\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1.3pt
\TagsOnRight

\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat  negyedik t\'em\'aja.}

\medskip
\centerline{\bf A CENTR\'ALIS HAT\'ARELOSZL\'AST\'ETEL}
%\centerline{\bf \'ES EZZEL KAPCSOLATOS ISMERETEK}

\medskip\noindent
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as legfontosabb
eredm\'enye a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel. Ez azt
mondja ki, hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegeinek az el\-osz\-l\'a\-sa
nagyon \'altal\'anos felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg a standard norm\'alis eloszl\'as.
Megfogalmazom, majd k\'es\H{o}bb be\-bi\-zo\-ny\'{\i}\-tom a
centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
leg\'altal\'anosabb alakj\'at. Ezut\'an ismertetek n\'eh\'any
fontos eredm\'enyt, amelyeket ez a t\'etel speci\'alis
esetk\'ent tartalmaz. Mutatok n\'eh\'any p\'eld\'at,
amelyek magyar\'azatot adnak a t\'etelben megfogalmazott
felt\'etelek szerep\'ere. Megfogalmazom, \'es a
kieg\'esz\'{\i}t\'esben bebizony\'{\i}tom a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel megford\'{\i}t\'as\'at is. Ez
az eredm\'eny azt \'all\'{\i}tja, hogy a t\'etelben megfogalmazott
felt\'etelek nemcsak el\'egs\'eges, hanem egyben sz\"uks\'eges
felt\'etelei is a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-nek.

R\"oviden t\'argyalom az \'ugynevezett lok\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt is. Ez azt mondja ki, hogy alkalmas
felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
\"osszegeinek nemcsak az eloszl\'asf\"uggv\'eny\"uk van k\"ozel
a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, hanem a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk is k\"ozel van a standard
norm\'alis s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny\-hez. Ennek az
eredm\'enynek a bizony\'{\i}t\'as\'aban hasonl\'o gondolatok
jelennek meg, mint amilyenekkel a Stirling formula kor\'abban
ismertetett bizony\'{\i}t\'as\'aban tal\'alkoztunk.

Az eredm\'enyek ismertet\'ese el\H{o}tt bevezetek n\'eh\'any
fogalmat. A centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
\'altal\'anos alakja sz\'eriasorozatok r\'eszlet\"osszegeinek
eloszl\'as\'ar\'ol sz\'ol. Ez\'ert
ismertetem a sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf Sz\'eriasorozatok definici\'oja.} {\it A
$$
\align
&\xi_{1,1},\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok rendszere, $k\to\infty$,
sz\'eriasorozat, ha az egy sorban lev\H{o}
$\xi_{k,1}$,\dots, $\xi_{k,n_k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek. (A k\"ul\"onb\"oz\H{o}
sorokban lev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
kapcsolat\'ar\'ol nem t\'etelez\"unk fel semmit.)}
\medskip

A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel sz\'eriasorozatokra azt
\'all\'{\i}tja, hogy egy $\xi_{k,j}$, $k=1,$ 2,\dots,
$1\le j\le n_k$, sz\'eriasorozat
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, sor\"osszegei
alkalmas felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en eloszl\'asban
konverg\'alnak a standard norm\'alis eloszl\'ashoz. Term\'eszetes
megk\"ovetelni, hogy nagy $k$ indexre a $\xi_{k,j}$,
$1\le j\le n_k$, sornak ne legyen olyan eleme, amely ugyanolyan
nagys\'agrend\H{u}, mint a t\"obbi tag \"osszege egy\"uttv\'eve.
Ilyen k\"ovetelm\'enyt fogalmaz meg az egyenletes
kicsis\'eg al\'abb bevezetett felt\'etele.

\medskip\noindent
{\bf Egyenletes kicsis\'eg felt\'etele sz\'eriasorozatokra.}
{\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
olyan sz\'eriasorozat, amelyre $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2<\infty$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, \'es teljes\"ul a
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$ rel\'aci\'o.
Egy ilyen sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti az egyenletes
kicsis\'eg felt\'etel\'et, ha
$$
\limm_{k\to\infty}\(\supp_{1\le j\le n_k}E\xi_{k,j}^2\)=0.
$$
}
\medskip

A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel \'altal\'anos
(sz\'eriasorozatok sor\"osszegeir\H{o}l sz\'ol\'o)
alak\-j\'a\-ban fontos szerepet j\'atszik az al\'abbi Lindeberg
felt\'etel.

\medskip\noindent
{\bf Lindeberg felt\'etel definici\'oja sz\'eriasorozatokra:} {\it
Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, olyan
sz\'eriasorozat, amelyre $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2<\infty$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, \'es
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$. Ez a
sz\'eriasorozat akkor \'es csak akkor teljes\'{\i}ti a Lindeberg
felt\'etelt, ha tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2I\(\{|\xi_{k,j}|>\e\}\)=0,
$$
ahol $I(A)$ egy $A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye.}
\medskip

Megfogalmazom a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel \'altal\'anos
alakj\'at sz\'eriasorozatok sor\-\"ossze\-gei\-re.

\medskip\noindent
{\bf A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel sz\'eriasorozatok
sor\"osszegeire.}
{\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, olyan
sz\'eriasorozat, amelynek tagjaira $E\xi_{k,j}=0$, $
E\xi_{k,j}^2<\infty$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$, \'es
teljes\'{\i}tse ez a sz\'eriasorozat a Lindeberg felt\'etelt. Ekkor

\medskip
\item{a.)} A sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti a
$\limm_{k\to\infty}\(\supp_{1\le j\le n_k}E\xi_{k,j}^2\)=0$
egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et.
\item{b.)} Az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, $1\le k<\infty$,
v\'eletlen \"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak  a standard, azaz
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es 1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
norm\'alis eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$.
\medskip}

Igaz a sz\'eriasorozatok sor\"osszegeir\H{o}l sz\'ol\'o centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel k\"ovetkez\H{o} megford\'{\i}t\'asa is.

\medskip\noindent
{\bf A sz\'eriasorozatok sor\"osszegeir\H{o}l sz\'ol\'o centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel meg\-for\-d\'{\i}\-t\'a\-sa.} {\it Legyen
$\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, olyan sz\'eriasorozat,
amelyre $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2<\infty$, $k=1,2,\dots$,
$1\le j\le n_k$, $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$,
\'es teljes\'{\i}ti a sz\'eriasorozatokra megfogalmazott egyenletes
kicsis\'egi felt\'etelt is. Ha ez a sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt, azaz az
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, $1\le k<\infty$,
v\'eletlen \"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak az egy
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} \'es nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
norm\'alis eloszl\'ashoz $k\to\infty$ eset\'en, akkor a $\xi_{k,j}$,
$1\le k<\infty$, $1\le j\le n_k$, sz\'eriasorozat
teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti eredm\'enyben a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel teljes\"ul\'es\'enek a felt\'etele nemcsak
azt jelenti, hogy az $S_k$ sor\"osszegek eloszl\'asban
konverg\'alnak egy norm\'alis eloszl\'ashoz, hanem azt is, hogy
ennek a norm\'alis hat\'areloszl\'asnak a `{\it helyes}' 1
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-te van. Fogunk p\'eld\'at l\'atni olyan
az egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et teljes\'{\i}t\H{o}
sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-ra, amelyek sor\"osszegei eloszl\'asban
egy `rossz' (t\'ul kicsi sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}) norm\'alis
el\-osz\-l\'as\-hoz konverg\'alnak \'es nem teljes\'{\i}tik a
Lindeberg felt\'etelt. Azt a felt\'etelt, hogy a
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as v\'arhat\'o \'ert\'eke legyen nulla csak
k\'enyelmi okokb\'ol tettem fel. A t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ab\'ol l\'athat\'o, hogy ez a felt\'etel
elhagyhat\'o. Ha a sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti az egyenletes
kicsis\'eg felt\'etel\'et \'es a sor\"osszegek egy egy
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz konverg\'alnak, akkor ez
csak \'ugy lehets\'eges, hogy a hat\'areloszl\'as a (nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}) standard norm\'alis eloszl\'as.

\medskip
A fenti t\'etelek kiel\'eg\'{\i}t\H{o} magyar\'azatot adnak arra a
k\'erd\'esre, hogy sz\'eriasorozatok sor\"osszegei mikor
teljes\'{\i}tik a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt. Minket
azonban tov\'abbi a cent\-r\'a\-lis hat\'areloszl\'as
probl\'emak\"or\'ehez tartoz\'o k\'erd\'esek is \'erdekelnek.
P\'eld\'aul sze\-ret\-n\'enk azt is tudni, hogy f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegei mikor teljes\'{\i}tik a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt. R\'eszletesebben
megfogalmazva ez a k\'erd\'es a k\"ovetkez\H{o}:

Tekints\"uk f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat\'at, amelyre
$E\xi_n=0$, \'es $\sigma_n^2=E\xi_n^2<\infty$, $n=1,2,\dots$.
Jel\"olje $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$ e sorozat els\H{o} $n$ tagj\'anak
az \"osszeg\'et, \'es legyen $s_n^2=\Var S_n=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$
ezen v\'eletlen \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzete. Tegy\"uk fel,
hogy az $s_n$ sz\'amsorozat teljes\'{\i}ti a
$\limm_{n\to\infty}s_n^2=\infty$ rel\'aci\'ot.
Azt szeretn\'enk tudni, hogy az $\frac{S_n}{s_n}$ normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegek mikor konverg\'alnak eloszl\'asban a
standard norm\'alis eloszl\'ashoz.

Nem neh\'ez l\'atni, hogy ez a probl\'ema speci\'alis esete annak
a k\'erd\'esnek, hogy sz\'eriasorozatok sor\"osszegei mikor
teljes\'{\i}tik a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.
Val\'oban, te\-kint\-s\"uk f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat\'at, amelyre
$E\xi_n=0$, \'es $\sigma_n^2=E\xi_n^2<\infty$, $n=1,2,\dots$.
Jel\"olje $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$ a sorozat els\H{o} $n$
tagj\'anak az \"osszeg\'et, \'es legyen
$s_n^2=\Var S_n=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$ ezen v\'eletlen \"osszeg
sz\'or\'asn\'egyzete. Defini\'aljuk ezen $\xi_1,\xi_2,\dots$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, illetve a
seg\'{\i}ts\'eg\"ukkel bevezetett $s_n$, $n=1,\dots$
mennyis\'egek felhaszn\'al\'as\'aval a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $j=1,\dots,n_k$, sz\'eriasorozatot:

\medskip\noindent
$n_k=k$ \'es $\xi_{k,j}=\frac{\xi_j}{s_k}$, ha $1\le j\le k$
minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.

\medskip
Ezzel a v\'alaszt\'assal a az $\frac{S_n}{s_n}$ normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegek akkor \'es csak akkor konverg\'alnak
eloszl\'asban a standard norm\'alis eloszl\'ashoz, ha a
$\xi_{k,j}=\frac{\xi_j}{s_k}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le k$,
sz\'eriasorozat sor\"osszegei teljes\'{\i}tik a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt. Ezenk\'{\i}v\"ul ezt a
sz\'eriasorozatot \'ugy defini\'altuk, hogy az teljes\'{\i}ti a
$\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$, $k=1,2,\dots$, rel\'aci\'ot.
Ez\'ert a sz\'eriasorozatok sor\"osszegeir\H{o}l sz\'ol\'o
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel term\'eszetes
k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nye\-k\'ent f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeire \'erv\'enyes cent\-r\'a\-lis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt kaphatunk. Ennek
megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben vezess\"uk be a Lindeberg felt\'etel
\'es az egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'enek term\'eszetes
\'atfogalmaz\'as\'at f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok
r\'eszlet\"osszegeire.

\medskip\noindent
{\bf Az egyenletes kicsis\'eg felt\'etele f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozataira:} {\it Legyen
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata, amelyre $E\xi_n=0$,
$\sigma_n^2=E\xi_n^2<\infty$, $n=1,2,\dots$.
Vezess\"uk be az $s^2_n=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$, $n=1,2,\dots$,
mennyis\'egeket. Azt mondjuk, hogy a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
teljes\'{\i}ti az egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et, ha
 $\limm_{n\to\infty}s_n^2=\infty$, \'es
$\limm_{n\to\infty}\supp_{1\le k\le n}\frac{\sigma^2_k}{s_n^2}=0$.}

\medskip\noindent
{\bf Lindeberg felt\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozataira:} {\it Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
amelyre $E\xi_n=0$, $\sigma_n^2=E\xi_n^2<\infty$, $n=1,2,\dots$,
\'es az $s^2_n=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$, $n=1,2,\dots$, sorozat
teljes\'{\i}ti a $\limm_{n\to\infty}s_n^2=\infty$ felt\'etelt. Azt
mondjuk, hogy a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat teljes\'{\i}ti a
Lindeberg felt\'etelt, ha minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty}\frac1{s_n^2}\sum_{k=1}^n
E\xi_k^2I(\{|\xi_k|>\e s_n\})=0.
$$
}\medskip

A k\"ovetkez\H{o} centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel, illetve
annak megford\'{\i}t\'asa egyszer\H{u} k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nye a
sz\'eriasorozatok r\'eszlet\"osszegeir\H{o}l kimondott centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelnek \'es annak megford\'{\i}t\'as\'anak.

\medskip\noindent
{\bf A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-re.} {\it Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
amelyre $E\xi_n=0$, $\sigma_n^2=E\xi_n^2<\infty$, $n=1,2,\dots$,
$\limm_{n\to\infty}s_n^2=\infty$, ahol
$s_n^2=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$. Teljes\'{\i}tse ez a $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozat a f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszegeire megfogalmazott Lindeberg
felt\'etelt. Ekkor ez a sorozat teljes\'{\i}ti a f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozataira megfogalmazott
egyenletes kicsis\'egi felt\'etelt, \'es az
$\frac{S_n}{s_n}=\frac{\summ_{k=1}^n\xi_k}{s_n}$ normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak a standard
norm\'alis eloszl\'ashoz, ha $n\to\infty$.}

\medskip\noindent
{\bf F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegeir\H{o}l sz\'ol\'o cent\-r\'a\-lis
hat\'areloszl\'ast\'etel megford\'{\i}t\'asa.} {\it Legyen $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata, amelyre $E\xi_n=0$, $\sigma_n^2=E\xi_n^2<\infty$,
$n=1,2,\dots$, $\limm_{n\to\infty}s_n^2=\infty$, ahol
$s_n^2=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$. Teljes\'{\i}tse ez a $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozat a f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszegeire megfogalmazott egyenletes kicsis\'eg
felt\'etel\'et. Ha az
$\frac{S_n}{s_n}=\frac{\summ_{k=1}^n\xi_k}{s_n}$ normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak a standard
norm\'alis eloszl\'ashoz $n\to\infty$ eset\'en, akkor a $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$ sorozat teljes\'{\i}ti a f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozataira
megfogalmazott Lindeberg felt\'etelt.}

Szeretn\'enk l\'atni, hogy a fent megfogalmazott \'altal\'anos,
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alkalmazhat\'o a minket
\'erdekl\H{o} esetekben. A f\H{o} probl\'ema az, hogy mikor
teljes\"ul a centr\'alis hat\'areloszl\'as
felt\'etelek\'ent megfogalmazott Lindeberg felt\'etel. Tekints\"uk
el\H{o}sz\"or azt a fontos, speci\'alis esetet, amikor f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegeit vizsg\'aljuk.

\medskip\noindent
{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegeire.} {\it Legyen
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma el\-osz\-l\'a\-s\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok sorozata, amelyre $E\xi_1^2<\infty$. Vezess\"uk be a
$\sigma^2=\Var\xi_1=E\xi_1^2-(E\xi_1)^2$ mennyis\'eget.
Ekkor az $\frac{S_n-nE\xi_1}{\sqrt n\sigma}
=\frac{\summ_{k=1}^n \xi_k-nE\xi_1}{\sqrt n\sigma}$ normaliz\'alt
\"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak a standard norm\'alis
eloszl\'ashoz $n\to\infty$ eset\'en.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Azt fogom megmutatni, hogy ez az
eredm\'eny megkaphat\'o a f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeire vonatkoz\'o centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel speci\'alis esetek\'ent.
Feltehetj\"uk, hogy a $E\xi_1=0$, $\xi_1^2=1$. Val\'oban,
bevezetve a $\xi'_k=\frac{\xi_k-E\xi_k}{\sigma_1}$, $k=1,2,\dots$,
mennyis\'egeket, egy f\"uggetlen egyforma, eloszl\'as\'u, nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es 1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o
$\xi_1',\xi_2'\dots$ sorozatot defini\'altunk, amelyre
$\frac{S'_n}{\sqrt n}=\frac{\summ_{k=1}^n\xi_k'}{\sqrt n}
=\frac{S_n}{\sqrt n\sigma}$. Ez\'ert elegend\H{o} a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt csak erre az \'uj esetre bel\'atni.

Ha $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, amelyekre
$E\xi_1=0$, $E\xi_1^2=1$, akkor a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni,
hogy ez a sorozat teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt.
Mivel ebben ez esetben $s_n^2=\summ_{k=1}^nE\xi_k^2=n$, ez azt
jelenti, hogy azt kell megmutatni, hogy
$$
\frac1{s_n^2}\summ_{k=1}^n E\xi_k^2I(|\xi_k|>\e s_n)
=\frac1n\summ_{j=1}^n E\xi_j^2I\(|\xi_j|>\e
\sqrt{nE\xi_j^2}\)=E(\xi_1^2I(|\xi_1|>\e \sqrt n)\to0
$$
minden $\e>0$ sz\'amra, ha $n\to\infty$. Viszont az
$E(\xi_1^2I(|\xi_1|>\e\sqrt n)\to0$, ha $n\to\infty$ rel\'aci\'o
k\"ovetkezik a Lebesgue t\'etelb\H{o}l, mert
$\xi_1^2I(|\xi_1|>\e\sqrt n)\to0$ 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
ha $n\to\infty$, \'es
$\xi_1^2(\oo)I(|\xi_1(\oo)|>\e\sqrt n)\le \xi_1^2(\oo)$ minden
$\oo\in\Omega$ pontban \'es $n=1,2,\dots$ indexre.

\medskip
Megfogalmazok egy tov\'abbi eredm\'enyt, amely azt mondja ki,
hogy a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel \'erv\'enyes alkalmas
felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en. Ez az eredm\'eny arr\'ol
sz\'ol, hogy a Lindeberg felt\'etel teljes\"ul,
ha bizonyos k\"onnyeb\-ben ellen\H{o}rizhet\H{o}
fel\-t\'e\-te\-lek teljes\"ulnek.

\medskip\noindent
{\bf A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel f\"ugggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-re.} {\it Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
amelyre $E\xi_n=0$, $\sigma_n^2=E\xi_n^2<\infty$, $n=1,2,\dots$,
$\limm_{n\to\infty}s_n^2=\infty$, ahol
$s_n^2=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$. Ez a sorozat teljes\'{\i}ti a
Lindeberg felt\'etelt, \'{\i}gy a $\frac{\summ_{k=1}^n\xi_k}{s_n}$
normaliz\'alt \"osszegek, $n=1,2,\dots$, eloszl\'asban
konverg\'alnak a standard norm\'alis eloszl\'ashoz,
ha a k\"ovetkez\H{o} felt\'etel teljes\"ul.

\medskip
\item{a)} $E|\xi_k|^{2+\alpha}<\infty$, minden $k=1,2,\dots$
sz\'amra valamilyen $\alpha>0$ konstanssal, \'es
$\limm_{n\to\infty}\frac
{\summ_{k=1}^n E|\xi_k|^{2+\alpha}}{s_n^{2+\alpha}}=0$.

\medskip
Speci\'alisan, ez a felt\'etel teljes\"ul akkor, ha $E\xi_k^2\ge K$
valamilyen $K>0$ sz\'ammal minden $k=1,2,\dots$ indexre, \'es
ezenk\'{\i}v\"ul \'erv\'enyes a $\limm_{k\to\infty}k^{-\alpha/2}
E|\xi_k|^{2+\alpha}=0$ rel\'aci\'o.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Alkalmazzuk a H\"older
egyenl\H{o}tlens\'eget mindegyik
$E\xi_k^2I(|\xi_k|>\e s_n)$, $1\le k\le n$, tagra
$p=\frac{2+\alpha}2$ \'es $q=\frac{2+\alpha}\alpha$
v\'alaszt\'assal, majd a becsl\'esk\'ent kapott \"osszegre
alkalmazzuk megint a H\"older egyenl\H{o}tlens\'eget ugyanezzel a
$(p,q)$ p\'arral. \'Ily m\'odon a k\"ovetkez\H{o} becsl\'est kapjuk.
$$
\align
\summ_{k=1}^n E\xi_k^2I(|\xi_k|>\e s_n)
&\le \sum_{k=1}^n \( E|\xi_k|^{(2+\alpha)}\)^{2/(2+\alpha)}
P(|\xi_k|>\e s_n)^{\alpha/(2+\alpha)}\\
&\le \(\summ_{k=1}^n E|\xi_k|^{(2+\alpha)}\)^{2/(2+\alpha)}
\(\summ_{k=1}^n P(|\xi_k|>\e s_n)\)^{\alpha/(2+\alpha)}.
\endalign
$$
M\'asr\'eszt, a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an $\summ_{k=1}^n
P(|\xi_k|>\e s_n)\le\summ_{k=1}^n\frac{E\xi_k^2}{\e^2s_n^2}
=\frac1{\e^2}$. Ez\'ert
$\(\summ_{k=1}^n P(|\xi_k|>\e s_n)\)^{\alpha/(2+\alpha)}
\le \e^{-2\alpha/(2+\alpha)}$, \'es
ha teljes\"ul a t\'etel a) felt\'etele, akkor
$$
\limsup_{n\to\infty}\frac1{s_n^2}
\summ_{k=1}^n E\xi_k^2I(|\xi_k|>\e s_n)
\le \e^{-2\alpha/(2+\alpha)}
\lim_{n\to\infty} \(\frac{\summ_{k=1}^n E|\xi_k|^{(2+\alpha)}}
{s_n^{2+\alpha}}\)^{2/(2+\alpha)}=0
$$
minden $\e>0$ sz\'amra, azaz teljes\"ul a Lindeberg felt\'etel.

Az a) felt\'elt ut\'an megfogalmazott r\'esz felt\'eteleinek
teljes\"ul\'ese eset\'en $s_n^2\ge \const n$, \'es
$\summ_{k=1}^nE|\xi_k|^{2+\alpha}=o\(n^{(\alpha+2)/2)}\)$,
ha $n\to\infty$. Ez\'ert ekkor teljes\"ul az a.) r\'eszben
megfogalmazott felt\'etel. Ha teljes\"ul a Lindeberg felt\'etel,
akkor teljes\"ul a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel is.

\medskip
\'Erts\"uk meg a fenti t\'etel szeml\'eletes tartalm\'at. Tudjuk, hogy
$s_n^2=\summ_{k=1}^nE\xi_k^2
=\summ_{k=1}^nE\xi_k^2I(|x_k|\le \e)
+\summ_{k=1}^nE\xi_k^2I(|x_k|>\e)$ minden $\e>0$ sz\'amra.
A Lindeberg felt\'etel azt fejezi ki, hogy a fenti azonoss\'ag
jobboldal\'an szerepl\H{o} \"osszeg m\'asodik tagja sokkal kisebb,
mint $s_n^2$. Ez szeml\'eletesen azt jelenti, hogy az
$E\xi_k^2=\int \xi_k^2(\oo)\,dP(\oo)$ integr\'alokban azon
$\oo$-k hozad\'eka, ahol $|\xi_k(\oo)|$ t\'ul nagy,
(pontosabban az $\{\oo\colon\;|\xi_k(\oo)|\ge\e s_n\}$
halmaz hozad\'eka) elhanyagolhat\'oan kicsi. Ennek k\'{\i}v\'anjuk
valamilyen viszonylag k\"onnyen ellen\H{o}rizhet\H{o}, \'es sok
\'erdekes esetben teljes\"ul\H{o} felt\'etel\'et megadni.

A gondolat a k\"ovetkez\H{o}. Az
$E|\xi_k|^{2+\alpha}=\int |\xi_k|^{2+\alpha}(\oo)\,dP(\oo)$
integr\'alokban az $\alpha>0$ esetben azon $\oo$-k hozad\'eka, ahol
$\xi_k(\oo)$ rendk\'{\i}v\"ul nagy, nagyobb, mint az $E\xi_k^2$
kifejez\'est megad\'o integr\'alokban. Sz\'ep esetekben az
$E|\xi_k|^{2+\alpha}$ integr\'al nem t\'ul nagy. P\'eld\'aul, ha
mindegyik $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o abszolut
\'ert\'eke kisebb, mint egy (a $k$ indext\H{o}l nem f\"ugg\H{o})
korl\'at, akkor $E|\xi_k|^{2+\alpha}\le\const E\xi_k^2$ minden $k$
indexre, \'es $\summ_{k=1}^nE|\xi_k|^{2+\alpha}\le \const s_n^2$.
A fenti t\'etel a) pontban megfogalmazott felt\'etel\'eben az
a $\summ_{k=1}^nE|\xi_k|^{2+\alpha}$ \"osszegre egy
enn\'el gyeng\'ebb felt\'etelt fogalmaztunk meg. (Jegyezz\"uk meg,
hogy $s_n^2\to\infty$ a felt\'eteleink szerint.) Ez megengedi, hogy
legyenek olyan $\oo$-k, amelyekre $\xi_k(\oo)$ viszonylag nagy, de
ezek hat\'asa a felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en korl\'atozott.
Siker\"ult olyan felt\'etelt tal\'alni, amely
biztos\'{\i}tja a Lindeberg felt\'etel teljes\"ul\'es\'et.

\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
tartalm\'at, illetve a Lindeberg felt\'etel szerep\'et ebben az
eredm\'enyben jobban meg\'erts\"uk l\'assunk olyan p\'eld\'akat is,
amelyekben a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel nem \'erv\'enyes,
mert nem teljes\"ul a Lindeberg felt\'etel. K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
p\'eld\'at fogok mutatni, amelyekben a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-ben el\H{o}\'{\i}rt
f\"uggetlens\'egi \'es egyenletes kicsis\'egi felt\'etelek
teljes\"ulnek, m\'egsem \'erv\'enyes a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel, mert nem teljes\"ul a Lindeberg felt\'etel.

\medskip\noindent
{\bf P\'elda olyan modellre, amelyben nem teljes\"ul a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel.}
{\it Legyenek $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok a k\"ovetkez\H{o}
eloszl\'assal: $P(\xi_n=n)=P(\xi_n=-n)=\frac1{4n^2}$,
$P(\xi_n=1)=P(\xi_n=-1)=\frac14$, \'es
$P(\xi_n=0)=\frac12-\frac1{2n^2}$, $n=1,2,\dots$. Ekkor $E\xi_n=0$,
$E\xi_n^2=1$. Az $S_n=\frac1{\sqrt n}\summ_{k=1}^n \xi_n$
normaliz\'alt r\'esz\-let\-\"ossze\-gek sorozata egyr\'eszt teljes\'{\i}ti
az $ES_n=0$, \'es $\Var S_n=1$ rel\'aci\'okat, m\'asr\'eszt, mint
l\'atni fogjuk, eloszl\'asban konverg\'al egy nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} \'es
$\frac12$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha $n\to\infty$.}

\medskip
Ebben a p\'eld\'aban f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok olyan normaliz\'alt r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-it
tekintett\"uk, amelyre nem teljes\"ul a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel. Ugyanis a cent\-r\'a\-lis
hat\'areloszl\'ast\'etel szerint az $S_n$ normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeknek a nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
{\it egy sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}}\/ norm\'alis
eloszl\'ashoz kellene konverg\'alni. Az egyenletes kicsis\'eg
felt\'etele teljes\"ul ebben a p\'eld\'aban, mert $s_n^2=n$, \'es
$\supp_{1\le k\le n}\frac{E\xi_k^2}{s_n^2}=\frac1n$ null\'ahoz
konverg\'al, ha $n\to\infty$. Viszont nem teljes\"ul a Lindeberg
felt\'etel, mert p\'eld\'aul $\e=\frac12$ v\'alaszt\'assal
$\frac1{s_n^2}\summ_{k=1}^nE(\xi_k^2I(|\xi_k|>\e s_n)=
\frac1n\summ_{k=1}^n k^2P(|\xi_k|>\frac n2)
=\frac1n\summ_{k=\frac n2+1}^n k^2\frac1{2k^2}=\frac14$.

\medskip\noindent
{\it A p\'elda indokl\'asa.}\/ Az $ES_n=0$ \'es $ES_n^2=1$
rel\'aci\'o nyilv\'anval\'o. A hat\'areloszl\'asr\'ol sz\'ol\'o
\'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben vezess\"uk be
az $X_n=\xi_n I(|\xi_n|\le 1)$, $Y_n=\xi_nI(|\xi_n|>1)$,
$U_n=\summ_{k=n}^n X_k$ \'es $V_n=\summ_{k=1}^n Y_k$
mennyis\'egeket. Ekkor $S_n=\frac1{\sqrt n}(U_n+V_n)$. A
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeire vonatkoz\'o centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel alapj\'an a $\frac1{\sqrt n}U_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozat eloszl\'asban konverg\'al a nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\frac12$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
norm\'alis eloszl\'ashoz $n\to\infty$ eset\'en, mert az $X_k$,
$EX_k=0$, $EX_k^2=\frac12$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$k=1,2,\dots$, f\"uggetlenek \'es egyforma eloszl\'as\'uak.
A $\frac1{\sqrt n}V_n$ kifejez\'esek sztochasztikusan
konverg\'alnak null\'ahoz, ha $n\to\infty$. Ugyanis
$\summ_{k=1}^\infty P(Y_k\neq0)<\infty$, ez\'ert a Borell--Cantelli
lemma alapj\'an egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok
$Y_k(\oo)$ nem egyenl\H{o} null\'aval, \'es
$\summ_{k=1}^\infty |Y_k(\oo)|\le K(\oo)$
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.

A p\'elda \'all\'{\i}t\'asa k\"ovetkezik a fenti
\'all\'{\i}t\'asokb\'ol \'es az \'ugynevezett Slutzky lemm\'ab\'ol.
Ez ut\'obbi lemma azt mondja ki, hogy amennyiben
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok valamely $P_n$ sorozata
eloszl\'asban konverg\'al egy $F$ eloszl\'ashoz, \'es
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy m\'asik $Q_n$ sorozata
sztochasztikusan konverg\'al null\'ahoz, akkor a $P_n+Q_n$ sorozat
is konverg\'al eloszl\'asban az $F$ eloszl\'ashoz. E lemma
bizony\'{\i}t\'as\'at, ami egy\'ebk\'ent nem neh\'ez, itt nem
t\'argyalom. Egy lehets\'eges bizony\'{\i}t\'as megtal\'alhat\'o
az Els\H{o} T\'ema jegyzet kieg\'esz\'{\i}t\'es\'eben. Mivel
$S_n=\frac1{\sqrt n}(U_n+V_n)$, a p\'elda \'all\'{\i}t\'asa
k\"ovetkezik a fenti rel\'aci\'okb\'ol \'es a Slutzky lemm\'ab\'ol
$P_n=\frac1{\sqrt n}U_n$ \'es $Q_n=\frac1{\sqrt n}V_n$
v\'alaszt\'assal.

\medskip\noindent
{\bf Egy m\'asik p\'elda olyan modellre, amelyben nem teljes\"ul a
centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel.} {\it Tekints\"unk egy
$\bar\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, sz\'eriasorozatot,
amely\-re $n_k\to\infty$, ha $k\to\infty$, a $\bar\xi_{k,j}$,
$1\le j\le n_k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek,
$P(\bar\xi_{k,j}=1)=1-P(\bar\xi_{k,j}=0)=\lambda_{k,j}$,
$1\le j\le n_k$, \'es a $\lambda_{k,j}$ konstansok teljes\'{\i}tik
a $\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}=0$ \'es
a $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=1$ felt\'eteleket.
Legyen $\xi_{k,j}=\bar\xi_{k,j}-E\bar\xi_{k,j}$. A $\xi_{k,j}$,
$1\le j\le n_k$, sz\'eriasorozat a Lindeberg felt\'etel
kiv\'etel\'evel teljes\'{\i}ti a sz\'eriasorozatokra vonatkoz\'o
eloszl\'ast\'etel felt\'eteleit. M\'asr\'eszt az
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ sor\"osszegek eloszl\'asban
konverg\'alnak egy $\eta-E\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ahol $\eta$ Poisson eloszl\'as\'u $\lambda=1$
param\'eterrel.}

\medskip\noindent
{\it A p\'elda indokl\'asa.}\/ A $\bar\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$,
sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti a sz\'eriasorozatokra vonatkoz\'o
Poisson hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleit $\lambda=1$
param\'eterrel. Ez\'ert az $\bar S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\bar\xi_{k,j}$
\"osszegek egy $\lambda=1$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz az 
$S_k=\bar S_k-E\bar S_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
pedig az $\eta-E\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz
konverg\'alnak eloszl\'asban.

K\"onnyen l\'athat\'o, hogy a $\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$
sz\'eriasorozat a Lindeberg felt\'etelt kiv\'eve a
sz\'eriasorozatokra vonatkoz\'o centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\"osszes felt\'etel\'et teljes\'{\i}ti. A Lindeberg felt\'etelt
viszont nem teljes\'{\i}ti. Ugyanis l\'etezik olyan $k=k_0$ index,
hogy $E\bar\xi_{k,j}=\lambda_{k,j}<\frac12$ minden $k\ge k_0$ \'es
$1\le j\le n_k$ indexre. Ez\'ert
$\xi_{k,j}^2I(|\xi_{k,j}|>\e)=\xi_{k,j}^2I(\bar\xi_{k,j}=1)$,
ha $k\ge k_0$ \'es $\e=\frac12$. Innen
$E\xi_{k,j}^2I(|\xi_{k,j}|>\e)=E\xi_{k,j}^2I(\bar\xi_{k,j}=1)
=\lambda_{k,j}(1-\lambda_{k,j})^2$, \'es
$\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2I(|\xi_{k,j}|>\e)
=\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}(1-\lambda_{k,j})^2$, ha $k\ge k_j$,
\'es $\e=\frac12$. Viszont nem neh\'ez bel\'atni, hogy a
$\lambda_{k,j}$ sz\'amokra tett felt\'etelek mellett
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}(1-\lambda_{k,j})^2=1.
$$

\medskip
R\'at\'erek a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ara. {\it Az eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol
sz\'ol\'o Alapt\'etel egyszer\H{u}s\'{\i}tett v\'altozata}\/
alapj\'an el\'eg azt bebizony\'{\i}tani, hogy ha
teljes\"ulnek a megfelel\H{o} centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
felt\'etelei, akkor a sor\"osszegek (sz\'e\-ria\-so\-ro\-zat eset\'en)
vagy a normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegek (f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok sorozata eset\'en)
karakterisztikus f\"uggv\'enyei konverg\'alnak a standard norm\'alis
el\-osz\-l\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ehez. Ez\'ert \'erdemes
el\H{o}sz\"or a standard norm\'alis el\-osz\-l\'as
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'eny\'et kisz\'amolni. Ez t\"ort\'enik a k\"ovetkez\H{o}
lemm\'aban. A lemma bizony\'{\i}t\'as\'aban kihaszn\'alom a komplex
f\"uggv\'enytan n\'eh\'any fontos eredm\'eny\'et.

\medskip\noindent
{\bf Lemma a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it A
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, $-\infty<x<\infty$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$g(t)=e^{-t^2/2}$ f\"uggv\'eny, azaz
$$
\int_{-\infty}^\infty
e^{itx}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=e^{-t^2/2}.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}
$$
\align
g(t)&=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=
\int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-(x-it)^2/2}e^{-t^2/2}\,dx\\
&=e^{-t^2/2} \int_{-\infty-it}^{\infty-it} \frac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-x^2/2}\,dx.
\endalign
$$
A fenti sz\'amol\'asban a szok\'asos technik\'at alkalmaztuk, az
exponensben szerepl\H{o} kvad\-ra\-ti\-kus alakot teljes n\'egyzett\'e
alak\'{\i}totuk \'at. Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$$
\int_{-\infty-it}^{\infty-it} \frac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-u^2/2}e^{-t^2/2}\,du=1.
$$
Ez az integr\'al abban k\"ul\"onb\"ozik a standard norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny integr\'alj\'at\'ol, hogy a norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny integr\'alj\'at nem a val\'os
tengelyen, hanem egy vele p\'arhuzamos egyenesen tekintj\"uk.
Ez az integr\'al ugyanannyi, mintha a val\'os
tengelyen integr\'altuk volna az $\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$
f\"uggv\'enyt. Ez egyszer\H{u}en k\"ovetkezik a
komplex f\"uggv\'enytan tal\'an legfontosabb eredm\'eny\'eb\H{o}l,
amely szerint egy analitikus f\"uggv\'eny k\"orintegr\'alja egy
z\'art g\"orb\'en nulla. Azt kell kihaszn\'alni, hogy a
$h(z)=e^{-z^2/2}$ f\"uggv\'eny analitikus az eg\'esz
sz\'ams\'{\i}kon, \'es ezenk\'{\i}v\"ul a $h(z)$ f\"uggv\'eny
olyan, hogy amennyiben a $z$ argumentum imagin\'arius r\'esz\'enek az
abszolut \'ert\'eke kisebb mint valamely fix $K$ sz\'am, re\'alis
r\'esz\'enek az abszolut \'ert\'eke pedig nagyon nagy, akkor a
$h(z)$ f\"uggv\'eny nagyon kicsi. Mivel ez a bizony\'{\i}t\'as a
komplex f\"uggv\'enytani ismeretek felhaszn\'al\'asa
seg\'{\i}ts\'eg\'evel egyszer\H{u}en v\'egrehajthat\'o, viszont ez
a komplex f\"uggv\'enytani r\'esz, amelyet nem ta\-nult mindenki
elengedhetetlen ebben a bizony\'{\i}t\'asban, ez\'ert a r\'eszletek
kidolgoz\'as\'at elhagyom.


\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it K\'et f\"uggetlen norm\'alis 
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszege 
nor\-m\'a\-lis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} A k\"ovetkezm\'eny \'all\'{\i}t\'as\'at be
lehet bizony\'{\i}tani k\'et norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
konvoluci\'oj\'anak a kisz\'am\'{\i}t\'as\'aval, \'es a gyakorlaton
ezt meg fogjuk tenni. De egy\-sze\-r\H{u}b\-ben c\'elhoz \'er\"unk 
k\'et f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek
a kisz\'amol\'as\'aval \'es annak felhaszn\'al\'as\'aval, hogy 
egy eloszl\'ast meghat\'aroz a karakterisztikus f\"uggv\'enye.

Legyen $\xi$ egy $m_1$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma_1^2$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o. Akkor $\xi$
fel\'{\i}rhat\'o $\xi=\sigma_1\xi_1+m_1$ alakban, ahol $\xi_1$
standard nor\-m\'a\-lis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o. Ez\'ert $\xi$ karakterisztikus f\"uggv\'enye 
$$
\varphi_1(t)=Ee^{it(\sigma_1\xi_1+m_1)}
=e^{itm_1}Ee^{i(t\sigma_1)\xi_1}=e^{-\sigma^2_1t^2/2+itm_1}.
$$
Legyen $\eta$ a $\xi$-t\H{o}l f\"uggetlen
$m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Akkor $\eta$ karakterisztikus
f\"uggv\'enye
$\varphi_2(t)=e^{-\sigma^2_2t^2/2+itm_2}$, $\xi+\eta$ karakterisztikus
f\"uggv\'enye pedig
$\varphi_1(t)\varphi_2(t)=e^{-(\sigma^2_1+\sigma^2_2)t^2/2+it(m_1+m_2)}$. 
Innen k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy $\xi+\eta$
$m_1+m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma_1^2+\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.

\medskip

A {\it sz\'eriasorozatok sor\"osszegeire \'erv\'enyes
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt}\/ fogom bebizony\'{\i}tani.
A bizony\'{\i}t\'as el\H{o}tt ismertetek egy heurisztikus
indokl\'ast, majd megmutatom, hogy e heurisztikus indokl\'as
r\'eszleteit kidolgozva hogyan kaphatunk pontos bizony\'{\i}t\'ast.

\medskip
Tekints\"unk egy
$\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
sz\'eriasorozatot, amelynek tagjaira $E\xi_{k,j}=0$,
$E\xi_{k,j}^2<\infty$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, \'es
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$. Jel\"olje
$\varphi_{k,j}(t)=Ee^{it\xi_{k,j}}$, $-\infty<t<\infty$, a
$\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et, \'es vezess\"uk be az
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ jel\"ol\'est.

Ekkor azt kell megmutatnunk, hogy
$\limm_{k\to\infty}Ee^{itS_k}=e^{-t^2/2}$ minden $-\infty<t<\infty$
sz\'amra. Viszont tudjuk a f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok szorzat\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l sz\'ol\'o
eredm\'eny alapj\'an, hogy
$$
Ee^{itS_k}=E\exp\left\{\sum_{j=1}^{n_k}it\xi_{k,j}\right\}
=\prod_{j=1}^{n_k}Ee^{it\xi_{k,j}}
=\prod_{j=1}^{n_k}\varphi_{k,j}(t) \tag1
$$
A fenti azonoss\'agban logaritmust v\'eve a bizony\'{\i}tand\'o
\'all\'{\i}t\'ast \'{\i}gy
fogalmazhatjuk \'at:
$$
\limm_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}\log\varphi_{k,j}(t)=-t^2/2,\quad
-\infty<t<\infty. \tag2
$$
Viszont a $\varphi_{k,j}(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyeket
Taylor sorba fejtve a $t=0$ pont k\"or\"ul, \'es felhaszn\'alva
a {\it val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok momentumainak
kifejez\'es\'er\H{o}l a karakterisztikus f\"uggv\'eny\"uk
seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadott kifejez\'es\'er\H{o}l} sz\'ol\'o
eredm\'enyt az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'asb\'ol a $\varphi_{k,j}(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyekre a k\"ovetkez\H{o}
k\"ozel\'{\i}t\'est tudjuk adni. (Itt fel\-hasz\-n\'al\-juk, hogy
mint azt k\'es\H{o}bb l\'atni fogjuk, a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kicsis\'ege miatt az
al\'abbi Taylor sorfejt\'eseket a nulla egy kis k\"ornyezet\'eben
v\'egezz\"uk.)
$$
\varphi_{k,j}(t)\sim\varphi_{k,j}(0)+t\varphi_{k,j}'(0)
+\frac{t^2}2\varphi''_{k,j}(0)=1+itE\xi_{k,j}-\frac{t^2}2E\xi^2_{k,j}
=1-\frac{t^2}2E\xi^2_{k,j}.
$$
Tov\'abb\'a, mivel $\log(1-u)\sim u$ kis $u$ sz\'amokra, azt
v\'arjuk, hogy a $\log\varphi_{k,j}(t)\sim-\frac{t^2}2E\xi_{k,j}^2$
j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est ad. E k\"ozel\'{\i}t\H{o} rel\'aci\'okat
\"osszegezve, \'es felhaszn\'alva a t\'etel felt\'eteleit azt
kapjuk, hogy $\summ_{j=1}^{n_k}\log\varphi_{k,j}(t)
\sim-\frac{t^2}2\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2 \sim-\frac{t^2}2$, \'es
ezt kellett megmutatni. Bel\'atjuk, hogy a fenti k\"ozel\'{\i}t\H{o}
azonoss\'agok pontosabb kifejt\'ese seg\'{\i}ts\'eg\'evel be tudjuk
bizony\'{\i}tani a k\'{\i}v\'ant centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt. E program v\'egrehajt\'as\'anek
\'erdek\'eben azonban fel kell tenni, hogy teljes\"ul a Lindeberg
felt\'etel.

A r\'eszletek kidolgoz\'asa el\H{o}tt bel\'atok egy a
bizony\'{\i}t\'asban hasznos lemm\'at, amely arr\'ol sz\'ol, hogy az
$e^{iu}$ trigonometrikus f\"uggv\'enyt milyen j\'ol k\"ozel\'{\i}tik
Taylor sor\'anak szeletei.

\medskip\noindent
{\bf Lemma trigonometrikus f\"uggv\'enyek Taylor sor
k\"ozel\'{\i}t\'es\'er\H{o}l.} {\it Tetsz\H{o}leges nem
negat\'{\i}v eg\'esz $k$ \'es val\'os $u$ sz\'amra
$$
\left|e^{iu}-\(1+\frac{iu}{1!}+\cdots+\frac{(iu)^k}{k!}\)\right|\le
\frac{|u|^{k+1}}{(k+1)!}. \tag3
$$
}\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Vezess\"uk be az
$F(u)=e^{iu}-\(1+\frac{iu}{1!}+\cdots+\frac{(iu)^k}{k!}\)$
f\"uggv\'enyt, \'es tekints\"uk ennek $F^{(j)}(u)$ deriv\'altjait.
$F^{(j)}(0)=0$, ha $0\le j\le k$, \'es $|F^{(k+1)}(u)|=|e^{iku}|=1$
minden $u$ val\'os sz\'amra. Teljes indukci\'oval kapjuk, hogy
$|F^{(j)}(u)|\le \int_0^u |F^{(j+1)}(s)|\,ds\le \int_0^u \frac
{|s|^{k-j}\,ds}{(k-j)!}=\frac{|u|^{k+1-j}}{(k+1-j)!}$ minden
$j=k+1,k,\dots,0$ sz\'amra. Teh\'at $|F(u)|\le
\frac{|u|^{k+1}}{(k+1)!}$, \'es ez a Lemma \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
{\it A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'asa
sz\'eriasorozatok sor\"osszegeire.} L\'assuk el\H{o}sz\"or be,
hogy a Lindeberg felt\'etel teljes\"ul\'es\'eb\H{o}l
k\"ovetkezik az egyenletes kicsis\'eg tulajdons\'aga.

R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\e>0$ sz\'amot. Ekkor
$$
E\xi_{k,j}^2=E\xi_{k,j}^2I(\{(|\xi_{k,j}|<\e\})+
E\xi_{k,j}^2I(\{|\xi_{k,j}|\ge\e\}) \le \e^2+\sum_{j=1}^{n_k}
E\xi_{k,j}^2I(\{|\xi_{k,j}|\ge\e\}),
$$
ez\'ert a Lindeberg felt\'etel alapj\'an
$\limsupp_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}E\xi_{k,j}^2\le\e^2$.
Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as minden $\e>0$ sz\'amra \'erv\'enyes,
innen k\"ovetkezik az egyenletes kicsis\'eg felt\'etele.

A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben el\H{o}sz\"or azt mutatom meg, hogy az $E\xi_{k,j}=0$
rel\'aci\'o \'es a Lindeberg felt\'etel teljes\"ul\'ese miatt
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}\(\varphi_{k,j}(t)-1\)=
\lim_{k\to\infty}\summ_{k=1}^{n_k}
E\(e^{it\xi_{k,j}}-1-it\xi_{k,j}\)=-\frac{t^2}2. \tag4
$$
Mivel $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi^2_{k,j}=1$, ez
ekvivalens azzal, hogy
$$
\lim_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}
E\(e^{it\xi_{k,j}}-1-it\xi_{k,j}+\frac{t^2}2\xi_{k,j}^2\)=0.
$$
Alkalmazva a (3) formul\'at $u=t\xi_{k,j}$ v\'alaszt\'assal $k=2$-re,
ha $|t\xi_{k,j}|\le\e$ \'es $k=1$-re, ha $|t\xi_{k,j}|\ge\e$ azt
kapjuk, hogy
$$
\align
\left|\summ_{j=1}^{n_k}
E\(e^{it\xi_{k,j}}-1-it\xi_{k,j}+\frac{t^2}2\xi_{k,j}^2\)
I(\{|\xi_{k,j}|\le \e\})\right| &\le
\summ_{j=1}^{n_k} E\frac{|t\xi_{k,j}|^3}6I(\{|\xi_{k,j}|\le \e\}) \\
&\le\e |t|^3 \summ_{j=1}^{n_k}E\frac{\xi_{k,j}^2}6\le \const\e,
\endalign
$$
\'es a Lindeberg felt\'etel alapj\'an
$$
\align
&\lim_{k\to\infty}\left|\summ_{j=1}^{n_k}
E\(e^{it\xi_{k,j}}-1-it\xi_{k,j}+\frac{t^2}2\xi_{k,j}^2\))
I(\{|\xi_{k,j}|>\e\})\right| \\
&\qquad\qquad\le \lim_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}
Et^2\xi_{k,j}^2 I(\{|\xi_{k,j}|>\e\})=0.
\endalign
$$
Mivel ezek a rel\'aci\'ok minden $\e=0$-ra \'erv\'enyesek, innen
k\"ovetkezik a (4) formula.

Meg akarom mutatni, hogy igaz a (4) formula azon m\'odos\'{\i}t\'asa,
amelyben az $1-\varphi_{k,j}(t)$ f\"uggv\'enyt a $\log\varphi_{k,j}(t)$
f\"uggv\'ennyel helyettes\'{\i}tem, azaz igaz a (2) formul\'aban
fel\'{\i}rt azonoss\'ag. Ennek \'erdek\'eben bel\'atom a
k\"ovetkez\H{o} technikai jelleg\H{u} lemm\'at.

\medskip\noindent
{\bf Lemma karakterisztikus f\"uggv\'eny logaritmus\'anak a
becsl\'es\'er\H{o}l.} {\it Tekints\"uk egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\varphi(t)$
karkakterisztikus f\"uggv\'eny\'et valamilyen r\"ogz\'{\i}tett $t$
sz\'amra. Ha $E\xi=0$, $E\xi^2\le \e$ egy el\'eg kis $\e=\e(t)>0$
sz\'ammal akkor $|1-\varphi(t)|\le \frac{t^2}2E\xi^2$,
\'es $|\log \varphi(t)+(1-\varphi(t))|\le\frac{ t^4}4\(E\xi^2\)^2$.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Alkalmazva a (3) formul\'at $k=1$-re kapjuk, hogy
$|e^{it\xi}-1-it\xi|\le \frac{t^2\xi^2}2$. Ez\'ert v\'eve a
baloldalon az abszol\'ut\'ert\'ek jelek k\"oz\"otti kifejez\'es
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et kapjuk, hogy $|\varphi(t)-1|\le
\frac{t^2}2E\xi^2$.  Ha $E\xi^2<\e$ el\'eg kis $\e=\e(t)>0$
sz\'ammal, akkor $|1-\varphi(t)|\le \frac14$. Vegy\"uk \'eszre,
hogy v\'eve a $\log(1-z)$ f\"uggv\'eny Taylor sor\'at a
$|z|\le\frac14$ halmazon, azt kapjuk, hogy
$|\log(1-z)-z|\le |z^2|$. Innen
$|\log\varphi(t)+(1-\varphi(t))|=
|\log\(1-(1-\varphi(t))\)-(1-\varphi(t))|
\le |1-\varphi(t)|^2\le\frac{t^4}4\(E\xi^2\)^2$, ha $E\xi^2\le \e(t)$.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} A fenti bizony\'{\i}t\'asban is felhaszn\'altam
a komplex f\"uggv\'enytan n\'eh\'any fontos eredm\'eny\'et.
Ugyanis $\varphi(t)$ komplex \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'eny, \'{\i}gy
a sz\'amol\'asban a lo\-ga\-rit\-mus f\"uggv\'eny analitikus
kiterjeszt\'es\'evel kellett dolgoznunk. Azt az eredm\'enyt
hasz\-n\'al\-tam ki, hogy az $e^{1+z}$ f\"uggv\'enynek kis $z$,
pontosabban $|z|<\frac14$, sz\'amokra l\'etezik olyan egy\'ertelm\H{u}
$\log(1+z)$ inverze, amely a $z=0$ pontban null\'aval egyenl\H{o},
\'es ezt a f\"uggv\'enyt ki lehet fejezni a
$\log(1+z)=\summ_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}z^k}k$ hatv\'anysor
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip
A bizony\'{\i}tand\'o t\'etel felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese
eset\'en, a $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti az egyenletes kicsis\'eg
tulajdons\'ag\'at, ez\'ert alkalmazhatjuk a fenti lemm\'at
mindegyik $\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ora el\'eg nagy (a $t$ param\'etert\H{o}l f\"ugg\H{o})
$k$ indexre. Innen kapjuk, hogy
$$
\limsupp_{k\to\infty}\left|\summ_{j=1}^{n_k}\log \varphi_{k,j}(t)+
\summ_{j=1}^{n_k}(1-\varphi_{k,j}(t))\right|
\le\limsupp_{k\to\infty}\frac{t^4}4\summ_{j=1}^{n_k}\(E\xi_{k,j}^2\)^2
\le\e \frac{t^4}4.
$$
Az utols\'o egyenl\H{o}tlens\'eg az\'ert igaz, mert
$\supp_{1\le j\le n_k} E\xi_{k,j}^2\le\e$,
ha $k\ge k_0(\e)$ valamely $k_0$ k\"usz\"obindex-szel, \'es
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi^2_{k,j}=1$. Mivel a fenti
egyenl\H{o}tlens\'eg minden $\e>0$ sz\'amra \'erv\'enyes, ez\'ert
$$
\lim_{k\to\infty}\left|\summ_{j=1}^{n_k}\log \varphi_{k,j}(t)-
\summ_{j=1}^{n_k}(\varphi_{k,j}(t)-1)\right|=0.
$$
Ebb\H{o}l a rel\'aci\'ob\'ol, \'es a (4) formul\'ab\'ol k\"ovetkezik
a (2) formula. Ezut\'an v\'eve mind a k\'et oldal exponenci\'alis
hatv\'any\'at a (2) formul\'aban, \'es felhaszn\'alva az (1)
formula azonoss\'ag\'at azt kapjuk, hogy
$\limm_{k\to\infty}Ee^{itS_k}=e^{-t^2/2}$. Ezt az azonoss\'agot
akartuk bebizony\'{\i}tani.

\medskip
R\"oviden t\'argyalni fogom az \'ugynevezett lok\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt f\"ug\-get\-len, egyforma \'es r\'acsos
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere.
Megfogalmazom a f\H{o} eredm\'enyt, \'es teszek n\'eh\'any
megjegyz\'est, amelyek seg\'{\i}tenek meg\'erteni az eredm\'eny
tartalm\'at, illetve azt, hogy mi\'ert term\'eszetes v\'arni
egy ilyen eredm\'enyt. A t\'etel r\'esz\-le\-tes bizony\'{\i}t\'as\'at
a kieg\'esz\'{\i}t\'esben \'{\i}rom le.

Az eredm\'eny megfogalmaz\'asa el\H{o}tt bevezetem a r\'acsos
eloszl\'as fogalm\'at, illetve defini\'alom azt, hogy mikor
nevezhetj\"uk az eg\'esz sz\'amok halmaz\'at egy eloszl\'ast
tartalmaz\'o legritk\'abb r\'acsnak.

\medskip\noindent
{\bf R\'acsos eloszl\'as fogalma.} {\it Egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o r\'acsos eloszl\'as\'u az
eg\'esz sz\'amok r\'acs\'an, ha \'ert\'ekei az eg\'esz sz\'amok
r\'acs\'ara vannak koncentr\'alva, azaz egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel,
m\'ask\'epp fogalmazva $\summ_{k=-\infty}^\infty P(\xi=k)=1$. Azt
mondjuk, hogy az eg\'esz sz\'amok r\'acsa a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at tartalmaz\'o
legritk\'abb r\'acs, ha tetsz\H{o}leges $A>1$ \'es $B$ eg\'esz
sz\'amokra $\summ_{k=-\infty}^\infty P(\xi=Ak+B)<1$.

\'Altal\'anosabban, egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot r\'acsos eloszl\'as\'unak nevez\"unk, ha azok
\'ert\'ekei egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy
$\{b+kh\colon\; k=0,\pm1,\pm2,\dots\}$ alak\'u halmazra vannak
koncentr\'alva valamilyen $h>0$ \'es $b$ val\'os sz\'amokkal, azaz
$\summ_{k=-\infty}^\infty P(\xi=kh+b)=1$. Azt mondjuk, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ekei egy $h$, $h>0$,
sz\'eless\'eg\H{u} r\'acsra (mint legritk\'abb r\'acsra) vannak
koncentr\'alva, ha l\'etezik olyan $b$ val\'os sz\'am, amelyre
$\summ_{k=-\infty}^\infty P(\xi=kh+b)=1$, \'es
$\summ_{k=-\infty}^\infty P(\xi=Akh+B)<1$ tetsz\H{o}leges $A>1$
eg\'esz \'es $B$ val\'os sz\'amokra.}
\medskip

Megfogalmazom a k\"ovetkez\H{o}, az eg\'esz sz\'amok halmaz\'ara,
mint legritk\'abb r\'acsra koncentr\'alt eloszl\'as\'u f\"uggetlen
\'es egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'ere vonatkoz\'o lok\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelnek nevezett eredm\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf Lok\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel f\"uggetlen,
egyforma, r\'acsos eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere.} {\it Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$,
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata, mely val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'acsos eloszl\'as\'uak az eg\'esz sz\'amok r\'acs\'an, \'es az
eg\'esz sz\'amok r\'acsa a legritk\'abb a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok (k\"oz\"os) eloszl\'as\'at
tartalmaz\'o r\'acs. Legyen $E\xi_1=m$, $E\xi_1^2=m_2<\infty$,
(teh\'at feltessz\"uk, hogy a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o m\'asodik momentuma v\'eges), \'es legyen
$\sigma^2=m_2-m_1^2$ a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
sz\'or\'asn\'egyzete. Tekints\"uk az $S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegeket. Ekkor
$$
P(S_n=k)=\frac1{\sqrt{2\pi n}\sigma}\exp\left\{-\frac{(k-nm)^2}
{2n\sigma^2} \right\}+o\(\frac1{\sqrt n}\),
\quad k=0,\pm1,\pm2,\dots,
$$
ahol $o(\cdot)$ egyenletes a $k$ v\'altoz\'oban.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
so\-ro\-za\-ta, amelyek r\'acsos eloszl\'as\'uak, \'es eloszl\'asuk
egy $kh+b$ $k=0,\pm1,\pm2,\dots$, $h$ sz\'eless\'eg\H{u} r\'acsra,
mint legritk\'abb r\'acsra, legyen koncentr\'alva. Vezess\"uk be az
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegeket. A
fenti t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o aszimptotikus becsl\'est
tudunk adni a $P(S_n=kh+nb)$ alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre
is. Ennek \'erdek\'eben vezess\"uk be a $\bar\xi_j=\frac{\xi_j-b}h$,
$j=1,2,\dots$, az eg\'esz sz\'amok r\'acs\'ara (mint legritk\'abb
r\'acsra) koncentr\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat,
\'es ezek $\bar S_n=\summ_{j=1}^n\bar\xi_j$ r\'eszlet\"osszegeit.
Ekkor a $P(S_n=kh+b)=P(\bar S_n=k)$ azonoss\'ag
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az el\H{o}z\H{o} t\'etel j\'o aszimptotik\'at
ad a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.

\medskip
\'Erts\"uk meg a fenti lok\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel tartalm\'at, \'es azt is, hogy mi\'ert
nevezik ezt az eredm\'enyt {\it lok\'alis}\/ centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelnek.

A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint
$P\(\frac{S_n-nm}{\sqrt n\sigma}<x\)\sim \Phi(x)$, ahol $\Phi(\cdot)$
a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny. Ezenk\'{\i}v\"ul azt
is tudjuk, hogy a most vizsg\'alt esetben az
$\frac{S_n-nm}{\sqrt n\sigma}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
a $\frac{k-nm}{\sqrt n\sigma}$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$,
$\frac1{\sqrt n\sigma}$ s\H{u}r\H{u}s\'eg\H{u} r\'acson veszi fel az
\'ert\'ekeit. Azt v\'arjuk, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az $\frac{S_n-nm}{\sqrt n\sigma}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o a
$[\frac{k-nm-\frac12}{\sqrt n\sigma},\frac{k-nm+\frac12}{\sqrt n\sigma}]$
intervallumban  veszi fel az \'ert\'ek\'et, azaz $S_n=k$,
k\"or\"ulbel\"ul annyi, mint annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o is ebben a kis
intervallumban veszi fel az \'ert\'ek\'et. Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig
$\Phi\(\frac{k-nm-\frac12}{\sqrt n\sigma}\)
-\Phi\(\frac{k-nm+\frac12}{\sqrt n\sigma}\)
\sim \frac1{\sqrt{2\pi n}\sigma}
\exp\left\{-\frac{(k-nm)^2}{2n\sigma^2}\right\}$. A lok\'alis
centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel ezt az
\'all\'{\i}t\'ast
mondja ki pontosabb form\'aban. A lok\'alis jelz\H{o} a t\'etelben
arra utal, hogy a $P(S_n=k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
viselked\'ese az $S_n$ eloszl\'as lok\'alis viselked\'es\'et
\'{\i}rja le.

A lok\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'anak az az alapgondolata, hogy a $P(S_n=k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket pontosan ki tudjuk sz\'amolni a
$\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\varphi(t)=Ee^{it\xi_1}=\summ_{k=-\infty}^\infty P(\xi_1=k)e^{itk}$
karakterisztikus f\"uggv\'enye seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Val\'oban,
$Ee^{itS_n}=\varphi^n(t)$, \'es a Fourier sorok egy\"utthat\'oit
kifejez\H{o} formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt kapjuk, hogy
$$
P(S_n=k)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-ikt}\varphi^n(t)\,dt. \tag5
$$
A feladat ezut\'an az, hogy adjunk j\'o aszimptotikus formul\'at
az (5) formula jobboldal\'an szerepl\H{o} integr\'alra. Ennek
\'erdek\'eben \'erdemes el\H{o}sz\"or az integr\'alban szerepl\H{o}
$\varphi^n(t)$ kifejez\'esre j\'o becsl\'est adni. Tudjuk, hogy
$\varphi(0)=1$, $\varphi'(0)=imt$, $\varphi''(0)=-m_2$. Ez\'ert
azt v\'arjuk, hogy kis $t$ \'ert\'ekekre a karakterisztikus
f\"uggv\'eny orig\'o k\"or\"uli Taylor sorfejt\'ese alapj\'an el\'eg
j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est kapunk a $\varphi(t)$ f\"uggv\'enyre,
illetve annak $n$-ik hatv\'any\'ara. A karakterisztikus
f\"uggv\'eny Taylor sorfejt\'ese azt sugallja, hogy
$\varphi^n(t)\sim\(1+imt-\frac{m_2t^2}2\)^n\sim e^{n(imt-m_2t^2/2)}$
el\'eg j\'o k\"ozel\'{\i}t\'es kis $t$ argumentumokra. Val\'oj\'aban
\'erdemes a fenti \'ervel\'es kiss\'e finom\'{\i}tott v\'altozat\'at
alkalmazni. C\'elszer\H{u} az alkalmas k\"ozel\'{\i}t\'es
kisz\'am\'{\i}t\'as\'aban nem a $\varphi(t)$, hanem a
$\log\varphi(t)$ Taylor sor k\"ozel\'{\i}t\'es\'evel dol\-goz\-ni
\'es  ut\'ana a $\varphi^n(t)=e^{n\log \varphi(t)}$ azonoss\'agot
haszn\'alni. De ez az elj\'ar\'as is csak kis $t$ param\'eterekre ad
j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est a $\varphi(t)^n$ mennyis\'egre, \'es
fel\-me\-r\"ul a k\'erd\'es, hogy hogyan tudjuk j\'ol becs\"ulni a
karakterisztikus f\"uggv\'enyt nem kis $t$ argumentumokra.

Ezen a ponton jelenik meg az a felt\'etel, hogy a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'as\'at
tartalmaz\'o legritk\'abb r\'acs az eg\'esz sz\'amok r\'acsa.
Arra, hogy a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o r\'acsos
eloszl\'as\'as\'u az\'ert volt sz\"uks\'eg, mert ez biztos\'{\i}tja
az (5) formula \'erv\'enyess\'eg\'et. A k\"ovetkez\H{o} lemm\'aban
bel\'atjuk, hogy a $\xi_1$ eloszl\'as\'anak el\H{o}bb eml\'{\i}tett
tulajdons\'ag\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy a $[-\pi,\pi]$ intervallumban,
azaz az (5) formul\'aban szerepl\H{o} integr\'al integr\'al\'asi
tartom\'any\'aban a $t=0$ pont az egyetlen olyan pont, ahol
$|\varphi(t)|=1$. Ennek a t\'enynek, illetve a karakterisztikus
f\"uggv\'eny folytonoss\'ag\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel
k\"onnyen bel\'athat\'o, hogy az $\e\le |t|\le\pi$ tartom\'any
hozad\'eka exponenci\'alisan kicsi az (5) formul\'aban
szerepl\H{o} integr\'alban minden $\e>0$ sz\'amra.

\medskip\noindent
{\bf Lemma egy r\'acsos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a
viselked\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa az eg\'esz
sz\'amok r\'acs\'ara, (mint legritk\'abb r\'acsra)
koncentr\'alva. Tekints\"uk a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et defini\'al\'o
$P(t)=\summ_{k=-\infty}^\infty e^{ikt}P(\xi=k)$
Fourier sort. A $P(t)$ Fourier sor peri\'odusa $2\pi$,
$P(0)=1$, $|P(t)|\le1$ minden val\'os $t$ sz\'amra, \'es
$|P(t)|<1$, ha $|t|\le\pi$, \'es $t\neq0$.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Ny\'{\i}lv\'anval\'o m\'odon
$|P(t)|\le1$ minden $t$ val\'os sz\'amra, \'es $P(0)=1$.
Mutassuk meg, hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'anak egy $h>0$ sz\'am akkor \'es csak akkor peri\'odusa,
azaz akkor \'es csak akkor koncentr\'al\'odik $\xi$ eloszl\'asa
valamely $kh+b$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ alak\'u halmazra, ha
$|Ee^{i2\pi\xi/h}|=1$. Val\'oban, ha $|Ee^{i2\pi\xi/h}|=1$, akkor
$Ee^{i2\pi\xi/h}=e^{i2\pi a}$, azaz $Ee^{i2\pi(\xi/h-a)}=1$
valamilyen, val\'os $a$ sz\'amra. Mivel $\Re e^{i2\pi x}\le1$
minden $x$ val\'os sz\'amra, \'es $\Re e^{i2\pi x}=1$ csak akkor
teljes\"ul, ha $x$ eg\'esz sz\'am, ez az azo\-nos\-s\'ag
csak akkor \'allhat fenn, ha a $\frac\xi h-a$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa a $k$,
$k=0,\pm1,\pm2,\dots$, pontokba van kon\-cent\-r\'al\-va, azaz a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $kh+b$,
$k=0,\pm1,\pm2,\dots$, r\'acsra van koncentr\'alva, ahol $b=ha$.
Megford\'{\i}tva, ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asa egy $kh+b$, $k=0,\pm1,\dots$, r\'acsra
van koncentr\'alva, akkor $|Ee^{i2\pi\xi}|=|e^{i2\pi b}|=1$.

Ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa
nincsen semmilyen $h>1$ sz\'eless\'eg\H{u} r\'acsra koncentr\'alva,
akkor az el\H{o}bbiek alapj\'an $|P(\frac{2\pi}h)|<1$ minden $h>1$
sz\'amra, teh\'at a lemma felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en
$|P(t)|<1$ minden $0<t<2\pi$, speci\'alisan minden $0<t\le \pi$
sz\'amra. Mivel $P(-t)=\overline{P(t)}$, ahol a fel\"ulvon\'as
komplex konjug\'altat jel\"ol, ez\'ert
$|P(t)|<1$, ha $|t|\le\pi$, \'es $t\neq0$. A lemm\'at
bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip
Mivel minden karakterisztikus f\"uggv\'eny folytonos, a fenti
lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy a {\it f\"uggetlen, egyforma,
r\'acsos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'ere megfogalmazott lok\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel}\/ felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en
minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $\delta=\delta(\e)>0$
sz\'am, amelyre a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\varphi(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'enye teljes\'{\i}ti a
$|\varphi(t)|\le (1-\delta)$ egyenl\H{o}tlens\'eget
minden $\e\le |t|\le \pi$ sz\'amra. Ez\'ert minden $\e>0$
sz\'amhoz l\'etezik olyan $0<\delta<1$ sz\'am, amelyre
$$
\left|\frac1{2\pi}\int_{\{t\colon\; \e\le |t|\le\pi\}}
e^{-ikt}\varphi^n(t)\,dt\right|\le (1-\delta)^n. \tag6
$$
Ez azt jelenti, hogy az (5) formula jobboldal\'an szerepl\H{o}
integr\'al becsl\'es\'eben el\'eg az integr\'alnak egy $[-\e,\e]$
intervallumba es\H{o} r\'esz\'ere j\'o becsl\'est adni. Ez, mint
jeleztem, lehets\'eges a karakterisztikus f\"uggv\'eny orig\'o
k\"or\"uli Taylor sorfejt\'ese seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A r\'eszletes
bizony\'{\i}t\'ast a kieg\'esz\'{\i}t\'esben adom meg.

Megjegyzem, hogy a Stirling formula bizony\'{\i}t\'as\'aban
hasonl\'o \'ervel\'est alkalmaztunk a Poisson eloszl\'asra.
Az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg az volt, hogy ott a karakterisztikus
f\"uggv\'enyre egyszer\H{u}, explicit formul\'at tudtunk adni,
ami egyszer\H{u}s\'{\i}tette a sz\'amol\'asokat.

\medskip
A r\'acsos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra
bizony\'{\i}tott lok\'alis centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt a Fourier sorok Fourier
egy\"utthat\'oit kifejez\H{o} (5) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel
tudjuk bi\-zo\-ny\'{\i}\-ta\-ni. Ismertetek egy
az (5) formul\'ahoz hasonl\'o eredm\'enyt, amely lehet\H{o}v\'e
teszi egy f\"uggv\'eny \'ert\'ekeinek kisz\'am\'{\i}t\'as\'at a
f\"uggv\'eny Fourier transzform\'altj\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip\noindent
{\bf Inverzi\'os formula egy f\"uggv\'eny Fourier
transzform\'alj\'ara.} {\it Legyen $f(x)$ integr\'alhat\'o
f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen, azaz tegy\"uk fel, hogy
$\int_{-\infty}^\infty |f(x)|\,dx<\infty$. Te\-kint\-s\"uk az
$f(\cdot)$ f\"uggv\'eny Fourier transzform\'altj\'at, azaz az
$\tilde f(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}f(x)\,dx$,
$-\infty<x<\infty$, f\"uggv\'enyt. Ha az $\tilde f(t)$ f\"uggv\'eny
szint\'en integr\'alhat\'o, azaz $\int_{-\infty}^\infty|\tilde
f(t)|\,dt<\infty$, akkor $f(x)$ a Lebesgue m\'ert\'ek szerint
majdnem minden $x\in R^1$ pontra megegyezik az al\'abbi folytonos
\'es korl\'atos f\"uggv\'ennyel:
$$
f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-itx}\tilde f(t)\,dt.
\tag7
$$
}

Ezen inverzi\'os formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'ere is lehet
lok\'alis cent\-r\'a\-lis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt
bizony\'{\i}tani. Ez azt \'all\'{\i}tja,
hogy f\"uggetlen, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszeg\'enek
a (l\'etez\H{o}) s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye alkalmas
felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en  minden $-\infty<x<\infty$
pontban konverg\'al az $f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$
standard norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyhez, \'es ez a
konvergencia egyenletes. Az eredm\'eny pontos megfogalmaz\'as\'at
\'es bizony\'{\i}t\'as\'at, amely a r\'acsos eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'er\H{o}l
sz\'ol\'o centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz hasonl\'o, \'es a (7) formul\'aban
fel\'{\i}rt integr\'al becsl\'es\'en alapul, elhagyom.

\beginsection N\'eh\'any a jegyzetben megfogalmazott eredm\'eny
bizony\'{\i}t\'asa.

El\H{o}sz\"or  a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'at
ismertetem.

\medskip\noindent
{\it Sz\'eriasorozatok sor\"osszegeir\H{o}l sz\'ol\'o centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel meg\-for\-d\'{\i}\-t\'a\-s\'anak
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-sa.} Jel\"olje $\varphi_{k,j}(t)$ a
$\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et. El\H{o}sz\"or azt mutatom meg, hogy a t\'etel
felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\Re(\varphi_{k,j}(t)-1)=
-\frac{t^2}2. \tag8
$$

Val\'oban a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l, illetve
abb\'ol a kiss\'e gyeng\'ebb \'all\'{\i}t\'asb\'ol, hogy a
$\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ sor\"osszegek eloszl\'asban
konverg\'alnak egy 1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} (ismeretlen $m$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}) norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz k\"ovetkezik, hogy
$$
\limm_{k\to\infty}\prod_{j=1}^{n_k}\varphi_{k,j}(t)=e^{-t^2/2+imt}
\quad\text{minden val\'os $t$ sz\'amra,}
$$
illetve el\H{o}sz\"or abszolut \'ert\'eket majd logaritmust v\'eve
$$
\limm_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}\Re(\log \varphi_{k,j}(t))=
-\frac{t^2}2 \quad\text {minden val\'os $t$ sz\'amra.}      \tag9
$$
Tov\'abb\'a az egyenletes kicsis\'eg felt\'etele miatt minden
$\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $k_0=k_0(\e)$ k\"usz\"obindex,
amelyre $E\xi_{k,j}^2\le\e$ minden $1\le j\le n_k$ indexre, ha
$k\le k_0$. Ez\'ert {\it a karakterisztikus f\"uggv\'eny
logaritmus\'anak a becsl\'es\'er\H{o}l} sz\'ol\'o lemma alapj\'an
minden $t>0$ \'es el\'eg kis $\e=\e(t)>0$ sz\'amhoz l\'etezik
olyan $k_0=k_0(\e)$ k\"usz\"obindex, amelyre
$|\Re(\log \varphi_{k,j}(t)+\Re(1-\varphi_{k,j}(t)))|\le
|\log \varphi_{k,j}(t)+(1-\varphi_{k,j}(t))|
\le\frac{ t^4}4\(E\xi_{k,j}^2\)^2\le \frac{\e t^4}4 E\xi_{k,j}^2$
minden $k\ge k_0$ \'es $1\le j\le n_k$ indexre. Ezen
egyenl\H{o}tlens\'egeket \"osszegezve, \'es felhaszn\'alva a
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$ rel\'aci\'ot,
azt kapjuk, hogy
$$
\limsupp_{k\to\infty}
\left|\summ_{j=1}^{n_k}\Re(\log \varphi_{k,j}(t))+\sum_{j=1}^{n_k}
\Re(1-\varphi_{k,j}(t))\right|\le\frac{\e t^4}4.
$$
Mivel ez a rel\'aci\'o minden $\e>0$ sz\'amra igaz, ez\'ert a (9)
rel\'aci\'oval egy\"utt implik\'alja a (8) formul\'at.

Mivel nagy $k$ indexre a sz\'eriasorozat sorainak az \"osszege
k\"ozel egy sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}, ez\'ert
a (8) formul\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k} E\(\cos
(t\xi_{k,j})-1+\frac{t^2\xi_{k,j}^2}2\)=0\quad
\text{minden $t\in R^1$ sz\'amra.} \tag10
$$
Vegy\"uk \'eszre, hogy $\cos u-1+\frac{u^2}2\ge 0$ minden
$u\in R^1$ sz\'amra. Val\'oban, az $F(u)=\cos u-1+\frac{u^2}2$
f\"uggv\'enyre $F''(u)=1-\cos u\ge0$ minden $u$ val\'os sz\'amra,
\'es $F(0)=F'(0)=0$. Innen az $F'(u)=\int_0^u F''(s)\,ds$
f\"uggv\'enyre $F'(u)\ge0$, ha $u\ge0$, \'es $F'(u)\le0$, ha
$u<0$. Hasonl\'oan, tov\'abbi integr\'al\'assal $F(u)\ge0$
minden $u$ sz\'amra. Ezenk\'{\i}v\"ul
$\cos u-1+\frac{u^2}2\ge -2+\frac{u^2}2\ge \frac {u^2}4$, ha
$|u|>3$. Ez\'ert a (10) formul\'aban szerepl\H{o}
v\'arhat\'o \'ert\'ekekre fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
&E\(\cos(t\xi_{k,j})-1+\frac{t^2\xi_{k,j}^2}2\)=
E\(\cos(t\xi_{k,j})-1+\frac{t^2\xi_{k,j}^2}2\)I(|t\xi_{k,j}|\le3)\\
&\qquad+E\(\cos(t\xi_{k,j})-1+\frac{t^2\xi_{k,j}^2}2\)I(|t\xi_{k,j}|>3)
\ge\frac{t^2}4E\xi_{k,j}^2I(|t\xi_{k,j}|>3).
\endalign
$$
Ezt felhaszn\'alva a (10) formul\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}
\frac{t^2}4E\xi_{k,j}^2 I\(\left\{|\xi_{k,j}|\ge \frac3t\right\}\)=0,
$$
azaz
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}
E\xi_{k,j}^2 I\(\left\{|\xi_{k,j}|\ge \frac3t\right\}\)=0
$$
minden $t$ sz\'amra. Innen $t=\frac3\e$ v\'alaszt\'assal megkapjuk
a t\'etel \'all\'{\i}t\'as\'at.

\medskip\noindent
Ismertetem m\'eg a k\"ovetkezez\H{o} bizony\'{\i}t\'ast is.

\medskip\noindent
{\it A lok\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'asa f\"uggetlen, egyforma, r\'acsos eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere.}
Az (5) formula alapj\'an
$$
P(S_n=k)=\int_{-\pi}^\pi \frac1{2\pi} e^{-ikt}
P^n(t)\,dt=\int_{|t|<\frac1{\e\sqrt n}}
+\int_{\frac1{\e\sqrt n}<|t|<\e}
+\int_{\e<|t|<\pi}=I_1+I_2+I_3,
$$
ahol $P(t)=\summ_{k=-\infty}^\infty e^{ikt}P(\xi_1=k)$,
\'es $\e>0$ tetsz\H{o}leges kis pozit\'{\i}v sz\'am. A t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben j\'o becsl\'est adunk az $I_1$,
$I_2$ \'es $I_3$ integr\'alokra.

Az $I_3$ integr\'alt m\'ar megbecs\"ult\"uk a (6) formul\'aban.
Az $I_1$ \'es $I_2$ integr\'alok ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-hoz
j\'o becsl\'est kell adnunk a $P^n(t)$
f\"uggv\'enyre, ha $|t|<\e$. K\'enyelmesebb a $\log P(t)$
f\"uggv\'ennyel dol\-goz\-ni. (Ez kis $\e>0$ sz\'amra lehets\'eges,
mert ebben az esetben a $P(t)$ f\"uggv\'eny \'ert\'eke  a $[-\e,\e]$
intervallumban szepar\'alva van null\'at\'ol.) Egyszer\H{u}
sz\'amol\'assal kapjuk, hogy
$$
\align
\frac{d\log P(t)}{dt}&=\frac{P'(t)}{P(t)},\qquad
\left.\frac{d\log P(t)}{dt}\right|_{t=0}=im,\\
\frac{d^2\log P(t)}{dt^2}&=\frac{P''(t)P(t)-P'(t)^2}{P^2(t)},\qquad
\left.\frac{d^2\log P(t)}{dt^2}\right|_{t=0}=-m_2+m^2=-\sigma^2,
\endalign
$$
ez\'ert az orig\'o k\"or\"uli Taylor sorfejt\'essel kapjuk, hogy
$$
\log P(t)=imt-\frac{\sigma^2}2t^2+o(t^2), \quad \text{ha }|t|<\e.
$$
Innen, mivel $|P^n(t)|=e^{n\Re \log P(t)}=e^{-n(\sigma^2t^2/2+o(t^2))}
\le e^{-n\sigma^2t^2/3}$, ha $|t|<\e$ \'es $n\ge n(\e)$, ez\'ert
$$
\align
|I_2|\le\frac1{2\pi}\int_{\frac1{\e\sqrt n}<|t|<\e}|P^n(t)|\,dt &\le
\frac1{2\pi}\int_{\frac1{\e\sqrt n}<|t|<\e}e^{-n\sigma^2t^2/3}\,dt \\
&\le\frac1{\pi\sqrt n}\int_{-\frac1\e}^\infty e^{-\sigma^2t^2/3}\,dt
\le e^{-\sigma^2/4\e^2}.
\endalign
$$
Tov\'abb\'a
$$
\align
I_1&=\int_{-\frac1{\e\sqrt n}}^{\frac1{\e\sqrt n}} \frac1{2\pi}
e^{-ikt+inmt-n\sigma^2t^2/2+o(nt^2)}\,dt\\
&=\int_{-\frac1\e}^{\frac1\e} \frac1{2\pi\sqrt n}
e^{i(mn-k)t/\sqrt n-\sigma^2t^2/2+o(t^2)}\,dt \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \frac1{2\pi\sqrt n}
e^{i(nm-k)t/\sqrt n-\sigma^2t^2/2}\,dt
-\int_{|t|>\frac1\e} \frac1{2\pi\sqrt n}
e^{i(nm-k)t/\sqrt n-\sigma^2t^2/2}\,dt \\
&\qquad\qquad +o\(\frac1{\sqrt n}\).
\endalign
$$
M\'asr\'eszt
$$
\left|\int_{|t|>\frac1\e} \frac1{2\pi\sqrt n}
e^{i(nm-k)t/\sqrt n-\sigma^2t^2/2}\,dt \right|\le e^{-\sigma^2/4\e^2}
$$
\'es az al\'abbi integr\'al exponens\'eben szerepl\H{o} kvadratikus
alakot kieg\'esz\'{\i}tve teljes n\'egy\-zet\-t\'e azt kapjuk, hogy
$$
\align
&\int_{-\infty}^{\infty} \frac1{2\pi\sqrt n}
e^{i(nm-k)t/\sqrt n-\sigma^2t^2/2}\,dt \\
&\qquad=\frac{e^{-(nm-k)^2/2n\sigma^2}} {2\pi\sqrt n}
\int_{-\infty}^{\infty}
\exp\left\{-\frac{\sigma^2}2\(t-i\frac{(nm-k)}{\sqrt
n \sigma^2}\)^2\right\}\,dt =\frac{e^{-(nm-k)^2/2n\sigma^2}}
{\sqrt{2\pi n}\sigma}
\endalign
$$
a komplex f\"uggv\'enytan integr\'al\'asi szab\'alyai szerint.
Egy\'ebk\'ent az utols\'o azonoss\'ag a norm\'alis eloszl\'as
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et kifejez\H{o} k\'eplet eredm\'enye
alapj\'an is l\'athat\'o. Ezek\-b\H{o}l a becsl\'esekb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy
$$
\left|I_1-\frac1{\sqrt{2\pi n}\sigma}\exp\left\{-\frac{(k-nm)^2}
{2n\sigma^2} \right\}\right|\le \const e^{-\sigma^2/4\e^2},
$$
ha $n>n(\e)$. Mivel az $I_1$, $I_2$ \'es $I_3$ kifejez\'esekre
adott becsl\'esek tetsz\H{o}legesen kicsi $\e>0$-ra \'erv\'enyesek,
ha $n=n(\e)$ el\'eg nagy, innen k\"ovetkezik a t\'etel
\'all\'{\i}t\'asa.

\beginsection N\'eh\'any tov\'abbi kieg\'esz\'{\i}t\H{o} megjegyz\'es.

T\'argyalok n\'eh\'any olyan probl\'em\'at \'es eredm\'enyt,
amelyek term\'eszetes m\'odon megjelennek a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel vizsg\'alata sor\'an. Ezen eredm\'enyek
t\"obbs\'eg\'et nem fogalmazom meg pontosan, \'es megel\'egszem
azok \'erv\'enyess\'eg\'enek egy heurisztikus indokl\'as\'aval.

L\'attuk, hogy a Fourier sorok Fourier egy\"utthat\'oit kifejez\H{o}
formula, illetve az inverz Fourier transzform\'aci\'ot kifejez\H{o}
formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'ugynevezett lok\'alis centr\'alis
eloszl\'ast\'etelt tudunk bizony\'{\i}tani f\"uggetlen, r\'acsos
eloszl\'as\'u vagy s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o}
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'ere. Az ilyen jelleg\H{u}  t\'etelek azt mondj\'ak ki,
hogy megfelel\H{o} felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
alkalmasan normaliz\'alt \"osszegeinek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye konverg\'al a standard nor\-m\'a\-lis
eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'ehez. A bizony\'{\i}t\'as
azon alapul, hogy a keresett s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enyt 
ki tudjuk fejezni egy alkalmas integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
amelynek a magf\"uggv\'eny\'eben szerepel a karakterisztikus
f\"uggv\'eny $n$-ik hatv\'any\'anak alkalmasan \'atsk\'al\'azott
alakja. N\'emi sz\'amol\'assal be lehet l\'atni, hogy 
\'ugynevezett szingul\'aris integr\'alokat kell vizsg\'alni, 
amelyeknek a l\'enyeges hozad\'eka a nulla kis k\"ornyezet\'ebe 
van koncentr\'alva, \'es az integr\'al marad\'ek r\'esze
elhanyagolhat\'oan kicsi. A karakterisztikus f\"uggv\'eny,
pontosabban a karakterisztikus f\"uggv\'eny logaritmus\'anak kis
\'ert\'ekeit j\'ol megbecs\"ulhetj\"uk e f\"uggv\'eny orig\'o
k\"or\"uli m\'asodik tagig vett Taylor sor fejt\'es\'enek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, \'es ez a k\"ozel\'{\i}t\'es lehet\H{o}v\'e 
teszi a  s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt kifejez\H{o} integr\'al 
olyan j\'o aszimptotikus becsl\'es\'et, amelyb\H{o}l k\"ovetkezik 
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.

Term\'eszetes gondolat, hogy a karakterisztikus f\"uggv\'eny
logaritmus\'anak t\"obb ta\-got tartalmaz\'o Taylor sor\'at
v\'eve pontosabb becsl\'est lehet adni e f\"uggv\'enyre, \'es 
ez\'altal f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'alt \"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'ere
is. Ez a program v\'egrehajthat\'o, \'es ilyen m\'odon alkalmas
felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en meg lehet adni ezen
normaliz\'alt \"osszeg s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek az
\'ugynevezett Edgeworth sorfejt\'es\'et. Ez egy olyan v\'eges
\"osszeg, amelynek az els\H{o}, azaz f\H{o} tagja a standard
norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ezt k\"oveti egy
korrekci\'os tag, amelyben $n^{-1/2}$-szer a standard nor\-m\'a\-lis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny van megszorozva egy alkalmas
polinommal. Ezt a k\"ozel\'{\i}t\'est eset\-leg m\'eg tov\'abb
finom\'{\i}thatjuk egy tov\'abbi korrekci\'os taggal, amelyben
$n^{-1}$-szer a standard norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny 
van megszorozva egy alkalmas polinommal. Ezt az elj\'ar\'ast 
tov\'abb  is folytathatjuk. A $k$-ik korrekci\'os tag 
$n^{-k/2}$-szer a standard norm\'alis 
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny megszorozva egy alkalmas polinommal.
Az els\H{o} $k$ korrekci\'os tagot figyelembe vev\H{o}
k\"ozel\'{\i}t\'es $n^{-(k+1)/2}$ pontoss\'aggal k\"ozel\'{\i}ti a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt, a benne szerepl\H{o} polinomok
explicit m\'odon kisz\'amolhat\'oak, \'es azon v\'eletlen
\"osszeg tagjainak az els\H{o} $k+2$ momentum\'at\'ol f\"uggnek,
amelynek a normaliz\'alt s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
vizsg\'aljuk.

Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy l\'etezik-e hasonl\'o Edgeworth
sorfejt\'es f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek az eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ere is. (Teh\'at nemcsak
a s\H{u}r\H{u}s\'eg, hanem az eloszl\'asf\"uggv\'enyre is
szeretn\'enk alkalmas sorfejt\'est tal\'alni.) Ilyen eredm\'enyt
is be lehet bizony\'{\i}tani, b\'ar ez a probl\'ema nehezebb. A
f\H{o} neh\'ezs\'eg abban rejlik, hogy az eloszl\'asf\"uggv\'enyt 
nem tudjuk a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyhez hasonl\'o viszonylag
egyszer\H{u} formul\'aval kifejezni a karakterisztikus f\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezen a probl\'em\'an alkalmas sim\'{\i}t\'asi
elj\'ar\'asok seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet seg\'{\i}teni. Ilyen
sim\'{\i}t\'asi elj\'ar\'asok seg\'{\i}ts\'eg\'evel az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek vizsg\'alat\'at vissza lehet vezetni a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek vizsg\'alat\'ara.

A fent eml\'{\i}tett k\'erd\'esek \'es eredm\'enyek els\H{o}sorban
elvi szempontb\'ol \'erdekesek, gyakorlati probl\'em\'akban ritk\'an
jelennek meg. Fontosabb a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'es vizsg\'alata.
Tekints\"uk f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $\xi_1,\xi_2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$,
$n=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegeit. A centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel j\'o aszimptotikus formul\'at ad a
$P\(\frac{S_n-nE\xi_1}{\sqrt {n\Var \xi_1}}>x\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre r\"ogz\'{\i}tett $x$ sz\'amra, ha
$n\to\infty$. Tudunk-e hasonl\'o aszimptotik\'at adni a
$P\(\frac{S_n-nE\xi_1}{\sqrt {n\Var \xi_1}}>x_n\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre akkor, ha $x_n\to\infty$, azaz az $n$
param\'eterrel egy\"utt az $x_n$ sz\'am is v\'egtelenhez tart?
K\"ul\"on\"osen fontos az az eset,
amikor $x_n=x\sqrt n$ valamely r\"ogz\'{\i}tett $x>0$ sz\'ammal.
Ez azt jelenti, hogy  a $P\(\frac{S_n-nE\xi_1}n>x\sqrt{\Var\xi_1}\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'ek\'ere vagyunk kiv\'ancsiak. A
nagy sz\'amok t\"orv\'enye azt mondja ki, hogy ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg null\'ahoz tart, ha $n\to\infty$.
De sze\-ret\-n\'enk tudni e konvergencia pontos nagys\'agrendj\'et is.
Erre a k\'erd\'esre kiel\'eg\'{\i}t\H{o} v\'alasz ismeretes, \'es
ezt a v\'alaszt a nagy elt\'er\'es t\'etelnek nevezik.
Megfogalmazom ezt a t\'etelt.

\medskip\noindent
{\bf Nagy elt\'er\'esek t\'etele f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere.}
{\it Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta, amelyekre
$E\xi_1=0$, \'es $R(t)=Ee^{t\xi_1}<\infty$ valamely $t>0$
sz\'ammal. Jel\"olje $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeit.
Ezek teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} aszimptotikus rel\'aci\'ot.
$$
\lim_{n\to\infty}-\frac1n\log P\(\frac{S_n}n>x\)=\rho(x)
\quad \text {minden $x>0$ sz\'amra,}
$$
ahol $\rho(x)=\supp_{t\colon\;t\ge0}(tx-\log R(t))$, \'es
$R(t)=Ee^{t\xi_1}$, ha $Ee^{t\xi_1}<\infty$, \'es $R(t)=\infty$
egy\'ebk\'ent. $\rho(x)>0$ minden $x>0$ sz\'amra, \'es
$\rho(x)=\frac{x^2}{2\Var\xi_1}+O(x^3)$ kis $x>0$ sz\'amokra.}
\medskip

A fenti t\'etel azt mondja ki, hogy r\"ogz\'{\i}tett $x>0$ sz\'amra
a $P\(\frac{S_n}n>x\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg exponenci\'alisan
kicsi az $n$ v\'altoz\'oban, \'es megadja az exponens
nagys\'agrendj\'et. Ezt a nagys\'agrendet a $\rho(x)$ f\"uggv\'eny
adja meg, amit az $R(t)$ f\"uggv\'eny Legendre
transzform\'altj\'anak neveznek az irodalomban. Kis $x$ sz\'amokra
ez a nagys\'agrend k\"or\"ulbel\"ul annyi, mint amennyit a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel sugall. Ezt fejezi ki a
$\rho(x)=\frac{x^2}{2\Var\xi_1}+O(x^3)$ aszimptotikus azonoss\'ag.
De ez csak k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg igaz. Be lehet l\'atni, hogy a
$\rho(x)$ f\"uggv\'eny \'ert\'ekei a nulla egy tetsz\H{o}leges kis
k\"ornyezet\'eben egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozz\'ak a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at. Megjegyzem
azt is, hogy a nagy elt\'er\'es t\'etel eredm\'enye l\'enyegesen
k\"ul\"onb\"ozik az Edgeworth sorfejt\'esben kapott
eredm\'enyt\H{o}l. Ott a $P(S_n>\sqrt nx)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre olyan aszimptotik\'at kaptunk,
amelynek a hibatagja $O(n^{-(k+1)/2}$ valamilyen r\"ogz\'{\i}tett
$k$ eg\'esz sz\'ammal. Ilyen pontoss\'ag\'u becsl\'esek semmit sem
mondanak olyan esetben, amikor exponenci\'alisan kicsi
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket becsl\"unk.

A nagy elt\'er\'es t\'etel felt\'etelei k\"oz\"ott szerepelt az
$Ee^{t\xi_1}<\infty$ egyenl\H{o}tlens\'eg valamely $t>0$
param\'eterrel. \'Erdemes ennek a felt\'etelnek a szerep\'et is
meg\'erteni. Eml\'ekeztetek arra, hogy a klasszikus centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'etelei k\"oz\"ott szerepelt a
Lindeberg felt\'etel, ami egy olyan jelleg\H{u} megk\"ot\'es volt,
hogy a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok csak kis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel lehetnek nagyon nagyok. Az
$Ee^{t\xi_1}<\infty$ felt\'etel egy hasonl\'o jelleg\H{u}, csak 
er\H{o}sebb megk\"ot\'est \'{\i}r el\H{o}. Val\'oban, a Markov
egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an e felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik,
hogy
$P(\xi_1>x)=P(e^{t\xi_1}>e^{tx})\le \frac{Ee^{t\xi_1}}{e^{tx}}
=\const e^{-tx}$, azaz a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o csak exponenci\'alisan kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
vesz fel nagy $x$ \'ert\'ekeket. A k\"ovetkez\H{o} p\'elda c\'elja
annak megvil\'ag\'{\i}t\'asa, hogy mi\'ert van sz\"uks\'eg a nagy
elt\'er\'es t\'etelben egy ilyen felt\'etelre.

\medskip
Tekints\"uk f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $\xi_1,\xi_2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan sorozat\'at, amelyben
a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
$f(x)=\const e^{-|x|^\alpha}$ alak\'u 
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye van valamely $0<\alpha<1$ 
param\'eterrel. (A $\const$ egy\"utthat\'ot \'ugy v\'alasztjuk, 
hogy $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny legyen.) Ekkor $E\xi_1=0$, 
(mert az $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny p\'aros), 
$E|\xi_1|^{k}<\infty$ minden $k>0$ sz\'amra, azaz $\xi_1$ minden 
momentuma v\'eges, de
$Ee^{t\xi_1}=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x)\,dx
\ge\const\int_0^{\infty} e^{tx-x^\alpha}\,dx=\infty$ minden
$t>0$ sz\'amra, azaz a nagy elt\'er\'es t\'etel felt\'etelei nem
teljes\"ulnek. Legyen $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$. Azt \'all\'{\i}tom,
hogy $P\(\frac{S_n}n>x\)\ge e^{-\const n^\alpha}$ minden $x>0$
sz\'amra valamely az $x$ sz\'amt\'ol f\"ugg\H{o} konstanssal, azaz
az ebben a p\'eld\'aban tekintett v\'eletlen \"osszeg nem
teljes\'{\i}ti a nagy elt\'er\'esek t\'etel becsl\'es\'et. A
$P\(\frac{S_n}n>x\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg t\'ul nagy, nem
exponenci\'alisan kicsi.

Val\'oban, p\'aross\'agi meggondol\'asok alapj\'an
$P\(\summ_{k=2}^n\xi_k\ge0\)=\frac12$, \'es
$$
\align
P\(\frac{S_n}n>x\)&\ge
P\(\xi_1>nx,\, \frac1n\summ_{k=2}^n\xi_k\ge0\)
=P(\xi_1>nx)P\(\frac1n\summ_{k=2}^n\xi_k\ge0\)\\
&=\frac12 P(\xi_1>nx)
=\frac12\int_{nx}^\infty f(x)\,dx\ge e^{-\const n^{\alpha}}
\endalign
$$
alkalmas konstanssal, amint \'all\'{\i}tottuk.

A lok\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel, illetve annak
finom\'{\i}t\'asaiban a s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny\-re 
a Fourier anal\'{\i}zis seg\'{\i}ts\'eg\'evel fel\'{\i}rt 
integr\'alok aszimptotik\'aj\'ara adtunk j\'o becs\-l\'est. Az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek aszimptotik\'aj\'at megad\'o centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak a 
h\'atter\'eben
is ezek a formul\'ak rejt\H{o}znek. Megpr\'ob\'alhatn\'ank ezen
formul\'ak alaposabb vizsg\'alat\'aval a nagy elt\'er\'esek
t\'etel\'et is bebizony\'{\i}tani. Egy ilyen m\'odszer azonban
nem m\H{u}k\"odik j\'ol. A probl\'em\'at az okozza, hogy olyan
integr\'alokat kell j\'ol becs\"ulni, amelyekben a (komplex sz\'am
\'ert\'ek\H{u}) integrandus nagyon er\H{o}sen oszcill\'al. Az
ilyen integr\'alok becsl\'es\'ere a komplex f\"uggv\'enytanban
kidolgozt\'ak az \'ugynevezett nye\-reg\-pont m\'odszert, \'es 
ennek alkalmaz\'as\'aval lehet a nagy elt\'er\'es t\'etelt is
bebizony\'{\i}tani. Az $R(t)=Ee^{t\xi_1}<\infty$ felt\'etelre
az\'ert van sz\"uks\'eg a bizony\'{\i}t\'asban, mert ez teszi
lehet\H{o}v\'e a komplex f\"uggv\'enytani m\'odszerek
alkalmaz\'as\'at. A r\'eszletek kidolgoz\'as\'at\'ol eltekintek.

\bye
