A JAVÍTÓ DOLGOZAT FELADATAI

1.) Legyen ξ és η két független, exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ paraméterrel, azaz legyen sűrűségfüggvényük f(x) = λe^{−λx}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0. Számítsuk ki a ξ − η különbség sűrűségfüggvényét.

2.) Legyen (ξ, η) kétdimenziós véletlen vektor, amelynek eloszlása egyenletes a (0, 0), (1, 0), (0, 1) csúcspontok által meghatározott háromszögben, azaz sűrűségfügggvénye f(x, y) = 2, ha x > 0, y > 0, és x + y ≤ 1, és f(x, y) = 0 egyébként. Számoljuk ki a ξ^{2} és η valószínűségi változók Cov (ξ^{2}, η) kovarianciáját.

3.) A következő játékot játszuk. Egy urnában 20 piros és 30 fehér golyó van. Kihúzunk visszatevés nélkül 20 golyót. A páratlan számú húzásokban 2 forintot nyerünk piros golyó húzása esetén és sem nem vesztünk sem nem nyerünk fehér golyó húzása esetén. A páros számú húzásokban 1 forintot vesztünk fehér golyó húzása esetén és sem nem vesztünk sem nem nyerünk piros golyó húzása esetén. Számoljuk ki nyereményünk várható értékét és szórásnégyzetét.

4.) Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó 1 várható értékkel és 3 szórásnégyzettel, azaz legyen a sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{\sqrt{6π}} e^{−(x−1)^{2}/6}. Számoljuk ki az Eξ^{4} várható értéket.

5.) Ledobunk a [0, 3] intervallumba egymástól függetlenül 3600 pontot egyenletes eloszlással, azaz a ledobott pontok véletlen helyét megadó valószínűségi változók sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{3}, ha 0 ≤ x ≤ 3, és f(x) = 0 egyébként. Egy jegyzőkönyvbe beírjuk minden ledobott pont helyének az értékét, ha az a [0, 2] intervallumban van, és a 2 számot, ha a ledobott pont a [2, 3] intervallumba esik. Adjunk jó becslést a mellékelt normális eloszlástáblázat segítségével arra, hogy a jegyzőkönyvbe írt 3600 szám összege a 4750 és 4820 számok közé esik.

6.) Mikor mondjuk, hogy egy (ξ_{1}, …, ξ_{n}) véletlen vektor normális eloszlású nulla várható értékkel?

Megoldások.

1.) Mint a gyakorlaton megbeszéltük, ha ξ és η sűrűségfüggvénye f(x) és g(x), ξ és η független valószínűségi változók, akkor ξ − η sűrűségfüggvénye f ∗ g^{−}(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(y)g(y − x) dy, ahol g^{−}(x) = g(−x) a −η valószínűségi változó sűrűségfüggvénye. Jelen feladatban f(x) = g(x) = λe^{−λx}, ha x ≥ 0, f(x) = g(x) = 0, ha x < 0. Érdemes külön nézni az f ∗ g^{−}(x) értékét az x > 0 és x < 0 számokra. Az x > 0 esetben f(y)g(y − x) = λ^{2}e^{−λy}e^{−λ(y−x)} = λ^{2}e^{−λ(2y−x)}, ha y ≥ 0 és y − x ≥ 0, azaz y ≥ x, és f(y)g(y − x) = 0, ha y < x. Hasonlóan, az x < 0 esetben f(y)g(y − x) = λ^{2}e^{−λy}e^{−λ(y−x)} = λ^{2}e^{−λ(2y−x)}, ha y ≥ 0, és y − x ≥ 0, azaz y ≥ 0, és f(y)g(y − x) = 0, ha y < 0. Innen f ∗ g^{−}(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(y)g(y −x) dy = ∫_{x}^{∞} λ^{2}e^{−λ(2y−x)} dy = λ^{2}e^{λx} [\frac{e^{−2λy}}{−2λ} ]_{x}^{∞} = \frac{λ}{2}e^{−λx}, ha x ≥ 0, és

f ∗ g^{−}(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(y)g(y − x) dy = ∫_{0}^{∞} λ^{2}e^{−λ(2y−x)} dy = λ^{2}e^{λx} [\frac{e^{−2λy}}{−2λ} ]_{0}^{∞} = \frac{λ}{2}e^{λx}, ha x ≤ 0. Így kiszámoltuk a ξ − η sűrűségfüggvényét. Ezt úgy is felírhatjuk egységesebb formában, hogy \frac{λ}{2}e^{−λ|x|} minden −∞ < x < ∞ számra.

Ezt a számolást lehetett volna kissé egyszerűsíteni, észrevéve, hogy a ξ − η valószínűségi változó sűrűségfüggvénye páros függvény, ezért elegendő azt csak az x > 0 számokra kiszámolni.

2.) Cov (ξ^{2}, η) = Eξ^{2}η − Eξ^{2}Eη. Továbbá,

Eξ^{2}η = ∫ x^{2}yf(x, y) dx dy = ∫_{0}^{1} (∫_{0}^{1−x} 2x^{2}y dy) dx = ∫_{0}^{1} x^{2} [y^{2}]_{0}^{1−x} dx

= ∫_{0}^{1} x^{2}(1 − 2x + x^{2}) dx = \frac{1}{3} − \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1}{30},

Eξ^{2} = ∫ x^{2}f(x, y) dx dy = ∫_{0}^{1} (∫_{0}^{1−x} 2x^{2} dy) dx = ∫_{0}^{1} 2(1 − x)x^{2} dx = \frac{2}{3} − \frac{1}{2} = \frac{1}{6},

és Eη = ∫ yf(x, y) dx dy = ∫_{0}^{1} (∫_{0}^{1−x} 2y dy) dx = ∫_{0}^{1}(1 − x)^{2} dx = 1 − 1 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.

Ezért Cov (ξ^{2}, η) = \frac{1}{30} − \frac{1}{18} = −\frac{1}{45}.

3.) Vezessük be a következő ζ_{j}, 1 ≤ j ≤ 20, valószínűségi változókat. Abban az esetben, ha j páratlan szám, ζ_{j} = 2, ha piros golyót húzunk, ζ_{j} = 0, ha fehér golyót húzunk a j-ik húzásban. Abban az esetben, ha j páros szám, ζ_{j} = −1, ha fehér golyót húzunk, ζ_{j} = 0, ha piros golyót húzunk a j-ik húzásban. Ekkor

minket a ζ = ∑_{j=1}^{20} ζ_{j} valószínűségi változó várható értéke és szórásnégyzete érdekel.

Az egyszerűbb jelölés érdekében vezessük be a ξ_{j} = ζ_{2j−1}, és η_{j} = ζ_{2j}, 1 ≤ j ≤ 10,

valószínűségi változókat. Ekkor ζ = ∑_{j=1}^{20} ζ_{j} = ∑_{j=1}^{10} ξ_{j} + ∑_{j=1}^{10} η_{j}.

Eξ_{j} = 2\frac{20}{50} = \frac{4}{5}, Eη_{j} = −\frac{30}{50} = −\frac{3}{5}, ahonnan Eζ = 10(Eξ_{1} + Eη_{1}) = 2. A Var ζ kiszámolásához ki kell számolnunk a Var ζ_{j}, azaz a Var ξ_{j} és Var η_{j} és a Cov (ζ_{j}, ζ_{k}), azaz a Cov (ξ_{j}, ξ_{k}), Cov (ξ_{j}, η_{k}) = Cov (ξ_{k}, η_{j}) valamint Cov (η_{j}, η_{k}) mennyiségeket.

Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = \frac{8}{5} − (\frac{4}{5})^{2} = \frac{24}{25}, Var η_{j} = Eη_{j}^{2} − (Eη_{j})^{2} = \frac{3}{5} − (\frac{3}{5})^{2} = \frac{6}{25}, Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k} = 4\frac{2}{5} \frac{19}{49} − \frac{16}{25} = \frac{−24}{1225}, Cov (ξ_{j}, η_{k}) = Eξ_{j}η_{k} − Eξ_{j}Eη_{k} = −2\frac{2}{5} \frac{29}{49} + \frac{12}{25} = \frac{8}{1225}, Cov (η_{j}, η_{k}) = Eη_{j}η_{k} − Eη_{j}Eη_{k} = \frac{3}{5} \frac{29}{49} − \frac{9}{25} =

\frac{−6}{1225}. Innen Var ζ = ∑_{j=1}^{20} Var ζ_{j} + ∑_{1≤j,k≤20, j≠k} Cov (ζ_{j}, ζ_{k}) = 10(Var ξ_{1} + Var η_{1}) +

90(Cov (ξ_{1}, ξ_{2}) + Cov (η_{1}, η_{2})) + 200Cov (ξ_{1}, η_{1}) = 12 + \frac{−90·24−90·6+200·8}{1225} = 12 − \frac{44}{49}.

4.) A ξ valószínűségi változó felírható ξ = \sqrt{3}η + 1 alakban, ahol η standard normális eloszlású valószínűségi változó. Ezért ξ^{4} = (\sqrt{3}η)^{4} +4(\sqrt{3}η)^{3} +6(\sqrt{3}η)^{2} +4\sqrt{3}η +1, ahonnan Eξ^{4} = E(\sqrt{3}η)^{4} + 6E(\sqrt{3}η)^{2} + 1 = 9Eη^{4} + 18Eη^{2} + 1 = 27 + 18 + 1 = 46, mert Eη = Eη^{3} = 0, Eη^{4} = 3, Eη^{2} = 1, mint a gyakorlaton láttuk.

5.) Jelölje ζ_{j} a j-ik ledobott pont helyét, és legyen ξ_{j} = f(ζ_{j}), 1 ≤ j ≤ 3600, ahol f(x) = x, ha 0 ≤ x ≤ 2, f(x) = 2, ha x ≤ 2 ≤ 3. Ekkor ζ_{j}, 1 ≤ j ≤ k, független, a [0, 3] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változók, a jegy-

zőkönyvbe írt számok összege S = ∑_{j=1}^{3600} ξ_{j}, és minket a P (4750 < S < 4820)

valószínűség érdekel. Ennek kiszámolása érdekében számoljuk ki az Eξ_{j}, és Var ξ_{j}

mennyiségeket. Eξ_{j} = Ef(ζ_{j}) = ∫_{0}^{3} \frac{f(x)}{3} dx = ∫_{0}^{2} \frac{x}{3} dx + ∫_{2}^{3} \frac{2}{3} dx = [\frac{x^{2}}{6} ]_{0}^{2} + \frac{2}{3} =

\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. Eξ_{j}^{2} = Ef^{2}(ζ_{j}) = ∫_{0}^{3} \frac{f^{2}(x)}{3} dx = ∫_{0}^{2} \frac{x^{2}}{3} dx + ∫_{2}^{3} \frac{4}{3} dx = [\frac{2^{3}}{9} ]_{0}^{2} + \frac{4}{3} =

\frac{8}{9} + \frac{4}{3} = \frac{20}{9}. Innen Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = \frac{20}{9} − \frac{16}{9} = \frac{4}{9}.

Ezért ES = 4800, Var S = 1600 = 40^{2}, ahonnan

P (4750 < S < 4820) = P (\frac{4750 − 4800}{40} ≤ \frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} ≤ \frac{4820 − 4800}{40})

= P (−1.25 ≤ \frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} ≤ 0.5) ∼ Φ(0.5) − Φ(−1.25)

= Φ(0.5) + Φ(1.25) − 1 = 0.6915 + 0.8944 − 1 = 0.5859.

Az Eξ_{j} és Var ξ_{j} mennyiségeket közvetlenül is ki tudtuk volna számolni a ζ_{j} valószínűségi változók bevezetése nélkül Stieltjes integrálok segítségével.

6.) Vezessük be először a standard normális eloszlású vektor fogalmát. Azt mondjuk, hogy (η_{1}, …, η_{n}) n-változós standard normális eloszlású vektor, ha ennek koordinátái, η_{1}, η_{2}, …, η_{n}, független, standard normális eloszlású valószínűségi változók. Ha A egy n × n méretű (determinisztikus) mátrix, és (η_{1}, …, η_{n}) nváltozós standard normális eloszlású vektor, akkor a (ξ_{1}, …, ξ_{n}) = (η_{1}, …, η_{n})A véletlen vektor nulla várható értékű, normális eloszlású véletlen vektor. Az nváltozós normális eloszlású nulla várható értékű vektorok azok a véletlen vektorok, amelyek eloszlása megegyezik egy ilyen módon előállítható (η_{1}, …, η_{n})A véletlen vektor eloszlásával alkalmas A mátrix-szal.

Megjegyzés. Bár nem bizonyítottuk be, de némi munkával (lineáris algebrai meggondolások segítségével) belátható, hogy egy nulla várható értékű normális eloszlású (ξ_{1}, …, ξ_{n}) véletlen vektorra nemcsak az igaz, hogy az eloszlása megegyezik egy (η_{1}, …, η_{n})A véletlen vektor eloszlásával, ahol (η_{1}, …, η_{n}) standard normális eloszlású, hanem létezik olyan (η̄_{1}, …, η̄_{n}) standard normális eloszlású véletlen vektor, amelyre (ξ_{1}, …, ξ_{n}) = (η̄_{1}, …, η̄_{n})A.