\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3.3pt plus 1.4pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\TagsOnRight
 
 
 
 
\noindent{\bf A december 7-i szemin\'arium t\'em\'aja}
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \medskip
 
Mivel egy v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at meghat\'arozza annak
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye, a norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek viszonylag egy\-sze\-r\H{u} alakj\'ab\'ol sok
egyszer\H{u}, de fontos k\"ovetkeztet\'est lehet levonni. \'Erdemes ezt
a karakterisztikus f\"uggv\'enyt t\"om\"or m\'atrix \'es vektor
jel\"ol\'esekkel fel\'{\i}rni. Jel\"olje egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
$k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor kovariancia
m\'atrix\'at egy $\Sigma$ m\'atrix
$(M_1,\dots,M_k)=(E\xi_1,\dots,E\xi_k)$ v\'arhat\'o \'ert\'ek
vektor\'at egy $M$ vektor, \'es jel\"olj\"uk k\'et
$$
u=(u_1,\dots,u_k)\in R^k\quad\text{\'es}\quad v=(v_1,\dots,v_k)\in R^k
$$
vektor $u_1v_1+\cdots+u_kv_k$ skal\'arszorzat\'at $(u,v)$-vel. Ezekkel a
jel\"ol\'esekkel a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye a $t=(t_1,\dots,t_k)$
pontban
$$
\varphi(t_1,\dots,t_k)=\varphi(t)=\exp\left\{-\frac{t\Sigma
t^*}2+i(M,t)\right\}.
$$
E formul\'ab\'ol azonnal l\'athat\'o, hogy egy norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor el\-osz\-l\'a\-s\'at
meg\-ha\-t\'a\-roz\-za annak kovariancia m\'atrixa \'es v\'arhat\'o
\'ert\'ek vektora. Jegyezz\"uk meg, hogy egy norm\'alis eloszl\'as\'u
vektor el\H{o}\'all\'{\i}that\'o $(\eta_1,\dots,\eta_k)A+M$ alakban
alkalmas $k\times k$ m\'atrix-szal, f\"uggetlen standard norm\'alis
$\eta_1,\dots,\eta_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal \'es
$M$ vektorral. Ekkor az $A$ m\'atrix \'es $M$ vektor meghat\'arozza a
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor
eloszl\'as\'at, mert $\Sigma =A^*A$. Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
megford\'{\i}t\'asa viszont nem igaz, mert a $\Sigma=A^*A$ egyenlet
nem hat\'arozza meg az $A$ m\'atrixot. (L\'asd az el\H{o}z\H{o}
gyakorlaton t\'argyalt Lemma ut\'ani megjegyz\'est.)
 
A fenti formula egyik egyszer\H{u}, de fontos k\"ovetkezm\'enye az,
hogy ha $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor, melynek  kovarianciam\'atrixa egy $\Sigma_1$ m\'atrix,
v\'arhat\'o \'ert\'eke egy $M^{(1)}=\(M_l^{(1)},\dots,M_k^{(1)}\)$
vektor, $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ szint\'en norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor, melynek  kovarianciam\'atrixa egy $\Sigma_2$
m\'atrix, v\'arhat\'o \'ert\'eke egy
$M^{(2)}=\((M_l^{(2)},\dots,M_k^{(2)}\)$ vektor, \'es a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ \'es $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektorok
f\"uggetlenek, akkor a $(\xi_1+\eta_1,\dots,\xi_k+\eta_k)$ v\'eletlen
vektor is norm\'alis eloszl\'as\'u $\Sigma_1+\Sigma_2$
kovarianciam\'atrix-szal \'es $M^{(1)}+M^{(2)}$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel. Ez az \'all\'{\i}t\'as, mely az egydimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyik
fontos tulajdons\'ag\'anak t\"obbdimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asa,
azonnal kiolvashat\'o abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy a
$(\xi_1+\eta_1,\dots,\xi_k+\eta_k)$ v\'eletlen vektor karakterisztikus
f\"uggv\'enye a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ \'es $(\eta_1,\dots,\eta_k)$
v\'eletlen vektorok karakterisztikus f\"uggv\'enyeinek a szorzata.
 
Tov\'abb\'a a norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek alakj\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy ha egy norm\'alis elozl\'as\'u v\'eletlen vektor
b\'{\i}zonyos koordin\'at\'ai korrel\'alatlanok akkor ezek a
koordin\'at\'ak egyben f\"uggetlenek is. Hangs\'ulyozzuk, hogy ez
az \'all\'{\i}t\'as tetsz\H{o}leges, nem felt\'etlen\"ul norm\'alis
eloszl\'as\'u vektorra nem \'erv\'enyes. A f\"uggetlens\'egb\H{o}l
mindig k\"ovetkezik a korrel\'alatlans\'ag, de megford\'{\i}tva ez nem
igaz. A korrel\'alatlans\'ag a f\"uggetlens\'egn\'el j\'oval
gyeng\'ebb tulajdons\'ag.
 
A fenti \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa el\H{o}tt l\'assunk
egyszer\H{u} p\'eld\'at arra, hogy a korrel\'alatlans\'ag gyeng\'ebb
\'all\'{\i}t\'as mint a f\"uggetlens\'eg. Egy lehets\'eges
konstrukci\'ot kapunk, ha v\'eges sok, de legal\'abb h\'arom
\'ert\'eket felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
tekint\"unk. Akkor a korrel\'alatlans\'ag egy azonoss\'ag
teljes\"ul\'es\'et k\"oveteli meg (azon k\'{\i}v\"ul, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal felvett \'ert\'ekek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek \"osszege egy). Ez\'ert n\'emi
sz\'amol\'assal megv\'alaszthatjuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket
\'ugy, hogy ez az azonoss\'ag teljes\"ulj\"on, de a
f\"ug\-get\-len\-s\'e\-get k\"ovetel\H{o} (sokkal t\"obb) azonoss\'ag
mindegyike ne teljes\"ulj\"on. Tal\'an ta\-nul\-s\'a\-go\-sabb a
k\"ovetkez\H{o} p\'elda. Legyen az $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} a $[0,1]$ intervallum a szok\'asos
Borel $\sigma$-algebr\'aval \'es Lebesgue m\'ert\'ekkel. Legyen
$\xi(x)=\cos(2\pi x)$, $\eta(x)=\xi(2x)=\cos(4\pi x)$. Mint azt
anal\'{\i}zisb\H{o}l tanultuk, a trigonometrikus f\"uggv\'enyek
(teljes) ortogon\'alis rendszert alkotnak, a $[0,2\pi]$
intervallumban. Ez jelen esetben azt jelenti
speci\'alisan, hogy a fent defini\'alt (nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u}) $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok korrel\'alatlanok. Viszont $\xi$ \'es $\eta$ nem
f\"uggetlen. S\H{o}t, a $\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
azonoss\'ag alapj\'an $\eta(x)=2\xi(x)^2-1$, azaz az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o determinisztikus f\"uggv\'enye.
 
Amikor norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorok koordin\'at\'ainak
korrel\'alatlans\'aga \'es f\"uggetlens\'ege k\"oz\"otti kapcsolatot
vizsg\'aljuk, akkor tekints\"uk az egyszer\H{u} jel\"ol\'es
\'er\-de\-k\'e\-ben azt az esetet, amikor az els\H{o} $j$ $\xi_u$,
$1\le u\le j$, \'es az utols\'o $k-j$ $\xi_v$, $k-j<v\le k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok korrel\'alatlanok, azaz
$E(\xi_u-E\xi_u)(\xi_v-E\xi_v)=0$, ha $1\le u\le j<v\le k$. Ekkor a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ m\'atrix $\Sigma$ kovariancia m\'atrixa a
k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u}bb szerkezettel rendelkezik:
$$
\Sigma=\( \aligned \Sigma_1,&\,\,0\\
                  0,\,\,&\Sigma_2\endaligned\) \tag+
$$
ahol $\Sigma_1$ a $\xi^{(1)}=(\xi_1,\dots,\xi_j)$,
$\Sigma_2$ a $\xi^{(2)}=(\xi_{j+1},\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
kovariancia m\'atrixa. Legyen $M^{(1)}=(E\xi_1,\dots,E\xi_j)$,
$M^{(2)}=(E\xi_{j+1},\dots,E\xi_k)$, $t^{(1)}=(t_1,\dots,t_j)$,
$t^{(2)}=(t_{j+1},\dots,t_k)$, ha $t=(t_{1},\dots,t_k)\in R^k$.
Innen a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ vektor ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enye
$$
\align
\varphi(t)&=\exp\left\{-\frac{t\Sigma t^*}2+i(M,t)\right\}\\
&=\exp\left\{-\frac{t^{(1)}\Sigma_1
\(t^{(1)}\)^*}2+i\(M^{(1)},t^{(1)}\)\right\}
\exp\left\{-\frac{t^{(2)}\Sigma_2 \(t^{(2)}\)^*}2+i\(M^{(2)},t^{(2)}\)
\right\}\\
&=\varphi_1\(t^{(1)}\)\varphi_2\(t^{(2)}\),
\endalign
$$
ahol $\varphi_1\(t^{(1)}\)$ a $\xi^{(1)}$ $\varphi_2\(t^{(2)}\)$ pedig
a $\xi^{(2)}$ v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye. A
karakterisztikus f\"uggv\'eny al\'abbi
szorzatel\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik a megfelel\H{o}
komponensek f\"uggetlens\'ege.
 
Ennek az eredm\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel be fogjuk l\'atni, hogy
amennyiben $(\xi,\eta)$, $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$,
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_l)$ $k+l$ dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor l\'etezik
olyan $A$ $l\times k$ m\'atrix, melyre a $\zeta=\xi-\eta A$ \'es az
$\eta$ vektor f\"uggetlen. Ez azt jelenti, hogy a $\xi=\zeta+\eta A$
egyenl\H{o}s\'eg a $\xi$ v\'eletlen vektort el\H{o}\'all\'{\i}tja, mint
az $\eta$ vektor egy line\'aris transzform\'altj\'at plusz egy az $\eta$
v\'eletlen vektort\'ol f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor \"osszg\'et. Mivel a $(\zeta,\eta)$ v\'eletlen vektor a
$(\xi,\eta)$ vektor line\'aris transzform\'altja, explicit k\'epletben
$$
(\zeta,\eta)= (\xi,\eta)\(\matrix I,&-A\\
0,&I \endmatrix\),
$$
ez\'ert a $(\zeta,\eta)$ v\'eletlen vektor is norm\'alis eloszl\'as\'u.
Az el\H{o}z\H{o}ek alapj\'an a $\zeta$ \'es $\eta$ vek\-to\-rok
f\"ug\-get\-len\-s\'e\-g\'e\-nek biztos\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg
bel\'atni, hogy az $A$ m\'atrix alkalmas
meg\-v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'a\-val el\'erhet\H{o} az, hogy a $\zeta$
\'es $\eta$ vektor koordin\'at\'ai korrel\'alatlanok, azaz a
$(\zeta,\eta)$ vektor kovarianciam\'atrixa $(+)$  alak\'u legyen.
 
Az \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'anak meg\'ert\'es\'ehez
tekints\"uk el\H{o}sz\"or a legegyszer\H{u}bb esetet, azt amikor
$k=l=1$. Ekkor a $\zeta=\xi-\dfrac{\text{Cov}\,
(\xi,\eta)}{\text{Var}\,\eta} \eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a $\text{Cov}\,(\zeta,\eta)=0$ rel\'aci\'ot,
ez\'ert $\eta$ \'es $\zeta$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok. A t\"obb dimenzi\'os eset bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o,
de az ebben az esetben felmer\"ul\H{o} line\'aris algebrai feladat
nehezebb.
 
Ha az $(\eta_1,\dots,\eta_l)$ v\'eletlen vektor koordin\'at\'ai
korrel\'alatlanok (\'es ez\'ert az egy\"uttes norm\'alis eloszl\'asuk
miatt f\"uggetlenek is), akkor az el\H{o}z\H{o} formula term\'eszetes
m\'odos\'{\i}t\'asa megoldja a probl\'em\'at. Ekkor legyen
$\zeta_p=\xi_p-\summ_{q=1}^l\dfrac{\text{Cov}\,
(\xi_p,\eta_q)}{\text{Var}\,\eta_q} \eta_q$, $1\le p\le k$, $1\le q\le
l$. Egyszer\H{u} sz\'amol\'as adja, hogy ebben az esetben
$\text{Cov}\,(\zeta_p,\eta_q)=0$, $1\le p\le k$, $1\le q\le l$.
 
Az \'altal\'anos eset visszavezethet\H{o} erre az esetre az $\eta$
vektor alkalmas line\'aris transz\-for\-m\'alt\-j\'at alkalmazva.
Jel\"olje $\Sigma_2$ az $\eta$ vektor kovariancia m\'atrix\'at. Megint
fel fogjuk haszn\'alni azt a line\'aris algebrai eredm\'enyt mely
szerint a (pozit\'{\i}v (szemi)definit) $\Sigma_2$ m\'atrix
fel\'{\i}rhat\'o $\Sigma_2=U\Lambda U^*$ alakban, ahol $U$ unit\'er
$\Lambda$ pedig diagon\'alis m\'atrix. Be fogjuk l\'atni, hogy az $\bar
\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)=(\eta_1,\dots,\eta_k)U=\eta
U$ vektor kovarianciam\'atrixa a $\Lambda$ diagon\'alis m\'atrix.
M\'asr\'eszt egy $\zeta$ vektor akkor \'es csak akkor f\"uggetlen az
$\eta$ vektort\'ol, ha f\"uggetlen a $\bar\eta=\eta U$ vektort\'ol.
Ez\'ert a $\zeta$ vektort megv\'alaszthatjuk mint $\zeta=\xi-\bar\eta
A=\xi-\eta UA$  vektornak, ahol az $A$ m\'atrixot a diagon\'alis
kovarianciam\'atrix\'u $\bar\eta$ v\'eletlen norm\'alis eloszl\'as\'u
vektor \'altal meghat\'arozott line\'aris transzform\'aci\'o
hat\'arozza meg, azaz az $A =(a_{q,p})$ m\'atrix az az $l\times k$
m\'eret\H{u} m\'atrix, melyre $a_{q,p}=\dfrac{\text{Cov}\,
(\xi_p,\bar\eta_q)}{\text{Var}\,\bar\eta_q}$, $1\le p\le k$, $1\le
q\le l$.
 
Ez\'ert az \'all\'{\i}t\'ast bebizony\'{\i}tjuk, ha megmutatjuk, hogy
az $\bar \eta=\eta U$ v\'eletlen vektor  kovariancia m\'atrixa a
diagon\'alis $\Lambda$ m\'atrix. Ez k\"ovetkezik az al\'abbi
viszonylag egyszer\H{u}, de egy\'ebk\'ent is hasznos
\'all\'{\i}t\'asb\'ol. Legyen a $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_l)$
$l$-dimenzi\'os v\'eletlen vektor, melynek kovariancia m\'atrixa
$\Sigma$, $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_l)=\xi A$, ahol $A=(a_{p,q})$
$l\times l$ m\'eret\H{u} m\'atrix. Ekkor az $\eta$ vektor kovariancia
m\'atrixa az $A^*\Sigma A$ m\'atrix. Val\'oban az $\eta$ kovariancia
m\'atrix\'anak $p$-edik sor\'aban \'es $q$-ik oszlop\'aban \'all\'o elem
$\text{Cov}\,(\eta_p,\eta_q)=\summ_{u=1}^l \summ_{v=1}^l
a_{u,p}\text{Cov}\,(\xi_u,\xi_v)a_{v,q}$, $1\le p,q\le l$, \'es ez
az $A^*\Sigma A$ m\'atrix megfelel\H{o} eleme.
 
Egy t\"obbdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektornak (jel\"olje a dimenzi\'ot a $k$
sz\'am) sz\'am akkor \'es csak akkor van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha ennek a vektornak a $\Sigma$
kovarianciam\'atrixa invert\'alhat\'o. Megjegyezz\"uk, hogy az a
t\'eny, hogy a $\Sigma$ kovariancia m\'atrix invert\'alhat\'o
ekvivalens azzal, hogy pozit\'{\i}v definit, \'es nem puszt\'an
pozit\'{\i}v szemidefinit. Ezt legegyszer\H{u}bben onnan l\'athat\'o,
hogy $\Sigma=U\Lambda U^*$ alakban \'{\i}rhat\'o egy $U$ unit\'er \'es
egy $\Lambda$ nem-negat\'{\i}v elemeket tartalmaz\'o diagon\'alis
m\'atrix-szal. A $\Sigma$ m\'atrixnak mind az invert\'alhat\'os\'aga
mind a (szigor\'uan) pozit\'{\i}v definit volta azzal ekvivalens, hogy
a fenti $\Lambda$ diagon\'ali m\'atrix nem tartalmaz a diagon\'alisban
null\'at.  Ha a norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
kovarianciam\'atrixa egy invert\'alhat\'o $\Sigma$
m\'atrix v\'arhat\'o \'ert\'eke egy $M$ vektor akkor e vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et a
$$
f(x_1,\dots,x_k)=\frac1{\sqrt{(2\pi)^k\text{Det}\,\Sigma}}
\exp\left\{-\frac{(x-M)\Sigma^{-1}(x-M)^*}2\right\} \tag ++
$$
k\'eplet adja meg, ahol $x=(x_1,\dots,x_k)$, $\Sigma^{-1}$ a
$\Sigma$ m\'atrix inverz\'et, $\text{Det}\,\Sigma$ pedig a $\Sigma$
m\'atrix determin\'ans\'at jel\"oli. \'Erdemes ezt a k\'epletet
\"osszehasonl\'{\i}tani az egydimenzi\'os norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Az egydimenzi\'os esetben az
exponensben szerepl\H{o} $-\dfrac{x^2}{\sigma^2}$ kifejez\'esnek a
t\"obb\-di\-men\-zi\-\'os esetben az $-\dfrac{x\Sigma x^*}2$
kvadratikus forma felel meg, a $\dfrac1{\sqrt {2\pi}\sigma}$
nor\-m\'a\-l\'o faktornak pedig az
$\dfrac1{\sqrt{(2\pi)^k\text{Det}\,\Sigma}}$ kifejez\'es felel meg.
 
Az, hogy a $\Sigma$ m\'atrix nem invert\'alhat\'o, ekvivalens azzal,
hogy $\text{Det}\,\Sigma=0$. Ekkor a $\Sigma=A^*A$ egyenletet
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} $A$ m\'atrixra, $\text{Det}\,A=0$, azaz az $A$
m\'atrix sem invert\'alhat\'o, teh\'at l\'etezik olyan
$x=(x_1,\dots,x_k)$ vektor, melyre $xA=0$. Egy $\Sigma$
kovarianciam\'atrix\'u \'es $M$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} v\'eletlen
vektor eloszl\'asa megegyezik egy
$(\bar\xi_1,\dots,\bar\xi_k)=(\eta_1,\dots,\eta_k)A+M$
vektor eloszl\'as\'aval, ahol $\Sigma=A^*A$, \'es $\eta_1,\dots,\eta_k$
f\"uggetlen, standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Ha a $\Sigma$ \'es
ez\'ert az $A$ m\'atrix nem invert\'alhat\'o, akkor l\'etezik olyan
$(x_1,\dots,x_k)$ vektor, melyre $\summ_{p=1}^kx_p(\bar\xi_p-M_p)=0$
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez azt jelenti, hogy a
$(\bar\xi_1,\dots,\bar\xi_k)$, illetve a vele azonos eloszl\'as\'u
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy hipers\'{\i}kra van koncentr\'alva,
ez\'ert nincs s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
 
Ha a norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\Sigma$ kovarianciam\'atrixa invert\'alhat\'o, akkor annak
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et kisz\'am\'{\i}thtatjuk egyszer\H{u}
integr\'altranszform\'aci\'o se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel.
 
Egy f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$\varphi(y)=\varphi(y_1,\dots,y_k)=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}
\exp\left\{-\dfrac{(y,y)}2\right\}$, ahol
$y=(y_1,\dots,y_k)$, egy $\Sigma$ kovarianciam\'atrix\'u \'es
$M=(M_1,\dots,M_k)$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektort
de\-fi\-ni\-\'al\-ha\-tunk $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)=\eta A+M$ alakban,
ahol $A^*A=\Sigma$. Alkalmazva az $x=yA+M$ transzform\'aci\'ot
$x=(x_1,\dots,x_k)$ jel\"ol\'essel kapjuk, hogy tetsz\H{o}leges
m\'erhet\H{o} $B\subset R^k$ halmazra
$$
\align
P(\xi\in B)&=P\(\eta\in
(B-M)A^{-1}\)=\int_{(y_1,\dots,y_k)\in (B-M)A^{-1}} \varphi(y)\,dy \\
&=\dfrac1{\det A}\int_{(x_1,\dots,x_k)\in B} \varphi\((x-M)A^{-1}\)\,dx
\endalign
$$
alak\'u, ahol $\text{Det}\,A$ az $x=yA+M$ lek\'epez\'es Jacobian-ja.
 
E formul\'ab\'ol kiolvashat\'o, hogy a vizsg\'alt norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $\dfrac1{\det A}
\varphi\((x-M)A^{-1}\)$ f\"uggv\'eny. Annak \'erdek\'eben, hogy
bebizony\'{\i}tsuk a $(++)$ formul\'at vegy\"uk \'eszre, hogy mivel
$\Sigma=A^*A$, ez\'ert $\text{Det}\,\Sigma=\(\text{Det}\,A\)^2$,
tov\'abb\'a
$$
\align
\varphi\((x-M)A^{-1}\) &=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\dfrac{((x-M)A^{-1},(x-M)A^{-1})}2\right\}\\
&=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\dfrac{(x-M)A^{-1}\(A^{-1}\)^*(x-M)^*}2\right\}\\
&=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}
\exp\left\{-\dfrac{{(x-M)(A^*A)^{-1}}(x-M)^*}2\right\} \\
&=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}
\exp\left\{-\dfrac{(x-M)\Sigma^{-1}(x-M)^*}2\right\}.
\endalign
$$
 
A t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as eloszl\'as
t\'argyal\'as\'at k\'et nem k\"otelez\H{o} h\'azi fel\-adat
megfogalmzaz\'as\'aval fejezz\"uk meg.
 
Egyr\'eszt megjegyezz\"uk, hogy egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor koordin\'at\'ai
norm\'alis eloszl\'as\'uak. Viszont ez az \'all\'{\i}t\'as nem
ford\'{\i}that\'o meg. L\'etezik olyan t\"obbdimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor, melynek koordin\'at\'ai
nor\-m\'a\-lis el\-osz\-l\'a\-s\'u\-ak, de a v\'eletlen vektor nem
norm\'alis eloszl\'as\'u. Egy ilyen vektorra ad p\'eld\'at a
k\"ovetkez\H{o} nem k\"otelez\H{o} h\'azifeladatk\'ent megfogalmazott
p\'elda.\medskip
\item{} Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal B, \bold P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}t: $\Omega=[0,1]$, \
$\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra $[0,1]$-en, \'es $\bold P$ a Lebesgue
m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $\xi$ \'es $\eta$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat ezen a mez\H{o}n:
$\xi(x)=\Phi^{-1}(x)$,
$$
\eta(x)=\cases
\xi(1-x)& \text{ha }0\le x<\frac12\\
\xi\(x-\frac12\)& \text{ha }\frac12\le x\le1
\endcases.
$$
L\'assuk be, hogy $\xi$ \'es $\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, de a $(\xi,\eta)$ vektor nem
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor.
\item{}{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Egy lehets\'eges magyar\'azat arra,
hogy a $(\xi,\eta)$ vektor nem norm\'alis az, hogy
$P(\xi+\eta=0)=\frac12$. \medskip
V\'eg\"ul az utols\'o feladat.
\medskip
\item{} Legyen $A$ tetsz\H{o}leges $k\times l$ t\'eglalap m\'atrix,
(azaz nem tessz\"uk fel, hogy $k=l$), $\eta_1,\dots,\eta_l$
f\"uggetlen, standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Ekkor az
$(\xi_1,\dots,\xi_k)=(\eta_1,\dots,\eta_l)A$ v\'eletlen vektor nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{}{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ \'Irjuk fel a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et. L\'assuk be,
hogy ez egy $\Sigma=A^*A$ kovarianciam\'atrix\'u nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen vektor.
Speci\'alisan, $A^*A$ pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix az
\'altal\'anos (t\'eg\-la\-lap\-m\'at\-rixok\-ra is \'erv\'enyes)
esetben.
 
\medskip
 
\noindent{\bf Kieg\'esz\'{\i}t\'es a december 7-i szemin\'ariumhoz}
\medskip
 
Egy t\"obbdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek kisz\'am\'{\i}t\'asa
sor\'an ki\-de\-r\"ult, hogy jobban meg kell \'erten\"unk egy a
t\"obbv\'altoz\'os f\"uggv\'eny transzform\'altj\'anak az
integr\'alj\'at kifejez\H{o} formul\'at. R\'esz\-le\-te\-seb\-ben
megfogalmazva a k\"ovetkez\H{o} k\'er\-d\'es\-r\H{o}l van sz\'o:
Legyen $\bold T(x_1,\dots,x_k)=(y_1,\dots,y_k)\in R^k$
az $R^k$ euklideszi t\'er egy ``sz\'ep" transzform\'aci\'oja
\"onmag\'aba, \'es legyen $f(y_1,\dots,y_k)$ $k$-v\'altoz\'os
f\"uggv\'eny  a k\'ept\'eren. Defini\'aljuk ennek az $f(y_1,\dots,y_k)$
f\"uggv\'enynek a $\bold T$ transzform\'aci\'o szerinti
$g(x_1,\dots,x_k)$ \H{o}sk\'ep\'et a
$g(x_1,\dots,x_k)=f(y_1,\dots,y_k)$, ha $(y_1,\dots,y_k)=\bold
T(x_1,\dots,x_k)$ k\'eplet se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. Azt akarjuk
meg\'erteni, hogy hogyen lehet az $f(y_1,\dots,y_k)$ f\"uggv\'eny
integr\'alj\'at azaz az
$$
\int _{R^k}f(y_1,\dots,y_k)\,dy_1\dots\,dy_k
$$
kifejez\'est az eredeti $(x_1,\dots,x_k)$ t\'eren a $g(x_1,\dots,x_k)$
alkalmas f\"uggv\'eny\'enek az integr\'aljak\'ent kisz\'am\'{\i}tani.
 
Az eredm\'eny megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben defini\'aljuk az
$(y_1,\dots,y_k)=\bold T(x_1,\dots,x_k)$ Jacobian-j\'at.
Koordin\'at\'ank\'ent ki\'{\i}rva az $R^k$ $k$-dimenzi\'os t\'ernek a
$k$-dimenzi\'os t\'erbe val\'o a $\bold T$ lek\'epez\'es\'et a
k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'est alkalmazhatjuk: $y_j=\bold
T_j(x_1,\dots,x_k)$, $j=1,\dots,k$. Tekints\"uk azt az $R^k$ t\'eren
defini\'alt $A(x_1,\dots,x_k)$ $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrixot,
melynek a $j$-ik sor\'anak \'es $i$-ik oszlop\'aban szerepl\H{o} eleme
a $\dfrac{\partial \bold T_j(x_1,\dots,x_k)}{\partial
x_i}$ parci\'alis deriv\'alt az $(x_1,\dots,x_k)$
pontban. A $\bold T$ transzform\'aci\'o $\Cal J(\bold
T)(x_1,\dots,x_k)$ Jacobian-ja az $(x_1,\dots,x_k)$
pontban az $A(x_1,\dots,x_k)$ m\'atrix determin\'ans\'anak az abszolut
\'ert\'eke. Miel\H{o}tt az al\'abb t\'argyaland\'o formul\'at
megfogalmazn\'ank, \'erts\"uk meg az $A(x_1,\dots,x_k)$ m\'atrix
\'es $\Cal J(\bold T)(x_1,\dots,x_k)$ Jacobian szem\-l\'e\-le\-tes
tartalm\'at.
 
Adva egy $(x_1,\dots,x_k)$ pont az $R^k$ $k$-dimenzi\'os t\'erben,
\'es kis $h_1,\dots,h_k$ sz\'amok, akkor
$$
\aligned
\bold T(x_1+h_1,\dots,x_k+h_k)-\bold T(x_1,\dots,x_k)
&=(h_1,\dots,h_k)A(x_1,\dots,x_k) \\
&\qquad +\text{elhanyagolhat\'oan kis hiba},
\endaligned
\tag1
$$
azaz az $A(x_1,\dots,x_k)$ m\'atrix a sz\'amegyenesen \'ertelmezett
f\"uggv\'enyek deriv\'altj\'anak term\'eszetes
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa. Ennek k\"ovetkezm\'enye, hogy a
$h_1\cdots h_k$ t\'erfogat\'u $[x_1,x_1+h_1]\times\cdots\times
[x_k,x_k+_k]$ t\'eglatest k\'epe a $\bold T$ transzform\'aci\'o
hat\'as\'ara j\'o k\"ozel\'{\i}t\'essel egy $\Cal J(\bold
T)(x_1,\dots,x_k) h_1\cdots h_k$ t\'erfogat\'u tartom\'any. Ugyanis
az (1) formula alapj\'an ez a tartom\'any j\'o k\"ozel\'{\i}t\'essel a
$$
T(x_1,\dots,x_k)+\([0,h_1]\times\cdots\times
[0,h_k]\)A(x_1,\dots,x_k)
$$
a $T(x_1,\dots,x_k)$ pontba eltolt $h_1\dots h_k \Cal J(\bold
T)(x_1,\dots,x_k)$ t\'erfogat\'u parallelepipedon.
 
Ez a geometriai k\'ep, illetve a t\"obbdimenzi\'os integr\'al
definici\'oja (felosztjuk a $\bold B\subset R^k$ teret kis
\'atm\'er\H{o}j\H{u} diszjunkt tartom\'anyok uni\'oj\'ara,
ezen tartom\'anyok t\'erfogat\'at megszorozzuk az integr\'aland\'o
f\"uggv\'eny \'ert\'ek\'evel e tartom\'any valamelyik pontj\'aban, majd
\"osszegez\"unk) sugallja az al\'abbi formul\'at, melyet ennek a
heurisztikus \'ervel\'esnek a finom\'{\i}t\'as\'aval (enyhe
felt\'etelek kik\"ot\'ese mellett) be lehet bizony\'{\i}tani.
$$
\aligned
&\int f(y_1,\dots,y_k)\,dy_1\dots\,dy_k\\
&\qquad=\int\frac{g(x_1,\dots,x_k)}{\summ_{(z_1,\dots,z_k)\: \bold
T(z_1,\dots,z_k)=\bold T(x_1,\dots,x_k)}\dfrac1{\Cal
J(\bold T)(z_1,\dots,z_k)}}\,dx_1\dots,x_k.
\endaligned \tag2
$$
Val\'oj\'aban a t\"obbdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny kisz\'am\'{\i}t\'as\'aban ennek az
eredm\'enynek csak egy speci\'alis egyszer\H{u} eset\'et
haszn\'altuk. Egy line\'aris transzform\'aci\'ot $\bold T x= x B+\bar
M$ alak\'u line\'aris transzform\'aci\'ot tekintett\"unk. (Eset\"unkben
egy $B=A^{-1}$ alak\'u m\'atrixot, egy alkalmas m\'atrix inverz\'et
tekintett\"uk.) Ebben az esetben a (2) formula sokkal egyszer\H{u}bb
alak\'u. Ekkor a Jacobian nem f\"ugg az $(x_1,\dots,x_k)$ pontt\'ol,
hanem $|\text{Det}\,B|$-vel egyenl\H{o}. Az $f(y_1,\dots,y_k)$
f\"uggv\'eny $(x_1,\dots,x_k)$ \H{o}sk\'epe is nagyon egyszer\H{u}en
kisz\'amolhat\'o, $g(x_1,\dots,x_k)=f((x_1,\dots,x_k)B+\bar M)$.
Tov\'abb\'a mivel a fenti $T$ transzform\'aci\'onak egyetlen
\H{o}sk\'epe van, a (2)~formula jobboldal\'an a nevez\H{o} sokkal
egyszer\H{u}bb ebben az esetben. Ez a
$$
\dfrac1{\summ_{(z_1,\dots,z_k)\:
\bold T(z_1,\dots,z_k)=\bold T(x_1,\dots,x_k)}\dfrac1{\Cal
J(\bold T)(z_1,\dots,z_k)}}=\Cal J(\bold
T)(x_1,\dots,x_k)=|\text{Det}\,B|
$$
kifejez\'es.
 
\bye
