Kitűzött feladatok

1.^{∗} Adott egy urna, és abban 7 piros és 3 fehér golyó. Egymás után húzunk ebből az urnából. Minden húzás után a kihúzott golyót visszadobjuk egy másik azonos színű golyóval együtt. Mi az első tíz húzás során kihúzott piros golyók számának

a.) várható értéke,

b.) szórásnégyzete. (Kitűzve szeptember 21-én.)

2. Legyenek A_{1}, …, A_{k} független események egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Fejezzük ki a P (A_{1} + ⋯ + A_{k}) valószínűséget a P (A_{j}), j = 1, …, k, valószínűségek segítségével. (Kitűzve szeptember 21-én.)

3. Legyenek adva valamilyen A_{1}, …, A_{n} események egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Az A_{1}, …, A_{n} események akkor és csak akkor függetlenek, ha ezek χ_{A_{1}}, …, χ_{A_{n}} indikátor függvényei független valószínűségi változók. (Kitűzve szeptember 28án.)

4.^{∗} Definiáljuk az Ω, A, P) valószínűségi mezőt a következő módon: Ω = [0, 1], A a [0, 1) intervallum Borel mérhető részhalmazainak a σ-algebrája, P a Lebesgue mérték, azaz P ([a, b)) = b − a, ha 0 ≤ a < b < 1. Adva egy x ∈ [0, 1) pont (azaz elemi

esemény), írjuk fel ezt a számot x = 0.ε_{1}ε_{2}ε_{3} ⋯ = ∑_{k=1}^{∞} \frac{ε_{k}}{2^{k}} végtelen “kettedes”-

tört alakban, ahol ε_{k} = 0 vagy ε_{k} = 1, k = 1, 2, . . .. (Az egyértelmű felírás érdekében abban az esetben, ha egy számot kétféleképpen írhatunk fel, a sorozat végén vagy csupa 0-val vagy csupa 1-gyel, akkor írjuk fel ezt a számot a végén csupa egyessel.) Definiáljuk a ξ_{n} = ξ_{n}(x), n = 1, 2, …, valószínűségi változókat a következő módon. Legyen ξ_{n}(x) = 0, ha az x = 0.ε_{1}ε_{2}ε_{3} … “kettedes-tört” n-ik számjegye 0, ξ_{n}(x) = 1, ha ez a számjegy 1. Lássuk be, hogy ξ_{n}, n = 1, 2, …, független valószínűségi változók, és P (ξ_{n} = 1) = P (ξ_{n} = 0) = \frac{1}{2}. (Kitűzve október 5-én.)

5. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, olyan független valószínűségi változók, melyekre P (ξ_{n} = 0) =

P (ξ_{n} = 1) = \frac{1}{2}. Legyen továbbá τ a ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változóktól független valószínűségi változó, amelyik pozitív egész értékeket vesz fel. Lássuk be, hogy a véletlen indexű ξ_{τ} valószínűségi változó teljesíti a P (ξ_{τ} = 0) = P (ξ_{τ} = 1) = \frac{1}{2} relációt. (Kitűzve október 5-én.)

6.^{∗} Lássuk be, hogy

∑_{n=k}^{∞} \binom{n}{k}x^{n} = (−1)^{k} ∑_{n=k}^{∞} \binom{−k − 1}{n − k}(−x)^{n} = x^{k}(1 − x)^{−k−1},

ha |x| < 1, és számítsuk ki ennek az azonosságnak a segítségével az október 5-i gyakorlat első feladatában vizsgált valószínűséget az ott szereplő összeg explicit kiszámításával. (Kitűzve október 5-én.)

A ^{∗} jelzésű feladatok nem kötelezőek.

7.^{∗} Legyen ξ_{1}, ξ_{2}, … valószínűségi változók sorozata egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Ekkor az

A = A(a) = {ω: lim sup_{n→∞} ξ_{n}(ω) = a}

esemény eleme a A σ-algebrának, tehát létezik a P (A) valószínűség. (Kitűzve október 12-én.)

8. Konstruáljunk olyan ξ valószínűségi változót alkalmas (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, melyre Eξ^{2} < ∞, de Eξ^{4} = ∞. (Kitűzve október 12-én.)

9. Tekintsünk egy szabályos pénzdarab egymás utáni (független) feldobásából származó 10 000 hosszúságú fej-írás sorozatot. Adjunk becslést a Chebishev egyenlőtlenség segítségével annak valószínűségére, hogy a fej-dobások számának eltérése a várt 5000 számtól legalább 100-zal, illetve legalább 200-zal eltér! Milyen becslést ad ezekre a valószínűségekre a centrális határeloszlástétel? (Használjunk normális eloszlás függvény táblázatot! Ilyen táblázat található például Rényi Alfréd Valószínűségszámítás című könyvének a végén, de valószínűleg a statisztika jegyzet is tartalmaz ilyen táblázatot.) (Kitűzve október 12-én.)

10. Egy szabályos dobókockát feldobunk egymás után 10 alkalommal. Kiszámítjuk a 10 dobás eredményének az összegét. Mi ezen véletlen összeg négyzetének a várható értéke? (Kitűzve október 19-én.)

11. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} egész értékű valószínűségi változók, melyek tetszőleges k_{1}, …, k_{n} egész számokra, és az 1, …, n tetszőleges permutációjára teljesítik a

P (ξ_{1} = k_{1}, …, ξ_{n} = k_{n}) = P (ξ_{π(1)} = k_{1}, …, ξ_{π(n)} = k_{n})

azonosságot. Ekkor tetszőleges 1 ≤ i < j ≤ n számokra a (ξ_{1}, ξ_{2}) illetve (ξ_{i}, ξ_{j}) vektorok eloszlása megegyezik. Ezért Eξ_{i}ξ_{j} = Eξ_{1}ξ_{2}, Eξ_{1} = Eξ_{j}. (Kitűzve október 19-én.)

12.^{∗} Valószínűségi változók ξ_{n}, n = 1, 2, …, sorozata, akkor és csak akkor konvergál egy valószínűséggel egy ξ valószínűségi változóhoz, ha az η_{n} = sup_{k≥n} |ξ_{k} −ξ| valószínűségi

változók sorozata sztochasztikusan konvergál nullához, azaz minden ε > 0 számra

P ( lim_{n→∞} sup_{k≥n} |ξ_{k} − ξ| > ε) = 0. (Kitűzve október 19-én.)

13.^{∗} A ξ valószínűségi változónak akkor és csak akkor létezik véges második momen-

tuma, ha ∑_{n=1}^{∞} nP (|ξ| > n) < ∞. Általánosabban E|ξ|^{k} < ∞ valamilyen k =

1, 2, …, számra akkor és csak akkor, ha ∑_{n=1}^{∞} n^{k−1}P (|ξ| > n) < ∞. (Kitűzve

október 19-én.)

14. Egy F (x) eloszlásfüggvény φ(t) = ∫ e^{itx} dF (x) karakterisztikus függvénye, −∞ < t < ∞, folytonos, sőt egyenletesen folytonos függvény a számegyenesen. (Kitűzve november 2-án.)

15.^{∗} Legyen ξ_{k}, k = 1, 2, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata, az f(x) = \frac{C}{x^{2} log |x|}, ha |x| > 2. f(x) = 0, ha |x| ≤ 2, képlettel megadott

sűrűségfüggvénnyel. (∫_{|x|>2} \frac{C dx}{|x| log |x|} = 1.) Definiáljuk az S_{n} = ∑_{k=1}^{m} ξ_{k}, n =

1, 2, …, részletösszegeket. Lássuk be, hogy az \frac{S_{n}}{n} átlagok sztochasztikusan tar-

tanak nullához, azaz minden ε > 0 számra P (|\frac{S_{n}}{n} | > ε) → 0, ha n → ∞.

Segítség: Legyen ξ̄_{k} = ξ̄_{k}^{(n)} = ξ_{k}I (|ξ_{k}| ≤ a_{n}), ¯ ξ̄_{k} = ¯ ξ̄_{k}^{(n)} = ξ_{k}I (|ξ_{k}| > a_{n}), és S̄_{n} =

∑_{k=1}^{n} ξ̄_{k}, ¯ S̄_{n} = ∑_{k=1}^{n} ¯ ξ̄_{k}. Ekkor P (|S_{n}| > εn) ≤ P (|S̄_{n}| > \frac{ε}{2}n) + P (|¯S̄_{n}| > \frac{ε}{2}n) ≤

\frac{Var S̄_{n}}{\frac{ε^{2}}{4} n^{2}} + nP ( ¯ξ̄_{1} ≠ 0). Adjunk az a_{n} konstans alkalmas megválasztásával (például a_{n} = n) jó becslést a P (|S_{n}| > nε) valószínűségre. (Kitűzve november 9-én.)

16.^{∗} Legyen ξ_{k,j}, j = 1, …, n_{k} valószínűségi változók szériasorozata, melyek rögzített k-ra függetlenek. Tegyük fel ezen kívül, hogy

(i) A ξ_{k,j} valószínűségi változók nem-negatív egész értékeket vesznek fel, P (ξ_{k,j} = 1) = λ_{k,j}, P (ξ_{k,j} ≥ 2) = o(λ_{k,j}), 1 ≤ j ≤ n_{k}, és a o(·) egyenletes j-ben.

(ii) lim_{k→∞} sup_{1≤j≤n_{k}} λ_{k,j} = 0

(iii) lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{k,j} → λ > 0

Ekkor az S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ_{k,j} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak egy Poisson eloszlású valószínűségi változóhoz λ paraméterrel. (Kitűzve november 9-én.)

17. Ha a ξ valószínűségi változó exponenciális eloszlású λ > 0 paraméterrel, azaz sűrűségfüggvénye f(u) = λe^{−λu}, ha u ≥ 0, f(u) = 0, ha u < 0, akkor ξ karakterisztikus függvénye φ(t) = \frac{λ}{λ − it}. (Kitűzve november 9-én.)

18. Lássuk be a (karakterisztikus függvény módszer felhasználásaával), hogy ha ξ_{λ} λ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, akkor a \frac{ξ_{λ} − λ}{\sqrt{λ}} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak a standard normális eloszláshoz λ → ∞ esetén. (Kitűzve november 9-én.)

19. Ha a ξ valószínűségi változó negativ binomiális eloszlású n = 1 és p paraméterrel, 0 < p < 1, azaz P (ξ = k) = p^{k}(1 − p), k = 0, 1, 2, …, akkor ξ karakterisztikus függvénye φ(t) = \frac{1 − p}{1 − pe^{it}}. (Kitűzve november 9-én.)

20.^{∗} Ha a ξ valószínűségi változó negativ binomiális eloszlású n és p paraméterrel, ahol n ≥ 1 egész szám, 0 < p < 1, azaz P (ξ = k) = \binom{n + k − 1}{k}p^{k}(1 − p)^{n}, k = 0, 1, 2, …, akkor ξ karakterisztikus függvénye φ(t) = (\frac{1 − p}{1 − pe^{it}} )^{n}. (Kitűzve

november 9-én.) 21.^{∗} Definiáljuk a következő (Ω, B, P) valószínűségi mezőt: Ω = [0, 1], B a Borel σ-

algebra [0, 1]-en, és P a Lebesgue mérték. Definiáljuk a következő ξ és η valószínűségi változókat ezen a mezőn: ξ(x) = Φ^{−1}(x),

η(x) = \{ \begin{matrix}ξ(1 − x) & ha 0 ≤ x < \frac{1}{2} \\ ξ (x − \frac{1}{2}) & ha \frac{1}{2} ≤ x ≤ 1 \end{matrix} .

Lássuk be, hogy ξ és η normális eloszlású valószínűségi változók, de a (ξ, η) vektor nem normális eloszlású valószínűségi vektor. Segítség: Egy lehetséges magyarázat arra, hogy a (ξ, η) vektor nem normális az, hogy P (ξ + η = 0) = \frac{1}{2}. (Kitűzve december 7-én.)

22.^{∗} Legyen A tetszőleges k × l téglalap mátrix, (zaz nem tesszük fel, hogy k = l), η_{1}, …, η_{l} független, standard normális eloszlású valószínűségi változók. Ekkor az (ξ_{1}, …, ξ_{k}) = (η_{1}, …, η_{l})A véletlen vektor nulla várható értékű normális eloszlású valószínűségi változó. Segítség: Írjuk fel a (ξ_{1}, …, ξ_{k}) véletlen vektor karakterisztikus függvényét. Lássuk be, hogy ez egy Σ = A^{∗}A kovarianciamátrixú nulla várható értékű normális eloszlású véletlen vektor. Speciálisan, A^{∗}A pozitív szemidefinit mátrix az általános (téglalapmátrixokra is érvényes) esetben. (Kitűzve december 7-én.)