Felmérő dolgozat

Megjegyzés: Abban az esetben, ha egy megkérdezett fogalom definicióját több (egymással ekvivalens) módon lehet megadni, akkor ezek mindegyike jó válasznak minősül.

1.) Egy szabályos pénzdarabot feldobunk egymástól függetlenül 20 alkalommal. Tekintsük a fejdobások számának a négyzetét, és számítsuk ki ennek a várható értékét.

2.) Számoljuk ki egy f(x) = \frac{1}{2}e^{−|x|}, −∞ < x < ∞, sűrűségfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változó karakterisztikus függvényét.

3.) Egy szabályos dobókockát 3000 alkalommal feldobunk egymástól függetlenül. Adjunk jó becslést a mellékelt normális eloszlásfüggvény táblázat segítségével arra, hogy a hatos dobások száma 400 és 600 közé esik.

4.) Mikor mondjuk azt, hogy F_{n}, n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények sorozata eloszlásban konvergál egy F eloszlásfüggvényhez?

5.) Mikor mondjuk azt, hogy független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata teljesíti a nagy számok gyenge illetve erős törvényét?

6.) Mi a több-dimenziós normális eloszlás definiciója?

Megoldások

1. Vezessük be a következő ξ_{j} valószínűségi változókat: ξ_{j} = 1, ha a j-ik dobás eredménye fej, 0, ha a j-ik dobás eredménye írás, 1 ≤ j ≤ 20. Ekkor a minket

érdeklő mennyiség az E ( ∑_{j=1}^{20} ξ_{j})^{2} = ∑_{j=1}^{20} Eξ_{j}^{2} + ∑_{\begin{matrix}1≤j,k≤20 \\ j≠k \end{matrix}} Eξ_{j}Eξ_{k} összeg. (Ebben a

számolásban kihasználtuk a ξ_{j} változók függetlenségét.) Mivel Eξ_{j} = \frac{1}{2}, Eξ_{j}^{2} = \frac{1}{2},

1 ≤ j ≤ k, ezért E ( ∑_{j=1}^{20} ξ_{j})^{2} = 20 · \frac{1}{2} + 20 · 19 · \frac{1}{4} = 105.

2. A kérdezett karakterisztikus függvény értéke a t pontban a következő integrállal egyenlő:

\frac{1}{2} ∫_{−∞}^{∞} e^{−|x|+itx} dx = \frac{1}{2} ∫_{−∞}^{0} e^{x+itx} dx + \frac{1}{2} ∫_{0}^{∞} e^{−x+itx} dx

= \frac{1}{2} [\frac{e^{x(1+it)}}{1 + it} ]_{−∞}^{0} + \frac{1}{2} [\frac{e^{x(−1+it)}}{−1 + it} ]_{0}^{∞} = \frac{1}{2} (\frac{1}{1 + it} + \frac{1}{1 − it}) = \frac{1}{1 + t^{2}} .

Megjegyzés: Érdemes megjegyezni a karakterisztikus függvény néhány olyan egyszerű tulajdonságát, melyek segítenek bizonyos számolási hibák észrevételében. Tudjuk, hogy ha φ(t) karakterisztikus függvény, akkor φ(0) = 0. Ha egy olyan valószínűségi változó karakterisztikus függvényét számoljuk ki, melynek van f(x) sűrűségfüggvénye, és az páros függvény, azaz f(−x) = f(x) minden x számra, akkor e valószínűségi változó φ(t) karakterisztikus függvénye valós értékű páros függvény. Valóban, φ(t) = ∫_{∞}^{∞} e^{itx}f(x) dx = ∫_{∞}^{∞}(cos tx + i sin tx)f(x) dx = ∫_{∞}^{∞} cos txf(x) dx, és ez valós értékű, páros függvény. (Kihasználtuk, hogy f(x) cos tx páros, f(x) sin tx pedig páratlan függvény, ezért az utóbbi függvény integrálja minusz végtelentől végtelenig nullával egyenlő.)

3.) Jelölje S a 3000 dobásban a hatos dobások számát. Ez 3000 független, egyforma eloszlású valószínűségi változó összege, (melyek eggyel egyenlőek, ha a megfeleső dobás eredménye hatos, és nullával, ha az nem hatos. Ezért az összeadandók várható értéke \frac{1}{6}, szórásnégyzete \frac{1}{6} · \frac{5}{6}, ES = 3000· \frac{1}{6} = 500, Var S = 3000· \frac{5}{36} = \frac{2500}{6}, és a centrális határeloszlástétel alapján

P (u < \frac{S − 500}{\sqrt{\frac{2500}{6}}} < v) ∼ (Φ(v) − Φ(u)) ,

ahol Φ(·) a stadard normális eloszlásfüggvény. Ezért

P (400 < S < 600) = P (−2\sqrt{6} < \frac{S − 500}{\sqrt{\frac{2500}{6}}} < 2\sqrt{6})

∼ (Φ(2\sqrt{6}) − Φ(−2\sqrt{6})) = 2Φ(2\sqrt{6}) − 1 ∼ 2Φ(4.89) − 1 ∼ 1,

tehát a vizsgált valószínűség majdnem egy.

A kérdezett definiciókat nem írjuk le. Ezek megtalálhatóak a gyakorlatokról leírt összefoglalókban is.