Martingálok elmélete.

Először ismertetem a martingálok és szemimartingálok definicióját.

Martingál és szemimartingál definiciója. Legyen adva σ-algebrák F_{1} ⊂ F_{2} ⊂ F_{3} ⊂ ⋯ növekvő sorozata egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, amelyre teljesül az F_{n} ⊂ A tulajdonság minden n = 1, 2, … számra. Legyen adva ezen kívül F_{n} mérhető ξ_{n}(ω), E|ξ_{n}(ω)| < ∞, valószínűségi változók sorozata. Azt mondjuk, hogy a ξ_{n}(ω), n = 1, 2, …, valószínűségi változók sorozata (diszkrét időben definiált) martingált alkot az F_{n} σ-algebra sorozatra nézve, ha teljesül az

E(ξ_{n+1}(ω)|F_{n}) = ξ_{n}(ω)  1 valószínűséggel minden n = 1, 2, … számra (D1)

azonosság. A fent definiált sorozat (diszkrét időben definiált) szemimartingált definiál, ha teljesül az

E(ξ_{n+1}(ω)|F_{n}) ≥ ξ_{n}(ω)  1 valószínűséggel minden n = 1, 2, … számra (D2)

egyenlőtlenség.

Legyen adva egymásba skatulyázott F_{t} σ-algebrák, t ≥ 0, F_{s} ⊂ F_{t}, ha s ≤ t, F_{t} ⊂ A valós számokkal indexelt rendszere egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Legyen továbbá adva F_{t} mérhető ξ_{t}(ω) valószínűségi változók rendszere, amelyre E|ξ_{t}(ω)| < ∞. Azt mondjuk, hogy a ξ_{t}(ω) valószínűségi változók időben folytonos martingált alkotnak az F_{t} σ-algebrák rendszerére nézve, ha teljesül az

E(ξ_{t}(ω)|F_{s}) = ξ_{s}(ω)  1 valószínűséggel minden 0 ≤ s ≤ t < ∞ számpárra (D1′)

azonosság. A fent definiált sorozat (folytonos időben definiált) szemimartingált alkot, ha teljesül az

E(ξ_{t}(ω)|F_{s}) ≥ ξ_{s}(ω)  1 valószínűséggel minden 0 ≤ s ≤ t < ∞ számpárra (D2′)

egyenlőtlenség.

1. megjegyzés. Hasonlóan definiálhatunk egy véges sok elemből álló (ξ_{n}, F_{n}), 1 ≤ n ≤ N, martingált vagy szemimartingált. Az egyetlen különbség az, hogy a (D1) illetve (D2) formulát csak 1 ≤ n < N indexekre követeljük meg. Hasonlóan definiálhatunk egy folytonos paraméterű martingált egy [a, b] intervallumban, a (D1′) és (D2′) tulajdonságot csak a ≤ s ≤ t ≤ b paraméterekre követelve meg.

2. megjegyzés. Ha adva van valószínűségi változók egy ξ_{1}(ω), ξ_{2}(ω), …, sorozata, akkor F_{n}^{(0)} = B(ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n}) a legszűkebb a diszkrét idejű martingálok és szemimartingálok definicójában szereplő feltételeket teljesítő σ-algebrák. Vegyük észre, hogy amennyiben a (D1) feltétel teljesül akkor az

E(ξ_{n+1}(ω)|F_{n}^{(0)}) = E (E(ξ_{n+1}(ω)|F_{n})|F_{n}^{(0)}) = E (ξ_{n}(ω)|F_{n}^{(0)}) = ξ_{n}(ω)

1 valószínűséggel minden n = 1, 2 … számra azonosság is teljesül, azaz ha a ξ_{n}(ω) sorozat martingált alkot az F_{n}, n = 1, 2, …, σ-algebra sorozatra nézve, akkor martingált alkot az F_{n}^{(0)}, n = 1, 2, …, σ-algebra sorozatra nézve is. Hasonlóan állíthatjuk, hogy ha a ξ_{n}(ω) sorozat szemimartingált alkot az F_{n} σ-algebrák sorozatára nézve, akkor szemimartingált alkot az F_{n}^{(0)} σ-algebrák sorozatára nézve is.

Folytonos idejű martingálok és szemimartingálok esetén definiálhatjuk az F_{s}^{(0)} = B(ξ_{u}, 0 ≤ u ≤ s) σ-algebrákat, és ezekkel helyettesítve a F_{s} σ-algebrákat a folytonos idejű martingálokra és szemimartingálokra is állíthatjuk, hogy az ξ_{t}(ω) sztochasztikus folyamatok martingálok illetve szemi-martingálok maradnak. Ezért jogunk van valószínűségi változók egy sorozatát diszkrét idejű martingálnak vagy szemimartingálnak hívni, ha ez a sorozat martingál, illetve szemimartingál a most definiált F_{n}^{(0)} σ-algebrák sorozatára nézve. Az irodalomban használják ezt a konvenciót, és mi is élni fogunk ezzel a lehetőséggel. Hasonlóan, egy ξ_{t}(ω) sztochasztikus folyamatot martingálnak illetve szemimartingálnak hívunk, ha az martingál illetve szemimartingál az F_{t}^{(0)}, t ≥ 0, σalgebrák rendszerére nézve.

A martingálok az igazságos, a szemimartingálok pedig az előnyös játékoknak a természetes modelljei. Tekintsünk ugyanis egy játékot, amelynek minden egyes időpontban van egy fordulója, és ennek során nyereményünk értéke (véletlenszerűen) megváltozik. Jelölje F_{n} azt a σ-algebrát, amely tartalmazza az n-időpontig összegyüjtött összes információnkat, ξ_{n}(ω) pedig legyen a nyereményünk értéke az n időpontban. Ekkor az n + 1-ik forduló utáni időpontbeli várható nyereményünk az n-ik fordulóban rendelkezésünkre álló ismeretek alapján E(ξ_{n+1}(ω)|F_{n}). A játék akkor igazságos, ha ez a várható nyeremény megegyezik az n-ik időpontbeli ξ_{n}(ω) nyereményünkkel, és akkor előnyös, ha nagyobb nála. Több a martingálok elméletében fontos eredmény ezen kép alapján érthető meg.

A következő feladatokban megfogalmazok néhány fontos példát martingálokra. A feladat állításai ellenőrízhetőek a feltételes várható érték előbb felsorolt tulajdonságainak segítségével.

1. feladat. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2} …, független valószínűségi változók, amelyekre E|ξ_{n}| < ∞ minden n = 1, 2, … számra. Ha Eξ_{n} = 0 minden n = 1, 2, …, számra, akkor az

S_{k} = ∑_{j=1}^{k} ξ_{j}, k = 1, 2, …, részletösszegek martingált alkotnak. Ha Eξ_{n} ≥ 0 minden n =

1, 2, … számra, akkor az S_{k}, k = 1, 2, …, részletösszegek szemimartingált alkotnak.

2. feladat. Legyen adva az A σ-algebra rész-σ-algebráinak növekvő F_{1} ⊂ F_{2} ⊂ F_{3} ⊂ ⋯ ⊂ A az sorozata és egy ξ valószínűségi változó, E|ξ| < ∞, egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Ekkor az (X_{n}, F_{n}), n = 1, 2, …, sorozat, ahol X_{n} = E(ξ|F_{n}), martingált alkot.

3. feladat. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, … független valószínűségi változók, T_{n} = ∏_{k=1}^{n} ξ_{k}, n =

1, 2, . . .. Ha Eξ_{j} = 1 minden j = 1, 2, … számra, akkor a T_{n}, n = 1, 2, …, sorozat martingál. Ha Eξ_{j} ≥ 1, és P (ξ_{j} ≥ 0) = 1, j = 1, 2, …, akkor T_{n} szemimartingál.

4. feladat. Legyen W (t, ω), t ≥ 0 egy Wiener-folyamat. Ekkor mind a W (t, ω), mind a W^{2}(t, ω) − t, t ≥ 0, sztochasztikus folyamat martingál. (Érdemes mind a két sztochasztikus folyamat esetében a F_{t} = B(W (s); s ≤ t), σ-algebrát társítani a W (t) illetve W^{2}(t) − t valószínűségi változóhoz.

4′. feladat. Legyen P (t, ω), t ≥ 0 egy Poisson-folyamat, λ = 1 paraméterrel. Ekkor mind a P (t, ω) − t, mind a (P (t, ω) − t)^{2} − t, t ≥ 0, sztochasztikus folyamat martingál. Általában, ha X(t, ω) egy független és stacionárius növekményű sorozat EX(t, ω) = 0 és EX^{2}(t, ω) = t, akkor X(t, ω) és X^{2}(t, ω) − t martingál.

A 4. feladat felsorolja egy Wiener-folyamat bizonyos tulajdonságait. Ezenkívül tudjuk, hogy a Wiener-folyamat trajektóriái folytonosak. Megfogalmazom a Wienerfolyamat egy korábbi jellemzésének általánosabb, martingál-tulajdonságokkal megadott jellemzését.

Tétel a Wiener-folyamatok egy jellemzéséről. Legyen X(t, ω), 0 ≤ t < ∞, olyan sztochasztikus folyamat, amelyre EX^{2}(t, ω) < ∞ minden t ≥ 0 számra, X(0, ω) = 0 egy valószínűséggel, és az X(t, ω) és X^{2}(t, ω) − t, t ≥ 0, sztochasztikus folyamatok martingálok (valamely F_{t} az F_{t}^{(0)} = {X(s, ω), s ≤ t}, t ≥ 0, σ-algebrákat tartalmazó σ-algebrák rendszerére nézve). Ha ezenkívül az X(t, ω) sztochasztikus folyamat minden trajektóriája folytonos, akkor X(t, ω) Wiener-folyamat.

A fenti tétel bizonyítását az előadásban elhagyom, azt egy kiegészítésben ismertetem. Megjegyzem, hogy a tétel bizonyításának lényege az, hogy a független valószínűségi változók összegeiről szóló centrális határeloszlástétel általánosítható martingálokra is, és ennek az itt nem ismertetett eredménynek a segítségével belátható, hogy tetszőleges 0 = t_{0} < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{k} < ∞ számokra a tétel feltételeinek teljesülése esetén az X(t_{j}, ω) − X(t_{j−1}, ω), 1 ≤ j ≤ k, valószínűségi változók függetlenek, és normális eloszlásúak 0 várható értékkel és t_{j} − t_{j−1} szórásnégyzettel.

Ismertetek néhány a martingálokról és szemimartingálokról szóló fontos eredményt. Nem adom meg mindegyikük részletes bizonyítását. Néhány esetben a bizonyítás fontos lépéseit (némi magyarázattal ellátott) feladat formájában fogalmazom meg. Viszont igyekszem elmagyarázni, hogy a bizonyítások hátterében ott van az igazságos és előnyös játékok tulajdonságairól szóló természetes gondolat. Az első eredmény azt fejezi ki, hogy egy igazságos játék esetén nem tudom a játékot úgy abbahagyni, hogy az számomra szigorúan előnyös legyen, egy előnyös játék esetén pedig a legelőnyösebb stratégia az, ha a játékban végig részt veszek. Természetesen, amikor arra gondolok, hogy milyen szabály szerint hagyjam abba a játékot, akkor olyan szabályra gondolok, amelyet effektíve végre is tudok hajtani. Ennek pontos megfogalmazása érdekében bevezetem a következő fogalmat.

Megállási szabály definiciója. Legyen adva σ-algebrák növekvő F_{1} ⊂ F_{2} ⊂ F_{3} ⊂ ⋯ ⊂ A sorozata egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Azt mondjuk, hogy egy pozitív egész értékeket (és esetleg a ∞) értéket) felvevő τ(ω) valószínűségi változó megállási szabály e σ-algebrák rendszerére nézve, ha {ω: τ(ω) = n} ∈ F_{n} minden n = 1, 2, … számra.

E fogalom időben folytonos megfelelője a következő: Legyen adva F_{t} ⊂ A, 0 ≤ t < ∞, σ-algebráknak egy növekvő rendszere (azaz legyen F_{s} ⊂ F_{t}, ha s ≤ t) egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Azt mondjuk, hogy egy nem negatív értékeket (és esetleg a ∞) értéket) felvevő τ(ω) valószínűségi változó megállási szabály e σ-algebrák rendszerére nézve, ha {ω: τ(ω) ≤ t} ∈ F_{t} minden t ≥ 0 számra.

Megadom a definició változatát abban az esetben, ha σ-algebrák helyett valószínűségi változók egy sorozata vagy egy sztochasztikus folyamat van adva.

Megállási szabály definiciója. Legyen valószínűségi változók ξ_{1}(ω), ξ_{2}(ω), … sorozata egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Egy pozitív egész értékeket (és esetleg a ∞) értéket) felvevő τ(ω) valószínűségi változó megállási szabály e valószínűségi változók sorozatára nézve, ha megállási szabály az F_{n} = B(ξ_{k}(ω), 1 ≤ k ≤ n) σ-algebrák növekvő rendszerére nézve.

E fogalom időben folytonos megfelelője a következő: Legyen adva egy X(t, ω), t ≥ 0, egy a pozitív félegyesen definiált sztochasztikus folyamat egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Azt mondjuk, hogy egy nem negatív értékeket (és esetleg a ∞) értéket) felvevő τ(ω) valószínűségi változó megállási szabály e sztochasztikus folyamatra nézve, ha megállási szabály az F_{t} = B(ξ_{s}: 0 ≤ s ≤ t), t ≥ 0, σ-algebrák növekvő rendszerére nézve.

Érdemes bevezetni a τ(ω) (véletlen) megállási időpontig összegyüjtött információt tartalmazó F_{τ} σ-algebrát is. Egy B halmaz akkor és csak akkor tartozik a F_{τ} σalgebrába, ha a τ időpontig tett megfigyelések alapján el tudjuk dönteni, hogy a B esemény bekövetkezett-e vagy sem. A pontos definició a következő.

Egy megállási szabály által generált σ-algebra definiciója. Legyen adva σalgebrák növekvő F_{1} ⊂ F_{2} ⊂ F_{3} ⊂ ⋯ ⊂ A sorozata egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, és legyen τ(ω) megállási szabály erre a rendszerre nézve. Az F_{τ} σ-algebra a következő halmazokból áll: Egy B ⊂ Ω halmazra B ∈ F_{τ} akkor és csak akkor, ha B ∩ {ω: τ(ω) ≤ n} ∈ F_{n} minden n = 1, 2, … számra.

E fogalom időben folytonos megfelelője a következő: Legyen adva σ-algebrák növekvő F_{t} ⊂ A, 0 ≤ t < ∞, rendszere (azaz legyen F_{s} ⊂ F_{t}, ha s ≤ t) egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, és legyen τ(ω) megállási szabály erre a rendszerre nézve. Az F_{τ} σ-algebra a következő halmazokból áll: B ⊂ Ω halmazra B ∈ F_{τ} akkor és csak akkor, ha B ∩ {ω: τ(ω) ≤ t} ∈ F_{t} minden t ≥ 0 számra.

Feladat 1: Lássuk be, hogy a fenti definició értelmes, azaz az F_{τ} halmaz rendszer valóban σ-algebra.

Feladat 2: Legyen adva σ-algebrák növekvő F_{1} ⊂ F_{2} ⊂ ⋯ ⊂ A sorozata egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, valamint egy τ(ω) megállási szabály erre a rendszerre nézve, és valószínűségi változók olyan ξ_{1}(ω), ξ_{2}(ω), … sorozata, amelyre a ξ_{n}(ω) valószínűségi változó F_{n} mérhető minden n = 1, 2, … számra. Mutassuk meg, hogy ξ_{τ(ω)}(ω) F_{τ} mérhető. Speciálisan, τ(ω) F_{τ} mérhető valószínűségi változó.

Feladat 3: Legyen adva σ-algebrák növekvő F_{1} ⊂ F_{2} ⊂ ⋯ ⊂ A sorozata egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, valamint két olyan τ_{1}(ω) és τ_{2}(ω) megállási szabály erre a rendszerre nézve, amelyek teljesítik a τ_{1}(ω) ≤ τ_{2}(ω) relációt minden ω ∈ Ω elemi eseményre. Mutassuk meg, hogy F_{τ_{1}(ω)} ⊂ F_{τ_{2}(ω)}. Igaz ezen állítás következő folytonos változata is. Ha F_{t}, 0 ≤ t < ∞, σ-algebrák növekvő rendszere, azaz F_{s} ⊂ F_{t}, ha 0 ≤ s < t < ∞, valamint τ_{1}(ω) és τ_{2}(ω) két olyan megállási szabály erre a σ-algebra rendszerre nézve, amelyek teljesítik a τ_{1}(ω) ≤ τ_{2}(ω) relációt minden ω ∈ Ω elemi eseményre, akkor F_{τ_{1}(ω)} ⊂ F_{τ_{2}(ω)}.

Segítség: Egy B ∈ F_{τ_{1}(ω)} eseményt írjunk B = ⋃_{k}(B ∩ {ω: τ_{1}(ω) = k}) alakban, és

mutassuk meg, hogy B ∩ {ω: τ_{1}(ω) = k} ∈ F_{τ_{2}(ω)}.

A folytonos idő esetében használjuk ki, hogy amennyiben valamely B halmazra B ∩ {ω: τ_{1}(ω) ≤ t} ∈ F_{t}, akkor B ∩ {ω: τ_{2}(ω) ≤ t} = B ∩ {ω: τ_{1}(ω) ≤ t} ∩ {ω: τ_{2}(ω) ≤ t} ∈ F_{t}.

Feladat 4: (nem kötelező) Tekintsük növekvő F_{t} σ-algebráknak a t ≥ 0 számokkal paraméterezett növekvő rendszerét, és egy ezekre nézve természetes módon adaptált X(t, ω) folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamatot. Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be egy ilyen rendszerre a feladat 2 természetes megfelelőjét. (Miért kellett feltenni azt, hogy a sztochasztikus folyamat trajektóriái folytonosak?)

Tétel véletlenül megállított (szemi)martingálok várható értékének becsléséről. Legyen adva egy (ξ_{k}(ω), F_{k}), k = 1, 2, …, martingál és egy τ(ω) megállási szabály az F_{k}, k = 1, 2, …, σ-algebrák rendszerére nézve, amelyre P (n ≤ τ(ω) ≤ N) = 1 valamilyen 1 ≤ n ≤ N < ∞ számokra. Ekkor

E(ξ_{τ(ω)}(ω)|F_{n}) = ξ_{n}(ω) és E(ξ_{N}(ω)|F_{τ(ω)}) = ξ_{τ(ω)}(ω) 1 valószínűséggel. (D3)

Speciálisan

Eξ_{n}(ω) = Eξ_{τ(ω)}(ω) = Eξ_{N}(ω) = Eξ_{1}(ω).  (D4)

Ha (ξ_{k}(ω), F_{k}), k = 1, 2, …, szemimartingál, akkor

E(ξ_{τ(ω)}(ω)|F_{n}) ≥ ξ_{n}(ω) és E(ξ_{N}(ω)|F_{τ(ω)}) ≥ ξ_{τ(ω)}(ω) 1 valószínűséggel, (D3′)

ezért

Eξ_{n}(ω) ≤ Eξ_{τ(ω)}(ω) ≤ Eξ_{N}(ω).  (D4′)

Bizonyítás. Először a (D3) és (D3′) formulák baloldalán szereplő relációkat bizonyítjuk be. Ennek érdekében vegyük észre, hogy az η_{k}(ω) = ξ_{k+1}(ω) − ξ_{k}(ω), n ≤ k < N, valószínűségi változók F_{k+1} mérhetőek, és a (ξ_{k}(ω), F_{k}), n ≤ k ≤ N, rendszer martingál volta ekvivalens azzal, hogy E(η_{k}(ω)|F_{k}) = 0, szemiszemimartingál volta pedig azzal, hogy E(η_{k}(ω)|F_{k}) ≥ 0 1 valószínűséggel minden n ≤ k < N indexre. Vezessük be az η̃_{k}(ω) = η_{k}(ω)I_{{ω: τ(ω)≥k+1}}, n ≤ k < N valószínűségi változókat. Mivel E(ξ_{τ(ω)}(ω)|F_{n}) − ξ_{n}(ω) = ∑_{k=n}^{N−1} η̃_{k}(ω), a (D3) és (D3′) formulák első részének az iga-

zolásához elég azt bebizonyítani, hogy Eη̃_{k}(ω)|F_{n}) = 0, k ≤ n < N, ha (ξ_{k}, F_{k}), n ≤ k ≤ N, martingál, és Eη̃_{k}(ω)|F_{n}) ≥ 0, n ≤ k < N, ha (ξ_{k}, F_{k}), n ≤ k ≤ N, szemimartingál. Viszont az {ω: τ(ω) ≥ k + 1} ∈ F_{k}, (mert komplementere az {ω: τ(ω) ≤ k} ∈ F_{k} halmaznak.) Ezért a feltételes várható érték tulajdonságai alapján E(η̃_{k}(ω)|F_{n}) = E(η_{k}(ω)I_{{ω: τ(ω)≥k+1}}|F_{n}) = E(I_{{ω: τ(ω)≥k+1}}E(η_{k}(ω)|F_{k}))|F_{n}). Innen E(η̃_{k}(ω)|F_{n}) = 0, ha (ξ_{k}(ω), F_{k}) martingál, azaz E(η_{k}(ω)|F_{k}) = 0. Hasonlóan, E(η̃_{k}(ω)|F_{n}) ≥ 0, ha (ξ_{k}(ω), F_{k}) szemimartingál.

A (D3) és (D3′) formulák első azonosságából megkapjuk a (D4) és (D4′) képletek első állítását, ha várható értéket veszünk mind a két oldalon.

A (D3) azonosság második relációjának a bizonyítása hasonló elven alapul. Elég belátni azt, hogy E(ξ_{N}(ω)I_{{ω: τ(ω)=k}}|F_{τ}) = ξ_{k}(ω)I_{{ω: τ(ω)=k}} tetszőleges n ≤ k ≤ N számra, mert ezt az azonosságot összegezve minden n ≤ k ≤ N számra megkapjuk a kívánt állítást. Viszont tetszőleges B ∈ F_{τ(ω)} halmazra B ∩ {ω: τ(ω) = k} ∈ F_{k}, ezért felhasználva a tekintett sorozat martingál tulajdonságát és azt a tényt, hogy az ξ_{N}(ω)I_{{ω: τ(ω)=k}} függvény nullával egyenlő az {ω: τ(ω) ≠ k} halmazon, kapjuk a következő azonosságot: Ha B ∈ F_{τ(ω)}, akkor

∫_{B} ξ_{N}(ω)I_{{ω: τ(ω)=k}}P ( dω) = ∫_{B∩{ω: τ(ω)=k}} ξ_{N}(ω)dP ( dω)
= ∫_{B∩{ω: τ(ω)=k}} ξ_{k}(ω)dP ( dω) = ∫_{B} ξ_{k}(ω)I_{{ω: τ(ω)=k}}P ( dω).

Ezenkívül az ξ_{k}(ω)I_{{ω: τ(ω)=k}} valószínűségi változó F_{τ} mérhető, mert minden x valós számra {ω: ξ_{k}(ω)I_{{ω: τ(ω)=k}} < x} ∈ F_{k}. Innen

E(ξ_{N}(ω)I_{{ω: τ(ω)=k}}|F_{τ}) = ξ_{k}(ω)I_{{ω: τ(ω)=k}},

és ezt az állítást kellett bizonyítanunk.

A (D3′) egyenlőtlenség második relációjának a bizonyítása hasonló. Mindössze azt kell észrevenni, hogy a szemimartingál tulajdonság az E(ξ_{N}(ω)I_{{ω: τ(ω)=k}}|F_{τ}) ≥ ξ_{k}(ω)I_{{ω: τ(ω)=k}} egyenlőtlenség bizonyítását teszi lehetővé tetszőleges n ≤ k ≤ N számra. Végül a (D4) és (D4′) még nem bizonyított része következik a (D3) és (D3′) relációk második felének az integrálásából.

Nem kötelező feladat: Mutassuk meg az előző tétel (D3′) állításának következő általánosítását. Ha (ξ_{k}(ω), F_{k}), k = 1, 2, …, szemimartingál, τ_{1}(ω) és τ_{2}(ω) két olyan megállási szabály az itt szereplő σ-algebrák rendszerére nézve, amelyekre P (n ≤ τ_{1}(ω) ≤ τ_{2}(ω) ≤ N) = 1, akkor ξ_{τ_{1}}(ω) ≤ E(ξ_{τ_{2}(ω)}(ω)|F_{τ_{1}}) 1 valószínűséggel.

A fenti tételben feltételeztük, hogy a τ megállási szabály 1 valószínűséggel véges. Ezt a feltételt lehet gyengíteni, de teljesen elhagyni nem lehet, mint a következő híres példa mutatja. Tegyük fel, hogy a következő játékot játszhatjuk. Feldobnak egy pénzdarabot, amely \frac{1}{2} valószínűséggel esik a fej, \frac{1}{2} valószínűséggel az írás oldalra. Feltehetünk tetszőleges tétet, és fej dobás esetén tétünk megduplázodik, írás dobás esetén pedig elvész. Tegyük fel, hogy célunk a következő: Biztosan akarunk nyerni 1 forintot. Ennek érdekében felteszünk 1 forintot, és ha nyertünk hazamegyünk. Ha nem, duplázunk, 2 forintot teszünk fel, ha nyerünk hazamegyünk, ha nem duplázunk és 4 forintot teszünk fel. Ha nyerünk hazamegyünk, ha nem duplázunk és 8 forintot teszünk fel, és így tovább. Előbb vagy utóbb 1 valószínűséggel megjelenik a fej dobás, és ilyen módon ebben az igazságos játékban 1 valószínűséggel megnyerjük a kívánt 1 forintot. Ezek szerint mégis lehet egy igazságos játékban biztosan nyerni? Beszéljük meg ezt a példát részletesebben, fogalmazzuk meg a hozzátartozó matematikai modellt.

Egy érdekes matematikai modell. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, független valószínűségi változók,

amelyekre P (ξ_{n} = 2^{n−1}) = P (ξ_{n} = −2^{n−1}) = \frac{1}{2}, n = 1, 2, …, és legyen S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}.

Ekkor S_{n}, n = 1, 2, …, martingál. Definiáljuk a következő megállási szabályt. τ(ω) = min{n: n ≥ 1, S_{n} ≥ 1}, és vezessük be a τ_{N}(ω) = min(τ(ω), N) megállási szabályokat is minden N = 1, 2, … számra. Ekkor P (τ(ω) = k) = 2^{−k}, k = 1, 2, …, (a τ(ω) = k esemény akkor következik be, ha a ξ_{n}, n = 1, 2, …, változók közül a k-ik az első pozitív értékű valószínűségi változó), ezért P (τ(ω) < ∞) = 1, és P (S_{τ} = 1) = 1. Ez felel meg az előbbi játéknak, és annak az állításnak, hogy 1 valószínűséggel 1 forintot nyerünk. Tekintsük a τ_{N} megállási szabályokat, és a hozzátartozó nyereményeket. Ekkor P (τ_{N}(ω) = k) = 2^{−k} minden 1 ≤ k < N számra, P (τ_{N} = N) = 2 · 2^{−N}, P (S_{τ_{N} (ω}(ω) = 1) = 1−2^{−N}, P (S_{τ_{N} (ω}(ω) = −(1+2+⋯ 2^{N−1}) = P (S_{τ_{N} (ω}(ω) = −(2^{N} −1)) = 2^{−N}. Ez azt jelenti, hogy ES_{τ_{N} (ω)}(ω) = 0, ahogy a fenti tétel is állítja, de ES_{τ(ω)}(ω) = 1. Igaz

ugyan, hogy lim_{n→∞} S_{τ_{N} (ω)}(ω) = S_{τ(ω)}(ω) 1 valószínűséggel, ezért E ( lim_{n→∞} S_{τ_{N} (ω)}(ω)) = E(S_{τ(ω)}(ω)). De nem lehet felcserélni a limesz és várható érték képzés sorrendjét a fenti azonosság bal oldalán. Megjegyzem, hogy a fenti példa azt mutatja, hogy valóban lehet egy ilyen játékban 1 valószínűséggel nyerni, de ehhez végtelen sok tőkével kell rendelkeznünk, ami lehetővé teszi, hogy a játékot ne kelljen idő előtt befejeznünk.

Megmutatom, hogy a fent megfogalmazott tételnek véletlenül megállított martingálok és szemimartingálok várható értékéről fontos következményei vannak. Többek között ebből következik a független valószínűségi változók részletösszegeiről szóló egyik fontos eredmény, a Kolmogorov-egyenlőtlenség. A martingálelméleti tárgyalás egyben megvilágítja ennek az eredménynek a mélyebb hátterét.

Először bebizonyítok egy becslést martingálok és szupermartingálok maximumáról.

Becslés szemimartingálok maximumáról. Legyen (ξ_{n}, F_{n}), n = 1, 2, …, szemimartingál. Ekkor

P ( max_{1≤k≤N} ξ_{k}(ω) ≥ λ) ≤ \frac{1}{λ} ∫_{\{ω: max_{1≤k≤N} ξ_{k}(ω)≥λ\}} ξ_{N}(ω)P ( dω) ≤ \frac{E|ξ_{N}(ω)|}{λ}  (D5)

minden N = 1, 2, … egész és λ > 0 valós számra.

A becslés bizonyítása. Vezessük be a τ̄(ω) = min(j: ξ_{j}(ω) ≥ λ) és τ(ω) = min(τ̄(ω), N) megállási szabályokat. Alkalmazzuk a (D3′) reláció második felét a véletlenül megállított (szemi)martingálok várható értékének becsléséről szóló tételnek n = 1 és N paraméterrel. Azt kapjuk, hogy

λP ( max_{1≤k≤N} ξ_{k}(ω) ≥ λ) ≤ ∫_{{ω: max_{1≤k≤N} ξ_{k}(ω)≥λ}} ξ_{τ(ω)}(ω)P ( dω)

≤ ∫_{{ω: max_{1≤k≤N} ξ_{k}(ω)≥λ}} E(ξ_{N}(ω)|F_{τ(ω)})P ( dω) = ∫_{{ω: max_{1≤k≤N} ξ_{k}(ω)≥λ}} ξ_{N}(ω)P ( dω),

mert {ω: max_{1≤k≤N} ξ_{k}(ω) ≥ λ} ∈ F_{τ}. Így megkaptuk a (D5) formula első egyenlőtlenségét.

A (D5) formula második egyenlőtlensége nyílvánvaló.

A Kolmogorov-egyenlőtlenség egyszerűen bizonyítható az előző becslés és a következő lemma segítségével.

Lemma. Legyen adva egy F ⊂ A σ-algebra és egy az Eξ^{2} < ∞ feltételt teljesítő ξ valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Ekkor teljesül a

E(ξ^{2}|F) ≥ (Eξ|F))^{2} 1 valószínűséggel.

egyenlőtlenség. Ebből az egyenlőtlenségből következik, hogy amennyiben (ξ_{n}, F_{n}), n = 1, 2, …, martingál, és Eξ_{n}^{2} < ∞ minden n = 1, 2, … számra, akkor (ξ_{n}^{2}, F_{n}), n = 1, 2, …, szemimartingál.

A lemma bizonyítása. Azt állítom, hogy E(ξ^{2}|F) − (Eξ|F))^{2} = E(ξ − E(ξ|F))^{2}|F), ahonnan E(ξ^{2}|F) − (Eξ|F))^{2} ≥ 0, tehát a lemma egyenlőtlensége igaz. Az előző azonosság következik az E((ξ−E(ξ|F))^{2}|F) = E(ξ^{2}|F)−2E(ξE(ξ|F)|F)+(E(ξ|F))^{2} = E(ξ^{2}|F) − (E(ξ|F))^{2}, mert E(ξE(ξ|F)|F) = (E(ξ|F))^{2} számolásból.

Ezért, ha (ξ_{n}, F_{n}), n = 1, 2, …, martingál, Eξ_{n}^{2} < ∞ minden n = 1, 2, … számra, akkor E(ξ_{n+1}^{2}|F_{n}) ≥ (E(ξ_{n+1}|F_{n}))^{2} = ξ_{n}^{2}(ω), n = 1, 2, …, és ezt kellett bizonyítanunk.

Megjegyzés: Az előző lemma bizonyításában használt azonosság hátterében az a jól ismert tény áll, hogy az E(ξ|F) feltételes várható érték a ξ valószínűségi változó ortogonális vetülete az F σ-algebrára, ezért alkalmazhatjuk a Pythogorász tételt a megfelelő valószínűségi változókra. Az így kapott az ξ(ω)^{2} = (ξ(ω) − E(ξ(ω)|F)^{2} + E(ξ(ω)|F)^{2} azonosság két oldalának az F σ-algebra szerinti feltételes várható értékét véve megkapjuk a lemma bizonyításában felírt azonosságot.

A fenti eredmények egyszerű következménye a Kolmogorov-egyenlőtlenség.

Kolmogorov-egyenlőtlenség. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{N} független valószínűségi változók, amelyekre Eξ_{n} = 0, σ_{n}^{2} = Eξ_{n}^{2} < ∞ minden 1 ≤ n ≤ N számra. Vezessük be az S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}, 1 ≤ n ≤ N, részletösszegeket. Érvényes a

P ( max_{1≤n≤N} |S_{n}| > x) ≤ \frac{Var S_{N}}{x^{2}} = \frac{∑_{n=1}^{N} σ_{n}^{2}}{x^{2}} minden x > 0 számra

reláció, amelyet Kolmogorov-egyenlőtlenségnek hívnak.

Bizonyítás. Az S_{n}(ω), n = 1, …, N, sorozat martingált, ezért az előző lemma alapján az S_{n}^{2}(ω), n = 1, …, N, sorozat szemimartingált alkot. Alkalmazva erre a szemimartingálok maximumáról szóló becslést kapjuk, hogy

P ( max_{1≤n≤N} |S_{n}| > x) = P ( max_{1≤n≤N} S_{n}^{2} > x^{2}) ≤ \frac{ES_{N}^{2}}{x^{2}} = \frac{Var S_{n}}{x^{2}} = \frac{∑_{n=1}^{N} σ_{n}^{2}}{x^{2}} ,

amint állítottuk.

1. megjegyzés. Érdemes megjegyezni, hogy a Kolmogorov-egyenlőtlenség ugyanazt a

becslést adja a P ( max_{1≤n≤N} |S_{n}| > x) valószínűségre, mint amit a Csebisev-egyenlőt-

lenség ad a P (|S_{N}| > x) valószínűségre. Ez az eredmény olyan tényt fejez ki, hogy független, nulla várható értékű valószínűségi változók részletösszegeinek a maximuma nem sokkal nagyobb, mint az utolsó részletösszeg. Több ilyen jellegű eredmény van a valószínűségszámításban, (lásd például a következő 2. megjegyzést). A Kolmogorovegyenlőtlenség hasznos például a nagy számok erős törvényének a bizonyításában. Ha a nagy számok törvényét a lehető legáltalánosabb feltételek mellett akarjuk bizonyítani, akkor minél enyhébb momentum feltételek mellett kell jó becslést adni független valószínűségi változók részletösszegeinek a maximumára. Ilyenkor a Kolmogorov-egyenlőt-lenség tesz jó szolgálatot.

A Kolmogorov-egyenlőtlenség bizonyításában szereplő lemmának érvényes a következő általánosítása.

Lemma martingálok konvex függvényeiről. Legyen adva egy ξ(ω) valószínűségi változó és egy Φ(x), −∞ < x < ∞, konvex függvény, amelyekre teljesülnek az E|ξ(ω)| < ∞ és E|Φ(ξ(ω)| < ∞ feltételek egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, és egy F ⊂ A σalgebra. Ekkor teljesül az

E(Φ(ξ(ω)|F)) ≥ Φ (E(ξ(ω)|F)) 1 valószínűséggel

egyenlőtlenség. Ezért, ha (ξ_{n}, F_{n}), n = 1, 2, …, martingál, Φ(x) konvex függvény, és E|Φ(ξ_{n})| < ∞ minden n = 1, 2, … számra, akkor (Φ(ξ_{n}), F_{n}), n = 1, 2, …, szemimartingál.

A lemma indoklása. A Jensen egyenlőtlenség alapján tudjuk, hogy a ξ valószínűségi változóra érvényes az

EΦ(ξ(ω)) = ∫ Φ(x)F ( dx) ≥ Φ (∫ xF ( dx)) = Φ (E(ξ(ω)))

egyenőtlenség, ahol F (x) jelöli a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. Tudván, hogy létezik a ξ valószínűségi változó F (B, ω), feltételes eloszlása F σ-algebrára nézve, ahol ω ∈ Ω, és B a számegyenes Borel mérhető részhalmaza, és azt, hogy hogyan lehet a feltételes várható értéket a feltételes eloszlás segítségével kiszámítani, kapjuk, ismét a Jensen egyenlőtlenség segítségével, hogy

EΦ(ξ(ω)|F) = ∫ Φ(x)F ( dx, ω) ≥ Φ (∫ xF ( dx, ω)) = Φ (E(ξ(ω)|F)

1 valószínűséggel,

ahol F (·, ω) jelöli a ξ valószínűségi változó feltételes eloszlását feltéve a F σ-algebrát. Ennek az egyenlőtlenségnek a segítségével belátható, hogy (Φ(ξ_{n}), F_{n}) n = 1, 2, …, szemimartingál az adott feltételek mellett.

Feladat. Lássuk be elemi módszerekkel (a feltételes eloszlás létezéséről szóló eredmény ismerete nélkül), hogy |E(ξ(ω)|F)| ≤ E(|ξ(ω)| |F) és (E(ξ(ω)|F))^{+} ≤ E(ξ(ω)^{+}|F), ahol x^{+} = max(x, 0). Mutassuk meg, hogy ha (ξ_{n}(ω), F_{n}) martingál, akkor (|ξ_{n}(ω)|, F_{n}) és (ξ_{n}^{+}(ω), F_{n}), n = 1, 2, …, szemimartingál.

Felhasználva a martingálok konvex függvényeiről szóló lemmát az Φ(x) = |x|^{α}, 1 ≤ α < ∞ konvex függvényekkel valamint a (D5) formula első egyenlőtlenségét be lehet látni az alábbi eredményt, amelynek bizonyítását elhagyom. Magát az eredményt is inkább az érdekesség kedvéért említem.

Tétel martingálok maximumának a momentumairól. Legyen (ξ_{n}, F_{n}), 1 ≤ n ≤ N martingál. Ekkor

E ( max_{1≤n≤N} |ξ_{n}|)^{α} ≤ (\frac{α}{α − 1})^{α} E|ξ_{N}|^{α} ha α > 1,

és

E ( max_{1≤n≤N} |ξ_{n}|) ≤ \frac{e}{e − 1} + \frac{e}{e − 1}E|ξ_{N}| log^{+} |ξ_{N}|

az α = 1 esetben, ahol log^{+} x = max(log x, 0).

2. megjegyzés. Az előző eredmény azt jelenti, hogy egy martingálnak (például nulla várható értékű valószínűségi változók részletösszegeinek) az abszolut értékét, akkor az így kapott sorozat maximumának a momentumai csak konstans számszor nagyobbak, mint az utolsó tag maximuma. Ez az egyenlőtlenség is olyan tényt fejez ki, hogy egy martingál maximuma nem sokkal nagyobb, mint az utolsó tagja. Érdemes megjegyezni, hogy az α = 1 eset kissé “kilóg a sorból”. Itt a felső becslés kissé gyengébb, mert az egy E|ξ_{N}| log^{+} |ξ_{N}| alakú tagot is tartalmaz, azaz egy logaritmikus faktor is megjelenik. Megmutatták, hogy ez a tag nem hagyható el a becslésből.

Konvergencia tételek martingálokra.

Fontos eredmények érvényesek martingálok 1 valószínűségi konvergenciájáról. Itt csak a legfontosabb eredményt ismertetem. Ezenkívül megmutatom ennek az eredménynek egy érdekes alkalmazását, amely lehetővé teszi bizonyos esetekben a Radon–Nikodym derivált többé-kevésbé explicit kiszámolását. Ezeknek az eredményeknek a bizonyításában is azt használjuk ki, hogy a martingálok az igazságos, a szemimartingálok pedig az előnyös játékok modelljei.

Tétel martingálok 1 valószínűségi konvergenciájáról. Legyen (ξ_{n}(ω), F_{n}), n = 1, 2, …, martingál egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Ekkor az E|ξ_{n}(ω)|, n = 1, 2, …, sorozat monoton növekszik. Ha ez a sorozat korlátos, azaz létezik olyan K > 0 szám, amelyre E|ξ_{n}(ω)| ≤ K minden n = 1, 2, … számra, akkor létezik 1 valószínűséggel a ξ_{∞}(ω) = lim_{n→∞} ξ_{n}(ω) határérték. Ezenkívül érvényes az E|ξ_{∞}(ω)| ≤ K egyenlőtlenség is ugyanazzal a K > 0 konstanssal.

A tétel bizonyítása. Abból, hogy (ξ_{n}(ω), F_{n}) martingál következik, hogy az (|ξ_{n}(ω)|, F_{n}) sorozat n = 1, 2, …, szemimartingál. Ezért az E|ξ_{n}(ω)| sorozat monoton növekszik, amint azt a tételben állítjuk. Az, hogy a ξ_{n}(ω), n = 1, 2, …, sorozat 1 valószínűséggel konvergál ekvivalens azzal a ténnyel, hogy nulla annak a valószínűsége, hogy az ξ_{n}(ω), n = 1, 2, …, sorozat limesz szuperiora szigorúan nagyobb, mint annak limesz inferiora. Ezért annak érdekében, hogy megmutassuk azt, hogy a ξ_{n}(ω) sorozat 1 valószínűséggel konvergál, elég megmutatni, hogy

P (lim inf_{n→∞} ξ_{n}(ω) ≤ r_{1} < r_{2} ≤ lim sup_{n→∞} ξ_{n}(ω)) = 0

minden (r_{1}, r_{2}), r_{1} < r_{2}, racionális számpárra. Ezt meg tudjuk mutatni úgy, hogy definiáljuk természetes módon azt, hogy az (ξ_{n}(ω), n), n = 1, 2, …, pontokon keresztülmenő (véletlen) töröttvonal függvény hányszor metszi át az [r_{1}, r_{2}] × [1, ∞] sávot, és bebizonyítjuk, hogy ez a metszésszám 1 valószínűséggel véges.

Rögzítsünk valamilyen 1 ≤ N < ∞ számot és az 1 ≤ n ≤ N időintervallumban történt átmetszések számának definiciója érdekében vezessük be a következő ζ_{k}(ω), k = 1, 2, … (véletlen) időpontokat:

ζ_{1}(ω) = min{k : 1 ≤ k ≤ N, ξ_{k}(ω) ≤ r_{1}}, ha létezik ilyen k index, ζ_{2}(ω) = min{k : ζ_{1}(ω) ≤ k ≤ N, ξ_{k}(ω) ≥ r_{2}}, ha létezik ilyen k index. A további ζ_{j}(ω), j = 3, 4, … időpontokat hasonlóan definiáljuk (amíg ez lehetséges). Ha j páros szám, akkor legyen ζ_{j+1}(ω) = min{k : ζ_{j}(ω) ≤ k ≤ N, ξ_{k}(ω) ≤ r_{1}}, ha létezik ilyen k index. Ha j páratlan szám, legyen ζ_{j+1}(ω) = min{k : ζ_{j}(ω) ≤ k ≤ N, ξ_{k}(ω) ≥ r_{2}}. Legyen β_{N}(ω) a legnagyobb olyan j index, amelyet ily módon definiálni tudtunk, és ezután definiáljuk a ζ_{β_{N} (ω)+1} valószínűségi változót (véletlen index-szel) a ζ_{β_{N} (ω)+1} = N képlet segítségével. Vegyük észre, hogy {ω: ζ_{j}(ω) = n} ∈ F_{n} tetszőleges j = 1, 2, …, 1 ≤ n ≤ N számokra.

Itt ζ_{j}(ω)-t tekinthetjük olyan valószínűségi változónak, amely nincs értelmezve az egész (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, vagy azt mondjuk, hogy ζ_{j}(ω) = N + 1 azokon az ω ∈ Ω helyeken, ahol eddig nem definiáltuk őt. Be lehet látni, hogy a β_{N}(ω) valószínűségi becslés várható értéke teljesíti a következő egyenlőtlenséget.

Becslés annak várható értékéről, hogy egy martingál hányszor metsz át egy intervallumot. Legyen (ξ_{n}(ω), F_{n}), n = 1, 2, …, martingál egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Rögzítsünk egy N, N ≥ 1 egész, és két r_{1}, r_{2}, r_{1} < r_{2}, valós számot, és tekintsük az általuk az előző bekezdésben definiált β_{N}(ω) valószínűségi változót. Ez teljesíti az

\frac{Eβ_{N}(ω) − 1}{2}(r_{2} − r_{1}) ≤ E(ξ_{N}(ω) − r_{1})^{+} ≤ E|ξ_{N}(ω)| + |r_{1}|.  (D6)

egyenlőtlenséget, ahol x^{+} = max(x, 0).

A becslés bizonyítása. Vezessük be a ξ̄_{n}(ω) = (ξ_{n}(ω) − r_{1})^{+} és η_{n}(ω) = ξ̄_{n+1}(ω) − ξ̄_{n}(ω), n = 1, 2, …, valószínűségi változókat. Ekkor (ξ̄_{n}(ω), F_{n}), n = 1, 2, …, szemimartingál, és E(η_{n}(ω)|F_{n}) ≥ 0 1 valószínűséggel minden n = 1, 2, … számra. Tekintsük a [ζ_{2j−1}(ω), ζ_{2j})(ω) − 1], 1 ≤ j ≤ \frac{β_{N} (ω)}{2} (véletlen, és véletlen számú) intervallumok

rendszerét, valamint az A(ω) = \{1, …, N − 1\} \ ( ⋃_{j=1}^{[ \frac{β_{N} (ω)+1}{2} ]}[ζ_{2j−1}(ω), ζ_{2j}(ω) − 1]) vé-

letlen halmazt és a Z_{n}(ω) = ∑_{j=1}^{[ \frac{β_{N} (ω)+1}{2} ]}(ξ̄_{ζ_{2j}(ω)}(ω) − ξ̄_{ζ_{2j−1}(ω)}(ω)) valószínűségi változót,

ahol [x] egy szám egész részét jelöli. Ekkor (r_{2} −r_{1})\frac{β_{N} (ω)−1}{2} ≤ Z_{N}(ω) 1 valószínűséggel, mert (ξ̄_{ζ_{2j}(ω)}(ω) − ξ̄_{ζ_{2j−1}(ω)}(ω)) ≥ (r_{2} − r_{1}), ha 2j ≤ β_{n}(ω), és a 2j = β_{N}(ω) + 1 esetben (ξ̄_{ζ_{2j}(ω)}(ω)−ξ̄_{ζ_{2j−1}(ω)}(ω)) ≥ 0. A most bebizonyított egyenlőtlenségből következik, hogy

(r_{2} − r_{1})\frac{Eβ_{N}(ω) − 1}{2} ≤ EZ_{N}(ω).

Másrészt azt állítom, hogy

EZ_{N}(ω) ≤ E(ξ_{N}(ω) − r_{1})^{+} − E(ξ_{1}(ω) − r_{1})^{+} ≤ E(ξ_{N}(ω) − r_{1})^{+}.

A fenti két egyenlőtlenségből következik a (D6) egyenlőtlenség első fele. Az utoljára felírt egyenlőtlenség pedig azért igaz, mert E(ξ_{N}(ω) − r_{1})^{+} − E(ξ_{1}(ω) − r_{1})^{+} − EZ_{N}(ω) =

∑_{n=1}^{N−1} Eη_{n}I_{{ω: n∈A(ω)}}, és mivel {ω: n ∈ A(ω)} ∈ F_{n}, ezért Eη_{n}I_{{ω: n∈A(ω)}} ≥ 0 minden

1 ≤ n ≤ N − 1 számra.

A (D6) formula második egyenlőtlensége nyílvánvaló.

A tétel bizonyítását egyszerűen befejezhetjük az előző becslés segítségével. Mivel β_{N}(ω), N = 1, 2, …, monoton növekvő függvénysorozat, β_{N}(ω) ≥ 0 minden N = 1, 2, … számra és ω ∈ Ω pontban, alkalmazhatjuk a Beppo–Levy tételt monoton függvény sorozat határértékének integráljáról. A Beppo–Levy tételből és a (D6) becslésből következik, hogy E ( lim_{N→∞} β_{N}(ω)) = lim_{N→∞} Eβ_{N}(ω) < ∞, ahonnan kapjuk, hogy

P ( lim_{N→∞} β_{N}(ω) < ∞) = 1. Innen következik a fent elmondottak alapján, hogy a

ξ_{n}(ω) sorozat 1 valószínűséggel konvergál egy ξ_{∞}(ω) valószínűségi változóhoz. A Fatou lemmából következik, hogy E|ξ_{∞}(ω)| ≤ lim_{n→∞} E|ξ_{n}(ω)| ≤ K. A Tétel bizonyítását befejeztük.

Megjegyzés. Szeretnénk bizonyos esetekben tudni, hogy a ξ_{n}(ω) martingál nem csak 1 valószínűséggel konvergál a ξ_{∞}(ω) valószínűségi változóhoz, hanem L_{1} normában is, azaz lim_{n→∞} E|ξ_{n}(ω) − ξ_{∞}(ω)| = 0. Ez a reláció nem feltétlenül érvényes a martingálok 1 valószínűségi konvergenciájáról szóló tétel feltételeinek teljesülése esetén. Ellenpéldát kaphatunk például azon példa módosításával, amelyben megmutattuk, hogyan lehet igazságos játékban 1 valószínűséggel nyerni.

Legyenek X_{n}(ω), n = 1, 2 …, független valószínűségi változók, P (X_{n}(ω) = 2^{n−1})=

P (X_{n}(ω) = −2^{n−1}) = \frac{1}{2}. Definiáljuk az S_{n}(ω) = ∑_{j=1}^{n} X_{j}(ω) részletösszegeket és a

τ(ω) = min{k: S_{k}(ω) ≥ 1}, τ_{n}(ω) = min(n, τ(ω)), n = 1, 2, …, megállási szabályokat. Vezessük be az ξ_{n}(ω) = S_{τ_{n}(ω)}, n = 1, 2, …, valószínűségi változókat. Ekkor ξ_{n}(ω), n = 1, 2, …, martingál, és E|ξ_{n}(ω)| = 2 − 2^{−n}, n = 1, 2, . . .. Ez azt jelenti, hogy erre a martingálra is alkalmazható a martingálok 1 valószínűségi konvergenciájáról szóló tétel. Közvetlenül is látható, hogy lim_{n→∞} ξ_{n}(ω) = 1, azaz a martingál sorozat 1 valószínűséggel konvergál 1-hez, míg Eξ_{n}(ω) = 0. Tehát ez a martingál 1 valószínűséggel konvergál 1-hez, és L_{1} normában nem konvergál oda.

A következő eredmény a martingálok 1 valószínűségi konvergenciájáról szóló tétel egyik érdekes következménye, amely segíthet a Radon–Nikodym derivált kiszámításában bizonyos esetekben.

Tétel. Legyen adva egy ξ(ω), E|ξ(ω)| < ∞, valószínűségi változó és F_{1} ⊂ F_{2} ⊂ ⋯ ⊂ A σ-algebrák növekvő sorozata egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Jelölje F_{∞} a F_{n}, n = 1, 2, … σ-algebrák által generált σ-algebrát. A

lim_{n→∞} E(ξ(ω)|F_{n}) = E(ξ(ω)|F_{∞})

konvergencia teljesül 1 valószínűséggel és L_{1} normában is.

A tétel bizonyítása. A (ξ_{n}(ω), F_{n}), ξ_{n}(ω) = E(ξ(ω)|F_{n}), n = 1, 2, …, sorozat martingál, és E|ξ_{n}(ω)| ≤ E|ξ(ω)|, ezért alkalmazható rá a martingálok 1 valószínűségi konvergenciájáról szóló tétel. Innen következik, hogy létezik a ξ_{∞}(ω) = lim_{n→∞} ξ_{n}(ω) határérték 1 valószínűséggel alkalmas ξ_{∞}(ω) valószínűségi változóval, de be kell bizonyítani, hogy ξ_{∞}(ω) = E(ξ(ω)|F_{∞}). Ez ekvivalens azzal az állítással, hogy

∫_{B} ξ_{∞}(ω)P ( dω) = ∫_{B} ξ(ω)P ( dω) = ∫_{B} E(ξ|F_{n})(ω)P ( dω)

minden B ∈ F_{n} halmazra és n = 1, 2, … számra. Ezért elég belátni, hogy

lim_{n→∞} E|E(ξ|F_{n}) − ξ_{∞}(ω)| → 0,

azaz a ξ_{n}(ω), n = 1, 2, …, sorozat nem csak majdnem mindenütt, hanem L_{1} normában is konvergál a ξ_{∞}(ω) valószínűségi változóhoz. Ehhez az analízis általános eredményei alapján elegendő belátni, hogy a ξ_{n}(ω), n = 1, 2, …, valószínűségi változók egyenletesen integrálhatóak, azaz minden ε > 0 számhoz létezik olyan K = K(ε) szám, hogy ∫_{{ω: |ξ_{n}(ω)|≥K}} |ξ_{n}(ω)|P ( dω) ≤ ε minden n = 1, 2, … indexre. Viszont

∫_{{ω: |ξ_{n}(ω)|≥K}} |ξ_{n}(ω)|P ( dω) ≤ ∫_{{ω: |ξ_{n}(ω)|≥K}} |ξ(ω)|P ( dω),

és minden ε > 0 számhoz létezik olyan δ = δ(ε) > 0 szám, hogy ∫_{B} |ξ(ω)|P ( dω) < ε, ha P (B) ≤ δ. Másrészt, P (ω: |ξ_{n}(ω)| ≥ K) ≤ \frac{E|ξ_{n}(ω)|}{K} ≤ \frac{E|ξ(ω)|}{K} ≤ δ, ha K ≥ K_{0}(δ) alkalmas K_{0}(δ) > 0 számra. A fenti becslésekből következik a Tétel állítása.

Következmény: Legyen adva egy (X, X) mérhető téren egy μ valószínűségi mérték és egy ν, a μ valószínűségi mértékre nézve abszolut folytonos előjeles mérték, amelynek mind a pozitív mind a negatív része véges. Tekintsük az X tér olyan egyre finomodó {A_{1}^{(n)}, …, A_{k_{n}}^{(n)}} particióit, n = 1, 2, …, A_{j}^{(n)} ∈ X, 1 ≤ j ≤ k_{n}, amelyek egyesítése

generálja a X σ-algebrát, és definiáljuk az f_{n}(x) = \frac{ν(A_{j}^{(n)})}{μ(A_{j}^{(n)})}, ha x ∈ A_{j}^{(n)} függvényeket.

Az f_{n}(·) függvények μ majdnem mindenütt konvergálnak a \frac{dν}{dμ}(x) Radon–Nikodym deriválthoz.

Bizonyítás: Tekintsük az (X, X , μ) teret, mint valószínűségi mezőt, vezessük be rajta azokat az F_{n}, n = 1, 2, …, σ-algebrákat, amelyek atomjai az {A_{1}^{(n)}, …, A_{k_{n}}^{(n)}} partició elemei, és legyen f(x) = \frac{dν}{dμ}(x), x ∈ X. Ekkor a Következményben megfogalmazott feltételek teljesülés esetén Ef(x) < ∞, f_{n}(x) = E(f(x)|F_{n}), és az F_{n} növekvő σ-algebra sorozat generálja a X σ-algebrát. Ezért az előző tétel szerint f_{n}(x) egy valószínűséggel konvergál az f(x) függvényhez, és ezt kellett belátnunk.

A fenti eredménynek érvényes a következő általánosítása, amely szintén hasznos biznyos alkalmazásokban.

A következmény általánosítása: Legyen adva egy (X, X) mérhető téren egy μ valószínűségi mérték és egy ν, a μ valószínűségi mértékre nézve abszolut folytonos előjeles mérték, amelynek mind a pozitív, mind a negatív része véges. Tekintsük az X téren F_{1} ⊂ F_{2} ⊂ ⋯ σ-algebrák olyan növekvő sorozatát, amelyek egyesítése generálja a X σ-algebrát. Vezessük be az f_{n}(x) = \frac{dν}{dμ} |_{F_{n}}(x), x ∈ X, n = 1, 2, …, valószínűségi

változókat, amelyek a μ mérték Radon–Nikodym deriváltjával egyenlőek, ha mind a μ mind a ν mértéket megszorítjuk a F_{n} σ-algebrára. Az f_{n}(x), n = 1, 2, …, függvények μ majdnem minden pontban és L_{1}(μ) normában is konvergálnak a \frac{dν}{dμ}(x) Radon–Nikodym deriválthoz az (X, X) téren.

Megfordítva, ha nem tudjuk, hogy a ν mérték abszolut folytonos-e a μ mértékre nézve az (X, X) téren, de tudjuk, hogy az f_{n}(x) függvények L_{1}(μ) normában konverálnak egy f_{∞}(x) függvényhez, akkor állíthatjuk azt, hogy a ν mérték abszolut folytonos az (X, X) téren a μ mértékre nézve, és \frac{dν}{dμ}(x) = f_{∞}(x).

Indoklás: Az szorul még magyarázatra, hogy abból, hogy az f_{n}(x) függvények L_{1}(μ) normában konvergálnak egy f_{∞} függvényhez miért következik a ν mérték abszolut folytonossága a μ mértékre nézve az (X, X) téren f_{∞}(x), x ∈ X, Radon–Nikodym deriválttal. Viszont az adott feltételek mellett felírhatjuk, hogy

ν(A) = lim_{n→∞} ∫_{A} f_{n}(x)μ( dx) = ∫_{A} f_{∞}(x)μ( dx)

minden A ∈ ⋃_{n=1}^{∞} F_{n} halmazra. Viszont a mértékek kiterjesztésének egyértelműsége miatt

(egy algebráról egy σ-algebrára) következik, hogy a ν(A) = ∫_{A} f_{∞}(x)μ( dx) azonosság érvényes minden A ∈ X halmazra, és ezt kellett bizonyítanunk.

Feladat: Legyenek ξ_{1}(ω), ξ_{2}(ω), …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók, amelyeknek létezik várható értékük. Legyen τ(ω) egy megállási szabály a F_{n} = B(ξ_{1}, …, ξ_{n}), n = 1, 2, …, σ-algebrák sorozatára nézve. Tegyük fel továbbá, hogy létezik olyan N egész szám, amelyre P (τ(ω) ≤ N) = 1. Vezessük be az S_{n}(ω) =

∑_{k=1}^{n} ξ_{k}(ω), n = 1, 2, …, jelölést. Mutassuk meg, hogy ES_{τ(ω)}(ω) = Eτ(ω)Eξ_{1}(ω). Igaz

ennek az állításnak a következő némileg élesebb formája is. Ha Eτ < ∞, (azaz τ nem feltétlenül véges, csak véges várható értékű valószínűségi változó, akkor ES_{τ(ω)} = Eτ(ω)Eξ_{1}(ω).

Ha Eξ_{1}(ω) = 0, Eξ_{1}^{2}(ω)) < ∞ és P (τ(ω) ≤ N) = 1 valamely véges N számmal akkor ES_{τ(ω)}^{2}(ω) = Eτ(ω)Eξ_{1}^{2}(ω). (A fenti eredményeket hívják Wald azonosságnak az irodalomban.)

Megoldás: Vegyük észre, hogy az S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} − nEξ_{1}, n = 1, 2, … sorozat martingált

alkot. Ezért, ha P (τ ≤ N) = 1 valamely véges N számra, akkor E(S_{τ} − τEξ_{1}) = E(S_{1} − Eξ_{1}) = 0, azaz ES_{τ} = EτEξ_{1}. Azt az esetet, ha csak annyit teszünk fel a τ megállási szabályról, hogy Eτ < ∞ a következő módon vezethetjük vissza erre

az esetre. Legyen ξ_{k}^{+} = max(ξ_{k}, 0), ξ_{k}^{−} = min(ξ_{k}, 0), S_{n}^{+} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}^{+}, S_{n}^{−} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}^{−} és

τ_{N} = min(τ, N). Elég belátni, hogy ES_{τ}^{+} = Eξ_{1}^{+}Eτ, és ES_{τ}^{−} = Eξ_{1}^{−}Eτ. Viszont ES_{τ_{N}}^{+} = Eξ_{1}^{+}Eτ_{N} tetszőleges N egész számra, és az S_{τ_{N}}^{+} és τ_{N} valószínűségi változók sorozatai 1 valószínűséggel monoton nőnek. Ezért a Beppo–Levy tétel alapján ES_{τ}^{+} =

lim_{n→∞} ES_{τ_{N}}^{+} , és Eτ = E lim_{N→∞} Eτ_{N}. Innen ES_{τ}^{+} = Eξ_{1}^{+}Eτ. Az ES_{τ}^{−} = Eξ_{1}^{−}Eτ azonosság

hasonlóan látható.

Ha Eξ_{1} = 0, akkor az S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} részletösszegekkel az (S_{n}^{2} − nEξ_{1}^{2}, F_{n}), n = 1, 2, …, sorozat martingált alkot, mert

E(S_{n+1}^{2} − (n + 1)Eξ_{1}^{2})|F_{n}) = E((S_{n} + ξ_{n+1})^{2}|F_{n}) − (n + 1)Eξ_{1}^{2}
= S_{n}^{2} + 2S_{n}E(ξ_{n+1}|F_{n}) + Eξ_{n+1}^{2} − (n + 1)Eξ_{1}^{2} = S_{n}^{2} − nEξ_{1}^{2}.

Innen ES_{τ}^{2} − EτEξ_{1}^{2} = 0, ha P (τ ≤ N) = 1 valamely egész N számra.

Feladat: Legyen S_{1}(ω), S_{2}(ω), …, a nulla pontból kiinduló bolyongás az egész számokon, azaz legyenek az S_{n+1}(ω) − S_{n}(ω) valószínűségi változók függetlenek, és vegyenek fel +1 vagy −1 értéket, mind a kettőt \frac{1}{2} valószínűséggel. Rögzítsünk egy a > 0 pozitív és egy b < 0 negatív egész számot. Jelölje τ_{a,b}(ω) azt a véletlen időpontot, amikor a bolyongás először eléri az a vagy b pontot. Lássuk be (az előző feladat eredményének a segítségével), hogy annak a valószínűsége, hogy először az a pontot látogatja meg a bolyongás \frac{a}{a+|b|}, annak, hogy a b pontot \frac{|b|}{a+|b|}. Továbbá Eτ_{a,b} = a|b|. Jelölje τ_{a}(ω) azt a véletlen időpontot, amikor a bolyongás először meglátogatja az a > 0 pontot. Lássuk be, hogy P (τ_{a}(ω) < ∞) = 1, de Eτ_{a}(ω) = ∞.

Segítség: Vegyük észre, hogy S_{τ_{N,(a,b)}(ω)}(ω), és S_{τ_{N,(a,b)}(ω)}^{2}(ω)−τ_{N,(a,b)}(ω), N = 1, 2, …, martingálok, ahol τ_{N,(a,b)}(ω) = min(N, τ_{a,b}(ω)). Ennek segítségével belátható, hogy ES_{τ_{a,b}(ω)}(ω) = 0, és

Eτ_{a,b}(ω) = ES_{τ_{a,b}(ω)}^{2}(ω) = a^{2}P (P (τ_{a,b}(ω) = a) + b^{2}P (τ_{a,b}(ω) = −b).

Továbbá P (τ_{a}(ω) < ∞) = lim_{b→−∞} P (τ_{a,b}(ω) < ∞) = 1, és Eτ_{a}(ω) = lim_{b→−∞} Eτ_{a,b}(ω) = ∞.

Feladat: Legyen W (t, ω), t ≥ 0, Wiener-folyamat a félegyenesen. Lássuk be, hogy a Z(t, ω) = e^{W (t,ω)−t^{2}/2}, t ≥ 0, sztochasztikus folyamat martingál.

Feladat: Legyen W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener-folyamat a [0, 1] intervallumon. Vegyük a [0, 1] intervallum egyre finomodó 0 = t_{1}^{(n)} < t_{2}^{(n)} < ⋯ < t_{k_{n}}^{(n)} = 1 felosztássorozatát minden n = 1, 2, … számra úgy, hogy lim_{n→∞} sup_{1≤j<k_{n}}(t_{j+1}^{(n)}−t_{j}^{(n)}) = 0, és vegyük a Z_{n}(ω) =

∑_{j=1}^{k_{n}−1} (W (t_{j+1}^{(n)}) − W (t_{j}^{(n)}))^{2} valószínűségi változókat és F_{n} = B(W (t_{j}^{(n)}), 1 ≤ j ≤ k_{n})

σ-algebrákat. Mutassuk meg, hogy a (Z_{n}(ω), F_{n}), n = 1, 2, …, sorozat martingál. Mutassuk meg a martingálok 1 valószínűségi konvergencia tételének a segítségével, hogy a Z_{n}(ω) sorozat 1 valószínűséggel konvergál 1-hez.

Segítség: Ha már bebizonyítottuk azt, hogy a Z_{n}(ω) sorozat 1 valószínűséggel konvergál, de még nem tudjuk, hogy mi a limesz, akkor elegendő egy elég ritka részsorozatának a határértékét megtalálni annak érdekében, hogy a bizonyítást befejezzük. Az előadásban szereplő hasonló tétel bizonyítása segít ennek a részfeladatnak a megoldásában.

Nem kötelező feladat: Tekintsük a W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener-folyamatot a [0, 1] intervallumon és a W (t, ω) + mt, 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamatot, ahol m rögzített valós szám. Jelölje μ a Wiener-folyamat, és ν_{m} a W (t, ω) + mt sztochasztikus folyamat eloszlását a C([0, 1]) térben. Mutassuk meg, hogy a ν_{m} mérték abszolut folytonos a μ mértékre nézve, és Radon–Nikodym deriváltja \frac{dν_{m}}{dμ} (x(t)) = e^{mx(1)−m^{2}/2} az x(t), 0 ≤ t ≤ 1, folytonos függvény helyén.

Az előző nem kötelező feladat általánosítása: Tekintsük a W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, Wienerfolyamatot a [0, 1] intervallumon és egy W (t, ω) + ∫_{0}^{t} m(t) dt, 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamatot, ahol m(t), 0 ≤ t ≤ 1, folytonosan differenciálható függvény. szám. Jelölje μ a Wiener-folyamat, és ν_{m} a W (t, ω) + ∫_{0}^{t} m(t) dt sztochasztikus folyamat eloszlását a C([0, 1]) térben. Mutassuk meg, hogy a ν_{m} mérték abszolut folytonos a μ mértékre nézve, és Radon–Nikodym deriváltja

\frac{dν_{m}}{dμ} (x(t)) = exp \{∫_{0}^{1} m(t) dx(t) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} m(t)^{2} dt\} .

(Az eredmény általánosítható, de ennek megfogalmazásához sztochasztikus integrálok használatára van szükség, és ez nem témája ennek az előadásnak.)

Nem kötelező feladat: Legyen W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener-folyamat a [0, 1] intervallumon. Mutassuk meg, hogy ennek feltételes eloszlása feltéve, hogy W (1, ω) = x megegyezik egy B(t, ω) + tx, 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamat eloszlásával, ahol B(t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, egy Wiener-bridge. Pontosabban megfogalmazva, rögzítve valamilyen 0 ≤ t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{k} ≤ 1 időpontokat és u_{1}, …, u_{k} számokat

P (W (t_{1}, ω) < u_{1}, …, W (t_{k}, ω) < u_{k}|W (1, ω) = x)
= P (B(t_{1}, ω) + t_{1}x < u_{1}, …, B(t_{k}, ω) + t_{k}x < u_{k}).

Segítség: Érdemes a bizonyításban felhasználni a W (t, ω) = B(t, ω) + tW (1, ω) azonosságot, ahol B(t, ω) = W (t, ω) − tW (1, ω) a W (1, ω) valószínűségi változótól független Wiener-bridge.

Kiegészítés. Wiener-folyamatok martingál jellemzése.

Tétel a Wiener-folyamatok egy jellemzéséről. Legyen X(t, ω), 0 ≤ t < ∞, olyan sztochasztikus folyamat, amelyre EX^{2}(t, ω) < ∞ minden t ≥ 0 számra, X(0, ω) = 0 egy valószínűséggel, és az X(t, ω) és X^{2}(t, ω) − t, t ≥ 0 sztochasztikus folyamatok martingálok (az F_{t} = {X(s, ω), s ≤ t}, t ≥ 0 σ-algebrák rendszerére nézve). Ha ezenkívül az X(t, ω) sztochasztikus folyamat minden trajektóriája folytonos, akkor X(t, ω) Wienerfolyamat.

A Wiener-folyamatok martingál jellemzéséről szóló tétel bizonyítása érdekében először megfogalmazom és bebizonyítom a Lindeberg feltételt teljesítő szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel martingál megfelelőjét, amely valójában az eredeti tétel általánosítása. Először bevezetem a következő definiciót.

Martingál különbség szériasorozatok definiciója. Legyen adva minden k = 1, 2, … számra ξ_{k,1}, …, ξ_{k,n_{k}} valószínűségi változók valamint F_{k,0} ⊂ F_{k,1} ⊂ ⋯ ⊂ F_{k,n_{k}}, növekvő σ-algebrák sorozata, azaz legyen F_{k,j} ⊂ F_{k,j′} minden k = 1, 2, …, és 1 ≤ j < j′ ≤ n_{k} indexpárra. Ezt a rendszert martingál különbség szériasorozatnak nevezzük, ha ξ_{k,j} F_{k,j} mérhető valószínűségi változó, E|ξ_{k,j}| < ∞, és E(ξ_{k,j}|F_{k,j−1}) = 0 egy valószínűséggel minden k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k} indexre.

A következő eredményt fogalmazom meg.

Martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel. Legyen valószínűségi változók ξ_{k,1}, …, ξ_{k,n_{k}} valamint minden rögzített k indexre növekvő σ-algebrák F_{k,0} ⊂ F_{k,1} ⊂ ⋯ ⊂ F_{k,n_{k}}, k = 1, 2, …, rendszere martingál különbség szériasorozat, amely teljesíti a következő feltételeket is:

a.) σ_{k,j}^{2} = Eξ_{k,j}^{2} < ∞ minden k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k} indexekre, és lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} σ_{k,j}^{2} = 1.

b.) lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} E|E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) − σ_{k,j}^{2}| = 0.

c.) Teljesül a Lindeberg feltétel, azaz

lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} Eξ_{k,j}^{2}I ({|ξ_{k,j}| > ε}) = 0,

minden ε > 0 számra, ahol I(A) egy A halmaz indikátor függvényét jelöli.

Ekkor az S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ_{k,j}, k = 1, 2, …, összegek eloszlásban konvergálnak a standard

normális eloszlásfüggvényhez, ha k → ∞.

A tétel bizonyítása. Vezessük be minden k = 1, 2, … indexre független, nulla várható értékű, σ_{k,j}^{2} szórásnégyzetű η_{k,j}, 1 ≤ j ≤ n_{k}, normális eloszlású valószínűségi változók sorozatát, amelyek függetlenek az F_{k,n_{k}} σ-algebrától is. Vezessük be az Y_{k,j} = ∑_{s=1}^{j} ξ_{k,j} +

∑_{s=j+1}^{n_{k}} η_{k,j}, 1 ≤ j ≤ n_{k}, (speciálisan Y_{k,n_{k}} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ_{k,j}) és Y_{k,0} = ∑_{j=1}^{n_{k}} η_{k,j} valószínűségi

változókat. Azt kívánom megmutatni, hogy minden t valós számra

E (e^{itY_{k,kn}} − e^{itY_{k,0}}) = ∑_{j=1}^{n_{k}} E (e^{itY_{k,j}} − e^{itY_{k,j−1}}) → 0 ha k → ∞.  (A1)

Mivel Ee^{itY_{k,0}} = exp \{− ∑_{j=1}^{n_{k}} \frac{σ_{k,j}^{2}t^{2}}{2} \} → e^{−t^{2}/2}, ha k → ∞, ezért (A1) relációból kö-

vetkezik, hogy Ee^{itS_{k}} = Ee^{itY_{k,kn}} → e^{−t^{2}/2} minden t valós számra, ha k → ∞, azaz S_{k} karakterisztikus függvénye konvergál a standard normális eloszlás karakterisztikus függvényéhez. Ezért az (A1) formulából következik a Tétel állítása.

Az (A1) reláció bizonyításához jó becslést kell adni az E (e^{itY_{k,j}} − e^{itY_{k,j−1}}) kifejezésekre. Ennek érdekében vegyük észre, hogy mivel az η_{k,j} valószínűségi változók függetlenek az F_{k,n_{k}} σ-algebrától, így a ξ_{k,j}, 1 ≤ j ≤ n_{k} valószínűségi változóktól is,

ezért bevezetve az U_{k,j} = ∑_{s=1}^{j} ξ_{k,s}, 1 ≤ j ≤ n_{k}, U_{k,0} = 1, V_{k,j} = ∑_{s=j+1}^{n_{k}} η_{k,j}, 0 ≤ j < n_{k},

V_{k,n_{k}} = 1 mennyiségeket, a következő összefüggéseket írhatjuk fel:

|E (e^{itY_{k,j}} − e^{itY_{k,j−1}})| = |E (e^{it(U_{k,j−1}+ξ_{k,j}+V_{k,j+1})} − e^{it(U_{k,j−1}+η_{k,j}+V_{k,j+1})})|
= |E (e^{it(U_{k,j−1}+ξ_{k,j})} − e^{it(U_{k,j−1}+η_{k,j}}))| |Ee^{itV_{k,j+1}}|
≤ |E (e^{it(U_{k,j−1}+ξ_{k,j})} − e^{it(U_{k,j−1}+η_{k,j})})|
≤ E (|E ((e^{it(U_{k,j−1}+ξ_{k,j})} − e^{it(U_{k,j−1}+η_{k,j})})| F_{k,j−1})|) .

Továbbá, mivel

|E ((e^{it(U_{k,j−1}+ξ_{k,j})} − e^{it(U_{k,j−1}+η_{k,j})})| F_{k,j−1})|
= |e^{itU_{k,j−1}} | |E ((e^{itξ_{k,j}} − e^{itη_{k,j}})| F_{k,j−1})|
= |E (e^{itξ_{k,j}} | F_{k,j−1}) − e^{−t^{2}σ_{k,j}^{2}/2}| ,

ezért

|E (e^{itY_{k,j}} − e^{itY_{k,j−1}})| ≤ E |E (e^{itξ_{k,j}} | F_{k,j−1}) − e^{−t^{2}σ_{k,j}^{2}/2}|

≤ E |E (e^{itξ_{k,j}} − 1 − itξ_{k,j} + \frac{t^{2}}{2} ξ_{k,j}^{2}| F_{k,j−1})|

+ E |1 − \frac{t^{2}}{2} E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) − e^{−t^{2}σ_{k,j}^{2}/2}|

≤ E |e^{itξ_{k,j}} − 1 − itξ_{k,j} + \frac{t^{2}}{2} ξ_{k,j}^{2}| + E |1 − \frac{t^{2}}{2} E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) − e^{−t^{2}σ_{k,j}^{2}/2}| .

Másrészt

E |1 − \frac{t^{2}}{2} E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) − e^{−t^{2}σ_{k,j}^{2}/2}|

≤ \frac{t^{2}}{2} E|σ_{k,j}^{2} − E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1})| + |1 − \frac{t^{2}}{2} σ_{k,j}^{2} − e^{−t^{2}σ_{k,j}^{2}/2}| .

Az előző két egyenlőtlenség alapján

\begin{matrix}|E (e^{itY_{k,j}} − e^{itY_{k,j−1}})| ≤ E |e^{itξ_{k,j}} − 1 − itξ_{k,j} + \frac{t^{2}}{2} ξ_{k,j}^{2}| \\ + \frac{t^{2}}{2} E|E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) − σ_{k,j}^{2}| + |1 − \frac{t^{2}}{2} σ_{k,j}^{2} − e^{−t^{2}σ_{k,j}^{2}/2}| . \end{matrix}  (A2)

A Lindeberg feltételből következik a σ_{k,j}^{2} = Eξ_{k,j}^{2} mennyiségek következő egyenletes kicsiségi tulajdonsága:

lim_{k→∞} max_{1≤j≤n_{k}} σ_{k,j}^{2} = 0.  (A3)

Valóban tetszőleges ε > 0 számra létezik olyan k_{0} = k_{0}(ε) index, hogy k ≥ k_{0}, 1 ≤ j ≤ n_{k} indexekre

σ_{k,j}^{2} = Eξ_{j,k}^{2}I(|ξ_{k,j}| ≤ ε) + Eξ_{j,k}^{2}I(|ξ_{k,j}| > ε) ≤ ε^{2} + Eξ_{j,k}^{2}I(|ξ_{k,j}| > ε) ≤ 2ε

minden 1 ≤ j ≤ k indexre, ha k ≥ k_{0} a Lindeberg feltétel alapján. Innen következik az (A3) reláció. Az (A3) relációból levezethető, hogy

lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} |1 − \frac{t^{2}}{2} σ_{k,j}^{2} − e^{−t^{2}σ_{k,j}^{2}/2}| = 0.  (A4)

Valóban, létezik olyan k_{0} = k_{0}(ε, t) index, amelyre igaz, hogy |1 − \frac{t^{2}}{2} σ_{k,j}^{2} − e^{−t^{2}σ_{k,j}^{2}/2}| ≤

t^{4}σ_{k,j}^{4} ≤ εσ_{k,j}^{2} ha k ≥ k_{0} minden 1 ≤ j ≤ n_{k} indexre. Ezeket az egyenlőtlenségeket

összeadva minden 1 ≤ j ≤ n_{k} indexre, és felhasználva a lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} σ_{k,j}^{2} = 1 feltételt,

kapjuk az (A4) relációt.

A Lindeberg feltétel felhasználásával megmutatható az is, hogy

lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} E |e^{itξ_{k,j}} − 1 − itξ_{k,j} + \frac{t^{2}}{2} ξ_{k,j}^{2}| = 0.  (A5)

Valóban rögzítve egy tetszőlegesen kicsi ε > 0 számot, és felhasználva az |e^{itx} − 1 − itx + \frac{t^{2}}{2} x^{2}| ≤ \frac{|t|^{3}|x|^{3}}{6} ≤ ε\frac{|t^{3}|x^{2}}{6} , ha |x| ≤ ε és |e^{itx} − 1 − itx + \frac{t^{2}}{2} x^{2}| ≤ t^{2}x^{2}, ha |x| > ε egyenlőtlenségeket, kapjuk, hogy

E |e^{itξ_{k,j}} − 1 − itξ_{k,j} + \frac{t^{2}}{2} ξ_{k,j}^{2}| ≤ ε\frac{|t^{3}|Eξ_{k,j}^{2}}{6} + t^{2}Eξ_{k,j}^{2}I(|ξ_{k,j}| > ε).

Összeadva a fenti egyenlőtlenséget minden 1 ≤ j ≤ n_{k} indexre, és felhasználva a

lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} σ_{k,j}^{2} = 1 feltételt és a Lindeberg feltételt azt kapjuk, hogy

lim sup_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} E |e^{itξ_{k,j}} − 1 − itξ_{k,j} + \frac{t^{2}}{2} ξ_{k,j}^{2}| ≤ ε|t^{3}|.

Mivel a fenti reláció igaz minden ε > 0 számra, innen következik az (A5) reláció.

Az (A1) reláció első azonosságából, az (A2), (A4) és (A5) relációkból valamint a Tétel b) feltételéből következik az (A1) reláció második fele is. A tételt beláttuk.

Szükségünk lesz még az alábbi lemmára és annak egy következményére.

Lemma. Legyen X(t) folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamat valamely [0, T] intervallumon. Rögzítsünk két ε és α pozitív számot, és vezessük be segítségükkel az alábbi τ valószínűségi változót:

τ = τ(ε, α, T) = max{t: |X(u) − X(v)| ≤ ε, ha 0 ≤ u ≤ v ≤ T, és |u − v| ≤ α}.

Az előbb definiált τ = τ(ε, α, T) valószínűségi változó megállási szabály minden olyan F_{t}, 0 ≤ t ≤ T, monoton σ-algebra rendszerre nézve, amelyre B(X_{s}, 0 ≤ s ≤ t} ⊂ F_{t}. Ez azt jelenti, hogy {ω: τ(ω) ≤ t} ∈ F_{t} minden 0 ≤ t ≤ T számra.

Tekintsünk egy tetszőleges 0 ≤ t ≤ T számot, és definiáljuk a τ_{t} = min{t, τ} valószínűségi változót. Ha E|g(X(u), u)| < ∞, 0 ≤ u ≤ T, és (g(X(u), u)), F_{u}), 0 ≤ u ≤ T, martingál valamely folytonos g(x, u) függvénnyel és F_{u}, 0 ≤ u ≤ T, monoton növekvő σ-algebra rendszerrel, akkor g(X(τ_{t}), τ_{t})) = E(g(X(T), T)|F_{τ_{t}}).

Következmény. Legyen X(u), 0 ≤ u ≤ T, folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamat valamely [0, T] intervallumon, amelyre EX^{2}(u) < ∞, 0 ≤ u ≤ T. Legyen továbbá (X(u), F_{u}) és (X^{2}(u)−u, F_{u}), 0 ≤ u ≤ T, martingál valamely F_{u}, 0 ≤ u ≤ T, monoton növekvő σ-algebra rendszerrel. Ekkor az (X(τ_{t}), F_{τ_{t}}) és (X^{2}(τ_{t}) − τ_{t}, F_{τ_{t}}), 0 ≤ t ≤ T, sztochasztikus folyamatok a lemmában definiált τ_{t} valószínűségi változókkal szintén martingálok.

A Lemma bizonyítása. Adva egy 0 ≤ t < T szám, jelölje Q_{t} a [0, t] intervallumba eső racionális számok halmazát. Ekkor

\{ω: τ(ω) ≤ t\} = ⋃_{(u,v):u∈Q_{t}, v∈Q_{t}, |u−v|≤α} ⋃_{m=1}^{∞} \{ω: |X(u, ω) − X(v, ω)| ≥ ε + \frac{1}{m}\} ∈ F_{t},

ami azt jelenti, hogy τ(ω) megállási szabály. (A t = T elfajuló esetben nyílván igaz, hogy {ω: τ(ω) ≤ T } = Ω ∈ F_{T}.) A fenti relációban felírt azonosság érvényes, mert τ(ω) ≤ t akkor és csak akkor, ha létezik két olyan 0 ≤ ū, v̄ ≤ t szám, amelyekre |ū − v̄| ≤ α, és |X(ū, ω) − X(v̄, ω)| > ε. Ekkor azonban (a trajektóriák folytonossága miatt) léteznek olyan u ∈ Q_{t} és v ∈ Q_{t} számok, és m pozitív egész szám, amelyekre |u − v| ≤ α, és X(u, ω) − X(v, ω)| ≥ ε + \frac{1}{m}.

Legyen Z_{u} = g(X(u), u), 0 ≤ u ≤ T, és tekintsük minden m = 1, 2, … pozitív egész és 0 ≤ t ≤ T valós számra a Z_{\frac{jT}{m}} = g (X(\frac{jT}{m}), \frac{jT}{m} ) valószínűségi változókat, a G_{\frac{jT}{m}} = F_{\frac{jT}{m}} σ-algebrákat, 1 ≤ j ≤ m, valamint a τ_{t^{(m)}} diszkretizált megállási

szabályt, amelyet a τ_{t}^{(m)} = \frac{l}{m}, ha \frac{l−1}{m} < τ_{t} ≤ \frac{l}{m}, 1 ≤ l ≤ m, képlet segítségével definiálunk. (Jegyezzük meg, hogy az X(t) folyamat trajektóriáinak folytonosságából, és a τ valószínűségi változó definiciójából következik, hogy τ(ω) > 0 minden ω-ra.)

Ha (g(X(u), u), F_{u}), 0 ≤ u ≤ T, martingál, akkor (Z_{\frac{jT}{m}} , G_{\frac{jT}{m}} ), 1 ≤ j ≤ m, szintén

martingál, és τ_{t}^{(m)} megállási szabály erre a rendszerre nézve. Ezért az előadásban tárgyalt véletlenül megállított (szemi)martingálok várható értékének becsléséről szóló tétel alapján (annak (D3) képletét használva) kapjuk, hogy Z_{τ_{t}^{(m)}} = E(Z_{T} |F_{τ_{t^{(m)}}} ) minden m = 1, 2, … számra. Másrészt Z_{τ_{t}} = lim_{m→∞} Z_{τ_{t^{(m)}}} a g((X(u, ω), u), 0 ≤ u ≤ T, folyamat trajektóriáinak folytonossága miatt. Ezért a Lemma bizonyításának befejezése érdekében elég megmutatni azt, hogy az E(Z_{T} |F_{τ_{t^{(m)}}} ) valószínűségi változók konvergálnak az E(Z_{T} |F_{τ_{t}}) valószínűségi változóhoz, ha m → ∞.

Sőt, a kívánt állítás igazolásához elég azt ellenőrízni, hogy az E(Z_{T} |F_{τ_{t^{(m)}}} ) valószínűségi változók, m = 1, 2, …, egyenletesen integrálhatóak. Ugyanis azt már tudjuk, hogy ezek 1 valószínűséggel konvergálnak valamely (egyelőre ismeretlen) Z valószínűségi változóhoz. Ezért az egyenletes integrálhatóságból, illetve az F_{τ_{t}} ⊂ F_{τ_{t^{(m)}}} relációból

következik, hogy ∫_{A} Z dP = lim_{m→∞} ∫_{A} E(Z_{T} |F_{τ_{t^{(m)}}} ) dP = ∫_{A} Z_{T} dP minden A ∈ F_{τ_{t}}

halmazra. Innen kapjuk, hogy Z = E(Z_{T} |F_{τ_{t}}).

A kívánt egyenletes integrálhatóság igazolásához, (azaz az ∫_{|Z^{(m)}|>K} |Z^{(m)}| dP ≤ ε egyenlőtlenség bizonyításához minden m = 1, 2, … számra, ha K ≥ K(ε) ahol Z^{(m)} = E(Z_{T} |F_{τ_{t^{(m)}}} )) elég azt megmutatni, hogy egyrészt minden ε > 0 számhoz létezik olyan δ = δ(ε) > 0 szám, hogy ∫_{B} |Z^{(m)}| dP ≤ ε, ha P (B) ≤ δ és B ∈ F_{τ_{t^{(m)}}} , másrészt P (|Z^{(m)}| > K) ≤ δ minden m = 1, 2, … számra, ha K ≤ K(δ) alkalmas K(δ) számmal. Az első állítás azért igaz, mert az adott feltételek mellett ∫_{B} |Z^{(m)}| dP ≤ ∫_{B} |Z_{T} | dP, és ∫_{B} |Z_{T} | dP < ε, ha P (B) < δ. A második állítás azért igaz, mert

E|Z^{(m)}| = E|E(Z_{T} |F_{τ_{t^{(m)}}} )|) ≤ E|Z_{T} |, és innen P (|Z^{(m)}| > K) ≤ \frac{E|Z^{(m)}|}{K} ≤ \frac{E|Z_{T} |}{K} ≤ δ, ha K ≥ K(δ). A lemmát bebizonyítottuk.

A Következmény bizonyítása. Az adott feltételek mellett X(τ_{t}, ω) = E(X(T, ω)|F_{τ_{t}}) és X^{2}(τ_{t}, ω) − τ_{t}(ω) = E(X^{2}(T, ω) − T |F_{τ_{t}}). Ezért, ha 0 ≤ s ≤ t ≤ T, akkor F_{τ_{s}} ⊂ F_{τ_{t}}, és E(X(τ_{t}, ω)|F_{τ_{s}}) = E(E(X(T, ω)|F_{τ_{t}})|F_{τ_{s}}) = E(X(T, ω)|F_{τ_{s}}) = X(τ_{s}, ω). Ez a következmény első állítása. A második állítás hasonlóan bizonyítható.

A Wiener-folyamatok egy jellemzéséről szóló tétel bizonyítása. Azt kell megmutatnunk, hogy a tétel feltételeinek teljesülése esetén tetszőleges 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{m} számokra az X(t_{j}) − X(t_{j−1}), 1 ≤ j ≤ m, valószínűségi változók független nulla várható értékű, t_{j} − t_{j−1} szórásnégyzetű, normális eloszlású valószínűségi változók. A bizonyítás fő részében azt magyarázom el, hogy hogyan látható t_{1} = 1 esetben az, hogy X(t_{1}) − X(t_{0}) = X(1) standard normális eloszlású valószínűséségi változó. Ezután elmagyarázom, hogyan lehet a tétel állítását teljes egészében belátni. (Valójában a Tétel egy enyhe általánosítását bizonyítom be.)

Tekintsünk egy folytonos trajektóriákkal rendelkező sztochasztikus folyamatot egy [0, 1] intervallumban. Mivel egy véges intervallumban folytonos függvény egyenletesen is folytonos, ezért az ε_{k} = \frac{1}{k}, k = 1, 2, …, sorozathoz választható olyan α_{k}, k = 1, 2, …, sorozat, amelyre

lim_{k→∞} P ( sup_{0≤s,t≤1, |t−s|≤α_{k}} |X(t, ω) − X(s, ω)| > ε_{k}) = 0.

Feltehetjük a fenti relációban, hogy α_{k} → 0, és n_{k} = \frac{1}{α_{k}} egész szám, ha k → ∞.

Tekintsük a lemmában bevezetett τ = τ_{k} = τ(ε_{k}, α_{k}, 1) és τ_{k}^{(j)} = min{τ_{k}, jα_{k}}, 1 ≤ j ≤ n_{k} valószínűségi változókat, k = 1, 2, …, 0 ≤ j ≤ n_{k}. Legyen továbbá ξ_{k,j} = X(τ_{k}^{(j)}) − X(τ_{k}^{(j−1)}), 1 ≤ j ≤ n_{k}. Ekkor lim_{k→∞} P (X(1, ω) = X(τ_{k}, ω)) = 1. Ezért elegendő belátni,

hogy az X(τ_{k}) = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ_{k,j} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak a standard

normális eloszláshoz. Megmutatom, hogy ez az állítás következik a martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástételből és a Lemma következményéből.

Valóban, legyen F_{k,j} = F_{τ_{k}^{(j)}}, F_{k,0} = F_{0}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}. Ekkor a Lemma következménye alapján (ξ_{k,j}, F_{k,j}), k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, martingál különbség sorozat, és E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) = E(min{τ_{k}, jα_{k}}|F_{k,j−1}) − min{τ_{k}, (j − 1)α_{k}}, mert

E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) = E((X(τ_{k}^{(j}) − X(τ_{k}^{(j−1}))^{2}|F_{k,j−1})
= E(X(τ_{k}^{(j})^{2} − τ_{k}^{(j)}|F_{k,j−1}) + E(τ_{k}^{(j)}|F_{k,j−1})
− 2X(τ_{k}^{(j−1})EX(τ_{k}^{(j})|F_{k,j−1}) + X(τ_{k}^{(j−1})^{2}

= X(τ_{k}^{(j−1})^{2} − τ_{k}^{(j−1)} + E(τ_{k}^{(j)}|F_{k,j−1}) − 2X(τ_{k}^{(j−1})^{2} + X(τ_{k}^{(j−1})^{2}

= E(τ_{k}^{(j)}|F_{k,j−1}) − τ_{k}^{(j−1)}.

Ellenőrizni akarjuk, hogy a (ξ_{k,j}, F_{k,j}), k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, valszínűségi változók teljesítik a martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel feltételeit. A (ξ_{k,j}, F_{k,j}) párok nyílván martingál különbség szériasorozatot alkotnak. Nem nehéz belátni, hogy teljesítik az a) tulajdonságot, mert

Eξ_{k,j}^{2} = E(min{τ_{k}, jα_{k}}) − E(min{τ_{k}, (j − 1)α_{k}}),

ahonnan ∑_{j=1}^{n_{k}} Eξ_{k,j}^{2} = E(min{τ_{k}, 1}) → 1, ha k → ∞, mivel lim_{k→∞} P (τ_{k} = 1) = 1,

és τ_{k}(ω) ≤ 1 minden ω-ra. A c) feltétel szintén nyílván teljesül, mert a konstrukció alapján P (|ξ_{k,j}| > ε) = 0 minden 1 ≤ j ≤ n_{k} indexre, ha k ≤ \frac{1}{ε}.

A b) tulajdonság igazolásához vegyük észre, hogy

E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) = E([min{τ_{k}, jα_{k}} − min{τ_{k}, (j − 1)α_{k}})]|F_{k,j−1}) ≤ α_{k},

ahonnan σ_{k,j}^{2} ≤ α_{k} is következik, és

∑_{j=1}^{n_{k}} E|E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) − α_{k}| ≤ ∑_{j=1}^{n_{k}} E(α_{k} − E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}))

= 1 − ∑_{j=1}^{n_{k}} Eξ_{k,j}^{2} → 0 ha k → ∞.

Mivel E|E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1})−σ_{k,j}^{2}| = 2E |E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) − σ_{k,j}^{2}|_{−} ≤ 2E|E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1})−α_{k}|,

ahol |x|_{−} = max(−x, 0), ezért a fenti relációkból

∑_{j=1}^{n_{k}} E|E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) − σ_{k,j}^{2}| ≤ 2 ∑_{j=1}^{n_{k}} E|E(ξ_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) − α_{k}| → 0, ha k → ∞,

és a b) feltétel is teljesül. Így az X(τ_{k}) valószínűségi változók konvergálnak a standard normális eloszláshoz, és ezt kellett belátnunk.

Az általános eset tárgyalása előtt vezessük be a Wiener-folyamat kissé általánosabb definicióját.

Általánosított Wiener-folyamat definiciója. Legyen adva egy X(t, ω) sztochasztikus folyamat, F_{t} σ-algebrák növekvő sorozata, 0 ≤ t ≤ T, azaz legyen F_{s} ⊂ F_{t}, ha 0 ≤ s ≤ t ≤ T. Tegyük fel továbbá, hogy X(t, ω) F_{t} mérhető minden 0 ≤ t ≤ T számra. Azt mondjuk, hogy az (X(t, ω), F_{t}) párok, 0 ≤ t < T, (általánosított) Wienerfolyamatot alkotnak a [0, T] intervallumon, ha X(0, ω) = 0 minden ω elemi eseményre, X(t, ω)−X(s, ω) az F_{s} σ-algebrától független, nulla várható értékű, t−s szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változó minden 0 ≤ s < t ≤ T számpárra, és X(t, ω) folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamat minden ω elemi eseményre.

Érvényes az (általánosított) Wiener-folyamatok következő jellemzése.

Tétel az (általánosított) Wiener-folyamatok egy jellemzéséről. Legyen adva egy X(t, ω), sztochasztikus folyamat és F_{t}, σ-algebrák növekvő sorozata 0 ≤ t ≤ T paraméterekre úgy, hogy X(t, ω) F_{t} mérhető minden 0 ≤ t ≤ T számra. Tegyük fel azt is, hogy EX^{2}(t, ω) < ∞ minden t ≥ 0 számra, X(0, ω) = 0 minden ω elemi eseményre, és az (X(t, ω), F_{t}) és (X^{2}(t, ω) − t, F_{t}), 0 ≤ t ≤ T, párok martingálok. Ha ezenkívül az X(t, ω) sztochasztikus folyamat minden trajektóriája folytonos, akkor az (X(t, ω), F_{t}) rendszer (általánosított) Wiener-folyamat a [0, T] intervallumon.

A Tétel bizonyítása. Azt kell megmutatni, hogy tetszőleges 0 ≤ s < t ≤ T számpárra X(t, ω) − X(s, ω) a F_{s} σ-algebrától független nulla várható értékű t − s szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változó. Ezt az előző bizonyítás némi módosításával, finomításával megtehetjük.

Rögzítsünk egy 0 ≤ s ≤ T számot, és definiáljuk az Y (u, ω) = X(s+u, ω)−X(s, ω), 0 ≤ u ≤ T − s, sztochasztikus folyamatot, és G_{u} = F_{s+u} σ-algebrákat, 0 ≤ t ≤ T − s. Vegyük észre, hogy E(Y (v, ω)|G_{u}) = 0 és E(Y^{2}(v, ω) − v|G_{u}) = Y^{2}(u, ω) − u, ha 0 ≤ u < v ≤ T − s. Az utolsó azonosságot a következő számolás mutatja:

E(Y^{2}(v, ω) − v|G_{u}) = E([X(v + s, ω) − X(s, ω)]^{2} − v|F_{s+u}) = E(X^{2}(v + s, ω) − (v + s)|F_{s+u}) + X^{2}(s, ω) − 2X(s, ω)EX(v + s, ω)|F_{s+u}) + s

= X^{2}(u + s, ω) − (u + s) + X^{2}(s, ω) − 2X(s, ω)X(u + s, ω) + s
= (X(u + s, ω) − X(s, ω))^{2} − u = Y^{2}(u, ω) − u.

Ezért alkalmazhatjuk az előző bizonyítást némi átskálázással. Abból azt kapjuk, hogy Y (t − s, ω) = X(t, ω) − X(s, ω) nulla várható értékű, t − s szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változó. Meg kell még mutatni azt is, hogy ez a valószínűségi változó független a F_{s} σ-algebrától. Ennek érdekében alkalmazzuk a következő érvelést.

Vegyünk egy tetszőleges B ∈ F_{s} = G_{0} eseményt, amelyre P (B) > 0, és tekintsük az (Y (u, ω), G_{u}), 0 ≤ u ≤ T − s, párokat ugyanazon az (Ω, A) valószínűségi mezőn, de helyettesítsük a P valószínűségi mértéket azzal a P_{B} valószínűségi mértékkel, amelyet a P_{B}(A) = \frac{P (B∩A)}{P (B)}, A ∈ A, képlet definiál. Az (Y (u, ω), G_{u}) és (Y^{2}(u, ω) − u, G_{u}), 0 ≤ u ≤ T − s, rendszerek továbbra is martingált alkotnak. Ezért a fenti P_{B} mértékhelyettesítéssel kapott rendszerre alkalmazva a már bizonyított eredményt, kapjuk, hogy P ({ω: X(t, ω)−X(s, ω) < x}∩B) = P (B)Φ(x, t−s), ahol Φ(x, σ^{2}) a nulla várható értékű σ^{2} szórásnégyzetű normális eloszlás értékét jelöli az x helyen. Mivel ez az állítás igaz minden x valós számra és B ∈ F_{s} eseményre, innen következik a tétel állítása.