\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1.3pt
\TagsOnRight

\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat els\H{o} t\'em\'aja.}

\medskip
\centerline{\bf A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
megalapoz\'asa.}

\medskip\noindent
Ezen el\H{o}ad\'assorozat els\H{o} t\'em\'aja a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as megalapoz\'asa.
R\"oviden megfogalmazva azzal a k\'erd\'essel foglalkozunk, hogy
a v\'eletlen jelens\'egek vizsg\'alata lehets\'eges-e mindig a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as Kolmogorov \'altal
defini\'alt modellj\'eben. Azaz, ha va\-la\-mi\-lyen v\'eletlent\H{o}l
f\"ugg\H{o} jelens\'eget akarunk vizsg\'alni, tudunk-e egy ezt
le\'{\i}r\'o modellt defini\'alni a 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
Kolmogorov-f\'ele elm\'elet\'eben. A k\'erd\'es pontosabb
megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben felid\'ezem a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-nak a
bevezet\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
el\H{o}ad\'assorozatban ismertetett Kolmogorov-f\'ele modellj\'et,
illetve az ehhez kap\-cso\-l\'o\-d\'o legfontosabb fogalmakat.

A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as (Kolmogorov-f\'ele)
modellj\'enek az alapvet\H{o} fogalma a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}. Ezt a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon defini\'altuk.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} definici\'oja.} {\it Egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ h\'armas val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o},
ha $\Omega$
egy halmaz, amelyet a biztos esem\'enynek nevez\"unk, $\Cal A$ egy
az $\Omega$ bizonyos r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra,
$P$ az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an \'ertelmezett egyre norm\'alt
nem negat\'{\i}v $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny. Az ilyen
hal\-maz\-f\"uggg\-v\'enyeket (egyre norm\'alt vagy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi) m\'er\-t\'ek\-nek is szokt\'ak
h\'{\i}vni az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an.}

\medskip
Felid\'ezek n\'eh\'any az el\H{o}bbi definici\'oban haszn\'alt
fogalmat is.

\medskip\noindent
{\bf Algebra \'es $\sigma$-algebra definici\'oja.} {\it Legyen adva
egy $\Omega$ halmaz, \'es az $\Omega$ halmaz bizonyos
$A\subset \Omega$
r\'eszhalmazainak $\Cal A$ rendszere. Azt mondjuk, hogy $\Cal A$
algebra, ha tetsz\H{o}leges $A\in \Cal A$ halmazra ennek
komplementere, az $\Omega\setminus A$ halmaz is eleme a $\Cal A$
halmazrendszernek, azaz $\Omega\setminus A\in \Cal A$, \'es az
$\emptyset$ \"ures halmaz is eleme az $\Cal A$ algebr\'anak, azaz
$\emptyset\in \Cal A$, tov\'abb\'a, ha $A\in \Cal A$ \'es $B\in \Cal
A$ elemei az $\Cal A$ halmazrendszernek, akkor e halmazok metszete
\'es uni\'oja is teljes\'{\i}ti az $A\cap B\in\Cal A$ valamint $A\cup
B\in \Cal A$ felt\'eteleket.

Az $\Cal A$ algebra akkor $\sigma$-algebra, ha ezen k\'{\i}v\"ul
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket is: Ha
$A_1,A_2,\dots$, megsz\'aml\'alhat\'o sok halmaz, melyek az $\Cal A$
algebra elemei, azaz $A_n\in \Cal A$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra,
akkor ezek metszete \'es uni\'oja is benne van az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'aban, azaz $\bigcapp_{n=1}^\infty A_n\in\Cal A$,
\'es $\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\in\Cal A$.}

\medskip\noindent
{\bf Addit\'{\i}v \'es $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny
definici\'oja.} {\it Legyen adva egy $\Omega$ halmaz
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\Cal A$ algebra vagy $\sigma$-algebra.
Azt mondjuk, hogy egy $\mu(A)$, $A\in\Cal A$, halmazf\"uggv\'eny
addit\'{\i}v, ha b\'armely diszjunkt $A\in \Cal A$ \'es
$B\in \Cal A$ halmazra $\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$. Tekints\"uk
el\H{o}sz\"or azt az esetet, amikor $\Cal A$  $\sigma$-algebra. Azt
mondjuk, hogy ez a $\mu$ halmazf\"uggv\'eny nemcsak addit\'{\i}v,
hanem $\sigma$-addit\'{\i}v is, ha minden diszjunkt $A_n\in\Cal A$,
$n=1,2,\dots$, halmazokb\'ol \'all\'o sorozatra
$\mu\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)=\summ_{n=1}^\infty\mu(A_n)$. Ez a
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny nem-negat\'{\i}v, ha minden
$A\in\Cal A$ halmazra $\mu(A)\ge0$, \'es egyre norm\'alt, ha
$\mu(\Omega)=1$.  Nem negat\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyt m\'ert\'eknek,
egyre norm\'alt m\'ert\'eket val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'eknek h\'{\i}vunk.

Hasonl\'oan defini\'alhatjuk a $\sigma$-addit\'{\i}v
halmazf\"uggv\'eny fogalm\'at akkor, ha $\Cal A$ algebra, de nem
felt\'etlen\"ul $\sigma$-algebra. Azt mondjuk, hogy $\mu(A)$,
$A\in\Cal A$, $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny az
$\Cal A$ algebr\'an, ha minden diszjunkt $A_n\in\Cal A$,
$n=1,2,\dots$, $\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\in\Cal A$, halmazokb\'ol
\'all\'o sorozatra
$\mu\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)=\summ_{n=1}^\infty\mu(A_n)$. (A
k\"ul\"onbs\'eg a $\sigma$-algebr\'an \'es algebr\'an defini\'alt
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny k\"oz\"ott az, hogy az
ut\'obbi esetben a k\'{\i}v\'ant egyenl\H{o}tlens\'egek
teljes\"ul\'es\'ehez fel kell tenni a
$\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\in\Cal A$ felt\'etelt is.)}

\medskip

M\'ar a bevezet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
el\H{o}ad\'asban l\'attuk, hogyan alkalmazzuk ezt a modellt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi feladatok megold\'as\'ara.
Az $\oo\in\Omega$ elemeket (pontokat) nevezt\"uk elemi esem\'enynek,
az \"osszes elemi esem\'eny uni\'oj\'at, $\Omega$-t a biztos
esem\'enynek, \'es kijel\"olt\"uk az $\Omega$ biztos esem\'eny
bizonyos r\'eszhalmazait, melyek egy $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at
alkotnak. Az $A\in\Cal A$ halmazoknak (esem\'enyeknek) defini\'altuk
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, de az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'aba
nem tartalmaz\'o halmazoknak nem besz\'elt\"unk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l. V\'eges sok diszjunkt
halmaz uni\'oj\'anak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege megegyezik az
egyes halmazok (esem\'enyek) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az
\"osszeg\'evel, azaz a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg addit\'{\i}v,
s\H{o}t ennek az \'all\'{\i}t\'asnak igaz egy er\H{o}sebb form\'aja.
Megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen sok diszjunkt esem\'eny
uni\'oj\'anak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege is megegyezik az egyes
esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az \"osszeg\'evel, a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\sigma$-addit\'{\i}v. M\'ar a bevezet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as el\H{o}ad\'assorozat
bizonyos sz\'amol\'asaiban kihaszn\'altuk, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nemcsak addit\'{\i}v, hanem
$\sigma$-addit\'{\i}v is.  Ez
biztos\'{\i}tja azt, hogy v\'egtelen sok diszjunkt ese\-m\'eny
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gei\-nek az \"osszeg\'evel
\'ugy sz\'amolhatunk, mint ahogy azt az anal\'{\i}zisben
megszoktuk.

Amikor olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t akarunk
konstru\'alni, amelyben a minket \'erdekl\H{o} v\'eletlen
jelens\'egeket tanulm\'anyozni tudjuk a f\H{o} matematikai
neh\'ezs\'eget annak bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-sa okozza, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt  $P(A)$,
$A\in\Cal A$, halmazf\"uggv\'eny m\'ert\'ek, teh\'at
nemcsak addit\'{\i}v, hanem $\sigma$-addit\'{\i}v is. Az $\Cal A$
$\sigma$-algebra bevezet\'ese az $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}k definici\'oj\'aban
az\'ert volt hasznos, mert a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek $\sigma$-additiv\'{\i}t\'asa a minket \'erdekl\H{o}
esetekben bizony\'{\i}that\'o egy el\'eg gazdag $\sigma$-algebr\'an,
de ez a $\sigma$-additiv\'{\i}t\'as sokszor nem maradna
\'erv\'enyben, ha a $P$ m\'ert\'eket az $\Omega$ (biztos) esem\'eny
\"osszes r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra is megpr\'ob\'aln\'ank
kiterjeszteni. Ugyanakkor az a megszor\'{\i}t\'as, hogy bizonyos
halmazoknak nem defini\'altuk a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et nem okoz val\'odi
probl\'em\'at. Gya\-kor\-la\-ti al\-kal\-ma\-z\'a\-sok\-ban mindig a
k\"ovetkez\H{o} jelleg\H{u} probl\'em\'aval tal\'alkoznunk.

Bizonyos
sz\'ep halmazoknak tudjuk a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et,
\'es csak olyan halmazok va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'e\-re
vagyunk kiv\'ancsiak, amelyeket explicit ``rekurz\'{\i}v'' m\'odon
(\'ugy is mondhatjuk,
hogy egy j\'ol meg\'{\i}rt program seg\'{\i}ts\'eg\'evel) tudunk
defini\'alni ezen sz\'ep halmazok seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Az \'{\i}gy
defini\'alhat\'o halmazok viszont benne vannak a ``sz\'ep halmazok''
\'altal gener\'alt (azaz az \H{o}ket tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb)
$\sigma$-algebr\'aban. Ez\'ert el\'eg a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'eket ezen a $\sigma$-algebr\'an megadni. A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek konstrukci\'oj\'aban nagy
seg\'{\i}ts\'eget ny\'ujt az al\'abb megfogalmazott
Carath\'eodory-f\'ele kiterjeszt\'esi t\'etel. Ezt az eredm\'enyt,
amely\-nek t\'argyal\'asa a m\'ert\'ekelm\'elet tant\'argy anyaga,
bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul ismertetem.

\medskip\noindent
{\bf Carath\'eodory-f\'ele kiterjeszt\'esi t\'etel.} {\it Legyen
adva egy $(\Omega,\Cal A,\mu)$ h\'armas, ahol $\Cal A$ algebra
(ennek definici\'oj\'at felid\'eztem az el\H{o}bbiekben).
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy $\mu$ $\sigma$-addit\'{\i}v az
$\Cal A$ algebr\'an, azaz amennyiben $C_j$, $j=1,2,\dots$,
diszjunkt halmazok $\Cal C_j\in\Cal A$, \'es ezenk\'{\i}v\"ul
$C=\bigcupp_{j=1}^\infty C_j\in\Cal A$, akkor
$\mu(C)=\summ_{j=1}^\infty \mu(C_j)$. Legyen tov\'abb\'a
$\mu(\Omega)<\infty$. Ekkor l\'etezik egy $\Cal A$-t tartalmaz\'o
legsz\H{u}kebb $\sigma(\Cal A)$ $\sigma$-algebra,  (ezt nevezz\"uk
az $\Cal A$ algebra \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'anak), \'es
a $\mu$ m\'ert\'ek\/ {\rm egy\'ertelm\H{u}en} kiterjeszthet\H{o} a
$\sigma(\Cal A)$ $\sigma$-algebr\'an defini\'alt m\'ert\'ekk\'e.}

A Carath\'eodory-f\'ele kiterjeszt\'esi t\'etel reduk\'alja a minket
\'erdekl\H{o} probl\'em\'at egy egyszer\H{u}bb, k\"onnyebben
vizsg\'alhat\'o k\'erd\'esre. Nevezetesen, ha egy 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'er\-t\'e\-ket akarunk defini\'alni egy
egy $\sigma$-algebr\'an, akkor el\'eg azt egy olyan algebr\'an 
megadni, amely\-re igaz, hogy az \'altalunk tekintett $\sigma$-algebra
a legsz\H{u}kebb ezen algebr\'at tartalmaz\'o $\sigma$-algebra.
Ezut\'an ez a m\'ert\'ek kiterjeszthet\H{o} az algebra \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'ara is. Fontos a Carath\'eodory-f\'ele t\'etel azon
\'all\'{\i}t\'asa is, hogy a m\'ert\'ek kiterjeszt\'ese az
algebr\'ar\'ol az algebra \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'ara
egy\'ertelm\H{u}. Ez biztos\'{\i}tja, hogy a minket \'erdekl\H{o}
esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et egy\'ertelm\H{u}en tudjuk
defini\'alni.

A Carath\'eodory-f\'ele kiterjeszt\'esi t\'etel seg\'{\i}t
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek konstruk\-ci\'o\-j\'a\-ban,
de \"onmag\'aban nem elegend\H{o} a minket \'erdekl\H{o}
probl\'em\'ak megold\'as\'ahoz.
Ahhoz ugyanis, hogy ezt az eredm\'enyt alkalmazni tudjuk, tudnunk
kell, hogy a $\mu$ halmazf\"uggv\'eny a kiindul\'o $\Cal A$
algebr\'an $\sigma$-addit\'{\i}v. Ennek bizony\'{\i}t\'asa sok
esetben nem-trivi\'alis \'ervel\'est ig\'enyel.

\medskip\noindent
{\it P\'elda:}\/ Tekints\"uk az egys\'egn\'egyzetban lev\H{o} v\'eges
sok t\'eglalap uni\'ojak\'ent el\H{o}\'all\'{\i}that\'o halmazok
rendszer\'et. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy az ilyen alak\'u halmazok
algebr\'at alkotnak. Tov\'abb\'a,  ha ezen halmazok m\'ert\'ek\'et
\'ugy defini\'aljuk, mint azok ter\"ulet\'et, akkor addit\'{\i}v
halmazf\"uggv\'enyt kapunk ezen az algebr\'an. Ha ezt a
halmazf\"uggv\'enyt ki sze\-ret\-n\'enk terjeszteni az ezen
halmazok \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'an defini\'alt
($\sigma$-addit\'{\i}v) m\'ert\'ekk\'e a Carath\'eodory-f\'ele
kiterjeszt\'esi t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel, akkor el\H{o}sz\"or
meg kell mutatnunk, hogy a ter\"ulet nemcsak addit\'{\i}v, hanem
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny. Ez egy igaz, de nem
mag\'at\'ol \'ertet\H{o}d\H{o} \'all\'{\i}t\'as.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A Carath\'eodory t\'etel eredeti alakja
\'altal\'anosabb, \'ugynevezett (halmaz) gy\H{u}r\H{u}kre (vagy
kiss\'e m\'eg \'altal\'anosabban f\'elgy\H{u}r\H{u}kre) vonatkozik.
Egy $\Cal A$ halmazrendszer akkor gy\H{u}r\H{u}, ha egyr\'eszt
z\'art (v\'eges) metszet \'es uni\'ok\'epz\'esre,
$\emptyset\in\Cal A$, \'es ha $A\in \Cal A$, $B\in\Cal A$, akkor
$A\setminus B\in \Cal A$. Viszont nem k\"ovetelj\"uk meg, hogy egy
$A\in\Cal A$ halmaz komplementere is benne legyen a $\Cal A$
gy\H{u}r\H{u}ben. Sz\'amunkra elegend\H{o} csak az algebr\'akra
korl\'atoznunk a figyelm\"unket. L\'enyeges, hogy amennyiben
$\Cal A$ algebra, akkor abb\'ol, hogy $A_n\in \Cal A$, $n=1,2,\dots$,
halmazok egy sorozat\'ara, nem felt\'etlen\"ul k\"ovetkezik, hogy
ezek $\bigcupp_{n=1}^\infty A_n$ uni\'oja is eleme $\Cal A$-nak. Ezt
figyelembe kellett venni az $\Cal A$ algebr\'an defini\'alt
$\sigma$-addit\'{\i}v m\'ert\'ekek definici\'oj\'aban.

\medskip\noindent
{\it Nem k\"otelez\H{o} feladat:}
\medskip\noindent
Tekints\"uk az $r$-dimenzi\'os euklid\'eszi t\'ernek azon halmazait,
melyek el\H{o}\'allnak, mint v\'eges sok olyan t\'eglatest uni\'oja,
me\-lyek a koor\-di\-n\'a\-ta\-ten\-ge\-lyek\-kel p\'ar\-hu\-za\-mos
balr\'ol z\'art jobbr\'ol ny\'{\i}lt intervallumok direkt szorzatai.
(Ezek az intervallumok lehetnek f\'elegyenesek vagy egyenesek is.)
Mutassuk meg, hogy az ilyen halmazok algebr\'at alkotnak, de nem
alkotnak $\sigma$-algebr\'at.

A bevezet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
el\H{o}ad\'asban a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}k
definici\'oj\'anak ismertet\'ese ut\'an konkr\'et feladatokban
sohasem azt tett\"uk, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t
defini\'altunk, \'es annak tulajdons\'agait vizsg\'altuk. Ehelyett
azt mondtuk, hogy te\-kint\-s\"uk esem\'enyek egy olyan rendszer\'et,
amelyek egy\"uttes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et bizonyos k\'epletek
adj\'ak meg, illetve tekints\"unk bizonyos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, amelyek eloszl\'as\'at bizonyos
eloszl\'asf\"uggv\'enyek hat\'arozz\'ak meg. Ezut\'an azt
vizsg\'altuk, hogy esem\'enyek ilyen rendszer\'er\H{o}l illetve
ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol mit tudunk
mondani. Ahhoz vi\-szont, hogy jogunk legyen bizonyos egy\"uttes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megadott esem\'enyek rendszer\'er\H{o}l,
illetve bizonyos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okr\'ol besz\'eln\"unk, meg kell mutatnunk, hogy azok
val\'oban l\'eteznek. Kiss\'e pontosabban fogalmazva azt kell
megmutatni, hogy l\'etezik egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
\'es azon esem\'enyek olyan rendszere, amelyek egy\"uttes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et az \'altalunk el\H{o}\'{\i}rt
k\'epletek adj\'ak meg, illetve olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, amelyeknek az eloszl\'as\'at az \'altalunk fel\'{\i}rt
eloszl\'asf\"uggv\'enyek adj\'ak meg.

\medskip\noindent
{\it P\'elda olyan esetre, amikor ilyen jelleg\H{u} nem trivi\'alis
probl\'ema felmer\"ul:}\/ T\"obb fel\-adat\-ban mondtuk, hogy
tekints\"uk egy szab\'alyos p\'enzdarab v\'egtelen sok f\"uggetlen
egym\'as ut\'ani feldob\'as\'at, \'es az ilyen dob\'assorozat
tulajdons\'agait vizsg\'altuk. Ez azt jelentette, hogy tekintett\"uk
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra az \"osszes olyan esem\'enyt, amely
egy $n$-hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as sorozat, \'es azt mondtuk,
hogy egy ilyen sorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege legyen $2^{-n}$.
Felmer\"ulhet a k\'erd\'es: Honnan tudjuk, hogy l\'etezik olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, ahol ezeket az
esem\'enyeket defini\'alni tudjuk az \'altalunk
el\H{o}\'{\i}rt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel? Be lehet l\'atni,
hogy ez lehets\'eges, de a bizony\'{\i}t\'as nem-trivi\'alis
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyek alkalmaz\'as\'at ig\'enyli.

A fent jelzett probl\'em\'ak vizsg\'alata \'erdek\'eben felid\'ezek
n\'eh\'any kor\'abban bevezetett fogalmat.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fogalma:} {\it
Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}. Egy ezen a t\'eren \'ertelmezett val\'os \'ert\'ek\H{u}
(m\'erhet\H{o}) $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak nevez\"unk. Azaz $\xi$ egy $\Omega\to R^{1}$
lek\'epez\'es. Az a megk\"ot\'es, hogy a f\"uggv\'eny legyen
m\'erhet\H{o}, azt jelenti, hogy minden $x$ val\'os sz\'amra
teljes\"ul az $\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\}\in \Cal A$ felt\'etel.

Azt mondjuk, hogy $\xi(\oo)=(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))$
$n$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, ha
$\xi(\oo)$ m\'erhet\H{o} lek\'epez\'ese az $(\Omega,\Cal A,P)$
t\'ernek az $(R^n,\Cal B^n)$ t\'erre, azaz minden
$(x_1,\dots,x_n)\in R^n$ pontra
$\{\oo\colon\;\xi_1(\oo)<x_1,\dots,\xi_n(\oo)<x_n\}\in\Cal A$.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Az el\H{o}bbi definici\'oban csak speci\'alis,
$\{\oo\colon\;\xi_1(\oo)<x_1,\dots,\xi_n(\oo)<x_n\}$ alak\'u
halmazokra k\"ovetelt\"uk meg, hogy azok legyenek az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'aban, \'es \'{\i}gy be\-sz\'el\-hes\-s\"unk a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\"uk\-r\H{o}l. De val\'oj\'aban
ebb\H{o}l m\'ar minden ,,\'er\-tel\-mes esem\'eny''
m\'er\-he\-t\H{o}\-s\'e\-ge is k\"ovetkezik. Ez\'ert
besz\'elhet\"unk minden ilyen esem\'enynek
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'e\-r\H{o}l.
Ezt a t\'enyt fogalmazza meg az al\'abbi m\'ert\'ekelm\'eleti
eredm\'eny.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)$ $n$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n. Ekkor az
$n$-dimenzi\'os t\'er tetsz\H{o}leges $B$  Borel m\'erhet\H{o}
halmaz\'ara
$\{\oo\colon\;(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))\in B\}\in\Cal A$.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A teljess\'eg kedv\'e\'ert felid\'ezem a Borel
m\'erhet\H{o} halmaz definici\'oj\'at. A mi sz\'amunkra elegend\H{o}
annyit tudni, hogy az $n$-dimenzi\'os t\'er minden ,,sz\'ep''
halmaza, melyekkel k\"ul\"onb\"oz\H{o} feladatok megold\'asa sor\'an
tal\'alkozunk, Borel--m\'erhet\H{o}. A form\'alis definici\'o a
k\"ovetkez\H{o}. Tekints\"uk az euklid\'eszi t\'er r\'eszhalmazait,
ezen bel\"ul az
$A(x_1,\dots,x_n)=\{(u_1,\dots,u_n)\colon\;u_1<x_1,\dots,u_n<x_n\}$
alak\'u halmazokat minden $(x_1,\dots,x_n)$ sz\'am-$n$-esre.
L\'etezik az $R^n$ t\'er r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebra, amely tartalmazza ezeket a halmazokat, \'es ezt
nevezz\"uk az $n$-dimenzi\'os t\'er Borel $\sigma$-algebr\'aj\'anak.
E Borel $\sigma$-algebra elemeit, azaz az ebben a
$\sigma$-algebr\'aban l\'ev\H{o} halmazokat, nevezz\"uk Borel
m\'erhet\H{o} halmazoknak.

\medskip\noindent
{\it Tov\'abbi megjegyz\'es.}\/ A fentiekben val\'os, illetve
vektor\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
definici\'oj\'at ismertettem. A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o definici\'oja ut\'an szerepl\H{o} t\'etelben megadtuk
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kiss\'e
k\"ul\"onb\"oz\H{o}, de ekvivalens definici\'oj\'at. Ezt a
definici\'ot lehet \'altal\'anos\'{\i}tani. Ha adva van egy
tetsz\H{o}leges $(Y,\Cal Y)$ m\'ert\'ekt\'er, akkor
defini\'alhatjuk az $Y$-t\'erbeli \'ert\'ekeket felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok fogalm\'at is. Azt mondjuk,
hogy $\xi$ egy az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n defini\'alt, \'ert\'ekeit az $(Y,\Cal Y)$-t\'erben
felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ha az
$\xi\colon\;\Omega\to Y$ az $(\Omega,\Cal A,P)$ t\'er m\'erhet\H{o}
lek\'epez\'ese az $(Y,\Cal Y)$ t\'erre, azaz
$\{\oo\colon\;\xi(\oo)\in B\}\in\Cal A$ minden $B\in\Cal Y$
halmazra. Erre az \'altal\'anos definici\'ora azonban nem lesz
sz\"uks\'eg\"unk.

\medskip
Val\'oj\'aban a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban nem
k\"ozvetlen\"ul a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal
dolgozunk, hanem azok eloszl\'as\'aval. Felid\'ezem ennek a
definici\'oj\'at is.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
$\xi(\oo)$ (val\'os \'ert\'ek\H{u}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ennek $F(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'en az
$F(x)=P\(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\}\)$, $-\infty<x<\infty$,
f\"uggv\'enyt \'ertj\"uk.}

\medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it
Legyen adva $n$ val\'os \'ert\'ek\H{u} $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ezek (egy\"uttes)
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye az
$$
F(x_1,\dots,x_n)=P(\{\oo\colon\;\xi_1(\oo)<x_1,\dots,\xi_k(\oo)<x_n\}),
$$
$n$ v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, ahol $-\infty<x_j<\infty$ minden
$1\le j\le n$ indexre.}

\medskip
Ismerve egy (egy vagy t\"obb-dimenzi\'os) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et, m\'as esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et is ki lehet sz\'am\'{\i}tani.
Ezt a t\'enyt fejezi ki az al\'abbi m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'eny.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel eloszl\'asok meghat\'aroz\'as\'ar\'ol az
eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} {\it Legyen egy
$n$-di\-men\-zi\-\'os $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x_1,\dots,x_n)$. Az $F$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza a
$P\(\{\oo\colon\;(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))\in B\}\)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-get minden ,,sz\'ep'' halmazra,
azaz az $n$-dimenzi\'os t\'er minden Borel m\'erhet\H{o} $B$
hal\-ma\-z\'a\-ra. R\'eszletesebben kifejtve l\'etezik olyan az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott $\mu_F$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ek az $R^n$ t\'er
$\Cal B_n$ Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an \'ugy, hogy
$\mu_F((-\infty,x_1)\times\cdots\times(-\infty,x_n))=F(x_1,\dots,x_n)$,
\'es az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza
ezt a $\mu_F$ m\'ert\'eket. Tov\'abb\'a
$P\(\{\oo\colon\;(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))\in B\}\)=\mu_F(B)$
minden $B\in \Cal B$ halmazra.}

Ismertetem, hogy hogyan k\"ovetkezik a fenti eredm\'eny
a Carath\'eodory-f\'ele t\'etel azon viszonylag egyszer\H{u}bb
\'all\'{\i}t\'as\'ab\'ol, amely szerint egy algebr\'an defini\'alt
m\'ert\'ek kiterjeszt\'ese az algebra \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'ara egy\'ertelm\H{u}en meg van ha\-t\'a\-roz\-va.

Nem neh\'ez bel\'atni, hogy a $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen
vektor $F(x_1,\dots,x_n)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye
meghat\'arozza a $P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in B)$ alak\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket a
$B=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_n,b_n)$ alak\'u halmazokon, azaz
a koordin\'atatengelyekkel p\'arhuzamos oldal\'u
t\'eg\-la\-tes\-te\-ken az $R^n$ Euklideszi t\'erben. (Megengedett
az $a_j=-\infty$ \'es $b_j=\infty$, $1\le j\le n$, v\'alaszt\'as
is a $B$ halmaz definici\'oj\'aban.) Az $F(x_1,\dots,x_n)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny a $\mu_F(B)=P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in B)$
alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket akkor is meghat\'arozza, ha
$B$ v\'eges sok diszjunkt t\'eglatest uni\'oja. Az \"osszes ilyen
alak\'u halmaz egy $\Cal B_0$ algebr\'at alkot, \'es ezen algebra
gener\'alja a Borel halmazok $\Cal B$ Borel $\sigma$-algebr\'aj\'at.
Tov\'abb\'a a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
$\sigma$-additiv\'{\i}t\'asa (\'es az eloszl\'asf\"uggv\'eny
definici\'oja) implik\'alja, hogy ez a $\mu_F(B)$
halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-addit\'{\i}v ezen a $\Cal B_0$
algebr\'an. Ez\'ert a Carath\'eodory-f\'ele t\'etel
id\'ezett r\'esze szerint az eloszl\'asf\"uggv\'eny
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'aroz egy olyan $\mu_F(A)$, $A\in\Cal B$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket az $n$-dimenzi\'os
Euklideszi t\'er $\Cal B$ Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an, amely\-re
teljes\"ul a $\mu_F(B)=P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in B)$ azonoss\'ag
minden $B\in\Cal B_0$ halmazra. M\'asr\'eszt a
$\bar\mu_F(A)=P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in A)$, $A\in \Cal B$, szint\'en
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a $\Cal B$ $\sigma$-algebr\'an,
\'es $\mu_F(B)=\bar\mu_F(B)$ a $\Cal B_0$ algebra halmazaira.
Ez\'ert a m\'ert\'ek algebr\'ar\'ol $\sigma$-algebr\'ara val\'o
kiterjeszt\'es\'enek egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'eb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy
$\mu_F(A)=\bar\mu_F(A)=P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in A)$
minden $A\in\Cal B$ Borel m\'erhet\H{o} halmazra.

Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ehez
hasonl\'oan bevezethetj\"uk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'as\'anak a fogalm\'at is.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak a
definici\'oja.} {\it Legyen adva $n$ darab $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amit \'ugy is tekinthet\"unk
mint egy $n$-v\'altoz\'os $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen vektort.
Ennek eloszl\'as\'an a $\mu(B)=P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in B))$,
$B\in\Cal B^{(n)}$, f\"uggv\'enyt \'ertj\"uk, ahol $\Cal B^{(n)}$ az
$n$-dimenzi\'os Euklideszi t\'er Borel hal\-ma\-zai\-nak a
$\sigma$-algebr\'aja.}
\medskip

A fent defini\'alt $\mu$ eloszl\'as egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek az $R^n$ $n$-dimenzi\'os Euklideszi t\'er $\Cal B^{(n)}$
Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an. Az el\H{o}z\H{o} t\'etel azt mondja ki,
hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen vektor eloszl\'as\'anak
megad\'as\'ahoz el\'eg defini\'alni annak eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
De felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy mely f\"uggv\'enyek tekinthet\H{o}ek
eloszl\'asf\"uggv\'enynek. R\'eszletesen fogalmazva a k\"ovetkez\H{o}
k\'erd\'esek jelennek meg.

\medskip\noindent
{\it Probl\'em\'ak:}

\item{a)} Mely egyv\'altoz\'os $F(x)$ f\"uggv\'enyek tekinthet\H{o}ek
eloszl\'asf\"uggv\'enynek, azaz mely $F(x)$ f\"uggv\'enyekhez
l\'etezik olyan $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o} \'es azon $\xi$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o, amelyre $P(\xi<x)=F(x)$ minden $-\infty<x<\infty$
sz\'amra?
\item{b)} Mely $n$-v\'altoz\'os $F(x_1,\dots,x_n)$ f\"uggv\'enyek
tekinthet\H{o}k eloszl\'asf\"uggv\'enynek, azaz mely
$F(x_1,\dots,x_n)$ f\"uggv\'enyekhez l\'etezik olyan
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} \'es azon
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok rendszere,
amelyekre $P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n)=F(x_1,\dots,x_n)$ minden
$-\infty<x_j<\infty$, $1\le j\le n$ sz\'am $n$-esre?

\'Erdekel minket a fenti probl\'em\'ak k\"ovetkez\H{o} v\'egtelen
dimenzi\'os megfelel\H{o}je is.

\item{c)} Legyen adva egy $T=\{t_1,t_2,\dots,\}$ megsz\'aml\'alhat\'o
halmaz \'es annak minden v\'eges $\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}\subset T$
r\'eszhalmaz\'an egy az $R^n$, $n$-dimenzi\'os t\'er  $\Cal B^{(n)}$
Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an defini\'alt
$\mu_{\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}}$ eloszl\'as. Milyen felt\'etelt kell
teljes\'{\i}teni ennek a rendszernek ahhoz, hogy l\'etezzen egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es azon
$\xi_{t_1},\xi_{t_2},\dots$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok sorozata \'ugy, hogy a $T$ halmaz minden
$\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}$  v\'eges r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra a
$(\xi_{t_{j_1}},\dots,\xi_{t_{j_n}})$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa
a $\mu_{\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}}$ eloszl\'as legyen?

\medskip
A c) k\'erd\'es term\'eszetesen \'altal\'anos\'{\i}that\'o arra az
esetre, amikor a $T$ halmaz tet\-sz\H{o}\-le\-ges v\'egtelen, \'es
nem felt\'etlen\"ul megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen halmaz. De,
mint l\'atni fogjuk ennek az \'altal\'anosabb probl\'em\'anak a
megold\'asa k\"onnyen visszavezethet\H{o} a c) k\'erd\'es
meg\-ol\-d\'a\-s\'a\-ra. Ez\'ert egyel\H{o}re csak ezzel fogunk
foglalkozni.

El\H{o}sz\"or megfogalmazom az a), b) \'es c) probl\'em\'aban
megfogalmazott k\'erd\'esekre a v\'alaszt. A c) probl\'em\'ara adott
v\'alasz a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as Kolmogorov
\'altal bizony\'{\i}tott alapt\'etele. Azut\'an ismertetni fogom az
eredm\'enyek bizony\'{\i}t\'as\'at az anal\'{\i}zis
n\'eh\'any fontos, itt ismertetett eredm\'eny\'enek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Az a) probl\'ema megold\'as\'at a T\'etel A1,
a b) probl\'ema megold\'as\'at a T\'etel A2 tartalmazza. A c)
probl\'ema meg\-ol\-d\'a\-s\'at tartalmaz\'o eredm\'eny
megfogalmaz\'as\'ahoz el\H{o}bb be kell vezetni eloszl\'asok
kon\-zisz\-ten\-ci\'a\-j\'a\-nak a definici\'oj\'at.

Val\'oj\'aban a fent megfogalmazott a), b) \'es c) probl\'ema
megold\'asa jelenti annak igazol\'as\'at, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as Kolmogorov-f\'ele
elm\'elet\'eben t\'argyalhatjuk a minket \'erdekl\H{o}
v\'eletlen hat\'asokkal kapcsolatos probl\'em\'akat. Ugyanis a
tipikusan megjelen\H{o} v\'eletlennel kapcsolatos probl\'em\'ak
arr\'ol sz\'olnak, hogy megadjuk egy vagy t\"obb (esetleg
v\'egtelen sok) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy\"uttes
eloszl\'as\'at, \'es ennek ismeret\'eben kiv\'ancsiak vagyunk e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok tulajdons\'agaira. Viszont
felmer\"ul a k\'erd\'es: Ha megadunk bizonyos
eloszl\'asf\"uggv\'enyeket, honnan tudjuk, hogy
azok val\'oban el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek\-nek
tekinthet\H{o}ek, azaz
l\'etezik egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} \'es azon olyan
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok, amelyeknek
az \'altalunk megadott f\"uggv\'eny az eloszl\'asf\"uggv\'enye. 
Az al\'abb megfogalmazott t\'etelek azt mondj\'ak ki, hogy egy
eloszl\'asf\"uggv\'enynek nyil\-v\'an\-va\-l\'o m\'odon teljes\'{\i}tenie
kell bizonyos al\'abb megfogalmazott tulajdons\'agokat. Vi\-szont, ha
egy f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti azokat, akkor tekinthet\H{o}
eloszl\'asf\"uggv\'enynek. Hasonl\'oan term\'eszetes jellemz\'ese
van annak is, hogy eloszl\'asf\"uggv\'enyek (vagy eloszl\'asok)
v\'egtelen rendszere mikor defini\'alja v\'egtelen sok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy\"uttes eloszl\'as\'at.
\'Igy az al\'abb is\-mer\-te\-tett ered\-m\'e\-nyek
v\'alaszt adnak arra a k\'erd\'esre, hogy
hogyan tudjuk defini\'alni val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
rendszer\'et eloszl\'asf\"uggv\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Eml\'{\i}tettem m\'eg azt a k\'erd\'est, hogy ha megpr\'ob\'aljuk
adni v\'eges vagy v\'egtelen sok esem\'eny egy\"uttes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, mire kell \"ugyelni e definici\'o
megad\'asakor. Azonban ez csak egy l\'atsz\'olag \'uj probl\'ema,
mert a k\'erd\'es \'atfogalmazhat\'o \'ugy is, hogy hogyan tudjuk
defini\'alni ezen esem\'enyek indik\'ator f\"uggv\'enyeit, amelyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel A1.} {\it Egy $F(x)$ f\"uggv\'eny akkor \'es csak
akkor eloszl\'asf\"uggv\'enye egy alkalmas $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak valamely
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
ha teljes\'{\i}ti az al\'abbi a)---d) tulajdons\'agokat.

\medskip
\item{a)} $F(x)$ monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny.
\item{b)} $F(x)$ balr\'ol folytonos f\"uggv\'eny, azaz
$\limm_{h\to0,\, h>0} F(x-h)=F(x)$ minden $-\infty<x<\infty$
sz\'amra.
\item{c)} $\limm_{x\to\infty}F(x)=1$.
\item{d)} $\limm_{x\to-\infty}F(x)=0$.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel A2.}\/ {\it Egy $F(x_1,\dots,x_n)$ f\"ugg\-v\'eny
akkor \'es csak akkor (egy\"uttes) eloszl\'asf\"uggv\'enye alkalmas
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
valamely $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
ha ez az $F$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
(i)---(iv) tulajdons\'agokat.

\medskip
\itemitem {(i)} $F(x_1,\dots,x_n)$ minden v\'altoz\'oj\'anak
balr\'ol folytonos f\"uggv\'enye.
\itemitem {(ii)} $\lim\limits\Sb x_j\to\infty \\ \text{minden }
j=1,\dots,k\text{ sz\'amra}\endSb F(x_1,\dots,x_n)=1$.
\itemitem{(iii)} $\lim\limits\Sb x_j\to-\infty \\ \text{valamely }
1\le j\le n\text{ sz\'amrra}\endSb F(x_1,\dots,x_n)=0$. (Ez \'ugy
\'ertend\H{o}, hogy az \"osszes $x_s$, $1\le s\le n$, $s\neq j$
koordin\'at\'at r\"ogz\'{\i}tj\"uk, \'es $x_j\to-\infty$.)
\itemitem{} V\'eg\"ul defini\'aljuk egy az $R^n$ t\'eren defini\'alt
$F(x_1,\dots,x_n)$ f\"uggv\'enyre \'es egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_n,b_n)$ t\'eg\-la\-test\-re a
$$
\mu(\bold K)=\mu_F(\bold K)=\sum\Sb x_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,n\endSb (-1)^{\chi(x_1,\dots,x_n)}F(x_1,\dots,x_n)
$$
mennyis\'eget, ahol $\chi(x_1,\dots, x_n)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $x_1,\dots,x_n$ sorozatban. Ekkor
\itemitem{(iv)} $\mu_F(\bold K)\ge 0$ minden $\bold K$ t\'eglatestre.}

\medskip
{\it Feladat:}

\item{} A T\'etel~A2 (iv) felt\'etel\'enek jobb meg\'ert\'ese
\'erdek\'eben l\'assuk be a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast.
Legyen $(\xi_1(\oo),\xi_2(\oo))$ k\'et-v\'altoz\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x_1,x_2)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\-nyel. Ekkor
$$
P((\xi_1(\oo),\xi_2(\oo))\in [a_1,b_1)\times[a_2,b_2))
=F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)-F(a_1,b_2)+F(a_1,a_2)
$$
minden $-\infty<a_1<b_1<\infty$, $-\infty<a_2<b_2<\infty$ esetben.

\item{} Adva egy m\'erhet\H{o} $A\subset R^2$ halmaz, jel\"olje
$I_A(\oo)$ a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot.
$I_A(\oo)=1$, ha $(\xi_1(\oo),\xi_2(\oo))\in A$, \'es $I_A(\oo)=0$,
ha $(\xi_1(\oo),\xi_2(\oo))\notin A$. Mutassuk meg, hogy
$$
\align
I_{[a_1,b_1)\times[a_2,b_2)}(\oo)
&=I_{(-\infty,b_1)\times(-\infty,b_2)}(\oo)-
I_{(-\infty,b_1)\times(-\infty,a_2)}(\oo) \\
&\qquad -I_{(-\infty,a_1)\times(-\infty,b_2)}(\oo)+
I_{(-\infty,a_1)\times(-\infty,a_2)}(\oo),
\endalign
$$
\'es vezess\"uk le a fenti azonoss\'agot ebb\H{o}l az
\"osszef\"ugg\'esb\H{o}l. \'Altal\'anos\'{\i}tsuk a feladat
\'all\'{\i}t\'as\'at tetsz\H{o}leges $n$-v\'altoz\'os
v\'eletlen vektorra.

\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy megfogalmazzam a c) probl\'ema
megold\'as\'at bevezetem m\'ert\'ekek konzisztenci\'aj\'anak a
fogalm\'at. E fogalom bevezet\'ese el\H{o}tt defini\'alom
el\-osz\-l\'a\-sok vet\"ulet\'et (projekci\'oj\'at), illetve
k\'enyelmi okokb\'ol megadom Euklideszi terek
rep\-re\-zen\-t\'a\-ci\'o\-j\'at v\'eges halmazokon defini\'alt
f\"uggv\'enyek terek\'ent.

\medskip\noindent
{\bf Euklideszi terek megad\'asa v\'eges halmazon
\'ertelmezett f\"uggv\'enyek tere\-k\'ent.} {\it Le\-gyen
$S=\{s_1,\dots,s_n\}$ egy (v\'eges) $n$ elem\H{u} halmaz.
Defini\'aljuk az $S$ halmazzal in\-de\-xelt $R_S$ Euklideszi teret,
mint azt a teret, amelynek pontjai az $S$ halmazon defini\'alt
val\'os \'ert\'ek\H{u} $x_j=X(s_j)$, $1\le j\le n$, f\"uggv\'enyek,
\'es k\'et $X(s_j)$, $1\le j\le n$, illetve $\bar X(s_j)$,
$1\le j\le n$, f\"uggv\'eny (pont) t\'avols\'aga az $R_S$ t\'erben
$$
\rho((X(s_1),\dots,X(s_n)),(\bar X(s_1),\dots,\bar X(s_n)))
=\(\summ_{j=1}^n(X(s_j)-\bar X(s_j))^2\)^{1/2}.
$$
Legyen a $\Cal B_S$ Borel $\sigma$-algebra az $R_S$ t\'eren az
$$
\{(X(s_1),\dots,X(s_n))\colon\; a_j<X(s_j)<b_j,\, 1\le j\le n\}
$$
alak\'u halmazok \'altal gener\'alt legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra.
A tov\'abbiakban, ha $R_S$ t\'eren defini\'alt m\'ert\'ekr\H{o}l
besz\'el\"unk, akkor az $R_S$ t\'er $\Cal B_S$ Borel
$\sigma$-algebr\'aj\'an defini\'alt m\'ert\'ekre fogunk gondolni.
(Egy\'ebk\'ent a $\Cal B_S$ $\sigma$-algebra elemei az
$$
\{(X(s_1),\dots,X(s_n))\colon\;(X(s_1),\dots,X(s_n))\in B\},
\quad B\in\Cal B^{(n)},
$$
alak\'u halmazok, ahol $\Cal B^{(n)}$ az $R^n$ $n$-dimenzi\'os
Euklideszi t\'er $\sigma$-algebr\'aja, \'es az $R_S$ t\'eren
defini\'alhat\'o $\mu$ m\'ert\'ekek megadhat\'oak
$$
\mu(\{(X(s_1),\dots,X(s_n))\colon\; (X(s_1),\dots,Xx(s_n))\in B\})
=\bar\mu(B)
$$
alakban, ahol $\bar\mu$ egy az $(R^n,\Cal B^{(n)})$ t\'eren
defini\'alt m\'ert\'ek.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Az $R^n$ Euklideszi t\'er felfoghat\'o \'ugy
is, mint a sz\'amegyenes \"onmag\'aval vett $n$-szeres direkt
szorzata. Terek direkt szorzat\'at gyakran szokt\'ak \'ugy
reprezent\'alni, mint egy alaphalmazon \'ertelmezett f\"uggv\'enyek
ter\'et. A fenti definici\'oban mi is ezt tett\"uk, mert bizonyos
meggondol\'asok egyszer\H{u}bben kifejezhet\H{o}ek ilyen m\'odon.

\medskip\noindent
{\bf Euklideszi t\'eren defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek vet\"ulet\'enek a de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja.} {\it Le\-gyen
adva egy v\'eges $S_1=\{s_1,\dots,s_n\}$ halmaz, \'es annak egy
$S_2=\{s_{j_1},s_{j_2},\dots,s_{j_m}\}\subset S_1$, $m\le n$,
r\'eszhalmaza. Ha adva van egy $\mu$ (val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi)
m\'ert\'ek az $R_{S_1}$ Euk\-li\-deszi t\'eren, akkor
annak $\mu_P$ vet\"ulet\'et az $R_{S_2}$ Euk\-li\-deszi t\'erbe a
$$
\align
&\mu_P(\{(X(s_{j_1}),X(s_{j_2}),\dots,X(s_{j_m})\colon\;
(X(s_{j_1}),X(s_{j_2}),\dots,X(s_{j_m}))\in B\})\\
&\qquad=\mu(\{(X(s_1),X(s_2),\dots,X(s_n))\colon\;
(X(s_{j_1}),X(s_{j_2}),\dots,X(s_{j_m}))\in B,\\
&\qquad\qquad\qquad X(s_l)\in R^1,\text{ ha }
l\notin\{j_1,\dots,j_m\}\})
\endalign
$$
k\'eplet adja meg, ahol $B\in \Cal B^{(m)}$. Sz\'oban
elmagyar\'azva, az $R_{S_1}$ t\'eren lev\H{o} $\mu$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek vet\"ulete egy olyan m\'ert\'ek
az $R_{S_2}$ t\'eren, amely szerint annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy az $S_2$ t\'eren vett
f\"uggv\'eny (mint $m$-dimenzi\'os vektor), \'ert\'ek\'et az $R^m$
t\'er valamely $B\in\Cal B^{(m)}$ halmaz\'aban veszi fel, megegyezik
annak az esem\'enynek a $\mu$ m\'ert\'ek szerinti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel,
hogy egy az $S_1$ halmazon \'ertelmezett f\"uggv\'eny
megszor\'{\i}t\'asa az $S_2$ halmazra ebbe a $B$ halmazba esik.}

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek konzisztenci\'aj\'anak
a definici\'oja.} {\it Legyen adva egy meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o
$T=\{t_1,t_2,\dots,\}$ halmaz, \'es annak minden v\'eges
$\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}\subset T$ r\'esz\-hal\-ma\-z\'ahoz
rendelj\"uk hozz\'a az $R_{\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}}$ Euklideszi
teret. Legyen adva mindegyik $R_{T_0}$ t\'eren, ahol $T_0\subset T$,
\'es $T_0$ v\'eges halmaz, egy $\mu_{T_0}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek. Azt mondjuk, hogy ezek a m\'ert\'ekek konzisztensek, ha
minden $T_0\subset T_1\subset T$, halmazp\'arra, amelyre $T_0$, $T_1$
v\'eges halmazok, a $\mu_{T_0}$ m\'ert\'ek a $\mu_{T_1}$
m\'ert\'ek vet\"ulete.}
\medskip

Ismertetem a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel\'enek nevezett ered\-m\'enyt.
El\H{o}sz\"or e t\'etel egy olyan v\'altozat\'at ismertetem, ahol
v\'eges dimenzi\'os el\-osz\-l\'a\-sok\-kal dolgozunk, m\'{\i}g az
eredm\'eny eredeti (val\'oj\'aban term\'eszetesebb) form\'aj\'aban
(v\'eges dimenzi\'os) el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek nyelv\'en 
fogalmaz meg egy hasonl\'o \'all\'{\i}t\'ast. Ezt az eredm\'enyt is 
ismertetni fogom.

\medskip\noindent
{\bf A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etele.}\/ {\it Legyen adva egy meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o
$T=\{t_1,t_2,\dots,\}$ halmaz, \'es annak minden v\'eges
$\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}\subset T$ r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-hoz
rendelj\"unk hozz\'a egy $\mu_{\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'eket az
$R_{\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}}$ t\'eren. Akkor \'es csak akkor
l\'etezik egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o},
\'es azon $\xi_{t_1},\xi_{t_2},\dots$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata \'ugy, hogy a $T$ halmaz minden
$\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}$ v\'e\-ges r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra a
$(\xi_{t_{j_1}},\dots,\xi_{t_{j_n}})$, $j_1<j_2<\cdots<j_n$,
v\'eletlen vektor eloszl\'asa a $\mu_{\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  m\'ert\'ek, ha a
$\mu_{\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}}$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek konzisztensek.

Tov\'abb\'a, ha a $\mu_{\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek konzisztensek, akkor azok
meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak a $P((\xi_{t_1},\xi_{t_2},\dots)\in B)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket az $R^\infty$
`v\'egtelen dimenzi\'os Euklideszi t\'er' $B\in\Cal B^{(\infty)}$
Borel-m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazain. Itt $R^\infty$ a
val\'os sz\'amokb\'ol \'all\'o v\'egtelen $(x_1,x_2,\dots)$
sorozatok ter\'et jel\"oli, $\Cal B^{(\infty)}$ pedig az
$R^\infty$ halmaz
$$
A=\{(x_1,x_2,\dots,)\colon\;(x_1,x_2,\dots,x_n)\in B\}, \quad
B\in\Cal B^{(n)}
$$
alakban el\H{o}\'all\'{\i}that\'o r\'eszhalmazai (hengerhalmazai)
\'altal gener\'alt legsz\"ukebb $\sigma$-algebr\'at, ahol $n$
tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am, $\Cal B^{(n)}$ pedig
az $R^n$ $n$-dimenzi\'os Eukideszi t\'er Borel
$\sigma$-algebr\'aj\'at jel\"oli.}
\medskip

Mivel v\'eges dimenzi\'os Euklideszi terekben
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekeket nem k\"oz\-vet\-le\-n\"ul
adunk meg, hanem eloszl\'asf\"uggv\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
ez\'ert \'erdemes a Kolmogorov-f\'ele alapt\'etelnek egy olyan
v\'altozat\'at is bebizony\'{\i}tani, amelyik arr\'ol sz\'ol, hogy
amennyiben megadjuk v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy
rendszer\'et, akkor mikor l\'etezik egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
mez\H{o} \'es azon val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan
rendszere, amelyeknek ezek a v\'eges dimenzi\'os 
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyei. Egy ilyen \'all\'{\i}t\'ast 
fogalmazok meg a k\"ovetkez\H{o} t\'etelben, illetve annak 
k\"ovetkezm\'eny\'eben. Ahhoz, hogy ezt megtegyem el\H{o}bb be kell
vezetnem el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek konzisztenci\'aj\'anak a
definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asf\"uggv\'enyek konzisztenci\'aj\'anak a definici\'oja.}
{\it Legyen adva egy $T$ v\'egtelen (nem felt\'etlen\"ul
megsz\'aml\'alhat\'o) halmaz, \'es legyen hozz\'arendelve
minden v\'eges sok $t_1$,\dots, $t_n$, $t_j\in T$, $1\le j\le n$,
k\"ul\"onb\"oz\H{o} tagb\'ol \'all\'o $T$ halmazbeli
\'ert\'eket felvev\H{o} sorozathoz egy
$$
F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})
$$
eloszl\'asf\"uggv\'eny. Ezek az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konzisztensek, ha

\medskip
\item{a)}
Az $\{1,\dots,n\}$ halmaz tet\-sz\H{o}\-le\-ges
$(\pi_n(1),\dots,\pi_n(n))$ permut\'aci\'oj\'ara
$$
F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})=
F_{t_{\pi_n(1)},\dots,t_{\pi_n(n)}}(x_{t_{\pi_n(1)}},\dots,x_{t_{\pi_n(n)}}).
$$
\item{b)} Ha $t_1,\dots,t_n,t_{n+1},\dots,t_{n+m}$ egy
$t_1,\dots,t_n$ sorozat folytat\'asa, $t_j\in T$, $1\le j\le n+m$,
akkor
$F_{t_1,\dots,t_{n+m}}(x_{t_1},\dots,x_{t_n},\underbrace{\infty,\dots,\infty}
_{m \text{ multiplicit\'assal}})=F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$,
ahol
$$
\align
&F_{t_1,\dots,t_{n+m}}(x_{t_1},\dots,x_{t_n},\underbrace{\infty,\dots,\infty}
_{m  \text{ multiplicit\'assal}}) \\
&\qquad =\lim \Sb x_{t_{n+j}}\to\infty \\
1\le j\le m \endSb
F_{t_1,\dots,t_{n+m}}(x_{t_1},\dots,x_{t_n},x_{t_{n+1}},\dots,x_{t_{n+m}}).
\endalign
$$

}\medskip

Ezut\'an meg tudom fogalmazni a Kolmogorov-f\'ele 
alap\-t\'e\-tel\-nek azt az (eredeti) v\'altozat\'at,
ahol v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asok helyett
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek\-kel dolgozunk.

\medskip\noindent
{\bf A Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel eredeti v\'altozata.} {\it
Legyen adva egy $T=\{t_1,t_2,\dots\}$ megsz\'aml\'alhat\'oan
v\'egtelen halmaz, \'es minden v\'eges $t_{j_1},\dots,t_{j_n}$
$T$-beli \'ert\'ekeket felvev\H{o} sorozathoz legyen
hoz\-z\'a\-ren\-del\-ve egy
$F_{t_{j_1},\dots,t_{j_n}}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$ eloszl\'asf\"uggv\'eny.
Legyenek ezek az eloszl\'asf\"uggv\'enyek kon\-zisz\-ten\-sek.
Jel\"olje $R_T$ a $T$ halmazon defini\'alt val\'os \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'enyek halmaz\'at, \'es defini\'aljuk a $\Cal B_T$
$\sigma$-algebr\'at az $R_T$ t\'eren a k\"ovetkez\H{o} m\'odon. A
$\Cal B_T$ $\sigma$-algebra elemei az
$$
\{(X(t_1),X(t_2),\dots)\colon\;
(X(t_1),X(t_2),\dots)\in \Cal B^\infty\}
$$
alak\'u halmazok, ahol $\Cal B^\infty$ a v\'egtelen sorozatok
$R^\infty$ ter\'en kor\'abban defini\'alt $\Cal B^\infty$
$\sigma$-algebra. Ekkor l\'etezik pontosan egy olyan $\mu$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $(R_T,\Cal B_T)$
t\'eren, amelyre
$$
\mu(\{(X(t_1),X(t_2),\dots)\colon\;
X(t_{j_1})<x_{t_{j_1}},\dots,X(t_{j_n})<x_{t_{j_n}}\})=
F_{t_{j_1},\dots,t_{j_n}}(x_{t_{j_1}},\dots,x_{t_{j_n}})
$$
minden $n=1,2,\dots$, pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra,
$t_{j_1},\dots,t_{j_n}$ $T$ halmazbeli elemekre \'es
$x_{t_{j_1}}$,\dots, $x_{t_{j_n}}$ val\'os sz\'amokra.}

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny:} {\it Teljes\"uljenek a Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etel eredeti v\'altozat\'anak a fel\-t\'e\-te\-lei.
Tekints\"uk az $(\Omega,\Cal A,P)=(R_T,\Cal B_T,\mu)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t a Kolmogorov-f\'ele 
alapt\'etelben szerepl\H{o} $R^T$ halmazzal, $\Cal B^T$ 
$\sigma$-algebr\'aval \'es $\mu$ 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ekkel. 
De\-fi\-ni\'al\-juk a $\xi_t$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'okat az $(R_T,\Cal B_T,\mu)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
mez\H{o}n minden $t\in T$ indexre a $\xi_t(\oo)=X(t)$ k\'eplettel 
az $\oo=(X(t),\, t\in T)$ elemi esem\'enyen. Ekkor a $\xi_t$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra igaz, hogy a
$(\xi_{t_{j_1}},\dots,\xi_{t_{j_n}})$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa
az $F_{t_{j_1},\dots,t_{j_n}}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$ 
eloszl\'asf\"uggv\'eny
minden $t_{j_1},\dots,t_{j_n}$ $T$ halmazbeli v\'eges so\-ro\-zat\-ra.}

\medskip
Az, hogy a T\'etel~A1-ben, T\'etel~A2-ben \'es a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etel\'eben megfogalmazott felt\'etelek sz\"uks\'eges
felt\'etelei a t\'etelekben megk\"ovetelt tulajdons\'ag\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}k l\'etez\'es\'enek viszonylag
k\"onnyen l\'athat\'o. \'Erdemes megjegyezni, hogy e felt\'etelek
sz\"uks\'egess\'eg\'enek ellen\-\H{o}r\-z\'e\-se\-kor fel kell
haszn\'alni, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nem csak addit\'{\i}v,
hanem $\sigma$-addit\'{\i}v is. \'Igy p\'eld\'aul a b) felt\'etel
el\-len\-\H{o}r\-z\'e\-s\'e\-n\'el a T\'etel~A1-ban azt kell
megmutatni, hogy a $P(\xi<x-h_n)=F(x-h_n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
konverg\'alnak a $P(\xi<x)=F(x)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eghez minden
val\'os $x$ sz\'amra, \'es  $h_n>0$  sz\'amok olyan monoton
sorozat\'ara, amelyre $\limm_{n\to\infty}h_n=0$. Mivel
$\bigcupp_{n=1}^\infty\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x-h_n\}=
\{\oo\colon\; \xi(\oo)<x\}$ ez az \'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezik
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek folytonoss\'agi
tulajdons\'ag\'ab\'ol. De ennek a tulajdons\'agnak a
teljes\"ul\'es\'ehez nem el\'eg a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
additiv\'{\i}t\'asa, annak $\sigma$-additiv\'{\i}t\'asa is
sz\"uks\'eges. (L\'asd a bevezet\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
el\H{o}ad\'assorozat 2.~el\H{o}ad\'as\'aban a T\'etel~A
eredm\'enyt.)

A T\'etel~A2 felt\'eteleinek sz\"uks\'egess\'ege hasonl\'oan
bizony\'{\i}that\'o, mint az anal\'og \'all\'{\i}t\'as a
T\'etel~A1-ben. Azt kell m\'eg megmutatni, hogy ha
$F(x_1,\dots,x_n)$ egy $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asa, akkor a (iv) tulajdons\'ag megfogalmaz\'asa el\H{o}tt
bevezetett $\mu(\bold K)$ mennyis\'eg teljes\'{\i}ti a
$P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in\bold K)=\mu(\bold K)$ rel\'aci\'ot. Az,
hogy Kolmogorov t\'etel\'eben a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek konzisztenci\'aj\'at fel kell tenni
ny\'{\i}lv\'anval\'o.

Annak bizony\'{\i}t\'asa, hogy a fenti t\'etelekben megfogalmazott
felt\'etelek el\'egs\'egesek is, l\'enyegesen nehezebb. Ismertetem,
bizonyos r\'eszletek elhagy\'as\'aval ezeket a
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-so\-kat is. El\H{o}sz\"or az
el\'egs\'egess\'eg igazol\'as\'at visszavezetem az al\'abb
megfogalmazott T\'etel~B1, T\'etel~B2 \'es egy ebben a jegyzetben
Kolmogorov t\'etelnek nevezett eredm\'eny  bizony\'{\i}t\'as\'ara.
Ez a visszavezet\'es egyben azt is mutatni fogja, hogy a
bizony\'{\i}t\'as f\H{o} neh\'ezs\'ege annak  igazol\'asa, hogy
bizonyos addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyek
$\sigma$-addit\'{\i}vak is.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel B1.} {\it Teljes\'{\i}tse egy $F(x)$ f\"uggv\'eny a
T\'etel~A1 a)--d) felt\'eteleit. Akkor l\'etezik a sz\'amegyenes
Borel m\'erhet\H{o} halmazain olyan $\mu=\mu_F$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek, amelyre
$\mu((-\infty,x))=F(x)$ minden $x$ val\'os sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel B2.} {\it Teljes\'{\i}tse egy $F(x_1,\dots,x_n)$
f\"uggv\'eny a T\'etel~A2 (i)--(iv) felt\'eteleit. Akkor l\'etezik
az $R^n$ $n$-dimenzi\'os t\'er Borel m\'erhet\H{o} halmazain olyan
$\mu=\mu_F$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek, amelyre
$\mu_F((-\infty,x_1)\times\cdots\times(\-\infty,x_n))=F(x_1,\dots,x_n)$
minden $(x_1,\dots,x_n)$ val\'os sz\'am $n$-esre.}

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassuk meg a T\'etel B2 seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy az
$n$-dimenzi\'os $[0,1]^n$ egys\'egkocka Borel-m\'erhet\H{o}
r\'eszhalmazain l\'etezik Lebesgue m\'ert\'ek, azaz olyan
$\lambda(\cdot)$ $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny, amelyre
$\lambda([a_1,b_1)\times\cdots\times[a_n,b_n))=\prodd_{j=1}^n(b_j-a_j)$
minden $[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_n,b_n)\subset [0,1]^n$
t\'eglatestre.
\medskip

Az al\'abb megfogalmazott eredm\'enyt, amelyb\H{o}l k\"ovetkezik a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
Kol\-mo\-go\-rov-f\'e\-le alapt\'etele Kolmogorov t\'etele n\'even
ismertetem.

\medskip\noindent
{\bf Kolmogorov t\'etele.} {\it Legyen adva egy
meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o $T=\{t_1,t_2,\dots,\}$ halmaz
\'es annak minden v\'eges $\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}\subset T$
r\'eszhalmaz\'ahoz rendelj\"unk hozz\'a egy
$\mu_{\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'eket az $R_{\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}}$ t\'eren. Legyenek
ezek a m\'ert\'ekek konzisztensek. Jel\"olje $R_T$ az
$(X(t_1),X(t_2),\dots)$ v\'egtelen val\'os sz\'amsorozatokb\'ol
\'all\'o teret, azaz a $T$ halmazon defini\'alt val\'os \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'enyek ter\'et. Jel\"olje $\Cal C_0^T$ az \"osszes
$$
\align
&C(t_{j_1},\dots,t_{j_n},B_n)\\
&\quad =\{(X(t_1),X(t_2),\dots)\colon\;
(X(t_{j_1}),\dots,X(t_{j_n}))\in B_n,\; X(t_l)\in R^1,
\text{ ha } l\notin\{j_1,\dots,j_n\}\}
\endalign
$$
alak\'u hengerhalmazb\'ol \'all\'o halmazrendszert az $R_T$ t\'eren,
ahol
$$
n=1,2,\dots, \quad \{t_{j_1},t_{j_2},\dots,t_{j_n}\}\subset T,
\quad j_1<j_2<\cdots<j_n, \quad B_n\in \Cal B^{(n)},
$$
\'es $\Cal B^{(n)}$ az $n$-dimenzi\'os Euklideszi t\'er Borel
$\sigma$-algebr\'aj\'at jel\"oli.

Az el\H{o}bb defini\'alt $\Cal C_0^T$ halmazrendszer algebra, \'es
legyen $\Cal B_T$ a $\Cal C^T_0$ halmazrendszer \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebra. L\'etezik olyan $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek az $(R_T,\Cal B_T)$ t\'eren, amelyre
$$
\mu(C(t_{j_1},\dots,t_{j_n},B_n))
=\mu_{\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}}
(\{(X(t_{j_1}),\dots,X(t_{j_n}))\colon\;
(X(t_{j_1}),\dots,X(t_{j_n}))\in B_n\}) \tag1
$$
minden $C(t_{j_1},\dots,t_{j_n},B_n))\in \Cal C_0^T$ halmazra.
Tov\'abb\'a az (1) felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o} $\mu$ m\'ert\'eket
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozz\'ak a
$\mu_{\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}}$ m\'ert\'ekek.}
\medskip

A T\'etel B1-b\H{o}l k\"onnyen k\"ovetkezik, hogy amennyiben az
$F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a T\'etel~A1 a)-d) felt\'eteleit,
akkor l\'etezik egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o} \'es azon egy $\xi$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o \'ugy, hogy $\xi$ eloszl\'asf\"uggv\'enye az $F(x)$
f\"uggv\'eny. Val\'oban, legyen
$(\Omega,\Cal A,P)=(R^1,\Cal B^{(1)},\mu_F)$, ahol $R^1$ az
egydimenzi\'os Euklideszi t\'er, azaz a sz\'amegyenes,
$\Cal B^{(1)}$ a Borel $\sigma$-algebra a sz\'amegyenesen,
\'es $\mu_F$ a T\'etel~B1-ben szerepl\H{o} m\'ert\'ek. Az $\oo$
elemi esem\'enyek ebben a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}ben a
val\'os sz\'amok. Defini\'aljuk a $\xi(\oo)=\xi(x)$, (ha $\oo=x$),
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot a $\xi(x)=x$ k\'eplettel.
Ekkor a T\'etel B1 szerint a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye az $F(x)$ f\"uggv\'eny.

Hasonl\'oan l\'athatjuk be a T\'etel B2 seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
amennyiben egy $F(x_1,\dots,x_n)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a
T\'etel~A2 (i)--(iv) felt\'eteleit, akkor l\'etezik
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es
azon $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen vektor, amelynek
$F(x_1,\dots,x_n)$ az eloszl\'asf\"uggv\'enye. Val\'oban, legyen
$(\Omega,\Cal A,P)=(R^n,\Cal B^{(n)},\mu_F)$, ahol $R^n$ az
$n$-dimenzi\'os Euklideszi t\'er, $\Cal B^{(n)}$ a Borel
$\sigma$-algebra $R^n$-en, \'es $\mu_F$ a T\'etel~B1-ben
szerepl\H{o} $\mu_F$ m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat az $\oo=(x_1,\dots,x_n)$
pontban a $\xi_1(\oo)=x_1$, $\xi_2(\oo)=x_2$,\dots $\xi_n(\oo)=x_n$
formul\'akkal. Ekkor a $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asa az $F(x_1,\dots,x_n)$ f\"uggv\'eny.

Hasonl\'oan k\"ovetkezik a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
Kolmogorov-f\'ele alapt\'etele a Kolmogorov t\'etelb\H{o}l. Legyen
$(\Omega,\Cal A,P)=(R_T,\Cal B_T,\mu)$ a Kolmogorov t\'etelben
szerepl\H{o} $R_T$, $\Cal B_T$ \'es $\mu$ mennyis\'egekkel. Legyen
$\xi_{t_j}(\oo)=X(t_j)$, $j=1,2,\dots$, az
$\oo=(X(t_1),X(t_2),\dots)$ pontban. Ekkor ezen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak a k\'{\i}v\'ant
eloszl\'asuk van a Kolmogorov t\'etel alapj\'an. A Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etelben szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
egy\'ertelm\H{u}s\'ege k\"onnyen k\"ovetkezik a
Carath\'eodory-f\'ele kiterjeszt\'esi t\'etelben, az ott tekintett,
a kiindul\'o algebra \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'an
defini\'alt m\'ert\'ek egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'eb\H{o}l.
Ugyanilyen m\'odon kaphatjuk meg a Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel 
eredeti v\'altozat\'ab\'ol annak k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-ny\'et.

\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ L\'assuk be, hogy megford\'{\i}tva a T\'etel B1
k\"ovetkezik a T\'etel A1-b\H{o}l, a T\'etel B2, a
T\'etel~A2-b\H{o}l \'es a Kolmogorov t\'etel a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as Kolmogorov-f\'ele
alap\-t\'e\-te\-l\'e\-b\H{o}l.

\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Ha l\'eteznek a k\'{\i}v\'ant
tulajdons\'ag\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok valamely
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, akkor vezess\"uk
be a $\mu_F(B)=P(\xi\in B)$, $B\in \Cal B^{(1)})$, m\'ert\'eket a
T\'etel~B1, a $\mu_F(B)=P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in B)$,
$B\in \Cal B^{n}$, m\'ert\'eket a T\'etel~B2 igazol\'as\'aban.
V\'eg\"ul a Kolmogorov t\'etel eset\'eben legyen
$\mu(B)=P((\xi_{t_1},\xi_{t_2},\dots)\in B)$, $B\in\Cal B^T$.
\medskip

Be k\'{\i}v\'anjuk l\'atni a T\'etel B1-t, T\'etel B2-t \'es a
Kolmogorov t\'etelt, illetve annak eredeti v\'altozat\'at. A 
bizony\'{\i}t\'asban felhaszn\'alunk
n\'eh\'any a matematikai anal\'{\i}zisben tanult eredm\'enyt a
kompakt halmazokr\'ol. Felid\'ezem az ott tanult legfontosabb
fogalmakat \'es eredm\'enyeket.

\medskip\noindent
{\bf Kompakt halmazok definici\'oja metrikus terekben.} {\it Egy
$(X,\rho)$ (szepar\'abilis) metrikus t\'erben akkor nevez\"unk egy
$K$ halmazt kompaktnak, ha tetsz\H{o}leges $x_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozatnak, amelyre $x_n\in K$, $n=1,2,\dots$ l\'etezik
$x_{n_j}$ konvergens r\'eszsorozata, \'es e konvergens r\'eszsorozat
$x_\infty=\limm_{j\to\infty}x_{n_j}$ hat\'ar\'ert\'eke mindig
teljes\'{\i}ti az $x_\infty\in K$ rel\'aci\'ot. Szavakban
megfogalmazva: Tetsz\H{o}leges a $K$ halmazban lev\H{o} sorozatnak
van konvergens r\'eszsorozata, \'es minden $K$ halmazbeli
\'ert\'ekeket felvev\H{o} konvergens sorozat ha\-t\'ar\-\'ert\'e\-ke
a $K$ halmazban van.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel Euklideszi t\'er kompakt halmazainak
jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Az $R^n$ $n$-dimenzi\'os Euklideszi
t\'er kompakt halmazai (a szok\'asos metrik\'aval) megegyeznek az
$R^n$ t\'er z\'art \'es korl\'atos halmazaival.}

\medskip\noindent
{\bf Heine--Borel-f\'ele befed\'esi t\'etel.} {\it Fedjen be
ny\'{\i}lt halmazok uni\'oja egy kompakt halmazt. Ekkor
kiv\'alaszthat\'o ezen ny\'{\i}lt halmazok k\"oz\"ul v\'eges sok,
amely szint\'en befedi ezt a kompakt halmazt.}

\medskip
Sz\'amunkra els\H{o}sorban a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny lesz hasznos.
Ez\'ert ennek bizony\'{\i}t\'as\'at megadom.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel egym\'asba skatuly\'azott kompakt halmazok
metszet\'er\H{o}l.} {\it Legyen
$K_1\supset K_2\supset\cdots$ egym\'asba skatuly\'azott
kompakt halmazok v\'egtelen sorozata egy metrikus t\'er\-ben.
(Speci\'alisan az Euklideszi t\'erben korl\'atos, z\'art halmazokat
tekint\"unk.) Ha teljes\"ul a $\bigcapp_{n=1}^\infty K_n=\emptyset$
tulajdons\'ag, akkor
l\'etezik olyan $N<\infty$ sz\'am, amelyre a
$K_N=\emptyset$ rel\'aci\'o is teljes\"ul.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Azt l\'atjuk be, hogy amennyiben
$K_n\neq\emptyset$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, akkor l\'etezik
egy $x\in\bigcapp_{n=1}^\infty K_n$ pont. Val\'oban, ebben az
esetben kiv\'alaszthatunk min\-degyik $K_n$ halmazb\'ol egy
$x_n\in K_n$ pontot. Ekkor $x_n\in K_1$ is teljes\"ul minden
$n=1,2,\dots$ indexre, ez\'ert l\'etezik e sorozatnak egy
konvergens $x_{n_j}$ r\'eszsorozata, \'es
$x_\infty=\limm_{j\to\infty} x_{n_j}\in K_1$.
S\H{o}t, $x_\infty\in K_n$ minden $n=1,2,\dots$ indexre, mert az
$x_{n_j}$ sorozat pontjai v\'eges sok kiv\'etellel benne vannak
a $K_n$ halmazban, \'es a $K_n$ halmaz is kompakt. Innen
k\"ovetkezik a t\'etel \'all\'{\i}t\'asa, mert
$x_\infty\in\bigcapp_{n=1}^\infty K_n$.

Felid\'ezem \'es bebizony\'{\i}tom a k\"ovetkez\H{o} (egyszer\H{u})
eredm\'enyt m\'ert\'ekek foly\-to\-nos\-s\'a\-g\'a\-r\'ol. (Ez
szerepelt a bevezet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
el\H{o}ad\'assorozat 2.~el\H{o}ad\'as\'anak a T\'etel~A
ered\-m\'e\-ny\'e\-ben.)

\medskip\noindent
{\bf T\'etel addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny
$\sigma$-additiv\'{\i}t\'as\'anak biztos\'{\i}t\'as\'ar\'ol
folytonoss\'agi tulajdons\'ag alapj\'an.} {\it Legyen adva egy $\mu$
v\'eges, nem-negat\'{\i}v, addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny egy $X$
halmaz bizonyos r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\Cal A$ algebr\'an. A
$\mu$ halmazf\"uggv\'eny m\'ert\'ek (azaz $\sigma$-addit\'{\i}v),
ha teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} folytonoss\'agi tulajdons\'agot:

\item{} Ha $A_1\supset A_2\supset A_3\supset\dots$, $A_n\in\Cal A$,
$n=1,2,\dots$ olyan egym\'asba skatuly\'azott $\Cal A$~m\'erhet\H{o}
halmazok sorozata, amelyre $\bigcapp_{n=1}^\infty A_n=\emptyset$,
akkor $\limm_{n\to\infty}\mu(A_n)=0$.

}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Azt kell bel\'atni, hogy ha $B_n$,
$n=1,2,\dots$, diszjunkt halmazok olyan sorozata az $X$ t\'eren,
amelyekre $B_n\in\Cal A$, \'es $C=\bigcupp_{n=1}^\infty B_n\in\Cal A$,
akkor $\summ_{n=1}^\infty\mu(B_n)=\mu(C)$.

Vezess\"uk be az
$A_N=C\setminus\(\bigcupp_{n=1}^N B_n\)=\bigcupp_{n=N+1}^\infty B_n$
halmazokat, $N=1,2,\dots$. Ekkor $A_N\in \Cal A$ minden
$N=1,2,\dots$ sz\'amra, $A_1\supset A_2\supset A_3\supset\cdots$,
$\bigcapp_{n=1}^\infty A_n=\emptyset$. Ez\'ert a t\'etel
felt\'etelei szerint $\limm_{N\to\infty}\mu(A_N)=0$. Tov\'abb\'a a
$B_1,B_2,\dots,B_N$ \'es az $A_N$ halmazok diszjunktak,
$\(\bigcupp_{n=1}^N B_n\)\cup A_N=C$ minden $N=1,2,\dots$ indexre.
Ez\'ert $\summ_{n=1}^N\mu(B_n)+\mu(A_N)=\mu(C)$. V\'egrehajtva az
$N\to\infty$ hat\'ar\'atmenetet az utols\'o azonoss\'agban, \'es
felhaszn\'alva a $\limm_{N\to\infty}\mu(A_N)=0$ rel\'aci\'ot
megkapjuk a t\'etel \'all\'{\i}t\'as\'at.

\medskip
Szeml\'eletesen vil\'agos, hogy a fenti t\'etelben megfogalmazott
folytonoss\'agi tulajdons\'ag teljes\"ul\'es\'enek az
ellen\H{o}rz\'es\'eben hasznos lehet az el\H{o}tte megfogalmazott
egy\-m\'as\-ba skatuly\'azott kompakt halmazok metszet\'er\H{o}l
sz\'ol\'o t\'etel. A T\'etel~B1, T\'etel~B2 \'es Kolmogorov
t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban sz\"uks\'eg van olyan eredm\'enyre
is, amely azt biztos\'{\i}tja, hogy az Euk\-li\-deszi t\'er
m\'erhet\H{o} halmazai j\'ol approxim\'alhat\'oak kompakt
halmazokkal. Meg\-mu\-ta\-tom, hogyan lehet a fenti t\'eteleket egy
ilyen gondolatmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel bebizony\'{\i}tani.

\medskip\noindent
{\it A T\'etel B1 bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Jel\"olje $\Cal A$ az $\bigcupp_{j=1}^N[a_j,b_j)$ alakban
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o halmazokb\'ol \'all\'o halmazrendszert,
ahol az uni\'oban v\'eges sok diszjunkt $[a_j,b_j)$ intervallum
van. Az $a_j=-\infty$, $b_j=\infty$
v\'alaszt\'as is megengedett. Defini\'aljuk egy az $\Cal A$
halmazrendszerben lev\H{o} halmaz m\'ert\'ek\'et a
$\mu\(\bigcupp_{j=1}^N[a_j,b_j)\)=\summ_{j=1}^N[F(b_j)-F(a_j)]$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol definici\'o szerint
$F(-\infty)=0$, $F(\infty)=1$.

Nem neh\'ez bel\'atni, hogy $\Cal A$ algebra, a $\mu$
halmazf\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en van de\-fi\-ni\-\'al\-va
az $\Cal A$ algebr\'an, \'es az addit\'{\i}v, nem-negat\'{\i}v,
valamint $\mu((-\infty,\infty))=1$.
(A $\mu$ halmazf\"uggv\'eny egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-s\'e\-ge
igazol\'asakor azt kell ellen\H{o}rizni, hogy b\'ar egy
$\Cal A$-beli halmaz el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa nem egy\'ertelm\H{u},
hiszen p\'eld\'aul egy $[a,b)$ intervallum el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
$[a,b)=[a,c)\cup[c,b)$, $a<c<b$, alakban is, egy $\Cal A$-beli
halmaz $\mu$ m\'ert\'ek\'et \'ugy defini\'altuk, hogy az nem
f\"ugg ennek a halmaznak az el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at\'ol.)

Azt \'all\'{\i}tom, hogy a $\mu$ halmazf\"uggv\'eny nem csak
addit\'{\i}v, hanem $\sigma$-addit\'{\i}v is. Ehhez elegend\H{o}
bel\'atni azt, hogy amennyiben
$A_n=\bigcapp_{j=1}^{N(n)}[a^{(n)}_j,b^{(n)}_j)\in\Cal A$,
$n=1,2,\dots$, olyan az $\Cal A$ halmazrendszer halmazaib\'ol
\'all\'o sorozat, amelyre $A_1\supset A_2\supset\cdots$,
$\bigcapp_{n=1}^\infty A_n=\emptyset$, akkor
$\limm_{n\to\infty}\mu(A_n)=0$.

Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy kis $\e>0$ sz\'amot, \'es v\'alasszunk
minden $A_n$ halmazhoz olyan
$K_n=\bigcapp_{j=1}^{N(n)}[\bar a^{(n)}_j,\bar b^{(n)}_j)\in\Cal A$,
halmazt, amelyre $a^{(n)}_j\le\bar a^{(n)}_j\le\bar b^{(n)}_j<b^{(n)}_j$
 $-\infty<\bar a^{(n)}_j<\bar b^{(n)}_j<\infty$, \'es
$\mu(K_n)\ge\mu(A_n)-2^{-n}\e$. Ilyen v\'alaszt\'as lehets\'eges
az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny baloldali folytonoss\'aga miatt, azaz a
T\'etel~A1 b) felt\'etele miatt, \'es a T\'etel~A1 c) \'es d)
felt\'etele miatt. Ilyen v\'alaszt\'assal nemcsak a
$K_n\subset A_n$, hanem a $\bar K_n\subset A_n$ tulajdons\'agot is
biztos\'{\i}tjuk, ahol $\bar K_n$ a $K_n$ halmaz lez\'artj\'at
jelenti. Ezenk\'{\i}v\"ul $\bar K_n$ korl\'atos, z\'art, ez\'ert
kompakt halmaz.

Vezess\"uk be a $K_N^*=\bigcapp_{n=1}^N K_n$, \'es
$\bar K_N^*=\bigcapp_{n=1}^N\bar K_n$ halmazokat.
Ekkor $\bar K_1^*\supset\bar K_2^*\supset\cdots$ egym\'asba
skatuly\'azott kompakt halmazok sorozata, amelyek metszete \"ures.
Ez\'ert az egym\'asba skatuly\'azott kompakt halmazok
metszet\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel alapj\'an l\'etezik olyan $N$
index, amelyre a $\bar K_N^*$, \'{\i}gy a $K_N^*$ halmaz is \"ures.
Innen kapjuk, hogy
$A_N=A_N\setminus K_N^*\subset\bigcapp_{n=1}^N (A_n\setminus K_n)$,
\'es $\mu(A_N)\le\summ_{n=1}^N(\mu(A_n)-\mu(K_n))\le\e$. Ez\'ert
$\mu(A_n)\le\e$, ha $n\ge N=N(\e)$. Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as
minden $\e>0$ sz\'amra igaz, innen k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}\mu(A_n)=0$, \'es a $\mu$ halmazf\"uggv\'eny
m\'ert\'ek a $\Cal A$ algebr\'an.

A Carath\'eodory-f\'ele kiterjeszt\'esi t\'etel alapj\'an a $\mu$
m\'ert\'eket ki lehet terjeszteni az $\Cal A$ algebra \'altal
gener\'alt $\sigma$-algebr\'ara, amely megegyezik a sz\'amegyenes
Borel $\sigma$-algebr\'aj\'aval. Tov\'abb\'a
$\mu((-\infty,x))=F(x)$ minden $x$ val\'os sz\'amra. A T\'etel~B1-t
bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip
A T\'etel~B2-t is be lehet bizony\'{\i}tani a T\'etel~B1
bizony\'{\i}t\'as\'anak term\'eszetes finom\'{\i}t\'as\'aval. Azt
kell kihaszn\'alni, hogy a t\"obb-v\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyek T\'etel~A2-ben megfogalmazott (iv)
tulajdons\'aga a monoton\'{\i}t\'as tulajdons\'ag\'anak term\'eszetes
t\"obb-v\'altoz\'os megfelel\H{o}je. Vegy\"uk \'eszre, hogy az
eml\'{\i}tett (iv) felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a $F_j(x)=
F_j(\undersetbrace j-1 \text{ argumentum}\to{\infty,\dots,\infty}
,x,\undersetbrace n-j\text{ argumentum}\to{\infty,\dots,\infty})$
f\"uggv\'eny monoton \'es balr\'ol folytonos, \'es
$F_j(b_j)-F_j(a_j)\ge\mu_F([a_1,b_1)\times
\cdots\times[a_{j-1},b_{j-1})\times[a_j,b_j)\times[a_{j+1},b_{j+1}),
\times\cdots[a_n,b_n))$ minden olyan $a_1,\dots,a_n$ \'es $b_1,\dots,b_n$
sz\'amsorozatra, amelyre $a_j\le b_j$, $1\le j\le n$. A T\'etel B2
bizony\'{\i}t\'as\'aban a $\mu$ m\'ert\'eket el\H{o}sz\"or
$K=[a_1,b_1)\times\cdots [a_j,b_j)$ diszjunkt t\'eglatestek v\'eges
uni\'oj\'ara defini\'aljuk. (Az $a_j=-\infty$ \'es
$b_j=\infty$ v\'alaszt\'as is megengedett.) A $\mu$ m\'ert\'eket a
(iv) formula
el\H{o}tt t\'eglatestekre bevezetett $\mu(K)=\mu_F(K)$ k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk. A T\'etel~B1 \'ervel\'es\'ehez
hasonl\'oan bebizony\'{\i}thatjuk, hogy ilyen m\'odon egy
m\'ert\'eket defini\'alunk egy olyan algebr\'an, amely gener\'alja a
$\Cal B^{(n)}$ Borel $\sigma$-algebr\'at az $R^n$ Euklideszi
t\'eren. E m\'ert\'ek Carath\'eodory-f\'ele
kiterjeszt\'ese a $\Cal B^{(n)}$ $\sigma$-algebr\'ara megadja
a T\'etel~B1 felt\'eteleit teljes\'{\i}t\H{o} $\mu$ m\'ert\'eket a
$\Cal B^{(n)}$ $\sigma$-algebr\'an. A bizony\'{\i}t\'as r\'eszleteinek
kidolgoz\'as\'at elhagyom.

Megfogalmazok \'es bebizony\'{\i}tok k\'et t\'etelt, amelyeket a
Kolmogorov t\'etel bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-ban fogok
fel\-hasz\-n\'al\-ni. Az els\H{o} t\'etel azt mondja ki, hogy
egy Euklideszi t\'erben minden m\'erhet\H{o} halmaz j\'ol
approxim\'alhat\'o kompakt halmazokkal, a m\'asodik t\'etel pedig
azt, hogy kompakt halmazokra t\'amaszkod\'o
hengerhalmazok metszete a v\'egtelen dimenzi\'os t\'erben hasonl\'o
tulajdons\'agokkal rendelkezik, mint kompakt halmazok metszete egy
metrikus t\'erben.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel m\'erhet\H{o} halmazok approxim\'al\'as\'ar\'ol
kompakt halmazokkal Euklideszi terekben.} {\it Legyen $\mu$
v\'eges m\'ert\'ek az $R^n$ $n$-dimenzi\'os Euklideszi t\'er
$\Cal B^{(n)}$ Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an, azaz legyen
$\mu(R^n)<\infty$. Ekkor minden $B\in\Cal B^{(n)}$ halmazhoz \'es
$\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $K$ kompakt halmaz, amelyre
$K\subset B$, \'es $\mu(K)>\mu(B)-\e$.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Jel\"olje $\Cal B$ azon $B\in\Cal B^{(n)}$
m\'erhet\H{o} halmazok oszt\'aly\'at, amelyekre igaz, hogy minden
$\e>0$ sz\'amhoz tal\'alhat\'o olyan $K=K(\e,B)$ kompakt \'es
$G=G(\e,B)$ ny\'{\i}lt halmaz, amelyekre $K\subset B$, \'es
$\mu(K)>\mu(B)-\e$, valamint $B\subset G$, \'es
$\mu(B)>\mu(G)-\e$. A t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg a k\"ovetkez\H{o} k\'et
\'all\'{\i}t\'ast igazolni.

\medskip
\item{a)} Minden $S=[a_1,b_1)\times\cdots\times [a_n,b_n)$ alak\'u
t\'eglatest eleme a $\Cal B$ halmazoszt\'alynak.
\item{b)} $\Cal B$ $\sigma$-algebra.
\medskip

Az a) \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben defini\'aljuk
minden $S=[a_1,b_1)\times\cdots\times [a_n,b_n)$ t\'eglatesthez az
$K_N=[a_1,b_1-\frac1N]\times\cdots\times [a_n,b_n-\frac1N]$
kompakt \'es
$G_N=(a_1-\frac1N,b_1)\times\cdots\times (a_n-\frac1N,b_n)$
ny\'{\i}lt halmazokat, $N=1,2,\dots$. Ekkor
$K_1\subset K_2\subset\cdots$, \'es $S=\bigcupp_{N=1}^\infty K_N$.
Ez\'ert minden $\e>0$ sz\'amra $\mu(K_N)>\mu(S)-\e$, ha $N=N(\e)$
el\'eg nagy, \'es $K_N\subset S$. Hasonl\'oan,
$S=\bigcapp_{N=1}^\infty G_N$, \'es $G_1\supset G_2\supset\cdots$,
ez\'ert minden $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan ny\'{\i}lt
$G_N\supset S$ halmaz, amelyre $\mu(G_N)<\mu(S)+\e$. A
 $\Cal B$ halmazrendszer a) tulajdons\'ag\'at bel\'attuk.

L\'assuk be, hogy ha $B\in\Cal B$, akkor $R^n\setminus B\in\Cal B$.
Minden $\e>0$-hoz l\'etezik olyan $K\subset B$ kompakt halmaz,
amelyre $\mu(K)>\mu(B)-\e$. Egy ilyen $K$ kompakt halmazt v\'alasztva
azt kapjuk, hogy a $G=R^n\setminus K$ halmaz ny\'{\i}lt,
$R^n\setminus B\subset G$, \'es $\mu(R^n\setminus B)>\mu(G)-\e$.
M\'asr\'eszt v\'alasszunk olyan ny\'{\i}lt $G\supset B$ halmazt,
amelyre $\mu(G)<\mu(B)+\frac\e2$. Ekkor az $F=R^n\setminus G$ halmaz
z\'art, de nem felt\'etlen\"ul kompakt, $F\subset R^n\setminus B$,
\'es $\mu(R^n\setminus B)<\mu(F)+\frac\e2$.
V\'alasszunk olyan nagy $T>0$ sz\'amot, amelyre $
\mu(R^n\setminus([-T,T]\times\cdots\times[-T,T]))<\frac\e2$.
Ekkor a $K=F\cap([-T,T]\times\cdots\times[-T,T])$ halmaz korl\'atos,
z\'art, ez\'ert kompakt, $K\subset R^n\setminus B$, \'es
$\mu(R^n\setminus B)<\mu(K)+\e$. Bel\'attuk, hogy
$R^n\setminus B\in\Cal B$.

Megmutatom, hogy amennyiben $B_N\in\Cal B$, $N=1,2,\dots$,
$B_\infty=\bigcupp_{N=1}^\infty B_N$, akkor minden $\e>0$ sz\'amra
l\'etezik olyan $K=K(\e)$ kompakt \'es $G=G(\e)$ ny\'{\i}lt halmaz,
amelyekre $K\subset B_\infty$, $\mu(K)>\mu(B_\infty)-\e$, \'es
$B_\infty\subset G$, $\mu(B_\infty)>\mu(G)-\e$. Ez azt jelenti,
hogy $\bigcupp_{N=1}^\infty B_N=B_\infty\in\Cal B$.

Val\'oban, minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $M=M(\e)$ index,
amelyre
$$
\mu\(\bigcupp_{N=1}^M B_N\)+\frac\e2\ge\mu(B_\infty).
$$
V\'alasszunk minden $N$ indexre olyan kompakt $K_N\subset B_N$
halmazt, amely\-re $\mu(K_N)>\mu(B_N)-\e2^{-N-2}$. Ekkor a
$K=\bigcupp_{N=1}^MK_N$ halmaz kompakt,
$K\subset\bigcupp_{N=1}^M B_N\subset B_\infty$. Tov\'abb\'a
$\mu\(\bigcupp_{N=1}^M B_N\)-\mu(K)\le\summ_{N=1}^M
[\mu(B_N)-\mu(K_N)]<\frac\e2$, ahonnan
$$
\mu(K)>\mu\(\bigcupp_{N=1}^M B_N\)-\frac\e2>\mu(B_\infty)-\e.
$$

M\'asr\'eszt minden $\e>0$ \'es $N=1,2,\dots$ sz\'amhoz v\'alasszunk
olyan $G_N$ ny\'{\i}lt halmazt, amelyre $B_N\subset G_N$, \'es
$\mu(G_N)<\mu( B_N)+\e2^{-n-1}$. Ekkor $G=\bigcupp_{N=1}^\infty G_N$
ny\'{\i}lt halmaz, $B_\infty\subset G$, \'es
$\mu(G)\le \mu(B_\infty)+\summ_{N=1}^\infty
\mu(G_N\setminus B_N)<\mu(B_\infty)+\e$.

V\'eg\"ul vegy\"uk \'eszre, hogy amennyiben $B_N\in \Cal B$ minden
$N=1,2,\dots$ indexre, akkor $\bigcapp_{N=1}^\infty B_N\in\Cal B$,
mert ekkor $\bar B_N=R^n\setminus B_N\in \Cal B$ minden $N=1,2,\dots$
indexre, \'es $\bigcapp_{N=1}^\infty B_N
=R^n\setminus\(\bigcupp_{N=1}^\infty\bar B_N\)\in\Cal B$. Ezzel a
$\Cal B$ halmazrendszer b) tulajdons\'ag\'at is bel\'attuk, \'es a
t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at befejezt\"uk.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip

\item{} L\'assuk be k\"ozvetlen\"ul, a fenti t\'etel felhaszn\'al\'asa
n\'elk\"ul, hogy a $[0,1]$ intervallum irracion\'alis sz\'amaib\'ol
\'all\'o halmaznak minden $\e>0$ sz\'amra van olyan z\'art
r\'eszhalmaza, amelynek a Lebesgue m\'ert\'eke nagyobb, mint $1-\e$.
\medskip

A k\"ovetkez\H{o} t\'etel megfogalmaz\'asa el\H{o}tt bevezetek
n\'eh\'any jel\"ol\'est. Jel\"olje $R^\infty$, a `v\'egtelen
dimenzi\'os Euklideszi t\'er' a val\'os sz\'amokb\'ol \'all\'o
v\'egtelen $(x_1,x_2,\dots)$ sorozatok ter\'et, \'es \'alljon
$\Cal B_0^{(\infty)}$ az $R^\infty$ halmaz
$B=\{(x_1,x_2,\dots,)\colon\; (x_1,x_2,\dots,x_n)\in C\}$,
$C\in\Cal B^{(n)}$, valamilyen $n$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra,
alak\'u r\'eszhalmazaib\'ol. A $\Cal B_0^{(\infty)}$ halmazrendszer
elemeit az $R^\infty$ t\'er hengerhalmazainak fogom nevezni, mert az
ilyen halmazok fel\'{\i}rhat\'oak $B=B_0\times R^\infty$ alakban,
$B_0\subset R^n$ alakban. A $B$ halmaz $B=B_0\times R^\infty$
alak\'u el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban szerepl\H{o} $B_0$ halmazt
az $B$ hengerhalmaz tart\'oj\'anak fogjuk nevezni. Ha $B_0$ kompakt
halmaz az $(R^n,\Cal B^{(n)})$ Euklideszi t\'erben, akkor azt
mondjuk, hogy a $B$ halmaz egy kompakt tart\'oj\'u hengerhalmaz.
Ha ennek a kompakt $B_0$ halmaznak a dimenzi\'oja $n$, akkor azt
mondjuk, hogy $n=r(B)$ a $B$ halmaz tart\'oj\'anak a dimenzi\'oja.
Megjegyzem, hogy egy $B$ hengerhalmaz $B=B_0\times R^\infty$ alak\'u
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa nem egy\'ertelm\H{u}. Val\'oban, az
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asban szerepl\H{o} $B_0$ halmazt
helyettes\'{\i}thetj\"uk p\'eld\'aul a $B_0\times R^1$ halmazzal.
Vi\-szont, ha $B$ kompakt tart\'oj\'u hengerhalmaz, akkor annak
$A=B_0\times R^\infty$ alak\'u el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa egy $B_0$
{\it kompakt}\/ halmaz seg\'{\i}ts\'eg\'evel egy\'ertelm\H{u}.
Ez\'ert egy $B$ kompakt tart\'oj\'u hengerhalmaz tart\'oj\'anak $r(B)$
definici\'oja \'ertelmes fogalom.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel egym\'asba skatuly\'azott kompakt tart\'oj\'u
hengerhalmazok metszet\'enek tulajdons\'agair\'ol.} {\it Legyen
$A_1\supset A_2\supset A_3\supset\cdots$, $A_j=K_j\times R^\infty$,
ahol $K_j$ kompakt halmaz az $(R^{n_j},\Cal B^{(n_j)})$ Euklideszi
t\'erben valamely $n_j$ param\'eterrel, $j=1,2,\dots$, egym\'asba
skatuly\'azott kompakt tart\'oj\'u hengerhalmazok sorozata az
$R^\infty$ `v\'egtelen dimenzi\'os Euklideszi t\'er'-ben. Ha
$\bigcapp_{n=1}^\infty A_n=\emptyset$, akkor l\'etezik olyan
$N<\infty$ index, amelyre $A_N=\emptyset$.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Azt kell bel\'atni, hogy
amennyiben $A_n\neq\emptyset$ minden $n=1,2,\dots$ indexre, akkor
l\'etezik egy $x=(x_1,x_2,\dots)\in \bigcapp_{n=1}^\infty A_n$
pont. Ha $A=K\times R^\infty\subset \bar A=\bar K\times R^\infty$
k\'et $K$ \'es $\bar K$ alap\'u kompakt tart\'oj\'u hengerhalmazra,
akkor $r(A)\le r(\bar A)$, azaz a $K$ kompakt halmaz dimenzi\'oja
kisebb vagy egyenl\H{o}, mint a $\bar K$ halmaz\'e. Innen
k\"ovetkezik, hogy az $r(A_j)$ sz\'amok sorozata monoton n\H{o},
ez\'ert vagy $\limm_{n\to\infty}r(A_n)=\infty$ vagy $r(A_n)=N$
valamely fix $N$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'ammal minden el\'eg nagy
$n$ indexre. Az ut\'obbi esetben a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa
k\"ovetkezik az egym\'asba skatuly\'azott kompakt halmazok
metszet\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelb\H{o}l. Ez\'ert feltehetj\"uk,
hogy $\limm_{n\to\infty}r(A_n)=\infty$.

Legyen $\limm_{n\to\infty}r(A_n)=\infty$. Ekkor minden
$A_n=K_n\times R^\infty$ halmazb\'ol   ki\-v\'a\-laszt\-ha\-tunk egy
$x^{(n)}=(x^{(n)}_1,x^{(n)}_2,\dots)\in A_n$ pontot. Megmutatom az
\'ugynevezett \'atl\'os elj\'ar\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok $n=1,2,\dots$ sorozat\'anak van olyan
$N_1,N_2,\cdots$ r\'eszsorozata, amelyre l\'etezik az
$\bar x_k=\limm_{j\to\infty}x^{(N_j)}_k$ (v\'eges) hat\'ar\'ert\'ek
minden $k=1,2,\dots$ indexre.

Val\'oban, mivel az $A_n$ halmazok kompakt tart\'oj\'u hengerhalmazok
az $R^\infty$ t\'erben van olyan $N_1^{(1)},N_2^{(1)},\dots$ sorozat,
amelyre l\'etezik az $\bar x_1=\limm_{j\to\infty}x_1^{(N_j^{(1)})}$
hat\'ar\'ert\'ek. Mivel $r(A_n)\ge 2$ v\'eges sok $n$ index
kiv\'etel\'evel, ennek alkalmas
$$
\{N_1^{(2)},N_1^{(2)},\dots\}\subset\{N_1^{(1)},N_2^{(2)},\dots\}
$$
r\'eszsorozat\'ara l\'etezik az
$\bar x_2=\limm_{j\to\infty}x_2^{(N_j^{(2)})}$ hat\'ar\'ert\'ek.
Hasonl\'oan l\'athat\'o, hogy mivel $r(A_n)\ge k$ v\'eges sok $n$
index kiv\'etel\'evel minden $k$ sz\'amra, ez\'ert indukt\'{\i}v
m\'odon megkonstru\'alhatjuk az eg\'esz sz\'amok sorozat\'anak olyan
egym\'asba skatuly\'azott $\{N_1^{(k)},N_2^{(k)},\dots\}$
r\'eszsorozatait minden $k=1,2,\dots$ indexre, amelyekre
$$
\{N_1^{(k+1)},N_2^{(k+1)},\dots\}\subset\{N_1^{(k)},N_2^{(k)},\dots\},
$$
\'es az $\bar x_k=\limm_{j\to\infty}x_k^{(N_j^{(k)})}$
hat\'ar\'ert\'ek l\'etezik minden $k=1,2,\dots$ indexre.
Defini\'aljuk az
$N_j=N_j^{(j)}$, $j=1,2,\dots$ sorozatot. E sorozat elemeit
esetleg v\'eges sok tag kiv\'etel\'evel tartalmazza az
$\{N_1^{(k)},N_1^{(k)},\dots\}$ sorozat minden $k=1,2,\dots$
indexre. Ez\'ert l\'etezik az $\bar x_k=\limm_{j\to\infty}x_k^{(N_j)}$
hat\'ar\'ert\'ek minden $k=1,2,\dots$ indexre.

Azt \'all\'{\i}tom, hogy $\bar x=(\bar x_1,\bar x_2,\dots)\in A_n$
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, ahonnan k\"ovetkezik a
bizony\'{\i}tand\'o $\bar x\in \bigcapp_{n=1}^\infty A_n$ rel\'aci\'o.
Val\'oban, legyen $r(A_n)=k_n$, azaz legyen $A_n=K_n\times R^\infty$
egy $k_n$ dimenzi\'os kompakt $K_n$ halmazzal. Ekkor
$(\bar x_1,\dots,\bar x_{k_n})\in K_n$, mert
$(\bar x_1,\dots,\bar x_{k_n})$ a hat\'ar\'ert\'eke az
$(\bar x_1^{N_j},\dots,\bar x_{k_n}^{N_j})$ sorozatnak, ha
$j\to\infty$, tov\'abb\'a e sorozatnak esetleg v\'eges sok tag
kiv\'etel\'evel minden eleme benne van a $K_n$ halmazban, \'es a
$K_n$ halmaz kompakt. Innen vi\-szont k\"ovetkezik,
hogy $\bar x\in A_n$, \'es ezt kellett bizony\'{\i}tani.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A fenti t\'etel k\"onnyen levezethet\H{o} a
topol\'ogia n\'eh\'any klasszikus ered\-m\'e\-ny\'e\-b\H{o}l is. A
Tyihonov t\'etelt \'erdemes alkalmazni, amely szerint kompakt
topol\'ogikus terek direkt szorzata is kompakt. Jelen esetben ez
az eredm\'eny k\"ozvetlen\"ul nem alkalmazhat\'o, mert a
sz\'amegyenes nem kompakt. Viszont a topol\'ogia egy m\'asik
fontos eredm\'enye szerint a sz\'amegyenesnek l\'etezik
\'ugynevezett egy-pontos kompaktifik\'aci\'oja. Ennek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a t\'etel levezethet\H{o} a Tyihonov
t\'etelb\H{o}l, \'es a kompakt halmazok tulajdons\'agaib\'ol. A
r\'eszletek kidolgoz\'as\'at elhagyom.

\medskip\noindent
{\it A Kolmogorov t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Defini\'aljuk
minden $n$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra \'es $B\in\Cal B^{(n)}$
Borel-m\'erhet\H{o} halmazra az $n$-dimenzi\'os Euklideszi t\'er
Borel $\sigma$-algebr\'aj\'aban a
$C(n,B)=\{(X(t_1),\dots,X(t_n))\colon\;(X(t_1),\dots,X(t_n))\in B\}
\in\Cal B_{\{t_1,\dots,t_n\}}$ halmazt, ahol
$\Cal B_{\{t_1,\dots,t_n\}}$ jel\"oli az $R_{\{t_1,\dots,t_n\}}$
Euklideszi t\'eren bevezetett Borel $\sigma$-algebr\'at.
Jel\"olje $\Cal B_0^T$ az \"osszes ilyen halmazb\'ol \'all\'o
halmazrendszert, (ahol a $\{t_1,\dots,t_n\}$ halmaz $n$
elemsz\'ama tetsz\H{o}leges) \'es defini\'aljuk minden
$C(n,B)\in\Cal B_0^T$
halmaz m\'ert\'ek\'et a $\mu(C(n,B))=\mu_{\{t_1,\dots,t_n\}}
(\{(X(t_1),\dots,X(t_n))\colon\; (X(t_1),\dots,X(t_n)\in B\})$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. K\"ul\"onb\"oz\H{o}
$(n,B)$ p\'arok defini\'alhatj\'ak ugyanazt a $C(n,B)$ halmazt,
h\'{\i}szen p\'eld\'aul $C(n,B)=C(n+k,B\times R^k)$
tetsz\H{o}leges $k\ge1$ sz\'amra, de a $\mu_{\{t_1,\dots,t_n\}}$
m\'ert\'ekek konzisztenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkezik,
hogy egy $C(n,B)\in\Cal B_0^T$ halmaznak el\H{o}bb bevezetett
$\mu(C(n,B))$ m\'ert\'ek\'et megad\'o k\'eplet nem f\"ugg a
$C(n,B)$ halmaz reprezent\'aci\'oj\'at\'ol.

Azt \'all\'{\i}tom, hogy $\Cal B_0^T$ algebra, \'es $\mu$
addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny ezen az algebr\'an. Val\'oban, ha
adott k\'et $C(n_1,B_1)\in\Cal B_T^0$ \'es $C(n_1,B_1)\in\Cal B_T^0$
halmaz, akkor ezen halmazok megfelel\H{o} reprezent\'aci\'oj\'aval
feltehetj\"uk, hogy $n_1=n_2=n$ (az $n=\max(n_1,n_2)$
v\'alaszt\'assal). Innen ad\'odik, hogy teljes\"ulnek a
$C(n,B_1)\cup C(n,B_2)=C(n,B_1\cup B_2)\in\Cal B_T^0$ \'es
$C(n,B_1)\cap C(n,B_2)=C(n,B_1\cap B_2)\in\Cal B_T^0$ rel\'aci\'ok,
\'es
$$
\mu(C(n,B_1)\cup C(n,B_2))=\mu(C(n,B_1\cup B_2))
=\mu(C(n,B_1))+\mu(C(n,B_2)),
$$
ha $C(n,B_1)\in\Cal B_0^T$ \'es
$C(n,B_2)\in\Cal B_0^T$ diszjunkt halmazok. Az, hogy
$R_T\setminus C(n,B)=C(n,R^n\setminus B)\in\Cal B_0^T$, ha
$C(n,B)\in \Cal B_0^T$ ny\'{\i}lv\'anval\'o.

Be akarjuk l\'atni, hogy $\mu$ nemcsak addit\'{\i}v, hanem
$\sigma$-addit\'{\i}v is a $\Cal B^{T}_0$ algebr\'an. Ehhez el\'eg
megmutatni, hogy egym\'asba skatuly\'azott $C_n=C(k(n),B_{k(n)})$,
$C_n\in\Cal B_0^T$, $n=1,2,\dots$, $C_1\supset C_2\supset C_3\supset$,
halmazok olyan sorozat\'ara, amelyre $\bigcapp_{n=1}^\infty
C_n=\emptyset$ teljes\"ul a $\limm_{n\to\infty}\mu(C_n)=0$
rel\'aci\'o. Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\e>0$ sz\'amot, \'es v\'alasszunk mindegyik
$C_n$ halmazhoz olyan $A'_n=C(k(n),K_{k(n)})$ halmazt, amelyre
$K_{k(n)}$ kompakt halmaz az $R^{k(n)}$ Euklideszi t\'erben,
$K_{k(n)}\subset B_{k(n)}$, \'es
$\mu_{\{t_1,\dots,t_{k(n)}\}}(K_{k(n)})
\ge\mu_{\{t_1,\dots,t_{k(n)}\}}(B_{k(n)})-2^{-n}\e$.
Ilyen $A_n'$ halmazok l\'eteznek az Euklideszi terekben
m\'erhet\H{o} halmazok approxim\'al\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel
alapj\'an. Legyen $A_n=\bigcapp_{j=1}^n A_j'$. Ezek olyan egym\'asba
skatuly\'azott kompakt tart\'oj\'u hengerhalmazok az $R_T$
`v\'egtelen dimenzi\'os Euklideszi t\'er'-ben, amelyek metszete
\"ures. Ez\'ert az egym\'asba skatuly\'azott kompakt alap\'u
hengerhalmazok metszet\'enek tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o t\'etel
alapj\'an l\'etezik olyan $n_0$ index, amelyre $A_{n_0}=\emptyset$.
Innen k\"ovetkezik, hogy
$\mu(C_{n_0})=\mu(C_{n_0}\setminus A_{n_0})
\le\summ_{j=1}^{n_0}\mu(C_j\setminus A_j')
=\summ_{j=1}^{n_0}[\mu(C_j)-\mu(A_j')]\le \e$. Ez\'ert $\mu(C_n)<\e$,
ha $n\ge n_0=n_0(\e)$. Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as minden $\e>0$
sz\'amra \'erv\'enyes, ez\'ert $\limm_{n\to\infty}\mu(C_n)=0$.
Innen k\"ovetkezik, hogy a fent defini\'alt $\mu$ halmazf\"uggv\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a $\Cal B_0^T$ algebr\'an.

A Carath\'eodory-f\'ele kiterjeszt\'esi t\'etel szerint a $\mu$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket ki lehet terjeszteni a
$\Cal B_0^T$ \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'ara, amely
megegyezik a Kolmogorov t\'etelben defini\'alt $\Cal B^T$
$\sigma$-algebr\'aval. M\'asr\'eszt
$$
\mu(C(t_{j_1},\dots,t_{j_n},B_n))
=\mu_{\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}}
(\{(X(t_{j_1}),\dots,X(t_{j_n}))\colon\;
(X(t_{j_1}),\dots,X(t_{j_n}))\in B_n\})
$$
a Kolmogorov t\'etelben bevezetett $\Cal C_0^T$ halmazrendszer
minden elem\'ere. (A t\'etel kimond\'as\'aben bevezetett 
$\Cal C_0^T$ \'es a bizony\'{\i}t\'asban haszn\'alt $\Cal B_0^T$
$\sigma$-algebr\'ak megegyeznek.)

V\'eg\"ul megjegyzem, hogy az a t\'eny, hogy a $\mu$ m\'ert\'eket
az $(R_T,\Cal B_T)$ t\'eren egy\-\'er\-tel\-m\H{u}en
meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak  a $\mu_{\{t_{j_1},\cdots,t_{j_n}\}}$
m\'ert\'ekek k\"ovetkezik a Carath\'eodory t\'etelnek a 
m\'er\-t\'e\-kek ki\-ter\-jesz\-t\'e\-s\'e\-nek
egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'er\H{o}l sz\'ol\'o r\'esz\'eb\H{o}l.
\medskip

A Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel eredeti v\'altozata k\"onnyen
levezethet\H{o} a m\'ar bi\-zo\-ny\'{\i}\-tott Kolmogorov t\'etelb\H{o}l.
R\'at\'erek ennek indokl\'as\'ara.

Eloszl\'asf\"uggv\'enyek \'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek konzisztenci\'aj\'at hasonl\'oan de\-fi\-ni\-\'al\-tuk.
A legjelent\H{o}sebb k\"ul\"onbs\'eg a k\'et definici\'o
k\"oz\"ott az, hogy az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konzisztenci\'aj\'anak a definici\'oj\'aban az eloszl\'asokat
$t_1,\dots,t_n$ sorozatokkal, m\'{\i}g
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek konzisztenci\'aj\'anak
a definici\'oj\'aban a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekeket
$\{t_1,\dots,t_n\}$ halmazokkal indexelt\"uk. Ha ugyanannak a
halmaznak az elemeit m\'as sorrendben soroljuk fel, \'es mindegyik
sorozathoz hozz\'arendel\"unk egy eloszl\'asf\"uggv\'enyt, akkor ezt
konzisztens m\'odon kell tenni. Ezt a k\"ovetelm\'enyt fogalmazza
meg az eloszl\'asf\"uggv\'enyek konzisztenci\'aj\'at megad\'o
definici\'o a) felt\'etele. Igaz a k\"ovetkez\H{o}
egyszer\H{u} lemma.

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asf\"uggv\'enyek \'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek konzisztenci\'aj\'anak kap\-cso\-la\-t\'a\-r\'ol
sz\'o\l\'o lemma.} {\it Legyen adva egy $T$
megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen halmaz \'es azon a $T$
halmazbeli \'ert\'ekeket felvev\H{o} v\'eges  sorozatokkal
indexelt $F_{t_1,\dots,t_n}(x_1,\dots,x_n)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy konzisztens rendszere.
Jel\"olje $R_T$ a  $T$ halmazon \'ertelmezett val\'os
f\"uggv\'enyek ter\'et, \'es  defini\'aljuk az $R_S$ Euklideszi
teret a hozz\'atartoz\'o  $\Cal B_S$ $\sigma$-algebr\'aval minden
v\'eges $S\subset T$  halmazra \'ugy, mint ahogy azt az\/
{\rm Euklideszi terek  megad\'asa v\'eges halmazokon
\'er\-tel\-me\-zett f\"uggv\'enyek  terek\'ent} definici\'oban
tett\"uk. Rendelj\"uk hozz\'a mindegyik $F_{t_1,\dots,t_n}$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez azt a
$\mu_{\{t_1,\dots,t_n\}}$ m\'ert\'eket az
$R_{\{t_1,\dots,t_n\}}$ Euklideszi t\'er
$\Cal B_{\{t_1,\dots,t_n\}}$ $\sigma$-algebr\'aj\'an, amely\-re
$\mu_{\{t_1,\dots,t_n\}}(\{(u_1,\dots,u_n)
\colon\;u_1<x_{t_1},\dots,u_n<x_{t_n}\})
=F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$ minden $x_{t_1},\dots,x_{t_n}$
\'ert\'ekre. A $\mu_{\{t_1,\dots,t_n\}}$ m\'ert\'ekek
konzisztensek.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Az eloszl\'asf\"uggv\'enyek 
konzisztenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o definici\'o a) felt\'etele szerint
$$
\mu_{\{t_1,\dots,t_n\}}
(\{(u_1,\dots,u_n)\colon\;u_1<x_{t_1},\dots,u_n<x_{t_n}\})
$$
alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket egy\'ertelm\H{u}en 
defini\'altuk. Innen k\"ovetkezik, hogy az $F_{t_1,\dots,t_n}$ 
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozz\'ak a
$$
\mu_{\{t_1,\dots,t_n\}}(\{(u_1,\dots,u_n)\colon\;
a_n\le u_1<b_1,\dots,a_n\le u_n<b_n\})
$$
alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket, illetve v\'eges sok
diszjunkt t\'eglatest uni\'oj\'anak a $\mu_{\{t_1,\dots,t_n\}}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et is. Mivel az ilyen halmazok
algebr\'at alkotnak, a Carath\'eodory t\'etel alapj\'an a diszjunkt
t\'eglatestek v\'eges uni\'oinak a m\'ert\'ekei a
$\mu_{\{t_1,\dots,t_n\}}$ m\'ert\'ekeket egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozz\'ak. Hasonl\'oan l\'athat\'o, hogy a b) felt\'etel e
m\'ert\'ekek konzisztenci\'aj\'at is biztos\'{\i}tja.

\medskip

\medskip\noindent
{\bf A Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel eredeti v\'altozat\'anak a
bizony\'{\i}t\'asa.} Vezess\"uk be minden
$\{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ halmazra azt a
$\mu_{\{t_1,\dots,t_n\}}$ m\'ert\'eket az
$R_{\{t_1,\dots,t_n\}}$ Euklideszi t\'er
$\Cal B_{\{t_1,\dots,t_n\}}$ $\sigma$-algebr\'aj\'an, amely\-re
$\mu_{\{t_1,\dots,t_n\}}(\{(u_1,\dots,u_n)\colon\;u_1<x_1,\dots,u_n<x_n\})
=F_{t_1,\dots,t_n}(x_1,\dots,x_n)$ minden $x_1,\dots,x_n$
\'ert\'ekre. Ezek a $\mu_{\{t_1,\dots,t_n\}}$ m\'ert\'ekek
konzisztensek, ez\'ert alkalmazhatjuk r\'ajuk a Kolmogorov t\'etelt.
Tekints\"uk a Kolmogorov t\'etelben szerepl\H{o} $\mu$ m\'ert\'eket.
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy ez teljes\'{\i}ti a Kolmogorov
t\'etelben el\H{o}\'{\i}rt tulajdons\'agokat. A $\mu$ m\'ert\'ek
egy\'ertelm\H{u}s\'ege k\"onnyen k\"ovetkezik
a Carath\'eodory-f\'ele kiterjeszt\'esi t\'etelb\H{o}l.

\medskip\noindent
{\it P\'elda.}\/ Legyen adva $F_j(x)$, $j=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek v\'egtelen sorozata. Ekkor a
Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel eredeti v\'altozat\'ab\'ol
egyszer\H{u}en k\"ovetkezik, hogy l\'etezik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} \'es azon f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan $\xi_1,\xi_2,\dots$
sorozata, amelyre a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa $F_j(x)$ minden $j=1,2,\dots$ indexre. Val\'oban, nem
neh\'ez ellen\H{o}r\'{\i}zni, hogy az
$F_{j_1,\dots,j_n}(x_1,\dots,x_n)=\prodd_{l=1}^nF_{j_l}(x_j)$
f\"uggv\'enyek t\"obb\-v\'al\-to\-z\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek,
(azaz teljes\'{\i}tik a T\'etel~B1 felt\'eteleit), \'es ezek az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek konzisztensek. (Jelen esetben
a $T=\{1,2,\dots\}$ halmazt v\'alasztunk indexhalmaznak.) Ezut\'an
a Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel eredeti v\'altozat\'anak
k\"ovetkezm\'enye biztos\'{\i}tja, hogy l\'etezik a
k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata. Hasonl\'oan l\'athat\'o, hogy ha
adva van t\"obbv\'altoz\'os $F_j(\cdot)$, $j=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek v\'egtelen sorozata, akkor l\'etezik
f\"uggetlen vektor \'ert\'ek\H{u} $\xi_j$, $j=1,2,\dots$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan sorozata, amelyre
$\xi_j$ $F_j$ eloszl\'as\'u.

\medskip
Megt\'argyalom a Kolmogorov-f\'ele egy \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at,
amely egyszer\H{u}en k\"ovetkezik az eredeti eredm\'enyb\H{o}l. Ez
fontos bizonyos vizsg\'alatokban.

Legyen adva egy $T$ {\it nem felt\'etlen\"ul megsz\'aml\'alhat\'oan}
v\'egtelen indexhalmaz \'es legyen minden v\'eges $t_1,\dots,t_n$
halmazbeli sorozathoz hozz\'arendelve egy $F_{t_1,\dots,t_n}$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny \'ugy, hogy ezek az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konzisztensek. Bizonyos vizs\-g\'a\-la\-tok\-ban hasznos tudni, hogy
minden ilyen esetben l\'etezik egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
\'es azon olyan $\xi_t$, $t\in T$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, amelyek v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyei
ezek az $F_{t_1,\dots,t_n}(x_1,\dots,x_n)$ f\"uggv\'enyek. Ezt az
\'all\'{\i}t\'ast nem neh\'ez visszavezetni a Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etel eredeti v\'altozat\'ara az al\'abbi egyszer\H{u} lemma
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezen lemma tulajdonk\'eppen annak a t\'enynek
a k\"ovetkezm\'enye, hogy megsz\'aml\'alhat\'o sok
meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o sz\'amoss\'ag\'u halmaz uni\'oja
szint\'en megsz\'aml\'alhat\'o sz\'amoss\'ag\'u.

\medskip\noindent
{\bf Lemma v\'egtelen halmazokon defini\'alt f\"uggv\'enyek ter\'en
defini\'alt $\sigma$-al\-geb\-r\'ak\-r\'ol.} {\it Legyen $T$ egy
(nem felt\'etlen\"ul megsz\'aml\'alhat\'oan) v\'egtelen halmaz,
\'es jel\"olje $R_T$ az \"osszes $T$ halmazon defini\'alt val\'os
sz\'am \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'enyb\H{o}l \'all\'o halmazt.
Jel\"olje $\Cal U$ a $T$ halmaz \"osszes megsz\'aml\'alhat\'o
r\'eszhalmaz\'ab\'ol \'all\'o halmazrendszert, \'es minden
$U=\{t_{u(1)},t_{u(2)},\dots\}\in\Cal U$ halmazra defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $\Cal B_U$ $\sigma$-algebr\'at az $R_T$ halmaz
r\'eszhalmazain. A $\Cal B_U$ $\sigma$-algebra elemei az
$$
\{(X(t),\,t\in T)\colon\;(X(t_{u(1)}),X(t_{u(2)}),\dots)\in B\}\subset R_T
$$
alak\'u halmazok, ahol $U=\{t_{u(1)},t_{u(2)},\dots\}$,
$B\in\Cal B^\infty$, \'es $\Cal B^\infty$ a
v\'egtelen $x_1$, $x_2,\dots$ val\'os  sz\'amokb\'ol \'all\'o
sorozatokat tartalmaz\'o $R^\infty$ t\'erben kor\'abban defini\'alt
$\Cal B^\infty$ $\sigma$-algebra.
Defini\'aljuk az $R_T$ r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o
$$
\Cal B_T=\bigcup_{U\in\Cal U} \Cal B_U
$$
halmazrendszert. A $\Cal B_T$ halmazrendszer $\sigma$-algebra az
$R_T$ t\'eren.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Nem neh\'ez ellen\H{o}rizni,
hogy a $\Cal B_U$, $U\in\Cal U$, halmazrendszerek val\'oban
$\sigma$-algebr\'ak. Tekints\"unk egy $B_j\in\Cal B_T$,
$j=1,2,\dots$, megsz\'aml\'alhat\'o halmazsorozatot. Ekkor
l\'eteznek olyan $U_j\in\Cal U$, $j=1,2,\dots$, halmazok,
amelyekre $B_j\in \Cal B_{U_j}$. Legyen
$U^*=\bigcupp_{j=1}^\infty U_j$. Ekkor $U^*\in\Cal U$, \'es
$B_j\in\Cal B_{U^*}$ minden $j=1,2,\dots$ sz\'amra. Ez\'ert
$\bigcupp_{j=1}^\infty B_j\in\Cal B_{U^*}\subset\Cal B_T$,
$\bigcapp_{j=1}^\infty B_j\in\Cal B_{U^*}\subset\Cal B_T$, \'es
$R^T\setminus B_j\in\Cal B_T$, mivel $\Cal B_{U^*}$
$\sigma$-algebra. A lemm\'at bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip
Ezut\'an be tudjuk bizony\'{\i}tani a Kolmogov-f\'ele alapt\'etel
minket \'erdekl\H{o} \'altal\'anos alakj\'at.

\medskip\noindent
{\bf A Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel \'altal\'anos alakja.} {\it
Legyen adva egy $T$ (nem felt\'etlen\"ul megsz\'aml\'alhat\'oan)
v\'egtelen halmaz, \'es minden v\'eges $t_1,\dots,t_n$
$T$-beli \'ert\'ekeket felvev\H{o} sorozathoz legyen
hoz\-z\'a\-ren\-del\-ve egy
$F_{t_1,\dots,t_n}(x_1,\dots,x_n)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny.
Legyenek ezek az eloszl\'asf\"uggv\'enyek kon\-zisz\-ten\-sek.
Jel\"olje $R_T$ a $T$ halmazon defini\'alt val\'os \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'enyek halmaz\'at, \'es defini\'aljuk a $\Cal B_T$
$\sigma$-algebr\'at az $R_T$ t\'eren \'ugy, ahogy azt az
el\H{o}z\H{o} lemm\'aban tett\"uk. Ekkor l\'etezik pontosan egy olyan
$\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $(R_T,\Cal B_T)$
t\'eren, amelyre
$$
\mu(\{(X(t),\,t\in T)\colon\;  X(t_1)<x_{t_1},\dots,X(t_n)<x_{t_n}\})=
F_{t_1,\dots,t_n}(x_1,\dots,x_n)      \tag2
$$
minden $n=1,2,\dots$, pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra,
$t_1,\dots,t_n$ $T$ halmazbeli \'ert\'ekeket felvev\H{o} v\'eges
sorozatra \'es $x_{t_1}$,\dots, $x_{t_n}$
val\'os sz\'amokra.}

\medskip
A fenti t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etel eredeti v\'altozat\'anak k\"ovetkezm\'enyek\'ent
megfogalmazott eredm\'eny \'erv\'enyes marad akkor is, ha $T$
tetsz\H{o}leges v\'egtelen, nem felt\'etlen\"ul
megsz\'aml\'alhat\'o halmaz.

\medskip\noindent
{\it A Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel \'altal\'anos alakj\'anak
bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A bizony\'{\i}t\'asban a v\'egtelen
halmazokon defini\'alt f\"uggv\'enyek ter\'en defini\'alt
$\sigma$-al\-geb\-r\'ak\-r\'ol sz\'ol\'o lemma jel\"ol\'es\'et
fogom haszn\'alni. A Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel eredeti
v\'altozata alapj\'an minden $U=\{t_{u(1)},t_{u(2)},\dots\}\in\Cal U$
halmazra l\'etezik olyan $\mu_U$ m\'ert\'ek a $\Cal B_U$
$\sigma$-algebr\'an, amelyre
$$
\align
&\mu_U(\{(X(t),\,t\in T)\colon\;
X(t_{u(j_1)})<x_{t_{u(j_1)}},\dots,X(t_{u(j_n)})<x_{t_{u(j_n}}\})\\
&\qquad=
F_{t_{u(j_1)},\dots,t_{u(j_n)}}(x_{t_{u(j_1)}},\dots,x_{t_{u(j_n)}})
\endalign
$$
minden $t_{u(j_1)},\dots,t_{u(j_n)}$ $U$-halmazbeli v\'eges sorozatra
\'es $x_{t_{u(j_1)}},\dots,x_{t_{u(j_n)}}$ sz\'amokra. Nem neh\'ez 
ellen\H{o}r\'{\i}zni m\'ert\'ekek algebr\'ar\'ol az algebra \'altal 
gener\'alt $\sigma$-algebr\'ara val\'o kiterjeszt\'es\'enek
egy\'ertelm\H{u}s\'ege alapj\'an, hogy amennyiben $B\in\Cal B_{U_1}$
\'es $B\in\Cal B_{U_2}$ k\'et k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H{o} $U_1\in\Cal U$
\'es $U_2\in\Cal U$ halmazra, akkor $\mu_{U_1}(B)=\mu_{U_2}(B)$.
(E tulajdons\'ag ellen\H{o}rz\'es\'et reduk\'alhatjuk arra az
esetre, amikor $U_1\subset U_2$.) Ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a
$\mu(B)=\mu_U(B)$, ha $B\in U$, $U\in\Cal U$, k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljunk egy $\mu$ halmazf\"uggv\'enyt
a $\Cal B_T$ $\sigma$-algebr\'an. Felhaszn\'alva, hogy
megsz\'aml\'alhat\'o sok megsz\'aml\'alhat\'o sz\'amoss\'ag\'u
halmaz uni\'oja megsz\'aml\'alhat\'o, k\"onnyen l\'athatjuk, hogy
$\mu$ $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny. Ugyan\-is, ha
$B_j\in\Cal B_T$, $j=1,2,\dots$, diszjunkt halmazok, akkor
mindegyik $B_j$ halmaz eleme a $\Cal B_{U_j}$ $\sigma$-algebr\'anak
valamely $U_j\in\Cal U$ halmazra. Legyen
$U^*=\bigcupp_{j=1}^\infty U_j$. Ekkor $U^*\in\Cal U$,
$U_j\in\Cal B_{ U^*}$ minden $U_j$, $j=1,2,\dots$ halmazra. Ez\'ert
a $\mu_{U^*}$ m\'ert\'ek $\sigma$-additiv\'{\i}t\'as\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy
$\summ_{j=1}^\infty\mu(B_j)=\mu\(\bigcupp_{j=1}^\infty B_j\)$.

A $\mu$ m\'ert\'ek definici\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
teljes\'{\i}ti a (2) tulajdons\'agot. Az adott tulajdons\'ag\'u
$\mu$ m\'ert\'ek egy\'ertelm\H{u}s\'ege egyszer\H{u}en k\"ovetkezik
abb\'ol, hogy m\'ert\'ekek kiterjeszt\'ese algebr\'ar\'ol az algebra
\'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'ara egy\'ertelm\H{u}. A t\'etelt
bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip
A Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel \'altal\'anos alakja fontos
eredm\'eny a sztochasztikus folyamatok elm\'elet\'eben. B\'ar ez nem
t\'em\'aja a jelen el\H{o}ad\'assorozatnak, m\'egis tanuls\'agos
r\"oviden ismertetni n\'eh\'any probl\'em\'at e t\'emak\"orben, \'es
megvizsg\'alni, hogy milyen se\-g\'{\i}t\-s\'e\-get ny\'ujtanak ezek
vizsg\'alat\'aban a most bizony\'{\i}tott eredm\'enyek. Ennek
\'erdek\'eben el\H{o}\-sz\"or bevezetem a k\"ovetkez\H{o} fogalmakat.

\medskip\noindent
{\bf Sztochasztikus folyamat \'es sztochasztikus folyamat
trajekt\'ori\'aj\'anak a de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja.} {\it Legyen adva egy
$T$ (param\'eter)tartom\'any. Egy $T$ param\'eter\H{u} sztochasztikus
folyamaton a $T$ halmaz elemeivel indexelt $X_t(\oo)=X(t,\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok rendszer\'et \'ertj\"uk egy
$\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. A
sztochasztikus folyamat trajekt\'ori\'ain a $T$
param\'etertartom\'anyon defini\'alt $X(\cdot,\oo)$
f\"uggv\'enyeket \'ertj\"uk r\"ogz\'{\i}tett $\oo\in\Omega$
elemi ese\-m\'e\-nyek\-re.}

\medskip
A sztochasztikus folyamatok elm\'elet\'eben a leggyakrabban
megjelen\H{o} feladatokban a $T$ param\'etertartom\'any a
sz\'amegyenes, a pozit\'{\i}v sz\'amok halmaza, egy intervallum vagy
a (pozit\'{\i}v) eg\'esz sz\'amok halmaza. A $T$ param\'eterhalmaz
$t\in T$ elemeit ilyen esetekben \'altal\'aban id\H{o}pontk\'ent
szokt\'ak interpret\'alni.

Egy $X(t,\oo)$ sztochasztikus folyamatot \'altal\'aban \'ugy szoktak
defini\'alni, hogy meg\-ad\-j\'ak v\'eges di\-men\-zi\-\'os
eloszl\'asait, azaz az $(X(t_1,\oo),\dots,X(t_n,\oo))$ v\'eletlen
vek\-tor el\-osz\-l\'a\-s\'at minden v\'eges $t_1,\dots,t_n\in T$
sorozatra. A Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel \'altal\'anos
alakja szerint, ha az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek konzisztensek,
akkor ilyen m\'odon mindig egy l\'etez\H{o} sztochasztikus
fo\-lya\-ma\-tot de\-fi\-ni\-\'a\-lunk.

Val\'oj\'aban a probl\'ema nehezebb. Ugyanis, amikor sztochasztikus
folyamatokat vizs\-g\'al\-nak, akkor fel szokt\'ak t\'etelezni azt is,
hogy annak trajekt\'ori\'ai sz\'epek. \'Igy p\'eld\'aul, ha a $T$
param\'etertartom\'any a sz\'amegyenes vagy egy intervallum, akkor
gyakran felteszik, hogy a sztochasztikus folyamat trajekt\'ori\'ai
folytonosak. Felmer\"ul a k\'erd\'es: Mikor van jogunk ezt feltenni?

A Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel nem ny\'ujt seg\'{\i}ts\'eget e
k\'erd\'es vizsg\'alat\'aban. Val\'oban, legyen adva egy $X(t,\oo)$,
$0\le t\le 1$, sztochasztikus folyamat a $[0,1]$ intervallumon.
Vegy\"uk \'eszre, hogy a Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel csak annyit
\'all\'{\i}t, hogy a sztochasztikus folyamat v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asai meghat\'arozz\'ak az
$$
\{\oo\colon\;  (X(t_1,\oo),X(t_2,\oo),\dots)\in B\}
$$
alak\'u halmazok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, ahol $t_1,t_2,\dots$
sz\'amsorozat a $[0,1]$ intervallumon, \'es $B$ m\'erhet\H{o} halmaz
az $(R^\infty,\Cal B^\infty)$ t\'eren. Szeml\'eletesen ez azt
jelenti, hogy olyan esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l
besz\'elhet\"unk, amelyek az $X(t,\oo)$ sztochasztikus folyamat
meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o\-an v\'egtelen sok $t_j$
koordin\'at\'aj\'at\'ol f\"uggnek. Ahhoz viszont, hogy egy
f\"ugg\-v\'eny\-r\H{o}l el\-d\"ont\-hes\-s\"uk, hogy folytonos-e,
minden pontban ismern\"unk kell az \'ert\'ek\'et. Teh\'at a
Kolmogorov-f\'ele alapt\'etelben nem
defini\'altuk annak az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
hogy egy sztochasztikus folyamat trajekt\'ori\'ai folytonosak.
Annak eld\"ont\'ese, hogy mikor van ennek az esem\'enynek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, \'es az mikor egyenl\H{o} eggyel
k\"ul\"on vizsg\'alatot ig\'enyel. Ez azonban nem t\'em\'aja a
jelen el\H{o}ad\'assorozatnak.

Viszont egy hasonl\'o probl\'em\'aval ebben az
el\H{o}ad\'assorozatban is tal\'alkozunk. Be fo\-gom \-ve\-zet\-ni a
Poisson folyamatokat. Ezt \'ugy fogom tenni, hogy megadom a
Poisson folyamatok v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asait. De
ezenk\'{\i}v\"ul azt is meg fogom k\"ovetelni, hogy a Poisson
folyamat trajekt\'ori\'ai bizonyos egym\'ast k\"ovet\H{o}
(v\'eletlen) intervallumokon konstans (eg\'esz) \'ert\'eket vegyenek
fel, \'es szomsz\'edos intervallumok k\"oz\"ott 1-et ugorjanak. Az,
hogy l\'etezik Poisson folyamat (ilyen trajekt\'ori\'akkal) szint\'en
nem k\"ovetkezik a Kolmogorov-f\'ele alapt\'etelb\H{o}l. A Poisson
folyamatok l\'etez\'es\'et speci\'alis konstrukci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel fogom bel\'atni.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es.

Ismertetem a m\'ert\'ekelm\'elet egyik klasszikus eredm\'eny\'et
m\'ert\'ekterek v\'egtelen szor\-za\-t\'a\-r\'ol \'es megt\'argyalom
ennek kapcsolat\'at a Kolmogorov-f\'ele alapt\'etellel.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel m\'ert\'ekterek v\'egtelen szorzat\'ar\'ol.} {\it Legyen
adva v\'egtelen sok $(\Omega_n,\Cal A_n, \mu_n)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}. L\'etezik ezeknek
$$
(\Omega^\infty,\Cal A^\infty,\mu^\infty)=
\(\prodd_{n=1}^\infty\Omega_n,\prodd_{n=1}^\infty\Cal
A_n, \prodd_{n=1}^\infty\mu_n\)
$$
v\'egtelen direkt szorzata. R\'eszletesebben kifejtve ez a direkt
szorzat olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, amelyben
$\Omega^\infty=\prodd_{n=1}^\infty\Omega_n$ a v\'egtelen
$(\oo_1,\oo_2,\dots)$ sorozatokb\'ol \'all\'o t\'er, $\Cal A^\infty$
az $A_1\times\cdots A_{n-1}\times A_n\times\Omega_{n+1}\times\cdots$,
$A_j\in \Cal A_j$, $1\le j\le n$, alak\'u hengerhalmazok \'altal
gener\'alt $\sigma$-algebra. A $\mu_\infty$ m\'ert\'eket \'ugy
defini\'aljuk, hogy
$$
\mu^\infty\(A_1\times\cdots\times A_{n-1}\times
A_n\times\Omega_{n+1}\times\cdots\)=\mu(A_1)\dots\mu(A_{n-1})\mu_n(A_n)
$$
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra \'es $A_j\in\Cal A_j$, $1\le j\le n$,
halmazra. Ez a halmazf\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en
kiterjeszthet\H{o}  $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enny\'e az
$\Cal A_\infty$ $\sigma$-algebr\'ara, \'es
\'{\i}gy de\-fi\-ni\'al\-juk a keresett $\mu^\infty$ m\'ert\'eket.}

\medskip
E t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy ha l\'eteznek
$(\Omega_j,\Cal A_j,P_j)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}k \'es
azokon  $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyek
\'ert\'ekeiket valamely (\'altal\'anos) $(Y_j,\Cal Y_j)$
m\'erhet\H{o} te\-rek\-ben veszik fel, $j=1,2,\dots$, akkor l\'etezik
egy $(\tilde\Omega,\tilde{\Cal A},\tilde P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} (az $(\Omega_j,\Cal A_j,P_j)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}k direkt szorzata), \'es azon
f\"uggetlen $\tilde\xi_j$, $j=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata \'ugy, hogy a $\xi_j$ \'es $\tilde\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asa megegyezik.

Hogy viszonylik ez az \'all\'{\i}t\'as a Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etelhez? L\'attuk, hogy a Kolmogorov-f\'ele alapt\'etelnek is
van egy hasonl\'o k\"ovetkezm\'enye. Egy l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg
azonban van az itt t\'argyalt \'es a Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel
k\"ovetkezm\'enyek\'ent kapott \'all\'{\i}t\'as k\"oz\"ott. A
Kolmogorov-f\'ele alapt\'etelben val\'os sz\'am \'ert\'ek\H{u},
m\'{\i}g itt \'ert\'ek\'et tet\-sz\H{o}\-le\-ges m\'erhet\H{o}
t\'erben felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
tekintett\"unk. Val\'oj\'aban a m\'er\-t\'ek\-te\-rek v\'egtelen
szorzat\'ar\'ol  sz\'ol\'o t\'etel k\"ovetkezm\'enyek\'ent kapott
eredm\'eny nem  vezethet\H{o} le a Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etelb\H{o}l.

A Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel bizony\'{\i}t\'asa felhaszn\'alja
a kompakt tart\'oj\'u hengerhalmazok bizonyos tulajdons\'agait,
\'{\i}gy topol\'ogiai jelleg\H{u} \'erveket is tartalmaz.
Kihaszn\'alja azt, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
val\'os \'ert\'ek\H{u}ek, pontosabban azt, hogy egy olyan t\'erben
veszik fel az \'ert\'ekeiket, amely sz\'ep topol\'ogiai
tulajdons\'agokkal rendelkezik. A m\'ert\'ekterek v\'egtelen
szorzat\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etelben semmilyen felt\'etelt nem kell
feltenni a m\'ert\'ekterek topol\'ogiai tulajdons\'agair\'ol. B\'ar
sz\'amunkra ennek nincs jelent\H{o}s\'ege, bizonyos kutat\'asokban
vizsg\'alj\'ak, hogy mely m\'ert\'ekelm\'eleti \'all\'{\i}t\'asok
\'erv\'enyess\'eg\'ehez kell  feltenni, hogy a tekintett
m\'erhet\H{o} t\'er bizonyos sz\'ep  topol\'ogiai tulajdons\'agokkal
rendelkezik, \'es mely  m\'ert\'ekelm\'eleti \'all\'{\i}t\'asok
igazak minden topol\'ogiai megk\"ot\'es n\'elk\"ul.

\bye




Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
v\'alasszunk olyan nagy $N$ eg\'esz sz\'amot, amely\-re
$\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}\subset\{t_1,\dots,t_N\}$,
\'es defini\'aljuk a
$$
\align
\bar B_N&=\bar B_N(B_n) \\
&=\{(x_1,\dots,x_N)\colon\;(x_{j_1},\dots,x_{j_n})
\in B_n,\; x_l\in R^1 \text{ ha }
l\in\{1,\dots,N\}\setminus\{j_1,\dots,j_n\}\}
\endalign
$$
\'es $C(N,\bar B_N)=C(t_1,\dots,t_N,\bar B_N)$ halmazokat.
Ekkor egyr\'eszt,
$$
\align
&\mu_{\{t_{j_1},\dots,t_{j_n}\}}
(\{(X(t_{j_1}),\dots,X(t_{j_n}))\colon\;
(X(t_{j_1}),\dots,X(t_{j_n}))\in B_n\})\\
&\qquad=\mu_{\{t_1,\dots,t_N\}}
(\{(X(t_1),\dots,X(t_N))\colon\;
(X(t_1),\dots,X(t_N))\in \bar B_N\})
\endalign
$$
a tekintett m\'ert\'ekek konzisztenci\'aja alapj\'an. M\'asr\'eszt,
$$
\align
&\mu_{\{t_1,\dots,t_N\}}
(\{(X(t_1),\dots,X(t_N))\colon\;
(X(t_1),\dots,X(t_N))\in \bar B_N\})\\
&\qquad=\mu(C(N,\bar B_N))=\mu(C(t_1,\dots,t_N,\bar B_N))
\endalign
$$
a $\mu$ m\'ert\'ek definici\'oja alapj\'an, \'es
$$
\mu(C(t_1,\dots,t_N,\bar B_N))=\mu(C(t_{j_1},\dots,t_{j_n},B_n)),
$$
mert $C(t_1,\dots,t_N,\bar B_N)=
C(t_{j_1},\dots,t_{j_n},B_n)$. Innen k\"ovetkezik a
bizony\'{\i}tani k\'{\i}v\'ant azonoss\'ag.



