FELADATOK

1. Legyen ξ és η két független valószínűségi változó, amelyek közül ξ λ paraméterű és η μ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó, azaz a ξ valószínűségi változó f(·) sűrűségfüggvénye f(x) = λe^{−λx}, ha x ≥ 0, f(x) = 0, ha x < 0, az η valószínűségi változó g(·) sűrűségfüggvénye g(x) = μe^{−μx}, ha x > 0, g(x) = 0, ha x < 0, továbbá λ > 0, μ > 0 és λ ≠ μ. Számítsuk ki a ξ + η összeg sűrűségfüggvényét.

2.) Legyen a (ξ, η) kétdimenziós véletlen vektor eloszlása egyenletes a (0, 0), (0, 1), (2, 0) csúcspontok által meghatározott derékszögű háromszögben, azaz legyen sűrűségfüggvénye az f(x, y) = 1 az x ≥ 0, y ≥ 0, 2y + x ≤ 2 egyenlőtlenséget teljesítő (x, y) pontokban, és f(x, y) = 0 egyébként. Számoljuk ki a ξ és η valószínűségi változók Cov (ξ, η) kovarianciáját.

3.) Adott két urna, mindkettőben 20 piros és 30 fehér golyó. Kihúzunk egymás után tíz alkalommal egy-egy golyót mind a két urnából. Az első urnából visszatevéssel, a második urnából visszatevés nélkül húzzuk ki a golyót. Számoljuk ki azon húzáspárok számának a várható értékét és szórásnégyzetét, amelyek során a két kihúzott golyó színe megegyezik.

4.) Van egy hatvan különböző kártyát tartalmazó kártyacsomagunk. Kihúzunk 30 lapot úgy, hogy a harmadik, hatodik, … harmincadik után (tehát a hárommal osztható húzásszámok esetén) a kihúzott lapot nem tesszük vissza a kártyacsomagba, és az összes többi húzás után a kihúzott lapot visszatesszük a kártyacsomagba. Mi a kihúzott különböző kártyalapok számának a várható értéke? (Egy viszonylag egyszerű képletet kell erre adni, a várható érték numerikus értékének kiszámítását nem kívánom.)

5.) Ledobunk 6000 pontot egymástól függetlenül a [0, 3] intervallumra egyenletes eloszlással, azaz a ledobott pontok helyének sűrűségfüggvénye legyen f(x) = \frac{1}{3}, ha 0 ≤ x ≤ 3, és f(x) = 0 egyébként. Egy jegyzőkönyvbe felírjuk a ledobott pontok némileg módosított értékét a következő módon. Ha a ledobott pont értéke a [0, 1] intervallumba esik, akkor a pont értéket írjuk a jegyzőkönyvbe, ha a pont az [1, 2] intervallumba esik akkor az 1 számot, ha pont a [2, 3] intervallumba esik, akkor a 2 számot írjuk a jegyzőkönyvbe. Adjunk egy normális eloszlásfüggvény táblázat segítségével jó közelítő értéket annak valószínűségére, hogy a jegyzőkönyvbe írt 6000 szám összege 6940 és 7080 közé esik.

6.) Mikor mondjuk, hogy egy (ξ_{1}, …, ξ_{n}) n-dimenziós véletlen vektor normális eloszlású?

MEGOLDÁSOK.

1. Tudjuk, hogy a tekintett két független valószínűségi változó összegének a sűrűségfüggvényét az f ∗ g(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(u)g(x − y) du konvolució segítségével számíthatjuk ki. Mivel f(x) = 0, g(x) = 0, ha x < 0, ezért ebben az esetben a konvolucióban szereplő integrandus f(u)g(x − u) = 0, ha u < 0 vagy x − u < 0, azaz u ≥ x. Innen

f ∗ g(x) = ∫_{0}^{x} λe^{−λu}μe^{−μ(x−u)} du = λμe^{−μx} ∫_{0}^{x} e^{−(λ−μ)u} du, ha x ≥ 0,

és f ∗ g(x) = 0, ha x < 0. Ezért

f ∗ g(x) = \frac{λμe^{−μx}}{μ − λ} [e^{−(λ−μ)u}]_{0}^{x} = λμ\frac{e^{−λx} − e^{−μx}}{μ − λ} ha x ≥ 0 és λ ≠ μ.

Megjegyzés: Vizsgáljuk meg, mit kapunk az f_{λ} ∗ g_{μ}(x) sűrűségfüggvény értékeként, ha a λ számot fixáljuk, és μ → λ. Most az f és g sűrűségfüggvények helyett f_{λ} és g_{μ} függvényeket írunk, hogy jelezzük ezek függését a λ és μ paraméterektől.

Mivel rögzített x > 0 számra

lim_{μ→λ} \frac{e^{−λx} − e^{−μx}}{μ − λ} = −x lim_{μ→λ} \frac{e^{−λx} − e^{−μx}}{λx − μx} = −x \frac{d}{du}e^{−u}|_{u=λx} = xe^{−λx},

ezért lim_{μ→λ} f_{λ} ∗ g_{μ}(x) = λ^{2}xe^{−λx}, ha x ≥ 0. Másrészt lim_{μ→λ} f_{λ} ∗ g_{μ}(x) = 0, ha x < 0.

Ez, összehasonlítva az f_{λ} ∗ g_{λ}(x) konvolucióra kapott eredménnyel azt jelenti, hogy lim_{μ→λ} f_{λ} ∗ g_{μ}(x) = f_{λ} ∗ g_{λ}(x) minden x számra.

2.) Cov (ξ, η) = Eξη − EξEη, Eξη = ∫ xyf(x, y) dx dy, Eξ = ∫ xf(x, y) dx dy és Eη = ∫ yf(x, y) dx dy.

Eξη = ∫_{−∞}^{∞} ∫_{∞}^{∞} xyf(x, y) dx dy = ∫_{0}^{2} x (∫_{0}^{1} f(x, y)y dy) dx

= ∫_{0}^{2} x (∫_{0}^{1− \frac{x}{2}} y dy) dx = ∫_{0}^{2} x [\frac{y^{2}}{2} ]_{0}^{1− \frac{x}{2}} dx = ∫_{0}^{2} x\frac{(1 − \frac{x}{2})^{2}}{2} dx

= ∫_{0}^{2} (\frac{x^{3}}{8} − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2}) dx = \frac{1}{2} − \frac{8}{6} + 1 = \frac{1}{6},

Eξ = ∫_{0}^{2} (∫_{0}^{1− \frac{x}{2}} x dy) dx = ∫_{0}^{2} (x − \frac{x^{2}}{2} ) dx = 2 − \frac{8}{6} = \frac{2}{3},

Eη = ∫_{0}^{2} (∫_{0}^{1− \frac{x}{2}} y dy) dx = ∫_{0}^{2} [\frac{y^{2}}{2} ]_{0}^{1− \frac{x}{2}} dx

= ∫_{0}^{2} \frac{1 − x + \frac{x^{2}}{4}}{2} dx = \frac{1}{3} − 1 + 1 = \frac{1}{3}.

Innen Cov (ξ, η) = \frac{1}{6} − \frac{2}{3} · \frac{1}{3} = −\frac{1}{18}.

3.) Vezessük be a következő X_{i}, 1 ≤ i ≤ 10, valószínűségi változókat. X_{i} = 1, ha az i-

ik húzásban két piros vagy két fehér golyót húztunk. Ekkor az S = ∑_{k=1}^{10} X_{i} véletlen

összeg várható értékét és szórásnégyzetét kell kiszámolnunk. Ennek érdekében számoljuk ki először az EX_{i}, Var ξ_{i}, és Cov (X_{i}, X_{j}), i ≠ j, mennyiségeket. Tudjuk, hogy EX_{i} = EX_{1}, Var X_{i} = Var X_{1}, Cov (X_{i}, X_{j}) = Cov (X_{1}, X_{2}) minden 1 ≤ i, j ≤ 10, i ≠ j indexekre.

EX_{1} = P (X_{1} = 1) = (\frac{2}{5})^{2} + (\frac{3}{5})^{2} = \frac{13}{25}, EX_{1}^{2} = P (X_{1} = 1) = EX_{1}, ahonnan Var X_{1} = \frac{13}{25} − (\frac{13}{25})^{2} = \frac{156}{625}. Cov (X_{1}, X_{2}) = EX_{1}X_{2} − EX_{1}EX_{2} = EX_{1}X_{2} − (EX_{1})^{2}. Számoljuk ki az EX_{1}X_{2} mennyiséget. EX_{1}X_{2} = P (X_{1} = 1, X_{2} = 1). Ez utóbbi valószínűség azon események valószínűségeinek az összege, hogy vagy (P P, P P) vagy (F F, F F) vagy (P P, F F) vagy (F F, P P) húzássorozat történik az első két húzásban. Az első húzássorozat valószínűsége (\frac{2}{5})^{2} · \frac{2}{5} \frac{19}{49}, a másodiké (\frac{3}{5})^{2} · \frac{3}{5} \frac{29}{49}, a harmadik és negyedik húzássorozat valószínűsége (\frac{3}{5})^{2} · \frac{2}{5} \frac{20}{49} Innen EX_{1}X_{2} = \frac{8·19+27·29+2·360}{125·49} = \frac{1655}{125·49}. Ezért

Cov (X_{1}, X_{2}) = \frac{1655}{125 · 49} − \frac{169}{625} = \frac{8275 − 8281}{49 · (25)^{2}} = −\frac{6}{49 · (25)^{2}} .

Innen ES = 10EX_{1} = \frac{26}{5}, Var S = 10Var X_{1} + 90Cov (X_{1}, X_{2}) = \frac{312}{125} − \frac{108}{49·125} = \frac{3036}{1225}.

4.) Definiáljuk a következő Y_{j} valószínűségi változókat. EY_{j} = 1, ha a j-ik kártyát kihúzzuk, Y_{j} = 0 egyébként, 1 ≤ j ≤ 60. Ekkor a keresett várható érték az

∑_{j=1}^{60} EY_{j} összeg, és EY_{j} = P (Y_{j} = 1) = 1 − P (Y_{j} = 0), ahol P (Y_{j} = 0) annak a

valószínűsége, hogy a j-ik kártyát a 60 húzás során soha nem húzzuk ki. Annak a valószínűsége, hogy az első húzásban nem húzzuk ki ezt a kártyát \frac{59}{60}, annak hogy az első két húzás során nem húzzuk ki (\frac{59}{60})^{2}, annak hogy az első három húzás során nem húzzuk ki (\frac{59}{60})^{3}. Annak a valószínűsége, hogy az első négy húzás során nem húzzuk ki a j-ik kártyát (\frac{59}{60})^{3} \frac{58}{59}, mert a harmadik húzás után már csak 59 lap marad. Hasonlóan, annak a valószínűsége, hogy az első hat húzás során nem húzzuk ki ezt a lapot (\frac{59}{60})^{3} (\frac{58}{59})^{3}, és így tovább érvelve a hatvanadik

húzásig azt kapjuk, hogy P (Y_{j} = 0) = ∏_{i=0}^{19} (\frac{59−i}{60−i})^{3}. Ezért a keresett várható érték

∑_{j=1}^{60}(1 − P (Y_{j} = 0)) = 60 [1 − ∏_{i=0}^{19} (\frac{59−i}{60−i})^{3}].

5.) Jelölje ξ_{j} a j-ik ledobott pont értékét, 1 ≤ j ≤ 6000, és legyen η_{j} = f(ξ_{j}), ahol az f(x), 0 ≤ x ≤ 3, függvényt az f(x) = x, ha 0 ≤ x ≤ 1, f(x) = 1, ha 1 ≤ x ≤ 2, és f(x) = 2, ha 2 ≤ x ≤ 3 képletekkel definiáljuk. Ekkor η_{j} a j-ik jegyzőkönyvbe írt

szám értéke, és minket a P (6940 ≤ ∑_{j=1}^{6000} η_{j} ≤ 7080) valószínűség értéke érdekel.

Ennek kiszámítása érdekében számítjuk ki először az Eη_{j} és Var η_{j} mennyiségeket. Eη_{j} = ∫_{0}^{3} \frac{1}{3}f(x) dx = ∫_{0}^{1} \frac{1}{3}x dx + \frac{1}{3}(1 + 2) = \frac{1}{6} + 1 = \frac{7}{6}, Eη_{j}^{2} = ∫_{0}^{3} \frac{1}{3}f^{2}(x) dx = ∫_{0}^{1} \frac{1}{3}x^{2} dx+ \frac{1}{3}(1^{2}+2^{2}) = \frac{1}{9} + \frac{5}{3} = \frac{16}{9}, és Var η_{j} = Eη_{j}^{2}−(Eη_{j})^{2} = \frac{16}{9} − \frac{49}{36} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}.

Innen az S = ∑_{j=1}^{6000} η_{j} valószínűségi változóra ES = 7000, és Var S = 2500 = 50^{2}.

Ezért a centrális határeloszlástétel szerint

P (6940 ≤ ∑_{j=1}^{6000} η_{j} ≤ 7080) = P (\frac{6940 − 7000}{50} ≤ \frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} ≤ \frac{7080 − 7000}{50})

= P (−1.2 ≤ \frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} ≤ 1.6) ∼ Φ(1.6) − Φ(−1.2)

= Φ(1.6) + Φ(1.2) − 1 ∼ (0.9452 + 0.8849 − 1) ∼ 0.83.

6.) Akkor mondjuk, hogy a (ξ_{1}, …, ξ_{n}) véletlen vektor normális eloszlású, ha létezik olyan A n × n méretű mátrix és b = (b_{1}, …, b) vektor (ezek nem függnek a véletlentől), hogy véve n darab független standard normális eloszlású η_{1}, …, η_{n} valószínűségi változót, és definiálva az η = (η_{1}, …, η_{n}) véletlen vektort, az ηA + b véletlen vektor eloszlása megegyezik a (ξ_{1}, …, ξ_{n}) véletlen vektor eloszlásával.