)^n$. \quad (Kit\H{u}zve november
9-\'en.)
\item{21.$^*$} Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal B, \bold
P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}t: $\Omega=[0,1]$, \
$\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra $[0,1]$-en, \'es $\bold P$ a Lebesgue
m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $\xi$ \'es $\eta$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat ezen a mez\H{o}n:
$\xi(x)=\Phi^{-1}(x)$,
$$
\eta(x)=\cases
\xi(1-x)& \text{ha }0\le x<\frac12\\
\xi\(x-\frac12\)& \text{ha }\frac12\le x\le1
\endcases.
$$
L\'assuk be, hogy $\xi$ \'es $\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, de a $(\xi,\eta)$ vektor nem
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor.
\item{}{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Egy lehets\'eges magyar\'azat arra,
hogy a $(\xi,\eta)$ vektor nem norm\'alis az, hogy
$P(\xi+\eta=0)=\frac12$. \quad (Kit\H{u}zve december 7-\'en.)
\item{22.$^*$} Legyen $A$ tetsz\H{o}leges $k\times l$ t\'eglalap
m\'atrix, (zaz nem tessz\"uk fel, hogy $k=l$), $\eta_1,\dots,\eta_l$
f\"uggetlen, standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Ekkor az
$(\xi_1,\dots,\xi_k)=(\eta_1,\dots,\eta_l)A$ v\'eletlen vektor nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{}{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ \'Irjuk fel a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et. L\'assuk be,
hogy ez egy $\Sigma=A^*A$ kovarianciam\'atrix\'u nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen vektor.
Speci\'alisan, $A^*A$ pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix az
\'altal\'anos (t\'eg\-la\-lap\-m\'at\-rixok\-ra is \'erv\'enyes)
esetben. \quad (Kit\H{u}zve december 7-\'en.)
 
 
 
 
 
 
\bye
