\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\define\summ{\sum\limits}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\nopagenumbers
\centerline{\bf Felm\'er\H{o} dolgozat}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
definici\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon lehet
megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
 
\item{1.)} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul 20 alkalommal. Te\-kint\-s\"uk a fejdob\'asok
sz\'am\'anak a n\'egyzet\'et, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{2.)} Sz\'amoljuk ki egy $f(x)=\frac12 e^{-|x|}$,
$-\infty<x<\infty$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et.
\item{3.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at 3000  alkalommal feldobunk
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Adjunk j\'o becsl\'est a mell\'ekelt
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny t\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel
arra, hogy a hatos dob\'asok sz\'ama 400 \'es 600 k\"oz\'e esik.
\item{4.)} Mikor mondjuk azt, hogy  $F_n$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $F$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez?
\item{5.)} Mikor mondjuk azt, hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta teljes\'{\i}ti
a nagy sz\'amok gyenge illetve er\H{o}s t\"orv\'eny\'et?
\item{6.)} Mi a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as definici\'oja?
\medskip
\centerline{\bf Megold\'asok}
\medskip
\item{1.}  Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, 0, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as, $1\le j\le20$. Ekkor a minket \'erdekl\H{o} mennyis\'eg az
$E\(\summ_{j=1}^{20}\xi_j\)^2=\summ_{j=1}^{20}E\xi_j^2+\summ\Sb 1\le
j,k\le 20\\ j\neq k \endSb E\xi_jE\xi_k$ \"osszeg. (Ebben a
sz\'amol\'asban kihaszn\'altuk a $\xi_j$ v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'eg\'et.) Mivel $E\xi_j=\frac12$, $E\xi_j^2=\frac12$, $1\le
j\le k$, ez\'ert
$E\(\summ_{j=1}^{20}\xi_j\)^2=20\cdot\frac12+20\cdot19\cdot\frac14=105$.
\item{2.} A k\'erdezett karakterisztikus f\"uggv\'eny \'ert\'eke a $t$
pontban a k\"ovetkez\H{o} integr\'allal egyenl\H{o}:
$$
\align
&\frac12\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|+itx}\,dx=
\frac12\int_{-\infty}^0 e^{x+itx}\,dx+
\frac12\int_0^{\infty}e^{-x+itx}\,dx \\
&\qquad=\frac12\[\frac{e^{x(1+it)}}{1+it}\]_{-\infty}^0+
\frac12\[\frac{e^{x(-1+it)}}{-1+it}\]_0^\infty
=\dfrac12 \(\frac1{1+it}+\frac1{1-it}\)=\frac1{1+t^2}.
\endalign
$$
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ \'Erdemes megjegyezni a karakterisztikus
f\"uggv\'eny n\'eh\'any olyan egy\-sze\-r\H{u} tulajdons\'ag\'at, melyek
seg\'{\i}tenek bizonyos sz\'amol\'asi hib\'ak \'eszrev\'etel\'eben.
Tudjuk, hogy ha $\varphi(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny, akkor
$\varphi(0)=0$. Ha egy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et sz\'amoljuk ki, melynek
van $f(x)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, \'es az p\'aros
f\"uggv\'eny, azaz $f(-x)=f(x)$ minden $x$ sz\'amra, akkor e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\varphi(t)$ karakterisztikus
f\"uggv\'enye val\'os \'ert\'ek\H{u} p\'aros f\"uggv\'eny. Val\'oban,
$\varphi(t)=\int_{\infty}^{\infty} e^{itx}f(x)\,dx=
\int_{\infty}^{\infty} (\cos tx+i\sin tx) f(x)\,dx=
\int_{\infty}^{\infty} \cos tx f(x)\,dx$, \'es ez val\'os
\'ert\'ek\H{u}, p\'aros f\"uggv\'eny. (Kihaszn\'altuk, hogy $f(x)\cos
tx$ p\'aros, $f(x)\sin tx$ pedig p\'aratlan f\"uggv\'eny, ez\'ert az
ut\'obbi f\"uggv\'eny integr\'alja minusz v\'egtelent\H{o}l
v\'egtelenig null\'aval egyenl\H{o}.)
\item{3.)} Jel\"olje $S$ a 3000 dob\'asban a hatos dob\'asok
sz\'am\'at. Ez 3000 f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszege, (melyek
eggyel egyenl\H{o}ek, ha a megfeles\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos,
\'es null\'aval, ha az nem hatos. Ez\'ert az \"osszeadand\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'eke $\frac16$, sz\'or\'asn\'egyzete $\frac16\cdot
\frac56$, $E S=3000\cdot\frac16=500$, $\text{Var}\,S=3000\cdot
\frac5{36}=\frac{2500}6$, \'es a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alapj\'an
$$
P\(u<\frac{S-500}{\sqrt{\frac{2500}6}}<v\)\sim \(\Phi(v)-\Phi(u)\),
$$
ahol $\Phi(\cdot)$ a stadard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny. Ez\'ert
$$
\align
P(400<S<600)&=P\(-2\sqrt6<\frac{S-500}{\sqrt{\frac{2500}6}}<2\sqrt6\)\\
&\sim \(\Phi(2\sqrt6)-\Phi(-2\sqrt6)\)
=2\Phi(2\sqrt6)-1\sim2\Phi(4.89)-1\sim1,
\endalign
$$
teh\'at a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg majdnem egy.
\bigskip\noindent
A k\'erdezett definici\'okat nem \'{\i}rjuk le. Ezek megtal\'alhat\'oak a
gyakorlatokr\'ol le\'{\i}rt \"osszefoglal\'okban is.
 
 
 
 
 
 
 
\bye
