\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}

\bigskip
\item{1.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek k\"oz\"ul
$\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} \'es $\eta$ $\mu$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, azaz a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $f(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, $f(x)=0$, ha $x<0$,
az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\mu e^{-\mu x}$, ha $x>0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, tov\'abb\'a $\lambda>0$, $\mu>0$ \'es
$\lambda\neq\mu$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\eta$ \"osszeg
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\item{2.} Legyen a $(\xi,\eta)$ k\'etdimenzi\'os v\'eletlen vektor
eloszl\'asa egyenletes a $(0,0)$, $(0,1)$, $(2,0)$ cs\'ucspontok
\'altal meghat\'arozott der\'eksz\"og\H{u} h\'aromsz\"ogben, azaz
legyen s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye az $f(x,y)=1$ az 
$x\ge0$,
$y\ge0$, $2y+x\le2$ egyenl\H{o}tlens\'eget teljes\'{\i}t\H{o}
$(x,y)$ pontokban, \'es $f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amoljuk ki
a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\Cov(\xi,\eta)$ kovarianci\'aj\'at.

\item{3.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk visszatev\'essel 101 goly\'ot. Jel\"olje $\xi$ azon
h\'uz\'asok sz\'am\'at, amikor a kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}ne
megegyezik az el\H{o}z\H{o}leg kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}n\'evel.
Sz\'amoljuk ki $\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

\item{4.} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $-1$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es 4 sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel, azaz legyen a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\frac1{\sqrt{8\pi}}e^{-(x+1)^2/8}$. Sz\'amoljuk ki az
$Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o \'ert\'eket tetsz\H{o}leges $t$
val\'os sz\'amra.

\item{5.} Az a felt\'etelez\'es\"unk, hogy
egy n\'alunk lev\H{o} p\'enzdarab legal\'abb $\frac45$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej, \'es legfeljebb $\frac15$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra. E feltev\'es
ellen\H{o}rz\'ese \'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 10~000
alkalommal, \'es kijel\"ol\"unk egy $k$ sz\'amot \'ugy, hogy
amennyiben legal\'abb $k$ darab fejdob\'as t\"ort\'ent akkor
elfogadjuk ezt a feltev\'est, ha pedig kevesebb fejdob\'as
t\"ort\'ent, akkor elutas\'{\i}tjuk. Hogyan v\'alasszuk ezt a $k$
sz\'amot, ha azt akarjuk, hogy feltev\'es\"unk helyess\'ege
eset\'en legal\'abb $0.9$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel d\"onts\"unk
\'ugy, hogy igaz ez a feltev\'es?

\item{6.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Mi\-kor mondjuk, hogy ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek?

\medskip
\centerline{\bf MEGOLD\'ASOK.}

\item{1.} Tudjuk, hogy a tekintett k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et az
$f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-y)\,du$ konvoluci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Mivel $f(x)=0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, ez\'ert ebben az esetben a konvoluci\'oban
szerepl\H{o} integrandus $f(u)g(x-u)=0$, ha $u<0$ vagy
$x-u<0$, azaz $u\ge x$. Innen
$$
f*g(x)=\int_0^x \lambda e^{-\lambda u}\mu e^{-\mu(x-u)}\,du=
\lambda\mu e^{-\mu x}\int_0^x e^{-(\lambda-\mu)u}\,du, \quad\text{ha
}x\ge0,
$$
\'es $f*g(x)=0$, ha $x<0$. Ez\'ert
$$
f*g(x)=\frac{\lambda\mu e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}\[e^{-(\lambda
-\mu)u}\]_0^x= \lambda\mu \frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}
\quad\text{ha $x\ge0$ \'es }\lambda\neq \mu.
$$

\item{2.)} $\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta$,
$E\xi\eta=\int xy f(x,y) \,dx\,dy$, $E\xi=\int x f(x,y) \,dx\,dy$
\'es $E\eta=\int y f(x,y) \,dx\,dy$.
$$
\align
E\xi\eta&=\int_{-\infty}^\infty\int_{\-\infty}^\infty xy f(x,y)\,dx\,dy
=\int_0^2 x\(\int_0^1f(x,y)y\,dy\)\,dx\\
&=\int_0^2 x\(\int_0^{1-\frac x2}y\,dy\)\,dx
=\int_0^2 x\[\frac{y^2}2\]_0^{1-\frac x2}\,dx
=\int_0^2 x\frac{\(1-\frac x2\)^2}2\,dx\\
&=\int_0^2\(\frac{x^2}8-\frac{x^2}2+\frac x2\)\,dx
=\frac12-\frac86+2=\frac16,
\endalign
$$
$$
E\xi=\int_0^2\(\int_0^{1-\frac x2} x\,dy\)\,dx
=\int_0^2\(x-\frac{x^2}2\)\,dx=2-\frac86=\frac23,
$$
$$
\align
E\eta&=\int_0^2\(\int_0^{1-\frac x2} y\,dy\)\,dx
=\int_0^2\[\frac{y^2}2\]_0^{1-\frac x2}\,dx\\
&=\int_0^2\frac{1-x+\frac{x^2}4}2\,dx=\frac13-1+1=\frac13.
\endalign
$$
Innen, $\Cov(\xi,\eta)=\frac16-\frac23\cdot\frac13=-\frac1{18}$.

\item{3.} Vezess\"uk be a $\xi_i$, $2\le i\le 101$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'ugy, hogy $\xi_i=1$, ha
az $i$-ik \'es $i-1$-ik h\'uz\'asban azonos sz\'{\i}n\H{u}
goly\'ot h\'uzunk, $\xi_i=0$, ha az $i$-ik  h\'uz\'asban
k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'okat h\'uzunk. Legyen
$\xi=\summ_{i=2}^{101}\xi_i$. Ekkor az
$E\xi$ \'es $\Var\xi$ mennyis\'egeket kell kisz\'amolnunk.

\item{} $E\xi=\summ_{i=2}^{101}E\xi_i=100E\xi_2$, mert a $\xi_i$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos eloszl\'as\'uak.
Ez\'ert, $E\xi_2=\(\frac25\)^2+\(\frac35\)^2=\frac{13}{25}$, \'es
$E\xi=100E\xi_2=52$.
$$
\align
\Var\xi&=\summ_{i=2}^{101}\Var\xi_i
+\summ_{2\le i,j\le 101,\,i\neq j}\Cov(\xi_i,\xi_j)
=100\Var\xi_2+2\sum_{i=2}^{100}\Cov(\xi_i,\xi_{i+1})\\
&=100\Var\xi_2+2\cdot99\cdot\Cov(\xi_2,\xi_3),
\endalign
$$
mert $\Cov(\xi_i,\xi_j)=0$, ha $|i-j|\ge2$. Tov\'abb\'a,
$\Var\xi_2=E\xi_2^2-(E\xi_2)^2=\frac{13}{25}-\(\frac{13}{25}\)^2
=\frac{156}{625}$, \'es $\Cov(\xi_2,\xi_3)=E\xi_2\xi_3-E\xi_2E\xi_3$,
$E\xi_2\xi_3=\(\frac25\)^3+\(\frac35\)^3=\frac{35}{125}$, mert
$\xi_2\xi_3$ csak nulla \'es 1 \'ert\'eket vesz fel, \'es akkor vesz
fel 1 \'ert\'eket, ha az els\H{o} h\'arom h\'uz\'as mindegyike vagy
piros vagy feh\'er.

\item{} Innen $\Cov(\xi_2,\xi_3)=\frac{35}{125}-\(\frac{13}{25}\)^2
=\frac6{625}$, \'es $\Var\xi=100\cdot\frac{156}{625}+2\cdot 9\cdot6{625}
=\frac{16788}{625}=26,8608$.

\item{4.} A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot
fel\'{\i}rhatjuk $\xi=2\eta-1$ alakban, ahol $\eta$ standard
norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ez\'ert
$Ee^{t\xi}=Ee^{t(2\eta-1)}=e^{-t}Ee^{(2t)\eta}$. A gyakorlaton
kisz\'amoltuk, hogy $Ee^{t\eta}=e^{t^2/2}$ tetsz\H{o}leges val\'os
$t$ sz\'amra. (L\'asd a feladatsor 1. feladat\'at.) Ezt a 
sz\'amol\'ast itt nem ism\'etlem meg. Ezt az eredm\'enyt 
felhaszn\'alva kapjuk, hogy
$Ee^{t\xi}=e^{-t}e^{(2t)^2/2}=e^{2t^2-t}$.

\item{5.} Vezess\"uk be a $\xi_j$, $1\le j\le10~000$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyekre $\xi_j=1$, ha
a $j$-ik dob\'as fej, \'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as
\'{\i}r\'as. Legyen $\xi=\summ_{j=1}^{10~000}\xi_j$.
Ekkor olyan $k$ sz\'amot keres\"unk, amelyre feltev\'es\"unk
teljes\"ul\'ese eset\'en $P(\xi>k)\ge0.9$. Sz\'amoljuk ki ezt a
$k$-t\'ol f\"ugg\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget a feltev\'es\"unk
teljes\"ul\'ese eset\'en legkellemetlenebb esetben; akkor, ha
a fejdob\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac45$. Sz\'amoljuk ki
ennek \'erdek\'eben az $E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es $\Var\xi$
sz\'or\'asn\'egyzetet. $E\xi=10~000E\xi_1=10~000\cdot \frac45=8000$.
$\Var\xi=10~000\Var\xi_1=10~000\cdot\(\frac45-\(\frac45\)^2\)=1600=40^2$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
P(\xi>k)=P\(\frac{\xi-8000}{40}>\frac{k-8000}{40}\)
\sim1-\Phi\(\frac{k-8000}{40}\),
$$
ahol $\Phi(\cdot)$ a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny.
Ez\'ert nek\"unk az $1-\Phi\(\frac{k-8000}{40}\)=0.9$, azaz
$\Phi\(\frac{k-8000}{40}\)=0.1$ vagy
$\Phi\(\frac{8000-k}{40}\)=0.9$ egyenletet kell megoldanunk.
A norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat szerint innen,
$\frac{8000-k}{40}=1.29$, azaz $8000-k\sim51.6$, $k\sim7948.4$.
Legyen $k=7949$.

\item{6.} A $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok akkor \'es csak akkor f\"uggetlenek, ha
tetsz\H{o}leges val\'os $x_1,\dots,x_n$ sz\'amokra
$$
P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n)=P(\xi_1<x_1)\cdots P(\xi_n<x_n).
$$
Ehelyett lehet azt a form\'alisan er\H{o}sebb, de val\'oj\'aban
ekvivalens kik\"ot\'est tenni, hogy tetsz\H{o}leges (Borel
m\'erhet\H{o}) $B_1$,\dots $B_n$ halmazokra
$$
P(\xi_1\in B_1,\dots,\xi_n\in B_n)=P(\xi_1\in B_1)\cdots P(\xi_n\in B_n).
$$
Viszont nem fogadtam el teljes \'ert\'ek\H{u}nek olyan
definici\'ot, amely csak diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra \'erv\'enyes.

\bye
