\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus1pt
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}


\beginsection Alapvet\H{o} ismeretek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
probl\'em\'ak sz\'amol\'as\'an\'al

Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi probl\'em\'ak vizsg\'alata \'erdek\'eben
bevezett\"uk az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o} fogalm\'at. Egyik alapvet\H{o} probl\'ema
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
a definici\'oja \'es kisz\'am\'{\i}t\'asa volt. Maga a definici\'o
nagyon egyszer\H{u}, ha ismerj\"uk a Lebesgue integr\'al fogalm\'at.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek a definici\'oja.} {\it Egy $(\Omega,\Cal A,P)$
t\'eren defini\'alt $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak (azaz m\'erhet\H{o} f\"uggv\'enynek) a v\'arhat\'o
\'ert\'eke az $\int \xi(\oo)P(\,\oo)$ Lebesgue integr\'allal
egyenl\H{o}, felt\'eve, hogy $\int |\xi(\oo)|P(\,\oo)<\infty$.
(Ellenkez\H{o} esetben nem defini\'aljuk a v\'arhat\'o \'ert\'eket.)}

\medskip
Ebb\H{o}l a definici\'ob\'ol azonnal kiolvashat\'o a v\'arhat\'o
\'ert\'ek n\'eh\'any fontos tu\-laj\-don\-s\'a\-ga. \'Igy
p\'eld\'aul a v\'arhat\'o \'ert\'ek additiv\'{\i}t\'asa az integr\'al
additiv\'{\i}t\'as\'anak egyszer\H{u} k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nye. De
ahhoz, hogy j\'ol tudjunk sz\'amolni v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
tov\'abbi ismeretekre van sz\"uk\-s\'e\-g\"unk. Az esetek
t\"obbs\'eg\'eben a v\'arhat\'o \'ert\'eket k\"ozvetlen\"ul nem a
definici\'oja alapj\'an sz\'amoljuk ki, hanem bevezetj\"uk egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et,
\'es olyan t\'eteleket bizony\'{\i}tunk be, amelyek lehet\H{o}v\'e
teszik a v\'arhat\'o \'ert\'ek kisz\'amol\'as\'at az
eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ahhoz, hogy j\'ol
tudjunk sz\'amolni v\'arhat\'o \'ert\'ekekkel meg kell \'erteni a
v\'arhat\'o \'ert\'ek eredeti definici\'oja \'es a v\'arhat\'o
\'ert\'ek eloszl\'asf\"uggv\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel val\'o
kisz\'amol\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o k\'epletek kapcsolat\'at.

E kapcsolat meg\'ert\'es\'eben a m\'ert\'ekelm\'elet al\'abb
ismertetett m\'ert\'ektart\'o transzform\'aci\'ok szerinti
integr\'altranszform\'aci\'okr\'ol sz\'ol\'o t\'etel\'enek van
kulcsfontoss\'ag\'u sze\-re\-pe. E t\'etel megfogalmaz\'asa
el\H{o}tt bevezetem a k\"ovetkez\H{o} fogalmat.

\medskip\noindent
{\bf M\'ert\'ektart\'o transzform\'aci\'o definici\'oja.} {\it
Legyen adva k\'et $(X,\Cal X,\gamma)$ \'es $(Y,\Cal Y,\nu)$
m\'ert\'ekt\'er, azaz egy $X$ illetve $Y$ alaphalmaz, ezeknek
bizonyos kijel\"olt, m\'erhet\H{o} r\'esz\-hal\-ma\-zai\-nak $\Cal X$
illetve $\Cal Y$ rendszere, amelyek $\sigma$-algebr\'at alkotnak,
\'es egy $\gamma$ illetve $\nu$ m\'ert\'ek az $\Cal X$ \'es $\Cal Y$
$\sigma$-algebr\'an. Egy minden $x\in X$ pontban defini\'alt $T$,
$T(x)=y$, $x\in X$, $y\in Y$ transzform\'aci\'ot
m\'ert\'ektart\'onak nevez\"unk, ha minden
$B\in\Cal Y$ halmaz $T^{-1}(B)=\{x\colon\;Tx\in B\}$
\H{o}sk\'epe m\'erhet\H{o} halmaz, azaz $T^{-1}(B)\in\Cal X$, \'es
$\gamma(T^{-1}(B))=\nu(B)$ minden $B\in\Cal Y$ halmazra.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel m\'ert\'ektart\'o transzform\'aci\'ok szerinti
integr\'altranszform\'aci\'okr\'ol.} {\it Le\-gyen adva egy $T$
m\'ert\'ektart\'o transzform\'aci\'o egy $(X,\Cal X,\gamma)$
m\'ert\'ekt\'err\H{o}l egy $(Y,\Cal Y,\nu)$
m\'er\-t\'ek\-t\'er\-re,
valamint egy $\Cal Y$ m\'erhet\H{o} $f(y)$ f\"uggv\'eny az
$(Y,\Cal Y)$ t\'eren. Vezess\"uk be a $g(x)=f(Tx)$
f\"uggv\'enyt az $(X,\Cal X)$ t\'eren. Ekkor az $f(Tx)$
f\"uggv\'eny $\Cal X$ m\'erhet\H{o}, \'es  \'erv\'enyes az
$$
\int_Y f(y)\nu(\,dy)=\int_X f(Tx)\gamma(\,dx)
$$
azonoss\'ag. Ez \'ugy \'ertend\H{o}, hogy az azonoss\'ag k\'et
oldal\'an lev\H{o} integr\'alok egyszerre abszolut konvergensek,
azaz az $\int_Y|f(y)|\nu(\,dy)<\infty$ rel\'aci\'o akkor \'es csak
akkor teljes\"ul, ha $\int_X|f(Tx)|\gamma(\,dx)<\infty$.}

\medskip
Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o vagy v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'at \'es eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et \'ugy
defini\'alj\'ak, hogy ez lehet\H{o}v\'e tegye a v\'arhat\'o
\'ert\'ek kisz\'am\'{\i}t\'as\'at az el\H{o}z\H{o} t\'etel
alapj\'an az eloszl\'as szerinti integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
ha megfelel\H{o} m\'odon defini\'aljuk a t\'etel
al\-kal\-ma\-z\'a\-s\'a\-ban a m\'ert\'ektereket \'es $T$
transzform\'aci\'ot.

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'as \'es eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.}
{\it Legyen $\xi(\oo)=(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$ egy
$k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, azaz
az $(\Omega,\Cal A,P)$ m\'ert\'ekt\'er lek\'epez\'ese az
$(R^k,\Cal B^k)$ t\'erbe, ahol $\Cal B^k$ az $R^k$
$k$-dimenzi\'os Euklideszi t\'er Borel $\sigma$-algebr\'aja.
A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at
\'ugy defini\'aljuk, mint a k\"ovetkez\H{o}  $\mu$
halmazf\"uggv\'enyt a $\Cal B^k$ $\sigma$-algebr\'an:
$\mu(B)=P(\{\oo\colon\;\xi(\oo)\in B\})$, minden $B\in \Cal B$
halmazra. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'at az
$$
F(x_1,\dots,x_k)
=P(\{\oo\colon\;\xi_1(\oo)<x_1,\dots,\xi_k(\oo)<x_k\})
$$ k\'eplet adja meg minden $(x_1,\dots,x_k)\in R^k$ vektorra.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa
\'es eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek alapvet\H{o}
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Legyen
$\xi(\oo)=(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$ egy $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o el\H{o}bb defini\'alt $\mu$
eloszl\'asa val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az
$(R^k,\Cal B^k)$ t\'eren, \'es $\xi(\oo)$ m\'ert\'ektart\'o
transzform\'aci\'o az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}r\H{o}l az $(R^k,\Cal B^k,\mu)$ m\'ert\'ekt\'erre.

Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\mu$ eloszl\'asa
meghat\'arozza $\xi$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=\mu(B(x_1,\dots,x_k))
$$
k\'eplet alapj\'an, ahol
$B(x_1,\dots,x_k)=\{(u_1,\dots,u_k)\colon\;u_1<x_1,\dots,u_k<x_k\}$.
Megford\'{\i}tva, a m\'ert\'ekelm\'elet bizonyos eredm\'enyei
alapj\'an a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza
a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\mu$ eloszl\'as\'at.}

\medskip
A fenti eredm\'enyek alapj\'an, tekinthetj\"uk a
$\xi(\oo)=(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$ vektor \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mint az
$(\Omega,\Cal A,P)=(X,\Cal X,\alpha)$ m\'erhet\H{o} t\'er
m\'ert\'ektart\'o transzform\'aci\'oj\'at az
$(Y,\Cal Y,\nu)=(R^k,\Cal B^k,\mu)$ t\'erre, ahol $\mu$ a $\xi$
v\'eletlen vektor eloszl\'asa. Ilyen
szereposzt\'assal v\'eve egy $f(x_1,\dots,x_k)$ m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'enyt az $(R^k,\Cal B^k)$ t\'eren \'es al\-kal\-maz\-va
a {\it  m\'ert\'ektart\'o transzform\'aci\'ok sze\-rin\-ti
integr\'altranszform\'aci\'okr\'ol}\/ sz\'ol\'o t\'etelt a
k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot kapjuk.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel v\'eletlen vektor v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ar\'ol.} {\it Legyen egy
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa $\mu$. Ekkor
\'erv\'enyes az
$$
\int f(x_1,\dots,x_k)\mu(\,dx_1,\dots,\,dx_k)=\int
f(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))P(\,d\oo)=Ef(\xi_1,\dots,\xi_k)
$$
azonoss\'ag.}

\medskip
Ez azt jelenti, hogy egy v\'eletlen vektor valamely
f\"uggv\'eny\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et ki tudjuk sz\'amolni
a v\'eletlen vektor eloszl\'as\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
S\H{o}t, mivel az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny meghat\'arozza az
eloszl\'ast, ez\'ert el\'eg az eloszl\'asf\"uggv\'enyt ismerni.
A tov\'abbiakban a k\"ovetkez\H{o}, az irodalomban elterjedt
jel\"ol\'est haszn\'alom. Ha ismerem egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, vagy \'altal\'anosabban egy v\'eletlen vektor $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et, akkor $dF(x_1,\dots,x_k)$ vagy
$F(\,dx_1,\dots,\,dx_k)$-val jel\"ol\"om az ezen
eloszl\'asf\"uggv\'eny szerint egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott $\mu(\,dx_1,\dots,\mu\,dx_k)$
(\'ugynevezett Stieltjes m\'ert\'ek szerinti) integr\'alt.

A m\'ert\'ekelm\'elet egy tov\'abbi fontos, m\'as
el\H{o}ad\'asjegyzetemben t\'argyalt eredm\'enye annak a pontos
le\'{\i}r\'asa, hogy milyen tulajdons\'agokkal kell rendelkeznie
egy f\"uggv\'enynek ahhoz, hogy megjelenhessen, mint egy alkalmas
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}ben megfelel\H{o} m\'odon
defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye.

A tov\'abbi sz\'amunkra fontos k\'erd\'esek azzal f\"uggnek \"ossze,
hogy hogyan lehet j\'ol kisz\'amolni egy eloszl\'as szerinti
integr\'alt fontos esetekben. Sok fontos esetben olyan eloszl\'asok
szerint kell integr\'alokat sz\'amolni, amelyeknek l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Az ilyen integr\'alok vizsg\'alata
\'erdek\'eben fel kell id\'ezni a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek
definici\'oj\'at \'es legfontosabb tulajdons\'agait.

\medskip\noindent
{\bf T\"obbv\'altoz\'os s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek legfontosabb
tulajdons\'agai.}

\medskip\noindent
{\bf T\"obbv\'altoz\'os s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny definici\'oja.}
{\it Legyen $F(x_1,\dots,x_k)$ egy $k$-v\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'eny. Azt mondjuk, hogy ennek az
eloszl\'asf\"uggv\'enynek az $f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha teljes\"ul az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=\int_{-\infty}^{x_1}\cdots\int_{-\infty}^{x_k}
f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots\,du_k
$$
azonoss\'ag minden val\'os $x_1,\dots,x_k$ sz\'am-$k$-asra.}

\medskip
Ha egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektornak az
$F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye,
\'es az $f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny az $F(x_1,\dots,x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye,
akkor id\H{o}n\-k\'ent azt mondjuk, hogy $f(x_1,\dots,x_k)$ a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.

Term\'eszetesen, az egyv\'altoz\'os esethez hasonl\'oan, magasabb
dimenzi\'oban sem l\'e\-te\-zik minden eloszl\'asf\"uggv\'enynek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. M\'asr\'eszt az
eloszl\'asf\"uggv\'enyekhez hasonl\'oan a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyeknek is van jellemz\'ese.

\medskip\noindent
{\bf S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny jellemz\'ese.} {\it Egy
$f(x_1,\dots,x_k)$ $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny akkor \'es csak
akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy alkalmas
eloszl\'asf\"uggv\'enynek, ha $f(x_1,\dots,x_k)\ge0$
(majdnem) minden $(x_1,\dots,x_k)$ pontra, \'es
$$
\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty
f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots\,du_k=1.
$$
}

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny kapcsolata.}
{\it Az eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
k\"ol\-cs\"o\-n\"o\-sen meghat\'arozz\'ak egym\'ast. El\'eg sima
(el\'eg sokszor differenci\'alhat\'o) $F(x_1,\dots,x_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny $f(x_1,\dots,x_k)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye l\'etezik, \'es az kisz\'amolhat\'o az
$$
f(x_1,\dots,x_k)=\frac{\partial^k F(x_1,\dots,x_k)}{\partial x_1\cdots
\partial x_k}
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} \'all\'{\i}t\'as nagyon fontos lesz
sz\'amunkra a k\'es\H{o}bbiekben.

\medskip\noindent
{\bf F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol
\'all\'o v\'eletlen vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.}
{\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $F_j(x)$ eloszl\'as \'es
$f_j(x)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'ennyel, $1\le j\le k$.
Ekkor a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asf\"uggv\'enye az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=F(x_1)\cdots F(x_k)
$$
\'es (l\'etez\H{o}) s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$$
f(x_1,\dots,x_k)=f(x_1)\cdots f(x_k)
$$
f\"uggv\'eny.}

Ugyancsak fontos sz\'amunkra a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny, amely azt
adja meg, hogy hogyan lehet kisz\'amolni sok minket \'erdekl\H{o}
mennyis\'eget s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip\noindent
{\bf V\'eletlen vektor f\"uggv\'enyei \'es azok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek kisz\'amol\'asa s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} {\it Legyen egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektornak $f(x_1,\dots,x_k)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Ekkor tetsz\H{o}leges
(Borel m\'erhet\H{o}) halmazra a $k$-dimenzi\'os t\'erben
$$
P((\xi_1,\dots,\xi_k)\in B)
=\(\idotsint\)_B f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots\,du_k
$$
\'Altal\'anosabban, legyen $g(x_1,\dots,x_k)$ tetsz\H{o}leges
(m\'erhet\H{o}) $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny. Ekkor
$$
Eg(\xi_1,\dots,\xi_k)=\idotsint g(u_1,\dots,u_k)f(u_1,\dots,u_k)
\,du_1\dots\,du_k,
$$
ha az $Eg(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'arhat\'o \'ert\'ek l\'etezik, (azaz
v\'eges sz\'am).}

\medskip
Ahhoz, hogy a fenti eredm\'enyeket haszn\'alni tudjuk, tudnunk
kell t\"obbv\'altoz\'os integr\'alokkal sz\'amolni. Ehhez
egyr\'eszt fontos a Fubini t\'etel, amely szerint t\"obbv\'altoz\'os
integr\'alokat ki lehet sz\'amolni szukcessz\'{\i}v egyv\'altoz\'os
integr\'al\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ma\-te\-ma\-ti\-kai k\'epletben
megfogalmazva:
$$
\idotsint f(x_1,\dots,x_k)\,dx_1\dots\,dx_k=
\int\dots\(\int\(\int f(x_1,\dots,x_k)\,dx_1\)\,dx_2\)\dots \,dx_k.
$$

Az el\H{o}bb megfogalmazott azonoss\'ag val\'oj\'aban a Fubini
t\'etel speci\'alis esete. A Fubini t\'etel azt mondja ki, hogy ha
adva van egy szorzatt\'er, azon egy szorzatm\'ert\'ek, akkor egy a
szorzatt\'eren defin\'alt f\"uggv\'eny szorzatm\'ert\'ek szerinti
integr\'alj\'at  ki lehet sz\'amolni szukcessziv
integr\'al\'assal is. Pontosabban megfogalmazva

\medskip\noindent
{\bf Fubini t\'etel.} {\it Legyenek adva
$(X_j,\Cal X_j,\mu_j)$, $1\le j\le k$, m\'ert\'ekterek \'es
tekints\"uk ezek direkt szorzat\'at. R\'eszletesebben kifejtve
tekints\"uk azt az $(X,\Cal X,\mu)$ m\'ert\'ekteret, amelyre
$X=X_1\times\cdots\times X_k$, azaz $X$ az $(x_1,\dots,x_k)$,
$x_j\in X_j$, $1\le j\le k$, alak\'u pontokb\'ol \'all, $\Cal X$ az
$X_1\times\cdots\times X_{j-1}\times B_j\times X_j\times\cdots\times X_k$,
$B_j\in\Cal X_j$, $1\le j\le k$, alak\'u hengerhalmazok \'altal
gener\'alt legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra, $\mu$ az a
(bizonyos m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyek alapj\'an l\'etez\H{o}
\'es egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott) m\'ert\'ek a $\Cal X$
$\sigma$-algebr\'an, amelyre
$\mu(B_1\times\cdots\times B_k)=\mu_1(B_1)\cdots\mu_k(B_k)$
minden $B_j\in\Cal B_j$, $1\le j\le k$, halmazsorozatra. Minden az
$(X,\Cal X,\mu)$ m\'ert\'ekt\'eren vett integr\'alhat\'o
$f(x)=f(x_1,\dots,x_k)$
f\"uggv\'enyre
$$
\align
&\int f(x_1,\dots,x_k)\,d\mu(x_1,\cdots,x_k) \\
&\qquad =\int \cdots \(\int\(\int
f(x_1,\dots,x_k)\,d\mu_1(x_1)\)\,d\mu_2(x_2)\)\cdots\,d\mu_k(x_k).
\endalign
$$
Speci\'alisan, ha $f(x_1,\dots,x_k)=f_1(x_1)\cdots f_k(x_k)$, akkor
$$
\align
&\int f(x_1)\cdots f(x_k)\,d\mu(x_1,\dots,x_k)\\
&\qquad=\int f(x_1)\,d\mu_1(x_1)
\int f(x_2)\,d\mu_2(x_2)\cdots \int f(x_k)\,d\mu_k(x_k).
\endalign
$$
}

\medskip
Ez az eredm\'eny tartalmazza az el\H{o}z\H{o}leg megfogalmazott
eredm\'enyt, ha a $k$-di\-men\-zi\-\'os Euklideszi teret tekintj\"uk
a Borel $\sigma$-algebr\'aval \'es a Lebesgue m\'ert\'ekkel, mint a
sz\'a\-megye\-ne\-sen vett Lebesge m\'ert\'ek $k$-szors direkt
szorzat\'at \"onmag\'aval.

\medskip
Ezenk\'{\i}v\"ul sz\"uks\'eg\"unk lesz az egyv\'altoz\'os
integr\'alok kisz\'amol\'as\'aban fontos sze\-re\-pet j\'at\-sz\'o
he\-lyet\-te\-s\'{\i}\-t\'e\-ses integr\'al t\"obbv\'altoz\'os
megfelel\H{o}j\'ere is. Ismertetem ezt az eredm\'enyt.

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'aval foglalkozunk. Ha adva van az
$n$-dimenzi\'os t\'er egy $A$ tartom\'any\'anak sz\'ep, sima \'es
invert\'alhat\'o $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le n$,
lek\'epez\'ese az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$
tartom\'any\'aba valamint egy
$$
\int_B f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots\,dy_n
$$
alak\'u integr\'al a $B$ tartom\'anyon, akkor hogyan tudjuk ezt
az integr\'alt \'at\'{\i}rni az $y_k=T_k(x_1,\dots,x_k)$,
$k=1,\dots,n$, lek\'epez\'esek seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
mint egy alkalmas az $A$ tartom\'anyon \'ertelmezett
f\"uggv\'eny integr\'alj\'at? C\'elunk az, hogy ily m\'odon
a vizsg\'aland\'o integr\'alt egy k\"onnyebben kezelhet\H{o}
integr\'all\'a alak\'{\i}tsuk \'at.

Annak \'erdek\'eben, hogy az erre a k\'erd\'esre adott
v\'alaszt meg tudjam fogalmazni el\H{o}sz\"or felid\'ezem egy sima
transzform\'aci\'o Jacobian-j\'anak a definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf Jacobian definici\'oja.} {\it Legyen $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$,
$1\le k\le n$, az $n$-dimenzi\'os t\'er egy tartom\'any\'anak sima
transzform\'aci\'oja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik
tartom\'any\'aba.  Vezess\"uk be a $\bold T=(T_1,\dots,T_n)$
jel\"ol\'est. A $\bold T$ transzform\'aci\'o $\Cal J(\bold
T(x_1,\dots,x_n))$ Jaco\-bian-ja  egy $(x_1,\dots,x_n)$ pontban a
$$
\(\frac {\partial T_k(x_1,\dots,x_k)}{\partial x_l}\),
\quad 1\le l,k\le n,
$$
$n\times n$-es (az $(x_1,\dots,x_n)$ pontban vett deriv\'alt)
m\'atrix determin\'ans\'anak az abszolut \'ert\'eke.}

\medskip
(A Jacobian szeml\'eletes tartalma: Ez adja meg, hogy az
$(x_1,\dots,x_n)$ pont kis k\"ornyezet\'enek a t\'erfogat\'at a
$\bold T=(T_1,\dots,T_n)$ transzform\'aci\'o h\'anyszoros\'ara
na\-gy\'{\i}t\-ja.)

\medskip\noindent
{\bf Integr\'altranszform\'aci\'or\'ol sz\'ol\'o t\'etel.}
{\it Legyen adva az $n$-di\-men\-zi\'os t\'er egy $A$
tartom\'any\'anak egy sima $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le
n$, transzform\'altja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$
tartom\'any\'aba, amelyik invert\'alhat\'o, azaz az
$y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le n$, egyenletrendszernek egyetlen
$(x_1,\dots,x_n)\in A$ megold\'asa van minden $(y_1,\dots,y_n)\in B$
pontra. Legyen tov\'abb\'a adva egy (integr\'alhat\'o)
$f(y_1,\dots,y_n)$ f\"uggv\'eny a $B$ tartom\'anyon. Ekkor
$$
\align
\int _B &f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots\,dy_n \\
&\qquad =\int_A f(T_1(x_1,\dots,x_n),\dots,T_n(x_1,\dots,x_n))
\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_n))\,dx_1\dots\,dx_n,
\endalign
$$
ahol $\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_n))$ jel\"oli a $\bold
T(x_1,\dots,x_n)$ lek\'epez\'es Jacobianj\'at.}

\medskip
Az el\H{o}bbi integr\'al transzform\'aci\'os k\'eplet a
k\"ovetkez\H{o} kapcsolatban van az is\-mer\-te\-t\'es elej\'en
t\'argyalt {\it m\'ert\'ektart\'o transzform\'aci\'ok szerinti
integr\'altranszform\'aci\'okr\'ol}\/ sz\'o\-l\'o t\'etellel.
Tekints\"uk az $(A,\Cal B^n,\mu)$ \'es $(B,\Cal B^n,\lambda)$
m\'ert\'ektereket valamint egy
$(y_1,\dots,y_n)=\bold T(x_1,\dots,x_n)$ transzform\'aci\'ot az
$A$ halmazb\'ol a $B$ halmazba, ahol $A$ \'es $B$ az
{\it integr\'altranszform\'aci\'or\'ol sz\'ol\'o t\'etel}-ben
szerepl\H{o} halmazok az $R^n$ Euklideszi t\'erben,
$\bold T$ az ott bevezetett (sima)
transzform\'aci\'o az $A$ halmazb\'ol a $B$ halmazba, $\Cal B$ a
Borel $\sigma$-algebra megszor\'{\i}t\'asa az $A$ illetve a $B$
halmazra, $\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'ek az $R^n$ t\'ernek a $B$
halmazra vett  megszor\'{\i}t\'as\'an, $\mu$ a Lebesgue m\'ert\'ek
szerint $\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_n))$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} m\'ert\'ek az
$A$ halmaz (m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazain, ahol $\Cal J(\bold
T(x_1,\dots,x_n))$ a $\bold T$ transzform\'aci\'o Jacobianja,
azaz
$$
\mu(D)=\int_D \Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_n))\,dx_1\dots\,dx_n \quad
\text{minden $D\subset A$ halmazra.}
$$
Be lehet l\'atni, \'es ez az {\it integr\'altranszform\'aci\'or\'ol
sz\'ol\'o t\'etel}\/ bizony\'{\i}t\'as\'anak a l\'enyege, hogy
$\bold T$ m\'ert\'ektart\'o transzform\'aci\'o az
$(A,\Cal B^n,\mu)$ t\'erb\H{o}l a $(B,\Cal B^n,\lambda)$ t\'erbe.
Ezt felhaszn\'alva a t\'etel \'all\'{\i}t\'asa k\"ovetkezik a
{\it t\'etel m\'ert\'ektart\'o transzform\'aci\'ok szerinti
integr\'altranszform\'aci\'okr\'ol}\/ eredm\'eny\'eb\H{o}l.

\medskip\noindent
{\bf Eredm\'enyek arr\'ol, hogy hogyan sz\'am\'{\i}tjuk ki
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"ossze\-g\'e\-nek vagy
szorzat\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et, sz\'or\'asn\'egyzet\'et.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l.} {\it Legyenek
$\xi_1$,\dots, $\xi_n$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyekre
$E|\xi_j|<\infty$ minden $1\le j\le n$ indexre, \'es $a_1,\dots,a_n$
tetsz\H{o}leges val\'os sz\'amok. Ekkor
$$
E(a_1\xi_1+\cdots+a_n\xi_n)=\sum_{j=1}^n a_jE\xi_j.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Fontos \'eszrev\'etel.} A fenti azonoss\'ag, azaz a v\'arhat\'o
\'ert\'ek additivit\'asa, akkor is \'erv\'enyes, ha a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem f\"uggetlenek.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a sz\'or\'asn\'egyzet\'er\H{o}l.} {\it Le\-gye\-nek
$\xi_1,\dots,\xi_n$ olyan f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, amelyekre $E\xi_j^2<\infty$ minden $1\le j\le n$ indexre,
\'es $a_1,\dots,a_n$ tetsz\H{o}leges val\'os sz\'amok. Ekkor
$$
\Var(a_1\xi_1+\cdots+a_n\xi_n)=\sum_{j=1}^n a_j^2\Var\xi_j.
$$
Tov\'abb\'a, $\Var\xi_j=E(\xi_j-E\xi_j)^2=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2$.}


\medskip\noindent
{\bf T\'etel  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a sz\'or\'asn\'egyzet\'er\H{o}l.} {\it Le\-gye\-nek
$\xi_1$,\dots, $\xi_n$ olyan (nem felt\'etlen\"ul f\"uggetlen)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelyekre $E\xi_j^2<\infty$ minden $1\le j\le n$ indexre, \'es
$a_1,\dots,a_n$ tetsz\H{o}leges val\'os sz\'amok. Ekkor
$$
\align
\Var(a_1\xi_1+\cdots+a_n\xi_n)
=&\sum_{j=1}^n a_j^2\Var\xi_j
+\sum_{1\le i,j\le n,\;i\neq j} a_ia_j \Cov(\xi_j,\xi_j)\\
&=\sum_{j=1}^n a_j^2\Var\xi_j+2\sum_{1\le i<j\le n} a_ia_j\Cov(\xi_j,\xi_j)
\endalign
$$
Tov\'abb\'a, $\Var\xi_j=E(\xi_j-E\xi_j)^2=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2$, \'es
$\Cov(\xi_i,\xi_j)=E(\xi_i-E\xi_i)(\xi_j-E\xi_j)
=E\xi_i\xi_j-E\xi_iE\xi_j$.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
szorzat\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l.} {\it Le\-gye\-nek
$\xi_1,\dots,\xi_n$ olyan f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
me\-z\H{o}n, amelyekre $E|\xi_j|<\infty$ minden $1\le j\le n$ indexre.
Ekkor
$$
E(\xi_1\cdots \xi_n)=\prod_{j=1}^n E\xi_j.
$$
}

\medskip\noindent
{\bf Hogyan sz\'amoljuk ki f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"ossze\-g\'e\-nek a 
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et?
S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek konvol\'uci\'oja.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel arr\'ol, hogyan sz\'am\'{\i}thatjuk ki f\"uggetlen,
diszkr\'et eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek az eloszl\'as\'at.} {\it Legyen $\xi$ 
\'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek valamilyen
$x_1,x_2,\dots$, illetve $y_1,y_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel
$p_j=P(\xi=x_j)$, \'es $q_j=P(\eta_j=y_j)$, $j=1,2,\dots$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel. Ekkor $\xi+\eta$ diszkr\'et
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$$
P(\xi+\eta=z)=\sum_{(j,k)\colon\; x_j+y_k=z} P(\xi=x_j)P(\eta=y_k).
$$
(Olyan $z$ sz\'amokra, amelyekre nincs olyan $(j,k)$ p\'ar, amelyre 
$x_j+y_k=z$, a fenti k\'eplet jobb-oldal\'an szerepl\H{o} \"ures 
\"osszeg definici\'o szerint null\'aval egyenl\H{o}, azaz 
$P(\xi+\eta=z)=0$ az ilyen $z$ sz\'amokra.)

Abban a speci\'alis esetben, ha mind $\xi$ mind $\eta$ eg\'esz
\'ert\'ekeket vesz fel, azaz mindegyik $x_j$ \'es $y_j$ eg\'esz
sz\'am, akkor $\xi+\eta$ is eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel, \'es a
fenti k\'eplet azt adja, hogy
$$
P(\xi+\eta=n)=\sum_{k=-\infty}^\infty P(\xi=k)P(\eta=n-k) \quad
\text{minden } n=0,\pm1,\pm2,\dots \text{ sz\'amra.}
$$
Ha mind $\xi$ mind $\eta$ nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket
vesz fel, akkor a fenti k\'eplet tov\'abb egyszer\H{u}s\"odik. Ekkor
$\xi+\eta$ is nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$$
P(\xi+\eta=n)=\sum_{k=0}^n P(\xi=k)P(\eta=n-k) \quad
\text{minden } n=0,1,2,\dots \text{ sz\'amra.}
$$
}

\medskip
Hasonl\'o k\'eplet \'erv\'enyes k\'et
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'ere.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel arr\'ol, hogyan sz\'amolhatjuk ki k\'et
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} f\"ug\-get\-len
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.} {\it Legyen $\xi$ \'es $\eta$
k\'et f\"ug\-get\-len val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$f(x)$ \'es $g(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Ekkor a
$\xi+\eta$ \"osszegnek is l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
Jel\"olj\"uk ezt $h(x)$-szel. A $\xi+\eta$ $h(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et a k\"ovetkez\H{o} k\'eplet adja
meg.
$$
h(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(x-y)\,dy=
\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)\,dy \quad -\infty<x<\infty.
$$
Ha $\xi$ \'es $\eta$ csak nem negat\'{\i}v \'ert\'ekeket vesz fel,
azaz $f(x)=0$ \'es $g(x)=0$, ha $x<0$, akkor a fenti k\'eplet
egyszer\H{u}s\"odik. Ekkor
$$
h(x)=\int_0^x f(y)g(x-y)\,dy=
\int_0^x f(x-y)g(y)\,dy \quad \text{ha } 0\le x<\infty.
$$
\'es $h(x)=0$, ha $x<0$.}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} definici\'ot szok\'as bevezetni.

\medskip\noindent
{\bf K\'et integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny konvol\'uci\'oj\'anak a
definici\'oja.} {\it Legyen $f(x)$ \'es $g(x)$ k\'et
integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen. Ekkor e
f\"uggv\'enyek konvol\'uci\'oja az
$$
f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(x-y)\,dy=
\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)\,dy \quad -\infty<x<\infty
$$
f\"uggv\'eny.}

\medskip
Be lehet l\'atni, hogy k\'et integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny
konvol\'uci\'oja mindig l\'etezik, \'es az is integr\'alhat\'o
f\"uggv\'eny. A konvol\'uci\'o fogalm\'anak bevezet\'ese
ut\'an a kor\'abban kimondott t\'etelt \'ugy is
megfogalmazhatjuk, hogy k\'et f\"uggetlen $f(x)$ \'es $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek is
l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az a $h(x)=f*g(x)$
f\"uggv\'eny, ahol $*$ konvol\'uci\'ot jel\"ol.

\medskip\noindent
Felid\'ezek m\'eg egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vizsg\'alatokban
fontos m\'ert\'ekelm\'eleti probl\'em\'at \'es az ezzel kapcsolatos
legfontosabb eredm\'enyeket. Azt a k\'erd\'est t\'argyalom, hogy
egy konvergens f\"uggv\'enysorban mikor cser\'elhet\H{o} fel a
limeszk\'epz\'es \'es az integr\'al\'as, azaz mikor mondhatjuk,
hogy a f\"uggv\'enysorozat tagjainak az integr\'aljai konverg\'alnak,
\'es a ha\-t\'ar\-\'er\-t\'ek megegyezik a f\"uggv\'enysorozat
limeszf\"uggv\'eny\'enek (l\'etez\H{o}) integr\'alj\'aval.

%\medskip
%\vfill\eject

\medskip\noindent
{\bf A m\'ert\'ekelm\'elet n\'eh\'any fontos eredm\'enye
konvergens f\"uggv\'enysorozatok in\-teg\-r\'al\-jai\-r\'ol.}

\medskip\noindent
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as eredm\'enyeinek
bizony\'{\i}t\'as\'aban gyakran van sz\"uks\'eg\"unk olyan
eredm\'enyekre, melyek azt mondj\'ak ki, hogy konvergens
f\"uggv\'enyek sorozat\'anak az integr\'alja valamely m\'ert\'ek
szerint konverg\'al a hat\'arf\"uggv\'eny integr\'alj\'ahoz eme
m\'ert\'ek szerint. Az ilyen eredm\'enyek vizsg\'alata a
m\'ert\'ekelm\'elet t\'emak\"orbe tartozik. M\'egis,
hasznosnak l\'atszik a legfontosabb eredm\'enyek ismertet\'ese.
Ezek az \'ugynevezett Le\-besgue (dominated convergence) t\'etel,
a Beppo--Levy t\'etel \'es a Fatou lemma. Le\'{\i}rok n\'eh\'any
egyszer\H{u} p\'eld\'at is, melyek seg\'{\i}thetnek ezen
eredm\'enyek tartalm\'at jobban meg\-\'er\-te\-ni.

\medskip\noindent
{\bf Lebesgue t\'etel.} {\it Legyen $f_n$, $n=1,2,\dots$,
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'enyek sorozata egy $(X,\Cal X,\mu)$
m\'ert\'ekt\'eren. Tegy\"uk fel, hogy
$\limm_{n\to\infty}f_n(x)=f_0(x)$ a $\mu$ m\'ert\'ek szerint
majdnem minden $x\in X$ pontban, \'es l\'etezik olyan
``domin\'ans'' $g$ f\"uggv\'eny az $(X,\Cal X,\mu)$ t\'eren,
amelyre $|f_n(x)|\le g(x)$ a $\mu$ m\'ert\'ek szerint  majdnem
minden $x\in X$ pontban minden $n=1,2,\dots,$ indexre, \'es
$\int g(x)\,d\mu(x)<\infty$. Ekkor
$\limm_{n\to\infty}\int f_n(x)\,d\mu(x)=\int f_0(x)\,d\mu(x)$.}

\medskip\noindent
{\bf Beppo-Levy t\'etel.} {\it Legyen $f_n$, $n=1,2,\dots$,
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'enyek sorozata egy $(X,\Cal X,\mu)$
m\'ert\'ekt\'eren. Tegy\"uk fel, hogy az $f_n(x)$ sorozat monoton
n\"ovekszik, azaz $f_1(x)\le f_2(x)\le f_3(x)\le\cdots$ majdnem
minden $x\in X$ pontban. Legyen $\limm_{n\to\infty}f_n(x)=f_0(x)$
az $f_n$ f\"uggv\'enyek limesze. Tegy\"uk fel, hogy teljes\"ul az
$\int f_1(x)\,d\mu(x)>-\infty$ felt\'etel. Ekkor
$\limm_{n\to\infty}\int f_n(x)\,d\mu(x)=\int f_0(x)\,d\mu(x)$.
Abban a speci\'alis esetben, ha
$\limm_{n\to\infty}\int f_n(x)\,d\mu(x)=\infty$ a
$\int f_0(x)\,d\mu(x)=\infty$ rel\'aci\'o teljes\"ul. }

\medskip \noindent
{\bf Fatou lemma.} {\it Legyen $f_n$, $n=1,2,\dots$, m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'enyek sorozata egy $(X,\Cal X,\mu)$ m\'ert\'ekt\'eren.
Tegy\"uk fel, hogy $\limm_{n\to\infty}f_n(x)=f_0(x)$ a $\mu$
m\'ert\'ek szerint majdnem minden $x\in X$ pontban, \'es l\'etezik
olyan ``als\'o korl\'at'' $g$ f\"uggv\'eny az $(X,\Cal X,\mu)$ t\'eren,
amelyre $f_n(x)\ge g(x)$ a $\mu$ m\'ert\'ek szerint majdnem minden $x\in
X$ pontban minden $n=1,2,\dots$ indexre, \'es $\int
g(x)\,d\mu(x)>-\infty$. Ekkor $\liminff_{n\to\infty}\int
f_n(x)\,d\mu(x)\ge\int f_0(x)\,d\mu(x)$.}

\medskip
A fenti t\'etelekben szerepl\H{o} felt\'etelek jobb meg\'ert\'ese
\'erdek\'eben tekints\"uk a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} p\'eld\'at.
Legyen az $(X,\Cal X,\mu)$ m\'ert\'ekt\'erben az $X$ halmaz a
$(0,1]$ intervallum, az $\Cal X$ $\sigma$-algebra a Borel
$\sigma$-algebra a $[0,1]$ inervallumon, \'es a $\mu$
m\'ert\'ek a Lebesgue m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $f_n(x)$, $n=1,2,\dots$, f\"uggv\'enyeket
ezen a t\'eren a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: $f_n(x)=n$, ha
$0<x\le \frac1n$, $f_n(x)=0$, ha $\frac1n\le x\le 1$. Ekkor
$\limm_{n\to\infty}f_n(x)=f_0(x)$ minden $x\in(0,1]$ pontban,
ahol $f_0(x)\equiv0$. Az $\int f_n(x)\,d\mu(x)=1$ rel\'aci\'o
\'erv\'enyes minden $n=1,2,\dots$ indexre, \'es
$\int f_0(x)\,d\mu(x)=0$. Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben
az integr\'al\'as \'es limeszk\'epz\'es nem felcser\'elhet\H{o}.

Ennek megfelel\H{o}en ez a p\'elda nem teljes\'{\i}ti sem a
Lebesgue t\'etel sem a Beppo--Levy t\'etel felt\'eteleit, amelyek
biztos\'{\i}tan\'ak az integr\'al\'as \'es limeszk\'epz\'es
felcser\'elhet\H{o}s\'eg\'et. A Lebesgue  t\'etel felt\'etelei
az\'ert nem teljes\"ulnek, mert az $f_n(x)$,  $1\le n<\infty$,
f\"uggv\'enyek legkisebb domin\'ans f\"uggv\'enye  az
$F(x)=\supp_{n\ge1} f_n(x)$, $0<x\le 1$ f\"uggv\'eny nem
integr\'alhat\'o. A Beppo--Levy t\'etel felt\'etelei sem
teljes\"ulnek, mert az $f_n(x)$ f\"uggv\'enysorozat nem monoton.
A Fatou lemma felt\'etelei teljes\"ulnek, mert mindegyik
$f_n$ f\"uggv\'eny nem negat\'{\i}v. De a Fatou lemma csak
egy viszonylag gyenge \'all\'{\i}t\'ast mond ki. Azt \'all\'{\i}tja,
hogy amennyiben a konvergens f\"uggv\'enysorozat elemei nem
negat\'{\i}vak, vagy teljes\'{\i}tik azt az enyh\'ebb megk\"ot\'est,
hogy van egy integr\'alhat\'o als\'o korl\'atjuk, akkor a
hat\'arf\"uggv\'eny integr\'alja als\'o becsl\'ese a tekintett
integr\'alok limesz inferiorj\'anak.

Tekints\"unk egy m\'asik p\'eld\'at.  Legyen $f_n(x)=-\frac1x$,
ha $0<x\le \frac1n$, \'es $f_n(x)=0$, ha
$\frac1n< x\le1$, $n=1,2,\dots$. Ez egy olyan monoton
f\"uggv\'enysorozat, amelyre $\limm_{n\to \infty}f_n(x)=f_0(x)$,
$f_0(x)\equiv0$. Ebben a p\'eld\'aban $\int f_n(x)\,dx=-\infty$
minden  $n=1,2,\dots$ sz\'amra, \'es $\int f_0(x)\,dx=0$, teh\'at
az integr\'al\'as \'es limeszk\'epz\'es ebben a p\'eld\'aban sem
cser\'elhet\H{o} fel. Ekkor a Beppo--Levy t\'etel az\'ert nem
alkalmazhat\'o, mert a benne szerepl\H{o} felt\'etelek k\"oz\"ul
az $\int f_1(x)\,d\mu(x)>-\infty$ rel\'aci\'o nem teljes\"ul.

A fenti eredm\'enyeket \'at lehet fogalmazni f\"uggv\'enysorokra
is. \'Igy a Lebesgue t\'etel vagy a Beppo--Levy t\'etel
k\"ovetkezm\'enyek\'ent az al\'abbi eredm\'enyt fogalmazhatjuk
meg.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel konvergens f\"uggv\'enysorok tagonk\'enti
integr\'alhat\'os\'ag\'ar\'ol.} {\it Teljes\"ulj\"on a
$G(x)=\summ_{k=1}^\infty g_k(x)$ rel\'aci\'o a $\mu$ m\'ert\'ek
szerint majdnem minden pontban egy $(X,\Cal X,\mu)$
m\'ert\'ekt\'erben. Ha l\'etezik olyan a $\mu$ m\'ert\'ek szerint
integr\'alhat\'o (azaz az $\int |H(x)|\,d\mu(x)<\infty$
felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o}) $H(x)$ f\"uggv\'eny, amelyre
$\left|\summ_{k=1}^n g_k(x)\right|\le H(x)$ minden $n=1,2,\dots$
indexre majdnem minden $x$ pontban, vagy $g_k(x)\ge0$ minden
$k=1,2,\dots$ indexre majdnem minden $x$ pontban, \'es
$\int g_1(x)\,d\mu(x)>-\infty$, akkor
$\int G(x)\,d\mu(x)=\summ_{k=1}^\infty \int g_k(x)\,d\mu(x)$.}

\medskip
Ez a t\'etel egyszer\H{u}en k\"ovetkezik a Lebesgue
t\'etelb\H{o}l vagy a Beppo--Levy t\'etelb\H{o}l, ha azt az
$f_n(x)=\summ_{k=1}^ng_k(x)$, $n=1,2,\dots$
f\"uggv\'enysorozatra alkalmazzuk.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Lebesgue t\'etel \'es a Fatou lemma
felt\'etelei gyeng\'{\i}thet\H{o}ek abban az eset\-ben, ha a $\mu$
m\'ert\'ek, amely szerint integr\'alunk v\'eges. Ekkor az a
felt\'etel, hogy az $f_n(x)$ f\"uggv\'enysorozat majdnem minden
$x$ pontban konverg\'al egy $f_0(x)$ f\"uggv\'enyhez
helyettes\'{\i}thet\H{o} azzal a gyeng\'ebb felt\'etellel, hogy az
$f_n(x)$ f\"uggv\'enysorozat m\'ert\'ekben konverg\'al az $f_0(x)$
f\"uggv\'enyhez. A Beppo--Levy t\'etelnek nincs ilyen
m\'odos\'{\i}t\'asa, mert az e t\'etel felt\'eteleiben
megfogalmazott monotonit\'as biztos\'{\i}tja a konvergenci\'at
majdnem minden\"utt. (Ha a $\mu$ m\'ert\'ek 1-re norm\'alt, akkor a
m\'ert\'ekelm\'eletben bevezetett m\'ert\'ekben val\'o konvergencia
fogalma megegyezik a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban
defini\'alt sztochasztikus konvergencia fogalm\'aval.) Az
eredm\'enyek bizony\'{\i}t\'asa nem nehezebb ebben az \'uj,
\'altal\'anosabb esetben. Gyakorlati alkalmaz\'asokban a t\'etel
eredeti for\-m\'a\-j\'a\-ban megfogalmazott alakja, ahol majdnem
minden\"utt val\'o konvergenci\'at haszn\'alunk ugyan\-olyan j\'ol
haszn\'alhat\'o.

\bye
