A Valószínűségszámítás II. előadássorozat ötödik témája.

POISSON ÉS EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁSÚ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK, POISSON FOLYAMATOK.

Ismertetem Poisson mezők és Poisson folyamatok definicióját, illetve bebizonyítom, hogy ilyen mezők és folyamatok valóban léteznek. A bizonyítás érdekében először felidézem a Poisson eloszlású valószínűségi változók definicióját és megadom azok legfontosabb tulajdonságait.

Poisson eloszlás definiciója. Egy ξ valószínűségi változó akkor λ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, ha nem negatív egész értékeket vesz fel, és

P (ξ = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ}, k = 0, 1, 2, …

Ily módon valóban valószínűségi változót definiáltunk, mert

∑_{k=0}^{∞} P (ξ = k) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} = e^{−λ} ∑_{k=0}^{∞} \frac{λ^{k}}{k!} = e^{−λ}e^{λ} = 1.

Számítsuk ki egy ξ λ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

Eξ = ∑_{k=1}^{∞} k \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} = e^{−λ}λ ∑_{k=1}^{∞} \frac{λ^{k−1}}{(k − 1)!} = λe^{−λ+λ} = λ,

Eξ^{2} = ∑_{k=1}^{∞} k^{2} \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} = ∑_{k=2}^{∞} k(k − 1)\frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} + ∑_{k=1}^{∞} k \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ}

= e^{−λ}λ^{2} ∑_{k=2}^{∞} \frac{λ^{k−2}}{(k − 2)!} + λ = λ^{2} + λ,

és Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2} = (λ + λ^{2}) − λ^{2} = λ.

A következő egyszerű állítás a Poisson eloszlású valószínűségi változók egyik legfontosabb tulajdonságát fejezi ki. Ezért ezt Tétel formájában fogalmazom meg.

Tétel független, Poisson eloszlású valószínűségi változók összegének eloszlásáról. Ha ξ és η két független, λ illetve μ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, akkor a ξ + η összeg λ + μ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó.

Bizonyítás:

P (ξ + η = k) = ∑_{j=0}^{k} P (ξ = j, η = k − j) = ∑_{j=0}^{k} P (ξ = j)P (η = k − j)

= ∑_{j=0}^{k} \frac{λ^{j}}{j!} e^{−λ} \frac{μ^{k−j}}{(k − j)!}e^{−μ} = \frac{e^{−(λ+μ)}}{k!} ∑_{j=0}^{k} \frac{k!}{j!(k − j)!}λ^{j}μ^{(k−j)}

= \frac{e^{−(λ+μ)}}{k!} (λ + μ)^{k}.

A fenti eredmény következménye, hogy véges sok független, Poisson eloszlású valószínűségi változó összege egy olyan Poisson eloszlású valószínűségi változó, amelynek paramétere az egyes valószínűségi változók paramétereinek az összege. A következő szintén tétel formájában megfogalmazott eredmény ezen állítás megfordításának is tekinthető. Ebben egy Poisson eloszlású valószínűségi változót bontunk fel független, kisebb paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változók összegére egy alkalmas konstrukció segítségével. Ez az eredmény fontos szerepet fog játszani Poisson mezők és Poisson folyamatok konstrukciójában is.

Tétel Poisson eloszlású valószínűségi változók felbontásáról. Legyen adva k darab urna, és ezekbe dobjunk be véletlen ξ számú golyót, ahol ξ Poisson eloszlású valószínűségi változó λ > 0 paraméterrel. Legyenek az egyes dobások eredményei egymástól és a ξ valószínűségi változótól is függetlenek. Tegyük fel továbbá, hogy minden egyes

dobásnál a golyó p_{j} ≥ 0 valószínűséggel esik a j-ik urnába, j = 1, …, k, ∑_{j=1}^{k} p_{j} = 1.

Jelölje η_{j} a j-ik urnába eső golyók számát. Ekkor az η_{j}, j = 1, …, k, valószínűségi változók függetlenek, és η_{j} Poisson eloszlású λp_{j} paraméterrel, j = 1, …, k.

Bizonyítás:

P (η_{1} = l_{1}, …, η_{k} = l_{k}) = P (ξ = l_{1} + ⋯ + l_{k})\frac{(l_{1} + ⋯ + l_{k})!}{l_{1}! ⋯ l_{k}!}p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}

= \frac{λ^{(l_{1}+···+l_{k})}}{(l_{1} + ⋯ + l_{k})!}e^{−λ} \frac{(l_{1} + ⋯ + l_{k})!}{l_{1}! ⋯ l_{k}!}p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}

= \frac{λ^{l_{1}} ⋯ λ^{l_{k}}}{l_{1}! ⋯ l_{k}!} p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}e^{−λ(p_{1}+···+p_{k})} = ∏_{j=1}^{k} \frac{(λp_{j})^{l_{j}}}{l_{j}!} e^{−λp_{j}}

tetszőleges l_{1} ≥ 0, …, l_{k} ≥ 0 egész számokra. Innen adódik az állítás.

Érvényes egy fontos határeloszlástétel is, amelyikben a határeloszlás a Poisson eloszlás. Ezt az eredményt a Poisson mezők és Poisson folyamatok konstrukciója után fogom felidézni, de a bizonyítást csak a kiegészítésben tárgyalom.

Bevezetem a véletlen mező fogalmát, majd annak számunkra legfontosabb speciális esetét, a Poisson mezőket. A véletlen mező szemléletes tartalma az, hogy egy alaphalmaznak, például a síknak vagy a számegyenesnek kijelöljük véletlenül véges vagy megszámlálhatóan végtelen sok kitüntetett pontját. Ezután elsősorban olyan kérdésekre vagyunk kiváncsiak, hogy az alaphalmaz valamely szép részhalmazába hány kijelölt pont került. Ez a pontszám természetesen a véletlentől függ, ez tehát egy valószínűségi változó. A véletlen mezők definiciója a következő.

Véletlen mező definiciója. Legyen adva egy (U, U) mérhető tér, azaz egy U halmaz, és annak bizonyos részhalmazaiból álló σ-algebra valamint egy (Ω, A, P) valószínűségi mező és azon véges vagy megszámlálhatóan végtelen sok U-halmazbeli értékű általánosított valószínűségi változó. Ez azt jelenti, hogy minden B ∈ U halmazra és j = 1, 2, …, számra {ω: ξ_{j}(ω) ∈ B} ∈ A. Az ‘általánosított’ jelző ebben a definicióban arra utal, hogy nem követeljük meg, hogy a ξ_{j}(ω) függvények minden ω ∈ Ω elemi eseményre definiálva legyenek. Lehetséges, hogy bizonyos ξ_{j}(·) függvények csak valamely A_{j} ⊂ Ω, A_{j} ∈ A, halmazon vannak definiálva.

Ha adva egy véletlen mező valamely (U, U) téren, akkor definiálhatjuk minden B ∈ U halmazra a

χ_{B}(ω) = {azon j indexek száma, amelyekre ξ_{j}(ω) ∈ B}

valószínűségi változót, amely azt adja meg, hogy a B halmazba hány kijelölt pont esik. A χ_{B}(ω) = ∞ lehetőség szintén megengedett. Vegyük észre, hogy χ_{B}(ω) (esetleg végtelen értéket is felvevő) valószínűségi változó, azaz {ω: χ_{B}(ω) = k} ∈ A minden k = 0, 1, 2, … számra. Valóban, minden (véges) k hosszúságú j_{1}, …, j_{k} pozitív egész számokból álló sorozatra és B ∈ U halmazra definiálhatjuk a

D_{B}(j_{1}, …, j_{k}, ω) = {ω: ξ_{j_{s}}(ω) ∈ B, 1 ≤ s ≤ k, ξ_{l}(ω) ∉ B, ha l ∉ {j_{1}, …, j_{k}}} ∈ A,

eseményt. Rögzített k számra megszámlálhatóan sok D_{B}(j_{1}, …, j_{k}, ω) esemény van, és a χ_{B}(ω) esemény ezek uniója. Ez azt jelenti, hogy mindig beszélhetünk a P (χ_{B}(ω) = k), B ∈ U, k = 0, 1, 2, …, valószínűségekről. A véletlen mező és a χ_{B}(ω) valószínűségi változó definiciójából következik, hogy két diszjunkt B_{1} és B_{2} halmazra χ_{B_{1}∪B_{2}}(ω) = χ_{B_{1}}(ω) + χ_{B_{2}}(ω), sőt ez az additivítási tulajdonság megszámlálható sok diszjunkt halmazra is igaz.

A Poisson mező speciális sztochasztikus mező. Megadom ennek definicióját.

Poisson mező definiciója. Legyen adva egy (U, U) mérhető tér, és azon egy μ véges vagy σ-véges mérték. Egy véletlen mező Poisson mező μ számláló mértékkel, ha minden olyan B ∈ U halmazra, amelyre μ(B) < ∞, χ_{B}(ω) Poisson eloszlású valószínűségi változó μ(B) paraméterrel, továbbá, ha B_{1}, B_{2}, … B_{k} diszjunkt U mérhető halmazok, μ(B_{j}) < ∞, 1 ≤ j ≤ k, akkor a χ_{B}(ω) valószínűségi változók függetlenek.

Emlékeztetőül megjegyzem, hogy egy mérték véges egy (U, U) mérhető téren, ha μ(U) < ∞, és σ-véges, ha előállítható megszámlálhatóan végtelen sok véges mérték μ = ∑_{k=1}^{∞} μ_{k} összegeként. Példa σ-véges, de nem véges mértékre a Lebesgue mérték

(azaz a térfogat) az Euklideszi téren. Ebbben az esetben a μ mérték előállítható a kívánt összeg alakjában például úgy, hogy a μ_{k} mértéknek a Lebesgue mérték megszorítását vesszük a k − 1 és k sugarú gömbfelületek közötti tartományba. Bár a véletlen mezőket az általános esetben definiáltam, minket a továbbiakban csak a Poisson mezők fognak érdekelni. Ezen belül is csak azzal az esettel fogok foglalkozni, amikor az U halmaz a kdimenziós Euklideszi tér, (speciálisan a számegyenes) vagy annak egy szép részhalmaza, és az U σ-algebra az U halmaz Borel mérhető részhalmazaiból áll. A fő probléma annak megmutatása, hogy a Poisson mezők valóban léteznek.

Tétel Poisson mezők létezéséről. Legyen adva egy μ véges vagy σ-véges mérték az R^{n} n-dimenziós Euklideszi tér B^{n} Borel σ-algebráján. Létezik az R^{n} n-dimenziós tér Borel σ-algebráján Poisson mező ezzel a μ mértékkel, mint számláló mértékkel.

A tétel bizonyítása. Tekintsük először azt az esetet, amikor a μ mérték véges. Legyen M = μ(R^{n}), és vezessük be a μ̄ = \frac{μ}{M} valószínűségi mértéket. Tekintsünk egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőt, és azon végtelen sok független ζ_{1}, ζ_{2}, … μ̄ eloszlású és egy tőlük független η Poisson eloszlású valószínűségi változót M paraméterrel. A Kolmogorovféle alaptétel tárgyalásakor láttuk, hogy alkalmas valószínűségi mezőn léteznek ilyen valószínűségi változók. A Poisson mezőt úgy konstruáljuk, hogy ledobunk véletlenül η számú μ̄ eloszlású pontot egymástól függetlenül az R^{n} térbe. Pontosabban fogalmazva a következőt tesszük. Definiáljuk a ξ_{j} általánosított valószínűségi változókat a következő módon: ξ_{j}(ω) = ζ_{j}(ω), ha j ≤ η(ω), és a ξ_{j}(ω)-t nem definiáljuk ha η(ω) > j. Ilyen módon egy véletlen mezőt definiáltunk. Azt kell belátni, hogy ez a véletlen mező Poisson mező μ számláló mértékkel. Ehhez azt kell megmutatni, hogy ha kiválasztunk bizonyos A_{1} ∈ B_{n}, …, A_{k} ∈ B_{n} diszjunkt halmazokat, akkor az A_{l} halmazokba eső kijelölt ξ_{j}(ω) pontok számai egymástól független Poisson eloszlású valószínűségi változók μ(A_{l}) paraméterrel, 1 ≤ l ≤ k. Ennek belátása érdekében egészítsük ki ezt a halmazrendszert

az A_{k+1} = R^{n} \ ⋃_{l=1}^{k} A_{l} halmazzal. Az e halmazokba véletlenül ledobott kijelölt pontok

számának eloszlását leírja a Poisson eloszlású valószínűségi változók felbontásáról szóló tétel. Eszerint az egyes A_{l} halmazokba eső pontok száma egymástól független Poisson eloszlású valószínűségi változók Mμ̄(A_{l}) = μ(A_{l}) paraméterrel. Véges μ mértékek esetén a tételt beláttuk.

Ha μ σ-véges mérték, akkor tekintsük ennek valamely μ = ∑_{l=1}^{∞} μ_{l} előállítását véges

mértékek összegeként, és tekintsünk minden l-re egy a többi Poisson mezőtől független Poisson mezőt μ_{l} számlálómértékkel. (Ez lehetséges, ha a különböző Poisson mezőket egymástól független ζ_{1}^{(l)}, ζ_{2}^{(l)}, … és η^{(l)} független valószínűségi változók sorozatának a segítségével állítjuk elő.) Tekintsük e Poisson mezők összegét, azaz tekintsük azt a véletlen mezőt, amelynek kijelölt pontjai ezen Poisson mezők kijelölt pontjainak az uniója. Ilyen módon egy Poisson mezőt kapunk μ számláló mértékkel. Ugyanis egyrészt diszjunkt halmazokba eső kijelölt pontok száma egymástól független. Másrészt független Poisson eloszlású valószínűségi változók összege Poisson eloszlású, és az összeg paramétere egyenlő az összeadandók paramétereinek az összegével. Innen nem nehéz látni, hogy egy A halmazba eső kijelölt pontok száma Poisson eloszlású ∑_{l=1}^{∞} μ_{l}(A) = μ(A)

paraméterrel, ha μ(A) < ∞, és végtelen, ha μ(A) = ∞.

Megjegyzés. A fenti tételt Poisson mezők létezéséről előírt számláló mértékkel hasonlóan lehet bizonyítani tetszőleges (U, U) mértéktérre, ha azon adva van egy μ véges vagy σvéges μ mérték. Az egyetlen különbség a bizonyításban az, hogy a konstrukcióban a Kolmogorov-féle alaptétel helyett a mértékterek végtelen szorzatáról szóló tételre kell hivatkozni.

A valószínűségszámításban szintén fontos szerepet játszanak a Poisson folyamatok. Ezek létezését is be kell bizonyítani. De ezt az állítást egyszerűen vissza lehet vezetni a Poisson mezők létezésére.

A Poisson folyamat alkalmas tulajdonságokkal rendelkező sztochasztikus folyamat a pozítiv félegyenesen vagy valamely [0, T] intervallumon. (Egy adott (Ω, A, P) valószínűségi mezőn definiált és valamely T halmaz elemeivel paraméterezett X(t) = X(t, ω), t ∈ T, valószínűségi változók rendszerét sztochasztikus folyamatnak nevezzük a T halmazon.)

Poisson folyamat definiciója. Egy X(t, ω), 0 ≤ t ≤ T, (vagy 0 ≤ t < ∞) sztochasztikus folyamatot a [0, T] intervallumon (vagy a pozitív félegyenesen) Poisson folyamatnak nevezünk λ paraméterrel, ha teljesíti a következő feltételeket:

(i) Az X(t, ω) sztochasztikus folyamat független növekményű, azaz tetszőleges 0 < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{k} ≤ T pontokra az X(t_{1}, ω), X(t_{2}, ω) − X(t_{1}, ω), …, X(t_{k}, ω) − X(t_{k−1}, ω) valószínűségi változók függetlenek.

(ii) X(0, ω) = 0 egy valószínűséggel, és X(t, ω) − X(s, ω) Poisson eloszlású λ(t − s)

paraméterrel. (iii) Az X(·, ω) trajektória monoton növekvő, jobbról folytonos egész értékű függvény.

Tétel Poisson folyamat létezéséről. Tetszőleges λ > 0 számra létezik λ paraméterű Poisson folyamat a [0, T] intervallumon vagy [0, ∞) félegyenesen.

Bizonyítás. Tekintsünk egy Poisson mezőt a számegyenesen, amelynek számláló mértéke λ × a Lebesgue mérték a [0, T] intervallumon vagy a [0, ∞) félegyenesen. Láttuk, hogy ilyen Poisson mező létezik. Legyen X(t, ω) egy ilyen Poisson mező kijelölt pontjainak a száma a [0, t] intervallumban minden 0 ≤ t ≤ T vagy 0 ≤ t < ∞ paraméterre. Nem nehéz belátni, hogy az így definiált X(t, ω) sztochasztikus folyamat Poisson folyamat.

Megjegyzés. A Kolmogorov-féle alaptétel önmagában nem elegendő a Poisson folyamatok létezésének bizonyításához. Ennek segítségével be lehet látni, hogy létezik a Poisson folyamatok definiciójában szereplő (i) és (ii) tulajdonságot teljesítő sztochasztikus folyamat. De az, hogy a sztochasztikus folyamat trajektóriának tulajdonságairól szóló (iii) feltétel is kielégíthető külön indoklást igényel. Számunkra a Poisson mezők létezéséről szóló eredmény jelentett nagy segítséget ennek bizonyításában.

A bevezető valószínűségszámítás előadásban szerepelt egy olyan határeloszlástétel, amely megvilágította, hogy bizonyos véletlen jelenségek, mint például a csillaghullás vagy rádioaktív bomlás megfigyelésénél miért találkozunk gyakran Poisson eloszlású valószínűségi változókkal. Ha alaposabban, mélyebben tanulmányozzuk ezeket az eredményeket, és például a csillaghulláskor nemcsak arra vagyunk kiváncsiak, hogy egy rögzített időintervallumban hány csillag esik le, hanem a lehullott csillagok száma milyen (véletlen) függvénye a megfigyelési időtartamnak, akkor megérthetjük, hogy nemcsak a Poisson eloszlású valószínűségi változók, hanem a Poisson folyamatok is természetes módon megjelennek ilyen jelenségek vizsgálatában.

Most ezzel az általánosabb kérdéssel nem foglalkozunk. Viszont ismertetem azt a bevezető valószínűségszámításban tanult határeloszlástételt — kissé általánosabb alakban, — amelyben a Poisson eloszlás jelenik meg, mint határeloszlás. Ennek az eredménynek a bizonyításával itt nem foglalkozom. A korábban tanult bizonyítás a generátorfüggvények módszerén alapult. A kiegészítésben megadom ennek a tételnek egy más, önmagában is érdekes bizonyítását, amely jobban megvilágítja az eredmény hátterét.

A most megfogalmazott tételben szerepel egy új fogalom, a szériasorozat fogalma. Ezzel később is fogunk találkozni.

Határeloszlástétel Poisson határeloszlással. Legyen adva egy

ξ_{1,1} …, ξ_{1,n_{1}}
⋮  ⋮
ξ_{k,1} …, ξ_{k,n_{k}}
⋮  ⋮

szériasorozat, azaz ξ_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k} valószínűségi változók egy olyan rendszere, amelyben az egy sorban álló (azaz ugyanolyan k index-szel rendelkező) valószínűségi változók függetlenek. Tegyük fel továbbá, hogy e valószínűségi változók teljesítik a következő feltételeket is:

1.) A ξ_{k,j} valószínűségi változók nem negatív egész értékeket vesznek fel.

2.) P (ξ_{k,j} = 1) = λ_{k,j}, lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{k,j} = λ > 0.

3.) sup_{1≤j≤n_{k}} λ_{k,j} → 0, ha k → ∞, és ∑_{j=1}^{n_{k}} P (ξ_{k,j} ≥ 2) → 0, ha k → ∞.

Ekkor az S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ_{k,j} véletlen összegek eloszlásban konvergálnak a λ paraméterű

Poisson eloszláshoz, ha k → ∞, azaz lim_{k→∞} P (S_{k} = l) = \frac{λ^{l}}{l!} e^{−λ} minden l = 0, 1, 2, … számra.

Példa a határeloszlástétel Poisson eloszlással eredmény alkalmazására. Legyen adva (k, p_{k}) paraméterű binomiális eloszlású S_{k} valószínűségi változók sorozata, k = 1, 2, …, amelyek paramétereire lim_{k→∞} kp_{k} = λ valamely λ > 0 számmal, ha k → ∞. Ekkor az S_{k} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak a λ paraméterű Poisson eloszláshoz, ha k → ∞. Ezt be lehet látni közvetlen számolással, de következik a fenti tételből is.

Valóban, tekintsünk minden k = 1, 2, … indexre független ξ_{k,j}, 1 ≤ j ≤ k, valószínűségi változókat, amelyekre P (ξ_{k,j} = 1) = 1 − P (ξ_{k,j} = 0) = p_{k}. Ekkor az

S_{k} = ∑_{j=1}^{k} ξ_{k.j} összegek (k, p_{k}) paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változók,

amelyek teljesítik a tétel feltételeit λ = lim_{k→∞} kp_{k} paraméterrel. Ezért eloszlásban konvergálnak a λ paraméterű Poisson eloszláshoz, ha k → ∞.

Exponenciális eloszlású valószínűségi változók, Poisson folyamatok, rendezett minták, és ezek kapcsolata egymással.

Független, exponenciális valószínűségi változók részletösszegei, Poisson folyamatok illetve úgynevezett egyenletes eloszlású rendezett minták között szoros kapcsolat van, amelynek megértése hasznos mind a valószínűségszámítás mind a matematikai statisztika számára. Néhány e problémakörbe tartozó eredményt fogunk bizonyítani. A bizonyítások fontos része lesz bizonyos véletlen vektorok eloszlás illetve sűrűségfüggvényének a kiszámítása. Annak érdekében, hogy ezt megtehessük, felidézem a sűrűségfüggvényről, illetve a velük való számolásról szóló legfontosabb tanult eredményeket.

Többváltozós sűrűségfüggvények legfontosabb tulajdonságai.

Többváltozós sűrűségfüggvény definiciója. Legyen F (x_{1}, …, x_{k}) egy k-változós eloszlásfüggvény. Azt mondjuk, hogy ennek az eloszlásfüggvénynek az f(x_{1}, …, x_{k}) függvény a sűrűségfüggvénye, ha teljesül az

F (x_{1}, …, x_{k}) = ∫_{−∞}^{x_{1}} ⋯ ∫_{−∞}^{x_{k}} f(u_{1}, …, u_{k}) du_{1} … du_{k}

azonosság minden valós x_{1}, …, x_{k} szám-k-asra.

Ha egy (ξ_{1}, …, x_{k}) véletlen vektornak F (x_{1}, …, x_{k}) az eloszlásfüggvénye, és az f(x_{1}, …, x_{k}) függvény az F (x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvény sűrűségfüggvénye, akkor időnként azt mondjuk, hogy f(x_{1}, …, x_{k}) a (ξ_{1}, …, x_{k}) véletlen vektor sűrűségfüggvénye.

Természetesen, az egyváltozós esethez hasonlóan, magasabb dimenzióban sem létezik minden eloszlásfüggvénynek sűrűségfüggvénye. Másrészt az eloszlásfüggvényekhez hasonlóan a sűrűségfüggvényeknek is van jellemzése.

Sűrűségfüggvény jellemzése. Egy f(x_{1}, …, x_{k}) k-változós függvény akkor és csak akkor sűrűségfüggvénye egy alkalmas eloszlásfüggvénynek, ha f(x_{1}, …, x_{k}) ≥ 0 (majdnem) minden (x_{1}, …, x_{k}) pontra, és

∫_{−∞}^{∞} ⋯ ∫_{−∞}^{∞} f(u_{1}, …, u_{k}) du_{1} … du_{k} = 1.

Eloszlás és sűrűségfüggvény kapcsolata. Az eloszlás és sűrűségfüggvény kölcsönösen meghatározzák egymást. Elég sima (elég sokszor differenciálható) F (x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvény f(x_{1}, …, x_{k}) sűrűségfüggvénye létezik, és az kiszámolható az

f(x_{1}, …, x_{k}) = \frac{∂^{k}F (x_{1}, …, x_{k})}{∂x_{1} ⋯ ∂x_{k}}

képlet segítségével.

A következő egyszerű állítás nagyon fontos lesz számunkra a későbbiekben.

Független valószínűségi változókból álló véletlen vektor sűrűségfüggvénye. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{k} független valószínűségi változók F_{j}(x) eloszlás és f_{j}(x) sűrűségfüggvénnyel, 1 ≤ j ≤ k. Ekkor a (ξ_{1}, …, ξ_{k}) véletlen vektor eloszlásfüggvénye az

F (x_{1}, …, x_{k}) = F (x_{1}) ⋯ F (x_{k})

és (létező) sűrűségfüggvénye az

f(x_{1}, …, x_{k}) = f(x_{1}) ⋯ f(x_{k})

függvény.

Ugyancsak fontos számunkra a következő eredmény, amely azt adja meg, hogy hogyan lehet kiszámolni sok minket érdeklő mennyiséget sűrűségfüggvények segítségével.

Véletlen vektor függvényei és azok várható értékének kiszámolása sűrűségfüggvény segítségével. Legyen egy (ξ_{1}, …, ξ_{k}) véletlen vektornak f(x_{1}, …, x_{k}) sűrűségfüggvénye. Ekkor tetszőleges (Borel mérhető) halmazra a k-dimenziós térben

P ((ξ_{1}, …, ξ_{k}) ∈ B) = (∫ ⋯ ∫ )_{B} f(u_{1}, …, u_{k}) du_{1} … du_{k}

Általánosabban, legyen g(x_{1}, …, x_{k}) tetszőleges (mérhető) k-változós függvény. Ekkor

Eg(ξ_{1}, …, ξ_{k}) = ∫ ⋯ ∫ g(u_{1}, …, u_{k})f(u_{1}, …, u_{k}) du_{1} … du_{k},

ha az Eg(ξ_{1}, …, ξ_{k}) várható érték létezik, (azaz véges szám).

Ahhoz, hogy a fenti eredményeket használni tudjuk, tudnunk kell többváltozós integrálokkal számolni. Ehhez egyrészt fontos a Fubini tétel, amely szerint többváltozós integrálokat ki lehet számolni szukcesszív egyváltozós integrálás segítségével. Matematikai képletben megfogalmazva:

∫ ⋯ ∫ f(x_{1}, …, x_{k}) dx_{1} … dx_{k} = ∫ … (∫ (∫ f(x_{1}, …, x_{k}) dx_{1}) dx_{2}) … dx_{k}.

Másrészt szükségünk lesz az egyváltozós integrálok kiszámolásában fontos szerepet játszó helyettesítéses integrál többváltozós megfelelőjére. Ismertetem az utóbbi eredményt.

A következő problémával foglalkozunk. Ha adva van az n-dimenziós tér egy A tartományának szép, sima és invertálható y_{k} = T_{k}(x_{1}, …, x_{n}), 1 ≤ k ≤ n, leképezése az n-dimenziós tér egy másik B tartományába, valamint egy

∫_{B} f(y_{1}, …, y_{n}) dy_{1} … dy_{n}

alakú integrál a B tartományon, akkor hogyan tudjuk ezt az integrált átírni az y_{k} = T_{k}(x_{1}, …, x_{k}), k = 1, …, n, leképezések segítségével, mint egy alkalmas az A tartományon értelmezett függvény integrálját? Célunk az, hogy ily módon a vizsgálandó integrált egy könnyebben kezelhető integrállá alakítsuk át.

Annak érdekében, hogy az erre a kérdésre adott választ meg tudjam fogalmazni először felidézem egy sima transzformáció Jacobian-jának a definicióját.

Jacobian definiciója. Legyen y_{k} = T_{k}(x_{1}, …, x_{n}), 1 ≤ k ≤ n, az n-dimenziós tér egy tartományának sima transzformációja az n-dimenziós tér egy másik tartományába. Vezessük be a T = (T_{1}, …, T_{n}) jelölést. A T transzformáció J (T(x_{1}, …, x_{n})) Jacobian-ja egy (x_{1}, …, x_{n}) pontban a

(\frac{∂T_{k}(x_{1}, …, x_{k})}{∂x_{l}}) , 1 ≤ l, k ≤ n,

n × n-es (az (x_{1}, …, x_{n}) pontban vett derivált) mátrix determinánsának az abszolut értéke.

(A Jacobian szemléletes tartalma: Ez adja meg, hogy az (x_{1}, …, x_{n}) pont kis környezetének a térfogatát a T = (T_{1}, …, T_{n}) transzformáció hányszorosára nagyítja.)

Integráltranszformációról szóló tétel. Legyen adva az n-dimenziós tér egy A tartományának egy sima y_{k} = T_{k}(x_{1}, …, x_{n}), 1 ≤ k ≤ n, transzformáltja az n-dimenziós tér egy másik B tartományába, amelyik invertálható, azaz az y_{k} = T_{k}(x_{1}, …, x_{n}), 1 ≤ k ≤ n, egyenletrendszernek egyetlen (x_{1}, …, x_{n}) ∈ A megoldása van minden (y_{1}, …, y_{n}) ∈ B pontra. Legyen továbbá adva egy (integrálható) f(y_{1}, …, y_{n}) függvény a B tartományon. Ekkor

∫Bf(y_{1}, …, y_{n}) dy_{1} … dy_{n}

= ∫_{A} f(T_{1}(x_{1}, …, x_{n}), …, T_{n}(x_{1}, …, x_{n}))J (T(x_{1}, …, x_{n})) dx_{1} … dx_{n},

ahol J (T(x_{1}, …, x_{n})) jelöli a T(x_{1}, …, x_{n}) leképezés Jacobianját.

Rendezett minták eloszlása.

Ismertetem a valószínűségszámításban és matematikai statisztikában is fontos rendezett minták fogalmát, és bebizonyítok róluk egy egyszerű, de fontos eredményt.

Legyen adva független, egyforma eloszlású valószínűségi változók ξ_{1}, …, ξ_{n} sorozata. Egy ilyen sorozatot a matematikai statisztikában gyakran mintának is neveznek, arra utalva, hogy az gyakran egy statisztikai problémában megjelenő mérési sorozat eredményeként jelenik meg. Egy ξ_{1}, …, ξ_{n} sorozat elemeinek ξ_{1}^{∗} ≤ ξ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n}^{∗} nagyság szerint rendezett felsorolását rendezett mintának nevezik. Az alábbi lemmában megadom egy rendezett minta elemeiből képzett véletlen vektor sűrűségfüggvényét, ha ismerjük a kiinduló független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sűrűségfüggvényét. Megjegyzem, hogy ha ez a sűrűségfüggvény létezik, akkor a kiinduló ξ_{1}, …, ξ_{n} sorozat elemei egy valószínűséggel különböznek egymástól. Az alább ismertetett egyszerű eredmény a későbbiekben hasznos lesz számunkra.

Lemma rendezett minta eloszlásáról. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, egyforma eloszlású valószínűségi változók a számegyenesen valamely f(x) sűrűségfüggvénnyel. Vegyük e valószínűségi változók ξ_{1}^{∗} < ξ_{2}^{∗} < ⋯ < ξ_{n}^{∗} nagyság szerinti sorbarendezését, azaz a belőlük készített rendezett mintát. Ennek a (ξ_{1}^{∗}, ξ_{2}^{∗}, …, ξ_{n}^{∗}) véletlen vektornak van g(x_{1}, …, x_{k}) sűrűségfüggvénye, és azt a

g(x_{1}, …, x_{n}) = \{ \begin{matrix}n! ∏_{j=1}^{n} f(x_{j}), ha x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n}, \\ 0, ha az x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n} egyenlőtlenségrendszer nem teljesül \end{matrix}

képlet adja meg.

Speciálisan, ha a ξ valószínűségi változók egyenletes eloszlásúak a számegyenes valamely B, 0 < λ(B) < ∞ mérhető halmazán, ahol λ(·) a Lebesgue mértéket jelöli, akkor a belölük készített rendezett minta sűrűségfüggvénye g(x_{1}, …, x_{n}) = \frac{n!}{λ(B)}, ha x_{1} < x_{2}, ⋯ < x_{n}, és x_{j} ∈ B minden 1 ≤ j ≤ n indexre, és g(x_{1}, …, x_{n}) = 0 egyébként.

Megjegyzés: A lemma speciális esetben azt állítja, hogy ha ξ_{1}, …, ξ_{n} független, egyforma eloszlású valószínűségi változók egyenletes eloszással valamely [a, b] intervallumban, akkor a belőlük készített rendezett minta sűrűségfüggvénye g(x_{1}, …, x_{k}) = \frac{n!}{(b−a)^{n}}, ha a ≤ x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n} ≤ b, és g(x_{1}, …, x_{n}) = 0 egyébként.

Bizonyítás: Azt kell belátni, hogy az n-dimenziós tér tetszőleges C ⊂ R^{n} (mérhető) részhalmazára

P ((ξ_{1}^{∗}, ξ_{2}^{∗}, …, ξ_{n}^{∗}) ∈ C) = ∫_{C} g(x_{1}, …, x_{n}) dx_{1} … dx_{n}.

Elég ezt az azonosságot a C ⊂ A, A = {(x_{1}, …, x_{n}): x_{1} < x_{2}, ⋯ < x_{n}} alakú halmazokra belátni, mert C ∈ R^{n} \ A esetén mind P ((ξ_{1}^{∗}, ξ_{2}^{∗}, …, ξ_{n}^{∗}) ∈ C) = 0, mind ∫_{C} g(x_{1}, …, x_{n}) dx_{1} … dx_{n} = 0. Adva egy C ⊂ A (mérhető) halmaz, vezessük be az {1, …, n} halmaz π ∈ Π_{n} permutációinak a halmazát, és legyen

C_{π} = {(x_{π(1)}, …, x_{π(n)}): (x_{1}, …, x_{n}) ∈ C, }

minden π ∈ Π_{n} permutációra és C ⊂ A halmazra. Definiáljuk a C̄ = ⋃_{π∈Π_{n}} C_{π} halmazt.

Ekkor

{ω: (ξ_{1}^{∗}(ω), ξ_{2}^{∗}(ω), …, ξ_{n}^{∗}(ω)) ∈ C} = {ω: (ξ_{1}(ω), ξ_{2}(ω), …, ξ_{n})(ω)) ∈ C̄},

a C_{π} halmazok diszjunktak különböző π permutációkra, és minden C ⊂ A halmazra

∫_{C} g(x_{1}, …, x_{n}) dx_{1} … dx_{n} = n! ∫_{C} f(x_{1}) … f(x_{n}) dx_{1} … dx_{n}

= ∫C̄ f(x_{1}) ⋯ f(x_{n}) dx_{1} … dx_{n} = P ((ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ C̄), továbbá P ((ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ C̄) = P ((ξ_{1}^{∗}, …, ξ_{n}^{∗}) ∈ C). Innen következik a lemma állítása az általános esetben. Mivel egy a B halmazon egyenletes eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{λ(B)}, ha x ∈ B, f(x) = 0 egyébként, innen következik a lemma második állítása is.

Független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegei, és kapcsolatuk rendezett mintákkal.

Felidézem az exponenciális eloszlásokról tanult legfontosabb eredményeket. Ezenkívül kiszámolom független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeinek együttes sűrűségfüggvényét. Ennek az eredménynek érdekes következményei vannak.

Exponenciális eloszlásfüggvény definiciója. Egy ξ valószínűségi változó exponenciális eloszlású λ paraméterrel, λ > 0, ha eloszlásfüggvénye, F (x) = P (ξ < x) = 1 − e^{−λx}, ha x ≥ 0, és F (x) = P (ξ < x) = 0, ha x < 0. Ezzel ekvivalens jellemzés: Egy valószínűségi változó exponenciális eloszlású λ > 0 paraméterrel, ha létezik f(u) sűrűségfüggvénye, és az f(u) = λe^{−λu}, ha u ≥ 0, f(u) = 0, ha u ≤ 0 alakú.

Az exponenciális eloszlás fontos tulajdonsága az úgynevezett örökifjú tulajdonság. Ezt az egyszerű állítást fontossága miatt külön lemmában fogalmazom meg.

Lemma az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságáról. Egy exponenciális eloszlású ξ valószínűségi változó teljesíti a következő úgynevezett örökifjú tulajdonságot:

P (ξ > x + y|ξ > y) = P (ξ > x)

minden x ≥ 0 és y ≥ 0 számra.

Bizonyítás. Legyen ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ > 0 paraméterrel. Mivel P (ξ > u) = e^{−λu} minden u ≥ 0 számra, ezért P (ξ > x + y|ξ > y) = \frac{e^{−λ(x+y)}}{e^{−λy}} = e^{−λx} = P (ξ > x).

Az örökifjú tulajdonság szemléletes tartalma a következő. Tekintsünk egy személyt vagy tárgyat amelynek véletlen élettartamát egy ξ valószínűségi változó méri. Tekintsük a ξ + y valószínűségi változó feltételes eloszlását azon feltétel mellett, hogy ξ > y, azaz annak feltételes valószínűségét, hogy egy személy vagy tárgy még legalább x ideig élni fog, feltéve, hogy megélte az y időpontot. Ha ez a feltételes eloszlás nem függ az y értéktől, akkor azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó teljesíti az örökifjú tulajdonságot. A fenti lemmában azt mutattuk meg, hogy az exponenciális eloszlású valószínűségi változók teljesítik az örökifjú tulajdonságot.

Be lehet látni, hogy az állítás megfordítása is igaz. Ha egy valószínűségi változó eloszlása teljesíti az örökifjú tulajdonságban megfogalmazott azonosságot minden x > 0 és y > 0 számra, akkor az exponenciális eloszlású. (A geometriai eloszlások teljesítik az örökifjú tulajdonság egy gyengített alakját. Ekkor is teljesül a P (ξ > x + y|ξ > y) = P (ξ > y) azonosság, ha x és y csak nem-negatív egész értékeket vehetnek fel. Ez a feltétel az x és y számokról azonban ebben az esetben nem hagyható el.)

Az érdekesség kedvéért mutatok példát olyan eloszlásra, amelyben úgynevezett szuper örökifjú tulajdonság teljesül, azaz, ha egy ilyen életkor eloszlású személy megért egy adott kort, akkor a további várható élettartama nagyobb, mint eredetileg volt.

Példa a szuper örökifjú tulajdonságot teljesítő eloszlásra. Létezik olyan ξ valószínűségi változó, amelyik teljesíti a következő szuper örökifjú tulajdonságot:

P (ξ > x + y|ξ > y) > P (ξ > x)

minden x > 0 és y > 0 számra.

Bizonyítás. Legyen a ξ valószínűségi változó olyan, hogy P (ξ > x) = e^{−\sqrt{x}}, ha x ≥ 0 és P (ξ > x) = 1, ha x < 0. Ekkor P (ξ > x + y|x > y) = e^{−\sqrt{x+y}+\sqrt{y}}, ha x > 0, y > 0. Ezért elég megmutatni, hogy e^{−\sqrt{x+y}+\sqrt{y}} > e^{−\sqrt{y}}, illetve hogy \sqrt{x + y} < \sqrt{x} + \sqrt{y}, ha x > 0 és y > 0. Ez az egyenlőtlenség viszont (négyzetre emelés után) könnyen látható.

Parciális integrálással ki lehet számolni egy λ paraméterű ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

Valóban, parciális integrálással kapjuk, hogy

Eξ = ∫_{0}^{∞} uλe^{−λu} du = \frac{1}{λ} ∫_{0}^{∞} ue^{−u} du = \frac{1}{λ} ([−ue^{−u}]_{0}^{∞} + ∫_{0}^{∞} e^{−u} du) = \frac{1}{λ},

Eξ^{2} = ∫_{0}^{∞} u^{2}λe^{−λu} du = \frac{1}{λ^{2}} ([−u^{2}e^{−u}]_{0}^{∞} + ∫_{0}^{∞} 2ue^{−u} du) = \frac{2}{λ^{2}} .

Ezért Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2} = \frac{2}{λ^{2}} − \frac{1}{λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} .

Hasonló módon ki tudjuk számolni egy exponenciális eloszlású valószínűségi változó tetszőleges momentumát. Ezt a számolást azonban elhagyom. Viszont tárgyalom azt, hogy független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók összegének mi a sűrűségfüggvénye. Ezt a sűrűségfüggvényt ki lehet számolni konvolució segítségével. Tanulságos lehet az ezt követő feladat megoldása is, amelyben ismét független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeit tekintem. Itt a részletösszegek együttes eloszlásának a sűrűségfüggvényét számolom ki. E probléma megoldásában nagyon hasznos szerepet játszik a többváltozós integrálok transzformációjáról szóló korábban megfogalmazott eredmény. Az említett problémák megoldásaianak további érdekes következményei vannak, és ezeket is tárgyalni fogom.

Tétel független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók összegének a sűrűségfüggvényről. Legyenek ξ_{1} és ξ_{2} független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók, azaz legyen sűrűségfüggvényük f(x) = λe^{−λx} ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0. A ξ_{1} + ξ_{2} véletlen összeg sűrűségfüggvénye f_{2}(x) = λ^{2}xe^{−λx}, ha x ≥ 0, f_{2}(x) = 0, ha x < 0.

Általánosabban, legyenek ξ_{1}, … ξ_{n} független exponenciális eloszlású valószínűségi változók λ > 0 paraméterrel. Ekkor a ξ_{1} + ⋯ + ξ_{n} véletlen összeg sűrűségfüggvénye f_{n}(x) = \frac{λ^{n}x^{n−1}}{(n−1)!} e^{−λx}, ha x ≥ 0, és f_{n}(x) < 0, ha x < 0.

Bizonyítás: Ki kell számolnunk az f ∗f(x) illetve \underbrace{f ∗ ⋯ ∗ f}_{n-szer}(x) konvoluciókat a fenti f(x)

sűrűségfüggvénnyel. Mivel f(x) = 0, ha x ≤ 0, a konvoluciót meghatározó integrálban szereplő f(y)f(x − y) integrandus nulla, ha y ≤ 0 vagy x − y ≤ 0. Innen a konvoluciót definiáló integrál csak x ≥ 0 esetén lehet nulla, az x ≤ 0 esetben f(y)f(x − y) > 0 minden y-ra nulla, és x ≥ 0 esetén az f(y)f(x − y) > 0 integrandus csak 0 ≤ y ≤ x esetén nem nulla. Innen a ξ_{1} + ξ_{2} valószínűségi változó sűrűségfüggvénye x < 0 esetén f_{2}(x) = f ∗ f(x) = 0, és

f_{2}(x) = f ∗ f(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(y)f(x − y) dy = ∫_{0}^{x} λe^{−λy}λe^{−λ(x−y)} dy
= ∫_{0}^{x} λ^{2}e^{−λx} dy = λ^{2}xe^{−λx}, ha x ≥ 0.

Hasonlóan, ha f_{n}(x) = \underbrace{f ∗ ⋯ ∗ f}_{n-szer}(x) jelöli ξ_{1}+⋯+ξ_{n} sűrűségfüggvényét, akkor f_{n}(x) =

0 minden n ≥ 1 számra, ha x < 0. Azt állítom, hogy f_{n}(x) = \frac{λ^{n}x^{n−1}}{(n−1)!} e^{−λx}, ha x ≥ 0. Ezen állítás bizonyításához elég belátni teljes indukcióval azt, hogy f_{n−1} ∗ f(x) = f_{n}(x) a fent definiált f_{n} függvényekkel. Viszont

f_{n−1} ∗ f(x) = ∫_{−∞}^{∞} f_{n−1}(y)f(x − y) dy = ∫_{0}^{x} λ^{n−1} \frac{y^{n−2}}{(n − 2)!}λe^{−λy}e^{−λ(x−y)} dy

= λ^{n}e^{−λx} ∫_{0}^{x} \frac{y^{n−2}}{(n − 2)!} dy = e^{−λx} \frac{λ^{n}x^{n−1}}{(n − 1)!}, ha x ≥ 0.

Másrészt f_{n}(x) = 0, ha x ≤ 0.

Független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeiből álló vektor együttes sűrűségfüggvényének a kiszámítása. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, független exponenciális eloszlású valószínűségi változók valamely λ > 0 paraméterrel,

és tekintsük az S_{k} = ∑_{j=1}^{k} ξ_{j}, k = 1, 2, …, részletösszegeket. Az (S_{1}, …, S_{n+1}) véletlen

vektornak van g(u_{1}, …, u_{n+1}) sűrűségfüggvénye, és az a g(u_{1}, …, u_{n+1}) = λ^{n+1}e^{−λu_{n+1}} függvény, ha 0 ≤ u_{1} < ⋯ < u_{n+1}, és g(u_{1}, …, u_{n+1}) = 0 egyébként.

Bizonyítás. A fent megfogalmazott állítás igazolható, mivel ismerjük a (ξ_{1}, …, ξ_{n+1}) véletlen vektor sűrűségfüggvényét, és e sűrűségfüggvény segítségével fel tudjuk írni a keresett eloszlásfüggvény értékeit megadó P (S_{1} < x_{1}, …, S_{n+1} < x_{n+1}) valószínűségeket alkalmas integrál formájában. Ezeket az integrálokat átírva megfelelő koordinátatranszformáció segítségével megkapjuk a kívánt eredményt.

A (ξ_{1}, …, ξ_{n+1}) véletlen vektor sűrűségfüggvénye a h(v_{1}, …, v_{n+1}) = ∏_{j=1}^{n+1} k(v_{j})

függvény, ahol k(v) = λe^{−λv}, ha v ≥ 0, és k(v) = 0, ha v < 0. Továbbá,

P (S_{1} < x_{1}, …, S_{n+1} < x_{n+1}) = P ((ξ_{1}, …, ξ_{n+1}) ∈ A_{n+1})

= ∫_{A_{n+1}} h(v_{1}, …, v_{n+1}) dv_{1} … dv_{n+1}, ahol A_{n+1} = A_{n+1}(x_{1}, …, x_{n+1}) = {(v_{1}, …, v_{n+1}): v_{1} < x_{1}, v_{1} + v_{2} < x_{2}, …, v_{1} + ⋯ + v_{n+1} < x_{n+1}}. Ezután alkalmazzuk az u_{j} = v_{1} + ⋯ + v_{j}, 1 ≤ j ≤ n + 1, transz-

formációt. E transzformáció Jacobianja 1, másrészt h(v_{1}, …, v_{n+1}) = ∏_{j=1}^{n+1} k(u_{j} − u_{j−1}),

u_{0} = 0 választással, ahonnan h(v_{1}, …, v_{n+1}) = g(u_{1}, …, u_{n+1}), azaz h(v_{1}, …, v_{n+1}) = λ^{n+1}e^{−u_{n+1}}, ha 0 < u_{1} < ⋯ < u_{n+1} mert ez felel meg a v_{j} > 0, 1 ≤ j ≤ n + 1 feltételnek, és h(v_{1}, …, v_{n+1}) = g(u_{1}, …, u_{n+1}) = 0, egyébként.

Meg kell még gondolni, hogy mi az A_{n+1} halmaz B_{n+1} inverze a fenti (invertálható) transzformáció esetén, mert ez a transzformált integrál integrálási tartománya. Egyszerű számolás mutatja, hogy B_{n+1} = {(u_{1}, …, u_{n+1}): u_{1} < x_{1}, …, u_{n+1} < x_{n+1}}.

Innen azt kapjuk, hogy

P (S_{1} < x_{1}, …, S_{n+1} < x_{n+1})
= ∫_{{(u_{1},...,u_{n+1}): u_{1}<x_{1},...,u_{n+1}<x_{n+1}}} g(u_{1}, …, u_{n+1}) du_{1} … du_{n},

és ez volt a bizonyítandó állítás.

Tétel független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeinek és rendezett minták eloszlásainak a kapcsolatáról. Legyenek adva független a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók, és egy tőlük független η valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye g(x) = \frac{λ^{n+1}x^{n}}{n!} e^{−λx}, ha x ≥ 0, és g(x) = 0, ha x < 0. (Az η valószínűségi változó eloszlása megegyezik n független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó összegének az eloszlásával.) Tekintsük a ξ_{1}, … ξ_{n} valószínűségi változókból készített ξ_{1}^{∗} < ⋯ < ξ_{n}^{∗} rendezett mintát, és definiáljuk a (T_{1}, …, T_{n}) = (ηξ_{1}^{∗}, …, ηξ_{n}^{∗}) véletlen vektort, és legyen η = T_{n+1}. A

(T_{1}, …, T_{n}, T_{n+1}) = (ηξ_{1}^{∗}, …, ηξ_{n}^{∗}, η)

véletlen vektor eloszlása megegyezik n + 1 darab független λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó (S_{1}, …, S_{n+1}) részletösszegeiből álló véletlen vektor eloszlásával.

A fenti állításnak megfogalmazom egy következményét, amely valójában ekvivalens az eredeti állítással.

Következmény. Legyen ξ_{1}, …, ξ_{n+1} független, λ paraméterű exponenciális eloszlású

valószínűségi változók sorozata. Definiáljuk az S_{k} = ∑_{j=1}^{k} ξ_{j}, 1 ≤ k ≤ n + 1, részletössze-

geket és a (Z_{1}, …, Z_{n}) = (\frac{S_{1}}{S_{n+1}} , …, \frac{S_{n}}{S_{n+1}} ) véletlen vektort. A (Z_{1}, …, Z_{n}) véletlen vektor független az S_{n+1} valószínűségi változótól, és eloszlása megegyezik egy n elemű, független, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változót tartalmazó sorozatból készített rendezett minta eloszlásával.

A lemma bizonyítása. A (ξ_{1}^{∗}, …, ξ_{n}^{∗}, η) véletlen vektor sűrűségfüggvénye

g(v_{1}, …, v_{n+1}) = λ^{n+1}v_{n+1}^{n}e^{−λv_{n+1}}, ha 0 ≤ v_{1} < v_{2} < ⋯ < v_{n} ≤ 1, v_{n+1} ≥ 0, és g(v_{1}, …, v_{n+1}) = 0 egyébként. Innen kapjuk, hogy

P (T_{1} < x_{1}, …, T_{n} < x_{n}, T_{n+1} < x_{n+1}) = P (ηξ_{1}^{∗} < x_{1}, …, ηξ_{n}^{∗} < x_{n}, η < x_{n+1})
= ∫ h(v_{1}, …, v_{n+1})g(v_{1}, …, v_{n+1}) dv_{1} … dv_{n+1},

ahol

h(v_{1}, …, v_{n+1}) = 1, ha v_{j}v_{n+1} < x_{j}, 1 ≤ j ≤ n, és v_{n+1} < x_{n+1},

és h(v_{1}, …, v_{n+1}) = 0 egyébként. Írjuk át ezt az integrált az u_{j} = v_{n+1}v_{j}, 1 ≤ j ≤ n, u_{n+1} = v_{n+1} (invertálható) transzformáció segítségével. Ennek a transzformációnak a Jacobian-ja |u_{n+1}^{−n}| = u_{n+1}^{−n}, ha u_{n+1} > 0. Ugyanis v_{j} = \frac{u_{j}}{u_{n+1}} , 1 ≤ j ≤ n, v_{n+1} = u_{n+1},

ezért \frac{∂v_{j}}{∂u_{j}} = \frac{1}{u_{n+1}} , 1 ≤ j ≤ n, \frac{∂v_{j}}{∂u_{n+1}} = −\frac{u_{j}}{u_{n+1}^{2}} , 1 ≤ j ≤ n, \frac{∂v_{n+1}}{∂u_{n+1}} = 1, és \frac{∂v_{j}}{∂u_{k}} = 0 egyébként. Innen könnyen látható, hogy a Jacobiant definiáló mátrix determinánsa egyenlő a mátrix diagonális elemeinek szorzatával, ami u_{n+1}^{−n}-nel egyenlő.

Ezt felhasználva a fenti azonosságot a következőképp írhatjuk át.

P (T_{1} < x_{1}, …, T_{n} < x_{n}, T_{n+1} < x_{n+1})

= ∫ h̄(u_{1}, …, u_{n+1})ḡ(u_{1}, …, u_{n+1})u_{n+1}^{−n} du_{1} … du_{n+1}

= ∫_{{(u_{1},...,u_{n+1}): u_{1}<x_{1},...,u_{n+1}<x_{n+1}, 0≤u_{1}<···<u_{n+1}}}λ^{n+1}e^{−λu_{n+1}} du_{1} … du_{n+1},

ahol h̄(u_{1}, …, u_{n+1}) = 1, ha u_{j} < x_{j}, 1 ≤ j ≤ n + 1, és h̄(u_{1}, …, u_{n+1}) = 0 egyébként, ḡ(u_{1}, …, u_{n+1}) = λ^{n+1}u_{n+1}^{n}e^{−λu_{n+1}}, ha 0 ≤ u_{1} < u_{2} < ⋯ < u_{n} < u_{n+1}, és ḡ(u_{1}, …, u_{n+1}) = 0 egyébként. Ez azt jelenti, hogy a (T_{1}, …, T_{n}, T_{n+1}) vektor sűrűségfüggvénye λ^{n+1}e^{−λu_{n+1}}, ha 0 ≤ u_{1} < ⋯ < u_{n+1}, és nulla egyébként. Összehasonlítva ezt a relációt a független exponenciális eloszlású valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvényének a kiszámításánál kapott képlettel megkapjuk a Tétel állítását.

A következmény bizonyítása. Tekintsünk ξ_{1}, …, ξ_{n+1} független, exponenciális eloszlású

valószínűségi változókat λ paraméteterrel, ezek S_{k} = ∑_{j=1}^{k} ξ_{j}, 1 ≤ k ≤ n + 1, részletössze-

geit, valamint független, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású (Z_{1}, …, Z_{n}) valószínűségi változókat, egy tőlük független, és az S_{n+1} valószínűségi változóval megegyező eloszlású η valószínűségi változót. Vezessük be a T_{k} = ηZ_{k}, k = 1, …, n, és T_{n+1} = η valószínűségi változókat. Láttuk, hogy az (S_{1}, …, S_{n+1}) és (T_{1}, …, T_{n+1}) véletlen vektorok eloszlása megegyezik. De ebből az is következik, hogy az (\frac{S_{1}}{S_{n+1}} , …, \frac{S_{n}}{S_{n+1}} , S_{n+1})

és (\frac{T_{1}}{T_{n+1}} , …, \frac{T_{n}}{T_{n+1}} , T_{n+1}) = (Z_{1}, …, Z_{n}, η) véletlen vektorok eloszlása is megegyezik. Azt használjuk fel, hogy egy véletlen vektor eloszlása meghatározza e véletlen vektor függvényeinek az eloszlását is.

Poisson folyamatok, független egyforma eloszlású valószínűségi változók és rendezett minták közötti kapcsolatat.

Bebizonyítok néhány állítást, amelyek megmutatják, hogy a Poisson folyamatok, rendezett minták és független exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeinek viselkedése között szoros kapcsolat van. Ezen eredmények következményeként megadom a Poisson folyamatok egy konstrukcióját független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeinek a segítségével. A következő eredményt fogom bizonyítani.

Tétel Poisson folyamatok konstrukciójáról exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeinek segítségével. Legyen ξ_{1}, ξ_{2}, …, független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók sorozata. Vezessük be az S_{k} =

∑_{j=1}^{k} ξ_{j}, k = 1, 2, …, S_{0} = 0, részletösszegeket, és definiáljuk segítségükkel a következő

X(t, ω), 0 ≤ t < ∞, sztochasztikus folyamatot.

X(t, ω) = k, ha S_{k}(ω) ≤ t < S_{k+1}(ω), 0 ≤ t < ∞.

Ez az X(t, ω) sztochasztikus folyamat Poisson folyamat λ paraméterrel.

Ez az eredmény jól ismert az irodalomban. A hagyományos indoklás felhasználja a valószínűségszámítás néhány mély eredményét (Markov folyamatok, erős Markov tulajdonság). Itt egy olyan bizonyítást ismertetek, amely az eddig tanult ismereteken és bizonyos valószínűségek kiszámításán alapul. A bizonyítás során kapott eredmények Poisson eloszlások, exponenciális eloszlások és rendezett minták között fejeznek ki önmagukban is érdekes kapcsolatot.

Lemma Poisson és polinomiális eloszlás közötti kapcsolatról. Legyenek ξ_{j}, j = 1, …, r, független Poisson eloszlású valószínűségi változók λ_{j}, 1 ≤ j ≤ r, paraméterekkel. Ekkor

P (ξ_{1} = k_{1}, …, ξ_{r} = k_{r}| ∑_{j=1}^{r} ξ_{j} = n) = \frac{n!}{k_{1}! ⋯ k_{r}!} ∏_{j=1}^{r} \frac{λ_{j}^{k_{j}}}{( ∑_{s=1}^{r} λ_{s})^{k_{j}}} .

Azaz a ξ_{1}, …, ξ_{r} vektor feltételes eloszlása a ∑_{j=1}^{r} ξ_{j} = n feltétel mellett a polinomiális

eloszlás n és p_{j} = _{\frac{λ_{j}}{∑_{s=1}^{r} λ_{s}}}, 1 ≤ j ≤ r, paraméterekkel.

Bizonyítás:

P (ξ_{1} = k_{1}, …, ξ_{r} = k_{r}| ∑_{j=1}^{r} ξ_{j} = n) = \frac{P (ξ_{1} = k_{1}, …, ξ_{r} = k_{r})}{P (∑_{j=1}^{r} ξ_{j} = n)}

= \frac{P (ξ_{1} = k_{1}) ⋯ P (ξ_{r} = k_{r})}{P (∑_{j=1}^{r} ξ_{j} = n)},

mert {ω: ξ_{1}(ω) = k_{1}, …, ξ_{r}(ω) = k_{r})} ⊂ {ω: ∑_{j=1}^{r} ξ_{j}(ω) = n}, és a ξ_{1}, …, ξ_{r} valószínűségi változók függetlenek. Innen

P (ξ_{1} = k_{1}, …, ξ_{r} = k_{r}| ∑_{j=1}^{r} ξ_{j} = n) = \frac{∏_{j=1}^{r} ^{\frac{λ_{j}^{k_{j}}}{k_{j}!}} e^{−λ_{j}}}{\frac{(∑_{s=1}^{r} λ_{s})^{k_{1}+···+kr} e^{−(λ_{1}+···+λr)}}{n!}}

= \frac{n!}{k_{1}! ⋯ k_{r}!} ∏_{j=1}^{r} \frac{λ_{j}^{k_{j}}}{( ∑_{s=1}^{r} λ_{s})^{k_{j}}} .

Megfogalmazom a fenti lemma egy következményét. Annak érdekében hogy ezt megtehessem, először bevezetem az empirikus eloszlásfüggvény definicióját.

Empirikus eloszlásfüggvény definiciója. Legyen adva n független egyenletes eloszlású ξ_{1}(ω), …, ξ_{n}(ω) valószínűségi változó valamely [0, T] intervallumon. E valószínűségi változók empirikus eloszlásfüggvénye az

F_{n}(t, ω) = \frac{1}{n} × azon k, 1 ≤ k ≤ n indexek száma, amelyekre ξ_{k}(ω) < t,

0 ≤ t ≤ T, (véletlen) függvény.

Megfogalmazom a lemma egy következményét.

A Poisson és polinomiális eloszlás közötti kapcsolatról szóló lemma következménye. Legyen adva egy Y (t, ω) Poisson folyamat valamilyen λ > 0 paraméterrel egy [0, T] intervallumon és független, a [0, T] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változók n-elemű ξ_{1}, …, ξ_{n} sorozata. Tekintsük e valószínűségi változók F_{n}(t, ω) empirikus eloszlásfüggvényét. Az Y (t, ω) Poisson folyamat feltételes véges dimenziós eloszlásai feltéve, hogy Y (T, ω) = n megegyeznek az nF_{n}(t, ω) sztochasztikus folyamat véges dimenziós eloszlásaival, azaz

P (Y (t_{1}, ω) < j_{1}, …, Y (t_{k}, ω) < j_{k}|Y (T, ω) = n)
= P (nF_{n}(t_{1}, ω) < j_{1}, …, nF_{n}(t_{k}, ω) < j_{k})

minden 0 ≤ t_{1} < ⋯ < t_{k} ≤ T indexekre és j_{1}, …, j_{k} egész számokra.

Bizonyítás. Rögzítsünk valamely 0 = t_{0} ≤ t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{k} = T számokat. Elég belátni, hogy az Y (t_{j}, ω) − Y (t_{j−1}, ω), 1 ≤ j ≤ k, különbségek feltételes együttes eloszlása feltéve, hogy Y (T, ω) = n megegyezik az nF_{n}(t_{j}, ω) − nF_{n}(t_{j−1}, ω), 1 ≤ j ≤ k, különbségek együttes eloszlásával. Viszont az Y (t_{j}, ω) − Y (t_{j−1}, ω) valószínűségi változók független Poisson eloszlású valószínűségi változók λ(t_{j} −t_{j−1}) paraméterrel. Az Y (T, ω) = n feltétel azt jelenti, hogy e valószínűségi változók összege n. Ezért a Poisson és polinomiális eloszlás közötti kapcsolatról szóló lemma alapján az Y (t_{j}, ω)−Y (t_{j−1}, ω) valószínűségi változók feltételes együttes eloszlása feltéve, hogy Y (T, ω) = n polinomiális eloszlás n és p_{j} = \frac{t_{j}−t_{j−1}}{T}, 1 ≤ j ≤ k, paraméterekkel. Nyilvánvalóan az nF_{n}(t_{j}, ω) − nF_{n}(t_{j−1}, ω), 1 ≤ j ≤ k, vektornak is ez az eloszlása.

Megjegyzés. A lemma következménye megfogalmazható a következő módon. Legyen Y (T, ω) Poisson folyamat valamilyen λ paraméterrel a [0, T] intervallumban. A Poisson folyamat pontjainak a feltételes eloszlása Y (T, ω) = n feltétel mellett megegyezik n független, a [0, T] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó által meghatározott rendezett minta eloszlásával.

A következő lemma arról szól, hogy ha vesszük független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeit, és csak azokat a részletösszegeket őrízzük meg, amelyek értéke kisebb, mint egy előre rögzített x szám, akkor a megtartott tagok száma Poisson eloszlású.

Lemma független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletöszszegei és Poisson eloszlások közötti kapcsolatról. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók valamely λ > 0 paraméterrel. Definiáljuk

ezek S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}, n = 1, 2, …, S_{0} = 0, részletösszegeit, és vegyünk valamely x > 0

számot. Annak a valószínűsége, hogy mind az S_{n+1} > x, mind az S_{n} ≤ x események bekövetkeznek \frac{(λx)^{n}}{n!} e^{−λx} minden n = 0, 1, … számra. Ez azt jelenti, hogy az S_{1}(ω), S_{2}(ω), … (véletlen) sorozatnak a [0, x] intervallumba eső pontjainak száma Poisson eloszlású λx paraméterrel.

Bizonyítás: P (S_{n+1} > x, S_{n} ≤ x) = P (S_{n} ≤ x) − P (S_{n+1} ≤ x) = ∫_{0}^{x}[f_{n}(u) − f_{n+1}(u)] du, ahol f_{n}(u) jelöli az S_{n} valószínűségi változó sűrűségfüggvényét. Innen, felhasználva, hogy ismerjük S_{n} és S_{n+1} sűrűségfüggvényét kapjuk, hogy

P (S_{n+1} > x, S_{n} ≤ x) = ∫_{0}^{x} \frac{λ^{n}u^{(n−1)}}{(n − 1)!} e^{−λu} du − ∫_{0}^{x} \frac{λ^{n+1}u^{n}}{n!} e^{−λu} du,

ha n ≥ 1. Parciális integrálással (f′(u) = λe^{−λu} és g(u) = \frac{λ^{n}u^{n}}{n!} választással) kapjuk, hogy

∫_{0}^{x} \frac{λ^{n+1}u^{n}}{n!} e^{−λu} du = −\frac{λ^{n}x^{n}}{n!} e^{−λx} + ∫_{0}^{x} \frac{λ^{n}u^{n−1}}{(n − 1)!}e^{−λu} du.

A fenti két azonosságból következik a lemma állítása n ≥ 1 esetben. Ha n = 0, akkor P (S_{0} < x) − P (S_{1} < x) = 1 − ∫_{0}^{x} λe^{λu} du = e^{−λx}, tehát a lemma állítása ekkor is igaz.

Az eddig bebizonyított eredmények is mutatják, hogy az a független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegei segítségével definiált sztochasztikus folyamat, amelyről be akarjuk látni, hogy Poisson folyamat sok olyan tulajdonsággal rendelkezik, mint amit elvárunk. Ahhoz azonban, hogy állításunkat bebizonyítsuk még egy eredményre van szükségünk független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeiről. Tudjuk, hogy az olyan részletösszegek száma, amelyek egy [0, T] intervallumba esnek Poisson eloszlású. Ezenkívül azt is megmutattuk, hogy ha vesszük e valószínűségi változók n + 1-ik S_{n+1} részletösszegét, akkor a kisebb indexű részletösszegek eloszlása megegyezik egy rendezett minta eloszlásával a [0, S_{n+1}] véletlen intervallumban. Ezek az ismeretek azonban nem elegendőek a számunkra. Hasonló eredményre van szükségünk a részletösszegek egy nem véletlen intervallumba eső elemeinek az eloszlásáról. Ilyen állítást fogalmaz meg a következő lemma.

Lemma független exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeinek az eloszlásáról. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, független, exponenciális eloszlású va-

lószínűségi változók valamely λ > 0 paraméterrel, és tekintsük az S_{k} = ∑_{j=1}^{k} ξ_{j}, k =

1, 2, …, S_{0} = 0, részletösszegeket. Rögzítsünk egy A > 0 és egy n pozitív egész számot, és definiáljuk segítségükkel a C = C(A, n), C = {ω: S_{n}(ω) ≤ A < S_{n+1}(ω)} eseményt. Az (S_{1}, …, S_{n}) véletlen vektor feltételes eloszlásának feltéve a C eseményt van f(u_{1}, …, u_{n}) sűrűségfüggvénye, és ez az

f(u_{1}, …, u_{n}) = \{ \begin{matrix}\frac{n!}{A^{n}} , ha 0 ≤ u_{1} < u_{2} < ⋯ < u_{n} ≤ A, \\ 0 egyébként \end{matrix}

függvény. Ez azt jelenti, hogy

P (S_{1} < x_{1}, S_{2} < x_{2}, …, S_{n} < x_{n}|C) = ∫_{{(u_{1},...,u_{n}): u_{1}<x_{1},...,u_{n}<x_{n}}} f(u_{1}, …, u_{n}) du_{1} … du_{n}

minden x_{1}, …, x_{n} valós szám-n-esre ezzel az f(u_{1}, …, u_{n}) függvénnyel.

Megjegyzés. Tekintsük független, (azonos paraméterű) exponenenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeinek azokat a tagjait, amelyek egy [0, x] intervallumba esnek. A fenti lemma azt állítja, hogy azon feltétel mellett, hogy ebbe az intervallumba pontosan n részletösszeg esik, e részletösszegek együttes eloszlása megegyezik egy a [0, x] intervallumban vett független, egyenletes eloszlású valószínűségi változókból készített rendezett minta eloszlásával.

Bizonyítás: Rögzítsünk bizonyos 0 < x_{1}, …, x_{n} ≤ A számokat, definiáljuk a D = D(x_{1}, …, x_{n}) = {ω: S_{1}(ω) < x_{1}, …, S_{n}(ω) < x_{n}} eseményt, és számoljuk ki a P (D∩C) valószínűséget. (E kifejezésben C = {ω: S_{n}(ω) ≤ A < S_{n+1}(ω)}.) A

P (D ∩ C) = ∫_{B} f_{0}(u_{1}, …, u_{n})λ^{n+1}e^{−λv} du_{1} … du_{n} dv
= ∫_{B_{0}} f_{0}(u_{1}, …, u_{n}) du_{1} … du_{n} ∫_{A}^{∞} λ^{n+1}e^{−λv} dv,

azonosság érvényes, ahol

f_{0}(u_{1}, …, u_{n}) = 1, ha 0 ≤ u_{1} < u_{2} < ⋯ < u_{n}, f_{0}(u_{1}, …, u_{n}) = 0 egyébként,
B = B(x_{1}, …, x_{n}, v) = {(u_{1}, …, u_{n}, v): u_{1} < x_{1}, …, u_{n} < x_{n}, v > A)},

és

B_{0} = B_{0}(x_{1}, …, x_{n}) = {(u_{1}, …, u_{n}): u_{1} ≤ x_{1}, …, u_{n} < x_{n})}.

Ugyanis a P (D ∩ C) valószínűség kiszámításához az (S_{1}, …, S_{n+1}) véletlen vektor sűrűségfüggvényét kell integrálni az U = {(u_{1}, …, u_{n}, u_{n+1}): u_{1} < x_{1}, …, u_{n} < x_{n}, A < u_{n+1} < ∞} halmazon. Ez a sűrűségfüggvény f_{0}(u_{1}, …, u_{n})λ^{n+1}e^{−λu_{n+1}}-gyel egyenlő az U halmazon a független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeinek eloszlásáról szóló lemma alapján. Az így kapott integrál pedig faktorizálható. Ez van felírva az azonosság második sorában.

Speciálisan x_{1} = x_{2} = ⋯ = x_{n} = A választással P (C) = \frac{A^{n}}{n!} ∫_{A}^{∞} λ^{n+1}e^{−λv} dv, mert

∫_{B_{0}(A,...,A)} f_{0}(u_{1}, …, u_{n}) du_{1} … du_{n} = \frac{A^{n}}{n!} .

(Az integrálást elvégezve megkapjuk a P (C) = \frac{(λA)^{n}}{n!} e^{−λA} formulát, azaz a független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegei és Poisson eloszlások közötti kapcsolatról szóló lemma egy másik bizonyítását.)

Innen

P (S_{1} < x_{1}, S_{2} < x_{2}, …, S_{n} < x_{n}|C) = P (D|C) = \frac{P (D ∩ C)}{P (C)}

= \frac{n!}{A^{n}} ∫_{u_{1}<x_{1},...,u_{n}<x_{n}} f_{0}(u_{1}, …, u_{n}) du_{1} … du_{n}

= ∫_{u_{1}<x_{1},...,u_{n}<x_{n}} f(u_{1}, …, u_{n}) du_{1} … du_{n},

és ezt kellett belátnunk.

A már bizonyított eredmények segítségével meg tudjuk mutatni, hogy független, exponenciális eloszlású valószínűségi változok segítségével valóban Poisson folyamatot definiáltunk az általunk javasolt módon.

Annak igazolása hogy az exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeinek segítségével definiált konstrukció valóban Poisson folyamatot definiál. Annak igazolásához, hogy a definiált X(t, ω) folyamat teljesíti a Poisson folyamatok definiciójának (iii) feltételét a trajektóriák viselkedéséről elég azt megmutatni, hogy lim_{k→∞} S_{k}(ω) = ∞

az S_{k}(ω) részletösszegekre. Ez azonnal következik például a Borel–Cantelli lemmából,

mert ∑_{k=1}^{∞} P (ξ_{k} > x) = ∞ minden x > 0 számra, így majdnem minden ω-ra végtelen sok

olyan k index van, amelyre ξ_{k}(ω) > x.

Az, hogy az X(t, ω) folyamat teljesíti a Poisson folyamatok (i) és (ii) tulajdonságát ekvivalens azzal az állítással, hogy akárhogy választunk valamely 0 ≤ t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{k} pontokat a számegyenesen és egy λ paraméterű Y (t, ω), t > 0, Poisson folyamatot, (tudjuk, hogy ilyen Poisson folyamat létezik), az (X(t_{1}, ω), …, X(t_{k}, ω)) és (Y (t_{1}, ω), …, Y (t_{k}, ω)) véletlen vektorok eloszlása megegyezik. Tudjuk, hogy mind az X(t_{k}, ω) mind az Y (t_{k}, ω) valószínűségi változó Poisson eloszlású λt_{k} paraméterrel.

Ezért a bizonyítás befejezéséhez elég azt megmutatni, hogy tetszőleges n nem-negatív egész számra és 1 ≤ j_{1} ≤ n, …, 1 ≤ j_{k−1} ≤ n számokra

P (X(t_{1}, ω) < j_{1}, …, X(t_{k−1}, ω) < j_{k−1}|X(t_{k}, ω) = n)
= P (Y (t_{1}, ω) < j_{1}, …, Y (t_{k−1}, ω) < j_{k−1}|Y (t_{k}, ω) = n).

A független exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeinek az eloszlásáról szóló lemma alapján a bizonyítandó azonosság baloldalán álló kifejezést kiszámíthatjuk a következő módon. Vegyünk n független egyenletes eloszlású η_{1}, …, η_{n} valószínűségi változót a [0, t_{k}] intervallumban, és készítsük el belőlük az η_{1}^{∗} < η_{2}^{∗} < ⋯ < η_{n}^{∗} rendezett mintát. Ekkor

P (X(t_{1}, ω) < j_{1}, …, X(t_{k−1}, ω) < j_{k−1}|X(t_{k}, ω) = n)
= P (S_{j_{1}}(ω) ≥ t_{1}, …, S_{j_{k−1}}(ω) ≥ t_{k−1}|S_{n}(ω) ≤ t_{k} < S_{n+1})
= P (η_{j_{1}}^{∗}(ω) ≥ t_{1}, …, η_{j_{k−1}}^{∗}(ω) ≥ t_{k−1}).

Jelölje F_{n}(t, ω) az η_{1}, …, η_{n} valószínűségi változók empirikus eloszlásfüggvényét. Ekkor

{ω: η^{∗}j_{1}(ω) ≥ t_{1}, …, η_{j_{k−1}}^{∗}(ω) ≥ t_{k−1}}
= {ω: nF_{n}(t_{1}, ω) < j_{1}, …, nF_{n}(t_{k−1}, ω) < j_{k−1}},

ahonnan kapjuk, hogy

P (X(t_{1}, ω) < j_{1}, …, X(t_{k−1}, ω) < j_{k−1}|X(t_{k}, ω) = n)
= P (nF_{n}(t_{1}, ω) < j_{1}, …, nF_{n}(t_{k−1}, ω) < j_{k−1}).

Viszont a Poisson és polinomiális eloszlás közötti kapcsolatról szóló lemma következménye alapján az utolsó azonosság jobboldala egyenlő a bizonyítandó azonosság jobboldalával. Innen következik a bizonyítandó azonosság. Ezzel beláttuk, hogy a konstruált sztochasztikus folyamat valóban Poisson folyamat.

1. megjegyzés. A bebizonyított eredmény szemléletes tartalma a következő. Tekintsük a következő két véletlen pontrendszert:

a) Ledobunk a [0, T] intervallumra egymástól függelenül véletlen sok pontot egyenletes eloszlással a [0, T] intervallumban. A ledobott pontok száma legyen Poisson eloszlású λT paraméterrel.

b) Vesszük független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeit, és e véletlen összegek közül megtartjuk azokat, amelyek értéke kisebb, mint T.

Az a) és b) pontban definiált két véletlen pontrendszer eloszlása megegyezik.

2. megjegyzés. Az 1. megjegyzésben megfogalmazott állítás szemléletesen is jól megmagyarázható. A b) pontban definiált pontrendszer eloszlásának viselkedését kell megérteni. Ezt az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságának a felhasználásával tehetjük meg. Osszuk fel a [0, T] intervallumot kis ΔT hosszú diszjunkt intervallumok uniójára. Ekkor az örökifjú tulajdonság miatt a vizsgált pontrendszert jó közelítéssel úgy jellemezhetjük, hogy az egyes ΔT hosszú intervallumokba egymástól függetlenül λΔT valószínűséggel kerülnek pontok, és minden ilyen intervallumba legfeljebb egy pont kerül. Innen következik a Határeloszlástétel Poisson határeloszlással eredmény alapján, hogy a [0, T] intervallumba eső pontok száma Poisson eloszlású λT paraméterrel. Továbbá ama feltétel mellett, hogy pontosan n pont esik ebbe az intervallumba, ezen n pont minden elhelyezkedése egyformán valószínű. Ezért e pontrendszer eloszlása ama feltétel mellett, hogy n elemből áll olyan, mint n független, a [0, T] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változóból készített rendezett minta eloszlása.

Végül megadom a Poisson folyamatok egy jellemzését a bizonyított eredmények alapján.

Poisson folyamatok egy jellemzése. Legyen X(t, ω) egy Poisson folyamat λ paraméterrel. Ekkor egy valószínűséggel X(0, ω) = 1, és az X(t, ω) sztochaszikus folyamat trajektóriái olyan monoton növekvő, jobbról folytonos, egész szám értékű függvények, amelyeknek minden véges intervallumban véges sok ugráshelye van, és e trajektóriák minden ugráshelyen 1-et ugranak. Ezenkívül az egymást követő ugráshelyek közötti intervallumok hosszai egymástól független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók.

Az, hogy a Poisson folyamat trajektóriái teljesítik a Poisson folyamatok egy jellemzésében előírt tulajdonságokat egyszerűen ellenőrizhető például a P (X(t, ω) < ∞) = 1 relációból és a Poisson és polinomiális eloszlás közötti kapcsolatról szóló lemma következményéből. (Azt kell ellenőrizni, hogy a Poisson folyamat minden ugráspontban csak egyet ugrik.) Láttuk azt is, hogy van olyan λ paraméterű Poisson folyamat, amelyre az ugráshelyek közötti intervallumok hosszai független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók λ paraméterrel. Annak igazolásához, hogy minden λ paraméterű Poisson folyamat rendelkezik ezzel a tulajdonsággal azt kell megmutatni, hogy egy Poisson folyamat ugráspontjai közötti intervallumok hosszainak együttes eloszlását meghatározzák a folyamat véges dimenziós eloszlásai. Ez következik az alábbi lemmából.

Lemma egyszerű trajektóriájú sztochasztikus folyamatok tulajdonságairól. Legyen egy X(t, ω), t > 0, sztochasztikus folyamat olyan, hogy X(0, ω) = 1, majdnem minden trajektóriája jobbról folytonos, egész értékű monoton növekvő függvény, amelynek minden intervallumban véges sok ugráshelye van, és minden ugrás értéke 1. Legyenek U_{1}(ω) < U_{2}(ω) < ⋯ az X(t, ω) sztochasztikus folyamat ugráshelyei növekvő sorrendben. Akkor az X(t, ω) sztochasztikus folyamat véges dimenziós eloszlásai meghatározzák az U_{1}(ω), U_{2}(ω), … sorozat véges dimenziós eloszlásait.

A lemma bizonyítása. Vegyük észre, hogy {ω: U_{1}(ω) ≤ t_{1}, U_{2}(ω) ≤ t_{2}, …, U_{k}(ω) ≤ t_{k}} = {ω: X(t_{1}, ω) ≥ 1, X(t_{2}, ω) ≥ 2, …, X(t_{k}, ω) ≥ k} minden k = 1, 2, … és t_{1} ≥ 0, t_{2} ≥ 0, … t_{k} ≥ 0 számsorozatra. (Azt mondjuk, hogy U_{j}(ω) = ∞, ha nincsen jik ugráspont.) Ezért P (U_{1}(ω) ≤ t_{1}, U_{2}(ω) ≤ t_{2}, …, U_{k}(ω) ≤ t_{k}) = P (X(t_{1}, ω) ≥ 1, X(t_{2}, ω) ≥ 2, …, X(t_{k}, ω) ≥ k). Mivel ezek a valószínűségek (minden t_{1}, …, t_{k} számra) meghatározzák az U_{1}(ω), …, U_{k}(ω) véletlen vektor eloszlását, innen következik a lemma állítása.

Kiegészítés: A Poisson határeloszlással rendelkező határeloszlástétel bizonyítása

Ennek az előadás fő részében kimondott tételnek ismertetem egy perturbációs elven alapuló bizonyítását. Megmutatom, hogy az egyes soraiban független, Poisson eloszlású valószínűségi változókat tartalmazó szériasorozatokra a szériasorozatban szereplő Poisson eloszlású valószínűségi változókra tett enyhe feltételek mellett igaz a határeloszlástétel, és azt, hogy ha valószínűségi változók egy sorozata tart egy határeloszláshoz, akkor ez az állítás érvényben marad e valószínűségi változók kis perturbációjára is. Végül egy alkalmas konstrukcióval megmutatom, hogy ezekből az eredményekből levezethető a megfogalmazott határeloszlástétel.

Pontosabban, a következő állításokat fogom belátni.

Határeloszlástétel Poisson eloszlású valószínűségi változókból álló szériasorozatokra. Legyenek adva λ_{k,j} paraméterű η_{k,j}, Poisson eloszlású valószínűségű változók, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, úgy, hogy rögzített k-ra az η_{k,j}, 1 ≤ j ≤ n_{k}, valószínűségi

változók függetlenek, és a λ_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{k,j} összegek teljesítik a lim_{k→∞} λ_{k} = λ relációt valamely

λ > 0 számmal. Ekkor a T_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} η_{k,j} véletlen összegek eloszlásban konvergálnak a λ

paraméterű Poisson eloszláshoz.

Határeloszlástétel véletlen sorozatok kis perturbációjára. (Slutzky lemma.) Legyen adva valószínűségi változók egy T_{k} és ε_{k} sorozata, k = 1, 2, …, úgy, hogy a T_{k} sorozat eloszlásban konvergál egy F eloszláshoz, és az ε_{k} sorozat sztochasztikusan konvergál nullához, ha k → ∞. Ekkor az S_{k} = T_{k} + ε_{k}, k = 1, 2, …, sorozat szintén eloszlásban konvergál az F eloszláshoz, ha k → ∞.

Lemma alkalmas Poisson eloszlású valószínűségi változók konstrukciójáról. Legyen adva egy ξ nem negatív egész értékeket felvevő valószínűségi változó, amelyre λ = P (ξ = 1) ≤ \frac{1}{10}, és egy a ξ valószínűségi változótól független, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású ζ valószínűségi változó. Legyen λ̄ az xe^{−x} = λ egyenlet egynél kisebb megoldása. Ekkor konstruálható olyan y = f(k, x), k = 0, 1, 2, …, 0 ≤ x ≤ 1, függvény, amelyre az η = f(ξ, ζ) valószínűségi változó Poisson eloszlású λ̄ paraméterrel, {ω: ξ(ω) = 1} = {ω: η(ω) = 1}, {ω: ξ(ω) = 0} ⊂ {ω: η(ω) = 0}, ha P (ξ(ω) = 0) ≤ P (η(ω) = 0), és {ω: ξ(ω) = 0} ⊃ {ω: η(ω) = 0}, ha P (ξ(ω) = 0) ≥ P (η(ω) = 0).

Először megmutatom, hogy ezekből az eredményekből következik az előadásban megfogalmazott határeloszlástétel.

Tekintsük a tételben szereplő ξ_{k,j} valószínűségi változókat, és válasszunk ezenkívül egymástól és a ξ_{k,j} valószínűségi változóktól független, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású ζ_{k,j} valószínűségi változókat, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}. Definiáljunk mindegyik (ξ_{k,j}, ζ_{k,j}) párhoz egy az alkalmas Poisson eloszlású valószínűségi változók konstrukciójáról szóló lemmában felsorolt feltételeknek eleget tevő f(k, x) függvényt és η_{k,j} = f(ξ_{k,j}, ζ_{k,j}) λ̄_{k,j} paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változót, ahol λ̄_{k,j} az xe^{−x} = λ_{k,j} egyenlet [0, 1] intervallumba eső megoldása. (A felhasznált lemmában szerepelt a λ < \frac{1}{10} feltétel. Ez azonban nem okoz problémát, mert a sup_{1≤j≤n_{k}} λ_{k,j} → 0,

ha k → ∞ feltétel miatt ez a feltétel teljesül k ≥ k_{0} esetben alkalmas k_{0} index-szel, és a szériasorozat első néhány sorát elhagyhatjuk. Ez nem változtatja meg a konvergencia jellegét.) Megmutatom, hogy az így bevezetett η_{k,j} valószínűségi változók segítségével a bizonyítandó határeoszlás levezethető a Slutzky lemmából.

Tekintsük az η_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, szériasorozatot és a T_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} η_{k,j}

összegeket. Azt állítom, hogy ezekre alkalmazható a határeloszlástétel Poisson eloszlású valószínűségi változókból álló szériasorozatokra, és ez azt adja, hogy a T_{k} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak a λ paraméterű Poisson eloszláshoz. Valóban, a (ξ_{k,j}, ζ_{k,j}) párok függetlenségéből rögzített k indexre következik az η_{k,j} (Poisson eloszlású) valószínűségi változók függetlensége is rögzített k indexre. Ezért elég megmutatni

azt, hogy a λ̄_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} λ̄_{k,j} összegek teljesítik a lim_{k→∞} λ̄_{k} = λ relációt. Viszont egyszerű

számolás mutatja, hogy |λ̄_{k,j} − λ_{k,j}| ≤ 10λ_{k,j}^{2}, azaz λ̄_{k,j} és λ_{k,j} elég közel vannak

egymáshoz. Innen |λ_{k} − λ̄_{k}| ≤ 10 ∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{k,j}^{2} ≤ 10 ( sup_{1≤j≤n_{k}} λ_{k,j}) ∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{k,j} → 0, ha k → ∞,

mert sup_{1≤j≤n_{k}} λ_{k,j} → 0, és ∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{k,j} → λ, ha k → ∞. Innen következik, hogy nemcsak a

lim_{k→∞} λ_{k} = λ, hanem a lim_{k→∞} λ̄_{k} = λ reláció is teljesül.

Vezessük be az ε_{k} = S_{k} − T_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}}(ξ_{k,j} − η_{k,j}), k = 1, 2, …, valószínűségi

változókat. Azt akarjuk megmutatni, hogy az S_{k} valószínűségi változóknak ugyanolyan határeloszlásuk van, mint a T_{k} valószínűségi változóknak, ha k → ∞. Ehhez a Slutzky lemma alapján elég megmutatni, hogy az ε_{k} valószínűségi változók sztochasztikusan nullához tartanak, ha k → ∞. A következő, formálisan erősebb állítást fogom megmutatni.

P (ε_{k} ≠ 0) ≤ ∑_{j=1}^{n_{k}} P (ξ_{k,j} ≠ η_{k,j}) → 0, ha k → ∞.

E reláció bizonyítása érdekében írjuk fel a

P (ξ_{k,j} ≠ η_{k,j}) ≤ P (ξ_{k,j} ≥ 2) + P (η_{k,j} ≥ 2) + |P (ξ_{k,j} = 0) − P (η_{k,j} = 0)|
≤ P (ξ_{k,j} ≥ 2) + P (η_{k,j} ≥ 2) + |P (ξ_{k,j} = 0) − (1 − λ_{k,j})|
+ |P (η_{k,j} = 0) − (1 − λ̄_{k,j})| + |λ̄_{k,j} − λ_{k,j}|

egyenlőtlenséget. Vegyük továbbá észre, hogy

(1 − λ_{k,j}) − P (ξ_{k,j} = 0) = ∑_{l: l≠1} P (ξ_{k,j} = l) − P ((ξ_{k,j} = 0) = P (ξ_{k,j} ≥ 2),

és hasonlóan (1 − λ̄_{k,j}) − P (η_{k,j} = 0) = P (η_{k,j} ≥ 2). Ezért az előző egyenlőtlenség átírható, mint

P (ξ_{k,j} ≠ η_{k,j}) ≤ 2P (ξ_{k,j} ≥ 2) + 2P (η_{k,j} ≥ 2) + |λ̄_{k,j} − λ_{k,j}|.

A kívánt becslést megkaphatjuk ezen egyenlőtelenségek j argumentum szerinti összege-

zésével rögzített k-ra. Felhasználjuk, hogy egyrészt ∑_{j=1}^{n_{k}} P (ξ_{k,j} ≥ 2) → 0, ha k → 0 a

bizonyítandó tétel feltételei miatt, másrészt ∑_{j=1}^{n_{k}} P (η_{k,j} ≥ 2) ≤ ∑_{j=1}^{n_{k}} 2λ̄_{k,j}^{2} ≤ ∑_{j=1}^{n_{k}} 4λ_{k,j}^{2} → 0,

ha k → ∞ a Poisson eloszlások tulajdonságai és a |λ_{k,j} − λ̄_{k,j}| ≤ 10λ_{k,j}^{2} egyenlőtlenség miatt. Hasonlóan

∑_{j=1}^{n_{k}} |λ̄_{k,j} − λ_{k,j}| ≤ 10 ∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{k,j}^{2} → 0, ha k → ∞.

Ezen egyenlőtlenségek alapján

∑_{j=1}^{n_{k}} P (ξ_{k,j} ≠ η_{k,j}) → 0, ha k → ∞,

és a Slutzky lemma segítségével megkapjuk, hogy nemcsak a T_{k}, hanem az S_{k} sorozat is konvergál eloszlásban a λ paraméterű Poisson eloszláshoz, ha k → ∞.

Megjegyzés. Valamely F_{n} eloszlásfüggvények konvergenciája egy F eloszlásfüggvényhez azt jelenti, hogy az F (·) határeloszlásfüggvény minden x folytonossági pontjában az F_{n}(x) eloszlásfüggvények sorozata konvergál a határeloszlásfüggvény F (x) értékéhez. Ebben a tételben, legalábbis formálisan, másképp fogalmaztuk meg az eloszlásban való konvergenciát. Valójában azonban, mivel olyan speciális esetet tekintetettünk, ahol egész értékű valószínűségi változók eloszlásának sorozata konvergál egy egész értékű valószínűségi változó eloszlásához, az itt kimondott konvergencia ugyanazt jelenti, mint a hagyományos értelemben vett konvergencia.

Valóban, legyen S egy λ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, és rögzítsünk egy tetszőleges l nem negatív egész számot. Ez a szám nem folytonossági pontja az S valószínűségi változó eloszlásfüggvényének, viszont felírhatjuk a P (S = l) = P (S < l + \frac{1}{2}) − P (S < l − \frac{1}{2}) azonosságot. Hasonlóan P (S_{k} = l) = P (S_{k} < l+ \frac{1}{2})−P (S_{k} < l− \frac{1}{2}) minden k = 1, 2, … számra. Másrészt lim_{k→∞}[P (S_{k} < l+ \frac{1}{2})−P (S_{k} <

l − \frac{1}{2})] = [P (S < l + \frac{1}{2}) − P (S < l − \frac{1}{2})], a bizonyított konvergenciából, és innen adódik a Tétel eredeti formában kimondott állítása. Azt is be lehet látni, hogy a tételben kimondott konvergenciából következik a hagyományos értelemben vett eloszlásban való konvergencia ebben az esetben.

A Poisson eloszlású valószínűségi változókból álló szériasorozatokra vonatkozó határeloszlástétel bizonyítása. Az állítás nyilvánvaló, mert a tekintett T_{k} valószínűségi változók, amelyek független Poisson eloszlású valószínűségi változók összegei, Poisson eloszlásúak. Továbbá paraméterük λ_{k}. Ezért a lim_{k→∞} λ_{k} = λ relációból következik, hogy a T_{k} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak a λ paraméterű Poisson eloszláshoz.

A Slutzky lemma bizonyítása. Tekintsük az F (·) határeloszlás függvény egy x folytonossági pontját. Rögzítsünk egy kis δ > 0 számot, és válasszunk olyan η > 0 számot, amelyre F (x + η) < F (x) + δ, F (x − η) > F (x) − δ, és mind az x + η, mind az x − η pont folytonossági pontja az F (·) függvénynek. Ezzel a választással

P (T_{k} + ε_{k} < x) ≤ P (T_{k} < x + η) + P (ε_{k} < −η)

és

1 − P (T_{k} + ε_{k} < x) = P (T_{k} + ε_{k} ≥ x)
≤ P (T_{k} ≥ x − η) + P (ε_{k} > η) = 1 − P (T_{k} < x − η) + P (ε_{k} > η).

Innen

P (T_{k} < x − η) − P (ε_{k} > η) ≤ P (T_{k} + ε_{k} < x) ≤ P (T_{k} < x + η) + P (ε_{k} < −η),

és k → ∞ határátmenetet alkalmazva és felhasználva azt, hogy az ε_{k} valószínűségi változók sztochasztikusan nullához konvergálnak azt kapjuk, hogy

F (x) − δ ≤ F (x − η) ≤ lim inf_{k→∞} P (T_{k} + ε_{k} < x)

≤ lim sup_{k→∞} P (T_{k} + ε_{k} < x) ≤ F (x + η) ≤ F (x) + δ.

Mivel ez az állítás minden δ > 0 számra érvényes, innen következik a Slutzky lemma.

Az alkalmas Poisson eloszlású valószínűségi változók konstrukciójáról szóló lemma bizonyítása. Definiáljuk az f(k, x) függvényt a k = 1 esetben az f(1, x) = 1 formulával minden 0 ≤ x ≤ 1 számra. Az f(k, x) függvénynek az általános esetben érvényes definiciója előtt vezessük be a p_{k} = P (ξ = k) és p̄_{k} = \frac{λ̄^{k}}{k!} e^{−λ̄}, k = 0, 1, 2, …, mennyi-

ségeket. (Speciálisan p_{1} = p̄_{1} = λ.) Legyen továbbá P_{2} = ∑_{k=2}^{∞} p_{k}, és P̄_{2} = ∑_{k=2}^{∞} p̄_{k}. Ha

p̄_{0} ≤ p_{0}, akkor legyen f(0, x) = 0, ha 0 ≤ x ≤ \frac{p̄_{0}}{p_{0}} , és azokban a (k, x) pontokban, ahol még nem definiáltuk az f(k, x) függvényt ott ezt úgy fogjuk megtenni, hogy ezekben a pontokban az f(·) függvény 1-nél szigorúan nagyobb egész értékeket vegyen fel. Ha p̄_{0} > p_{0}, akkor legyen f(0, x) = 0 minden 0 ≤ x ≤ 1 számra, és f(k, x) = 0, ha k ≥ 2 és 0 ≤ x ≤ \frac{(p̄_{0}−p_{0})}{P_{2}}. Ebben az esetben is úgy fogjuk definiálni az f(k, x) függvényt a még nem tekintett (k, x) argumentumokban, hogy az ott 1-nél szigorúan nagyobb egész értéket vegyen fel. Még nem definiáltuk az f(k, x) függvényt mindenütt, de már előírtuk, hogy hol vesz fel nulla és 1 értéket. Innen következik, hogy P (η = 0) = p̄_{0}, P (η = 1) = p̄_{1}, P (η ≥ 2) = P̄_{2}, továbbá {ω: ξ(ω) = 1} = {ω: η(ω) = 1}, {ω: ξ(ω) = 0} ⊂ {ω: η(ω) = 0}, ha P (ξ(ω) = 0) ≤ P (η(ω) = 0), és {ω: ξ(ω) = 0} ⊃ {ω: η(ω) = 0}, ha P (ξ(ω) = 0) ≥ P (η(ω) = 0). A {(k, x): f(k, x) = j}, j = 2, 3, …, halmazokat úgy kell definiálni, hogy teljesüljön a P (η = j) = P (f(ξ, ζ) = j) = p̄_{j} azonosság minden j ≥ 2 egész számra.

Egy kívánt tulajdonságú f(k, x) függvényt például a következőképp definiálhatunk. Az f(k, x) függvény definicióját bizonyos C_{k} = {(k, x): A_{k} < x ≤ 1}, k = 0 vagy k = 2, 3, …, alakú halmazok unióján kell még megadni, ahol A_{0} = 1, és A_{k} = \frac{(p̄_{0}−p_{0})}{P_{2}} a k ≥ 2 esetben, ha p̄_{0} > p_{0}, és A_{0} = \frac{p̄_{0}}{p_{0}} , és A_{k} = 0 a k ≥ 2 esetben, ha p̄_{0} ≤ p_{0}. Vegyük észre, hogy ∑_{k: k≠1} p_{k}(1 − A_{k}) = 1 − p_{1} − p̄_{0} = 1 − p̄_{1} − p̄_{0} = P̄_{2}. Osszuk fel mindegyik

[A_{k}, 1] intervallumot b_{k,j} = \frac{p̄_{j}}{P̄_{2}} (1−A_{k}) hosszúságú diszjunkt B_{k,j} intervallumok uniójára,

j = 2, 3, . . .. Mivel ∑_{j=2}^{∞} b_{k,j} = (1 − A_{k}) ∑_{j=2}^{∞} \frac{p̄_{j}}{P̄_{2}} = 1 − A_{k}, ez lehetséges. Ilyen választással

P (η = j) = ∑_{k: k≠1} p_{k}b_{k,j} = \frac{p̄_{j}}{P̄_{2}} ∑_{k: k≠1} p_{k}(1 − A_{k}) = p̄_{j} minden j ≥ 2 számra, mivel

∑_{k: k≠1} p_{k}(1 − A_{k}) = P̄_{2}. Ez azt jelenti, hogy ez a konstrukció rendelkezik a lemmában

előírt tulajdonságokkal.