A december 7-i szeminárium témája Rövid összefoglaló

Mivel egy véletlen vektor eloszlását meghatározza annak karakterisztikus függvénye, a normális eloszlású valószínűségi változó karakterisztikus függvényének viszonylag egyszerű alakjából sok egyszerű, de fontos következtetést lehet levonni. Érdemes ezt a karakterisztikus függvényt tömör mátrix és vektor jelölésekkel felírni. Jelölje egy (ξ_{1}, …, ξ_{k}) k-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor kovariancia mátrixát egy Σ mátrix (M_{1}, …, M_{k}) = (Eξ_{1}, …, Eξ_{k}) várható érték vektorát egy M vektor, és jelöljük két

u = (u_{1}, …, u_{k}) ∈ R^{k} és v = (v_{1}, …, v_{k}) ∈ R^{k}

vektor u_{1}v_{1} + ⋯ + u_{k}v_{k} skalárszorzatát (u, v)-vel. Ezekkel a jelölésekkel a (ξ_{1}, …, ξ_{k}) normális eloszlású véletlen vektor karakterisztikus függvénye a t = (t_{1}, …, t_{k}) pontban

φ(t_{1}, …, t_{k}) = φ(t) = exp \{−\frac{tΣt^{∗}}{2} + i(M, t)\} .

E formulából azonnal látható, hogy egy normális eloszlású valószínűségi vektor eloszlását meghatározza annak kovariancia mátrixa és várható érték vektora. Jegyezzük meg, hogy egy normális eloszlású vektor előállítható (η_{1}, …, η_{k})A+M alakban alkalmas k×k mátrix-szal, független standard normális η_{1}, …, η_{k} valószínűségi változókkal és M vektorral. Ekkor az A mátrix és M vektor meghatározza a normális eloszlású valószínűségi vektor eloszlását, mert Σ = A^{∗}A. Ennek az állításnak a megfordítása viszont nem igaz, mert a Σ = A^{∗}A egyenlet nem határozza meg az A mátrixot. (Lásd az előző gyakorlaton tárgyalt Lemma utáni megjegyzést.)

A fenti formula egyik egyszerű, de fontos következménye az, hogy ha (ξ_{1}, …, ξ_{k}) normális eloszlású véletlen vektor, melynek kovarianciamátrixa egy Σ_{1} mátrix, várható értéke egy M^{(1)} = (M_{l}^{(1)}, …, M_{k}^{(1)}) vektor, (η_{1}, …, η_{k}) szintén normális eloszlású

véletlen vektor, melynek kovarianciamátrixa egy Σ_{2} mátrix, várható értéke egy M^{(2)} = ((M_{l}^{(2)}, …, M_{k}^{(2)}) vektor, és a (ξ_{1}, …, ξ_{k}) és (η_{1}, …, η_{k}) véletlen vektorok függetlenek, akkor a (ξ_{1} + η_{1}, …, ξ_{k} + η_{k}) véletlen vektor is normális eloszlású Σ_{1} + Σ_{2} kovarianciamátrix-szal és M^{(1)} + M^{(2)} várható értékkel. Ez az állítás, mely az egydimenziós normális eloszlású valószínűségi változók egyik fontos tulajdonságának többdimenziós általánosítása, azonnal kiolvasható abból a tényből, hogy a (ξ_{1} +η_{1}, …, ξ_{k} +η_{k}) véletlen vektor karakterisztikus függvénye a (ξ_{1}, …, ξ_{k}) és (η_{1}, …, η_{k}) véletlen vektorok karakterisztikus függvényeinek a szorzata.

Továbbá a normális eloszlású valószínűségi változók karakterisztikus függvényének alakjából következik, hogy ha egy normális elozlású véletlen vektor bízonyos koordinátái korrelálatlanok akkor ezek a koordináták egyben függetlenek is. Hangsúlyozzuk, hogy ez az állítás tetszőleges, nem feltétlenül normális eloszlású vektorra nem érvényes. A függetlenségből mindig következik a korrelálatlanság, de megfordítva ez nem igaz. A korrelálatlanság a függetlenségnél jóval gyengébb tulajdonság.

A fenti állítás bizonyítása előtt lássunk egyszerű példát arra, hogy a korrelálatlanság gyengébb állítás mint a függetlenség. Egy lehetséges konstrukciót kapunk, ha véges sok, de legalább három értéket felvevő valószínűségi változókat tekintünk. Akkor a korrelálatlanság egy azonosság teljesülését követeli meg (azon kívül, hogy a valószínűségi változók által felvett értékek valószínűségeinek összege egy). Ezért némi számolással megválaszthatjuk a valószínűségeket úgy, hogy ez az azonosság teljesüljön, de a függetlenséget követelő (sokkal több) azonosság mindegyike ne teljesüljön. Talán tanulságosabb a következő példa. Legyen az (Ω, A, P) valószínűségi mező a [0, 1] intervallum a szokásos Borel σ-algebrával és Lebesgue mértékkel. Legyen ξ(x) = cos(2πx), η(x) = ξ(2x) = cos(4πx). Mint azt analízisből tanultuk, a trigonometrikus függvények (teljes) ortogonális rendszert alkotnak, a [0, 2π] intervallumban. Ez jelen esetben azt jelenti speciálisan, hogy a fent definiált (nulla várható értékű) ξ és η valószínűségi változók korrelálatlanok. Viszont ξ és η nem független. Sőt, a cos 2α = 2 cos^{2} α − 1 azonosság alapján η(x) = 2ξ(x)^{2} − 1, azaz az η valószínűségi változó a ξ valószínűségi változó determinisztikus függvénye.

Amikor normális eloszlású véletlen vektorok koordinátáinak korrelálatlansága és függetlensége közötti kapcsolatot vizsgáljuk, akkor tekintsük az egyszerű jelölés érdekében azt az esetet, amikor az első j ξ_{u}, 1 ≤ u ≤ j, és az utolsó k − j ξ_{v}, k − j < v ≤ k valószínűségi változók korrelálatlanok, azaz E(ξ_{u} − Eξ_{u})(ξ_{v} − Eξ_{v}) = 0, ha 1 ≤ u ≤ j < v ≤ k. Ekkor a (ξ_{1}, …, ξ_{k}) mátrix Σ kovariancia mátrixa a következő egyszerűbb szerkezettel rendelkezik:

Σ = ( \begin{matrix}Σ_{1}, & 0 \\ 0, & Σ_{2} \end{matrix})  (+)

ahol Σ_{1} a ξ^{(1)} = (ξ_{1}, …, ξ_{j}), Σ_{2} a ξ^{(2)} = (ξ_{j+1}, …, ξ_{k}) véletlen vektor kovariancia mátrixa. Legyen M^{(1)} = (Eξ_{1}, …, Eξ_{j}), M^{(2)} = (Eξ_{j+1}, …, Eξ_{k}), t^{(1)} = (t_{1}, …, t_{j}), t^{(2)} = (t_{j+1}, …, t_{k}), ha t = (t_{1}, …, t_{k}) ∈ R^{k}. Innen a (ξ_{1}, …, ξ_{k}) vektor karakterisztikus függvénye

φ(t) = exp \{−\frac{tΣt^{∗}}{2} + i(M, t)\}

= exp \{−\frac{t^{(1)}Σ_{1} (t^{(1)})^{∗}}{2} + i (M^{(1)}, t^{(1)})\} exp \{−\frac{t^{(2)}Σ_{2} (t^{(2)})^{∗}}{2} + i (M^{(2)}, t^{(2)})\}

= φ_{1} (t^{(1)}) φ_{2} (t^{(2)}) ,

ahol φ_{1} (t^{(1)}) a ξ^{(1)} φ_{2} (t^{(2)}) pedig a ξ^{(2)} véletlen vektor karakterisztikus függvénye. A karakterisztikus függvény alábbi szorzatelőállításából következik a megfelelő komponensek függetlensége.

Ennek az eredménynek a segítségével be fogjuk látni, hogy amennyiben (ξ, η), ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{k}), η = (η_{1}, …, η_{l}) k + l dimenziós normális eloszlású valószínűségi változó, akkor létezik olyan A l × k mátrix, melyre a ζ = ξ − ηA és az η vektor független. Ez azt jelenti, hogy a ξ = ζ + ηA egyenlőség a ξ véletlen vektort előállítja, mint az η vektor egy lineáris transzformáltját plusz egy az η véletlen vektortól független normális eloszlású véletlen vektor összgét. Mivel a (ζ, η) véletlen vektor a (ξ, η) vektor lineáris transzformáltja, explicit képletben

(ζ, η) = (ξ, η) ( \begin{matrix}I, & −A \\ 0, & I \end{matrix} ) ,

ezért a (ζ, η) véletlen vektor is normális eloszlású. Az előzőek alapján a ζ és η vektorok függetlenségének biztosításához elég belátni, hogy az A mátrix alkalmas megválasztásával elérhető az, hogy a ζ és η vektor koordinátái korrelálatlanok, azaz a (ζ, η) vektor kovarianciamátrixa (+) alakú legyen.

Az állítás bizonyításának megértéséhez tekintsük először a legegyszerűbb esetet,

azt amikor k = l = 1. Ekkor a ζ = ξ − \frac{Cov (ξ, η)}{Var η}η valószínűségi változó teljesíti a

Cov (ζ, η) = 0 relációt, ezért η és ζ független valószínűségi változók. A több dimenziós eset bizonyítása hasonló, de az ebben az esetben felmerülő lineáris algebrai feladat nehezebb.

Ha az (η_{1}, …, η_{l}) véletlen vektor koordinátái korrelálatlanok (és ezért az együttes normális eloszlásuk miatt függetlenek is), akkor az előző formula természetes módosítása

megoldja a problémát. Ekkor legyen ζ_{p} = ξ_{p} − ∑_{q=1}^{l} \frac{Cov (ξ_{p}, η_{q})}{Var η_{q}}η_{q}, 1 ≤ p ≤ k, 1 ≤ q ≤ l.

Egyszerű számolás adja, hogy ebben az esetben Cov (ζ_{p}, η_{q}) = 0, 1 ≤ p ≤ k, 1 ≤ q ≤ l.

Az általános eset visszavezethető erre az esetre az η vektor alkalmas lineáris transzformáltját alkalmazva. Jelölje Σ_{2} az η vektor kovariancia mátrixát. Megint fel fogjuk használni azt a lineáris algebrai eredményt mely szerint a (pozitív (szemi)definit) Σ_{2} mátrix felírható Σ_{2} = UΛU^{∗} alakban, ahol U unitér Λ pedig diagonális mátrix. Be fogjuk látni, hogy az η̄ = (η̄_{1}, …, η̄_{k}) = (η_{1}, …, η_{k})U = ηU vektor kovarianciamátrixa a Λ diagonális mátrix. Másrészt egy ζ vektor akkor és csak akkor független az η vektortól, ha független a η̄ = ηU vektortól. Ezért a ζ vektort megválaszthatjuk mint ζ = ξ −η̄A = ξ − ηUA vektornak, ahol az A mátrixot a diagonális kovarianciamátrixú η̄ véletlen normális eloszlású vektor által meghatározott lineáris transzformáció határozza meg,

azaz az A = (a_{q,p}) mátrix az az l × k méretű mátrix, melyre a_{q,p} = \frac{Cov (ξ_{p}, η̄_{q})}{Var η̄_{q}},

1 ≤ p ≤ k, 1 ≤ q ≤ l.

Ezért az állítást bebizonyítjuk, ha megmutatjuk, hogy az η̄ = ηU véletlen vektor kovariancia mátrixa a diagonális Λ mátrix. Ez következik az alábbi viszonylag egyszerű, de egyébként is hasznos állításból. Legyen a ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{l}) l-dimenziós véletlen vektor, melynek kovariancia mátrixa Σ, η = (η_{1}, …, η_{l}) = ξA, ahol A = (a_{p,q}) l × l méretű mátrix. Ekkor az η vektor kovariancia mátrixa az A^{∗}ΣA mátrix. Valóban az η kovariancia mátrixának p-edik sorában és q-ik oszlopában álló elem Cov (η_{p}, η_{q}) =

∑_{u=1}^{l} ∑_{v=1}^{l} a_{u,p}Cov (ξ_{u}, ξ_{v})a_{v,q}, 1 ≤ p, q ≤ l, és ez az A^{∗}ΣA mátrix megfelelő eleme.

Egy többdimenziós normális eloszlású valószínűségi vektornak (jelölje a dimenziót a k szám) szám akkor és csak akkor van sűrűségfüggvénye, ha ennek a vektornak a Σ kovarianciamátrixa invertálható. Megjegyezzük, hogy az a tény, hogy a Σ kovariancia mátrix invertálható ekvivalens azzal, hogy pozitív definit, és nem pusztán pozitív szemidefinit. Ezt legegyszerűbben onnan látható, hogy Σ = UΛU^{∗} alakban írható egy U unitér és egy Λ nem-negatív elemeket tartalmazó diagonális mátrix-szal. A Σ mátrixnak mind az invertálhatósága mind a (szigorúan) pozitív definit volta azzal ekvivalens, hogy a fenti Λ diagonáli mátrix nem tartalmaz a diagonálisban nullát. Ha a normális eloszlású véletlen vektor kovarianciamátrixa egy invertálható Σ mátrix várható értéke egy M vektor akkor e vektor sűrűségfüggvényét a

f(x_{1}, …, x_{k}) = \frac{1}{\sqrt{(2π)^{k}Det Σ}} exp \{−\frac{(x − M)Σ^{−1}(x − M)^{∗}}{2} \}  (++)

képlet adja meg, ahol x = (x_{1}, …, x_{k}), Σ^{−1} a Σ mátrix inverzét, Det Σ pedig a Σ mátrix determinánsát jelöli. Érdemes ezt a képletet összehasonlítani az egydimenziós

normális sűrűségfüggvénnyel. Az egydimenziós esetben az exponensben szereplő −\frac{x^{2}}{σ^{2}}

kifejezésnek a többdimenziós esetben az −\frac{xΣx^{∗}}{2} kvadratikus forma felel meg, a \frac{1}{\sqrt{2π}σ}

normáló faktornak pedig az \frac{1}{\sqrt{(2π)^{k}Det Σ}} kifejezés felel meg.

Az, hogy a Σ mátrix nem invertálható, ekvivalens azzal, hogy Det Σ = 0. Ekkor a Σ = A^{∗}A egyenletet kielégítő A mátrixra, Det A = 0, azaz az A mátrix sem invertálható, tehát létezik olyan x = (x_{1}, …, x_{k}) vektor, melyre xA = 0. Egy Σ kovarianciamátrixú és M várható értékű véletlen vektor eloszlása megegyezik egy (ξ̄_{1}, …, ξ̄_{k}) = (η_{1}, …, η_{k})A + M vektor eloszlásával, ahol Σ = A^{∗}A, és η_{1}, …, η_{k} független, standard normális eloszlású valószínűségi változók. Ha a Σ és ezért az A mátrix nem invertálható,

akkor létezik olyan (x_{1}, …, x_{k}) vektor, melyre ∑_{p=1}^{k} x_{p}(ξ̄_{p} − M_{p}) = 0 egy valószínűséggel.

Ez azt jelenti, hogy a (ξ̄_{1}, …, ξ̄_{k}), illetve a vele azonos eloszlású (ξ_{1}, …, ξ_{k}) véletlen vektor egy valószínűséggel egy hipersíkra van koncentrálva, ezért nincs sűrűségfüggvénye.

Ha a normális eloszlású valószínűségi változó Σ kovarianciamátrixa invertálható, akkor annak sűrűségfüggvényét kiszámíthtatjuk egyszerű integráltranszformáció segítségével.

Egy független standard normális eloszlású valószínűségi vektor sűrűségfüggvénye

φ(y) = φ(y_{1}, …, y_{k}) = \frac{1}{(2π)^{k/2}} exp \{−\frac{(y, y)}{2}\}, ahol y = (y_{1}, …, y_{k}), egy Σ kovari-

anciamátrixú és M = (M_{1}, …, M_{k}) várható értékű normális eloszlású valószínűségi vektort definiálhatunk ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{k}) = ηA + M alakban, ahol A^{∗}A = Σ. Alkalmazva az x = yA + M transzformációt x = (x_{1}, …, x_{k}) jelöléssel kapjuk, hogy tetszőleges mérhető B ⊂ R^{k} halmazra

P (ξ ∈ B) = P (η ∈ (B − M)A^{−1}) = ∫_{(y_{1},...,y_{k})∈(B−M)A^{−1}} φ(y) dy

= \frac{1}{det A} ∫_{(x_{1},...,x_{k})∈B} φ ((x − M)A^{−1}) dx

alakú, ahol Det A az x = yA + M leképezés Jacobian-ja.

E formulából kiolvasható, hogy a vizsgált normális eloszlású valószínűségi változó

sűrűségfüggvénye a \frac{1}{det A}φ ((x − M)A^{−1}) függvény. Annak érdekében, hogy bebi-

zonyítsuk a (++) formulát vegyük észre, hogy mivel Σ = A^{∗}A, ezért Det Σ = (Det A)^{2}, továbbá

φ ((x − M)A^{−1}) = \frac{1}{(2π)^{k/2}} exp \{−\frac{((x − M)A^{−1}, (x − M)A^{−1})}{2}\}

= \frac{1}{(2π)^{k/2}} exp \{−\frac{(x − M)A^{−1} (A^{−1})^{∗} (x − M)^{∗}}{2} \}

= \frac{1}{(2π)^{k/2}} exp \{−\frac{(x − M)(A^{∗}A)^{−1}(x − M)^{∗}}{2} \}

= \frac{1}{(2π)^{k/2}} exp \{−\frac{(x − M)Σ^{−1}(x − M)^{∗}}{2} \} .

A több-dimenziós normális eloszlás eloszlás tárgyalását két nem kötelező házi feladat megfogalmzazásával fejezzük meg.

Egyrészt megjegyezzük, hogy egy több-dimenziós normális eloszlású valószínűségi vektor koordinátái normális eloszlásúak. Viszont ez az állítás nem fordítható meg. Létezik olyan többdimenziós valószínűségi vektor, melynek koordinátái normális eloszlásúak, de a véletlen vektor nem normális eloszlású. Egy ilyen vektorra ad példát a következő nem kötelező házifeladatként megfogalmazott példa.

Definiáljuk a következő (Ω, B, P) valószínűségi mezőt: Ω = [0, 1], B a Borel σalgebra [0, 1]-en, és P a Lebesgue mérték. Definiáljuk a következő ξ és η valószínűségi változókat ezen a mezőn: ξ(x) = Φ^{−1}(x),

η(x) = \{ \begin{matrix}ξ(1 − x) & ha 0 ≤ x < \frac{1}{2} \\ ξ (x − \frac{1}{2}) & ha \frac{1}{2} ≤ x ≤ 1 \end{matrix} .

Lássuk be, hogy ξ és η normális eloszlású valószínűségi változók, de a (ξ, η) vektor nem normális eloszlású valószínűségi vektor.

Segítség: Egy lehetséges magyarázat arra, hogy a (ξ, η) vektor nem normális az, hogy P (ξ + η = 0) = \frac{1}{2}.

Végül az utolsó feladat.

Legyen A tetszőleges k × l téglalap mátrix, (azaz nem tesszük fel, hogy k = l), η_{1}, …, η_{l} független, standard normális eloszlású valószínűségi változók. Ekkor az (ξ_{1}, …, ξ_{k}) = (η_{1}, …, η_{l})A véletlen vektor nulla várható értékű normális eloszlású valószínűségi változó.

Segítség: Írjuk fel a (ξ_{1}, …, ξ_{k}) véletlen vektor karakterisztikus függvényét. Lássuk be, hogy ez egy Σ = A^{∗}A kovarianciamátrixú nulla várható értékű normális eloszlású véletlen vektor. Speciálisan, A^{∗}A pozitív szemidefinit mátrix az általános (téglalapmátrixokra is érvényes) esetben.

Kiegészítés a december 7-i szemináriumhoz

Egy többdimenziós normális eloszlás sűrűségfüggvényének kiszámítása során kiderült, hogy jobban meg kell értenünk egy a többváltozós függvény transzformáltjának az integrálját kifejező formulát. Részletesebben megfogalmazva a következő kérdésről van szó: Legyen T(x_{1}, …, x_{k}) = (y_{1}, …, y_{k}) ∈ R^{k} az R^{k} euklideszi tér egy “szép” transzformációja önmagába, és legyen f(y_{1}, …, y_{k}) k-változós függvény a képtéren. Definiáljuk ennek az f(y_{1}, …, y_{k}) függvénynek a T transzformáció szerinti g(x_{1}, …, x_{k}) ősképét a g(x_{1}, …, x_{k}) = f(y_{1}, …, y_{k}), ha (y_{1}, …, y_{k}) = T(x_{1}, …, x_{k}) képlet segítségével. Azt akarjuk megérteni, hogy hogyen lehet az f(y_{1}, …, y_{k}) függvény integrálját azaz az

∫_{R^{k}} f(y_{1}, …, y_{k}) dy_{1} … dy_{k}

kifejezést az eredeti (x_{1}, …, x_{k}) téren a g(x_{1}, …, x_{k}) alkalmas függvényének az integráljaként kiszámítani.

Az eredmény megfogalmazása érdekében definiáljuk az (y_{1}, …, y_{k}) = T(x_{1}, …, x_{k}) Jacobian-ját. Koordinátánként kiírva az R^{k} k-dimenziós térnek a k-dimenziós térbe való a T leképezését a következő jelölést alkalmazhatjuk: y_{j} = T_{j}(x_{1}, …, x_{k}), j = 1, …, k. Tekintsük azt az R^{k} téren definiált A(x_{1}, …, x_{k}) k × k méretű mátrixot,

melynek a j-ik sorának és i-ik oszlopában szereplő eleme a \frac{∂T_{j}(x_{1}, …, x_{k})}{∂x_{i}} parciális

derivált az (x_{1}, …, x_{k}) pontban. A T transzformáció J (T)(x_{1}, …, x_{k}) Jacobian-ja az (x_{1}, …, x_{k}) pontban az A(x_{1}, …, x_{k}) mátrix determinánsának az abszolut értéke. Mielőtt az alább tárgyalandó formulát megfogalmaznánk, értsük meg az A(x_{1}, …, x_{k}) mátrix és J (T)(x_{1}, …, x_{k}) Jacobian szemléletes tartalmát.

Adva egy (x_{1}, …, x_{k}) pont az R^{k} k-dimenziós térben, és kis h_{1}, …, h_{k} számok, akkor

T(x_{1} + h_{1}, …, x_{k} + h_{k}) − T(x_{1}, …, x_{k}) = (h_{1}, …, h_{k})A(x_{1}, …, x_{k})

+ elhanyagolhatóan kis hiba,

(1)

azaz az A(x_{1}, …, x_{k}) mátrix a számegyenesen értelmezett függvények deriváltjának természetes általánosítása. Ennek következménye, hogy a h_{1} ⋯ h_{k} térfogatú [x_{1}, x_{1} + h_{1}] × ⋯ × [x_{k}, x_{k}+_{k}] téglatest képe a T transzformáció hatására jó közelítéssel egy J (T)(x_{1}, …, x_{k})h_{1} ⋯ h_{k} térfogatú tartomány. Ugyanis az (1) formula alapján ez a tartomány jó közelítéssel a

T (x_{1}, …, x_{k}) + ([0, h_{1}] × ⋯ × [0, h_{k}]) A(x_{1}, …, x_{k})

a T (x_{1}, …, x_{k}) pontba eltolt h_{1} … h_{k}J (T)(x_{1}, …, x_{k}) térfogatú parallelepipedon.

Ez a geometriai kép, illetve a többdimenziós integrál definiciója (felosztjuk a B ⊂ R^{k} teret kis átmérőjű diszjunkt tartományok uniójára, ezen tartományok térfogatát megszorozzuk az integrálandó függvény értékével e tartomány valamelyik pontjában, majd összegezünk) sugallja az alábbi formulát, melyet ennek a heurisztikus érvelésnek a finomításával (enyhe feltételek kikötése mellett) be lehet bizonyítani.

\begin{matrix}∫ f(y_{1}, …, y_{k}) dy_{1} … dy_{k} \\ = ∫ \frac{g(x_{1}, …, x_{k})}{∑_{(z_{1},...,z_{k}) : T(z_{1},...,z_{k})=T(x_{1},...,x_{k})} \frac{1}{J (T)(z_{1}, …, z_{k})}} dx_{1} …, x_{k}. \end{matrix}  (2)

Valójában a többdimenziós normális eloszlás sűrűségfüggvény kiszámításában ennek az eredménynek csak egy speciális egyszerű esetét használtuk. Egy lineáris transzformációt Tx = xB + M̄ alakú lineáris transzformációt tekintettünk. (Esetünkben egy B = A^{−1} alakú mátrixot, egy alkalmas mátrix inverzét tekintettük.) Ebben az esetben a (2) formula sokkal egyszerűbb alakú. Ekkor a Jacobian nem függ az (x_{1}, …, x_{k}) ponttól, hanem |Det B|-vel egyenlő. Az f(y_{1}, …, y_{k}) függvény (x_{1}, …, x_{k}) ősképe is nagyon egyszerűen kiszámolható, g(x_{1}, …, x_{k}) = f((x_{1}, …, x_{k})B + M̄). Továbbá mivel a fenti T transzformációnak egyetlen ősképe van, a (2) formula jobboldalán a nevező sokkal egyszerűbb ebben az esetben. Ez a

\frac{1}{∑_{(z_{1},...,z_{k}) : T(z_{1},...,z_{k})=T(x_{1},...,x_{k})} \frac{1}{J (T)(z_{1}, …, z_{k})}} = J (T)(x_{1}, …, x_{k}) = |Det B|

kifejezés.