\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\centerline{\bf FELADATOK}

\bigskip
\item{1.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek k\"oz\"ul
$\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} \'es $\eta$ $\mu$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, azaz a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $f(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, $f(x)=0$, ha $x<0$,
az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\mu e^{-\mu x}$, ha $x>0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, tov\'abb\'a $\lambda>0$, $\mu>0$ \'es
$\lambda\neq\mu$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\eta$ \"osszeg
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\item{2.)} Legyen a $(\xi,\eta)$ k\'etdimenzi\'os v\'eletlen vektor
eloszl\'asa egyenletes a $(0,0)$, $(0,1)$, $(2,0)$ cs\'ucspontok
\'altal meghat\'arozott der\'eksz\"og\H{u} h\'aromsz\"ogben, azaz
legyen s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye az $f(x,y)=1$ az
$x\ge0$,
$y\ge0$, $2y+x\le2$ egyenl\H{o}tlens\'eget teljes\'{\i}t\H{o}
$(x,y)$ pontokban, \'es $f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amoljuk ki
a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\Cov(\xi,\eta)$ kovarianci\'aj\'at.

\item{3.)} Adott k\'et urna, mindkett\H{o}ben 20 piros \'es 30
feh\'er goly\'o. Kih\'uzunk egym\'as ut\'an t\'{\i}z alkalommal
egy-egy goly\'ot mind a k\'et urn\'ab\'ol. Az els\H{o} urn\'ab\'ol
visszatev\'essel, a m\'asodik urn\'ab\'ol visszatev\'es n\'elk\"ul
h\'uzzuk ki a goly\'ot. Sz\'amoljuk ki azon h\'uz\'asp\'arok
sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et, amelyek sor\'an a k\'et kih\'uzott goly\'o
sz\'{\i}ne megegyezik.

\item{4.)} Van egy hatvan k\"ul\"onb\"oz\H{o} k\'arty\'at
tartalmaz\'o k\'artyacsomagunk. Kih\'uzunk 30 lapot \'ugy, hogy a
harmadik, hatodik,\dots harmincadik ut\'an (teh\'at a h\'arommal
oszt\-ha\-t\'o h\'uz\'assz\'amok eset\'en) a kih\'uzott lapot nem
tessz\"uk vissza a k\'artyacsomagba, \'es az \"osszes t\"obbi
h\'uz\'as ut\'an a kih\'uzott lapot visszatessz\"uk a
k\'artyacsomagba. Mi a kih\'uzott k\"ul\"onb\"oz\H{o}
k\'artyalapok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke? (Egy viszonylag
egyszer\H{u} k\'epletet kell erre adni, a v\'arhat\'o \'ert\'ek
numerikus \'ert\'ek\'enek kisz\'am\'{\i}t\'as\'at nem
k\'{\i}v\'anom.)

\item{5.)} Ledobunk 6000 pontot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
a $[0,3]$ intervallumra egyenletes el\-osz\-l\'as\-sal, azaz a
ledobott pontok hely\'enek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye legyen
$f(x)=\frac13$, ha $0\le x\le3$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Egy
jegyz\H{o}k\"onyvbe fel\'{\i}rjuk a ledobott pontok n\'emileg
m\'odos\'{\i}tott \'ert\'ek\'et a k\"ovetkez\H{o} m\'odon.
Ha a ledobott pont \'ert\'eke a $[0,1]$ intervallumba esik, akkor
a pont \'ert\'eket \'{\i}rjuk a jegyz\H{o}k\"onyvbe, ha a pont az
$[1,2]$ intervallumba esik akkor az 1 sz\'amot, ha pont a $[2,3]$
intervallumba esik, akkor a 2 sz\'amot \'{\i}rjuk a
jegyz\H{o}k\"onyvbe. Adjunk egy norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
t\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o}
\'ert\'eket annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt 6000 sz\'am \"osszege 6940 \'es 7080
k\"oz\'e esik.

\item{6.)} Mikor mondjuk, hogy  egy $(\xi_1,\dots,\xi_n)$
$n$-dimenzi\'os v\'eletlen vektor norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u?

\medskip
\centerline{\bf MEGOLD\'ASOK.}

\item{1.} Tudjuk, hogy a tekintett k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et az
$f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-y)\,du$ konvoluci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Mivel $f(x)=0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, ez\'ert ebben az esetben a konvoluci\'oban
szerepl\H{o} integrandus $f(u)g(x-u)=0$, ha $u<0$ vagy
$x-u<0$, azaz $u\ge x$. Innen
$$
f*g(x)=\int_0^x \lambda e^{-\lambda u}\mu e^{-\mu(x-u)}\,du=
\lambda\mu e^{-\mu x}\int_0^x e^{-(\lambda-\mu)u}\,du, \quad\text{ha
}x\ge0,
$$
\'es $f*g(x)=0$, ha $x<0$. Ez\'ert
$$
f*g(x)=\frac{\lambda\mu e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}\[e^{-(\lambda
-\mu)u}\]_0^x= \lambda\mu \frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}
\quad\text{ha $x\ge0$ \'es }\lambda\neq \mu.
$$

\medskip
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Vizsg\'aljuk meg, mit kapunk az
$f_\lambda*g_\mu(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny \'ert\'ekek\'ent,
ha  a $\lambda$ sz\'amot fix\'aljuk, \'es $\mu\to\lambda$. Most az
$f$ \'es $g$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek helyett $f_\lambda$
\'es $g_\mu$ f\"uggv\'enyeket \'{\i}runk, hogy jelezz\"uk ezek
f\"ugg\'es\'et a $\lambda$ \'es $\mu$ param\'eterekt\H{o}l.
\item{} Mivel r\"ogz\'{\i}tett $x>0$ sz\'amra
$$
\limm_{\mu\to\lambda}\frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}
=-x\limm_{\mu\to\lambda}\frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\lambda x-\mu x}
=-x\left.\frac{d}{du}e^{-u}\right|_{u=\lambda x}=xe^{-\lambda x},
$$
ez\'ert
$\limm_{\mu\to\lambda}f_\lambda*g_\mu(x)=\lambda^2xe^{-\lambda x}$,
ha $x\ge0$. M\'asr\'eszt
$\limm_{\mu\to\lambda}f_\lambda*g_\mu(x)=0$, ha $x<0$. Ez,
\"osszehasonl\'{\i}tva az $f_\lambda*g_\lambda(x)$
konvoluci\'ora kapott eredm\'ennyel azt jelenti, hogy
$\limm_{\mu\to\lambda}f_\lambda*g_\mu(x)=f_\lambda*g_\lambda(x)$
minden $x$ sz\'amra.

\medskip
\item{2.)} $\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta$,
$E\xi\eta=\int xy f(x,y) \,dx\,dy$, $E\xi=\int x f(x,y) \,dx\,dy$
\'es $E\eta=\int y f(x,y) \,dx\,dy$.
$$
\align
E\xi\eta&=\int_{-\infty}^\infty\int_{\-\infty}^\infty xy f(x,y)\,dx\,dy
=\int_0^2 x\(\int_0^1f(x,y)y\,dy\)\,dx\\
&=\int_0^2 x\(\int_0^{1-\frac x2}y\,dy\)\,dx
=\int_0^2 x\[\frac{y^2}2\]_0^{1-\frac x2}\,dx
=\int_0^2 x\frac{\(1-\frac x2\)^2}2\,dx\\
&=\int_0^2\(\frac{x^3}8-\frac{x^2}2+\frac x2\)\,dx
=\frac12-\frac86+1=\frac16,
\endalign
$$
$$
E\xi=\int_0^2\(\int_0^{1-\frac x2} x\,dy\)\,dx
=\int_0^2\(x-\frac{x^2}2\)\,dx=2-\frac86=\frac23,
$$
$$
\align
E\eta&=\int_0^2\(\int_0^{1-\frac x2} y\,dy\)\,dx
=\int_0^2\[\frac{y^2}2\]_0^{1-\frac x2}\,dx\\
&=\int_0^2\frac{1-x+\frac{x^2}4}2\,dx=\frac13-1+1=\frac13.
\endalign
$$
Innen $\Cov(\xi,\eta)=\frac16-\frac23\cdot\frac13=-\frac1{18}$.

\item{3.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $X_i$, $1\le i\le10$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. $X_i=1$, ha az $i$-ik
h\'uz\'asban k\'et piros vagy k\'et feh\'er goly\'ot h\'uztunk.
Ekkor az $S=\summ_{k=1}^{10}X_i$ v\'eletlen \"osszeg v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell kisz\'amolnunk.
Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or az $EX_i$,
$\Var\xi_i$, \'es $\Cov(X_i,X_j)$, $i\neq j$, mennyis\'egeket.
Tudjuk, hogy $EX_i=EX_1$, $\Var X_i=\Var X_1$,
$\Cov(X_i,X_j)=\Cov(X_1,X_2)$ minden $1\le i,j\le10$, $i\neq j$
indexekre.
\item{} $EX_1=P(X_1=1)=\(\frac25\)^2+\(\frac35\)^2=\frac{13}{25}$,
$EX_1^2=P(X_1=1)=EX_1$, ahonnan
$\Var X_1=\frac{13}{25}-\(\frac{13}{25}\)^2=\frac{156}{625}$.
$\Cov(X_1,X_2)=EX_1X_2-EX_1EX_2=EX_1X_2-(EX_1)^2$. Sz\'amoljuk ki
az $EX_1X_2$ mennyis\'eget. $EX_1X_2=P(X_1=1,X_2=1)$. Ez ut\'obbi
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg azon esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek az \"osszege, hogy
vagy $(PP, PP)$ vagy $(FF, FF)$ vagy $(PP, FF)$ vagy $(FF, PP)$
h\'uz\'assorozat t\"ort\'enik az els\H{o} k\'et h\'uz\'asban. Az
els\H{o} h\'uz\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\(\frac25\)^2\cdot\frac25\frac{19}{49}$, a m\'asodik\'e
$\(\frac35\)^2\cdot\frac35\frac{29}{49}$, a harmadik
\'es negyedik h\'uz\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\(\frac35\)^2\cdot\frac25\frac{20}{49}$
Innen $EX_1X_2=\frac{8\cdot19+27\cdot29+2\cdot360}{125\cdot49}
=\frac{1655}{125\cdot49}$. Ez\'ert 
$$
\Cov(X_1,X_2)=\frac{1655}{125\cdot49}-\frac{169}{625}
=\frac{8275-8281}{49\cdot(25)^2}=-\frac{6}{49\cdot(25)^2}.
$$
Innen $ES=10EX_1=\frac{26}5$, $\Var S=10\Var X_1+90\Cov(X_1,X_2)
=\frac{312}{125}-\frac{108}{49\cdot125}=\frac{3036}{1225}$.

\item{4.)} Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $Y_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. $EY_j=1$, ha a $j$-ik
k\'arty\'at kih\'uzzuk, $Y_j=0$ egy\'ebk\'ent, $1\le j\le60$. Ekkor
a keresett v\'arhat\'o \'ert\'ek az $\summ_{j=1}^{60}EY_j$ \"osszeg,
\'es $EY_j=P(Y_j=1)=1-P(Y_j=0)$, ahol $P(Y_j=0)$ annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik k\'arty\'at a 60 h\'uz\'as
sor\'an soha nem h\'uzzuk ki. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} h\'uz\'asban nem h\'uzzuk ki ezt a k\'arty\'at 
$\frac{59}{60}$, annak
hogy az els\H{o} k\'et h\'uz\'as sor\'an nem h\'uzzuk ki
$\(\frac{59}{60}\)^2$, annak hogy az els\H{o} h\'arom h\'uz\'as
sor\'an nem h\'uzzuk ki $\(\frac{59}{60}\)^3$. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} n\'egy h\'uz\'as
sor\'an nem h\'uzzuk ki a $j$-ik k\'arty\'at
$\(\frac{59}{60}\)^3\frac{58}{59}$, mert a harmadik h\'uz\'as
ut\'an m\'ar csak 59 lap marad. Hasonl\'oan, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} hat h\'uz\'as sor\'an
nem h\'uzzuk ki ezt a lapot
$\(\frac{59}{60}\)^3\(\frac{58}{59}\)^3$, \'es \'{\i}gy tov\'abb
\'ervelve a hatvanadik h\'uz\'asig azt kapjuk, hogy
$P(Y_j=0)=\prodd_{i=0}^{19}\(\frac{59-i}{60-i}\)^3$. Ez\'ert
a keresett v\'arhat\'o \'ert\'ek $\summ_{j=1}^{60}(1-P(Y_j=0))=60
\[1-\prodd_{i=0}^{19}\(\frac{59-i}{60-i}\)^3\]$.


\item{5.)} Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik ledobott pont \'ert\'ek\'et,
$1\le j\le 6000$, \'es
legyen $\eta_j=f(\xi_j)$, ahol az $f(x)$, $0\le x\le3$, f\"uggv\'enyt
az $f(x)=x$, ha $0\le x\le1$, $f(x)=1$, ha $1\le x\le2$, \'es 
$f(x)=2$, ha $2\le x\le3$ k\'epletekkel defini\'aljuk. Ekkor $\eta_j$
a $j$-ik jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt sz\'am \'ert\'eke, \'es minket
a $P\(6940\le\summ_{j=1}^{6000}\eta_j\le7080\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. Ennek
kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben sz\'am\'{\i}tjuk ki el\H{o}sz\"or
az $E\eta_j$ \'es $\Var\eta_j$ mennyis\'egeket.
$E\eta_j=\int_0^3\frac13f(x)\,dx=\int_0^1\frac13x\,dx+\frac13(1+2)
=\frac16+1=\frac76$,
$E\eta^2_j=\int_0^3\frac13f^2(x)\,dx
=\int_0^1\frac13x^2\,dx+\frac13(1^2+2^2)=\frac19+\frac53=\frac{16}9$,
\'es $\Var\eta_j=E\eta_j^2-(E\eta_j)^2=\frac{16}9-\frac{49}{36}
=\frac{15}{36}=\frac5{12}$. Innen az $S=\summ_{j=1}^{6000}\eta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora $ES=7000$, \'es
$\Var S=2500=50^2$. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
szerint
$$
\align
P\(6940\le\summ_{j=1}^{6000}\eta_j\le7080\)&=
P\(\frac{6940-7000}{50}\le\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}
\le\frac{7080-7000}{50}\)\\
&=P\(-1.2\le\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le1.6\)
\sim \Phi(1.6)-\Phi(-1.2)\\
&=\Phi(1.6)+\Phi(1.2)-1\sim(0.9452+0.8849-1)\sim0.83.
\endalign
$$
\item{6.)} Akkor mondjuk, hogy a $(\xi_1,\dots,\xi_n)$
v\'eletlen vektor norm\'alis eloszl\'as\'u, ha l\'etezik olyan
$A$ $n\times n$ m\'eret\H{u} m\'atrix \'es $b=(b_1,\dots,b)$
vektor (ezek nem f\"uggnek a v\'eletlent\H{o}l), hogy v\'eve $n$
darab f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u
$\eta_1,\dots,\eta_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot,
\'es defini\'alva az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_n)$ v\'eletlen
vektort, az $\eta A+b$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa megegyezik a
$(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen vektor eloszl\'as\'aval.

\bye


\item{3.} Vezess\"uk be a $\xi_i$, $2\le i\le 101$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'ugy, hogy $\xi_i=1$, ha
az $i$-ik \'es $i-1$-ik h\'uz\'asban azonos sz\'{\i}n\H{u}
goly\'ot h\'uzunk, $\xi_i=0$, ha az $i$-ik  h\'uz\'asban
k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'okat h\'uzunk. Legyen
$\xi=\summ_{i=2}^{101}\xi_i$. Ekkor az
$E\xi$ \'es $\Var\xi$ mennyis\'egeket kell kisz\'amolnunk.

\item{} $E\xi=\summ_{i=2}^{101}E\xi_i=100E\xi_2$, mert a $\xi_i$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos eloszl\'as\'uak.
Ez\'ert, $E\xi_2=\(\frac25\)^2+\(\frac35\)^2=\frac{13}{25}$, \'es
$E\xi=100E\xi_2=52$.
$$
\align
\Var\xi&=\summ_{i=2}^{101}\Var\xi_i
+\summ_{2\le i,j\le 101,\,i\neq j}\Cov(\xi_i,\xi_j)
=100\Var\xi_2+2\sum_{i=2}^{100}\Cov(\xi_i,\xi_{i+1})\\
&=100\Var\xi_2+2\cdot99\cdot\Cov(\xi_2,\xi_3),
\endalign
$$
mert $\Cov(\xi_i,\xi_j)=0$, ha $|i-j|\ge2$. Tov\'abb\'a,
$\Var\xi_2=E\xi_2^2-(E\xi_2)^2=\frac{13}{25}-\(\frac{13}{25}\)^2
=\frac{156}{625}$, \'es $\Cov(\xi_2,\xi_3)=E\xi_2\xi_3-E\xi_2E\xi_3$,
$E\xi_2\xi_3=\(\frac25\)^3+\(\frac35\)^3=\frac{35}{125}$, mert
$\xi_2\xi_3$ csak nulla \'es 1 \'ert\'eket vesz fel, \'es akkor vesz
fel 1 \'ert\'eket, ha az els\H{o} h\'arom h\'uz\'as mindegyike vagy
piros vagy feh\'er.

\item{} Innen $\Cov(\xi_2,\xi_3)=\frac{35}{125}-\(\frac{13}{25}\)^2
=\frac6{625}$, \'es $\Var\xi=100\cdot\frac{156}{625}+2\cdot 9\cdot6{625}
=\frac{16788}{625}=26,8608$.

\item{4.} A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot
fel\'{\i}rhatjuk $\xi=2\eta-1$ alakban, ahol $\eta$ standard
norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ez\'ert
$Ee^{t\xi}=Ee^{t(2\eta-1)}=e^{-t}Ee^{(2t)\eta}$. A gyakorlaton
kisz\'amoltuk, hogy $Ee^{t\eta}=e^{t^2/2}$ tetsz\H{o}leges val\'os
$t$ sz\'amra. (L\'asd a feladatsor 1. feladat\'at.) Ezt a
sz\'amol\'ast itt nem ism\'etlem meg. Ezt az eredm\'enyt
felhaszn\'alva kapjuk, hogy
$Ee^{t\xi}=e^{-t}e^{(2t)^2/2}=e^{2t^2-t}$.

\item{5.} Vezess\"uk be a $\xi_j$, $1\le j\le10~000$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyekre $\xi_j=1$, ha
a $j$-ik dob\'as fej, \'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as
\'{\i}r\'as. Legyen $\xi=\summ_{j=1}^{10~000}\xi_j$.
Ekkor olyan $k$ sz\'amot keres\"unk, amelyre feltev\'es\"unk
teljes\"ul\'ese eset\'en $P(\xi>k)\ge0.9$. Sz\'amoljuk ki ezt a
$k$-t\'ol f\"ugg\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget a feltev\'es\"unk
teljes\"ul\'ese eset\'en legkellemetlenebb esetben; akkor, ha
a fejdob\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac45$. Sz\'amoljuk ki
ennek \'erdek\'eben az $E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es $\Var\xi$
sz\'or\'asn\'egyzetet. $E\xi=10~000E\xi_1=10~000\cdot \frac45=8000$.
$\Var\xi=10~000\Var\xi_1=10~000\cdot\(\frac45-\(\frac45\)^2\)=1600=40^2$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
P(\xi>k)=P\(\frac{\xi-8000}{40}>\frac{k-8000}{40}\)
\sim1-\Phi\(\frac{k-8000}{40}\),
$$
ahol $\Phi(\cdot)$ a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny.
Ez\'ert nek\"unk az $1-\Phi\(\frac{k-8000}{40}\)=0.9$, azaz
$\Phi\(\frac{k-8000}{40}\)=0.1$ vagy
$\Phi\(\frac{8000-k}{40}\)=0.9$ egyenletet kell megoldanunk.
A norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat szerint innen,
$\frac{8000-k}{40}=1.29$, azaz $8000-k\sim51.6$, $k\sim7948.4$.
Legyen $k=7949$.

\item{6.} A $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok akkor \'es csak akkor f\"uggetlenek, ha
tetsz\H{o}leges val\'os $x_1,\dots,x_n$ sz\'amokra
$$
P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n)=P(\xi_1<x_1)\cdots P(\xi_n<x_n).
$$
Ehelyett lehet azt a form\'alisan er\H{o}sebb, de val\'oj\'aban
ekvivalens kik\"ot\'est tenni, hogy tetsz\H{o}leges (Borel
m\'erhet\H{o}) $B_1$,\dots $B_n$ halmazokra
$$
P(\xi_1\in B_1,\dots,\xi_n\in B_n)=P(\xi_1\in B_1)\cdots P(\xi_n\in B_n).
$$
Viszont nem fogadtam el teljes \'ert\'ek\H{u}nek olyan
definici\'ot, amely csak diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra \'erv\'enyes.

\bye
