\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm

\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
%\parskip=2.5pt plus 1.2pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10

\beginsection Felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalma \'es
marting\'alok.

El\H{o}sz\"or ismertetem a marting\'alok \'es szemimarting\'alok
definici\'oj\'at.
\medskip\noindent
{\bf Marting\'al \'es szemimarting\'al definici\'oja.} {\it Legyen
adva $\sigma$-algebr\'ak $\Cal F_1\subset \Cal F_2\subset\Cal
F_3\subset\cdots$ n\"ovekv\H{o} sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyre teljes\"ul az $\Cal
F_n\subset\Cal A$ tulajdons\'ag minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra.
Legyen adva ezen k\'{\i}v\"ul $\Cal F_n$ m\'erhet\H{o} $\xi_n(\oo)$,
$E|\xi_n(\oo)|<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata. Azt mondjuk, hogy a $\xi_n(\oo)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata (diszkr\'et
id\H{o}ben defini\'alt) marting\'alt alkot az $\Cal F_n$
$\sigma$-algebra sorozatra n\'ezve, ha teljes\"ul az
$$
E(\xi_{n+1}(\oo)|\Cal F_n)=\xi_n(\oo)\qquad \text{1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra} \tag D1
$$
azonoss\'ag. A fent defini\'alt sorozat (diszkr\'et id\H{o}ben
defini\'alt) szemimarting\'alt defini\'al, ha teljes\"ul az
$$
E(\xi_{n+1}(\oo)|\Cal F_n)\ge\xi_n(\oo)\qquad \text{1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra} \tag D2
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg.

Legyen adva egym\'asba skatuly\'azott $\Cal F_t$ $\sigma$-algebr\'ak,
$t\ge0$, $\Cal F_s\subset\Cal F_t$, ha $s\le t$, $\Cal F_t\subset
\Cal A$ val\'os sz\'amokkal indexelt rendszere egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Legyen tov\'abb\'a adva $\Cal
F_t$ m\'erhet\H{o} $\xi_t(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok rendszere, amelyre $E|\xi_t(\oo)|<\infty$. Azt mondjuk,
hogy a $\xi_t(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok id\H{o}ben
folytonos marting\'alt alkotnak az $\Cal F_t$ $\sigma$-algebr\'ak
rendszer\'ere n\'ezve, ha teljes\"ul az
$$
E(\xi_t(\oo)|\Cal F_s)=\xi_s(\oo)\qquad \text{1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel minden $0\le s\le t<\infty$
sz\'amp\'arra} \tag D$1'$
 $$
azonoss\'ag. A fent defini\'alt sorozat (folytonos id\H{o}ben
defini\'alt) szemimarting\'alt alkot, ha teljes\"ul az
$$
E(\xi_t(\oo)|\Cal F_s)\ge\xi_s(\oo)\qquad \text{1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel minden $0\le s\le t<\infty$
sz\'amp\'arra} \tag D$2'$
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg.}
\medskip\noindent
{\it 1.~megjegyz\'es.} Hasonl\'oan defini\'alhatunk egy v\'eges sok
elemb\H{o}l \'all\'o $(\xi_n,\Cal F_n)$, $1\le n\le N$, marting\'alt
vagy szemimarting\'alt. Az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg az, hogy a (D1)
illetve (D2) formul\'at csak $1\le n<N$ indexekre k\"ovetelj\"uk
meg. Hasonl\'oan defini\'alhatunk egy folytonos param\'eter\H{u}
marting\'alt egy $[a,b]$ intervallumban, a (D$1'$) \'es
(D$2'$) tulajdons\'agot csak $a\le s\le t\le b$ param\'eterekre
k\"ovetelve meg.
\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es.} Ha adva van val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy $\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$, sorozata, akkor
$\Cal F_n^{(0)}=\Cal B(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ a legsz\H{u}kebb a
diszkr\'et idej\H{u} marting\'alok \'es szemimarting\'alok
definic\'oj\'aban szerepl\H{o} felt\'eteleket teljes\'{\i}t\H{o}
$\sigma$-algebr\'ak. Vegy\"uk \'eszre, hogy amennyiben a (D1)
felt\'etel teljes\"ul akkor az
$$
\align
E(\xi_{n+1}(\oo)|&\Cal F^{(0)}_n)=
E\(E(\xi_{n+1}(\oo)|\Cal F_n)|\Cal F^{(0)}_n\)
=E\(\xi_n(\oo)|\Cal F^{(0)}_n\)=\xi_n(\oo) \\
&\qquad \text{1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel minden $n=1,2\dots$
sz\'amra}
\endalign
$$
azonoss\'ag is teljes\"ul, azaz ha a $\xi_n(\oo)$ sorozat marting\'alt
alkot az $\Cal F_n$, $n=1,2,\dots$, $\sigma$-algebra so\-ro\-zat\-ra
n\'ezve, akkor marting\'alt alkot az $\Cal F_n^{(0)}$, $n=1,2,\dots$,
$\sigma$-algebra so\-ro\-zat\-ra n\'ezve is. Hasonl\'oan
\'all\'{\i}thatjuk, hogy ha a $\xi_n(\oo)$ sorozat szemimarting\'alt
alkot az $\Cal F_n$ $\sigma$-algebr\'ak sorozat\'ara n\'ezve, akkor
szemimarting\'alt alkot az $\Cal F_n^{(0)}$ $\sigma$-algebr\'ak
so\-ro\-za\-t\'a\-ra n\'ezve is.

Folytonos idej\H{u} marting\'alok \'es szemimarting\'alok eset\'en
defini\'alhatjuk az $\Cal F_s^{(0)}=\Cal B(\xi_u,\,0\le u\le s)$
$\sigma$-algebr\'akat, \'es ezekkel helyettes\'{\i}tve a $\Cal F_s$
$\sigma$-algebr\'akat a folytonos idej\H{u} marting\'alokra \'es
szemimarting\'alokra is \'all\'{\i}thatjuk, hogy az $\xi_t(\oo)$
sztochasztikus folyamatok marting\'alok illetve szemi-marting\'alok
maradnak. Ez\'ert jogunk van va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok egy sorozat\'at diszkr\'et idej\H{u} marting\'alnak vagy
szemimarting\'alnak h\'{\i}vni, ha ez a sorozat marting\'al, illetve
szemimarting\'al
a most defini\'alt $\Cal F^{(0)}_n$ $\sigma$-algebr\'ak sorozat\'ara
n\'ezve. Az irodalomban haszn\'alj\'ak ezt a konvenci\'ot, \'es mi is
\'elni fogunk ezzel a lehet\H{o}s\'eggel.
Hasonl\'oan, egy $\xi_t(\oo)$ sztochasztikus folyamatot marting\'alnak
illetve szemimarting\'alnak h\'{\i}vunk, ha az marting\'al illetve
szemimarting\'al az $\Cal F_t^{(0)}$, $t\ge0$, $\sigma$-algebr\'ak
rendszer\'ere n\'ezve.
\medskip

A marting\'alok az igazs\'agos, a szemimarting\'alok pedig az
el\H{o}ny\"os j\'at\'ekoknak a term\'eszetes modelljei. Tekints\"unk
ugyanis egy j\'at\'ekot, amelynek minden egyes id\H{o}\-pont\-ban
van egy fordul\'oja, \'es ennek sor\'an nyerem\'eny\"unk \'ert\'eke
(v\'eletlenszer\H{u}en) meg\-v\'al\-to\-zik. Jel\"olje $\Cal F_n$
azt a $\sigma$-algebr\'at, amely tartalmazza az $n$-id\H{o}pontig
\"osszegy\"ujt\"ott \"osszes inform\'aci\'onkat, $\xi_n(\oo)$
pedig le\-gyen a nye\-re\-m\'e\-ny\"unk \'ert\'eke az $n$ id\H{o}pontban.
Ekkor az $n+1$-ik fordul\'o ut\'ani id\H{o}pontbeli v\'arhat\'o
nye\-re\-m\'e\-ny\"unk az $n$-ik fordul\'oban rendelkez\'es\"unkre
\'all\'o ismeretek alapj\'an $E(\xi_{n+1}(\oo)|\Cal F_n)$.
A j\'at\'ek akkor igazs\'agos, ha ez a v\'arhat\'o nye\-re\-m\'eny
megegyezik az $n$-ik id\H{o}pontbeli $\xi_n(\oo)$
nyerem\'eny\"unkkel, \'es akkor el\H{o}ny\"os, ha na\-gyobb n\'ala.
T\"obb a marting\'alok elm\'elet\'eben fontos eredm\'eny ezen
k\'ep alapj\'an \'erthet\H{o} meg. Miel\H{o}tt ezeknek az
eredm\'enyeknek a t\'argyal\'as\'at elkezden\'enk, id\'ezz\"uk fel
a m\'ar tanult felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'at
\'es legfontosabb tulajdons\'agait.

A felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oja felhaszn\'alja
az al\'abb felid\'ezend\H{o} Radon--Nikodym t\'etelt. E t\'etel
megfogalmaz\'as\'anak \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or be kell vezetni
(el\H{o}jeles) m\'ert\'ekek egy m\'as m\'ert\'ek szerinti abszolut
folytonoss\'ag\'anak a definici\'oj\'at.
\medskip\noindent
{\bf Egy el\H{o}jeles m\'ert\'ek egy m\'asik m\'ert\'ek szerinti
abszolut folytonoss\'ag\'anak a definici\'oja.} {\it Legyen
$\mu$ (esetleg $\sigma$)-v\'eges ($\sigma$-addit\'{\i}v) m\'ert\'ek
\'es $\nu$ v\'eges ($\sigma$-addit\'{\i}v) el\H{o}jeles m\'ert\'ek
egy $\Omega$ t\'eren \'ertelmezett $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'an.
Azt mondjuk, hogy a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek abszolut
folytonos a $\mu$ m\'ert\'ek szerint az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'an,
ha minden olyan $C\in\Cal F$ halmazra, amelyre $\mu(C)=0$, a
$\nu(C)=0$ rel\'aci\'o is teljes\"ul.}
\medskip\noindent
{\bf Radon--Nikodym t\'etel.} {\it Legyen adva egy $\Omega$ t\'er,
rajta egy $\Cal F$ $\sigma$-algebra, tov\'abb\'a ezen az $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'an egy $\mu$ ($\sigma$-v\'eges) m\'ert\'ek \'es
$\nu$ (v\'eges) el\H{o}jeles m\'ert\'ek. Tegy\"uk fel, hogy
a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre
n\'ezve az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'an. Akkor l\'etezik olyan az
$\Omega$ t\'eren defini\'alt val\'os \'ert\'ek\H{u} $\Cal F$
m\'erhet\H{o} $f(\oo)$ f\"uggv\'eny, amelyre
$\int|f(\oo)|\,d\mu(\oo)<\infty$, \'es $\nu(C)=\int_C f(\oo)\,d\mu(\oo)$
minden $C\in \Cal F$ halmazra. Tov\'abb\'a
ez az $f(\oo)$ f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u} a k\"ovetkez\H{o}
\'ertelemben. Ha k\'et $f_1(\oo)$ \'es $f_2(\oo)$ $\Cal F$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a fenti rel\'aci\'ot minden
$C\in \Cal F$ halmazra, akkor $f_1(\oo)=f_2(\oo)$ a $\mu$ m\'ert\'ek
szerint majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.}
\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Radon--Nikodym t\'etel tipikus egzisztencia
t\'etel. Az \'altal\'anos esetben nem ad m\'odszert arra, hogyan
lehet a keresett $f(\oo)$ Radon--Nikodym deriv\'altat effektive
kisz\'amolni. Ez a probl\'ema a felt\'eteles eloszl\'as \'es
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'aban is megjelenik, \'es
ez teszi a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'at neh\'ezz\'e.
\medskip

Tekints\"unk egy $(\Omega,\Cal A,P)$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t, azon egy integr\'alhat\'o $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot (azaz legyen $E|\xi(\oo)|=\int_\Omega
|\xi(\oo)|P(\,d\oo)<\infty$) \'es egy $\Cal F\subset \Cal A$
$\sigma$-algebr\'at. Defini\'aljuk a $\mu(A)=\int_A \xi(\oo)P(\,d\oo)$,
$A\in\Cal A$, el\H{o}jeles m\'ert\'eket. Ekkor $\mu$
ny\'{\i}lv\'anval\'oan abszolut folytonos m\'ert\'ek az $(\Omega,\Cal
A,P)$ t\'eren a $P$ m\'ert\'ekre n\'ezve. Ha tekintj\"uk a $P$
m\'ert\'ek \'es $\mu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek megszor\'{\i}t\'as\'at a
$\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara, akkor a $\mu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek
tov\'abbra is abszolut folytonos marad a $P$ m\'ert\'ekre. Ez\'ert
bevezethetj\"uk a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek al\'abbi
definici\'oj\'at.
\medskip\noindent
{\bf Felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oja.}\/
{\it Legyen adva egy $\xi(\oo)$ integr\'alhat\'o
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o \'es egy $\Cal F$
$\sigma$-algebra egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Defini\'aljuk a
$\mu=\mu(\xi)$ el\H{o}jeles m\'ert\'eket a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'an a $\mu(B)=\int_B \xi(\oo)P(\,d\oo)$,
$B\in\Cal F$, k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E(\xi(\oo)|\Cal F)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eke az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara
n\'ezve egyenl\H{o} a $\mu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek ($\Cal
F$-m\'erhet\H{o}) Radon-Nykodim deriv\'altj\'aval a $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eknek az $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'ara vett megszor\'{\i}t\'as\'ara n\'ezve.

M\'ask\'epp megfogalmazva az $E(\xi|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o, amely 
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} k\'et felt\'etelt:
\medskip
\item{a.)} Az $E(\xi|\Cal F)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o m\'erhet\H{o} az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara.
\item{b.)} $\int_B E(\xi|\Cal F)\,dP=\int_B \xi\,dP$ minden
$\Cal F$ m\'erhet\H{o} $B$ esem\'enyre.
\medskip 
Az ilyen tulajdons\'ag\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o 
l\'etez\'es\'et (\'es egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'et) a Radon--Nykodim 
t\'etel biztos\'{\i}tja.}
\medskip\noindent
{\bf Felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'altal\'anos
definici\'oja.} {\it Legyen adva egy $A$ m\'erhet\H{o} halmaz \'es
egy $\Cal F\subset\Cal A$ $\sigma$-algebra egy
$\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Az $A$
halmaz $P(A|\Cal F)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'en
felt\'eve az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at az $A$ halmaz $I_A(\oo)$
indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek (azaz $I_A(\oo)=1$, ha $\oo\in
A$, $I_A(\oo)=0$, ha $\oo\notin A$) $E(I_A(\oo)|\Cal F)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket \'ertj\"uk.}
\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es:}\/ Legyenek adva valamely
$\eta_1,\dots,\eta_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. A $\Cal
B(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $\sigma$-algebr\'an a legsz\H{u}kebb olyan
$\sigma$-algebr\'at \'ertj\"uk, amelyre n\'ezve az
$\eta_1,\dots,\eta_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
mindegyike m\'erhet\H{o}, \'es adva egy integr\'alhat\'o $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o haszn\'aljuk az
$$
E(\xi|\eta_1,\dots,\eta_k)=E(\xi|\Cal B(\eta_1,\dots,\eta_k))
$$
jel\"ol\'est is. (Az egyszer\H{u}bb jel\"ol\'es \'erdek\'eben v\'eges
sok $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \'{\i}rtam, de
vehet\"unk v\'egtelen, ak\'ar kontinum sok $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot.
\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es:}\/ Gyakran haszn\'alj\'ak (az el\H{o}z\H{o}
megjegyz\'es fogalomrendszer\'et alkalmazva) az
$E(\xi|\eta_1=x_1,\dots,\eta_k=x_k)$ jel\"ol\'est is, \'es
besz\'elnek egy $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l felt\'eve, hogy
valamely $\eta_1$,\dots, $\eta_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $x_1$,\dots, $x_k$ \'ert\'ekeket vesznek fel. Ez
a k\"ovetkez\H{o}t jelenti. Azt mondjuk, hogy
$E(\xi|\eta_1=x_1,\dots,\eta_k=x_k)=g(x_1,\dots,x_k)$, ha a $g$
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agot.
$E(\xi|\eta_1,\dots,\eta_k)=g(\eta_1,\dots,\eta_k)$. (Ez az
azonoss\'ag \'ugy \'ertend\H{o}, hogy a k\'et oldal 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megegyezik.) Term\'eszetesen e
jel\"ol\'es jogoss\'ag\'anak \'erdek\'eben meg kell mutatni, hogy
a k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u $g$ f\"uggv\'eny mindig l\'etezik,
illetve tiszt\'azni kell azt, hogy tekinthetj\"uk-e ezt a $g$
f\"uggv\'enyt egy\'ertelm\H{u}en defini\'altnak. A k\'{\i}v\'ant
tulajdons\'ag\'u $g$ f\"uggv\'eny l\'etez\'es\'et biztos\'{\i}tja
az al\'abbi (bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul k\"oz\"olt)
m\'ert\'ekelm\'eleti ered\-m\'eny.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva egy $(\Omega, \Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  mez\H{o}, azon
$\eta_1(\oo),\dots,\eta_k(\oo)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Jel\"olje $\Cal F$
az $\eta_1(\oo),\dots,\eta_k(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'at. Egy $\zeta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o akkor \'es csak akkor
m\'erhet\H{o} erre az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara, ha l\'etezik a
$k$-dimenzi\'os $R^k$ euklideszi t\'erben olyan Borel m\'erhet\H{o}
$g(x_1,\dots,x_k)$ f\"ugg\-v\'eny, amelyre
$\zeta(\oo)=g(\eta_1(\oo),\dots,\eta_k(\oo))$. }
\medskip
Egy $\zeta(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fenti
t\'etelben megadott reprezent\'aci\'oj\'aban az ott szerepl\H{o}
$g$ f\"uggv\'eny nincs egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozva. Val\'oban,
gondoljuk meg, hogy olyan $(x_1,\dots,x_k)$ pontokban, amelyeket
az $(\eta_1(\oo),\dots,\eta_k(\oo))$ semmilyen $\oo\in\Omega$ helyen
nem vesz fel a $g(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'enyt tetsz\H{o}leges
m\'odon defini\'alhatjuk. Viszont igaz (\'es egyszer\H{u}en
bizony\'{\i}that\'o) a k\"ovetkez\H{o} gyeng\'ebb \'ertelemben vett
egy\'ertelm\H{u}s\'eg, amely elegend\H{o} a sz\'amunkra. Ha $\mu$
jel\"oli az $(\eta_1(\oo),\dots,\eta_k(\oo))$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'at (az $R^k$ t\'er $k$-dimenzi\'os Borel m\'erhet\H{o}
halmazain), \'es $g(\eta_1(\oo),\dots,\eta_k(\oo))=
\bar g(\eta_1(\oo),\dots,\eta_k(\oo))$ 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
akkor $g(x_1,\dots,x_k)=\bar g(x_1),\dots,x_k)$ a $\mu$ m\'ert\'ek
szerint majdnem minden $(x_1,\dots,x_k)$ pontban.

Felsorolom a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek legfontosabb
tulajdons\'agait. Az al\'abb felsorolt azonoss\'agok \'ugy
\'ertend\H{o}k, hogy az azok k\'et oldal\'an szerepl\H{o}
kifejez\'esek egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megegyeznek.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agair\'ol.}
\item{1.} {\it Ha $\summ_{k=1}^\infty |a_k|E|\xi_k|<\infty$, $\Cal
F\subset A$ tetsz\H{o}leges $\sigma$-algebra, akkor
$$
E\(\left.\summ_{k=1}^\infty a_k\xi_k\right|\Cal F\)(\oo)
=\summ_{k=1}^\infty a_k E(\xi_k|\Cal F)(\oo)
\quad\text{majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.}
$$
\item{2.} Ha $E|\xi|<\infty$, $\Cal G\subset \Cal F\subset\Cal A$
tetsz\H{o}leges $\sigma$-algebr\'ak, akkor $E\(E(\xi|\Cal F)|\Cal
G\)(\oo)=E(\xi|\Cal G)(\oo)$ majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.
Speci\'alisan $E\(E(\xi|\Cal F)\)=E\xi$.
\item{3.} Ha $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre
$P(a\le \xi\le b)=1$ alkalmas $-\infty<a<b<\infty$ sz\'amokkal, $\Cal
F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra, akkor $a\le E(\xi|\Cal F)(\oo)\le b$
majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban. \'Altal\'anosabban, ha
$\xi(\oo)\ge\eta(\oo)$ majdnem minden $\oo\in\Omega$ pontban, akkor
$E(\xi|\Cal F)(\oo)\ge E(\eta|\Cal F)(\oo)$ majdnem minden
$\oo\in\Omega$ pontban.
\item {4.} $E(\xi|\Cal A)(\oo)=\xi(\oo)$, ahol $\Cal A$ a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} definici\'oj\'aban szerepl\H{o}
,,leg\-na\-gyobb'' $\sigma$-algebra. Ha $\Cal A_0$ jel\"oli
a trivi\'alis $\sigma$-algebr\'at, amelyik csak az $\Omega$ \'es
$\emptyset$ \"ures halmazb\'ol \'all, akkor $E(\xi|\Cal
A_0)(\oo)=E\xi$.
\item{5.} Ha $E|\xi|<\infty$, $\Cal F\subset \Cal A$, a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen az $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at\'ol, azaz ha tetsz\H{o}leges $F\in \Cal F$ \'es
a sz\'amegyenesen l\'ev\H{o} Borel m\'erhet\H{o} $B\subset R^1$
halmazokra, $P(\{\oo\:\xi(\oo)\in B\}\cap F)= P(\{\oo\:\xi(\oo)
\in B\})P(F)$, akkor $E(\xi|\Cal F)(\oo)=E\xi$.
\item{6.} Ha $E\xi^2<\infty$, $E\eta^2<\infty$, $\Cal F\subset \Cal
A$, a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'ara m\'erhet\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o, azaz tetsz\H{o}leges a sz\'amegyenesen l\'ev\H{o} Borel
m\'erhet\H{o} $B\subset R^1$  halmazra, $\{\oo\:\xi(\oo)\in B\}\in \Cal
F$, akkor $E(\xi\eta|\Cal F)(\oo)=\xi(\oo)E(\eta|\Cal F)(\oo)$
majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban. (Speci\'alisan,  az
$\eta(\oo)\equiv1$ v\'alaszt\'assal kapjuk, hogy
$E(\xi|\Cal F)(\oo)=\xi(\oo)$, ha $\xi$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o}.)}
\medskip
Megadok m\'eg k\'et a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekr\H{o}l
sz\'ol\'o fontos eredm\'enyt, amelyeket itt nem fogunk haszn\'alni,
viszont hasznos tudni \H{o}ket. Ezek k\"oz\"ul az els\H{o} (nehezebb)
eredm\'eny azt fejezi ki, hogy minden $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara
\'es $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-ra
l\'etezik a $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
olyan felt\'eteles eloszl\'asa, amely minden $\oo\in \Omega$-ra
val\'odi az ($\oo$-t\'ol f\"ugg\H{o}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek. A m\'asodik eredm\'eny arr\'ol sz\'ol, hogy a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ekeket ki lehet fejezni a felt\'eteles eloszl\'asok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hasonl\'oan ahhoz, ahogy a v\'arhat\'o
\'ert\'ekeket ki tudjuk fejezni az eloszl\'asok seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy sok a v\'arhat\'o \'ert\'ekekr\H{o}l
sz\'ol\'o eredm\'enyt \'altal\'anos\'{\i}tani tudunk felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ekekre is. Az  els\H{o} eredm\'eny a
k\"ovetkez\H{o}.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a felt\'eteles regul\'aris eloszl\'as
l\'etez\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen $(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$
egy $k$-dimenzi\'os va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektor
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es
legyen adva egy
$\Cal F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra. Jel\"olje $\Cal B$ a Borel
$\sigma$-algebr\'at az $R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'eren. A
$(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$ v\'eletlen vektornak l\'etezik az
$\Cal F$ $\sigma$-algebra sze\-rin\-ti regul\'aris felt\'eteles
eloszl\'asa, azaz meg lehet adni egy olyan $F(B,\oo)$, $F(B,\oo)\:
\Cal B\times \Omega\to R^1$, f\"uggv\'enyt, amelyre \medskip
\item{i.)} $F(B,\cdot)$  minden $B\in\Cal B$ halmazra $\Cal F$
m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{ii.)} $F(\cdot,\oo)$ minden $\oo\in\Omega$ pontra
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $R^k$ $k$-dimenzi\'os
euklideszi t\'er $\Cal B$ $\sigma$-algebr\'aj\'an, azaz
$F(R^k,\oo)=1$, $0\le F(B,\oo)\le 1$, minden $B\in \Cal B$
halmazra, $F\(\bigcupp_{k=1}^\infty B_k,\oo\)=\summ_{k=1}^\infty
F(B_k,\oo)$ minden diszjunkt $B_k\in\Cal B$, $k=1,2,\dots$,
hal\-ma\-zok\-b\'ol \'all\'o rendszerre.
\item{iii.)} $F(B,\oo)=P\((\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in B|\Cal
F\)(\oo)$ minden $B\in \Cal B$ halmazra. Ez azt jelenti, hogy az
$F(B,\oo)$ f\"uggv\'eny tekinthet\H{o} \'ugy, mint a csak majdnem
minden $\oo\in \Omega$ pontban meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott
$P\((\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in B|\Cal F\)(\oo)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg egyik verzi\'oja.}
\medskip
Legyen adva egy $\Cal F$ $\sigma$-algebra, k\'et v\'eletlen vektor,
amelyek k\"oz\"ul az egyik $\Cal F$ m\'erhet\H{o}, \'es tekints\"uk
ezen v\'eletlen vektorok valamely f\"uggv\'eny\'enek a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et felt\'eve a $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at.
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny tartalma az, hogy ezt a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'eket term\'eszetes m\'odon ki lehet sz\'amolni
a felt\'eteles eloszl\'as szerinti integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$
$\sigma$-algebra, azon egy $\Cal F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra,
egy $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os \'es
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_l)$ $l$-dimenzi\'os v\'eletlen v\'eletlen
vektor. Legyen tov\'abb\'a az $(\eta_1,\dots,\eta_l)$ v\'eletlen
vektor $\Cal F$ m\'erhet\H{o}, \'es jel\"olje az $F(B,\oo)$, $B\subset
R^k$ Bo\-rel m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, $\oo\in\Omega$, a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor regul\'aris felt\'eteles
eloszl\'as\'at felt\'eve az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at. Legyen
$h(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l)$ egy $k+l$ v\'altoz\'os Borel
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, amelyre
$E|h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|<\infty$.
Az $E\(h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|\Cal F\)(\oo)$
fel\-t\'e\-te\-les v\'arhat\'o \'ert\'eket ki lehet sz\'am\'{\i}tani
a k\"ovetkez\H{o} k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
$$
\align
&E\(h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|\Cal F\)(\oo) \\
&\qquad=\[\int h(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l) F(dx_1,\dots,dx_k,\oo)\]
_{y_1=\eta_1(\oo),\dots,y_l=\eta_l(\oo)}.
\endalign
$$
}\medskip

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} feladatokban megfogalmazok n\'eh\'any fontos
p\'eld\'at marting\'alokra. A feladat \'all\'{\i}t\'asai
ellen\H{o}r\'{\i}zhet\H{o}ek a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek el\H{o}bb felsorolt tu\-laj\-don\-s\'a\-gai\-nak
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip\noindent
{\it 1. feladat.} Legyenek $\xi_1,\xi_2\dots,$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre
$E|\xi_n|<\infty$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra. Ha $E\xi_n=0$
minden $n=1,2,\dots$, sz\'amra, akkor az $S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$,
$k=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegek marting\'alt alkotnak. Ha
$E\xi_n\ge0$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, akkor az $S_k$,
$k=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegek szemimarting\'alt alkotnak.
\medskip\noindent
{\it 2. feladat.} Legyen adva az $\Cal A$ $\sigma$-algebra
r\'esz-$\sigma$-algebr\'ainak n\"ovekv\H{o}
$\Cal F_1\subset\Cal F_2\subset\Cal F_2\subset\cdots \subset A$ az
sorozata \'es egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
$E|\xi|<\infty$, egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ekkor az $X_n=E(\xi|\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, sorozat
marting\'alt alkot.
\medskip\noindent
{\it 3. feladat.} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $T_n=\prodd_{k=1}^n\xi_k$,
$n=1,2,\dots$. Ha $E\xi_j=1$ minden $j=1,2,\dots$ sz\'amra, akkor a
$T_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat marting\'al. Ha $E\xi_j\ge1$, \'es
$P(\xi_j\ge0)=1$, $j=1,2,\dots$, akkor $T_n$ szemimarting\'al.
\medskip\noindent
{\it 4. feladat.} Legyen $W(t,\oo)$, $t\ge0$ egy Wiener-folyamat.
Ekkor mind a $W(t,\oo)$, mind a $W^2(t,\oo)-t$, $t\ge0$,
sztochasztikus folyamat marting\'al. (\'Erdemes mind a k\'et
szto\-chasz\-ti\-kus folyamat eset\'eben a $\Cal F_t=\Cal B(W(s);\,s\le
t)$, $\sigma$-algebr\'at t\'ars\'{\i}tani a $W(t)$ illetve $W^2(t)-t$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
\medskip\noindent
{\it $4'$. feladat.} Legyen $P(t,\oo)$, $t\ge0$ egy Poisson-folyamat,
$\lambda=1$ param\'eterrel. Ekkor mind a $P(t,\oo)-t$, mind a
$(P(t,\oo)-t)^2-t$, $t\ge0$, sztochasztikus folyamat marting\'al.
\'Altal\'aban, ha $X(t,\oo)$ egy f\"uggetlen \'es
stacion\'arius n\"ovekm\'eny\H{u} sorozat $EX(t,\oo)=0$ \'es
$EX^2(t,\oo)=t$, akkor $X(t,\oo)$ \'es $X^2(t,\oo)-t$ marting\'al.
\medskip
A 4. feladat felsorolja egy Wiener-folyamat bizonyos tulajdons\'agait.
Ezenk\'{\i}v\"ul tudjuk, hogy a Wiener-folyamat trajekt\'ori\'ai
folytonosak. Megfogalmazom a Wiener-folyamat egy kor\'abbi
jellemz\'es\'enek \'altal\'anosabb, marting\'al-tulajdons\'agokkal
megadott jellemz\'es\'et.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a Wiener-folyamatok egy jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $X(t,\oo)$, $0\le t<\infty$, olyan sztochasztikus folyamat,
amelyre $EX^2(t,\oo)<\infty$ minden $t\ge0$ sz\'amra, $X(0,\oo)=0$
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, \'es az $X(t,\oo)$ \'es
$X^2(t,\oo)-t$, $t\ge0$, sztochasztikus folyamatok marting\'alok
(valamely $\Cal F_t$ az $\Cal F_t^{(0)}=\{X(s,\oo),\;s\le t\}$,
$t\ge0$, $\sigma$-algebr\'akat tartalmaz\'o $\sigma$-algebr\'ak
rendszer\'ere n\'ezve). Ha ezenk\'{\i}v\"ul az $X(t,\oo)$
sztochasztikus fo\-lya\-mat minden trajekt\'ori\'aja foly\-to\-nos,
akkor $X(t,\oo)$ Wiener-folyamat.}
\medskip
A fenti t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at az el\H{o}ad\'asban elhagyom,
azt egy kieg\'esz\'{\i}t\'esben is\-mer\-te\-tem. Megjegyzem, hogy
a t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak l\'enyege az, hogy a f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszegeir\H{o}l
sz\'ol\'o centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
\'altal\'anos\'{\i}that\'o marting\'alokra is, \'es ennek az itt
nem ismertetett eredm\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel bel\'athat\'o,
hogy tetsz\H{o}leges $0=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_k<\infty$ sz\'amokra
a t\'etel felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en az
$X(t_j,\oo)-X(t_{j-1},\oo)$, $1\le j\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es
norm\'alis eloszl\'as\'uak 0 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$t_j-t_{j-1}$ sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel.
\medskip
Ismertetek n\'eh\'any a marting\'alokr\'ol \'es
szemimarting\'alokr\'ol sz\'ol\'o fontos eredm\'enyt. Nem adom meg
mindegyik\"uk r\'eszletes bizony\'{\i}t\'as\'at. N\'eh\'any
esetben a bizony\'{\i}t\'as fontos l\'ep\'eseit (n\'emi
magyar\'azattal ell\'atott) feladat form\'aj\'aban fogalmazom meg.
Viszont igyekszem elmagyar\'azni, hogy a bizony\'{\i}t\'asok
h\'atter\'eben ott van az igazs\'agos \'es el\H{o}ny\"os j\'at\'ekok
tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o term\'eszetes gondolat. Az els\H{o}
eredm\'eny azt fejezi ki, hogy egy igazs\'agos j\'at\'ek eset\'en
nem tudom a j\'at\'ekot \'ugy abbahagyni, hogy az sz\'amomra
szigor\'uan el\H{o}ny\"os legyen, egy el\H{o}ny\"os j\'at\'ek eset\'en
pedig a legel\H{o}ny\"osebb strat\'egia az, ha a j\'at\'ekban v\'egig
r\'eszt veszek. Term\'eszetesen, amikor arra gondolok, hogy milyen
szab\'aly szerint hagyjam abba a j\'at\'ekot, akkor olyan szab\'alyra
gondolok, amelyet effekt\'{\i}ve v\'egre is tudok hajtani. Ennek pontos
megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben bevezetem a k\"ovetkez\H{o} fogalmat.
\medskip\noindent
{\bf Meg\'all\'asi szab\'aly definici\'oja.} {\it Legyen adva
$\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o} $\Cal F_1\subset \Cal
F_2\subset \Cal F_3\subset\cdots\subset \Cal A$ sorozata egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt
mondjuk, hogy egy pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket (\'es esetleg
a $\infty$) \'ert\'eket) felvev\H{o} $\tau(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o meg\'all\'asi szab\'aly e
$\sigma$-algebr\'ak rendszer\'ere n\'ezve, ha $\{\oo\:\tau(\oo)=n\}
\in \Cal F_n$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra.

E fogalom id\H{o}ben folytonos megfelel\H{o}je a k\"ovetkez\H{o}:
Legyen adva $\Cal F_t \subset \Cal A$, $0\le t<\infty$,
$\sigma$-algebr\'aknak egy n\"ovekv\H{o} rendszere (azaz legyen
$\Cal F_s\subset \Cal F_t$, ha $s\le t$) egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt mondjuk, hogy egy nem
negat\'{\i}v \'ert\'ekeket (\'es esetleg  a $\infty$) \'ert\'eket)
felvev\H{o} $\tau(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
meg\'all\'asi szab\'aly e $\sigma$-algebr\'ak rendszer\'ere n\'ezve,
ha $\{\oo\: \tau(\oo)\le t\}\in \Cal F_t$ minden $t\ge0$ sz\'amra.}
\medskip
Megadom a definici\'o v\'altozat\'at abban az esetben, ha
$\sigma$-algebr\'ak helyett va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok egy sorozata vagy egy sztochasztikus folyamat van adva.
\medskip\noindent
{\bf Meg\'all\'asi szab\'aly definici\'oja.} {\it Legyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$
so\-ro\-za\-ta egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Egy pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket (\'es esetleg  a
$\infty$) \'ert\'eket) felvev\H{o} $\tau(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o meg\'all\'asi szab\'aly e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'ara n\'ezve, ha
meg\'all\'asi szab\'aly az $\Cal F_n=\Cal B(\xi_k(\oo),1\le k\le n)$
$\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o} rendszer\'ere n\'ezve.

E fogalom id\H{o}ben folytonos megfelel\H{o}je a k\"ovetkez\H{o}:
Legyen adva egy $X(t,\oo)$, $t\ge0$, egy a pozit\'{\i}v f\'elegyesen
defini\'alt sztochasztikus folyamat egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt mondjuk,
hogy egy nem negat\'{\i}v \'ert\'ekeket (\'es esetleg  a $\infty$)
\'ert\'eket) felvev\H{o} $\tau(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o meg\'all\'asi szab\'aly e sztochasztikus folyamatra
n\'ezve, ha meg\-\'al\-l\'a\-si szab\'aly az $\Cal F_t=\Cal
B(\xi_s\:0\le s\le t)$, $t\ge0$, $\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o}
rendszer\'ere n\'ezve.}

\medskip
\'Erdemes bevezetni a $\tau(\oo)$ (v\'eletlen) meg\'all\'asi
id\H{o}pontig \"osszegy\"ujt\"ott in\-for\-m\'a\-ci\'ot tartalmaz\'o
$\Cal F_\tau$ $\sigma$-algebr\'at is. Egy $B$ halmaz akkor \'es csak
akkor tartozik a $\Cal F_\tau$ $\sigma$-algebr\'aba, ha a $\tau$
id\H{o}pontig tett megfigyel\'esek alapj\'an el tudjuk d\"onteni,
hogy a $B$ esem\'eny be\-k\"o\-vet\-ke\-zett-e vagy sem. A pontos
definici\'o a k\"ovetkez\H{o}.
\medskip\noindent
{\bf Egy meg\'all\'asi szab\'aly \'altal gener\'alt $\sigma$-algebra
definici\'oja.} {\it Legyen adva $\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o}
$\Cal F_1\subset \Cal F_2\subset \Cal F_3\subset\cdots\subset
\Cal A$ sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, \'es legyen $\tau(\oo)$ meg\'all\'asi szab\'aly erre a
rendszerre n\'ezve. Az $\Cal F_\tau$ $\sigma$-algebra a
k\"ovetkez\H{o} halmazokb\'ol \'all: Egy $B\subset\Omega$ halmazra
$B\in\Cal F_\tau$ akkor \'es csak akkor, ha $B\cap\{\oo\:\tau(\oo)
\le n\}\in \Cal F_n$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra.

E fogalom id\H{o}ben folytonos megfelel\H{o}je a k\"ovetkez\H{o}:
Legyen adva \'es $\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o} $\Cal F_t
\subset \Cal A$, $0\le t<\infty$, rendszere (azaz legyen $\Cal
F_s\subset \Cal F_t$, ha $s\le t$) egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es legyen $\tau(\oo)$
meg\'all\'asi szab\'aly erre a rendszerre n\'ezve. Az $\Cal F_\tau$
$\sigma$-algebra a k\"ovetkez\H{o} halmazokb\'ol \'all:
$B\subset\Omega$ halmazra $B\in\Cal F_\tau$ akkor \'es
csak akkor, ha $B\cap \{\oo\:\tau(\oo)\le t\}\in \Cal F_t$ minden
$t\ge0$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
{\it Feladat 1:}\/ L\'assuk be, hogy a fenti definici\'o \'ertelmes,
azaz az $\Cal F_\tau$ halmaz rendszer val\'oban $\sigma$-algebra.
\medskip\noindent
{\it Feladat 2:}\/ Legyen adva $\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o}
$\Cal F_1\subset\Cal F_2\subset\cdots\subset\Cal A$ sorozata egy
$(\Omega, \Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, valamint
egy $\tau(\oo)$ meg\'all\'asi szab\'aly erre a rendszerre n\'ezve,
\'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan
$\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$ sorozata, amelyre a $\xi_n(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o $\Cal F_n$
m\'erhet\H{o} minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra. Mutassuk meg, hogy
$\xi_{\tau(\oo)}(\oo)$ $\Cal F_\tau$ m\'erhet\H{o}. Speci\'alisan,
$\tau(\oo)$ $\Cal F_\tau$ m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o.
\medskip\noindent
{\it Feladat 3:}\/ Legyen adva $\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o}
$\Cal F_1\subset\Cal F_2\subset\cdots\subset\Cal A$ sorozata egy
$(\Omega, \Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, valamint
k\'et olyan $\tau_1(\oo)$ \'es $\tau_2(\oo)$  meg\'all\'asi
szab\'aly erre a rend\-szer\-re n\'ezve, amelyek teljes\'{\i}tik a
$\tau_1(\oo)\le\tau_2(\oo)$  rel\'aci\'ot minden $\oo\in\Omega$
elemi esem\'enyre. Mutassuk meg, hogy
$\Cal F_{\tau_1(\oo)}\subset\Cal F_{\tau_2(\oo)}$. Igaz ezen
\'all\'{\i}t\'as k\"ovetkez\H{o} folytonos v\'altozata is. Ha
$\Cal F_t$, $0\le t<\infty$, $\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o}
rendszere, azaz $\Cal F_s\subset\Cal F_t$, ha $0\le s<t<\infty$,
valamint $\tau_1(\oo)$ \'es $\tau_2(\oo)$ k\'et olyan meg\'all\'asi
szab\'aly erre a $\sigma$-algebra rend\-szer\-re n\'ezve, amelyek
teljes\'{\i}tik a $\tau_1(\oo)\le\tau_2(\oo)$  rel\'aci\'ot minden
$\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre, akkor
$\Cal F_{\tau_1(\oo)}\subset\Cal F_{\tau_2(\oo)}$.

\medskip\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Egy $B\in\Cal F_{\tau_1(\oo)}$
esem\'enyt \'{\i}rjunk
$B=\bigcupp_k (B\cap\{\oo\colon\tau_1(\oo)=k\})$ alakban, \'es
mutassuk meg, hogy $B\cap\{\oo\colon\tau_1(\oo)=k\}\in\Cal
F_{\tau_2(\oo)}$.

A folytonos id\H{o} eset\'eben haszn\'aljuk ki, hogy amennyiben
valamely $B$ halmazra $B\cap\{\oo\colon\tau_1(\oo)\le t\}\in
\Cal F_t$, akkor $B\cap\{\oo\colon\tau_2(\oo)\le t\}=
B\cap\{\oo\colon\tau_1(\oo)\le t\}\cap\{\oo\colon\tau_2(\oo)\le t\}
\in \Cal F_t$.

\medskip\noindent
{\it Feladat 4: (nem k\"otelez\H{o})}\/ Tekints\"uk n\"ovekv\H{o}
$\Cal F_t$ $\sigma$-algebr\'aknak a $t\ge0$ sz\'amokkal
param\'eterezett n\"ovekv\H{o} rendszer\'et, \'es egy ezekre n\'ezve
term\'eszetes m\'odon adapt\'alt $X(t,\oo)$ {\it folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u}\/ sztochasztikus folyamatot. Fogalmazzuk
meg \'es bizony\'{\i}tsuk be egy ilyen rendszerre a feladat~2
term\'eszetes megfelel\H{o}j\'et. (Mi\'ert kellett feltenni
azt, hogy a sztochasztikus folyamat trajekt\'ori\'ai folytonosak?)

\medskip\noindent
{\bf T\'etel v\'eletlen\"ul meg\'all\'{\i}tott (szemi)marting\'alok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek becs\-l\'e\-s\'e\-r\H{o}l.} {\it Legyen
adva egy $(\xi_k(\oo),\Cal F_k)$, $k=1,2,\dots$, marting\'al \'es
egy $\tau(\oo)$ meg\'all\'asi szab\'aly az $\Cal F_k$, $k=1,2,\dots$,
$\sigma$-algebr\'ak rendszer\'ere n\'ezve, amelyre
$P(n\le\tau(\oo)\le N)=1$ valamilyen $1\le n\le N<\infty$
sz\'amokra. Ekkor
$$
E(\xi_{\tau(\oo)}(\oo)|\Cal F_n)=\xi_n(\oo)\quad \text{\'es}\quad
E(\xi_N(\oo)|\Cal F_{\tau(\oo)})=\xi_{\tau(\oo)}(\oo)\quad \text{1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.} \tag D3
$$
Speci\'alisan
$$
E\xi_n(\oo)=E\xi_{\tau(\oo)}(\oo)=E\xi_N(\oo)=E\xi_1(\oo). \tag D4
$$
Ha $(\xi_k(\oo),\Cal F_k)$, $k=1,2,\dots$, szemimarting\'al, akkor
$$
E(\xi_{\tau(\oo)}(\oo)|\Cal F_n)\ge\xi_n(\oo)\quad \text{\'es}\quad
E(\xi_N(\oo)|\Cal F_{\tau(\oo)})\ge\xi_{\tau(\oo)}(\oo)\quad \text{1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,} \tag D$3'$
$$
ez\'ert
$$
E\xi_n(\oo)\le E\xi_{\tau(\oo)}(\oo)\le E\xi_N(\oo). \tag D$4'$
$$
}\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ El\H{o}sz\"or a (D3) \'es (D$3'$)
formul\'ak baloldali azonoss\'ag\'at bizony\'{\i}tjuk be.
Ennek \'er\-de\-k\'e\-ben vegy\"uk \'eszre, hogy az
$\eta_k(\oo)=\xi_{k+1}(\oo)-\xi_k(\oo)$, $n\le k<N$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\Cal F_{k+1}$
m\'erhet\H{o}ek, \'es a $(\xi_k(\oo),\Cal F_k)$, $n\le k\le N$,
rendszer marting\'al volta ekvivalens azzal, hogy
$E(\eta_k(\oo)| \Cal F_k)=0$, szemiszemimarting\'al volta pedig
azzal, hogy $E(\eta_k(\oo)|\Cal F_k)\ge0$ 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel minden $n\le k<N$ indexre.
Vezess\"uk be az $\tilde\eta_k(\oo)=\eta_k(\oo)I_{\{\oo\:\tau(\oo)
\ge k+1\}}$, $n\le k<N$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat.
Mivel $E(\xi_{\tau(\oo)}(\oo)|\Cal F_n)-\xi_n(\oo)
=\summ_{k=n}^{N-1}\tilde\eta_k(\oo)$, a (D3) \'es (D$3'$)
formul\'ak els\H{o} r\'esz\'enek az igazol\'as\'ahoz el\'eg azt
bebizony\'{\i}tani, hogy $E\tilde\eta_k(\oo)|\Cal F_n)=0$, $k\le n<N$,
ha $(\xi_k,\Cal F_k)$, $n\le k\le N$, marting\'al, \'es
$E\tilde\eta_k(\oo)|\Cal F_n)\ge0$, $n\le k<N$, ha $(\xi_k,\Cal F_k)$,
$n\le k\le N$, szemimarting\'al. Viszont az $\{\oo\colon \tau(\oo)\ge
k+1\}\in \Cal F_k$, (mert komplementere az $\{\oo\colon \tau(\oo)\le
k\}\in \Cal F_k$ halmaznak.) Ez\'ert a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek tulajdons\'agai alapj\'an
$E(\tilde\eta_k(\oo)|\Cal F_n)=
E(\eta_k(\oo)I_{\{\oo\:\tau(\oo)\ge k+1\}}|\Cal F_n)=
E(I_{\{\oo\:\tau(\oo)\ge k+1\}}E(\eta_k(\oo)|\Cal F_k))|\Cal F_n)$.
Innen $E(\tilde\eta_k(\oo)|\Cal F_n)=0$, ha ($\xi_k(\oo),\Cal F_k)$
marting\'al, azaz $E(\eta_k(\oo)|\Cal F_k)=0$. Hasonl\'oan,
$E(\tilde\eta_k(\oo)|\Cal F_n)\ge0$, ha ($\xi_k(\oo),\Cal F_k)$
szemimarting\'al.

A (D3) \'es (D$3'$) formul\'ak els\H{o} azonoss\'ag\'ab\'ol
megkapjuk a (D4) \'es (D$4'$) k\'epletek els\H{o} \'all\'{\i}t\'as\'at,
ha v\'arhat\'o \'ert\'eket vesz\"unk mind a k\'et oldalon.

A (D3) azonoss\'ag m\'asodik rel\'aci\'oj\'anak a bizony\'{\i}t\'asa
hasonl\'o elven alapul. El\'eg bel\'atni azt, hogy
$E(\xi_N(\oo)I_{\{\oo\:\tau(\oo)=k\}}|\Cal F_\tau)=
\xi_k(\oo)I_{\{\oo\:\tau(\oo)=k\}}$ tetsz\H{o}leges $n\le k\le N$
sz\'amra, mert ezt az azonoss\'agot \"osszegezve minden $n\le k\le N$
sz\'amra megkapjuk a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast. Viszont
tekintve egy tetsz\H{o}leges $B\in \Cal F_{\tau(\oo)}$ halmazt
$B\cap\{\oo\:\tau(\oo)=k\}\in \Cal F_k$, ez\'ert felhaszn\'alva a
tekintett sorozat marting\'al tulajdons\'ag\'at \'es azt a t\'enyt,
hogy az $\xi_N(\oo)I_{\{\oo\:\tau(\oo)=k\}}$ f\"uggv\'eny null\'aval
egyenl\H{o} az $\{\oo\:\tau(\oo)\neq k\}$ halmazon, kapjuk a
k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot: Ha $B\in\Cal F_{\tau(\oo)}$, akkor
$$
\align
&\int_B\xi_N(\oo)I_{\{\oo\:\tau(\oo)=k\}}P(\,d\oo)=
\int_{B\cap\{\oo\:\tau(\oo)=k\}} \xi_N(\oo)dP(\,d\oo)\\
&\qquad =\int_{B\cap\{\oo\:\tau(\oo)=k\}} \xi_k(\oo)dP(\,d\oo)
=\int_B\xi_k(\oo)I_{\{\oo\:\tau(\oo)=k\}}P(\,d\oo).
\endalign
$$
Val\'oj\'aban ezt az \'all\'{\i}t\'ast kellett bizony\'{\i}tanunk.

A (D$3'$) egyenl\H{o}tlens\'eg m\'asodik rel\'aci\'oj\'anak a
bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o. Mind\"ossze azt kell \'eszrevenni,
hogy a szemimarting\'al tulajdons\'ag az
$E(\xi_N(\oo)I_{\{\oo\:\tau(\oo)=k\}}|\Cal F_\tau)\ge
\xi_k(\oo)I_{\{\oo\:\tau(\oo)=k\}}$ egyenl\H{o}tlens\'eg
bizony\'{\i}t\'as\'at teszi lehet\H{o}v\'e tetsz\H{o}leges
$n\le k\le N$ sz\'amra. V\'eg\"ul a (D4) \'es (D$4'$) m\'eg nem
bizony\'{\i}tott r\'esze k\"ovetkezik a (D3) \'es (D$3'$)
rel\'aci\'ok m\'asodik fel\'enek az integr\'al\'as\'ab\'ol.
\medskip\noindent
{\it Nem k\"otelez\H{o} feladat:}\/ Mutassuk meg az el\H{o}z\H{o}
t\'etel (D$3'$) \'all\'{\i}t\'as\'anak k\"ovetkez\H{o}
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'at. Ha $(\xi_k(\oo),\Cal F_k)$,
$k=1,2,\dots$, szemimarting\'al, $\tau_1(\oo)$ \'es $\tau_2(\oo)$ 
k\'et olyan meg\'all\'asi szab\'aly az itt szerepl\H{o} 
$\sigma$-algebr\'ak rendszer\'ere n\'ezve, amelyekre 
$P(n\le\tau_1(\oo)\le\tau_2(\oo)\le N)=1$, akkor 
$\xi_{\tau_1}(\oo)\le E(\xi_{\tau_2(\oo)}(\oo)|\Cal
F_{\tau_1})$ 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
\medskip
A fenti t\'etelben felt\'etelezt\"uk, hogy a $\tau$ meg\'all\'asi
szab\'aly 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'eges. Ezt a felt\'etelt
lehet gyeng\'{\i}teni, de teljesen elhagyni nem lehet, mint a
k\"ovetkez\H{o} h\'{\i}res p\'elda mutatja. Tegy\"uk fel, hogy a
k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atszhatjuk. Feldobnak egy
p\'enzdarabot, amely $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a
fej, $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra.
Feltehet\"unk tetsz\H{o}leges t\'etet, \'es fej dob\'as eset\'en
t\'et\"unk megdupl\'azodik, \'{\i}r\'as dob\'as eset\'en pedig
elv\'esz. Tegy\"uk fel, hogy c\'elunk a k\"ovetkez\H{o}: Biztosan
akarunk nyerni 1 forintot. Ennek \'erdek\'eben feltesz\"unk 1 forintot,
\'es ha nyert\"unk hazamegy\"unk. Ha nem, dupl\'azunk, 2 forintot
tesz\"unk fel, ha nyer\"unk hazamegy\"unk, ha nem dupl\'azunk \'es
4 forintot tesz\"unk fel. Ha nyer\"unk hazamegy\"unk, ha nem
dupl\'azunk \'es 8 forintot tesz\"unk fel, \'es \'{\i}gy tov\'abb.
El\H{o}bb vagy ut\'obb 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megjelenik a
fej dob\'as, \'es ilyen m\'odon ebben az igazs\'agos j\'at\'ekban 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megnyerj\"uk a k\'{\i}v\'ant 1
forintot. Ezek szerint m\'egis lehet egy igazs\'agos j\'at\'ekban
biztosan nyerni? Besz\'elj\"uk meg ezt a p\'eld\'at r\'eszletesebben,
fogalmazzuk meg a hozz\'atartoz\'o matematikai modellt.

\medskip\noindent
{\it Egy \'erdekes matematikai modell.}\/ Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$,
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre
$P(\xi_n=2^{n-1})=P(\xi_n=-2^{n-1})=\frac12$, $n=1,2,\dots$, \'es
legyen $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$. Ekkor $S_n$, $n=1,2,\dots$,
marting\'al. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} meg\'all\'asi
szab\'alyt. $\tau(\oo)=\min\{n\: n\ge 1,\, S_n\ge1\}$, \'es
vezess\"uk be a $\tau_N(\oo)=\min(\tau(\oo),N)$ meg\'all\'asi
szab\'alyokat is minden $N=1,2,\dots$ sz\'amra. Ekkor
$P(\tau(\oo)=k)=2^{-k}$, $k=1,2,\dots$, (a $\tau(\oo)=k$ esem\'eny
akkor k\"ovetkezik be, ha a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, v\'altoz\'ok
k\"oz\"ul a $k$-ik az els\H{o} pozit\'{\i}v \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o), ez\'ert 
$P(\tau(\oo)<\infty)=1$, \'es $P(S_\tau=1)=1$. Ez felel meg
az el\H{o}bbi j\'at\'eknak, \'es annak
az \'all\'{\i}t\'asnak, hogy 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel 1
forintot nyer\"unk. Tekints\"uk a $\tau_N$ meg\'all\'asi
szab\'alyokat, \'es a hozz\'atartoz\'o nyerem\'enyeket. Ekkor
$P(\tau_N(\oo)=k)=2^{-k}$ minden $1\le k<N$ sz\'amra,
$P(\tau_N=N)=2\cdot 2^{-N}$, $P(S_{\tau_N(\oo}(\oo)=1)=1-2^{-N}$,
$P(S_{\tau_N(\oo}(\oo)=-(1+2+\cdots2^{N-1})=
P(S_{\tau_N(\oo}(\oo)=-(2^{N}-1))=2^{-N}$. Ez azt jelenti, hogy
$ES_{\tau_N(\oo)}(\oo)=0$, ahogy a fenti t\'etel is \'all\'{\i}tja,
de $ES_{\tau(\oo)}(\oo)=1$. Igaz ugyan, hogy
$\limm_{n\to\infty}S_{\tau_N(\oo)}(\oo)=S_{\tau(\oo)}(\oo)$ 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ez\'ert
$E\(\limm_{n\to\infty}S_{\tau_N(\oo)}(\oo)\)=E(S_{\tau(\oo)}(\oo))$.
De nem lehet felcser\'elni a limesz \'es v\'arhat\'o \'ert\'ek
k\'epz\'es sorrendj\'et a fenti azonoss\'ag bal
oldal\'an. Megjegyzem, hogy a fenti p\'elda azt mutatja, hogy
val\'oban lehet egy ilyen j\'at\'ekban 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
nyerni, de ehhez v\'egtelen sok t\H{o}k\'evel kell rendelkezn\"unk,
ami lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a j\'at\'ekot ne kelljen id\H{o}
el\H{o}tt befejezn\"unk.
\medskip

Megmutatom, hogy a fent megfogalmazott t\'etelnek v\'eletlen\"ul
meg\'all\'{\i}tott mar\-tin\-g\'a\-lok \'es
szemi\-mar\-tin\-g\'a\-lok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l fontos
k\"ovetkezm\'enyei vannak. T\"obbek k\"oz\"ott ebb\H{o}l
k\"ovetkezik a f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegeir\H{o}l sz\'ol\'o egyik fontos eredm\'eny, a
Kolmogorov-egyenl\H{o}tlens\'eg. A  marting\'alelm\'eleti
t\'argyal\'as egyben megvil\'ag\'{\i}tja ennek
az eredm\'enynek a m\'elyebb h\'atter\'et.

El\H{o}sz\"or bebizony\'{\i}tok egy becsl\'est marting\'alok \'es
szupermarting\'alok maximum\'ar\'ol.
\medskip\noindent
{\bf Becsl\'es szemimarting\'alok maximum\'ar\'ol.} {\it Legyen
$(\xi_n,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, szemi\-mar\-tin\-g\'al.
Ekkor
$$
P\(\max_{1\le k\le N}\xi_k(\oo)\ge\lambda\)\le\frac1\lambda
\int_{\{\oo\:\max\limits_{1\le k\le N} \xi_k(\oo)\ge \lambda\}}
\xi_N(\oo) P(\,d\oo)\le \frac{E|\xi_N(\oo)|}\lambda \tag D5
$$
minden $N=1,2,\dots$ eg\'esz \'es $\lambda>0$ val\'os sz\'amra.}
\medskip\noindent
{\it A becsl\'es bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vezess\"uk be a
$\bar\tau(\oo)=\min( j\:\xi_j(\oo)\ge\lambda)$ \'es
$\tau(\oo)=\min(\bar\tau(\oo),N)$ meg\-\'al\-l\'a\-si
szab\'alyokat. Alkalmazzuk a (D$3'$) rel\'aci\'o m\'asodik
fel\'et a v\'eletlen\"ul meg\-\'al\-l\'{\i}\-tott
(szemi)marting\'alok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
becs\-l\'e\-s\'e\-r\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelnek $n=1$ \'es $N$
param\'eterrel. Azt kapjuk, hogy
$$
\align
&\lambda P\(\max_{1\le k\le N}\xi_k(\oo)\ge\lambda\)
\le\int_{\{\oo\:\max\limits_{1\le k\le N} \xi_k(\oo)\ge \lambda\}}
\xi_{\tau(\oo)}(\oo) P(\,d\oo)\\
&\qquad \le\int_{\{\oo\:\max\limits_{1\le k\le N} \xi_k(\oo)\ge
\lambda\}} E(\xi_N(\oo)|\Cal F_{\tau(\oo)}) P(\,d\oo)
=\int_{\{\oo\:\max\limits_{1\le k\le N} \xi_k(\oo)\ge
\lambda\}} \xi_N(\oo) P(\,d\oo),
\endalign
$$
mert $\{\oo\:\max\limits_{1\le k\le N} \xi_k(\oo)\ge\lambda\}
\in \Cal F_\tau$. \'Igy megkaptuk a
(D5) formula els\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eg\'et. A (D5)
formula m\'asodik egyenl\H{o}tlens\'ege ny\'{\i}lv\'anval\'o.
\medskip
A Kolmogorov-egyenl\H{o}tlens\'eg egyszer\H{u}en bizony\'{\i}that\'o
az el\H{o}z\H{o} becsl\'es \'es a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} lemma
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen adva egy $\Cal F\subset\Cal A$
$\sigma$-algebra \'es egy az $E\xi^2<\infty$ felt\'etelt
teljes\'{\i}t\H{o} $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ekkor teljes\"ul a
$$
E(\xi^2|\Cal F)\ge \(E\xi|\Cal F)\)^2\quad \text {1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.}
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg. Ebb\H{o}l az egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy amennyiben $(\xi_n,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$,
marting\'al, \'es $E\xi_n^2<\infty$ minden $n=1,2,\dots$
sz\'amra, akkor $(\xi^2_n,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$,
szemimarting\'al.}
\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.} Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$E(\xi^2|\Cal F)-(E\xi|\Cal F))^2=E(\xi-E(\xi|\Cal F))^2|\Cal F)$,
ahonnan $E(\xi^2|\Cal F)-(E\xi|\Cal F))^2\ge0$, teh\'at a lemma
egyenl\H{o}tlens\'ege igaz. Az el\H{o}z\H{o} azonoss\'ag
k\"ovetkezik az $E((\xi-E(\xi|\Cal F))^2|\Cal F)=E(\xi^2|\Cal F)
-2E(\xi E(\xi|\Cal F)|\Cal F)+(E(\xi|\Cal F))^2=
E(\xi^2|\Cal F)-(E(\xi|\Cal F))^2$, mert $E(\xi E(\xi|\Cal F)|\Cal
F)=(E(\xi|\Cal F))^2$ sz\'amol\'asb\'ol.

Ez\'ert, ha $(\xi_n,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, marting\'al,
$E\xi_n^2<\infty$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, akkor
$E(\xi_{n+1}^2|\Cal F_n)\ge (E(\xi_{n+1}|\Cal F_n))^2=\xi_n^2(\oo)$,
$n=1,2,\dots$, \'es ezt kellett bizony\'{\i}tanunk.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}z\H{o} lemma bizony\'{\i}t\'as\'aban
haszn\'alt azonoss\'ag h\'atter\'eben az a j\'ol ismert t\'eny \'all,
hogy az $E(\xi|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o ortogon\'alis vet\"ulete az
$\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara, ez\'ert alkalmazhatjuk a Pythogor\'asz
t\'etelt a megfelel\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra.
Az \'{\i}gy kapott az $\xi(\oo)^2=(\xi(\oo)-E(\xi(\oo)|\Cal F)^2
+E(\xi(\oo)|\Cal F)^2$ azonoss\'ag  k\'et oldal\'anak az
$\Cal F$ $\sigma$-algebra szerinti felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et v\'eve meg\-kap\-juk a lemma bizony\'{\i}t\'as\'aban
fel\'{\i}rt azonoss\'agot.

A fenti eredm\'enyek egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye a
Kolmogorov-egyenl\H{o}tlens\'eg.
\medskip\noindent
{\bf Kolmogorov-egyenl\H{o}tlens\'eg.} {\it Legyenek
$\xi_1,\dots,\xi_N$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, amelyekre $E\xi_n=0$, $\sigma_n^2=E\xi_n^2<\infty$
minden $1\le n\le N$ sz\'amra. Vezess\"uk be az
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $1\le n\le N$, r\'eszlet\"osszegeket.
\'Erv\'enyes a
$$
P\(\max_{1\le n\le N}|S_n|>x\)\le \frac {\Var S_N}{x^2}
=\frac{\summ_{n=1}^N\sigma_n^2}{x^2}\quad \text{minden } x>0
\text{ sz\'amra}
$$
rel\'aci\'o, amelyet Kolmogorov-egyenl\H{o}tlens\'egnek h\'{\i}vnak.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} Az $S_n(\oo)$, $n=1,\dots,N$, sorozat
marting\'alt, ez\'ert az el\H{o}z\H{o} lemma alapj\'an az
$S_n^2(\oo)$, $n=1,\dots,N$, sorozat szemimarting\'alt alkot.
Alkalmazva erre a szemi\-mar\-tin\-g\'a\-lok maximum\'ar\'ol
sz\'ol\'o becsl\'est kapjuk, hogy
$$
P\(\max_{1\le n\le N}|S_n|>x\)\le\frac{ES^2_N}{x^2}
=\frac{\Var S_n}{x^2}=\frac{\summ_{n=1}^N\sigma_n^2}{x^2},
$$
amint \'all\'{\i}tottuk.
\medskip\noindent
{\it 1.~megjegyz\'es.} \'Erdemes megjegyezni, hogy a
Kolmogorov-egyenl\H{o}tlens\'eg ugyanazt a becsl\'est adja a
$P\(\max\limits_{1\le n\le N}|S_n|>x\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre,
mint amit a Cse\-bi\-sev-egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg ad a
$P\(|S_N|>x\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre. Ez az eredm\'eny olyan
t\'enyt fejez ki, hogy f\"uggetlen, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeinek a
maximuma nem sokkal nagyobb, mint az utols\'o r\'eszlet\"osszeg.
T\"obb ilyen jelleg\H{u} eredm\'eny van a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban, (l\'asd p\'eld\'aul
a k\"ovetkez\H{o} 2. megjegyz\'est). A Kolmogorov-egyenl\H{o}tlens\'eg
hasznos p\'eld\'aul a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek
a bizony\'{\i}t\'as\'aban. Ha a nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'et a
lehet\H{o} leg\'altal\'anosabb felt\'etelek mellett akarjuk
bizony\'{\i}tani, akkor min\'el enyh\'ebb momentum felt\'etelek
mellett kell j\'o becsl\'est adni f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegeinek a maximum\'ara. Ilyenkor a
Kol\-mo\-go\-rov-egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg tesz j\'o szolg\'alatot.
\medskip
A Kolmogorov-egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'as\'aban
szerepl\H{o} lemm\'anak \'erv\'enyes a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
{\bf Lemma marting\'alok konvex f\"uggv\'enyeir\H{o}l.}\/ {\it Legyen
adva egy $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'es egy
$\Phi(x)$, $-\infty<x<\infty$, konvex f\"uggv\'eny, amelyekre
teljes\"ulnek az $E|\xi(\oo)|<\infty$ \'es
$E|\Phi(\xi(\oo)|<\infty$ felt\'etelek egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es egy $\Cal F\subset \Cal A$
$\sigma$-algebra. Ekkor teljes\"ul az
$$
E(\Phi(\xi(\oo)|\Cal F))\ge \Phi\(E(\xi(\oo)|\Cal F)\)\quad \text {1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel}
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg. Ez\'ert, ha $(\xi_n,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$,
marting\'al, $\Phi(x)$ konvex f\"uggv\'eny, \'es
$E|\Phi(\xi_n)|<\infty$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, akkor
$(\Phi(\xi_n),\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, szemi\-mar\-tin\-g\'al.}
\medskip\noindent
{\it A lemma indokl\'asa.}\/ A Jensen egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
tudjuk, hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
\'erv\'enyes az
$$
E\Phi(\xi(\oo))=\int \Phi(x)F(\,dx)\ge \Phi\(\int x F(\,dx)\)=
\Phi\(E(\xi(\oo))\)
$$
egyen\H{o}tlens\'eg, ahol $F(x)$ jel\"oli a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
Tudv\'an, hogy l\'etezik a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(B,\oo)$, felt\'eteles eloszl\'asa $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'ara n\'ezve, ahol $\oo\in\Omega$, \'es $B$ a
sz\'amegyenes Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaza, \'es azt, hogy
hogyan lehet a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket a felt\'eteles
eloszl\'as se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel kisz\'am\'{\i}tani, kapjuk,
ism\'et a Jensen egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
$$
\align
E\Phi(\xi(\oo)|\Cal F)=\int \Phi(x)F(\,dx,\oo)&\ge \Phi\(\int x
F(\,dx,\oo)\) =\Phi\(E(\xi(\oo)|\Cal F\)\\
& \qquad \text{1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,}
\endalign
$$
ahol $F(\cdot,\oo)$ jel\"oli a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o felt\'eteles eloszl\'as\'at felt\'eve a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at. Ennek az egyenl\H{o}tlens\'egnek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel bel\'athat\'o, hogy $(\Phi(\xi_n),\Cal
F_n)$ $n=1,2,\dots$, szemimarting\'al az adott felt\'etelek mellett.
\medskip\noindent
{\it Feladat.} L\'assuk be elemi m\'odszerekkel (a felt\'eteles
eloszl\'as l\'etez\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o eredm\'eny ismerete
n\'elk\"ul), hogy $|E(\xi(\oo)|\Cal F)|\le E(|\xi(\oo)|\,|\Cal F)$
\'es $\(E(\xi(\oo)|\Cal F)\)^+\le E(\xi(\oo)^+|\Cal F)$, ahol
$x^+=\max(x,0)$. Mutassuk meg, hogy ha $(\xi_n(\oo),\Cal F_n)$
marting\'al, akkor $(|\xi_n(\oo)|,\Cal F_n)$ \'es $(\xi_n^+(\oo),
\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, szemimarting\'al.
\medskip
Felhaszn\'alva a marting\'alok konvex f\"uggv\'enyeir\H{o}l
sz\'ol\'o lemm\'at az $\Phi(x)=|x|^\alpha$, $1\le \alpha<\infty$
konvex f\"uggv\'enyekkel valamint a (D5) formula els\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eg\'et be lehet l\'atni az al\'abbi eredm\'enyt,
amelynek bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom. Mag\'at az eredm\'enyt is
ink\'abb az \'erdekess\'eg kedv\'e\'ert eml\'{\i}tem.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel marting\'alok maximum\'anak a momentumair\'ol.} {\it
Legyen $(\xi_n,\Cal F_n)$, $1\le n\le N$  marting\'al. Ekkor
$$
E\(\max_{1\le n\le N}|\xi_n|\)^\alpha\le
\(\frac\alpha{\alpha-1}\)^\alpha E|\xi_N|^\alpha \quad\text{ha
}\alpha>1,
$$
\'es
$$
E\(\max_{1\le n\le N}|\xi_n|\)\le \frac e{e-1}+\frac
e{e-1}E|\xi_N|\log^+|\xi_N|
$$
az $\alpha=1$ esetben, ahol $\log^+x=\max(\log x,0)$.}
\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es.} Az el\H{o}z\H{o} eredm\'eny azt jelenti,
hogy egy marting\'alnak (p\'eld\'aul nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegeinek) az abszolut \'er\-t\'e\-k\'et, akkor az
\'{\i}gy kapott sorozat maximum\'anak a momentumai csak konstans
sz\'amszor nagyobbak, mint az utols\'o tag maximuma. Ez az
egyenl\H{o}tlens\'eg is olyan t\'enyt fejez ki, hogy egy
marting\'al maximuma nem sokkal nagyobb, mint az utols\'o tagja.
\'Erdemes megjegyezni, hogy az $\alpha=1$ eset kiss\'e ``kil\'og a
sorb\'ol''. Itt a fels\H{o} becsl\'es kiss\'e gyeng\'ebb, mert az
egy $E|\xi_N|\log^+|\xi_N|$ alak\'u tagot is tartalmaz, azaz egy
logaritmikus faktor is megjelenik. Megmutatt\'ak, hogy ez a tag
nem hagyhat\'o el a becsl\'esb\H{o}l.

\medskip\noindent
{\it Konvergencia t\'etelek marting\'alokra.}
\medskip\noindent
Fontos eredm\'enyek \'erv\'enyesek marting\'alok 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi konvergenci\'aj\'ar\'ol. Itt csak a
legfontosabb eredm\'enyt ismertetem. Ezenk\'{\i}v\"ul megmutatom
ennek az eredm\'enynek egy \'erdekes alkalmaz\'as\'at, amely
lehet\H{o}v\'e teszi bizonyos esetekben a Radon--Nikodym
deriv\'alt t\"obb\'e-kev\'esb\'e explicit kisz\'amol\'as\'at.
Ezeknek az eredm\'enyeknek a bizony\'{\i}t\'as\'aban is
azt haszn\'aljuk ki, hogy a marting\'alok az igazs\'agos, a
szemimarting\'alok pedig az el\H{o}ny\"os j\'at\'ekok modelljei.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel marting\'alok 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergenci\'aj\'ar\'ol.} {\it Legyen $(\xi_n(\oo),\Cal F_n)$,
$n=1,2,\dots$, marting\'al egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor az $E|\xi_n(\oo)|$,
$n=1,2,\dots$, sorozat monoton n\"ovekszik. Ha ez a sorozat
korl\'atos, azaz l\'etezik olyan $K>0$ sz\'am, amely\-re
$E|\xi_n(\oo)|\le K$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, akkor l\'etezik
1~val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a
$\xi_\infty(\oo)=\limm_{n\to\infty}\xi_n(\oo)$ hat\'ar\'ert\'ek.
Ezenk\'{\i}v\"ul \'erv\'enyes az $E|\xi_\infty(\oo)|\le K$
egyenl\H{o}tlens\'eg is ugyanazzal a $K>0$ konstanssal.}
\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.} Abb\'ol, hogy
$(\xi_n(\oo),\Cal F_n)$ marting\'al k\"ovetkezik,
hogy az $(|\xi_n(\oo)|,\Cal F_n)$ sorozat $n=1,2,\dots$,
szemimarting\'al. Ez\'ert az $E|\xi_n(\oo)|$ sorozat monoton
n\"ovekszik, amint azt a t\'etelben \'all\'{\i}tjuk. Az, hogy a
$\xi_n(\oo)$, $n=1,2,\dots$, sorozat 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
konverg\'al ekvivalens azzal a t\'ennyel, hogy nulla annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $\xi_n(\oo)$, $n=1,2,\dots$,
sorozat limesz szuperiora szigor\'uan nagyobb, mint annak limesz
inferiora. Ez\'ert annak \'erdek\'eben, hogy megmutassuk azt, hogy
a $\xi_n(\oo)$ sorozat 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al,
el\'eg megmutatni, hogy
$$
P(\liminff_{n\to\infty}\xi_n(\oo)\le r_1<r_2\le
\limsupp_{n\to\infty}\xi_n(\oo))=0
$$
minden $(r_1,r_2)$, $r_1<r_2$, racion\'alis sz\'amp\'arra. Ezt meg
tudjuk mutatni \'ugy, hogy defini\'aljuk term\'eszetes m\'odon azt,
hogy az $(\xi_n(\oo),n)$, $n=1,2,\dots$, pontokon
ke\-resz\-t\"ul\-men\H{o} (v\'eletlen) t\"o\-r\"ott\-vo\-nal
f\"uggv\'eny h\'anyszor metszi \'at az $[r_1,r_2]\times [1,\infty]$
s\'avot, \'es bebizony\'{\i}tjuk, hogy ez a metsz\'essz\'am 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'eges.

R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamilyen $1\le N<\infty$ sz\'amot \'es az
$1\le n\le N$ id\H{o}intervallumban t\"ort\'ent \'atmetsz\'esek
sz\'am\'anak definici\'oja \'erdek\'eben vezess\"uk be a
k\"ovetkez\H{o} $\zeta_k(\oo)$, $k=1,2,\dots$ (v\'eletlen)
id\H{o}pontokat:

$\zeta_1(\oo)=\min\{k: 1\le k\le N, \xi_k(\oo)\le r_1\}$, ha
l\'etezik ilyen $k$ index, $\zeta_2(\oo)=\min\{k: \zeta_1(\oo)\le
k\le N, \xi_k(\oo)\ge r_2\}$, ha l\'etezik ilyen $k$ index. A
tov\'abbi $\zeta_j(\oo)$, $j=3,4,\dots$ id\H{o}pontokat hasonl\'oan
defini\'aljuk
(am\'{\i}g ez lehets\'eges). Ha $j$ p\'aros sz\'am, akkor legyen
$\zeta_{j+1}(\oo)=\min\{k: \zeta_j(\omega)\le k\le N, \xi_k(\oo)\le
r_1\}$, ha l\'etezik ilyen $k$ index. Ha $j$ p\'aratlan sz\'am,
legyen $\zeta_{j+1}(\oo)=\min\{k: \zeta_j(\omega)\le k\le N,
\xi_k(\oo)\ge r_2\}$. Legyen $\beta_N(\oo)$ a legnagyobb
olyan $j$ index, amelyet ily m\'odon defini\'alni tudtunk, \'es
ezut\'an defini\'aljuk a $\zeta_{\beta_N(\oo)+1}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot (v\'eletlen index-szel)
a $\zeta_{\beta_N(\oo)+1}=N$ k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Vegy\"uk \'eszre, hogy $\{\oo\:\zeta_j(\oo)=n\}\in\Cal F_n$
tetsz\H{o}leges $j=1,2,\dots$, $1\le n\le N$ sz\'amokra. Itt
$\zeta_j(\oo)$-t tekinthetj\"uk olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak, amely nincs \'ertelmezve az eg\'esz
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, vagy
azt mondjuk, hogy $\zeta_j(\oo)=N+1$ azokon az $\oo\in\Omega$
helyeken, ahol eddig nem defini\'altuk \H{o}t. Be lehet
l\'atni, hogy a $\beta_N(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
becsl\'es v\'arhat\'o \'ert\'eke teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eget.
\medskip\noindent
{\bf Becsl\'es annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l, hogy egy
marting\'al h\'anyszor metsz \'at egy intervallumot.} {\it Legyen
$(\xi_n(\oo),\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, marting\'al egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $N$, $N\ge1$ eg\'esz, \'es k\'et $r_1$, $r_2$,
$r_1<r_2$, val\'os sz\'amot, \'es tekints\"uk az \'altaluk az
el\H{o}z\H{o} bekezd\'esben defini\'alt $\beta_N(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ez teljes\'{\i}ti az
$$
\frac{E\beta_N(\oo)-1}2(r_2-r_1)\le E(\xi_N(\oo)-r_1)^+
\le E|\xi_N(\oo)|+|r_1|. \tag D6
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget, ahol $x^+=\max(x,0)$.}
\medskip\noindent
{\it A becsl\'es bizony\'{\i}t\'asa.}\/  Vezess\"uk be a
$\bar\xi_n(\oo)=(\xi_n(\oo)-r_1)^+$ \'es
$\eta_n(\oo)=\bar\xi_{n+1}(\oo)-\bar\xi_n(\oo)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor
$(\bar\xi_n(\oo),\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, sze\-mi\-mar\-tin\-g\'al,
\'es $E(\eta_n(\oo)|\Cal F_n)\ge0$ 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra. Te\-kint\-s\"uk a
$[\zeta_{2j-1}(\oo),\zeta_{2j})(\oo)-1]$, $1\le j\le
\frac{\beta_N(\oo)}2$ (v\'eletlen, \'es v\'eletlen
sz\'am\'u) intervallumok rendszer\'et, valamint az
$A(\oo)=\{1,\dots,N-1\}\setminus\(\bigcupp_{j=1}^{[\frac{\beta_N(\oo)+1}2]}
[\zeta_{2j-1}(\oo),\zeta_{2j}(\oo)-1]\)$ v\'e\-let\-len halmazt \'es a
$Z_n(\oo)=\summ_{j=1}^{[\frac{\beta_N(\oo)+1}2]}
(\bar\xi_{\zeta_{2j}(\oo)}(\oo)-\bar\xi_{\zeta_{2j-1}(\oo)}(\oo))$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, ahol $[x]$
egy sz\'am eg\'esz r\'esz\'et jel\"oli. Ekkor
$(r_2-r_1)\frac{\beta_N(\oo)-1}2\le Z_N(\oo)$ 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, mert
$(\bar\xi_{\zeta_{2j}(\oo)}(\oo)-\bar\xi_{\zeta_{2j-1}(\oo)}(\oo))
\ge(r_2-r_1)$, ha $2j\le\beta_n(\oo)$, \'es a $2j=\beta_N(\oo)+1$
esetben $(\bar\xi_{\zeta_{2j}(\oo)}(\oo)
-\bar\xi_{\zeta_{2j-1}(\oo)}(\oo))\ge0$. A most bebizony\'{\i}tott
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
(r_2-r_1)\frac{E\beta_N(\oo)-1}2\le EZ_N(\oo).
$$
M\'asr\'eszt azt \'all\'{\i}tom, hogy
$$
EZ_N(\oo)\le E(\xi_N(\oo)-r_1)^+-E(\xi_1(\oo)-r_1)^+
\le E(\xi_N(\oo)-r_1)^+.
$$
A fenti k\'et egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik a (D6)
egyenl\H{o}tlens\'eg els\H{o} fele. Az utolj\'ara fel\'{\i}rt 
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg pedig az\'ert igaz, mert 
$E(\xi_N(\oo)-r_1)^+-E(\xi_1(\oo)-r_1)^+-EZ_N(\oo)
=\summ_{n=1}^{N-1} E\eta_nI_{\{\oo\:n\in A(\oo)\}}$, \'es 
mivel $\{\oo\:n\in A(\oo)\}\in \Cal F_n$, ez\'ert 
$E\eta_nI_{\{\oo\:n\in A(\oo)\}}\ge0$ minden $1\le n\le N-1$ 
sz\'amra.

A (D6) formula m\'asodik egyenl\H{o}tlens\'ege ny\'{\i}lv\'anval\'o.
\medskip
A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at egyszer\H{u}en befejezhetj\"uk az
el\H{o}z\H{o} becsl\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Mivel  $\beta_N(\oo)$,
$N=1,2,\dots$, monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'enysorozat,
$\beta_N(\oo)\ge0$ minden $N=1,2,\dots$ sz\'amra \'es
$\oo\in\Omega$ pontban, alkalmazhatjuk a Beppo--Levy t\'etelt
monoton f\"uggv\'eny sorozat hat\'ar\'ert\'ek\'enek
integr\'alj\'ar\'ol. A Beppo--Levy t\'etelb\H{o}l \'es a (D6)
becs\-l\'es\-b\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$E\(\limm_{N\to\infty}\beta_N(\oo)\)=
\limm_{N\to\infty}E\beta_N(\oo)<\infty$, ahonnan kapjuk, hogy
$P\(\limm_{N\to\infty}\beta_N(\oo)<\infty\)=1$. Innen k\"ovetkezik
a fent elmondottak alapj\'an, hogy a $\xi_n(\oo)$ sorozat 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al egy $\xi_\infty(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. A Fatou lemm\'ab\'ol
k\"ovetkezik,  hogy  $E|\xi_\infty(\oo)|\le \limm_{n\to\infty}
E|\xi_n(\oo)|\le K$. A T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at befejezt\"uk.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} Szeretn\'enk bizonyos esetekben tudni, hogy a
$\xi_n(\oo)$ marting\'al nem csak 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
konverg\'al a $\xi_\infty(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, hanem $L_1$ norm\'aban is, azaz
$\limm_{n\to\infty}E|\xi_n(\oo)-\xi_\infty(\oo)|=0$. Ez a
rel\'aci\'o nem felt\'etlen\"ul \'erv\'enyes a marting\'alok 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o
t\'etel felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en. Ellenp\'eld\'at
kaphatunk p\'eld\'aul azon p\'elda m\'odos\'{\i}t\'as\'aval,
amelyben megmutattuk, hogyan lehet igazs\'agos j\'at\'ekban 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nyerni.

Legyenek $X_n(\oo)$, $n=1,2\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$P(X_n(\oo)=2^{n-1})\!=P(X_n(\oo)=-2^{n-1})=\frac12$. Defini\'aljuk
az $S_n(\oo)=\summ_{j=1}^nX_j(\oo)$ r\'eszlet\"osszegeket \'es a
$\tau(\oo)=\min\{k\: S_k(\oo)\ge1\}$, $\tau_n(\oo)=\min(n,\tau(\oo))$,
$n=1,2,\dots$, meg\'all\'asi szab\'alyokat. Vezess\"uk be az
$\xi_n(\oo)=S_{\tau_n(\oo)}$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat. Ekkor $\xi_n(\oo)$, $n=1,2,\dots$, marting\'al,
\'es $E|\xi_n(\oo)|=2-2^{-n}$, $n=1,2,\dots$. Ez azt jelenti, hogy
erre a marting\'alra is alkalmazhat\'o a marting\'alok 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o
t\'etel. K\"ozvetlen\"ul is l\'athat\'o, hogy
$\limm_{n\to\infty}\xi_n(\oo)=1$, azaz a marting\'al sorozat 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al 1-hez, m\'{\i}g
$E\xi_n(\oo)=0$. Teh\'at ez a marting\'al 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al 1-hez,
\'es $L_1$ norm\'aban nem konverg\'al oda.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny a marting\'alok 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel
egyik \'erdekes k\"ovetkezm\'enye, amely seg\'{\i}thet a
Radon--Nikodym deriv\'alt kisz\'am\'{\i}t\'as\'aban bizonyos
esetekben.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva egy  $\xi(\oo)$,
$E|\xi(\oo)|<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'es
$\Cal F_1\subset \Cal F_2\subset\dots\Cal A$ $\sigma$-algebr\'ak
n\"ovekv\H{o} sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Jel\"olje $\Cal F_\infty$ a
$\Cal F_n$, $n=1,2,\dots$ $\sigma$-algebr\'ak \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'at. A
$$
\lim_{n\to\infty}E(\xi(\oo)|\Cal F_n)=E(\xi(\oo)|\Cal F_\infty)
$$
konvergencia teljes\"ul 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel \'es $L_1$
norm\'aban is.}
\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A $(\xi_n(\oo),\Cal F_n)$,
$\xi_n(\oo)=E(\xi(\oo)|\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, sorozat marting\'al,
\'es $E|\xi_n(\oo)|\le E|\xi(\oo)|$, ez\'ert alkalmazhat\'o
r\'a a marting\'alok 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-r\'ol sz\'ol\'o t\'etel. Innen
k\"ovetkezik, hogy l\'etezik a
$\xi_{\infty}(\oo)=\limm_{n\to\infty}\xi_n(\oo)$ hat\'ar\'ert\'ek 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel alkalmas $\xi_\infty(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval, de be kell
bizony\'{\i}tani, hogy $\xi_\infty(\oo)=E(\xi(\oo)|\Cal F_\infty)$. Ez
ekvivalens azzal az \'all\'{\i}t\'assal, hogy
$$
\int_B\xi_\infty(\oo)P(\,d\oo)=\int_B\xi(\oo)P(\,d\oo)
$$
minden $B\in \Cal F_n$ halmazra \'es $n=1,2,\dots$ sz\'amra.
Ez\'ert el\'eg bel\'atni, hogy
$$
\limm_{n\to\infty}E|E(\xi|\Cal F_n)-\xi_\infty(\oo)|\to0,
$$
azaz a $\xi_n(\oo)$, $n=1,2,\dots$, sorozat nem csak majdnem
minden\"utt, hanem $L_1$ norm\'aban is konverg\'al a
$\xi_\infty(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. Ehhez
az anal\'{\i}zis \'altal\'anos eredm\'enyei alapj\'an elegend\H{o}
bel\'atni, hogy a $\xi_n(\oo)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyenletesen
integr\'alhat\'oak, azaz minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$K=K(\e)$ sz\'am, hogy
$\int_{\{\oo\:|\xi_n(\oo)|\ge K\}}|\xi_n(\oo)|P(\,d\oo)\le\e$
minden $n=1,2,\dots$ indexre. Viszont
$$
\int_{\{\oo\: |\xi_n(\oo)|\ge K\}}|\xi_n(\oo)|P(\,d\oo)
\le\int_{\{\oo\: |\xi_n(\oo)|\ge K\}}|\xi(\oo)| P(\,d\oo),
$$
\'es minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $\delta=\delta(\e)>0$
sz\'am, hogy $\int_B |\xi(\oo)|P(\,d\oo)<\e$, ha $P(B)\le \delta$.
M\'asr\'eszt, $P(\oo\:|\xi_n(\oo)|\ge K)\le \frac{E|\xi_n(\oo)|}K
\le \frac{E|\xi(\oo)|}K\le \delta$, ha $K\ge K_0(\delta)$
alkalmas $K_0(\delta)>0$ sz\'amra. A fenti becsl\'esekb\H{o}l
k\"ovetkezik  a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny:}\/ {\it Legyen adva egy $(X,\Cal X)$
m\'erhet\H{o} t\'eren egy $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
\'es egy $\nu$, a $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekre n\'ezve
abszolut folytonos el\H{o}jeles m\'ert\'ek, amelynek mind a pozit\'{\i}v
mind a negat\'{\i}v r\'esze v\'eges. Tekints\"uk az $X$ t\'er olyan
egyre finomod\'o $\{A^{(n)}_1,\dots,A^{(n)}_{k_n}\}$ partici\'oit,
$n=1,2,\dots$, $A^{(n)}_j\in \Cal X$, $1\le j\le k_n$, amelyek
egyes\'{\i}t\'ese gener\'alja a $\Cal X$ $\sigma$-algebr\'at, \'es
defini\'aljuk az $f_n(x)=\frac{\nu(A^{(n)}_j)}{\mu(A^{(n)}_j)}$, ha
$x\in A^{(n)}_j$ f\"uggv\'enyeket. Az $f_n(\cdot)$ f\"uggv\'enyek
$\mu$ majdnem minden\"utt konverg\'alnak a $\frac{d\nu}{d\mu}(x)$
Radon--Nikodym deriv\'althoz.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Tekints\"uk az $(X,\Cal X,\mu)$ teret,
mint val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, vezess\"uk be rajta azokat
az $\Cal F_n$, $n=1,2,\dots$, $\sigma$-algebr\'akat, amelyek atomjai
az $\{A^{(n)}_1,\dots,A^{(n)}_{k_n}\}$ partici\'o elemei, \'es legyen
$f(x)=\frac{d\nu}{d\mu}(x)$, $x\in X$. Ekkor a K\"ovetkezm\'enyben
megfogalmazott felt\'etelek teljes\"ul\'es eset\'en $Ef(x)<\infty$,
$f_n(x)=E(f(x)|\Cal F_n)$, \'es az $\Cal F_n$ n\"ovekv\H{o}
$\sigma$-algebra sorozat gener\'alja a $\Cal X$ $\sigma$-algebr\'at.
Ez\'ert az el\H{o}z\H{o} t\'etel szerint $f_n(x)$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al
az $f(x)$ f\"uggv\'enyhez, \'es ezt kellett bel\'atnunk.
\medskip\noindent
A fenti eredm\'enynek \'erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o}
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa, amely szint\'en hasznos biznyos
alkalmaz\'asokban.
\medskip\noindent
{\bf A k\"ovetkezm\'eny \'altal\'anos\'{\i}t\'asa:}\/ {\it Legyen
adva egy $(X,\Cal X)$ m\'erhet\H{o} t\'eren egy $\mu$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ek \'es egy $\nu$, a
$\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekre n\'ezve abszolut
folytonos el\H{o}jeles m\'ert\'ek,
amelynek mind a pozit\'{\i}v, mind a negat\'{\i}v r\'esze v\'eges.
Tekints\"uk az $X$ t\'eren $\Cal F_1\subset \Cal F_2\subset\cdots$
$\sigma$-algebr\'ak olyan n\"ovekv\H{o} sorozat\'at, amelyek
egyes\'{\i}t\'ese gener\'alja a $\Cal X$ $\sigma$-algebr\'at.
Vezess\"uk be az $f_n(x)=\left.\frac{d\nu}{d\mu}\right|_{\Cal
F_n}\!\!\!(x)$,
$x\in X$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat,
amelyek a $\mu$ m\'ert\'ek Radon--Nikodym deriv\'altj\'aval
egyenl\H{o}ek, ha mind a $\mu$ mind a $\nu$ m\'ert\'eket
megszor\'{\i}tjuk a $\Cal F_n$ $\sigma$-algebr\'ara. Az $f_n(x)$,
$n=1,2,\dots$, f\"uggv\'enyek $\mu$ majdnem minden pontban \'es
$L_1(\mu)$ norm\'aban is konverg\'alnak a $\frac{d\nu}{d\mu}(x)$
Radon--Nikodym deriv\'althoz az $(X,\Cal X)$ t\'eren.

Megford\'{\i}tva, ha nem tudjuk, hogy a $\nu$ m\'ert\'ek abszolut
folytonos-e a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve az $(X,\Cal X)$ t\'eren,
de tudjuk, hogy az $f_n(x)$ f\"uggv\'enyek $L_1(\mu)$ norm\'aban
konver\'alnak egy $f_\infty(x)$ f\"uggv\'enyhez, akkor
\'all\'{\i}thatjuk azt, hogy a $\nu$ m\'ert\'ek abszolut folytonos
az $(X,\Cal X)$ t\'eren a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve, \'es
$\frac{d\nu}{d\mu}(x)=f_\infty(x)$.}
\medskip\noindent
{\it Indokl\'as:}\/ Az szorul m\'eg magyar\'azatra, hogy abb\'ol,
hogy az $f_n(x)$ f\"uggv\'enyek $L_1(\mu)$ norm\'aban
kon\-ver\-g\'al\-nak egy $f_\infty$ f\"uggv\'enyhez mi\'ert
k\"ovetkezik a $\nu$ m\'ert\'ek abszolut folytonoss\'aga a $\mu$
m\'ert\'ekre n\'ezve az $(X,\Cal X)$ t\'eren $f_\infty(x)$, $x\in X$,
Radon--Nikodym deriv\'alttal. Viszont az adott felt\'etelek mellett
fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\nu(A)=\limm_{n\to\infty}\int_A
f_n(x)\mu(\,dx)=\int_A f_\infty(x)\mu(\,dx)
$$
minden $A\in\bigcupp_{n=1}^\infty \Cal F_n$ halmazra. Viszont a
m\'ert\'ekek kiterjeszt\'es\'enek egy\'ertelm\H{u}s\'ege miatt
(egy algebr\'ar\'ol egy $\sigma$-algebr\'ara) k\"ovetkezik, hogy
a $\nu(A)=\int_A f_\infty(x)\mu(\,dx)$ azonoss\'ag \'erv\'enyes
minden $A\in \Cal X$ halmazra, \'es ezt kellett bizony\'{\i}tanunk.

\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Legyenek $\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok,
amelyeknek l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk. Legyen $\tau(\oo)$
egy meg\'all\'asi szab\'aly a $\Cal F_n=\Cal B(\xi_1,\dots,\xi_n)$,
$n=1,2,\dots$, $\sigma$-algebr\'ak sorozat\'ara n\'ezve. Tegy\"uk
fel tov\'abb\'a, hogy l\'etezik olyan $N$ eg\'esz sz\'am, amelyre
$P(\tau(\oo)\le N)=1$. Vezess\"uk be az
$S_n(\oo)=\summ_{k=1}^n\xi_k(\oo)$, $n=1,2,\dots$, jel\"ol\'est.
Mutassuk meg, hogy $ES_{\tau(\oo)}(\oo)=E\tau(\oo)E\xi_1(\oo)$.
Igaz ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a k\"ovetkez\H{o} n\'emileg
\'elesebb form\'aja is. Ha $E\tau<\infty$, (azaz $\tau$ nem
felt\'etlen\"ul v\'eges, csak v\'eges v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$ES_{\tau(\oo)}=E\tau(\oo)E\xi_1(\oo)$.

Ha $E\xi_1(\oo)=0$, \'es $E\xi_1^2(\oo))<\infty$, $E\tau(\oo)<\infty$,
akkor $ES^2_{\tau(\oo)}(\oo)=E\tau(\oo)E\xi^2_1(\oo)$. Ez az
\'all\'{\i}t\'as \'atfogalmazhat\'o a k\"ovetkez\H{o} ekvivalens
m\'odon. Nem tessz\"uk fel, hogy $E\xi_1(\oo)=0$. Ekkor is
fel\'{\i}rhatjuk a
$\text{Var\,}S_{\tau(\oo)}(\oo)=E\tau(\oo)\text{Var\,}\xi_1(\oo)$
azonoss\'agot.
%A fenti
%\'all\'{\i}t\'asok \'erv\'enyesek olyan nem felt\'etlen\"ul 1
%val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'eges $\tau(\oo)$
%meg\'all\'asi szab\'alyokra is, amelyekre defini\'alva a
%$\tau_n(\oo)=\min(\tau(\oo),n)$, $n=1,2,\dots$, meg\'all\'asi
%szab\'alyokat
%$$
%E\lim_{n\to\infty}\(S_{\tau_n(\oo)}(\oo)-S_{\tau(\oo)}(\oo)\)=0,
%$$
%illetve $E\limm_{n\to\infty}
%\(S^2_{\tau_n(\oo)}(\oo)-S^2_{\tau(\oo)}(\oo)\)=0$.
(A fenti eredm\'enyeket h\'{\i}vj\'ak Wald azo\-nos\-s\'ag\-nak
az irodalomban.)
\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Legyen $S_1(\oo),S_2(\oo),\dots$, a nulla pontb\'ol
kiindul\'o bolyong\'as az eg\'esz sz\'a\-mo\-kon, azaz legyenek az
$S_{n+1}(\oo)-S_n(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, \'es vegyenek fel $+1$ vagy $-1$ \'ert\'eket, mind
a kett\H{o}t $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy  $a>0$ pozit\'{\i}v \'es egy $b<0$
negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amot. Jel\"olje $\tau_{a,b}(\oo)$ azt a
v\'eletlen id\H{o}pontot, amikor a bolyong\'as el\H{o}sz\"or
el\'eri az $a$ vagy $b$ pontot. L\'assuk be (az el\H{o}z\H{o}
feladat eredm\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel), hogy annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy el\H{o}sz\"or az $a$ pontot
l\'atogatja meg a bolyong\'as $\frac a{a+|b|}$, annak, hogy a $b$
pontot $\frac{|b|}{a+|b|}$. Tov\'abb\'a $E\tau_{a,b}=a|b|$.
Jel\"olje $\tau_a(\oo)$ azt a v\'eletlen id\H{o}pontot, amikor a
bolyong\'as el\H{o}sz\"or megl\'atogatja az $a>0$ pontot. L\'assuk
be, hogy $P(\tau_a(\oo)<\infty)=1$, de $E\tau_a(\oo)=\infty$.
\medskip\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy
$S_{\tau_{N,(a,b)}(\oo)}(\oo)$, \'es
$S^2_{\tau_{N,(a,b)}(\oo)}(\oo)-\tau_{N,(a,b)}(\oo)$, $N=1,2,\dots$,
marting\'alok, ahol $\tau_{N,(a,b)}(\oo)=\min(N,\tau_{a,b}(\oo))$.
Ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel bel\'athat\'o, hogy
$ES_{\tau_{a,b}(\oo)}(\oo)=0$, \'es
$$
E\tau_{a,b}(\oo)=ES^2_{\tau_{a,b}(\oo)}(\oo)=
a^2P(P(\tau_{a,b}(\oo)=a)+b^2P(\tau_{a,b}(\oo)=-b).
$$
Tov\'abb\'a $P(\tau_a(\oo)<\infty)=
\limm_{b\to-\infty}P(\tau_{a,b}(\oo)<\infty)=1$,
\'es $E\tau_a(\oo)=\limm_{b\to-\infty}E\tau_{a,b}(\oo)=\infty$.
\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Legyen $W(t,\oo)$, $t\ge0$, Wiener-folyamat a
f\'elegyenesen. L\'assuk be, hogy a $Z(t,\oo)=e^{W(t,\oo)-t^2/2}$,
$t\ge0$, sztochasztikus folyamat marting\'al.
\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Legyen $W(t,\oo)$, $0\le t\le1$, Wiener-folyamat a
$[0,1]$ intervallumon. Vegy\"uk a $[0,1]$ intervallum egyre finomod\'o
$0=t_1^{(n)}<t_2^{(n)}<\cdots<t_{k_n}^{(n)}=1$ feloszt\'assorozat\'at
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra \'ugy, hogy $\limm_{n\to\infty}
\supp_{1\le j<k_n}(t^{(n)}_{j+1}-t^{(n)}_j)=0$,  \'es vegy\"uk a
$Z_n(\oo)=\summ_{j=1}^{k_n-1}\(W(t_{j+1}^{(n)})-W(t_j^{(n)})\)^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'es $\Cal F_n=\Cal
B(W(t^{(n)}_{j}),\,1\le j\le k_n)$ $\sigma$-algebr\'akat. Mutassuk
meg, hogy a $(Z_n(\oo),\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, sorozat marting\'al.
Mutassuk meg a marting\'alok 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi konvergencia
t\'etel\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a $Z_n(\oo)$ sorozat 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al 1-hez.
\medskip\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Ha m\'ar bebizony\'{\i}tottuk azt, hogy a
$Z_n(\oo)$ sorozat 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al, de
m\'eg nem tudjuk, hogy mi a limesz, akkor elegend\H{o} egy el\'eg
ritka r\'eszsorozat\'anak a hat\'ar\'ert\'ek\'et megtal\'alni annak
\'erdek\'eben, hogy a bizony\'{\i}t\'ast befejezz\"uk. Az
el\H{o}ad\'asban szerepl\H{o} hasonl\'o t\'etel bizony\'{\i}t\'asa
seg\'{\i}t ennek a r\'eszfeladatnak a megold\'as\'aban.
\medskip\noindent
{\it Nem k\"otelez\H{o} feladat:}\/ Tekints\"uk a $W(t,\oo)$, $0\le
t\le1$, Wiener-folyamatot a $[0,1]$ intervallumon \'es a $W(t,\oo)+mt$,
$0\le t\le 1$, sztochasztikus folyamatot, ahol $m$ r\"ogz\'{\i}tett
val\'os sz\'am. Jel\"olje $\mu$ a Wiener-folyamat, \'es $\nu_{m}$ a
$W(t,\oo)+mt$ sztochasztikus folyamat eloszl\'as\'at a $C([0,1])$
t\'erben. Mutassuk meg, hogy a $\nu_m$ m\'ert\'ek abszolut folytonos
a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve, \'es Radon--Nikodym deriv\'altja
$\frac{d\nu_m}{d\mu}(x(t))=e^{mx(1)-m^2/2}$ az $x(t)$,
$0\le t\le1$, folytonos f\"uggv\'eny hely\'en.
\medskip\noindent
{\it Az el\H{o}z\H{o} nem k\"otelez\H{o} feladat
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa:}\/
Tekints\"uk a $W(t,\oo)$, $0\le t\le 1$, Wiener-folyamatot a $[0,1]$
intervallumon \'es egy $W(t,\oo)+\int_0^tm(t)\,dt$, $0\le t\le 1$,
sztochasztikus folyamatot, ahol $m(t)$, $0\le t\le1$, folytonosan
differenci\'alhat\'o f\"uggv\'eny. sz\'am.  Jel\"olje $\mu$ a
Wiener-folyamat, \'es $\nu_{m}$ a $W(t,\oo)+\int_0^tm(t)\,dt$
sztochasztikus folyamat eloszl\'as\'at a $C([0,1])$ t\'erben.
Mutassuk meg, hogy a $\nu_m$ m\'ert\'ek abszolut folytonos a
$\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve, \'es Radon--Nikodym deriv\'altja
$$
\frac{d\nu_m}{d\mu}(x(t))
=\exp\left\{\int_0^1 m(t)\,dx(t)-\frac12\int_0^1 m(t)^2\,dt\right\}.
$$
(Az eredm\'eny \'altal\'anos\'{\i}that\'o, de ennek
megfogalmaz\'as\'ahoz sztochasztikus integr\'alok haszn\'alat\'ara
van sz\"uks\'eg, \'es ez nem t\'em\'aja ennek az el\H{o}ad\'asnak.)
\medskip\noindent
{\it Nem k\"otelez\H{o} feladat:}\/ Legyen $W(t,\oo)$, $0\le t\le1$,
Wiener-folyamat a $[0,1]$ intervallumon. Mutassuk meg, hogy
ennek felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve, hogy $W(1,\oo)=x$
megegyezik egy $B(t,\oo)+tx$, $0\le t\le1$, sztochasztikus folyamat
eloszl\'as\'aval, ahol $B(t,\oo)$, $0\le t\le1$, egy
Wiener-bridge. Pontosabban megfogalmazva, r\"ogz\'{\i}tve valamilyen
$0\le t_1<t_2<\cdots<t_k\le1$ id\H{o}pontokat \'es $u_1,\dots,u_k$
sz\'amokat
$$
\align
&P(W(t_1,\oo)<u_1,\dots,W(t_k,\oo)<u_k|W(1,\oo)=x)\\
&\qquad=P(B(t_1,\oo)+t_1x<u_1,\dots,B(t_k,\oo)+t_kx<u_k).
\endalign
$$
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ \'Erdemes a bizony\'{\i}t\'asban
felhaszn\'alni a $W(t,\oo)=B(t,\oo)+tW(1,\oo)$ azo\-nos\-s\'a\-got,
ahol $B(t,\oo)=W(t,\oo)-tW(1,\oo)$ a $W(1,\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen
Wiener-bridge.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es. {\it Wiener-folyamatok
marting\'al jellemz\'ese.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a Wiener-folyamatok egy jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $X(t,\oo)$, $0\le t<\infty$, olyan
sztochasztikus folyamat, amelyre $EX^2(t,\oo)<\infty$ minden
$t\ge0$ sz\'amra, $X(0,\oo)=0$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
\'es az $X(t,\oo)$ \'es $X^2(t,\oo)-t$, $t\ge0$ sztochasztikus
folyamatok mar\-tin\-g\'a\-lok (az $\Cal F_t=\{X(s,\oo),\;s\le t\}$,
$t\ge0$ $\sigma$-algebr\'ak rendszer\'ere n\'ezve).
Ha ezenk\'{\i}v\"ul az $X(t,\oo)$ sztochasztikus fo\-lya\-mat
minden trajekt\'ori\'aja foly\-to\-nos, akkor $X(t,\oo)$
Wiener-folyamat.}
\medskip
A Wiener-folyamatok marting\'al jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etel bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben el\H{o}\-sz\"or megfogalmazom
\'es bebizony\'{\i}tom a Lindeberg felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o}
sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
marting\'al megfelel\H{o}j\'et, amely val\'oj\'aban az eredeti t\'etel
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa. El\H{o}sz\"or
bevezetem a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.
\medskip\noindent
{\bf Marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatok definici\'oja.}
{\it Legyen adva minden $k=1$, 2,\dots sz\'amra
$\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,n_k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
valamint  $\Cal F_{k,0}\subset\Cal F_{k,1}\subset\cdots\subset
\Cal F_{k,n_k}$, n\"ovekv\H{o} $\sigma$-algebr\'ak sorozata, azaz
legyen $\Cal F_{k,j}\subset\Cal F_{k,j'}$ minden $k=1,2,\dots$, \'es
$1\le j<j'\le n_k$ indexp\'arra. Ezt a rendszert marting\'al
k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatnak nevezz\"uk, ha $\xi_{k,j}$
$\Cal F_{k,j}$ m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
$E|\xi_{k,j}|<\infty$, \'es $E(\xi_{k,j}|\Cal F_{k,j-1})=0$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel minden $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$
indexre.}
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt fogalmazom meg.
\medskip\noindent
{\bf Marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.} {\it Le\-gyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,n_k}$
valamint minden r\"ogz\'{\i}tett $k$ indexre n\"ovekv\H{o}
$\sigma$-algebr\'ak
$\Cal F_{k,0}\subset\Cal F_{k,1}\subset\cdots\subset \Cal F_{k,n_k}$,
$k=1,2,\dots$, rendszere marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozat,
amely teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket is:
\medskip
\item{a.)} $\sigma_{k,j}^2=E\xi_{k,j}^2<\infty$ minden $k=1,2,\dots$,
$1\le j\le n_k$ indexekre, \'es
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\sigma^2_{k,j}=1$.
\item{b.)} $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}
E|E(\xi_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})-\sigma_{k,j}^2|=0$.
\item{c.)} Teljes\"ul a Lindeberg felt\'etel, azaz
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2I\(\{|\xi_{k,j}|>\e\}\)=0,
$$
minden $\e>0$ sz\'amra, ahol $I(A)$ egy $A$ halmaz indik\'ator
f\"uggv\'eny\'et jel\"oli.
\medskip
 Ekkor az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$,
\"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak a standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha $k\to\infty$.}
\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vezess\"uk be minden
$k=1,2,\dots$ indexre f\"uggetlen, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u},
$\sigma^2_{k,j}$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} $\eta_{k,j}$,
$1\le j\le n_k$, norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-t\'at, amelyek f\"ug\-get\-le\-nek
az $\Cal F_{k,n_k}$ $\sigma$-algebr\'at\'ol is. Vezess\"uk be az
$Y_{k,j}=\summ_{s=1}^j\xi_{k,j}+\summ_{s=j+1}^{n_k}\eta_{k,j}$,
$1\le j\le n_k$, (speci\'alisan $Y_{k,n_k}=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$)
\'es $Y_{k,0}=\summ_{j=1}^{n_k}\eta_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat. Azt k\'{\i}v\'anom megmutatni, hogy minden $t$ val\'os
sz\'amra
$$
E\(e^{itY_{k,k_n}}-e^{itY_{k,0}}\)
=\sum_{j=1}^{n_k}E\(e^{itY_{k,j}}-e^{itY_{k,j-1}}\)\to0\quad\text{ha }
k\to\infty. \tag A1
$$
Mivel $Ee^{itY_{k,0}}
=\exp\left\{-\summ_{j=1}^{n_k}\frac{\sigma_{k,j}^2t^2}2\right\}
\to e^{-t^2/2}$, ha $k\to\infty$, ez\'ert (A1) rel\'aci\'ob\'ol
k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy $Ee^{itS_k}=Ee^{itY_{k,k_n}}\to e^{-t^2/2}$
minden $t$ val\'os sz\'amra, ha $k\to\infty$, azaz $S_k$
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enye konverg\'al a standard
norm\'alis eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ehez. Ez\'ert
az (A1) formul\'ab\'ol k\"ovetkezik a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa.

Az (A1) rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'as\'ahoz j\'o becsl\'est kell
adni az $E\(e^{itY_{k,j}}-e^{itY_{k,j-1}}\)$ kifejez\'esekre.
Ennek \'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy mivel az $\eta_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek az
$\Cal F_{k,n_k}$ $\sigma$-algebr\'at\'ol, \'{\i}gy a $\xi_{k,j}$,
$1\le j\le n_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okt\'ol is,
ez\'ert bevezetve az
$U_{k,j}=\summ_{s=1}^j\xi_{k,s}$, $1\le j\le n_k$, $U_{k,0}=1$,
$V_{k,j}=\summ_{s=j+1}^{n_k} \eta_{k,j}$, $0\le j<n_k$,
$V_{k,n_k}=1$ mennyis\'egeket, a k\"ovetkez\H{o}
\"osszef\"ugg\'eseket \'{\i}rhatjuk fel:
$$
\align
\left|E\(e^{itY_{k,j}}-e^{itY_{k,j-1}}\)\right|&=
\left|E\(e^{it(U_{k,j-1}+\xi_{k,j}+V_{k,j+1})}-
e^{it(U_{k,j-1}+\eta_{k,j}+V_{k,j+1})}\)\right|\\
&=\left|E\(e^{it(U_{k,j-1}+\xi_{k,j})}-
e^{it(U_{k,j-1}+\eta_{k,j}})\)\right| |Ee^{itV_{k,j+1}}|\\
&\le\left|E\(e^{it(U_{k,j-1}+\xi_{k,j})}-
e^{it(U_{k,j-1}+\eta_{k,j})}\)\right|\\
&\le E\(\left|\left.E\(\(e^{it(U_{k,j-1}+\xi_{k,j})}-
e^{it(U_{k,j-1}+\eta_{k,j})}\)\right|\Cal F_{k,j-1}\)\right|\).
\endalign
$$
Tov\'abb\'a, mivel
$$
\align
&\left|\left.E\(\(e^{it(U_{k,j-1}+\xi_{k,j})}-
e^{it(U_{k,j-1}+\eta_{k,j})}\)\right|\Cal F_{k,j-1}\)\right| \\
&\qquad =\left|e^{itU_{k,j-1}}\right|\left|\left.E\(\(e^{it\xi_{k,j}}-
e^{it\eta_{k,j}}\)\right|\Cal F_{k,j-1}\)\right|\\
&\qquad =\left|\left.E\(e^{it\xi_{k,j}}\right|\Cal F_{k,j-1}\)-
e^{-t^2\sigma_{k,j}^2/2}\right|,
\endalign
$$
ez\'ert
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&\left|E\(e^{itY_{k,j}}-e^{itY_{k,j-1}}\)\right|\le
E\left|\left.E\(e^{it\xi_{k,j}}\right|\Cal F_{k,j-1}\)-
e^{-t^2\sigma_{k,j}^2/2}\right|\\
&\qquad\le E\left|\left.E\(e^{it\xi_{k,j}}-1-it\xi_{k,j}
+\frac{t^2}2\xi_{k,j}^2\right|\Cal F_{k,j-1}\)\right|\\
&\qquad\qquad +E\left|1-\frac{t^2}2 E(\xi^2_{k,j}|\Cal F_{k,j-1})-
e^{-t^2\sigma_{k,j}^2/2}\right|\\
&\qquad\le E\left|e^{it\xi_{k,j}}-1-it\xi_{k,j}
+\frac{t^2}2\xi_{k,j}^2\right|
+E\left|1-\frac{t^2}2 E(\xi^2_{k,j}|\Cal F_{k,j-1})-
e^{-t^2\sigma_{k,j}^2/2}\right|.
\endalign
$$
M\'asr\'eszt
$$
\align
&E\left|1-\frac{t^2}2 E(\xi^2_{k,j}|\Cal F_{k,j-1})-
e^{-t^2\sigma_{k,j}^2/2}\right|\\
&\qquad\le\frac{t^2}2E|\sigma_{k,j}^2-
E(\xi^2_{k,j}|\Cal F_{k,j-1})|
+\left|1-\frac{t^2}2\sigma_{k,j}^2-
e^{-t^2\sigma_{k,j}^2/2}\right|.
\endalign
$$
Az el\H{o}z\H{o} k\'et egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$
\aligned
&\left|E\(e^{itY_{k,j}}-e^{itY_{k,j-1}}\)\right|
\le E\left|e^{it\xi_{k,j}}-1-it\xi_{k,j}
+\frac{t^2}2\xi_{k,j}^2\right|\\
&\qquad +\frac{t^2}2E|E(\xi^2_{k,j}|\Cal F_{k,j-1})-
\sigma_{k,j}^2|+\left|1-\frac{t^2}2\sigma_{k,j}^2-
e^{-t^2\sigma_{k,j}^2/2}\right|.
\endaligned \tag A2
$$

A Lindeberg felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik a
$\sigma_{k,j}^2=E\xi^2_{k,j}$
mennyis\'egek k\"ovetkez\H{o} egyenletes kicsis\'egi tulajdons\'aga:
$$
\lim_{k\to\infty}\max_{1\le j\le n_k}\sigma_{k,j}^2=0. \tag A3
$$
Val\'oban tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan
$k_0=k_0(\e)$ index, hogy $k\ge k_0$, $1\le j\le n_k$ indexekre
$$
\sigma_{k,j}^2=E\xi_{j,k}^2I(|\xi_{k,j}|\le\e)+
E\xi_{j,k}^2I(|\xi_{k,j}|>\e)\le\e^2+
E\xi_{j,k}^2I(|\xi_{k,j}|>\e)\le2\e
$$
minden $1\le j\le k$ indexre, ha $k\ge k_0$ a Lindeberg felt\'etel
alapj\'an. Innen k\"ovetkezik az (A3) rel\'aci\'o. Az (A3)
rel\'aci\'ob\'ol levezethet\H{o}, hogy
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}\left|1-\frac{t^2}2\sigma_{k,j}^2-
e^{-t^2\sigma_{k,j}^2/2}\right|=0. \tag A4
$$
Val\'oban, l\'etezik olyan $k_0=k_0(\e,t)$ index, amelyre igaz, hogy
$\left|1-\frac{t^2}2\sigma_{k,j}^2-
e^{-t^2\sigma_{k,j}^2/2}\right|\le t^4\sigma_{k,j}^4\le\e\sigma_{k,j}^2$
ha $k\ge k_0$ minden $1\le j\le n_k$ indexre. Ezeket az
egyenl\H{o}tlens\'egeket \"osszeadva minden $1\le j\le n_k$ indexre,
\'es felhaszn\'alva a
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\sigma^2_{k,j}=1$ felt\'etelt,
kapjuk az (A4) rel\'aci\'ot.

A Lindeberg felt\'etel felhaszn\'al\'as\'aval megmutathat\'o az is,
hogy
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}E\left|e^{it\xi_{k,j}}-1-it\xi_{k,j}
+\frac{t^2}2\xi_{k,j}^2\right|=0. \tag A5
$$
Val\'oban r\"ogz\'{\i}tve egy tetsz\H{o}legesen kicsi $\e>0$ sz\'amot,
\'es felhaszn\'alva az $|e^{itx}-1-itx+\frac{t^2}2x^2|
\le\frac{|t|^3|x|^3}6\le\e\frac{|t^3|x^2}6$,
ha $|x|\le\e$ \'es $|e^{itx}-1-itx+\frac{t^2}2x^2|\le t^2x^2$,
ha $|x|>\e$ egyenl\H{o}tlens\'egeket, kapjuk, hogy
$$
E\left|e^{it\xi_{k,j}}-1-it\xi_{k,j}
+\frac{t^2}2\xi_{k,j}^2\right|\le\e\frac{|t^3|E\xi_{k,j}^2}6
+t^2E\xi_{k,j}^2I(|\xi_{k,j}|>\e).
$$
\"Osszeadva a fenti egyenl\H{o}tlens\'eget minden $1\le j\le n_k$
indexre, \'es felhaszn\'alva a
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\sigma^2_{k,j}=1$ felt\'etelt
\'es a Lindeberg felt\'etelt azt kapjuk, hogy
$$
\limsup_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}E\left|e^{it\xi_{k,j}}-1-it\xi_{k,j}
+\frac{t^2}2\xi_{k,j}^2\right|\le \e|t^3|.
$$
Mivel a fenti rel\'aci\'o igaz minden $\e>0$ sz\'amra, innen
k\"ovetkezik az (A5) rel\'aci\'o.

Az (A1) rel\'aci\'o els\H{o} azonoss\'ag\'ab\'ol, az (A2), (A4)
\'es (A5) rel\'aci\'okb\'ol valamint a T\'etel b) felt\'etel\'eb\H{o}l
k\"ovetkezik az (A1) rel\'aci\'o m\'asodik fele is. A t\'etelt
bel\'attuk.
\medskip
Sz\"uks\'eg\"unk lesz m\'eg az al\'abbi lemm\'ara \'es annak
egy k\"ovetkezm\'eny\'ere.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $X(t)$ folytonos trajekt\'ori\'aj\'u
sztochasztikus folyamat valamely $[0,T]$ intervallumon.
R\"ogz\'{\i}ts\"unk k\'et $\e$ \'es $\alpha$ pozit\'{\i}v sz\'amot,
\'es vezess\"uk be seg\'{\i}ts\'eg\"ukkel az al\'abbi $\tau$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot:
$$
\tau=\tau(\e,\alpha,T)=\max\{t\colon |X(u)-X(v)|\le\e,\quad \text{ha}
\quad 0\le u\le v\le T, \text{ \'es }|u-v|\le\alpha\}.
$$
A $\tau$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o meg\'all\'asi
szab\'aly egy $\Cal F_t$, $0\le t\le T$, monoton $\sigma$-algebra
rendszerre n\'ezve, ha $\Cal B(X_s,\,0\le s\le t\}\subset \Cal F_t$,
azaz $\{\oo\:\tau(\oo)\le t\}\in \Cal F_t$ minden $0\le t\le T$
sz\'amra.

Tekints\"unk egy tetsz\H{o}leges $0\le t\le T$ sz\'amot, \'es
defini\'aljuk a $\tau_t=\min\{t,\tau\}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot. Ha $E|g(X(u),u)|<\infty$, $0\le u\le T$, \'es
$(g(X(u),u)),\Cal F_u)$, $0\le u\le T$, marting\'al
valamely folytonos $g(x,u)$ f\"uggv\'ennyel \'es $\Cal F_u$,
$0\le u\le T$, monoton n\"ovekv\H{o} $\sigma$-algebra rendszerrel,
akkor $g(X(\tau_t),\tau_t))=E(g(X(T),T)|\Cal F_{\tau_t})$.}

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyen $X(u)$, $0\le u\le T$, folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus folyamat vala\-mely $[0,T]$
intervallumon, amelyre $EX^2(u)<\infty$, $0\le u\le T$. Legyen
tov\'abb\'a $(X(u),\Cal F_u)$ \'es
$(X^2(u)-u,\Cal F_u)$, $0\le u\le T$, marting\'al valamely
$\Cal F_u$, $0\le u\le T$, monoton n\"ovekv\H{o} $\sigma$-algebra
rendszerrel. Ekkor az $(X(\tau_t),\Cal F_{\tau_t})$ \'es
$(X^2(\tau_t)-\tau_t,\Cal F_{\tau_t})$, $0\le t\le T$, sztochasztikus
folyamatok a lemm\'aban defini\'alt $\tau_t$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal szint\'en marting\'alok.}

\medskip\noindent
{\it A Lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Adva egy $0\le t<T$ sz\'am,
jel\"olje $Q_t$ a $[0,t]$ intervallumba es\H{o} racion\'alis sz\'amok
halmaz\'at. Ekkor
$$
\{\oo\colon \tau(\oo)\le t\}
=\bigcupp_{(u,v)\colon u\in Q_t,\,v\in Q_t,\,|u-v|\le\alpha}
\bigcupp_{m=1}^\infty
\left\{\oo\colon |X(u,\oo)-X(v,\oo)|\ge \e+\frac1m\right\}
\in \Cal F_t,
$$
ami azt jelenti, hogy $\tau(\oo)$ meg\'all\'asi szab\'aly. (A
$t=T$ elfajul\'o esetben ny\'{\i}lv\'an igaz, hogy
$\{\oo\colon\tau(\oo)\le T\}=\Omega\in \Cal F_T$.) A fenti
rel\'aci\'oban fel\'{\i}rt azonoss\'ag \'erv\'enyes, mert
$\tau(\oo)\le t$ akkor \'es csak akkor, ha l\'etezik k\'et olyan
$0\le \bar u,\bar v\le t$ sz\'am, amelyekre $|\bar u-\bar v|\le\alpha$,
\'es $|X(\bar u,\oo)-X(\bar v,\oo)|>\e$. Ekkor azonban (a
trajekt\'ori\'ak folytonoss\'aga miatt) l\'eteznek olyan $u\in Q_t$
\'es $v\in Q_t$ sz\'amok, \'es $m$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am,
amelyekre $|u-v|\le \alpha$, \'es $X(u,\oo)-X(v,\oo)|\ge \e+\frac1m$.

Legyen $Z_u=g(X(u),u)$, $0\le u\le T$, \'es tekints\"uk minden
$m=1,2,\dots$ pozit\'{\i}v eg\'esz \'es $0\le t\le T$ val\'os
sz\'amra a $Z_{\frac{jT}m}=g\(X(\frac{jT}m),\frac{jT}m\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat,
a $\Cal G_{\frac{jT}m}=\Cal F_{\frac{jT}m}$ $\sigma$-algebr\'akat,
$1\le j\le m$, valamint a $\tau_{t^{(m)}}$ diszkretiz\'alt 
meg\'all\'asi szab\'alyt, amelyet a $\tau_t^{(m)}=\frac{l}m$, ha
$\frac {l-1}m<\tau_t\le \frac{l}m$, $1\le l\le m$, k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alunk. (Jegyezz\"uk meg, hogy az
$X(t)$ folyamat trajekt\'ori\'ainak folytonoss\'ag\'ab\'ol, \'es a
$\tau$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o definici\'oj\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy $\tau(\oo)>0$ minden $\oo$-ra.)

Ha $(g(X(u),u),\Cal F_u)$, $0\le u\le T$, marting\'al, akkor
$\(Z_{\frac{jT}m},\Cal G_{\frac {jT}m}\)$, $1\le j\le m$, szint\'en
marting\'al, \'es $\tau_t^{(m)}$ meg\'all\'asi szab\'aly erre a
rendszerre n\'ezve. Ez\'ert az el\H{o}ad\'asban t\'argyalt
v\'eletlen\"ul meg\'all\'{\i}tott (szemi)marting\'alok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek becs\-l\'e\-s\'e\-r\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etel alapj\'an (annak (D3) k\'eplet\'et haszn\'alva) kap\-juk,
hogy $Z_{\tau_t^{(m)}}=E(Z_T|\Cal F_{\tau_{t^{(m)}}})$ minden
$m=1,2,\dots$ sz\'amra. M\'asr\'eszt $Z_{\tau_t}=
\limm_{m\to\infty}Z_{\tau_{t^{(m)}}}$ a $g((X(u,\oo),u)$,
$0\le u\le T$, folyamat trajekt\'ori\'ainak folytonoss\'aga miatt.
Ez\'ert a Lemma bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'ese \'erdek\'eben
el\'eg megmutatni azt, hogy az $E(Z_T|\Cal F_{\tau_{t^{(m)}}})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok konverg\'alnak az
$E(Z_T|\Cal F_{\tau_t})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz,
ha $m\to\infty$.

S\H{o}t, a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'ahoz el\'eg
azt ellen\H{o}r\'{\i}zni, hogy az $E(Z_T|\Cal F_{\tau_{t^{(m)}}})$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, $m=1,2,\dots$,
egyenletesen integr\'alhat\'oak. Ugyanis azt m\'ar tudjuk, hogy ezek
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak valamely (egyel\H{o}re
ismeretlen) $Z$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. Ez\'ert
az egyenletes integr\'alhat\'os\'agb\'ol, illetve az
$\Cal F_{\tau_t}\subset \Cal F_{\tau_{t^{(m)}}}$ rel\'aci\'ob\'ol
k\"ovetkezik, hogy $\int_A Z\,dP=\limm_{m\to\infty}\int_A
E(Z_T|\Cal F_{\tau_{t^{(m)}}})\,dP=\int_A Z_T\,dP$ minden
$A\in\Cal F_{\tau_t}$ halmazra. Innen kapjuk, hogy
$Z=E(Z_T|\Cal F_{\tau_t})$.

A k\'{\i}v\'ant egyenletes integr\'alhat\'os\'ag igazol\'as\'ahoz,
(azaz az $\int_{|Z^{(m)}|>K}|Z^{(m)}|\,dP\le\e$ egyenl\H{o}tlens\'eg
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz minden $m=1,2,\dots$ sz\'amra, ha
$K\ge K(\e)$ ahol $Z^{(m)}=E(Z_T|\Cal F_{\tau_{t^{(m)}}})$) el\'eg azt
megmutatni, hogy egyr\'eszt minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e)>0$ sz\'am, hogy $\int_B |Z^{(m)}|\,dP\le\e$, ha
$P(B)\le\delta$ \'es $B\in\Cal F_{\tau_{t^{(m)}}}$, m\'asr\'eszt
$P(|Z^{(m)}|>K)\le\delta$ minden $m=1,2,\dots$ sz\'amra, ha
$K\le K(\delta)$ alkalmas $K(\delta)$ sz\'ammal. Az els\H{o}
\'all\'{\i}t\'as az\'ert igaz, mert az adott felt\'etelek mellett
$\int_B |Z^{(m)}|\,dP\le\int_B |Z_T|\,dP$, \'es $\int_B |Z_T|\,dP<\e$,
ha $P(B)<\delta$. A m\'asodik \'all\'{\i}t\'as az\'ert igaz, mert
$E|Z^{(m)}|=E|E(Z_T|\Cal F_{\tau_{t^{(m)}}})|)\le E|Z_T|$, \'es
innen $P(|Z^{(m)}|>K)\le\frac{E|Z^{(m)}|}K\le
\frac{E|Z_T|}K\le\delta$, ha $K\ge K(\delta)$. A lemm\'at
bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip\noindent
{\it A K\"ovetkezm\'eny bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Az adott felt\'etelek
mellett $X(\tau_t,\oo)=E(X(T,\oo)|\Cal F_{\tau_t})$ \'es
$X^2(\tau_{t},\oo)-\tau_t(\oo)=E(X^2(T,\oo)-T|\Cal F_{\tau_t})$. 
Ez\'ert, ha
$0\le s\le t\le T$, akkor $\Cal F_{\tau_s}\subset\Cal F_{\tau_t}$,
\'es $E(X(\tau_t,\oo)|\Cal F_{\tau_s})
=E(E(X(T,\oo)|\Cal F_{\tau_t})|\Cal F_{\tau_s})
=E(X(T,\oo)|\Cal F_{\tau_s})=X(\tau_s,\oo)$.
Ez a k\"ovetkezm\'eny els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa. A m\'asodik
\'all\'{\i}t\'as hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o.

\medskip\noindent
{\it A Wiener-folyamatok egy jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.} Azt kell megmutatnunk, hogy a
t\'etel felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en tetsz\H{o}leges
$0=t_0<t_1<\cdots<t_m$ sz\'amokra az $X(t_j)-X(t_{j-1})$,
$1\le j\le m$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlen
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}, $t_j-t_{j-1}$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}, norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. A
bizony\'{\i}t\'as f\H{o} r\'esz\'eben azt magyar\'azom el, hogy
hogyan l\'athat\'o $t_1=1$ esetben az, hogy $X(t_1)-X(t_0)=X(1)$
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'es\'egi
v\'altoz\'o. Ezut\'an el\-ma\-gya\-r\'a\-zom, hogyan lehet a t\'etel
\'all\'{\i}t\'as\'at teljes eg\'esz\'eben bel\'atni. (Val\'oj\'aban a
T\'etel egy enyhe \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at bizony\'{\i}tom be.)

Tekints\"unk egy folytonos trajekt\'ori\'akkal rendelkez\H{o}
sztochasztikus folyamatot egy $[0,1]$ intervallumban. Mivel egy
v\'eges intervallumban folytonos f\"uggv\'eny egyenletesen
is folytonos, ez\'ert az $\e_k=\frac1k$, $k=1,2,\dots$, sorozathoz
v\'alaszthat\'o olyan $\alpha_k$, $k=1,2,\dots$, sorozat, amelyre
$$
\limm_{k\to\infty}P\(\supp_{0\le s,t\le 1,\;|t-s|\le\alpha_k}
|X(t,\oo)-X(s,\oo)|>\e_k\)=0.
$$
Feltehetj\"uk a fenti rel\'aci\'oban, hogy $\alpha_k\to0$, \'es
$n_k=\frac1{\alpha_k}$ eg\'esz sz\'am,
ha $k\to\infty$. Tekints\"uk a lemm\'aban bevezetett
$\tau=\tau_k=\tau(\e_k,\alpha_k,1)$ \'es
$\tau_{k}^{(j)}=\min\{\tau_k,j\alpha_k\}$, $1\le j\le n_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, $k=1,2,\dots$,
$0\le j\le n_k$. Legyen tov\'abb\'a $\xi_{k,j}=X(\tau_k^{(j)})
-X(\tau_k^{(j-1)})$, $1\le j\le n_k$. Ekkor
$\limm_{k\to\infty}P(X(1,\oo)
=X(\tau_k,\oo))=1$. Ez\'ert elegend\H{o} bel\'atni, hogy az
$X(\tau_k)=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak a standard norm\'alis
eloszl\'ashoz. Megmutatom, hogy ez az \'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezik
a marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l \'es a Lemma
k\"ovetkezm\'eny\'eb\H{o}l.

Val\'oban, legyen $\Cal F_{k,j}=\Cal F_{\tau^{(j)}_k}$,
$\Cal F_{k,0}=\Cal F_0$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$.
Ekkor a Lemma k\"ovetkezm\'enye alapj\'an $(\xi_{k,j},\Cal F_{k,j})$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sorozat,
\'es $E(\xi_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})=
E(\min\{\tau_k, j\alpha_k\}|\Cal F_{k,j-1})
-\min\{\tau_k, (j-1)\alpha_k\}$, mert
$$
\align
E(\xi_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})&=
E((X(\tau_k^{(j})-X(\tau_k^{(j-1}))^2|\Cal F_{k,j-1})\\
&=E(X(\tau_k^{(j})^2-\tau_k^{(j)}|\Cal F_{k,j-1})
+E(\tau_k^{(j)}|\Cal F_{k,j-1})\\
&\qquad -2X(\tau_k^{(j-1})EX(\tau_k^{(j})|\Cal F_{k,j-1})+
X(\tau_k^{(j-1})^2\\
&=X(\tau_k^{(j-1})^2-\tau_k^{(j-1)}+E(\tau_k^{(j)}|\Cal F_{k,j-1})
-2X(\tau_k^{(j-1})^2+X(\tau_k^{(j-1})^2\\
&=E(\tau_k^{(j)}|\Cal F_{k,j-1})-\tau_k^{(j-1)}.
\endalign
$$
Ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy a $(\xi_{k,j}, \Cal F_{k,j})$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, valsz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
teljes\'{\i}tik a marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatokr\'ol
sz\'ol\'o centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel fel\-t\'e\-te\-le\-it.
A $(\xi_{k,j}, \Cal F_{k,j})$ p\'arok ny\'{\i}lv\'an marting\'al
k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatot alkotnak. Nem ne\-h\'ez bel\'atni,
hogy teljes\'{\i}tik az a) tulajdons\'agot, mert
$$
E\xi_{k,j}^2
=E(\min\{\tau_k,j\alpha_k\})-E(\min\{\tau_k,(j-1)\alpha_k\}),
$$
ahonnan $\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=E(\min\{\tau_k,1\})\to1$,
ha $k\to\infty$, mivel $\limm_{k\to\infty}P(\tau_k=1)=1$, \'es
$\tau_k(\oo)\le1$ minden $\oo$-ra. A c) felt\'etel szint\'en
ny\'{\i}lv\'an teljes\"ul, mert a konstrukci\'o alapj\'an
$P(|\xi_{k,j}|>\e)=0$ minden $1\le j\le n_k$ indexre, ha
$k\le \frac1\e$.

A b) tulajdons\'ag igazol\'as\'ahoz vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
E(\xi_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})=E([\min\{\tau_k, j\alpha_k\}
-\min\{\tau_k,(j-1)\alpha_k\})]|\Cal F_{k,j-1})\le\alpha_k,
$$
ahonnan $\sigma^2_{k,j}\le\alpha_k$ is k\"ovetkezik, \'es
$$
\align
\summ_{j=1}^{n_k}E|E(\xi_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})-\alpha_k|
&\le\summ_{j=1}^{n_k}E(\alpha_k-E(\xi_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1}))\\
&=1-\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2\to0 \quad\text{ha } k\to\infty.
\endalign
$$
Mivel $E|E(\xi_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})-\sigma_{k,j}^2|=
2E\left|E(\xi_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})-\sigma_{k,j}^2\right|_-
\le2E|E(\xi_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})-\alpha_k|$, ahol
$|x|_-=\max(-x,0)$, ez\'ert a fenti rel\'aci\'okb\'ol
$$
\summ_{j=1}^{n_k}E|E(\xi_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})-\sigma_{k,j}^2|
\le2\summ_{j=1}^{n_k}E|E(\xi_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})-\alpha_k|\to0,
\quad \text{ha } k\to \infty,
$$
\'es a b) felt\'etel is teljes\"ul. \'Igy az
$X(\tau_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok konverg\'alnak
a standard norm\'alis eloszl\'ashoz, \'es ezt kellett bel\'atnunk.
\medskip
Az \'altal\'anos eset t\'argyal\'asa el\H{o}tt vezess\"uk be a
Wiener-folyamat kiss\'e \'altal\'anosabb definici\'oj\'at.
\medskip\noindent
{\bf \'Altal\'anos\'{\i}tott Wiener-folyamat definici\'oja.}
{\it Legyen adva egy $X(t,\oo)$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamat,
$\Cal F_t$ $\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o} sorozata, $0\le t\le T$,
azaz legyen $\Cal F_s\subset \Cal F_t$, ha $0\le s\le t\le T$.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy $X(t,\oo)$ $\Cal F_t$ m\'erhet\H{o}
minden $0\le t\le T$ sz\'amra. Azt mondjuk, hogy az
$(X(t,\oo),\Cal F_t)$ p\'arok, $0\le t<T$, (\'altal\'anos\'{\i}tott)
Wiener-folyamatot alkotnak a $[0,T]$ intervallumon, ha $X(0,\oo)=0$
minden $\oo$ elemi esem\'enyre, $X(t,\oo)-X(s,\oo)$ az $\Cal F_s$
$\sigma$-algebr\'at\'ol f\"uggetlen, nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}, $t-s$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o minden
$0\le s< t\le T$ sz\'amp\'arra, \'es $X(t,\oo)$ folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus folyamat minden $\oo$ elemi
esem\'enyre.}
\medskip
\'Erv\'enyes az (\'altal\'anos\'{\i}tott) Wiener-folyamatok
k\"ovetkez\H{o} jellemz\'ese.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel az (\'altal\'anos\'{\i}tott) Wiener-folyamatok egy
jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen adva egy $X(t,\oo)$, sztochasztikus
folyamat \'es $\Cal F_t$, $\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o} sorozata
$0\le t\le T$ pa\-ra\-m\'e\-te\-rek\-re \'ugy, hogy $X(t,\oo)$
$\Cal F_t$ m\'erhet\H{o} minden $0\le t\le T$ sz\'amra. Tegy\"uk fel
azt is, hogy $EX^2(t,\oo)<\infty$ minden $t\ge0$ sz\'amra, $X(0,\oo)=0$
minden $\oo$ elemi esem\'enyre, \'es az $(X(t,\oo),\Cal F_t)$ \'es
$(X^2(t,\oo)-t,\Cal F_t)$, $0\le t\le T$, p\'arok marting\'alok.
Ha ezenk\'{\i}v\"ul az $X(t,\oo)$ sztochasztikus fo\-lya\-mat
minden trajekt\'ori\'aja foly\-to\-nos, akkor az $(X(t,\oo),\Cal F_t)$
rendszer (\'altal\'anos\'{\i}tott) Wiener-folyamat a $[0,T]$
intervallumon.}
\medskip\noindent
{\it A T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Azt kell megmutatni, hogy
tetsz\H{o}leges $0\le s<t\le T$ sz\'amp\'arra $X(t,\oo)-X(s,\oo)$ a
$\Cal F_s$ $\sigma$-algebr\'at\'ol f\"uggetlen nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} $t-s$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ezt az
el\H{o}z\H{o} bizony\'{\i}t\'as n\'emi m\'odos\'{\i}t\'as\'aval,
finom\'{\i}t\'as\'aval megtehetj\"uk.

R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $0\le s\le T$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk
az $Y(u,\oo)=X(s+u,\oo)-X(s,\oo)$, $0\le u\le T-s$, sztochasztikus
folyamatot, \'es $\Cal G_u=\Cal F_{s+u}$ $\sigma$-algebr\'akat,
$0\le t\le T-s$. Vegy\"uk \'eszre, hogy $E(Y(v,\oo)|\Cal G_u)=0$
\'es $E(Y^2(v,\oo)-v|\Cal G_u)=Y^2(u,\oo)-u$, ha $0\le u<v\le T-s$.
Az utols\'o azonoss\'agot a k\"ovetkez\H{o} sz\'amol\'as mutatja:
$$
\align
&E(Y^2(v,\oo)-v|\Cal G_u)=E([X(v+s,\oo)-X(s,\oo)]^2-v|\Cal F_{s+u})\\
&\qquad=E(X^2(v+s,\oo)-(v+s)|\Cal F_{s+u})+X^2(s,\oo)
-2X(s,\oo)EX(v+s,\oo)|\Cal F_{s+u})+s\\
&\qquad=X^2(u+s,\oo)-(u+s)+X^2(s,\oo)-2X(s,\oo)X(u+s,\oo)+s\\
&\qquad=(X(u+s,\oo)-X(s,\oo))^2-u=Y^2(u,\oo)-u.
\endalign
$$
Ez\'ert alkalmazhatjuk az el\H{o}z\H{o} bizony\'{\i}t\'ast n\'emi
\'atsk\'al\'az\'assal. Abb\'ol azt kapjuk, hogy
$Y(t-s,\oo)=X(t,\oo)-X(s,\oo)$
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}, $t-s$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Meg kell m\'eg mutatni azt is, hogy ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o f\"uggetlen a $\Cal F_s$ $\sigma$-algebr\'at\'ol. Ennek
\'erdek\'eben alkalmazzuk a k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'est.

Vegy\"unk egy tetsz\H{o}leges $B\in\Cal F_s=\Cal G_0$ esem\'enyt,
amelyre $P(B)>0$, \'es tekints\"uk az $(Y(u,\oo), \Cal G_u)$,
$0\le u\le T-s$, p\'arokat ugyanazon az $(\Omega,\Cal A)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, de helyettes\'{\i}ts\"uk
a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket azzal a $P_B$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekkel, amelyet a
$P_B(A)=\frac{P(B\cap A)}{P(B)}$, $A\in\Cal A$, k\'eplet defini\'al.
Az $(Y(u,\oo),\Cal G_u)$ \'es $(Y^2(u,\oo)-u,\Cal G_u)$,
$0\le u\le T-s$, rendszerek tov\'abbra is marting\'alt alkotnak.
Ez\'ert a fenti $P_B$ m\'ert\'ekhelyettes\'{\i}t\'essel kapott
rendszerre alkalmazva a m\'ar bizony\'{\i}tott eredm\'enyt, kapjuk,
hogy $P(\{\oo\colon X(t,\oo)-X(s,\oo)<x\}\cap B)=P(B)\Phi(x,t-s)$, ahol
$\Phi(x,\sigma^2)$ a nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} $\sigma^2$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as \'ert\'ek\'et jel\"oli
az $x$ helyen. Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as igaz minden $x$ val\'os
sz\'amra \'es $B\in\Cal F_s$ esem\'enyre, innen k\"ovetkezik a t\'etel
\'all\'{\i}t\'asa.

\bye
