\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2.5pt plus 1pt
\TagsOnRight

\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script=cmcsc10


\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat hatodik t\'em\'aja.}

\medskip
\centerline{\bf A NAGY SZ\'AMOK T\"ORV\'ENYE}

\medskip\noindent
Ezen el\H{o}ad\'as t\'em\'aja a nagy sz\'amok (er\H{o}s \'es
gyenge) t\"orv\'enye. Kiss\'e leegyszer\H{u}s\'{\i}tve fogalmazva
a nagy sz\'amok t\"orv\'enye azt mondja ki, hogy ha vessz\"uk $n$
f\"uggetlen \'es egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \'atlag\'at, akkor ez az \'atlag nagyon \'altal\'anos
felt\'etelek mellett egy konstanshoz tart $n\to\infty$ eset\'en. A
r\'eszletesebb t\'argyal\'asban meg kell \'erteni, hogy milyen
\'ertelemben tartanak ezek az \'atlagok konstanshoz, illetve hogy
milyen felt\'eteleket kell teljes\'{\i}tenie a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak ahhoz,
hogy egy ilyen konvergencia \'erv\'enyes legyen. Ezenk\'{\i}v\"ul
szeretn\'enk meghat\'arozni a limeszben megjelen\H{o} konstans
\'ert\'ek\'et is. Mint l\'atni fogjuk ez a sz\'am nagyon
\'altal\'anos esetben azon val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'evel egyenl\H{o}, amelyeknek az \'atlag\'at
tekintett\"uk.

F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
konvergenci\'aj\'anak a fogalm\'at t\"obb k\"ul\"onb\"oz\H{o}
m\'odon defini\'alhatjuk, \'es e definici\'ok mindegyike
\'ertelmes. Ebben az el\H{o}ad\'asban a nagy sz\'amok er\H{o}s \'es
gyenge t\"orv\'eny\'et ismertetem, amelyek a majdnem minden\"utt
\'es a sztochasztikus konvergenci\'aval kapcsolatosak. A nagy
sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye annak adja meg a sz\"uks\'eges
\'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et, hogy f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlagai
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tartsanak egy sz\'amhoz, a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'enye pedig annak, hogy ez a konvergencia
sztochasztikus \'ertelemben teljes\"ulj\"on. Mint l\'atni fogjuk
mind a nagy sz\'amok er\H{o}s mind a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye bizonyos momentum jelleg\H{u} felt\'etelek
teljes\"ul\'ese eset\'en \'erv\'enyes. Ezek a felt\'etelek azt
k\"ovetelik meg, hogy a tekintett \'atlagban r\'esztvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok csak viszonylag kis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vegyenek fel nagy \'ert\'ekeket.
Ez \"osszhangban van a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-r\H{o}l tanultakkal. A
centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel akkor
\'erv\'enyes, ha teljes\"ul a Lindeberg felt\'etel. Ez
szint\'en olyan megk\"ot\'est jelent, hogy a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok csak kis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesznek fel nagyon nagy \'ert\'ekeket.

Az eredm\'enyek jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or
\'attekintem az eredm\'enyekben megjelen\H{o} konvergencia fogalmak
k\"oz\"otti kapcsolatot. Felid\'ezek t\"obb kor\'abban ta\-nult
eredm\'enyt. Ugyancsak ismertetem a nagy sz\'amok er\H{o}s \'es
gyenge t\"orv\'eny\'enek olyan kor\'abban ta\-nult,
egyszer\H{u}s\'{\i}tett v\'altozat\'at, amelyekben ezeket
az eredm\'enyeket a sz\"uks\'egesn\'el er\H{o}sebb
felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en bizony\'{\i}tottam be.
E bizony\'{\i}t\'asok \"osszehasonl\'{\i}t\'asa az eredeti
eredm\'enyek bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-val \'erthet\H{o}bb\'e
teszi bizonyos \'er\-ve\-l\'e\-sek szerep\'et \'es bizonyos
r\'eszeredm\'enyek jelent\H{o}s\'eg\'et.

A bizony\'{\i}t\'asok sor\'an n\'eh\'any \"onmag\'aban is
\'erdekes ered\-m\'eny is megjelenik. Ilyen eredm\'eny a
Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg, amely f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-nek maximum\'ar\'ol ad olyan
becsl\'est, mint amilyet a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg ad akkor,
ha csak e szupr\'emum utols\'o tagj\'at becs\"ulj\"uk.
Ezenk\'{\i}v\"ul bebizony\'{\i}tok n\'eh\'any olyan eredm\'enyt,
amelyek bizony\'{\i}t\'asa az itt t\'argyalt m\'odszerek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel t\"ort\'enik. Ilyen a Kolmogorov-f\'ele
h\'arom sor t\'etel, amely megadja annak sz\"uks\'eges \'es
el\'egs\'eges felt\'etel\'et, hogy v\'egtelen sok f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszege egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel kon\-ver\-g\'al\-jon. Egy m\'asik
fontos t\'argyaland\'o eredm\'eny az \'ugynevezett Kolmogorov-f\'ele
nulla--egy t\"orv\'eny, amely arra ad magyar\'azatot, hogy mi\'ert
tal\'alkozunk f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
tulajdons\'againak a vizsg\'alat\'an\'al gyakran olyan
ese\-m\'e\-nyek\-kel, amelyeknek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
bizonyos  esetekben nulla m\'as esetekben egy, de sohasem valamely
e k\'et sz\'am k\"oz\"otti \'ert\'ek.

Ahhoz, hogy a nagy sz\'amok er\H{o}s \'es gyenge t\"orv\'eny\'et
megfogalmazhassuk, el\H{o}sz\"or meg kell adnunk az ezen
eredm\'enyekben haszn\'alt konvergenci\'ak definici\'oj\'at \'es
tisz\-t\'az\-nunk kell ezek kapcsolat\'at egym\'assal.
Ezenk\'{\i}v\"ul felid\'ezem az eloszl\'asban val\'o
kon\-ver\-gen\-cia fogalm\'at is annak \'erdek\'eben, hogy ezt
is \"ossze\-ha\-son\-l\'{\i}t\-has\-suk a fenti k\'et
konvergenciafogalommal.

\medskip\noindent
{\bf Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergencia
definici\'oja:}  {\it Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\ $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak defini\'alva,
m\'asr\'eszt)
$$
P\(\oo\colon\; \lim_{n\to\infty}\xi_n(\oo)=\xi(\oo)\)=1.
$$
}

\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergencia fogalm\'at a m\'ert\'ek\-elm\'e\-let\-ben is
hasz\-n\'al\-j\'ak, de ott azt majdnem minden\"utt val\'o
konvergenci\'anak is h\'{\i}vj\'ak. (Az angol nyelv\H{u} irodalomban
az almost sure convegence, almost everywhere convergence vagy
convergence with probability one kifejez\'esek haszn\'alatosak.)

\medskip\noindent
{\bf A sztochasztikus konvergencia definici\'oja:} {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al sztochasztikusan egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
de\-fi\-ni\-\'al\-va, m\'asr\'eszt) minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty} P\(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|>\e\)=0.
$$
}

\noindent
{\it Megjegyz\'es:} A m\'ert\'ekelm\'eletben el\H{o}fordul\'o
kifejez\'esek k\"oz\"ul a m\'ert\'ekben val\'o konvergencia felel
meg ennek a fogalomnak. Az egyetlen apr\'o k\"ul\"onbs\'eg a
m\'ert\'ekelm\'elet \'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
sz\'ohaszn\'alata k\"oz\"ott abban van, hogy a
m\'ert\'ekelm\'eletben v\'eges, de nem felt\'etlen\"ul
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi (azaz egyre norm\'alt) m\'ert\'ekeket
tekintenek.

\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja:}
{\it Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata akkor konverg\'al eloszl\'asban
egy $F(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez vagy az ezen
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny \'altal meghat\'arozott
el\-osz\-l\'as\-hoz, ha $\limm_{n\to\infty}P(\xi_n<u)=F(u)$
{\rm minden olyan $u$ sz\'amra, ahol az $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny f\"uggv\'eny folytonos.} (Azt mondjuk,
hogy a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha ez a sorozat
eloszl\'asban konverg\'al az $F(u)=P(\xi<u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez.)}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} kapcsolat \'erv\'enyes a fenti
konvergenciafogalmak k\"oz\"ott.

\medskip\noindent
Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi konvergencia $\Rightarrow$
Sztochasztikus konvergencia $\Rightarrow$
Eloszl\'asban val\'o konvergencia.

El\H{o}sz\"or megt\'argyalom az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
\'es sztochasztikus konvergencia kapcsolat\'at.

Ha $\xi_n(\oo)\to\xi(\oo)$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
akkor defini\'alva az
$$
A_n=A_n(\e)=\left\{\oo\colon\;\supp_{k\ge n}|\xi_k(\oo)-\xi(\oo)|
<\e\right\}
$$
halmazokat kapjuk, hogy az egym\'asba skatuly\'azott $A_n$
halmazokra, (azaz $A_1(\oo)\subset A_2\subset\cdots$),
$P\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)=1$. Ez\'ert
$\limm_{n\to\infty}P(A_n)=1$. Mivel
$\{\oo\colon\;|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e\} \supset A_n$,
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e)\to1$, azaz
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|\ge\e)\to0$, ha $n\to\infty$. Ez azt
jelenti, hogy az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u}
konvergenci\'ab\'ol k\"ovetkezik a sztochasztikus konvergencia.

\medskip
Megfogalmazom az al\'abbi \'all\'{\i}t\'ast, amelyet nem neh\'ez
bebizony\'{\i}tani. De mivel nem lesz r\'a k\'es\H{o}bb
sz\"uks\'eg\"unk, az\'ert elhagyom a bizony\'{\i}t\'ast.

\medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as:} {\it  Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata, akkor \'es csak
akkor konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha az
$\eta_n=\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata sztochasztikusan konverg\'al null\'ahoz,
azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\limm_{n\to\infty}P\(\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|>\e\)=0.
$$
}

\medskip
L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy lehets\'eges olyan $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, \'es $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
konstru\'alni, amelyekre a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan tart $\xi$-hez, de a  $\xi_n$ sorozat nem
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.

Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t: $\Omega$ a $[0,1]$
intervallum, $\Cal A$ a Borel m\'erhet\H{o} halmazok
$\sigma$-algebr\'aja a $[0,1]$ intervallumon, a $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a Lebesgue m\'ert\'ek. Legyen
$$
\aligned
\xi_n(x)&=\left\{
\aligned
&1\quad\text{ha }x\in\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]\\
&0\quad\text{ha }x\notin\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]
\endaligned \right.  \\
&\qquad\qquad\qquad \text{akkor ha } 2^k\le n<2^{k+1},\quad
k=1,2,\dots,
\endaligned
$$
\'es $\xi(x)=0$ minden $0\le x\le 1$ sz\'amra. Ekkor
$P(|\xi_n-\xi|>\e)=2^{-k}$ minden $1>\e>0$ sz\'amra, ha $2^k\le
n<2^{k+1}$. Teh\'at a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan konverg\'al a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz. Viszont mivel $\limsupp_{n\to\infty}\xi_n(x)=1$
minden $0\le x\le 1$ sz\'amra, ez\'ert a $\xi_n$ sorozat nem
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.

\medskip
M\'asr\'eszt tekints\"unk egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot \'es $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan sorozat\'at,
amelyre $\summ_{n=1}^\infty P(|\xi_n-\xi|>\e)<\infty$ minden
$\e>0$ sz\'amra. Ekkor a Borel--Cantelli lemm\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy a $\xi_n$ sorozat egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. Ez azt
jelenti, hogy egyr\'eszt mint az el\H{o}z\H{o} p\'elda mutatja a
$\limm_{n\to\infty}P(|\xi_n-\xi|>\e)$ rel\'aci\'o teljes\"ul\'ese
minden $\e>0$ sz\'amra elegend\H{o} a sztochasztikus, de nem
elegend\H{o} az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel val\'o
konvergenci\'ahoz. M\'asr\'eszt az er\H{o}sebb
$\summ_{n=1}^\infty P(|\xi_n-\xi|>\e)<\infty$ rel\'aci\'o
teljes\"ul\'ese minden $\e>0$ sz\'amra elegend\H{o} az egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi konvergenci\'ahoz is.

\medskip
A sztochasztikus konvergencia \'es eloszl\'asban val\'o
konvergencia k\"oz\"otti kapcsolatra \'erv\'enyesek a
k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'asok.

\medskip\noindent
{\bf 1.~\'alll\'{\i}t\'as sztochasztikus \'es eloszl\'asban
val\'o konvergencia kapcsolat\'ar\'ol.} {\it Ha valamely $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sztochasztikusan konverg\'alnak egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, akkor ezek a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban is konverg\'alnak ehhez a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.}

\medskip\noindent
{\it Indokl\'as:}\/ Legyen $x$ folytonoss\'agi pontja a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(\cdot)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek, \'es r\"ogz\'{\i}tve egy
$\e>0$ sz\'amot v\'alasszunk olyan $\delta=\delta(\e)>0$ sz\'amot,
melyre $F(x)-\frac\e2\le F(x-\delta)\le F(x+\delta)<F(x)+\frac\e2$.
Ezut\'an v\'alasszunk olyan $n_0=n_0(\e,\delta)$ sz\'amot, amelyre
$P(|\xi_n-\xi|\ge\delta) <\frac\e2$. Ekkor
$P(\xi_n<x)<P(\xi<x+\delta)+P(|\xi_n-\xi|\ge\delta)
\le F(x+\delta)+\frac\e2\le F(x)+\e$. M\'asr\'eszt
$P(\xi_n>x)<P(\xi>x-\delta)+P(|\xi_n-\xi|\ge\delta)\le
1-F(x-\delta)+\frac\e2\le1-F(x)+\e$, ha $n\ge n_0$. Innen $F(x)-\e
\le P(\xi_n<x)\le F(x)+\e$ $n\ge n_0$ eset\'en. Mivel minden $\e>0$
eset\'en \'erv\'enyes egy ilyen becsl\'es, innen k\"ovetkezik a
megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as.

\medskip
Term\'eszetesen lehets\'eges, hogy $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy sorozata eloszl\'asban
konverg\'al egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz,
de sztochasztikusan nem konverg\'al. Erre p\'elda az az eset,
amikor a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, \'es azonos eloszl\'as\'uak. Ekkor az eloszl\'asban
val\'o konvergencia ny\'{\i}lv\'an teljes\"ul, de ha a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asa nem elfajult,
azaz a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem
egyenl\H{o}ek egy konstanssal egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
akkor e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem konverg\'alnak
sztochasztikusan. Viszont abban az esetben, ha a limesz konstans
akkor igaz a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as:

\medskip\noindent
{\bf 2.~\'all\'{\i}t\'as sztochasztikus \'es eloszl\'asban val\'o
konvergencia kapcsolat\'ar\'ol.} {\it Ha valamely $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok  egy $a$
konstanshoz konverg\'alnak el\-osz\-l\'as\-ban, (azaz egy olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, amelynek \'ert\'eke
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel ez az $a$ konstans, akkor a
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata sztochasztikusan is konverg\'al ehhez az $a$ konstanshoz.}

\medskip\noindent
{\it Indokl\'as:}\/ A limeszk\'ent megjelen\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye az
az $F(x)$ eloszl\'as, amelyre $F(x)=0$, ha $x\le a$, \'es $F(x)=1$
ha $x>a$. Az $F(x)$ f\"uggv\'enynek az $x=a$ pontot kiv\'eve
minden pont folytonoss\'agi pontja. Ez\'ert minden
$\e>0$ sz\'amra $\limm_{n\to\infty}P(\xi_n<a+\e)=1$,
$\limm_{n\to\infty}P(\xi_n<a-\e)=0$. Innen k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}P(|\xi_n-\xi|<\e)=
\limm_{n\to\infty}P(|\xi_n-a|<\e)=\limm_{n\to\infty}\(P(\xi_n<a+\e)
-P(\xi_n\le a-\e)\)=1$. Innen k\"ovetkezik a 2.~\'all\'{\i}t\'as
eredm\'enye.

\medskip
Ezut\'an megfogalmazom pontosan, hogy mikor mondjuk, hogy
teljes\"ul a nagy sz\'a\-mok gyenge \'es er\H{o}s t\"orv\'enye,
\'es megfogalmazok k\'et t\'etelt, amelyek megadj\'ak e k\'et
t\"or\-v\'eny teljes\"ul\'es\'enek a sz\"uks\'eges \'es
el\'egs\'eges felt\'etel\'et. Ezt a k\'et eredm\'enyt
\"ossze\-ha\-son\-l\'{\i}\-tom.

\medskip\noindent
{\bf Nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek a definici\'oja.}
{\it Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$,
$k=1,2,\dots$. Azt mondjuk, hogy ezek a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, ha l\'etezik olyan $E$ sz\'am,
amelyre teljes\"ul, hogy az $\frac{S_n}n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sztochasztikusan
konverg\'alnak az $E$ sz\'am\-hoz, azaz ahhoz a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, amely egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $E$ konstanssal egyenl\H{o}.}

\medskip\noindent
{\bf Nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek a definici\'oja.}
{\it Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$,
$k=1,2,\dots$. Azt mondjuk, hogy ezek a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy
sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, ha l\'etezik olyan $E$ sz\'am,
melyre teljes\"ul, hogy az $\frac{S_n}n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak az $E$ sz\'am\-hoz,
azaz ahhoz a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, amely egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $E$ konstanssal egyenl\H{o}.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $\xi_1$, $\xi_2$,\dots, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es
defini\'aljuk e sorozat $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
r\'eszlet\"osszegeit. Ha $E|\xi_1|=\infty$, akkor az
$\frac{S_n(\oo)}n$, $n=1,2,\dots$, sorozat egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel divergens. Ha $E|\xi_1|<\infty$,
akkor  a $\xi_1,\xi_2,\dots$ sorozat teljes\'{\i}ti a nagy
sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et $E=E\xi_1$ konstanssal, azaz
ebben az esetben
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{S_n(\oo)}n=E\xi_1\quad
\text{majdnem minden } \oo\in\Omega\text{-ra}.
$$
}

\noindent
{\bf T\'etel a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata valamely $F$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'ennyel. Ezen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, \'atlagai
akkor \'es csak akkor teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'et, azaz akkor \'es csak akkor konverg\'alnak
sztochasztikusan $n\to\infty$ eset\'eben valamely $a$,
$-\infty<a<\infty$, sz\'amhoz, ha teljes\"ulnek a
$$
\lim_{x\to\infty}x\[F(-x)+\(1-F(x)\)\]=0, \quad \text{\'es} \quad
\lim_{u\to\infty}\int_{-u}^u xF(\,dx)=a
$$
rel\'aci\'ok. A $\limm_{u\to\infty}\int_{-u}^u xF(\,dx)=a$
felt\'etelben szerepl\H{o} $a$ sz\'am, megegyezik azzal az $a$
sz\'ammal ahov\'a az $\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
\'atlagok konverg\'alnak.}

\medskip
A fenti k\'et t\'etel \"osszehasonl\'{\i}t\'as\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy ha teljes\"ulnek a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"or\-v\'e\-ny\'e\-r\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel felt\'etelei,
akkor a nagy sz\'amok gyenge t\"or\-v\'e\-ny\'e\-r\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etel felt\'eteleinek is teljes\"ulni\"uk kell. L\'assuk be
k\"ozvetlen\"ul ezt az \'all\'{\i}t\'ast.

A Lebesgue t\'etelb\H{o}l \'es az $E|\xi|<\infty$ rel\'aci\'ob\'ol
k\"ovetkezik, hogy $\limm_{u\to\infty}\int_{-u}^u xF(\,dx)=
\int_{-\infty}^\infty xF(\,dx)=E\xi_1$. M\'asr\'eszt
$x(1-F(x))\le \int_x^\infty uF(\,du)$, \'es
$\limm_{x\to\infty}\int_x^\infty uF(\,du)=0$ szint\'en a Lebesgue
t\'etel szerint. Teh\'at $\limm_{x\to\infty}x(1-F(x))=0$,
ha $E|\xi_1|<\infty$. Hasonl\'oan $\limm_{x\to\infty}xF(-x)=0$
ebben az esetben.

\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy a nagy sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek a kapcsolat\'at jobban meg\'erts\"uk
tekints\"unk n\'eh\'any p\'eld\'at.

\medskip\noindent
{\it 1.~p\'elda.}\/ Tekints\"uk f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan $\xi_1,\xi_2,\dots$,
sorozat\'at, amelyeknek van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk,
\'es az $f(x)=C|x|^{-\alpha}$, ha $|x|\ge1$, $f(x)=0$, ha $|x|<1$
alak\'u, ahol $\alpha>1$, \'es a $C=C(\alpha)$ konstans \'ugy van
v\'alasztva, hogy $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1$, azaz $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ha $\alpha>2$, akkor
$E|\xi_1|=\int_{-\infty}^\infty |x|f(x)\,dx<\infty$, \'es
\'erv\'enyes a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye. Ha $\alpha=2$,
akkor $E|\xi_1|=\int_{-\infty}^\infty |x|f(x)\,dx=\infty$, \'es a
nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye nem teljes\"ul. S\H{o}t, ebben
az esetben $F(x)=C\int_x^\infty \frac1{x^2}\,dx=Cx^{-1}$, ha $x>1$,
ez\'ert $\limm_{x\to\infty} xF(x)=C>0$, \'es a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye sem teljes\"ul. Ha $1<\alpha<2$, akkor szint\'en sem a
nagy sz\'amok er\H{o}s sem a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye nem
teljes\"ul.

\medskip\noindent
{\it 2.~p\'elda.} Tekints\"unk f\"uggetlen, egyforma, Cauchy
eloszl\'as\'u $\xi_1,\xi_2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, azaz olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, amelyeknek
$f(x)=\frac1\pi \frac1{1+x^2}$, $-\infty<x<\infty$, alak\'u
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk van. Az els\H{o}
p\'elda \'ervel\'ese (az $\alpha=2$ esetben) mutatja, hogy ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sem teljes\'{\i}tik a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et. S\H{o}t, mint k\'es\H{o}bb
l\'atni fogjuk, ennek a sorozatnak a k\"ovetkez\H{o} nevezetes
tulajdons\'aga is megvan. E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_n$ \'atlagainak az
eloszl\'asa minden $n$ sz\'amra ugyanaz a Cauchy eloszl\'as, mint
a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa.

\medskip\noindent
{\it 3.~p\'elda:} Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
so\-ro\-za\-ta, az $f(u)=\frac C{u^2\log |u|}$, ha $|u|>3$,
$f(u)=0$, ha $|u|\le 3$, k\'eplettel megadott
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. (A $C$ konstanst
az $\int_{|u|>3}\frac {C\,du}{u^2\log |u|}=1$ rel\'aci\'o
hat\'arozza meg.) Defini\'aljuk az $S_n=\summ_{k=1}^m\xi_k$,
$n=1,2,\dots$, r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket. Ekkor
$E|\xi_1|=\infty$, ez\'ert ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok nem teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et. M\'asr\'eszt az $\frac{S_n}n$ \'atlagok
szto\-chasz\-ti\-ku\-san tartanak null\'ahoz, azaz minden $\e>0$
sz\'amra $P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)\to0$, ha $n\to\infty$.
Ez azt jelenti, hogy ez a sorozat teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok
gyenge t\"orv\'eny\'et.

\medskip\noindent
{\it A 3. p\'elda indokl\'asa:}\/ E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okra $E|\xi_1|=\int uf(u)\,du=\int_3^\infty
\frac{2C}{u\log u}\,du=\infty$, mert
$\int_3^x \frac1{u\log u}\,du=[\log\log u]_3^x$, \'es
$\limm_{x\to\infty}\log\log x=\infty$. (Ez p\'eld\'aul onnan
l\'athat\'o, hogy az $\frac1{x\log x}$ primit\'{\i}v
f\"uggv\'enye a $\log\log x$ f\"uggv\'eny.) Ez azt jelenti,
hogy ez a sorozat nem teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et. Mivel a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye p\'aros
f\"uggv\'eny, annak megmutat\'asa \'erdek\'eben, hogy az
$\frac{S_n}n=\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sztochasztikusan
tartanak null\'ahoz a nagy sz\'amok gyenge
t\"or\-v\'e\-ny\'e\-r\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel alapj\'an el\'eg
megmutatni azt, hogy
$$
\limm_{x\to\infty}x[(1-F(x))+F(-x)]=
\limm_{x\to\infty}x\int_x^{\infty}\frac{2C}{u^2\log\log u}\,du=0.
\tag a
$$
Mivel minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $x=x(\e)$
k\"usz\"obindex, amelyre $\frac{2C}{u^2\log\log u}\le\frac\e{u^2}$,
ha $u\ge x$, ez\'ert
$x\int_x^{\infty}\frac{2C}{u^2\log\log u}\,du\le
\e x\int_x^{\infty}u^{-2}\,du=\e$, ha $x\ge x(\e)$. Mivel ez az
egyenl\H{o}tlens\'eg minden $\e>0$ sz\'amra \'erv\'enyes, innen
k\"ovetkezik az (a) formul\'aban megfogalmazott rel\'aci\'o.

K\'es\H{o}bb, a gyakorlaton megt\'argyalom, hogyan lehet a
3.~p\'elda \'all\'{\i}t\'as\'at k\"ozvetlen\"ul, a nagy sz\'amok
gyenge t\"orv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel felhaszn\'al\'asa
n\'elk\"ul bebizony\'{\i}tani.

\medskip\noindent
A fenti p\'eld\'ak hasonl\'{\i}tottak egym\'ashoz abban, hogy
mindegyikben a s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny a plusz-minusz
v\'egtelen k\"ornyezet\'eben aszimptotikusan \'ugy viselkedett,
mint $\frac1{u^2}$ szo\-roz\-va egy logaritmus hatv\'any rend\H{u}
korrekci\'os taggal. E korrekci\'os tag nagys\'aga befoly\'asolta,
hogy b\'{\i}zonyos integr\'alok konvergensek-e vagy divergensek, \'es
ett\H{o}l f\"ugg\"ott, hogy teljes\"ul-e a nagy sz\'amok er\H{o}s
vagy gyenge t\"orv\'enye. L\'attuk, hogy a nagy sz\'amok
k\"ul\"onb\"oz\H{o} t\"orv\'enyeit kimond\'o t\'etelekben  \'es
p\'eld\'akban az j\'atszott fontos szerepet, hogy az
\"ossze\-adan\-d\'ok eloszl\'asf\"uggv\'enyei hogyan viselkednek a
$\pm\infty$ k\"ornyezet\'eben, milyen gyorsan tartanak ott az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egyhez illetve null\'ahoz. Ett\H{o}l
f\"ugg ugyanis, hogy az ott szerepl\H{o} integr\'alok konvergensek
vagy divergensek.

\medskip
R\'at\'erek a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek a
bizony\'{\i}t\'as\'ara. A bizony\'{\i}t\'asban hasznos az
al\'abbi lemma, amely azt a tulajdons\'agot, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o abszolut
\'er\-t\'e\-k\'e\-nek a v\'arhat\'o \'ert\'eke v\'eges
ekvivalens m\'odon fejezi ki a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip\noindent
{\bf Lemma annak jellemz\'es\'er\H{o}l, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o abszolut
\'er\-t\'e\-k\'e\-nek  a v\'arhat\'o \'ert\'eke mikor v\'eges.}
{\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o abszolut
\'ert\'ek\'enek $E|\xi|$ v\'arhat\'o \'ert\'eke akkor \'es csak
akkor v\'eges, ha $\summ_{n=1}^\infty P(|\xi|>n)<\infty$.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\tilde\xi$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot:
$\tilde\xi=j$, ha $j-1<|\xi|\le j$, $j=1,2,\dots$. Ekkor
$P(0\le|\xi|-\tilde\xi\le1)=1$, ez\'ert a $|\xi|$ \'es $\tilde\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'eke
egyszerre v\'eges vagy v\'egtelen. M\'asr\'eszt
$E\tilde\xi=\summ_{j=1}^\infty j P(\tilde\xi=j)=
\summ_{j=1}^\infty jP(j-1<|\xi|\le j)$, ez\'ert ennek az \"osszegnek
a konvergenci\'aj\'at vagy divergenci\'aj\'at kell vizsg\'alnunk.

Fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$\summ_{j=1}^\infty jP(j-1<|\xi|\le j)=\summ_{j=1}^\infty
j(P(|\xi|>j-1)- P(|\xi|>j))$. Rendezz\"uk \'at a fenti \"osszeget a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Tetsz\H{o}leges $N$ sz\'amra
$$
\align
&\summ_{j=1}^N jP(j-1<|\xi|\le j)
=\summ_{j=1}^N j(P(|\xi|>j-1)-P(|\xi|>j))\\
&\qquad=\summ_{j=1}^{N-1}P(|\xi|>j)((j+1)-j)-NP(|\xi|>N)
=\summ_{j=1}^{N-1}P(|\xi|>j)-NP(|\xi|>N).
\endalign
$$
Megmutatom, hogy $N\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel a fenti
rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik a Lemma \'all\'{\i}t\'asa.
Val\'oban, ha $E|\xi|<\infty$, akkor v\'alaszthat\'o egy $K<\infty$
sz\'am \'ugy, hogy tetsz\H{o}leges $N\ge1$ eg\'esz sz\'amra
$N P(|\xi|>N)\le \summ_{j=N+1}^\infty jP(j-1<|\xi|\le j)\le
\summ_{j=1}^\infty jP(j-1<|\xi|\le j)\le K$. Ebben a becsl\'esben
a $K$ konstans nem f\"ugg az $N$ sz\'amt\'ol. \'Igy az
el\H{o}z\H{o} becsl\'es alapj\'an az $E|\xi_1|<\infty$ esetben
l\'eteznek olyan univerz\'alis $L$ \'es $K$ sz\'amok, amelyekre
$$
L\ge\summ_{j=1}^{N-1}P(|\xi|>j)-K\quad \text{minden $N=1,2,\dots$
sz\'amra,}
$$
\'es innen $\summ_{j=1}^\infty P(|\xi|>j)<\infty)$.

Ha $E|\xi|=\infty$, akkor
$\summ_{N=1}^\infty P(|\xi|>j)=\infty$, mert ekkor
$$
\summ_{j=1}^{N-1}P(|\xi|>j)\ge \summ_{j=1}^N jP(j-1<|\xi|\le j),
$$
\'es $\limm_{N\to\infty}\summ_{j=1}^N jP(j-1<|\xi|\le j)=\infty$.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az \"osszegnek a fenti sz\'amol\'asban
t\"ort\'ent \'at\-ren\-de\-z\'e\-s\'et Abel-f\'ele
\'at\-ren\-de\-z\'es\-nek nevezik, \'es ez sokszor hasznos. Az
Abel-f\'ele \'at\-ren\-de\-z\'es egy\'ebk\'ent az
integr\'alsz\'am\'{\i}t\'asban alkalmazott
parci\'alis integr\'al\'as diszkr\'et megfelel\H{o}je.


\medskip
Megjegyzem, hogy ennek a fenti lemm\'anak igaz a k\"ovetkez\H{o}
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa, amelyet hasonl\'oan lehet
bizony\'{\i}tani. De mivel erre nem lesz sz\"uks\'eg\"unk, ennek
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom.

\medskip\noindent
{\bf A v\'arhat\'o \'ert\'ek l\'etez\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o
lemma \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.} {\it Egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o akkor \'es csak akkor
teljes\'{\i}ti az $E|\xi|^r<\infty$ momentum felt\'etelt
valamely $r\ge1$ sz\'amra, ha
$\summ_{n=1}^\infty n^{r-1}P(|\xi|>n)<\infty$.}

\medskip
A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek el\H{o}sz\"or a
negat\'{\i}v fel\'et bizony\'{\i}tom be. A nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelnek ezt a r\'esz\'et
az al\'abbi lemma tartalmazza.

\medskip\noindent
{\bf Lemma f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u nem integr\'alhat\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok \'atlag\'anak a
viselked\'es\'er\H{o}l.} {\it Ha $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok, \'es $E|\xi_1|=\infty$, akkor az
$\frac{S_n(\oo)}n=\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k(\oo)$, $n=1,2,\dots$,
\'atlagok so\-ro\-za\-ta majdnem minden $\oo\in\Omega$ elemi
esem\'enyre divergens.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Felhaszn\'ajuk azt a lemm\'at, amely azt jellemzi, hogy egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o abszolut
\'ert\'ek\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'eke mikor v\'eges. Ezen
eredm\'eny, az $E|\xi_1|=\infty$ rel\'aci\'o  \'es a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos
eloszl\'asa miatt \'erv\'enyes a
$\summ_{n=1}^\infty P(|\xi_1|>n)=\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi_n|>n)=\infty$ rel\'aci\'o. A $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt
az $\{\oo\colon\; |\xi_n(\oo)|>n\}$ esem\'enyek is f\"uggetlenek.
Ez\'ert a Borel--Cantelli lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy majdnem
minden $\oo\in\Omega$-ra $|\xi_n(\oo)|>n$ v\'egtelen sok az ($\oo$
elemi esem\'enyt\H{o}l f\"ugg\H{o}) $n$ indexre. Te\-kint\-s\"unk
egy olyan $\oo\in \Omega$ elemi esem\'enyt, amelyre
$\limm_{n\to\infty}\frac{S_n(\oo)}n=a$ valamilyen v\'eges $a$
sz\'amra. (Ez az $a$ sz\'am f\"ugghet az $\oo$ ele\-mi
esem\'enyt\H{o}l.) Ilyen $\oo$ pontokban a
$\limm_{n\to\infty}\frac{S_{n-1}(\oo)}n=a$ rel\'aci\'o is
teljes\"ul. Ez\'ert $\limm_{n\to\infty}\(\frac{S_{n}(\oo)}n-
\frac{S_{n-1}(\oo)}n\)=\limm_{n\to\infty}\frac{\xi_n(\oo)}n=0$.
Ez a rel\'aci\'o viszont, mint l\'attuk, csak egy nulla
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi halmazon teljes\"ulhet.

\medskip
A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel
konvergencia r\'esz\'enek bizony\'{\i}t\'asa meg\-fe\-le\-l\H{o}
becsl\'esek alkalmaz\'as\'at ig\'enyli. Annak \'erdek\'eben, hogy
a bizony\'{\i}t\'asban fel\-me\-r\"u\-l\H{o} probl\'em\'akat \'es
gondolatokat jobban meg\'erts\"uk, felid\'ezem e t\'etel azon
gyeng\'ebb v\'al\-to\-za\-t\'a\-nak a bizony\'{\i}t\'as\'at,
amelyet a bevezet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
el\H{o}ad\'ason ismertettem.

\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etel egy gyeng\'ebb v\'altozata.} {\it Legyen
$\xi_1,\xi_2,\dots,$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyekre
teljes\"ul az $E\xi_1^4<\infty$ felt\'etel, \'es vezess\"uk be az
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'okat. Ekkor az $\frac{S_n(\oo)}n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok majdnem minden
$\oo\in\Omega$-ra konverg\'alnak az $E\xi_1$, sz\'amhoz, azaz ezen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata teljes\'{\i}ti a
nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et az $E=E\xi$ konstanssal.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Bevezetve a
$\bar\xi_j=\xi_j-E\xi_j$, $j=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat olyan f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat kapunk, amelyeknek a
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'eke nulla, \'es $E\bar\xi^4<0$.
Ezenk\'{\i}v\"ul
$\summ_{j=1}^n\xi_j=\summ_{j=1}^n\bar\xi_j+nE\xi_1$. Ez\'ert el\'eg
bel\'atni a t\'etel \'all\'{\i}t\'as\'at nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlag\'ara.

Tekints\"uk ezt az esetet, \'es sz\'amoljuk ki az
$$
E\(\frac{S_n}n\)^4=\frac1{n^4}E(\xi_1+\cdots+\xi_n)^4
$$
v\'arhat\'o \'ert\'ekeket.
$$
\align
ES_n^4=E(\xi_1+\cdots+\xi_n)^4&=\sum_{k=1}^n E\xi_k^4+
6\sum_{1\le j<k\le n}E\xi_j^2 E\xi_k^2
+4\sum\Sb 1\le j,k\le n\\ j\neq k\endSb
\underbrace{E\xi_j^3E\xi_k}_{=0} \\
&\qquad+12\sum\Sb 1\le k<l\le n\,
1\le j\le n\\j\neq k,\,j\neq l\endSb
\underbrace{E\xi_j^2E\xi_kE\xi_l}_{=0} \\
&\qquad +24\sum_{1\le j<k<l<m\le n}
\underbrace{E\xi_jE\xi_kE\xi_lE\xi_m}_{=0} \\
&=n E\xi_1^4+3n(n-1) (E\xi_1^2)^2,
\endalign
$$
ez\'ert
$$
\align
P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)&=
P\(\left|\frac{S_n}n\right|^4>\e^4\)\le\frac1{\e^4}E\(\frac{S_n}n\)^4
=\frac{ES_n^4}{n^4\e^4}\\
&=\frac{\frac1n E\xi_1^4+
3\(1-\frac1n)(E\xi_1)^2\)}{n^2\e^4}\le \frac{\const}{n^2\e^4}.
\endalign
$$
Ebb\H{o}l a becsl\'esb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\summ_{n=1}^\infty P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)<\infty$
minden $\e>0$ sz\'amra, \'es a Borel--Cantelli lemma (k\"onnyebbik
fel\'eb\H{o}l) k\"ovetkezik, hogy minden $\e>0$ sz\'amra \'es
majdnem minden $\oo\in\Omega$ pontban teljes\"ul, hogy
$\left|\frac{S_n(\oo)}n\right|\le \e$, ha $n\ge n_0(\oo)$.
Alkalmazva ezt a rel\'aci\'ot minden $\e=\frac1k$ sz\'amra
$k=1,2,\dots$, megkapjuk a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et.

\medskip
A bizony\'{\i}t\'asban f\"uggetlen, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'atlag\'anak a negyedik momentum\'ara adtunk j\'o becsl\'est, \'es
ebb\H{o}l a becsl\'esb\H{o}l k\"ovetkezett a nagy sz\'amok
t\"orv\'enye. Ahhoz azonban, hogy ezt a becsl\'est v\'egre tudjuk
hajtani, sz\"uks\'eg volt arra a felt\'etelre, hogy a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak l\'etezik negyedik
momentuma. Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogyan lehet a fenti
\'ervel\'est \'ugy m\'odos\'{\i}tani, hogy az megadja a nagy
sz\'amok t\"orv\'eny\'et j\'oval gyeng\'ebb momentum felt\'etelek
eset\'en is.

Ha a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak l\'etezik
m\'asodik momentuma, de enn\'el er\H{o}sebb momentumfelt\'etelt nem
tesz\"unk fel, akkor az el\H{o}z\H{o} m\'odszer megfelel\H{o}je a
Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg alkalmaz\'asa lenne f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
\'atlag\'ara. Felid\'ezem a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eget.

\medskip\noindent
{\bf Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg:} {\it Ha egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o m\'asodik momentuma
$E\xi^2=m_2$, akkor tetsz\H{o}leges $x>0$ sz\'amra
$$
P(|\xi|>x)\le \frac{m_2}{x^2}.
$$
Innen k\"ovetkezik, ha ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget a
$\bar\xi=\xi-E\xi$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
al\-kal\-maz\-zuk, hogy
$$
P(|\xi-E\xi|>x)\le \frac{\text{\rm Var}\,\xi}{x^2},
$$
}

\medskip
F\"uggetlen, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es v\'eges
m\'asodik momentummal rendelkez\H{o} $\xi_1$, $\xi_2$,\dots,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$
\"osszeg\'enek eloszl\'as\'ara a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg a
k\"ovetkez\H{o} becsl\'est adja.
$$
P(|S_n|>x)=P\(\left|\summ_{j=1}^n\xi_j\right|>x\)
\le\frac{\Var S_n}{x^2}=\frac{\summ_{j=1}^n\Var \xi_j}{x^2}
$$
Ha f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlag\'at
tekintj\"uk, akkor a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg a
$$
P\(\left|\frac{S_n}n\right|>n\e\)\le
\frac{\summ_{j=1}^n E\xi_j^2}{\e^2 n^2}=\frac{E\xi_1^2}{n\e^2}
$$
becsl\'est adja. Ebb\H{o}l a becsl\'esb\H{o}l k\"ovetkezik a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'enye, de nem k\"ovetkezik a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'enye. Viszont az al\'abb ismertetend\H{o}
Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amely
tekinthet\H{o} a f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"ossze\-g\'e\-nek eloszl\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o
Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg \'eles\'{\i}t\'es\'enek is, be lehet
bizony\'{\i}tani a nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'et az \'altal\'anos
esetben. Ismertetem ezt az eredm\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg}.
{\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, (nem
felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u)
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok, $E\xi_k=0$,
$E\xi_k^2=\Var\xi_k=\sigma_k^2$, $S_k=\sum\limits_{p=1}^k\xi_p$,
$k=1,\dots,n$. Ekkor
$$
P\(\sup_{1\le k\le n}|S_k|\ge x\)\le\frac{ES_n^2}{x^2}
=\frac{\sum\limits_{k=1}^n\sigma_k^2}{x^2}
$$
minden $x>0$-ra.}

\medskip
Tekints\"uk f\"uggetlen, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}, v\'eges
m\'asodik momentummal rendelkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozat\'at, \'es legyen $S_n$ az els\H{o} $n$ tag
r\'eszlet\"osszege. Nyilv\'anval\'o, hogy
$\supp_{1\le k\le n}|S_k(\oo)|\ge |S_n(\oo)|$. Viszont vannak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asnak olyan
ered\-m\'e\-nyei, amelyek azt fejezik ki, hogy a tekintett
$\supp_{1\le k\le n}|S_k(\oo)|$ kifejez\'es nem sokkal nagyobb,
mint az ebben a szupr\'emumban szerepl\H{o} utols\'o $|S_n(\oo)|$
tag. Ezekben az eredm\'enyekben annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et hasonl\'{\i}tj\'ak \"ossze, hogy e
k\'et kifejez\'es \'ert\'eke nagyobb, mint va\-la\-mi\-lyen $x>0$
sz\'am, \'es ezek bizonyos \'ertelemben azonos nagys\'agrend\H{u}ek.

A Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg is tekinthet\H{o} ilyen
jelleg\H{u} eredm\'enynek. Ez az egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg ugyanazt
a fels\H{o} becsl\'est adja a $P\(\supp_{1\le k\le n}|S_k(\oo)|>x\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre, mint amit a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg ad a $P(|S_n(\oo)|>x)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre. A Kolmogorov egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg
bizony\'{\i}t\'asa el\H{o}tt megmutatom, hogyan lehet ezen
egyenl\H{o}tlens\'eg \'es az al\'abb megfogalmazott (nem
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as jelleg\H{u} eredm\'enyt
tartalmaz\'o) Kronecker lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel
bebizony\'{\i}tani a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et az
\'altal\'anos esetben. A Kronecker lemma bizony\'{\i}t\'as\'at is
k\'es\H{o}bbre halasztom.

\medskip\noindent
{\bf Kronecker lemma:} {\it Ha az $a_n$ \'es $q_n$,
$n=1,2,\dots$, val\'os sz\'amoknak olyan sorozatai, amelyekre
$\summ_{n=1}^\infty a_n$ \"osszeg konvergens, a $q_n$ sorozat
monoton n\H{o} \'es $\limm_{n\to\infty}q_n=\infty$, akkor
$\limm_{n\to\infty}\frac1{q_n}\summ_{k=1}^n a_kq_k=0$.}

\medskip
\'Erdemes a Kronecker lemma k\"ovetkezm\'enyek\'ent megfogalmazni
annak al\'abbi spe\-ci\-\'a\-lis eset\'et, amelyet
$a_n=\frac {x_n}n$ \'es $q_n=n$ v\'alaszt\'assal kapunk.

\medskip\noindent
{\bf Kronecker lemma k\"ovetkezm\'enye.} {\it
Legyen $x_n$, $n=1,2,\dots$, val\'os sz\'amok olyan sorozata,
amelyre a $\summ_{n=1}^\infty\frac{x_n}n$ \"osszeg konvergens.
Ekkor  $\limm_{n\to\infty}\frac1n\summ_{k=1}^nx_k=0$.}

\medskip
A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et a fenti eredm\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel fogom bebizony\'{\i}tani az \'altal\'anos
esetben. A bizony\'{\i}t\'asban alkalmas csonk\'{\i}t\'ast fogunk
alkalmazni, amely lehet\H{o}v\'e teszi, hogy v\'eges m\'asodik
momentummal rendelkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okkal dolgozzunk.

\medskip\noindent
{\it A nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel
konvergens r\'esz\'enek a bizony\'{\i}t\'asa a fenti
ered\-m\'e\-nyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} Azt kell megmutatni,
hogy amennyiben $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es
$E|\xi_1|<\infty$, akkor
$\frac1n\summ_{k=1}^nE\xi_k(\oo)\to E\xi_1$ 1
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel. Bevezetve a
$\bar\xi_n=\xi_n-E\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat nem neh\'ez bel\'atni, hogy az \'all\'{\i}t\'ast
elegend\H{o} bel\'atni nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlag\'ara. Ez\'ert a
tov\'abbiakban felteszem, hogy $E\xi_1=0$.

Vezess\"uk be a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\xi_n=\xi_n'+\xi_n''$, $\xi'_n=\xi_nI(|\xi_n|\le n)$,
$\xi''_n=\xi_nI(|\xi_n|>n)$ alak\'u felbont\'as\'at, ahol $I(A)$
az $A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'et jel\"oli.
Felhaszn\'alva a lemm\'at {\it annak jellemz\'es\'er\H{o}l, hogy
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o abszolut
\'er\-t\'e\-k\'e\-nek  a v\'arhat\'o \'ert\'eke mikor v\'eges}
kapjuk, hogy
$$
\summ_{k=1}^\infty P(\xi''_k\neq0)
=\summ_{k=1}^\infty P(|\xi_k|>k)<\infty.
$$
Ez\'ert a Borel--Cantelli lemma alapj\'an egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok $k$ indexre
teljes\"ul a $\xi''_k(\oo)\neq0$ rel\'aci\'o, \'es
$\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k''(\oo)\to0$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt
kell bel\'atni, hogy a $\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k'(\oo)\to0$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel rel\'aci\'o szint\'en teljes\"ul.
Ezel\H{o}tt azt mutatom meg, hogy
$\frac1n\summ_{k=1}^nE\xi_k'(\oo)\to0$. Val\'oban,
$$
\left|\frac1n\sum_{k=1}^nE\xi_k'\right|
=\left|-\frac1n\summ_{k=1}^n E\xi_k''\right|
\le\frac1n\sum_{k=1}^n E|\xi_1|I(|\xi_1|\ge k)\to0,
$$
ha $n\to\infty$, mert az $E|\xi_1|<\infty$ rel\'aci\'ob\'ol
k\"ovetkezik, hogy $E|\xi_1|I(|\xi_1|\ge k)\to0$, ha $k\to\infty$.

Ezen \"ossszef\"ugg\'es alapj\'an a t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell igazolni, hogy
$$
\frac1n\summ_{k=1}^n(\xi_k'(\oo)-E\xi_k'(\oo))\to0 \quad
\text{egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.}
$$
Ennek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or azt mutatom meg, hogy
$$
\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} \Var\xi'_k
\le\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2}E{\xi'_k}^2<\infty.
$$
Ezen \'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'anak c\'elj\'ab\'ol
\'{\i}rjuk fel az
$$
\frac1{k^2}E{\xi'_k}^2\le\frac1{k^2}\sum_{j=1}^\infty
j^2P(j-1\le |\xi_k'|<j)
=\frac1{k^2}\sum_{j=1}^k j^2P(j-1\le |\xi_1|<j)
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget, \'es \"osszegezz\"uk ezt minden
$k=1,2,\dots$ indexre. Azt kapjuk, hogy
$$
\align
\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2}E{\xi'_k}^2&\le
\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}\sum_{j=1}^k j^2P(j-1\le |\xi_1|<j)
=\sum_{j=1}^\infty j^2P(j-1\le |\xi_1|<j)
\(\sum_{k=j}^\infty\frac1{k^2}\)\\
&\le\const \sum_{j=1}^\infty jP(j-1\le |\xi_1|<j)
\le \const(E|\xi_1|+1)<\infty,
\endalign
$$
amint \'all\'{\i}tottam.

Az el\H{o}z\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eg \'es a Kolmogorov
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel bel\'atom, hogy
$$
\text{a}\quad\summ_{k=1}^\infty\frac{\xi_k'(\oo)-E\xi_k'(\oo)}k
\quad \text{v\'egtelen \"osszeg 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
konvergens.} \tag b
$$
Ehhez el\'eg azt megmutatni, hogy a
$T_n(\oo)=\summ_{k=1}^n\frac{\xi_k'(\oo)-E\xi_k'(\oo)}k$,
$n=1,2,\dots$, sorozat egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel Cauchy
sorozat. Viszont a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$
\align
&P\(\sup_{n\le k<\infty}|T_k-T_n|>\e\)=
\limm_{N\to\infty}P\(\sup_{n\le k<N}|T_k-T_n|>\e\)\\
&\qquad=\limm_{N\to\infty} P\(\sup_{n\le k<N}\left|\sum_{j=n}^k
\frac1j(\xi_j'-E\xi_j')\right|>\e\)\\
&\qquad\le\frac1{\e^2}\sum_{j=n}^\infty\frac1{j^2}E(\xi_j'-E\xi_j')^2
\le\frac1{\e^2}\sum_{j=n}^\infty\frac1{j^2}E{\xi'_j}^2
\endalign
$$
minden $n$-re \'es $\e>0$-ra. Ez\'ert
$$
\align
&P\(\supp_{n\le k,l<\infty}|T_k(\oo)-T_l(\oo)|>2\e\)
\le P\(\supp_{n\le k<\infty}|T_k(\oo)-T_n(\oo)|>\e\)\\
&\qquad +P\(\supp_{n\le l<\infty}|T_l(\oo)-T_n(\oo)|>\e\)
\le\frac2{\e^2}\sum_{j=n}^\infty\frac1{j^2}E{\xi'_j}^2.
\endalign
$$
Vezess\"uk be az $A_n=A_n(\e)=\{\oo\colon
\supp_{n\le k,l<\infty}|T_k(\oo)-T_l(\oo)|>2\e\}$, $n=1,2,\dots$
halmazokat. Mivel
$\limm_{n\to\infty}\summ_{j=n}^\infty\frac1{j^2}E{\xi'_j}^2=0$,
az utols\'o becsl\'esb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}P(A_n)=0$. Mivel az $A_n$ halmazok egym\'asba
skatuly\'azottak, $A_1\supset A_2\supset A_3\supset\cdots$ ez\'ert
ez a rel\'aci\'o azt jelenti, hogy majdnem minden $\oo$-hoz
l\'etezik olyan $n=n(\oo,\e)$ index, amelyre $\oo\notin A_n$, azaz
$\supp_{n\le k,l<\infty}|T_k(\oo)-T_l(\oo)|\ge2\e$. Mivel ez
minden $\e>0$  sz\'amra igaz, innen k\"ovetkezik, hogy a $T_n(\oo)$
sorozat Cauchy sorozat majdnem minden $\oo\in\Omega$ elemi
esem\'enyre, \'es a (b) rel\'aci\'o \'erv\'enyes.

A Kronecker lemma k\"ovetkezm\'enye \'es a (b) rel\'aci\'o
alapj\'an $\frac1n\summ_{k=1}^n(\xi'_k-E\xi'_k)\to0$ egy
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel. A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at
befejezt\"uk.

\medskip
Be kell m\'eg bizony\'{\i}tani a Kolmogorov
egyenl\H{o}tlens\'eget \'es a Kronecker lemm\'at.

\medskip\noindent
{\it A Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'asa:}\/
Defini\'aljuk a
$$
\tau(\omega)=\min \{k\colon\; k\le n;\; |S_k(\omega)|\ge x\}
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. ($\tau(\omega)=n$ ha
$S_k(\omega)< x$ minden $k\le n$-re.) Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$$
ES_{\tau(\omega)}^2\le ES_n^2\;. \tag c
$$
Az utols\'o egyenl\H{o}tlens\'eg \'es a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$
P\(\max_{k\le n} |S_k|>x\)=P\(|S_{\tau(\omega)}|>x\)\le
\frac {ES^2_{\tau(\omega)}}{x^2} \le \frac {ES^2_{n}}{x^2},
$$
\'es ez a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg.

A k\'{\i}v\'ant egyenl\H{o}tlens\'eg bebizony\'{\i}t\'as\'anak
\'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
\aligned
ES_n^2-ES_{\tau(\omega)}^2&=\sum_{k=1}^n
E(S_n-S_k)(S_n-S_k+2S_k)I(\{\tau(\omega)=k\})\\
&=\sum_{k=1}^n E(S_n-S_k)^2I(\{\tau(\omega)=k\})
+2\sum_{k=1}^n E(S_n-S_k)S_kI(\{\tau(\omega)=k\}).
\endaligned \tag d
$$
Mivel az $S_n-S_k$ \'es $S_kI(\{\tau(\omega)=k\})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, (az $S_n-S_k$
a $\xi_l$, $l=k+1,\dots,n$, az  $S_kI(\{\tau(\omega)=k\})$ az
$\xi_l$, $l=1,\dots,k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okt\'ol
f\"ugg,) \'es $E(S_n-S_k)=0$, ez\'ert
$$
E(S_n-S_k)S_kI(\{\tau(\omega)=k\})=
E(S_n-S_k)ES_kI(\{\tau(\omega)=k\})=0.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy a (d) azonoss\'ag jobboldal\'anak a
m\'asodik tagja nulla. Mivel az els\H{o} tag egy nem negat\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o  \'ert\'ek\'enek
az \"osszege, ez\'ert a (d) azonoss\'agb\'ol k\"ovetkezik az
(c)~rel\'aci\'o. A Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eget
bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip\noindent
{\it A Kronecker lemma bizony\'{\i}t\'asa.\/} A bizony\'{\i}t\'as
az un.\ Abel f\'ele \'atrendez\'es m\'odszer\'en alapul. Vezess\"uk
be az $s_n=\summ_{k=n}^\infty a_k$ mennyis\'egeket. Legyen $q_0=0$.
Ekkor
$$
\frac1{q_n}\sum_{k=1}^n a_kq_k=
\frac1{q_n}\sum_{k=1}^n (s_k-s_{k+1})q_k=
\frac1{q_n}\(-s_{n+1}q_{n}+\sum_{k=1}^{n} s_k(q_k-q_{k-1})\).
$$
R\"ogz\'{\i}tve egy tetsz\H{o}legesen kis $\e>0$ sz\'amot
v\'alasszunk egy olyan $N=N(\e)$ k\"u\-sz\"ob\-in\-de\-xet,
amelyre igaz, hogy $|s_k|<\e$ ha $k>N$. (Ez lehets\'eges, mert
$\limm_{n\to\infty}s_n=0$.) Mivel $q_k-q_{k-1}\ge0$ minden $k$
indexre a $q_k$ sorozat monotonit\'asa miatt, ez\'ert
$$
\left|\frac1{q_n}\sum_{k=N}^{n}s_k(q_k-q_{k-1})\right|\le
\frac{\e(q_n-q_{N-1})}{q_n}\le \e.
$$
M\'asr\'eszt, mivel $\limm_{n\to\infty} q_n=\infty$ \'es
$\limm_{n\to\infty} s_n=0$
$$
\lim_{n\to\infty}\frac1{q_n}
\(-s_{n+1}q_{n}+\sum_{k=1}^{N-1} s_k(q_k-q_{k-1})\)=0.
$$
A fenti becsl\'esekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\limsup_{n\to\infty}\left|\frac1{q_n}\sum_{k=1}^na_kq_k\right|\le\e.
$$
Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as tetsz\H{o}leges $\e>0$-ra igaz, innen
k\"ovetkezik a Kronecker lemma.

\medskip
A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek bizony\'{\i}t\'as\'anak
fontos r\'esze volt azon (b) formul\'aban megfogalmazott
\'all\'{\i}t\'as igazol\'asa a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amely szerint a
$\summ_{k=1}^\infty\frac{\xi_k'-E\xi_k'}k$ \"osszeg konvergens.
Term\'eszetes m\'odon felmer\"ul az az \'altal\'anosabb k\'erd\'es,
hogy v\'egtelen sok f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \"osszege mikor konvergens. A Kol\-mo\-go\-rov
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel erre a k\'erd\'esre is
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} v\'alaszt lehet adni. Ismertetek k\'et ilyen
jelleg\H{u} ered\-m\'enyt. Az els\H{o} eredm\'eny, amelyet
Kol\-mo\-go\-rov-f\'ele egy-sor t\'etelnek is neveznek az
irodalomban egy gyakran j\'ol haszn\'alhat\'o, egyszer\H{u}en
ellen\H{o}rizhet\H{o} felt\'etelt ad a konvergencia
teljes\"ul\'es\'ere. A m\'asodik, az irodalomban
Kol\-mo\-go\-rov-f\'ele h\'arom sor t\'etelnek h\'{\i}vott eredm\'eny,
amely ennek \'eles\'{\i}t\'ese, megadja annak sz\"uks\'eges \'es
el\'egs\'eges felt\'etel\'et, hogy v\'egtelen sok f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o \"osszege egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'aljon. Ismertetem ezt a
k\'et eredm\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf Kolmogorov-f\'ele egy sor t\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, amelyeknek l\'eteznek v\'eges $E\xi_k^2<\infty$
m\'asodik momentumai minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra, \'es
$E\xi_k=0$ minden $k=1,2,\dots$ indexre. Ha
$\summ_{k=1}^\infty\Var\xi_k<\infty$, akkor a
$\summ_{k=1}^\infty\xi_k$ sorozat egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al.}

\medskip\noindent
{\bf Kolmogorov-f\'ele h\'arom sor t\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok. R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamely $C>0$ sz\'amot,
\'es defini\'aljuk a $\xi_k'=\xi_kI(\{|\xi_k|<C\})$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat, $k=1,2,\dots$,
ahol $I(A)$ az $A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'enye.
A $\summ_{k=1}^\infty \xi_k$ v\'eletlen \"osszeg akkor \'es csak
akkor konvergens egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha a $\xi_k$,
$k=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket:
\item{{\rm(i)}}  $\summ_{k=1}^\infty P(\xi_k\neq \xi_k')=
\summ_{k=1}^\infty P(|\xi_k|\ge C)<\infty$,
\item{{\rm(ii)}} A $\summ_{k=1}^\infty E\xi_k'$ \"osszeg konvergens.
\item{{\rm(iii)}} $\summ_{k=1}^\infty \Var\xi_k'<\infty$.
}

\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es:}\/ A Kolmogorov-f\'ele h\'arom sor t\'etel
eredm\'enye speci\'alisan azt is jelenti, hogy ha a benne
szerepl\H{o} (i), (ii) \'es (iii) felt\'etel teljes\"ul valamilyen
$C>0$ sz\'amra, akkor az minden $C>0$ sz\'amra teljes\"ul. Ezt nem
neh\'ez k\"ozvetlen\"ul bel\'atni, de ennek
bizony\'{\i}t\'as\'at\'ol eltekintek. Viszont megmutatom, hogy
amennyiben f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata teljes\'{\i}ti a Kolmogorov-f\'ele egy sor t\'etel
felt\'eteleit, akkor teljes\'{\i}ti a Kolmogorov-f\'ele h\'arom
sor t\'etel felt\'eteleit is. Ez speci\'alisan azt is jelenti,
hogy a Kolmogorov-f\'ele egy sor t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at
elhagyhatjuk, el\'eg a Kolmogorov-f\'ele h\'arom sor t\'etelt
bebizony\'{\i}tani.

\medskip
Ha f\"uggetlen $\xi_1,\xi_2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata teljes\'{\i}ti a Kolmogorov-f\'ele egy sor
t\'etel\'et, azaz $E\xi_k^2<\infty$, $E\xi_k=0$ minden
$k=1,2,\dots$ indexre, \'es $\summ_{k=1}^\infty E\xi_k^2<\infty$,
akkor ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
teljes\'{\i}tik a Kolmogorov-f\'ele h\'arom sor t\'etel
felt\'eteleit is.

Az (i) felt\'etel teljes\"ul, mert a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg
alapj\'an
$P(\xi_k\neq\xi_k')=P(|\xi_k|\ge C)\le\frac1{C^2}E\xi_k^2$,
ez\'ert $\summ_{k=1}^\infty P(\xi_k\neq \xi_k')=
\le\frac1{C^2}\summ_{k=1}^\infty E\xi_k^2<\infty$. \'Erv\'enyes
a (ii) felt\'etel al\'abbi \'elesebb v\'altozata is:
$\summ_{k=1}^\infty |E\xi_k'|<\infty$. Val\'oban, mivel
$E\xi_k=0$, ez\'ert $|E\xi_k'|=|E\xi_kI(|\xi_k|>C)|
\le\frac1CE\xi_k^2I(|\xi_k|>C)\le\frac1CE\xi_k^2$, \'es innen
$\summ_{k=1}^\infty |E\xi_k'|\le\frac1C\summ_{k=1}^\infty E\xi_k^2
<\infty$. V\'eg\"ul a (iii) rel\'aci\'o is teljes\"ul, mert
$\summ_{k=1}^\infty \Var\xi_k'\le\summ_{k=1}^\infty E\xi_k^2<
\infty$.

\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es:}\/ A Kolomogorov-f\'ele h\'arom sor t\'etel
annak adja meg a sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et,
hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszege
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'aljon. \'Erdemes
megjegyezni, hogy amennyiben e felt\'etelek valamelyike nem
teljes\"ul, \'es a tekintett \"osszeg nem konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, akkor az csak nulla
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alhat. K\"ozb\"uls\H{o}
eset nincsen. Teh\'at nem lehets\'eges megadni p\'eld\'aul olyan
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyek
\"osszege mondjuk 1/2 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
konverg\'al \'es 1/2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel diverg\'al.
Ez k\"ovetkezik a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as egyik
alapvet\H{o} eredm\'eny\'eb\H{o}l, az \'ugynevezett 0--1
t\"orv\'enyb\H{o}l, amelyet a h\'arom sor t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa ut\'an fogok t\'argyalni.

\medskip
A Kolmogorov-f\'ele h\'arom sor t\'etelnek itt csak az
el\'egs\'eges r\'esz\'et bizony\'{\i}tom be, a felt\'etelek
sz\"uks\'egess\'eg\'enek bizony\'{\i}t\'as\'at a
kieg\'esz\'{\i}t\'esben teszem meg. Ennek az az oka, hogy egyr\'eszt
alkalmaz\'asokban az el\'egs\'egess\'eg a T\'etel fontos r\'esze,
m\'asr\'eszt a sz\"uks\'egess\'eg bizony\'{\i}t\'asa az itteni
t\'argyal\'ast\'ol elt\'er\H{o} m\'odszert ig\'enyel. L\'attuk
ugyan\-is, hogyan lehet f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sz\H{o}r\'asn\'egyzeteinek az ismeret\'eben e
v\'altoz\'ok \"osszegeit megbecs\"ulni. De, ha a f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
a konvergenci\'aj\'ab\'ol a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sz\'or\'asn\'egyzeteinek \"osszeg\'ere akarunk
k\"o\-vet\-kez\-tet\-ni, akkor ez \'uj gondolatokat ig\'enyel.

\medskip\noindent
{\it A Kolmogorov-f\'ele h\'arom sor t\'etel el\'egs\'egess\'eg
r\'esz\'enek bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Azt akarjuk megmutatni, hogy
amennyiben a f\"uggetlen $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az (i), (ii) \'es (iii)
felt\'eteleket, akkor a $ T_n=\summ_{k=1}^n\xi_k(\oo)$,
$n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konvergensek. Hasonl\'oan \'ervelve,
mint amikor a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"or\-v\'e\-ny\'e\-nek a
konvergencia r\'esz\'et bizony\'{\i}tottuk, megmutathatjuk, hogy
el\'eg bel\'atni azt, hogy tet\-sz\H{o}\-le\-ges $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\sup_{m\ge n}\left|\sum_{k=n}^m
\xi_k\right|>\e\)\to0.
$$
Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&P\(\sup_{m\ge n}\left|\sum_{k=n}^m \xi_k\right|>\e\)
\le\sum_{k=n}^\infty P(\xi_k\neq \xi_k')+
P\(\sup_{m\ge n}\left|\sum_{k=n}^m \xi_k'\right|>\e\)\\
&\qquad\le \sum_{k=n}^\infty P(\xi_k\neq \xi_k')+
P\(\sup_{m\ge n}\left|\sum_{k=n}^m (\xi_k'-E\xi_k')\right|
>\e-\supp_{m\ge n}\left|\sum_{k=n}^m E\xi_k'\right|\),
\endalign
$$
tov\'abb\'a $\summ_{k=n}^\infty P(\xi_k\neq\xi_k')\to0$ $n\to\infty$
eset\'en az (i) felt\'etel miatt, \'es
$\supp_{n\ge m}\left|\summ_{k=n}^mE\xi_k'\right|<\frac\e2$,
ha $n>n(\e)$ a (ii) felt\'etel miatt. V\'eg\"ul a Kolmogorov
egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$
P\(\sup_{m\ge n}\left|\sum_{k=n}^m
(\xi_k'-E\xi_k')\right|>\frac\e2\)\le4\frac{\summ_{k=n}^\infty
\text{Var}\,\xi_k'}{\e^2}\to0,  \quad\text{ha }n\to\infty
$$
a (iii) tulajdons\'ag miatt. Ezekb\H{o}l az
egyenl\H{o}tlens\'egekb\H{o}l k\"ovetkezik a Kolmogorov-f\'ele
h\'arom sor t\'etelben megfogalmazott konvergencia, ha
teljes\"ulnek az (i)--(iii) felt\'etelek.

\medskip
K\"ovetkez\H{o} l\'ep\'esben az \'ugynevezett Kolmogorov-f\'ele
nulla egy t\"orv\'enyt t\'argyalom, amely inform\'alisan \'es
kiss\'e pongyol\'an megfogalmazva azt mondja ki, hogy egy olyan
esem\'enynek, amely f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozat\'anak csak a `v\'egtelen t\'avoli tagjait\'ol'
f\"ugg vagy nulla vagy egy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. Kiss\'e
pontosabban, olyan ese\-m\'e\-nye\-ket tekint\"unk, amelyekre igaz 
az, hogy b\'armely $n$ indexre azok bek\"ovetkez\'ese vagy be
nem k\"ovetkez\'ese nem f\"ugg a $\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'ert\'ekeit\H{o}l.
Annak \'erdek\'eben, hogy a t\'etelt pontosan meg tudjam fogalmazni
el\H{o}sz\"or bevezetem a farok $\sigma$-algebra fogalm\'at.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata \'altal
meghat\'arozott farok $\sigma$-algebra de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja.}\/
{\it Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi me\-z\H{o}n. E
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata \'altal
meghat\'arozott $\Cal F_\infty$ farok $\sigma$-algebr\'at
az $\Cal F_\infty=\bigcapp_{n=1}^\infty \Cal F_n$ k\'eplet
hat\'arozza meg, ahol $\Cal F_n=\Cal B(\xi_n,\xi_{n+1},\dots)$ a
legsz\H{u}kebb olyan $\sigma$-algebra, amelyre n\'ezve a
$\xi_n,\xi_{n+1},\dots$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
mindegyike m\'erhet\H{o}.}

\medskip
Ezut\'an megfogalmazom a Kolmogorov-f\'ele nulla egy t\"orv\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf Kolmogorov-f\'ele nulla egy t\"orv\'eny.} {\it Legyen
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es tekints\"uk e sorozat
\'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott $\Cal F_\infty$ farok
$\sigma$-algebr\'at. Ha egy $A$ esem\'enyre $A\in\Cal F_\infty$,
akkor vagy $P(A)=0$ vagy $P(A)=1$.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Tekints\"unk egy
$A\in\Cal F_\infty$ esem\'enyt, \'es jel\"olje $\Cal B$ az $A$
esem\'enyt\H{o}l f\"uggetlen esem\'enyekb\H{o}l \'all\'o rendszert,
azaz $B\in\Cal B$ akkor \'es csak akkor, ha $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
Azt \'all\'{\i}tom, hogy $\Cal F_1\subset \Cal B$, ahol
$\Cal F_1=\Cal B(\xi_1,\xi_2,\dots)$ a
legsz\H{u}kebb olyan $\sigma$-algebra, amelyre n\'ezve a
$\xi_1,\xi_2,\dots$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
mindegyike m\'erhet\H{o}. Val\'oban, tetsz\H{o}leges $n=1,2,\dots$
sz\'amra minden $B\in\Cal B(\xi_1,\dots,\xi_n)$, esem\'eny
f\"uggetlen az $A$ esem\'enyt\H{o}l, mert
$A\in \Cal F_\infty\subset\Cal F_{n+1}$, \'es a
$\Cal F_{n+1}=\Cal B(\xi_{n+1},\xi_{n+2},\dots)$
\'es $\Cal B(\xi_1,\dots,\xi_n)$ $\sigma$-algebra elemei
egym\'ast\'ol f\"uggetlen esem\'enyek.

Vezess\"uk be a $\mu_1(B)=P(A\cap B)$ \'es $\mu_2(B)=P(A)P(B)$
halmazf\"uggv\'enyeket minden $B\in\Cal A$ halmazra. L\'attuk,
hogy $\mu_1(B)=\mu_2(B)$ minden
$B\in \Cal F=\bigcupp_{n=1}^\infty\Cal B(\xi_1,\dots,\xi_n)$
halmazra. Ezenk\'{\i}v\"ul, mind $\mu_1$ mind $\mu_2$ m\'ert\'ek az
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an. Tov\'abb\'a az el\H{o}bb defini\'alt
$\Cal F$ halmazrendszer algebra, \'es az $\Cal F$ algebr\'at
tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra a $\Cal F_1$
$\sigma$-algebra. Mivel egy m\'ert\'ek kiterjeszt\'ese egy
algebr\'ar\'ol az \H{o}t tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebr\'ara egy\'ertelm\H{u}, innen k\"ovetkezik, hogy
$\mu_1(B)=\mu_2(B)$, azaz $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ minden
$B\in \Cal F_1$ halmazra, mint \'all\'{\i}tottam.

A bebizony\'{\i}tott \'all\'{\i}t\'asb\'ol speci\'alisan az is
k\"ovetkezik, hogy minden $A\in\Cal F_\infty$ esem\'eny f\"uggetlen
\"onmag\'at\'ol, azaz $P(A)=P(A)^2$. Ez az \"osszef\"ugg\'es \'ugy
is fel\'{\i}rhat\'o, hogy $P(A)(1-P(A))=0$, azaz vagy $P(A)=0$
vagy $P(A)=1$, \'es ezt kellett bel\'atni.

\medskip
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy annak az esem\'enynek a
bek\"ovetkez\'ese, hogy f\"uggetlen $\xi_1,\xi_2,\dots$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\summ_{k=1}^\infty\xi_k(\oo)$ \"osszege konverg\'al nem f\"ugg az
els\H{o} n\'eh\'any $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\'ert\'ek\'et\H{o}l, ez\'ert ez az esem\'eny eleme az
$\Cal F_\infty$ $\sigma$-algebr\'anak. \'Igy ennek az esem\'enynek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege vagy nulla vagy 1 a Kolmogorov-f\'ele
nulla egy t\"orv\'eny alapj\'an. Hasonl\'oan, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$T_n(\oo)=\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k(\oo)$ \'atlagai Cauchy sorozatot
alkotnak, azaz konvergensek, vagy nulla vagy egy a Kolmogorov-f\'ele
nulla egy t\"orv\'eny alapj\'an. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy $a<\liminff_n T_n\le \limsupp_n T_n(\oo)<b$ szint\'en vagy
nulla vagy egy tetsz\H{o}leges $a$ \'es $b$ sz\'amokra. Ezen
\'eszrev\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet l\'atni, hogy a
$T_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata vagy
1~val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel divergens, vagy l\'etezik egy olyan
$-\infty<a<\infty$ sz\'am, hogy a $T_n$ sorozat egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel ehhez az $a$ sz\'amhoz konverg\'al.
A Kolmogorov f\'ele nulla-egy t\"orv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel az
is l\'athat\'o, hogy tetsz\H{o}leges $q_n\to\infty$, ha $n\to\infty$
sorozatra $P\(\limsupp_n\frac1{q_n}\summ_{k=1}^n\xi_k=A\)=1$
valamely $-\infty\le A\le\infty$ sz\'amra. (Az, hogy $A=\infty$ vagy
$A=-\infty$ szint\'en lehets\'eges ebben a rel\'aci\'oban.)
Hasonl\'o \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes akkor is, ha $\limsup$
helyett $\liminf$-et tekint\"unk.

\medskip
R\'at\'erek a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek a
t\'argyal\'as\'ara. Nem neh\'ez bel\'atni ezt az \'all\'{\i}t\'ast
a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u v\'eges m\'asodik momentummal rendelkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlagaira. De, mint
l\'attuk, ha f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok abszolut \'ert\'ek\'enek
v\'eges a v\'arhat\'o \'ert\'eke akkor ezek \'atlagai
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s \'es ez\'ert a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et is. Ez azt jelenti, hogy a v\'eges
m\'asodik momentumok k\"ovetel\'ese t\'ul er\H{o}s felt\'etele a
nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek. Megfogalmaztam egy
eredm\'enyt, amely megadja annak sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etel\'et, hogy teljes\"ulj\"on a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye. Ez a felt\'etel kiss\'e gyeng\'ebb k\"ovetelm\'enyt
\'{\i}r el\H{o} ann\'al, hogy az \'atlagban r\'esztvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok abszolut \'ert\'ek\'enek
legyen v\'eges a v\'arhat\'o \'ert\'eke. Al\'abb megfogalmazok
majd bebizony\'{\i}tok egy  t\'etelt, amely a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'enek felt\'eteleit megad\'o eredm\'eny
\'eles\'{\i}t\'es\'enek tekinthet\H{o}.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlagainak
szto\-chasz\-ti\-kus konvergenci\'aj\'ar\'ol.} {\it Legyen
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok sorozata,
\'es jel\"olje $F(x)$ e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Akkor \'es csak akkor l\'etezik
val\'os sz\'amok olyan $A_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata, amelyre a
$T_n=\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k-A_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan null\'ahoz tart, ha teljes\"ul a
$\limm_{x\to\infty} x(1-F(x)+F(-x))=0$ felt\'etel. Ha l\'etezik
val\'os sz\'amok ilyen $A_n$ sorozata, akkor az v\'alaszthat\'o,
mint $A_n=\int_{-n}^n xF(\,dx)$, $n=1,2,\dots$.}

\medskip
Az el\H{o}z\H{o} t\'etel alapj\'an a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye akkor \'es csak akkor teljes\"ul valamely $a$
konstanssal, ha $\limm_{x\to\infty} x(1-F(x)+F(-x))=0$, \'es
$\limm_{n\to\infty}\int_{-n}^n xF(\,dx)=a$. Ahhoz, hogy bel\'assuk
ezen eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel a a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelt, elegend\H{o}
megmutatni, hogy az adott felt\'etelek mellett  a
$\limm_{u\to\infty}\int_{-u}^u xF(\,dx)=a$ rel\'aci\'o
\'erv\'enyes val\'os $u$ (\'es nemcsak eg\'esz $n$) sz\'amokra.
Ez k\"ovetkezik a
$$
\limm_{u\to\infty}\left|\int_{[u]\le |x|\le u}x F(dx)\right|\le
\limm_{u\to\infty}([u]+1)(1-F([u])+F(-[u])=0
$$
becsl\'esb\H{o}l, ahol $[u]$ az $u$ sz\'am eg\'esz
r\'esz\'et jel\"oli. Ez a becsl\'es a
$\limm_{x\to\infty} x(1-F(x)+F(-x))=0$ rel\'aci\'o
k\"ovetkezm\'enye.

Az el\H{o}ad\'as f\H{o} r\'esz\'eben a {\it f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'at\-la\-gai\-nak sztochasztikus konvergenci\'aj\'ar\'ol}\/
sz\'ol\'o t\'etelnek csak az el\'egs\'egess\'eg r\'esz\'et
bizony\'{\i}tom. A sz\"uks\'egess\'egr\H{o}l sz\'ol\'o r\'esz
bizony\'{\i}t\'as\'at a kieg\'esz\'{\i}t\'esben ismertetem.

\medskip\noindent
{\it A f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlagainak
sztochasztikus konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel
el\'egs\'egess\'eg r\'esz\'enek a bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Tegy\"uk fel, hogy a $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $F(x)$ eloszl\'asai teljes\'{\i}tik a
$\limm_{x\to\infty} x(1-F(x)+F(-x))=0$ felt\'etelt. Adott $n$
eg\'esz sz\'amra defini\'aljuk a
$\bar\xi_k=\bar\xi_k^{(n)}=\xi_k I(|\xi_k|\le n)$ \'es
$\bar{\bar\xi}_k=\bar{\bar\xi}_k^{(n)}=\xi_k-\bar\xi_k$,
$1\le k\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor
$\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k =\frac1n\summ_{k=1}^n\bar\xi_k
+\frac1n\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k$, ez\'ert elegend\H{o} azt
megmutatni, hogy $\frac1n\summ_{k=1}^n(\bar\xi_k-A_n)\Rightarrow 0$
\'es $\frac1n\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k\Rightarrow 0$, ahol
$\Rightarrow$ szto\-chasz\-ti\-kus konvergenci\'at jel\"ol. A
m\'asodik rel\'aci\'o k\"ovetkezik a t\'etel felt\'eteleib\H{o}l,
mert $P\(\frac1n\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k\neq0\)
\le\summ_{k=1}^nP(|\xi_k|\ge n)=n\[F(-n)+\(1-F(n)\)\]\to0$, ha
$n\to\infty$. Az els\H{o} rel\'aci\'o a Csebisev
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel
bizony\'{\i}that\'o, mert minden $\e>0$ sz\'amra
$$
P\(\left|\frac1n\summ_{k=1}^n(\bar\xi_k-A_n)\right|>\e\)
=P\(\left|\frac1n\summ_{k=1}^n(\bar\xi_k-E\bar\xi_k)\right|>\e\)
\le \frac{n\Var\bar\xi_1}{n^2\e}=
\frac{\Var\bar\xi_1}{n\e}.
$$
Ez\'ert a bizony\'{\i}t\'as
befejez\'es\'ehez el\'eg azt megmutatni, hogy
$\limm_{n\to\infty}\frac{\Var\bar\xi_1^{(n)}}n=0$. Mivel
$$
\Var\bar\xi_1\le E\bar\xi_1^2=\int_{-n}^n u^2F(\,du)
=\int_{-L}^L u^2F(\,du)+\int_{L\le |u|\le n} u^2F(\,du)
$$
tetsz\H{o}leges $L>0$ sz\'amra, \'es az utols\'o \"osszeg els\H{o}
tagja r\"ogz\'{\i}tett $L$ sz\'amra nem f\"ugg az $n$ sz\'amt\'ol,
ez\'ert elegend\H{o} azt megmutatni, hogy minden $\e>0$ sz\'amra
l\'etezik olyan $L=L(\e)$ sz\'am, amelyre
$\frac1n\int_{L}^{n} u^2 F(\,du)\le\e$
\'es $\frac1n\int_{-n}^{-L}u^2 F(\,du)\le\e$ minden $n>L$ sz\'amra.
A t\'etel felt\'etelei alapj\'an l\'etezik olyan $L=L(\e)$ sz\'am,
amelyre $x\ge L$ eset\'en
$x(1-F(x))\le\frac\e4$ \'es $xF(-x)\le\frac\e4$.
Ez\'ert parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy ilyen $L$-re
$\frac1n\int_{L}^{n}u^2 F(\,du)
=\frac{-1}n\int_{L}^{n}u^2\,(d(1-Fu))
=\frac1n\int_{L}^{n} 2u(1-
F(u))\,du-\frac1n\[u^2(1-F(u)\]_L^n \le\frac{\e}{2n}\int_{L}^{n}
1\,du+\frac\e2\le\e$. A m\'asik egyenl\H{o}tlens\'eg hasonl\'oan
bizony\'{\i}that\'o.

\medskip

A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek ismertet\'ese ut\'an a
2.~p\'eld\'aban megeml\'{\i}tettem, hogy f\"uggetlen, Cauchy
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlagai nem
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, s\H{o}t a
Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak van
egy al\'abb ismertetett nevezetes tulajdons\'aguk, amely kiz\'arja,
hogy teljes\'{\i}ts\'ek a nagy sz\'amok gyenge t\"or\-v\'e\-ny\'et.
Eml\'ekezetetek, hogy egy olyan $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot nevezt\"unk Cauchy eloszl\'as\'unak, amelynek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac1\pi \frac1{1+x^2}$,
$-\infty<x<\infty$, alak\'u. A tov\'abbiakban az ilyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat 1 param\'eter\H{u}
Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
nevezem. Ezenk\'{\i}v\"ul defini\'alom az $a$ param\'eter\H{u},
$0<a<\infty$, param\'eter\H{u} Cauchy el\-osz\-l\'a\-s\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat, mint olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac a\pi\frac1{a^2+x^2}$,
$-\infty<x<\infty$, alak\'u. Ez azt jelenti, hogy ha $\xi$
1~param\'eter\H{u} Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, akkor $a\xi$, $a>0$, $a$ param\'eter\H{u}
Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
F\"uggetlen Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek eloszl\'as\'ar\'ol sz\'ol az al\'abbi
t\'etel.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen Cauchy eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek az
el\-osz\-l\'a\-s\'a\-r\'ol.} {\it
Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen Cauchy eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $a>0$ \'es $b>0$
param\'eterekkel. Ekkor $\xi+\eta$ Cauchy eloszl\'as\'u
$a+b$ param\'eterrel.}

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Tekints\"uk $n$ f\"uggetlen $a$
param\'eter\H{u} Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \"osszeg\'et \'es \'atlag\'at. Az \"osszeg $na$
param\'eter\H{u}, az \'atlag pedig $a$ pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u}
Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Teh\'at f\"uggetlen, azonos param\'eter\H{u} Cauchy eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlag\'anak az
eloszl\'asa megegyezik az \"osszeadand\'ok
el\-osz\-l\'a\-s\'a\-val.}

\medskip\noindent
{\it A k\"ovetkezm\'eny indokl\'asa.}\/ Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$
Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$a=1$ param\'eterrel, akkor $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g_n(x)=\frac n\pi\frac1{n^2+x^2}$.
M\'asr\'eszt, ha egy $S$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)$, akkor $\frac Sn$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $ng(nx)$. Ez\'ert $\frac {S_n}n$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$\frac{n^2}n\frac1{n^2+(nx)^2}=\frac1\pi\frac1{1+x^2}$, amint
\'all\'{\i}tottuk.

\medskip
A t\'etelt be lehet bizony\'{\i}tani \'ugy, hogy kisz\'amoljuk
f\"uggetlen Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
konvoluci\'o se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. Ez
meg\-le\-he\-t\H{o}\-sen kellemetlen, de (par\-ci\-\'a\-lis
t\"ortekre bont\'as se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel)
kisz\'amolhat\'o in\-teg\-r\'a\-lok\-hoz vezetne.
L\'enyegesen egy\-sze\-r\H{u}b\-ben c\'el\-hoz \'er\"unk,
ha tudjuk a Cauchy eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et.
Az $a=1$ pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u} Cauchy eloszl\'as
karakterisztikus f\"uggv\'enye $\varphi(t)=e^{-|t|}$, ahonnan
az $a$ param\'eter\H{u} Cauchy eloszl\'as karakterisztikus
f\"uggv\'enye $\varphi_a(t)=e^{-a|t|}$. Innen l\'atszik, hogy
$\varphi_a(t)\varphi_b(t)=\varphi_{a+b}(t)$, ahonnan a t\'etel
\'all\'{\i}t\'asa azonnal l\'athat\'o. Term\'eszetesen ez az
indokl\'as csak \'ugy teljes, ha ki tudjuk sz\'am\'{\i}tani a
Cauchy eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et.

Megmutatom, hogyan lehet ezt a karakterisztikus f\"uggv\'enyt
kisz\'amolni. A sz\'amol\'as a komplex f\"uggv\'enytan egyik
legfontosabb m\'odszer\'enek, a reziduumsz\'am\'{\i}t\'asnak az
alkalmaz\'as\'an alapul.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Legyen  $\xi$ Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $a=1$ param\'eterrel . Ekkor
$$
Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty\frac1\pi\frac{e^{itu}}{1+u^2}\,du
=e^{-|t|}.
$$
}

\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Ezt az integr\'alt a komplex
f\"uggv\'enytan reziduum t\'etele seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki tudjuk
sz\'am\'{\i}tani.

Vegy\"uk \'eszre, hogy a $g(z)=g_t(z)=\frac{e^{itz}}{\pi(1+z^2)}$
f\"uggv\'eny  analitikus a komplex sz\'ams\'{\i}kon, k\'et p\'olusa
van a $z=\pm i$ pontokban. A $g(z)$ f\"uggv\'eny reziduuma az $i$
pontban $e^{-t}$ a $-i$ pontban $e^t$. Te\-kint\-s\"uk a
k\"ovetkez\H{o} k\"orintegr\'alt. A $g(z)=g_t(z)$ f\"uggv\'enyt
integr\'aljuk a $[-R,R]$ szakaszon, majd a a $|z|=R$ $\Im z\ge0$
f\'elk\"or\"on, ha $t\ge0$ \'es a $|z|=R$, $\Im z\le 0$
f\'elk\"or\"on, ha $t\le0$. Ekkor ennek a k\"orintegr\'alnak az
\'ert\'eke a $g(z)$ f\"uggv\'eny $i$ pontbeli reziduum\'aval
egyenl\H{o} $t>0$ \'es a $-i$ pontbeli reziduum\'aval a $t<0$
esetben. M\'asr\'eszt az integr\'al megszor\'{\i}t\'asa az $R$
sugar\'u f\'elk\"orre null\'ahoz tart, ha $R\to\infty$. Innen
k\"ovetkezik, hogy $Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty
g_t(u)\,du=e^{-t}$, ha $t>0$, \'es
$Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty g_t(u)\,du=e^{t}$, ha $t<0$.
Egys\'eges jel\"ol\'essel azt \'{\i}rhatjuk, hogy
$Ee^{it\xi}=e^{-|t|}$.

\medskip
V\'eg\"ul megfogalmazom a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik h\'{\i}res eredm\'eny\'et, az \'ugy\-neve\-zett iter\'alt
logaritmus t\'etelt.

\medskip\noindent
{\bf Iter\'alt logaritmus t\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$ olyan f\"uggetlen, egyforma
el\-osz\-l\'a\-s\'u val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelyekre $E\xi_1(\oo)=0$, $\Var\xi_1(\oo)=\sigma^2<\infty$.
Ekkor
$$
\limsup_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=1, \quad\text{majdnem minden
$\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre,}
$$
\'es
$$
\liminf_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=-1,
\quad\text{majdnem minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre.}
$$
}

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es.

Bebizony\'{\i}tom mind a Kolmogorov-f\'ele h\'arom sor t\'etelnek mind
a f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'at\-la\-gai\-nak sztochasztikus
konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'e\-tel\-nek a
sz\"uks\'egess\'eg r\'esz\'et. Mind a k\'et bizony\'{\i}t\'asban
fontos szerepet j\'atszik egy a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
tulajdons\'again alapul\'o \'erv.

\medskip\noindent
{\it A h\'arom sor t\'etel sz\"uks\'egess\'eg fel\'enek a
bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Ha a $\summ_{k=1}^\infty \xi_k(\oo)$ \"osszeg
egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel konvergens, akkor a
$|\xi_k(\oo)|>C$ esem\'eny csak v\'eges sok $k$ indexre teljes\"ul.
Ezenk\'{\i}v\"ul ezek az esem\'enyek k\"ul\"onb\"oz\H{o} $k$
indexre f\"uggetlenek, ez\'ert, ha az al\'abbi sorozat konverg\'al,
akkor a Borel--Cantelli lemma alapj\'an $\summ_{k=1}^\infty
P(|\xi_k|>C)<\infty$, azaz az (i) tulajdons\'ag teljes\"ul.
Tov\'abb\'a a Borel-Cantelli lemma m\'asik fele alapj\'an a
$\summ_{k=1}^\infty(\xi_k(\oo)-\xi_k'(\oo))$, \'{\i}gy a
$\summ_{k=1}^\infty\xi_k'(\oo))$ \"osszeg is egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konvergens, ahol
$\xi_k'(\oo)=\xi_k(\oo)I(|\xi_k(\oo)|<C)$. A bizony\'{\i}t\'as
k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'es\'eben egy m\'as probl\'em\'ak
megold\'as\'aban is hasznos m\'odszert, az un.
szimmetriz\'al\'ast alkalmazom. Legyen $\xi_k''$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, melyek a
$\xi_k'$ sorozatt\'ol is f\"uggetlenek, \'es $\xi_k''$ ugyanolyan
eloszl\'as\'u mint a $\xi'_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Legyen $\tilde\xi_k=\xi_k'-\xi_k''$. Ekkor
$\tilde\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, szimmetrikus, azaz
olyan eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
sorozata, melyekre $P(\tilde\xi_k>x)=P(\tilde\xi_k-<x)$ minden $x$
sz\'amra, \'es a $\summ_{k=1}^\infty\tilde\xi_k$ sorozat egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konvergens. Be fogom l\'atni az
al\'abbi lemm\'at.

\medskip\noindent
{\bf Lemma f\"uggetlen, korl\'atos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'e\-r\H{o}l.}
{\it Ha $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, szimmetrikus
eloszl\'as\'u, korl\'atos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok, azaz olyanok, amelyekhez l\'etezik olyan $K>0$
sz\'am, hogy $P(|\xi_k|\le K)$ minden $k=1,2,\dots$ indexre, \'es
a $\summ_{k=1}^\infty\xi_k(\oo)$ \"osszegek egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak, ak\-kor
$\summ_{k=1}^\infty\Var\xi_k<\infty$.}

\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or befejezem a h\'arom sor t\'etel
sz\"uks\'egess\'eg fel\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'at e lemma
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. E lemma alapj\'an tudjuk, hogy
$\summ_{k=1}^\infty\Var\tilde\xi_k<\infty$, \'es mivel
$\Var\tilde\xi_k=2\Var\,\xi_k'$ innen k\"ovetkezik a (iii)
tulajdons\'ag. A $\xi_k'-E\xi_k'$ sorozatra
$\summ_{k=1}^\infty E(\xi_k'-E\xi_k')^2<\infty$, \'es
$E(\xi'_k-E\xi'_k)=0$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra, ez\'ert
a Kolmogorov-f\'ele egy sor t\'etel alapj\'an a
$\summ_{k=1}^\infty (\xi_k'-E\xi_k')$ sorozat egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al. Teh\'at mind a
$\summ_{k=1}^\infty(\xi_k'-E\xi_k')$ mind a
$\summ_{k=1}^\infty\xi_k'$ \"osszegek konvergensek egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez\'ert a
\'es $\summ_{k=1}^\infty E\xi_k'=
\summ_{k=1}^\infty \xi_k'-\summ_{k=1}^\infty  (\xi_k'-E\xi_k')$
\"osszeg is konvergens, \'es a (ii) tulajdons\'ag is teljes\"ul.

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Jel\"olje a $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et
$F_k(x)$, \'es karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et $\varphi_k(t)$.
El\H{o}sz\"or azt mutatom meg, hogy el\'eg kis $t$ indexre a
$\summ_{k=1}^\infty(1-\varphi_k(t))$ \"osszeg is konvergens,
s\H{o}t abszolut konvergens. Val\'oban, a
$\summ_{k=1}^\infty\xi_k(\oo)$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
val\'o konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy e v\'eletlen
\"osszegek eloszl\'asban is konverg\'alnak, ez\'ert a
$\prodd_{k=1}^n\varphi_k(t)$ f\"uggv\'enyek konverg\'alnak egy
folytonos $\varphi(t)$ (ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus) f\"uggv\'enyhez.
A $\varphi_k(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyek a $\xi_k$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok szimmetrikus
eloszl\'asai miatt val\'os \'ert\'ek\H{u}ek, \'es 1-n\'el
kisebbek. E kifejez\'es logaritmus\'at v\'eve azt kapjuk,
hogy a $\summ_{k=1}^\infty\log\varphi_k(t)$ abszolut
konvergens, \'es kis $t$ sz\'amra ennek az \"osszegnek az abszolut
\'ert\'eke kisebb, mint $\e$. (Azt haszn\'aljuk ki ebben a
l\'ep\'esben, hogy a $\varphi(t)$ hat\'arf\"uggv\'eny a null\'aban
folytonos, \'es $\varphi(0)=1$.) Tekintve a $\log(1+x)$
f\"uggv\'eny Taylor sor\'at nulla kis k\"ornyezet\'eben
$x=1-\varphi_k(t)$ v\'alaszt\'assal kapjuk, hogy
$1-\varphi_k(t)\le-2\log\varphi_k(t)$ el\'eg kis $t$-re minden $k$
indexre, \'es $\summ_{k=1}^\infty(1-\varphi_k(t))<\infty$, amint
\'all\'{\i}tottam.

Legyen $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
amelyre $P(|\xi|\le K)=1$, \'es jel\"olje $\varphi(t)$ $\xi$
karakterisztikus, \'es $F(x)$ $\xi$ eloszl\'as f\"uggv\'eny\'et.
Azt \'all\'{\i}tom,  hogy ha $t>0$ olyan sz\'am, melyre $tK\le1$,
akkor $\frac {t^2}4\Var\xi\le \Re\Var\varphi(t)$. Val\'oban
ekkor
$$
\Re\(1-\varphi(t)\)=\int_{-K}^K (1-\cos tx)F(\,dx)
\ge\int_{-K}^K \frac{t^2x^2}4 F(\,dx)=\frac{t^2}4E\xi^2
\ge\frac{t^2}4\Var\xi,
$$
mivel $|tx|\le |tK|\le1$ eset\'en $1-\cos tx>\frac {(tx)^2}4$.

A fenti k\'et \'all\'{\i}t\'asb\'ol k\"ovetkezik, hogy eset\"unkben
$\summ_{k=1}^\infty \Var\xi_k\le \frac4{t^2}\summ_{k=1}^\infty
(1-\varphi_k(t))<\infty$ egy el\'eg kis $t>0$ sz\'ammal.

\medskip\noindent
{\it F\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'at\-la\-gai\-nak sztochasztikus
konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel sz\"uks\'egess\'eg
fel\'enek a bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Jel\"olje $\varphi(t)$ a
$\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et. Abb\'ol, hogy a $\frac1n\summ_{k=1}^n(\xi_k-A_n)$
\'atlagok szto\-chasz\-ti\-ku\-san null\'ahoz tartanak,
k\"ovetkezik, hogy eloszl\'asban is null\'ahoz tartanak, ez\'ert
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus  f\"uggv\'eny\"uk a null\'aba
koncentr\'alt m\'ert\'ek  karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ehez
tart, azaz $\varphi\(\frac tn\)^ne^{-iA_nt}\to1$, ahonnan
$\limm_{n\to\infty}\left|\varphi\(\frac tn\)\right|^n=1$, \'es
$\limm_{n\to\infty}n\Re\log\varphi\(\frac tn\)=0$ minden $t$
val\'os sz\'amra.  Tov\'abb\'a az el\H{o}bb fel\'{\i}rt
konvergenci\'ak egyenletesek, ha a $t$ v\'altoz\'o egy
r\"ogz\'{\i}tett v\'eges intervallumban van.

Innen az is k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty} n\(1-\Re \varphi\(\frac tn\)\)=0$, \'es ez a
konvergencia is egyenletes a $t$ v\'altoz\'oban minden v\'eges
intervallumban.  Val\'oban, alkalmazva a $\log(1+u)=u+O(u^2)$
k\"ozel\'{\i}t\'est kis $u$ sz\'amokra, az
$u=\log \Re\varphi\(\frac tn\)-1$ v\'alaszt\'assal kapjuk
ezt az \'all\'{\i}t\'ast. Innen az is ad\'odik, hogy
$\limm_{x\to\infty}x\(1-\Re\varphi\(\frac1x\)\)=0$, azaz
$\limm_{u\to0}\frac1u\(1-\Re\varphi(u)\)=0$. Val\'oban,
egyr\'eszt $1-\Re\varphi\(\frac1x\)\ge0$. M\'asr\'eszt v\'eve
minden $x\ge1$ sz\'amhoz azt a $k=k(x)$ eg\'esz sz\'amot, amelyre
$2^k\le x<2^{k+1}$, \'es defini\'alva az $n=n(x)=2^{k+1}$, \'es
$t=t(x)=\frac{2^{k+1}}x$ sz\'amokat, azt kapjuk, hogy
$1\le t\le2$, \'es
$x\(1-\Re\varphi\(\frac1x\)\)\le n\(1-\Re\varphi\(\frac tn\)\)$,
ahonnan $\limm_{x\to\infty}x\(1-\Re\varphi\(\frac1x\)\)
\le\limm_{n\to\infty}\supp_{1\le t\le2}
n\(1-\varphi\(\Re\frac tn\)\)=0$.

A fentiek alapj\'an tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$x=x(\e)$ k\"usz\"obindex, amelyre $|\Re[1-\varphi(u)]|<\e u<\frac\e x$,
ha $0\le u<\frac1x$, \'es $x>x(\e)$. Ez\'ert minden $x\ge x(\e)$
sz\'amra
$$
\align
\e&>x^2\int_0^{1/x}\Re[1-\varphi(u)]\,du=\int_0^{1/x}
\int_{-\infty}^\infty x^2(1-\cos ut)F(\,dt)\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty \int_0^{1/x}
x^2(1-\cos ut)\,du F(\,dt)
=\int_{-\infty}^\infty \(x-\frac{x^2\sin\frac tx}t\)F(\,dt)\\
&=x\int_{-\infty}^\infty \(1-\frac{\sin\frac tx}{\frac tx}\)F(\,dt)
\ge\frac x2\int_{\{|t|>2x\}}F(\,dt)
=\frac x2\[(1-F(2x))+F(-2x)\].
\endalign
$$
Mivel ez az egyenl\H{o}tlens\'eg minden $\e>0$ sz\'amra
\'erv\'enyes, innen k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{x\to\infty}x[(1-F(x)+F(-x)]=0$, amint \'all\'{\i}tottam.

\bye

L\'atni fogjuk, hogy az
$E|\xi_1|=\infty$ rel\'aci\'ob\'ol \'es a Borel--Cantelli
lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy nem teljes\"ul a nagy sz\'amok
gyenge t\"orv\'enye. Ennek indokl\'as\'at k\'es\H{o}bb ismertetem.
Annak \'erdek\'eben, hogy bebizony\'{\i}tsuk a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'et erre a sorozatra, defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: Legyen
$\bar\xi_k=\bar\xi_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|\le n\)$,
$\bar{\bar\xi}_k=\bar{\bar\xi}_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|>n\)$, \'es
$\bar S_n=\summ_{k=1}^n\bar\xi_k$, $\bar{\bar S}_n
=\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k$. Ekkor $P(|S_n|>\e n)\le
P\(|\bar S_n|>\frac\e2n\)+P\(|\bar{\bar S}_n|>\frac\e2n\)\le
\frac{\Var\bar S_n}{\frac{\e^2}4n^2}+nP\(\bar{\bar\xi_1}\neq0\)$.
Adjunk j\'o becsl\'est a $\Var\bar\xi_1$ kifejez\'esre.
$\text {Var}\,\bar\xi_1=\int_3^n\frac{2C\,du }{\log u}
\le\frac{\const n}{\log n}$, mert $\int_{\sqrt n}^n
\frac{2C\,du}{\log u}\le\frac{\const n}{\log n}$ \'es
$\int_3^{\sqrt n}\frac{2C\,du}{\log u}\le \const\sqrt n$.
Innen  a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg jobboldal\'an szerepl\H{o}
els\H{o} tagot \'ugy becs\"ulhetj\"uk fel\"ulr\H{o}l, hogy
$\frac{\text {Var}\,\bar S_n}{\frac{\e^2}4n^2}
\le\frac{\text {Var}\,\bar\xi_1}{\frac{\e^2}4n}\le\frac{\const}
{\e^2\log n}$. A m\'asodik tag becsl\'ese \'erdek\'eben vegy\"uk
\'eszre, hogy $P\(\bar{\bar \xi_1}\neq0\)=\int_n^\infty
\frac{2C}{u^2\log u}\le\frac{2C}{\log n}
\int_n^\infty\frac{\,du}{u^2}\le \frac{\const}{n\log n}$. Innen
$nP\(\bar{\bar \xi_1}\neq0\)\le\frac{\const}{\log n}$. A fenti
egyenl\H{o}tlens\'egekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}P(|S_n|>\e n)=0$, \'es ezt akartuk megmutatni.



