\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\centerline{\bf A JAV\'IT\'O DOLGOZAT FELADATAI}

\bigskip
\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen,
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\lambda$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha
$x<0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi-\eta$
k\"ul\"onbs\'eg s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\item{2.)} Legyen $(\xi,\eta)$ k\'etdimenzi\'os v\'eletlen vektor,
amelynek eloszl\'asa egyenletes a $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$
cs\'ucspontok \'altal meghat\'arozott h\'aromsz\"ogben, azaz
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"uggg\-v\'e\-nye $f(x,y)=2$, ha $x>0$,
$y>0$, \'es $x+y\le1$, \'es   $f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent.
Sz\'amoljuk ki a $\xi^2$ \'es  $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\Cov(\xi^2,\eta)$
kovarianci\'aj\'at.

\item{3.)} A k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atszuk. Egy urn\'aban
20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk visszatev\'es n\'elk\"ul 20 goly\'ot. A p\'aratlan
sz\'am\'u h\'uz\'asokban 2 forintot nyer\"unk piros goly\'o
h\'uz\'asa eset\'en \'es sem nem veszt\"unk sem nem nyer\"unk
feh\'er goly\'o h\'uz\'asa eset\'en. A p\'aros
sz\'am\'u h\'uz\'asokban 1 forintot veszt\"unk feh\'er goly\'o
h\'uz\'asa eset\'en \'es sem nem veszt\"unk sem nem nyer\"unk
piros goly\'o h\'uz\'asa eset\'en.
Sz\'amoljuk ki nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

\item{4.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $1$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es 3 sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel, azaz legyen
a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\frac1{\sqrt{6\pi}}e^{-(x-1)^2/6}$. Sz\'amoljuk ki az
$E\xi^4$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.

\item{5.)} Ledobunk a $[0,3]$ intervallumba egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul 3600 pontot egyenletes el\-osz\-l\'as\-sal,
azaz a ledobott pontok v\'eletlen hely\'et megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye $f(x)=\frac13$, ha
$0\le x\le3$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Egy
jegyz\H{o}k\"onyvbe be\'{\i}rjuk minden ledobott pont
hely\'enek az \'ert\'ek\'et, ha az a $[0,2]$ intervallumban
van, \'es a 2 sz\'amot, ha a ledobott pont a $[2,3]$
intervallumba esik. Adjunk j\'o becsl\'est a mell\'ekelt
norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy a jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt 3600 sz\'am \"osszege a
4750 \'es 4820 sz\'amok k\"oz\'e esik.

\item{6.)} Mikor mondjuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen
vektor norm\'alis eloszl\'as\'u nulla v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ekkel?

\medskip
\centerline {\bf Megold\'asok.}

\medskip
\item{1.)} Mint a gyakorlaton megbesz\'elt\"uk, ha $\xi$ \'es $\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)$ \'es $g(x)$, $\xi$ \'es $\eta$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$\xi-\eta$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f*g^-(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(y-x)\,dy$, ahol $g^-(x)=g(-x)$
a $-\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Jelen feladatban
$f(x)=g(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, $f(x)=g(x)=0$, ha
$x<0$. \'Erdemes k\"ul\"on n\'ezni az $f*g^-(x)$ \'ert\'ek\'et az
$x>0$ \'es $x<0$ sz\'amokra. Az $x>0$ esetben
$f(y)g(y-x)=\lambda^2 e^{-\lambda y}e^{-\lambda(y-x)}
=\lambda^2e^{-\lambda(2y-x)}$, ha $y\ge0$ \'es $y-x\ge0$, azaz
$y\ge x$, \'es $f(y)g(y-x)=0$, ha $y<x$. Hasonl\'oan, az $x<0$
esetben $f(y)g(y-x)=\lambda^2 e^{-\lambda y}e^{-\lambda(y-x)}
=\lambda^2e^{-\lambda(2y-x)}$, ha $y\ge0$, \'es $y-x\ge0$, azaz
$y\ge 0$, \'es $f(y)g(y-x)=0$, ha $y<0$. Innen
$f*g^-(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(y-x)\,dy
=\int_x^\infty \lambda^2e^{-\lambda(2y-x)}\,dy
=\lambda^2 e^{\lambda x}\[\frac{e^{-2\lambda y}}{-2\lambda}\]_x^\infty
=\frac{\lambda}2e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, \'es
$f*g^-(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(y-x)\,dy
=\int_0^\infty \lambda^2e^{-\lambda(2y-x)}\,dy
=\lambda^2 e^{\lambda x}\[\frac{e^{-2\lambda y}}{-2\lambda}\]_0^\infty
=\frac{\lambda}2e^{\lambda x}$, ha $x\le0$. \'Igy kisz\'amoltuk a
$\xi-\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ezt \'ugy is
fel\'{\i}rhatjuk egys\'egesebb form\'aban, hogy
$\frac\lambda2e^{-\lambda|x|}$ minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra.

\item{} Ezt a sz\'amol\'ast lehetett volna kiss\'e
egyszer\H{u}s\'{\i}teni, \'eszrev\'eve, hogy a $\xi-\eta$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye p\'aros f\"uggv\'eny, ez\'ert
elegend\H{o} azt csak az $x>0$ sz\'a\-mok\-ra kisz\'amolni.

\item{2.)} $\Cov(\xi^2,\eta)=E\xi^2\eta-E\xi^2E\eta$. Tov\'abb\'a,
$$
\align
E\xi^2\eta
&=\int x^2yf(x,y)\,dx\,dy=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2x^2y\,dy\)\,dx
=\int_0^1x^2\[y^2\]_0^{1-x}\,dx \\
&=\int_0^1x^2(1-2x+x^2)\,dx=\frac13-\frac12+\frac15=\frac1{30},
\endalign
$$
$E\xi^2=\int x^2f(x,y)\,dx\,dy=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2x^2\,dy\)\,dx
=\int_0^1 2(1-x)x^2\,dx=\frac23-\frac12=\frac16$, \'es
$E\eta=\int yf(x,y)\,dx\,dy=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2y\,dy\)\,dx
=\int_0^1(1-x)^2\,dx=1-1+\frac13=\frac13$. Ez\'ert
$\Cov(\xi^2,\eta)=\frac1{30}-\frac1{18}=-\frac1{45}$.

\item{3.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\zeta_j$, $1\le j\le20$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Abban az esetben, ha $j$
p\'aratlan sz\'am, $\zeta_j=2$, ha piros goly\'ot h\'uzunk, 
$\zeta_j=0$, ha feh\'er goly\'ot h\'uzunk a $j$-ik h\'uz\'asban. 
Abban az esetben, ha $j$ p\'aros sz\'am, $\zeta_j=-1$, ha feh\'er 
goly\'ot h\'uzunk, $\zeta_j=0$, ha piros goly\'ot h\'uzunk a $j$-ik 
h\'uz\'asban. Ekkor minket a $\zeta=\summ_{j=1}^{20}\zeta_j$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es 
sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel. Az egyszer\H{u}bb jel\"ol\'es 
\'erdek\'eben vezess\"uk be a $\xi_j=\zeta_{2j-1}$, \'es 
$\eta_j=\zeta_{2j}$, $1\le j\le 10$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'okat. Ekkor $\zeta=\summ_{j=1}^{20}\zeta_j
=\summ_{j=1}^{10}\xi_j+\summ_{j=1}^{10}\eta_j$.

\item{} $E\xi_j=2\frac{20}{50}=\frac45$,
$E\eta_j=-\frac{30}{50}=-\frac35$, ahonnan
$E\zeta=10(E\xi_1+E\eta_1)=2$. A $\Var\zeta$ kisz\'amol\'as\'ahoz
ki kell sz\'amolnunk a $\Var\zeta_j$, azaz a $\Var\xi_j$ \'es
$\Var\eta_j$ \'es a $\Cov(\zeta_j,\zeta_k)$, azaz a
$\Cov(\xi_j,\xi_k)$, $\Cov(\xi_j,\eta_k)=\Cov(\xi_k,\eta_j)$
valamint $\Cov(\eta_j,\eta_k)$ mennyis\'egeket.

\item{} $\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\frac85-\(\frac45\)^2
=\frac{24}{25}$,
$\Var\eta_j=E\eta_j^2-(E\eta_j)^2=\frac35-\(\frac35\)^2
=\frac{6}{25}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k
=4\frac25\frac{19}{49}-\frac{16}{25}=\frac{-24}{1225}$,
$\Cov(\xi_j,\eta_k)=E\xi_j\eta_k-E\xi_jE\eta_k
=-2\frac25\frac{29}{49}+\frac{12}{25}=\frac{8}{1225}$,
$\Cov(\eta_j,\eta_k)=E\eta_j\eta_k-E\eta_jE\eta_k
=\frac35\frac{29}{49}-\frac{9}{25}=\frac{-6}{1225}$.
Innen $\Var\zeta=\summ_{j=1}^{20}\Var\zeta_j
+\summ_{1\le j,k\le20,\,j\neq k}\Cov(\zeta_j,\zeta_k)
=10(\Var\xi_1+\Var\eta_1)+90(\Cov(\xi_1,\xi_2)+\Cov(\eta_1,\eta_2))
+200\Cov(\xi_1,\eta_1)
=12+\frac{-90\cdot24-90\cdot 6+200\cdot8}{1225}
=12-\frac{44}{49}$.

\item{4.)} A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
fel\'{\i}rhat\'o $\xi=\sqrt3\eta+1$ alakban, ahol $\eta$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Ez\'ert
$\xi^4=(\sqrt3\eta)^4+4(\sqrt3\eta)^3+6(\sqrt3\eta)^2+4\sqrt3\eta+1$,
ahonnan
$E\xi^4=E(\sqrt3\eta)^4+6E(\sqrt3\eta)^2+1=9E\eta^4+18E\eta^2+1
=27+18+1=46$, mert $E\eta=E\eta^3=0$, $E\eta^4=3$, $E\eta^2=1$,
mint a gyakorlaton l\'attuk.

\item{5.)} Jel\"olje $\zeta_j$ a $j$-ik ledobott pont
hely\'et, \'es legyen $\xi_j=f(\zeta_j)$, $1\le j\le3600$, ahol
$f(x)=x$, ha $0\le x\le2$, $f(x)=2$, ha $x\le 2\le3$.
Ekkor $\zeta_j$, $1\le j\le k$, f\"uggetlen, a $[0,3]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, a jegy\-z\H{o}\-k\"onyv\-be \'{\i}rt sz\'amok 
\"osszege $S=\summ_{j=1}^{3600}\xi_j$,
\'es minket a $P(4750<S<4820)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Ennek kisz\'amol\'asa \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki az $E\xi_j$,
\'es $\Var\xi_j$ mennyis\'egeket. $E\xi_j=Ef(\zeta_j)
=\int_0^3\frac{f(x)}3\,dx=\int_0^2\frac x3\,dx+\int_2^3\frac23\,dx
=\[\frac{x^2}6\]_0^2+\frac23=\frac23+\frac23=\frac43$.
$E\xi^2_j=Ef^2(\zeta_j)
=\int_0^3\frac{f^2(x)}3\,dx
=\int_0^2\frac {x^2}3\,dx+\int_2^3\frac43\,dx
=\[\frac{2^3}9\]_0^2+\frac43=\frac89+\frac43=\frac{20}9$. Innen
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\frac{20}9-\frac{16}9=\frac49$.

\item{} Ez\'ert $ES=4800$, $\Var S=1600=40^2$, ahonnan
$$
\align
P(4750<S<4820)&=P\(\frac{4750-4800}{40}\le \frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}
\le \frac{4820-4800}{40}\)\\
&=P\(-1.25\le \frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}} \le0.5\)
\sim\Phi(0.5)-\Phi(-1.25)\\
&=\Phi(0.5)+\Phi(1.25)-1=0.6915+0.8944-1=0.5859.
\endalign
$$

\item{} Az $E\xi_j$ \'es $\Var\xi_j$ mennyis\'egeket
k\"ozvetlen\"ul is ki tudtuk volna sz\'amolni a $\zeta_j$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok bevezet\'ese n\'elk\"ul
Stieltjes integr\'alok seg\'{\i}ts\'eg\'evel.


\item{6.)} Vezess\"uk be el\H{o}sz\"or a standard norm\'alis 
eloszl\'as\'u vektor fogalm\'at. Azt mondjuk, hogy 
$(\eta_1,\dots,\eta_n)$ $n$-v\'altoz\'os standard norm\'alis 
eloszl\'as\'u vektor, ha ennek koordin\'at\'ai, $\eta_1$, $\eta_2$,
\dots, $\eta_n$, f\"uggetlen, standard norm\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Ha $A$ egy $n\times n$
m\'eret\H{u} (determinisztikus) m\'atrix, \'es 
$(\eta_1,\dots,\eta_n)$ $n$-v\'altoz\'os standard norm\'alis 
eloszl\'as\'u vektor, akkor a
$(\xi_1,\dots,\xi_n)=(\eta_1,\dots,\eta_n)A$ v\'eletlen vektor
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}, norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor. Az $n$-v\'altoz\'os norm\'alis
el\-osz\-l\'a\-s\'u nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} vektorok
azok a v\'eletlen vektorok, amelyek
eloszl\'asa megegyezik egy ilyen m\'odon el\H{o}\'all\'{\i}that\'o 
$(\eta_1,\dots,\eta_n)A$ v\'eletlen vektor eloszl\'as\'aval alkalmas
$A$ m\'atrix-szal.

\item{} {\it Megjegyz\'es.} B\'ar nem bizony\'{\i}tottuk be, de
n\'emi munk\'aval (line\'aris algebrai meggondol\'asok 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel) bel\'athat\'o, hogy egy nulla v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\H{u} norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ 
v\'eletlen vektorra nemcsak az igaz, hogy az eloszl\'asa megegyezik egy
$(\eta_1,\dots,\eta_n)A$ v\'eletlen vektor eloszl\'as\'aval, ahol
$(\eta_1,\dots,\eta_n)$ standard nor\-m\'a\-lis el\-osz\-l\'a\-s\'u, 
hanem l\'etezik olyan $(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_n)$ standard 
norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen vektor, amely\-re
$(\xi_1,\dots,\xi_n)=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_n)A$.


\bye
