\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\TagsOnRight

%\parskip=1pt plus 1pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}

\centerline{\bf Feladatok:}
\medskip

\item{1.)} Dobjunk fel egy szab\'alyos dob\'okock\'at egym\'as
ut\'an egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul v\'egtelen sokszor.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy
a harmadik hatos dob\'as vagy a huszadik vagy valamely
k\'es\H{o}bbi dob\'asban jelenik meg.
\item{} {\it Els\H{o} megold\'as.}\/ Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 3. hatos dob\'as az $n$-ik
dob\'asban jelenik meg
$\binom {n-1}2 \(\frac56\)^{n-3}\(\frac16\)^3$. Ez\'ert a tekintett
esem\'eny a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$$
\sum_{n=20}^\infty\binom {n-1}2 \(\frac56\)^{n-3}\(\frac16\)^3.
$$
\item{} {\it M\'asodik megold\'as.}\/ El\H{o}sz\"or megmutatom, hogy
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a harmadik hatos dob\'as a
20. dob\'asban vagy azut\'an jelenik meg egyenl\H{o} annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy a az els\H{o} tizenkilenc
dob\'asban 0, 1 vagy k\'et hatos dob\'as t\"ort\'ent. Val\'oban, a
keresett esem\'eny komplementere az az esem\'eny, hogy a harmadik
hatos dob\'as vagy az els\H{o} tizenkilenc dob\'as valamelyik\'eben
vagy soha nem k\"ovetkezett be. De mivel az ut\'obbi esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla (1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
v\'egtelen
sok hatos dob\'as van egy szab\'alyos dob\'okocka v\'egtelen
dob\'assorozatban), \'es egy esem\'eny bek\"ovetkez\'es\'enek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egyenl\H{o} 1 minusz a komplementer
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel. Ez\'ert a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg egyenl\H{o} 1 minusz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} 19 dob\'asban
legal\'abb h\'arom hatos dob\'as t\"ort\'ent. Ez viszont
egyenl\H{o} annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy
az els\H{o} 19 dob\'asban 0, 1 vagy k\'et hatos dob\'as
t\"ort\'ent. Ez\'ert a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\(\frac56\)^{19}+\binom{19}1\(\frac56\)^{18}\frac16
+\binom{19}2\(\frac56\)^{17}\(\frac16\)^2.
$$
\item{2.)} Az el\H{o}z\H{o} feladat k\'et megold\'as\'aban
ugyanannak az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere
k\'et form\'alisan k\"ul\"onb\"oz\H{o} kifejez\'est kaptunk.
Mutassuk meg k\"ozvetlen\"ul (val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
meggondol\'asok n\'elk\"ul), hogy a k\'et kifejez\'es egyenl\H{o}.
Adjunk az anal\'{\i}zis m\'odszereit alkalmaz\'o bizony\'{\i}t\'ast
arra a bizony\'{\i}t\'asban felhaszn\'alt eredm\'enyre is, hogy egy
szab\'alyos dob\'okocka 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tartalmaz
legal\'abb h\'arom 6-os dob\'ast.
\item{} {\it Megold\'as.} El\H{o}sz\"or az 1. feladat els\H{o}
megold\'as\'aban szerepl\H{o} v\'egtelen \"osszeget
sz\'amolom ki az
$(1+x)^\alpha=\summ_{k=0}^\infty\binom \alpha k x^k$, ha $|x|<1$
azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol $\binom \alpha k
=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}$. (A fenti
azonoss\'ag minden val\'os $\alpha$ (teh\'at nem felt\'etlen\"ul
pozit\'{\i}v eg\'esz) sz\'amra is \'erv\'enyes,
\'es az $(1+x)^\alpha$ f\"uggv\'eny Taylor
sorfejt\'es\'eb\H{o}l k\"ovetkezik.) Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
\binom{n-1}2=\binom{n-1}{n-3}={(-1)^{n-1}}\frac{(-3)(-4)\cdots(1-n)}
{(n-3)!}=(-1)^{n-1}\binom{-3}{n-3},
$$
ahonnan $\summ_{n=3}^{\infty}\binom{n-1}2x^{n-3}=
\summ_{n=3}^{\infty}\binom{-3}{n-3}(-x)^{n-3}=
\summ_{n=0}^{\infty}\binom{-3}n(-x)^n=(1-x)^{-3}$ minden $|x|<1$
sz\'amra. Speci\'alisan, $x=\frac56$ v\'alaszt\'assal
$\summ_{n=3}^{\infty}
\binom{n-1}2\(\frac5{6}\)^{n-3}\(\frac16\)^3=1$. Ez az azonoss\'ag
ekvivalens azzal az \'all\'{\i}t\'assal, hogy egy szab\'alyos
dob\'okocka v\'egtelen sok egym\'as ut\'ani feldob\'asa eset\'en 1
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel legal\'abb 3 hatos dob\'as
megjelenik.

\item{} Hasonl\'o sz\'amol\'assal bebizony\'{\i}tom az
$$
\align
&\binom{19}0 x^{19} (1-x)^{-3}+\binom{19}1x^{18}(1-x)^{-2}
+\binom{19}2x^{17}(1-x)^{-1}\\
&=\sum_{n=17}^\infty\binom {n+2}2 x^n
=\sum_{n=20}^\infty\binom {n-1}2 x^{n-3}
\endalign
$$
azonoss\'agot. Ez ut\'obbi azonoss\'ag mind a k\'et oldal\'at
megszorozva $(1-x)^3$-nel, \'es az \'{\i}gy kapott azonoss\'agba
behelyettes\'{\i}tve az $x=\frac56$ \'ert\'eket
megkapjuk, hogy az 1. feladatban szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre adott k\'et kifejez\'es egyenl\H{o}.

\item{} A bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag baloldal\'an
szerepl\H{o} kifejez\'est
Taylor sorba fejthetj\"uk a k\"ovetkez\H{o} azo\-nos\-s\'a\-gok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
$(1-x)^{-3}=\summ_{n=0}^\infty\binom {-3}n (-1)^{n}x^n
=\summ_{n=0}^\infty\binom {n+2}n x^n
=\summ_{n=0}^\infty\binom {n+2}2 x^n$,
$(1-x)^{-2}=\summ_{n=0}^\infty\binom {-2}n (-1)^{n}x^n
=\summ_{n=0}^\infty\binom {n+1}1 x^n$, \'es
$(1-x)^{-1}=\summ_{n=0}^\infty\binom n0 x^n$. Ezen
azo\-nos\-s\'a\-gok seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt kapjuk, hogy
$$
\align
&x^{19} (1-x)^{-3}+\binom{19}1x^{18}(1-x)^{-2}
+\binom{19}2x^{17}(1-x)^{-1}\\
&\qquad =\sum_{n=0}^\infty\binom {n+2}2\binom{19}0 x^{n+19}
+\sum_{n=0}^\infty\binom {n+1}1\binom{19}1 x^{n+18}
+\sum_{n=0}^\infty\binom {n}0\binom{19}2 x^{n+17}.
\endalign
$$
Ebben a kifejez\'esben a megfelel\H{o} tagokat \"osszevonva egy
olyan hatv\'anysort kapunk, amelyben $x^n$ egy\"utthat\'oja
$\binom{n-17}2\binom{19}0+\binom{n-17}1\binom{19}1+
\binom {n-17}0\binom{19}2$ minden $n\ge17$ kitev\H{o}re,
\'es az $n<17$ kitev\H{o}kre az $x^n$ tag egy\"utthat\'oja nulla.
Viszont tudjuk, hogy
$\binom{n-17}2\binom{19}0+\binom{n-17}1\binom{19}1+
\binom {n-17}0\binom{19}2 x^{n+17}=\binom{(n-17)+19}2=\binom{n+2}2$.
(Ezt az azonoss\'agot, illetve ennek \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at
be fogjuk bizony\'{\i}tani a k\"ovetkez\H{o} 3. fel\-adat\-ban.)
Innen k\"ovetkezik
a bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag.
\medskip

Az els\H{o} feladat k\'et megold\'as\'anak
\"osszehasonl\'{\i}t\'as\'aval olyan azonoss\'agokat
b\-izo\-ny\'{\i}\-tot\-tunk viszonylag egyszer\H{u}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-si
meggondol\'asok seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amelyeknek analitikus
bizony\'{\i}t\'asa sok munk\'at ig\'enyel. \'Erdemes megjegyezni,
hogy va\-l\'o\-j\'a\-ban a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'asi
meg\-gon\-do\-l\'a\-sok h\'atter\'eben is m\'ely \'es nehezen
bizony\'{\i}that\'o eredm\'enyek rejt\H{o}znek.
\'Er\-ve\-l\'e\-se\-ink\-ben kihaszn\'altuk, hogy egy szab\'alyos
dob\'okocka v\'egtelen sok egym\'ast k\"ovet\H{o}
f\"ug\-get\-len feldob\'as\'anak van val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
modellje, \'es ebben a modellben a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek $\sigma$-addit\'{\i}v. Az el\H{o}z\H{o} p\'eld\'ak azt
mutatt\'ak, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\sigma$-additivit\'as\'anak nem-trivi\'alis k\"ovetkezm\'enyei
vannak.
\item{3.)} Minden nem negat\'{\i}v eg\'esz $n$, $m$ \'es $k$
sz\'amokra igaz az
$$
\binom{n+m}k=\binom n0\dbinom mk+\binom n1\binom m{k-1}+\binom
n2\binom m{k-2}+\cdots+\binom nk\binom m0
$$
azonoss\'ag. (Tegy\"uk fel, hogy $n+m\ge k$.)
\item{} {\it Megold\'as:} A k\"ovetkez\H{o} kombinat\'orikai
meggondol\'as megadja a bizony\'{\i}t\'ast. Sz\'a\-mol\-juk ki k\'et
k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon, hogy egy urn\'ab\'ol, amelyben $n+m$
(meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-t\H{o}) goly\'o van,
h\'anyf\'elek\'epp
v\'alaszthatunk ki $k$ goly\'ot. Ez egyr\'eszt $\binom{n+m} k$, ami
a baloldali kifejez\'essel egyenl\H{o}. M\'asr\'eszt, fess\"unk $n$
goly\'ot piros \'es $m$ goly\'ot feh\'er sz\'{\i}n\H{u}re. Ekkor
$\binom ns\binom m{k-s}$ f\'ele m\'odon v\'alaszthatunk ki $k$
goly\'ot \'ugy, hogy ezek k\"oz\"ul $s$ piros \'es $k-s$ feh\'er.
Ezeket a mennyis\'egeket \"osszegezve minden $0\le s\le k$ sz\'amra
egyr\'eszt megkapjuk az azonoss\'ag jobboldal\'an szerepl\H{o}
kifejez\'est, m\'asr\'eszt a baloldalon szerepl\H{o} kifejez\'est
sz\'amoltuk ki m\'as m\'odon.

\medskip
Az els\H{o} feladat vizsg\'alat\'aban tulajdonk\'eppen azt
haszn\'altuk ki, hogy egy szab\'alyos dob\'okocka v\'egtelen sok
dob\'as\'anak l\'etezik val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellje. Egy
ilyen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi modellt megkaphatunk
p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t. Egy $\oo$ elemi esem\'eny
egy v\'egtelen $\oo=(j_1,j_2,\dots)$ sorozat, ahol $1\le j_s\le6$
minden $1\le s<\infty$ indexre, \'es az $\Omega$ biztos esem\'eny
az \"osszes ilyen sorozatb\'ol \'all. Defini\'alnunk  kell m\'eg
a $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at \'es $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'eket is, \'es ezeket az al\'abb defini\'alt
a $C_n$ hengerhalmazok, $n=1,2,\dots$ hengerhalmazok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel
fogjuk megtenni. A hengerhalmazok definici\'oj\'anak \'erdek\'eben
vezess\"uk be el\H{o}sz\"or minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra az
\"osszes $n$ hossz\'us\'ag\'u $1,2,\dots,6$ elemeket tartalmaz\'o
$\Omega_n$
halmazt, \'es az $\Omega_n$ halmaz \"osszes
$\tilde C_n\subset \Omega_n$ r\'eszhalmaz\'ab\'ol \'all\'o
$\Cal C_n$ halmazrendszert. Azt mondjuk, hogy egy
$C_n\subset\Omega$ halmaz hengerhalmaz
$\tilde C_n\in\Cal C_n$ alappal, ha $\oo=(j_1,j_2,\dots)\in C_n$
akkor \'es csak akkor ha az $\oo$ sorozat $\oo_n=(j_1,\dots,j_n)$
megszor\'{\i}t\'asa
az els\H{o} $n$ tagra eleme a $\tilde C_n$ halmaznak. Az \"osszes
ilyen m\'odon el\H{o}\'all\'{\i}that\'o halmazt (tetsz\H{o}leges
$n=1,2,\dots$ index-szel) nevezz\"uk hengerhalmaznak.

Nem neh\'ez bel\'atni, hogy a hengerhalmazok algebr\'at alkotnak.
Az \'altaluk gener\'alt legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra az $\Cal A_n$
$\sigma$-algebra. Ha $C_n$ halmazalgebra $\tilde C_n$ alappal, akkor
$P(C_n)=(\frac16)^n|\tilde C_n|$, ahol $|\tilde C_n|$
a $\tilde C_n$ halmaz elemsz\'am\'at jel\"oli. Be kell l\'atni, hogy
ilyen m\'odon val\'oban m\'ert\'eket defini\'altunk a hengerhalmazok
algebr\'aj\'an, amely egy\'ertelm\H{u}en kiterjeszthet\H{o} egy a
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an defini\'alt m\'ert\'ekk\'e. Az
els\H{o} \'all\'{\i}t\'as, (tulajdonk\'eppen annak
\'altlal\'anos\'{\i}t\'asa) k\"ovetkezik a Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etelb\H{o}l. A m\'asodik \'all\'{\i}t\'as a
m\'ert\'ekelm\'eletben bizony\'{\i}tott Carath\'eodory-f\'ele
kiterjeszt\'esi t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik. Az els\H{o} feladat
megold\'as\'aban, illetve a k\'et megold\'as
\"osszehasonl\'{\i}t\'as\'ab\'ol k\"ovetkez\H{o} azo\-nos\-s\'ag
bizony\'{\i}t\'as\'aban ezeket a t\'enyeket haszn\'altuk fel.

\medskip

\item{4.)} Egy egys\'egnyi oldal\'u n\'egyzet k\'et \'atellenes
oldal\'an tal\'alomra v\'alasztunk egy-egy pontot. Mekkora annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ezek t\'avols\'aga $\alpha$-n\'al
kisebb $(1\le\alpha<\sqrt2$)?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi$ a n\'egyzet egyik,
$\eta$ a n\'egyzet \'atellenes oldal\'ara ledobott pont
\'ert\'ek\'et. A k\'et ledobott pont t\'avols\'aga (a
Pitagorasz-t\'etel szerint)
$\sqrt{(\xi-\eta)^2+1}$, ez\'ert minket a
$P(\sqrt{(\xi-\eta)^2+1}<\alpha)=P(|\xi-\eta|<\sqrt{\alpha^2-1})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. $\xi$ \'es $\eta$
k\'et f\"uggetlen a $[0,1$ intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A feladatot egyr\'eszt
megoldhatjuk a geometriai val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
m\'od\-sze\-r\'e\-vel. Ekkor azt haszn\'aljuk, ki, hogy a
$(\xi,\eta)$ v\'e\-let\-len vektor az egys\'egn\'egyzet egy
v\'eletlen pontja, \'es a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg az
$\{(u,v)\colon\; 0\le u,v\le1,\; -\sqrt{\alpha^2-1}<u-v<
\sqrt{\alpha^2-1}\}$ halmaz ter\"ulete, ami
$1-(1-\sqrt{\alpha^2-1})^2=2\sqrt{\alpha^2-1}-(\alpha^2-1)$.
\item{} M\'asr\'eszt a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kisz\'amolhatjuk a konvoluci\'or\'ol
tanultak alapj\'an is. Ennek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel
ugyanis ki tudjuk sz\'amolni a $\xi-\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o $g(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, ami
$g(x)=|1-x|$, ha $|x|\le1$, \'es $g(x)=0$. ha $|x|>1$. Innen
tetsz\H{o}leges $0\le u\le 1$ sz\'amra
$P(|\xi-\eta|<u)=\int_{-u}^u g(x)\,dx=2\int_0^u(1-x)\,dx=2u-u^2$
Innen $u=\sqrt{\alpha^2-1}$ v\'alaszt\'assal a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$2\alpha-\alpha^2=2\sqrt{\alpha^2-1}-(\alpha^2-1)$.

\item{5.)} A $[0,1]$ intervallumon tal\'alomra felvesz\"unk k\'et
pontot. Mennyi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy
a k\'et felvett pont t\'avols\'aga kisebb, mint a 0 pontnak a
hozz\'a k\"ozelebb es\H{o} pontt\'ol val\'o t\'avols\'aga?
\item{} {\it Megold\'as:} Ezt a feladatot legegyszer\H{u}bben a
geometriai val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek m\'odszer\'evel tudjuk
megoldani. Egyszer\H{u}bb el\H{o}sz\"or a feladatban k\'erdezett
esem\'eny komplementer\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
kisz\'amolni. Legyen $\xi$ az els\H{o}, $\eta$ a m\'asodik ledobott
pont \'ert\'eke, \'es vezess\"uk be az
$A=\{\oo\colon\; \xi(\oo)>2\eta(\oo)\}$
\'es  $B=\{\oo\colon\; \eta(\oo)>2\xi(\oo)\}$ esem\'enyeket. Ekkor
a minket \'erdekl\H{o} esem\'eny komplementere az $A\cup B$ esem\'eny.
Tov\'abb\'a, az $A$ \'es $B$ esem\'enyek diszjunktak, $P(A)=P(B)$,
ez\'ert $P(A\cup B)=2P(A)$. A $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, \'es az $A$
esem\'eny azt jelenti, hogy ez a pont az $\{(u,v)\colon\;
0<2v<u\le1\}$ halmazba esik. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\frac14$. Ez\'ert $P(A\cup B)=\frac12$, \'es a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $1-\frac12=\frac12$.
\item{} Megjegyzem, hogy az el\H{o}bb tekintett $P(A)$ esem\'enyt
a k\"ovetkez\H{o}k\'epp sz\'a\-mol\-hat\-juk ki \'altal\'anos
elvek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et ismerj\"uk. Ez a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt
$g(u,v)=f(u)f(v)$, ahol $f(u)=1$, ha $0\le u\le1$,
$f(u)=0$, ha $u<0$ vagy $u>1$ a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(A)&=\int_{\{(x,y)\colon\; x>2y\}}g(x,y)\,dx\,dy
=\int_{\{(x,y)\colon\; x>2y\}}f(x)f(y)\,dx\,dy\\
&=\int_{\{(x,y)\colon\;1\ge x>2y>0\}}\,dx\,dy
=\int_0^1 \(\int_0^{x/2}\,dy\)\,dx
=\int_0^1\frac x2\,dx=\[\frac{x^2}4\]_0^1=\frac14.
\endalign
$$

\item{6.)} Legyen adva egy $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye. Hat\'arozzuk meg ennek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $\{\oo\colon\;a<\xi(\oo)<b\}$ alak\'u
esem\'enyek, $-\infty<a<b<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
valamint annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy $\xi(\oo)$
valamilyen p\'aros eg\'esz \'ert\'eket vesz fel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
P\(\{\oo\colon\;a<\xi(\oo)<b\}\)=&
\limm_{n\to\infty} P\(\left\{\oo\:a+\frac1n\le\xi(\oo)<b\right\}\)\\
&=\limm_{n\to\infty} \[F(b)-F\(a+\frac1n\)\].
\endalign
$$
Egy tetsz\H{o}leges $u$ pontra $P(\xi=u)
=\limm_{n\to\infty}\[F\(u+\frac1n\)-F(u)\]$. Ez\'ert annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o valamely p\'aros eg\'esz \'ert\'eket vesz fel
$\summ_{k=-\infty}^\infty \limm_{n\to\infty}\[F\(2k+\frac1n\)-F(2k)\]$.

\item{7.)} K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott megjelenik egy
t\'eren egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes eloszl\'assal.
Mind a kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es ha az addig
nem j\"on, akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy tal\'alkoznak?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk az egys\'egn\'egyzetet, \'es
v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az egys\'egn\'egyzeten, amelynek
$x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy az els\H{o} ember az $y$
koordin\'at\'aja pedig megadja, hogy a m\'asodik ember mikor (8
plusz h\'any \'orakor) \'erkezett. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt
pont egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, azaz annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy ez a pont az
egys\'egn\'egyzet egy (sz\'ep) r\'eszhalmaz\'aba esik meg\-egye\-zik
e halmaz ter\"ulet\'evel. Az, hogy a k\'et ember tal\'alkozik azt az
esem\'enyt jelenti, hogy az \'{\i}gy defini\'alt $(x,y)$ pont az
egys\'egn\'egyzet
$$
A=\left\{(x,y)\:-\frac12\le y-x\le \frac12\right\}\cap[0,1]\times
[0,1]
$$
r\'eszhalmaz\'aba esik. Ennek a halmaznak a ter\"ulete
$1-2\cdot\frac18=\frac34$, \'es ez a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg.
\item{8.)} K\'et egy m\'eter hossz\'u botot
v\'eletlenszer\H{u}en, (egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul)
egyenletes eloszl\'assal elt\"or\"unk. A k\'et r\"ovidebb darabot
\"osszeragasztjuk. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
hogy az \'{\i}gy kapott \'uj bot hossza kisebb mint $0.8$ m\'eter?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez a feladat is t\'argyalhat\'o az
el\"oz\H{o} feladathoz hasonl\'o m\'odon. Tekints\"uk az
egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-tet, \'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen
pontot az egys\'egn\'egyzeten, amelynek $x$ koordin\'at\'aja
megadja, hogy  hol t\"ort\"uk el az els\H{o} botot az $y$
koordin\'at\'aja pedig azt, hogy hol t\"ort\"uk el a m\'asodik
botot. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont egyenletes
eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten. Az az esem\'eny, hogy az
\"osszeragasztott bot hossza kisebb mint $0.8$ megegyezik annak az
esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az $(x,y)$
pont a k\"ovetkez\H{o} $A_1$, $A_2$, $A_3$ \'es  $A_4$ halmazok
$A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4$ uni\'oj\'aba esik:
$A_1=\{(x,y)\: x+y<0.8, \,0\le x\le \frac12,\, 0\le y\le \frac12\}$,
$A_2=\{(x,y)\: x+(1-y)<0.8,\,1\le x\le \frac12,\, \frac12\le y\le 1\}$,
$A_3=\{(x,y)\: 1-x+y<0.8,\,\frac12\le x\le1,\,0\le y\le\frac12\}$, \'es
$A_4=\{(x,y)\: 1-x+1-y<0.8,\,\frac12\le x\le1,\,\frac12\le y\le1\}$.
Rajzoljuk le ezeket a halmazokat. Az \'abra mutatja, hogy az
$A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4$ halmaz komplementere az a n\'egyzet a
melynek cs\'ucsai
a $(0.3,\,0.5)$, $(0.5,\,0,3)$, $(0.7,\,0.5)$, \'es $(0.5,\,0.7)$
pontok. Ennek a n\'egyzetnek a ter\"ulete, $0.08$ teh\'at a minket
\'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $1-0.08=0.92$.

\medskip\noindent
K\'es\H{o}bb t\'argyalni fogjuk e feladatok egy m\'as megold\'as\'at
is, amelyben a k\'{\i}v\'ant va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-get
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek konvoluci\'oj\'anak
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'amoljuk ki.

\medskip

\item{9.)} Dobjunk le az egys\'egintervallumra v\'eletlen\"ul,
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 2 pontot. (Az, hogy egy pont az
egys\'egintervallum valamely r\'eszintervallum\'aba esik egyenl\H{o}
ezen intervallum hossz\'aval.) Ez a k\'et ledobott pont az
egys\'egintervallumot h\'arom r\'eszintervallumra osztja. Mi
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az \'{\i}gy l\'etrej\"ott
h\'arom r\'eszintervallumb\'ol szerkeszthet\H{o} h\'aromsz\"og?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A h\'arom szakaszb\'ol akkor \'es csak
akkor szerkeszthet\H{o} h\'aromsz\"og, ha teljes\'{\i}tik a
h\'aromsz\"ogegyenl\H{o}tlens\'eget, azaz b\'armely kett\H{o}
\"osszhossza nagyobb, mint a harmadik intervallum hossza. Mivel a
h\'arom r\'eszintervallum \"osszhossza 1, ez ekvivalens azzal,
hogy mindegyik\"uk hossza kisebb, mint $\frac12$. Legyen az
els\H{o} ledobott pont koordin\'at\'aja $x$ a m\'asodik ledobott
pont\'e pedig $y$. Ekkor az $(x,y)$ pont egyenletes eloszl\'as\'u
a $[0,1]\times[0,1]$ egys\'egn\'egyzeten, \'es a keletkezett
szakaszok hossza $x$, $y-x$ \'es $1-y$, ha $x<y$, \'es $y$, $x-y$
\'es $1-x$, ha $x>y$. A h\'arom szakaszb\'ol akkor \'es csak akkor
szerkeszthet\H{o} h\'aromsz\"og, ha a k\"ovetkez\H{o} k\'et
(egym\'ast kiz\'ar\'o) esem\'eny valamelyike bek\"ovetkezik:

\itemitem{} a.) $0\le x<\frac12$, $\frac12<y<1$, $0<y-x<\frac12$,
\itemitem{} b.) $0\le y<\frac12$, $\frac12<x<1$, $0<x-y<\frac12$.

\item{} (Az a.) eset felel meg annak, hogy $x<y$, a b.) eset annak,
hogy $y<x$.) Egyszer\H{u} geometriai meggondol\'as mutatja, hogy
mind az a) mind a b) eset teljes\"ul\'ese azt jelenti, hogy az
$(x,y)$ pont az egys\'egn\'egyzet egy $\frac12$ befog\'okkal
rendelkez\H{o} szab\'alyos der\'eksz\"og\H{u} egyenl\H{o}sz\'ar\'u
h\'aromsz\"ogbe esik. (E k\'et h\'aromsz\"og cs\'ucsai a $(0,\frac12)$,
$(\frac12,\frac12)$ \'es $(\frac12,1)$ illetve az $(\frac12,0)$,
$(\frac12,\frac12)$ \'es $(1,\frac12)$ pontok.)
 \'Igy a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$2\cdot\frac18=\frac14$.


\item{10.)} Adjuk meg a k\"ovetkez\H{o} v\'eletlen jelens\'eg egy
lehets\'eges modellj\'et
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
Kolmogorov-f\'ele modellj\'eben: Egy urn\'aban $n$ feh\'er \'es
$m$ piros goly\'o van. Kih\'uzunk $k$ goly\'ot, $k\le n+m$,
visszatev\'es n\'elk\"ul \'ugy, hogy minden h\'uz\'asn\'al az
urn\'aban a h\'uz\'as el\H{o}tt l\'ev\H{o} goly\'ok mindegyik\'et
egyforma a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel h\'uzzuk.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyenek az elemi esem\'enyek az
$\oo=(\dots, P, \dots, F,\dots)$ az $n$ darab $F$ \'es $m$ darab
$P$ jelb\H{o}l \'all\'o sorozatok. Legyen $\Omega$ az \"osszes ilyen
sorozatb\'ol \'all\'o halmaz, \'alljon a $\Cal A$ $\sigma$-algebra
az $\Omega$ halmaz \"osszes r\'eszhalmaz\'ab\'ol. A $P(A)$,
$A\in\Cal A$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek definici\'oja
\'erdek\'eben vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} mennyis\'egeket. Adva
egy $\oo\in\Omega$ sorozat \'es egy $j$, $1\le j\le n+m$, sz\'am,
legyen $F(\oo,j)$ \'es $P(\oo,j)$ az $\oo$ sorozat els\H{o} $j-1$
tagj\'aban szerepl\H{o} $F$ illetve $P$ jelek sz\'ama. Legyen
$P(\{\oo\})=\prodd_{j=1}^{n+m}A(\oo,j)$, ahol
$A(j,m)=\frac{n-F(\oo,j)}{n+m-j+1}$, ha az $\oo$ sorozat $j$-ik
tagja $F$, \'es $A(j,m)=\frac{m-P(\oo,j)}{n+m-j+1}$, ha az $\oo$
sorozat $j$-ik tagja $P$. (Vegy\"uk \'eszre, hogy $A(\oo,j)$
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik h\'uz\'asban
olyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot h\'uzunk, mint az $\oo$ sorozat
$j$-ik tagja. Ezut\'an defini\'aljuk a
$P(A)=\summ_{\oo\in A}P(\{\oo\})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket minden $A\in\Cal A$ halmazra.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti modell nem az egyetlen lehets\'eges
modellje a k\'{\i}v\'ant p\'eld\'aban. P\'eld\'aul tekinthet\"unk
k\'et urn\'at, mindkett\H{o}ben $n$ piros \'es $m$ feh\'er goly\'ot,
\'es h\'uzzuk ki ezek mindegyik\'et visszatev\'es n\'elk\"ul. Ennek
a modellj\'et is hasonl\'o m\'odon defini\'alhatjuk, \'es ilyen
m\'odon az el\H{o}z\H{o} feladat egy m\'asik megold\'as\'at kapjuk.
Mind a k\'et megold\'asban defini\'aljuk az el\H{o}z\H{o} feladatban
$\{\oo\}$-val jel\"olt esem\'enyeit, \'es ugyan\'ugy adjuk meg ezek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. A k\"ul\"onbs\'eg az, hogy az \'uj
modellben ezek az $\{\oo\}$ halmazok nem elemi esem\'enyek.
Ennek azonban nincs jelent\H{o}s\'ege akkor, amikor visszatev\'es
n\'elk\"uli urnamodellekr\H{o}l sz\'ol\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
probl\'em\'akkal foglalkozunk.

\medskip
\item{11.)} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 25 goly\'ot {\it visszatev\'es n\'elk\"ul}. Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye piros? Annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as eredm\'enye
piros \'es a m\'asodik\'e feh\'er? Annak, hogy az \"ot\"odik
h\'uz\'as eredm\'enye piros? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as
eredm\'enye piros \'es a tizenhatodik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} h\'uz\'as piros $\frac{20}{50}=\frac25$, mert 50
goly\'ob\'ol h\'uzzuk ki a 20 piros goly\'o valamelyik\'et, \'es
minden goly\'ot egyforma va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
h\'uzunk ki. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as piros, a m\'asodik feh\'er,
$\frac25\cdot\frac{30}{49}=\frac{60}{245}$, mert
el\H{o}sz\"or 50 goly\'o k\"oz\"ul v\'alasztjuk ki a h\'usz piros
goly\'o valamelyik\'et, majd 49 goly\'o valamelyik\'eb\H{o}l  a 30
feh\'er goly\'o valamelyik\'et, \'es minden h\'uz\'as egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Bel\'atjuk, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 5. h\'uz\'asban piros goly\'ot
h\'uzunk ki, megegyezik annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel,
hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros, azaz $\frac25$. Tov\'abb\'a annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 5. h\'uz\'as sor\'an piros
\'es a 16. h\'uz\'as sor\'an feh\'er goly\'ot h\'uzunk megegyezik
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye piros \'es a m\'asodik h\'uz\'as eredm\'enye  feh\'er.
Ez\'ert ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg is
$\frac25\cdot\frac{30}{49}=\frac{60}{245}$.
\item{} Tekints\"uk ugyanis az \"osszes 25 hossz\'us\'ag\'u
h\'uz\'assorozatot. Ekkor annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
hogy az 5. h\'uz\'as eredm\'enye piros a 16. h\'uz\'as eredm\'enye
feh\'er, megegyezik az \"osszes olyan 25 hossz\'us\'ag\'u
h\'uz\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az \"osszeg\'evel,
amelyek 5. hely\'en piros \'es a 16. hely\'en feh\'er jegy \'all.
Hasonl\'oan sz\'am\'{\i}that\'o ki annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros \'es a m\'asodik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er, azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy az 5. hely
helyett az els\H{o} \'es a 16. hely helyett a m\'asodik helyet kell
tekinteni. Be fogom l\'atni, hogy ez a k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
azok megegyezik. Egy olyan kiss\'e \'altal\'anosabb \'all\'{\i}t\'ast
fogok bebizony\'{\i}tani, amely hasznos m\'as feladatok
megold\'as\'aban is. Ennek \'erdek\'eben bevezetem a
k\"ovetkez\H{o} fogalmat.

\medskip\noindent
{\bf Felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'eges sorozat\'anak a definici\'oja.} {\it Legyenek
$\xi_1,\dots,\xi_n$ diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi me\-z\H{o}n, amelyek \'ert\'ekeiket
valamely $X=\{x_1,x_2,\dots\}$ v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan
v\'eg\-te\-len halmazon veszik fel. Jel\"olje $\Pi(n)$ az
$\{1,2,\dots,n\}$  halmaz \"osszes permut\'aci\'oj\'ab\'ol \'all\'o
halmazt. Azt mondjuk, hogy a $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok felcser\'elhet\H{o}ek, ha
ak\'arhogy v\'alasztunk ki egy
$\pi=(\pi(1),\dots,\pi(n))\in \Pi(n)$ permut\'aci\'ot \'es
$x_l\in X$, $1\le l\le n$, elemeket az $X$ halmazb\'ol, teljes\"ul a
$$
P(\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\dots,\xi_n=x_n)=
P(\xi_{\pi(1)}=x_1,\xi_{\pi(2)}=x_2,\dots,\xi_{\pi(n)}=x_n)
$$
azonoss\'ag.}

\medskip
A felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
szeml\'eletes tartalma a k\"ovetkez\H{o}. Fel\-cse\-r\'el\-he\-t\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben a
$P(\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\dots,\xi_n=x_n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg csak att\'ol f\"ugg, hogy a tekintett
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok milyen
$x\in X$ \'er\-t\'e\-ke\-ket vesznek fel \'es milyen multiplicit\'assal,
de nem f\"ugg att\'ol, hogy milyen sorrendben veszik fel ezeket az
\'ert\'ekeket. Az al\'abbiakban bebizony\'{\i}tom
felcser\'elhet\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'al\-to\-z\'ok egy (egyszer\H{u}) tulajdons\'ag\'at, majd
megmutatom, hogy ez seg\'{\i}t befejezni az el\H{o}z\H{o} feladat
megold\'as\'at.

\medskip\noindent
{\bf Lemma felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asair\'ol.} {\it
Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ diszkr\'et eloszl\'as\'u,
felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n,
amelyek \'ert\'ekeiket valamely $X=\{x_1,x_2,\dots\}$ v\'eges vagy
meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o halmazon veszik fel. Tekints\"unk
valamilyen  r\"ogz\'{\i}tett $1\le k\le n$ sz\'amot, az $X$ t\'er
valamely $x_l\in X$, $1\le l\le k$, elemeinek sorozat\'at \'es az
$\{1,\dots,n\}$ halmaz egy $k$ elem\H{u}
$\{j_1,\dots,j_k\}\subset\{1,\dots,n\}$ r\'eszhalmaz\'at.
\'Erv\'enyes a
$$
P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)=
P(\xi_{j_1}=x_1,\dots,\xi_{j_k}=x_k)
$$
azonoss\'ag.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy olyan
$\pi\in\Pi(n)$ permut\'aci\'ot, amelyre
$\pi(1)=j_1$, $\pi(2)=j_2$,\dots, $\pi(k)=j_k$. Fel\'{\i}rhatjuk a
$$
\align
&P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)\\
&\qquad=\sum_{x_l\colon\; x_l\in X, \text{ ha } k+1\le l\le n}
P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k,\,\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,\xi_n=x_n)
\endalign
$$
azonoss\'agot. Ez\'ert a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok felcser\'elhet\H{o}s\'ege miatt
$$
\align
&P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)\\
&\qquad=\sum_{x_l\colon\; x_l\in X, \text{ ha } k+1\le l\le n}
P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k,\,\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,\xi_n=x_n)\\
&\qquad=\!\!\!\! \sum_{x_l\colon\; x_l\in X, \text{ ha } k+1\le l\le n}
\!\!\!\! P(\xi_{\pi(1)}=x_1,\dots,\xi_{\pi(k)}=x_k,\,
\xi_{\pi(k+1)}=x_{k+1},\dots,\xi_{\pi(n)}=x_n)\\
&\qquad=P(\xi_{\pi(1)}=x_1,\dots,\xi_{\pi(k)}=x_k)
=P(\xi_{j_1}=x_1,\dots,\xi_{j_k}=x_k),
\endalign
$$
\'es ezekb\H{o}l az azonoss\'agokb\'ol k\"ovetkezik a lemma
\'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
\item{12.)} Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} modellt. Adva van egy urna,
abban $n$ feh\'er \'es $m$ piros goly\'o. Kih\'uzunk $k$ darab
goly\'ot \'ugy, hogy minden h\'uz\'as ut\'an a goly\'ot
visszatessz\"uk, \'es visszadobunk az urn\'aba $r$,
$-\infty<r<\infty$, olyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot, mint amilyen a
kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}ne volt. (Feltessz\"uk, hogy el\'eg sok
goly\'o van az urn\'aban ahhoz, hogy ezt az elj\'ar\'ast
v\'egrehajthassuk. Az, hogy $r<0$ tessz\"unk az urn\'aba azt
jelenti, hogy $|r|$ goly\'ot kivesz\"unk az urn\'ab\'ol.)
Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ha a $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er sz\'{\i}n\H{u} goly\'o
akkor $\xi_j=F$, ha piros sz\'{\i}n\H{u} goly\'o, akkor $\xi_j=P$.
L\'assuk be, hogy a $\xi_j$, $1\le j\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok felcser\'elhet\H{o}ek.
Fejezz\"uk be ennek az eredm\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
11.~feladat megold\'as\'at.
\item{} {\it Megold\'as.} Adva egy $k$ hossz\'us\'ag\'u
$(\dots,P\dots,F\dots)$ $P$ \'es $F$ jelekb\H{o}l \'all\'o sorozat
jel\"olje $B=B(\dots,P\dots,F\dots)$ azt az esem\'enyt, hogy
$k$ h\'uz\'as sor\'an ez az eredm\'eny k\"ovetkezett be.
Defini\'aljuk minden $1\le j\le k$ sz\'amra \'es az el\H{o}bb
defini\'alt $B$ halmazra az $R(j,B)$ mennyis\'eget, amely
$$
n+(r\times\text{az els\H{o} $j-1$ h\'uz\'asban kih\'uzott feh\'er
goly\'ok sz\'ama}),
$$
ha a $j$-ik kih\'uzott goly\'o feh\'er, \'es
$$
m+(r\times\text{az els\H{o} $j-1$ h\'uz\'asban kih\'uzott piros
goly\'ok sz\'ama}),
$$
ha a $j$-ik kih\'uzott goly\'o piros. Ekkor
$P(B)=\prodd_{j=1}^k\frac{R(j,B)}{n+m+(j-1)r}$, mert a $j$-ik
h\'uz\'as el\H{o}tt $n+m+(j-1)r$ goly\'o van az urn\'aban, \'es
ebb\H{o}l $R(j,B)$ az olyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'ok sz\'ama, mint
amilyet a $j$-ik h\'uz\'asban h\'uztunk. A $P(B)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'ek\'et megadhatjuk a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon is.
$P(B)=\frac{\prodd_{j=1}^{l(B)}(n+(j-1)r)
\prodd_{j=1}^{k-l(B)}(m+(j-1)r)}{\prodd_{j=1}^k(n+m+(j-1)r)}$,
ahol $l(B)$ jel\"oli a $B$ esem\'eny bek\"ovetkez\'ese eset\'en
kih\'uzott feh\'er goly\'ok sz\'am\'at. (Ez\'ert $k-l(B)$ a
kih\'uzott piros goly\'ok sz\'ama.) Mivel a $B$ halmaz egy olyan
esem\'eny indik\'ator f\"uggv\'enye, hogy egy el\H{o}\'{\i}rt
h\'uz\'assorozat k\"ovetkezett be, \'es ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege csak a h\'uz\'assorozatban szerepl\H{o}
feh\'er \'es piros goly\'ok sz\'am\'at\'ol f\"ugg, ez\'ert a
$\xi_j$, $1\le j\le k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
felcser\'elhet\H{o}ek.
\item{} A visszatev\'eses goly\'oh\'uz\'as modellj\'et tekinthetj\"uk
\'ugy is, mint az ebben a fel\-adat\-ban tekintett modellt
a speci\'alis $r=-1$ esetben. Ez\'ert alkalmazhatjuk r\'a az
el\H{o}bb kimondott lemm\'at. Ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j_1$-ik,\dots, $j_s$-ik
h\'uz\'asok \'ert\'eke valamely el\H{o}\'{\i}rt piros \'es feh\'er
goly\'okb\'ol \'all\'o h\'uz\'assorozat megegyezik annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o}, m\'asodik,\dots,
$s$-ik h\'uz\'asok eredm\'enye ugyanaz a h\'uz\'assorozat.
Speci\'alisan, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az \"ot\"odik
h\'uz\'as eredm\'enye piros megegyezik annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros.
Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as
eredm\'enye piros \'es a tizenhatodik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er
egyenl\H{o} annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az
els\H{o} h\'uz\'as piros, \'es a m\'asodik feh\'er. Ez ut\'obbi
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket pedig m\'ar kisz\'amoltuk.

\item{13.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amoljuk
ki $\xi-\eta$ sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$\Var(\xi-\eta)=\Var(\xi+(-1)\cdot\eta)=\Var\xi+\Var\eta=2\Var\xi$.
\item{14.)} Feldobunk k\'et szab\'alyos dob\'okock\'at 100-szor.
Vessz\"uk minden dob\'asp\'ar ut\'an a k\'et dob\'as
eredm\'eny\'enek a szorzat\'at. Sz\'amoljuk ki ezen v\'eletlen
szorzatok \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ \'es $\eta_j$ a $j$-ik
dob\'as sor\'an az els\H{o} illetve m\'asodik kocka
do\-b\'as\-ered\-m\'e\-ny\'et, \'es legyen
$\zeta_j=\xi_j\eta_j$, $1\le j\le 100$. Ekkor minket az
$X=\summ_{j=1}^{100}\zeta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel.
Fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$EX=\summ_{j=1}^{100}E\zeta_j=\summ_{j=1}^{100}E\xi_jE\eta_j$, \'es
$$
\Var X=\summ_{j=1}^{100}\Var\zeta_j
=\summ_{j=1}^{100}(E\zeta_j^2-(E\zeta_j)^2)
=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j^2E\eta_j^2-
\summ_{j=1}^{100}(E\xi_jE\eta_j)^2.
$$
Tov\'abb\'a, $E\xi_j=E\eta_j=\frac72$, \'es
$E\xi_j^2=E\eta_j^2=\frac16(1+4+9+16+25+36)=\frac{91}6$ minden
$1\le j\le 100$ sz\'amra. Innen $EX=100\cdot\(\frac72\)^2=1225$, \'es
$\Var X=100\(\(\frac{91}6\)^2-\(\frac72\)^4\)=79+\frac{39}{144}$.
\item{15.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk t\'{\i}zszer.
Sz\'amoljuk ki a dob\'as\"osszeg harmadik hatv\'any\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j(\oo)=k$, ha a
$j$-ik do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nye $k$, $1\le j\le 10$, $1\le k\le 6$.
Ekkor az $E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3$ v\'arhat\'o \'ert\'eket
kell kisz\'am\'{\i}tanunk. Ennek \'erdek\'eben tekints\"uk a
$\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3$ kifejez\'est \'es \'erts\"uk meg
milyen tagokat kapunk, ha elv\'egezz\"uk a beszorz\'asokat.
Egyr\'eszt megjelenik 10 darab $\xi_j^3$ alak\'u kifejez\'es, \'es
$E\xi_j^3=E\xi_1^3$ minden ilyen tagra. Ezenk\'{\i}v\"ul megjelenik
$3\cdot 10\cdot 9$ darab $\xi_j^2\xi_k$, $j\neq k$, alak\'u
kifejez\'es, mert a lehets\'eges $(j,k)$ p\'arokat $10\cdot 9$
m\'odon v\'alaszthatjuk ki, \'es a $k$ (a n\'egyzetre nem emelt
t\'enyez\H{o}) h\'arom helyen sze\-re\-pel\-het a szorzatban.
(Teh\'at p\'eld\'aul a
$\xi_1\xi_2^2$ alak\'u tagnak 3 lesz az egy\"utthat\'oja a
szorzatban.) Tov\'abb\'a minden ilyen
tagra $E\xi_j^2\xi_k=E\xi_j^2E\xi_k=E\xi_1^2 E\xi_1$. Tov\'abb\'a,
hasonl\'o meggondol\'asok alapj\'an l\'athatjk, hogy
$10\cdot9\cdot8$ m\'odon jelenhet meg $\xi_j\xi_k\xi_l$ alak\'u tag,
ahol a $j$, $k$ \'es $l$ indexek mind k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek, \'es
ezekre $E\xi_j\xi_k\xi_l=\(E\xi_1\)^3$. Val\'oban, a $\xi_j\xi_k\xi_l$
alak\'u alak\'u tagok \"osszesz\'aml\'al\'as\'an\'al
vegy\"uk \'eszre, hogy $1\le j<k<l\le10$ alak\'u sz\'amh\'armasokat
$\binom{10}3$ f\'elek\'epp v\'alaszthatunk, a $\xi_j$ t\'enyez\H{o}
a szorzatban 3-f\'elek\'epp jelenhet meg, a szorzat els\H{o},
m\'asodik vagy harmadik tagj\'aban, a $\xi_k$ t\'enyez\H{o} ezut\'an
2-f\'elek\'epp, a $\xi_l$ t\'enyez\H{o} pedig egyf\'elek\'epp
v\'alaszthat\'o. M\'asfajta tag nem jelenik meg a szorzatban. Innen
a v\'arhat\'o \'ert\'ek  addit\'{\i}vit\'as\'at kihaszn\'alva azt
kapjuk, hogy $E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3=10E\xi_1^3+270
E\xi_1E(\xi_1^2)+720\(E\xi_1\)^3=735+14332.5+30870=45937.5$, mert
$E\xi_1=3.5$, $E\xi_1^2=\frac{91}6$ \'es $E\xi_1^3=73.5$.
\item{16.)} Legyen egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki 20 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'amoljuk ki
a kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 20$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j(\oo)=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros, $\xi_j(\oo)=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er.
Ekkor a $\xi=\summ_{j=1}^{20}\xi_j$  \"osszeg v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
ki\-sz\'a\-mol\-nunk. Tov\'abb\'a $E\xi_j=E\xi_1=\frac25$,
$\Var\xi_j=\Var\xi_1=\frac25-\frac4{25}=\frac6{25}$,
$E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2=\frac25\cdot
\frac{19}{49}-\frac4{25}=-\frac6{1245}$, ha $j\neq k$.
Innen a 20 dob\'asban kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke $20\cdot\frac25=8$ \'es
sz\'or\'asn\'egyzete $20\cdot\frac6{25}-380\cdot\frac6{1245}
=\frac{144}{49}$.
\item{17.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enz\'erm\'et 100-szor
egym\'as ut\'an. Tekints\"uk az egym\'ast k\"ovet\H{o} fej-fej
dob\'assorozatok sz\'am\'at, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 99$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik \'es $j+1$-ik dob\'asok mindegyik\'enek
eredm\'enye fej, $\xi_j=0$ egy\'ebk\'ent. Vegy\"uk \'eszre, hogy
minket az $S=\summ_{j=1}^{99}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'erdekel. Ez\'ert
$ES=E\(\summ_{j=1}^{99}E\xi_j\)=\frac{99}4$, mivel
$E\xi_j=\frac14$. (\'Erdemes megjegyezni, hogy az ebben a
feladatban tekintett $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok nem f\"uggetlenek, de a f\"uggetlens\'egre nincs
sz\"uks\'eg a v\'arhat\'o \'ert\'ek additiv\'{\i}t\'as\'ahaz.)
\item{} A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'am\'{\i}t\'as\'aban viszont
figyelembe kell venn\"unk azt, hogy nem csupa f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'et vizsg\'aljuk.
Haszn\'aljuk a sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet
ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'a\-n\'al a k\"ovetkez\H{o} formul\'at.
$$
\Var S=\Var\(\summ_{j=1}^{99}\xi_j\)=\sum_{j=1}^{99}
\Var\xi_j+2\sum_{1\le j<k\le99}\Cov(\xi_j,\xi_k).
$$
Tov\'abb\'a $\Cov(\xi_j,\xi_k)=0$, ha $k\ge j+2$, mert ebben az
esetben $\xi_j$ \'es $\xi_k$ f\"uggetlenek, \'es
$\Cov(\xi_j,\xi_{j+1})=\frac18-\frac1{16}=\frac1{16}$ minden
$1\le j\le 98$ sz\'amra. Ugyanis $E\xi_j\xi_{j+1}=\frac18$, mivel
$\xi_j\xi_{j+1}=1$, ha a $j$-ik, $j+1$-ik \'es $j+2$-ik dob\'asok
mindegyike fej, aminek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac18$, \'es
$\xi_j\xi_{j+1}=0$ egy\'ebk\'ent. Tov\'abb\'a
$E\xi_jE\xi_{j+1}=\frac1{16}$. Ezenk\'{\i}v\"ul
$\Var\xi_j=\frac14-\frac1{16}=\frac3{16}$. Innen $\Var
S=99\cdot\frac3{16}+2\cdot\frac{98}{16}=\frac{493}{16}$.
\item{18.)} Egy urn\'aban 10 piros \'es 20 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk visszatev\'es n\'elk\"ul 10 goly\'ot. A p\'aros sorsz\'am\'u
h\'uz\'asok eset\'en feh\'er goly\'o h\'uz\'as eset\'en nyer\"unk 3
forintot, piros goly\'o h\'uz\'as eset\'en pedig nem nyer\"unk
\'es nem vesz\'{\i}t\"unk semmit. A p\'aratlan sorsz\'am\'u
h\'uz\'asok eset\'en piros h\'uz\'as eset\'en 2 forintot nyer\"unk,
feh\'er goly\'o h\'uz\'as eset\'en nem nyer\"unk \'es nem
vesz\'{\i}t\"unk semmit. Sz\'amoljuk ki a nyerem\'eny\"unk
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le10$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: P\'aros
$j$ sz\'amokra $\xi_j=3$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er
goly\'o. P\'aratlan $j$ sz\'amokra $\xi_j=2$, ha a $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye piros, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
feh\'er goly\'o. Ekkor az $S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ \"osszeg
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'amolnunk. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki az $E\xi_j$
v\'arhat\'o \'ert\'ekeket, $\Var\xi_j$ sz\'or\'asn\'egyzeteket \'es
$\Cov(\xi_j,\xi_k)$ kovarianci\'akat. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros $\frac13$, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $j$-ik
h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er $\frac23$. Ez\'ert $E\xi_j=2$, ha $j$
p\'aros, $E\xi_j=\frac23$, ha $j$ p\'aratlan, \'es
$ES=5\(2+\frac23\)=13\frac13$.
\item{} A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy $E\xi_j^2=6$, $\Var\xi_j=2$, ha $j$ p\'aros,
\'es $E\xi_j^2=\frac43$, $\Var\xi_j=\frac{8}9$. Tov\'abb\'a annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy k\'et $j$ \'es $k$ indexre
$j\neq k$, a $j$-ik \'es $k$-ik h\'uz\'as mindegyike feh\'er
$\frac{2\cdot19}{3\cdot 29}=\frac{38}{87}$, annak, hogy mindk\'et
h\'uz\'as piros $\frac{9}{3\cdot 29}=\frac3{29}$, annak, hogy az
egyik h\'uz\'as feh\'er, a m\'asik h\'uz\'as piros
$\frac{2\cdot10}{3\cdot 29}=\frac{20}{57}$. Ez\'ert
$E\xi_j\xi_k=9\cdot\frac{2\cdot 19}{3\cdot 29}=\frac{114}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{114}{29}-4=-\frac2{29}$, ha $j$ \'es $k$
p\'aros, $E\xi_j\xi_k=4\cdot\frac{3}{29}=\frac{12}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{12}{29}-\frac{4}9=-\frac{8}{263}$, ha $j$
\'es $k$ p\'aratlan, $E\xi_j\xi_k=6\cdot\frac{20}{57}=\frac{40}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{40}{29}-\frac{4}3=\frac{4}{87}$, ha $j$ \'es
$k$ k\"oz\"ul az egyik p\'aros, a m\'asik p\'aratlan. Olyan $(j,k)$
p\'ar, $1\le j,k\le 10$, $j\neq k$, amelyre $j$ \'es $k$ mindegyike
p\'aros vagy mindegyike p\'aratlan, \"osszesen 20 van, \'es olyan
$(j,k)$ p\'ar, amelyekre az egyik p\'aros, a m\'asik p\'aratlan
$2\cdot5\cdot 5=50$  van, ez\'ert
$$
\summ_{1\le j,k\le 10,\,j\neq k}\Cov(\xi_j,\xi_k)=20\(-\frac2{29}
-\frac{8}{263}\)+50\cdot\frac{4}{87}=\frac{80}{263}.
$$
Innen
$$
\align
\Var S&=\sum_{j=1}^{10}\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le 10,\,j\neq k}\Cov(\xi_j,\xi_k)\\
&=5\(2+\frac89\)+
\frac{80}{263}=\frac{130}9+\frac{80}{263}=\frac{3850}{263}.
\endalign
$$
\item{19.)} Csodaorsz\'ag munka t\"orv\'enyk\"onyve szerint egy c\'eg
minden munk\'asa fizetett sza\-bad\-s\'a\-got kap azokon a napokon,
amikor legal\'abb az egyik\"uknek sz\"ulet\'esnapja van. Ezen napok
kiv\'etel\'evel azonban az \'ev minden napj\'an mindenkinek
dolgoznia kell. Minden munk\'as 1 TV-k\'esz\"ul\'eket k\'esz\'{\i}t
egy nap alatt. Mi a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete
az egy \'evben gy\'artott TV k\'esz\"ul\'ekeknek, ha $n$ munk\'as
dolgozik a c\'egben? H\'any alkalmazottat vegyen fel a c\'egtulajdonos,
ha azt akarja, hogy a gy\'artott TV-k\'esz\"ul\'ekek sz\'am\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'eke a lehet\H{o} legnagyobb legyen?
\item{} {\it Megold\'as.} Jel\"olje $\xi_j$, $1\le j\le 365$, a $j$-ik
nap gy\'artott TV-k\'esz\"ul\'ekek sz\'am\'at. Ekkor $\xi_j=n$, ha
az $n$ munk\'as egyik\'enek sincs sz\"ulet\'esnapja a $j$-ik napon,
\'es $\xi_j=0$ egy\'ebk\'ent. Ez\'ert $P(\xi_j=n)=\(\frac{364}{365}\)^n$
\'es $P(\xi_j=0)=1-\(\frac{364}{365}\)^n$. A gy\'artott
TV-k\'esz\"ul\'ekek sz\'ama $Y=Y(n)=\summ_{j=1}^{365}\xi_j$, ahonnan
$EY=EY(n)=\summ_{j=1}^{365}E\xi_j=365n\(\frac{364}{365}\)^n$.
\item{} A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'amol\'asa \'erdek\'eben sz\'amoljuk
ki el\H{o}sz\"or a $\Cov(\xi_i,\xi_j)=E\xi_i\xi_j-E\xi_iE\xi_j$
kovarianci\'akat $1\le i,j\le365$, $i\neq j$ eset\'en.
$E\xi_i\xi_j=n^2P(\xi_i=n,\xi_j=n)=n^2\(\frac{363}{365}\)^n$, mert
$\(\frac{363}{365}\)^n$ a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
egyik munk\'asnak sincs sz\"ulet\'esnapja sem az $i$-ik sem a $j$-ik
napon. Innen
$$
\Cov(\xi_i,\xi_j)=n^2\(\(\frac{363}{365}\)^n-\(\frac{364}{365}\)^{2n}\),
$$
\'es mivel $\Var Y=\summ_{j=1}^{365}(E\xi_j^2-(E\xi_j)^2)+
2\summ_{1\le i<j\le365}\Cov(\xi_i,\xi_j)$
$$
\Var Y=365n^2\(\(\frac{364}{365}\)^n-\(\frac{364}{365}\)^{2n}\)+365\cdot364
n^2\(\(\frac{363}{365}\)^n-\(\frac{364}{365}\)^{2n}\).
$$
\item{} Sz\'amoljuk ki az $EY(n)$ maximum\'at az $n$ v\'altoz\'o
szerint. Annak \'erdek\'eben, hogy meghat\'arozzuk mely $n$
sz\'amra v\'etetik fel ez a maximum, sz\'amoljuk ki az
$\frac{EY(n+1)}{EY(n)}$ h\'anyadost minden pozit\'{\i}v
eg\'esz~$n$-re, \'es hat\'arozzuk meg, hogy az
mely $n$-ekre kisebb, \'es mely $n$-ekre nagyobb, mint 1.
$\frac{EY(n+1)}{EY(n)}=\frac{n+1}n\frac{364}{365}$,
ahonnan $\frac{EY(n+1)}{EY(n)}>1$, ha $n\le363$,
$\frac{EY(n+1)}{EY(n)}=1$, ha $n=364$,
\'es $\frac{EY(n+1)}{EY(n)}<1$, ha $n\le365$. Ez\'ert 364 vagy 365
munk\'ast \'erdemes felvenni, \'es ekkor az \'evente gy\'artott TV
k\'esz\"ul\'ekek sz\'ama
$\frac{364^{365}}{365^{363}}=364^2\(1-\frac1{365}\)^{363}\sim\frac{364^2}e$.
\item{20.)} Egy k\'artyacsomag 75 k\'artyalapot tartalmaz, amelyek
mindegyike az 1 \'es 75 k\"oz\"otti sz\'amok valamelyik\'evel meg
van sz\'amozva. Kih\'uzunk 40 k\'arty\'at visszatev\'essel, \'es
jel\"olje $X$ az ily m\'odon kapott k\"ul\"onb\"oz\H{o} k\'arty\'ak
sz\'am\'at. Sz\'amoljuk ki az $EX$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'amozzuk meg a k\'arty\'akat
1-t\H{o}l 75-ig, \'es vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le75$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. $\xi_j=1$,
ha a $j$-ik k\'arty\'at kiv\'alasztjuk, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
k\'arty\'at nem v\'alasztjuk ki a 40 h\'uz\'as sor\'an. Ekkor
$X=\summ_{j=1}^{75}\xi_j$. Ez\'ert $EX=\summ_{j=1}^{75}E\xi_j=
\summ_{j=1}^{75}P(\xi_j=1)$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a $j$-ik k\'arty\'at nem h\'uzzuk ki 40 h\'uz\'as sor\'an
$(\frac{74}{75})^{40}$. Innen $P(\xi_j=1)=1-(\frac{74}{75})^{40}$,
$EX=75\(1-(\frac{74}{75})^{40}\)$.
\item{20a.)} Sz\'amoljuk ki az el\H{o}z\H{o} feladatban defini\'alt
$X$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\Var X$
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-tet.
\item{} Jel\"olje $Y$ a ki nem h\'uzott k\'arty\'ak sz\'am\'at, \'es
vezess\"uk be az $\eta_j=1-\xi_j$, $1\le j\le75$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyekre $y_j=1$,
ha a $j$-ik k\'arty\'at nem v\'alasztjuk ki, \'es $\eta_j=0$, ha a
$j$-ik k\'arty\'at kiv\'alasztjuk a 40 h\'uz\'as sor\'an. Ekkor
$Y=\summ_{j=1}^{75}\eta_j$, \'es $Y=75-X$, ahonnan $\Var Y=\Var X$
az el\H{o}z\H{o} feladatban defini\'alt $X$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval.
\item{}
$\Var X=\Var Y=\summ_{j=1}^{75}\Var\eta_j+2\summ_{1\le i<j\le 75}
\Cov(\eta_i,\eta_j)$. M\'asr\'eszt $\Var\eta_j=P(\eta_j=1)-P(\eta_j=1)^2$,
\'es $\Cov(\eta_i,\eta_j)=P(\eta_i=1,\eta_j=1)-P(\eta_i=1)P(\eta_j=1)$, ha
$i\neq j$. Tov\'abb\'a
$P(\eta_i=1,\eta_j=1)=\(\frac{73}{75}\)^{40}$,
$P(\eta_i=1)=P(\eta_j=1)=\(\frac{74}{75}\)^{40}$. Innen
$\Cov(\eta_i,\eta_j)=\(\frac{73}{75}\)^{40}-\(\frac{74}{75}\)^{80}$,
\'es  $\Var\eta_j=\(\frac{74}{75}\)^{40}-\(\frac{74}{75}\)^{80}$.
Ez\'ert
$$
\Var X=\Var Y= 75\(\frac{74}{75}\)^{40}\(1-\(\frac{74}{75}\)^{40}\)
+74\cdot75\(\(\frac{73}{75}\)^{40}-\(\frac{74}{75}\)^{80}\).
$$

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A 20. feladatot a vizsg\'alt $X$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$X=\summ_{j=1}^{75}\xi_j$ alak\'u felbont\'as\'anak
seg\'{\i}ts\'eg\'evel oldottuk meg egyszer\H{u}bb
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegek\'ent.
M\'as felbont\'assal is kis\'erletezhet\"unk volna. P\'eld\'aul
\'{\i}rhattuk volna, hogy
$X=\summ_{j=1}^{40}\zeta_j$, ahol $\zeta_j=1$, ha a $j$-ik
h\'uz\'askor \'uj k\'arty\'at h\'uzunk, \'es $\zeta_j=0$, ha nem.
Ekkor is fel\'{\i}rhatjuk az
$EX=\summ_{j=1}^{40}E\zeta_j$, azonoss\'agot. Ez a m\'odszer
m\'egsem olyan hasznos, mint a feladat megold\'as\'aban alkalmazott
elj\'ar\'as, mert az $E\zeta_j=P(\zeta_j=1)$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekeket nem egyszer\H{u} kisz\'amolni. Ez azt mutatja, hogy
\'erdemes a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o sz\'amunkra hasznos felbont\'as\'at keresni, \'es ez
nem mindig mag\'at\'ol \'ertet\H{o}d\H{o}.
\medskip

\item{21.)} Legyen k\'et urna, mind a kett\H{o}ben 10 piros \'es 10
feh\'er goly\'o. Egym\'as ut\'an kih\'uzunk nyolc goly\'ot mind a
k\'et urn\'ab\'ol, az els\H{o}b\H{o}l visszatev\'es n\'elk\"ul, a
m\'asodikb\'ol visszatev\'essel.  Ha a $j$-ik h\'uz\'asn\'al
a k\'et urn\'ab\'ol kih\'uzott goly\'o egyforma sz\'{\i}n\H{u},
akkor k\'et forintot nyer\"unk, ha k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'{\i}n\H{u}ek,
akkor egy forintot vesz\'{\i}t\"unk, $1\le j\le 8$. Sz\'am\'{\i}tsuk
ki nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le8$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik h\'uz\'asn\'al mind k\'et urn\'ab\'ol piros vagy mind a
k\'et urn\'ab\'ol feh\'er goly\'ot h\'uzunk, \'es $\xi_j=-1$, ha az
egyik urn\'ab\'ol feh\'er \'es a m\'asik urn\'ab\'ol piros goly\'ot
h\'uzunk. Akkor a minket \'erdekl\H{o} mennyis\'egek a
$S=\summ_{j=1}^8\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete. Ennek
kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben sz\'am\'{\i}tsuk ki az $E\xi_j$,
$\Var\xi_j$ \'es $\Cov(\xi_j,\xi_k)$ mennyis\'egeket. Vegy\"uk \'eszre,
hogy $P(\xi_j=-1)=P(\xi_1=-1)=\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac12
=\frac12$, mert kifejezve k\"ul\"on annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy (feh\'er, piros) vagy (piros,
feh\'er) h\'uz\'as t\"ort\'enik. Hasonl\'oan $P(\xi_j=2)=\frac12$.
Ez\'ert $E\xi_j=2\frac12-\frac12=\frac12$,
$E\xi_j^2=\frac12(4+1)=\frac52$, $\Var\xi_j=\frac94$.
\item{} Hasonl\'oan,
$P(\xi_j=2,\xi_k=2)=P(\xi_1=2,\xi_2=2)=2\cdot\frac14\cdot\frac12
\cdot\frac9{19}+2\cdot\frac14\cdot\frac12\cdot\frac{10}{19}=\frac14$,
$P(\xi_j=2,\xi_k=-1)=P(\xi_1=2,\xi_2=-1)=2\cdot\frac14\cdot\frac12
\(\frac{10}{19}+\frac{9}{19}\)=\frac14$,
$P(\xi_j=-1,\xi_k=-1)=P(\xi_1=-1,\xi_2=-1)=\frac14$ (itt felsoroltuk,
hogy p\'eld\'aul a $\xi_1=2,\xi_2=2$ azt jelenti, hogy az
((F,F),(F,F)), ((F,F),(P,P)), ((P,P),(F,F)) vagy ((P,P),(P,P))
h\'uz\'assorozatok valamelyike k\"ovetkezik be. Ez\'ert
$E\xi_j\xi_k=P(\xi_j=-1,\xi_k=-1)+4P(\xi_j=2,\xi_k=2)-2P(\xi_j=-1,\xi_k=2)
-2P(\xi_j=2,\xi_k=-1)= \frac14(1+4-4)=\frac14$,
\'es $\Cov(\xi_j,\xi_k)=E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=\frac14-\frac14=0$.
Innen k\"ovetkezik, hogy a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok korrel\'alatlanok,
\'es $ES=8E\xi_1=2$, $\Var S=8\Var\xi_1=18$.

\item{22.)} V\'eletlen\"ul megh\'{\i}vunk 30 embert. Tegy\"uk fel,
hogy az egyes embereknek egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul van
sz\"ulet\'esnapjuk, \'es minden ember eset\'eben $\frac1{365}$ annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az \'ev valamely napj\'an
sz\"uletett. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van k\'et
ember a t\'arsas\'agban, akiknek ugyanaznap van a sz\"ulet\'esnapjuk?
\item{} \'Altal\'anosabban, van $n$ urna, amelyekbe bedobunk
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $k$ goly\'ot \'ugy, hogy mindegyik
goly\'o egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik az egyes urn\'akba.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van olyan urna amelybe
legal\'abb k\'et goly\'o esik? \'Erdekel minket tov\'abb\'a ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a viselked\'ese, ha mind az $n$ mind a
$k$ sz\'am nagy, \'es a $k=k(n)$ sz\'amnak megfelel\H{o} a
nagys\'agrendje. L\'assuk be, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek van hat\'ar\'ert\'eke,
ha $n\to \infty$, $\frac k{\sqrt n}\to\alpha$ valamilyen
$0\le \alpha<\infty$ sz\'ammal, \'es hat\'arozzuk meg ezt a
hat\'ar\'ert\'eket.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hogy a $j$-ik embernek az
\'ev hanyadik napj\'an van a sz\"ulet\'esnapja. Ekkor
a $\xi_j$, $1\le j\le 30$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, $P\(\xi_j=l\)=\frac1{365}$, $1\le j\le 30$, $1\le l\le
365$, \'es $P(\xi_j\neq \xi_j'\;\text{ha }j\neq j')$
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mindenkinek
k\"ul\"onb\"oz\H{o} nap van a sz\"ulet\'esnapja.
Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg viszont
$$
\frac{365\cdot 364\cdots(365-30+1)}{365^k}
=\prod_{j=1}^{29}\(1-\frac j{365}\),
$$
mert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} ember
sz\"ulet\'esnapja az $l_1$-ik, a m\'asodik\'e az $l_2$-ik \'es
\'{\i}gy tov\'abb a $k$-ik ember sz\"ulet\'esnapja az $l_k$-ik napon
van $\frac1{365^k}$, tetsz\H{o}leges $1\le l_j\le 365$, $1\le j\le 30$
sz\'amok eset\'en, \'es ezeket a sz\'amokat $\prodd_{j=0}^{k-1}(365-j)$
m\'odon v\'alaszthatjuk \'ugy, hogy mindegyik $l_j$ sz\'am
k\"ul\"onb\"oz\H{o} legyen. \'Igy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy van k\'et ember akinek ugyanazon a napon van a sz\"ulet\'esnapja
$1-\prodd_{j=1}^{29}\(1-\frac j{365}\)$.
\item{} Hasonl\'oan, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ha $k$
goly\'ot dobunk $n$ urn\'aba az adott m\'odon, akkor van olyan urna,
amelyikbe legal\'abb k\'et goly\'o esik $1-\prodd_{j=1}^{k-1}\(1-\frac
jn\)$. Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est a
$\log\prodd_{j=1}^{k-1}\(1-\frac jn\)=\summ_{j=1}^{k-1}\log\(1-\frac
jn\)$ kifejez\'esre, ha $n\to\infty$, $\frac{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$.
Heurisztikus \'ervel\'es szerint mivel $\log\(1-\frac jn\)\sim-\frac
jn$ a $\log(1+x)$ f\"uggv\'eny Taylor sorfejt\'ese szerint, ez\'ert
$\summ_{j=1}^{k-1}\log\(1-\frac jn\)\sim -\summ_{j=1}^{k-1}\frac
jn=-\frac{(k-1)k}{2n}$, ahonnan $\log\prodd_{j=1}^{k(n)-1}\(1-\frac
jn\)\to-\frac{\alpha^2}2$, ha $n\to\infty$, \'es $\frac
{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$. Ez a sz\'amol\'as precizz\'e tehet\H{o}, ha
felhaszn\'aljuk p\'eld\'aul azt az egyenl\H{o}tlens\'eget, amely
szerint
$$
\left|\log\(1-\frac jn\)+\frac jn\right|\le
\frac{2j^2}{n^2}\le\frac{\const}n,\quad\text{ha
} n \text{ el\'eg nagy \'es }\frac j{\sqrt n}\le\alpha+1,
$$
ami szint\'en k\"ovetkezik a $\log(1+x)$ Taylor sorfejt\'es\'eb\H{o}l.
Innen azt kapjuk, hogy $1-\prodd_{j=1}^{k(n)-1}\(1-\frac jn\)\to
1-e^{-\alpha^2/2}$, ha $n\to\infty$, \'es
$\frac{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$.

\item{23.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, azaz legyen
$\xi$ \'es $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha
$-\frac12\le x\le\frac12$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent.
Sz\'amoljuk ki $\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
$g(x)=\int f(y)f(x-y)\,dy$ f\"uggv\'eny, ahol $f(x)$ a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez\'ert $f(y)f(x-y)=1$, ha
$-\frac12\le y\le\frac12$, \'es $-\frac12\le x-y\le\frac12$,
azaz $-\frac12+x\le y\le\frac12+x$, \'es nulla egy\'ebk\'ent.
Ez azt jelenti, hogy a $\xi+\eta$ \"osszeg $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az $x$ pontban megegyezik a
$\[-\frac12,\frac12\]\cap \[-\frac12+x,\frac12+x\]$
intervallum hossz\'aval. Ha $|x|>1$, akkor a fenti metszet \"ures,
ez\'ert ebben az eset\-ben $g(x)=0$. Ha $0\le x\le 1$, akkor ez a
metszet a $\[-\frac12+x,\frac12\]$ intervallum, \'es ennek hossza
$1-x$, azaz ebben az eset\-ben $g(x)=1-x$. Ha $-1\le x\le0$, akkor
ez a metszet a $\[-\frac12,\frac12+x\]$ intervallum amelynek hossza
$1+x=1-|x|$, azaz $g(x)=1+x=1-|x|$ ebben az eset\-ben. Ez azt
jelenti, hogy $g(x)=1-|x|$, ha $|x|\le 1$, \'es $g(x)=0$, ha $|x|>1$.
\medskip
\item{} Megadok egy m\'asik
geo\-met\-riai \'ervel\'esen alapul\'o megold\'ast.
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. De\-fi\-ni\'al\-juk a
$K=\[-\frac12,\frac12\]\times\[-\frac12,\frac12\]$ n\'egyzetet,
\'es jel\"olje $\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'eket, azaz a ter\"uletet
a s\'{\i}kon. Ekkor a s\'{\i}k tetsz\H{o}leges $A\subset R^2$
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'ara igaz az, hogy $P((\xi,\eta)\in
A)=\lambda(A\cap K)$. Speci\'alisan, $G(x)=P(\xi+\eta<x)=
\lambda(K\cap\{(u,v)\colon\; u+v<x\})$. Ha $x\le-1$, akkor
$G(x)=0$, ha $-1\le x\le0$, akkor $G(x)$ a $\(-\frac12,-\frac12\)$,
$\(-\frac12,\frac12+x\)$ \'es $\(\frac12+x,-\frac12\)$ pontok
\'altal meghat\'arozott h\'aromsz\"og ter\"ulete $\frac12(1+x)^2$.
Hasonl\'oan, ha $x\ge1$, akkor $G(x)=1$. Ha $0\le x\le1$, akkor a
$G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny megegyezik annak a poligonnak
ter\"ulet\'evel, amelyet \'ugy kapunk, hogy a $K$ n\'egyzetb\H{o}l
kihagyjuk a $\(\frac12,\frac12\)$, $\(\frac12,-\frac12+x\)$
\'es $\(-\frac12+x,\frac12\)$ pontok \'altal meghat\'arozott
h\'aromsz\"oget. Ez\'ert $G(x)=1-\frac12(1-x)^2$ ebben az eset\-ben.
A $G(x)$ f\"uggv\'enyt deriv\'alva kapjuk, hogy $g(x)=0$, ha
$|x|\le1$, $g(x)=1+x$, ha $-1\le x\le0$, \'es $g(x)=1-x$, ha $0\le
x\le1$.

\item{24.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(x)$ \'es $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Hogyan sz\'amoljuk ki
$\xi-\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et?
\item{} {\it Megold\'as.}\/ $\xi-\eta=\xi+(-\eta)$. Ha $\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)$ akkor $-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g^-(x)=g(-x)$. Ez szeml\'eletesen
ny\'{\i}lv\'anval\'o, egy lehets\'eges form\'alis magyar\'azat
a k\"ovetkez\H{o}. Legyen $G(x)$ $\eta$ eloszl\'asf\"uggv\'enye.
Ekkor $g(x)=\frac{dG(x)}{dx}$, \'es $-\eta$
el-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye
$G^-(x)=P(-\eta<x)=P(\xi>-x)=1-P(\eta\le-x)=1-G(-x)$. (Mivel
$\eta$-nak van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ez\'ert
$P(\eta\le-x)=P(\eta<-x)$.) Ez\'ert $-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g^-(x)=\frac{d G^-(x)}{dx}
=\frac{1-G(-x)}{dx}=g(-x)$.
\item{} Innen $\xi-\eta=\xi+(-\eta)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f*g^-(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g^-(x-y)\,dy
=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(y-x)\,dy$.

\item{25.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely
$[a,a+1]$ illetve $[b,b+1]$ intervallumon. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a
$\xi+\eta$ \'es $\xi-\eta$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A feladatot meg lehet oldani
megfelel\H{o} konvoluci\'ok kisz\'am\'{\i}t\'as\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. De mivel ezt a feladatot m\'ar megoldottuk
egy speci\'alis esetben a 23. feladatban, ez\'ert
egyszer\H{u}bb a feladat megold\'as\'at visszavezetni erre a
speci\'alis esetre. Ennek \'erdek\'eben vezess\"unk be k\'et
f\"uggetlen $\xi_0$ \'es $\eta_0$ a $[-\frac12,\frac12]$
intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot. Feltehetj\"uk, hogy $\xi=\xi_0+a+\frac12$ \'es
$\eta=\eta_0+b+\frac12$. Ekkor $\xi+\eta=\xi_0+\eta_0+a+b+1$,
$\xi-\eta=\xi_0-\eta_0+a-b$. Ezenk\'{\i}v\"ul $\xi_0+\eta_0$ \'es
$\xi_0-\eta_0$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye megegyezik, \'es ez
az eml\'{\i}tett feladat eredm\'enye szerint $g(x)=1-|x|$, ha
$-1\le x\le1$, $g(x)=0$, ha $x<-1$ vagy $x>1$. Innen $x+\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x-a-b-1)=1-|x-a-b-1|$,
ha $|x-a-b-1|\le1$, $g(x-a-b-1)=0$, ha $|x-a-b-1|>1$, $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x-a+b)=1-|x-a+b|$,
ha $|x-a+b|\le1$, $g(x-a+b)=0$, ha $|x-a+b|>1$.

\item{26.)} Oldjuk meg a 7. \'es 8. feladatot a konvoluci\'or\'ol
bizony\'{\i}tott eredm\'enyek alapj\'an.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A 7. feladatban jel\"olje $\xi$ \'es
$\eta$ azokat a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyek
azt m\'erik, hogy mikor \'erkezett a t\'erre az els\H{o} illetve a
m\'asodik ember. Ekkor $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es egyenletes
eloszl\'as\'uak a $[8,9]$ intervallumban. Minket a $P(|\xi-\eta|<\frac12)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=1-|x|$, ha $|x|\le1$, \'es $f(x)=0$, ha $x>1$. Innen
$P(|\xi-\eta|<\frac12)=\int_{-1/2}^{1/2}f(x)\,dx
=2\int_0^{1/2}(1-x)\,dx=\frac34$.
\item{} A 8. feladatban jel\"olje $\xi$ \'es
$\eta$ azokat a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyek
azt m\'erik, hogy milyen hossz\'u az els\H{o} \'es m\'asodik elt\"ort
bot r\"ovidebb v\'ege. Ekkor $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es egyenletes
eloszl\'as\'uak a $[0,\frac12]$ intervallumban. (Egy bot r\"ovidebb
v\'eg\'enek a hossza kisebb, mint $x$, ha a bot baloldali v\'ege
r\"ovidebb, mint $x$ vagy hosszabb, mint $1-x$.
Minket a $P(\xi+\eta<0.8)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Viszont $\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=2(1-|1-2x|)$,
ha $0<x\le1$, \'es $f(x)=0$, ha $x>1$, vagy $x<0$. Innen
$P(\xi-\eta<0.8)=\int_0^{0.8}f(x)\,dx=1-\int_{0.8}^1f(x)\,dx
=1-\int_{0.8}^1 (4-4x)\,dx=1-0.08=0.92$.


\item{27.)} Legyenek $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ha
$x\ge 0$, \'es $f(x)=0$, ha $x>0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} \'Altal\'anosabban, legyenek $\xi_1, \dots \xi_m$
f\"ug\-get\-len exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\lambda>0$ param\'eterrel.
Mutassuk meg, hogy $\xi_1+\cdots+\xi_m$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f_m(x)=\frac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$,
\'es $f_m(x)<0$, ha $x<0$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ki kell sz\'amolnunk az $f*f(x)$ illetve
$\underbrace {f*\cdots* f}_{m-\text{szer}}(x)$ konvoluci\'okat a fenti
$f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Mivel $f(x)=0$, ha $x\le 0$,
a konvoluci\'ot meghat\'aroz\'o integr\'alban szerepl\H{o} $f(y)f(x-y)$
integrandus nulla, ha $y\le 0$ vagy $x-y\le0$. Innen a konvoluci\'ot
defini\'al\'o integr\'al csak $x\ge0$ eset\'en lehet nulla, az $x\le0$
esetben $f(y)f(x-y)>0$ minden $y$-ra nulla, \'es $x\ge0$ eset\'en az
$f(y)f(x-y)>0$ integrandus csak $0\le y\le x$ eset\'en nem nulla.
Innen a $\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f_2(x)=f*f(x)$ $x<0$-ra $f_2(x)=0$,
\'es
$$
\align
f_2(x)&=f*f(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda e^{-\lambda y}\lambda e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\int_0^x \lambda^2 e^{-\lambda x}\,dy=\lambda^2xe^{-\lambda x},
\quad \text{ha } x\ge0.
\endalign
$$
Hasonl\'oan, ha $f_m(x)=\underbrace {f*\cdots*f}_{m-\text{szer}}(x)$
jel\"oli $\xi_1+\cdots\xi_m$  s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et,
akkor $f_m(x)=0$ minden $m\ge1$ sz\'amra, ha $x<0$. Azt
\'all\'{\i}tom, hogy
$f_m(x)=\frac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$.
Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni
teljes indukci\'oval azt, hogy $f_{m-1}*f(x)=f_m(x)$ a fent
defini\'alt $f_m$ f\"uggv\'enyekkel. Viszont
$$ \allowdisplaybreaks
\align
f_{m-1}*f(x)&=\int_{-\infty}^\infty f_{m-1}(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda^{m-1}\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \lambda
e^{-\lambda y}e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\lambda^m e^{-\lambda x}\int_0^x
\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \,dy=e^{-\lambda x}
\frac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!},\quad\text{ha }x\ge0.
\endalign
$$
M\'asr\'eszt $f_m(x)=0$, ha $x\le 0$.
\item{28.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
mind a kett\H{o} $f(x)=\frac12e^{-|x|}$, $-\infty<x<\infty$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. L\'assuk be el\H{o}sz\"or, hogy
$f(x)$ val\'oban s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $g(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az $f(x)$ f\"uggv\'eny minden pontban
nem negat\'{\i}v. Annak ellen\H{o}rz\'es\'ehez, hogy $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny azt kell megmutatnunk,
hogy $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1$. Ez igaz, mert
$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=\frac12\int_{-\infty}^0 e^{x}\,dx
+\frac12\int_0^{\infty}
e^{-x}\,dx=\frac12\[e^x\]_{-\infty}^0+\frac12\[-e^{-x}\]_0^\infty=1$.
\item{} A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o  $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et a $g(x)=\int_{-\infty}^\infty
f(y)f(x-y)\,dy$ formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel
sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt az integr\'alt.
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt az esetet, amikor $x\ge0$. Az
integr\'alt sz\'am\'{\i}tsuk ki \'ugy, hogy n\'ezz\"uk mind
a n\'egy (elvileg) lehets\'eges esetet, amikor a) $y\ge0$ \'es
$x-y\ge0$, b)  $y\ge0$ \'es $x-y<0$, c) $y<0$, $x-y\ge0$, d) $y<0$,
$x-y<0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki mind a n\'egy esetben azt, hogy milyen
tartom\'anyban veszi fel \'ert\'ek\'et az $y$ v\'altoz\'o, \'es
mi az integrandus illetve az integr\'al \'ert\'eke ebben a
tartom\'anyban. Az a) esetben $0\le y\le x$, az integrandus
$f(y)f(x-y)=\frac14e^{-y}e^{-(x-y)}=\frac{e^{-x}}4$, az integr\'al
pedig $\frac{xe^{-x}}4$ az a) tartom\'anyban. A b) esetben  $y>x$
\'es $f(y)f(x-y)= \frac{e^{-y}e^{x-y}}4=\frac{e^{x-2y}}4$ az
integr\'al pedig $\frac14\int_x^\infty e^{x-2y}\,dy=\frac{e^{-x}}8$,
a c) esetben $y<0$ \'es
$f(y)f(x-y)=\frac14e^{y}e^{-(x-y)}=\frac{e^{2y-x}}4$, az integr\'al
pedig $\frac14\int_{-\infty}^0 e^{2y-x}\,dy=\frac{e^{-x}}8$, a d)
eset nem lehets\'eges, mert ekkor egyr\'eszt az $y<0$ m\'asr\'eszt
az $y>x\ge0$ felt\'eteleknek kellene teljes\"ulni\"uk. Innen
azt kapjuk, hogy $g(x)=\frac{(x+1)e^{-x}}4$, ha $x>0$. Mivel $f$
szimmetrikus f\"uggv\'eny, ez\'ert mint nem neh\'ez megmutatni,
$f(x)$ is az. Teh\'at $g(-x)=g(x)$, \'es
$g(x)=\frac{(|x|+1)e^{-|x|}}4$.
\item{29.)} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok.
L\'assuk be, hogy $\xi^2+\eta^2$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o $\lambda=\frac12$
para\-m\'e\-ter\-rel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $P(\xi^2<x)=\Phi(\sqrt x)-\Phi(-\sqrt
x)=2\Phi(\sqrt x)-1$, ha $x\ge0$. \'Irjuk fel $\xi^2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et \'es konvoluci\'o
seg\'\i{}ts\'eg\'evel a k\'\i{}v\'ant s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt.
A $\xi^2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye
$g(x)=\frac{\varphi(\sqrt x)}{\sqrt x}=\frac1{\sqrt{2\pi
x}}e^{-x/2}$, ha $x\ge0$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$, \'es
$\xi^2+\eta^2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$ \allowdisplaybreaks
\align
f(x)&=g*g(x)=\int_0^x\frac1{2\pi\sqrt{u(x-u)}}
e^{-u/2}e^{-(x-u)/2}\,du\\
&=e^{-x/2}\int_0^1\frac1{2\pi\sqrt{v(1-v)}}\,dv=\frac12e^{-x/2},
\quad \text{ha } x\ge0,
\endalign
$$
\'es $f(x)=0$, ha $x\le 0$.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az $x$ param\'etert\H{o}l nem f\"ugg\H{o}
$\int_0^1 \frac1{\sqrt{v(1-v)}}\,dv$ integr\'al \'ert\'ek\'et
meg\-ha\-t\'a\-roz\-za az a t\'eny, hogy a v\'egeredm\'enyk\'ent
kapott f\"uggv\'eny s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, ez\'ert
integr\'alja a sz\'amegyenesen eggyel egyenl\H{o}. De ki is tudjuk
sz\'amolni ezt az integr\'alt. Vagy\"uk \'eszre, hogy
$$
\frac1{\sqrt{v(1-v)}}=\frac1{\sqrt{\frac14-(v-\frac12)^2}}
=\frac2{\sqrt{1-(2v-1)^2}},
$$
ez\'ert $u=2v-1$ helyettes\'{\i}t\'essel
$$
\align
\int_0^x\frac1{2\pi\sqrt{v(1-v)}}\,dv&=
\int_{-1}^{2x-1}\frac1{2\pi\sqrt{1-u^2}}\,du  \\
&=\frac1{2\pi}\[\arcsin x\]_{-1}^{2x-1}=\frac{\arcsin
(2x-1)+\frac\pi2}{2\pi}.
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy a tekintett integr\'al \'ert\'eke $x=1$
eset\'en $\frac12$, mivel $\arcsin1=\frac \pi2$.
\medskip

\item{30.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, $-\infty<x<\infty$.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi^2+\xi^4$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jegyezz\"uk meg, hogy mivel $\xi^2$
\'es $\xi^4$ {\it nem f\"uggetlen}\/ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, ez\'ert \"osszeg\"uk s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
nem sz\'amolhatjuk konvoluci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel. E\-helyett
meghat\'arozzuk azt az $A(x)$ halmazt, amelyre $\xi+\xi^2<x$
akkor \'es csak akkor, ha $\xi\in A(x)$. Ezut\'an fel\'{\i}rhatjuk
a $P(\xi+\xi^2<x)=P(\xi\in A(x))$ azonoss\'agot. Az itt megjelen\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget, azaz $\xi+\xi^2$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et, ki tudjuk sz\'amolni a $\xi$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek seg\'{\i}ts\'eg\'evel, majd a
kerestt s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et is megkapjuk
$\xi+\xi^2$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a deriv\'altjak\'ent.
Az al\'abbiakban kidolgozom a sz\'amol\'as r\'eszleteit.
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or
$\xi^2+\xi^4$ $G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ha $x<0$, akkor
$G(x)=0$, mert $\xi^2+\xi^4\ge0$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
Ha $x>0$, akkor a $P(\xi^2+\xi^4<x)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
kell kisz\'am\'{\i}tanunk. Legyen $u=u(x)$ az $u^2+u-x=0$ egyenlet
nagyobb gy\"oke, az $u=\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2$, a kisebbik gy\"oke
$\bar u=\frac{-1-\sqrt{1+4x}}2$ pedig olyan, hogy $\bar u<0$.
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy $\xi^2(\oo)+\xi^4(\oo)<x$ akkor \'es
csak akkor, ha $0\le\xi^2(\oo)<u(x)$, ami azt jelenti, hogy
$-\sqrt{u(x)}<\xi<\sqrt{u(x)}$. Innen $\xi^2+\xi^4$
eloszl\'asf\"uggv\'enye $x>0$ eset\'en
$G(x)=\Phi\(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)-
\Phi\(-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)=
2\Phi\(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)-1$, ahol $\Phi(x)$ a
$\xi+\xi^2$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a deriv\'altjak\'ent.
Az al\'abbiakban kidolgozom a sz\'amol\'as r\'eszleteit.
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or
$\xi^2+\xi^4$ $G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ha $x<0$, akkor
$G(x)=0$, mert $\xi^2+\xi^4\ge0$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
Ha $x>0$, akkor a $P(\xi^2+\xi^4<x)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
kell kisz\'am\'{\i}tanunk. Legyen $u=u(x)$ az $u^2+u-x=0$ egyenlet
nagyobb gy\"oke, az $u=\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2$, a kisebbik gy\"oke
$\bar u=\frac{-1-\sqrt{1+4x}}2$ pedig olyan, hogy $\bar u<0$.
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy $\xi^2(\oo)+\xi^4(\oo)<x$ akkor \'es
csak akkor, ha $0\le\xi^2(\oo)<u(x)$, ami azt jelenti, hogy
$-\sqrt{u(x)}<\xi<\sqrt{u(x)}$. Innen $\xi^2+\xi^4$
eloszl\'asf\"uggv\'enye $x>0$ eset\'en
$G(x)=\Phi\(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)-
\Phi\(-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)=
2\Phi\(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)-1$, ahol $\Phi(x)$ a
standard  norm\'alis el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny. Innen
differenci\'al\'assal kapjuk, hogy $\xi^2+\xi^4$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\frac{dG(x)}{dx}$, ahonnan ez a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny nulla, ha $x<0$, \'es
$$
\sqrt{\frac2\pi}\exp\left\{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}4\right\}
\frac d{dx}\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2}, \quad\text{ha } x>0.
$$

\item{31.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek \'ert\'ekeiket a 0
\'es $n$ k\"oz\"otti eg\'esz sz\'amok k\"oz\"ul veszik fel
egyenletes eloszl\'assal, azaz $P(\xi=j)=P(\eta=j)=\frac1{n+1}$,
$0\le j\le n$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\eta$
 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vil\'agos, hogy a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o csak $0\le j\le 2n$ alak\'u
eg\'esz sz\'amokat vesz fel pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy $j$ \'ert\'eket vesz fel a $0\le j\le 2n$ esetben
$$
P(\xi+\eta=j)=\summ_{k=0}^n P(\xi=k,\eta=j-k)
=\summ_{k=0}^n P(\xi=k)P(\eta=j-k).
$$
Az ebben az \"osszegben
szerepl\H{o} tagok k\"oz\"ul csak azokat kell figyelembe venni,
amelyek nem null\'ak, teh\'at amelyek $k$ param\'eter\'ere a
$0\le k\le n$ felt\'etel mellett a $0\le j-k\le n$ azaz a
$j-n\le k\le j$ felt\'etel is teljes\"ul. \'Erdemes k\"ul\"on
tekinteni azt az esetet, amikor $0\le j\le n$ \'es amikor
$n<j\le 2n$. Ha $0\le j\le n$, akkor a $P(\xi+\eta=j)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kifejez\H{o} \"osszegben $j+1$ nem
z\'er\'o tag van (azok a tagok, amelyekre $0\le k\le j$),
mindegyiknek az \'ert\'eke $\frac1{(n+1)^2}$. \'Igy a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $P(\xi+\eta=j)=\frac{j+1}{(n+1)^2}$,
ha $0\le j\le n$. Ha $n<j\le 2n$, akkor $2n-j+1$ nem z\'er\'o tag
van a $P(\xi+\eta=j)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kifejez\H{o}
\"osszegben, (amikor $j-n\le k\le n$) \'es ezek \'ert\'ekei
$\frac1{(n+1)^2}$-tel egyenl\H{o}k. Ez\'ert
$P(\xi+\eta=j)=\frac{2n-j+1}{(n+1)^2}$, ha $n< j\le 2n$.

\item{31a.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek \'ert\'ekeiket a
$\frac kn$, $0\le k\le n$ alak\'u sz\'amokon
veszik fel egyenletes eloszl\'assal, azaz
$P(\xi=\frac jn)=P(\eta=\frac jn)=\frac1{n+1}$,
$0\le j\le n$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\eta$ \"osszeg
eloszl\'as\'at. Hasonl\'{\i}tsuk \"ossze az eredm\'enyt k\'et
f\"uggetlen, a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
$\tilde\xi$ \'es $\tilde\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A keresett eloszl\'as
$P(\xi+\eta=\frac jn)=\frac{j+1}{(n+1)^2}$,
ha $0\le j\le n$,
$P(\xi+\eta=\frac jn)=\frac{2n-j+1}{(n+1)^2}$,
ha $n< j\le 2n$, \'es $P(\xi+\eta=x)=0$, ha $x$ nem $x=\frac jn$,
$0\le j\le 2n$ alak\'u sz\'am. Ez k\"ovetkezik a 31. feladat
eredm\'eny\'eb\H{o}l. Ugyanis, ha az ott tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat $\bar \xi$-vel \'es
$\bar\eta$-val jel\"olj\"uk, akkor
$\xi+\eta=\frac1n(\bar\xi+\bar\eta)$, \'es ez\'ert
$P(\xi+\eta=x)=P(\bar\xi+\bar\eta=nx)$ tetsz\H{o}leges
$x$ sz\'amra. Ez\'ert $P(\xi+\eta=x)$ csak $x=\frac jn$,
$0\le j\le 2n$, esetben lehet nem nulla, \'es ott az el\H{o}bb
megadott \'ert\'ekeket veszi fel.
\item{} A $\tilde\xi+\tilde\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=x$, ha $0\le x\le1$,
$f(x)=2-x$, ha $1\le x\le2$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>2$.
A k\'et eredm\'enyt \"osszehasonl\'{\i}tva l\'athatjuk,
hogy a $\xi+\eta$ \"osszeg eloszl\'as\'at megad\'o k\'eplet a
f\"uggetlen, egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
megad\'o k\'eplet disz\-kre\-ti\-z\'alt\-j\'a\-nak tekinthet\H{o}.
Vegy\"uk \'eszre, hogy $\limm_{n\to\infty}nP(\xi=\frac{j_n}n)=f(x)$,
ha $\limm_{n\to\infty}\frac{j_n}n=x$, \'es $f(x)$ jel\"oli
$\tilde\xi+\tilde\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\item{32.)} Legyen $\eta_1$ \'es $\eta_2$ k\'et f\"uggetlen norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1$ illetve
$m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$ \'es $\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel. L\'assuk be, hogy az $\eta_1+\eta_2$
\"osszeg $m_1+m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
$\sigma_1^2+\sigma^2_2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.

\medskip
A feladat megold\'asa el\H{o}tt \'erdemes megjegyezni, hogy
$$
\int_{-\infty}^\infty e^{-(x-A)^2/B}\,dx=\sqrt{B\pi}.
$$
Ezt l\'athatjuk p\'eld\'aul az $y=\sqrt 2\frac{x-A}{\sqrt B}$
helyettes\'{\i}t\'essel, \'es abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy a
$\varphi(y)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}$ f\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ez az \'eszrev\'etel az\'ert
hasznos, mert ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy amennyiben olyan
integr\'alt kell kisz\'amolni, amelyben az integrandus
exponens\'eben egy kvadratikus alak szerepel, akkor az
inegrandusban szerepl\H{o} kifejez\'est
teljes n\'egyzett\'e alak\'{\i}tva ki tudjuk sz\'amolni az
integr\'alt. Ez a gondolata a jelen feladat megold\'as\'anak is.

\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az $\eta_1+\eta_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$  \allowdisplaybreaks
\align
f(x)&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-(u-m_1)^2/2\sigma_1^2}
e^{-(x-u-m_2)^2/2\sigma_2^2}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-u^2
\(\frac1{2\sigma_1^2}+\frac1{2\sigma_2^2}\)+u\(\frac{m_1}{\sigma_1^2}
+\frac{x-m_2}{\sigma_2^2}\)\\
&\hskip5truecm -\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\(u-\frac{m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2}
{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\)^2 \\
&\hskip4,5truecm +\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\left\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}u^2 \right\}\,du\\
&\hskip4,5truecm \exp\left\{\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\} \\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\exp\left\{
\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\}\\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\exp\left\{
-\frac{(x-m_1-m_2)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\right\}.
\endalign
$$

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A feladatot lehet egyszer\H{u}s\'{\i}teni.
El\'eg p\'eld\'aul arra az esetre koncentr\'alni a figyelm\"unket,
amikor $m_1=0$ \'es $m_2=0$. Val\'oban, vezess\"uk be az
$\bar\eta_1=\eta_1-m_1$ \'es $\bar\eta_2=\eta_2-m_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor $\bar\eta_1$ \'es
$\bar\eta_2$ f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 0 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel,
$\sigma_1^2$ \'es $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel. M\'asr\'eszt
$\eta_1+\eta_2=\bar\eta_1+\bar\eta_2+m_1+m_2$, \'es ha
$\bar\eta_1+\bar\eta_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x)$,
akkor $\eta_1+\eta_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x-m_1-m_2)$.
Mi\'ert? Ez azt jelenti, hogy el\'eg $\bar\eta_1+\bar\eta_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et kisz\'amolni.


\item{33.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, \'es legyen $t$ val\'os
sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$ \allowdisplaybreaks
\align
E e^{t\xi}&=\int_{-\infty}^\infty
e^{tu}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du
=\int_{-\infty}^\infty
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{tu-u^2/2-t^2/2+t^2/2}\,du \\
&=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(t-u)^2/2}\,du=e^{t^2/2}.
\endalign
$$

\item{34.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 2 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
\'es 3 sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel. Sz\'amoljuk ki minden
val\'os $t$ sz\'amra az $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.
\item{} {\it Megold\'as.}\/ A feladatot megoldhatjuk az el\H{o}z\H{o}
feladat megold\'as\'ahoz hasonl\'oan. A $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et is fel tudjuk \'{\i}rni, \'es
ezut\'an az el\H{o}z\H{o} fel\-adat\-hoz hasonl\'o integr\'al
seg\'{\i}ts\'eg\'evel fel tudjuk \'{\i}rni a keresett v\'arhat\'o
\'ert\'eket, \'es azt ehhez a feladathoz hasonl\'oan ki
tudjuk sz\'amolni. De egyszer\H{u}bben is c\'elhoz \'erhet\"unk. A
feladatot k\"ozvetlen\"ul visszavezethetj\"uk erre a feladatra.
Fel\'{\i}rhatjuk ugyanis a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot $\xi=\sqrt3\eta+2$ alakban, ahol $\eta$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Innen k\"ovetkezik, hogy $Ee^{t\xi}=Ee^{t(\sqrt3\eta+2)}
=e^{2t}Ee^{t\sqrt3\eta}=e^{2t}Ee^{(\sqrt3t)\eta}=e^{2t+3t^2/2}$
az el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an.

\item{35.)} A 2000. \'evben az Egyes\"ult \'Allamok Florida
\'allam\'aban rendk\'{\i}v\"ul szoros eredm\'eny sz\"uletett az
eln\"okv\'alaszt\'ason.
5~000~000 v\'alaszt\'o v\'alaszt\'o v\'alasztott k\'et
p\'art, a republik\'anus \'es de\-mok\-rata
p\'art jel\"oltjei k\"oz\"ott. A k\'et jel\"olt \'altal szerzett
szavazatok sz\'ama (egy adott id\H{o}\-pont\-beli felm\'er\'es
szerint) mind\"ossze 300 volt. Tegy\"uk fel, hogy a v\'alaszt\'ok
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
v\'a\-lasz\-tot\-t\'ak valamelyik p\'art jel\"oltj\'et. E feltev\'es
teljes\"ul\'ese est\'en mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
k\'et jel\"olt \'altal \"ossze\-gy\"uj\-t\"ott szavazatok
k\"ul\"onbs\'ege nem haladja meg a h\'aromsz\'azat.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 5~000~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik v\'alaszt\'o a demokrata, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
v\'alaszt\'o a republik\'anus jel\"oltre szavaz. Ekkor
$S=\summ_{j=1}^{5~000~000}\xi_j$ a demokrata, \'es $5~000~000-S$ a
republik\'anus jel\"oltre leadott szavazatok sz\'ama, \'es
minket a $P(|2S-5~000~000|\le300)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
nagys\'aga \'erdekel. Vegy\"uk \'eszre, hogy a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
$E\xi_j=\frac12$, $\Var\xi_j=\frac14$,  ez\'ert $ES=2~500~000$,
$\Var S=\frac14\cdot5~000~000$, \'es a $P\(\left|\frac
{S-2~500~000}{\sqrt{\frac14\cdot5~000~000}}\right|<x\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara alkalmazhatjuk a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt. Ennek alap\-j\'an
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(|2S-5~000~000|\le300)&=P\(\left|\frac{S-ES}{\sqrt{\Var
S}}\right|\le\frac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5~000~000}}\)\\
&\sim \Phi\(\frac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)-
\Phi\(-\frac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)\\
&=2\Phi\(\frac{6\sqrt5}{100}\)-1
\sim2\Phi(0.124)-1\sim0.1.
\endalign
$$

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Val\'oj\'aban a feladatban  t\'argyalt
modell  n\'emileg irre\'alis. \'Altal\'aban k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H{o}
k\"orzetek vannak, ahol a jel\"oltek n\'epszer\H{u}s\'ege
elt\'er\H{o}. Egy jobb, a va\-l\'o\-s\'a\-got jobban
k\"ovel\'{\i}t\H{o} modellben p\'eld\'aul azt t\'etelezhatj\"uk fel,
hogy k\"ul\"onb\"oz\H{o} k\"orzetek vannak, az egyes k\"orzetekben az
egyes v\'elem\'enyek f\"uggetlenek, de az, hogy milyen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel v\'alasztja egy v\'alaszt\'o
valamelyik jel\"oltet att\'ol is f\"ugg, hogy mely k\"orzetben lakik.
Ez a modell is vizsg\'alhat\'o a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, de itt m\'ar a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'altal\'anosabb, f\"uggetlen, de nem
felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek hat\'areloszl\'as\'at le\'{\i}r\'o
alakj\'ara van sz\"uks\'eg.

\item{36.)} Tekints\"unk egy szab\'alyos p\'enzdarab 10~000
egym\'as ut\'ani (f\"uggetlen) feldob\'as\'ab\'ol sz\'ar\-ma\-z\'o
fej-\'{\i}r\'as sorozatot. Adjunk becsl\'est a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a fej-dob\'asok sz\'am\'anak
elt\'er\'ese a v\'art 5000 sz\'amt\'ol legal\'abb 100-zal, illetve
legal\'abb 200-zal elt\'er! Milyen becsl\'est ad ezekre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel?
\item{} {\it Megold\'as:}\/  Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$\le j\le 10~000$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyekre
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a
$j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_j$, $1\le j\le
10~000$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$E\xi_j=\frac12$, $\text{Var}\, \xi_j=\frac14$, \'es a
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\)$ \'es
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-re kell becsl\'est adnunk. A
Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg az els\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre
a
$$
P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\)
\le \frac {10000\cdot\Var\xi_1}{100^2}=\frac14,
$$
 a m\'asodik val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre pedig a
$$
P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\)
\le \frac {10000\cdot\Var\xi_1}{200^2}=\frac1{16}
$$
els\H{o} becsl\'est adja.

\item{} A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint
$P\(\frac{\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)}{\sqrt{10000\cdot\frac
14}}>u\) \sim 1-\Phi(u)$. Innen kapjuk, hogy az els\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz az
$u=\pm\frac{100}{\frac12\cdot100}=\pm 2$ \'ert\'ekeket
kell tekinteni, \'es a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $(1-\Phi(2))+\Phi(-2)
=2(1-\Phi(2))\sim2(1-0.97720)=0.0456$. A m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg hasonl\'oan k\"or\"ulbel\"ul
$2(1-\Phi(4))\sim0$, (az els\H{o} 4 tizedesjegy 0). (A Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg 0.25 illetve 0.0625 fels\H{o} becsl\'est adta
ezekre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre.)

\medskip
\item{37.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 1200 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"ossze\-ad\-juk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel \'es egy norm\'alis
eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra, hogy ez az
\"osszeg 2280 \'es 2500 k\"oz\'e esik.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 1200$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Ekkor a $P\(2280\le
\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
j\'ol megbecs\"uln\"unk. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$E\xi_j=\frac16(2+4+6)=2$,
$\Var\xi_j=\frac16(4+16+36)-4=\frac{16}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P\(2280\le\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)&=
P\(\frac{-120}{\sqrt{1200\frac{16}3}}
\le\frac{\summ_{j=1}^{1200}\xi_j-\summ_{j=1}^{1200}E\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{1200}\Var\xi_j}}
\le\frac{100}{\sqrt{1200\frac{16}3}}\) \\
&\sim\Phi(1.25)-\Phi(-1.5)=0.8944+0.9322-1=0.8266.
\endalign
$$

\item{38.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at \'es egy szab\'alyos \'erm\'et
feldobunk 3300 alkalommal egy\-m\'as\-t\'ol f\"uggetlen\"ul. (Az \'erme
\'es kockadob\'asok eredm\'enyei is f\"uggetlenek egy\-m\'as\-t\'ol.)
Ha a kockadob\'as eredm\'enye p\'aros \'es az \'erme a fej oldalra esett,
akkor annyi
forintot nyer\"unk, amennyi a kockadob\'as eredm\'enye. Ha az \'erme
az \'{\i}r\'as oldalra esett vagy a kockadob\'as eredm\'enye p\'aratlan
sz\'am, akkor nem nyer\"unk, \'es nem is veszt\"unk semmit. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az \"ossznyerem\'eny\"unk
3190 \'es 3520 forint k\"oz\'e esik? Adjunk erre j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, \'es
$\eta_j$ $1\le j\le 3300$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=2$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a
$j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik kockadob\'as
eredm\'enye 6, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 1, 3
vagy 5. Legyen $\eta_j=1$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as eredm\'enye fej,
\'es $\eta_j=0$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as \'{\i}r\'as. Legyen
$\zeta_j=\xi_j\eta_j$. Ekkor a $j$-ik dob\'asn\'al a nyerem\'eny\"unk
$\zeta_j$ lesz, $1\le j\le 3300$,  \'es a $P\(3190\le
\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
j\'ol megbecs\"uln\"unk. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki a
f\"uggetlen $\zeta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$E\zeta_j=E\xi_j\eta_j=E\xi_jE\eta_j=\frac16(2+4+6)\cdot\frac12=1$,
$E\zeta_j^2=E\xi_j^2E\eta_j^2=\frac16(4+16+36)\cdot\frac12
=\frac{14}3$, $\Var\zeta_j^2=E\zeta_j^2-(E\zeta_j)^2=\frac{11}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P\(3190\le\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)&=
P\(\frac{-110}{\sqrt{3300\frac{11}3}}
\le\frac{\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j-\summ_{j=1}^{3300}E\zeta_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{3300}\Var\xi_j}}
\le\frac{220}{\sqrt{3300\frac{11}3}}\) \\
&\sim\Phi(2)-\Phi(-1)=0.9772+0.8413-1=0.9285.
\endalign
$$
\item{39.)} Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a
$[0,2]$ intervallumra egyenletes eloszl\'assal, (azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke
$x$-n\'el kisebb $\frac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$,
eggyel egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.)
\H{O}rizz\"uk meg azokat a ledobott pontokat, amelyek \'ert\'eke
1-n\'el kisebb, \'es hagyjuk el azokat, amelyek \'ert\'eke nagyobb,
mint egy. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
meg\H{o}rz\"ott pontok \'ert\'ekeinek az \"osszege 5900 \'es 6075
k\"oz\'e esik? Adjunk erre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 24~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=x$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke $x$, \'es
$0\le x\le1$, \'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke
az $(1,2]$ intervallumba esik. Ekkor a meg\H{o}rz\"ott pontok
\"osszege $S=\summ_{j=1}^{24~000}\xi_j$, tov\'abb\'a a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak.  Ez\'ert a centr\'alis hat\'arelosz\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est tudunk adni a minket
\'erdekl\H{o} $P(5900<S<6075)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre. Ennek
\'erdek\'eben ki kell sz\'amolnunk  a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} A $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'enek a kisz\'amol\'asa
\'erdek\'eben vezess\"uk be az $\eta_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, amelyik megegyezik az els\H{o} ledobott pont
\'ert\'ek\'evel, \'es a k\"ovetkez\H{o} $h(x)$ f\"uggv\'enyt a
$[0,2]$ intervallumon: Le\-gyen $h(x)=x$, ha $0\le x\le1$, \'es
$h(x)=0$, ha $1\le x\le2$. Ekkor $\xi_1=h(\eta_1)$, \'es $\eta_1$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha
$0\le x\le2$, $f(x)=0$, ha $x<0$, \'es $x>2$. Innen
$E\xi_1=Eh(\xi_1)=\int h(x)\,dx=\int_0^1x\frac12\,dx=\frac14$,
$E\xi_1^2=Eh(\eta_1)^2=\int_0^1 x^2\frac12\,dx=\frac16$, \'es
$\Var\xi_1=E\xi_1^2-(E\xi_1)^2=\frac16-\frac1{16}=\frac5{48}$.
Ez\'ert $ES=6000$, $\Var S=2500$. Innen
$$
\align
P(5900<S<6075)&=P\(-2<\frac {S-ES}{\sqrt{\Var S}}<1.5\)\\
&\sim\Phi(1.5)-\Phi(-2)=\Phi(1.5)+\Phi(2)-1.
\endalign
$$

\item{} {\it A feladat m\'odos\'{\i}tott megold\'asa:}\/ A $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et ki tudjuk sz\'amolni
k\"ozvetlen\"ul, az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
bevezet\'ese n\'elk\"ul is, ha tudjuk, hogyan kell kisz\'amolni egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
kifejez\H{o} integr\'alt az \'altal\'anos esetben. (Teh\'at ki kell
tudnunk sz\'amolni egy eloszl\'as \'altal meghat\'arozott
Lebesgue--Stieltjes integr\'alt akkor is, ha az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-nek nincs
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es nem is diszkr\'et eloszl\'as
jelenik meg.) A k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} \'esz\-re\-v\'e\-telt
\'erdemes tenni. Ha adva van k\'et $\mu_1$ \'es $\mu_2$ m\'ert\'ek
\'es egy $f(x)$ f\"uggv\'eny a sz\'am\-egye\-ne\-sen,
akkor $f(x)(\mu_1(\,dx)+\mu_2(\,dx))=
f(x)\mu_1(\,dx)+ \int f(x)\mu_2(\,dx)$. (Val\'oj\'aban ez az
azonoss\'ag tetsz\H{o}leges t\'eren \'ertelmezett f\"uggv\'enyre
\'es m\'ert\'ekp\'arra is \'erv\'enyes.)

\item{} Tekints\"uk a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\mu_F$ eloszl\'as\'as\'anak a k\"ovetkez\H{o} term\'eszetes
felbont\'as\'at: $\mu_F=\mu_1+\mu_2$, ahol $\mu_1$ az a m\'ert\'ek,
amelyiknek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\frac12$ a $[0,1]$
intervallumban, \'es nulla egy\'ebk\'ent, azaz
$\mu_1(A)=\int_{A\cap[0,1]}\frac12\,dx$, a $\mu_2$ m\'ert\'ek pedig
a 0 pontba van koncentr\'alva, \'es a $0$ pont $\mu_2$ m\'ert\'eke
$\frac12$, azaz $\mu_2(A)=\frac12$, ha $0\in A$, \'es $\mu_2(A)=0$,
ha $0\notin A$. Ekkor
$E\xi=\int x\mu_1(\,dx)+\int x\mu_2(\,dx)
=\int_0^1\frac12 x\,dx=\frac14+0=\frac14$, \'es
$E\xi^2=\int x^2\mu_1(\,dx)+\int x^2\mu_2(\,dx)
=\int_0^1\frac12 x^2\,dx+0=\frac16+0=\frac16$,
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\frac16-\frac1{16}=\frac5{48}$.

\item{40.)} Egy p\'enzdarabr\'ol ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy igaz-e
az a hipot\'ezis, amely szerint ez az \'erme legal\'abb $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es legfeljebb $\frac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 30~000 alkalommal, \'es a
k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'esi szab\'alyt hozzuk. V\'alasztunk egy $k$
sz\'amot, \'es akkor fogadjuk el a hipot\'ezist helyesnek, ha
legal\'abb $k$ fejdob\'as t\"ort\'ent. Legal\'abb mekkor\'anak kell
v\'alasztanunk ezt a $k$ sz\'amot, ha azt akarjuk, hogy egy a
hipot\'ezist teljes\'{\i}t\H{o} p\'enzdarab eset\'en legal\'abb 0.9
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel d\"onts\"unk \'ugy, hogy a
hipot\'ezis teljes\"ul?

\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as, $1\le j\le30\,000$,
$S=S_{30000}=\summ_{j=1}^{30\,000}\xi_j$. Ha a fejdob\'as
eredm\'eny\'enek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pontosan
$\frac34$, akkor $E\xi_j=\frac34$, $E\xi_j^2=\frac34$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-\(E\xi_j\)^2=\frac3{16}$,
$ES=30\,000E\xi_j=22\,500$, $\Var S=30\,000\Var\xi_j=5625=75^2$.
Innen \'es a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(S>k)&=P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}>\frac{k-22\,500}{75}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le \frac{k-22\,500}{75}\)\\
&\sim 1-\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\).
\endalign
$$
V\'alasszuk a $k$ sz\'amot \'ugy, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul 0.9 legyen. Ekkor a
$\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\)=0.1$ vagy ami ezzel ekvivalens,
a $\Phi\(\frac{22\,500-k}{75}\)=0.9$ egyenletet kell
kiel\'eg\'{\i}ten\"unk. A norm\'alis eloszl\'as-t\'abl\'azat alapj\'an
$\frac{22\,500-k}{75}\sim1.28$, ami azt jelenti, hogy
$k=22\,500-75\cdot 1.28$ \'es $p=\frac34$ eset\'en annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint
$k=22\,500-75\cdot 1.28=22\,212$ \'es $p=\frac34$ eset\'eben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb ennyi fejdob\'as
t\"ort\'enik k\"or\"ulbel\"ul 0.9. Ha $p\ge\frac34$, akkor ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagyobb. Ez\'ert a $k=22\,212$ helyes
v\'alaszt\'as.

\item{41a.)} Sz\'amoljuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u} $\xi$
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
E\xi=\int_0^\infty u\lambda e^{-\lambda u}\,du=
\frac1\lambda\int_0^\infty u e^{-u}\,du=
\frac1\lambda\(\[-u e^{-u}\]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-u}\,du\)
=\frac1\lambda,
$$
$$
E\xi^2=\int_0^\infty u^2\lambda e^{-\lambda u}\,du
=\frac1{\lambda^2}\(\[-u^2e^{-u}\]_0^\infty
+\int_0^\infty 2u e^{-u}\,du\)=\frac2{\lambda^2}.
$$
Ez\'ert $\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\frac2{\lambda^2}
-\frac1{\lambda^2}=\frac1{\lambda^2}$.
\item{41.)} Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, amelyek mindegyike
egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik,
\'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. (A l\'amp\'ak \'elettartam\'anak
exponenci\'alis eloszl\'asa term\'eszetes felt\'etelez\'es.) Egy termet
be\-vi\-l\'a\-g\'{\i}\-tunk ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd
amikor az ki\'egett \'uj l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Adjunk j\'o
becsl\'est arra, hogy a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama legal\'abb 1150
\'ora.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa
\'elettartam\'at, $1\le j\le100$. Ekkor a
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell
j\'o becsl\'est adnunk, ahol az \"osszegben f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szerepelnek
$\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. Vezess\"uk be az
$\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est.

\item{} Kisz\'amoltuk a 41a.) feladatban, hogy jelen esetben
$E\eta=mE\xi_1=\frac m\lambda=1000$, $\Var \eta=\frac
m{\lambda^2}=10 000$ ($m=100$ \'es $\lambda=\frac1{10}$
v\'alaszt\'assal). Ez\'ert a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
sze\-rint $\frac{\eta-E\eta}{\sqrt{ \Var
\eta}}=\frac{\eta-1000}{100}$ j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'essel standard norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, \'es
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150) =P\(\frac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var
\eta}}>1.5\)\sim1-\Phi(1.5)$.

\item{42.)} Legyen $\xi$ geometriai eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $p$ param\'eterrel, $0<p\le1$,
azaz legyen $P(\xi=k+1)=p^k(1-p)$, $k=0,1,\dots$. Sz\'amoljuk ki $\xi$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
E\xi&=\summ_{k=0}^\infty (k+1)(1-p)^kp=p\summ_{k=1}^\infty k(1-p)^{k-1},\\
E\xi^2&=\sum_{k=0}^\infty (k+1)^2(1-p)^kp=p\summ_{k=1}^\infty k^2(1-p)^{k-1},
\endalign
$$
\'es $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$. Ezen v\'egtelen \"osszegek
ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak \'erdek\'eben deriv\'aljuk
k\'etszer a $\summ_{k=0}^\infty x^k=\frac1{1-x}$, $|x|<1$,
azonoss\'agot. Azt kapjuk, hogy
$$
\align
\frac1{(1-x)^2}&
=\sum_{k=1}^\infty k x^{k-1},  \\
\frac2{(1-x)^3}&=\sum_{k=2}^\infty k(k-1) x^{k-2}.
\endalign
$$
Innen $x=1-p$ helyettes\'{\i}t\'essel
$\frac1{p^2}=\summ_{k=1}^\infty k(1-p)^{k-1}$,
$E\xi=p\summ_{k=1}^\infty k(1-p)^{k-1}=\frac p{p^2}=\frac1p$,
$p\summ_{k=1}^\infty k^2(1-p)^{k-1}=
p(1-p)\summ_{k=2}^\infty k(k-1)(1-p)^{k-2}+
p\summ_{k=1}^\infty k(1-p)^{k-1}=\frac{2(1-p)}{p^2}+\frac1{p}$,
teh\'at $E\xi^2=\frac{2(1-p)}{p^2}+\frac1p$,
$\Var\xi=\frac{2(1-p)}{p^2}+\frac1p-\frac1{p^2}
=\frac1{p^2}-\frac1p=\frac{1-p}{p^2}$.


\item{43.)} Vegy\"unk egy olyan p\'enzdarabot, amely $\frac23$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a fej \'es $\frac13$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az \'{\i}r\'as oldalra. Ezt a
p\'enzdarabot annyiszor  dobjuk fel, ameddig megjelenik  1200 fej
dob\'as. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az elv\'egzett
dob\'asok sz\'ama 1680 1830 k\"oz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az elv\'egzett dob\'asok sz\'ama egy
$\eta$ negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
$n=1200$ \'es $p=\frac23$ param\'eterekkel, azaz
$P(\eta=k+n)=\binom{n+k-1}{n-1}(1-p)^kp^n$, $p=\frac23$, \'es
$n=1200$ param\'eterrel. Egy ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak ki lehet sz\'amolni a pontos eloszl\'as\'at, azaz
azt, hogy milyen \'ert\'eket milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
vesz fel. Elvileg, ez lehet\H{o}s\'eget ad a k\'{\i}v\'ant
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara
egy bonyolult \"osszeg kisz\'am\'{\i}t\'as\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Enn\'el hasz\-no\-sabb becsl\'est tudunk
kapni a k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amely a
k\'{\i}v\'ant va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-get j\'o pontoss\'aggal
kisz\'am\'{\i}tja a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\item{} Jel\"olje $\xi_j$, $2\le j\le 1200$, a $j-1$-ik \'es $j$-ik
fejdob\'as k\"oz\"otti dob\'asok sz\'am\'at (a $j$-ik fejdob\'ast
belesz\'am\'{\i}tjuk a $j-1$-iket viszont nem  sz\'am\'{\i}tjuk
bele e dob\'asok k\"oz\'e), \'es legyen $\xi_1$ az els\H{o}
fejdob\'asig (ezt is belesz\'am\'{\i}tva) elv\'egzett dob\'asok
sz\'ama. Ekkor a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, geometriai eloszl\'as\'uak $p=\frac23$ param\'eterel,
\'es minket a $P(1680<\xi_1+\cdots+\xi_{1200}<1830)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. A 41.~fel\-adat\-ban
kisz\'amoltuk  geometriai eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
Ezt felhaszn\'alva kapjuk,  hogy $E\xi_j=\frac1{p}=\frac32$,
$\Var \xi_j=\frac{1-p}{p^2}=\frac34$. Ez\'ert a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{1200}$
jel\"ol\'essel minket a
$$
P\(-4<\frac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt{1200\Var\xi_1}}<1\)
$$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg \'erdekel. Erre azt kapjuk, hogy
$$
P\(-4<\frac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt {1200\Var\xi_1}}<1\)
\sim\Phi\(1\)+\Phi(4)-1\sim\Phi(1).
$$

\item{44.)} Egy term\'ek megv\'as\'arl\'asakor kapunk egy kupont.
\"Osszesen $n$ k\"ul\"onb\"oz\H{o} kupon l\'etezik, \'es az egyes
v\'as\'arl\'asok sor\'an egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
$\frac1n$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel kapjuk meg
valamelyik kupont. Egym\'as  ut\'an sok alkalommal v\'as\'aroljuk
meg ezt a ter\-m\'e\-ket. Jel\"olje
$S_1=S_1^{(n)}$ azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hogy
hanyadik v\'as\'arl\'asn\'al gy\"ujt\"ott\"uk \"ossze a kuponok
fel\'et, azaz $\frac n2$ k\"ul\"onb\"oz\H{o} kupont, (legyen $n$
p\'aros sz\'am), \'es $S_2=S_2^{(n)}$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hogy hanyadik
v\'as\'arl\'asn\'al gy\"ujt\"ott\"uk \"ossze az \"osszes kupont.
Sz\'amoljuk ki $S_1=S_1^{(n)}$ \'es $S_2=S_2^{(n)}$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $U_1$ azt, hogy hanyadik
v\'as\'arl\'asn\'al kaptuk az els\H{o}, $U_2$ azt, hogy hanyadik
v\'as\'arl\'asn\'al kaptuk a m\'asodik, \'es \'{\i}gy tov\'abb
$U_k$ azt, hogy hanyadik v\'as\'arl\'asn\'al kaptuk a $k$-ik kupont,
$1\le k\le n$. Ekkor a $\xi_k=U_k-U_{k-1}$, $1\le k\le n$,
(az $U_0=0$ jel\"ol\'essel) f\"uggetlen geometriai eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es $\xi_k$
eloszl\'as\'anak a param\'etere $p=\frac {n-k+1}n$.
Tov\'abb\'a $S_1^{(n)}=\summ_{k=1}^{n/2}\xi_k$,
$S_2^{(n)}=\summ_{k=1}^n\xi_k$. Ez\'ert a 42. feladat
eredm\'enye alapj\'an  $ES_1^{(n)}=\summ_{k=1}^{n/2}\frac n{n-k+1}
=n\summ_{k=n/2+1}^n\frac1k$,
 $ES_2^{(n)}=\summ_{k=1}^{n}\frac n{n-k+1}=n\summ_{k=1}^n\frac1k$,
 $\Var S_1^{(n)}=\summ_{k=1}^{n/2}\frac{\frac{k-1}n}{\frac{(n-k+1)^2}{n^2}}
=n\summ_{k=1}^{n/2}\frac{k-1}{(n-k+1)^2}$, \'es
$$
\Var S_2^{(n)}=\summ_{k=1}^n\frac{\frac{k-1}n}{\frac{(n-k+1)^2}{n^2}}
=n\summ_{k=1}^n\frac{k-1}{(n-k+1)^2}.
$$


\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy
$ES_1^{(n)}\sim n\int_{n/2}^n\frac1x\,dx=n\log 2$, m\'{\i}g
$ES_2^{(n)}\sim n\log n$. Hasonl\'oan,
$\Var S_1^{(n)}\sim n\int_0^{n/2}\frac x{(n-x)^2}\,dx
=n\int_0^{1/2}\frac t{(1-t)^2}\,dt=\const n$. M\'asr\'eszt
$\Var S_2^{(n)}$
nagys\'agrendje $n^2$. Val\'oban, tekintve a $\Var S_2^{(n)}$-et
defini\'al\'o \"osszegnek a $k=n$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-hez tartoz\'o
tagj\'at kapjuk, hogy $\Var S^{(n)}_2\ge n(n-1)$. Tov\'abb\'a
$\Var S_2^{(n)}= n\summ_{k=1}^n\frac{k-1}{(n-k+1)^2}
\le n\summ_{k=1}^n\frac n{(n-k+1)^2}
=n^2\summ_{k=1}^n\frac1{k^2}\le \const n^2$.

\item{45.)} Hogyan tudunk a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel egy olyan $[A_n,B_n]$ intervallumot
defini\'alni, amelyre nagy $n$ sz\'amra
$P(S_1^{(n)}\in [A_n,B_n])\sim0.9$ a 44.~fel\-adat\-ban defini\'alt
$S^{(n)}_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval? Mutassuk
meg, hogy az $S_2^{(n)}$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra
nem alkalmazhat\'o a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ L\'attuk a 44. feladat megold\'as\'aban,
\'es az azt k\"ovet\H{o} megjegyz\'esben, hogy $S_1^{(n)}$
fel\'{\i}rhat\'o $\frac n2$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o  \"osszegek\'ent, \'es a v\'arhat\'o \'ert\'eke
$C_n=n\summ_{k=n/2+1}^n\frac1k$, sz\'or\'asn\'egyzete pedig
$$
\align
\Var S_1^{(n)}&=n\summ_{k=1}^{n/2}\frac{k-1}{(n-k+1)^2}
=n\summ_{k=1}^{n/2}\frac{\frac{k-1}n}{(1-\frac{k+1}n)^2}n
\sim n\int_0^{1/2}\frac t{(1-t)^2}\,dt\\
&= n\(\[\frac1{1-t}\]_0^{1/2}+\[\log(1-t)\]_0^{1/2}\)=(1-\log2)n.
\endalign
$$
Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
P\(-t\le \frac{S_1^{(n)}-C_n}{\sqrt{n(1-\log 2)}}\le t\)\sim 2\Phi(t)-1.
$$
V\'alasszuk $t$-t, mint azt a sz\'amot, amelyre $\Phi(t)=0.95$.
A norm\'alis eloszl\'as t\'abl\'azata alapj\'an $t\sim1.645$.
Legyen $A_n=C_n-1.645 \sqrt{(1-\log 2) n}$,
$B_n=C_n+1.645\sqrt{ (1-\log 2)n}$, ahol
$C_n=n\summ_{k=n/2+1}^n\frac1k$.
\item{} Meg kell m\'eg indokolni, hogy a centr\'alis t\'etel
alkalmazhat\'o ebben az esetben. A sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelre van sz\"uks\'eg\"unk a
$\xi_k^{(n)}$, $n=2,4,6,\dots$, $1\le k\le n$, sz\'eriasorozatra.
Be lehet l\'atni az el\H{o}ad\'ason f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere
t\'argyalt \'ervel\'essel, hogy a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel teljes\"ul, ha az \"osszeadand\'ok
valamely 2-n\'el nagyobb (p\'eld\'aul negyedik) momentumai nem
t\'ul nagyok. A 42. feladat sz\'amol\'asa alapj\'an k\"onnyen
ellen\H{o}rizhet\H{o}, hogy $E \xi_k^4\le C_1$, ha
$1\le k\le\frac n2$ egy $C_1$ konstanssal, amely nem f\"ugg
$n$-t\H{o}l. M\'asr\'eszt $\Var \xi_k\ge C_2$ egy $n$-t\H{o}l
f\"uggetlen $C_2$ konstanssal, ha $\frac n4\le k\le\frac n2$.
Ezek a rel\'aci\'ok  elegend\H{o}ek a centr\'alis
hat\'arelosz\'ast\'etel teljes\"ul\'es\'ehez.
\item{} A 44. feladat ut\'ani megjegyz\'esben l\'attuk, hogy
$\Var \xi_n\ge \const n^2$, \'es $\Var S_2^{(n)}\le \const n^2$.
Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelhez sz\"uks\'eges egyenletes kicsis\'eg
felt\'etele nem teljes\"ul.

\item{46.)} Egy nagyv\'arosban n\'epszavaz\'ast tartanak egy
k\'erd\'esr\H{o}l. A v\'aros egy foly\'o k\'et oldal\'an fekszik,
\'es a foly\'o k\'et oldal\'an lak\'okn\'al m\'as mind a k\'erd\'es
t\'amogatotts\'aga, mind a szavaz\'asi hajland\'os\'ag. A foly\'o
baloldal\'an 85000 szavaz\'opolg\'ar lakik, az ottlak\'ok $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\'amogatj\'ak a javaslatot, \'es
$\frac45$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel mennek el szavazni. A foly\'o
jobbpartj\'an 50400 szavaz\'opolg\'ar lakik, az ottlak\'ok $\frac12$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel t\'amgatj\'ak a javaslatot,
\'es $\frac23$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel mennek el szavazni. Az
egyes lakosok v\'elem\'enye \'es szavaz\'asi hajland\'os\'aga
f\"uggetlen egym\'ast\'ol. Mi annak a (k\"ozel\'{\i}t\H{o})
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a leadott igen szavazatok sz\'ama
nagyobb, mint a leadott nem szavazatok k\'etszerese plusz 1080?
\item{} {\it Megold\'as.}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le85000$ \'es $\eta_j$, $1\le j\le 50400$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altozokat. $\xi_j=1$, ha a foly\'o
$j$-ik baloldali partj\'an lak\'o szavaz\'opolg\'ar igennel szavaz,
$\xi_j=-2$, ha nemmel szavaz, \'es $\xi_j=0$, ha nem megy el
szavazni, $1\le j\le85000$. Hasonl\'oan, $\eta_j=1$, ha a foly\'o
$j$-ik jobboldali partj\'an lak\'o szavaz\'opolg\'ar igennel szavaz,
$\eta_j=-2$, ha nemmel szavaz, \'es $\eta_j=0$, ha nem megy el
szavazni, $1\le j\le50400$. Legyen
$S=\summ_{j=1}^{85000}\xi_j+\summ_{j=1}^{50400}\eta_j$. Vegy\"uk
\'eszre, hogy minket a  $P(S>1080)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
nagys\'aga \'erdekel. (A $\xi_j$ \'es $\eta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat hasonl\'oan defini\'altuk.
Az\'ert tett\"unk k\"oz\"ott\"uk k\"ul\"onbs\'eget, mert m\'as az
eloszl\'asuk.) Erre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre a f\"uggetlen, de
nem felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere vonatkoz\'o
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudunk
j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est adni. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki az
$S$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

\item{} Mivel $P(\xi_j=1)=\frac35$, $P(\xi_j=-1)=\frac15$,
$P(\xi_j=0)=\frac15$, ez\'ert $E\xi_j=\frac15$, $E\xi_j^2=\frac75$,
$\Var\xi_j=\frac{34}{25}$. Hasonl\'oan, $P(\eta_j=1)=\frac13$,
$P(\eta_j=-1)=\frac13$, $P(\eta_j=0)=\frac13$, ez\'ert
$E\eta_j=-\frac13$, $E\eta_j^2=\frac53$, $\Var\xi_j=\frac{14}{9}$.
Ez\'ert $ES=85000\times\frac15-50400\times\frac13=200$,
$\Var S=85000\times\frac{34}{25}+50400\times\frac{14}9
=(20)^2(17^2+14^2)\sim 440^2$.

\item{} Innen  $P(S>1080)
=P\(\frac{S-ES}{\Var S}>\frac{1080-ES}{\Var S}\)\sim
=P\(\frac{S-ES}{\Var S}>\frac{880}{440}\)\sim1-\Phi(2)\sim0.0228$.

\medskip
\item{47.)} Egy n\'epszavaz\'asi k\'erd\'est a v\'alaszt\'ason akkor
fogadnak el, ha egyr\'eszt t\"obben szavaztak r\'a igennel, mint
nemmel, m\'asr\'eszt az igen szavazatok sz\'ama meghaladja az
\"osszes v\'alaszt\'opolg\'arok sz\'am\'anak a $20\%$-\'at. Legyen
mondjuk, $n=5000000$ v\'a\-lasz\-t\'o\-pol\-g\'ar, mindenki
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $40\%$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
megy el szavazni, \'es $50\%$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel szavaz
igennel. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a
n\'ep\-sza\-va\-z\'as eredm\'enyek\'ent elfogadj\'ak a
n\'epszavaz\'asi k\'erd\'est?
\item{} {\it Megold\'as:} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
(k\'etv\'altoz\'os) vektor\'ert\'ek\H{u} $(\xi_j,\eta_j)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
szavaz\'o igennel szavaz, $\xi_j=-1$, ha nemmel szavaz, \'es
$\xi_j=0$, ha nem megy el szavazni. $\eta_j=1$, ha a $j$-ik szavaz\'o
igennel szavaz, $\eta_j=0$ egy\'ebk\'ent, teh\'at ha nemmel szavaz
vagy ha nem megy el szavazni. Legyen $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$,
$T_n=\summ_{j=1}^n\eta_j$. Ekkor minket annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel, hogy mind az $S_n>0$ mind a
$T_n>0.2n$ esem\'eny bek\"ovetkezik. Erre a k\'erd\'esre a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudunk v\'alaszolni, ha azt a
$(\xi_j,\eta_j)$ v\'eletlen vektorok \"osszeg\'ere alkalmazzuk.
Ekkor $E\xi_j=0$, $E\eta_j=0.2$, $\Var\xi_j=E\xi_j^2=0.4$,
$\Var\eta_j=E\eta_j^2-(E\eta_j)^2=0.2-0.2^2=0.16$,
$\Cov(\xi_j,\eta_j)=E\xi_j\eta_j-E\xi_jE\eta_j
=E\xi_j\eta_j=P(\xi_j=1,\eta_j=1)=0.2$. (A sz\'amol\'as utols\'o
l\'e\-p\'e\-s\'e\-ben kihaszn\'altuk, hogy $\eta_j$ k\'et \'ert\'eket
vesz fel. Tov\'abb\'a, ha $\eta_j=0$, akkor $\xi_j\eta_j=0$, \'es ha
$\eta_j=1$, akkor a $\xi_j$ \'es $\eta_j$ definici\'oja szerint $\xi_j=1$.)
Innen $\limm_{n\to\infty}P(S_n>0,T_n>0.2n)=\limm_{n\to\infty}
P\(\frac1{\sqrt n}S_n>0,\frac1{\sqrt n}(T_n-ET_n)>0\)$,
\'es ez azon $(X,Y)$ norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen
vektor \'altal meghat\'arozott $P(X>0,Y>0$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eghez tart, amely\-re $EX=EY=0$,
kovariancia m\'atrix\'at pedig a $\Var X=0.4$, $\Var Y=0.16$,
$\Cov(X,Y)=0.2$ k\'epletek hat\'arozz\'ak meg.

\item{} {\it Megjegyz\'es:} Az ebben a feladatban kapott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg valamivel nagyobb, mint $0.25$, azaz az
az \'ert\'ek, ami akkor jelenne meg, ha a hat\'areloszl\'asban
megjelen\H{o} norm\'alis elosz\'as\'u v\'eletlen vektor $X$ \'es
$Y$ koordin\'at\'ai korrel\'alatlanok, ez\'ert f\"ug\-get\-le\-nek
lenn\'enek. $0.25$ annak az (aszimptotikus)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb a sza\-va\-za\-tok
$40\%$-\'at leadt\'ak, \'es az igen szavazatok voltak
t\"obbs\'egben. De pozit\'{\i}v
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az is
bek\"ovetkezhet, hogy az \"ossz-szavazatok sz\'ama valamivel
kevesebb, mint a szavaz\'asra jogosultak sz\'am\'anak $40\%$-a, de
ezen bel\"ul a t\"obbs\'egben lev\H{o} igennel szavaz\'ok sz\'ama
meghaladja a szavaz\'asra jogosultak sz\'am\'anak a $20\%$-\'at.

\medskip
\item{48.)} Sz\'amoljuk ki az el\H{o}z\H{o} feladat megold\'as\'aban
megjelen\H{o} hat\'areloszl\'as
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, azaz egy olyan
norm\'alis eloszl\'as\'u $(\xi,\eta)$ v\'eletlen
vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, amelyre $E\xi=E\eta=0$,
$\Var X=0.4$, $\Var Y=0.16$, $\Cov(X,Y)=0.2$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'amoljuk ki a tekintett v\'eletlen
vektor kovariancia m\'atrix\'anak a determin\'ans\'at \'es
inverz\'et. A determin\'ans \'ert\'eke
$\Var\xi\Var\eta-(\Cov(\xi,\eta))^2=0.4\cdot0.16-0.2^2=0.024$,
az inverz m\'atrix olyan $D=\(\matrix A& B\\ B& C\endmatrix\)$
m\'atrix amelyre $A=\frac{0.16}{0.024}=\frac{160}{24}=\frac{20}3$,
$C=\frac{0.4}{0.024}=\frac{50}3$,
$B=-\frac{0.2}{0.024}=-\frac{25}3$. Innen a keresett
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny \'ert\'eke
$$
f(x,y)=\frac1{2\pi\sqrt{\det D}}e^{-(Ax^2+Cy^2+2Bxy)/2}
=\frac{\sqrt{15}}{50\pi}\exp\left\{-\frac53(2x^2+5y^2-5xy)\right\}.
$$
Innen az is k\"ovetkezik, hogy az el\H{o}z\H{o} feladat
megold\'as\'at megad\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $\int_0^\infty\int_0^\infty f(x,y)\,dx\,dy$
a fenti $f(x,y)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel.
\item{49.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, $-\infty<x<\infty$.
Sz\'amoljuk ki a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$E\xi^k$ $k$-ik momentum\'at minden $k=0,1,2,\dots$, nem
negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$E\xi^k=\int_{-\infty}^\infty x^k\varphi(x)\,dx$
minden $k=0,1,2,\dots$ sz\'amra. Mivel p\'aratlan $\bar k=2k+1$
sz\'amokra a fenti integr\'al $x^{2k+1}\varphi(x)$ magf\"uggv\'enye
p\'aratlan, innen ad\'odik, hogy $E\xi^{2k+1}=0$. P\'aros indexekre
a k\"ovetkez\H{o} sz\'amol\'ast v\'egezhetj\"uk el parci\'alis
integr\'al\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
$$
\align
E\xi^{2k}
&=\int_{-\infty}^\infty x^{2k}\varphi(x)\,dx
=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}xe^{-x^2/2}\,dx\\
&=\frac{-1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}
\frac d{dx}\(e^{-x^2/2}\)\,dx\\
&=\frac{-1}{\sqrt{2\pi}}\[x^{2k-1}e^{-x^2/2}\]_{-\infty}^\infty+
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty (2k-1)x^{2k-2}e^{-x^2/2}\,dx\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty (2k-1)x^{2k-2}e^{-x^2/2}
=(2k-1)E\xi^{2k-2}\,dx.
\endalign
$$
Mivel $E\xi^0=1$ a fenti azonoss\'agb\'ol kapjuk, hogy $E\xi^2=1$,
$E\xi^4=3E\xi^2=3$, $E\xi^6=5E\xi^4=5\cdot3$, \'es teljes
indukci\'oval $E\xi^{2k}=(2k-1)\cdot(2k-3)\cdot(2k-5)\cdots3\cdot1$.
\item{50.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $m=2$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel, \'es $d=3$ sz\'or\'asn\'egyzettel. Sz\'amoljuk ki az
$E\xi^4$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:} \'Irjuk a $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot $\xi=\sqrt3\eta+2$
alakban, ahol $\eta$ sztandard norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o. Ekkor
$\xi^4=(\sqrt3\eta+2)^4=9\eta^4+4\cdot3\sqrt3\cdot2\eta^3+6\cdot3\cdot4\eta^2+
4\cdot\sqrt3\cdot8\eta+16$. V\'arhat\'o \'ert\'eket v\'eve, \'es
felhaszn\'alva, hogy $E\eta=E\eta^3=0$ azt kapjuk, hogy
$E\xi^4=9E\eta^4+72E\eta^2+16$. Mivel $E\eta^4=3$, $E\eta^2=1$ az
el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye szerint $E\xi^4=115$.
\item{51.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok.
Mutassuk meg, hogy a $\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ \"osszegek nor\-ma\-li\-z\'alt\-jai\-nak,
azaz a $\sqrt{\frac{12}n}\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\sqrt{\frac{180}n}\summ_{j=1}^n\(\xi_j^2-\frac 1{12}\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak az egy\"ut\-tes
el\-osz\-l\'asa a k\'et-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'ashoz konverg\'al, ha $n\to\infty$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  $E\xi=0$, $E\xi^2=\frac1{12}$,
$\Var\xi=\frac1{12}$, $\Var\xi^2=E\xi^4-(E\xi^2)^2
=\frac1{80}-\frac1{144}=\frac1{180}$. Tov\'abb\'a
$\Cov(\xi,\xi^2)=E\xi^3-E\xi E\xi^2=0$. Ez\'ert a
$\(\sqrt{12}\xi_j,\sqrt{180}\(\xi_j^2-\frac1{12}\)\)$,
$j=1,2,\dots$, v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek, nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es az identit\'as kovariancia
m\'atrix-szal. Innen, \'es a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
\item{52.)} Legyen $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ $n$-v\'altoz\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek
mindegyik eleme korrel\'alatlan. Ekkor $\xi_1,\dots,\xi_n$
f\"uggetlen, norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ El\'eg azzal az esettel foglalkozni,
amikor a v\'eletlen vektor nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}. Azt
haszn\'aljuk fel, hogy egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor eloszl\'as\'at meghat\'arozza
a kovarianciam\'atrixa. Vegy\"unk f\"uggetlen $\eta_1,\dots,\eta_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyekre
$E\eta_j^2=E\xi_j^2$, $E\eta_j=0$ minden $1\le j\le n$ indexre.
Ekkor mivel $E\eta_j\eta_k=0$, ha $j\neq k$ az $\eta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt,
az $(\eta_1,\dots,\eta_n)$ \'es $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen
vektorok kovariancia m\'atrixa megegyezik. Mind a k\'et vektor
norm\'alis eloszl\'as\'u. Ez\'ert eloszl\'asuk is megegyezik,
\'{\i}gy az $(\eta_1,\dots,\eta_n)$ v\'eletlen  vektor
koordin\'at\'ainak f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l k\"ovetkezik a
$(\xi_1,\dots,\xi_n)$ vektor koordin\'at\'ainak
f\"uggetlens\'ege is.
\item{53.)} Mutassunk p\'eld\'at korrel\'alatlan, de nem
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Egy lehets\'eges p\'elda a
k\"ovetkez\H{o}. Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban, Ekkor a $\xi$ \'es
$\eta=\xi^2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok
korrel\'alatlanok, de nem f\"uggetlenek. Val\'oban, $E\xi=0$,
$E\eta=E\xi^2=\frac1{12}$, $E\xi\eta=E\xi^3=0$,
$\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta=0$. M\'asr\'eszt $\xi$ \'es
$\eta$ nem f\"uggetlenek, s\H{o}t az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o determinisztikus
f\"uggv\'enye. Egy lehets\'eges form\'alis indokl\'asa annak,
hogy $\xi$ \'es $\eta$ nem f\"uggetlen a k\"ovetkez\H{o}: Legyen
$0<a<1$ tetsz\H{o}leges sz\'am. Ekkor
$\{\oo\colon\;\eta<a^2\}=\{\oo\colon\;|\xi|<a\}$. Ez\'ert
$P(\xi<a,\eta<a^2)=P(\xi<a)$, teh\'at $P(\xi<a,\eta<a^2)\neq
P(\xi<a)P(\eta<a^2)$.
\item{54.)} Legyenek $\xi_1$, $\xi_2$,\dots,$ \xi_n)$ $n$ f\"uggetlen,
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok. Te\-kint\-s\"uk az \"osszes $\eta=\summ_{j=1} a_j\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, ahol $a_1,\dots,a_n$
tetsz\H{o}leges val\'os sz\'amok.
Az \'{\i}gy defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy $\Cal N$ Euklideszi teret alkotnak, ha e t\'er k\'et
$\eta=\summ_{j=1}^n a_j\xi_j\in \Cal N$,
$\bar\eta=\summ_{j=1}^n\bar a_j\xi_j\in \Cal N$,
elem\'enek az $A\eta+B\bar\eta$ line\'aris kombin\'aci\'oj\'at az
$A\eta+B\bar\eta=\summ_{j=1}^n (Aa_j+B\bar a_j)\xi_j)$
k\'eplettel defini\'aljuk, a skal\'arszorzatot pedig az
$(\eta,\bar\eta)=E\eta\bar\eta=\summ_{j=1}^na_j\bar a_j$
formul\'aval. Ha $\eta_1,\dots,\eta_k$ $k$ eleme a $\Cal N$
Euklideszi t\'ernek, ahol $k$ tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v eg\'esz
sz\'am, akkor az $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor egy
$k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Ez \'ugy is interpret\'alhat\'o, hogy adva egy
$n$-dimenzi\'os $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ standard norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor \'es egy (determinisztikus
$k\times n$ m\'eret\H{u} m\'atrix
a $(\xi_1,\dots,\xi_n)A$ vektor norm\'alis eloszl\'as\'u,
azaz ez az \'all\'{\i}t\'as nemcsak n\'egyzetes $n\times n$
m\'eret\H{u} $A$ m\'atrixokra igaz. S\H{o}t igaz a k\"ovetkez\H{o}
kiss\'e \'altal\'anosabb \'all\'{\i}t\'as: Ha $(\xi_1,\dots,\xi_n$
$n$-v\'altoz\'os norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor,
$A$ $k\times n$-es m\'atrix, akkor $(\xi_1,\dots,\xi_k)A$
$k$-v\'altoz\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az $\Cal N$ t\'er a megadott
\"osszead\'assal \'es skal\'ar sz\'ammal val\'o szorz\'assal
line\'aris t\'er, azaz teljes\'{\i}ti a k\'{\i}v\'ant
azonoss\'agokat. Az $(\eta,\bar\eta)=E\eta\bar\eta$ formul\'aval
defini\'alt m\H{u}velet tekinthet\H{o} skal\'ar szorzatnak, mert
biline\'aris f\"uggv\'eny, \'es pozit\'{\i}v definit, azaz
$(\eta,\eta)\ge0$, \'es $(\eta,\eta)=0$ csak az $\eta=0$ esetben.
Az $\Cal N$ Euklideszi t\'er dimenzi\'oja $n$.
\item{} Azt kell bel\'atni, hogy amennyiben $\eta_1,\dots,\eta_k$
mindegyike eleme az $\Cal N$ t\'ernek, akkor l\'etezik  $k$
f\"uggetlen, standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ugy, hogy az
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ vektor koordin\'at\'ai ezek line\'aris
f\"uggv\'enyei. Ha $k\ge n$, akkor ez ny\'{\i}lv\'anval\'o, mert
tekinthetj\"uk a $\xi_1,\dots,\xi_n$ vektorokat, illetve ezeket
kieg\'esz\'{\i}thetj\"uk m\'eg $k-n$ t\H{o}l\"uk \'es
egym\'ast\'ol f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval.
Mindegyik $\eta_k$ vektor fel\'{\i}rhat\'o ezen $k$ vektor
line\'aris kombin\'aci\'ojak\'ent. Val\'oj\'aban csak a $\xi_j$,
$1\le j\le n$, vektorok szerepelnek ezen line\'aris
kombin\'aci\'okban nem z\'er\'o egy\"utthat\'oval.
\item{} Ha $k<n$, tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt a speci\'alis
esetet, amikor az $\eta_1,\dots,\eta_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok korrel\'alatlanok, \'es egy sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}ek.
Ekkor e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
kieg\'esz\'{\i}thet\H{o}ek egy $(\eta_1,\dots,\eta_n)$ ortonorm\'alt
b\'aziss\'a az $\Cal N$ t\'erben. Az $\eta_1,\dots,\eta_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es standard
norm\'alis eloszl\'as\'uak az 52.) feladat eredm\'enye alapj\'an.
\item{} Tekints\"unk $k$, $k<n$ $\eta_1,\dots,\eta_k$ elemet az
$\Cal N$ t\'erben. Vegy\"unk az \'altaluk kifesz\'{\i}tett
alt\'erben egy ortonorm\'alt b\'azist. Ennek elemei az
el\H{o}z\H{o}ek alapj\'an f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es az
$\eta_1,\dots,\eta_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
kifejezhet\H{o}ek, mint ezek line\'aris kombin\'aci\'oi. Mivel a
b\'azis elemsz\'ama kisebb, vagy egyenl\H{o}, mint $k$, innen
k\"ovetkezik, hogy $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ is norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor.
\item{} Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor, akkor az el\H{o}z\H{o}ek alapj\'an
$(\xi_1,\dots,\xi_n)A$ is vektor norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Ha $(\xi_1,\dots,\xi_n)$
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, akkor
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o $(\xi_1,\dots,\xi_n)=(\eta_1,\dots,\eta_n)B$
alakban, ahol $\eta_1,\dots,\eta_n$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor. Ez\'ert
$(\xi_1,\dots,\xi_n)A=(\eta_1,\dots,\eta_n)BA$
is norm\'alis eloszl\'as\'u.

\item{55.)} \'Erv\'enyes az 52. feladat eredm\'eny\'enek a
k\"ovetkez\H{o} \'altal\'anos\'{\i}t\'asa is. Legyen
$(\xi_1$,\dots, $\xi_n)$ $n$-v\'altoz\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
L\'etezzen tov\'abb\'a az $\{1,\dots,n\}$ indexhalmaznak egy
olyan  $L_1,\dots,L_p$ partici\'oja, amelyre
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=0$, ha $j\in L_s$, $k\in L_{s'}$,
$1\le s,s'\le p$, \'es $s\neq s'$. Ekkor az $(\xi_j,\,j\in L_1)$,
$(\xi_j,j\in L_2)$,\dots, $(\xi_j,j\in L_p)$ f\"uggetlen,
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorok.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ez az 52. feladat megold\'as\'ahoz
hasonl\'oan indokolhat\'o. Azt kell m\'eg meggondolni, hogy a
$(\xi_j,\,j\in L_s)$, $1\le s\le p$, f\"uggetlen norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorok  egyes\'{\i}t\'ese szint\'en
norm\'alis eloszl\'as\'u. Viszont ez egyszer\H{u}en k\"ovetkezik
az 52. feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l. Ugyanis mindegyik
$(\xi_j,\,j\in L_s)$ vektor el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
$\eta_sB_s$ alakban alkalmas $B_s$ m\'atrixokkal,
ahol $\eta_s$, $1\le s\le p$, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorok. S\H{o}t,
ezek az $\eta_s$ vektorok v\'alaszthat\'oak egym\'ast\'ol
f\"uggetleneknek k\"ul\"onb\"oz\H{o} $s$ indexre, mint a
$(\xi_j,\, j\in L_s)$ vektorok line\'aris transzform\'aci\'oi.
\item{56.)} Adjunk  p\'eld\'at olyan v\'eletlen vektorra, amely
nem norm\'alis eloszl\'as\'u, noha koordin\'at\'ai norm\'alis
eloszl\'as\'uak. Konkr\'etabban, mutassuk meg, hogy a
k\"ovetkez\H{o} konstrukci\'o j\'o p\'eld\'at ad erre.
\item{} Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal B,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}t: $\Omega=[0,1]$, \
$\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra $[0,1]$-en, \'es $P$ a
Lebesgue m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $\xi$
\'es $\eta$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat
ezen a mez\H{o}n: $\xi(x)=\Phi^{-1}(x)$,
$$
\eta(x)=\cases
\xi(1-x)& \text{ha }0\le x<\frac12\\
\xi\(x-\frac12\)& \text{ha }\frac12\le x\le1
\endcases.
$$
Az ebben a p\'eld\'aban defini\'alt $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok norm\'alis eloszl\'as\'uak,
de a $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor nem norm\'alis eloszl\'as\'u.

\medskip\noindent
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos eloszl\'as\'uak.
Tov\'abb\'a,
$$
P(\xi>x)=\lambda((\Phi(x),1])=1-\Phi(x)\;.
$$
Az, hogy a $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor nem norm\'alis
eloszl\'as\'u k\"ovetkezik p\'eld\'aul a $P(\xi+\eta=0)=\frac12$
azonoss\'agb\'ol. Ugyanis, ha $(\xi,\eta)$ norm\'alis eloszl\'as\'u
lenne, akkor az lenne a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o is. Ennek viszont ellentmond a $P(\xi+\eta=0)=\frac12$
rel\'aci\'o.

\item{57.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $m$
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ekkel \'es $\sigma^2$ sz\'or\'assal. Ekkor a
$\bar\xi=\frac1n\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es az
$S_n=\summ_{j=1}(\xi_j-\bar\xi)^2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. Tov\'abb\'a
$\frac{\sqrt n}\sigma(\bar\xi-m)$ standard norm\'alis
el\-osz\-l\'a\-s\'u, $\frac1\sigma S_n$ pedig $n-1$ szabads\'agfok\'u
$\chi^2$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
(Ez az eredm\'eny magyar\'azza meg, hogy bizonyos statisztikai
feladatokban mi\'ert jelenik meg az $U$-eloszl\'as, ami egy
olyan standard norm\'alis \'es $\chi^2$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o h\'anyados\'anak az
eloszl\'asa, mely val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek egym\'ast\'ol.)
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk a
$(\bar\xi,\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ v\'eletlen vektort.
Ez az 52. feladat eredm\'enye alapj\'an egy $n+1$ dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Tov\'abb\'a
egyszer\H{u} sz\'amol\'as mutatja, hogy
$\Cov(\bar\xi,\xi_j-\bar\xi)=\Cov(\bar\xi,\xi_j)-\Var\bar\xi=0$
minden $1\le j\le n$ indexre. Ez\'ert a
$(\bar\xi,\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ v\'eletlen vektor
$D=(d_{i,j})$, $1\le i,j\le n+1$, covariancia m\'atrixa felbomlik
egy $1\times1$-es \'es $n\times n$-es m\'atrix direkt szorzat\'ara,
azaz $d_{1,j}=d_{j,1}=0$, $2\le j\le n+1$. Ez\'ert a norm\'alis
eloszl\'as\'u vektorok tulajdons\'agaib\'ol, (abb\'ol, hogy
egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at
meghat\'arozza a v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa \'es
v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora) k\"ovetkezik, hogy $\bar\xi$ \'es
$(\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ f\"uggetlenek, tov\'abb\'a
norm\'alis eloszl\'as\'uak. Ez\'ert a $\bar\xi$ \'es az
$S_n=\summ_{j=1}(\xi_j-\bar\xi)^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. Tov\'abb\'a, mivel
$E\bar\xi=m$, $\Var\bar\xi=\frac{\sigma^2}n$, ez\'ert
$\frac{\sqrt n}\sigma(\bar\xi-m)$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A $\frac1\sigma S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fel\'{\i}rhat\'o, mint $n$
(egy\"uttesen) norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o n\'egyzet\"osszege. De ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok nem f\"uggetlenek. Teljes\"ul a
$\summ_{j=1}^n(\xi_j-\bar\xi)=0$ azonoss\'ag. Bel\'atjuk, hogy
$S_n$ $\chi^2$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$n-1$ szabads\'agfokkal. Az indokl\'asban felhaszn\'aljuk azt a
norm\'alis v\'eletlen vektorokr\'ol sz\'o\-l\'o el\H{o}ad\'asban
sze\-rep\-l\H{o} (a $\chi^2$-pr\'oba vizsg\'alat\'aban bizony\'{\i}tott)
eredm\'enyt, amely szerint, ha $(\eta_1,\dots,\eta_n)$ norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$D$ kovariancia m\'atrix-szal akkor $\summ_{j=1}^n\eta_j^2$
eloszl\'asa megegyezik a $\summ_{j=1}^n\lambda_j\zeta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval, ahol
$\zeta_1,\dots,\zeta_n$
f\"uggetlen, standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es
$\lambda_1,\dots,\lambda_n$ a $D$ kovariancia m\'atrix
saj\'at\'ert\'ekei.

\item{} Ez\'ert a feladat megold\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni, hogy a
$\frac1\sigma(\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ v\'eletlen vektor
$D=(d_{i,j})$, $1\le i,j\le n$, kovariancia m\'atrix\'anak az 1
sz\'am $n-1$ multiplicit\'as\'u saj\'at\'ert\'eke, \'es
ezenk\'{\i}v\"ul m\'eg a nulla (egyszeres) saj\'at\'ert\'eke ennek
a m\'atrixnak. A $D$ m\'atrix elemei $d_{i,i}=1-\frac1n$,
$d_{i,j}=-\frac1n$, $1\le i,j\le n$. Ez\'ert $D=I-A$, ahol $I$ az
identit\'as m\'atrix, $A=(a_{i,j})$, $a_{i,j}=\frac1n$,
$1\le i,j\le n$, m\'atrix. Az $A$ m\'atrixnak 1 darab 1
saj\'at\'ert\'ek\H{u} saj\'atvektora van, (az
$(\frac1n,\dots,\frac1n)$ vektor), \'es $n-1$ nulla
saj\'at\'ert\'ek\H{u} vektora. (Az $(\frac1n,\dots,\frac1n)$ vektort
kieg\'esz\'{\i}tj\"uk tetsz\H{o}leges m\'odon egy ortonorm\'alt
b\'aziss\'a, \'es ilyen m\'odon az $R^n$ t\'er egy az $A$
m\'atrix saj\'atvektoraib\'ol \'all\'o b\'azis\'at kapjuk, \'es e
saj\'atvektorok saj\'at\'ert\'ekei a $\lambda_1=1$, \'es
$\lambda_j=0$, $2\le j\le n$.) Innen k\"ovetkezik, hogy a $D$
m\'atrix saj\'at\'ert\'ekei az $1-\lambda_j$ sz\'amok,
$1\le j\le n$, azaz 1 darab 0 \'es $n-1$ darab 1-es.

\item{58.)} Legyenek $\xi^{(j)}=(\xi^{(j)}_1,\dots,\xi^{(j)}_6)$
f\"uggetlen, $1\le j\le n$, egyforma eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektorok $P(\xi_k^{(j)}=1)=\frac16$, minden $1\le k\le 6$,
$1\le j\le n$ indexre, \'es $\xi^{(j)}_{k'}=0$, ha $k'\neq k$,
\'es $\xi^{(j)}_k=1$, minden $1\le k,k'\le 6$ indexre. Legyen
$S=\frac1{\sqrt n}\summ_{j=1}^n\xi_j$ e v\'eletlen vektorok
normaliz\'alt \"osszege. Ekkor a $\xi^{(j)}$ \'es $S$ vektorok
kovariancia m\'atrixa az a $D=(d_{i,k})$, $1\le i,k\le 6$,
m\'atrix, amelyre $d_{i,k}=-\frac1{36}$, ha $i\neq k$,
$d_{k,k}=\frac5{36}$. A $D$ m\'atrix nem invert\'alhat\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi^{(j)}$ vektor $D$ m\'atrix\'anak
elemei $d_{i,k}=E\xi_i^{(j)}\xi^{(j)}_k-E\xi_i^{(j)}E\xi^{(j)}_k
=-E\xi_i^{(j)}E\xi^{(j)}_k=-\frac1{36}$,ha $i\neq k$, \'es
$d_{k,k}=E(\xi^{(j)}_k)^2-(E\xi^{(j)}_k)^2=\frac16-\(\frac16\)^2
=\frac5{36}$. Az $S$ v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa ugyanez
a $D$ m\'atrix. A $D$ m\'atrix nem invert\'alhat\'o, mert a
sor\"osszegei null\'aval egyenl\H{o}ek.

\item{59.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki az $\frac\eta\xi$ h\'anyados eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
\item{} A megold\'as kidolgoz\'asa el\H{o}tt tegy\"unk el\H{o}sz\"or
egy \'altal\'anos megjegyz\'est. Ha adva van k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\xi$ \'es $\eta$, amelyek
(egy\"uttes) s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy ismert $f(u,v)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, akkor az $\frac\eta\xi$
h\'anyados eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
sz\'amolhatjuk ki: Vezess\"uk be a $g(u,v)=g_x(u,v)$ f\"uggv\'enyt,
amely a s\'{\i}kon az $\left\{(u,v)\colon\;\frac vu<x\right\}$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye, azaz $g(u,v)=1$, ha $\frac vu<x$, \'es
$g(u,v)=0$, ha $\frac vu\ge x$. Ekkor $P\(\frac\eta\xi<x\)
=E g(\xi,\eta)=\int\int g(u,v) f(u,v)\,du\,dv=
\int\int_{\{(u,v)\:\frac vu<x\}} f(u,v)\,du\,dv$. L\'atni fogjuk,
hogy az ebben a feladatban vizsg\'aland\'o integr\'al viszonylag
egyszer\H{u}, k\"onnyebben kezelhet\H{o}.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as.}\/ A feladatban vizsg\'aland\'o h\'anyados
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
\align
F(x)&=P\(\frac\eta\xi <x\)=\iint_{\{(u,v)\colon\;v<xu\}}
\frac1{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv\\
&=2\frac1{2\pi}\int_{-\frac{\pi}2<\varphi<\arctan x}\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr\,d\varphi
=\frac1{\pi}\int_{-\frac{\pi}2}^{\arctan x}
\,d\varphi
=\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
Ebben a sz\'amol\'asban a fel\'{\i}rt integr\'alt \'at\'{\i}rtuk
$u=r\cos\varphi$, $v=r\sin\varphi$ transzform\'aci\'oval
pol\'arkoordin\'atarendszerben. E sz\'amol\'as sor\'an az
integrandusban megjelenik az $r$ Jacobian mint szorz\'o faktor.
Ezut\'an azt vegy\"uk \'eszre, hogy a bels\H{o} $r$ v\'altoz\'o
szerinti integr\'al $\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr=\[-e^{-r^2/2}\]_0^\infty=1$.
\item{} Kisz\'amoltuk a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az eloszl\'asf\"uggv\'eny
deriv\'altja, azaz az $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}=\frac1{\pi(1+x^2)}$
f\"uggv\'eny.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as.}\/ A $(\xi,\eta)$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\frac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$, ami
for\-ga\-t\'as\-in\-va\-ri\'ans f\"uggv\'eny. Innen k\"ovetkezik,
hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $(\xi,\eta)$ vektor
egy orig\'ob\'ol kiindul\'o $\alpha$ sz\"og\H{u} sz\"ogtartom\'anyba
esik, $\frac\alpha{2\pi}$. Ez\'ert
$$
\align
P\(\frac\eta\xi<x\)&=P\((\xi,\eta)\in
\[-\frac \pi2,\arctan x\)\cup \[\frac\pi2, \arctan x+\pi\)
\text{sz\"ogtartom\'anyban}\)\\
&=\frac1{2\pi}2\(\arctan x+\frac\pi2\)=\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
\medskip
\item{60.)} Legyen $(\xi,\eta)$ k\'et-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(x,y)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. L\'as\-suk be, hogy a
$\frac\eta\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak is
l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az a
$g(t)=\int_{-\infty}^\infty f(x,tx)|x|\,dx$ f\"uggv\'eny. Adjunk
ennek az eredm\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'uj meg\-ol\-d\'ast
az el\H{o}z\H{o} feladatra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $G(t)$ a $\frac\eta\xi$ t\"ort
$G(t)=P\(\frac\eta\xi<t\)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor
$$
G(t)=\int_{(x,y)\colon\;\frac yx<t} f(x,y)\,dx\,dy.
$$
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt az integr\'alt az $(\bar x,z)=\(x,\frac yx\)$
helyettes\'{\i}t\'essel. Ekkor a $G(t)$ f\"uggv\'enyt kifejez\H{o}
integr\'alban az \'uj integr\'al\'asi tartom\'any az
$\{(\bar x,z)\colon\;-\infty<\bar x<\infty,\,-\infty<z<t\}$,
$f(x,y)=f(\bar x,z\bar x)$, \'es az integr\'altranszform\'aci\'o
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz meg kell hat\'aroznunk a lek\'epez\'es
Jacobi transzform\'aci\'oj\'at. Ez az $\bar x=h_1(x,y)=x$,
$z=h_2(x,y)=\frac yx$ jel\"ol\'essel
$$
J(\bar x,z) =\left|\( \matrix \frac{\partial\bar x}{\partial x},
\frac{\partial\bar x)}{\partial y} \\
\frac{\partial z}{\partial x},
\frac{z}{\partial y}, \endmatrix \)\right|
=\left|\( \matrix
\frac{\partial h_1(x,y)}{\partial x},\frac{\partial h_1(x,y)}
{\partial y},\\
\frac{\partial h_2(x,y)}{\partial x},\frac{\partial h_2(x,y)}
{\partial y}, \endmatrix\right) \right|
=\left|\left( \matrix \, 1,\,\,\, 0\\ -\frac y{x^2}, \frac1x
\endmatrix\right) \right| =\left|\frac1x\right|,
$$
\'es inform\'alisan $d\bar x\,dz=J(x,z)\,dx\,dy$, ahonnan
$dx\,dy=\frac1{J(x,z)}\,d\bar x\,dz=|\bar x|\,d\bar x\,dz$,
ahonnan
$$
G(t)=\int_{(x,y)\colon\;\frac yx<t} f(x,y)\,dx\,dy=\int
\int_{(x,z)\colon z<t} f(x,zx)|x|\,dx\,dz=\int_{-\infty}^t K(z)\,dz,
$$
ahol
$$
K(z)=\int_{-\infty}^\infty f(x,xz)|x|\,dx.
$$
Innen l\'athat\'o, hogy a keresett s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
$g(t)=K(t)$, amint \'all\'{\i}tottuk.
\item{} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$(\xi,\eta)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x,y)=\frac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$, ez\'ert $\frac\eta\xi$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
\align
g(t)&=\int_{-\infty}^\infty\frac1{2\pi}e^{-(x^2+t^2x^2)/2}|x|\,dx \\
&=\int_{-\infty}^\infty\frac1{2\pi (t^2+1)}
e^{-(\sqrt{(t^2+1)}x)^2/2} \left|\(\sqrt{(t^2+1)}x\)\right|\,
d\(\sqrt{(t^2+1)}x\),
\endalign
$$
ahonnan
$$
\align
g(t)&=\frac1{2\pi (t^2+1)}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}|x|\,dx
=\frac1{\pi (t^2+1)}\int_0^\infty e^{-x^2/2}x\,dx \\
&=\frac1{\pi (t^2+1)}\[-e^{-x^2/2}\]_0^\infty
=\frac1{\pi (t^2+1)}.
\endalign
$$


\item{61.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amelyek egy\"uttes eloszl\'as\'anak (l\'etez\H{o})
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(u,v)=\frac23u+2uv^2+\frac23v$
alak\'u, ha $0\le u,v\le1$, \'es $f(u,v)=0$ egy\'ebk\'ent.
L\'assuk be el\H{o}sz\"or, hogy $f(u,v)$ val\'oban
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, majd sz\'a\-mol\-juk ki a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{}{\it
Megold\'as:}\/ Annak \'erdek\'eben, hogy ellen\H{o}rizz\"uk, hogy
$f(u,v)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny azt kell megmutatni, hogy
$f(u,v)\ge0$ (majdnem) minden $(u,v)$ sz\'amp\'arra, \'es
$$
\int\int f(u,v)\,du\,dv=1.
$$
Az nyilv\'anval\'o, hogy $f(u,v)\ge0$ minden $(u,v)$ sz\'amp\'arra.
M\'asr\'eszt mivel
$$
\int_0^1\int_0^1 u v^2\,du\,dv=
\int_0^1 u\,du\int_0^1 v^2\,dv=\frac12\cdot\frac13=\frac16,
$$
$\int_0^1\int_0^1 u\,du\,dv=\frac12$ \'es
$\int_0^1\int_0^1 v\,du\,dv=\frac12$, ez\'ert
$\int\int f(u,v)\,du\,dv=1$.
\item{} A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et az
$$
G(x)=\int_{-\infty}^\infty\(\int_{-\infty}^{x-u} f(u,v)\,dv\)\,du
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}thatuk ki, hasonl\'oan
$1-G(x)=\int_{-\infty}^\infty\(\int_{x-u}^{\infty} f(u,v)\,dv\)\,du$.
M\'asr\'eszt, a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny $g(x)=\frac {dG(x)}{dx}$
formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel kisz\'am\'{\i}that\'o. Ez a mi
eset\"unkben a k\"ovetkez\H{o}t jelenti, $g(x)=0$, ha
$x\le0$, $g(x)=1$, ha $x\ge2$, mert $G(x)=0$, ha $x\le0$, $G(x)=1$,
ha $x\ge2$. M\'asr\'eszt
$$
g(x)=\frac{d}{dx}\(\int_0^1\int_0^{x-u}
\(\frac23u+2uv^2+\frac23v\)\,du\)\,dv,
$$
ha $0\le x\le1$, $g(x)=-\frac{d}{dx}\(\int_0^1\int_{x-u}^1
\(\frac23u+2uv^2+\frac23v\)\,du\)\,dv$, ha $1\le x\le2$. Az\'ert
volt \'erdemes a $0\le x\le1$ \'es $1\le x\le2$ eseteket
sz\'etv\'alasztani, mert a konkr\'et feladatban a $G(x)$
f\"uggv\'enyt tudjuk k\'enyelmesen kisz\'am\'{\i}tani $0\le x\le1$
\'es az $1-G(x)$ f\"uggv\'enyt az $1\le x\le2$ intervallumban. Ez
a sz\'etbont\'as azonban nem k\"otelez\H{o}.
\item{} A fent v\'azolt m\'odon ki lehet sz\'amolni a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt, de val\'oj\'aban ezt a sz\'amol\'ast
lehet egyszer\H{u}s\'{\i}teni. Ez hasonl\'o ahhoz, ahogy
a konvoluci\'o formul\'at vezetik le f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'ere. Val\'o\-ban, a $v$ v\'altoz\'o
$z=u+v$ helyettes\'{\i}t\'es\'evel  fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
G(x)&=\int_{-\infty}^\infty\(\int_{-\infty}^{x-u} f(u,v)\,dv\)\,du=
\int_{-\infty}^\infty\(\int_{-\infty}^{x} f(u,z-u)\,dz\)\,du\\
&=\int_{-\infty}^x\(\int_{-\infty}^{\infty} f(u,z-u)\,du\)\,dz,
\endalign
$$
ahonnan deriv\'al\'assal
$$
g(x)=\frac{dG(x)}{dx}=\int_{-\infty}^{\infty} f(u,x-u)\,du.
$$
E k\'eplettel a sz\'amol\'asokat lehet egyszer\H{u}s\'{\i}teni. Azt
kapjuk, hogy jelen esetben  $g(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>2$, (ebben az
esetben a $g(x)$ f\"uggv\'enyt kifejez\H{o} integr\'alban
szerepl\H{o} integrandus azonosan nulla. Ugyanis $x<0$ eset\'eben
vagy $u<0$ vagy $x-u<0$, \'es $x>2$ esetben vagy $u>1$ vagy $x-u>1$.
Ha $0\le x\le 1$, akkor
$$
g(x)=\int_0^{1-x}\(\frac23u+2u(x-u)^2+\frac23(x-u)\) \,du,
$$
ha $1\le x\le 2$, akkor
$$
g(x)=\int_{x-1}^1\(\frac23u+2u(x-u)^2+\frac23(x-u) \) \,du.
$$
\item{61a.)} Mutassuk meg, hogy a fenti feladat megold\'as\'aban
kapott r\'eszeredm\'enyek tartalmazz\'ak speci\'alisan azt az
eredm\'enyt is, hogy k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
konvoluci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet kisz\'amolni.
\item{} {\it Megold\'as.}\/ L\'attuk, hogy amennyiben egy
$(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x,y)$, akkor a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak is van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az
$g(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(u,x-u)\,du$. Legyen $\xi$ \'es
$\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$h_1(x)$ \'es $h_2(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennnyel.
Ekkor a $(\xi,\eta)$ vektornak is van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az
$f(x,y)=h_1(x)h_2(y)$ f\"uggv\'eny. \'Igy a $\xi+\eta$ \"osszegnek
is van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az id\'ezett
eredm\'eny szerint
$g(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(u,x-u)\,du=\int_{-\infty}^\infty
h_1(u)h_2(x-u)\,du$.
\item{62.)} Legyen a $(\xi,\eta)$ vektor egyenletes eloszl\'as\'u
a $(0,0)$, $(1,0)$ \'es $(0,1)$ pontok \'altal meghat\'arozott
h\'aromsz\"og\"on, azaz legyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye 2
azon a h\'aromsz\"og\"on, amelynek ezek a pontok a cs\'ucspontjai,
\'es legyen nulla ezen a h\'aromsz\"og\"on k\'{\i}v\"ul.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok kovarianci\'aj\'at.

\item{} {\it Megold\'as:}\/ $\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta$,
\'es $E\xi\eta=\int xy f(x,y)\,dx\,dy$,
\hfill\break
$E\xi=\int x f(x,y)\,dx\,dy$,
$E\eta=\int y f(x,y)\,dx\,dy$, ahol $f(x,y)$ a $(\xi,\eta)$ vektor
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Ez\'ert
$$
\align
E\xi\eta&=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2xy\,dy\)\,dx
=\int_0^1 2x\[\frac{y^2}2\]_0^{1-x}\,dx
=\int_0^1 x(1-x)^2\,dx\\
&=\[\frac{x^2}2-\frac{2x^3}3
+\frac{x^4}4\]_0^1=\frac1{12},
\endalign
$$
$$
E\xi=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2x\,dy\)\,dx=\int_0^1 2x(1-x)\,dx=\frac13,
$$
\'es
$$
E\eta=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2y\,dy\)\,dx=\int_0^1 (1-x)^2\,dx=\frac13,
$$
(Szimmetria meggondol\'asok alapj\'an is bel\'athat\'o, hogy
$E\eta=E\xi$.) Innen \hfill\break
$\Cov(\xi,\eta)=\frac1{12}-\frac1{9}=-\frac1{36}$.


\item{63.)} Egy k\'artyacsomag 75 k\'artyalapot tartalmaz, amelyek
mindegyike az 1 \'es 75 k\"oz\"otti sz\'amok valamelyik\'evel meg
van sz\'amozva. Kih\'uzunk 40 k\'arty\'at \'ugy, hogy h\'uz\'as
ut\'an  visszatessz\"uk, \'es ezenk\'{\i}v\"ul a k\'artyacsomagba
tesz\"unk m\'eg egy \'uj, minden kor\'abbi k\'arty\'at\'ol
k\"ul\"onb\"oz\H{o} k\'artyalapot. Jel\"olje $X$ azt, hogy h\'any
k\"ul\"onb\"oz\H{o} k\'artyalapot h\'uztunk ki. Sz\'amoljuk ki az
$EX$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'amozzuk meg a k\'artyacsomagban
kezdett\H{o}l fogva tartalmazott k\'ar\-tya\-la\-po\-kat
1-t\H{o}l 75-ig, \'es vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le75$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. $\xi_j=1$,
ha a $j$-ik k\'arty\'at kih\'uztuk, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
k\'arty\'at nem h\'utuk ki a 40 h\'uz\'as sor\'an.
Ezenk\'{\i}v\"ul vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\eta_j$,
$1\le j\le40$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat is. $\eta_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as ut\'an a
k\'artyacsomagba tett lapot k\'es\H{o}bb kih\'uztuk, \'es
$\eta_j=0$, ha nem h\'uztuk ki.  Ekkor
$X=\summ_{j=1}^{75}\xi_j+\summ_{j=1}^{40}\eta_j$. Ez\'ert
$EX=\summ_{j=1}^{75}E\xi_j+\summ_{j=1}^{40}E\eta_j
=\summ_{j=1}^{75}P(\xi_j=1)+\summ_{j=1}^{40}P(\eta_j=1)$.
Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a $j$-ik (a csomagban eredetileg bennelev\H{o}) k\'arty\'at
nem h\'uzzuk ki 40 h\'uz\'as sor\'an
$\prodd_{j=1}^{40}\frac{74+j-1}{75+j-1}$. Innen
$P(\xi_j=1)=1-\prodd_{j=1}^{40}\frac{74+j-1}{75+j-1}$,
$1\le j\le75$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik
h\'uz\'as ut\'an a k\'artyacsomagba tett k\'arty\'at nem h\'uzzuk
ki, $\prodd_{l=j+1}^{40}\frac{74+l-1}{75+l-1}$. Ez\'ert
$E\eta_j=1-\prodd_{l=j+1}^{40}\frac{74+l-1}{75+l-1}$, ha $1\le j\le39$,
\'es $E\eta_{40}=0$. Innen kapjuk, hogy
$$
EX=75\(1-\prodd_{j=1}^{40}\frac{74+j-1}{75+j-1}\)+
\summ_{l=1}^{39}\[1-\prodd_{l=j+1}^{40}\frac{74+l-1}{75+l-1}\].
$$


\item{64.)} Egy k\'artyacsomag 75 k\'artyalapot tartalmaz, amelyek
mindegyike az 1 \'es 75 k\"oz\"otti sz\'amok valamelyik\'evel meg
van sz\'amozva. Kih\'uzunk 40 k\'arty\'at \'ugy, hogy a p\'aratlan
index\H{u} h\'uz\'asok ut\'an a k\'arty\'at visszatessz\"uk,
a p\'aros index\H{u} h\'uz\'asok ut\'an pedig nem tessz\"uk vissza
a csomagba. Jel\"olje $X$ azt, hogy h\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o}
k\'artyalapot h\'uztunk ki. Sz\'amoljuk ki az $EX$ v\'arhat\'o
\'ert\'eket.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'amozzuk meg a k\'artyacsomag
lap\-jait 1-t\H{o}l 75-ig, \'es vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le75$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat.
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik k\'arty\'at kih\'uztuk, $\xi_j=0$, ha a
$j$-ik k\'arty\'at nem h\'uztuk ki a 40 h\'uz\'as sor\'an.
Ekkor $X=\summ_{j=1}^{75}\xi_j$,  ez\'ert
$EX=\summ_{j=1}^{75}E\xi_j=\summ_{j=1}^{75}P(\xi_j=1)$.
Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik  k\'arty\'at
nem h\'uzzuk ki 40 h\'uz\'as sor\'an
$\prodd_{j=1}^{20}\(\frac{74-j+1}{75-j+1}\)^2$. Innen
$P(\xi_j=1)=1-\prodd_{j=1}^{20}\(\frac{74-j+1}{75-j+1}\)^2$, \'es
$EX=75\(1-\prodd_{j=1}^{20}\(\frac{74-j+1}{75-j+1}\)^2\)$.

\item{65.)} K\'et f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o h\'anyadosa, mint l\'attuk,
egy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x)=\frac1\pi\frac1{1+x^2}$,
$-\infty<x<\infty$. Az ilyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel
rendelkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
Cauchy eloszl\'as\'unak nevezik. L\'etezik-e egy Cauchy
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-nak
v\'arhat\'o \'ert\'eke?
\item{} {\it Megold\'as.}\/ A v\'alasz az, hogy egy Cauchy
eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak nem
l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke. Egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak ugyanis akkor \'es csak
akkor l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, ha mind a
$\xi^+=\max(\xi,0)$ pozit\'{\i}v, mind az $\xi^-=\min(0,\xi)$
negat\'{\i}v r\'esz\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'eke v\'eges. Ez
azonban ebben a p\'eld\'aban nem teljes\"ul, mert
$E\xi^+=\int_0^\infty xf(x)\,dx=\infty$ \'es
$E\xi^-=\int^0_{-\infty} xf(x)\,dx=-\infty$. Az els\H{o}
rel\'aci\'ot p\'eld\'aul \'ugy lehet l\'atni, hogy \'eszrevessz\"uk,
hogy az $xf(x)=\frac x{\pi(1+x^2)}$ integrandus primit\'{\i}v
f\"uggv\'enye a $g(x)=\frac1{2\pi}\log(1+x^2)$, \'es
$\limm_{x\to\infty}g(x)=\infty$. De egyszer\H{u}bben is l\'athatjuk
ezt, ha \'eszrevessz\"uk, hogy az $xf(x)$ f\"uggv\'eny a
v\'egtelenben \'ugy viselkedik, mint a $\const x^{-1}$ f\"uggv\'eny
alkalmas pozit\'{\i}v konstanssal, ez\'ert a tekintett integr\'al
konvergenci\'aja vagy divergenci\'aja att\'ol f\"ugg, hogy az
$\int_a^\infty x^{-1}\,dx$ integr\'al valamely $a>0$ als\'o
integr\'al\'asi hat\'arral konvergens-e vagy divergens. De tudjuk,
hogy az $\int_a^\infty x^{-\alpha}\,dx$ integr\'al $\alpha>1$-re
konvergens, \'es $\alpha\le 1$-re divergens.

\item{66.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek k\"oz\"ul $\xi$
egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumban, azaz
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le x\le1$, \'es
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent, $\eta$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda=1$ param\'eterrel, azaz s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=e^{-x}$, ha $x\ge0$, \'es $g(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amoljuk
ki a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $h(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$h(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du$. Hat\'arozzuk meg, hogy
mely $u$ \'ert\'ekekre lesz a fenti integr\'al $f(u)g(x-u)$
integrandusa szigor\'uan pozit\'{\i}v. Ehhez az kell, hogy
$0\le u\le 1$, \'es $x-u\ge0$, azaz $u\le x$. A k\'et
k\"ovetelm\'enyt egy k\'epletben egyes\'{\i}tve azt \'{\i}rhatjuk,
hogy $0\le u\le\min(x,1)$. Innen k\"ovetkezik, hogy $h(x)=0$, ha $x\le0$,
$h(x)=\int_0^xe^{-(x-u)}\,du=e^{-x}[e^u]_0^x=e^{-x}(e^x-1)=1-e^{-x}$,
ha $0\le x\le1$, \'es $h(x)=\int_0^1e^{-(x-u)}\,du=e^{-x}(e-1)$, ha
$x>1$.

\item{67.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[-1,1]$ intervallumon,
$\eta$ egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o a $[-2,2]$ intervallumban, \'es legyen $\xi$ \'es
$\eta$ f\"uggetlen egym\'ast\'ol. Sz\'amoljuk ki $\xi+\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $f(x)=\frac12$, ha
$-1\le x\le1$, $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $g(x)=\frac14$, ha
$-2\le x\le2$, $g(x)=0$ egy\'ebk\'ent az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es $h(x)$ a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ekkor
$h(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du$. Hat\'arozzuk meg, hogy
mely $u$ \'ert\'ekekre lesz a fenti integr\'al $f(u)g(x-u)$
integrandusa szigor\'uan pozit\'{\i}v. Ehhez az kell, hogy
$-1\le u\le1$, \'es $-2\le x-u\le2$, azaz $x-2\le u\le x+2$. Ha $x>0$,
akkor ez azt jelenti, hogy $\min(x-2,-1)\le u\le1$. Innen
$-1\le u\le1$, ha $0\le x\le1$, tov\'abb\'a $x-2\le u\le1$, ha
$1\le x\le3$, \'es a tekintett halmaz \"ures, ha $x>2$. Ez\'ert
$h(x)=0$, ha $x>3$, $h(x)=\frac18\int_{x-2}^1\,du=\frac{3-x}8$, ha
$1\le x\le3$, \'es $h(x)=\frac18\int_{-1}^1\,du=\frac14$, ha
$0\le x\le1$. Mivel mind $f(x)$ mind $g(x)$ p\'aros f\"uggv\'eny,
ugyanez igaz a $h(x)$ f\"uggv\'enyre is, azaz $h(x)=h(-x)$. Innen
$h(x)=\frac14$, ha $-1\le x\le1$, $h(x)=\frac{3-x}8$, ha
$1\le|x|\le3$, \'es $h(x)=0$, ha $|x|\ge3$.

\item{68.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[0,2]$ intervallumon,
$\eta$ egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o az $[1,5]$ intervallumban, \'es legyen $\xi$ \'es
$\eta$ f\"ug\-get\-len egym\'ast\'ol. Sz\'amoljuk ki $\xi+\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A feladat megoldhat\'o az
el\H{o}z\H{o} feladathoz hasonl\'o m\'odon kiss\'e bo\-nyo\-lul\-tabb
sz\'amol\'assal. De egyszer\H{u}bb azt k\"ozvetlen\"ul
visszavezetni az el\H{o}z\H{o} fel\-adat\-ra. Ennek \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy a $\bar\xi=\xi-1$ \'es $\bar\eta=\eta-3$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az
el\H{o}z\H{o} feladat felt\'eteleit. Ez\'ert a
$\xi+\eta=\bar\xi+\bar\eta+4$ \"osszeg $\tilde h(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye teljes\'{\i}ti a 
$\tilde h(x)=h(x-4)$ azonoss\'agot, ahol $h(x)$ az
el\H{o}z\H{o} feladatban tekintett v\'eletlen \"osszeg
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen $\tilde h(x)=\frac14$, ha
$-1\le x-4\le1$, $\tilde h(x)=\frac{3-x}8$, ha
$1\le|x-4|\le3$, \'es $\tilde h(x)=0$, ha $|x-4|\ge3$.

\item{69.)} Tegy\"uk fel, hogy a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot
j\'atszhatjuk: Feldobnak egy szab\'alyos p\'enz\-da\-ra\-bot
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul egym\'as ut\'an. Amennyiben fej a
dob\'as eredm\'enye, akkor a feltett t\'et dupl\'aj\'at kapjuk, ha
\'{\i}r\'as, akkor a t\'et $\frac23$ r\'esz\'et elvesz\'{\i}tj\"uk,
\'es csak $\frac13$ r\'esz\'et \H{o}rizhetj\"uk meg.  Mivel ez a
j\'at\'ek el\H{o}ny\"os, ez\'ert feltessz\"uk minden j\'at\'ekban
minden p\'enz\"unket. L\'assuk be, hogy amennyiben $A$ volt a
vagyonunk a j\'at\'ek kezdete el\H{o}tt, \'es $Z_n$ jel\"oli
vagyonunkat az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an, akkor
\item{a)} $EZ_n=A\(\frac76\)^n$, azaz vagyonunk v\'arhat\'o
\'ert\'eke exponenci\'alisan n\H{o}.
\item{b)} $Z_n$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel null\'ahoz tart,
azaz ha sok\'aig j\'atszunk, akkor k\"ozel egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel majdnem minden p\'enz\"unket
elvesz\'{\i}tj\"uk.
\item{c)} \'Erts\"uk meg, hogy ez a k\'et \'all\'{\i}t\'as nem
mond egym\'asnak ellent.

\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=\frac13$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$P(\xi_j=2)=P\(\xi_j=\frac13\)=\frac12$, \'es ezenk\'{\i}v\"ul
nye\-re\-m\'e\-ny\"unk az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an
$Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$. Ez\'ert
$E\xi_j=\frac12\(2+\frac13\)=\frac76$, \'es
$EZ_n=EA\xi_1\xi_2\cdots\xi_n =AE\xi_1 E\xi_2\cdots
E\xi_n=A\(\frac76\)^n$. Ez a feladat a) \'all\'{\i}t\'asa.

\item{} A $Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$ rel\'aci\'ob\'ol
k\"ovetkezik, hogy
$\frac1n\log Z_n=\frac{\log A}n+\frac1n \summ_{j=1}^n\log \xi_j$.
To\-v\'ab\-b\'a, $E\log\xi_j=\frac12\(\log2+\log\frac13\)
=-\frac12\log\frac32$. Ez\'ert a nagy sz\'amok (er\H{o}s)
t\"orv\'enye sze\-rint $\frac1n\log Z_n$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al a negat\'{\i}v
$-\frac12\log\frac32$ sz\'amhoz. Innen k\"ovetkezik, hogy 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel $\limm_{n\to\infty}\log Z_n=-\infty$,
\'es ez\'ert $\limm_{n\to\infty} Z_n=0$.

\item{} Az a) r\'esz bizony\'{\i}t\'asa azon alapult, hogy
$E\xi_j>1$, a b) r\'esz\'e pedig azon, hogy $E\log \xi_j<0$. Ez a
k\'et egyenl\H{o}tlens\'eg teljes\"ulhet egyszerre, mert a
v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es a logaritmusk\'epz\'es egym\'assal nem
felcser\'elhet\H{o}. Igaz az $E e^\eta\ge e^{E\eta}$
egyenl\H{o}tlens\'eg (ez a konvex f\"uggv\'enyekre vonatkoz\'o
\'ugynevezett Jensen egyenl\H{o}tlens\'eg
speci\'alis esete), ahonnan $\xi=\log\eta$ v\'alaszt\'assal
$E\xi\ge e^{\log E\xi}$, de egyenl\H{o}s\'eg nem \'{\i}rhat\'o a
fenti egyenl\H{o}tlens\'eg helyett. Megjegyzem, hogy hasonl\'o, de
egyszer\H{u}bben \'erthet\H{o} p\'eld\'at mutat a feladat a) \'es
b) \'all\'{\i}t\'as\'anak egyszerre val\'o teljes\"ul\'es\'ere a
k\"ovetkez\H{o} modell. Olyan j\'at\'ekot j\'atszunk, amelyben
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel elvesz\'{\i}tj\"uk,
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel pedig megh\'aromszorozzuk
a p\'enz\"unket. Az egyes j\'at\'ekok egym\'ast\'ol f\"uggetlenek,
\'es minden id\H{o}pontban minden p\'enz\"unket feltessz\"uk. Ekkor
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an
minden p\'enz\"unket elvesz\'{\i}tj\"uk, $1-\(\frac12\)^n$, ami
rendk\'{\i}v\"ul gyor\-san tart egyhez, \'es p\'enz\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'eke $3^n\(\frac12\)^n$, ami exponenci\'alisan gyorsan n\H{o}
az $n$ f\"uggv\'eny\'eben. Hasonl\'o, csak kiss\'e rejtettebb
jelens\'eg
t\"ort\'enik az \'altalunk t\'argyalt feladatban is. Tekints\"uk a
feladatban vizs\-g\'alt j\'at\'ek nyerem\'eny\'et sok j\'at\'ek
ut\'an. Azt \'all\'{\i}thatjuk, hogy nagy $n$ indexre az $n$-ik
j\'at\'ek ut\'an nagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel alig marad
p\'enz\"unk. Viszont kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nagyon sok
p\'enzt nyer\"unk, \'es ez\'ert nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'eke nagy. Ez az oka annak, hogy nemcsak a b), hanem az a)
\'all\'{\i}t\'as is teljes\"ul.

\item{} A feladatban t\'argyalt modell egyben olyan p\'eld\'at is
ad, amelyben a Lebesgue t\'etel \'all\'{\i}t\'asa nem \'erv\'enyes,
mert nem teljes\"ulnek a Lebesgue t\'etel felt\'etelei. Ebben a
modellben a nyerem\'eny\"unk \'ert\'eke 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel null\'ahoz tart, a v\'arhat\'o
\'ert\'eke (azaz a nyerem\'eny \'ert\'ek\'enek a $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek szerinti integr\'alja) viszont
nem a hat\'ar\'ert\'ek integr\'alj\'ahoz, azaz null\'ahoz, hanem
v\'egtelenhez konverg\'al.

\item{70.)} Tekints\"uk a 69. feladatban t\'argyalt j\'at\'ekot,
azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy \'ovatosabban j\'atszunk.
A j\'at\'ek minden egyes fordul\'oj\'aban vagyonunk $u$-ad
r\'esz\'et, $0\le u\le1$, tessz\"uk fel t\'etk\'ent. Jel\"olje
$Z_n(u)$ vagyonunkat a j\'at\'ek $n$-ik l\'ep\'ese ut\'an. Ekkor az
$\frac1n\log Z_n(u)$ val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak egy $B(u)$
sz\'amhoz. Hat\'arozzuk meg a legjobb $\bar u$ sz\'amot, amelyre
$B(\bar u)=\supp_{0\le u\le 1}B(u)$. L\'assuk be, hogy
$B(\bar u)>0$, ami azt jelenti, hogy nyerem\'eny\"unk
exponenci\'alisan n\H{o} 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.

\item{}
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a $\xi_j=\xi_j(u)$,
$j=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat,
ame\-lyek\-re $\xi_j=1+u$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej,
\'es $\xi_j=\xi_j(u)=1-\frac {2u}3$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor az $n$-ik l\'ep\'esben
a vagyonunk $Z_n=A\xi_1\cdots\xi_n$, a $\xi_j$, $j=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak, ez\'ert $\frac1n\log Z_n=\frac{\log A}n
+\frac1n\summ_{j=1}^n\log \xi_j$, \'es a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'enye sze\-rint az $\frac1n\log Z_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak a
$B(u)=E\log\xi_1=\frac12\(\log(1+u)+\log\(1-\frac{2u}3\)\)
=\frac12\log(1+u)\(1-\frac {2u}3\)$ sz\'amhoz.
A $B(u)$ f\"ugg\-v\'eny a maximum\'at az $\bar u=\frac14$ helyen
veszi fel, \'es $B(\bar u)=\frac12\log\frac{25}{24}>0$.

\item{71.)} Tegy\"uk fel, hogy olyan j\'at\'ekot j\'atszhatunk, 
amelynek $n$-ik fordul\'obeli nyerem\'enye $A$ forint 
t\'et felt\'etele eset\'en $A\xi_n$ forint, ahol
$\xi_1,\dots,\xi_n,\dots$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre, $E\xi_1>1$. 
Legyen 1 forintunk az els\H{o} fordul\'o el\H{o}tt. Van
olyan ezt a felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o} modell, amelyre abban 
az esetben, ha mer\'eszen j\'atszunk, azaz ha minden fordul\'oban  
feltessz\"uk a teljes va\-gyo\-nun\-kat, akkor a va\-gyo\-nunk 
null\'ahoz tart $n\to\infty$ eset\'en. Viszont ha minden 
fordul\'oban a va\-gyo\-nunk $u$-ad r\'esz\'et tessz\"uk fel 
valamely alkalmas $0<u< 1$ sz\'ammal, akkor el\'erhet\H{o}.
hogy va\-gyo\-nunk \'ert\'eke exponenci\'alisan n\H{o}j\"on 
$n\to\infty$ eset\'en, azaz l\'etezzen olyan $B(u)>1$ sz\'am, 
amelyre az $n$ fordul\'o ut\'ani vagyonunk $B(n)$ \'ert\'ek\'ere
$\limm_{n\to\infty} B_n^{1/n}=B(u)$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A 70. feladatban megadtunk egy olyan
modellt, amelyben mer\'esz j\'at\'ek eset\'en nyerem\'eny\"unk 
\'ert\'eke null\'ahoz tart $n\to\infty$ eset\'en. M\'asr\'eszt, ha 
vagyonunk $u$-ad-r\'esz\'et tessz\"uk fel minden fordul\'oban, 
\'es $X_n$ jel\"oli vagyonunkat az $n$-ik fordul\'o
ut\'an, akkor $X_{n+1}=(1-u)X_n+uX_n\xi_n=X_n\eta_n$, ahol 
$\eta_n=\eta_n(u)=1-u+u\xi_n$. Innnen $X_{n+1}=\prodd_{j=1}^n\eta_j$, 
\'es a nagy sz\'amok t\"orv\'enye sze\-rint 
$\limm_{n\to\infty}\frac1{n}\log X_n
=\limm_{n\to\infty}\frac1n\summ_{j=1}^n\log \eta_j=E\log\eta_1$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez\'ert el\'eg bel\'atni, hogy 
$E\log\eta_1(u)>0$ alkalmas $0<u<1$ sz\'amra. Viszont az 
$f(u)=E\log\eta_1(u)$ f\"uggv\'enyre $f(0)=0$, \'es
deriv\'altj\'ara $f'(0)=\left.E\frac{\xi_1-1}{1+u(\xi_n-1)}\right|_{u=0}
=E\xi_1-1>0$. Ez azt jelenti, hogy $f(u)>0$ minden el\'eg kis $u>0$
sz\'amra. Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\item{72.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, (egyforma
eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyenletes
eloszl\'assal valamely $[a,b]$ intervallumon. Vegy\"uk e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\xi_1^{*}<\xi_2^{*}<\dots<\xi_n^{*}$ nagys\'ag szerinti
sorbarendez\'es\'et, azaz a bel\H{o}l\"uk k\'esz\'{\i}tett
rendezett mint\'at. A $(\xi_1^*,\xi_2^*,\dots,\xi_n^*)$
v\'eletlen vektor (l\'etez\H{o}) $g(x_1,\dots,x_k)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et
az al\'abbi k\'eplet adja meg:
$g(x_1,\dots,x_k)=\frac{n!}{(b-a)^n}$, ha
$a\le x_1<x_2<\cdots<x_n<b$, \'es $g(x_1,\dots,x_n)=0$
egy\'ebk\'ent.

\item{}{\it Megold\'as:}\/ Azt kell bel\'atni, hogy az
$n$-dimenzi\'os t\'er tetsz\H{o}leges $C\subset R^n$
(m\'erhet\H{o}) r\'eszhalmaz\'ara
$$
P((\xi_1^{*},\xi_2^{*},\dots,\xi_n^{*})\in C)
=\int_C g(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots\,dx_n.
$$
El\'eg ezt az azonoss\'agot a $C\subset A$, $A=\{(x_1,\dots,x_n)
\colon\; a< x_1<x_2,\dots<x_n<b\}$ alak\'u halmazokra bel\'atni
a $g(x_1,\dots,x_n)=\frac{n!}{(b-a)^n}$ f\"uggv\'ennyel, mert
$C\in R^n\setminus A$ eset\'en mind
$P((\xi_1^{*},\xi_2^{*},\dots,\xi_n^{*})\in C)=0$, mind
$\int_Cg(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots\,dx_n=0$. Adva egy
$C\subset A$ (m\'erhet\H{o}) halmaz, vezess\"uk be az
$\{1,\dots,n\}$ halmaz $\pi\in\Pi_n$ permut\'aci\'oinak a halmaz\'at,
\'es legyen
$$
C_\pi=\{(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})\colon\; (x_1,\dots,x_n)\in C,\}
$$
minden $\pi\in \Pi_n$ permut\'aci\'ora \'es $C\subset A$
halmazra. Defini\'aljuk a
$\bar C=\bigcupp_{\pi\in\Pi_n}C_{\pi}$ halmazt. Ekkor
$$
\{\oo\colon\;(\xi_1^{*}(\oo),\xi_2^{*}(\oo),\dots,
\xi_n^{*}(\oo))\in C\}=
\{\oo\colon\;(\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots,\xi_n)(\oo))\in \bar C\},
$$
a $C_\pi$ halmazok diszjunktak k\"ul\"onb\"oz\H{o} $\pi$
permut\'aci\'okra, \'es minden $C\subset A$ halmazra.
Ez\'ert
$$
\align
P((\xi_1^{*},\dots,\xi_n^{*})\in C)&=P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in\bar C)
=\int_{\bar C}\frac1{(b-a)^n} \,dx_1\dots\,dx_n\\
&=\int_C \frac{n!}{(b-a)^n} \,dx_1\dots\,dx_n,
\endalign
$$
\'es innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\item{73.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
vala\-mely $\lambda>0$ param\'eterrel, \'es tekints\"uk az
$S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$, $k=1,2,\dots$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket. Az $(S_1,\dots,S_{n+1})$
v\'eletlen vektornak van $g(u_1,\dots,u_{n+1})$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az a
$g(u_1,\dots,u_{n+1})=\lambda^{n+1} e^{-\lambda u_{n+1}}$
f\"uggv\'eny, ha $0\le u_1<\cdots<u_{n+1}$, \'es
$g(u_1,\dots,u_{n+1})=0$ egy\'ebk\'ent.
\item{} {\it Megold\'as.} Ismerj\"uk a $(\xi_1,\dots,\xi_{n+1})$
v\'eletlen vektor s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et,
\'es e s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel
fel tudjuk \'{\i}rni a keresett eloszl\'asf\"uggv\'eny
\'ert\'ekeit megad\'o $P(S_1<x_1,\dots,S_{n+1}<x_{n+1})$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket al\-kal\-mas integr\'al
form\'aj\'aban. Eze\-ket az integr\'alokat \'at\'{\i}rva megfelel\H{o}
koor\-di\-n\'a\-ta\-transz\-for\-m\'a\-ci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel
meg\-kap\-juk a feladat megold\'as\'at.

\item{} A $(\xi_1,\dots,\xi_{n+1})$ v\'eletlen vektor
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye a
$h(v_1,\dots,v_{n+1})=\prodd_{j=1}^{n+1} k(v_j)$
f\"uggv\'eny, ahol $k(v)=\lambda e^{-\lambda v}$, ha $v\ge0$, \'es
$k(v)=0$, ha $v<0$. Tov\'abb\'a,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(S_1<x_1,\dots,S_{n+1}<x_{n+1})
&=P((\xi_1,\dots,\xi_{n+1})\in A_{n+1})\\
&=\int_{A_{n+1}} h(v_1,\dots,v_{n+1})\,dv_1\dots\,dv_{n+1},
\endalign
$$
ahol
$A_{n+1}=A_{n+1}(x_1,\dots,x_{n+1})=\{(v_1,\dots,v_{n+1})\colon\;
v_1<x_1,v_1+v_2<x_2,\dots,v_1+\cdots+v_{n+1}<x_{n+1}\}$. Val\'oban,
$$
\{\oo\colon\;S_1(\oo)<x_1,\dots,S_{n+1}(\oo)<x_{n+1}\}
=\{\oo\colon\;(\xi_1(\oo),\dots,\xi_{n+1}(\oo))\in A_{n+1}\},
$$ 
\'es a $(\xi_1,\dots,\xi_{n+1})$ v\'eletlen vektor 
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $h(v_1,\dots,v_{n+1})$ f\"uggv\'eny. 
Innen k\"ovetkezik a fenti azonoss\'ag.

\item{} Alkalmazzuk az $u_j=v_1+\cdots+v_j$, $1\le j\le n+1$,
transzform\'aci\'ot. E transzform\'aci\'o Jacobianja 1, m\'asr\'eszt
$h(v_1,\dots,v_{n+1})=\prodd_{j=1}^{n+1} k(u_j-u_{j-1})$, $u_0=0$
v\'alaszt\'assal, ahonnan $h(v_1,\dots,v_{n+1})=g(u_1,\dots,u_{n+1})$,
azaz $h(v_1,\dots,v_{n+1})=\lambda^{n+1} e^{-u_{n+1}}$, ha
$0<u_1<\cdots<u_{n+1}$ mert ez felel meg a $v_j>0$, $1\le j\le n+1$
felt\'etelnek, \'es $h(v_1,\dots,v_{n+1})=g(u_1,\dots,u_{n+1})=0$,
egy\'ebk\'ent.

\item{}Meg kell m\'eg gondolni, hogy mi az $A_{n+1}$ halmaz $B_{n+1}$
inverze a fenti (invert\'alhat\'o) transzform\'aci\'o eset\'en,
mert ez a transzform\'alt integr\'al integr\'al\'asi tartom\'anya.
Egyszer\H{u} sz\'amol\'as mutatja, hogy
$B_{n+1}=\{(u_1,\dots,u_{n+1})\colon\;u_1<x_1,\dots,u_{n+1}<x_{n+1}\}$.

\item{} Innen azt kapjuk, hogy
$$
\align
&P(S_1<x_1,\dots,S_{n+1}<x_{n+1})\\
&\qquad =
\int_{\{(u_1,\dots,u_{n+1})\colon\; u_1<x_1,\dots,u_{n+1}<x_{n+1}\}}
g(u_1,\dots,u_{n+1})\,du_1\dots\,du_n,
\endalign
$$
\'es ez volt a bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as.

\item{74.)} Legyenek adva
f\"ug\-get\-len a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
$\xi_1$,\dots, $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
\'es egy t\H{o}l\"uk f\"uggetlen $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amelynek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\frac{\lambda^{n+1}x^n}{n!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, \'es
$g(x)=0$, ha $x<0$. (Az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa megegyezik $n+1$ f\"uggetlen, $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az eloszl\'as\'aval.) Tekints\"uk a
$\xi_1,\dots\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-b\'ol
k\'e\-sz\'{\i}\-tett $\xi_1^*<\cdots<\xi_n^*$ rendezett mint\'at,
\'es defini\'aljuk a $(T_1,\dots,T_n)=(\eta\xi_1^*,\dots,\eta\xi_n^*)$
v\'eletlen vektort, \'es legyen $\eta=T_{n+1}$. Mutassuk meg, hogy a
$$
(T_1,\dots,T_n,T_{n+1})=(\eta\xi_1^*,\dots,\eta\xi_n^*,\eta)
$$
v\'eletlen vektor  eloszl\'asa megegyezik $n+1$ darab f\"uggetlen
$\lambda$ param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $(S_1,\dots,S_{n+1})$
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-b\H{o}l \'all\'o v\'e\-let\-len vektor
el\-osz\-l\'a\-s\'a\-val.

\item{} {\it Megold\'as.}\/ A $(\xi_1^*,\dots,\xi_n^*,\eta)$
v\'eletlen vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye (a 72.~fel\-adat
ered\-m\'e\-nye alapj\'an)
$$
g(v_1,\dots,v_{n+1})=\lambda^{n+1}v^n_{n+1}e^{-\lambda v_{n+1}},
\quad \text{ha } 0\le v_1<v_2<\cdots<v_n\le1, \;\, v_{n+1}\ge0,
$$
\'es $g(v_1,\dots,v_{n+1})=0$ egy\'ebk\'ent. Innen kapjuk, hogy
$$
\align
&P(T_1<x_1,\dots,T_n<x_n,T_{n+1}<x_{n+1})=
P(\eta\xi_1^*<x_1,\dots,\eta\xi_n^*<x_n,\eta<x_{n+1})\\
&\qquad=
\int h(v_1,\dots,v_{n+1})g(v_1,\dots,v_{n+1})\,dv_1\dots\,dv_{n+1},
\endalign
$$
ahol
$$
h(v_1,\dots,v_{n+1})=1,\quad\text{ha }v_jv_{n+1}<x_j,\;\,1\le j\le n,
\quad \text{\'es } v_{n+1}<x_{n+1},
$$
\'es $h(v_1,\dots,v_{n+1})=0$ egy\'ebk\'ent. Val\'oban, a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg egyenl\H{o} az $Eh(\xi_1^*,\dots,\xi^*_n,\eta)$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, \'es mivel a $(\xi_1^*,\dots,\xi_n^*,\eta)$
v\'eletlen vektor s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye 
$g(v_1,\dots,v_{n+1})$ ezt a v\'arhat\'o \'ert\'eket az adott m\'odon 
kell kisz\'amolni.

\item{}\'Irjuk \'at ezt az integr\'alt az $u_j=v_{n+1}v_j$, $1\le j\le n$,
$u_{n+1}=v_{n+1}$ (invert\'alhat\'o) transzform\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ennek a transzform\'aci\'onak a Jacobian-ja
$|u_{n+1}^{-n}|=u_{n+1}^{-n}$, ha $u_{n+1}>0$. Ugyanis
$v_j=\frac {u_j}{u_{n+1}}$, $1\le j\le n$, $v_{n+1}=u_{n+1}$, ez\'ert
$\frac{\partial v_j}{\partial u_j}=\frac1{u_{n+1}}$, $1\le j\le n$,
$\frac{\partial v_j}{\partial u_{n+1}}=-\frac{u_j}{u^2_{n+1}}$,
$1\le j\le n$, $\frac{\partial v_{n+1}}{\partial u_{n+1}}=1$, \'es
$\frac{\partial v_j}{\partial u_k}=0$ egy\'ebk\'ent. Innen k\"onnyen
l\'athat\'o, hogy a Jacobiant defini\'al\'o m\'atrix determin\'ansa
egyenl\H{o} a m\'atrix diagon\'alis elemeinek szorzat\'aval, ami
$u_{n+1}^{-n}$-nel egyenl\H{o}.

\item{} Ezt felhaszn\'alva a fenti azonoss\'agot a k\"ovetkez\H{o}k\'epp
\'{\i}rhatjuk \'at.
$$
\align
&P(T_1<x_1,\dots,T_n<x_n,T_{n+1}<x_{n+1})\\
&\qquad=\int \bar h(u_1,\dots,u_{n+1})\bar g(u_1,\dots,u_{n+1})
u^{-n}_{n+1}\,du_1\dots\,du_{n+1}\\
&\qquad=\int_{\{(u_1,\dots,u_{n+1})\colon\;
u_1<x_1,\dots,u_{n+1}<x_{n+1},\; 0\le u_1<\dots<u_{n+1}\}} \!\!\!\!
\lambda^{n+1} e^{-\lambda u_{n+1}}
\,du_1\dots\,du_{n+1},
\endalign
$$
ahol $\bar h(u_1,\dots,u_{n+1})=1$, ha $u_j<x_j$, $1\le j\le n+1$,
\'es $\bar h(u_1,\dots,u_{n+1})=0$ egy\'ebk\'ent,
$\bar g(u_1,\dots,u_{n+1})
=\lambda^{n+1}u^n_{n+1}e^{-\lambda u_{n+1}}$, ha
$0\le u_1<u_2<\cdots<u_n<u_{n+1}$, \'es $\bar g(u_1,\dots,u_{n+1})=0$
egy\'ebk\'ent. Ez azt jelenti, hogy a $(T_1,\dots,T_n,T_{n+1})$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\lambda^{n+1} e^{-\lambda u_{n+1}}$,
ha $0\le u_1<\cdots<u_{n+1}$, \'es nulla egy\'ebk\'ent.
\"Ossze\-ha\-son\-l\'{\i}t\-va ezt a rel\'aci\'ot a {\it f\"uggetlen
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'al\-to\-z\'ok egy\"ut\-tes 
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a
kisz\'am\'{\i}t\'as\'an\'al}\/ kapott k\'eplettel (l\'asd a 27. vagy
73. feladat eredm\'eny\'et) megkapjuk a 
fel\-adat \'all\'{\i}t\'as\'at.

\medskip\noindent
\item{74a.)}  Legyen $\xi_1,\dots,\xi_{n+1}$
f\"uggetlen, $\lambda$ param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata. Defini\'aljuk az
$S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$, $1\le k\le n+1$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket \'es
a $(Z_1,\dots,Z_n)=\(\frac{S_1}{S_{n+1}},\dots,\frac{S_n}{S_{n+1}}\)$
v\'eletlen vektort. Mutassuk meg, hogy a $(Z_1,\dots,Z_n)$ 
v\'eletlen vektor f\"uggetlen az $S_{n+1}$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol, \'es eloszl\'asa 
megegyezik egy $n$ elem\H{u}, f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot tartalmaz\'o sorozatb\'ol k\'esz\'{\i}tett rendezett
minta el\-osz\-l\'a\-s\'a\-val.

\item{} {\it Megold\'as.}\/ Tekints\"unk
$\xi_1,\dots,\xi_{n+1}$ f\"uggetlen, exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat $\lambda$ param\'eteterrel,
ezek $S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$, $1\le k\le n+1$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-it, valamint f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u $(Z_1,\dots,Z_n)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'okat, egy t\H{o}l\"uk f\"uggetlen, \'es az $S_{n+1}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval megegyez\H{o} eloszl\'as\'u
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Legyen $0\le
Z_1^*<\dots<Z_n*\le1$  a $Z_k$, $1\le k\le n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, \'es defini\'aljuk a
$T_k=\eta Z_k^*$, $k=1,\dots,n$, \'es $T_{n+1}=\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. A 74.~feladat eredm\'enye
alapj\'an az $(S_1,\dots,S_{n+1})$ \'es $(T_1,\dots,T_{n+1})$ 
v\'eletlen vektorok eloszl\'asa megegyezik. De ebb\H{o}l az is 
k\"ovetkezik, hogy az
$\(\frac{S_1}{S_{n+1}},\dots,\frac{S_n}{S_{n+1}},S_{n+1}\)$ \'es
$\(\frac{T_1}{T_{n+1}},\dots,\frac{T_n}{T_{n+1}},T_{n+1}\)
=(Z_1^*,\dots,Z_n^*,\eta)$ v\'e\-let\-len vektorok eloszl\'asa is
megegyezik, \'es ezt kellett bel\'atni. Az utols\'o l\'ep\'esben
azt haszn\'altuk fel, hogy egy v\'eletlen vektor eloszl\'asa 
meghat\'arozza e v\'eletlen vektor f\"uggv\'enyeinek az
eloszl\'as\'at is.

\item{75.)} Legyen az $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} az $\Omega=[0,1]\times[0,1]$
egys\'egn\'egyzet, raj\-ta a szok\'asos $\Cal A$ Borel
$\sigma$-algebr\'aval, \'es legyen $P=\lambda$, a Lebesgue m\'ert\'ek
az egys\'egn\'egyzet Borel-m\'erhet\H{o} r\'esz\-hal\-ma\-za\-in.
Legyen $\Cal F$ az $A\times [0,1]$, $A\in\Cal B_1$ alak\'u
halmazokb\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, ahol $\Cal B_1$ a $[0,1]$
intervallumon gener\'alt $\sigma$-algebr\'at jel\"oli. Tekints\"unk
egy tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o} \'es integr\'alhat\'o) $f(x,y)$
f\"uggv\'enyt az egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-ten (az $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n), \'es sz\'amoljuk ki az
$E(f(x,y)|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.

\item{} {\it Megold\'as.} Ha az $f(x,y)$ f\"uggv\'eny val\'oban
f\"ugg mind a k\'et
v\'altoz\'oj\'at\'ol, akkor nem $\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny.
Viszont de\-fi\-ni\-\'al\-juk a $g_0(x)=\int_0^1 f(x,y)\,dy$ \'es
$g(x,y)=g_0(x)$ f\"uggv\'enyeket. (A $g(x,y)$ f\"uggv\'eny
va\-l\'o\-j\'a\-ban nem f\"ugg az $y$ koordin\'at\'ol, viszont
tekinthet\H{o} egy az $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak, \'es mivel nem f\"ugg az
$y$ koordin\'at\'ol (\'es Borel m\'erhet\H{o}), ez\'ert $\Cal F$
m\'erhet\H{o}. Azt \'all\'{\i}tom, hogy $E(f(x,y)|\Cal F)=g(x,y)$.
Ehhez azt kell ellen\H{o}rizni, hogy
$$
\int_{A\times [0,1]}g(x,y)\,dx\,dy=
\int_{A\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy.
$$
Viszont
$$
\align
\int_{A\times [0,1]}g(x,y)\,dx\,dy&=
\int_Ag_0(x)\,dx=\int_A\(\int_0^1 f(x,y)\,dy\)\,dx\\
&=\int_{A\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy,
\endalign
$$
amint \'all\'{\i}tottuk.

\item{76.)} Legyen az $(\Omega,\Cal A, P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}
az $\Omega=[0,1]\times[0,1]$ egys\'egn\'egyzet, raj\-ta a szok\'asos
$\Cal A$ Borel $\sigma$-algebr\'aval. R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy olyan
$h(x,y)$ f\"uggv\'enyt az egys\'egn\'egyzeten, amelyre $h(x,y)\ge0$
minden $(x,y)$ pontban, $\int_0^1\int_0^1 h(x,y)\,dx\,dy=1$, \'es
legyen a $P$ m\'ert\'ek az egys\'egn\'egyzeten a Lebesgue m\'ert\'ek
sze\-rint $h(x,y)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o}
m\'ert\'ek, azaz legyen $P(B)=\int_B h(x,y)\,dx\,dy$ az
egys\'egn\'egyzet minden Borel-m\'erhet\H{o} $B$
r\'esz\-hal\-ma\-z\'an. Legyen $\Cal F$ az $A\times [0,1]$ alak\'u
halmazokb\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, ahol $A\in\Cal B_1$, \'es
$\Cal B_1$ a $[0,1]$ intervallumon gener\'alt $\sigma$-algebr\'at
jel\"oli. Tekints\"unk egy tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o} \'es a
$P$ m\'ert\'ek szerint integr\'alhat\'o) $f(x,y)$ f\"uggv\'enyt az
egys\'egn\'egyzeten, \'es sz\'amoljuk ki az $E(f(x,y)|\Cal F)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.

\item{} {\it Megold\'as.} A keresett felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek a k\"ovetkez\H{o}: De\-fi\-ni\-\'al\-juk a
$$
g_0(x)=\int_0^1 f(x,y)\frac{h(x,y)}{\int_0^1 h(x,y)\,dy}\,dy
=\frac{\int_0^1 f(x,y)h(x,y)\,dy}{\int_0^1 h(x,y)\,dy}
$$
\'es $g(x,y)=g_0(x)$ f\"uggv\'enyeket. Azt \'all\'{\i}tom, hogy a
$g(x,y)$ f\"uggv\'eny a keresett felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek.
Ez a f\"uggv\'eny nem f\"ugg az $y$ koordin\'at\'ol, \'{\i}gy
$\Cal F$ m\'erhet\H{o}. Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$E(f(x,y)|\Cal F)=g(x,y)$. Azt kell ellen\H{o}rizni, hogy
$$
\int_{A\times [0,1]}g(x,y)h(x,y)\,dx\,dy=
\int_{A\times [0,1]}f(x,y)h(x,y)\,dx\,dy
$$
minden m\'erhet\H{o} $A\subset[0,1]$ halmazra. Viszont
$$
\align
&\int_{A\times [0,1]}g(x,y)h(x,y)\,dx\,dy=
\int_A\(\int_0^1 h(x,y)\,dy\) g_0(x)\,dx\\
&\qquad=\int_A\(\int_0^1 f(x,y)h(x,y)\,dy\)\,dx
=\int_{A\times [0,1]}f(x,y)h(x,y)\,dx\,dy,
\endalign
$$
amint \'all\'{\i}tottam. A kapott eredm\'eny megfelel szeml\'eletes
k\'ep\"unknek, amely szerint r\"ogz\'{\i}tett $x_0$ sz\'amra az
$E(f(x,y)|x=x_0)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket \'ugy
sz\'a\-mol\-hat\-juk ki, hogy az $f(x_0,y)$ f\"uggv\'enyt
kiintegr\'aljuk az $y$ v\'altoz\'o szerint, de nem a $h(x_0,y)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, hanem ennek normaliz\'altja a
$\frac{h(x_0,y)}{\int_0^1 h(x_0,y)\,dy}$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny szerint.

\item{77.)} Legyen $(\xi,\eta)$ egy k\'et-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Sz\'am\'{\i}tsuk ki az
$E(\xi|\eta)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket.

\item{}
{\it Megold\'as:}\/ L\'attuk, (l\'asd a t\"obbv\'altoz\'os
cent\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel el\H{o}ad\'as ered\-m\'e\-nye\-it)
hogy $\xi=a\eta+\zeta$ alakban \'{\i}rhat\'o, ahol az $a$ konstans
alkalmas v\'alaszt\'as\'aval (nevezetesen az
$a=\frac{\Cov(\xi,\eta)}{\Var\eta}$ v\'alaszt\'assal) el\'erhet\H{o},
hogy a $\zeta=\xi-a\eta$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek legyenek. Ezzel az $a$
v\'alaszt\'assal
$$
\align
E(\xi|\eta)&=E((a\eta+\zeta)|\eta)=aE(\eta|\eta)+E(\zeta|\eta)
=a\eta+E\zeta=a(\eta-E\eta)+E\xi\\
&=\dfrac{\Cov(\xi,\eta)}{\Var\eta}(\eta-E\eta)+E\xi
\endalign
$$
a v\'arhat\'o \'ert\'eknek az el\H{o}ad\'asban a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agait felsorol\'o t\'etelben
szerepl\H{o}
1.,~5. \'es 6.~tulajdons\'agok alapj\'an.




\bye
