\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf FELADATOK}
\medskip\noindent


\item{1.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, \'es legyen $t$ val\'os
sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
E e^{t\xi}&=\int_{-\infty}^\infty
e^{tu}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du
=\int_{-\infty}^\infty
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{tu-u^2/2-t^2/2+t^2/2}\,du \\
&=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(t-u)^2/2}\,du=e^{t^2/2}.
\endalign
$$
\item{2.)} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok.
L\'assuk be, hogy $\xi^2+\eta^2$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o $\lambda=\frac12$
pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $P(\xi^2<x)=\Phi(\sqrt x)-\Phi(-\sqrt
x)=2\Phi(\sqrt x)-1$, ha $x\ge0$. \'Irjuk fel $\xi^2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et \'es konvol\'uci\'o
seg\'\i{}ts\'eg\'evel a k\'\i{}v\'ant s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt.
A $\xi^2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye
$g(x)=\frac{\varphi(\sqrt x)}{\sqrt x}=\frac1{\sqrt{2\pi
x}}e^{-x/2}$, ha $x\ge0$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$, \'es
$\xi^2+\eta^2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
\align
f(x)&=g*g(x)=\int_0^x\frac1{2\pi\sqrt{u(x-u)}}
e^{-u/2}e^{-(x-u)/2}\,du\\
&=e^{-x/2}\int_0^1\frac1{2\pi\sqrt{v(1-v)}}\,dv=\frac12e^{-x/2},
\quad \text{ha } x\ge0,
\endalign
$$
\'es $f(x)=0$, ha $x\le 0$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Az $x$ param\'etert\H{o}l nem f\"ugg\H{o}
$\int_0^1 \frac1{\sqrt{v(1-v)}}\,dv$ integr\'al \'ert\'ek\'et
meg\-ha\-t\'a\-roz\-za az a t\'eny, hogy a v\'egeredm\'enyk\'ent
kapott f\"uggv\'eny s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, ez\'ert
integr\'alja a sz\'amegyenesen eggyel egyenl\H{o}. De ki is tudjuk
sz\'amolni ezt az integr\'alt. Vagy\"uk \'eszre, hogy
$$
\frac1{\sqrt{v(1-v)}}=\frac1{\sqrt{\frac14-(v-\frac12)^2}}
=\frac2{\sqrt{1-(2v-1)^2}},
$$
ez\'ert $u=2v-1$ helyettes\'{\i}t\'essel
$$
\align
\int_0^x\frac1{2\pi\sqrt{v(1-v)}}\,dv&=
\int_{-1}^{2x-1}\frac1{2\pi\sqrt{1-u^2}}\,du  \\
&=\frac1{2\pi}\[\arcsin x\]_{-1}^{2x-1}=\frac{\arcsin
(2x-1)+\frac\pi2}{2\pi}.
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy a tekintett integr\'al \'ert\'eke $x=1$
eset\'en $\frac12$, mivel $\arcsin1=\frac \pi2$.
\medskip
\item{3.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki az $\frac\eta\xi$ h\'anyados eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
\item{} A megold\'as kidolgoz\'asa el\H{o}tt tegy\"unk el\H{o}sz\"or
egy \'altal\'anos megjegyz\'est. Ha adva van k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\xi$ \'es $\eta$, amelyek
(egy\"uttes) s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy ismert $f(u,v)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, akkor az $\frac\eta\xi$
h\'anyados eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
sz\'amolhatjuk ki: Vezess\"uk be a $g(u,v)=g_x(u,v)$ f\"uggv\'enyt,
amely a s\'{\i}kon az $\left\{(u,v)\colon\;\frac vu<x\right\}$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye, azaz $g(u,v)=1$, ha $\frac vu<x$, \'es
$g(u,v)=0$, ha $\frac vu\ge x$. Ekkor $P\(\frac\eta\xi<x\)
=E g(\xi,\eta)=\int\int g(u,v) f(u,v)\,du\,dv=
\int\int_{\{(u,v)\:\frac vu<x\}} f(u,v)\,du\,dv$. L\'atni fogjuk,
hogy az ebben a feladatban vizsg\'aland\'o integr\'al viszonylag
egyszer\H{u}, k\"onnyebben kezelhet\H{o}.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as.}\/ A feladatban vizsg\'aland\'o h\'anyados
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
\align
F(x)&=P\(\frac\eta\xi <x\)=\iint_{v<xu
}\frac1{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv\\
&=2\frac1{2\pi}\int_{-\frac{\pi}2<\varphi<\arctan x}\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr\,d\varphi
=\frac1{\pi}\int_{-\frac{\pi}2}^{\arctan x}
\,d\varphi
=\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
Ebben a sz\'amol\'asban a fel\'{\i}rt integr\'alt \'at\'{\i}rtuk
$u=r\cos\varphi$, $v=r\sin\varphi$ transzform\'aci\'oval
pol\'arkoordin\'atarendszerben. E sz\'amol\'as sor\'an az
integrandusban megjelenik az $r$ Jacobian mint szorz\'o faktor.
Ezut\'an azt vegy\"uk \'eszre, hogy a bels\H{o} $r$ v\'altoz\'o
szerinti integr\'al $\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr=\[-e^{-r^2/2}\]_0^\infty=1$.
\item{} Kisz\'amoltuk a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az eloszl\'asf\"uggv\'eny
deriv\'altja, azaz az $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}=\frac1{\pi(1+x^2)}$
f\"uggv\'eny.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as.}\/ A $(\xi,\eta)$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\frac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$, ami
for\-ga\-t\'as\-in\-va\-ri\'ans f\"uggv\'eny. Innen k\"ovetkezik,
hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $(\xi,\eta)$ vektor
egy orig\'ob\'ol kiindul\'o $\alpha$ sz\"og\H{u} sz\"ogtartom\'anyba
esik, $\frac\alpha{2\pi}$. Ez\'ert
$$
\align
P\(\frac\eta\xi<x\)&=P\((\xi,\eta)\in
\[-\frac \pi2,\arctan x\)\cup \[\frac\pi2, \arctan x+\pi\)
\text{sz\"ogtartom\'anyban}\)\\
&=\frac1{2\pi}2\(\arctan x+\frac\pi2\)=\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
\medskip
\item{4.)} Legyen $(\xi,\eta)$ k\'et-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(x,y)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. L\'as\-suk be, hogy a
$\frac\eta\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak is
l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az a
$g(t)=\int_{-\infty}^\infty f(x,tx)|x|\,dx$ f\"uggv\'eny. Adjunk
ennek az eredm\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'uj meg\-ol\-d\'ast
az el\H{o}z\H{o} feladatra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $G(t)$ a $\frac\eta\xi$ t\"ort
$G(t)=P\(\frac\eta\xi<t\)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor
$$
G(t)=\int_{(x,y)\colon\;\frac yx<t} f(x,y)\,dx\,dy.
$$
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt az integr\'alt az $(\bar x,z)=\(x,\frac yx\)$
helyettes\'{\i}t\'essel. Ekkor a $G(t)$ f\"uggv\'enyt kifejez\H{o}
integr\'alban az \'uj integr\'al\'asi tartom\'any az
$\{(\bar x,z)\colon\;-\infty<\bar x<\infty,\,-\infty<z<t\}$,
$f(x,y)=f(\bar x,z\bar x)$, \'es az integr\'altranszform\'aci\'o
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz meg kell hat\'aroznunk a lek\'epez\'es
Jacobi transzform\'aci\'oj\'at. Ez az $\bar x=h_1(x,y)=x$,
$z=h_2(x,y)=\frac yx$ jel\"ol\'essel
$$
J(\bar x,z) =\left|\( \matrix \frac{\partial\bar x}{\partial x},
\frac{\partial\bar x)}{\partial y} \\
\frac{\partial z}{\partial x},
\frac{z}{\partial y}, \endmatrix \)\right|
=\left|\( \matrix
\frac{\partial h_1(x,y)}{\partial x},\frac{\partial h_1(x,y)}
{\partial y},\\
\frac{\partial h_2(x,y)}{\partial x},\frac{\partial h_2(x,y)}
{\partial y}, \endmatrix\right) \right|
=\left|\left( \matrix \, 1,\,\,\, 0\\ -\frac y{x^2}, \frac1x
\endmatrix\right) \right| =\left|\frac1x\right|,
$$
\'es inform\'alisan $d\bar x\,dz=J(x,z)\,dx\,dy$, ahonnan
$dx\,dy=\frac1{J(x,z)}\,d\bar x\,dz=|\bar x|\,d\bar x\,dz$,
ahonnan
$$
G(t)=\int_{(x,y)\colon\;\frac yx<t} f(x,y)\,dx\,dy=\int
\int_{(x,z)\colon z<t} f(x,zx)|x|\,dx\,dz=\int_{-\infty}^t K(z)\,dz,
$$
ahol
$$
K(z)=\int_{-\infty}^\infty f(x,xz)|x|\,dx.
$$
Innen l\'athat\'o, hogy a keresett s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
$g(t)=K(t)$, amint \'all\'{\i}tottuk.
\item{} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$(\xi,\eta)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x,y)=\frac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$, ez\'ert $\frac\eta\xi$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
\align
g(t)&=\int_{-\infty}^\infty\frac1{2\pi}e^{-(x^2+t^2x^2)/2}|x|\,dx \\
&=\int_{-\infty}^\infty\frac1{2\pi (t^2+1)}
e^{-(\sqrt{(t^2+1)}x)^2/2} \left|\(\sqrt{(t^2+1)}x\)\right|\,
d\(\sqrt{(t^2+1)}x\),
\endalign
$$
ahonnan
$$
\align
g(t)&=\frac1{2\pi (t^2+1)}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}|x|\,dx
=\frac1{\pi (t^2+1)}\int_0^\infty e^{-x^2/2}x\,dx \\
&=\frac1{\pi (t^2+1)}\[-e^{-x^2/2}\]_0^\infty
=\frac1{\pi (t^2+1)}.
\endalign
$$
\item{5.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, $-\infty<x<\infty$.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi^2+\xi^4$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or
$\xi^2+\xi^4$ $G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ha $x<0$, akkor
$G(x)=0$, mert $\xi^2+\xi^4\ge0$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
Ha $x>0$, akkor a $P(\xi^2+\xi^4<x)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
kell kisz\'am\'{\i}tanunk. Legyen $u=u(x)$ az $u^2+u-x=0$ egyenlet
nagyobb gy\"oke, az $u=\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2$. Nem neh\'ez
bel\'atni, hogy $\xi^2(\oo)+\xi^4(\oo)<x$ akkor \'es csak akkor, ha
$0\le\xi^2(\oo)<u(x)$, ami azt jelenti, hogy
$-\sqrt{u(x)}<\xi<\sqrt{u(x)}$. Innen $\xi^2+\xi^4$
eloszl\'asf\"uggv\'enye $x>0$ eset\'en
$G(x)=\Phi\(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)-
\Phi\(-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)=
2\Phi\(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)-1$, ahol $\Phi(x)$ a
standard  norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny. Innen
differenci\'al\'assal kapjuk, hogy $\xi^2+\xi^4$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\frac{dG(x)}{dx}$, ahonnan ez a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny nulla, ha $x<0$, \'es
$\sqrt{\frac2\pi}\exp\left\{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}4\right\}
\frac d{dx}\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2}$, ha $x>0$.
\item{6.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amelyek egy\"uttes eloszl\'as\'anak (l\'etez\H{o})
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(u,v)=\frac23u+2uv^2+\frac23v$
alak\'u, ha $0\le u,v\le1$, \'es $f(u,v)=0$ egy\'ebk\'ent.
L\'assuk be el\H{o}sz\"or, hogy $f(u,v)$ val\'oban
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, majd sz\'a\-mol\-juk ki a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{}{\it
Megold\'as:}\/ Annak \'erdek\'eben, hogy ellen\H{o}rizz\"uk, hogy
$f(u,v)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny azt kell megmutatni, hogy
$f(u,v)\ge0$ (majdnem) minden $(u,v)$ sz\'amp\'arra, \'es
$$
\int\int f(u,v)\,du\,dv=1.
$$
Az nyilv\'anval\'o, hogy $f(u,v)\ge0$ minden $(u,v)$ sz\'amp\'arra.
M\'asr\'eszt mivel
$$
\int_0^1\int_0^1 u v^2\,du\,dv=
\int_0^1 u\,du\int_0^1 v^2\,dv=\frac12\cdot\frac13=\frac16,
$$
$\int_0^1\int_0^1 u\,du\,dv=\frac12$ \'es
$\int_0^1\int_0^1 v\,du\,dv=\frac12$, ez\'ert
$\int\int f(u,v)\,du\,dv=1$.
\item{} A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et az
$$
G(x)=\int_{-\infty}^\infty\(\int_{-\infty}^{x-u} f(u,v)\,dv\)\,du
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}thatuk ki, hasonl\'oan
$1-G(x)=\int_{-\infty}^\infty\(\int_{x-u}^{\infty} f(u,v)\,dv\)\,du$.
M\'asr\'eszt, a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny $g(x)=\frac {dG(x)}{dx}$
formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel kisz\'am\'{\i}that\'o. Ez a mi
eset\"unkben a k\"ovetkez\H{o}t jelenti, $g(x)=0$, ha
$x\le0$, $g(x)=1$, ha $x\ge2$, mert $G(x)=0$, ha $x\le0$, $G(x)=1$,
ha $x\ge2$. M\'asr\'eszt
$$
g(x)=\frac{d}{dx}\(\int_0^1\int_0^{x-u}
\(\frac23u+2uv^2+\frac23v\)\,du\)\,dv,
$$
ha $0\le x\le1$, $g(x)=-\frac{d}{dx}\(\int_0^1\int_{x-u}^1
\(\frac23u+2uv^2+\frac23v\)\,du\)\,dv$, ha $1\le x\le2$. Az\'ert
volt \'erdemes a $0\le x\le1$ \'es $1\le x\le2$ eseteket
sz\'etv\'alasztani, mert a konkr\'et feladatban a $G(x)$
f\"uggv\'enyt tudjuk k\'enyelmesen kisz\'am\'{\i}tani $0\le x\le1$
\'es az $1-G(x)$ f\"uggv\'enyt az $1\le x\le2$ intervallumban. Ez
a sz\'etbont\'as azonban nem k\"otelez\H{o}.
\item{} A fent v\'azolt m\'odon ki lehet sz\'amolni a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt, de val\'oj\'aban ezt a sz\'amol\'ast
lehet egyszer\H{u}s\'{\i}teni. Ez hasonl\'o ahhoz, ahogy
a konvoluci\'o formul\'at vezetik le f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'ere. Val\'o\-ban, a $v$ v\'altoz\'o
$z=u+v$ helyettes\'{\i}t\'es\'evel  fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
G(x)&=\int_{-\infty}^\infty\(\int_{-\infty}^{x-u} f(u,v)\,dv\)\,du=
\int_{-\infty}^\infty\(\int_{-\infty}^{x} f(u,z-u)\,dz\)\,du\\
&=\int_{-\infty}^x\(\int_{-\infty}^{\infty} f(u,z-u)\,du\)\,dz,
\endalign
$$
ahonnan deriv\'al\'assal
$$
g(x)=\frac{dG(x)}{dx}=\int_{-\infty}^{\infty} f(u,x-u)\,du.
$$
E k\'eplettel a sz\'amol\'asokat lehet egyszer\H{u}s\'{\i}teni. Azt
kapjuk, hogy jelen esetben  $g(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>2$, (ebben az
esetben a $g(x)$ f\"uggv\'enyt kifejez\H{o} integr\'alban
szerepl\H{o} integrandus azonosan nulla. Ugyanis $x<0$ eset\'eben
vagy $u<0$ vagy $x-u<0$, \'es $x>2$ esetben vagy $u>1$ vagy $x-u>1$.
Ha $0\le x\le 1$, akkor
$$
g(x)=\int_0^{1-x}\(\frac23u+2u(x-u)^2+\frac23(x-u)\) \,du,
$$
ha $1\le x\le 2$, akkor
$$
g(x)=\int_{x-1}^1\(\frac23u+2u(x-u)^2+\frac23(x-u) \) \,du.
$$
\item{6a.)} Mutassuk meg, hogy a fenti feladat megold\'as\'aban
kapott r\'eszeredm\'enyek tartalmazz\'ak speci\'alisan azt az
eredm\'enyt is, hogy k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
konvoluci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet kisz\'amolni.
\item{} {\it Megold\'as.}\/ L\'attuk, hogy amennyiben egy
$(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x,y)$, akkor a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak is van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az
$g(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(u,x-u)\,du$. Legyen $\xi$ \'es
$\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$h_1(x)$ \'es $h_2(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennnyel.
Ekkor a $(\xi,\eta)$ vektornak is van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az
$f(x,y)=h_1(x)h_2(y)$ f\"uggv\'eny. \'Igy a $\xi+\eta$ \"osszegnek
is van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az id\'ezett
eredm\'eny szerint
$g(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(u,x-u)\,du=\int_{-\infty}^\infty
h_1(u)h_2(x-u)\,du$.
\item{7.)} Legyen a $(\xi,\eta)$ vektor egyenletes eloszl\'as\'u
a $(0,0)$, $(1,0)$ \'es $(0,1)$ pontok \'altal meghat\'arozott
h\'aromsz\"og\"on, azaz legyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye 2
azon a h\'aromsz\"og\"on, amelynek ezek a pontok a cs\'ucspontjai,
\'es legyen nulla ezen a h\'aromsz\"og\"on k\'{\i}v\"ul.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok kovarianci\'aj\'at.

\item{} {\it Megold\'as:}\/ $\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta$,
\'es $E\xi\eta=\int xy f(x,y)\,dx\,dy$,
\hfill\break
$E\xi=\int x f(x,y)\,dx\,dy$,
$E\eta=\int y f(x,y)\,dx\,dy$, ahol $f(x,y)$ a $(\xi,\eta)$ vektor
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Ez\'ert
$$
\align
E\xi\eta&=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2xy\,dy\)\,dx
=\int_0^1 2x\[\frac{y^2}2\]_0^{1-x}\,dx
=\int_0^1 x(1-x)^2\,dx\\
&=\[\frac{x^2}2-\frac{2x^3}3
+\frac{x^4}4\]_0^1=\frac1{12},
\endalign
$$
$$
E\xi=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2x\,dy\)\,dx=\int_0^1 2x(1-x)\,dx=\frac13,
$$
\'es
$$
E\eta=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2y\,dy\)\,dx=\int_0^1 (1-x)^2\,dx=\frac13,
$$
(Szimmetria meggondol\'asok alapj\'an is bel\'athat\'o, hogy
$E\eta=E\xi$.) Innen \hfill\break
$\Cov(\xi,\eta)=\frac1{12}-\frac1{9}=-\frac1{36}$.

\item{8.)} Legyen $\eta_1$ \'es $\eta_2$ k\'et f\"uggetlen norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1$ illetve
$m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$ \'es $\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel. L\'assuk be, hogy az $\eta_1+\eta_2$
\"osszeg $m_1+m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
$\sigma_1^2+\sigma^2_2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.

\medskip
A feladat megold\'asa el\H{o}tt \'erdemes megjegyezni, hogy
$$
\int_{-\infty}^\infty e^{-(x-A)^2/B}\,dx=\sqrt{B\pi}.
$$
Ezt l\'athatjuk p\'eld\'aul az $y=\sqrt 2\frac{x-A}{\sqrt B}$
helyettes\'{\i}t\'essel, \'es abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy a
$\varphi(y)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}$ f\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ez az \'eszrev\'etel az\'ert
hasznos, mert ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy amennyiben olyan
integr\'alt kell kisz\'amolni, amelyben az integrandus
exponens\'eben egy kvadratikus alak szerepel, akkor az
inegrandusban szerepl\H{o} kifejez\'est
teljes n\'egyzett\'e alak\'{\i}tva ki tudjuk sz\'amolni az
integr\'alt. Ez a gondolata a jelen feladat megold\'as\'anak is.

\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az $\eta_1+\eta_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$  \allowdisplaybreaks
\align
f(x)&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-(u-m_1)^2/2\sigma_1^2}
e^{-(x-u-m_2)^2/2\sigma_2^2}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-u^2
\(\frac1{2\sigma_1^2}+\frac1{2\sigma_2^2}\)+u\(\frac{m_1}{\sigma_1^2}
+\frac{x-m_2}{\sigma_2^2}\)\\
&\hskip5truecm -\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\(u-\frac{m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2}
{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\)^2 \\
&\hskip4,5truecm +\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\left\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}u^2 \right\}\,du\\
&\hskip4,5truecm \exp\left\{\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\} \\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\exp\left\{
\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\}\\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\exp\left\{
-\frac{(x-m_1-m_2)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\right\}.
\endalign
$$

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A feladatot lehet egyszer\H{u}s\'{\i}teni.
El\'eg p\'eld\'aul arra az esetre koncentr\'alni a figyelm\"unket,
amikor $m_1=0$ \'es $m_2=0$. Val\'oban, vezess\"uk be az
$\bar\eta_1=\eta_1-m_1$ \'es $\bar\eta_2=\eta_2-m_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor $\bar\eta_1$ \'es
$\bar\eta_2$ f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 0 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel,
$\sigma_1^2$ \'es $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel. M\'asr\'eszt
$\eta_1+\eta_2=\bar\eta_1+\bar\eta_2+m_1+m_2$, \'es ha
$\bar\eta_1+\bar\eta_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x)$,
akkor $\eta_1+\eta_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x-m_1-m_2)$.
Mi\'ert? Ez azt jelenti, hogy el\'eg $\bar\eta_1+\bar\eta_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et kisz\'amolni.

\medskip
\item{9.)} Mutassuk meg, a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy amennyiben $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
f\"uggetlen, norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $m_1$ \'es $m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$
\'es $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel, akkor $\xi+\eta$ norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1+m_2$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, \'es $\sigma_1^2+\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ \'Irjuk fel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\varphi_1(t)=Ee^{it\xi}$
az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\varphi_2(t)=Ee^{it\eta}$ \'es a $\zeta=\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\varphi_3(t)=Ee^{it(\xi+\eta)}$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et.
Azt kapjuk, hogy $\varphi_1(t)=e^{itm_1-\sigma_1^2t^2/2}$, mert
$\xi=\sigma_1\bar\xi+m_1$, ahol $\xi_1$ standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ahonnan
$\varphi_1(t)=Ee^{it(\sigma_1\bar\xi+m_1)}
=e^{itm_1}Ee^{i(t\sigma_1)\bar\xi}=e^{itm_1}e^{-(t\sigma_1)^2/2}$.
Hasonl\'oan, $\varphi_2(t)=e^{itm_2-\sigma_2^2t^2/2}$. Ez\'ert
$\varphi_3(t)=\varphi_1(t)\varphi_2(t)
=e^{it(m_1+m_2)-(\sigma_1^2+\sigma^2_2)t^2/2}$, ahonnan k\"ovetkezik,
hogy $\zeta$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $m_1+m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$\sigma_1^2+\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel.

\item{10.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 2 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
\'es 3 sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel. Sz\'amoljuk ki minden
val\'os $t$ sz\'amra az $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.
\item{} {\it Megold\'as.}\/ A feladatot megoldhatjuk az 1.)
feladat megold\'as\'ahoz hasonl\'oan. A $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et is fel tudjuk \'{\i}rni, \'es
ezut\'an az 1.) feladathoz hasonl\'o integr\'al
seg\'{\i}ts\'eg\'evel fel tudjuk \'{\i}rni a keresett v\'arhat\'o
\'ert\'eket, \'es azt az 1) feladathoz hasonl\'oan ki tudjuk
sz\'amolni. De egyszer\H{u}bben is c\'elhoz \'erhet\"unk. A
feladatot k\"ozvetlen\"ul visszavezethetj\"uk az 1. feladatra.
Fel\'{\i}rhatjuk ugyanis a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot $\xi=\sqrt3\eta+2$ alakban, ahol $\eta$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Innen k\"ovetkezik, hogy $Ee^{t\xi}=Ee^{t(\sqrt3\eta+2)}
=e^{2t}Ee^{t\sqrt3\eta}=e^{2t}Ee^{(\sqrt3t)\eta}=e^{2t+3t^2/2}$
az els\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an.

\item{11.)} K\'et f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o h\'anyadosa, mint l\'attuk,
egy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x)=\frac1\pi\frac1{1+x^2}$,
$-\infty<x<\infty$. Az ilyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel
rendelkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
Cauchy eloszl\'as\'unak nevezik. L\'etezik-e egy Cauchy
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-nak
v\'arhat\'o \'ert\'eke?
\item{} {\it Megold\'as.}\/ A v\'alasz az, hogy egy Cauchy
eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak nem
l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke. Egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak ugyanis akkor \'es csak
akkor l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, ha mind a
$\xi^+=\max(\xi,0)$ pozit\'{\i}v, mind az $\xi^-=\min(0,\xi)$
negat\'{\i}v r\'esz\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'eke v\'eges. Ez
azonban ebben a p\'eld\'aban nem teljes\"ul, mert
$E\xi^+=\int_0^\infty xf(x)\,dx=\infty$ \'es
$E\xi^-=\int^0_{-\infty} xf(x)\,dx=-\infty$. Az els\H{o}
rel\'aci\'ot p\'eld\'aul \'ugy lehet l\'atni, hogy \'eszrevessz\"uk,
hogy az $xf(x)=\frac x{\pi(1+x^2)}$ integrandus primit\'{\i}v
f\"uggv\'enye a $g(x)=\frac1{2\pi}\log(1+x^2)$, \'es
$\limm_{x\to\infty}g(x)=\infty$. De egyszer\H{u}bben is l\'athatjuk
ezt, ha \'eszrevessz\"uk, hogy az $xf(x)$ f\"uggv\'eny a
v\'egtelenben \'ugy viselkedik, mint a $\const x^{-1}$ f\"uggv\'eny
alkalmas pozit\'{\i}v konstanssal, ez\'ert a tekintett integr\'al
konvergenci\'aja vagy divergenci\'aja att\'ol f\"ugg, hogy az
$\int_a^\infty x^{-1}\,dx$ integr\'al valamely $a>0$ als\'o
integr\'al\'asi hat\'arral konvergens-e vagy divergens. De tudjuk,
hogy az $\int_a^\infty x^{-\alpha}\,dx$ integr\'al $\alpha>1$-re
konvergens \'es $\alpha\le 1$-re divergens.

\item{12.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, azaz legyen
$\xi$ \'es $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha
$-\frac12\le x\le\frac12$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent.
Sz\'amoljuk ki $\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
$g(x)=\int f(y)f(x-y)\,dy$ f\"uggv\'eny, ahol $f(x)$ a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez\'ert $f(y)f(x-y)=1$, ha
$-\frac12\le y\le\frac12$, \'es $-\frac12\le x-y\le\frac12$,
azaz $-\frac12+x\le y\le\frac12+x$, \'es nulla egy\'ebk\'ent.
Ez azt jelenti, hogy a $\xi+\eta$ \"osszeg $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az $x$ pontban megegyezik a
$\[-\frac12,\frac12\]\cap \[-\frac12+x,\frac12+x\]$
intervallum hossz\'aval. Ha $|x|>1$, akkor a fenti metszet \"ures,
ez\'ert ebben az eset\-ben $g(x)=0$. Ha $0\le x\le 1$, akkor ez a
metszet a $\[-\frac12+x,\frac12\]$ intervallum, \'es ennek hossza
$1-x$, azaz ebben az eset\-ben $g(x)=1-x$. Ha $-1\le x\le0$, akkor
ez a metszet a $\[-\frac12,\frac12+x\]$ intervallum amelynek hossza
$1+x=1-|x|$, azaz $g(x)=1+x=1-|x|$ ebben az eset\-ben. Ez azt
jelenti, hogy $g(x)=1-|x|$, ha $|x|\le 1$, \'es $g(x)=0$, ha $|x|>1$.
\medskip
\item{} Megadok egy m\'asik
geo\-met\-riai \'ervel\'esen alapul\'o megold\'ast.
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. De\-fi\-ni\'al\-juk a
$K=\[-\frac12,\frac12\]\times\[-\frac12,\frac12\]$ n\'egyzetet,
\'es jel\"olje $\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'eket, azaz a ter\"uletet
a s\'{\i}kon. Ekkor a s\'{\i}k tetsz\H{o}leges $A\subset R^2$
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'ara igaz az, hogy $P((\xi,\eta)\in
A)=\lambda(A\cap K)$. Speci\'alisan, $G(x)=P(\xi+\eta<x)=
\lambda(K\cap\{(u,v)\colon\; u+v<x\})$. Ha $x\le-1$, akkor
$G(x)=0$, ha $-1\le x\le0$, akkor $G(x)$ a $\(-\frac12,-\frac12\)$,
$\(-\frac12,\frac12+x\)$ \'es $\(\frac12+x,-\frac12\)$ pontok
\'altal meghat\'arozott h\'aromsz\"og ter\"ulete $\frac12(1+x)^2$.
Hasonl\'oan, ha $x\ge1$, akkor $G(x)=1$. Ha $0\le x\le1$, akkor a
$G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny megegyezik annak a poligonnak
ter\"ulet\'evel, amelyet \'ugy kapunk, hogy a $K$ n\'egyzetb\H{o}l
kihagyjuk a $\(\frac12,\frac12\)$, $\(\frac12,-\frac12+x\)$
\'es $\(-\frac12+x,\frac12\)$ pontok \'altal meghat\'arozott
h\'aromsz\"oget. Ez\'ert $G(x)=1-\frac12(1-x)^2$ ebben az eset\-ben.
A $G(x)$ f\"uggv\'enyt deriv\'alva kapjuk, hogy $g(x)=0$, ha
$|x|\le1$, $g(x)=1+x$, ha $-1\le x\le0$, \'es $g(x)=1-x$, ha $0\le
x\le1$.

\item{13.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(x)$ \'es $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Hogyan sz\'amoljuk ki
$\xi-\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et?
\item{} {\it Megold\'as.}\/ $\xi-\eta=\xi+(-\eta)$. Ha $\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)$ akkor $-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g^-(x)=g(-x)$. Mi\'ert? Innen
$\xi-\eta=\xi+(-\eta)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f*g^-(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g^-(x-y)\,dy
=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(y-x)\,dy$.

\item{14.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely
$[a,a+1]$ illetve $[b,b+1]$ intervallumon. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a
$\xi+\eta$ \'es $\xi-\eta$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A feladatot meg lehet oldani
megfelel\H{o} konvoluci\'ok kisz\'am\'{\i}t\'as\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. De mivel ezt a feladatot m\'ar megoldottuk
egy speci\'alis esetben a 12. feladatban, ez\'ert
egyszer\H{u}bb a feladat megold\'as\'at visszavezetni erre a
speci\'alis esetre. Ennek \'erdek\'eben vezess\"unk be k\'et
f\"uggetlen $\xi_0$ \'es $\eta_0$ a $[-\frac12,\frac12]$
intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot. Feltehetj\"uk, hogy $\xi=\xi_0+a+\frac12$ \'es
$\eta=\eta_0+b+\frac12$. Ekkor $\xi+\eta=\xi_0+\eta_0+a+b+1$,
$\xi-\eta=\xi_0-\eta_0+a-b$. Ezenk\'{\i}v\"ul $\xi_0+\eta_0$ \'es
$\xi_0-\eta_0$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye megegyezik, \'es ez
az eml\'{\i}tett feladat eredm\'enye szerint $g(x)=1-|x|$, ha
$-1\le x\le1$, $g(x)=0$, ha $x<-1$ vagy $x>1$. Innen $x+\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x-a-b-1)=1-|x-a-b-1|$,
ha $|x-a-b-1|\le1$, $g(x-a-b-1)=0$, ha $|x-a-b-1|>1$, $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x-a+b)=1-|x-a+b|$,
ha $|x-a+b|\le1$, $g(x-a+b)=0$, ha $|x-a+b|>1$.

\item{15.)} Egy egys\'egnyi oldal\'u n\'egyzet k\'et \'atellenes
oldal\'an tal\'alomra v\'alasztunk egy-egy pontot. Mekkora annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ezek t\'avols\'aga $\alpha$-n\'al
kisebb $(1\le\alpha<\sqrt2$)?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi$ a n\'egyzet egyik,
$\eta$ a n\'egyzet \'atellenes oldal\'ara ledobott pont
\'ert\'ek\'et. A k\'et ledobott pont t\'avols\'aga (a
Pitagorasz-t\'etel szerint)
$\sqrt{(\xi-\eta)^2+1}$, ez\'ert minket a
$P(\sqrt{(\xi-\eta)^2+1}<\alpha)=P(|\xi-\eta|<\sqrt{\alpha^2-1})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. $\xi$ \'es $\eta$
k\'et f\"uggetlen a $[0,1$ intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A feladatot egyr\'eszt
megoldhatjuk a geometriai val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
m\'od\-sze\-r\'e\-vel. Ekkor azt haszn\'aljuk, ki, hogy a
$(\xi,\eta)$ v\'e\-let\-len vektor az egys\'egn\'egyzet egy
v\'eletlen pontja, \'es a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg az
$\{(u,v)\colon\; 0\le u,v\le1,\; -\sqrt{\alpha^2-1}<u-v<
\sqrt{\alpha^2-1}\}$ halmaz ter\"ulete, ami
$1-(1-\sqrt{\alpha^2-1})^2=2\sqrt{\alpha^2-1}-(\alpha^2-1)$.
\item{} M\'asr\'eszt a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kisz\'amolhatjuk az
el\H{o}z\H{o} feladat se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel is. E feladat
eredm\'enye szerint ugyanis ismerj\"uk a $\xi-\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, ahonnan tetsz\H{o}leges
$0\le u\le 1$ sz\'amra
$P(|\xi-\eta|<u)=\int_{-u}^u g(x)\,dx=2\int_0^u(1-x)\,dx=2u-u^2$
Innen $u=\sqrt{\alpha^2-1}$ v\'alaszt\'assal a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$2\alpha-\alpha^2=2\sqrt{\alpha^2-1}-(\alpha^2-1)$.

\item{16.)} A $[0,1]$ intervallumon tal\'alomra felvesz\"unk k\'et
pontot. Mennyi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy
a k\'et felvett pont t\'avols\'aga kisebb, mint a 0 pontnak a
hozz\'a k\"ozelebb es\H{o} pontt\'ol val\'o t\'avols\'aga?
\item{} {\it Megold\'as:} Ezt a feladatot legegyszer\H{u}bben a
geometriai val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek m\'odszer\'evel tudjuk
megoldani. Egyszer\H{u}bb el\H{o}sz\"or a feladatban k\'erdezett
esem\'eny komplementer\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
kisz\'amolni. Legyen $\xi$ az els\H{o}, $\eta$ a m\'asodik ledobott
pont \'ert\'eke, \'es vezess\"uk be az
$A=\{\oo\colon\; \xi(\oo)>2\eta(\oo)\}$
\'es  $B=\{\oo\colon\; \eta(\oo)>2\xi(\oo)\}$ esem\'enyeket. Ekkor
a minket \'erdekl\H{o} esem\'eny komplementere az $A\cup B$ esem\'eny.
Tov\'abb\'a, az $A$ \'es $B$ esem\'enyek diszjunktak, $P(A)=P(B)$,
ez\'ert $P(A\cup B)=2P(A)$. A $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, \'es az $A$
esem\'eny azt jelenti, hogy ez a pont az $\{(u,v)\colon\;
0<2v<u\le1\}$ halmazba esik. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\frac14$. Ez\'ert $P(A\cup B)=\frac12$, \'es a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $1-\frac12=\frac12$.
\item{} Megjegyzem, hogy az el\H{o}bb tekintett $P(A)$ esem\'enyt
a k\"ovetkez\H{o}k\'epp sz\'a\-mol\-hat\-juk ki \'altal\'anos
elvek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et ismerj\"uk. Ez a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt
$g(u,v)=f(u)f(v)$, ahol $f(u)=1$, ha $0\le u\le1$,
$f(u)=0$, ha $u<0$ vagy $u>1$ a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(A)&=\int_{\{(x,y)\colon\; x>2y\}}g(x,y)\,dx\,dy
=\int_{\{(x,y)\colon\; x>2y\}}f(x)f(y)\,dx\,dy\\
&=\int_{\{(x,y)\colon\;1\ge x>2y>0\}}\,dx\,dy
=\int_0^1 \(\int_0^{x/2}\,dy\)\,dx
=\int_0^1\frac x2\,dx=\[\frac{x^2}4\]_0^1=\frac14.
\endalign
$$

\item{17.)} Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a
$[0,2]$ intervallumra egyenletes eloszl\'assal, (azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke
$x$-n\'el kisebb $\frac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$,
eggyel egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.)
\H{O}rizz\"uk meg azokat a ledobott pontokat, amelyek \'ert\'eke
1-n\'el kisebb, \'es hagyjuk el azokat, amelyek \'ert\'eke nagyobb,
mint egy. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
meg\H{o}rz\"ott pontok \'ert\'ekeinek az \"osszege 5900 \'es 6075
k\"oz\'e esik? Adjunk erre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 24~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=x$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke $x$, \'es
$0\le x\le1$, \'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke
az $(1,2]$ intervallumba esik. Ekkor a meg\H{o}rz\"ott pontok
\"osszege $S=\summ_{j=1}^{24~000}\xi_j$, tov\'abb\'a a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak.  Ez\'ert a centr\'alis hat\'arelosz\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est tudunk adni a minket
\'erdekl\H{o} $P(5900<S<6075)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre. Ennek
\'erdek\'eben ki kell sz\'amolnunk  a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} A $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'enek a kisz\'amol\'asa
\'erdek\'eben vezess\"uk be az $\eta_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, amelyik megegyezik az els\H{o} ledobott pont
\'ert\'ek\'evel, \'es a k\"ovetkez\H{o} $h(x)$ f\"uggv\'enyt a
$[0,2]$ intervallumon: Le\-gyen $h(x)=x$, ha $0\le x\le1$, \'es
$h(x)=0$, ha $1\le x\le2$. Ekkor $\xi_1=h(\eta_1)$, \'es $\eta_1$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha
$0\le x\le2$, $f(x)=0$, ha $x<0$, \'es $x>2$. Innen
$E\xi_1=Eh(\xi_1)=\int h(x)\,dx=\int_0^1x\frac12\,dx=\frac14$,
$E\xi_1^2=Eh(\eta_1)^2=\int_0^1 x^2\frac12\,dx=\frac16$, \'es
$\Var\xi_1=E\xi_1^2-(E\xi_1)^2=\frac16-\frac1{16}=\frac5{48}$.
Ez\'ert $ES=6000$, $\Var S=2500$. Innen
$$
\align
P(5900<S<6075)&=P\(-2<\frac {S-ES}{\sqrt{\Var S}}<1.5\)\\
&\sim\Phi(1.5)-\Phi(-2)=\Phi(1.5)+\Phi(2)-1.
\endalign
$$

\item{} {\it a feladat m\'odos\'{\i}tott megold\'asa.}\/ A $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et ki tudjuk sz\'amolni
k\"ozvetlen\"ul, az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
bevezet\'ese n\'elk\"ul is, ha tudjuk, hogyan kell kisz\'amolni egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
kifejez\H{o} integr\'alt az \'altal\'anos esetben. (Teh\'at ki kell
tudnunk sz\'amolni egy eloszl\'as \'altal meghat\'arozott
Lebesgue--Stieltjes integr\'alt akkor is, ha az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-nek nincs
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es nem is diszkr\'et eloszl\'as
jelenik meg.) A k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} \'esz\-re\-v\'e\-telt
\'erdemes tenni. Ha adva van k\'et $\mu_1$ \'es $\mu_2$ m\'ert\'ek
\'es egy $f(x)$ f\"uggv\'eny a sz\'am\-egye\-ne\-sen,
akkor $f(x)(\mu_1(\,dx)+\mu_2(\,dx))=
f(x)\mu_1(\,dx)+ \int f(x)\mu_2(\,dx)$. (Val\'oj\'aban ez az
azonoss\'ag tetsz\H{o}leges t\'eren \'ertelmezett f\"uggv\'enyre
\'es m\'ert\'ekp\'arra is \'erv\'enyes.)

\item{} Tekints\"uk a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\mu_F$ eloszl\'as\'as\'anak a k\"ovetkez\H{o} term\'eszetes
felbont\'as\'at: $\mu_F=\mu_1+\mu_2$, ahol $\mu_1$ az a m\'ert\'ek,
amelyiknek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\frac12$ a $[0,1]$
intervallumban, \'es nulla egy\'ebk\'ent, azaz
$\mu_1(A)=\int_{A\cap[0,1]}\frac12\,dx$, a $\mu_2$ m\'ert\'ek pedig
a 0 pontba van koncentr\'alva, \'es a $0$ pont $\mu_2$ m\'ert\'eke
$\frac12$, azaz $\mu_2(A)=\frac12$, ha $0\in A$, \'es $\mu_2(A)=0$,
ha $0\notin A$. Ekkor
$E\xi=\int x\mu_1(\,dx)+\int x\mu_2(\,dx)
=\int_0^1\frac12 x\,dx=\frac14+0=\frac14$, \'es
$E\xi^2=\int x^2\mu_1(\,dx)+\int x^2\mu_2(\,dx)
=\int_0^1\frac12 x^2\,dx+0=\frac16+0=\frac16$,
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\frac16-\frac1{16}=\frac5{48}$.

\medskip
\item{18.)} Egy nagyv\'arosban n\'epszavaz\'ast tartanak egy
k\'erd\'esr\H{o}l. A v\'aros egy foly\'o k\'et oldal\'an fekszik,
\'es a foly\'o k\'et oldal\'an lak\'okn\'al m\'as mind a k\'erd\'es
t\'amogatotts\'aga, mind a szavaz\'asi hajland\'os\'ag. A foly\'o
baloldal\'an 85000 szavaz\'opolg\'ar lakik, az ottlak\'ok $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\'amogatj\'ak a javaslatot, \'es
$\frac45$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel mennek el szavazni. A foly\'o
jobbpartj\'an 50400 szavaz\'opolg\'ar lakik, az ottlak\'ok $\frac12$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel t\'amgatj\'ak a javaslatot,
\'es $\frac23$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel mennek el szavazni. Az
egyes lakosok v\'elem\'enye \'es szavaz\'asi hajland\'os\'aga
f\"uggetlen egym\'ast\'ol. Mi annak a (k\"ozel\'{\i}t\H{o})
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a leadott igen szavazatok sz\'ama
nagyobb, mint a leadott nem szavazatok k\'etszerese plusz 1080?
\item{} {\it Megold\'as.}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le85000$ \'es $\eta_j$, $1\le j\le 50400$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altozokat. $\xi_j=1$, ha a foly\'o
$j$-ik baloldali partj\'an lak\'o szavaz\'opolg\'ar igennel szavaz,
$\xi_j=-2$, ha nemmel szavaz, \'es $\xi_j=0$, ha nem megy el
szavazni, $1\le j\le85000$. Hasonl\'oan, $\eta_j=1$, ha a foly\'o
$j$-ik jobboldali partj\'an lak\'o szavaz\'opolg\'ar igennel szavaz,
$\eta_j=-2$, ha nemmel szavaz, \'es $\eta_j=0$, ha nem megy el
szavazni, $1\le j\le50400$. Legyen
$S=\summ_{j=1}^{85000}\xi_j+\summ_{j=1}^{50400}\eta_j$. Vegy\"uk
\'eszre, hogy minket a  $P(S>1080)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
nagys\'aga \'erdekel. (A $\xi_j$ \'es $\eta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat hasonl\'oan defini\'altuk.
Az\'ert tett\"unk k\"oz\"ott\"uk k\"ul\"onbs\'eget, mert m\'as az
eloszl\'asuk.) Erre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre a f\"uggetlen, de
nem felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere vonatkoz\'o
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudunk
j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est adni. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki az
$S$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

\item{} Mivel $P(\xi_j=1)=\frac35$, $P(\xi_j=-1)=\frac15$,
$P(\xi_j=0)=\frac15$, ez\'ert $E\xi_j=\frac15$, $E\xi_j^2=\frac75$,
$\Var\xi_j=\frac{34}{25}$. Hasonl\'oan, $P(\eta_j=1)=\frac13$,
$P(\eta_j=-1)=\frac13$, $P(\eta_j=0)=\frac13$, ez\'ert
$E\eta_j=-\frac13$, $E\eta_j^2=\frac53$, $\Var\xi_j=\frac{14}{9}$.
Ez\'ert $ES=85000\times\frac15-50400\times\frac13=200$,
$\Var S=85000\times\frac{34}{25}+50400\times\frac{14}9
=(20)^2(17^2+14^2)\sim 440^2$.

\item{} Innen  $P(S>1080)
=P\(\frac{S-ES}{\Var S}>\frac{1080-ES}{\Var S}\)\sim
=P\(\frac{S-ES}{\Var S}>\frac{880}{440}\)\sim1-\Phi(2)\sim0.0228$.

\medskip
\item{19.)} Egy n\'epszavaz\'asi k\'erd\'est a v\'alaszt\'ason akkor
fogadnak el, ha egyr\'eszt t\"obben szavaztak r\'a igennel, mint
nemmel, m\'asr\'eszt az igen szavazatok sz\'ama meghaladja az
\"osszes v\'alaszt\'opolg\'arok sz\'am\'anak a $20\%$-\'at. Legyen
mondjuk, $n=5000000$ v\'a\-lasz\-t\'o\-pol\-g\'ar, mindenki
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $40\%$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
megy el szavazni, \'es $50\%$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel szavaz
igennel. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a
n\'ep\-sza\-va\-z\'as eredm\'enyek\'ent elfogadj\'ak a
n\'epszavaz\'asi k\'erd\'est?
\item{} {\it Megold\'as.} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
(k\'etv\'altoz\'os) vektor\'ert\'ek\H{u} $(\xi_j,\eta_j)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
szavaz\'o igennel szavaz, $\xi_j=-1$, ha nemmel szavaz, \'es
$\xi_j=0$, ha nemmel szavaz. $\eta_j=1$, ha a $j$-ik szavaz\'o
igennel szavaz, $\eta_j=0$ egy\'ebk\'ent, teh\'at ha nemmel szavaz
vagy ha nem megy el szavazni. Legyen $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$,
$T_n=\summ_{j=1}^n\eta_j$. Ekkor minket annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel, hogy mind az $S>0$ mind a
$T>0.2n$ esem\'eny bek\"ovetkezik. Erre a k\'erd\'esre a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudunk v\'alaszolni, ha azt a
$(\xi_j,\eta_j)$ v\'eletlen vektorok \"osszeg\'ere alkalmazzuk.
Ekkor $E\xi_j=0$, $E\eta_j=0.2$, $\Var\xi_j=E\xi_j^2=0.4$,
$\Var\eta_j=E\eta_j^2-(E\eta_j)^2=0.2-0.2^2=0.16$,
$\Cov(\xi_j,\eta_j)=E\xi_j\eta_j-E\xi_jE\eta_j
=E\xi_j\eta_j=P(\xi_j=1,\eta_j=1)=0.2$. Innen
$\limm_{n\to\infty}P(S_n>0,T_n>0.2n)=\limm_{n\to\infty}
P\(\frac1{\sqrt n}S_n>0,\frac1{\sqrt n}(T_n-ET_n)>0\)$,
\'es ez azon $(X,Y)$ norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen
vektor \'altal meghat\'arozott $P(X>0,Y>0$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eghez tart, amely\-re $EX=EY=0$,
kovariancia m\'atrix\'at pedig a $\Var X=0.4$, $\Var Y=0.16$,
$\Cov(X,Y)=0.2$ k\'epletek hat\'arozz\'ak meg.

\item{} {\it Megjegyz\'es:} Az ebben a feladatban kapott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg valamivel nagyobb, mint $0.25$, azaz az
az \'ert\'ek, ami akkor jelenne meg, ha a hat\'areloszl\'asban
megjelen\H{o} norm\'alis elosz\'as\'u v\'eletlen vektor $X$ \'es
$Y$ koordin\'at\'ai korrel\'alatlanok, ez\'ert f\"ug\-get\-le\-nek
lenn\'enek. $0.25$ annak az (aszimptotikus)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb a sza\-va\-za\-tok
$40\%$-\'at leadt\'ak, \'es az igen szavazatok voltak
t\"obbs\'egben. De pozit\'{\i}v
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az is
bek\"ovetkezhet, hogy az \"ossz-szavazatok sz\'ama valamivel
kevesebb, mint a szavaz\'asra jogosultak sz\'am\'anak $40\%$-a, de
ezen bel\"ul a t\"obbs\'egben lev\H{o} igennel szavaz\'ok sz\'ama
meghaladja a szavaz\'asra jogosultak sz\'am\'anak a $20\%$-\'at.

\medskip
\item{20.)} Sz\'amoljuk ki az el\H{o}z\H{o} feladat megold\'as\'aban
megjelen\H{o} hat\'areloszl\'as
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, azaz egy olyan
norm\'alis eloszl\'as\'u $(\xi,\eta)$ v\'eletlen
vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, amelyre $E\xi=E\eta=0$,
$\Var X=0.4$, $\Var Y=0.16$, $\Cov(X,Y)=0.2$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'amoljuk ki a tekintett v\'eletlen
vektor kovariancia m\'atrix\'anak a determin\'ans\'at \'es
inverz\'et. A determin\'ans \'ert\'eke
$\Var\xi\Var\eta-(\Cov(\xi,\eta))^2=0.4\cdot0.16-0.2^2=0.024$,
az inverz m\'atrix olyan $D=\(\matrix A& B\\ C& D\endmatrix\)$
m\'atrix amelyre $A=\frac{0.16}{0.024}=\frac{160}{24}=\frac{20}3$,
$C=\frac{0.4}{0.024}=\frac{50}3$,
$B=-\frac{0.2}{0.024}=-\frac{25}3$. Innen a keresett
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny \'ert\'eke
$$
f(x,y)=\frac1{0.4\sqrt{3\pi}}
\exp\left\{-\frac53(2x^2+5y^2-5xy)\right\}.
$$
Innen az is k\"ovetkezik, hogy az el\H{o}z\H{o} feladat
megold\'as\'at megad\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $\int_0^\infty\int_0^\infty f(x,y)\,dx\,dy$
a fenti $f(x,y)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel.

\item{21.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk t\'{\i}zszer.
Sz\'amoljuk ki a dob\'as\"osszeg harmadik hatv\'any\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j(\oo)=k$, ha a
$j$-ik dob\'as eredm\'enye $k$, $1\le j\le 10$, $1\le k\le 6$. Ekkor
az $E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3$ v\'arhat\'o \'ert\'eket kell
kisz\'am\'{\i}tanunk. Ennek \'erdek\'eben tekints\"uk a
$\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3$ kifejez\'est \'es \'erts\"uk meg
milyen tagokat kapunk, ha elv\'egezz\"uk a beszorz\'asokat.
Egyr\'eszt megjelenik 10 darab $\xi_j^3$ alak\'u kifejez\'es, \'es
$E\xi_j^3=E\xi_1^3$ minden ilyen tagra. Ezenk\'{\i}v\"ul megjelenik
$3\cdot 10\cdot 9$ darab $\xi_j^2\xi_k$, $j\neq k$, alak\'u
kifejez\'es, mert a lehets\'eges $(j,k)$ p\'arokat $10\cdot 9$
m\'odon v\'alaszthatjuk ki, \'es a $k$ (a n\'egyzetre nem emelt
t\'enyez\H{o}) h\'arom helyen sze\-re\-pel\-het a szorzatban.
(Teh\'at p\'eld\'aul a
$\xi_1\xi_2^2$ alak\'u tagnak 3 lesz az egy\"utthat\'oja a
szorzatban.) Tov\'abb\'a minden ilyen
tagra $E\xi_j^2\xi_k=E\xi_j^2E\xi_k=E\xi_1^2 E\xi_1$. Tov\'abb\'a,
hasonl\'o meggondol\'asok alapj\'an l\'athatjk, hogy
$10\cdot9\cdot8$ m\'odon jelenhet meg $\xi_j\xi_k\xi_l$ alak\'u tag,
ahol a $j$, $k$ \'es $l$ indexek mind k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek, \'es
ezekre $E\xi_j\xi_k\xi_l=\(E\xi_1\)^3$. Val\'oban, a $\xi_j\xi_k\xi_l$
alak\'u alak\'u tagok \"osszesz\'aml\'al\'as\'an\'al
vegy\"uk \'eszre, hogy $1\le j<k<l\le10$ alak\'u sz\'amh\'armasokat
$\binom{10}3$ f\'elek\'epp v\'alaszthatunk, a $\xi_j$ t\'enyez\H{o}
a szorzatban 3-f\'elek\'epp jelenhet meg, a szorzat els\H{o},
m\'asodik vagy harmadik tagj\'aban, a $\xi_k$ t\'enyez\H{o} ezut\'an
2-f\'elek\'epp, a $\xi_l$ t\'enyez\H{o} pedig egyf\'elek\'epp
v\'alaszthat\'o. M\'asfajta tag nem jelenik meg a szorzatban. Innen
a v\'arhat\'o \'ert\'ek  addit\'{\i}vit\'as\'at kihaszn\'alva azt
kapjuk, hogy $E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3=10E\xi_1^3+270
E\xi_1E(\xi_1^2)+720\(E\xi_1\)^3=735+14332.5+30870=45937.5$, mert
$E\xi_1=3.5$, $E\xi_1^2=\frac{91}6$ \'es $E\xi_1^3=73.5$.


\item{22.)} Legyen egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki 20 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'amoljuk ki
a kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 20$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j(\oo)=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros, $\xi_j(\oo)=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er.
Ekkor a $\xi=\summ_{j=1}^{20}\xi_j$  \"osszeg v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
ki\-sz\'a\-mol\-nunk. Tov\'abb\'a $E\xi_j=E\xi_1=\frac25$,
$\Var\xi_j=\Var\xi_1=\frac25-\frac4{25}=\frac6{25}$,
$E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2=\frac25\cdot
\frac{19}{49}-\frac4{25}=-\frac6{1245}$, ha $j\neq k$.
Innen a 20 dob\'asban kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke $20\cdot\frac25=8$ \'es
sz\'or\'asn\'egyzete $20\cdot\frac6{25}-380\cdot\frac6{1245}
=\frac{144}{49}$.
\item{23.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enz\'erm\'et 100-szor
egym\'as ut\'an. Tekints\"uk az egym\'ast k\"ovet\H{o} fej-fej
dob\'assorozatok sz\'am\'at, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 99$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik \'es $j+1$-ik dob\'asok mindegyik\'enek
eredm\'enye fej, $\xi_j=0$ egy\'ebk\'ent. Vegy\"uk \'eszre, hogy
minket az $S=\summ_{j=1}^{99}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'erdekel. Ez\'ert
$ES=E\(\summ_{j=1}^{99}E\xi_j\)=\frac{99}4$, mivel
$E\xi_j=\frac14$. (\'Erdemes megjegyezni, hogy az ebben a
feladatban tekintett $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok nem f\"uggetlenek, de a f\"uggetlens\'egre nincs
sz\"uks\'eg a v\'arhat\'o \'ert\'ek additiv\'{\i}t\'as\'ahaz.)
\item{} A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'am\'{\i}t\'as\'aban viszont
figyelembe kell venn\"unk azt, hogy nem csupa f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'et vizsg\'aljuk.
Haszn\'aljuk a sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet
ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'a\-n\'al a k\"ovetkez\H{o} formul\'at.
$$
\Var S=\Var\(\summ_{j=1}^{99}\xi_j\)=\sum_{j=1}^{99}
\Var\xi_j+2\sum_{1\le j<k\le99}\Cov(\xi_j,\xi_k).
$$
Tov\'abb\'a $\Cov(\xi_j,\xi_k)=0$, ha $k\ge j+2$, mert ebben az
esetben $\xi_j$ \'es $\xi_k$ f\"uggetlenek, \'es
$\Cov(\xi_j,\xi_{j+1})=\frac18-\frac1{16}=\frac1{16}$ minden
$1\le j\le 98$ sz\'amra. Ugyanis $E\xi_j\xi_{j+1}=\frac18$, mivel
$\xi_j\xi_{j+1}=1$, ha a $j$-ik, $j+1$-ik \'es $j+2$-ik dob\'asok
mindegyike fej, aminek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac18$, \'es
$\xi_j\xi_{j+1}=0$ egy\'ebk\'ent. Tov\'abb\'a
$E\xi_jE\xi_{j+1}=\frac1{16}$. Ezenk\'{\i}v\"ul
$\Var\xi_j=\frac14-\frac1{16}=\frac3{16}$. Innen $\Var
S=99\cdot\frac3{16}+2\cdot\frac{98}{16}=\frac{493}{16}$.
\item{24.)} Egy urn\'aban 10 piros \'es 20 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk visszatev\'es n\'elk\"ul 10 goly\'ot. A p\'aros sorsz\'am\'u
h\'uz\'asok eset\'en feh\'er goly\'o h\'uz\'as eset\'en nyer\"unk 3
forintot, piros goly\'o h\'uz\'as eset\'en pedig nem nyer\"unk
\'es nem vesz\'{\i}t\"unk semmit. A p\'aratlan sorsz\'am\'u
h\'uz\'asok eset\'en piros h\'uz\'as eset\'en 2 forintot nyer\"unk,
feh\'er goly\'o h\'uz\'as eset\'en nem nyer\"unk \'es nem
vesz\'{\i}t\"unk semmit. Sz\'amoljuk ki a nyerem\'eny\"unk
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le10$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: P\'aros
$j$ sz\'amokra $\xi_j=3$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er
goly\'o. P\'aratlan $j$ sz\'amokra $\xi_j=2$, ha a $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye piros, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
feh\'er goly\'o. Ekkor az $S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ \"osszeg
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'amolnunk. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki az $E\xi_j$
v\'arhat\'o \'ert\'ekeket, $\Var\xi_j$ sz\'or\'asn\'egyzeteket \'es
$\Cov(\xi_j,\xi_k)$ kovarianci\'akat. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros $\frac13$, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $j$-ik
h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er $\frac23$. Ez\'ert $E\xi_j=2$, ha $j$
p\'aros, $E\xi_j=\frac23$, ha $j$ p\'aratlan, \'es
$ES=5\(2+\frac23\)=13\frac13$.
\item{} A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy $E\xi_j^2=6$, $\Var\xi_j=2$, ha $j$ p\'aros,
\'es $E\xi_j^2=\frac43$, $\Var\xi_j=\frac{8}9$. Tov\'abb\'a annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy k\'et $j$ \'es $k$ indexre
$j\neq k$, a $j$-ik \'es $k$-ik h\'uz\'as mindegyike feh\'er
$\frac{2\cdot19}{3\cdot 29}=\frac{38}{87}$, annak, hogy mindk\'et
h\'uz\'as piros $\frac{9}{3\cdot 29}=\frac3{29}$, annak, hogy az
egyik h\'uz\'as feh\'er, a m\'asik h\'uz\'as piros
$\frac{2\cdot10}{3\cdot 29}=\frac{20}{57}$. Ez\'ert
$E\xi_j\xi_k=9\cdot\frac{2\cdot 19}{3\cdot 29}=\frac{114}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{114}{29}-4=-\frac2{29}$, ha $j$ \'es $k$
p\'aros, $E\xi_j\xi_k=4\cdot\frac{3}{29}=\frac{12}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{12}{29}-\frac{4}9=-\frac{8}{263}$, ha $j$
\'es $k$ p\'aratlan, $E\xi_j\xi_k=6\cdot\frac{20}{57}=\frac{40}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{40}{29}-\frac{4}3=\frac{4}{87}$, ha $j$ \'es
$k$ k\"oz\"ul az egyik p\'aros, a m\'asik p\'aratlan. Olyan $(j,k)$
p\'ar, $1\le j,k\le 10$, $j\neq k$, amelyre $j$ \'es $k$ mindegyike
p\'aros vagy mindegyike p\'aratlan, \"osszesen 20 van, \'es olyan
$(j,k)$ p\'ar, amelyekre az egyik p\'aros, a m\'asik p\'aratlan
$2\cdot5\cdot 5=50$  van, ez\'ert
$$
\summ_{1\le j,k\le 10,\,j\neq k}\Cov(\xi_j,\xi_k)=20\(-\frac2{29}
-\frac{8}{263}\)+50\cdot\frac{4}{87}=\frac{80}{263}.
$$
Innen
$$
\align
\Var S&=\sum_{j=1}^{10}\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le 10,\,j\neq k}\Cov(\xi_j,\xi_k)\\
&=5\(2+\frac89\)+
\frac{80}{263}=\frac{130}9+\frac{80}{263}=\frac{3850}{263}.
\endalign
$$

\item{25.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek \'ert\'ekeiket a 0
\'es $n$ k\"oz\"otti eg\'esz sz\'amok k\"oz\"ul veszik fel
egyenletes eloszl\'assal, azaz $P(\xi=j)=P(\eta=j)=\frac1{n+1}$,
$0\le j\le n$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\eta$
 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vil\'agos, hogy a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o csak $0\le j\le 2n$ alak\'u
eg\'esz sz\'amokat vesz fel pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy $j$ \'ert\'eket vesz fel a $0\le j\le 2n$ esetben
$P(\xi+\eta=j)=\summ_{k=0}^n P(\xi=k,\eta=j-k)
=\summ_{k=0}^n P(\xi=k)P(\eta=j-k)$. Az ebben az \"osszegben
szerepl\H{o} tagok k\"oz\"ul csak azokat kell figyelembe venni,
amelyek nem null\'ak, teh\'at amelyek $k$ param\'eter\'ere a
$0\le k\le n$ felt\'etel mellett a $0\le j-k\le n$ azaz a
$j-n\le k\le j$ felt\'etel is teljes\"ul. \'Erdemes k\"ul\"on
tekinteni azt az esetet, amikor $0\le j\le n$ \'es amikor
$n<j\le 2n$. Ha $0\le j\le n$, akkor a $P(\xi+\eta=j)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kifejez\H{o} \"osszegben $j+1$ nem
z\'er\'o tag van (azok a tagok, amelyekre $0\le k\le j$),
mindegyiknek az \'ert\'eke $\frac1{(n+1)^2}$. \'Igy a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $P(\xi+\eta=j)=\frac{j+1}{(n+1)^2}$,
ha $0\le j\le n$. Ha $n<j\le 2n$, akkor $2n-j+1$ nem z\'er\'o tag
van a $P(\xi+\eta=j)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kifejez\H{o}
\"osszegben, (amikor $j-n\le k\le n$) \'es ezek \'ert\'ekei
$\frac1{(n+1)^2}$-tel egyenl\H{o}k. Ez\'ert
$P(\xi+\eta=j)=\frac{2n-j+1}{(n+1)^2}$, ha $n< j\le 2n$.

\item{25a.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek \'ert\'ekeiket a
$\frac kn$, $0\le k\le n$ alak\'u sz\'amokon
veszik fel egyenletes eloszl\'assal, azaz
$P(\xi=\frac jn)=P(\eta=\frac jn)=\frac1{n+1}$,
$0\le j\le n$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\eta$ \"osszeg
eloszl\'as\'at. Hasonl\'{\i}tsuk \"ossze az eredm\'enyt k\'et
f\"uggetlen, a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
$\tilde\xi$ \'es $\tilde\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A keresett eloszl\'as
$P(\xi+\eta=\frac jn)=\frac{j+1}{(n+1)^2}$,
ha $0\le j\le n$,
$P(\xi+\eta=\frac jn)=\frac{2n-j+1}{(n+1)^2}$,
ha $n< j\le 2n$, \'es $P(\xi+\eta=x)=0$, ha $x$ nem $x=\frac jn$,
$0\le j\le 2n$ alak\'u sz\'am. A $\tilde\xi+\tilde\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=x$, ha $0\le x\le1$,
$f(x)=2-x$, ha $1\le x\le2$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>2$.
A k\'et eredm\'enyt \"osszehasonl\'{\i}tva l\'athatjuk,
hogy a $\xi+\eta$ \"osszeg eloszl\'as\'at megad\'o k\'eplet a
f\"uggetlen, egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
megad\'o k\'eplet diszkretiz\'altj\'anak tekinthet\H{o}.

\item{26.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok.
Mutassuk meg, hogy a $\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ \"osszegek nor\-ma\-li\-z\'alt\-jai\-nak,
azaz a $\sqrt{\frac{12}n}\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\sqrt{\frac{180}n}\summ_{j=1}^n\(\xi_j^2-\frac 1{12}\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak az egy\"ut\-tes
el\-osz\-l\'asa a k\'et-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'ashoz konverg\'al, ha $n\to\infty$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  $E\xi=0$, $E\xi^2=\frac1{12}$,
$\Var\xi=\frac1{12}$, $\Var\xi^2=E\xi^4-(E\xi^2)^2
=\frac1{80}-\frac1{144}=\frac1{180}$. Tov\'abb\'a
$\Cov(\xi,\xi^2)=E\xi^3-E\xi E\xi^2=0$. Ez\'ert a
$\(\sqrt{12}\xi_j,\sqrt{180}\(\xi_j^2-\frac1{12}\)\)$,
$j=1,2,\dots$, v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek, nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es az identit\'as kovariancia
m\'atrix-szal. Innen, \'es a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.

\item{27.)} Legyen $(\xi,\eta)$ norm\'alis eloszl\'as\'u vektor
$m=(m_1,m_2)=(E\xi,E\eta)$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$$
\(\matrix
\sigma_{1,1},&\sigma_{1,2}\\
\sigma_{2,1},&\sigma_{1,1}
\endmatrix\) =
\(\matrix
E\xi^2-(E\xi)^2,&E\xi\eta-E\xi E\eta\\
E\xi\eta-E\xi E\eta,&E\eta^2-(E\eta)^2
\endmatrix\)
$$
kovarianciam\'atrix-szal. Ekkor l\'etezik a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak $\xi=a\eta+\zeta$
alak\'u el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa alkalmas $a$ konstanssal, \'es
az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen
$\zeta$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oval. Ez azt jelenti, hogy ha $(\xi,\eta)$
k\'et-di\-men\-zi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor az els\H{o}
koordin\'ata kifejezhet\H{o}, mint a m\'asodik kooordin\'ata
konstansszoros\'anak \'es egy a m\'asodik koordin\'at\'at\'ol
f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \"osszege. A k\'{\i}v\'ant $a$ konstanst explicit
m\'odon megadhatjuk az $a=\frac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{2,2}}$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} Hogy \'altal\'anos\'{\i}that\'o a fenti \'all\'{\i}t\'as
abban az esetben, ha $\xi$ \'es $\eta$ vektorv\'altoz\'ok is
lehetnek?

\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\zeta=\xi-\frac{\sigma_{1,2}}
{\sigma_{1,1}}\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
f\"uggetlen az $\eta$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ot\'ol.
Ehhez a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as tulajdons\'agai
alapj\'an el\'eg azt ellen\H{o}rizni, hogy $\Cov(\zeta,\eta)=0$.
Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\item{} Az az eset, amikor $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_s)$,
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_p)$, \'es
$(\xi_1,\dots,\xi_s,\eta_1,\dots,\eta_p)$ egy $s+p$ dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
hasonl\'oan t\'argyalhat\'o. Be lehet l\'atni, hogy
l\'etezik olyan $A$ m\'atrix, amelyre $\eta$ \'es $\xi-\eta A$
f\"uggetlenek. Ennek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or azt \'erdemes
megmutatni, hogy l\'etezik olyan $U$ unit\'er m\'atrix amelyre
$\eta U=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_p)=\bar\eta$ vektor
koordin\'at\'ai f\"uggetlenek. Ez abb\'ol l\'athat\'o, hogy
ha az $\eta$ v\'eletlen vektor $D$ kovarianciam\'atrix\'at
$D=U^*\Lambda U$ alakban \'{\i}rjuk fel, ahol
$U$ unit\'er $\Lambda$ pedig diagon\'alis m\'atrix, akkor az
$\bar\eta=\eta U$ v\'eletlen norm\'alis eloszl\'as\'u vektor
kovarianciam\'atrixa $\Lambda$, ahonnan k\"ovetkezik, hogy az
$\bar\eta$ m\'atrix koordin\'at\'ai f\"uggetlenek. Legyen
$\bar\xi_r=\xi_r-\sum\limits_{k=1}^p\frac{E\xi_r\bar\eta_k}
{E\bar\eta_k^2}\bar\eta_k$, $r=1,\dots,s$.
Ezt m\'at\-rix\-je\l\"o\-l\'es\-sel $\bar\xi=\xi-\bar \eta B$
form\'aban \'{\i}rhatjuk. Ekkor $(\xi-\bar\eta B,\bar\eta)$ olyan
$p+s$ dimenzi\'os, norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek els\H{o} $s$ \'es
utols\'o $p$ koordin\'at\'aja korrel\'alatlan, ez\'ert f\"uggetlen.
Mivel a $\xi-\bar\eta B$ \'es $\bar\eta$ vektorok f\"uggetlenek,
ez\'ert $\zeta=\xi-\bar\eta B=\xi-\eta UB$ f\"uggetlen az
$\eta=\bar\eta U^*$ vektort\'ol.

\item{28.)} Adjunk  p\'eld\'at olyan v\'eletlen vektorra, amely
nem norm\'alis eloszl\'as\'u, noha koordin\'at\'ai norm\'alis
eloszl\'as\'uak. Konkr\'etabban, mutassuk meg, hogy a
k\"ovetkez\H{o} konstrukci\'o j\'o p\'eld\'at ad erre.
\item{} Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal B,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}t: $\Omega=[0,1]$, \
$\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra $[0,1]$-en, \'es $P$ a
Lebesgue m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $\xi$
\'es $\eta$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat
ezen a mez\H{o}n: $\xi(x)=\Phi^{-1}(x)$,
$$
\eta(x)=\cases
\xi(1-x)& \text{ha }0\le x<\frac12\\
\xi\(x-\frac12\)& \text{ha }\frac12\le x\le1
\endcases.
$$
Az ebben a p\'eld\'aban defini\'alt $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok norm\'alis eloszl\'as\'uak,
de a $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor nem norm\'alis eloszl\'as\'u.

\medskip\noindent
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos eloszl\'as\'uak.
Tov\'abb\'a,
$$
P(\xi>x)=\lambda((\Phi(x),1])=1-\Phi(x)\;.
$$
Az, hogy a $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor nem norm\'alis
eloszl\'as\'u k\"ovetkezik p\'eld\'aul a $P(\xi+\eta=0)=\frac12$
azonoss\'agb\'ol. Ugyanis, ha $(\xi,\eta)$ norm\'alis eloszl\'as\'u
lenne, akkor az lenne a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o is. Ennek viszont ellentmond a $P(\xi+\eta=0)=\frac12$
rel\'aci\'o.
\item{29.)} Mutassunk p\'eld\'at korrel\'alatlan, de nem
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Egy lehets\'eges p\'elda a
k\"ovetkez\H{o}. Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban, Ekkor a $\xi$ \'es
$\eta=\xi^2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok
korrel\'alatlanok, de nem f\"uggetlenek. Val\'oban, $E\xi=0$,
$E\eta=E\xi^2=\frac1{12}$, $E\xi\eta=E\xi^3=0$,
$\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta=0$. M\'asr\'eszt $\xi$ \'es
$\eta$ nem f\"uggetlenek, s\H{o}t az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o determinisztikus
f\"uggv\'enye. Egy lehets\'eges form\'alis indokl\'asa annak,
hogy $\xi$ \'es $\eta$ nem f\"uggetlen a k\"ovetkez\H{o}: Legyen
$0<a<1$ tetsz\H{o}leges sz\'am. Ekkor
$\{\oo\colon\;\eta<a^2\}=\{\oo\colon\;|\xi|<a\}$. Ez\'ert
$P(\xi<a,\eta<a^2)=P(\xi<a)$, teh\'at $P(\xi<a,\eta<a^2)\neq
P(\xi<a)P(\eta<a^2)$.

\item{30.)} Legyenek $\xi^{(j)}=(\xi^{(j)}_1,\dots,\xi^{(j)}_6)$
f\"uggetlen, $1\le j\le n$, egyforma eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektorok $P(\xi_k^{(j)}=1)=\frac16$, minden $1\le k\le 6$,
$1\le j\le n$ indexre, \'es $\xi^{(j)}_{k'}=0$, ha $k'\neq k$,
\'es $\xi^{(j)}_k=1$, minden $1\le k,k'\le 6$ indexre. Legyen
$S=\frac1{\sqrt n}\summ_{j=1}^n\xi_j$ e v\'eletlen vektorok
normaliz\'alt \"osszege. Ekkor a $\xi^{(j)}$ \'es $S$ vektorok
kovariancia m\'atrixa az a $D=(d_{i,k})$, $1\le i,k\le 6$,
m\'atrix, amelyre $d_{i,k}=-\frac1{36}$, ha $i\neq k$,
$d_{k,k}=\frac5{36}$. A $D$ m\'atrix nem invert\'alhat\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi^{(j)}$ vektor $D$ m\'atrix\'anak
elemei $d_{i,k}=E\xi_i^{(j)}\xi^{(j)}_k-E\xi_i^{(j)}E\xi^{(j)}_k
=-E\xi_i^{(j)}E\xi^{(j)}_k=-\frac1{36}$,ha $i\neq k$, \'es
$d_{k,k}=E\(\xi^{(j)}_k\)^2-(E\xi^{(j)}_k)^2=\frac16-\(\frac16\)^2
=\frac5{36}$. Az $S$ v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa ugyanez
a $D$ m\'atrix. A $D$ m\'atrix nem invert\'alhat\'o, mert a
sor\"osszegei null\'aval egyenl\H{o}ek.

\item{31.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at \'es egy szab\'alyos \'erm\'et
feldobunk 3300 alkalommal egy\-m\'as\-t\'ol f\"uggetlen\"ul. (Az \'erme
\'es kockadob\'asok eredm\'enyei is f\"uggetlenek egy\-m\'as\-t\'ol.)
Ha a kockadob\'as eredm\'enye p\'aros \'es az \'erme a fej oldalra esett,
akkor annyi
forintot nyer\"unk, amennyi a kockadob\'as eredm\'enye. Ha az \'erme
az \'{\i}r\'as oldalra esett vagy a kockadob\'as eredm\'enye p\'aratlan
sz\'am, akkor nem nyer\"unk, \'es nem is veszt\"unk semmit. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az \"ossznyerem\'eny\"unk
3190 \'es 3520 forint k\"oz\'e esik? Adjunk erre j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, \'es
$\eta_j$ $1\le j\le 3300$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=2$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a
$j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik kockadob\'as
eredm\'enye 6, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 1, 3
vagy 5. Legyen $\eta_j=1$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as eredm\'enye fej,
\'es $\eta_j=0$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as \'{\i}r\'as. Legyen
$\zeta_j=\xi_j\eta_j$. Ekkor a $j$-ik dob\'asn\'al a nyerem\'eny\"unk
$\zeta_j$ lesz, $1\le j\le 3300$,  \'es a $P\(3190\le
\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
j\'ol megbecs\"uln\"unk. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki a
f\"uggetlen $\zeta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$E\zeta_j=E\xi_j\eta_j=E\xi_jE\eta_j=\frac16(2+4+6)\cdot\frac12=1$,
$E\zeta_j^2=E\xi_j^2E\eta_j^2=\frac16(4+16+36)\cdot\frac12
=\frac{14}3$, $\Var\zeta_j^2=E\zeta_j^2-(E\zeta_j)^2=\frac{11}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P\(3190\le\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)&=
P\(\frac{-110}{\sqrt{3300\frac{11}3}}
\le\frac{\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j-\summ_{j=1}^{3300}E\zeta_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{3300}\Var\xi_j}}
\le\frac{220}{\sqrt{3300\frac{11}3}}\) \\
&\sim\Phi(2)-\Phi(-1)=0.9772+0.8413-1=0.9285.
\endalign
$$

\item{32.)} Egy p\'enzdarabr\'ol ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy igaz-e
az a hipot\'ezis, amely szerint ez az \'erme legal\'abb $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es legfeljebb $\frac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 30~000 alkalommal, \'es a
k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'esi szab\'alyt hozzuk. V\'alasztunk egy $k$
sz\'amot, \'es akkor fogadjuk el a hipot\'ezist helyesnek, ha
legal\'abb $k$ fejdob\'as t\"ort\'ent. Legal\'abb mekkor\'anak kell
v\'alasztanunk ezt a $k$ sz\'amot, ha azt akarjuk, hogy egy a
hipot\'ezist teljes\'{\i}t\H{o} p\'enzdarab eset\'en legal\'abb 0.9
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel d\"onts\"unk \'ugy, hogy a
hipot\'ezis teljes\"ul?

\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as, $1\le j\le30\,000$,
$S=S_{30000}=\summ_{j=1}^{30\,000}\xi_j$. Ha a fejdob\'as
eredm\'eny\'enek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pontosan
$\frac34$, akkor $E\xi_j=\frac34$, $E\xi_j^2=\frac34$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-\(E\xi_j\)^2=\frac3{16}$,
$ES=30\,000E\xi_j=22\,500$, $\Var S=30\,000\Var\xi_j=5625=75^2$.
Innen \'es a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(S>k)&=P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}>\frac{k-22\,500}{75}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le \frac{k-22\,500}{75}\)\\
&\sim 1-\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\).
\endalign
$$
V\'alasszuk a $k$ sz\'amot \'ugy, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul 0.9 legyen. Ekkor a
$\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\)=0.1$ vagy ami ezzel ekvivalens,
a $\Phi\(\frac{22\,500-k}{75}\)=0.9$ egyenletet kell
kiel\'eg\'{\i}ten\"unk. A norm\'alis eloszl\'as-t\'abl\'azat alapj\'an
$\frac{22\,500-k}{75}\sim1.28$, ami azt jelenti, hogy
$k=22\,500-75\cdot 1.28$ \'es $p=\frac34$ eset\'en annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint
$k=22\,500-75\cdot 1.28=22\,212$ \'es $p=\frac34$ eset\'eben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb ennyi fejdob\'as
t\"ort\'enik k\"or\"ulbel\"ul 0.9. Ha $p\ge\frac34$, akkor ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagyobb. Ez\'ert a $k=22\,212$ helyes
v\'alaszt\'as.

\item{33.)} Legyen k\'et urna, mind a kett\H{o}ben 10 piros \'es 10
feh\'er goly\'o. Egym\'as ut\'an kih\'uzunk nyolc goly\'ot mind a
k\'et urn\'ab\'ol, az els\H{o}b\H{o}l visszatev\'es n\'elk\"ul, a
m\'asodikb\'ol visszatev\'essel.  Ha a $j$-ik h\'uz\'asn\'al
a k\'et urn\'ab\'ol kih\'uzott goly\'o egyforma sz\'{\i}n\H{u},
akkor k\'et forintot nyer\"unk, ha k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'{\i}n\H{u}ek,
akkor egy forintot vesz\'{\i}t\"unk, $1\le j\le 8$. Sz\'am\'{\i}tsuk
ki nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 8$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik h\'uz\'asn\'al mind k\'et urn\'ab\'ol piros vagy mind a
k\'et urn\'ab\'ol feh\'er goly\'ot h\'uzunk, \'es $\xi_j=-1$, ha az
egyik urn\'ab\'ol feh\'er \'es a m\'asik urn\'ab\'ol piros goly\'ot
h\'uzunk. Akkor a minket \'erdekl\H{o} mennyis\'egek a
$S=\summ_{j=1}^8\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete. Ennek
kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben sz\'am\'{\i}tsuk ki az $E\xi_j$,
$\Var\xi_j$ \'es $\Cov(\xi_j,\xi_k)$ mennyis\'egeket. Vegy\"uk \'eszre,
hogy $P(\xi_j=-1)=P(\xi_1=-1)=\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac12
=\frac12$, mert kifejezve k\"ul\"on annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy (feh\'er, piros) vagy (piros,
feh\'er) h\'uz\'as t\"ort\'enik. Hasonl\'oan $P(\xi_j=2)=\frac12$.
Ez\'ert $E\xi_j=2\frac12-\frac12=\frac12$,
$E\xi_j^2=\frac12(4+1)=\frac52$, $\Var\xi=\frac94$.
\item{} Hasonl\'oan,
$P(\xi_j=2,\xi_k=2)=P(\xi_1=2,\xi_2=2)=2\cdot\frac14\cdot\frac12
\frac9{19}+2\cdot\frac14\cdot\frac12\cdot\frac9{19}=\frac14$,
$P(\xi_j=2,\xi_k=-1)=P(\xi_1=2,\xi_2=-1)=2\cdot\frac14\cdot\frac12
\(\frac{10}{19}+\frac{9}{19}\)=\frac14$,
$P(\xi_j=-1,\xi_k=-1)=P(\xi_1=-1,\xi_2=-1)=\frac14$ (itt felsoroltuk,
hogy p\'eld\'aul a $\xi_1=2,\xi_2=2$ azt jelenti, hogy az
((F,F),(P,P)), ((F,F),(P,P)), ((P,P),(F,F)) vagy ((P,P),(P,P))
h\'uz\'assorozatok valamelyike k\"ovetkezik be. Ez\'ert
$E\xi_j\xi_k=\frac14(1+4-4)=\frac14$,
\'es $\Cov(\xi_j,\xi_k)=E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=\frac14-\frac14=0$.
Innen k\"ovetkezik, hogy a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok korrel\'alatlanok,
\'es $ES=8E\xi_1=2$, $\Var S=8\Var\xi_1=18$.


\item{34.)} Legyen az $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} az $\Omega=[0,1]\times[0,1]$
egys\'egn\'egyzet, rajta a szok\'asos $\Cal A$ Borel
$\sigma$-algebr\'aval, \'es legyen $P=\lambda$, a Lebesgue m\'ert\'ek
az egys\'egn\'egyzet Borel-m\'erhet\H{o} r\'esz\-hal\-ma\-za\-in.
Legyen $\Cal F$ az $A\times [0,1]$, $A\in\Cal B_1$ alak\'u
halmazokb\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, ahol $\Cal B_1$ a $[0,1]$
intervallumon gener\'alt $\sigma$-algebr\'at jel\"oli. Tekints\"unk
egy tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o} \'es integr\'alhat\'o) $f(x,y)$
f\"uggv\'enyt az egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-ten (az $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n), \'es sz\'amoljuk ki az
$E(f(x,y)|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.

\item{} {\it Megold\'as.} Ha az $f(x,y)$ f\"uggv\'eny val\'oban
f\"ugg mind a k\'et
v\'altoz\'oj\'at\'ol, akkor nem $\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny.
Viszont de\-fi\-ni\-\'al\-juk a $g_0(x)=\int_0^1 f(x,y)\,dy$ \'es
$g(x,y)=g_0(x)$ f\"uggv\'enyeket. (A $g(x,y)$ f\"uggv\'eny
va\-l\'o\-j\'a\-ban nem f\"ugg az $y$ koordin\'at\'ol, viszont
tekinthet\H{o} egy az $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak, \'es mivel nem f\"ugg az
$y$ koordin\'at\'ol (\'es Borel m\'erhet\H{o}), ez\'ert $\Cal F$
m\'erhet\H{o}. Azt \'all\'{\i}tom, hogy $E(f(x,y)|\Cal F)=g(x,y)$.
Ehhez azt kell ellen\H{o}rizni, hogy
$$
\int_{A\times [0,1]}g(x,y)\,dx\,dy=
\int_{A\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy.
$$
Viszont
$$
\align
\int_{A\times [0,1]}g(x,y)\,dx\,dy&=
\int_Ag_0(x)\,dx=\int_A\(\int_0^1 f(x,y)\,dy\)\,dx\\
&=\int_{A\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy,
\endalign
$$
amint \'all\'{\i}tottuk.

\item{35.)} Legyen az $(\Omega,\Cal A, P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}
az $\Omega=[0,1]\times[0,1]$ egys\'egn\'egyzet, rajta a szok\'asos
$\Cal A$ Borel $\sigma$-algebr\'aval. R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy olyan
$h(x,y)$ f\"uggv\'enyt az egys\'egn\'egyzeten, amelyre $h(x,y)\ge0$
minden $(x,y)$ pontban, $\int_0^1\int_0^1 h(x,y)\,dx\,dy=1$, \'es
legyen a $P$ m\'ert\'ek az egys\'egn\'egyzeten a Lebesgue m\'ert\'ek
sze\-rint $h(x,y)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o}
m\'ert\'ek, azaz legyen $P(B)=\int_B h(x,y)\,dx\,dy$ az
egys\'egn\'egyzet minden Borel-m\'erhet\H{o} $B$
r\'esz\-hal\-ma\-z\'an. Legyen $\Cal F$ az $A\times [0,1]$ alak\'u
halmazokb\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, ahol $A\in\Cal B_1$, \'es
$\Cal B_1$ a $[0,1]$ intervallumon gener\'alt $\sigma$-algebr\'at
jel\"oli. Tekints\"unk egy tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o} \'es a
$P$ m\'ert\'ek szerint integr\'alhat\'o) $f(x,y)$ f\"uggv\'enyt az
egys\'egn\'egyzeten, \'es sz\'amoljuk ki az $E(f(x,y)|\Cal F)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.

\item{} {\it Megold\'as.} A keresett felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek a k\"ovetkez\H{o}: De\-fi\-ni\-\'al\-juk a
$$
g_0(x)=\int_0^1 f(x,y)\frac{h(x,y)}{\int_0^1 h(x,y)\,dy}\,dy
=\frac{\int_0^1 f(x,y)h(x,y)\,dy}{\int_0^1 h(x,y)\,dy}
$$
\'es $g(x,y)=g_0(x)$ f\"uggv\'enyeket. Azt \'all\'{\i}tom, hogy a
$g(x,y)$ f\"uggv\'eny a keresett felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek.
Ez a f\"uggv\'eny nem f\"ugg az $y$ koordin\'at\'ol, \'{\i}gy
$\Cal F$ m\'erhet\H{o}. Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$E(f(x,y)|\Cal F)=g(x,y)$. Azt kell ellen\H{o}rizni, hogy
$$
\int_{A\times [0,1]}g(x,y)h(x,y)\,dx\,dy=
\int_{A\times [0,1]}f(x,y)h(x,y)\,dx\,dy
$$
minden m\'erhet\H{o} $A\subset[0,1]$ halmazra. Viszont
$$
\align
&\int_{A\times [0,1]}g(x,y)h(x,y)\,dx\,dy=
\int_A\(\int_0^1 h(x,y)\,dy\) g_0(x)\,dx\\
&\qquad=\int_A\(\int_0^1 f(x,y)h(x,y)\,dy\)\,dx
=\int_{A\times [0,1]}f(x,y)h(x,y)\,dx\,dy,
\endalign
$$
amint \'all\'{\i}tottam. A kapott eredm\'eny megfelel szeml\'eletes
k\'ep\"unknek, amely szerint r\"ogz\'{\i}tett $x_0$ sz\'amra az
$E(f(x,y)|x=x_0)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket \'ugy
sz\'a\-mol\-hat\-juk ki, hogy az $f(x_0,y)$ f\"uggv\'enyt
kiintegr\'aljuk az $y$ v\'altoz\'o szerint, de nem a $h(x_0,y)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, hanem ennek normaliz\'altja a
$\frac{h(x_0,y)}{\int_0^1 h(x_0,y)\,dy}$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny szerint.

\item{36.)} Legyen $(\xi,\eta)$ egy k\'et-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Sz\'am\'{\i}tsuk ki az
$E(\xi|\eta)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket.

\item{}
{\it Megold\'as:}\/ L\'attuk, (l\'asd a t\"obbv\'altoz\'os
cent\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel el\H{o}ad\'as ered\-m\'e\-nye\-it)
hogy $\xi=a\eta+\zeta$ alakban \'{\i}rhat\'o, ahol az $a$ konstans
alkalmas v\'alaszt\'as\'aval (nevezetesen az
$a=\frac{\Cov(\xi,\eta)}{\Var\eta}$ v\'alaszt\'assal) el\'erhet\H{o},
hogy a $\zeta=\xi-a\eta$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek legyenek. Ezzel az $a$
v\'alaszt\'assal
$$
\align
E(\xi|\eta)&=E((a\eta+\zeta)|\eta)=aE(\eta|\eta)+E(\zeta|\eta)
=a\eta+E\zeta=a(\eta-E\eta)+E\xi\\
&=\dfrac{\Cov(\xi,\eta)}{\Var\eta}(\eta-E\eta)+E\xi
\endalign
$$
a v\'arhat\'o \'ert\'eknek az el\H{o}ad\'asban a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agait felsorol\'o t\'etelben
szerepl\H{o}
1.,~5. \'es 6.~tulajdons\'agok alapj\'an.

\item{37.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, $-\infty<x<\infty$.
Sz\'amoljuk ki a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$E\xi^k$ $k$-ik momentum\'at minden $k=0,1,2,\dots$, nem
negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$E\xi^k=\int_{-\infty}^\infty x^k\varphi(x)\,dx$
minden $k=0,1,2,\dots$ sz\'amra. Mivel p\'aratlan $\bar k=2k+1$
sz\'amokra a fenti integr\'al $x^{2k+1}\varphi(x)$ magf\"uggv\'enye
p\'aratlan, innen ad\'odik, hogy $E\xi^{2k+1}=0$. P\'aros indexekre
a k\"ovetkez\H{o} sz\'amol\'ast v\'egezhetj\"uk el parci\'alis
integr\'al\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
$$
\align
E\xi^{2k}
&=\int_{-\infty}^\infty x^{2k}\varphi(x)\,dx
=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}xe^{-x^2/2}\,dx\\
&=\frac{-1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}
\frac d{dx}\(e^{-x^2/2}\)\,dx\\
&=\frac{-1}{\sqrt{2\pi}}\[x^{2k-1}e^{-x^2/2}\]_{-\infty}^\infty+
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty (2k-1)x^{2k-2}e^{-x^2/2}\,dx\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty (2k-1)x^{2k-2}e^{-x^2/2}
=(2k-1)E\xi^{2k-2}\,dx.
\endalign
$$
Mivel $E\xi^0=1$ a fenti azonoss\'agb\'ol kapjuk, hogy $E\xi^2=1$,
$E\xi^4=3E\xi^2=3$, $E\xi^6=5E\xi^4=5\cdot3$, \'es teljes
indukci\'oval $E\xi^{2k}=(2k-1)\cdot(2k-3)\cdot(2k-5)\cdots3\cdot1$.

\item{38.)} Tegy\"uk fel, hogy a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot
j\'atszhatjuk: Feldobnak egy szab\'alyos p\'enz\-da\-ra\-bot
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul egym\'as ut\'an. Amennyiben fej a
dob\'as eredm\'enye, akkor a feltett t\'et dupl\'aj\'at kapjuk, ha
\'{\i}r\'as, akkor a t\'et $\frac23$ r\'esz\'et elvesz\'{\i}tj\"uk,
\'es csak $\frac13$ r\'esz\'et \H{o}rizhetj\"uk meg.  Mivel ez a
j\'at\'ek el\H{o}ny\"os, ez\'ert feltessz\"uk minden j\'at\'ekban
minden p\'enz\"unket. L\'assuk be, hogy amennyiben $A$ volt a
vagyonunk a j\'at\'ek kezdete el\H{o}tt, \'es $Z_n$ jel\"oli
vagyonunkat az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an, akkor
\item{a)} $EZ_n=A\(\frac76\)^n$, azaz vagyonunk v\'arhat\'o
\'ert\'eke exponenci\'alisan n\H{o}.
\item{b)} $Z_n$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel null\'ahoz tart,
azaz ha sok\'aig j\'atszunk, akkor k\"ozel egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel majdnem minden p\'enz\"unket
elvesz\'{\i}tj\"uk.
\item{c)} \'Erts\"uk meg, hogy ez a k\'et \'all\'{\i}t\'as nem
mond egym\'asnak ellent.

\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=\frac13$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$P(\xi_j=2)=P\(\xi_j=\frac13\)=\frac12$, \'es ezenk\'{\i}v\"ul
nye\-re\-m\'e\-ny\"unk az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an
$Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$. Ez\'ert
$E\xi_j=\frac12\(2+\frac13\)=\frac76$, \'es
$EZ_n=EA\xi_1\xi_2\cdots\xi_n =AE\xi_1 E\xi_2\cdots
E\xi_n=A\(\frac76\)^n$. Ez a feladat a) \'all\'{\i}t\'asa.

\item{} A $Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$ rel\'aci\'ob\'ol
k\"ovetkezik, hogy
$\frac1n\log Z_n=\frac{\log A}n+\frac1n \summ_{j=1}^n\log \xi_j$.
To\-v\'ab\-b\'a, $E\log\xi_j=\frac12\(\log2+\log\frac13\)
=-\frac12\log\frac32$. Ez\'ert a nagy sz\'amok (er\H{o}s)
t\"orv\'enye sze\-rint $\frac1n\log Z_n$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al a negat\'{\i}v
$-\frac12\log\frac32$ sz\'amhoz. Innen k\"ovetkezik, hogy 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel $\limm_{n\to\infty}\log Z_n=-\infty$,
\'es ez\'ert $\limm_{n\to\infty} Z_n=0$.

\item{} Az a) r\'esz bizony\'{\i}t\'asa azon alapult, hogy
$E\xi_j>1$, a b) r\'esz\'e pedig azon, hogy $E\log \xi_j<0$. Ez a
k\'et egyenl\H{o}tlens\'eg teljes\"ulhet egyszerre, mert a
v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es a logaritmusk\'epz\'es egym\'assal nem
felcser\'elhet\H{o}. Igaz az $E e^\eta\ge e^{E\eta}$
egyenl\H{o}tlens\'eg (ez a konvex f\"uggv\'enyekre vonatkoz\'o
\'ugynevezett Jensen egyenl\H{o}tlens\'eg
speci\'alis esete), ahonnan $\xi=\log\eta$ v\'alaszt\'assal
$E\xi\ge e^{\log E\xi}$, de egyenl\H{o}s\'eg nem \'{\i}rhat\'o a
fenti egyenl\H{o}tlens\'eg helyett. Megjegyzem, hogy hasonl\'o, de
egyszer\H{u}bben \'erthet\H{o} p\'eld\'at mutat a feladat a) \'es
b) \'all\'{\i}t\'as\'anak egyszerre val\'o teljes\"ul\'es\'ere a
k\"ovetkez\H{o} modell. Olyan j\'at\'ekot j\'atszunk, amelyben
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel elvesz\'{\i}tj\"uk,
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel pedig megh\'aromszorozzuk
a p\'enz\"unket. Az egyes j\'at\'ekok egym\'ast\'ol f\"uggetlenek,
\'es minden id\H{o}pontban minden p\'enz\"unket feltessz\"uk. Ekkor
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an
minden p\'enz\"unket elvesz\'{\i}tj\"uk, $1-\(\frac12\)^n$, ami
rendk\'{\i}v\"ul gyor\-san tart egyhez, \'es p\'enz\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'eke $3^n\(\frac12\)^n$, ami exponenci\'alisan gyorsan n\H{o}
az $n$ f\"uggv\'eny\'eben. Hasonl\'o, csak kiss\'e rejtettebb
jelens\'eg
t\"ort\'enik az \'altalunk t\'argyalt feladatban is. Tekints\"uk a
feladatban vizs\-g\'alt j\'at\'ek nyerem\'eny\'et sok j\'at\'ek
ut\'an. Azt \'all\'{\i}thatjuk, hogy nagy $n$ indexre az $n$-ik
j\'at\'ek ut\'an nagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel alig marad
p\'enz\"unk. Viszont kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nagyon sok
p\'enzt nyer\"unk, \'es ez\'ert nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'eke nagy. Ez az oka annak, hogy nemcsak a b), hanem az a)
\'all\'{\i}t\'as is teljes\"ul.

\item{} A feladatban t\'argyalt modell egyben olyan p\'eld\'at is
ad, amelyben a Lebesgue t\'etel \'all\'{\i}t\'asa nem \'erv\'enyes,
mert nem teljes\"ulnek a Lebesgue t\'etel felt\'etelei. Ebben a
modellben a nyerem\'eny\"unk \'ert\'eke 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel null\'ahoz tart, a v\'arhat\'o
\'ert\'eke (azaz a nyerem\'eny \'ert\'ek\'enek a $P$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek szerinti integr\'alja) viszont 
nem a hat\'ar\'ert\'ek integr\'alj\'ahoz, azaz null\'ahoz, hanem 
v\'egtelenhez konverg\'al.

\item{39.} Tekints\"uk a 38. feladatban t\'argyalt j\'at\'ekot,
azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy \'ovatosabban j\'atszunk.
A j\'at\'ek minden egyes fordul\'oj\'aban vagyonunk $u$-ad
r\'esz\'et, $0\le u\le1$, tessz\"uk fel t\'etk\'ent. Jel\"olje
$Z_n(u)$ vagyonunkat a j\'at\'ek $n$-ik l\'ep\'ese ut\'an. Ekkor az
$\frac1n\log Z_n(u)$ val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak egy $B(u)$
sz\'amhoz. Hat\'arozzuk meg a legjobb $\bar u$ sz\'amot, amelyre
$B(\bar u)=\supp_{0\le u\le 1}B(u)$. L\'assuk be, hogy
$B(\bar u)>0$, ami azt jelenti, hogy nyerem\'eny\"unk
exponenci\'alisan n\H{o} 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.

\item{}
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a $\xi_j=\xi_j(u)$,
$j=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat,
ame\-lyek\-re $\xi_j=1+u$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej,
\'es $\xi_j=\xi_j(u)=1-\frac {2u}3$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor az $n$-ik l\'ep\'esben
a vagyonunk $Z_n=A\xi_1\cdots\xi_n$, a $\xi_j$, $j=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak, ez\'ert $\frac1n\log Z_n=\frac{\log A}n
+\frac1n\summ_{j=1}^n\log \xi_j$, \'es a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'enye sze\-rint az $\frac1n\log Z_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak a
$B(u)=E\log\xi_1=\frac12\(\log(1+u)+\log\(1-\frac{2u}3\)\)
=\frac12\log(1+u)\(1-\frac {2u}3\)$ sz\'amhoz.
A $B(u)$ f\"ugg\-v\'eny a maximum\'at az $\bar u=\frac14$ helyen
veszi fel, \'es $B(\bar u)=\frac12\log\frac{25}{24}>0$.

\item{40.)} Legyen $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ $n$-v\'altoz\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, \'es $1\le k\le n$ eg\'esz sz\'am.
Ekkor $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-v\'altoz\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. \'Altal\'anosabban, legyen
$(\xi_1,\dots,\xi_n)$ $n$-v\'altoz\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, \'es $A$ $k\times n$
(v\'eletlent\H{o}l nem f\"ugg\H{o}) t\'eglalap m\'atrix. Ekkor
$(\eta_1,\dots,\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_n)A$ $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Ez az \'all\'{\i}t\'as
nemcsak a $k=n$, hanem a $k<n$ \'es $k>n$ esetekben is igaz.

\item{} {\it Megold\'as.} A feladat els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa
azonnal l\'athat\'o a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
m\'odszer\'evel, ha fel\'{\i}rjuk mind a $(\xi_1,\dots,\xi_n)$
mind a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et. De l\'assunk ehelyett egy elemi, a line\'aris
algebra m\'odszerein alapul\'o indokl\'ast.

\item{} Az egyszer\H{u} jel\"ol\'es \'erdek\'eben tekints\"uk
el\H{o}sz\"or csak azt az esetet, ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} vektor. Ekkor fel\'{\i}rhatjuk a
$(\xi_1,\dots,\xi_n)=(\eta_1,\dots,\eta_n)A$ \"ossze\-f\"ug\-g\'est,
ahol $(\eta_1,\dots,\eta_n)$ standard norm\'alis v\'eletlen vektor,
\'es $A$ $n\times n$-es m\'atrix. Vezess\"uk be az
$\eta=\summ_{j=1}^na_j\eta_j$, alak\'u v\'eletlen vektorokb\'ol
\'all\'o $n$-dimenzi\'os Euklideszi teret az
$(\eta,\bar\eta)=E\eta\bar\eta$ skal\'arszorzattal. Tekints\"uk e
t\'ernek az $\xi_1,\dots\xi_k$ vektorok \'altal kifesz\'{\i}tett
alter\'et, abban egy ortonorm\'alt $(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)$
ortonorm\'alt b\'azist, \'es azt eg\'esz\'{\i}ts\"uk ki egy
ortonorm\'alt $(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_n)$ b\'aziss\'a az
eg\'esz t\'erben. Ekkor
$(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_n)$ $n$-v\'altoz\'os,
$(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)$ pedig $k$-v\'altoz\'os standard
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Mivel a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor el\H{o}\'all\'{\i}that\'o,
mint $(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)$ $k$-v\'altoz\'os standard
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor line\'aris
transzform\'altja, ez\'ert ez a vektor is norm\'alis eloszl\'as\'u.
Az \'altal\'anos esetben, ha a $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ vektor 
v\'arhat\'o \'ert\'eke nem felt\'etlen\"ul nulla,
alkalmazhatjuk a m\'ar bebizony\'{\i}tott \'all\'{\i}t\'ast a
$(\xi_1-E\xi_1,\dots,\xi_n-E\xi_n)$ vektorra. Innen k\"onnyen 
l\'athat\'o, hogy $(\xi_1-E\xi_1,\dots,\xi_k-E\xi_k)$, \'es 
ez\'ert $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ is norm\'alis eloszl\'as\'u.

\item{} A feladat m\'asodik \'all\'{\i}t\'as\'at el\H{o}sz\"or abban
az esetben l\'assuk be, ha $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ standard norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor. Ha $k<n$, akkor kieg\'esz\'{\i}tve az $A$
m\'atrixot null\'ak hozz\'a\'{\i}r\'as\'aval egy $n\times n$-es
m\'atrix-sz\'a, kapjuk, hogy $(\eta_1,\dots,\eta_k,0,\dots,0)$
$n$-v\'altoz\'os norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Ez\'ert
az el\H{o}bb bizony\'{\i}tottak alapj\'an $(\eta_1,\dots,\eta_k)$
$k$-v\'altoz\'os norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Ha
$k=n$, akkor nincs mit bizony\'{\i}tani. Ha $k>n$, akkor
eg\'esz\'{\i}ts\"uk ki null\'ak hozz\'a\'{\i}r\'as\'aval az $A$
m\'atrixot egy $k\times k$-as $\bar A$ m\'atrix-sz\'a, \'es
vezess\"unk be a $\xi_1,\dots,\xi_n$ vektort\'ol f\"uggetlen
$\xi_{n+1},\dots,\xi_k$ f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor
$$
(\eta_1,\dots,\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)\bar A
$$ 
$k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor.

\item{} Az \'altal\'anos esetben fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$(\eta_1,\dots,\eta_n)=(\zeta_1,\dots,\zeta_n)B+(m_1,\dots,m_n)$,
ahol $(\zeta_1,\dots,\zeta_n)$ $n$-v\'altoz\'os standard norm\'alis
vektor, $B$ $n\times n$ m\'eret\H{u} m\'atrix, $(m_1,\dots,m_n)$
$n$-dimenzi\'os (determinisztikus) vektor. Ez\'ert
$$
(\xi_1,\dots,\xi_k)=(\zeta_1,\dots,\zeta_n)BA+(m_1,\dots,m_n)A
$$
a m\'ar bizony\'{\i}tott eredm\'enyek alapj\'an szint\'en norm\'alis 
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor.

\item{41.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $m$
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ekkel \'es $\sigma^2$ sz\'or\'assal. Ekkor a
$\bar\xi=\frac1n\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es az
$S_n=\summ_{j=1}(\xi_j-\bar\xi)^2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. Tov\'abb\'a
$\frac{\sqrt n}\sigma(\bar\xi-m)$ standard norm\'alis
el\-osz\-l\'a\-s\'u, $\frac1\sigma S_n$ pedig $n-1$ szabads\'agfok\'u
$\chi^2$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
(Ez az eredm\'eny magyar\'azza meg, hogy bizonyos statisztikai
feladatokban mi\'ert jelenik meg az $U$-eloszl\'as, ami egy
egym\'ast\'ol f\"uggetlen standard norm\'alis \'es egy $\chi^2$
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
h\'anyados\'anak az eloszl\'asa.)

\item{} {\it Megold\'as.}\/ Tekints\"uk a
$(\bar\xi,\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ v\'eletlen vektort.
Ez a 40. feladat eredm\'enye alapj\'an egy $n+1$ dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Tov\'abb\'a
egyszer\H{u} sz\'amol\'as mutatja, hogy
$\Cov(\bar\xi,\xi_j-\bar\xi)=\Cov(\bar\xi,\xi_j)-\Var\bar\xi=0$
minden $1\le j\le n$ indexre. Ez\'ert a
$(\bar\xi,\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ v\'eletlen vektor
$D=(d_{i,j})$, $1\le i,j\le n+1$, covariancia m\'atrixa felbomlik
egy $1\times1$-es \'es $n\times n$-es m\'atrix direkt szorzat\'ara,
azaz $d_{1,j}=d_{j,1}=0$, $2\le j\le n+1$. Ez\'ert a norm\'alis
eloszl\'as\'u vektorok tulajdons\'agaib\'ol, (abb\'ol, hogy
egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at
meghat\'arozza a v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa \'es
v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora) k\"ovetkezik, hogy $\bar\xi$ \'es
$(\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ f\"uggetlenek, tov\'abb\'a
norm\'alis eloszl\'as\'uak. Ez\'ert a $\bar\xi$ \'es az
$S_n=\summ_{j=1}(\xi_j-\bar\xi)^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. Tov\'abb\'a, mivel
$E\bar\xi=m$, $\Var\bar\xi=\frac{\sigma^2}n$, ez\'ert
$\frac{\sqrt n}\sigma(\bar\xi-m)$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A $\frac1\sigma S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fel\'{\i}rhat\'o, mint $n$
(egy\"uttesen) norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o n\'egyzet\"osszege. De ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok nem f\"uggetlenek. Teljes\"ul a
$\summ_{j=1}^n(\xi_j-\bar\xi)=0$ azonoss\'ag. Bel\'atjuk, hogy
$S_n$ $\chi^2$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$n-1$ szabads\'agfokkal. Az indokl\'asban felhaszn\'aljuk azt a 
norm\'alis v\'eletlen vektorokr\'ol sz\'o\-l\'o el\H{o}ad\'asban 
sze\-rep\-l\H{o} (a $\chi^2$-pr\'oba vizsg\'alat\'aban bizony\'{\i}tott) 
eredm\'enyt, amely szerint, ha $(\eta_1,\dots,\eta_n)$ norm\'alis 
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es 
$D$ kovariancia m\'atrix-szal akkor $\summ_{j=1}^n\eta_j^2$
eloszl\'asa megegyezik a $\summ_{j=1}^n\lambda_j\zeta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval, ahol 
$\zeta_1,\dots,\zeta_n$
f\"uggetlen, standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es
$\lambda_1,\dots,\lambda_n$ a $D$ kovariancia m\'atrix
saj\'at\'ert\'ekei.

\item{} Ez\'ert a feladat megold\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni, hogy a
$\frac1\sigma(\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ v\'eletlen vektor
$D=(d_{i,j})$, $1\le i,j\le n$, kovariancia m\'atrix\'anak az 1
sz\'am $n-1$ multiplicit\'as\'u saj\'at\'ert\'eke, \'es
ezenk\'{\i}v\"ul m\'eg a nulla (egyszeres) saj\'at\'ert\'eke ennek
a m\'atrixnak. A $D$ m\'atrix elemei $d_{i,i}=1-\frac1n$,
$d_{i,j}=-\frac1n$, $1\le i,j\le n$. Ez\'ert $D=I-A$, ahol $I$ az
identit\'as m\'atrix, $A=(a_{i,j})$, $a_{i,j}=\frac1n$,
$1\le i,j\le n$, m\'atrix. Az $A$ m\'atrixnak 1 darab 1
saj\'at\'ert\'ek\H{u} saj\'atvektora van, (az
$(\frac1n,\dots,\frac1n)$ vektor), \'es $n-1$ nulla
saj\'at\'ert\'ek\H{u} vektora. (Az $(\frac1n,\dots,\frac1n)$ vektort
kieg\'esz\'{\i}tj\"uk tetsz\H{o}leges m\'odon egy ortonorm\'alt
b\'aziss\'a, \'es ilyen m\'odon az $R^n$ t\'er egy az $A$
m\'atrix saj\'atvektoraib\'ol \'all\'o b\'azis\'at kapjuk, \'es e
saj\'atvektorok saj\'at\'ert\'ekei a $\lambda_1=1$, \'es
$\lambda_j=0$, $2\le j\le n$.) Innen k\"ovetkezik, hogy a $D$
m\'atrix saj\'at\'ert\'ekei az $1-\lambda_j$ sz\'amok, 
$1\le j\le n$, azaz 1 darab 0 \'es $n-1$ darab 1-es.

\bye

\item{} Adjuk meg a $[0,1]\times\cdots\times[0,1]$ $k$-dimenzi\'os
egys\'egkock\'an egyenletes eloszl\'as
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
\item{b.)} Tekints\"uk a s\'{\i}kon a $(0,0)$, $(0,1)$ \'es
$(1,0)$ cs\'ucspontok \'altal meghat\'arozott h\'a\-rom\-sz\"o\-g\"on
az egyenletes eloszl\'ast. Adjuk meg ennek
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:} A $[0,1\times\cdots\times[0,1]$
$k$-dimenzi\'os egys\'egkock\'an egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o eloszl\'asa az
$F(x_1,\dots,x_k)=G(x_1)\cdots G(x_k)$ f\"uggv\'eny, ahol $G(x)=0$,
ha $x\le0$, $G(x)=x$, ha $0\le x\le 1$, \'es $G(x)=1$, ha $x\ge1$.
\item{} A tekintett h\'aromsz\"og\"on defini\'alt egyenletes
eloszl\'as $H(x,y)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye, $H(x,y)=0$, ha $x\le0$
vagy $y\le0$. $H(x,y)=1$, ha $\ge1$ \'es $y\ge1$. Defini\'alni kell
m\'eg a $H(x,y)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt abban az esetben, ha $0\le
x\le1$ \'es $0\le y\le1$. Ebben az esetben
$H(x,y)=2\lambda([0,x]\times[0,y]\cap\bold K)$. Innen $H(x,y)=xy$,
ha $0\le x\le1$ \'es $0\le y\le1$, \'es $x+y\le1$. Ha $0\le x\le1$
\'es $0\le y\le1$, \'es $x+y\ge1$, akkor
$H(x,y)=xy-\frac12(x+y-1)^2$.

