Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel.

A valószínűségszámítás egyik nagyon fontos fogalma a Wiener-folyamat, amelyet Brownmozgásnak is hívnak. Az első elnevezés e fogalom első matematikailag precíz bevezetőjére, Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol biológusra utal, aki egy folyadékban levő, egymással ütköző apró részecskék mozgását tanulmányozta. Később kiderült, hogy a Wiener-folyamat az egy részecske (véletlen) pályáját leíró legjobb matematikai modell. Korábbi tanulmányainkban láttuk, hogy a valószínűségi változók körében a normális eloszlás, a vektor értékű valószínűségi változók között a több-dimenziós normális eloszlás központi szerepet játszik. A Wienerfolyamat hasonlóan fontos szerepet játszik a sztochasztikus folyamatok elméletében, és tulajdonképpen úgy tekinthető, mint a standard normális eloszlású valószínűségi változók megfelelelője a sztochasztikus folyamatok között. Ennek a meglehetősen nagyvonalú kijelentésnek pontosabb értelmet ad a később ismertetett funkcionális centrális határeloszlástétel. A továbbiakban felhasználom a korábban tárgyalt sztochasztikus folyamatokról szóló alapvető fogalmakat és eredményeket.

A Wiener-folyamat definiciójának megadása előtt vezessük be a következő egyszerű definiciót (elnevezést).

Szochasztikus folyamat trajektóriájának a fogalma. Legyen adva egy T indexhalmazzal paraméterezett ξ_{t}(ω) = ξ(t, ω) sztochasztikus folyamat. Ennek egy rögzített ω elemi eseményhez tartozó trajektóriáján a T halmazon definiált ξ(t, ω), t ∈ T, függvényt értjük.

Bevezetjük továbbá a következő fogalmat is.

Gauss (sztochasztikus) folyamat definiciója. Egy ξ_{t}, t ∈ T, folyamatot Gaussfolyamatnak nevezünk, ha ennek minden véges dimenziós eloszlása normális eloszlású, azaz T halmaz minden T_{0} = {t_{1}, …, t_{k}} véges részhalmazára a (ξ_{t_{1}}, …, ξ_{t_{k}}) véletlen vektor több-dimenziós normális eloszlású vektor.

1. feladat: Idézzük fel a több-dimenziós normális eloszlás definicióját. Lássuk be, hogy egy n-dimenziós (X_{1}, …, X_{n}) normális eloszlású véletlen vektor eloszlását meghatározzák az EX_{j}, 1 ≤ j ≤ n várható értékek és a Cov (X_{j}, X_{k}) = EX_{j}X_{k} − EX_{j}EX_{k}, 1 ≤ j, k ≤ n, kovarianciák.

Megfogalmazom a Wiener-folyamat definicióját.

Wiener-folyamat definiciója. Egy a [0, T] 0 < T ≤ ∞, intervallumon értelmezett Wiener-folyamaton olyan Gauss-folyamatot értünk, amelyre

a) EW (t) = 0, 0 ≤ t ≤ T, EW (s)W (t) = min(s, t), ≤ s, t ≤ T.

b) A W (t, ω) folyamat trajektóriája minden ω elemi eseményre folytonos függvény a [0, T] intervallumon.

A Wiener-folyamat definiciója kapcsán számos kérdést tisztázni kell. A fő kérdés az, hogy a fent megadott definició értelmes-e. Először tisztázni kell az a) pontot.

Mondhatjuk-e, hogy definiáltuk a Wiener-folyamat véges dimenziós eloszlásait konzisztens módon? A definició b) pontja még rejtélyesebb. A Kolmogorov-féle alaptételben semmilyen kijelentés nem szerepelt a sztochasztikus folyamat trajektóriáját illetően. Honnan tudjuk, hogy létezik folytonos trajektóriájú, a Wiener-folyamat a) feltételét teljesítő Gauss-folyamat? Ha létezik, akkor mit mondhatunk a folytonos trajektória létezéséről? Automatikusan teljesül-e ez a követelmény, vagy tennünk kell-e valamit ennek teljesítése érdekében?

Az első kérdés megválaszolása egyszerűbb. Egyrészt az előbb megfogalmazott 1. feladat egyik állítása szerint a várható érték és a kovariancia megadásával és azzal a megkötéssel, hogy a Wiener-folyamat Gauss-folyamat, egyértelműen megadtuk e folyamat véges dimenziós eloszlásait. Másrészt igaz az alábbi 2. feladat állítása:

2. feladat. Rögzítsünk valamely 0 ≤ t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{n} ≤ T számokat, vegyünk független, nulla várható értékű és t_{j} − t_{j−1}, 1 ≤ j ≤ n, t_{0} = 0, normális eloszlású

η_{j} valószínűségi változókat, és definiáljuk a Z_{k} = ∑_{j=1}^{k} η_{j}, 1 ≤ k ≤ n valószínűségi

változókat. Lássuk be, hogy a (Z_{1}, …, Z_{n}) véletlen vektor eloszlása megegyezik a Wiener-folyamatban definiált (W (t_{1}), …, W (t_{n})) véletlen vektor eloszlásával. Lássuk be ennek az észrevételnek a segítségével, hogy a Wiener-folyamat definiciójában előírt véges dimenziós eloszlások konzisztensek.

A 2. feladat állítása azt jelenti, hogy a Kolmogorov-féle alaptétel szerint létezik a Wiener-folyamat definicójában szereplő a) tulajdonságot teljesítő Gauss-folyamat. A b) tulajdonsággal kapcsolatban a helyzet bonyolultabb. Oldjuk meg először a következő feladatot.

3. feladat: Legyen adva egy ξ_{t}, 0 ≤ t ≤ 1, a [0, 1] intervallummal mint index halmazzal indexelt sztochasztikus folyamat valamely (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Jelölje F a ξ_{t}, 0 ≤ t ≤ 1, valószínűségi változók által generált σ-algebrát. Lássuk be, hogy az az esemény, hogy a ξ_{t} folyamat folytonos trajektóriájú nincs benne az F σ-algebrában.

A 3. feladat eredménye azért érdekes a számunkra, mert csak az ott definiált σ-algebra eseményeinek a valószínűségéről tudunk beszélni. Ha alaposabban meggondoljuk be lehet látni, hogy egy sztochasztikus folyamat véges dimenziós eloszlásainak ismeretében nem beszélhetünk annak az eseménynek a valószínűségéről, hogy a sztochasztikus folyamat minden trajektóriája folytonos függvény. Viszont lehetőségünk van arra, hogy ha adva van egy sztochasztikus folyamat, akkor megpróbáljuk annak trajektóriáit ,,kijavítani” úgy, hogy a sztochasztikus folyamatot definiáló valószínűségi változókat egy null-mértékű halmazon megváltoztatunk. Ezáltal a sztochasztikus folyamat véges dimenziós eloszlásait nem változtatjuk meg, viszont bizonyos esetekben esélyünk van arra, hogy egy sztochasztikus folyamatban kontinum sok null-mértékű halmazon változtatva a trajektóriák tulajdonságait megváltoztatva jobb tulajdonságú trajektóriákat kapunk. Az alábbiakban megfogalmazok és bebizonyítok egy eredményt, amely elégséges feltételt ad arra, hogy egy sztochasztikus folyamat valószínűségi változóit null-mértékű halmazon megváltoztatva olyan sztochasztikus folyamatot kapjunk, amelynek trajektóriái folytonosak. (Természetesen az új folyamat véges dimenziós eloszlásai megegyeznek az eredeti folyamat véges dimenziós eloszlásaival.) Azután megmutatom, hogy ez az eredmény alkalmazható a Wiener-folyamatok esetében is. Ez lehetővé teszi, hogy a Wiener-folyamat definiciójában megköveteljük a b) tulajdonságot.

Az eredmény megfogalmazása előtt bevezetem a következő definiciót.

Sztochasztikus folyamat sztochasztikus folytonosságának a definiciója. Legyen adva egy sztochasztikus folyamat X(t), a ≤ t ≤ b, valamely [a, b] intervallumon. Azt mondjuk, hogy ez a sztochasztikus folyamat folytonos valamely a ≤ t ≤ b pontban, ha minden ε > 0 számra teljesül a

lim_{t_{n}→t} P (|X(t_{n}, ω) − X(t, ω)| > ε) = 0

feltétel minden t_{n} → t számsorozatra.

Most megfogalmazom a következő Lemmát.

Lemma sztochasztikus folyamat folytonos trajektóriáiról. Legyen adva egy X(t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamat a [0, 1] intervallumon. Teljesítse ez a sztochasztikus folyamat a következő két tulajdonságot.

a) Az X(t, ω) sztochasztikus folyamat sztochasztikusan folytonos a [0, 1] intervallum minden pontjában.

b) A sztochasztikus folyamat majdnem minden X(t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, ω ∈ Ω, trajektóriája rendelkezik a következő tulajdonsággal. Az X (\frac{k}{2^{n}} , ω), n = 1, 2, …, 0 ≤ k ≤ 2^{n} függvény, azaz az X(·, ω) függvény megszorítása a diadikusan racionális pontokra, egyenletesen folytonos.

Ekkor létezik olyan X̄(t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamat, amelynek minden X̄(·, ω) trajektóriája folytonos függvény, és P (X̄(t, ω) = X(t, ω)) = 1 minden 0 ≤ t ≤ 1 pontban.

Megjegyzés: Belátható, hogy a Lemmában szereplő a) és b) feltétel teljesülése vagy nem teljesülése az X(t, ω) sztochasztikus folyamat véges dimenziós eloszlásaitól függ.

A Lemma bizonyítása. Definiáljuk az X̄(t, ω) sztochasztikus folyamatot a következő módon: Legyen X̄(t, ω) = 0 minden 0 ≤ t ≤ 1 számra egy olyan ω esetében, amelyre az X (\frac{k}{2^{n}} , ω) függvény nem egyenletesen folytonos. Az olyan ω elemi eseményekre viszont, amelyekre ez a függvény egyenletesen folytonos a diadikusan racionális pontokban tekintsünk minden 0 ≤ t ≤ 1 számra egy olyan \frac{k_{n}}{2^{n}} = \frac{k_{n}(t)}{2^{n}} sorozatot, n = 1, 2, …, amelyre lim_{n→∞} \frac{k_{n}}{2^{n}} = t, és legyen X̄(t, ω) = lim_{n→∞} X (\frac{k_{n}}{2^{n}} , ω). Ez a limesz létezik, mert az X (\frac{k_{n}}{2^{n}} , ω),

n = 1, 2, …, sorozat Cauchy sorozat. Az X(t, ω) és X̄(t, ω) valószínűségi változó 1 valószínűséggel megegyezik, mert mind a kettőhöz sztochasztikusan (a mértékelmélet nyelvén mértékben) konvergál az X (\frac{k_{n}}{2^{n}} , ω), n = 1, 2, …, sorozat. Ezenkívül az X̄(·, ω) trajektóriák folytonos függvények minden ω ∈ Ω elemi eseményre.

Az előző lemma segítségével bebizonyítom az alábbi állítást, amely a korábbi eredményekkel együtt biztosítja, hogy létezik Wiener-folyamat.

Tétel (folytonos trajektóriájú) Wiener-folyamat létezéséről. Legyen adva egy olyan W̄ (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, Gauss-folyamat a [0, 1] intervallumon, amely teljesíti a Wiener-folyamat definiciójában szereplő a) feltételt. Ekkor létezik olyan W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener-folyamat a [0, 1] intervallumon, amelyre P (W (t, ω) = W̄ (t, ω)) = 1 minden 0 ≤ t ≤ 1 számra, és trajektóriái 1 valószínűséggel folytonosak.

A Wiener-folyamat létezéséről szóló tétel bizonyítása. Elég megmutatni, hogy mindkét a Lemmában szereplő feltétel teljesül egy olyan W̄ (t, ω) Gauss-folyamatra, amely teljesíti a Wiener-folyamat definiciójában szereplő a) feltételt. Ezek közül az a) tulajdonság teljesülése nyílvánvaló a Csebisev egyenlőtlenség alapján, mert W̄ (t_{n}, ω) − W̄ (t, ω) 0 várható értékű és |t − t_{n}| szórásnégyzetű valószínűségi változó. A b) tulajdonság bizonyításához elég megmutatni azt, hogy

∑_{n=1}^{∞} P ( sup_{1≤k≤2^{n}} |W̄ (\frac{k}{2^{n}} , ω) − W̄ (\frac{k − 1}{2^{n}}, ω)| > 2^{−n/8}) < ∞.  (A)

Ebből ugyanis a Borel-Cantelli lemma alapján következik, hogy létezik olyan Ω̄ ⊂ Ω, P (Ω̄) = 1 esemény, amelyre igaz, hogy minden ω ∈ Ω̄ elemi eseményre van olyan n(ω)

küszöbindex úgy, hogy sup_{1≤k≤2^{n}} |W̄ (\frac{k}{2^{n}} , ω) − W̄ (\frac{k−1}{2^{n}}, ω)| ≤ 2^{−n/8} minden n ≥ n(ω)

számra. Azt állítom, hogy ebből következik, hogy ha t és s két olyan diadikus racionális szám, amelyre 0 < t − s < 2^{−L} valamely (nagy) L egész számra, ω ∈ Ω̄, L ≥ n(ω)

akkor |X(t, ω)−X(s, ω)| ≤ 2 ∑_{n=L}^{∞} sup_{1≤k≤2^{n}} |W̄ (\frac{k}{2^{n}} , ω) − W̄ (\frac{k−1}{2^{n}}, ω)| ≤ ∑_{n=L}^{∞} 2^{−n/8} ≤ 1000·

2^{−L/8}, ahonnan következik, hogy a W̄ (t, ω) folyamat teljesíti a b) tulajdonságot, ha ω ∈ Ω̄.

A fenti egyenlőtlenségsorozat első egyenlőtlenségének belátása érdekében tekintsük a leghosszabb [\frac{k}{2^{j}} , \frac{k+1}{2^{j}}] intervallumokat, amelyekre [\frac{k}{2^{j}} , \frac{k+1}{2^{j}}] ⊂ [s, t]. Egy vagy két ilyen intervallum van, és j ≥ L. Legyen ezen intervallumok egyesítésének a bal végpontja \frac{k}{2^{j}},

jobb végpontja pedig \frac{k̄}{2^{j}}, k̄ = k + 1 vagy k̄ = k + 2. Mind az [s, \frac{k}{2^{j}} ] mind a [\frac{k̄}{2^{j}} , t]

intervallum előállítható különböző hosszúságú 2^{−j′}, j′ ≥ j+1, hosszúságú diadikus intervallumok egyesítéseként. Az előbbiekből következik, hogy az [s, t] intervallum előáll 2^{−j}, j ≥ L, hosszúságú diadikus intervallumok egyesítéseként, és ebben az egyesítésben minden j ≥ L-re legfeljebb 2 darab 2^{−j} hosszúságú intervallum szerepel. Innen következik a kívánt egyenlőtlenség.

Az (A) reláció bizonyításához vegyük észre, hogy

∑_{n=1}^{∞} P ( sup_{1≤k≤2^{n}} |W̄ (\frac{k}{2^{n}} , ω) − W̄ (\frac{k − 1}{2^{n}}, ω)| > 2^{−n/8})

≤ ∑_{n=1}^{∞} ∑_{k=1}^{2^{n}} P (|W̄ (\frac{k}{2^{n}} , ω) − W̄ (\frac{k − 1}{2^{n}}, ω)| > 2^{−n/8})

≤ ∑_{n=1}^{∞} ∑_{k=1}^{2^{n}} \frac{E (W̄ (\frac{k}{2^{n}} , ω) − W̄ (\frac{k−1}{2^{n}}, ω))^{4}}{2^{−n/2}} = ∑_{n=1}^{∞} 2^{n} \frac{3 · 2^{−2n}}{2^{−n/2}} < ∞,

mert a W (\frac{k}{2^{n}} , ω) − W̄ (\frac{k−1}{2^{n}}, ω) valószínűségi változók normális eloszlásúak, nulla várható értékkel és 2^{−n} szórásnégyzettel. Ezért a negyedik momentumuk 32^{−2n}. A tétel bizonyítását befejeztük.

Megjegyzés: A fenti tételben beláttuk, hogy létezik a [0, 1] intervallumon definiált Wiener-folyamat. A jelölések némi változtatásával be lehet látni ugyanezzel a módszerrel, hogy tetszőleges T > 0 számra létezik Wiener-folyamat a [0, T] intervallumon. De be lehet látni azt, hogy létezik W (t, ω), t ≥ 0. Wiener-folyamat a pozitív félegyenesen például a következő feladat megoldásának a segítségével.

Feladat: Legyen W_{n}(t, ω), n = 1, 2, …, 0 ≤ t ≤ 1, független Wiener-folyamatok sorozata a [0, 1] intervallumon. Lássuk be, hogy ,,ezeket a független Wiener-folya-

matokat összeragasztva”, azaz definiálva a W (t, ω) = ∑_{j=1}^{[t]} W_{j}(1, ω) + W_{[t]+1}({t}, ω),

0 ≤ t < ∞, Wiener-folyamat a t ≥ 0 félegyenesen, ahol [t] a t szám egész részet {t} pedit a t szám tört részét jelöli.

Nem kötelező feladat: Mutassuk meg, (felhasználva az előző bizonyítás gondolatait, hogy ha egy X(t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamat a [0, 1] intervallumon teljesíti az E|X(t, ω) − X(s, ω)|^{2+α} ≤ C|t − s|^{1+β} feltételt alkalmas α > 0, β > 0 és C > 0 konstansokkal mindet 0 ≤ s < t ≤ 1 számpárra, akkor létezik az X(t, ω) sztochasztikus folyamatnak olyan X̄(t, ω) módosítása, amelyre P (X(t, ω) = X̄(t, ω) minden 0 ≤ t ≤ 1 számra, és a X̄(t, ω) folyamat minden trajektóriája folytonos függvény. (Valójában az α > 0 feltétel elhagyható a feltételként szereplő egyenlőtlenségből. Azért tettük ezt fel, mert a legtöbb érdekes esetben csak α > 0 számmal tudjuk biztosítani a kívánt feltétel teljesülését.)

4. feladat: Mutassuk meg, hogy egy a [0, 1] intervallumon definiált folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamat tekinthető, mint egy C([0, 1])-tér értékű, azaz a [0, 1] intervallumon értelmezett folytonos értékű függvényekből álló, és a szuprémum normával ellátott Banach téren értelmezett valószínűségi változó. A probléma jobb megértése érdekében a megfogamazom e kérdés 4a) változatát, amely megmagyarázza, mi a probléma lényege.

4a. feladat: Világos, hogy egy a [0, 1] intervallumon értelmezett folytonos trajektóriájú X(t, ω) sztochasztikus folyamat az (Ω, A, P) valószínűségi mezőt leképezi a C([0, 1]) térbe. De be kell látni, hogy ez a leképezés mérhető. Tudjuk, hogy mivel minden rögzített 0 ≤ t ≤ 1 számra az X(t, ·) függvény folytonos, azaz tetszőleges Borel mérhető B halmazra {ω: X(t, ω) ∈ B} ∈ A, (azaz a B halmaz ősképe mérhető). Lássuk be, hogy a C([0, 1]) tér tetszőleges mérhető D halmazára {ω: X(t, ω) ∈ D} ∈ A.

4b. feladat: Az 4. feladat állítása szerint tetszőleges a [0, 1] intervallumon definiált folytonos trajektóriájú folyamat tekinthető úgy, mint egy értékeit a C([0, 1]) térben felvevő valószínűségi változó. Lássuk be, hogy e folyamat véges dimenziós eloszlásai meghatározzák annak valószínűségét is, hogy véve egy tetszőleges Borel-mérhető halmazt a C([0, 1]) térben, a sztochasztikus folyamat trajektóriái ebbe a halmazba esnek.

5. feladat: Az előző tétel megoldásában fontos szerepet játszott az a lépés, hogy adjunk jó becslést annak valószínűségére, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó egy adott számnál nagyobb értéket vesz fel. Ezt a becslést abban a bizonyításban a negyedik momentum becslésének a segítségével kaptuk. Az ebben a feladatban megfogalmazott becslés pontosabb, és bizonyos nehezebb feladatokban erre van szükség. A következő jelölést fogjuk alkalmazni. Φ(x) jelöli a standard normális eloszlásfüggvényt, φ(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2}, ennek sűrűségfüggvényét. Mutassuk meg (parciális integrálással), hogy minden x > 0 számra teljesül a következő egyenlőtlenség:

(\frac{1}{x} − \frac{1}{x^{3}} ) φ(x) < 1 − Φ(x) < \frac{1}{x}φ(x).

Wiener-folyamatok tulajdonságai.

Megfogalmazom azt a fontos eredményt, amelyet funkcionális centrális határeloszlástételnek szokás nevezni, és amely a szokásos centrális határeloszlástétel természetes és fontos általánosítása. Először felidézem a centrális határeloszlástétel általános alakját.

Ez a tétel arról szól, hogy ha tekintjük valószínűségi változóknak egy szériasorozatát, azaz minden egyes k = 1, 2, … egész számra megadjuk valószínűségi változók ξ_{k,j}, j = 1, 2, …, n_{k}, sorozatát, amelyek (rögzített k számra) függetlenek, akkor a

S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ_{k,j} véletlen összegek eloszlásban konvergálnak a normális eloszláshoz nagyon

általános feltételek mellett. E feltételek közül a legfontosabb az úgynevezett Lindeberg feltétel, amelyet külön felidézek.

Lindeberg feltétel definiciója szériasorozatokra: Legyen ξ_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, olyan szériasorozat, amelyre Eξ_{k,j} = 0, Eξ_{k,j}^{2} < ∞, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, és

lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} Eξ_{k,j}^{2} = 1. Ez a szériasorozat akkor és csak akkor teljesíti a Lindeberg feltételt,

ha tetszőleges ε > 0 számra

lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} Eξ_{k,j}^{2}I ({|ξ_{k,j}| > ε}) = 0,

ahol I(A) egy A halmaz indikátor függvénye.

Centrális határeloszlástétel szériasorozatokra a Lindeberg feltétel teljesülése esetén. Legyen ξ_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, olyan szériasorozat, amelyre Eξ_{k,j} = 0,

Eξ_{k,j}^{2} < ∞, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} Eξ_{k,j}^{2} = 1, és teljesítse e szériasorozat a

Lindeberg feltételt. Ekkor a.) a szériasorozat tagjai teljesítik a lim_{k→∞} ( sup_{1≤j≤n_{k}} Eξ_{k,j}^{2}) = 0 kicsiségi feltételt.

b.) Az S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ_{k,j}, 1 ≤ k < ∞, véletlen összegek eloszlásban konvergálnak a standard,

azaz nulla várható értékű és 1 szórásnégyzetű normális eloszláshoz, ha k → ∞.

Be lehet látni azt is, hogy a centrális eloszlástétel ezen formája bizonyos értelemben éles, és tovább nem javítható. Ezzel a kérdéssel itt nem foglalkozunk.

Viszont megfogalmazok egy olyan eredményt, amely azt fejezi ki, hogy amennyiben veszünk egy a Lindeberg feltételt teljesítő szériasorozatot, és rögzített k számra nemcsak

az S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ_{k,j} véletlen összeget vezetjük be, hanem az összes

S_{k}(j) = ∑_{p=1}^{j} ξ_{k,p}, 1 ≤ j ≤ n_{k}  (B1)

részletösszeget, és tekintjük az S_{k}(j), 1 ≤ j ≤ n_{k}, sorozat eloszlását, akkor ennek aszimptotikus viselkedése bizonyos értelemben jól leírható egy Wiener-folyamat segítségével.

A fenti állítás pontos megfogalmazásának érdekében vezessük be a következő jelöléseket: Legyen adva egy

\begin{matrix}ξ_{1,1}, …, ξ_{1,n_{1}} \\ ⋮ & ⋮ \\ ξ_{k,1}, …, ξ_{k,n_{k}} \\ ⋮ & ⋮ \end{matrix}  (B2)

szériasorozat, amelyre Eξ_{k,j} = 0, Eξ_{k,j}^{2} = σ_{k,j}^{2}, ∑_{j=1}^{n_{k}} σ_{k,j}^{2} = s_{k}^{2}, és feltesszük, hogy teljesül

a lim_{k→∞} s_{k}^{2} = 1 reláció. Vezessük be az S_{k}(0) = 0, S_{k}(j) = ∑_{p=1}^{j} ξ_{k,p} és s_{k}(j)^{2} = ∑_{p=1}^{j} σ_{p}^{2},

s̄_{k}^{2}(0) = 0, s̄_{k}(j)^{2} = \frac{s_{k}(j)^{2}}{s_{k}^{2}} , 1 ≤ j ≤ n_{k}, k = 1, 2, …, mennyiségeket. Adjuk meg ezen mennyiségek segítségével a következő a [0, 1] intervallumon definiált X_{k}(t) = X_{k}(t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, (véletlen) folytonos függvényeket:

X_{k}(s̄_{k}^{2}(j), ω) = S_{k}(j), 0 ≤ j ≤ n_{k} és
X_{k}(t, ω) = \frac{s̄_{k}(j)^{2} − t}{s̄_{k}(j)^{2} − s̄_{k}(j − 1)^{2}} X_{k}(s̄_{k}^{2}(j − 1), ω) + \frac{t − s̄_{k}(j − 1)^{2}}{s̄_{k}(j)^{2} − s̄_{k}(j − 1)^{2}} X_{k}(s̄_{k}^{2}(j), ω)
ha s̄_{k}(j − 1)^{2} ≤ t ≤ s̄_{k}(j)^{2}, 1 ≤ j ≤ n_{k},

(B3)

azaz az X_{k}(·, ω) függvény az s̄_{k}(j)^{2} pontokban megegyeznek az első j ξ_{k,p}(ω) valószínűségi változó összegével, a köztük levő pontokban pedig lineáris függvényként kiegészítjük őket. Tegyük fel, hogy a (B2) szériasorozat teljesíti a Lindeberg feltételt is. Ekkor alkalmazható rá a centrális határeloszlástétel. Némi plusz munkával be lehet látni, hogy nemcsak az X_{k}(1, ω) valószínűségi változók konvergálnak eloszlásban a standard normális eloszláshoz, ha k → ∞, hanem az is igaz, hogy minden rögzített t számra az X_{k}(t, ω) valószínűségi változók konvergálnak eloszlásban egy 0 várható értékű és t szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változóhoz. Sőt, az is igaz, hogy minden 0 ≤ t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{m} ≤ 1 számokra az (X_{k}(t_{1}, ω), …, X_{k}(t_{m}, ω)) véletlen vektorok eloszlásban konvergálnak egy olyan (Z_{1}, …, Z_{m}) m-dimenziós normális eloszlású vektor eloszlásához, amelyre EZ_{j} = 0, 0 ≤ j ≤ k, EZ_{j}Z_{j′} = min(t_{j}, t_{j′}). Ez szemléletesen azt jelenti, hogy nagy k indexre a (B3) képletben definiált X_{k}(t, ω) sztochasztikus folyamat közel van eloszlásban egy a [0, 1] intervallumon definiált Wiener-folyamathoz. Az alábbiakban megfogalmazok egy tételt, amely a fent megfogalmazattokhoz hasonló, de tartalmasabb állítást fogalmaz meg. A tétel kimondása előtt emlékeztetek arra, hogy mint azt a 4. feladatban megfogalmazott állítás megfogalmazza, egy a [0, 1] intervallumon definiált folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamatot tekinthetünk egy C([0, 1]) téren definiált valószínűségi változónak is. Ezt az észrevételt alkalmazhatjuk mind a Wiener-folyamatra, mind a (B3) képletben definiált folyamatokra. Az a tény, hogy egy Wiener-folyamat felfogható úgy, mint egy értékeit a C([0, 1]) térben felvevő valószínűségi változó lehetővé teszi, hogy bevezessük az alább megadandó Wiener mérték fogalmát.

Wiener-mérték definiciója. Legyen adva egy Wiener-folyamat a [0, 1] intervallumban. Tekintsük ezt, mint egy értékeit a C([0, 1]) térben felvevő valószínűségi változót. Ennek eloszlását, azaz a μ_{W} (A) = P (ω: W (·, ω) ∈ A) függvényt minden a C([0, 1]) térbeli Borel mérhető A halmazra, (azaz minden olyan A halmazra, amely benne van a B([0, 1]) térben lévő nyílt halmazok által generált legszűkebb σ-algebrában) Wienermértéknek nevezzük.

Emlékeztetek továbbá arra, hogy az eloszlásban való konvergencia természetes általánosítását definiálták tetszőleges szeparábilis metrikus térben. Ezt gyenge konvergenciának nevezik általában az irodalomban, és euklidészi térben levő valószínűségi mértékek esetében ez ekvivalens az eloszlásban való konvergenciával. Több különböző alakja van ennek a definiciónak, de ezek mindegyike ekvivalens. A definiciókat megadom, de ekvivalenciájuk bizonyítását elhagyom.

Valószínűségi mértékek (gyenge) konvergenciájának a definiciója, a) definició. Legyen adva valószínűségi mértékek μ_{n}, n = 1, 2 …, sorozata egy (X, ρ) szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazain. Azt mondjuk, hogy e mértékek sorozata gyengén konvergál egy μ e szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazain definiált valószínűségi mértékhez, ha minden a metrikus téren értelmezett folytonos és korlátos f(x) függvényre

lim_{n→∞} ∫ f(x)μ_{n}( dx) = ∫ f(x)μ( dx).

Megjegyzés. A fenti definicióban megköveteltük, hogy az f(x) ‘tesztfüggvények’ ne csak folytonosak, hanem korlátosak is legyenek. Ez a megszorítás szükséges ahhor, hogy mindig beszélhessünk az ∫ f(x)μ_{n}( dx) és ∫ f(x)μ( dx) integrálokról.

Valószínűségi mértékek (gyenge) konvergenciájának a definiciója, b1) definició. Legyen adva valószínűségi mértékek μ_{n}, n = 1, 2 …, sorozata egy (X, ρ) szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazain. Azt mondjuk, hogy e mértékek sorozata gyengén konvergál egy μ e szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazain definiált valószínűségi mértékhez, ha minden a metrikus téren lévő zárt F halmazra

lim sup_{n→∞} μ_{n}(F) ≤ μ(F).

Valószínűségi mértékek (gyenge) konvergenciájának a definiciója, b2) definició. Legyen adva valószínűségi mértékek μ_{n}, n = 1, 2 …, sorozata egy (X, ρ) szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazain. Azt mondjuk, hogy e mértékek sorozata gyengén konvergál egy μ e szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazain definiált valószínűségi mértékhez, ha minden a metrikus téren lévő nyílt G halmazra

lim inf_{n→∞} μ_{n}(G) ≥ μ(G).

Megjegyzés. A gyenge konvergencia a) definiciója és a korábban tanultak alapján kimondhatjuk, hogy eloszlásfüggvények F_{n} sorozata a számegyenesen akkor és csak akkor konvergál eloszlásban egy F eloszlásfüggvényhez, ha az F_{n} eloszlásfüggvények által meghatározott μ_{n} Stieltjes (valószínűségi) mértékek gyengén konvergálnak az F eloszlásfüggvény által meghatározott μ Stieltjes mértékhez.

Most kimondhatjuk az előbb szériasorozatok által definiált véletlen lineáris darabokból álló (töröttvonal) függvényeket értékként felvevő sztochasztikus folyamatok gyenge konvergenciáját a Wiener-mértékhez. Ezt a tételt az irodalomban funkcionális centrális határeloszlástételnek hívják.

Funkcionális centrális határeloszlástétel. Legyen adva egy a (B2) képletben leírt szériasorozat, amelynek tagjai teljesítik az Eξ_{k,j} = 0, Eξ_{k,j}^{2} = σ_{k,j}^{2}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤

n_{k}, lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} σ_{k,j}^{2} = 1 relációkat és a Lindebeg feltételt. Vezessük be az e szériasorozat

segítségével a (B3) formulában definiált folytonos trajektóriájú X_{k}(t) = X_{k}(t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, k = 1, 2, …, folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamatokat. Az X_{k}(t, ω) sztochasztikus folyamatok gyengén konvergálnak a Wiener mértékhez, ha k → ∞.

Felmerül a kérdés, miért érdekes a fenti eredmény. Azért, mert ez nem pusztán egy absztrakt térben megfogalmazott változata a centrális határeloszlástételnek, hanem maguknak a szériasorozatok részletösszegeinek aszimptotikus viselkedéséről is lényeges új információt tartalmaz. Annak érdekében, hogy ezt megértsük lássuk be az alábbi egyszerű lemmát, amely azt fejezi ki, hogy egy folytonos transzformáció gyengén konvergens valószínűségi mértékek sorozatát ismét valószínűségi mértékek gyengén konvergens sorozatába visz. Pontosabban megfogalmazva a következő eredmény érvényes.

Lemma gyengén konvergens valószínűségi mértékek konvergenciájáról. Legyen adva egy (X, X) szeparábilis metrikus tér (itt X a ρ metrika segítségével az X téren definiált nyílt halmazok által generált Borel σ-algebrát jelöli, és hasonlóan értelmezzük később az Y σ-algebrát egy (Y, Y) téren) és azon valószínűségi változók μ_{n} sorozata, n = 1, 2, …, amely az előbb definiált gyenge konvergencia értelmében konvergál egy μ valószínűségi mértékhez. Legyen adva ezenkívül egy másik (Y, Y) szeparábilis metrikus tér, valamint egy T folytonos transzformáció az (X, X) térből az (Y, Y) térbe. Ez a transzformáció természetes módon indukál egy transzformációt, amely minden az (X, X) téren definiált ν valószínűségi mértéknek a következő T ν valószínűségi mértéket felelteti meg az (Y, Y) téren: T ν(B) = ν({x: T x ∈ B}) minden B ∈ Y halmazra. Ekkor a T μ_{n} valószínűségi mértékek gyengén konvergálnak a T μ valószínűségi mértékhez.

A lemma bizonyítása. Alkalmazzuk a gyenge konvergencia a) definicióját. Ekkor azt kell belátni, hogy tetszőleges az (Y, Y) téren folytonos és korlátos g(y) függvényre

lim_{n→∞} ∫ g(y)T μ_{n}( dy) = ∫ g(y)T μ( dy).

Vezessük be a g(y) függvény f(x) = g(T x) ősképét. Ekkor az f(x) függvény folytonos és korlátos, és a mértékelmélet egyik fontos eredménye alapján mértéktartó transzformációk szerinti integrálokról

∫ f(x)μ( dx) = ∫ g(y)T μ( dy) és ∫ f(x)μ_{n}(dx) = ∫ g(y)T μ_{n}(dy)

minden n = 1, 2, … számra. A μ_{n} mértékek gyenge konvergenciájából és az f(x) függvény folytonosságából és korlátosságából következik, hogy lim_{n→∞} ∫ f(x)μ_{n}( dx) =

∫ f(x)μ( dx) a fenti szereposztással. A fenti összefüggésekből következik a lemma állítása.

Megjegyzés 1: Érdemes megfogalmazni a fenti lemma állítását ekvivalens módon mértékek helyett (metrikus térbeli értékeket felvevő) valószínűségi változók segítségével. Ez így szól. Legyenbadva (X, X) szeparábilis, metrikus térbeli értékeket felvevő valószínűségi változók ξ_{n}, n = 1, 2 … sorozata, amelyek eloszlásai konvergálnak egy ξ ((X, X) térbeli értékeket felvevő) valószínűségi változó eloszlásához. Legyen T az (X, X) tér egy folytonos leképezése valamely (Y, Y) szeparábilis metrikus térbe. Ekkor a T (ξ_{n}) valószínűségi változók eloszlásai eloszlásban konvergálnak a T (ξ) valószínűségi változó eloszlásához.

Megjegyzés 2: Be lehet látni, hogy igaz a fenti lemma olyan élesítése, amely szerint a Lemma általánosítása érvényben marad akkor is, ha gyengítjük azt a feltételt, hogy a T transzformáció folytonos. Elegendő csak annyit megkövetelni, hogy a T transzformáció egy valószínűséggel folytonos a μ (határ)mérték szerint. Ez az általánosítás érdekes bizonyos alkalmazásokban.

A fenti lemma számunkra abban a speciális esetben érdekes, amikor az (X, X) tér a [0, 1] intervallumon definiált folytonos függvények C([0, 1]) tere, (Y, Y) a számegyenes vagy egy véges dimenziós euklidészi tér a szokásos Borel σ-algebrával, és alkalmazunk egy T transzformációt a C([0, 1]) térből ebbe a véges dimenziós euklidészi térbe. Ekkor a funkcionális centrális határeloszlástételnek érdekes következményei vannak. Tekinthetjük például a következő példákat: T_{1}f = sup_{0≤x≤1} |f(x)|, T_{2}f = sup_{0≤x≤1} f(x), T_{3}f =

∫_{0}^{1} f^{2}(x) dx, T_{4}f = (T_{1}f, T_{2}f, T_{3}f). Ezek a transzformációk mindegyike folytonos, ezek közül az első három a számegyenesre, a negyedik a három dimenziós euklidészi térbe képez. A T_{1} transformáció alkalmazása például azt adja, hogy ha egy szériasorozat

teljesíti a funkcionális centrális határeloszlástétel feltételeit, akkor a sup_{1≤j≤n_{k}} | ∑_{p=1}^{j} ξ_{k,p}|

valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak egy a [0, 1] intervallumban definiált Wiener-folyamat szuprémumának eloszlásához. Hasonlóan lehet egy határeloszlástételt mondani T_{2}, T_{3} vagy T_{4} transzformáció alkalmazása segítségével. Vegyük észre azt is, hogy a határeloszlás csak a határfolyamattól (a Wiener-folyamattól) függ, tehát minden a funkcionális centrális határeloszlástétel feltételeit teljesítő szériasorozatra ugyanaz.

Informális módon a fenti eredmények úgy interpretálhatóak, hogy a funkcionális határeloszlástétel feltételeit teljesítő szériasorozatokból képzett részletösszegek sorozatai nagy indexre hasonlóan viselkednek, és ezt a hasonló viselkedést a Wiener-folyamat segítségével írhatjuk le.

Végül megjegyzem, hogy Brown angol biológusnak az ismertetés elején említett azon megfigyelésének a hátterében, amely miatt a Wiener-folyamatot Brown mozgásnak is hívják, szintén a funkcionális centrális határeloszlástétel van. Egy apró részecske az idő folyamán sok egymástól független apró lökést kap, és mozgása az ezen lökések hatására végzett sok kis egymástól független elmozdulás összegeként áll elő. A funkcionális centrális határeloszlástétel szerint egy ilyen pálya közelítőleg úgy viselkedik, mint egy Wiener-folyamat trajektóriája.

Kiegészítés. Megjegyzések a feladatok megoldásához.

1. feladat Egy ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{k}) vektort k-dimenziós standard normális eloszlású vektornak nevezünk, ha koordinátái független, standard normális eloszlású valószínűségi változók. Azokat a vektorokat nevezzük normális eloszlásúnak, amelynek eloszlása megegyezik egy ξA + m véletlen vektor eloszlásával, ahol ξ standard normális eloszlású vektor, A egy k ×k mátrix m egy k-dimenziós (determinisztikus) vektor. Némi számolással belátható, hogy egy ilyen vektor kovariancia mátrixa D = A^{∗}A alakú. A lineáris algebra bizonyos eredményeiből következik, hogy a D = A^{∗}A egyenletnek (rögzített D mátrixra) akkor és csak akkor van megoldása, ha D szimmetrikus pozitív (szemi)definit mátrix. (Miért?) Viszont egy ilyen egyenletnek nem csak egy A mátrix lehet a megoldása. Ennek ellenére a D kovariancia mátrix és az m várható érték mátrix meghatározza egy normális eloszlású vektor eloszlását. Ennek egy lehetséges magyarázata: Elég megmutatni, hogy a ξ normális eloszlású valószínűségi változó Ee^{i(t,ξ)} karakterisztikus függvényét meghatározza a D kovariancia mátrix és m várható érték. Másrészt be lehet látni, hogy Ee^{i(t,ξ)} = e^{−(t,Dt)/2+i(m,t)}.

2. feladat Az eloszlások megegyezéséhez a tekintett vektorok normális eloszlása és nulla várható értéke miatt elegendő a kovarianciamátrixok megegyezését ellenőrízni. A konzisztencia könnyen látható, ha megértjük, miről van szó.

3. feladat (Vázlatos indoklás) A σ-algebra csak megszámlálható sok koordiátától függő eseményeket tartalmaz. Egy függvény ismerete viszont megszámlálható sok koordinátájában nem határozza meg, hogy folytonos-e, mert a többi koordinátában el lehet rontani a folytonosságot.

4. feladat Mind a 4), mind a 4a) mind a 4b) feladat megoldása a következő állítás igazolásán alapul:

Tekintsük az (R^{[0,1]}, C^{[0,1]}) = ( ∏_{t∈[0,1]} R_{t}, ∏_{t∈[0,1]} B_{t}) szorzatteret, ahol R_{t} a szám-

egyenesnek B_{t} pedig a számegyenes σ-algebrájának egy a t számmal paraméterezett példánya. Jelölje Z az összes a [0, 1] intervallumon folytonos függvényből álló halmazt, és tekintsük az (R^{[0,1]}, C^{[0,1]}) tér Z, Z) megszorítását a Z halmazra. Ez azt jelenti, hogy vesszük a Z halmazt, és Z azokból a B halmzokból áll, amelyek előállnak B = Z ∩ A, A ∈ C^{[0,1]} alakban. Nem nehéz belátni, hogy Z a Z halmaz bizonyos részhalmazaiból álló σ-algebra. Azt állítjuk, hogy tetszőleges a C([0, 1]) térben Borel mérhető halmaz benne van a Z σ-algebrában. (Az is igaz, hogy a Z σ-algebra megegyezik a C([0, 1]) tér Borel σ-algebrával, de ennek az állításnak a második felére nem lesz szükségünk.)

Az előbbi állítás bizonyításához elég megmutatni azt, hogy a C([0, 1]) tér minden G nyílt halmazára G ∈ Z, mert ebből következik, hogy minden a nyílt halmazok által generált σ-algebrájában levő B halmazra, B ∈ Z.

Tovább lehet redukálni az állítást a következő tipusú halmazokra: Ha x = x(t) ∈ C([0, 1]), ε > 0, akkor legyen S(x, ε) = {y: y ∈ C([0, 1]), sup_{t∈[0,1]} |x(t) − y(t)| < ε}. Elég belátni, hogy minden S(x, ε) tipusú halmazra S(x, ε) ∈ Z, mert tetszőleges nyílt halmaz előállítható megszámlálható sok ilyen halmaz uniójaként. A következő meggondolás mutatja, hogy S(x, ε) ∈ Z. Jelölje Q a racionális számok halmazát a [0, 1] intervallumban. Ekkor

S(x, ε) = ⋃_{n=1}^{∞} ( ⋂_{r∈Q} \{y: y ∈ Z, |y(r) − x(r)| < (1 − \frac{1}{n}) ε\}) ∈ Z.

(Miért?)

Az, hogy az X(·, ω) folytonos trajektóriájú folyamat azt jelenti, hogy X(·, ω) ∈ Z minden ω ∈ Ω elemi eseményre. Mivel a C([0, 1]) tér minden B Borel mérhető halmaza előáll B = A ∩ Z, A ∈ C^{[0,1]} alakban, ezért {ω: X(·, ω) ∈ B} = {ω: X(·, ω) ∈ B ∩ Z} = {ω: X(·, ω) ∈ A} ∈ A, és a P (X(·, ω) ∈ A) = P (X(·, ω) ∈ B valószínűséget meghatározzák az X(·, ω) sztochasztikus folyamat véges dimenziós eloszlásai. Innen következik mind a 4a) mind a 4b) feladat állítása.

5. feladat Parciális integrálással belátható, hogy

∫_{x}^{∞} e^{−u^{2}/2} du = \frac{1}{x}e^{−x^{2}/2} − ∫_{x}^{∞} \frac{1}{u^{2}} e^{−u^{2}/2} du

= \frac{1}{x}e^{−x^{2}/2} − \frac{1}{x^{3}} e^{−x^{2}/2} + ∫_{x}^{∞} \frac{3}{u^{4}} e^{−u^{2}/2} du ,

és ebből az azonosságból levezethető a feladat állítása.