\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus1pt
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf POISSON \'ES EXPONENCI\'ALIS ELOSZL\'AS\'U 
VAL\'OSZ\'IN\H{U}S\'EGI}
\vskip3pt 
\centerline{\bf V\'ALTOZ\'OK, POISSON FOLYAMATOK.}

\medskip\medskip\noindent
Ismertetem Poisson mez\H{o}k \'es Poisson folyamatok
definici\'oj\'at, illetve bebizony\'{\i}tom, hogy ilyen mez\H{o}k
\'es folyamatok val\'oban l\'eteznek. A bizony\'{\i}t\'as
\'erdek\'eben el\H{o}sz\"or felid\'ezem a Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok definici\'oj\'at \'es megadom
azok legfontosabb tulajdons\'agait.

\medskip\noindent
{\bf Poisson eloszl\'as definici\'oja.}  {\it Egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o akkor $\lambda$
pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ha
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$$
P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k=0,1,2,\dots
$$
}\medskip

Ily m\'odon val\'oban val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot
defini\'altunk, mert
$$
\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)=\sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda} e^\lambda=1.
$$

\medskip
Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$$
E\xi=\sum_{k=1}^\infty k\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
=e^{-\lambda}\lambda\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}
=\lambda e^{-\lambda+\lambda}=\lambda,
$$
$$
\align
E\xi^2=\sum_{k=1}^\infty k^2\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
&=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
+\sum_{k=1}^\infty k\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \\
&=e^{-\lambda}\lambda^2\sum_{k=2}^\infty
\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}+\lambda
=\lambda^2+\lambda,
\endalign
$$
\'es $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2=(\lambda+\lambda^2)-\lambda^2=\lambda$.

A k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} \'all\'{\i}t\'as a Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyik
legfontosabb tulajdons\'ag\'at fejezi ki. Ez\'ert ezt T\'etel
form\'aj\'aban fogalmazom meg.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen, Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
el\-osz\-l\'a\-s\'a\-r\'ol.} {\it Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
f\"uggetlen, $\lambda$ illetve $\mu$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o, akkor a
$\xi+\eta$ \"osszeg $\lambda+\mu$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\align
P(\xi+\eta=k)&=\sum_{j=0}^kP(\xi=j,\eta=k-j)=
\sum_{j=0}^kP(\xi=j)P(\eta=k-j) \\
&=\sum_{j=0}^k \frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}
\frac{\mu^{k-j}}{(k-j)!}e^{-\mu}=
\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}
\sum_{j=0}^k \frac{k!}{j!(k-j)!} \lambda^j \mu^{(k-j)} \\
&=\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k.
\endalign
$$

\medskip
A fenti eredm\'eny k\"ovetkezm\'enye, hogy v\'eges sok
f\"uggetlen, Poisson eloszl\'as\'u 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi  v\'altoz\'o \"osszege egy 
olyan Poisson el\-osz\-l\'a\-s\'u  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o, amelynek param\'etere  az egyes 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
param\'etereinek az \"osszege. A k\"ovetkez\H{o} szint\'en 
t\'etel form\'aj\'aban megfogalmazott eredm\'eny ezen
\'all\'{\i}t\'as meg\-for\-d\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak is
te\-kint\-he\-t\H{o}. Ebben egy Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot bontunk fel f\"uggetlen,
kisebb param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere
egy al\-kal\-mas konstrukci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ez az
eredm\'eny fontos szerepet fog j\'atszani Poisson mez\H{o}k \'es
Poisson folyamatok konstrukci\'oj\'aban is.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok felbont\'as\'ar\'ol.} {\it Legyen adva $k$ darab urna,
\'es ezekbe dobjunk be v\'eletlen $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, ahol
$\xi$ Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\lambda>0$ param\'eterrel. Legyenek az egyes dob\'asok eredm\'enyei
egy\-m\'as\-t\'ol \'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot\'ol is f\"uggetlenek. Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy
minden egyes dob\'asn\'al a goly\'o $p_j\ge0$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a $j$-ik urn\'aba,
$j=1,\dots,k$, $\sum\limits_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\eta_j$ a
$j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at. Ekkor az $\eta_j$,
$j=1,\dots,k$, val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, \'es $\eta_j$ Poisson eloszl\'as\'u $\lambda p_j$
param\'eterrel, $j=1,\dots,k$.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}
$$
\align
P(\eta_1=l_1,\dots,\eta_k=l_k)
&=P(\xi=l_1+\cdots+l_k)\frac{(l_1+\cdots+l_k)!}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}\\
&=\frac{\lambda^{(l_1+\cdots+l_k)}}{(l_1+\cdots+l_k)!}
e^{-\lambda} \frac{(l_1+\cdots+l_k)!}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}\\
&=\frac{\lambda^{l_1}\cdots\lambda^{l_k}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda(p_1+\cdots+p_k)}
=\prod_{j=1}^k\frac{ (\lambda p_j)^{l_j}}{l_j!}e^{-\lambda p_j}
\endalign
$$
tetsz\H{o}leges $l_1\ge0$, \dots, $l_k\ge0$ eg\'esz sz\'amokra.
Innen ad\'odik az \'all\'{\i}t\'as.

\medskip
\'Erv\'enyes egy fontos hat\'areloszl\'ast\'etel is, amelyikben
a hat\'areloszl\'as a Poisson eloszl\'as. Ezt az eredm\'enyt
a Poisson mez\H{o}k \'es Poisson folyamatok konstrukci\'oja ut\'an
fogom felid\'ezni, de a bizony\'{\i}t\'ast csak a 
kieg\'esz\'{\i}t\'esben t\'argyalom.

\medskip
Bevezetem a v\'eletlen mez\H{o} fogalm\'at, majd annak sz\'amunkra
legfontosabb speci\'alis eset\'et, a Poisson mez\H{o}ket. A
v\'eletlen mez\H{o} szeml\'eletes tartalma az, hogy egy alaphalmaznak,
p\'eld\'aul a s\'{\i}knak vagy a sz\'amegyenesnek kijel\"olj\"uk
v\'eletlen\"ul v\'eges vagy meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o\-an
v\'egtelen sok kit\"untetett pontj\'at. Ezut\'an els\H{o}sorban olyan
k\'erd\'esekre vagyunk kiv\'ancsiak, hogy az alaphalmaz valamely
sz\'ep r\'eszhalmaz\'aba h\'any kijel\"olt pont ker\"ult. Ez a
pontsz\'am term\'eszetesen a v\'eletlent\H{o}l f\"ugg, ez teh\'at
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A v\'eletlen mez\H{o}k
definici\'oja a k\"ovetkez\H{o}.

\medskip\noindent
{\bf V\'eletlen mez\H{o} definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
$(U,\Cal U)$ m\'erhet\H{o} t\'er, azaz egy $U$ halmaz, \'es annak
bizonyos r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra valamint egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} \'es azon
v\'eges vagy meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o\-an v\'egtelen sok
$U$-halmazbeli \'ert\'ek\H{u} \'altal\'anos\'{\i}tott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ez azt jelenti, hogy
minden $B\in\Cal U$ halmazra \'es $j=1,2,\dots$, sz\'amra
$\{\oo\colon\; \xi_j(\oo)\in B\}\in\Cal A$. Az
`\'altal\'anos\'{\i}tott' jelz\H{o} ebben a definici\'oban arra utal,
hogy nem k\"ovetelj\"uk meg, hogy a $\xi_j(\oo)$ f\"uggv\'enyek
minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre defini\'alva legyenek.
Lehets\'eges, hogy bizonyos $\xi_j(\cdot)$ f\"uggv\'enyek
csak valamely $A_j\subset\Omega$, $A_j\in\Cal A$, halmazon
vannak defini\'alva.}

\medskip
Ha adva egy v\'eletlen mez\H{o} valamely $(U,\Cal U)$ t\'eren,
akkor defini\'alhatjuk minden $B\in\Cal U$ halmazra a
$$
\chi_B(\oo)=\{\text{azon $j$ indexek sz\'ama, amelyekre }
\xi_j(\oo)\in B\}
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely azt adja meg, hogy a
$B$ halmazba h\'any kijel\"olt pont esik. A $\chi_{B}(\oo)=\infty$
lehet\H{o}s\'eg szint\'en megengedett. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$\chi_B(\oo)$ (eset\-leg v\'egtelen \'ert\'eket is felvev\H{o})
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz
$\{\oo\colon\;\chi_B(\oo)=k\}\in\Cal A$ minden $k=0,1,2,\dots$
sz\'amra. Val\'oban, minden (v\'eges) $k$ hossz\'us\'ag\'u 
$j_1,\dots,j_k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amokb\'ol \'all\'o 
sorozatra \'es $B\in\Cal U$ halmazra defini\'alhatjuk a
$$
D_B(j_1,\dots,j_k,\oo)=\{\oo\colon\;\xi_{j_s}(\oo)\in B,\;1\le s\le k,
\;\xi_l(\oo)\notin B,\text{ ha } l\notin\{j_1,\dots,j_k\}\}\in\Cal A,
$$
esem\'enyt. R\"ogz\'{\i}tett $k$ sz\'amra megsz\'aml\'alhat\'oan sok
$D_B(j_1,\dots,j_k,\oo)$ esem\'eny van, \'es
a $\chi_B(\oo)$ esem\'eny ezek uni\'oja. Ez azt jelenti, hogy mindig
besz\'elhet\"unk a $P(\chi_B(\oo)=k)$, $B\in\Cal U$, $k=0,1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekr\H{o}l. A v\'eletlen mez\H{o} \'es a
$\chi_B(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
definici\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy k\'et diszjunkt $B_1$ \'es
$B_2$ halmazra
$\chi_{B_1\cup B_2}(\oo)=\chi_{B_1}(\oo)+\chi_{B_2}(\oo)$, s\H{o}t
ez az additiv\'{\i}t\'asi tulajdons\'ag megsz\'aml\'alhat\'o sok
diszjunkt halmazra is igaz.

A Poisson mez\H{o} speci\'alis sztochasztikus mez\H{o}. Megadom
ennek definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf Poisson mez\H{o} definici\'oja.}\/ {\it Legyen adva egy
$(U,\Cal U)$ m\'erhet\H{o} t\'er, \'es azon egy $\mu$ v\'eges vagy
$\sigma$-v\'eges m\'ert\'ek. Egy v\'eletlen mez\H{o} Poisson mez\H{o}
$\mu$ sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel, ha minden olyan $B\in\Cal U$
halmazra, amelyre $\mu(B)<\infty$, $\chi_B(\oo)$ Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\mu(B)$
param\'eterrel, tov\'abb\'a, ha $B_1$, $B_2$,\dots $B_k$ diszjunkt
$\Cal U$ m\'erhet\H{o} halmazok, $\mu(B_j)<\infty$, $1\le j\le k$,
akkor a $\chi_B(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek.}

\medskip
Eml\'ekeztet\H{o}\"ul megjegyzem, hogy egy m\'ert\'ek v\'eges egy
$(U,\Cal U)$ m\'erhet\H{o} t\'eren, ha $\mu(U)<\infty$, \'es
$\sigma$-v\'eges, ha el\H{o}\'all\'{\i}that\'o megsz\'aml\'alhat\'oan
v\'egtelen sok v\'eges m\'ert\'ek $\mu=\summ_{k=1}^\infty\mu_k$
\"osszegek\'ent. P\'elda $\sigma$-v\'eges, de nem v\'eges
m\'ert\'ekre a Lebesgue m\'ert\'ek (azaz a t\'erfogat) az Euklideszi
t\'eren. Ebbben az esetben a $\mu$ m\'ert\'ek
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o a k\'{\i}v\'ant \"osszeg
alakj\'aban p\'eld\'aul \'ugy, hogy a $\mu_k$ m\'ert\'eknek a
Lebesgue m\'ert\'ek megszor\'{\i}t\'as\'at vessz\"uk a $k-1$ \'es
$k$ sugar\'u g\"ombfel\"uletek k\"oz\"otti tartom\'anyba. B\'ar a
v\'eletlen mez\H{o}ket az \'altal\'anos esetben defini\'altam, minket
a tov\'abbiakban csak a Poisson mez\H{o}k fognak \'erdekelni. Ezen
bel\"ul is csak azzal az esettel fogok foglalkozni, amikor az $U$
halmaz a $k$-dimenzi\'os Euklideszi t\'er, (speci\'alisan a
sz\'amegyenes) vagy annak egy sz\'ep r\'eszhalmaza, \'es az $\Cal U$
$\sigma$-algebra az $U$ halmaz Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazaib\'ol
\'all. A f\H{o} probl\'ema annak megmutat\'asa, hogy a Poisson
mez\H{o}k val\'oban l\'eteznek.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel Poisson mez\H{o}k l\'etez\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen
adva egy $\mu$ v\'eges vagy $\sigma$-v\'eges m\'ert\'ek az $R^n$
$n$-dimenzi\'os Euklideszi t\'er $\Cal B^n$ Borel
$\sigma$-algebr\'aj\'an. L\'etezik az $R^n$ $n$-dimenzi\'os t\'er
Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an Poisson mez\H{o} ezzel a $\mu$
m\'ert\'ekkel, mint sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt
az esetet, amikor a $\mu$ m\'ert\'ek v\'eges. Legyen $M=\mu(R^n)$,
\'es vezess\"uk be a $\bar\mu=\frac{\mu}M$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'eket. Tekints\"unk egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, \'es azon v\'egtelen sok
f\"uggetlen $\zeta_1,\zeta_2,\dots$ $\bar\mu$ eloszl\'as\'u
\'es egy t\H{o}l\"uk f\"uggetlen $\eta$ Poisson eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot $M$ param\'eterrel. A 
Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel t\'argyal\'asakor l\'at\-tuk, hogy 
alkalmas val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n l\'eteznek ilyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. A Poisson mez\H{o}t
\'ugy konstru\'aljuk, hogy ledobunk v\'eletlen\"ul $\eta$ sz\'am\'u
$\bar\mu$ eloszl\'as\'u pontot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul az 
$R^n$ t\'erbe. Pontosabban fogalmazva a k\"ovetkez\H{o}t tessz\"uk. 
Defini\'aljuk a $\xi_j$ \'altal\'anos\'{\i}tott 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat a k\"ovetkez\H{o} 
m\'odon: $\xi_j(\oo)=\zeta_j(\oo)$, ha $j\le\eta(\oo)$, \'es a 
$\xi_j(\oo)$-t nem defini\'aljuk ha $\eta(\oo)>j$. Ilyen m\'odon 
egy v\'eletlen mez\H{o}t defini\'altunk. Azt kell bel\'atni, hogy 
ez a v\'eletlen mez\H{o} Poisson mez\H{o} $\mu$ sz\'aml\'al\'o 
m\'ert\'ekkel. Ehhez azt kell megmutatni, hogy ha kiv\'alasztunk 
bizonyos $A_1\in\Cal B_n$,\dots, $A_k\in\Cal B_n$ diszjunkt 
halmazokat, akkor az $A_l$ halmazokba es\H{o} kijel\"olt
$\xi_j(\oo)$ pontok sz\'amai egym\'ast\'ol f\"uggetlen Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\mu(A_l)$
param\'eterrel, $1\le l\le k$. Ennek bel\'at\'asa \'erdek\'eben
eg\'esz\'{\i}ts\"uk ki ezt a hal\-maz\-rend\-szert az
$A_{k+1}=R^n\setminus \bigcupp_{l=1}^k A_l$ halmazzal. Az e
halmazokba v\'eletlen\"ul ledobott kijel\"olt pontok
sz\'am\'anak eloszl\'as\'at le\'{\i}rja a {\it Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok felbont\'as\'ar\'ol
sz\'ol\'o t\'etel}. Eszerint az egyes $A_l$ halmazokba es\H{o} pontok
sz\'ama egym\'ast\'ol f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $M\bar\mu(A_l)=\mu(A_l)$
param\'eterrel. V\'eges $\mu$ m\'ert\'ekek eset\'en a t\'etelt
bel\'attuk.

Ha $\mu$ $\sigma$-v\'eges m\'ert\'ek, akkor tekints\"uk ennek
valamely $\mu=\summ_{l=1}^\infty\mu_l$ el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at
v\'eges m\'ert\'ekek \"osszegek\'ent, \'es tekints\"unk minden $l$-re
egy a t\"obbi Poisson mez\H{o}t\H{o}l f\"uggetlen Poisson mez\H{o}t
$\mu_l$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ekkel. (Ez lehets\'eges, ha a
k\"ul\"onb\"oz\H{o} Poisson mez\H{o}ket egym\'ast\'ol f\"uggetlen
$\zeta_1^{(l)},\zeta_2^{(l)},\dots$ \'es $\eta^{(l)}$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'all\'{\i}tjuk el\H{o}.) Tekints\"uk e Poisson
mez\H{o}k \"osszeg\'et, azaz tekints\"uk azt a v\'eletlen mez\H{o}t,
amelynek kijel\"olt pontjai ezen Poisson mez\H{o}k kijel\"olt
pontjainak az uni\'oja. Ilyen m\'odon egy Poisson mez\H{o}t kapunk
$\mu$ sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel. Ugyanis egyr\'eszt diszjunkt
halmazokba es\H{o} kijel\"olt pontok sz\'ama egym\'ast\'ol
f\"uggetlen. M\'asr\'eszt f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszege Poisson
eloszl\'as\'u, \'es az \"osszeg param\'etere egyenl\H{o} az
\"osszeadand\'ok param\'etereinek az \"osszeg\'evel. Innen nem
neh\'ez l\'atni, hogy egy $A$ halmazba es\H{o} kijel\"olt pontok
sz\'ama Poisson eloszl\'as\'u $\summ_{l=1}^\infty\mu_l(A)=\mu(A)$
param\'eterrel, ha $\mu(A)<\infty$, \'es v\'egtelen, ha
$\mu(A)=\infty$.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A fenti t\'etelt Poisson mez\H{o}k
l\'etez\'es\'er\H{o}l el\H{o}\'{\i}rt sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel
hasonl\'oan lehet bizony\'{\i}tani tetsz\H{o}leges $(U,\Cal U)$
m\'ert\'ekt\'erre, ha azon adva van egy $\mu$ v\'eges vagy
$\sigma$-v\'eges $\mu$ m\'ert\'ek. Az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg a
bizony\'{\i}t\'asban az, hogy a konstrukci\'oban a Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etel helyett a m\'ert\'ekterek v\'egtelen szorzat\'ar\'ol
sz\'ol\'o t\'etelre kell hivatkozni.

\medskip
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban szint\'en fontos
szerepet j\'atszanak a Poisson folyamatok. Ezek l\'etez\'es\'et is
be kell bizony\'{\i}tani. De ezt az \'all\'{\i}t\'ast
egyszer\H{u}en vissza lehet vezetni a Poisson mez\H{o}k
l\'etez\'es\'ere.

A Poisson folyamat alkalmas tulajdons\'agokkal rendelkez\H{o}
sztochasztikus folyamat a poz\'{\i}tiv f\'elegyenesen vagy
valamely $[0,T]$ intervallumon. (Egy adott $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt \'es valamely
$T$ halmaz elemeivel param\'eterezett $X(t)=X(t,\oo)$, $t\in T$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok rendszer\'et
sztochasztikus folyamatnak nevezz\"uk a $T$ halmazon.)

\medskip\noindent
{\bf Poisson folyamat definici\'oja.} {\it Egy $X(t,\oo)$,
$0\le t\le T$, (vagy $0\le t<\infty$) szto\-chasz\-ti\-kus
folyamatot a $[0,T]$ intervallumon (vagy a pozit\'{\i}v
f\'elegyenesen) Poisson folyamatnak nevez\"unk $\lambda$
param\'eterrel, ha teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket:

\medskip
\item{(i)} Az $X(t,\oo)$ sztochasztikus folyamat f\"uggetlen
n\"ovekm\'eny\H{u}, azaz tetsz\H{o}leges $0<t_1<t_2<\cdots<t_k\le T$
pontokra az $X(t_1,\oo)$, $X(t_2,\oo)-X(t_1,\oo)$,\dots,
$X(t_k,\oo)-X(t_{k-1},\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek.
\item{(ii)} $X(0,\oo)=0$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, \'es
$X(t,\oo)-X(s,\oo)$ Poisson eloszl\'as\'u $\lambda (t-s)$
param\'eterrel.
\item{(iii)} Az $X(\cdot,\oo)$ trajekt\'oria monoton n\"ovekv\H{o},
jobbr\'ol folytonos eg\'esz \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'eny.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel Poisson folyamat l\'etez\'es\'er\H{o}l.} {\it
Tetsz\H{o}leges $\lambda>0$ sz\'amra l\'etezik $\lambda$
param\'eter\H{u} Poisson folyamat a $[0,T]$ intervallumon vagy
$[0,\infty)$ f\'elegyenesen.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Tekints\"unk egy Poisson mez\H{o}t
a sz\'amegyenesen, amelynek sz\'aml\'al\'o m\'ert\'eke
$\lambda\times\text{a Lebesgue m\'ert\'ek a $[0,T]$ intervallumon
vagy a $[0,\infty)$ f\'elegyenesen.}$ L\'attuk, hogy ilyen Poisson
mez\H{o} l\'etezik. Legyen $X(t,\oo)$ egy ilyen Poisson mez\H{o}
kijel\"olt pontjainak a sz\'ama a $[0,t]$ intervallumban minden
$0\le t\le T$ vagy $0\le t<\infty$ param\'eterre. Nem neh\'ez
bel\'atni, hogy az \'{\i}gy defini\'alt $X(t,\oo)$ sztochasztikus
folyamat Poisson folyamat.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} A Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel
\"on\-ma\-g\'a\-ban nem elegend\H{o} a Poisson folyamatok
l\'etez\'es\'enek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz. Ennek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet l\'atni, hogy l\'etezik a Poisson
folyamatok definici\'oj\'aban szerepl\H{o} (i) \'es (ii)
tulajdons\'agot teljes\'{\i}t\H{o} sztochasztikus folyamat. De az,
hogy a sztochasztikus folyamat trajekt\'ori\'anak
tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o (iii) felt\'etel is
kiel\'eg\'{\i}thet\H{o} k\"ul\"on indokl\'ast ig\'enyel. Sz\'amunkra
a Poisson mez\H{o}k l\'etez\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o eredm\'eny
jelentett nagy seg\'{\i}ts\'eget ennek bizony\'{\i}t\'as\'aban.

\medskip

A bevezet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
el\H{o}ad\'asban szerepelt egy olyan hat\'areloszl\'ast\'etel, amely
megvil\'ag\'{\i}totta, hogy bizonyos v\'eletlen jelens\'egek, mint
p\'eld\'aul a csillaghull\'as vagy r\'adioakt\'{\i}v boml\'as
megfigyel\'es\'en\'el mi\'ert tal\'alkozunk gyakran Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal. Ha
alaposabban, m\'elyebben tanulm\'anyozzuk ezeket az
ered\-m\'e\-nye\-ket, \'es p\'eld\'aul a csillaghull\'askor
nemcsak arra vagyunk kiv\'ancsiak, hogy egy r\"ogz\'{\i}tett
id\H{o}\-in\-ter\-val\-lum\-ban h\'any csillag esik le, hanem a
lehullott csillagok sz\'ama milyen (v\'eletlen) f\"uggv\'enye a
megfigyel\'esi id\H{o}tartamnak, akkor meg\'erthetj\"uk, hogy
nemcsak a Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, hanem a Poisson folyamatok is term\'eszetes m\'odon
megjelennek ilyen jelens\'egek vizsg\'alat\'aban.

Most ezzel az \'altal\'anosabb k\'erd\'essel nem foglalkozunk.
Viszont ismertetem azt a bevezet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban tanult
hat\'areloszl\'ast\'etelt --- kiss\'e \'altal\'anosabb alakban,
--- amelyben a Poisson eloszl\'as jelenik meg, mint
hat\'areloszl\'as. Ennek az ered\-m\'eny\-nek a
bizony\'{\i}t\'as\'aval itt nem foglalkozom. A kor\'abban
tanult bizony\'{\i}t\'as a ge\-ne\-r\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
m\'odszer\'en alapult. A kieg\'esz\'{\i}t\'esben megadom ennek a
t\'etelnek egy m\'as, \"on\-ma\-g\'a\-ban is \'erdekes
bizony\'{\i}t\'as\'at, amely jobban meg\-vi\-l\'a\-g\'{\i}t\-ja az
eredm\'eny h\'atter\'et.

A most megfogalmazott t\'etelben szerepel egy \'uj fogalom, a
sz\'eriasorozat fogalma. Ezzel k\'es\H{o}bb is fogunk tal\'alkozni.

\medskip\noindent
{\bf Hat\'areloszl\'ast\'etel Poisson hat\'areloszl\'assal.}\/ {\it
Legyen adva egy
$$
\align
&\xi_{1,1}\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1}\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
sz\'eriasorozat, azaz $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy olyan rendszere, amelyben
az egy sorban \'all\'o (azaz ugyanolyan $k$ index-szel rendelkez\H{o})
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok tel\-je\-s\'{\i}\-tik a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}
felt\'eteleket is:

\medskip
\item{1.)} A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel.
\item{2.)} $P(\xi_{k,j}=1)=\lambda_{k,j}$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=\lambda>0$.
\item{3.)} $\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}\to0$, ha $k\to\infty$,
\'es $\summ_{j=1}^{n_k}P\(\xi_{k,j}\ge2\)\to0$, ha $k\to\infty$.

\medskip
\item{} Ekkor az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ v\'eletlen
\"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak a $\lambda$
para\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$,
azaz $\limm_{k\to\infty}P(S_k=l)=\frac{\lambda^l}{l!}e^{-\lambda}$
minden $l=0,1,2,\dots$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\it P\'elda a hat\'areloszl\'ast\'etel Poisson eloszl\'assal 
eredm\'eny alkalmaz\'as\'ara.}  Legyen adva $(k,p_k)$ 
param\'eter\H{u} binomi\'alis eloszl\'as\'u $S_k$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, $k=1,2,\dots$, 
amelyek param\'etereire $\limm_{k\to\infty}kp_k=\lambda$
valamely $\lambda>0$ sz\'ammal, ha $k\to\infty$. Ekkor az $S_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban 
konverg\'alnak a $\lambda$ para\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson 
eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$. Ezt be lehet l\'atni k\"ozvetlen
sz\'amol\'assal, de k\"ovetkezik a fenti t\'etelb\H{o}l is. 

Val\'oban, tekints\"unk minden $k=1,2,\dots$ indexre f\"uggetlen 
$\xi_{k,j}$, $1\le j\le k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'okat, amelyekre $P(\xi_{k,j}=1)=1-P(\xi_{k,j}=0)=p_k$.
Ekkor az $S_k=\summ_{j=1}^k\xi_{k.j}$ \"osszegek $(k,p_k)$ 
param\'eter\H{u} binomi\'alis eloszl\'as\'u  
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyek teljes\'{\i}tik
a t\'etel felt\'eteleit  $\lambda=\limm_{k\to\infty}kp_k$ 
param\'eterrel. Ez\'ert eloszl\'asban konverg\'alnak a
$\lambda$ para\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'ashoz, ha 
$k\to\infty$. 

\vfill\eject

\noindent
{\bf Exponenci\'alis eloszl\'as\'u  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, Poisson folyamatok, ren\-de\-zett mint\'ak, \'es
ezek kapcsolata egym\'assal.}

\medskip\noindent
F\"uggetlen, exponenci\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegei, Poisson folyamatok illetve \'ugynevezett
egyenletes eloszl\'as\'u rendezett mint\'ak k\"oz\"ott szoros
kapcsolat van, amelynek meg\'ert\'ese hasznos mind a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as mind a matematikai
sta\-tisz\-ti\-ka sz\'am\'ara. N\'eh\'any e probl\'emak\"orbe tartoz\'o
eredm\'enyt fogunk bizony\'{\i}tani. A bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-sok
fontos r\'esze lesz bizonyos v\'eletlen vektorok eloszl\'as illetve
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek a ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-sa.
Annak \'erdek\'eben, hogy ezt megtehess\"uk, felid\'ezem a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyr\H{o}l, illetve a vel\"uk val\'o
sz\'amol\'asr\'ol sz\'ol\'o legfontosabb tanult eredm\'enyeket.

\medskip\noindent
{\it T\"obbv\'altoz\'os s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek legfontosabb
tulajdons\'agai.}

\medskip\noindent
{\bf T\"obbv\'altoz\'os s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny definici\'oja.}
{\it Legyen $F(x_1,\dots,x_k)$ egy $k$-v\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'eny. Azt mondjuk, hogy ennek az
eloszl\'asf\"uggv\'enynek az $f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha teljes\"ul az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=\int_{-\infty}^{x_1}\cdots\int_{-\infty}^{x_k}
f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots\,du_k
$$
azonoss\'ag minden val\'os $x_1,\dots,x_k$ sz\'am-$k$-asra.}

\medskip
Ha egy $(\xi_1,\dots,x_k)$ v\'eletlen vektornak $F(x_1,\dots,x_k)$
az eloszl\'asf\"uggv\'enye, \'es az $f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny
az $F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor id\H{o}n\-k\'ent azt mondjuk,
hogy $f(x_1,\dots,x_k)$ a $(\xi_1,\dots,x_k)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.

Term\'eszetesen, az egyv\'altoz\'os esethez hasonl\'oan, magasabb
dimenzi\'oban sem l\'e\-te\-zik minden eloszl\'asf\"uggv\'enynek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. M\'asr\'eszt az
eloszl\'asf\"uggv\'enyekhez hasonl\'oan a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyeknek is van jellemz\'ese.

\medskip\noindent
{\bf S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny jellemz\'ese.} {\it Egy
$f(x_1,\dots,x_k)$ $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny akkor \'es csak
akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy alkalmas
eloszl\'asf\"uggv\'enynek, ha $f(x_1,\dots,x_k)\ge0$
(majdnem) minden $(x_1,\dots,x_k)$ pontra, \'es
$$
\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty
f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots\,du_k=1.
$$
}

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny kapcsolata.} {\it
Az eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
k\"ol\-cs\"o\-n\"o\-sen meghat\'arozz\'ak egym\'ast. El\'eg sima
(el\'eg sokszor differenci\'alhat\'o) $F(x_1,\dots,x_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny $f(x_1,\dots,x_k)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye l\'etezik, \'es az kisz\'amolhat\'o az
$$
f(x_1,\dots,x_k)=\frac{\partial^k F(x_1,\dots,x_k)}{\partial x_1\cdots
\partial x_k}
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} \'all\'{\i}t\'as nagyon fontos lesz
sz\'amunkra a k\'es\H{o}bbiekben.

\medskip\noindent
{\bf F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol
\'all\'o v\'eletlen vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.}
{\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $F_j(x)$ eloszl\'as \'es
$f_j(x)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'ennyel, $1\le j\le k$.
Ekkor a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asf\"uggv\'enye az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=F(x_1)\cdots F(x_k)
$$
\'es (l\'etez\H{o}) s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$$
f(x_1,\dots,x_k)=f(x_1)\cdots f(x_k)
$$
f\"uggv\'eny.}

Ugyancsak fontos sz\'amunkra a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny, amely azt
adja meg, hogy hogyan lehet kisz\'amolni sok minket \'erdekl\H{o}
mennyis\'eget s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip\noindent
{\bf V\'eletlen vektor f\"uggv\'enyei \'es azok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek kisz\'amol\'asa s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} {\it Legyen egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektornak $f(x_1,\dots,x_k)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Ekkor tetsz\H{o}leges
(Borel m\'erhet\H{o}) halmazra a $k$-dimenzi\'os t\'erben
$$
P((\xi_1,\dots,\xi_k)\in B)
=\(\idotsint\)_B f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots\,du_k
$$
\'Altal\'anosabban, legyen $g(x_1,\dots,x_k)$ tetsz\H{o}leges
(m\'erhet\H{o}) $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny. Ekkor
$$
Eg(\xi_1,\dots,\xi_k)=\idotsint g(u_1,\dots,u_k)f(u_1,\dots,u_k)
\,du_1\dots\,du_k,
$$
ha az $Eg(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'arhat\'o \'ert\'ek l\'etezik, (azaz
v\'eges sz\'am).}

\medskip
Ahhoz, hogy a fenti eredm\'enyeket haszn\'alni tudjuk, tudnunk
kell t\"obbv\'altoz\'os integr\'alokkal sz\'amolni. Ehhez
egyr\'eszt fontos a Fubini t\'etel, amely szerint t\"obbv\'altoz\'os
integr\'alokat ki lehet sz\'amolni szukcessz\'{\i}v egyv\'altoz\'os
integr\'al\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ma\-te\-ma\-ti\-kai k\'epletben
megfogalmazva:
$$
\idotsint f(x_1,\dots,x_k)\,dx_1\dots\,dx_k=
\int\dots\(\int\(\int f(x_1,\dots,x_k)\,dx_1\)\,dx_2\)\dots \,dx_k.
$$
M\'asr\'eszt sz\"uks\'eg\"unk lesz az egyv\'altoz\'os integr\'alok
kisz\'amol\'as\'aban fontos szerepet j\'at\-sz\'o
he\-lyet\-te\-s\'{\i}\-t\'e\-ses integr\'al t\"obbv\'altoz\'os
megfelel\H{o}j\'ere. Ismertetem az ut\'obbi eredm\'enyt.

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'aval foglalkozunk. Ha adva van az
$n$-dimenzi\'os t\'er egy $A$ tartom\'any\'anak sz\'ep, sima \'es
invert\'alhat\'o $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le n$,
lek\'epez\'ese az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$
tartom\'any\'aba, valamint egy
$$
\int_B f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots\,dy_n
$$
alak\'u integr\'al a $B$ tartom\'anyon, akkor hogyan tudjuk ezt
az integr\'alt \'at\'{\i}rni az $y_k=T_k(x_1,\dots,x_k)$,
$k=1,\dots,n$, lek\'epez\'esek seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
mint egy alkalmas az $A$ tartom\'anyon \'ertelmezett
f\"uggv\'eny integr\'alj\'at? C\'elunk az, hogy ily m\'odon
a vizsg\'aland\'o integr\'alt egy k\"onnyebben kezelhet\H{o}
integr\'all\'a alak\'{\i}tsuk \'at.

Annak \'erdek\'eben, hogy az erre a k\'erd\'esre adott
v\'alaszt meg tudjam fogalmazni el\H{o}sz\"or felid\'ezem egy sima
transzform\'aci\'o Jacobian-j\'anak a definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf Jacobian definici\'oja.} {\it Legyen $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$,
$1\le k\le n$, az $n$-dimenzi\'os t\'er egy tartom\'any\'anak sima
transzform\'aci\'oja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik
tartom\'any\'aba.  Vezess\"uk be a $\bold T=(T_1,\dots,T_n)$
jel\"ol\'est. A $\bold T$ transzform\'aci\'o $\Cal J(\bold
T(x_1,\dots,x_n))$ Jaco\-bian-ja  egy $(x_1,\dots,x_n)$ pontban a
$$
\(\frac {\partial T_k(x_1,\dots,x_k)}{\partial x_l}\),
\quad 1\le l,k\le n,
$$
$n\times n$-es (az $(x_1,\dots,x_n)$ pontban vett deriv\'alt)
m\'atrix determin\'ans\'anak az abszolut \'ert\'eke.}

\medskip
(A Jacobian szeml\'eletes tartalma: Ez adja meg, hogy az
$(x_1,\dots,x_n)$ pont kis k\"ornyezet\'enek a t\'erfogat\'at a
$\bold T=(T_1,\dots,T_n)$ transzform\'aci\'o h\'anyszoros\'ara
na\-gy\'{\i}t\-ja.)

\medskip\noindent
{\bf Integr\'altranszform\'aci\'or\'ol sz\'ol\'o t\'etel.}
{\it Legyen adva az $n$-di\-men\-zi\'os t\'er egy $A$
tartom\'any\'anak egy sima $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le
n$, transzform\'altja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$
tartom\'any\'aba, amelyik invert\'alhat\'o, azaz az
$y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le n$, egyenletrendszernek egyetlen
$(x_1,\dots,x_n)\in A$ megold\'asa van minden $(y_1,\dots,y_n)\in B$
pontra. Legyen tov\'abb\'a adva egy (integr\'alhat\'o)
$f(y_1,\dots,y_n)$ f\"uggv\'eny a $B$ tartom\'anyon. Ekkor
$$
\align
\int _B &f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots\,dy_n \\
&\qquad =\int_A f(T_1(x_1,\dots,x_n),\dots,T_n(x_1,\dots,x_n))
\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_n))\,dx_1\dots\,dx_n,
\endalign
$$
ahol $\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_n))$ jel\"oli a $\bold
T(x_1,\dots,x_n)$ lek\'epez\'es Jacobianj\'at.}

\medskip\noindent
{\it Rendezett mint\'ak eloszl\'asa.}

\medskip\noindent
Ismertetem a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban \'es
matematikai statisztik\'aban is fontos ren\-de\-zett min\-t\'ak
fogalm\'at,  \'es bebizony\'{\i}tok r\'oluk egy egyszer\H{u}, de
fontos eredm\'enyt. 

Legyen adva f\"ug\-get\-len, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_1,\dots,\xi_n$
so\-ro\-za\-ta. Egy ilyen sorozatot a matematikai statisztik\'aban 
gyakran mint\'anak is neveznek, arra utalva, hogy az gyakran egy 
statisztikai probl\'em\'aban megjelen\H{o} m\'er\'esi sorozat 
ered\-m\'e\-nye\-k\'ent jelenik meg. Egy $\xi_1,\dots,\xi_n$ 
sorozat elemeinek $\xi_1^*\le\xi^*_2\le\dots\le\xi_n^*$ nagys\'ag 
sze\-rint rendezett felsorol\'as\'at rendezett mint\'anak nevezik. Az 
al\'abbi lemm\'aban megadom egy ren\-de\-zett minta elemeib\H{o}l 
k\'epzett v\'eletlen vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, ha 
ismerj\"uk a kiindul\'o f\"ug\-get\-len, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Meg\-jegy\-zem, hogy ha ez a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny l\'etezik, akkor a kiindul\'o
$\xi_1,\dots,\xi_n$ sorozat elemei egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\"ul\"onb\"oznek egym\'ast\'ol. Az
al\'abb ismertetett egyszer\H{u} eredm\'eny a k\'es\H{o}bbiekben
hasznos lesz sz\'amunkra.

\medskip\noindent
{\bf Lemma rendezett minta eloszl\'as\'ar\'ol.} {\it
 Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok a
sz\'am\-egye\-ne\-sen valamely $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Ve\-gy\"uk e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\xi_1^{*}<\xi_2^{*}<\dots<\xi_n^{*}$ nagys\'ag szerinti
sorbarendez\'es\'et, azaz a bel\H{o}l\"uk k\'esz\'{\i}tett
rendezett mint\'at. Ennek a $(\xi_1^*,\xi_2^*,\dots,\xi_n^*)$
v\'eletlen vektornak van $g(x_1,\dots,x_k)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, \'es azt a
$$
g(x_1,\dots,x_n)=\left\{
\aligned
&n!\prodd_{j=1}^n f(x_j), \quad \text{ha } x_1<x_2<\dots<x_n, \\
&0,\quad \text{ha az
$x_1<x_2<\dots<x_n$ egyenl\H{o}tlens\'egrendszer nem teljes\"ul}
\endaligned \right.
$$
k\'eplet adja meg.

Speci\'alisan, ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egyenletes eloszl\'as\'uak a sz\'amegyenes valamely $B$,
$0<\lambda(B)<\infty$ m\'erhet\H{o} halmaz\'an, ahol
$\lambda(\cdot)$ a Lebesgue m\'ert\'eket jel\"oli, akkor
a bel\"ol\"uk k\'esz\'{\i}tett rendezett minta
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x_1,\dots,x_n)=\frac{n!}{\lambda(B)}$, ha
$x_1<x_2,\dots<x_n$, \'es   $x_j\in B$ minden $1\le j\le n$
indexre, \'es $g(x_1,\dots,x_n)=0$ egy\'ebk\'ent.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} A lemma speci\'alis esetben azt \'all\'{\i}tja,
hogy ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyenletes elosz\'assal
valamely $[a,b]$ intervallumban, akkor a bel\H{o}l\"uk
k\'esz\'{\i}tett rendezett minta s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x_1,\dots,x_k)=\frac{n!}{(b-a)^n}$, ha
$a\le x_1<x_2<\cdots<x_n\le b$, \'es $g(x_1,\dots,x_n)=0$
egy\'ebk\'ent.

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Azt kell bel\'atni, hogy az
$n$-dimenzi\'os t\'er tetsz\H{o}leges $C\subset R^n$
(m\'erhet\H{o}) r\'eszhalmaz\'ara
$$
P((\xi_1^{*},\xi_2^{*},\dots,\xi_n^{*})\in C)
=\int_C g(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots\,dx_n.
$$
El\'eg ezt az azonoss\'agot a $C\subset A$, $A=\{(x_1,\dots,x_n)
\colon\; x_1<x_2,\dots<x_n\}$ alak\'u halmazokra bel\'atni, mert
$C\in R^n\setminus A$ eset\'en mind
$P((\xi_1^{*},\xi_2^{*},\dots,\xi_n^{*})\in C)=0$, mind
$\int_Cg(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots\,dx_n=0$. Adva egy
$C\subset A$ (m\'erhet\H{o}) halmaz, vezess\"uk be az
$\{1,\dots,n\}$ halmaz $\pi\in\Pi_n$ permut\'aci\'oinak a halmaz\'at,
\'es legyen
$$
C_\pi=\{(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})\colon\; (x_1,\dots,x_n)\in C,\}
$$
minden $\pi\in \Pi_n$ permut\'aci\'ora \'es $C\subset A$
halmazra. Defini\'aljuk a
$\bar C=\bigcupp_{\pi\in\Pi_n}C_{\pi}$ halmazt. Ekkor
$$
\{\oo\colon\;(\xi_1^{*}(\oo),\xi_2^{*}(\oo),\dots,
\xi_n^{*}(\oo))\in C\}=
\{\oo\colon\;(\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots,\xi_n)(\oo))\in \bar C\},
$$
a $C_\pi$ halmazok diszjunktak k\"ul\"onb\"oz\H{o} $\pi$
permut\'aci\'okra, \'es minden $C\subset A$ halmazra
$$
\align
\int_C g(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots\,dx_n
&=n!\int_C f(x_1)\dots f(x_n)\,dx_1\dots\,dx_n\\
&=\int_{\bar C} f(x_1)\cdots f(x_n)\,dx_1\dots\,dx_n
=P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in\bar C),
\endalign
$$
tov\'abb\'a $P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in\bar C)
=P((\xi_1^{*},\dots,\xi_n^{*})\in C)$.
Innen k\"ovetkezik a lemma \'all\'{\i}t\'asa az \'altal\'anos
esetben. Mivel egy a $B$ halmazon egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac1{\lambda(B)}$,
ha $x\in B$, $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent, innen k\"ovetkezik a lemma
m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa is.

\medskip\noindent
{\it F\"uggetlen, exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegei, \'es
kapcsolatuk rendezett mint\'akkal.}

\medskip\noindent
Felid\'ezem az exponenci\'alis eloszl\'asokr\'ol tanult legfontosabb
eredm\'enyeket. Ezenk\'{\i}v\"ul kisz\'amolom f\"uggetlen,
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeinek egy\"uttes
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ennek az eredm\'enynek
\'erdekes k\"ovetkezm\'enyei vannak.

\medskip\noindent
{\bf Exponenci\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it
Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o exponenci\'alis
eloszl\'as\'u $\lambda$ param\'eterrel, $\lambda>0$, ha
eloszl\'asf\"uggv\'enye, $F(x)=P(\xi<x)=1-e^{-\lambda x}$, ha
$x\ge0$, \'es $F(x)=P(\xi<x)=0$, ha $x<0$. Ezzel ekvivalens
jellemz\'es: Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda>0$ param\'eterrel, ha
l\'etezik $f(u)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az
$f(u)=\lambda e^{-\lambda u}$, ha $u\ge 0$, $f(u)=0$, ha
$u\le0$ alak\'u.}

\medskip
Az exponenci\'alis eloszl\'as fontos tulajdons\'aga az \'ugynevezett
\"or\"okifj\'u tulajdons\'ag. Ezt az egyszer\H{u} \'all\'{\i}t\'ast
fontoss\'aga miatt k\"ul\"on lemm\'aban fogalmazom meg.

\medskip\noindent
{\bf Lemma az exponenci\'alis eloszl\'as \"or\"okifj\'u
tulajdons\'ag\'ar\'ol.} {\it Egy exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} \'ugynevezett \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)=P(\xi>x)
$$
minden $x\ge0$ \'es $y\ge0$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Legyen $\xi$ exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$
param\'eterrel. Mivel $P(\xi>u)=e^{-\lambda u}$ minden
$u\ge 0$ sz\'amra, ez\'ert
$P(\xi>x+y|\xi>y)=\frac{e^{-\lambda(x+y)}}{e^{-\lambda y}}
=e^{-\lambda x}=P(\xi>x)$.
\medskip

Az \"or\"okifj\'u tulajdons\'ag szeml\'eletes tartalma a
k\"ovetkez\H{o}. Tekints\"unk egy szem\'elyt vagy t\'argyat
amelynek v\'eletlen \'elettartam\'at egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o m\'eri. Te\-kint\-s\"uk a
$\xi+y$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o felt\'eteles
eloszl\'as\'at azon felt\'etel mellett,
hogy $\xi>y$, azaz annak felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
hogy egy szem\'ely vagy t\'argy m\'eg legal\'abb $x$ ideig \'elni fog,
felt\'eve, hogy meg\'elte az $y$ id\H{o}pontot. Ha ez a felt\'eteles
eloszl\'as nem f\"ugg az $y$ \'ert\'ekt\H{o}l, akkor azt mondjuk,
hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti
az \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot. A fenti lemm\'aban azt mutattuk
meg, hogy az exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot.

Be lehet l\'atni, hogy az \'all\'{\i}t\'as megford\'{\i}t\'asa is
igaz. Ha egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa
teljes\'{\i}ti az \"or\"okifj\'u tulajdons\'agban megfogalmazott
azonoss\'agot minden $x>0$ \'es $y>0$ sz\'amra, akkor az
exponenci\'alis eloszl\'as\'u. (A geometriai eloszl\'asok
teljes\'{\i}tik az \"or\"okifj\'u tulajdons\'ag egy
gyeng\'{\i}tett alakj\'at. Ekkor is teljes\"ul a
$P(\xi>x+y|\xi>y)=P(\xi>y)$ azonoss\'ag, ha $x$ \'es $y$ csak
nem-negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vehetnek fel. Ez a felt\'etel
az $x$ \'es $y$ sz\'amokr\'ol azonban ebben az esetben nem hagyhat\'o el.)

Az \'erdekess\'eg kedv\'e\'ert mutatok p\'eld\'at olyan eloszl\'asra,
amelyben \'ugynevezett szuper \"or\"okifj\'u tulajdons\'ag
teljes\"ul, azaz, ha egy ilyen \'eletkor eloszl\'as\'u szem\'ely
meg\'ert egy adott kort, akkor a tov\'abbi v\'arhat\'o \'elettartama
nagyobb, mint eredetileg volt.

\medskip\noindent
{\bf P\'elda a szuper \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot teljes\'{\i}t\H{o}
eloszl\'asra.}  {\it L\'etezik olyan $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amelyik teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} szuper
\"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)>P(\xi>x)
$$
minden $x>0$ \'es $y>0$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Legyen a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o olyan, hogy $P(\xi>x)=e^{-\sqrt x}$, ha $x\ge0$ \'es
$P(\xi>x)=1$, ha $x<0$. Ekkor
$P(\xi>x+y|x>y)=e^{-\sqrt{x+y}+\sqrt y}$, ha $x>0$, $y>0$.
Ez\'ert el\'eg megmutatni, hogy
$e^{-\sqrt{x+y}+\sqrt y}>e^{-\sqrt y}$, illetve hogy
$\sqrt{x+y}<\sqrt x+\sqrt y$, ha $x>0$ \'es $y>0$. Ez az
egyenl\H{o}tlens\'eg viszont (n\'egyzetre emel\'es ut\'an)
k\"onnyen l\'athat\'o.

\medskip
Parci\'alis integr\'al\'assal ki lehet sz\'amolni egy $\lambda$
param\'eter\H{u} $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'ar\-ha\-t\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

Val\'oban, parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
E\xi=\int_0^\infty u\lambda e^{-\lambda u}\,du=
\frac1\lambda\int_0^\infty u e^{-u}\,du=
\frac1\lambda\(\[-u e^{-u}\]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-u}\,du\)
=\frac1\lambda,
$$
$$
E\xi^2=\int_0^\infty u^2\lambda e^{-\lambda u}\,du
=\frac1{\lambda^2}\(\[-u^2e^{-u}\]_0^\infty
+\int_0^\infty 2u e^{-u}\,du\)=\frac2{\lambda^2}.
$$
Ez\'ert $\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\frac2{\lambda^2}
-\frac1{\lambda^2}=\frac1{\lambda^2}$.

Hasonl\'o m\'odon ki tudjuk sz\'amolni egy exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
tetsz\H{o}leges momentum\'at. Ezt a sz\'amol\'ast azonban
elhagyom. Viszont t\'argyalom azt, hogy f\"uggetlen,
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek mi a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
Ezt a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt ki lehet sz\'amolni
konvoluci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Tanuls\'agos lehet az ezt
k\"ovet\H{o} feladat megold\'asa is, amelyben ism\'et
f\"uggetlen, expo\-nen\-ci\-\'alis eloszl\'as\'u 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegeit tekintem. Itt a r\'eszlet\"osszegek egy\"uttes
eloszl\'as\'anak a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et sz\'amolom ki.
E probl\'ema megold\'as\'aban nagyon hasznos szerepet j\'atszik a
t\"obbv\'altoz\'os integr\'alok transzform\'aci\'oj\'ar\'ol
sz\'ol\'o kor\'abban megfogalmazott eredm\'eny. Az eml\'{\i}tett
probl\'em\'ak megold\'asaianak tov\'abbi \'erdekes
k\"ovetkezm\'enyei vannak, \'es ezeket is t\'argyalni fogom.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen, exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyr\H{o}l.} {\it
Legyenek $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen, exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ha
$x\ge 0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$. A $\xi_1+\xi_2$ v\'eletlen
\"osszeg s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f_2(x)=\lambda^2xe^{-\lambda x}$,
ha $x\ge0$, $f_2(x)=0$, ha~$x<0$.

\'Altal\'anosabban, legyenek $\xi_1, \dots \xi_n$
f\"ug\-get\-len exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\lambda>0$ param\'eterrel.
Ekkor a $\xi_1+\cdots+\xi_n$ v\'eletlen \"osszeg
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f_n(x)=\frac{\lambda^n x^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$,
\'es $f_n(x)<0$, ha~$x<0$.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Ki kell sz\'amolnunk az $f*f(x)$ illetve
$\underbrace {f*\cdots* f}_{n\text{-szer}}(x)$ konvoluci\'okat a
fenti $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Mivel $f(x)=0$, ha
$x\le 0$, a konvoluci\'ot meghat\'aroz\'o integr\'alban szerepl\H{o}
$f(y)f(x-y)$ integrandus nulla, ha $y\le 0$ vagy $x-y\le0$. Innen a
konvoluci\'ot defini\'al\'o integr\'al csak $x\ge0$ eset\'en lehet
nulla, az $x\le0$ esetben $f(y)f(x-y)>0$ minden $y$-ra nulla, \'es
$x\ge0$ eset\'en az $f(y)f(x-y)>0$ integrandus csak $0\le y\le x$
eset\'en nem nulla. Innen a $\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $x<0$ eset\'en 
$f_2(x)=f*f(x)=0$, \'es
$$
\align
f_2(x)&=f*f(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda e^{-\lambda y}\lambda e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\int_0^x \lambda^2 e^{-\lambda x}\,dy=\lambda^2xe^{-\lambda x},
\quad \text{ha } x\ge0.
\endalign
$$
Hasonl\'oan, ha $f_n(x)=\underbrace {f*\cdots*f}_{n\text{-szer}}(x)$
jel\"oli $\xi_1+\cdots+\xi_n$  s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et,
akkor $f_n(x)=0$ minden $n\ge1$ sz\'amra, ha $x<0$. Azt
\'all\'{\i}tom, hogy
$f_n(x)=\frac{\lambda^n x^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$.
Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni
teljes indukci\'oval azt, hogy $f_{n-1}*f(x)=f_n(x)$ a fent
defini\'alt $f_n$ f\"uggv\'enyekkel. Viszont
$$
\align
f_{n-1}*f(x)&=\int_{-\infty}^\infty f_{n-1}(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda^{n-1}\frac{y^{n-2}}{(n-2)!} \lambda
e^{-\lambda y}e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\lambda^n e^{-\lambda x}\int_0^x
\frac{y^{n-2}}{(n-2)!} \,dy=e^{-\lambda x}
\frac{\lambda^n x^{n-1}}{(n-1)!},\quad\text{ha }x\ge0.
\endalign
$$
M\'asr\'eszt $f_n(x)=0$, ha $x\le 0$.

\medskip\noindent
{\bf F\"uggetlen, exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeib\H{o}l
\'all\'o vektor egy\"uttes
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a
kisz\'am\'{\i}t\'asa.} {\it Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
vala\-mely $\lambda>0$ param\'eterrel, \'es tekints\"uk az
$S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$, $k=1,2,\dots$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket. Az $(S_1,\dots,S_{n+1})$
v\'eletlen vektornak van $g(u_1,\dots,u_{n+1})$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az a
$g(u_1,\dots,u_{n+1})=\lambda^{n+1} e^{-\lambda u_{n+1}}$
f\"uggv\'eny, ha $0\le u_1<\cdots<u_{n+1}$, \'es
$g(u_1,\dots,u_{n+1})=0$ egy\'ebk\'ent.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/  A fent megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as
igazolhat\'o, mivel ismerj\"uk a $(\xi_1,\dots,\xi_{n+1})$
v\'eletlen vektor s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et,
\'es e s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel
fel tudjuk \'{\i}rni a keresett eloszl\'asf\"uggv\'eny
\'ert\'ekeit megad\'o $P(S_1<x_1,\dots,S_{n+1}<x_{n+1})$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket al\-kal\-mas integr\'al
form\'aj\'aban. Ezeket az integr\'alokat \'at\'{\i}rva megfelel\H{o}
koor\-di\-n\'a\-ta\-transz\-for\-m\'a\-ci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel
megkapjuk a k\'{\i}v\'ant eredm\'enyt.

A $(\xi_1,\dots,\xi_{n+1})$ v\'eletlen vektor
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye a
$h(v_1,\dots,v_{n+1})=\prodd_{j=1}^{n+1} k(v_j)$
f\"uggv\'eny, ahol $k(v)=\lambda e^{-\lambda v}$, ha $v\ge0$, \'es
$k(v)=0$, ha $v<0$. Tov\'abb\'a,
$$
\align
P(S_1<x_1,\dots,S_{n+1}<x_{n+1})
&=P((\xi_1,\dots,\xi_{n+1})\in A_{n+1})\\
&=\int_{A_{n+1}} h(v_1,\dots,v_{n+1})\,dv_1\dots\,dv_{n+1},
\endalign
$$
ahol
$A_{n+1}=A_{n+1}(x_1,\dots,x_{n+1})=\{(v_1,\dots,v_{n+1})\colon\;
v_1<x_1,v_1+v_2<x_2,\dots,v_1+\cdots+v_{n+1}<x_{n+1}\}$.
Ezut\'an alkalmazzuk az $u_j=v_1+\cdots+v_j$, $1\le j\le n+1$,
transzform\'aci\'ot. E transzform\'aci\'o Jacobianja 1, m\'asr\'eszt
$h(v_1,\dots,v_{n+1})=\prodd_{j=1}^{n+1} k(u_j-u_{j-1})$, $u_0=0$
v\'alaszt\'assal, ahonnan $h(v_1,\dots,v_{n+1})=g(u_1,\dots,u_{n+1})$,
azaz $h(v_1,\dots,v_{n+1})=\lambda^{n+1} e^{-u_{n+1}}$, ha
$0<u_1<\cdots<u_{n+1}$ mert ez felel meg a $v_j>0$, $1\le j\le n+1$
felt\'etelnek, \'es $h(v_1,\dots,v_{n+1})=g(u_1,\dots,u_{n+1})=0$,
egy\'ebk\'ent.

Meg kell m\'eg gondolni, hogy mi az $A_{n+1}$ halmaz $B_{n+1}$
inverze a fenti (invert\'alhat\'o) transzform\'aci\'o eset\'en,
mert ez a transzform\'alt integr\'al integr\'al\'asi tartom\'anya.
Egyszer\H{u} sz\'amol\'as mutatja, hogy
$B_{n+1}=\{(u_1,\dots,u_{n+1})\colon\;u_1<x_1,\dots,u_{n+1}<x_{n+1}\}$.

Innen azt kapjuk, hogy
$$
\align
&P(S_1<x_1,\dots,S_{n+1}<x_{n+1})\\
&\qquad =
\int_{\{(u_1,\dots,u_{n+1})\colon\; u_1<x_1,\dots,u_{n+1}<x_{n+1}\}}
g(u_1,\dots,u_{n+1})\,du_1\dots\,du_n,
\endalign
$$
\'es ez volt a bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen, exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-nek \'es rendezett mint\'ak
eloszl\'asainak a kapcsolat\'ar\'ol.} {\it Legyenek adva
f\"ug\-get\-len a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
$\xi_1$,\dots, $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
\'es egy t\H{o}l\"uk f\"uggetlen $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amelynek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\frac{\lambda^{n+1}x^n}{n!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, \'es
$g(x)=0$, ha $x<0$. (Az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa megegyezik $n$ f\"uggetlen, $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az eloszl\'as\'aval.) Tekints\"uk a
$\xi_1,\dots\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-b\'ol
k\'e\-sz\'{\i}\-tett $\xi_1^*<\cdots<\xi_n^*$ rendezett mint\'at,
\'es defini\'aljuk a $(T_1,\dots,T_n)=(\eta\xi_1^*,\dots,\eta\xi_n^*)$
v\'eletlen vektort, \'es legyen $\eta=T_{n+1}$. A
$$
(T_1,\dots,T_n,T_{n+1})=(\eta\xi_1^*,\dots,\eta\xi_n^*,\eta)
$$
v\'eletlen vektor  eloszl\'asa megegyezik $n+1$ darab f\"uggetlen
$\lambda$ param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $(S_1,\dots,S_{n+1})$
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-b\H{o}l \'all\'o v\'eletlen vektor
el\-osz\-l\'a\-s\'a\-val.}

\medskip
A fenti \'all\'{\i}t\'asnak megfogalmazom egy k\"ovetkezm\'eny\'et,
amely val\'oj\'aban ekvivalens az eredeti \'all\'{\i}t\'assal.

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyen $\xi_1,\dots,\xi_{n+1}$
f\"uggetlen, $\lambda$ param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata. Defini\'aljuk az
$S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$, $1\le k\le n+1$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket \'es
a $(Z_1,\dots,Z_n)=\(\frac{S_1}{S_{n+1}},\dots,\frac{S_n}{S_{n+1}}\)$
v\'eletlen vektort. A $(Z_1,\dots,Z_n)$ v\'eletlen vektor f\"uggetlen
az $S_{n+1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol, \'es
eloszl\'asa megegyezik egy $n$ elem\H{u}, f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot tartalmaz\'o sorozatb\'ol k\'esz\'{\i}tett rendezett
minta el\-osz\-l\'a\-s\'a\-val.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A $(\xi_1^*,\dots,\xi_n^*,\eta)$
v\'eletlen vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
g(v_1,\dots,v_{n+1})=\lambda^{n+1}v^n_{n+1}e^{-\lambda v_{n+1}},
\quad \text{ha } 0\le v_1<v_2<\cdots<v_n\le1, \;\, v_{n+1}\ge0,
$$
\'es $g(v_1,\dots,v_{n+1})=0$ egy\'ebk\'ent. Innen kapjuk, hogy
$$
\align
&P(T_1<x_1,\dots,T_n<x_n,T_{n+1}<x_{n+1})=
P(\eta\xi_1^*<x_1,\dots,\eta\xi_n^*<x_n,\eta<x_{n+1})\\
&\qquad=
\int h(v_1,\dots,v_{n+1})g(v_1,\dots,v_{n+1})\,dv_1\dots\,dv_{n+1},
\endalign
$$
ahol
$$
h(v_1,\dots,v_{n+1})=1,\quad\text{ha }v_jv_{n+1}<x_j,\;\,1\le j\le n,
\quad \text{\'es } v_{n+1}<x_{n+1},
$$
\'es $h(v_1,\dots,v_{n+1})=0$ egy\'ebk\'ent.
\'Irjuk \'at ezt az integr\'alt az $u_j=v_{n+1}v_j$, $1\le j\le n$,
$u_{n+1}=v_{n+1}$ (invert\'alhat\'o) transzform\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ennek a transzform\'aci\'onak a Jacobian-ja
$|u_{n+1}^{-n}|=u_{n+1}^{-n}$, ha $u_{n+1}>0$. Ugyanis
$v_j=\frac {u_j}{u_{n+1}}$, $1\le j\le n$, $v_{n+1}=u_{n+1}$, ez\'ert
$\frac{\partial v_j}{\partial u_j}=\frac1{u_{n+1}}$, $1\le j\le n$,
$\frac{\partial v_j}{\partial u_{n+1}}=-\frac{u_j}{u^2_{n+1}}$,
$1\le j\le n$, $\frac{\partial v_{n+1}}{\partial u_{n+1}}=1$, \'es
$\frac{\partial v_j}{\partial u_k}=0$ egy\'ebk\'ent. Innen k\"onnyen
l\'athat\'o, hogy a Jacobiant defini\'al\'o m\'atrix determin\'ansa
egyenl\H{o} a m\'atrix diagon\'alis elemeinek szorzat\'aval, ami
$u_{n+1}^{-n}$-nel egyenl\H{o}.

Ezt felhaszn\'alva a fenti azonoss\'agot a k\"ovetkez\H{o}k\'epp
\'{\i}rhatjuk \'at.
$$
\align
&P(T_1<x_1,\dots,T_n<x_n,T_{n+1}<x_{n+1})\\
&\qquad=\int \bar h(u_1,\dots,u_{n+1})\bar g(u_1,\dots,u_{n+1})
u^{-n}_{n+1}\,du_1\dots\,du_{n+1}\\
&\qquad=\int_{\{(u_1,\dots,u_{n+1})\colon\;
u_1<x_1,\dots,u_{n+1}<x_{n+1},\; 0\le u_1<\dots<u_{n+1}\}} \!\!\!\!
\lambda^{n+1} e^{-\lambda u_{n+1}}
\,du_1\dots\,du_{n+1},
\endalign
$$
ahol $\bar h(u_1,\dots,u_{n+1})=1$, ha $u_j<x_j$, $1\le j\le n+1$,
\'es $\bar h(u_1,\dots,u_{n+1})=0$ egy\'ebk\'ent,
$\bar g(u_1,\dots,u_{n+1})
=\lambda^{n+1}u^n_{n+1}e^{-\lambda u_{n+1}}$, ha
$0\le u_1<u_2<\cdots<u_n<u_{n+1}$, \'es $\bar g(u_1,\dots,u_{n+1})=0$
egy\'ebk\'ent. Ez azt jelenti, hogy a $(T_1,\dots,T_n,T_{n+1})$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\lambda^{n+1} e^{-\lambda u_{n+1}}$, 
ha $0\le u_1<\cdots<u_{n+1}$, \'es nulla egy\'ebk\'ent.
\"Ossze\-ha\-son\-l\'{\i}t\-va ezt a rel\'aci\'ot a {\it f\"uggetlen
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy\"ut\-tes s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a
kisz\'am\'{\i}t\'as\'an\'al}\/ kapott k\'eplettel megkapjuk a T\'etel
\'all\'{\i}t\'as\'at.

\medskip\noindent
{\it A k\"ovetkezm\'eny bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Tekints\"unk
$\xi_1,\dots,\xi_{n+1}$ f\"uggetlen, exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat $\lambda$ param\'eteterrel,
ezek $S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$, $1\le k\le n+1$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-it, valamint f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u $(Z_1,\dots,Z_n)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'okat, egy t\H{o}l\"uk f\"uggetlen, \'es az $S_{n+1}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval megegyez\H{o} eloszl\'as\'u
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Vezess\"uk be a
$T_k=\eta Z_k$, $k=1,\dots,n$, \'es $T_{n+1}=\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. L\'attuk, hogy az
$(S_1,\dots,S_{n+1})$ \'es $(T_1,\dots,T_{n+1})$ v\'eletlen vektorok
eloszl\'asa megegyezik. De ebb\H{o}l az is k\"ovetkezik, hogy az
$\(\frac{S_1}{S_{n+1}},\dots,\frac{S_n}{S_{n+1}},S_{n+1}\)$ \'es
$\(\frac{T_1}{T_{n+1}},\dots,\frac{T_n}{T_{n+1}},T_{n+1}\)
=(Z_1,\dots,Z_n,\eta)$ v\'eletlen vektorok eloszl\'asa is
megegyezik. Azt haszn\'aljuk fel, hogy egy v\'eletlen vektor 
eloszl\'asa meghat\'arozza e v\'eletlen vektor f\"uggv\'enyeinek az
eloszl\'as\'at is.

\vfill\eject

\noindent
{\bf Poisson folyamatok, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'es rendezett mint\'ak
k\"oz\"otti kapcsolatat.}

\medskip\noindent
Bebizony\'{\i}tok n\'eh\'any \'all\'{\i}t\'ast, amelyek
megmutatj\'ak, hogy a Poisson folyamatok, rendezett mint\'ak \'es
f\"uggetlen exponenci\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-nek viselked\'ese k\"oz\"ott
szoros kapcsolat van. Ezen eredm\'enyek k\"ovetkezm\'enyek\'ent
meg\-adom a Poisson folyamatok egy
konstrukci\'oj\'at f\"uggetlen, exponenci\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegeinek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A k\"ovetkez\H{o}
eredm\'enyt fogom bizony\'{\i}tani.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel Poisson folyamatok konstrukci\'oj\'ar\'ol
exponenci\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeinek seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} {\it
Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, $\lambda$
pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata. Vezess\"uk be az $S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$,
$k=1,2,\dots$, $S_0=0$, r\'eszlet\"osszegeket, \'es defini\'aljuk
seg\'{\i}ts\'eg\"ukkel a k\"ovetkez\H{o}
$X(t,\oo)$, $0\le t<\infty$, sztochasztikus folyamatot.
$$
X(t,\oo)=k, \quad \text{ha } S_k(\oo)\le t<S_{k+1}(\oo),
\quad 0\le t<\infty.
$$
Ez az $X(t,\oo)$ sztochasztikus folyamat Poisson folyamat
$\lambda$ param\'eterrel.}

\medskip
Ez az eredm\'eny j\'ol ismert az irodalomban. A hagyom\'anyos
indokl\'as felhaszn\'alja a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
n\'eh\'any m\'ely eredm\'eny\'et (Markov folyamatok, er\H{o}s
Markov tulajdons\'ag). Itt egy olyan bizony\'{\i}t\'ast ismertetek,
amely az eddig tanult ismereteken \'es bizonyos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek kisz\'am\'{\i}t\'as\'an alapul.
A bizony\'{\i}t\'as sor\'an kapott eredm\'enyek Poisson eloszl\'asok, 
exponenci\'alis eloszl\'asok \'es rendezett mint\'ak k\"oz\"ott 
fejeznek ki \"on\-ma\-guk\-ban is \'erdekes kapcsolatot.

\medskip\noindent
{\bf Lemma Poisson \'es polinomi\'alis eloszl\'as k\"oz\"otti
kapcsolatr\'ol.} {\it Legyenek $\xi_j$, $j=1,\dots,r$, f\"uggetlen
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\lambda_j$, $1\le j\le r$, pa\-ra\-m\'e\-te\-rek\-kel. Ekkor
$$
P\(\left.\vphantom{\sum_{j=1}^r}
\xi_1=k_1,\dots, \xi_r=k_r\right|\sum_{j=1}^r\xi_j=n\)=
\frac{n!}{k_1!\cdots k_r!}\prod_{j=1}^r \frac
{\lambda_j^{k_j}}{\(\summ_{s=1}^r\lambda_s\)^{k_j}}.
$$
Azaz a $\xi_1,\dots,\xi_r$ vektor felt\'eteles eloszl\'asa a 
$\summ_{j=1}^r \xi_j=n$ felt\'etel mellett a polinomi\'alis 
eloszl\'as $n$ \'es
$p_j=\frac{\lambda_j}{\summ_{s=1}^r\lambda_s}$, $1\le j\le r$,
param\'eterekkel.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\align
P\(\left.\vphantom{\sum_{j=1}^r}
\xi_1=k_1,\dots, \xi_r=k_r\right|\sum_{j=1}^r\xi_j=n\)
&=\frac{P(\xi_1=k_1,\dots, \xi_r=k_r)}{P\(\sum_{j=1}^r\xi_j=n\)}\\
&=\frac{P(\xi_1=k_1)\cdots P(\xi_r=k_r)}{P\(\sum_{j=1}^r\xi_j=n\)},
\endalign
$$
mert $\{\oo\colon\; \xi_1(\oo)=k_1,\dots, \xi_r(\oo)=k_r)\}\subset
\{\oo\colon\;\sum_{j=1}^r\xi_j(\oo)=n\}$, \'es
a $\xi_1,\dots,\xi_r$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek. Innen
$$
\align
P\(\left.\vphantom{\sum_{j=1}^r}
\xi_1=k_1,\dots, \xi_r=k_r\right|\sum_{j=1}^r\xi_j=n\)&=
\frac{\prodd_{j=1}^r \frac{\lambda_j^{k_j}}{k_j!}e^{-\lambda_j}}
{\frac{\(\summ_{s=1}^r\lambda_s\)^{k_1+\cdots+k_r}
e^{-(\lambda_1+\cdots+\lambda_r)}}{n!} }\\
&=\frac{n!}{k_1!\cdots k_r!}\prod_{j=1}^r \frac
{\lambda_j^{k_j}}{\(\summ_{s=1}^r\lambda_s\)^{k_j}}.
\endalign
$$

\medskip
Megfogalmazom a fenti lemma egy k\"ovetkezm\'eny\'et. Annak
\'erdek\'eben hogy ezt megtehessem, el\H{o}sz\"or bevezetem az
empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf Empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Legyen
adva $n$ f\"uggetlen egyenletes el\-osz\-l\'a\-s\'u
$\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o valamely $[0,T]$ intervallumon. E
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'enye az
$$
F_n(t,\oo)=\frac1n\times\text{azon $k$, $1\le k\le n$ indexek
sz\'ama, amelyekre $\xi_k(\oo)<t$},
$$
$0\le t\le T$, (v\'eletlen) f\"uggv\'eny.}

\medskip
Megfogalmazom a lemma egy k\"ovetkezm\'eny\'et.

\medskip\noindent
{\bf A Poisson \'es polinomi\'alis eloszl\'as k\"oz\"otti
kapcsolatr\'ol sz\'ol\'o lemma k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nye.} {\it
Legyen adva egy $Y(t,\oo)$ Poisson folyamat valamilyen $\lambda>0$
param\'eterrel egy $[0,T]$ intervallumon \'es f\"uggetlen, a $[0,T]$
intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok $n$-elem\H{u}
$\xi_1,\dots,\xi_n$ sorozata. Tekints\"uk e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $F_n(t,\oo)$ empirikus
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Az $Y(t,\oo)$ Poisson folyamat
felt\'eteles v\'eges di\-men\-zi\'os el\-osz\-l\'a\-sai felt\'eve,
hogy $Y(T,\oo)=n$ megegyeznek az $nF_n(t,\oo)$ sztochasztikus
folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asaival, azaz
$$
\align
&P(Y(t_1,\oo)<j_1,\dots,Y(t_k,\oo)<j_k|Y(T,\oo)=n)\\
&\qquad =P(nF_n(t_1,\oo)<j_1,\dots,nF_n(t_k,\oo)<j_k)
\endalign
$$
minden $0\le t_1<\cdots<t_k\le T$ indexekre \'es $j_1,\dots,j_k$
eg\'esz sz\'amokra.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamely
$0=t_0\le t_1<t_2<\cdots<t_k=T$ sz\'amokat. El\'eg bel\'atni,
hogy az $Y(t_j,\oo)-Y(t_{j-1},\oo)$, $1\le j\le k$,
k\"ul\"onbs\'egek felt\'eteles egy\"uttes eloszl\'asa felt\'eve,
hogy $Y(T,\oo)=n$ megegyezik az $nF_n(t_j,\oo)-nF_n(t_{j-1},\oo)$,
$1\le j\le k$, k\"ul\"onbs\'egek egy\"uttes eloszl\'as\'aval. Viszont
az $Y(t_j,\oo)-Y(t_{j-1},\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\lambda(t_j-t_{j-1})$ param\'eterrel. Az $Y(T,\oo)=n$
felt\'etel azt jelenti, hogy e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszege $n$. Ez\'ert a Poisson \'es polinomi\'alis
eloszl\'as k\"oz\"otti kapcsolatr\'ol sz\'ol\'o lemma alapj\'an az
$Y(t_j,\oo)-Y(t_{j-1},\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
felt\'eteles egy\"uttes eloszl\'asa felt\'eve, hogy $Y(T,\oo)=n$
polinomi\'alis eloszl\'as $n$ \'es $p_j=\frac{t_j-t_{j-1}}T$,
$1\le j\le k$, param\'eterekkel. Nyilv\'anval\'oan az
$nF_n(t_j,\oo)-nF_n(t_{j-1},\oo)$, $1\le j\le k$, vektornak is ez
az eloszl\'asa.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A lemma k\"ovetkezm\'enye megfogalmazhat\'o
a k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Legyen $Y(T,\oo)$ Poisson folyamat
valamilyen $\lambda$ param\'eterrel a $[0,T]$ intervallumban. A
Poisson folyamat pontjainak a felt\'eteles eloszl\'asa $Y(T,\oo)=n$
felt\'etel mellett megegyezik $n$ f\"uggetlen, a $[0,T]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott rendezett minta
eloszl\'as\'aval.

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} lemma arr\'ol sz\'ol, hogy ha vessz\"uk
f\"uggetlen, exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeit,
\'es csak azokat a r\'eszlet\"osszegeket \H{o}r\'{\i}zz\"uk meg,
amelyek \'ert\'eke kisebb, mint egy el\H{o}re r\"ogz\'{\i}tett
$x$ sz\'am, akkor a megtartott tagok sz\'ama Poisson eloszl\'as\'u.

\medskip\noindent
{\bf Lemma f\"uggetlen, exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\'esz\-let\-\"osz\-szegei
\'es Poisson eloszl\'asok k\"oz\"otti kapcsolatr\'ol.} {\it Legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, exponenci\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok va\-la\-mely
$\lambda>0$ param\'eterrel. Defini\'aljuk ezek $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$,
$n=1,2,\dots$, $S_0=0$, r\'eszlet\"osszegeit, \'es ve\-gy\"unk
valamely $x>0$ sz\'amot. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
mind az $S_{n+1}>x$, mind az $S_n\le x$ esem\'enyek bek\"ovetkeznek
$\frac{(\lambda x)^n}{n!}e^{-\lambda x}$ minden $n=0,1,\dots$
sz\'amra. Ez azt jelenti, hogy az $S_1(\oo)$, $S_2(\oo)$,\dots
(v\'eletlen) sorozatnak a $[0,x]$ intervallumba  es\H{o} pontjainak
sz\'ama Poisson eloszl\'as\'u $\lambda x$ param\'eterrel.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
 $P(S_{n+1}>x, \,S_n\le x)=P(S_{n}\le x)-P(S_{n+1}\le x)
=\int_0^x [f_{n}(u)-f_{n+1}(u)]\,du$, ahol $f_n(u)$ jel\"oli
az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Innen, felhaszn\'alva, hogy
ismerj\"uk $S_n$ \'es $S_{n+1}$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
kapjuk, hogy
$$
P(S_{n+1}>x, \,S_n\le x)=\int_0^x
\frac{\lambda^{n}u^{(n-1)}}{(n-1)!}e^{-\lambda u}\,du
-\int_0^x \frac{\lambda^{n+1}u^{n}}{n!}e^{-\lambda u}\,du,
$$
ha $n\ge1$. Parci\'alis integr\'al\'assal
($f'(u)=\lambda e^{-\lambda u}$ \'es
$g(u)=\frac{\lambda^{n}u^n}{n!}$ v\'alaszt\'assal) kapjuk, hogy
$$
\int_0^x \frac{\lambda^{n+1}u^{n}}{n!}e^{-\lambda u}\,du=
-\frac{\lambda^n x^n}{n!}e^{-\lambda x}
+\int_0^x \frac{\lambda^{n}u^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda u}\,du.
$$
A fenti k\'et azonoss\'agb\'ol k\"ovetkezik a lemma
\'all\'{\i}t\'asa $n\ge1$ esetben. Ha $n=0$, akkor
$P(S_0<x)-P(S_1<x)=1-\int_0^x\lambda e^{\lambda u}\,du=e^{-\lambda x}$,
teh\'at a lemma \'all\'{\i}t\'asa ekkor is igaz.

\medskip
Az eddig bebizony\'{\i}tott eredm\'enyek is mutatj\'ak, hogy az a
f\"uggetlen, exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegei seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt
sztochasztikus fo\-lya\-mat, amelyr\H{o}l be akarjuk l\'atni, hogy
Poisson folyamat sok olyan tulajdons\'aggal rendelkezik, mint amit 
elv\'arunk. Ahhoz azonban, hogy \'all\'{\i}t\'asunkat 
bebizony\'{\i}tsuk m\'eg egy eredm\'enyre van sz\"uks\'eg\"unk
f\"uggetlen, exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeir\H{o}l. Tudjuk, hogy az olyan
r\'esz\-let\-\"ossze\-gek sz\'ama, amelyek egy $[0,T]$ intervallumba
esnek Poisson eloszl\'as\'u. Ezenk\'{\i}v\"ul azt is megmutattuk,
hogy ha vessz\"uk e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $n+1$-ik
$S_{n+1}$ r\'esz\-let\-\"ossze\-g\'et, akkor a kisebb index\H{u}
r\'eszlet\"osszegek eloszl\'asa megegyezik egy rendezett minta
el\-osz\-l\'a\-s\'a\-val a $[0,S_{n+1}]$ v\'eletlen intervallumban. 
Ezek az ismeretek azonban nem  ele\-gen\-d\H{o}\-ek a sz\'a\-munk\-ra.
Hasonl\'o eredm\'enyre van sz\"uks\'eg\"unk a r\'eszlet\"osszegek
egy nem v\'eletlen intervallumba es\H{o} elemeinek az
eloszl\'as\'ar\'ol. Ilyen \'all\'{\i}t\'ast fogalmaz meg a
k\"ovetkez\H{o} lemma.

\medskip\noindent
{\bf Lemma f\"uggetlen exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-inek az eloszl\'as\'ar\'ol.} {\it
Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, exponenci\'alis
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
vala\-mely $\lambda>0$ param\'eterrel, \'es tekints\"uk az
$S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$, $k=1,2,\dots$, $S_0=0$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket. R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $A>0$
\'es egy $n$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amot, \'es defini\'aljuk
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\"uk\-kel a $C=C(A,n)$,
$C=\{\oo\colon\; S_n(\oo)\le A<S_{n+1}(\oo)\}$ esem\'enyt. Az
$(S_1,\dots,S_n)$ v\'eletlen vektor felt\'eteles eloszl\'as\'anak
felt\'eve a $C$ esem\'enyt van $f(u_1,\dots,u_n)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, \'es ez az
$$
f(u_1,\dots,u_n)=\left\{
\aligned
&\frac{n!}{A^n},\quad\text{ha }\quad 0\le u_1<u_2<\cdots<u_n\le A,\\
&0 \qquad \text{ egy\'ebk\'ent}
\endaligned \right.
$$
f\"uggv\'eny. Ez azt jelenti, hogy
$$
P(S_1<x_1,S_2<x_2,\dots,S_n<x_n|C)
=\int_{\{(u_1,\dots,u_n)\colon\;u_1<x_1,\dots,u_n<x_n\}}
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! 
f(u_1,\dots,u_n)\,du_1\dots\,du_n
$$
minden $x_1,\dots,x_n$ val\'os sz\'am-$n$-esre ezzel az
$f(u_1,\dots,u_n)$ f\"uggv\'ennyel.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Tekints\"uk f\"uggetlen, (azonos param\'eter\H{u})
exponenenci\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeinek azokat a tagjait, amelyek egy
$[0,x]$ intervallumba esnek. A fenti lemma azt \'all\'{\i}tja, hogy
azon felt\'etel mellett, hogy ebbe az intervallumba pontosan $n$
r\'eszlet\"osszeg esik, e r\'eszlet\"osszegek egy\"uttes eloszl\'asa
megegyezik egy a $[0,x]$ intervallumban vett f\"uggetlen, egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol
k\'esz\'{\i}tett rendezett minta eloszl\'as\'aval.

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ R\"ogz\'{\i}ts\"unk bizonyos
$0<x_1,\dots,x_n\le A$ sz\'amokat, defini\'aljuk a
$D=D(x_1,\dots,x_n)=\{\oo\colon\;S_1(\oo)<x_1,\dots,S_n(\oo)<x_n\}$
esem\'enyt, \'es sz\'amoljuk ki a $P(D\cap C)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget. (E kifejez\'esben
$C=\{\oo\colon\; S_n(\oo)\le A<S_{n+1}(\oo)\}$.) A
$$
\align
P(D\cap C)&=\int_B f_0(u_1,\dots,u_n)\lambda^{n+1} e^{-\lambda v}
\,du_1\dots\,du_n\,dv\\
&=\int_{B_0} f_0(u_1,\dots,u_n)\,du_1\dots\,du_n
\int_A^\infty\lambda^{n+1} e^{-\lambda v}\,dv,
\endalign
$$
azonoss\'ag \'erv\'enyes, ahol
$$
f_0(u_1,\dots,u_n)=1, \text{ ha } 0\le u_1<u_2<\cdots<u_n,\quad
f_0(u_1,\dots,u_n)=0 \text{ egy\'ebk\'ent,}
$$
$$
B=B(x_1,\dots,x_n,v)=\{(u_1,\dots,u_n,v)\colon\;
u_1< x_1,\dots,u_n<x_n, v>A)\},
$$
\'es
$$
B_0=B_0(x_1,\dots,x_n)=\{(u_1,\dots,u_n)\colon\;
u_1\le x_1,\dots,u_n<x_n)\}.
$$
Ugyanis a
$P(D\cap C)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz az $(S_1,\dots,S_{n+1})$ v\'eletlen
vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et kell integr\'alni az
$U=\{(u_1,\dots,u_n,u_{n+1})\colon\; u_1<x_1,\dots, u_n<x_n,
A<u_{n+1}<\infty\}$ halmazon. Ez a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
$f_0(u_1,\dots,u_n)\lambda^{n+1}e^{-\lambda u_{n+1}}$-gyel
egyenl\H{o} az $U$ halmazon a {\it f\"uggetlen, exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-nek eloszl\'as\'ar\'ol}\/ 
sz\'ol\'o lemma alap\-j\'an.
Az \'{\i}gy kapott integr\'al pedig faktoriz\'alhat\'o. Ez van
fel\'{\i}rva az azonoss\'ag m\'asodik sor\'aban.

Speci\'alisan
$x_1=x_2=\cdots=x_n=A$ v\'alaszt\'assal $P(C)=\frac{A^n}{n!}
\int_A^\infty\lambda^{n+1} e^{-\lambda v}\,dv$, mert
$$
\int_{B_0(A,\dots,A)} f_0(u_1,\dots,u_n)\,du_1\dots\,du_n=\frac{A^n}{n!}.
$$
(Az integr\'al\'ast elv\'egezve megkapjuk a
$P(C)=\frac{(\lambda A)^n}{n!}e^{-\lambda A}$ formul\'at, azaz a
f\"uggetlen, exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\'esz\-let\-\"ossze\-gei
\'es Poisson eloszl\'asok k\"o\-z\"ot\-ti kapcsolatr\'ol sz\'ol\'o
lemma egy m\'asik bizony\'{\i}t\'as\'at.)

Innen
$$
\align
&P(S_1<x_1,S_2<x_2,\dots,S_n<x_n|C)=P(D|C)=\frac{P(D\cap C)}{P(C)}\\
&\qquad =\frac{n!}{A^n}\int_{u_1<x_1,\dots,u_n<x_n}
f_0(u_1,\dots,u_n)\,du_1\dots\,du_n\\
&\qquad =\int_{u_1<x_1,\dots,u_n<x_n}
f(u_1,\dots,u_n)\,du_1\dots\,du_n,
\endalign
$$
\'es ezt kellett bel\'atnunk.

\medskip
A m\'ar bizony\'{\i}tott eredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg
tudjuk mutatni, hogy f\"uggetlen, exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altozok seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
val\'oban Poisson folyamatot defini\'altunk az \'altalunk
javasolt m\'odon.

\medskip\noindent
{\it Annak igazol\'asa hogy az exponenci\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-i\-nek seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt
konstrukci\'o val\'oban Poisson folyamatot defini\'al.} Annak
igazol\'as\'ahoz, hogy a defini\'alt $X(t,\oo)$ folyamat
teljes\'{\i}ti a Poisson folyamatok de\-fi\-ni\-ci\'o\-j\'a\-nak (iii)
felt\'etel\'et a trajekt\'ori\'ak viselked\'es\'er\H{o}l el\'eg azt
megmutatni, hogy $\limm_{k\to\infty}S_k(\oo)=\infty$ az $S_k(\oo)$
r\'eszlet\"osszegekre. Ez azonnal k\"ovetkezik p\'eld\'aul a
Borel--Cantelli lemm\'ab\'ol, mert
$\summ_{k=1}^\infty P(\xi_k>x)=\infty$ minden $x>0$
sz\'amra, \'{\i}gy majdnem minden $\oo$-ra v\'egtelen sok olyan
$k$ index van, amelyre $\xi_k(\oo)>x$.

Az, hogy az $X(t,\oo)$ folyamat teljes\'{\i}ti a Poisson folyamatok
(i) \'es (ii) tulajdons\'ag\'at ekvivalens azzal az
\'all\'{\i}t\'assal, hogy ak\'arhogy v\'alasztunk valamely
$0\le t_1<t_2<\dots<t_k$ pontokat a sz\'amegyenesen \'es egy
$\lambda$ param\'eter\H{u} $Y(t,\oo)$, $t>0$, Poisson folyamatot,
(tudjuk, hogy ilyen Poisson folyamat l\'etezik), az
$(X(t_1,\oo),\dots,X(t_k,\oo))$ \'es
$(Y(t_1,\oo),\dots,Y(t_k,\oo))$ v\'eletlen vektorok eloszl\'asa
megegyezik. Tudjuk, hogy mind az $X(t_k,\oo)$ mind az $Y(t_k,\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o Poisson eloszl\'as\'u
$\lambda t_k$ param\'eterrel. Ez\'ert a bizony\'{\i}t\'as
befejez\'es\'ehez el\'eg azt megmutatni, hogy tetsz\H{o}leges
$n$ nem-negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amra \'es $1\le j_1\le n$,\dots,
$1\le j_{k-1}\le n$ sz\'amokra
$$
\align
&P(X(t_1,\oo)<j_1,\dots,X(t_{k-1},\oo)<j_{k-1}|X(t_k,\oo)=n)\\
&\qquad=P(Y(t_1,\oo)<j_1,\dots,Y(t_{k-1},\oo)<j_{k-1}|Y(t_k,\oo)=n).
\endalign
$$

A f\"uggetlen exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-inek az eloszl\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o lemma
alapj\'an a bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag baloldal\'an \'all\'o
kifejez\'est kisz\'am\'{\i}thatjuk a k\"ovetkez\H{o} m\'odon.
Vegy\"unk $n$ f\"uggetlen egyenletes eloszl\'as\'u
$\eta_1,\dots,\eta_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot a
$[0,t_k]$ intervallumban, \'es k\'esz\'{\i}ts\"uk el bel\H{o}l\"uk az
$\eta_1^*<\eta^*_2<\cdots<\eta_n^*$ rendezett mint\'at. Ekkor
$$
\align
&P(X(t_1,\oo)<j_1,\dots,X(t_{k-1},\oo)<j_{k-1}|X(t_k,\oo)=n)\\
&\qquad=P(S_{j_1}(\oo)\ge t_1,\dots,S_{j_{k-1}}(\oo)\ge t_{k-1}|
S_n(\oo)\le t_k<S_{n+1})\\
&\qquad=P(\eta^*_{j_1}(\oo)\ge t_1,\dots,\eta_{j_{k-1}}^*(\oo)\ge t_{k-1}).
\endalign
$$

Jel\"olje $F_n(t,\oo)$ az $\eta_1,\dots,\eta_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor
$$
\align
&\{\oo\colon\; \eta^*{j_1}(\oo)\ge t_1,\dots,
\eta_{j_{k-1}}^*(\oo)\ge t_{k-1}\}\\
&\qquad
=\{\oo\colon\;nF_n(t_1,\oo)<j_1,\dots,nF_n(t_{k-1},\oo)<j_{k-1}\},
\endalign
$$
ahonnan kapjuk, hogy
$$
\align
&P(X(t_1,\oo)<j_1,\dots,X(t_{k-1},\oo)<j_{k-1}|X(t_k,\oo)=n)\\
&\qquad=P(nF_n(t_1,\oo)<j_1,\dots,nF_n(t_{k-1},\oo)<j_{k-1}).
\endalign
$$
Viszont a  Poisson \'es polinomi\'alis eloszl\'as k\"oz\"otti
kapcsolatr\'ol sz\'ol\'o lemma k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nye alapj\'an az
utols\'o azonoss\'ag jobb\-oldala egyenl\H{o} a bizony\'{\i}tand\'o
azonoss\'ag jobb\-olda\-l\'a\-val. Innen k\"ovetkezik a
bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag. Ezzel bel\'attuk, hogy a konstru\'alt
sztochasztikus folyamat val\'oban Poisson folyamat.

\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es.}\/ A bebizony\'{\i}tott eredm\'eny szeml\'eletes
tartalma a k\"ovetkez\H{o}. Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} k\'et
v\'eletlen pontrendszert:

\medskip
\item{a)} Ledobunk a $[0,T]$ intervallumra egym\'ast\'ol f\"uggelen\"ul
v\'eletlen sok pontot egyenletes eloszl\'assal a $[0,T]$ intervallumban.
A ledobott pontok sz\'ama legyen Poisson eloszl\'as\'u $\lambda T$
param\'eterrel.
\item{b)} Vessz\"uk f\"uggetlen, $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegeit, \'es e v\'eletlen \"osszegek k\"oz\"ul
megtartjuk azokat, amelyek \'ert\'eke kisebb, mint $T$.

\medskip
Az a) \'es b) pontban defini\'alt k\'et v\'eletlen pontrendszer
eloszl\'asa megegyezik.

\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es.}\/ Az 1. megjegyz\'esben megfogalmazott 
\'all\'{\i}t\'as szeml\'eletesen is j\'ol 
meg\-ma\-gya\-r\'az\-ha\-t\'o. A b) pontban defini\'alt pontrendszer 
eloszl\'as\'anak viselked\'es\'et kell meg\-\'er\-te\-ni. Ezt az 
exponenci\'alis eloszl\'as \"or\"okifj\'u tulajdons\'ag\'anak a 
felhaszn\'al\'as\'aval tehetj\"uk meg. Osszuk fel a $[0,T]$ 
intervallumot kis $\Delta T$ hossz\'u diszjunkt intervallumok 
uni\'oj\'ara. Ekkor az \"or\"okifj\'u tulajdons\'ag miatt a 
vizsg\'alt pontrendszert j\'o k\"ozel\'{\i}t\'essel \'ugy 
jellemezhetj\"uk, hogy az egyes $\Delta T$ hossz\'u intervallumokba 
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $\lambda\Delta T$ 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel ker\"ulnek pontok, \'es 
minden ilyen intervallumba  legfeljebb egy pont ker\"ul. Innen 
k\"o\-vet\-ke\-zik a {\it Hat\'areloszl\'ast\'etel Poisson 
hat\'areloszl\'assal}\/ eredm\'eny  alapj\'an, hogy a $[0,T]$ 
intervallumba es\H{o} pontok  sz\'ama  Poisson eloszl\'as\'u 
$\lambda T$ param\'eterrel.  Tov\'abb\'a ama felt\'etel mellett, 
hogy pontosan $n$ pont esik  ebbe az intervallumba, ezen $n$ pont 
minden elhelyezked\'ese  egyform\'an val\'osz\'{\i}n\H{u}. Ez\'ert 
e pontrendszer  eloszl\'asa ama felt\'etel mellett, hogy $n$ 
elemb\H{o}l \'all  olyan, mint $n$ f\"uggetlen, a $[0,T]$ 
intervallumban egyenletes  eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ob\'ol k\'esz\'{\i}tett rendezett minta eloszl\'asa.

\medskip
V\'eg\"ul megadom a Poisson folyamatok egy jellemz\'es\'et a
bizony\'{\i}tott eredm\'enyek alapj\'an.

\medskip\noindent
{\bf Poisson folyamatok egy jellemz\'ese.} {\it Legyen $X(t,\oo)$
egy Poisson folyamat $\lambda$ para\-m\'e\-ter\-rel. Ekkor egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel  $X(0,\oo)=1$, \'es az $X(t,\oo)$
sztochaszikus folyamat  tra\-jek\-t\'o\-ri\'ai olyan monoton
n\"ovekv\H{o}, jobbr\'ol folytonos, eg\'esz sz\'am  \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'enyek,  amelyeknek minden v\'eges  intervallumban v\'eges
sok ugr\'ashelye  van, \'es e trajekt\'ori\'ak minden
ug\-r\'as\-he\-lyen 1-et ugranak.
Ezenk\'{\i}v\"ul az egym\'ast k\"ovet\H{o} ugr\'ashelyek k\"oz\"otti
intervallumok hosszai egy\-m\'as\-t\'ol f\"uggetlen, $\lambda$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.}

\medskip
Az, hogy a Poisson folyamat trajekt\'ori\'ai teljes\'{\i}tik a
{\it Poisson folyamatok egy jel\-lem\-z\'e\-s\'e}\/\-ben el\H{o}\'{\i}rt
tulajdons\'agokat egyszer\H{u}en ellen\H{o}rizhet\H{o} p\'eld\'aul
a $P(X(t,\oo)<\infty)=1$ re\-l\'a\-ci\'o\-b\'ol \'es a Poisson \'es
polinomi\'alis eloszl\'as k\"oz\"otti kapcsolatr\'ol sz\'ol\'o lemma
k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-ny\'eb\H{o}l. (Azt kell ellen\H{o}rizni, hogy
a Poisson folyamat minden ugr\'aspontban csak egyet ugrik.) L\'attuk
azt is, hogy van olyan $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson folyamat,
amelyre az ugr\'ashelyek k\"oz\"otti intervallumok hosszai f\"uggetlen,
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\lambda$ param\'eterrel. Annak igazol\'as\'ahoz, hogy minden
$\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson folyamat rendelkezik ezzel a
tulajdons\'aggal azt kell megmutatni, hogy egy Poisson folyamat
ugr\'aspontjai k\"oz\"otti intervallumok hosszainak egy\"uttes
eloszl\'as\'at meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak a folyamat v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asai. Ez k\"ovetkezik az al\'abbi lemm\'ab\'ol.

\medskip\noindent
{\bf Lemma egyszer\H{u} trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus
folyamatok tulajdons\'agair\'ol.} {\it Legyen egy $X(t,\oo)$, $t>0$,
sztochasztikus folyamat olyan, hogy $X(0,\oo)=1$, majdnem minden
trajekt\'ori\'aja jobbr\'ol folytonos, eg\'esz \'ert\'ek\H{u} monoton
n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny, amelynek minden intervallumban v\'eges
sok ugr\'ashelye van, \'es minden ugr\'as \'ert\'eke 1. Legyenek
$U_1(\oo)<U_2(\oo)<\cdots$ az $X(t,\oo)$ sztochasztikus folyamat
ugr\'ashelyei n\"ovekv\H{o} sorrendben. Akkor az $X(t,\oo)$
sztochasztikus folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai
meghat\'arozz\'ak az $U_1(\oo)$, $U_2(\oo)$,\dots sorozat v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asait.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy
$\{\oo\colon\; U_1(\oo)\le t_1,U_2(\oo)\le t_2,\dots,U_k(\oo)\le t_k\}
=\{\oo\colon X(t_1,\oo)\ge1, X(t_2,\oo)\ge2,\dots,X(t_k,\oo)\ge k\}$
minden $k=1,2,\dots$ \'es $t_1\ge0$, $t_2\ge0$,\dots $t_k\ge0$
sz\'amsorozatra. (Azt mondjuk, hogy $U_j(\oo)=\infty$, ha nincsen
$j$-ik ugr\'aspont.) Ez\'ert
$P(U_1(\oo)\le t_1,U_2(\oo)\le t_2,\dots,U_k(\oo)\le t_k)
=P(X(t_1,\oo)\ge1, X(t_2,\oo)\ge2,\dots,X(t_k,\oo)\ge k)$. Mivel
ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek (minden $t_1,\dots,t_k$ sz\'amra)
meghat\'arozz\'ak az $U_1(\oo),\dots,U_k(\oo)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'at, innen k\"ovetkezik a lemma \'all\'{\i}t\'asa.

%\beginsection 
\medskip\noindent
{\bf Kieg\'esz\'{\i}t\'es: A Poisson hat\'areloszl\'assal 
rendelkez\H{o} hat\'areloszl\'ast\'etel bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-sa}

\medskip\noindent
Ennek az el\H{o}ad\'as f\H{o} r\'esz\'eben kimondott t\'etelnek
ismertetem egy perturb\'aci\'os elven alapul\'o
bizony\'{\i}t\'as\'at. Megmutatom, hogy az egyes soraiban f\"uggetlen, 
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat 
tartalmaz\'o sz\'eriasorozatokra a sz\'eriasorozatban szerepl\H{o}
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra 
tett enyhe felt\'etelek
mellett igaz a ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel, \'es azt, hogy ha
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy sorozata tart egy
hat\'areloszl\'ashoz, akkor ez az \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyben
marad e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kis
perturb\'aci\'oj\'ara is. V\'eg\"ul egy alkalmas konstrukci\'oval
megmutatom, hogy ezekb\H{o}l az eredm\'enyekb\H{o}l
le\-ve\-zet\-he\-t\H{o} a megfogalmazott hat\'areloszl\'ast\'etel.

Pontosabban, a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'asokat fogom bel\'atni.

\medskip\noindent
{\bf Hat\'areloszl\'ast\'etel Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o
sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-ra.} {\it Legyenek adva
$\lambda_{k,j}$ param\'eter\H{u} $\eta_{k,j}$, Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} v\'altoz\'ok, $k=1,2,\dots$,
$1\le j\le n_k$, \'ugy, hogy r\"ogz\'{\i}tett $k$-ra az
$\eta_{k,j}$, $1\le j\le n_k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es a
$\lambda_k=\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}$ \"osszegek
teljes\'{\i}tik a $\limm_{k\to\infty}\lambda_k=\lambda$
rel\'aci\'ot valamely $\lambda>0$ sz\'ammal. Ekkor a
$T_k=\summ_{j=1}^{n_k}\eta_{k,j}$ v\'eletlen \"osszegek eloszl\'asban
konverg\'alnak a $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'ashoz.}

\medskip\noindent
{\bf Hat\'areloszl\'ast\'etel v\'eletlen sorozatok kis
perturb\'aci\'oj\'ara. (Slutzky lemma.)} {\it Legyen adva
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy $T_k$ \'es $\e_k$
sorozata, $k=1,2,\dots$, \'ugy, hogy a $T_k$ sorozat eloszl\'asban
konverg\'al egy $F$ eloszl\'ashoz, \'es az $\e_k$ sorozat
sztochasztikusan konverg\'al null\'ahoz, ha $k\to\infty$. Ekkor az
$S_k=T_k+\e_k$, $k=1,2,\dots$, sorozat szint\'en eloszl\'asban
konverg\'al az $F$ eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$.}

\medskip\noindent
{\bf Lemma alkalmas Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok konstrukci\'oj\'ar\'ol.} {\it Legyen adva egy $\xi$
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre
$\lambda=P(\xi=1)\le\frac1{10}$, \'es egy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u $\zeta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Legyen $\bar\lambda$ az
$xe^{-x}=\lambda$ egyenlet egyn\'el kisebb megold\'asa. Ekkor
konstru\'alhat\'o olyan $y=f(k,x)$, $k=0,1,2,\dots$,
$0\le x\le1$, f\"uggv\'eny, amelyre az $\eta=f(\xi,\zeta)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o Poisson eloszl\'as\'u
$\bar\lambda$ param\'eterrel,
$\{\oo\colon\;\xi(\oo)=1\}=\{\oo\colon\;\eta(\oo)=1\}$,
$\{\oo\colon\;\xi(\oo)=0\}\subset\{\oo\colon\;\eta(\oo)=0\}$,
ha $P(\xi(\oo)=0)\le P(\eta(\oo)=0)$, \'es
$\{\oo\colon\;\xi(\oo)=0\}\supset\{\oo\colon\;\eta(\oo)=0\}$,
ha $P(\xi(\oo)=0)\ge P(\eta(\oo)=0)$.}

\medskip
El\H{o}sz\"or megmutatom, hogy ezekb\H{o}l az eredm\'enyekb\H{o}l
k\"ovetkezik az el\H{o}ad\'asban megfogalmazott
hat\'areloszl\'ast\'etel.

Tekints\"uk a t\'etelben szerepl\H{o} $\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, \'es v\'alasszunk
ezenk\'{\i}v\"ul egym\'ast\'ol \'es a $\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okt\'ol f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u $\zeta_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, $k=1,2,\dots$,
$1\le j\le n_k$. Defini\'aljunk mindegyik
$(\xi_{k,j},\zeta_{k,j})$ p\'arhoz egy az {\it alkalmas Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
konstrukci\'oj\'ar\'ol} sz\'ol\'o lemm\'aban felsorolt
felt\'eteleknek eleget tev\H{o} $f(k,x)$ f\"uggv\'enyt \'es
$\eta_{k,j}=f(\xi_{k,j},\zeta_{k,j})$ $\bar\lambda_{k,j}$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, ahol $\bar\lambda_{k,j}$ az $xe^{-x}=\lambda_{k,j}$
egyenlet $[0,1]$ intervallumba es\H{o} megold\'asa. (A felhaszn\'alt
lemm\'aban szerepelt a $\lambda<\frac1{10}$ felt\'etel. Ez azonban
nem okoz probl\'em\'at, mert a
$\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}\to0$, ha $k\to\infty$ felt\'etel
miatt ez a felt\'etel teljes\"ul $k\ge k_0$ esetben alkalmas
$k_0$ index-szel, \'es a sz\'eriasorozat els\H{o} n\'eh\'any sor\'at
elhagyhatjuk. Ez nem v\'altoztatja meg a konvergencia jelleg\'et.)
Megmutatom, hogy az \'{\i}gy bevezetett $\eta_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
bizony\'{\i}tand\'o hat\'areoszl\'as levezethet\H{o} a Slutzky
lemm\'ab\'ol.

Tekints\"uk az $\eta_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
sz\'eriasorozatot \'es a $T_k=\summ_{j=1}^{n_k}\eta_{k,j}$
\"osszegeket. Azt \'all\'{\i}tom, hogy ezekre alkalmazhat\'o a
{\it hat\'areloszl\'ast\'etel Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o
sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-ra}, \'es ez azt adja, hogy a $T_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'ashoz. Val\'oban, a
$(\xi_{k,j},\zeta_{k,j})$ p\'arok f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l
r\"ogz\'{\i}tett $k$ indexre k\"ovetkezik az $\eta_{k,j}$ (Poisson
el\-osz\-l\'a\-s\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege is r\"ogz\'{\i}tett $k$ indexre. Ez\'ert el\'eg
megmutatni azt, hogy a
$\bar\lambda_k=\summ_{j=1}^{n_k}\bar\lambda_{k,j}$ \"osszegek
teljes\'{\i}tik a $\limm_{k\to\infty}\bar\lambda_k=\lambda$
rel\'aci\'ot. Viszont egyszer\H{u} sz\'amol\'as mutatja, hogy
$|\bar\lambda_{k,j}-\lambda_{k,j}|\le 10\lambda_{k,j}^2$, azaz
$\bar\lambda_{k,j}$ \'es $\lambda_{k,j}$ el\'eg k\"ozel vannak
egym\'ashoz. Innen
$|\lambda_k-\bar\lambda_k|\le 10\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}^2\le
10\(\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}\)
\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}\to0$, ha $k\to\infty$,
mert $\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}\to0$, \'es
$\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}\to\lambda$, ha $k\to\infty$.
Innen k\"ovetkezik, hogy nemcsak a
$\limm_{k\to\infty}\lambda_k=\lambda$, hanem a
$\limm_{k\to\infty}\bar\lambda_k=\lambda$ rel\'aci\'o is teljes\"ul.

Vezess\"uk be az
$\e_k=S_k-T_k=\summ_{j=1}^{n_k}(\xi_{k,j}-\eta_{k,j})$,
$k=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Azt akarjuk
megmutatni, hogy az $S_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
ugyanolyan hat\'areloszl\'asuk van, mint a $T_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak, ha $k\to\infty$. Ehhez a
Slutzky lemma alapj\'an el\'eg megmutatni, hogy az $\e_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sztochasztikusan null\'ahoz
tartanak, ha $k\to\infty$. A k\"ovetkez\H{o}, form\'alisan er\H{o}sebb
\'all\'{\i}t\'ast fogom megmutatni.
$$
P(\e_k\neq0)\le \summ_{j=1}^{n_k}P(\xi_{k,j}\neq\eta_{k,j})\to0,
\quad\text{ha } k\to\infty.
$$
E rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben \'{\i}rjuk fel a
$$
\align
P(\xi_{k,j}\neq\eta_{k,j})&\le P(\xi_{k,j}\ge2)+P(\eta_{k,j}\ge2)+
|P(\xi_{k,j}=0)-P(\eta_{k,j}=0)|\\
&\le P(\xi_{k,j}\ge2)+P(\eta_{k,j}\ge2)+
|P(\xi_{k,j}=0)-(1-\lambda_{k,j})|\\
&\qquad +|P(\eta_{k,j}=0)-(1-\bar\lambda_{k,j})|
+|\bar \lambda_{k,j}-\lambda_{k,j}|
\endalign
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget. Vegy\"uk tov\'abb\'a \'eszre, hogy
$$
(1-\lambda_{k,j})-P(\xi_{k,j}=0)=\summ_{l\colon\;l\neq 1}P(\xi_{k,j}=l)
-P((\xi_{k,j}=0)=P(\xi_{k,j}\ge2),
$$
\'es hasonl\'oan
$(1-\bar\lambda_{k,j})-P(\eta_{k,j}=0)=P(\eta_{k,j}\ge2)$. Ez\'ert
az el\H{o}z\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eg \'at\'{\i}rhat\'o, mint
$$
P(\xi_{k,j}\neq\eta_{k,j})\le 2P(\xi_{k,j}\ge2)+2P(\eta_{k,j}\ge2)
+|\bar \lambda_{k,j}-\lambda_{k,j}|.
$$
A k\'{\i}v\'ant becs\-l\'est megkaphatjuk ezen egyenl\H{o}telens\'egek 
$j$ argumentum szerinti \"ossze\-ge\-z\'e\-s\'e\-vel 
r\"ogz\'{\i}tett $k$-ra. Felhaszn\'aljuk, hogy egyr\'eszt 
$\summ_{j=1}^{n_k}P(\xi_{k,j}\ge2)\to0$, ha $k\to0$
a bizony\'{\i}tand\'o t\'etel felt\'etelei miatt, m\'asr\'eszt
$\summ_{j=1}^{n_k}P(\eta_{k,j}\ge2)\le
\summ_{j=1}^{n_k}2\bar\lambda_{k,j}^2
\le\summ_{j=1}^{n_k}4\lambda_{k,j}^2\to0$,
ha $k\to\infty$ a Poisson eloszl\'asok tulajdons\'agai \'es a
$|\lambda_{k,j}-\bar\lambda_{k,j}|\le10\lambda_{k,j}^2$
egyenl\H{o}tlens\'eg miatt. Hasonl\'oan
$$
\summ_{j=1}^{n_k}|\bar \lambda_{k,j}-\lambda_{k,j}|\le
10\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}^2\to0,\quad \text{ha } k\to\infty.
$$
Ezen egyenl\H{o}tlens\'egek alapj\'an
$$
\sum_{j=1}^{n_k}P(\xi_{k,j}\neq\eta_{k,j})\to0,\quad
\text{ha }k\to\infty,
$$
\'es a Slutzky lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel megkapjuk, hogy nemcsak a
$T_k$, hanem az $S_k$ sorozat is konverg\'al eloszl\'asban a
$\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Valamely $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aja egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez azt jelenti,
hogy az $F(\cdot)$ hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny minden $x$
folytonoss\'agi pontj\'aban az $F_n(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
sorozata konverg\'al a hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny $F(x)$
\'ert\'ek\'ehez. Ebben a t\'etelben, legal\'abbis form\'alisan,
m\'as\-k\'epp fogalmaztuk meg az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'at.
Val\'oj\'aban azonban, mivel olyan speci\'alis esetet
tekintetett\"unk, ahol eg\'esz \'er\-t\'e\-k\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak sorozata
konverg\'al egy eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'ahoz, az
itt kimondott konvergencia ugyanazt
jelenti, mint a hagyom\'anyos \'ertelemben vett konvergencia.

Val\'oban, legyen $S$ egy $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy tetsz\H{o}leges $l$ nem negat\'{\i}v eg\'esz
sz\'amot. Ez a sz\'am nem folytonoss\'agi pontja az $S$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek,
viszont fel\'{\i}rhatjuk a $P(S=l)=P(S<l+\frac12)-P(S<l-\frac12)$
azonoss\'agot. Hasonl\'oan
$P(S_k=l)=P(S_k<l+\frac12)-P(S_k<l-\frac12)$ minden $k=1,2,\dots$
sz\'amra. M\'asr\'eszt
$\limm_{k\to\infty}[P(S_k<l+\frac12)-P(S_k<l-\frac12)]=
[P(S<l+\frac12)-P(S<l-\frac12)]$, a bizony\'{\i}tott
konvergenci\'ab\'ol, \'es innen ad\'odik a T\'etel eredeti
form\'aban kimondott \'all\'{\i}t\'asa. Azt is be lehet l\'atni,
hogy a t\'etelben kimondott konvergenci\'ab\'ol k\"ovetkezik a
hagyom\'anyos \'ertelemben vett eloszl\'asban val\'o konvergencia
ebben az esetben.

\medskip\noindent
{\it A Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-ra
vonatkoz\'o ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Az \'all\'{\i}t\'as nyilv\'anval\'o, mert a tekintett $T_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok, amelyek
f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"ossze\-gei, Poisson el\-osz\-l\'a\-s\'u\-ak.
Tov\'abb\'a pa\-ra\-m\'e\-te\-r\"uk $\lambda_k$. Ez\'ert a
$\limm_{k\to\infty}\lambda_k=\lambda$ rel\'aci\'ob\'ol
k\"ovetkezik, hogy a $T_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asban konverg\'alnak a $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'ashoz.

\medskip\noindent
{\it A Slutzky lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Tekints\"uk az $F(\cdot)$
hat\'areloszl\'as f\"uggv\'eny egy $x$ foly\-to\-nos\-s\'a\-gi
pontj\'at. R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy kis $\delta>0$ sz\'amot, \'es
v\'alasszunk olyan $\eta>0$ sz\'amot, amelyre $F(x+\eta)<F(x)+\delta$,
$F(x-\eta)>F(x)-\delta$, \'es mind az $x+\eta$, mind az $x-\eta$
pont folytonoss\'agi pontja az $F(\cdot)$ f\"uggv\'enynek. Ezzel a
v\'alaszt\'assal
$$
P(T_k+\e_k<x)\le P(T_k<x+\eta)+P(\e_k<-\eta)
$$
\'es
$$
\align
1-P(T_k+\e_k<x)&=P(T_k+\e_k\ge x) \\
&\le P(T_k\ge x-\eta)+P(\e_k>\eta)
=1-P(T_k< x-\eta)+P(\e_k>\eta).
\endalign
$$
Innen
$$
P(T_k< x-\eta)-P(\e_k>\eta)\le
P(T_k+\e_k<x)\le P(T_k<x+\eta)+P(\e_k<-\eta),
$$
\'es $k\to\infty$ hat\'ar\'atmenetet alkalmazva \'es felhaszn\'alva
azt, hogy az $\e_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sztochasztikusan null\'ahoz konverg\'alnak azt kapjuk, hogy
$$
\align
F(x)-\delta\le F(x-\eta)
&\le\liminff_{k\to\infty}P(T_k+\e_k<x)\\
&\le \limsupp_{k\to\infty}P(T_k+\e_k<x)
\le F(x+\eta)\le F(x)+\delta.
\endalign
$$
Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as minden $\delta>0$ sz\'amra
\'erv\'enyes, innen k\"ovetkezik a Slutzky lemma.

\medskip\noindent
{\it Az alkalmas Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok konstrukci\'oj\'ar\'ol sz\'ol\'o lemma
bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Defini\'aljuk az $f(k,x)$ f\"uggv\'enyt a
$k=1$ esetben az $f(1,x)=1$ formul\'aval minden $0\le x\le1$
sz\'amra. Az $f(k,x)$ f\"uggv\'enynek az \'altal\'anos esetben 
\'erv\'enyes definici\'oja el\H{o}tt vezess\"uk be a $p_k=P(\xi=k)$ 
\'es $\bar p_k=\frac{\bar\lambda^k}{k!}e^{-\bar\lambda}$,
$k=0,1,2,\dots$, mennyi\-s\'e\-ge\-ket. (Speci\'alisan
$p_1=\bar p_1=\lambda$.) Legyen tov\'abb\'a 
$P_2=\summ_{k=2}^\infty p_k$, \'es 
$\bar P_2=\summ_{k=2}^\infty \bar p_k$. Ha $\bar p_0\le p_0$, akkor
legyen $f(0,x)=0$, ha $0\le x\le\frac{\bar p_0}{p_0}$, \'es azokban 
a $(k,x)$ pontokban, ahol m\'eg nem defini\'altuk az $f(k,x)$ 
f\"uggv\'enyt ott ezt \'ugy fogjuk megtenni, hogy ezekben a 
pontokban az $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny 1-n\'el szigor\'uan nagyobb 
eg\'esz \'ert\'ekeket vegyen fel. Ha $\bar p_0>p_0$, akkor legyen  
$f(0,x)=0$ minden $0\le x\le 1$ sz\'amra, \'es $f(k,x)=0$, 
ha $k\ge2$ \'es $0\le x\le \frac{(\bar p_0-p_0)}{P_2}$. 
Ebben az esetben is \'ugy fogjuk defini\'alni az $f(k,x)$ 
f\"uggv\'enyt a m\'eg nem  tekintett $(k,x)$ argumentumokban, hogy 
az ott 1-n\'el szigor\'uan na\-gyobb eg\'esz \'ert\'eket vegyen fel. 
M\'eg nem defini\'altuk az $f(k,x)$ f\"uggv\'enyt minden\"utt, de 
m\'ar el\H{o}\'{\i}rtuk, hogy hol vesz fel nulla \'es 1 \'ert\'eket. 
Innen k\"ovetkezik, hogy $P(\eta=0)=\bar p_0$, $P(\eta=1)=\bar p_1$, 
$P(\eta\ge2)=\bar P_2$, tov\'abb\'a 
$\{\oo\colon\;\xi(\oo)=1\}=\{\oo\colon\;\eta(\oo)=1\}$,
$\{\oo\colon\;\xi(\oo)=0\}\subset\{\oo\colon\;\eta(\oo)=0\}$,
ha $P(\xi(\oo)=0)\le P(\eta(\oo)=0)$, \'es
$\{\oo\colon\;\xi(\oo)=0\}\supset\{\oo\colon\;\eta(\oo)=0\}$, ha
$P(\xi(\oo)=0)\ge P(\eta(\oo)=0)$. A $\{(k,x)\colon\;f(k,x)=j\}$,
$j=2,3,\dots$, halmazokat \'ugy kell defini\'alni, hogy
teljes\"ulj\"on a $P(\eta=j)=P(f(\xi,\zeta)=j)=\bar p_j$ 
azonoss\'ag minden $j\ge2$ eg\'esz sz\'amra.

Egy k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u $f(k,x)$ f\"uggv\'enyt
p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o}k\'epp defini\'alhatunk. Az $f(k,x)$ 
f\"uggv\'eny definici\'oj\'at bizonyos
$C_k=\{(k,x)\colon\; A_k<x\le1\}$, $k=0$ vagy $k=2,3,\dots$, alak\'u
halmazok uni\'oj\'an kell m\'eg megadni, ahol $A_0=1$, \'es $A_k=
\frac{(\bar p_0-p_0)}{P_2}$ a $k\ge2$ esetben, ha $\bar p_0>p_0$,
\'es $A_0=\frac{\bar p_0}{p_0}$, \'es $A_k=0$ a $k\ge2$ esetben,
ha $\bar p_0\le p_0$. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$\summ_{k\colon\;k\neq1}p_k(1-A_k)
=1-p_1-\bar p_0=1-\bar p_1-\bar p_0=\bar P_2$.  Osszuk fel min\-degyik
$[A_k,1]$ intervallumot $b_{k,j}=\frac{\bar p_j}{\bar P_2}(1-A_k)$
hossz\'us\'ag\'u diszjunkt $B_{k,j}$ intervallumok uni\'oj\'ara,
$j=2,3,\dots$. Mivel $\summ_{j=2}^\infty b_{k,j}
=(1-A_k)\summ_{j=2}^\infty\frac{\bar p_j}{\bar P_2}=1-A_k$, ez
lehets\'eges. Ilyen v\'alaszt\'assal 
$P(\eta=j)=\summ_{k\colon\;k\neq1} p_kb_{k,j}=
\frac{\bar p_j}{\bar P_2}\summ_{k\colon\;k\neq1} p_k(1-A_k)=\bar p_j$
minden $j\ge2$ sz\'amra, mivel 
$\summ_{k\colon\;k\neq1}p_k(1-A_k)=\bar P_2$. Ez azt jelenti, hogy
ez a konstrukci\'o rendelkezik a lemm\'aban el\H{o}\'{\i}rt
tulajdons\'agokkal.

\bye
