\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}


\centerline{\bf A T\"OBBV\'ALTOZ\'OS CENTR\'ALIS
HAT\'ARELOSZL\'AST\'ETEL}

\medskip\noindent
A centr\'alis hat\'areloszl\'as sok f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az
aszimptotikus eloszl\'as\'at \'{\i}rja le. Bizonyos k\'erd\'esek
vizsg\'alat\'aban sz\"uks\'eg\"unk van ennek az ered\-m\'eny\-nek
egy olyan \'altal\'anosabb v\'altozat\'ara, amely f\"uggetlen,
vektor \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
\"osszeg\'enek az aszimptotikus eloszl\'as\'at adja meg. A
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek l\'etezik ilyen
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa, \'es ezt h\'{\i}vj\'ak t\"obbv\'altoz\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek. K\"o\-vet\-ke\-z\H{o}
t\'em\'ank ennek az eredm\'enynek a t\'argyal\'asa.

A t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
meg\'ert\'ese \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or meg kell ismern\"unk a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as definici\'oj\'at \'es
annak n\'eh\'any fontos tulajdons\'ag\'at. Ugyanis a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelekben
a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok jelennek meg, mint
hat\'areloszl\'asok. Annak \'er\-de\-k\'e\-ben, hogy ezeket az
eloszl\'asokat j\'ol meg\'erts\"uk, be kell vezetni a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'enek term\'eszetes
megfelel\H{o}j\'et vektor \'ert\'ek\H{u}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
ese\-t\'e\-re. Ez a a vektor \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek \'es kovariancia m\'atrix\'anak a bevezet\'es\'et
jelenti. Ezenk\'{\i}v\"ul fel kell eleven\'{\i}teni a line\'aris
algebra n\'eh\'any eredm\'eny\'enek az ismeret\'et.

Miel\H{o}tt a t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel t\'argyal\'as\'at elkezden\'enk, l\'assunk
k\'et olyan probl\'em\'at, amelyek vizsg\'alat\'aban ez az
eredm\'eny hasznosnak bizonyult.

\medskip
\item{a.)} Tekints\"unk egy dob\'okock\'at. Feldobjuk sokszor,
fel\'{\i}rjuk a dob\'asok eredm\'eny\'et, \'es ennek alapj\'an
akarjuk eld\"onteni, hogy a dob\'okocka szab\'alyos-e. Term\'eszetes
azt v\'arni, hogy a dob\'okocka akkor szab\'alyos, ha mindegyik
dob\'aseredm\'eny el\H{o}\-for\-du\-l\'a\-s\'a\-nak a sz\'ama a
dob\'assz\'amok egyhatoda plusz egy kis elt\'er\'es. De mekkora
elt\'er\'eseket tekinthet\"unk kicsinek? Ha csak azt n\'ezz\"uk,
hogy mennyi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
hogy p\'eld\'aul a hatos dob\'asok sz\'am\'anak elt\'er\'ese
a dob\'asok sz\'am\'anak egyhatod\'at\'ol kisebb mint egy adott
sz\'am, akkor a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel pontos
le\'{\i}r\'ast ad erre a probl\'em\'ara. De ha a k\"ul\"onb\"oz\H{o}
do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek egy\"uttes viselked\'es\'ere vagyunk
kiv\'ancsiak, akkor \'uj eredm\'enyre van sz\"uks\'eg\"unk.

\item{b.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Ekkor a
$\summ_{j=1}^n\xi_j$ \"osszeg normaliz\'altj\'anak az
eloszl\'as\'ara j\'o le\'{\i}r\'ast ad a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel. Hasonl\'o \'all\'{\i}t\'ast mondhatunk a
$\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ \"osszeg nor\-ma\-liz\'alt\-j\'a\-nak az
eloszl\'as\'ara. De tudunk-e hasonl\'o eredm\'enyt adni a
$\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ \"osszegek normaliz\'altj\'anak az
egy\"uttes eloszl\'as\'ara?

\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy l\'assuk, hogyan lehet ezeket a
k\'erd\'eseket vizsg\'alni a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alkalmas t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}j\'enek, azaz a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel bevezetek be n\'eh\'any jel\"ol\'est.

Legyenek $\xi^{(j)}=\(\xi^{(j)}_1,\dots,\xi^{(j)}_k\)$,
$j=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, (v\'eletlen vektorok),
ahol r\"ogz\'{\i}tett $j$ indexre semmilyen (f\"uggetlens\'eg
jelleg\H{u}) felt\'etelt nem tesz\"unk fel az $\xi^{(j)}_1$,\dots,
$\xi^{(j)}_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttes
eloszl\'as\'ara. Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy
$E{\xi_s^{(j)}}^2<\infty$ minden $1\le s\le k$ indexre. Tekints\"uk
az $S_n=(S_{n,1},\dots,S_{n,k})=\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}=
\(\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_1,\dots,\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_k\)$,
$n=1,2,\dots$, v\'eletlen \"osszegeket. Be akarjuk l\'atni,
hogy az $S_n$ v\'eletlen vektorok alkalmas
normaliz\'altj\'anak l\'etezik hat\'areloszl\'asa, \'es a
hat\'areloszl\'ast pontosan le akarjuk \'{\i}rni. L\'atni fogjuk,
hogy ez lehets\'eges. A hat\'areloszl\'ast\'etelben megjelen\H{o}
hat\'areloszl\'asokat fogjuk t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'asoknak nevezni.

A teljess\'eg kedv\'e\'ert f\"olid\'ezem, hogy itt \'es a
tov\'abbiakban vektor \'ert\'ek\H{u}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'eg\'enek al\'abbi, a bevezet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as el\H{o}ad\'asban
be\-ve\-ze\-tett definici\'oj\'at haszn\'aljuk.

\medskip\noindent
{\bf Vektor\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'eg\'enek a definici\'oja.} {\it Le\-gye\-nek
$\xi^{(1)}=\(\xi^{(1)}_1,\dots,\xi^{(1)}_k\)$, \dots,
$\xi^{(n)}=\(\xi^{(n)}_1,\dots,\xi^{(n)}_k\)$, \'ert\'ekeiket az
$R^k$ $k$-dimenzi\'os Euklideszi t\'erben felvev\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok (vektorok) egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt
mondjuk, hogy ezek a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektorok
f\"uggetlenek, ha minden $x^{(1)}=(x^{(1)}_1,\dots,x^{(1)}_k)$, \dots,
$x^{(n)}=(x^{(n)}_1,\dots,x^{(n)}_k)$ $k$-dimenzi\'os vektorra
$$
\align
&P\(\xi^{(1)}_1<x^{(1)}_1,\dots,\xi^{(1)}_k<x^{(1)}_k,\;\dots,\;
\xi^{(n)}_{1}<x^{(n)}_1,\dots,\xi^{(n)}_k<x^{(n)}_k\)\\
&\qquad=P\(\xi^{(1)}_1<x^{(1)}_1,\dots,\xi^{(1)}_k<x^{(1)}_k\)\cdots
P\(\xi^{(n)}_1<x^{(n)}_1,\dots,\xi^{(n)}_k<x^{(n)}_k\).
\endalign
$$
}\medskip\noindent

L\'assuk, hogyan lehet t\'argyalni az el\H{o}bb megfogalmazott
k\'et probl\'em\'at egy f\"ug\-get\-len, vektor \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszegeinek
hat\'areloszl\'as\'at le\'{\i}r\'o ered\-m\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Az a) fel\-adat vizsg\'alat\'anak \'erdek\'eben
vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} vektor \'ert\'ek\H{u} $\xi^{(j)}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: Ha a dob\'okock\'at $n$
alkalommal dobjuk fel, akkor legyen $\xi^{(j)}$, $1\le j\le n$, a
k\"ovetkez\H{o} 6-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o: A $\xi^{(j)}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o $l$-ik koordin\'at\'aja 1, ha a $j$-ik dob\'as \'ert\'eke
$l$, $1\le l\le 6$, \'es legyen a $\xi^{(j)}$ v\'eletlen vektor
\"osszes t\"obbi koordin\'at\'aja nulla. Ekkor a $\xi^{(j)}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek. (Az egyes
$\xi^{(j)}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
koordin\'at\'ai  ebben a p\'eld\'aban nem f\"uggetlenek.)
Tov\'abb\'a az  $S_n=\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}$ \"osszeg $l$-ik
koordin\'at\'aja egyenl\H{o} az $l$ \'ert\'ek\H{u} dob\'asok
sz\'am\'aval minden $1\le l\le 6$ index eset\'en. Ez\'ert egy az
$S_n$ v\'eletlen \"osszeg aszimptotikus viselked\'es\'et nagy $n$
sz\'amokra le\'{\i}r\'o hat\'areloszl\'ast\'etel hasznos lehet a
sz\'amunkra. Egy ilyen eredm\'enyb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy az
$S_n$ v\'eletlen \"osszegek alkalmas normaliz\'altjai eloszl\'asban
konverg\'alnak egy explicit m\'odon megadott
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez. Megjegyzem, hogy a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
t\'ar\-gya\-l\'a\-sa \'erdek\'eben az  eloszl\'asban val\'o
konvergenci\'anak egy a t\"obb\-di\-men\-zi\-\'os
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok eset\'eben is
\'erv\'enyes definic\'oj\'at vezett\"uk be.

B\'ar a t\"obbv\'altoz\'os hat\'areloszl\'as fogalm\'at tanultuk,
m\'egis \'erdemes n\'eh\'any e fogalommal kapcsolatos eddig nem
t\'argyalt k\'erd\'est megvizsg\'alni. Term\'eszetes az
a) fel\-adat megold\'as\'aban a v\'eletlen $S_n$
vektorb\'ol az $(\frac n6,\dots,\frac n6)$ vektort kivonni, \'es
ennek a 6-v\'altoz\'os k\"ul\"onbs\'egvektornak a hossz\'at
tekinteni (az Euklideszi t\'avols\'agfogalom szerint). Ha a
dob\'okocka szab\'alyos volt, akkor azt v\'arjuk, hogy e v\'eletlen
vektor hossza viszonylag kicsi. Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy van-e
e v\'eletlen vektor alkalmas normaliz\'altj\'anak hat\'areloszl\'asa,
\'es k\"ovetkezik-e egy ilyen eredm\'eny a t\"obb-dimenzi\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l. Be fogjuk l\'atni,
hogy erre a k\'erd\'esre igenl\H{o} a v\'alasz. De ez az
\'all\'{\i}t\'as indokl\'asra szorul. Ugyanis a t\"obb-dimenzi\'os
eloszl\'asok konvergenci\'ajanak a
definici\'oja annak eredeti alakj\'aban csak nagyon
speci\'alis halmazok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek a
konvergenci\'aj\'at \'{\i}rja el\H{o}.

A b) p\'eld\'aban megfogalmazott k\'erd\'est hasonl\'oan
t\'argyalhatjuk az a) p\'eld\'ahoz. Itt olyan
$\eta_j=(\xi_j,\xi_j^2)$, $1\le j\le n$, k\'et-dimenzi\'os
f\"uggetlen vektorok $S_n=\summ_{j=1}^n\eta_j$ \"osszeg\'et
vizsg\'aljuk, amelyekre $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. A
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel le\'{\i}rhat\'o az ilyen v\'eletlen
vektorok normaliz\'altjainak a hat\'areloszl\'asa.

Ismertetni fogom a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
term\'eszetes megfelel\H{o}j\'et abban az esetben, ha
{\it f\"uggetlen \'es egyforma eloszl\'as\'u}\/ v\'eletlen
vektorok alkalmasan normaliz\'alt \"osszeg\'enek a
viselked\'es\'et vizs\-g\'al\-juk. Ennek \'erdek\'eben bevezetem
a ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-ban megjelen\H{o} norm\'alis
eloszl\'as t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}j\'et, amit
t\"obb-dimenzi\'os  nor\-m\'a\-lis el\-osz\-l\'as\-nak fogok
nevezni. De ehhez el\H{o}bb defini\'alni kell a v\'ar\-ha\-t\'o
\'er\-t\'ek \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet  fogalm\'anak a
t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}j\'et. Ezenk\'{\i}v\"ul meg kell
\'erteni, hogy a v\'arhat\'o \'ert\'ek
\'es sz\'or\'asn\'egyzet tulajdons\'agai hogyan \"or\"okl\H{o}dnek
a t\"obb-dimenzi\'os eset\-ben. Az egy-di\-men\-zi\-\'os esetben
defini\'alt v\'arhat\'o \'ert\'eknek megfelel\H{o}
t\"obb-di\-men\-zi\-\'os v\'arhat\'o \'ert\'ek (vektor) fogalm\'anak
\'es tulajdons\'againak a meg\'ert\'ese viszonylag egyszer\H{u},
de a sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-nek megfelel\H{o} kovariancia m\'atrix
tulajdons\'againak j\'o meg\'ert\'ese sz\"uk\-s\'e\-ges\-s\'e teszi
n\'eh\'any a line\'aris algebr\'aban tanult fogalom \'es eredm\'eny
feleleven\'{\i}t\'es\'et. Megjegyzem, hogy most \'es a
to\-v\'ab\-bi\-ak\-ban is a t\"obb-dimenzi\'os vektorokat mint
sorvektorokat tekintem. Val\'oj\'aban mind a sor mind az
oszlopvektor jel\"ol\'es lehets\'eges. Egyik jel\"ol\'es sem jobb
a m\'asikn\'al, \'es az irodalomban nem egys\'eges a jel\"ol\'es. A
fontos az, hogy k\"ovetkezetes jel\"ol\'est alkalmazzunk.

\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek \'es kovariancia m\'at\-ri\-x\'a\-nak
a definici\'oja.} {\it Legyen $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ $k$-dimenzi\'os
v\'eletlen vektor, amelynek minden koordin\'at\'aja teljes\'{\i}ti
az $EZ_j^2<\infty$, $1\le j\le k$, felt\'etelt. E v\'eletlen vektor
v\'arhat\'o \'ert\'eke az $EZ=(EZ_1,\dots,EZ_k)$ $k$-dimenzi\'os
vektor, kovariancia m\'atrixa pedig az a $D=(d_{j,l})$,
$1\le j,l\le k$, $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, mely m\'atrix
$j$-ik sor\'aban \'es $l$-ik oszlop\'aban l\'ev\H{o} elem a
$d_{j,l}=\Cov(Z_j,Z_l)=EZ_jZ_l-EZ_j EZ_l$ sz\'am.}

\medskip
Megfogalmazom a vektor\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek \'es kovariancia
m\'atrix\'anak n\'eh\'any fontos tulajdons\'ag\'at. Ezek
egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enyei a val\'os sz\'am \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok m\'ar t\'argyalt
tulajdons\'againak, ez\'ert bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-su\-kat elhagyom.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel vektor \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek \'es kovariancia
m\'atrix\'anak tulajdons\'agair\'ol.}
{\it Legyenek $Z^{(j)}=\(Z^{(j)}_1,\dots,Z^{(j)}_k\)$,
$1\le j\le n$, v\'eletlen $k$-dimenzi\'os vektorok ugyanazon az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor a
$Z^{(1)}+\cdots+Z^{(n)}$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke megegyezik
a $Z^{(j)}$ vektorok v\'arhat\'o \'ert\'ekeinek az \"osszeg\'evel,
azaz
$$
E(Z^{(1)}+\cdots+Z^{(n)})=EZ^{(1)}+\cdots+EZ^{(n)}.
$$
Ha a $Z^{(j)}$, $1\le j\le n$, v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek,
akkor a kovariancia m\'atrix is addit\'{\i}v, azaz, ha a $Z^{(j)}$
m\'atrix kovariancia m\'atrixa a $D_j$ m\'atrix, $1\le j\le n$,
akkor a $Z^{(1)}+\cdots+Z^{(n)}$ v\'eletlen \"osszeg kovariancia
m\'atrixa a $D_1+\cdots+D_n$ m\'atrix. Ha egy $Z=\(Z_1,\dots,Z_k\)$,
v\'eletlen vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke $M=(M_1,\dots,M_k)$,
kovariancia m\'atrixa a $D$ $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, $a$
tetsz\H{o}leges val\'os sz\'am, akkor az $aZ=\(aZ_1,\dots,aZ_k\)$,
v\'eletlen vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke  $aM$, kovariancia
m\'atrixa pedig az $a^2D$ kovariancia m\'atrix.
Legyen tov\'abb\'a $x=(x_1,\dots,x_k)$ tetsz\H{o}leges
$k$-dimenzi\'os vektor. Ekkor $E(Z+x)=EZ+x$, a $Z+x$ vektor
kovariancia m\'atrixa pedig megegyezik a $Z$ vektor kovariancia
m\'atrix\'aval.}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny c\'elja annak jellemz\'ese, hogy
milyen m\'atrix jelenhet meg, mint egy alkalmas v\'eletlen vektor
kovariancia m\'atrixa. Ennek az eredm\'enynek az ismertet\'es\'eben
\'es bizony\'{\i}t\'as\'aban fel kell haszn\'alnunk a line\'aris
algebra n\'eh\'any alapvet\H{o} fogalm\'at \'es eredm\'eny\'et.
Igyekszem az \'all\'{\i}t\'asokat \"onmagukban is \'erthet\H{o}
m\'odon le\'{\i}rni. El\H{o}sz\"or felid\'ezem a k\"ovetkez\H{o}
line\'aris algebrai fogalmat.

\medskip\noindent
{\bf Szimmetrikus \'es pozit\'{\i}v (szemi)definit m\'atrixok
definici\'oja.} {\it Legyen $D=(d_{j,l})$ egy $k\times k$
m\'eret\H{u} m\'atrix. Azt mondjuk, hogy a $D$ m\'atrix
szimmetrikus, ha minden $1\le j,l\le k$ indexre $d_{j,l}=d_{l,j}$.
Pontosabban azt k\"ovetelj\"uk meg, (ha nemcsak val\'os, hanem
\'altal\'anos komplex \'ert\'ek\H{u} elemekkel rendelkez\H{o}
m\'atrixokat is tekint\"unk, hogy $d_{j,l}=\bar d_{l,j}$, ahol
$\bar z$ a $z$ komplex sz\'am konjug\'altja, azaz, ha $z=a+ib$,
akkor $\bar z=a-ib$. (De ebben az el\H{o}ad\'asban csak val\'os
elem\H{u} m\'atrixokkal fogunk dolgozni.) Egy $k\times k$
m\'eret\H{u} szimmetrikus $D=(d_{j,l})$ m\'atrix pozit\'{\i}v
(szemi)definit, ha minden $x=(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os
vektorra
$xDx^*=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k x_j d_{j,l} x_l\ge0$. (Ebben a
formul\'aban $x^*$ jel\"oli az $x$ vektor transzpon\'altj\'at, azaz
azt az oszlopvektort, amelynek f\"ol\"ulr\H{o}l sz\'am\'{\i}va
$l$-ik eleme megegyezik az $x$ vektor balr\'ol sz\'am\'{\i}tott
$l$-ik elem\'enek a komplex konjug\'altj\'aval. Ekkor $xDx^*$ a
szok\'asos vektor-m\'atrix szorz\'ast jel\"oli.

A $D=(d_{i,j})$ szimmetrikus m\'atrixot (szigor\'uan) pozit\'{\i}v
definitnek nevez\"unk, ha pozit\'{\i}v szemidefinit, \'es
r\'aad\'asul az $xDx^*=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k x_j d_{j,l}x_l=0$
rel\'aci\'o csak abban a trivi\'alis esetben teljes\"ul, ha
$x_1=x_2=\cdots=x_k=0$.}

\medskip
Az eredm\'enyek \'es fogalmak jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben
\'erdemes megadni a fenti koordin\'atarendszerf\"ugg\H{o}
definici\'ok koordin\'atarendszert\H{o}l f\"uggetlen
,,absztrakt" de\-fi\-ni\-ci\'o\-j\'at is, \'es meg\'erteni a
k\'et definici\'o kapcsolat\'at. Ennek le\'{\i}r\'as\'at (a
bizony\'{\i}t\'asok t\"obbs\'eg\'enek elhagy\'as\'aval) tartalmazza
egy a m\'ult f\'el\'evben kiosztott line\'aris algebrai
\"osszefoglal\'o. R\"oviden megfogalmazom a legfontosabb fogalmakat
\'es eredm\'enyeket.

A m\'atrixok \'ugy jelennek meg, mint line\'aris transzform\'aci\'ok
megad\'asai egy li\-ne\-\'a\-ri\-san f\"uggetlen vektorokb\'ol
\'all\'o koordin\'atarendszerben. Ha Euklideszi terekben, teh\'at
olyan line\'aris terekben dolgozunk, ahol van skal\'arszorzat,
\'es ez\'ert besz\'elhet\"unk egy vektor hossz\'a\-r\'ol \'es
k\'et  vektor \'altal bez\'art sz\"ogr\H{o}l, akkor a line\'aris
transzform\'aci\'okat egy or\-to\-nor\-m\'alt b\'azisban adjuk meg.
Term\'eszetes az el\H{o}bb bevezetett fogalmakat el\H{o}sz\"or
line\'aris transzform\'aci\'okra defini\'alni, (ezt nevezem
koordin\'atamentes definici\'onak), \'es ut\'ana
meg\-vizs\-g\'al\-ni azt, hogy ezek a fogalmak mit jelentenek a
transzform\'aci\'ot megad\'o m\'atrixok nyelv\'en.

Az els\H{o} defini\'aland\'o fogalom egy Euklideszi t\'erben
defini\'alt $A$ transzform\'aci\'o adjung\'altja. Egy valamely
Euklideszi t\'erben megadott $A$ line\'aris transzform\'aci\'o
adjung\'altja az az $A^*$ line\'aris transzform\'aci\'o, amelyre
teljes\"ul az $(xA, y)=(x, yA^*)$ azo\-nos\-s\'ag az Euklideszi
t\'er minden $x$ \'es $y$ vektor\'ara, ahol $(\cdot,\cdot)$
skal\'arszorzatot jel\"ol. Be lehet l\'atni,
hogy minden $A$ line\'aris transzform\'aci\'o eset\'en egy \'es
csak egy olyan $A^*$ line\'aris transzform\'aci\'o van,
amely teljes\'{\i}ti ezt a felt\'etelt. Ez azt jelenti, hogy a
line\'aris transz\-for\-m\'a\-ci\'o, illetve a neki megfelel\H{o}
m\'atrix adjung\'altj\'anak a definici\'oja \'ertelmes.
Meg\-jegy\-zem, hogy egy m\'atrix adjung\'altj\'at csak Euklideszi
(teh\'at nem tetsz\H{o}leges line\'aris) t\'erben defini\'altuk,
mert e fogalom definici\'oj\'aban felhaszn\'altuk a skal\'arszorzat
fogalm\'at. Ezut\'an az \"onadjung\'alt transzform\'aci\'o
fogalm\'anak a megad\'asa egyszer\H{u}. Egy $A$ line\'aris
transzform\'aci\'o (vagy a neki megfelel\H{o} m\'atrix) akkor \'es
csak akkor \"onadjung\'alt, ha $A=A^*$. Egy $A$ \"onadjung\'alt
m\'atrixot akkor nevez\"unk pozit\'{\i}v sze\-mi\-de\-fi\-nit\-nek,
ha $(x,xA)\ge0$ ez Euklideszi t\'er minden $x$ vektor\'ara, \'es
akkor nevez\"unk (szigor\'uan) pozit\'{\i}v definitnek, ha egyr\'eszt
teljes\"ul a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg, m\'asr\'eszt az $(x,xA)=0$
azonoss\'ag csak a trivi\'alis $x=0$ esetben \'all fenn.

Be lehet l\'atni, hogy ha egy $A$ transzform\'aci\'o m\'atrix\'at
fel\'{\i}rjuk egy {\it tetsz\H{o}leges}\/ ortonorm\'alt b\'azisban,
akkor a transzform\'aci\'o adjung\'altj\'anak a m\'atrix\'at a
{\it Szimmetrikus \'es pozit\'{\i}v (szemi)definit m\'atrixok
definici\'oj\'aban} megadott m\'odon sz\'am\'{\i}thatjuk ki.
Fon\-tos meg\'erteni, hogy ez az \'all\'{\i}t\'as azt is jelenti,
hogy ha egy $A$ line\'aris transz\-for\-m\'a\-ci\'o m\'atrix\'anak
az adjung\'altj\'at a line\'aris transzform\'aci\'o m\'atrix\'anak
az ad\-jun\-g\'alt\-ja se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel sz\'amoljuk ki,
akkor az \'{\i}gy kapott $A^*$ adjung\'alt transzform\'aci\'o
\'ert\'eke nem f\"ugg att\'ol, hogy melyik ortonorm\'alt
b\'azisban dolgozunk. Azt, hogy egy \"onadjung\'alt $A$ line\'aris
transzorm\'aci\'o pozit\'{\i}v szemidefinit a transzform\'aci\'o
(egy ortonorm\'alt b\'azisban fel\'{\i}rt) $A$ m\'atrix\'aval \'ugy
jellemezhet\H{o}, hogy $xAx^*\ge0$, ahol $x$ tetsz\H{o}leges
sz\'am-$n$-es, \'es $x^*$ annak transzpon\'altja.
Fel\'{\i}rom egy transzform\'aci\'o adjung\'altj\'anak legfontosabb
tulajdons\'agait: $(A+B)^*=A^*+B^*$, $(cA)^*=\bar c A^*$,
$(A^*)^*=A$, $(AB)^*=B^*A^*$.

A line\'aris transzform\'aci\'ok \'es m\'atrixok legfontosabb
tulajdons\'againak felsorol\'asa ut\'an megfogalmazok egy fontos
eredm\'enyt, amely megadja a kovariancia m\'atrixok
jellemz\'es\'et. Ennek bizony\'{\i}t\'as\'aban felhaszn\'alok
egy nem trivi\'alis line\'aris algebrai ered\-m\'e\-nyt is.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel kovariancia m\'atrixok  jellemz\'es\'er\H{o}l.}
{\it Legyen $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ egy $k$-di\-men\-zi\-\'os v\'eletlen
vektor. Ekkor a $Z$ vektor kovariancia m\'atrixa szimmetrikus \'es
pozit\'{\i}v sze\-mi\-defi\-nit m\'atrix. Megford\'{\i}tva,
tetsz\H{o}leges $D$ szimmetrikus, pozit\'{\i}v szemidefinit
m\'at\-rix\-hoz l\'e\-te\-zik olyan $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ v\'eletlen
vektor, amelynek ez a $D$ m\'atrix a kovariancia m\'atrixa. S\H{o}t
igaz a k\"ovetkez\H{o} tartalmasabb \'all\'{\i}t\'as is: Legyen
$Y=(Y_1,\dots,Y_k)$ olyan v\'eletlen vektor, amelynek a kovariancia
m\'atrixa az identit\'as m\'atrix, azaz $\Var Y_j=1$, $1\le j\le k$,
$\Cov(Y_j,Y_l)=0$, ha $1\le j,l\le k$, \'es $j\neq l$. (Ez a helyzet
p\'eld\'aul akkor, ha az $Y_j$, $1\le j\le k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es
$\Var Y_j=1$.) Ekkor l\'etezik olyan $A=(a_{j,l})$ $k\times k$
m\'eret\H{u} m\'atrix, amelyre igaz, hogy a
$Z=(Z_1,\dots,Z_k)=(Y_1,\dots,Y_k)A=\(\summ_{p=1}^k a_{1,p}Y_p,
\dots,\summ_{p=1}^k a_{k,p}Y_p\)$ v\'eletlen vektor kovariancia
m\'atrixa a $D$ m\'atrix.

Igaz tov\'abb\'a a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as is. Egy
$Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa akkor
\'es csak akkor (szigor\'uan) pozit\'{\i}v definit, ha e vektor
koordin\'at\'ai k\"oz\"ott nincs line\'aris \"osszef\"ugg\'es, azaz
ha $x_1,\dots,x_k$ val\'os sz\'amokra $\summ_{j=1}^k
x_jZ_j=K$ valamilyen $K$ (determinisztikus) val\'os sz\'amra egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, akkor $x_1=\cdots=x_k=0$.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ez az \'all\'{\i}t\'as annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol sz\'ol\'o egyszer\H{u}
ered\-m\'eny\-nek t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}je, amely szerint
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzete
nem negat\'{\i}v sz\'am. Tov\'abb\'a egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzete akkor \'es csak akkor
szigor\'uan pozit\'{\i}v, ha ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o nem egyenl\H{o} egy konstanssal egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel. Ennek a t\'enynek a
megfelel\H{o}je a t\'etel v\'eg\'en kimondott \'all\'{\i}t\'as,
amely szerint  egy v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa
pozit\'{\i}v definit, ha nincs a v\'eletlen vektor
koordin\'at\'ainak olyan line\'aris kombin\'aci\'oja, amelyik egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megegyezik egy sz\'ammal. Ugyan\-is a
nem negat\'{\i}v sz\'amoknak a pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrixok,
a pozit\'{\i}v sz\'amoknak pedig a pozit\'{\i}v definit m\'atrixok
a term\'eszetes megfelel\H{o}i az Euklideszi terekben. A t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa egy al\'abb megfogalmazand\'o nem trivi\'alis
line\'aris algebrai eredm\'enyen alapul, amely szerint
minden pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o, mint
egy alkalmas m\'atrix n\'egyzete. Ez az \'all\'{\i}t\'as annnak a
t\'enynek a megfelel\H{o}je Euk\-li\-deszi terekben, amely szerint
pozit\'{\i}v sz\'amokb\'ol lehet n\'egyzetgy\"ok\"ot vonni.
Meg\-jegy\-zem, hogy a pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrixokb\'ol
vont n\'egyzetgy\"ok nem egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott, mint ahogy a val\'os sz\'amok k\"oz\"ott
is csak akkor egy\'ertelm\H{u} a gy\"okvon\'as, ha csak a
pozit\'{\i}v gy\"ok\"ot tekintj\"uk.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a line\'aris algebr\'ab\'ol.} {\it Legyen $D$
pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix. Ekkor l\'etezik olyan $A$
m\'atrix, amelyre \'erv\'enyes a $D=A^*A$ azonoss\'ag, ahol $A^*$
az $A$ m\'atrix transz\-po\-n\'alt\-j\'at jel\"oli. S\H{o}t, olyan
$A$ m\'atrixot is v\'alaszthatunk, amelyre az $A$ m\'atrix
\"onadjung\'alt, po\-zi\-t\'{\i}v szemidefinit, \'es $D=A^2$. Eme
megszor\'{\i}t\'as eset\'en az $D=A^*A=A^2$ egyenlet megold\'asa
egy\'ertelm\H{u}. (Egy $A=(a_{j,l})$ $k\times k$ m\'eret\H{u}
m\'atrix transzpon\'altja az $A^*=(a_{l,j})$, illetve az
\'altal\'anos komplex sz\'amokat is tartalmaz\'o m\'atrixok
eset\'eben az $A^*=(\bar a_{l,j})$ $k\times k$ m\'eret\H{u}
m\'atrix, ahol $\bar z$ a $z$ komplex  sz\'am konjug\'altja.)}

\medskip\noindent
{\it A kovariancia m\'atrixok  jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etel bizony\'{\i}t\'asa a line\'aris algebr\'ar\'ol
kimondott t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} Tekints\"unk el\H{o}sz\"or
egy $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ egy $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektort \'es
annak $D=\(d_{j,l}\)$, $d_{j,l}=\Cov (Z_j,Z_l)$, $1\le j,l\le k$,
kovariancia m\'atrix\'at. Ekkor $D$ szimmetrikus m\'atrix, mert
$d_{j,l}=d_{l,j}$, azaz $\Cov(Z_j,Z_l)=\Cov(Z_l,Z_j)$. M\'asr\'eszt
tetsz\H{o}leges $x=(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os vektorra
$$ \allowdisplaybreaks
\align
\Var\(\summ_{j=1}^k x_jZ_j\)&=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k
E\(x_jx_l(Z_jZ_l-EZ_jEZ_l)\)=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k
x_jx_l\Cov(Z_j,Z_l)\\
&=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k x_jx_ld_{j,l}=xDx^*,
\endalign
$$
\'es $\Var\(\summ_{j=1}^k x_jZ_j\)\ge0$.
Innen k\"ovetkezik, hogy $xDx^*\ge0$ tetsz\H{o}leges
$x=(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os vektorra, azaz $D$
szimmetrikus, pozit\'{\i}v szemi\-defi\-nit m\'atrix.

Megford\'{\i}tva, legyen $D$ pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix,
\'es $Y=(Y_1,\dots,Y_k)$ olyan v\'eletlen vektor, amelynek a
kovariancia m\'atrixa az identit\'as m\'atrix, azaz $\Var Y_j=1$,
$1\le j\le k$, $\Cov(Y_j,Y_l)=0$, ha $1\le j,l\le k$, \'es
$j\neq l$. A kimondott line\'aris algebrai eredm\'eny szerint
l\'etezik olyan $A=\(a_{j,l}\)$, $1\le j,l\le k$ $k\times k$
m\'eret\H{u} m\'atrix, amelyre $D=A^*A$. Azt \'all\'{\i}tom,
hogy a $Z=(Z_1,\dots,Z_k)=YA$, azaz a $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$,
$Z_j=\summ_{p=1}^k a_{p,j}Y_p$, $1\le j\le k$, v\'eletlen vektor
kovariancia m\'atrixa a $D$ m\'atrix. Innen k\"ovetkezik a
t\'e\-tel m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa is.

Val\'oban,
$$
\Cov (Z_j,Z_l)=\Cov\(\summ_{p=1}^k a_{p,j}Y_p,
\summ_{q=1}^k a_{q,l} Y_q\)=\summ_{p=1}^k\summ_{q=1}^k
a_{p,j}a_{q,l}\Cov(Y_p,Y_q),
$$
ahonnan, mivel $\Cov(Y_p,Y_q)=0$, ha $p\neq q$, \'es
$\Cov(Y_p,Y_p)=1$, $\Cov(Z_j,Z_l)
=\summ_{p=1}^ka_{p,j}a_{p,l}=d_{j,l}$, ahol $d_{j,l}$ a $D=A^*A$
m\'atrix $j$-ik sor\'aban \'es $l$-ik oszlop\'aban szerepl\H{o}
konstans.

V\'eg\"ul a $D$  kovariancia m\'atrix akkor \'es csak akkor
(szigor\'uan) pozit\'{\i}v definit, ha $xDx^*>0$, azaz
$\Var\(\summ_{j=1}^kx_j\xi_j\)>0$, azaz
$\summ_{j=1}^kx_j\xi_j\neq K$ 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
valamilyen $K$ konstanssal minden nem
azonosan nulla $(x_1,\dots,x_k)\neq0$ vektorra.

\medskip
Ezut\'an be tudjuk vezetni a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyek fogalm\'at, \'es meg tudjuk fogalmazni a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.

\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok definici\'oja.}
{\it Defini\'aljuk el\H{o}sz\"or a t\"obb-di\-men\-zi\'os standard
norm\'alis eloszl\'ast. Azt mondjuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asa a $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as, ha a $\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek, \'es mindegyik $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $1\le j\le k$, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u. Ekvivalens megfogalmaz\'asban azt
mondhatjuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asa a $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as, ha
e v\'eletlen vektornak l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,
\'es az az $f(u_1,\dots,u_k)=\frac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\frac12\summ_{j=1}^k u_j^2\right\}$ f\"uggv\'eny.

Egy $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$ dimenzi\'os v\'eletlen vektor $k$
dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel, ha e v\'eletlen vektor eloszl\'asa megegyezik valamely
$(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A$
$k$-dimenzi\'os vektor eloszl\'as\'aval, ahol $A$ egy $k\times k$
m\'eret\H{u} m\'atrix, tov\'abb\'a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy
$k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor.

Egy $(\zeta_1,\dots,\zeta_k)$ v\'eletlen vektor  $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor, ha eloszl\'asa megegyezik egy
$(\eta_1,\dots,\eta_k)+(m_1,\dots,m_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'aval, ahol $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ egy $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, amelynek a v\'arhat\'o
\'ert\'eke nulla, \'es $(m_1,\dots,m_k)$ $k$-dimenzi\'os
determinisztikus vektor.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ F\"uggetlen (egy-dimenzi\'os) norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszege
szint\'en norm\'alis eloszl\'as\'u. Innen, \'es a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as definici\'oj\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy egy t\"obb-v\'al\-to\-z\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o minden
koordin\'at\'aja norm\'alis eloszl\'as\'u. Az \'all\'{\i}t\'as
megford\'{\i}t\'asa nem igaz. K\'es\H{o}bb l\'atni fogunk p\'eld\'at
olyan k\'et\-v\'al\-to\-z\'os va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ora, amelynek mind a k\'et koordin\'at\'aja norm\'alis
eloszl\'as\'u, \H{o} maga m\'eg\-sem k\'et\-v\'al\-to\-z\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor.

\medskip
Bebizony\'{\i}tok m\'eg egy eredm\'enyt, amely sz\"uk\-s\'e\-ges a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
kimond\'as\'ahoz.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Tekints\"unk egy $k$-dimenzi\'os
$(\eta_1,\dots,\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot,
ahol $A$ egy $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, $m=(m_1,\dots,m_k)$
$k$-dimenzi\'os (v\'eletlent\H{o}l nem f\"ugg\H{o}) vektor
\'es $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Akkor $(\eta_1,\dots,\eta_k)$
$m=(m_1,\dots,m_k)$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $D=A^*A$
kovariancia m\'atrix\'u v\'eletlen vektor. Egy norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa pozit\'{\i}v
(szemi)definit, \'es megford\'{\i}tva, minden $k\times k$
m\'eret\H{u} pozit\'{\i}v (szemi)definit m\'at\-rix\-hoz \'es $k$
dimenzi\'os vektorhoz l\'etezik olyan $k$-v\'altoz\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'e\-let\-len vek\-tor, amely\-nek ez a kovariancia
m\'atrixa \'es v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora.  Tov\'abb\'a egy
$k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'at meghat\'arozza annak $m$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek vektora \'es $D$ kovariancia m\'atrixa.}
\medskip

Megjegyzem, hogy egy r\"ogz\'{\i}tett $D$ (szimmetrikus \'es
pozit\'{\i}v szemidefinit) m\'atrixra az $A^*A=D$ egyenletnek nem
egy\-\'er\-tel\-m\H{u} a megold\'asa. Tekints\"unk k\'et
k\"ul\"onb\"oz\H{o} $A$ \'es $B$ m\'atrixot, amelyre $A^*A=B^*B$.
A fenti t\'etel szerint, ha tekint\"unk egy $k$-dimenzi\'os standard
norm\'alis eloszl\'as\'u $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ vektort, illetve a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt $(\xi_1,\dots,\xi_k)A$
\'es $(\xi_1,\dots,\xi_k)B$ v\'eletlen vektorokat, akkor b\'ar ez
az ut\'obbi k\'et v\'eletlen vektor k\"ul\"onb\"oz\H{o},
eloszl\'asuk megegyezik. Ugyanis mind a k\'et (norm\'alis
eloszl\'as\'u) vektor nulla v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
$A^*A=B^*B$ kovariancia m\'atrix\'u. Ez a tulajdons\'ag er\H{o}sen
kihaszn\'alja azt, hogy norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol van sz\'o. Annak,
hogy egy t\"obb-dimenz\'os norm\'alis eloszl\'ast egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'aroz annak v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora \'es kovariancia
m\'atrixa fontos k\"ovetkezm\'enyei vannak. Ehhez a k\'erd\'eshez
k\'es\H{o}bb visszat\'erek.

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/  Az, hogy csak pozit\'{\i}v
szemidefinit m\'atrixok lehetnek egy t\"obb-di\-men\-zi\-\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
kovariancia m\'atrixai, azok viszont lehetnek ilyen kovariancia
m\'atrixok k\"ovetkezik a {\it kovariancia m\'atrixok
jellemz\'es\'er\H{o}l} sz\'ol\'o t\'etelb\H{o}l. (Az, hogy egy
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke
tetsz\H{o}leges vektor lehet nyilv\'anval\'o.) Az az
\'all\'{\i}t\'as szorul m\'eg indokl\'asra, hogy egy
t\"obb\-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at meghat\'arozza
annak kovariancia m\'atrixa \'es v\'arhat\'o \'ert\'ek
vektora. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast is reduk\'alni lehet arra az
\'all\'{\i}t\'asra, hogy egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at
meghat\'arozza a kovariancia m\'atrixa. K\'es\H{o}bb l\'atni fogjuk,
hogy ez az eredm\'eny k\"ovetkezik a t\"obbv\'altoz\'os norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek az
alakj\'ab\'ol, de itt egy m\'asik bizony\'{\i}t\'ast ismertetek,
amely a line\'aris algebra egy \"onmag\'aban is \'erdekes
\'all\'{\i}t\'as\'ab\'ol, egy Euklideszi t\'er line\'aris
transzform\'aci\'oinak \'ugynevezett pol\'ar koordin\'at\'as
fel\-bon\-t\'a\-s\'a\-b\'ol k\"ovetkezik.

E t\'etel megfogalmaz\'asa el\H{o}tt felid\'ezem az unit\'er
transzform\'aci\'ok definici\'oj\'at. Egy Euklideszi t\'er valamely
line\'aris transzform\'aci\'oj\'at unit\'ernek nevez\"unk, ha
teljes\'{\i}ti az $UU^*=I$ \'es $U^*U=I$ azonoss\'agot.
Val\'oj\'aban el\'eg e k\'et azonoss\'ag k\"oz\"ul csak az egyiket
megk\"ovetelni, mert akkor a m\'asik azonoss\'ag is
sz\"uks\'egszer\H{u}en teljes\"ul. Az unit\'er transzform\'aci\'ok
geometriai tartalma az, hogy ezek \'es csak ezek az Euklideszi
t\'er t\'avols\'agtart\'o transzform\'aci\'oi. A k\"ovetkez\H{o}
line\'aris algebrai eredm\'enyre lesz sz\"uks\'eg\"unk.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel egy m\'atrix pol\'ar felbont\'as\'ar\'ol.}  {\it Legyen
$A$ egy Euklideszi t\'er line\'aris transz\-for\-m\'a\-ci\'o\-j\'a\-nak
a m\'atrixa. L\'etezik az $A$ m\'atrixnak $A=UK$ (\'es $A=LV$) alak\'u
pol\'ar felbont\'asa, ahol $U$ (illetve $V$) unit\'er, $K$
(illetve $L$) pozit\'{\i}v szemidefinit szimmetrikus m\'atrix. A $K$
m\'atrix az $A^*A$ pozit\'{\i}v definit, szimmetrikus m\'atrix
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott pozit\'{\i}v n\'egyzetgy\"oke.
(Az $L$ m\'atrix az $AA^*$ m\'atrix pozit\'{\i}v n\'egyzetgy\"oke.)}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} Ezen eredm\'eny elnevez\'es\'enek az az oka,
hogy a pozit\'{\i}v szemidefinit m\'at\-ri\-xok a nem negat\'{\i}v
val\'os sz\'amoknak, az unit\'er transzform\'aci\'ok pedig az egy
abszolut \'er\-t\'e\-k\H{u} komplex sz\'amoknak (a komplex t\'er
forgat\'asainak) a term\'eszetes megfelel\H{o}i, ha a komplex
sz\'amok ter\'et egy Euklideszi t\'er oper\'atorainak a ter\'evel
helyettes\'{\i}tj\"uk. Ahogy egy tetsz\H{o}leges $z$ komplex sz\'am
fel\'{\i}rhat\'o $z=Re^{i\varphi}$ `pol\'arkoordin\'at\'as' alakban,
\'ugy tetsz\H{o}leges $A$ m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o a t\'etelben
megadott $A=UK$ alakban. Mivel a m\'at\-rix\-szor\-z\'as nem
kommutat\'{\i}v, ez\'ert az $A=UK$ \'es $A=LV$
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asokban k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'atrixok
szerepelnek az \'altal\'anos esetben. A $K$ m\'atrix alakja
k\"ovetkezik az
$$
A^*A=(UK)^*(UK)=K^*(U^*U)K=K^*K=K^2 \quad\text{ez\'ert }K=(A^*A)^{1/2}
$$
azonoss\'agb\'ol.

\medskip\noindent
{\it A t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as tulajdons\'agair\'ol
sz\'ol\'o t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak a befejez\'ese.}
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt az esetet, amikor egy nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u $Z$ vektor kovariancia
m\'atrixa az $I$ identit\'as m\'atrix. Ekkor tudjuk, hogy $Z$
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o $Z=XU$ alakban, ahol $X$ $k$-dimenzi\'os
standard norm\'alis eloszl\'as\'u vektor, \'es $I=U^*U$, azaz $U$
unit\'er transzform\'aci\'o. Viszont tudjuk, hogy egy
$k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u $X$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$$
f(x_1,\dots,x_k)=\prod_{j=1}^k \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x_j^2/2}
=(2\pi)^{-k/2}\exp\left\{-\frac12\summ_{j=1}^kx_j^2\right\}
$$
f\"uggv\'eny, ahonnan l\'athat\'o, hogy az $f(x_1,\dots,x_k)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny az $x=(x_1,\dots,x_k)$ pontban csak
az $x=(x_1,\dots,x_k)$ vektor hossz\'at\'ol f\"ugg. Mivel egy
$U$ unit\'er transz\-for\-m\'a\-ci\'o t\'avols\'agtart\'o, innen
l\'athat\'o, hogy az $X$ \'es $Z=XU$ v\'eletlen vektorok
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nyei megegyeznek.

Legyen $Y=XA$ egy tetsz\H{o}leges nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u},
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, ahol $X$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. V\'eve az $A$ m\'atrix
$A=KU$ pol\'arfelbont\'as\'at fel\'{\i}rhatjuk az $Y=XA=XUK=ZK$
azonoss\'agot, ahol $Z=XU$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor. M\'asr\'eszt $K$ az $A^*A$, azaz az $Y$
v\'eletlen vektor kovarianciam\'atrix\'anak az (egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozott) pozit\'{\i}v n\'egyzetgy\"oke. Innen
k\"ovetkezik, hogy az $Y=ZK$ v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at
meghat\'arozza a ko\-va\-rian\-cia m\'atrixa.

\medskip
Ezut\'an megfogalmazom a t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt.

\medskip\noindent
{\bf A t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.}
{\it Legyenek $\xi^{(j)}=\(\xi^{(j)}_1,\dots,\xi^{(j)}_k\)$,
$j=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre teljes\"ul az
$E{\xi^{(1)}_l}^2<\infty$, $1\le l\le k$, felt\'etel. Legyen a
$\xi^{(1)}=\(\xi^{(1)}_1,\dots,\xi^{(1)}_k\)$ vektor v\'arhat\'o
\'ert\'eke $E\xi^{(1)}=\(E\xi^{(1)}_1,\dots,E\xi^{(1)}_k\)$,
kovariancia m\'atrixa pedig egy $D$ $k\times k$ m\'eret\H{u}
m\'atrix. Defini\'aljuk az $S^{(n)}=\(S^{(n)}_1,\dots,S^{(n)}_k\)=
\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}=\(\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_1,\dots,
\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_k\)$ \"osszegeket, $n=1,2,\dots$. Ezek
az  $S^{(n)}=\(S^{(n)}_1,\dots,S^{(n)}_k\)$ vektorok eloszl\'asban
konverg\'alnak a $\Phi_{D}(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} $D$ kovariancia m\'at\-rix\'u norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha $n\to\infty$, azaz \'erv\'enyes a
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\frac1{\sqrt n}\(S^{(n)}_1-ES^{(n)}_1\)<x_1,
\dots,\frac1{\sqrt n}\(S^{(n)}_k-ES^{(n)}_k\)<x_k\)
=\Phi_D(x_1,\dots,x_k)                        \tag1
$$
minden olyan $(x_1,\dots,x_k)$ pontban, amely folytonoss\'agi
pontja a $\Phi_{D}(x_1,\dots,x_k)$ 
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-nek. }

\medskip\noindent
{\it 1.~megjegyz\'es.}\/ Ahhoz, hogy l\'assuk, hogy a fenti
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
\'ertelmes, tudnunk kell a k\"ovetkez\H{o} k\'et \'all\'{\i}t\'ast:

\medskip
\item{i)} Tetsz\H{o}leges (v\'eges) kovariancia m\'atrix-szal
rendelkez\H{o} v\'eletlen vektorhoz l\'etezik egy vele megegyez\H{o}
kovariancia m\'atrix\'u (\'es nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u})
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor.
\item{ii)} A t\'etelben szerepl\H{o} hat\'areloszl\'ast
egy\'etelm\H{u}en megadtuk, azaz egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek
vektorral rendelkez\H{o} norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'at egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en meghat\'arozza annak
kovariancia m\'atrixa.

\item{} Ez a k\'et tulajdons\'ag azonban k\"ovetkezik a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as
tu\-laj\-don\-s\'a\-gai\-r\'ol sz\'ol\'o t\'etelb\H{o}l.

\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es.}\/ Az egy \'es t\"obbv\'altoz\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
meg\-fo\-gal\-ma\-z\'a\-s\'a\-ban m\'asfajta normaliz\'al\'ast
haszn\'altunk. Az egyv\'altoz\'os esetben az \"osszeg
sz\'or\'as\'aval, azaz $\sqrt n\sigma$ osztottunk, ahol
$\sigma^2=\Var\xi$, m\'{\i}g a t\"obbv\'al\-to\-z\'os
esetben $\sqrt n$-nel. Az egyv\'altoz\'os esetben is oszthattunk
volna $\sqrt n$-nel, \'es akkor a hat\'areloszl\'as
egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma^2$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa lett volna. A
t\"obb\-v\'al\-to\-z\'os esetben az egyv\'altoz\'os esethez
hasonl\'o normaliz\'al\'as az $n^{-1/2}\Sigma^{-1}$ m\'atrix-szal
va\-l\'o szor\-z\'as lenne, ahol $\Sigma^2$ a tekintett v\'eletlen
vektorok kovariancia m\'atrixa, $\Sigma$ ennek po\-zi\-t\'{\i}v
n\'egy\-zet\-gy\"o\-ke, azaz az az egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en
meghat\'arozott pozit\'{\i}v definit $\Sigma$ m\'atrix, amelynek
n\'egyzete a $\Sigma^2$ kovariancia m\'atrix, $\Sigma^{-1}$ pedig
ennek a m\'atrixnak az inverze. Ilyen normaliz\'al\'ast akkor
v\'alaszthatunk, ha a $\Sigma^2$ m\'atrix invert\'alhat\'o. Ez akkor
teljes\"ul, ha $\Sigma^2$ szigor\'uan pozit\'{\i}v definit. Ekkor
a limesz egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor.
De bizonyos fontos esetekben ez a felt\'etel nem teljes\"ul.
P\'eld\'aul, ha az el\H{o}ad\'as elej\'en tekintett (szab\'alyos)
kocka v\'eletlen dob\'asait tekintj\"uk, akkor, mint a
gyakorlaton megt\'argyaljuk, nem in\-ver\-t\'al\-hat\'o
kovariancia m\'atrix jelenik meg a hat\'areloszl\'asban. Ez azzal
f\"ugg \"ossze, hogy a k\"ul\"onb\"oz\H{o} eredm\'eny\H{u}
dob\'asok sz\'am\'anak az \"osszege (nem v\'eletlen) konstans. Ez a
konstans egyenl\H{o} az \"osszes dob\'as sz\'am\'aval.

\medskip\noindent
{\it 3.~megjegyz\'es.}\/ A t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel megfogalmaz\'as\'aban nem
\'all\'{\i}tottuk, hogy az (1) rel\'aci\'o minden $(x_1,\dots,x_k)$
pontban \'erv\'enyes, hanem csak azokban a pontokban, amelyek
folytonoss\'agi pontjai a $\Phi_{D}(x_1,\dots,x_k)$
(ha\-t\'ar)\-elosz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-nek. Ez nem \"ures
megszor\'{\i}t\'as, mert az egyv\'altoz\'os esett\H{o}l
elt\'er\H{o}en a $\Phi_{D}(x_1,\dots,x_k)$ f\"ugg\-v\'eny\-nek lehetnek
olyan pontjai, ahol az nem folytonos. Ez az eset \'all el\H{o}
p\'eld\'aul akkor, ha $\Phi_{D}(x_1,\dots,x_k)$ egy olyan
(elfajul\'o) $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
norm\'alis vektornak az eloszl\'asf\"uggv\'enye, amelyre
$\Var\xi_1=0$. Ebben az esetben a $\Phi_{D}$ \'altal gener\'alt
Stieltjes m\'ert\'ek az $x_1=0$ alt\'erbe van koncentr\'alva, \'es
a $\Phi_D(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny nem folytonos az $x_1=0$
hipers\'{\i}k pontjaiban. A t\'etelt ebben a form\'aban fogom
bizony\'{\i}tani, \'es az gyakorlati alkalmaz\'asokban ebben a
form\'aban is kiel\'eg\'{\i}t\H{o}. Viszont, mint a
kieg\'esz\'{\i}t\'esben megmutatom, az (1) formula val\'oj\'aban
minden $(x_1,\dots,x_k)$ pontban \'erv\'enyes a t\'etelben
sze\-rep\-l\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok bizonyos
tulajdons\'agai miatt.

\medskip
Megjegyzem tov\'abb\'a, hogy az egyv\'altoz\'os esethez hasonl\'oan
a t\"obbv\'altoz\'os cent\-r\'a\-lis hat\'areloszl\'ast\'etelnek is
l\'etezik \'altal\'anos\'{\i}t\'asa f\"uggetlen, nem felt\'etlen\"ul
egyforma el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen vektorok normaliz\'alt
\"osszegeinek hat\'areloszl\'as\'ara nagyon \'al\-ta\-l\'a\-nos
fel\-t\'e\-te\-lek mellett. Ezzel a k\'erd\'essel azonban itt nem
foglalkozunk.

\medskip
L\'assuk, hogyan tudjuk vizsg\'alni a t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel az
el\H{o}ad\'as elej\'en megfogalmazott a) probl\'em\'at dob\'okocka
szab\'alyoss\'ag\'anak a vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-r\'ol.

Tekints\"uk az ott bevezetetett $\xi^{(j)}$, $1\le j\le n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, azok
$S_n=(S_n^{(1)},\dots,S_n^{(6)})$ \"osszegeit, illetve ezen \"osszegek
$$
\bar S_n=\(\frac1{\sqrt n}(S_n^{(1)}-ES_n^{(1)}),\dots,
\frac1{\sqrt n}(S_n^{(6)}-ES_n^{(6)})\)
$$
normaliz\'altjait. Eml\'ekezz\"unk arra, hogy az $S_n^{(l)}$,
$1\le l\le 6$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
az $l$ eredm\'eny\H{u} dob\'asok sz\'am\'aval egyenl\H{o}.
Ezenk\'{\i}v\"ul tudjuk, hogy $ES_l=\frac n6$, $1\le l\le 6$, \'es
ki tudjuk sz\'amolni annak a norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kovariancia m\'atrix\'at,
amelyhez az $\bar S_n$ normaliz\'alt \"osszegek eloszl\'asban
tartanak. Ez a $D$ kovariancia m\'atrix egyenl\H{o} a $\xi^{(j)}$
v\'eletlen vektorok kovariancia m\'atrix\'aval, \'es
$D=(d_{l,m})$, $1\le l,m\le 6$, $d_{l,m}=E\xi^{(j)}_l\xi^{(j)}_m
-E\xi^{(j)}_lE\xi^{(j)}_m=-E\xi^{(j)}_lE\xi^{(j)}_m=-\frac1{36}$,
ha $l\neq m$, \'es $d_{l,l}=\frac16-(\frac16)^2=\frac5{36}$.
Ilyen m\'odon az $\bar S_n$ normaliz\'alt \"osszeg eloszl\'as\'ara
jogunk van al\-kal\-maz\-ni az (1) aszimptotikus azonoss\'agot. De
term\'eszetesebb az $\bar S_n$ normaliz\'alt \"osszeg
koordin\'at\'ainak a n\'egyzet\"osszeg\'et, azaz a
$T_n=\frac1 n\summ_{l=1}^n(S_n^{(l)}-\frac n6)^2$
kifejez\'est vizsg\'alni. Felmer\"ul a k\'erd\'es, l\'etezik-e a
$T_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak (ismert)
hat\'areloszl\'asa. A k\"ovetkez\H{o} k\'et eredm\'eny c\'elja
annak megmutat\'asa, hogy erre a k\'erd\'esre, illetve e k\'erd\'es
hasonl\'o probl\'em\'akban megjelen\H{o} term\'eszetes
megfelel\H{o}ire a v\'alasz igenl\H{o}.

\medskip\noindent
{\bf 1.~t\'etel az eloszl\'asbeli konvergencia
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Legyen adva $k$-di\-men\-zi\'os
v\'eletlen vektorok
$\xi^{(n)}=(\xi^{(n)}_1,\dots,\xi^{(n)}_k)$, $n=1,2,\dots$,
sorozata, amelyek eloszl\'asban konverg\'alnak egy
$\xi^{(0)}=(\xi^{(0)}_1,\dots,\xi^{(0)}_k)$ $k$-di\-men\-zi\'os
v\'eletlen vektorhoz. Legyen ezenk\'{\i}v\"ul adva egy
$u(x)=u(x_1,\dots,x_k)$ a $k$-di\-men\-zi\'os t\'eren
\'ertelmezett folytonos f\"ugg\-v\'eny. (Az egy\-sze\-r\H{u}\-s\'eg
\'erdek\'eben tekints\"unk val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'enyeket,
de val\'oj\'aban te\-kint\-he\-t\"unk tetsz\H{o}leges
$l$-dimenzi\'os vektor \'ert\'ek\H{u} $u(\cdot)$ f\"uggv\'enyt.) 
Ekkor az $\eta_n=u(\xi^{(n)})$, $n=1,2$, \dots,
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok eloszl\'asban
konverg\'alnak az $\eta_0=u(\xi^{(0)})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-hoz.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Haszn\'aljuk az eloszl\'asban
val\'o konvergencia folytonos f\"uggv\'enyek integr\'aljainak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadott jellemz\'es\'et. Ekkor azt kell
bel\'atni, hogy tet\-sz\H{o}\-le\-ges folytonos \'es korl\'atos
$g(x)$ f\"uggv\'enyre $\limm_{n\to\infty}Eg(\eta_n)=Eg(\eta_0)$.
Viszont $g(\eta_n)=g(u(\xi^{(n)}))=v(\xi^{(n)})$, \'es
$g(\eta_0)=g(u(\xi^{(0)}))=v(\xi^{(0)})$, ahol $v(x)=g((ux))$.
Tov\'abb\'a a $v(x)$ f\"uggv\'eny is folytonos \'es korl\'atos a
t\'etel felt\'etelei miatt. Ez\'ert, a t\'etel
felt\'etelei alapj\'an,
$$
\limm_{n\to\infty}Eg(\eta_n)=
\limm_{n\to\infty}Ev(\xi^{(n)})=Ev(\xi^{(0)})=Eg(\eta_0).
$$
A t\'etelt bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip\noindent
{\bf 2.~t\'etel az eloszl\'asbeli konvergencia
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Legyen $F_n$, $n=1,2,\dots$,
$k$-dimenzi\'os eloszl\'asok sorozata, amelyek eloszl\'asban
konverg\'alnak egy $F_0$ $k$-dimenzi\'os eloszl\'ashoz. Jel\"olje
$\mu_{F_n}$ az $F_n$ eloszl\'as szerint induk\'alt Stieltjes
m\'ert\'eket. Ha $A$ olyan halmaz a $k$-dimenzi\'os t\'eren,
amelynek $\partial A$ hat\'ara teljes\'{\i}ti a
$\mu_{F_0}(\partial A)=0$ azonoss\'agot az $F_0$
 hat\'areloszl\'asm\'ert\'ek szerinti $\mu_{F_0}$ Stieltes
m\'ert\'ek szerint, akkor
$\limm_{n\to\infty}\mu_{F_n}(A)=\mu_{F_0}(A)$.}
\medskip

Mivel sz\'amunkra elegend\H{o} az els\H{o} t\'etel is, a m\'asodik
t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at csak v\'az\-la\-to\-san ismertetem.

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Be lehet l\'atni, hogy az $A$
halmaz indik\'ator f\"uggv\'eny\'et j\'ol lehet k\"ozel\'{\i}teni,
mind alulr\'ol mind fel\"ulr\H{o}l alkalmas folytonos
f\"uggv\'enyekkel. R\'eszletesebben kifejtve, tetsz\H{o}leges $\e>0$
sz\'amhoz l\'eteznek olyan $f_\e(x)$ \'es $g_\e(x)$ folytonos
f\"uggv\'enyek, amelyekre $0\le f_\e(x),g_\e(x)\le 1$ minden $x$
vektorra a $k$-dimenzi\'os t\'erben, $f_\e(x)=1$, ha $x\in\bar A$,
ahol $\bar A$ az $A$ halmaz lez\'artja, $f_\e(x)=0$, ha
$\rho(x,A)\ge\e$, ahol $\rho(\cdot,\cdot)$ az Euklideszi metrika a
$k$-dimenzi\'os t\'erben, $g_\e(x)=0$, ha $x\notin A$, $g_\e(x)=1$,
ha $\rho(x, A^c)\ge\e$, ahol $A^c$ az $A$ halmaz komplementere.
Felhaszn\'alva a
$\limm_{n\to\infty}\int f_\e(x)F_n(\,dx)=\int f_\e(x)F_0(\,dx)$
\'es $\limm_{n\to\infty}\int g_\e(x)F_n(\,dx)=\int g_\e(x)F_0(\,dx)$
rel\'aci\'okat, majd elv\'egezve az $\e\to0$
ha\-t\'ar\-\'at\-me\-ne\-tet megkapjuk a t\'etel
\'all\'{\i}t\'as\'at. A r\'eszletek kidolgoz\'as\'at elhagyom.

\medskip
T\'erj\"unk vissza a szab\'alyos dob\'okock\'aval kapcsolatos
feladat t\'argyal\'as\'ahoz. Alkalmazva az {\it 1.~t\'etelt az
eloszl\'asbeli konvergencia tulajdons\'agair\'ol}\/ a $k=6$
dimenzi\'os euklideszi t\'erben az $u(x)=\summ_{l=1}^6x_l^2$
f\"uggv\'ennyel azt kapjuk, hogy az ott bevezetett $T_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban
konverg\'alnak egy ismert kovarianci\'aj\'u, nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u vektor koordin\'at\'ainak a
n\'egyzet\"osszeg\'ehez. Ilyen eredm\'enyre volt sz\"uks\'eg\"unk.
Felmer\"ul m\'eg a k\'erd\'es, hogy nem lehet-e a hat\'areloszl\'ast
egyszer\H{u}bb m\'odon jellemezni. Ehhez a k\'erd\'eshez
k\'es\H{o}bb m\'eg visszat\'erek.

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} feladat c\'elja annak megmutat\'asa, hogy az
el\H{o}ad\'as elej\'en eml\'{\i}tett b) feladatot hogyan tudjuk
megoldani a t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

%\vfill\eject

{\it Feladat:}

\medskip
\item{} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok.
Mutassuk meg, hogy a $\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ \"osszegek nor\-ma\-li\-z\'alt\-jai\-nak,
azaz a $\sqrt{\frac{12}n}\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\sqrt{\frac{180}n}\summ_{j=1}^n\(\xi_j^2-\frac 1{12}\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak az egy\"ut\-tes
el\-osz\-l\'asa a k\'et-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'ashoz konverg\'al, ha $n\to\infty$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  $E\xi=0$, $E\xi^2=\frac1{12}$,
$\Var\xi=\frac1{12}$, $\Var\xi^2=E\xi^4-(E\xi^2)^2
=\frac1{80}-\frac1{144}=\frac1{180}$. Tov\'abb\'a
$\Cov(\xi,\xi^2)=E\xi^3-E\xi E\xi^2=0$. Ez\'ert a
$\(\sqrt{12}\xi_j,\sqrt{180}\(\xi_j^2-\frac1{12}\)\)$, $j=1,2,\dots$,
v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
\'es az identit\'as kovariancia m\'atrix-szal. Innen, \'es a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip

\medskip\noindent
Be akarjuk l\'atni a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt. Tudjuk eddigi ered\-m\'e\-nye\-ink
alap\-j\'an, hogy ehhez elegend\H{o} megmutatni azt, hogy a
normaliz\'alt \"osszegek karakterisztikus f\"uggv\'enyei
konverg\'alnak egy megfelel\H{o} kovarianci\'aj\'u \'es nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u vektor
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ehez. Ennek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\H{o}sz\"or ki kell sz\'amolni a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'asok karakterisztikus f\"uggv\'enyeit. Err\H{o}l sz\'ol a
k\"ovetkez\H{o} t\'etel.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis elosz\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-r\H{o}l.}\/ {\it Legyen
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$
egy $k$-dimenzi\'os nor\-m\'a\-lis el\-osz\-l\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ahol $m=(m_1,\dots,m_k)$
$k$-dimenzi\'os (determinisztikus) vektor, $A=(a_{j,l})$,
$1\le j,l\le k$, $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, tov\'abb\'a
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Ekkor az $(\eta_1,\dots,\eta_k)$
v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye az
$$
Ee^{i(t,\eta)}=Ee^{i(t_1\eta_1+\cdots+t_k\eta_k)}
=e^{i(t,m)-tA^*At^*/2}=\exp\left\{i\sum_{j=1}^k
t_jm_j-\frac12\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k d_{j,l}t_jt_l\right\}
$$
f\"uggv\'eny, ahol $(x,y)$ jel\"oli az $x=(x_1,\dots,x_k)$ \'es
$y=(y_1,\dots,y_k)$ vek\-to\-rok $(x,y)=\summ_{j=1}^kx_jy_j$
ska\-l\'ar\-szor\-za\-t\'at, $t=(t_1,\dots,t_k)$, $d_{j,l}$
az $A^*A$ kovariancia m\'atrix\'anak $j$-ik so\-r\'a\-ban, \'es $l$-ik
oszlop\'aban szerepl\H{o} konstans. A $D=A^*A$ m\'atrix megegyezik
az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor kovariancia
m\'atrix\'aval.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
Ee^{i(t,\eta)}=Ee^{i(t,\xi A+m)}=e^{i(t,m)}Ee^{i(tA^*,\xi)}=
e^{i(t,m)}e^{-(tA^*,tA^*)/2}=e^{i(t,m)-tA^*At^*/2},
$$
mert, ha $tA^*=\bar t=(\bar t_1,\dots,\bar t_k)$, akkor
$Ee^{i(tA^*,\xi)}=Ee^{i(\bar t_1\xi_1+\cdots+\bar t_k\xi_k)}=
\prodd_{j=1}^k Ee^{i\bar t_j\xi_j}=
\prodd_{j=1}^k e^{-\bar t_j^2/2}=e^{-(\bar t,\bar t)/2}
=e^{-(tA^*,tA^*)/2}$.

Az $\eta$ v\'eletlen vektor $D=(d_{j,l})$ kovariancia
m\'atrix\'aban a $j$-ik sor $l$-ik eleme
$d_{j,l}=\Cov(\eta_j,\eta_l)=\Cov\(\summ_{p=1}^k
a_{p,j}\xi_p,\summ_{q=1}^k a_{q,l}\xi_q\)=\summ_{p=1}^k
a_{p,j}a_{p,l}E\xi_p^2 =\summ_{p=1}^k a_{p,j}a_{p,l}$, \'es
ez az $A^*A$ m\'atrix $j$-ik sor\'aban \'es $l$-ik oszlop\'aban
\'all\'o elem. Ez\'ert az $\eta$ v\'eletlen vektor kovariancia
m\'atrixa a $D=A^*A$ m\'atrix. Az ny\'{\i}lv\'anval\'o, hogy
az $\eta$ v\'eletlen vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke~$m$.

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at
egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en meghat\'arozza annak v\'arhat\'o
\'ert\'ek vektora \'es kovariancia m\'atrixa.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'at
m\'ar l\'attuk line\'aris algebrai m\'odszerekkel. Most azt
mutatjuk meg, hogy az egyszer\H{u}en k\"ovetkezik a
karakterisztikus f\"uggv\'enyek tulajdons\'agaib\'ol is.

\medskip\noindent
{\it A k\"ovetkezm\'eny bizony\'{\i}t\'asa.}\/  Az el\H{o}z\H{o}
t\'etel alapj\'an egy norm\'alis  eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza
annak v\'arhat\'o \'ert\'ek  vektora \'es kovariancia m\'atrixa.
Viszont egy eloszl\'ast meghat\'aroz annak karakterisztikus
f\"uggv\'enye.

\medskip
A t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'aban azt kell megmutatni, hogy a tekintett
v\'eletlen normaliz\'alt \"osszegek karakterisztikus f\"uggv\'enyei
konverg\'alnak a hat\'areloszl\'as karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'ehez. Ennek bizony\'{\i}t\'asa nem nehezebb,
mint a megfelel\H{o} egyv\'altoz\'os \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'asa. S\H{o}t, az \'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'at
vissza lehet vezetni az egyv\'altoz\'os esetre az al\'abbi
egyszer\H{u}, de tanuls\'agos eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip\noindent
{\bf Lemma t\"obbv\'altoz\'os v\'eletlen vektorok eloszl\'as\'anak
konvergenci\'aj\'anak a jel\-lem\-z\'e\-s\'e\-r\H{o}l.} {\it Legyen
adva $k$-v\'altoz\'os $\xi^{(n)}=(\xi^{(n)}_1,\dots,\xi^{(n)}_k)$, 
$n=1,2,\dots$,
v\'eletlen vektorok egy sorozata. Ezek a v\'eletlen vektorok akkor
\'es csak akkor kon\-ver\-g\'al\-nak eloszl\'asban egy
$\xi^{(0)}=(\xi^{(0)}_1,\dots,\xi^{(0)}_k)$ v\'eletlen vektorhoz,
ha koordin\'at\'aik b\'armely $\summ_{r=1}^k a_r\xi^{(n)}_r$
line\'aris kombin\'aci\'oi eloszl\'asban konverg\'alnak a
$\summ_{r=1}^k a_r\xi^{(0)}_r$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o\-hoz.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Azt kell meg\'erteni, hogy mit
jelentenek a lemm\'aban megfogalmazott eloszl\'asban val\'o
konvergenci\'ak a karakterisztikus f\"uggv\'enyek nyelv\'en.
Jel\"olje $\varphi_n(t_1,\dots,t_k)
=Ee^{i(t_1\xi_1^{(n)}+\cdots+t_k\xi_k^{(n)})}$
a $\xi^{(n)}=(\xi^{(n)}_1,\dots,\xi^{(n)}_k)$, $n=0,1,2,\dots$,
v\'eletlen vektor \'es $\varphi_n(t|a_1,\dots,a_k)
=Ee^{it(a_1\xi_1^{(n)}+\cdots+a_k\xi_k^{(n)})}$ a
$\summ_{j=1}^n a_j\xi^{(n)}_j$ line\'aris kombin\'aci\'o
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny\'et.
A fenti jel\"ol\'esekkel, --- felhaszn\'alva azt a t\'enyt, hogy
el\-osz\-l\'a\-sok konvergenci\'aja ekvivalens azok karakterisztikus
f\"uggv\'enyeinek konvergenci\'aj\'aval, --- a lemma
\'all\'{\i}t\'as\'at \'ugy fogalmazhatjuk \'at, hogy az al\'abbi
a) \'es b) tulajdons\'agok ekvivalensek.

\medskip
\item{a)} $\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t|a_1,\dots,a_k)=
\varphi_0(t|a_1,\dots,a_k)$ minden $t$ val\'os sz\'amra \'es
$a_1,\dots,a_k$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-re.
\item{b)} $\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t_1,\dots,t_k)=
\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ minden $t_1,\dots,t_k$ sz\'am $k$-asra.

Viszont a b) tulajdons\'ag k\"ovetkezik az a) tulajdons\'agb\'ol
$t=1$, $a_r=t_r$, $1\le r\le k$, v\'alaszt\'assal, az
a)~tulajdons\'ag pedig k\"ovetkezik a b) tulajdons\'agb\'ol
$t_r=ta_r$, $1\le r\le k$, v\'alaszt\'assal. A lemm\'at
bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip\medskip
{\it A t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Az el\H{o}z\H{o} lemma alapj\'an el\'eg
azt bebizony\'{\i}tani, hogy tetsz\H{o}leges $a_1,\dots,a_k$
sz\'am $k$-asra az $S_n(a_1,\dots,a_k)
=\frac1{\sqrt n}\summ_{r=1}^k a_r(S^{(r)}_n-ES^{(r)}_n)$
kifejez\'esek eloszl\'asban konverg\'alnak a
$\zeta(a_1,\dots,a_k)=\summ_{r=1}^k a_r\zeta_r$
v\'eletlen vektorhoz, ahol $(\zeta_1,\dots,\zeta_k)$ nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $D$ kovariancia m\'atrix\'u
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Vezess\"uk be az
$\eta_j=\eta_j(a_1,\dots,a_k)=\summ_{r=1}^k a_r\xi^{(j)}_r$, 
$1\le j\le n$, va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
v\'al\-to\-z\'o\-kat. Ekkor $\eta_1,\dots,\eta_n$ f\"uggetlen, 
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, 
\'es $S_n=\summ_{j=1}^n(\eta_j-E\eta_j)$. Ez\'ert a
bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezik az egyv\'altoz\'os
centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-b\H{o}l f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'ere \'es abb\'ol az \'eszrev\'etelb\H{o}l, hogy
$\zeta(a_1,\dots,a_k)$ nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} 
norm\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
v\'altoz\'o, \'es $\Var \zeta(a_1,\dots,a_k)=\Var\eta_j$.

\medskip
K\"ovetkez\H{o} t\'em\'ank a t\"obbv\'altoz\'os norm\'alis
eloszl\'asok n\'eh\'any fontos tulajdons\'aga.

L\'attuk, hogy egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'ast
meghat\'aroz annak v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es kovariancia
m\'atrixa. Ennek egyik k\"ovetkezm\'eny\'et annak fontoss\'aga
miatt t\'etel form\'aj\'aban mondom ki.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorok
korrel\'alatlan koordin\'at\'ainak
f\"ug\-get\-len\-s\'e\-g\'e\-r\H{o}l.}
{\it Legyenek egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ norm\'alis eloszl\'as\'u
vektor koordin\'at\'ai korrel\'atlanok. Akkor e koordin\'at\'ak
f\"uggetlen, norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ A $(\xi_1-E\xi_1,\dots,\xi_k-E\xi_k)$
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla,
kovariancia m\'atrixa pedig e v\'eletlen vektor koordin\'at\'ainak
korrel\'atlans\'aga miatt diagon\'alis. Legyenek a diagon\'alisban
\'all\'o elemek $\sigma^2_j$, $1\le j\le k$. Tekints\"unk
$\eta_1,\dots,\eta_k$ f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, \'es
vezess\"uk be se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\"uk\-kel a
$(\sigma_1\eta_1,\dots,\sigma_k\eta_k)$ v\'eletlen
vektort. Ez t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor,
amelynek v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es kovariancia m\'atrixa
megegyezik a $(\xi_1-E\xi_1,\dots,\xi_k-E\xi_k)$ norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor v\'arhat\'o \'ert\'ek\'evel \'es kovariancia
m\'atrix\'aval. Ez\'ert e k\'et v\'eletlen vektor eloszl\'asa
megegyezik. \'Igy a $\sigma_1\eta_1,\dots,\sigma_k\eta_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy a $\xi_1-E\xi_1,\dots,\xi_k-E\xi_k$, illetve a
$\xi_1,\dots,\xi_k$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok is f\"uggetlenek \'es norm\'alis eloszl\'as\'uak.

\medskip
Tudjuk, hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
korrel\'alatlanok. A teljess\'eg kedv\'e\'ert mutatok egy p\'eld\'at
korrel\'alatlan, de nem f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okra. Ez a p\'elda mutatja, hogy a fenti eredm\'enyben
nagyon fontos volt, hogy egy norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor koordin\'at\'ait tekintett\"uk.

\medskip\noindent
{\it P\'elda korrel\'alatlan, de nem f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra.} Legyen $\xi$
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban, Ekkor a $\xi$ \'es
$\eta=\xi^2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
korrel\'alatlanok, de nem f\"uggetlenek. Val\'oban, $E\xi=0$,
$E\eta=E\xi^2=\frac1{12}$, $E\xi\eta=E\xi^3=0$,
$\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta=0$. M\'asr\'eszt $\xi$ \'es
$\eta$ nem f\"uggetlenek, s\H{o}t az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o determinisztikus
f\"uggv\'enye. Egy lehets\'eges form\'alis indokl\'asa annak,
hogy $\xi$ \'es $\eta$ nem f\"uggetlen a k\"ovetkez\H{o}: Legyen
$0<a<1$ tetsz\H{o}leges sz\'am. Ekkor
$\{\oo\colon\;\eta<a^2\}=\{\oo\colon\;|\xi|<a\}$. Ez\'ert
$P(\xi<a,\eta<a^2)=P(\xi<a)$, teh\'at $P(\xi<a,\eta<a^2)\neq
P(\xi<a)P(\eta<a^2)$.

A k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast, amely szint\'en azzal
kapcsolatos, hogy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'e\-let\-len vektor
koordin\'at\'ainak f\"uggetlens\'ege k\"ovetkezik azok
korrel\'alatlans\'ag\'ab\'ol feladat for\-m\'a\-j\'a\-ban
fogalmazom meg, \'es a gyakorlaton fogjuk t\'argyalni. Ennek az
eredm\'enynek fontos k\"ovetkezm\'enye van n\'eh\'any
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi \'es statisztikai
vizsg\'alatban.

%\vfill\eject

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $(\xi,\eta)$ norm\'alis eloszl\'as\'u vektor
$m=(m_1,m_2)=(E\xi,E\eta)$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$$
\(\matrix
\sigma_{1,1},&\sigma_{1,2}\\
\sigma_{2,1},&\sigma_{1,1}
\endmatrix\) =
\(\matrix
E\xi^2-(E\xi)^2,&E\xi\eta-E\xi E\eta\\
E\xi\eta-E\xi E\eta,&E\eta^2-(E\eta)^2
\endmatrix\)
$$
kovarianciam\'atrix-szal. Ekkor l\'etezik a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak $\xi=a\eta+\zeta$ alak\'u
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa alkalmas $a$ konstanssal, \'es az
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen
$\zeta$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oval. Ez azt jelenti, hogy ha $(\xi,\eta)$
k\'et-di\-men\-zi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor az els\H{o}
koordin\'ata kifejezhet\H{o}, mint a m\'asodik kooordin\'ata
konstansszoros\'anak \'es egy a m\'asodik koordin\'at\'at\'ol
f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \"osszege. A k\'{\i}v\'ant $a$ konstanst explicit
m\'odon megadhatjuk az $a=\frac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{2,2}}$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} Hogy \'altal\'anos\'\i{}that\'o a fenti \'all\'\i{}t\'as
abban az esetben, ha $\xi$ \'es $\eta$ vektorv\'altoz\'ok is
lehetnek?

\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\zeta=\xi-\frac{\sigma_{1,2}}
{\sigma_{1,1}}\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
f\"uggetlen az $\eta$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ot\'ol.
Ehhez a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as tulajdons\'agai
alapj\'an el\'eg azt ellen\H{o}rizni, hogy $\Cov(\zeta,\eta)=0$.
Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\item{} Az az eset, amikor $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_s)$,
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_p)$, \'es
$(\xi_1,\dots,\xi_s,\eta_1,\dots,\eta_p)$ egy $s+p$ dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
hasonl\'oan t\'argyalhat\'o. Be lehet l\'atni, hogy
l\'etezik olyan $A$ m\'atrix, amelyre $\eta$ \'es $\xi-\eta A$
f\"uggetlenek. Ennek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or azt \'erdemes
megmutatni, hogy l\'etezik olyan $U$ unit\'er m\'atrix amelyre
$\eta U=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_p)=\bar\eta$ vektor
koordin\'at\'ai f\"uggetlenek. Ez abb\'ol l\'athat\'o, hogy
ha az $\eta$ v\'eletlen vektor $D$ kovarianciam\'atrix\'at
$D=U^*\Lambda U$ alakban \'{\i}rjuk fel, ahol
$U$ unit\'er $\Lambda$ pedig diagon\'alis m\'atrix, akkor az
$\bar\eta=\eta U$ v\'eletlen norm\'alis eloszl\'as\'u vektor
kovarianciam\'atrixa $\Lambda$, ahonnan k\"ovetkezik, hogy az
$\bar\eta$ m\'atrix koordin\'at\'ai f\"uggetlenek. Legyen
$\bar\xi_r=\xi_r-\sum\limits_{k=1}^p\frac{E\xi_r\bar\eta_k}
{E\bar\eta_k^2}\bar\eta_k$, $r=1,\dots,s$.
Ezt m\'at\-rix\-je\l\"o\-l\'es\-sel $\bar\xi=\xi-\bar \eta B$
form\'aban \'{\i}rhatjuk. Ekkor $(\xi-\bar\eta B,\bar\eta)$ olyan
$p+s$ dimenzi\'os, norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek els\H{o} $s$ \'es
utols\'o $p$ koordin\'at\'aja korrel\'alatlan, ez\'ert f\"uggetlen.
Mivel a $\xi-\bar\eta B$ \'es $\bar\eta$ vektorok f\"uggetlenek,
ez\'ert $\zeta=\xi-\bar\eta B=\xi-\eta UB$ f\"uggetlen az
$\eta=\bar\eta U^*$ vektort\'ol.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
illetve statisztika finomabb k\'erd\'eseinek
vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-ban bevezett\'ek a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles eloszl\'as fogalm\'at
olyan esetekben is, amikor a felt\'etel nulla
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\"ovetkezik be. Bizonyos
vizsg\'alatokban fontos kisz\'amolni, hogy mi a felt\'eteles
eloszl\'asa egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis vektor bizonyos
koordin\'at\'ainak azon felt\'etel mellett, hogy a t\"obbi
koordin\'ata \'ert\'ek\'et r\"ogz\'{\i}tj\"uk. E feladat
megold\'as\'anak kulcsl\'ep\'ese a fent t\'argyalt feladat
megold\'asa. E k\'erd\'esre visszat\'erek akkor, amikor a
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket fogjuk tanulni.
\medskip

L\'attuk, hogy egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
koordin\'at\'ai is norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u\-ak. Ez az
\'all\'{\i}t\'as nem megford\'{\i}that\'o. Ennek meg\'ert\'ese
\'erdek\'eben p\'eld\'at mutatok olyan k\'et-dimenzi\'os
$(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektorra, amelynek mind a k\'et
koordin\'at\'aja, azaz mind a $\xi$ mind az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o norm\'alis eloszl\'as\'u,
viszont a $(\xi,\eta)$ vektor (mint k\'et-dimenzi\'os
v\'eletlen vektor) nem norm\'alis eloszl\'as\'u.

\medskip\noindent
{\bf P\'elda v\'eletlen vektorra, amely nem norm\'alis
eloszl\'as\'u, noha koordin\'at\'ai norm\'alis eloszl\'as\'uak.}
{\it Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal B,\bold P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}t: $\Omega=[0,1]$, \
$\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra $[0,1]$-en, \'es $\bold P$ a
Lebesgue m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $\xi$
\'es $\eta$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat
ezen a mez\H{o}n: $\xi(x)=\Phi^{-1}(x)$,
$$
\eta(x)=\cases
\xi(1-x)& \text{ha }0\le x<\frac12\\
\xi\(x-\frac12\)& \text{ha }\frac12\le x\le1
\endcases.
$$
Az ebben a p\'eld\'aban defini\'alt $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok norm\'alis eloszl\'as\'uak,
de a $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor nem norm\'alis eloszl\'as\'u.}

\medskip\noindent
{\it Indokl\'as:}\/ A $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok azonos eloszl\'as\'uak. Tov\'abb\'a,
$$
P(\xi>x)=\lambda(\Phi(x),1])=1-\Phi(x)\;.
$$
Az, hogy a $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor nem norm\'alis
eloszl\'as\'u k\"ovetkezik p\'eld\'aul a $P(\xi+\eta=0)=\frac12$
azonoss\'agb\'ol. Ugyanis, ha $(\xi,\eta)$ norm\'alis eloszl\'as\'u
lenne, akkor az lenne a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o is. Ennek viszont ellentmond a $P(\xi+\eta=0)=\frac12$
rel\'aci\'o.

\medskip
Kisz\'amolom egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et is, (felt\'eve, hogy az
l\'etezik).

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek az  alakj\'ar\'ol.} {\it Legyen
adva egy $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o,
amelynek $m=(m_1,\dots,m_k)=(E\eta_1,\dots,E\eta_k)$ a v\'arhat\'o
\'ert\'ek vektora \'es $D=(d_{j,l})$, $d_{j,l}=\Cov(\eta_j,\eta_l)$,
$1\le j,l\le k$, a kovariancia m\'atrixa. Az $\eta$
$k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak akkor
\'es csak akkor van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha a $D$
kovariancia m\'atrix invert\'alhat\'o. Ha a $D$ kovariancia
m\'atrix invert\'alhat\'o, akkor az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$
v\'eletlen vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
k\"ovetkez\H{o} alak\'u:
$$
f(x)=f(x_1,\dots,x_k)=\frac1{(2\pi)^{k/2}\det D^{1/2}}\exp
\left\{ -(x-m)D^{-1}(x-m)^*/2\right\},
$$
ahol $x=(x_1,\dots,x_k)\in R^k$ $k$-dimenzi\'os vektor.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asa megegyezik egy olyan
$\bar\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)
=(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$ v\'eletlen vektornak az
eloszl\'as\'aval, amelyikre $\xi_j$, $1\le j\le k$, f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, \'es $D=A^*A$. Jegyezz\"uk meg, hogy a line\'aris
algebra standard eredm\'enyei szerint az $A$ \'es $A^*$
m\'atrixok egyszerre invert\'alhat\'oak vagy nem invert\'alhat\'oak,
\'es a $D=A^*A$ m\'atrix akkor \'es csak akkor invert\'alhat\'o, ha
az $A$ m\'atrix invert\'alhat\'o. Ez\'ert, ha a $D$ m\'atrix nem
invert\'alhat\'o, akkor az $\eta$ vektornak nincs
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha pedig a $D$ m\'atrix
invert\'alhat\'o, akkor a k\"ovetkez\H{o} m\'odon sz\'amolhatunk:

Alkalmazva az $x=yA+m$ transzform\'aci\'ot
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$, $x=(x_1,\dots,x_k)$, $y=(y_1,\dots,y_k)$
\'es $\varphi(y)=\varphi(y_1,\dots,y_k)=\frac1{(2\pi)^{k/2}}
e^{-(y_1^2+\cdots+y_k^2)/2}$ jel\"ol\'essel  kapjuk, hogy
tetsz\H{o}leges m\'erhet\H{o} $B\subset R^k$ halmazra
$$
\align
P(\eta\in B)&=P(\bar\eta\in B)=P\(\xi\in
(B-m)A^{-1}\)=\int_{(y_1,\dots,y_k)\in (B-m)A^{-1}}\varphi(y)\,dy\\
&=\frac1{|\det A|}\int_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
\varphi\((x-m)A^{-1}\)\,dx \endalign
$$
alak\'u, ahol $|\det A|$ az $x=yA+m$ lek\'epez\'es Jacobian-ja.

E formul\'ab\'ol kiolvashat\'o, hogy a vizsg\'alt norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $\frac1{|\det A|}
\varphi\((x-m)A^{-1}\)$ f\"uggv\'eny. Annak \'erdek\'eben, hogy
be\-bi\-zo\-ny\'{\i}t\-suk a t\'etelt vegy\"uk \'eszre, hogy mivel
$D=A^*A$, ez\'ert $\det D=\det A^*\det A=(\det A)^2$, \'es
$|\det A|=\det D^{1/2}$. Tov\'abb\'a,
$$
\align
\varphi\((x-m)A^{-1}\) &=\frac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\frac{((x-m)A^{-1},(x-m)A^{-1})}2\right\}\\
&=\frac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\frac{(x-m)A^{-1}\(A^{-1}\)^*(x-m)^*}2\right\}\\
&=\frac1{(2\pi)^{k/2}}
\exp\left\{-\frac{{(x-m)(A^*A)^{-1}}(x-m)^*}2\right\} \\
&=\frac1{(2\pi)^{k/2}}
\exp\left\{-\frac{(x-m)D^{-1}(x-m)^*}2\right\},
\endalign
$$
mert $A^{-1}\(A^{-1}\)^*=A^{-1}\(A^*\)^{-1}=\(A^* A\)^{-1}$.
Innen k\"ovetkezik a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip

\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
ka\-rak\-te\-risz\-tikus f\"uggv\'eny\'et megad\'o k\'epletben a
kovariancia m\'atrix szerepel, m\'{\i}g a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny\'et megad\'o k\'epletben a
kovariancia m\'atrix inverze. Mivel a ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"ugg\-v\'eny kisz\'amol\'as\'aban nem kell invert\'alni a
kovariancia m\'atrixot, ez\'ert a karakterisztikus f\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel k\"onnyebb vizsg\'alni a norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyek tulajdons\'agait.

\medskip
Visszat\'erek az el\H{o}ad\'as elej\'en megfogalmazott a)
probl\'em\'ahoz. Megfogalmazom annak egy term\'eszetes
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at, amely fontos szerepet j\'atszik a
matematikai statisztik\'aban. Az itt megfogalmazott feladat
megold\'as\'ara kidolgozott m\'odszert h\'{\i}vj\'ak az irodalomban
$\chi$-n\'egyzet pr\'ob\'anak. Megmutatom, hogy a $\chi$-n\'egyzet
pr\'oba alapj\'aul szolg\'al\'o eredm\'eny a t\"obb-dimenzi\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel \'es bizonyos line\'aris
algebrai eredm\'enyek k\"ovetkezm\'enye. A k\"ovetkez\H{o}
feladattal fogok foglalkozni.

\medskip\noindent
Legyen adva $k$ urna, \'es ellen\H{o}rizz\"uk azt a
feltev\'est, amely szerint ha egy goly\'ot v\'eletlen\"ul
bedobunk ezen ur\-n\'ak valamelyik\'ebe, akkor az $p_j$, $p_j>0$,
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a $j$-ik urn\'aba,
$\summ_{j=1}^k p_j=1$. Ezen fel\-te\-v\'es
ellen\H{o}rz\'es\'enek az \'erdek\'eben dobjunk egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $n$ goly\'ot ezekbe az urn\'akba, \'es jel\"olje
$\nu_n(j)$ a $j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at.
D\"onts\"uk el a kapott eredm\'eny alapj\'an, hogy feltev\'es\"unk
helyes volt-es.

\medskip\noindent
Be fogjuk l\'atni, hogy feltev\'es\"unk teljes\"ul\'ese eset\'en a
$\summ_{j=1}^k\frac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok\-nak
l\'etezik hat\'areloszl\'asuk $n\to\infty$ eset\'en, \'es ez a
hat\'areloszl\'as az \'ugynevezett $k-1$ sza\-bad\-s\'ag\-fo\-k\'u
$\chi^2$ (sz\'oban khi n\'egyzet) eloszl\'as.

Megfogalmazom ezt az eredm\'enyt pontosabban is. El\H{o}sz\"or
bevezetem a $\chi^2$ el\-osz\-l\'a\-sok definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf A $k$ szabads\'agfok\'u $\chi^2$ eloszl\'as definici\'oja.}
{\it Legyen $\xi_1,\dots,\xi_k$ $k$ darab f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Ekkor a $\summ_{j=1}^k\xi_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'at nevezz\"uk $k$ szabads\'agfok\'u
$\chi^2(k)$ eloszl\'asnak.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ L\'attuk a gyakorlaton, hogy a 2
sza\-bad\-s\'ag\-fo\-k\'u $\chi^2(2)$ eloszl\'as a
$\lambda=\frac12$ param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as,
azaz az az eloszl\'as, amelynek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$f(x)=\frac12e^{-x/2}$, ha $x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$.

\medskip
Ezut\'an megfogalmazom a $\chi^2$ pr\'oba alapj\'aul szolg\'al\'o
eredm\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel urnadob\'as eredm\'eny\'enek aszimptotikus
viselked\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen adva $k$ darab urna, amelyekbe
bedobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul goly\'okat \'ugy, hogy
mindegyik goly\'o $p_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a $j$-ik
urn\'aba, $1\le j\le k$, $\summ_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\nu_n(j)$
a $j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at $n$ dob\'as
ut\'an. Ekkor a
$$
T_n=\summ_{j=1}^k\frac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}, \qquad n=1,2,\dots,
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $k-1$ szabads\'agfok\'u $\chi^2(k-1)$ el\-osz\-l\'as\-hoz, ha
$n\to\infty$. (Az urn\'ak $k$ sz\'ama r\"ogz\'{\i}tett.)}

\medskip
Megjegyzem, hogy a fenti t\'etelben megjelen\H{o} hat\'areloszl\'as
csak az urn\'ak $k$ sz\'am\'at\'ol f\"ugg, de nem f\"ugg a $p_j$,
$1\le j\le k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekt\H{o}l. Ez jelzi azt,
hogy term\'eszetes statisztik\'at vezett\"unk be, olyat amelyben a
k\"ul\"onb\"oz\H{o} urn\'akban lev\H{o} goly\'ok sz\'am\'anak az
elt\'er\'ese annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l egyforma fontos
szerepet j\'atszik. Az, hogy a ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as a $k-1$
szabads\'agfog\'u $\chi^2(k-1)$ eloszl\'as, azzal f\"ugg \"ossze,
hogy b\'ar $k$ v\'eletlen sz\'am s\'ulyozott n\'egyzet\"osszeg\'et
tekintett\"uk, (az egyes urn\'akba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'anak
elt\'er\'es\'et tekintett\"uk azok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l),
de ezek k\"oz\"ott van egy determinisztikus \"osszef\"ugg\'es.
Nevezetesen az, hogy az \"osszes urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'ama
minusz azok v\'arhat\'o \'ert\'eke null\'aval egyenl\H{o}. Ezt
inform\'alisan \'ugy szokt\'ak interpret\'alni, hogy $k-1$
szabads\'agi fokkal rendelkez\H{o} v\'eletlen vektorok
koordin\'at\'ainak a n\'egyzet\"osszeg\'et te\-kin\-tet\-t\"uk, illetve
azok hat\'areloszl\'as\'at. Ilyen eset\-ben a hat\'areloszl\'ast
olyan v\'eletlen \"osszeg adja meg, amelyben mindegyik szabads\'agi
foknak egy olyan \"osszeadand\'o felel meg, amely f\"uggetlen a
t\"obbi \"osszeadand\'ot\'ol, \'es az egy standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o n\'egyzete.

A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at t\"obb l\'ep\'esben adom meg. Az
els\H{o} l\'ep\'esben bebizony\'{\i}tom a hat\'areloszl\'ast\'etelt,
de a hat\'areloszl\'as nem a sz\'amunkra rokonszenves alakban
fog megjelenni.

\medskip\noindent
{\bf Lemma a $\chi$-n\'egyzet statiszika hat\'areloszl\'as\'anak
l\'etez\'es\'er\H{o}l.} {\it Tekints\"uk az urnadob\'as
eredm\'eny\'enek aszimptotikus viselked\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etelt \'es az abban defini\'alt $\nu_n(j)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat illetve a
seg\'{\i}ts\'eg\"ukkel bevezetett
$T_n=\summ_{j=1}^k\frac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$, $n=1,2,\dots$,
kifejez\'eseket. A $T_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asban konverg\'alnak egy olyan nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor koordin\'at\'ainak $\summ_{j=1}^k\xi_j^2$
n\'egyzet\"osszeg\'ehez, amelynek $D=(d_{i,j})$, $1\le i,j\le k$,
kovariancia m\'atrix\'at a
$$
d_{i,j}=-\sqrt{p_ip_j}, \quad\text{ha }i\neq j, \;\;1\le i,j\le k,
\quad d_{j,j}=1-p_j \quad 1\le j\le k  \tag2
$$
k\'eplet adja meg.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o}
$X^{(l)}=(X^{(l)}_1,\dots,X^{(l)}_k)$ $k$-dimenzi\'os v\'eletlen
vektorokat. $X^{(l)}_j=\frac1{\sqrt{p_j}}$, ha az $l$-ik dob\'asban
a goly\'o a $j$-ik urn\'aba esett, \'es $X^{(l)}_j=0$, ha nem a
$j$-ik urn\'aba esett, $1\le l\le n$, $1\le j\le k$. Vezess\"uk be
tov\'abb\'a a $\bar S^{(n)}=(\bar S^{(n)}_1,\dots,\bar S^{(n)}_k)$
normaliz\'alt \"osszeget, ahol
$\bar S^{(n)}_j=\frac1{\sqrt n}(S^{(n)}_j-ES^{(n)}_j)$, \'es
$S^{(n)}_j=\frac1{\sqrt n}\summ_{l=1}^nX^{(l)}_j$, $1\le j\le k$.
Ekkor a $X^{(l)}$, $1\le l\le n$, vektorok f\"uggetlenek,
kovariancia m\'atrixuk a (2) formul\'aban defini\'alt
$D=(d_{i,j})$ m\'atrix,
$\frac{\nu_n(j)}{\sqrt{p_j}}=S^{(n)}_j$, $1\le j\le k$, \'es a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
az $\bar S^{(n)}$ v\'eletlen vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} a (2) formul\'aban megadott
kovarianca m\'atrix\'u $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorhoz. Ezenk\'{\i}v\"ul igaz a
$T_n=\summ_{j=1}^k\(\bar S^{(n)}_j\)^2$ azonoss\'ag. Ez\'ert a
a lemma \'all\'{\i}t\'asa k\"ovetkezik  az {\it 1. t\'etel az
eloszl\'asbeli konvergencia tulajdons\'agair\'ol}\/ n\'even
megfogalmazott eredm\'anyb\H{o}l
$u(x_1,\dots,x_k)=\summ_{j=1}^kx_j^2$ v\'alaszt\'assal.

\medskip
Ezut\'an a t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz elegend\H{o} a
k\"ovetkez\H{o} lemm\'at bel\'atni.

\medskip\noindent
{\bf Lemma a $\chi^2$ statisztik\'aban megjelen\H{o}
hat\'areloszl\'ast\'etel jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es a (2) formul\'aban defini\'alt $D=(d_{i,j})$,
$1\le i,j\le k$, kovariancia m\'atrix-szal. Ekkor
$\summ_{j=1}^k\xi_j^2$ $\chi^2(k-1)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.}

\medskip
Ennek a lemm\'anak a bizony\'{\i}t\'as\'aban hasznos a
k\"ovetkez\H{o} \"onmag\'aban is \'erdekes lemma.

\medskip\noindent
{\bf Lemma norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
koordin\'ata n\'egyzet\"osszeg el\-osz\-l\'a\-s\'a\-r\'ol.} {\it
Legyen $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o nul\-la
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ekkel \'es $D$ kovariancia m\'atrix-szal.
Legyenek a $D$ m\'atrix saj\'at\'ert\'ekei a
$\lambda_1,\dots,\lambda_k$ sz\'amok (mul\-ti\-pli\-ci\-t\'as\-sal).
Ekkor a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa megegyezik egy $\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval,
ahol $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ A $D$ m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o
$D=U\Lambda U^*$ alakban, ahol $U$ unit\'er, $\Lambda$ pedig olyan
diagon\'alis m\'atrix, amelynek \'atl\'oj\'aban a $D$ m\'atrix
$\lambda_j$ saj\'at\'ert\'ekei vannak (mul\-ti\-pli\-ci\-t\'as\-sal).
(Az $U$ m\'atrix is fel\'{\i}rhat\'o explicit m\'odon a $D$ m\'atrix
saj\'atvektorainak seg\'{\i}ts\'eg\'evel, de erre a t\'enyre most
nincs sz\"uks\'eg\"unk.)

Az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa
megegyezik egy $\bar\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)
=\xi\Lambda^{1/2} U^* =(\xi_1,\dots,\xi_k)\Lambda^{1/2} U^*$
v\'eletlen vektor eloszl\'as\'aval, ahol $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Val\'oban
$\bar\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor, melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla \'es kovariancia
m\'atrixa a
$$
(\Lambda^{1/2}U^*)^*\Lambda^{1/2}U^*
=U\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2} U^*=U\Lambda U^*=D
$$
m\'atrix. Innen az is k\"ovetkezik, hogy a
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa megegyezik a $\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval. Vegy\"uk
\'eszre, hogy az
$\tilde\eta=(\tilde\eta_1,\dots,\tilde\eta_k)=\bar\eta U
=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)U$ vektorra teljes\"ul a
$\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2=\summ_{j=1}^k\tilde\eta_j^2$ azonoss\'ag,
mert $U$ unit\'er, teh\'at t\'a\-vol\-s\'ag\-tar\-t\'o
transz\-for\-m\'a\-ci\'o. Viszont $\tilde\eta=\bar\eta
U=\xi\Lambda^{1/2}U^*U=\xi\Lambda^{1/2}$.
Ez azt jelenti, hogy a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa megegyezik a
$\summ_{j=1}^k(\lambda_j^{1/2}\xi_j)^2=\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval, \'es ez a
Lemma \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
{\it A $\chi^2$ statisztik\'aban megjelen\H{o}
hat\'areloszl\'ast\'etel jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o lemma
bizony\'{\i}t\'asa.} Az el\H{o}z\H{o} lemma alapj\'an el\'eg azt
megmutatni, hogy a (2) k\'epletben defini\'alt $D$ kovariancia
m\'atrixnak az 1 $k-1$ multiplicit\'as\'u saj\'at\'ert\'eke
(azaz a $D$ m\'atrixnak $k-1$ ortonorm\'alt 1 saj\'at\'ert\'ekkel
rendelkez\H{o} saj\'atvektora van) \'es ezenk\'{\i}v\"ul m\'eg a
nulla a saj\'at\'ert\'eke 1-szeres multiplicit\'assal.

\'Irjuk fel a $D$ m\'atrixot $D=I-B$ alakban, ahol $I$ az
identit\'as m\'atrix, $B=(b_{i,j})$, $b_{i,j}=\sqrt{p_i}\sqrt{p_j}$,
$1\le i,j\le k$. A $B$ m\'atrix saj\'atvektorait \'es
saj\'at\'ert\'ekeit egyszer\H{u}en ki tudjuk sz\'amolni. 
Val\'oban, az $e_1=(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_k})$ vektor 
a $B$ m\'atrix 1 saj\'at\'ert\'ek\H{u} saj\'atvektora. 
Eg\'esz\'{\i}ts\"uk ki az $e_1$ vektort egy tetsz\H{o}leges 
$e_1,e_2,\dots,e_k$ ortonorm\'alt b\'aziss\'a az $R^k$ Euklideszi 
t\'erben. Ekkor az $e_j$, $2\le j\le k$, vektorok a $B$ 
m\'atrix nulla saj\'at\'ert\'ek\H{u} saj\'atvektorai, mert az 
$(e_1,e_j)=0$ (azaz a $\summ_{r=1}^k\sqrt{p_r}x_r^{(j)}=0$, ha
$e_j=(x^{(j)}_1,\dots,x^{(j)}_k)$) azonoss\'agb\'ol 
\'es a $B$ m\'atrix alakj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy $e_jB=0$. 
Abb\'ol, hogy az $e_j$  vektorok a $B$ m\'atrix saj\'atvektorai 
$\lambda_1=1$ \'es $\lambda_j=0$, ha $j\ge2$ saj\'at\'ert\'ekkel 
k\"ovetkezik, hogy e vektorok a $D=I-B$ m\'atrixnak is 
saj\'atvektorai $\bar\lambda_j=1-\lambda_j$ saj\'at\'ert\'ekekkel, 
azaz $\bar\lambda_1=0$, \'es $\bar\lambda_j=1$, ha $2\le j\le k$.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es: Megjegyz\'es a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alakj\'ar\'ol.

A t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt az 
(1)~formul\'aban fogalmaztam meg. E\-sze\-rint az ebben a 
formul\'aban fel\'{\i}rt azonoss\'ag \'erv\'enyes a 
hat\'areloszl\'as minden foly\-to\-nos\-s\'a\-gi pontj\'aban. 
Abban az esetben, ha a (norm\'alis) hat\'areloszl\'as kovariancia 
m\'atrixa elfajul\'o, akkor ez az eloszl\'as az Euk\-li\-de\-szi 
t\'er egy (val\'odi) alter\'ere van koncentr\'alva, \'es a 
hat\'areloszl\'asnak lehetnek szakad\'asi pontjai. 
Ez a t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelben 
megjelen\H{o} megszor\'{\i}t\'as nem okoz probl\'em\'at az
alkalmaz\'asokban. Megmutatom m\'egis, hogy \'erv\'enyes a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek 
az az \'altal\'anosabb alakja, amely szerint az
(1)~formul\'aban megfogalmazott azonoss\'ag minden 
$(x_1,\dots,x_k)\in R^k$ pontban \'erv\'enyes, \'es nemcsak a
$\Phi_D$ hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny foly\-to\-nos\-s\'a\-gi 
pontjaiban.  Ennek az eredm\'enynek a bizony\'{\i}t\'asa azon 
m\'ulik, hogy a t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis 
hat\'areloszl\'ast\'etelben olyan v\'eletlen vektorok 
hat\'areloszl\'as\'at tekintett\"uk, amelyek ugyanabba az 
alt\'erbe vannak koncentr\'alva, mint a (norm\'alis) 
hat\'areloszl\'as.

Az (1)~formula \'altal\'anos alakj\'anak bizony\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben bebizony\'{\i}tok egy lemm\'at. Ennek megfogalmaz\'asa
el\H{o}tt felid\'ezem, hogy a line\'aris algebr\'aban bevezett\"uk
egy m\'atrix rangj\'at. Ez egyenl\H{o} a m\'atrix sorvektorai (vagy
oszlopvektorai) \'altal kifesz\'{\i}tett alt\'er dimenzi\'oj\'aval.
(A sor illetve oszlopvektorok \'altal kifesz\'{\i}tett alt\'er
dimenzi\'oja megegyezik. Ezt \'es n\'eh\'any tov\'abbi alapvet\H{o}
line\'aris algebrai t\'enyt k\"ul\"on magyar\'azat n\'elk\"ul fogok
haszn\'alni a bizony\'{\i}t\'asban.)

\medskip\noindent
{\bf Lemma t\"obb-dimenzi\'os v\'eletlen vektorok
eloszl\'as\'ar\'ol.} {\it Legyen egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor $D$ kovariancia
m\'atrix\'anak a rangja $r$, $r\le k$. Ekkor l\'etezik a
$k$-dimenzi\'os Euklideszi t\'ernek olyan csak a $D$ kovariancia
m\'atrixt\'ol f\"ugg\H{o} $S$ $r$-dimenzi\'os altere, amelyre igaz,
hogy a $\xi$ v\'eletlen vektor egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
ebbe az $S$ alt\'erbe van koncentr\'alva, azaz
$P((\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in S)=1$. S\H{o}t igaz a
k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as is. L\'etezik $r$ olyan
$\eta_j=\summ_{l=1}^k a(j,l)\xi_l$, $1\le j\le r$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o csak a $D$ kovariancia
m\'atrixt\'ol f\"ugg\H{o} $a(j,l)$ egy\"utthat\'okkal, amelyekre
$E\eta_j^2=1$, $1\le j\le r$, $E\eta_j\eta_l=0$, ha
$1\le j,l\le r$, \'es $j\neq l$. Ezenk\'{\i}v\"ul a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok is kifejezhet\H{o}ek az
$\eta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok line\'aris
kombin\'aci\'ojak\'ent $\xi_j=\summ_{l=1}^rb(j,l)\eta_l$,
$1\le j\le k$, alakban alkalmas csak a $D$ kovariancia
m\'atrixt\'ol f\"ugg\H{o} $b(j,l)$ egy\"utthat\'okkal.}

\medskip
Az (1) formula kiterjeszt\'ese az \'altal\'anos esetre azon
m\'ulik, hogy a tekintett normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegek
ugyanabba az alt\'erbe vannak koncentr\'alva, mint a
hat\'areloszl\'as. Ezt a line\'aris alteret az a k\'eplet
hat\'arozza meg, amely megmutatja, hogy a $\xi$ v\'eletlen vektort
hogyan lehet kifejezni az $r$ $\eta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o line\'aris kombin\'aci\'ojak\'ent.

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.} A $D$ kovariancia m\'atrixot
fel lehet \'{\i}rni $D=U\Lambda^2 U^*$ alakban, ahol $U$ unit\'er
$\Lambda$ pedig diagon\'alis m\'atrix, amelynek els\H{o} $r$
diagon\'alis eleme, $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ szigor\'uan
pozit\'{\i}v, a tov\'abbi diagon\'alis elemek pedig null\'ak.
(Itt haszn\'altuk ki, hogy a $D$ m\'atrix rangja $r$.) Jel\"olje
$u_{j,l}$ a $D$ m\'atrix fenti reprezent\'aci\'oj\'aban
szerepl\H{o} $U$ unit\'er m\'atrix $j$-ik sor\'aban \'es $l$-ik
oszlop\'aban lev\H{o} elemet. Defini\'aljuk az
$\bar\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)$ vektort az
$\bar\eta_j=\summ_{l=1}^k u_{j,l} \xi_l$, $1\le j\le k$,
k\'eplettel. (M\'atrix jel\"ol\'essel $\bar\eta=\xi U^*$). Ekkor
$\xi=\bar\eta U$, azaz $\xi_j=\summ_{l=1}^k \bar\eta_l u_{l,j}$,
\'es n\'emi sz\'amol\'assal azt kapjuk, hogy a $\bar\eta$
kovariancia m\'atrixa az $U^*DU=\Lambda^2$ m\'atrix. Innen
speci\'alisan az is ad\'odik, hogy $E\bar\eta_j^2=0$, \'es
$\bar\eta_j=0$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel minden
$r+1\le j\le k$ indexre. Defini\'aljuk az
$\eta_j=\frac{\bar\eta_j}{\lambda_j}$, $1\le j\le r$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, \'es legyen
$a(j,l)=\lambda_j u_{j,l}$,
$1\le j\le r$, $1\le l\le k$. Ekkor $E\eta_j^2=1$,
$E\eta_j\eta_l=0$, ha $j\neq l$, $1\le j,l\le r$, \'es
$\eta_j=\summ_{l=1}^k a(j,l)\xi_l$, $1\le j\le r$.
Tov\'abb\'a $\xi_j=\summ_{l=1}^rb(j,l)\eta_l$, $1\le j\le k$,
$b(j,l)=u_{l,j}\lambda_l$ egy\"utthat\'okkal. V\'eg\"ul az $S$
alt\'er, ahov\'a a $\xi$ vektor van koncentr\'alva megegyezik a
$\xi_j=\summ_{l=1}^rb(j,l)y_l$, $1\le j\le k$, $1\le l\le r$,
alak\'u vektorokb\'ol \'all\'o alt\'errel.

\medskip\noindent
{\it Az (1) formula bizony\'{\i}t\'asa az \'altal\'anos esetben.}\/
Alkalmazzuk az el\H{o}z\H{o} lemm\'at a t\"obb\-v\'al\-to\-z\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelben bevezetett mennyis\'egek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a $\xi^{(n)}=(\xi^{(n)}_1,\dots,\xi^{(n)}_k)$,
$\xi^{(n)}_j=\frac1{\sqrt n}(S^{(n)}_j-ES^{(n)}_j)$, $1\le j\le k$,
v\'eletlen vektorra minden $n=1,2,\dots$ indexre. Jegyezz\"uk meg,
hogy ezen vektorok $D$ kovariancia m\'atrixa nem f\"ugg az $n$
indext\H{o}l. A t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy az
$\eta^{(n)}_j=\summ_{l=1}^k a(j,l)\xi^{(n)}_l$, $1\le j\le r$,
v\'eletlen vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak az $r$-v\'altoz\'os
standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, amely minden pontban
folytonos. M\'asr\'eszt a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket ki lehet fejezni
$$
P(\xi_1^{(n)}<x_1,\dots,\xi^{(n)}_k<x_k)=
P\(\summ_{l=1}^rb(1,l)\eta_l^{(n)}<x_1,\dots,
\summ_{l=1}^rb(k,l)\eta_l^{(n)}<x_k\)
$$
alakban. Azt kell bel\'atni, hogy
$$
\align
&\limm_{n\to\infty} P\(\summ_{l=1}^rb(1,l)\eta^{(n)}_l<x_1,\dots,
\summ_{l=1}^rb(k,l)\eta^{(n)}_l<x_k\)\\
&\qquad
=P\(\summ_{l=1}^rb(1,l)\zeta_l<x_1,\dots,\summ_{l=1}^rb(k,l)\zeta_l<x_k\),
\endalign
$$
ahol $\zeta_1,\dots,\zeta_r$ f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Ezt be lehet
l\'atni a t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es a {\it 2. t\'etel az eloszl\'asbeli konvergencia
tulajdons\'agair\'ol}\/ seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A r\'eszletek
kidolgoz\'as\'at elhagyom.


\bye

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $\xi^{(j)}=(\xi^{(j)}_1,\dots,\xi^{(j)}_6)$
f\"uggetlen, $1\le j\le n$, egyforma eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektorok $P(\xi_k^{(j)}=1)=\frac16$, minden $1\le k\le 6$,
$1\le j\le n$ indexre, \'es $\xi^{(j)}_{k'}=0$, ha $k'\neq k$,
\'es $\xi^{(j)}_k=1$, minden $1\le k,k'\le 6$ indexre. Legyen
$S=\frac1{\sqrt n}\summ_{j=1}^n\xi_j$ e v\'eletlen vektorok
normaliz\'alt \"osszege. Ekkor a $\xi^{(j)}$ \'es $S$ vektorok
kovariancia m\'atrixa az a $D=(d_{i,k})$, $1\le i,k\le 6$,
m\'atrix, amelyre $d_{i,k}=-\frac1{36}$, ha $i\neq k$,
$d_{k,k}=\frac5{36}$. A $D$ m\'atrix nem invert\'alhat\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi^{(j)}$ vektor $D$ m\'atrix\'anak
elemei $d_{i,k}=E\xi_i^{(j)}\xi^{(j)}_k-E\xi_i^{(j)}E\xi^{(j)}_k
=-E\xi_i^{(j)}E\xi^{(j)}_k=-\frac1{36}$,ha $i\neq k$, \'es
$d_{k,k}=E\(\xi^{(j)}_k\)^2-(E\xi^{(j)}_k)^2=\frac16-\(\frac16\)^2
=\frac5{36}$. Az $S$ v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa ugyanez
a $D$ m\'atrix. A $D$ m\'atrix nem invert\'alhat\'o, mert a
sor\"osszegei null\'aval egyenl\H{o}ek.


\medskip
Az (1) formul\'aban val\'oban er\H{o}sebb \'all\'{\i}t\'ast
fogalmaztam meg, mint a t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel. Ez ut\'obbi csak a hat\'areloszl\'as
folytonoss\'agi pontjaiban \'all\'{\i}tja az (1) formula
\'erv\'enyess\'eg\'et \'es nem minden $x=(x_1,\dots,x_k)$ pontban.
Ha a hat\'areloszl\'as m\'atrixa elfajul\'o, akkor a
hat\'areloszl\'as egy alt\'erbe van koncentr\'alva, \'es nem minden
$x$ pont folytonoss\'agi pontja a hat\'areloszl\'asnak. B\'ar a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel eredeti
alakja megfelel\H{o} lenne a sz\'amunkra, a kieg\'esz\'{\i}t\'esben
megmutatom, hogy az (1) formula a t\'etelben kimondott form\'aban
is \'erv\'enyes.

