\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat nyolcadik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2007. m\'arcius 27.}

\beginsection A s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny fogalma

Az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'asban kimondott Fontos T\'etelnek nevezett
eredm\'eny, illetve annak \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-b\'ol
k\"ovetkezik, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak,
illetve egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et ki lehet
sz\'am\'{\i}tani csak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek az ismeret\'eben.

Gyakorlati szempontb\'ol, annak \'erdek\'eben, hogy a leggyakrabban
el\H{o}fordul\'o esetekben jobban tudjunk sz\'amolni, \'erdemes
bevezetni egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a definici\'oj\'at.
Ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a probl\'em\'akban felmer\"ul\H{o}
\'es sokszor k\'e\-nyel\-met\-le\-n\"ul kezelhet\H{o} Lebesgue
integr\'alokat \'at\'{\i}rjuk, mint (k\"oz\"ons\'eges) Riemann
integr\'alokat.

\medskip\noindent
{\bf S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek az $f(u)$, $-\infty<u<\infty$, f\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra
teljes\"ul az $$
F(x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du
$$
azonoss\'ag.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ T\"obbsz\"or fogunk besz\'elni egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l is. Ez azt jelenti, hogy e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et tekintj\"uk. Sok \'erdekes \'es
fontos  eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, de nem mindegyiknek. P\'eld\'aul egy
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
nincs s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel eloszl\'asf\"uggv\'enyek \'altal defini\'alt
integr\'alok kifejez\'es\'ere
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel .}
{\it Ha egy $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
l\'etezik $f(u)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor minden
(m\'erhet\H{o}) $g(\cdot)$ f\"uggv\'enyre teljes\"ul a k\"ovetkez\H{o}
azonoss\'ag:
$$
\int_{-\infty}^\infty g(u)F(\,du)=
\int_{-\infty}^\infty g(u)f(u)du.
$$
Ez az azonoss\'ag \'ugy \'ertend\H{o}, hogy az azonoss\'ag k\'et
oldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'es egyszerre l\'etezik vagy nem
l\'etezik, ha mind a k\'et kifejez\'est mint Lebesgue integr\'alt
\'ertelmezz\"uk. Ha a jobboldalon szerepl\H{o} integr\'al l\'etezik
mint (k\"oz\"ons\'eges) Riemann integr\'al, akkor ez az integr\'al
tekinthet\H{o} \'ugy is mint (egy a Riemann integr\'al \'ert\'ek\'evel
megegyez\H{o}) Lebesgue integr\'al. Teh\'at az azonoss\'ag ebben a
fontos speci\'alis esetben is \'erv\'enyes.} \medskip

Annak \'erdek\'eben, hogy meg\'erts\"uk, hogyan tudjuk egy
eloszl\'asf\"uggv\'eny s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et
kisz\'am\'{\i}tani, id\'ezz\"uk fel a klasszikus anal\'{\i}zis egyik
alapvet\H{o} eredm\'eny\'et, a Newton--Leibniz formul\'at.

Kiss\'e(?) pontatlanul a Newton--Leibniz formul\'at \'ugy
fogalmazhatjuk meg, hogy a differenci\'al\'as \'es integr\'al\'as
egym\'as inverzei, azaz egy f\"uggv\'eny
differenci\'alh\'anyados\'anak az integr\'alja, illetve a
f\"uggv\'eny integr\'alj\'anak a differenci\'alh\'anyadosa
egyenl\H{o} a kiindul\'o f\"uggv\'ennyel. Pontosabb megfogalmaz\'as
eset\'en a k\"ovetkez\H{o} t\'enyeket figyelembe kell venni.

\medskip\noindent
\item{a)} Egy f\"uggv\'eny differenci\'alh\'anyadosa nem v\'altozik,
ha hozz\'aadunk egy konstanst. Ennek a t\'enynek az felel meg az
integr\'al\'asn\'al, hogy egy f\"uggv\'eny $\int_a^x f(u)\,du$ (az
$x$ v\'altoz\'o szerinti) hat\'arozatlan integr\'alja f\"ugg az
integr\'al\'as $a$ als\'o hat\'ar\'at\'ol, ha az $a$ konstanst
megv\'altoztatjuk, akkor a hat\'arozatlan integr\'al \'ert\'ek\'ehez
egy konstans ad\'odik hozz\'a. \item{b)} Nem minden f\"uggv\'eny
differenci\'alhat\'o. E t\'eny integr\'al\'asra vonatkoz\'o
megfelel\H{o}je az, hogy egy hat\'arozatlan integr\'al folytonos
f\"uggv\'eny, s\H{o}t enn\'el er\H{o}sebb simas\'agi
tulajdons\'agot is teljes\'{\i}t. (Ennek az er\H{o}sebb
simas\'agi tulajdons\'agnak a pontos megfogalmaz\'asa a
m\'ert\'ekelm\'elet t\'argya, ezzel a k\'erd\'essel itt nem
foglalkozunk.) Ezenk\'{\i}v\"ul vegy\"uk \'eszre azt is, hogy egy
f\"uggv\'eny hat\'arozatlan integr\'alja nem v\'altozik, ha
a f\"uggv\'eny \'ert\'ek\'et v\'eges sok pontban megv\'altoztatjuk.

\medskip
Megfogalmazom a Newton--Leibniz formul\'at r\'eszletesebben. A
modern ma\-te\-ma\-ti\-k\'a\-ban (a m\'ert\'ekelm\'eletben) ennek
az eredm\'enynek pontosabb, \'altal\'anosabb v\'altozat\'at
bizony\'{\i}tj\'ak be.

\medskip\noindent
{\bf Newton--Leibniz formula.} {\it Legyen $F(x)$ folytonos
f\"uggv\'eny egy $[a,b]$ v\'eges intervallumon, amely v\'eges sok pont
kiv\'etel\'evel folytonosan deriv\'alhat\'o. Legyen
$f(u)=\left.\frac{dF(x)}{dx}\right|_{x=u}$ minden pontban, ahol az
$F(\cdot)$ differenci\'alhat\'o. Ekkor $F(x)-F(a)=\int_a^x f(u)\,du$
minden $a\le x\le b$ sz\'amra. Tov\'abb\'a, ha a fenti felt\'etel
teljes\"ul minden v\'eges $[a,b]$ intervallumban, \'es l\'etezik a
$F(-\infty)=\limm_{x\to -\infty} F(x)$ hat\'ar\'ert\'ek, akkor
$F(x)-F(-\infty)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$ minden
$-\infty<x<\infty$ sz\'amra.

Megford\'{\i}tva, ha $f(u)$, (pontosabban annak abszolut \'ert\'eke)
integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny egy $[a,b]$ intervallumban, \'es
$F(x)=\int_a^x f(u)\,du$, $a\le x\le b$, akkor
$f(u)=\left.\frac{dF(x)}{dx}\right|_{x=u}$ (majdnem) minden $a\le
u\le b$ pontban. Ha az $f(u)$ f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o az eg\'esz
sz\'amegyenesen, akkor a fenti \'all\'{\i}t\'as igaz $a=-\infty$
v\'alaszt\'assal is.}
\medskip\noindent
{\it 1.~ megjegyz\'es.}\/ A Newton--Leibniz formula jelent\H{o}s\'ege
sz\'amunkra az, hogy eszerint az eredm\'eny szerint a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny (felt\'eve, hogy az l\'etezik)
egyenl\H{o} az eloszl\'asf\"uggv\'eny deriv\'altj\'aval.
Megford\'{\i}tva, a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny ismeret\'eben meg
tudjuk hat\'arozni az eloszl\'asf\"uggv\'enyt. Annak \'ert\'eke az
$x$ pontban megegyezik a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
in\-teg\-r\'al\-j\'a\-val a $[-\infty,x]$ intervallumban.
\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es.}\/ A m\'ert\'ekelm\'eletben
bebizony\'{\i}tott\'ak a Newton--Leibniz formula \'elesebb
form\'aj\'at is. Pontosan le\'{\i}rt\'ak azon f\"uggv\'enyek
oszt\'aly\'at, az \'ugynevezett abszolut foly\-to\-nos
f\"uggv\'enyeket, amelyekre igaz, hogy a f\"uggv\'eny egyenl\H{o}
a deriv\'altj\'anak a (Lebesgue) integr\'alj\'aval. Az \'altalunk
kimondott eredm\'eny csak egy el\'egs\'eges felt\'etelt ad arra,
hogy egy $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}tse ezt a
tulajdons\'agot. Viszont ez az eredm\'eny al\-kal\-maz\-hat\'o a
gyakorlatban el\H{o}fordul\'o feladatok majdnem mindegyik\'ere.

A kimondott t\'etelben meg\-en\-ged\-t\"uk, hogy az $F(\cdot)$
f\"uggv\'eny n\'eh\'any pontban ne legyen dif\-fe\-ren\-ci\'al\-hat\'o.
Ezt az\'ert tett\"uk, hogy ne z\'arjunk ki n\'eh\'any \'erdekes esetet.
Ilyen eset p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny: $F(x)=0$, ha $x\le0$, $F(x)=x$, ha $0\le
x\le1$, \'es $F(x)=1$, ha $x\ge1$. Ennek az eloszl\'asf\"uggv\'enynek
a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az az $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny,
amelyre $f(u)=1$, ha $0\le u\le1$, \'es $f(u)=0$ k\"ul\"onben. Ebben
az esetben az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny folytonosan deriv\'alhat\'o
minden\"utt, kiv\'eve az $x=0$ \'es $x=1$ pontot. \medskip\noindent
{\it 3.~megjegyz\'es:}\/ A Newton--Leibniz formula m\'asodik
r\'esz\'eben megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as sze\-rint egy $f(\cdot)$
f\"uggv\'eny integr\'alj\'anak a deriv\'altja csak {\it majdnem}\/
minden\"utt egyezik meg az eredeti $f(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel.
Val\'oban, kiss\'e \'ovatosabban kell megfogalmazni az
\'all\'{\i}t\'asokat, mert ha p\'eld\'aul egy f\"uggv\'enyt v\'eges
sok pontban megv\'altoztatunk, akkor annak integr\'alja megegyezik
az eredeti f\"uggv\'eny integr\'alj\'aval. Ez azt jelenti, hogy nem
v\'arhatjuk azt, hogy egy f\"uggv\'eny  integr\'alj\'anak a
deriv\'altja minden pontban meg\-egyez\-zen az eredeti
f\"uggv\'ennyel. Viszont ez az \'all\'{\i}t\'as igaz {\it majdnem
minden}\/ pontban. Azt, hogy mit jelent a ,,majdnem minden" kit\'etel
pontosan elmagyar\'azz\'ak a m\'er\-t\'ek\-elm\'e\-let\-ben,
de ez nem t\'em\'aja a mostani el\H{o}ad\'asnak.
\medskip

Az eloszl\'asf\"uggv\'enyekhez hasonl\'oan a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket is lehet pontosan
jellemezni. Err\H{o}l sz\'ol az al\'abbi t\'etel.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek jellemz\'es\'er\H{o}l.}
{\it Egy $f(\cdot)$ (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny
akkor \'es csak akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy
al\-kal\-mas eloszl\'asf\"uggv\'enynek, ha $f(u)\ge0$ majdnem minden
$-\infty<u<\infty$ sz\'amra, \'es $\int_{-\infty}^\infty f(u)\,du=1$.}

\medskip
Ezt a t\'etelt nem neh\'ez bebizony\'{\i}tani n\'eh\'any alapvet\H{o}
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel, de most
elhagyom a bizony\'{\i}t\'ast. K\"ul\"on t\'etelben megfogalmazom
azt az eredm\'enyt, amely megadja, hogyan lehet kisz\'amolni egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as vagy
s\H{u}r\'es\'egf\"uggv\'eny\'enek az ismeret\'eben. Ez k\"ozvetlen
k\"ovetkezm\'enye n\'eh\'any kor\'abban megfogalmazott eredm\'enynek.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel v\'arhat\'o \'ert\'ek kisz\'amol\'as\'ar\'ol a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}
{\it Jel\"olje $F(\cdot)$ illetve $f(\cdot)$ egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as illetve
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Legyen $g(\cdot)$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen. Ekkor
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty uF(\,du)=\int_{-\infty}^\infty u f(u)\,du
$$
\'es
$$
Eg(\xi)=\int_{-\infty}^\infty g(u)F(\,du)=\int_{-\infty}^\infty g(u)
f(u)\,du
$$
}\medskip

Tov\'abb\'a, ha ismerj\"uk egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et, akkor k\"onnyen kisz\'amolhatjuk
annak s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et is. Ezt az eredm\'enyt, amely
a New\-ton--Leib\-niz formula egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye k\"ul\"on 
lemm\'aban mondom ki.

\medskip\noindent
{\bf Lemma s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny kisz\'am\'{\i}t\'as\'ar\'ol.}
{\it Ha egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x)$, akkor a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye az $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$, 
$-\infty<x<\infty$, f\"uggv\'eny.}

Az eloszl\'asf\"uggv\'eny jellemz\'es\'ehez hasonl\'oan jellemezni 
lehet azokat a f\"uggv\'enyeket, amelyek tekinthet\H{o}ek, mint
egy alkalmas eloszl\'asf\"uggv\'eny s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
Ez az eredm\'eny egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye az 
eloszl\'asf\"ugv\'enyek jellemz\'es\'er\H{o}l \'es az eloszl\'as
\'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek kapcsolat\'ar\'ol sz\'ol\'o 
eredm\'enynek. Ez\'ert az \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'at
elhagyom.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek jellemz\'es\'er\H{o}l.}
{\it Egy a sz\'amegyenesen defini\'alt $f(x)$ f\"ugg\-v\'eny\-hez 
akkor \'es csak akkor l\'etezik valamely $(\Omega,\Cal A,P)$ 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n defini\'alt
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, amelynek ez a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha ez a f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti 
a k\"ovetkez\H{o} k\'et felt\'etelt.

\medskip
\item{a)} $f(x)\ge0$ a sz\'amegyenes (majdnem) minden $x$ pontj\'aban.
\item{b)}
$$
\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1.
$$
}

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{1.)} Legyen $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok.
Ha\-t\'a\-roz\-zuk meg az $a\xi+b$ \'es $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $F(x)=P(\xi<x)=\int_{-\infty}^x
f(u)\,du$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor az $\eta=a\xi+b$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye a
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi<\frac{x-b}a\)=F\(\frac{x-b}a\)$ f\"uggv\'eny,
ha $a>0$, \'es
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi>\frac{x-b}a\)=1-F\(\frac{x-b}a\)$, ha $a<0$.
Innen $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\frac{dG(x)}{dx}=\frac1{|a|}f\(\frac{x-b}a\)$.
\item{} A $\zeta=\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
G(x)=P(\xi^2<x)=P\(-\sqrt x<\xi<\sqrt x\)=F\(\sqrt x\)-F\(-\sqrt x\),
$$
ha $x\ge 0$, \'es $G(x)=0$, ha $x<0$. Innen deriv\'al\'assal $\zeta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\frac1{2\sqrt x}\(f\(\sqrt
x\)+f\(-\sqrt x\)\)$, ha $x>0$, $g(x)=0$, ha $x\le0$.

\beginsection N\'eh\'any fontos folytonos eloszl\'as.

\item{a.)} {\it Norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny.}

\medskip\noindent
Bevezetem a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
definici\'oj\'at. K\'es\H{o}bbi ered\-m\'e\-nyek\-b\H{o}l fog
kider\"ulni, hogy ez az eloszl\'as mi\'ert j\'atszik fontos
szerepet a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban.

\medskip\noindent
{\bf A standard norm\'alis eloszl\'as definici\'oja.} {\it
A $\Phi(x)$ standard norm\'alis eloszl\'as az az
eloszl\'as, amelynek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
$\varphi(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}$, $-\infty<u<\infty$
f\"uggv\'eny.}

\medskip\noindent
E definici\'o helyess\'eg\'enek igazol\'as\'ahoz meg kell mutatni,
hogy a fent defini\'alt $\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'eny val\'oban
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ennek \'erdek\'eben be kell
bizony\'{\i}tani a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}
$$
\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}\,du=1.
$$
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Vezess\"uk be az
$I=\dsize\int_{-\infty}^\infty\frac1
{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}\,du$ jel\"ol\'est. Ekkor
$$
\align
I^2&=\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du
\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}} e^{-v^2/2}\,dv
=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\frac1{2\pi}
e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv\\
&=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty\frac1{2\pi}
re^{-r^2/2} \,dr\,d\varphi=\int_0^\infty re^{-r^2/2}\,dr
=\[-e^{-r^2/2}\]_0^\infty=1.
\endalign
$$
Ebben a sz\'amol\'asban az $I^2$ mennyis\'eget kifejez\H{o} az
$(u,v)$ t\'erben megadott kett\H{o}s integr\'alt kifejezt\"uk mint
az $(r,\varphi)$ pol\'arkoordin\'atarendszerben, $u=r\cos\varphi$,
$v=r\sin\varphi$, $0\le r<\infty$, $0\le\varphi<2\pi$, kifejezett
integr\'alt. Ezen sz\'amol\'as sor\'an felhaszn\'aljuk, hogy a
pol\'arkkoordin\'ata rendszerbe val\'o \'att\'er\'est le\'{\i}r\'o
transzform\'aci\'o Jacobianja $r$, azaz form\'alisan
$\,du\,dv=r\,dr\,d\varphi$. Ez\'ert jelenik meg egy $r$ szorz\'o az
integr\'alban a pol\'arkoordin\'atarendszerbe val\'o
\'att\'er\'eskor. Ezt az integr\'altranszform\'aci\'okr\'ol sz\'ol\'o
ered\-m\'enyt, illetve annak szeml\'eletes tartalm\'at a
kieg\'esz\'{\i}t\'esben magyar\'azom el.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Term\'eszetesnek l\'atsz\'odna a fent
kimondott t\'etelt \'ugy bebizony\'{\i}tani, hogy
kisz\'am\'{\i}tjuk a $\varphi(x)$ f\"uggv\'eny
$\Phi(x)=\int_{-\infty}^x \frac{e^{-u^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,du$
primit\'{\i}v f\"uggv\'eny\'et, \'es ebbe a k\'epletbe $x=\infty$
\'ert\'eket helyettes\'{\i}t\"unk. Erre azonban nem vagyunk k\'epesek,
mert a fenti primit\'{\i}v f\"uggv\'enyt nem tudjuk kisz\'am\'{\i}tani.
Be lehet l\'atni, hogy ez a primit\'{\i}v f\"uggv\'eny nem
\'{\i}rhat\'o fel szok\'asos f\"uggv\'enyek \'es m\H{u}veletek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel z\'art alakban. Ez azonban m\'ely
matematikai eredm\'enyek felhaszn\'al\'as\'at ig\'enyli. (A Galois
elm\'eletet kell haszn\'alni.)

\medskip
Megmutatom, hogy egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla,
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete 1. Ez az oka a standard jelz\H{o}nek a
standard norm\'alis eloszl\'as definici\'oj\'aban.

Val\'oban, $E\xi=0$, mert $E\xi=\int_{-\infty}^\infty
u\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du$, \'es ez az integr\'al nulla,
mert az integrandus p\'aratlan f\"uggv\'eny. Ezut\'an parci\'alis
in\-teg\-r\'a\-l\'as\-sal kapjuk $f(x)=x$ \'es $g(x)=
\frac1{\sqrt{2\pi}}x e^{-x^2/2}=\frac d{dx}\(-\frac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-x^2/2}\)$ v\'alaszt\'assal, hogy
$$
E\xi^2=\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}}x^2 e^{{-x^2/2}}\,dx=
\[-\frac x{\sqrt{2\pi}} e^{{-x^2/2}}\]_{-\infty}^\infty+\int_{-\infty}
^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-x^2/2}}\,dx=1.
$$
Innen $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2=1$.

\medskip
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{2.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $m$, $\sigma$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ sz\'or\'asn\'egyzete
$\sigma^2$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig
$g(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}|\sigma|}e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $E(\sigma\xi+m)=\sigma E\xi+m=m$, \'es
$\Var(\sigma\xi+m)=\sigma^2 \Var\xi=\sigma^2$. Tov\'abb\'a, az
els\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an a $\sigma\xi+m$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
az $f(x)=\frac1{\sigma}\varphi\(\frac{x-m}\sigma\)$, ahol
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
A fenti feladat eredm\'enye alapj\'an egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot akkor nevez\"unk nor\-m\'a\-lis eloszl\'as\'unak, ha
van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az
$g(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$ alakban
adhat\'o meg alkalmas $m$ \'es $\sigma>0$ sz\'amokkal. A k\'epletben
szerepl\H{o} $m$ \'es $\sigma^2$ sz\'amok megegyeznek a norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'er\'ek\'evel \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'evel. Ez speci\'alisan
azt is jelenti, hogy egy norm\'alis eloszl\'ast k\'et param\'eter
meghat\'arozza annak v\'arhat\'o \'er\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete.
\medskip

\item{3.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor$E\xi^{2k-1}=0$
$E\xi^{2k}=1\cdot3\cdots (2k-1)$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\xi^{2k-1}=\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=0,
$$
mert az integrandus p\'aratlan f\"uggv\'eny. M\'asr\'eszt
parci\'alis integr\'al\'assal $f(x)=x^{2k-1}$ \'es $g(x)=
x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}= \frac d{dx}\(-
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)$  kapjuk, hogy
$$
\align
E\xi^{2k}&=\int_{-\infty}^\infty x^{2k}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=
\int_{-\infty}^\infty (2k-1) x^{2k-2}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx\\
&=(2k-1)E\xi^{2k-2}.
\endalign
$$
Innen $k$ szerinti indukci\'oval kapjuk a feladat m\'asodik
\'all\'{\i}t\'as\'at.
\item{4.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen
$\xi$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$,
\'es legyen $t$ val\'os sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
E e^{t\xi}&=\int_{-\infty}^\infty
e^{tu}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du
=\int_{-\infty}^\infty
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{tu-u^2/2-t^2/2+t^2/2}\,du \\
&=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(t-u)^2/2}\,du
=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=e^{t^2/2}.
\endalign
$$
\item{5.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m=2$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es $\sigma^2=3$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
Sz\'amoljuk ki a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$E\xi^4$ negyedik momentum\'at.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tudjuk, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}
=\frac1{\sqrt{6\pi}}e^{-(x-2)^2/6},
$$
ahonnan $E\xi^4=\int_{-\infty}^\infty
x^4\frac1{\sqrt{6\pi}}e^{-(x-2)^2/6}\,dx$. Ezt az integr\'alt ki
tudjuk sz\'amolni hasonl\'oan a standard norm\'alis eloszl\'as
momentumaihoz, s\H{o}t a sz\'amol\'ast egyszer\H{u}en
visszavezethetj\"uk az ilyen momentumok kisz\'amol\'as\'ara,
az $u=\frac{x-2}{\sqrt3}$ helyettes\'{\i}t\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Val\'oj\'aban egyszer\H{u}bben is
megoldhatjuk a feladatot a k\"ovetkez\H{o} m\'odon.
Vezess\"unk be egy $\eta$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, \'es legyen
$\bar\xi=\sqrt3\eta+2$. Ekkor $\bar\xi$ \'es $\xi$ eloszl\'asa
megegyezik, mivel mindkett\H{o} norm\'alis eloszl\'as\'u $m=2$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\sigma^2=3$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
Innen $E\xi^4=E\bar\xi^4=E(\sqrt3\eta+2)^4=9E\eta^4+
24\sqrt3E\eta^3+72E\eta^2+32\sqrt3E\eta+16=9E\eta^4+72E\eta^2+16=
27+72+16=105$ a m\'asodik feladat eredm\'enye alapj\'an.

\medskip\noindent
\item{b.)} {\it Egyenletes eloszl\'asf\"uggv\'eny.}

\medskip\noindent
{\bf Egyenletes eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egyenletes
eloszl\'as\'u egy $[a,b]$ intervallumban, $-\infty<a<b<\infty$, ha
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(u)=\frac1{b-a}$, ha $a\le
u\le b$, \'es $f(u)=0$ egy\'ebk\'ent.}
\medskip
Kisz\'am\'{\i}tjuk egy az $[a,b]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$$
E\xi=\int_a^b u\frac1{b-a}\,du=\frac1{b-a}\[\frac{u^2}2\]_a^b
=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)} =\frac{b+a}2,
$$
$$
\align
\Var\xi&=E\(\xi-\frac{b+a}2\)^2=\int_a^b \(u-\frac{b+a}2\)^2\frac1{b-a}\,du
=\frac1{b-a}\int_{-\frac{b-a}2}^{\frac{b-a}2}
u^2\,du\\
&=\frac1{b-a}\[\frac{u^3}3\]_{-\frac{b-a}2}^{\frac{b-a}2}=
\frac2{3(b-a)}\(\frac{b-a}2\)^3=\frac{(b-a)^2}{12}.
\endalign
$$

\vfill\eject

{\it Feladatok:}
\medskip
\item{6.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[0,1]$ intervallumban, azaz
legyen $f(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le
x\le 1$, $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Els\H{o} megold\'as:}\/
$$
\Var \xi^2=E\(\(\xi^2\)^2\)-\(E\xi^2\)^2=E\xi^4-\(E\xi^2\)^2
=\int x^4 f(x)\,dx-\(\int x^2 f(x)\,dx\)^2,
$$
ahol $f(x)=1$, ha $0\le x\le1$,
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent, azaz $f(x)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen $E\xi^2=\int_0^1
x^2\,dx=\frac13$, \'es $\Var\xi^2=\int_0^1
x^4\,dx-\(\int_0^1x^2\,dx\)^2=\frac
15-\(\frac13\)^2=\frac15-\frac19=\frac4{45}$.
 \item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki
el\H{o}sz\"or a $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as \'es s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
A $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
F(x)=P(\xi^2<x)=P(-\sqrt x<\xi<\sqrt x)
=P(0\le \xi\le \sqrt x)=\sqrt x,\quad \text{ha } 0\le x\le 1,
$$
$F(x)=0$, ha $\xi<0$, $F(x)=1$, ha $x>1$. Innen a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac1{2\sqrt x}$, ha $0\le
x\le 1$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Ez\'ert
$$
E\xi^2=\int_0^1 x\frac1{2\sqrt
x}\,dx=\frac12\cdot\frac23=\frac13,
$$
\'es
$$
\Var\xi^2=\int_0^1 x^2\frac1{2\sqrt x}\,dx-\(\int_0^1 x\frac1{2\sqrt
x}\,dx\)^2=\frac12\cdot\frac25-\(\frac12\cdot\frac23\)^2=\frac4{45}.
$$
\medskip\noindent

\medskip\noindent
\item{c.)} {\it Exponenci\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny.}

\medskip\noindent
{\bf Exponenci\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it
Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o exponenci\'alis
eloszl\'as\'u $\lambda$ param\'eterrel, $\lambda>0$, ha
eloszl\'asf\"uggv\'enye, $F(x)=P(\xi<x)=1-e^{-\lambda x}$, ha
$x\ge0$, \'es $F(x)=P(\xi<x)=0$, ha $x<0$. Ezzel ekvivalens
jellemz\'es: Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda>0$
param\'eterrel, ha l\'etezik $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az $f(u)=\lambda e^{-\lambda u}$,
ha $u\ge 0$, $f(u)=0$, ha $u\le0$ alak\'u.} \medskip
Sz\'amoljuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u} $\xi$
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

Parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
E\xi=\int_0^\infty u\lambda e^{-\lambda u}\,du=
\frac1\lambda\int_0^\infty u e^{-u}\,du=
\frac1\lambda\(\[-u e^{-u}\]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-u}\,du\)
=\frac1\lambda,
$$
$$
E\xi^2=\int_0^\infty u^2\lambda e^{-\lambda u}\,du
=\frac1{\lambda^2}\(\[-u^2e^{-u}\]_0^\infty
+\int_0^\infty 2u e^{-u}\,du\)=\frac2{\lambda^2}.
$$
Ez\'ert $\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\frac2{\lambda^2}
-\frac1{\lambda^2}=\frac1{\lambda^2}$.
\medskip
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{7.)} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait.
\item{} {\it Megold\'as:}
$$
E\xi^k=\int_0^\infty u^k\lambda e^{-\lambda u}\,du
=\frac1{\lambda^k}\(\[-u^k e^{-u}\]_0^\infty
+\int_0^\infty ku^{k-1} e^{-u}\,du\)=\frac k{\lambda^k}E\xi_1^{k-1},
$$
ahol $\xi_1$ egy exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel. Innen $k$ szerinti induci\'oval
$E\xi_1^k=k!$, $E\xi^k=\frac{k!}{\lambda^k}$.
\item{8.)} Mutassuk meg, hogy egy exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} \'ugynevezett \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)=P(\xi>x)
$$
minden $x\ge0$ \'es $y\ge0$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Mivel $P(\xi>u)=e^{-\lambda u}$ minden
$u\ge 0$ sz\'amra, ez\'ert
$P(\xi>x+y|\xi>y)=\frac{e^{-\lambda(x+y)}}{e^{-\lambda y}}
=e^{-\lambda x}=P(\xi>x)$.
\medskip
{\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
teljes\H{u}ti az \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot, akkor az
exponenci\'alis eloszl\'as\'u. \medskip

Ezenk\'{\i}v\"ul megbesz\'elt\"uk az \"or\"okifj\'u tulajdons\'ag
szeml\'eletes tartalm\'at. Tekints\"unk egy szem\'elyt vagy t\'argyat
amelynek \'elettartama v\'eletlen $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Te\-kint\-s\"uk a  $\xi+y$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o felt\'eteles eloszl\'as\'at azon felt\'etel mellett,
hogy $\xi>y$,
azaz azt milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel fog az a szem\'ely vagy
t\'argy legal\'abb m\'eg $x$ ideig \'elni, felt\'eve, hogy meg\'elte
az $y$ id\H{o}pontot. Ha ez a felt\'eteles eloszl\'as nem f\"ugg
az $y$ \'ert\'ekt\H{o}l, akkor azt mondjuk, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti az
\"or\"okifj\'u tulajdons\'agot. A fenti feladatban ezt a
tulajdons\'agot fogalmaztuk meg form\'alisan.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A 6. el\H{o}ad\'as nyolcadik feladat\'aban
l\'attuk, hogy a geometriai eloszl\'as teljes\'{\i}ti az \"or\"okifj\'u
tulajdons\'ag diszkr\'et v\'altozat\'at, azaz a
$P(\xi>x+y|\xi>y)=P(\xi>y)$ azonoss\'agot akkor, ha $x$ \'es $y$ csak
nem-negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vehetnek fel.

\medskip
\item{9.)} Mutassuk meg, hogy l\'etezik olyan $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} szuper \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)>P(\xi>x)
$$
minden $x>0$ \'es $y>0$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o olyan, hogy
$P(\xi>x)=e^{-\sqrt x}$, ha $x\ge0$ \'es $P(\xi>x)=1$, ha $x<0$.
Ekkor $P(\xi>x+y|x>y)=e^{-\sqrt{x+y}+\sqrt y}$, ha $x>0$, $y>0$.
Ez\'ert el\'eg megmutatni, hogy
$e^{-\sqrt{x+y}+\sqrt y}>e^{-\sqrt y}$, illetve hogy
$\sqrt{x+y}<\sqrt x+\sqrt y$, ha $x>0$ \'es $y>0$. Ez az
egyenl\H{o}tlens\'eg viszont (n\'egyzetre emel\'es ut\'an)
k\"onnyen l\'athat\'o.
\item{10.)} Ledobunk a $[0,2]$ intervallumra 100 pontot egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul a $[0,2]$ intervallumba egyenletes eloszl\'assal.
A $[0,1]$ intervallumba es\H{o} pontok \'ert\'ekeit be\'{\i}rjuk 
egy jegyz\H{o}k\"onyvbe. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a jegyz\H{o}k\"onyvbe
\'{\i}rt sz\'amok \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:} El\H{o}sz\"or megmutatom, hogyan lehet
ezt a feladatot \'ugy megoldani, hogy a benne szerepl\H{o} v\'arhat\'o
\'ert\'ekeket Riemann--Stieltjes integr\'alok seg\'{\i}ts\'eg\'evel
sz\'a\-mol\-juk ki, majd megmutatom, hogyan lehet ezeket a v\'arhat\'o
\'ert\'ekeket hagyom\'anyos m\'odon, Riemann integr\'alok 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kisz\'amolni.
\item{} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le 100$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. $\xi_j=x$, ha a $j$-ik
ledobott pont \'ert\'eke $x\in[0,1]$, \'es nulla, ha a $j$-ik pont
az $[1,2]$ intervallumba esik. Ekkor minket az 
$S=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel. A $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye sem 
nem diszkr\'et, sem nem folytonos, hanem $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ alakban 
\'{\i}rhat\'o fel, ahol $F_1(x)$-nek $f(x)=\frac12$, ha $0\le x\le1$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye van, azaz 
$F_1(x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$ ezzel az $f(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $F_2(x)$ pedig egy olyan (nem
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi) $\mu$ m\'ert\'eknek az eloszl\'asf\"uggv\'enye,
amelyre $\mu(\{0\})=\frac12$, \'es $\mu(R\setminus\{0\})=0$.
Ez\'ert $E\xi_j=\int xF(\,dx)=\int x
f(x)\,dx+0\cdot\mu(\{0\})=\int_0^1\frac12x\,dx=\frac14$,
$E\xi_j^2=\int x^2F(\,dx)=\int x^2
f(x)\,dx+0^2\cdot\mu(\{0\})=\int_0^1\frac12x^2\,dx=\frac16$,
$\Var\xi_j=\frac16-\frac1{16}=\frac5{48}$ minden $1\le j\le100$ indexre.
Innen $ES=25$, $\Var S=\frac{125}{12}$.
\item{} Az $E\xi_j$ \'es $E\xi_j^2$ mennyis\'egeket egyszer\H{u}bb
meggondol\'asok seg\'{\i}ts\'eg\'evel is ki\-sz\'a\-mol\-hat\-juk. 
Legyen $\eta_j$ a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke, \'es vezess\"uk 
be a k\"ovetkez\H{o} $h(u)$ f\"uggv\'enyt a $[0,1]$ intervallumon:
$h(u)=u$, ha $0\le u\le1$, $h(u)=0$, ha $1\le u\le 2$. Ekkor
$\xi_j=h(\eta_j)$, \'es $\eta_j$ egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,2]$
intervallumon. Innen 
$E\xi_j=Eh(\eta_j)=\int_0^2\frac12 h(u)\,du=\int_0^1\frac u2\,du=\frac14$,
$E\xi^2_j=Eh^2(\eta_j)=\int_0^2\frac12 h^2(u)\,du
=\int_0^1\frac {u^2}2\,du=\frac16$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\frac16-\frac1{16}=\frac5{48}$. 


\beginsection T\"obbv\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek, \'es
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege.

Megt\'argyaljuk az eloszl\'asf\"uggv\'eny t\"obbdimenzi\'os
v\'altozat\'at. E fogalom bevezet\'ese ut\'an lehet term\'eszetes
m\'odon defini\'alni val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'eg\'et. Az itt szerepl\H{o} fogalmak \'es
bizony\'{\i}t\'asok hasonl\'oak a kor\'abban t\'argyalt
egydimenzi\'os esethez. Ezen eredm\'enyek bizony\'{\i}t\'as\'at
csak nagyon v\'azlatosan fogom ismertetni. V\'azolni fogom
azokat a m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyeket, amelyeket a
bizony\'{\i}t\'asok felhaszn\'alnak. Els\H{o}sorban a fogalmak
\'es eredm\'enyek tisztess\'eges le\'{\i}r\'as\'ara fogok
t\"orekedni.

\medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it
Legyen adva $k$ val\'os \'ert\'ek\H{u} $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ezek (egy\"uttes)
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_k<x_k),
$$
$k$ v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, ahol $-\infty<x_j<\infty$ minden
$1\le j\le k$ indexre.}
\medskip\noindent

Az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'asban megfogalmaztam az egydimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyek jel\-lem\-z\'e\-s\'et egy
t\'e\-telben \'es az azt megel\H{o}z\H{o} lemm\'aban.
\'Erv\'enyes ezeknek az eredm\'enyeknek a term\'eszetes
t\"obb\-di\-men\-zi\'os v\'altozata is. A
t\"obbv\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyeket
jellemz\H{o} eredm\'eny megfogalmaz\'as\'ahoz a k\"ovetkez\H{o}
k\'erd\'est kell tiszt\'azni. Az el\H{o}bb eml\'{\i}tett lemm\'aban
felsoroltuk az egyv\'altoz\'os f\"uggv\'enyeknek a tulajdons\'agait.
Mik e tulajdons\'agok a t\"obbv\'altoz\'os megfelel\H{o}i?
T\"obbek k\"oz\"ott meg kell tal\'alnunk a lemm\'aban szerepl\H{o}
az eloszl\'asf\"uggv\'eny monoton\'{\i}t\'as\'at kimond\'o
a) felt\'etelnek
a t\"obbdimenzi\'os megfelel\H{o}j\'et.

Ezt meg\'ertend\H{o} tekints\"unk egy tetsz\H{o}leges
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ alak\'u
t\'eg\-la\-tes\-tet, $-\infty<a_j<b_j<\infty$, $j=1,\dots,k$, a $k$
dimenzi\'os t\'erben. Vil\'agos, hogy tetsz\H{o}leges
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ora teljes\"ul a
$$
P\((\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in\bold K\)=P\(\bigcapp_{j=1}^k
\{\oo\colon\; a_j\le \xi_j(\oo)<b_j\}\)\ge0
$$
tulajdons\'ag. Azt \'all\'{\i}tom, hogy az ilyen alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege viszonylag egy\-sze\-r\H{u}\-en
kifejezhet\H{o} a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
$F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_k<x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, \'es az
\'{\i}gy kapott kifejez\'es nem-negat\'{\i}v volta az el\H{o}bb
eml\'{\i}tett a) felt\'etel megfelel\H{o}je a t\"obbdimenzi\'os
esetben.

Annak \'erdek\'eben, hogy ezt a felt\'etelt megfogalmazzuk,  a
k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast kell igazolni. Tekints\"uk egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ alak\'u t\'eglatestet,
\'es ennek cs\'ucspontjait, azaz az olyan $(u_1,\dots,u_k)$ pontokat,
amelyek koordin\'at\'ai az $a_j$ vagy $b_j$ sz\'amok. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy $F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'as\'u
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor a $\bold
K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eglatestbe esik
kifejezhet\H{o} mint az $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek a
t\'eglatest cs\'ucspontjaiban felvett \'ert\'ekeinek
alkalmas line\'aris kombin\'aci\'oja. Pontosabban,
$$
P((\xi_1,\dots,\xi_k)\in\bold K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k),
$$
ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k sz\'am\'at az
$u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny
monotonit\'as\'anak az t\"obbdimenzi\'os esetben az felel meg, hogy
a fent fel\'{\i}rt azonoss\'ag jobb\-ol\-da\-l\'an szerepl\H{o}
kifejez\'es nem-negat\'{\i}v. Az egyszer\H{u}s\'eg
ked\-v\'e\-\'ert ezt az azonoss\'agot csak $k=2$ esetben
ellen\H{o}rizz\"uk.

Ekkor azt kell megmutatni, hogy $P(a_1\le \xi_1<b_1, a_2\le\xi_2<b_2)
=F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)-F(a_1,b_2)+F(a_1,a_2)$. Viszont
$F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)=P(\xi_1<b_1, a_2\le \xi_2<b_2)$, \'es
$F(a_1,b_2)-F(a_1,a_2)=P(\xi_1<a_1, a_2\le \xi_2<b_2)$. Ezt a
k\'et azonoss\'agot kivonva egym\'asb\'ol kapjuk a k\'{\i}v\'ant
\'all\'{\i}t\'ast.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{11.)} Legyen egy $(\xi_1,\xi_2)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asa az $F(x_1,x_2)=P(\xi_1<x_1,\xi_2<x_2)$ f\"uggv\'eny,
$-\infty<a_1<b_1<\infty$, $-\infty<a_2<b_2<\infty$ val\'os
sz\'amok. Fejezz\"uk ki az $F(x_1,x_2)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a $P(a_1\le\xi_1<b_1,a_2\le\xi_2<b_2)$,
$P(a_1\le\xi_1\le b_1,a_2\le\xi_2\le b_2)$ \'es
$P(a_1<\xi_1<b_1,a_2<\xi_2<b_2)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
El\H{o}sz\"or azt megmutatjuk meg, hogy $P(a_1\le \xi_1<b_1,
a_2\le\xi_2<b_2) =F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)-F(a_1,b_2)+F(a_1,a_2)$.
Val\'oban, $F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)=P(\xi_1<b_1, a_2\le \xi_2<b_2)$,
\'es $F(a_1,b_2)-F(a_1,a_2)=P(\xi_1<a_1, a_2\le \xi_2<b_2)$. Ezt a
k\'et azonoss\'agot kivonva egym\'asb\'ol megkapjuk a k\'{\i}v\'ant
\'all\'{\i}t\'ast.
$$
\align
&P(a_1\le\xi_1\le b_1,a_2\le\xi_2\le b_2)=\limm_{n\to\infty}
P\(a_1\le\xi_1< b_1+\frac1n,a_2\le\xi_2< b_2+\frac1n\)\\
&\quad= \!\limm_{n\to\infty}\! \(F\(b_1+\frac1n,b_2+\frac1n\)
-F\(b_1+\frac1n,a_2\)-F\(a_1,b_2+\frac1n\) +F(a_1,a_2)\)\\
&\quad=\limm_{n\to\infty} F\(b_1+\frac1n,b_2+\frac1n\)-
\limm_{n\to\infty} F\(b_1+\frac1n,a_2\)\\
&\qquad\qquad -\limm_{n\to\infty}
F\(a_1,b_2+\frac1n\)+F(a_1,a_2).
\endalign
$$
Megjegyzem, hogy az eloszl\'asf\"uggv\'eny
tulajdons\'agaib\'ol k\"ovetkezik, hogy a fel\'{\i}rt
hat\'ar\'ert\'ekek, p\'eld\'aul a $\limm_{n\to\infty}
F\(b_1+\frac1n,b_2+\frac1n\)$ kifejez\'es val\'oban l\'etezik.

Hasonl\'an,
$$
\align
&P(a_1<\xi_1< b_1,a_2<\xi_2< b_2)=\limm_{n\to\infty}
P\(a_1+\frac1n\le \xi_1< b_1,a_2+\frac1n\le \xi_2< b_2\)\\
&\quad=\limm_{n\to\infty} F(b_1,b_2)-F\(b_1,a_2+\frac1n\)\\
&\qquad\qquad -\limm_{n\to\infty}
F\(a_1+\frac1n,b_2\)+\limm_{n\to\infty}F\(a_1+\frac1n,a_2+\frac1n\).
\endalign
$$

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{12.)} Legyen az $F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_k<x_k)$
f\"uggv\'eny a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Mutassuk meg, hogy
$$
I((a_j\le \xi_j<b_j,\; 1\le j\le k)=\sum\Sb u_j=\;a_j\text{ vagy }
b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)} I(u_1,\dots,u_k),
$$
 minden $(a_j,b_k)$, $j=1,\dots,k$, sz\'amp\'arokra, ez\'ert a
v\'arhat\'o \'ert\'ek
additivit\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
P((a_j\le \xi_j<b_j,\; 1\le j\le k)=\sum\Sb u_j=\;a_j\text{ vagy }
b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)} F(u_1,\dots,u_k).
$$
A fenti formul\'akban $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban, $I(A)$, $A\subset R^k$ pedig
egy $A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'enye, azaz $I(A)(x)=1$, ha $x\in A$,
\'es $I(A)(x)=0$, ha $x\notin A$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Adva valamely $u_1,\dots,u_k$ sz\'amok, defini\'aljuk a
$$
B(u_1,\dots,u_k)=\{(t_1,\dots,t_k)\colon\; t_j<u_j,\, 1\le j\le k\}
$$
halmazt, \'es legyen $I_{B(u_1,\dots,u_k)}(\oo)$ az
$\{\oo\colon\;(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in B(u_1,\dots,u_k)\}$
halmaz indik\'atorf\"uggv\'enye. Legyen tov\'abb\'a $I_{\bold K}(\oo)$
az $\{\oo\colon\; a_j\le \xi_j<b_j,\,1\le j\le k\}$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye. El\'eg megmutatni, hogy
$$
I_{\bold K}(\oo)=\sum\Sb u_j=\;a_j\text{ vagy }
b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}
I_{B(u_1,\dots,u_k)}(\oo),
$$
mert v\'eve ezut\'an mind a k\'et oldal v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
megkapjuk a k\'{\i}v\'ant azonoss\'agot.
\item{} Az is vil\'agos, hogy $\{\oo\colon\; a_j\le \xi_j<b_j,\,1\le j\le
k\}$ eset\'eben a bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag mind a k\'et oldala
1-gyel egyenl\H{o}. Azt kell \'eszrevenni, hogy ekkor a jobboldalon az
$I_{B(b_1,\dots,b_k)}(\oo)$ tag 1, \'es az \"osszes t\"obbi tag
a jobboldalon nulla.
\item{} Ha $\oo\in\Omega$ olyan, hogy az  $a_j\le \xi_j<b_j$
egyenl\H{o}tlens\'egek nem teljes\"ulnek minden $1\le j\le k$
indexre, akkor a baloldal nulla. Azt kell bel\'atni, hogy ugyanez
\'erv\'enyes a jobboldalon. Vil\'agos, hogy a jobboldal nulla, ha
$\xi_j(\oo)\ge b_j$ valamilyen $j$ indexre. Azt az esetet kell m\'eg
n\'ezni, amikor $\xi_j(\oo)<b_j$ minden $1\le j\le k$ indexre,
bizonyos $j$ indexekre $a_j\le \xi_j<b_j$, de l\'etezik legal\'abb
egy olyan $l$ index, melyre $\xi_j<a_j$. Legyen $L$ a legkisebb
ilyen index. Ha p\'aros\'{\i}tjuk az olyan
$(-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}I_{B(u_1,\dots,u_k)}(\oo)$
kifejez\'eseket, melyeknek az $u_j$ koordin\'at\'at\'ai meg\-egyez\-nek
$j\neq L$ esetben, de $u_L=a_L$ a p\'ar egyik \'es $u_L=b_L$ a p\'ar
m\'asik tagj\'ara, akkor az \"osszes ilyen p\'ar hozad\'eka
z\'er\'o. Ez\'ert az azonoss\'ag ekkor is \'erv\'enyes,
mert mind a bal mind a jobboldal z\'er\'o ebben az esetben.



\medskip

Be lehet l\'atni, hogy az el\H{o}z\'o el\H{o}ad\'ason
megfogalmazott a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'as\'anak jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etenek \'es az azt megel\H{o}z\H{o} Lemm\'anak igaz a
k\"ovetkez\H{o} t\"obbdimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel t\"obbv\'altoz\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak jellemz\'es\'er\H{o}l.}\/ {\it Egy
$F(u_1,\dots,u_k)$ f\"ugg\-v\'eny akkor \'es csak akkor
eloszl\'asf\"uggv\'enye alkalmas $\xi_1,\dots,\xi_k$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'oknak valamely
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
ha ez az $F$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
(i)---(iv) tulajdons\'agokat. \medskip
\item\item {(i)} $F(u_1,\dots,u_k)$ minden v\'altoz\'oj\'anak
balr\'ol folytonos f\"uggv\'enye.
\itemitem {(ii)} $\lim\limits\Sb u_j\to\infty \\ \text{minden }
j=1,\dots,k\text{ sz\'amra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=1$.
\itemitem{(iii)} $\lim\limits\Sb u_j\to-\infty \\ \text{valamely }
1\le j\le k\text{ sz\'amrra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=0$. (Ez \'ugy
\'ertend\H{o}, hogy az \"osszes $u_s$, $1\le s\le k$, $s\neq j$
koordin\'at\'at r\"ogz\'{\i}tj\"uk, \'es $u_j\to-\infty$.)
\itemitem{} V\'eg\"ul defini\'aljuk egy az $R^k$ t\'eren defini\'alt
$F$ f\"uggv\'enyre \'es egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eg\-la\-test\-re a
$$
\mu(\bold K)=\mu_F(\bold K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k)
$$
mennyis\'eget, ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Ekkor
\itemitem{(iv)} $\mu_F(\bold K)\ge 0$ minden $\bold K$ t\'eglatestre.}
\medskip

A fenti t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak legnehezebb r\'esze annak
megmutat\'asa, hogy ha az $F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti az (i)--(iv) tulajdons\'agokat, akkor l\'eteznek
olyan $\xi_1$,\dots, $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
alkalmas $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelyek (egy\"uttes) el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye az
$F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny. Ennek bizony\'{\i}t\'asa az
el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'as T\'etel~B eredm\'eny\'enek
k\"ovetkez\H{o} \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'an alapul:

\medskip\noindent
{\bf Az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'as T\'etel~B eredm\'eny\'enek
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa.} {\it Legyen $F(x_1,\dots,x_k)$ olyan $k$
v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, amelyik teljes\'{\i}ti az (i)--(iv)
tulajdons\'agokat. Ekkor l\'etezik \'es egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozott egy olyan $\mu_F$ Stieltjes m\'ert\'ek az $R^k$
$k$-dimenzi\'os t\'er Borel m\'erhet\'o halmazainak $\Cal B^k$
$\sigma$-algebr\'aj\'an, amelyik nem negat\'{\i}v $\sigma$-additiv
halmazf\"uggv\'eny ezen a $\sigma$-algebr\'an, $\mu_F(R^k)=1$,
\'es
$$
\mu_F(\{u_1,\dots,u_k\}\colon\; u_j<x_j,\,1\le j\le k\})
=F(x_1,\dots,x_k)
$$
minden $x_1,\dots,x_k$ val\'os sz\'amra.}
\medskip
E t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
konstru\'alhatunk $F(x_1,\dots,x_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'ennyel rendelkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Legyen
$(\Omega,\Cal A,P)=(R^k,\Cal B^k,\mu_F)$, ahol $\Cal B^k$ jel\"oli
a Borel $\sigma$-algebr\'at az $R^k$ $k$-dimenzi\'os t\'erben,
\'es $\mu_F$ az el\H{o}z\H{o} t\'etelben jellemzett az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott Stieltjes
m\'ert\'ek. Ebben a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}ben az
$(x_1,\dots,x_k)\in R^k$ pontok alkotj\'ak az $\oo$ elemi
esem\'enyeket. A $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat a k\"ovetkez\H{o} m\'odon defini\'aljuk. Legyen
$\xi_j(x_1,\dots,x_k)=x_j$, $1\le j\le k$. Ezen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttes eloszl\'asa
az $F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny.

\medskip
\'Erv\'enyes tov\'abb\'a az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'ason
megfogalmazott eredm\'enyek k\"ovetkez\H{o} t\"obb\-di\-men\-zi\'os
v\'altozata, amely lehet\H{o}v\'e teszi azt, hogy kisz\'am\'{\i}tsuk
v\'eletlen vektorok f\"ugg\-v\'e\-nyei\-nek a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyeknek
$F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1(\oo)<x_1,\dots,\xi_k(\oo)<x_k)$,
az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Legyen $g(x_1,\dots,x_k)$
tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o}) $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny,
\'es defini\'aljuk az $\eta(\oo)=g(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ekkor
$$
E\eta(\oo)=Eg(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))=\int  g(x_1,\dots,x_k)
\mu_F(\,dx_1,\dots,\,dx_k),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol az
$F$ f\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott $\mu_F$ Stieltjes m\'ert\'ek
szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$$
\int |g(x_1,\dots,x_k)| \mu_F(\,dx_1,\dots,\,dx_k)<\infty.
$$
Ellenkez\H{o} esetben az $E\eta$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem
defini\'altuk.} \medskip

Az egydimenzi\'os esethez hasonl\'on a t\"obbdimenzi\'os
esetben is \'erdemes bevezetni eloszl\'asf\"uggv\'enyek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek a fogalm\'at. Amennyiben
valamely va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
egy\"uttes eloszl\'as\'anak van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,
akkor ezen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok valamely
f\"uggv\'eny\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et ki lehet sz\'amolni
ezen s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny szerinti alkalmas
integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Az \'{\i}gy kapott formula
\'altal\'aban jobban hasz\-n\'al\-ha\-t\'o konkr\'et feladatokban
mint az eloszl\'asok szerinti integr\'al. Megadom a
t\"obbdimenzi\'os s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny definici\'oj\'at
\'es az el\H{o}bb jelzett eredm\'eny pontos megfogalmaz\'as\'at.

\medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek definici\'oja.}
{\it Azt mondjuk, hogy egy $F(x_1,\dots,x_k)$ t\"obbv\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik $f(u_1,\dots,u_k)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, ha teljes\"ul az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=\int_{-\infty}^{x_1}\cdots \int_{-\infty}^{x_k}
f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots du_k
$$
azonoss\'ag minden
$-\infty<x_j<\infty$, $1\le j\le k$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek l\'etezik
$f(u_1,\dots,u_k)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor ez
teljes\'{\i}ti minden $g(\cdot)$ $k$-v\'altoz\'os (m\'erhet\H{o})
f\"ugg\-v\'eny\-re a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot:
$$
\align
Eg(\xi_1,\dots,\xi_k)&=\int g(u_1,\dots,u_k)\mu_F(\,du_1,\dots,\,du_k)\\
&=\int_{-\infty}^\infty\cdots \int_{-\infty}^\infty
g(u_1,\dots,u_k)f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots\,du_k,
\endalign
$$
ahol $\mu_F$ jel\"oli az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal
meghat\'arozott Stieltjes m\'ert\'eket.  Ez az azo\-nos\-s\'ag
\'ugy \'ertend\H{o}, hogy az annak k\'et oldal\'an szerepl\H{o}
kifejez\'es egyszerre l\'etezik vagy nem l\'etezik, ha mind a k\'et
kifejez\'est mint Lebesgue integr\'alt \'ertelmezz\"uk. Ha a
jobb\-olda\-lon szerepl\H{o} integr\'al l\'etezik mint
(k\"oz\"ons\'eges) Riemann integr\'al, akkor ez az integr\'al
tekinthet\H{o} \'ugy is mint (egy a Riemann integr\'al
\'ert\'ek\'evel megegyez\H{o}) Lebesgue integr\'al. Teh\'at az
azonoss\'ag ebben a fontos speci\'alis esetben is \'erv\'enyes.}

\medskip
Az egydimenzi\'os esethez hasonl\'oan a t\"obbdimenzi\'os
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyeket is lehet jellemezni. Igaz a
k\"ovetkez\H{o} t\'etel.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Egy $k$-v\'altoz\'os $f(u_1,\dots,u_k)$
f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
egy alkalmas $k$-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'enynek, ha
$f(u_1,\dots,u_k)\ge0$ majdnem minden $(u_1,\dots,u_k)$ pontban,
\'es
$$
\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty f(u_1,\dots,u_k)
\,du_1 \dots\,du_k=1.
$$
}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Egydimenzi\'os eloszl\'asok eset\'eben,
el\'eg sima eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk, \'es az egyenl\H{o} az
eloszl\'asf\"uggv\'eny deriv\'altj\'aval. Ez a Newton--Leibniz
formul\'ab\'ol k\"ovetkezik. L\'etezik ehhez az eredm\'enyhez
hasonl\'o eredm\'eny a t\"obbdimenzi\'os esetben is. Eszerint az
eredm\'eny szerint, ha $F(x_1,\dots,x_k)$ el\'eg sima
$k$-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny, akkor l\'etezik
$f(x_1,\dots,x_k)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az
$$
f(x_1,\dots,x_k)=\frac{\partial^k F(x_1,\dots,x_k)}{\partial x_1
\partial x_2\cdots \partial x_k}
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}that\'o ki.


\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es

A norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny kiintegr\'al\'as\'aban
($-\infty$-t\H{o}l $\infty$-ig) a klasszikus anal\'{\i}zis k\'et
fontos eredm\'eny\'et haszn\'altuk fel. Ezek egyike arr\'ol sz\'ol,
hogyan lehet k\'et egy\-v\'al\-to\-z\'os integr\'al szorzat\'at egy
k\'etv\'altoz\'os integr\'alk\'ent fel\'{\i}rni, a m\'asik pedig
arr\'ol, hogyan lehet koordin\'atatranszform\'aci\'okat alkalmazni
t\"obbv\'altoz\'os integr\'alokban. Ez ut\'obbi eredm\'eny az
$\dsize\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du=\int_a^b f(g(u))g'(u)\,du$
azonoss\'ag t\"obbdimenzi\'os meg\-fele\-l\H{o}\-je.

Az els\H{o} eml\'{\i}tett eredm\'eny arr\'ol sz\'ol, hogy k\'et
egyv\'altoz\'os integr\'al szorzata fel\-\'{\i}r\-ha\-t\'o, mint
alkalmas k\'etv\'altoz\'os integr\'al. Pontosabban, ha $f(x)$,
$g(x)$ k\'et egyv\'altoz\'os f\"ugg\-v\'eny valamely $[a,b]$ illetve
$[c,d]$ intervallumon, $-\infty\le a<b\le\infty$, $-\infty\le c<d\le
\infty$ akkor $\dsize\int_a^b f(x)\,dx\int_c^d
g(x)\,dx=\int\int_{[a,b]\times[c,d]} f(x)g(y)\,dx\,dy$.
\'Altal\'anosabban, ha $f(x,y)$ k\'etv\'altoz\'os f\"uggv\'eny az
$[a,b]\times [c,d]$ t\'eglalapon, akkor $\dsize\int_a^b\(\int_c^d
f(x,y)\,dy\)\,dx=\int\int_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y)\,dx\,dy$. Ebben az
azonoss\'agban a baloldalon egyv\'altoz\'os in\-teg\-r\'a\-lok
szukcessz\'{\i}v alkalmaz\'asa szerepel, a jobb-oldalon pedig
k\'etv\'altoz\'os integr\'al. Em\-l\'e\-kez\-te\-t\H{o}\-\"ul
felid\'ezem, hogy a t\"obbv\'altoz\'os Riemann integr\'alokat az
egyv\'altoz\'os integr\'alokhoz hasonl\'oan defini\'alhatjuk.
Nevezetesen, adva egy sz\'ep $A\subset R^k$ halmaz, \'es azon egy
$f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny, akkor az $\dsize\int_A
f(x_1,\dots,x_k)\,dx_1\dots\,dx_k$ integr\'al de\-fi\-nic\'o\-ja
\'er\-de\-k\'e\-ben \'all\'{\i}tsuk el\H{o} az $A$ halmazt
kis \'atm\'er\H{o}j\H{u} $K_j$, $\bigcupp K_j=A$, halmazok
partici\'ojak\'ent, \'es \'{\i}rjuk fel a defini\'aland\'o integr\'al
$\sum f(u_1^{(j)},\dots,u_k^{(j)})\text{Vol}\, (K_j)$
in\-teg\-r\'al--k\"o\-ze\-l\'{\i}\-t\H{o} \"ossze\-geit, ahol
$\text{Vol}\,(K_j)$ a $K_j$ halmaz t\'erfogat\'at jel\"oli. Az
integr\'alt ilyen integr\'al-k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek
limeszek\'ent defini\'aljuk, ha a $K_j$ halmazok \'atm\'er\H{o}ienek
a szupr\'emuma null\'ahoz tart.

A t\"obbv\'altoz\'os integr\'al definici\'oja hasonl\'o az
egyv\'altoz\'os integr\'al\'ehoz. Egy apr\'o k\"ul\"onbs\'eg van,
amelyikre tal\'an \'erdemes felh\'{\i}vni a figyelmet. A
$\text{Vol}\,(K_j)$ t\'erfogatot \'es nem el\H{o}jeles t\'erfogatot
jel\"ol. Az egyv\'altoz\'os integr\'alokkal akkor lesz teljes az
anal\'ogia, ha az $\int_a^b f(x)\,dx$ integr\'alokat csak $a<b$
esetben defini\'aljuk. Megjegyzem, hogy az id\'ezett eredm\'eny
nemcsak Riemann, hanem \'altal\'anosabb Lebesgue integr\'alokra is
\'er\-v\'e\-nyes. Ezt az anal\'{\i}zisban nagyon fontos eredm\'enyt
Fubini t\'etelnek h\'{\i}vj\'ak.

\medskip
Sz\"uks\'eg\"unk van a k\"ovetkez\H{o} probl\'ema
megold\'as\'ara is. Ha adva van az $n$-dimenzi\'os t\'er egy $A$
tartom\'any\'anak sz\'ep, sima \'es invert\'alhat\'o
$y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le n$, lek\'epez\'ese az
$n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$ tartom\'any\'aba valamint egy
$$
\int_B f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots\,dy_n
$$ 
alak\'u integr\'al a $B$ tartom\'anyon, hogyan tudjuk ezt 
\'at\'{\i}rni  \'es kisz\'am\'{\i}tani, mint egy alkalmas az $A$ 
tartom\'anyon \'ertelmezett f\"uggv\'eny integr\'alj\'at? 
Els\H{o}sorban az $n=2$ v\'altoz\'os integr\'alok 
kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdekel minket, azon bel\"ul is az az eset,
amikor egy a s\'{\i}kon (pontosabban az $R^2\setminus\{0\}$ halmazon
defini\'alt integr\'alt a v\'altoz\'ok pol\'arkoordin\'at\'as
\'at\'{\i}r\'as\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel k\'{\i}v\'anunk 
kisz\'amolni. Azaz egy a $B=R^2\setminus\{0\}$ halmazon defini\'alt
$\int_{R^2} f(y_1,y_2)\,dy_1\,dy_2$ integr\'alt akarunk \'at\'{\i}rni
az $A=(0,\infty)\times(-\pi,\pi]$ halmazon vett integr\'al alakj\'aban 
\'ugy, hogy az $(y_1,y_2)\in R^2\setminus\{0\}$ pontokat \'at\'{\i}rjuk
$y_1=T_1(x_1,x_2)$, $y_2=T_1(x_1,x_2)$ alakban, ahol $(x_1,x_2)\in A$.
Annak \'erdek\'eben, hogy a szok\'asos jel\"ol\'esrendszerhez 
hasonl\'o jelenjen meg \'ervel\'es\"unkben, haszn\'aljuk az 
$x_1=r$ \'es $x_2=\varphi$ bet\H{u}ket a megfelel\H{o} v\'altoz\'ok 
jel\"ol\'es\'ere. Ekkor a bevezetett $T_1$ \'es $T_2$ 
transzform\'aci\'ok az $(x_1,x_2)=(r,\varphi)\in A$ pontokat k\'epezik
le az $(y_1,y_2)\in R^2\setminus\{0\}$ halmazba az 
$y_1=T_1(x_1,x_2)=x_1\cos x_2=r\cos\varphi$ \'es 
$y_2=T_2(x_1,x_2)=x_1\sin x_2=r\sin\varphi$ k\'epletek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Annak \'erdek\'eben, hogy a sz\'amunkra \'erdekes eredm\'enyt
meg tudjuk fogalmazni el\H{o}sz\"or felid\'ezem egy sima
transzform\'aci\'o Jacobian-j\'anak a definici\'oj\'at. 

\medskip\noindent
{\bf Jacobian definici\'oja.} {\it Legyen $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$,
$1\le k\le n$, az $n$-dimenzi\'os t\'er egy tartom\'any\'anak sima
transzform\'aci\'oja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik
tartom\'any\'aba.  Vezess\"uk be a $\bold T=(T_1,\dots,T_n)$
jel\"ol\'est. A $\bold T$ transzform\'aci\'o $\Cal J(\bold
T(x_1,\dots,x_n))$ Jaco\-bian-ja  egy $(x_1,\dots,x_n)$ pontban a
$$
\(\frac {\partial T_k(x_1,\dots,x_k)}{\partial x_l}\),
\quad 1\le l,k\le n,
$$
$n\times n$-es (az $(x_1,\dots,x_n)$ pontban vett deriv\'alt) m\'atrix
determin\'ans\'anak az abszolut \'ert\'eke.

(A Jacobian szeml\'eletes tartalma: Ez adja meg, hogy az
$(x_1,\dots,x_n)$ pont kis k\"ornyezet\'enek a t\'erfogat\'at a
$\bold T=(T_1,\dots,T_n)$ transzform\'aci\'o h\'anyszoros\'ara
nagy\'{\i}tja ki. Ezt k\'es\H{o}bb r\'eszletesebben elmagyar\'azom.)}
\medskip\noindent
{\bf Integr\'altranszform\'aci\'or\'ol sz\'ol\'o t\'etel.}
{\it Legyen adva az $n$-di\-men\-zi\'os t\'er egy $A$
tartom\'any\'anak egy sima $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le
n$, transzform\'altja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$
tartom\'any\'aba, amelyik invert\'alhat\'o, azaz az
$y_k=T_j(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le n$, egyenletrendszernek egyetlen
$(x_1,\dots,x_n)\in A$ megold\'asa van minden $(y_1,\dots,y_n)\in B$
pontra. Legyen tov\'abb\'a adva egy (integr\'alhat\'o) 
$f(y_1,\dots,y_n)$ f\"uggv\'eny a $B$ tartom\'anyon. Ekkor
$$
\align
\int _B &f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots\,dy_n \\
&\qquad =\int_A f(T_1(x_1,\dots,x_n),\dots,T_n(x_1,\dots,x_n))
\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_n))\,dx_1\dots\,dx_n,
\endalign
$$
ahol $\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_n))$ jel\"oli a $\bold
T(x_1,\dots,x_n)$ lek\'epez\'es Jacobianj\'at.}\medskip

Tekints\"uk az $x=r\cos\varphi$ \'es $y=r\sin\varphi$ k\'epletekkel
megadott pol\'ar koordin\'akra val\'o \'att\'er\'est, azaz azt,
hogy egy s\'{\i}kon adott f\"uggv\'eny integr\'alj\'at hogyan
\'{\i}rhatjuk \'at pol\'ar-koordin\'atarendszerben egy a
az $A=\{(r,\varphi)\colon\;r>0,-\pi<\varphi\le\pi\}$ tartom\'anyon
defini\'alt f\"uggv\'eny integr\'alj\'av\'a az el\H{o}z\H{o} t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Sz\'amoljuk ki a tekintett lek\'epez\'es Jacobianj\'at.
Egyszer\H{u} sz\'amol\'as adja, hogy $\frac{\partial
x}{\partial r}=\cos\varphi$, $\frac{\partial x}{\partial\varphi}=
-r\sin\varphi$, $\frac{\partial y}{\partial r}=\sin\varphi$,
$\frac{\partial y}{\partial \varphi}=r\cos\varphi$, ez\'ert a
Jacobian \'ert\'eke
$$
\Cal J(r\cos\varphi,r\sin\varphi)= \left|  \det\left|
\aligned
&\cos\varphi,\,-r\sin\varphi \\
&\sin\varphi,\;\;\,r\cos\varphi
\endaligned
\right|\,\right|=r(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=r,
$$
ahonnan
$$
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,dx\,dy=
\int_{-\pi}^\pi\int_0^\infty rf(r\cos\varphi,r\sin\varphi)
\,dr\,d\varphi.
$$

\'Erts\"uk meg a fent kimondott t\'etelt. Ennek \'erdek\'eben
tekints\"uk egy $A$ $n\times n$ m\'eret\H{u} $A=\(a_{j,l}\)$, 
$1\le j,l\le n$, alak\'u m\'atrix $\det A$ determin\'ans\'at. 
Ennek a determin\'ansnak a k\"ovetkez\H{o} a szeml\'eletes 
jelent\'ese: Vegy\"uk az $A$ m\'atrix 
$a^{(j)}=\(a_{j,1},\dots,a_{j,n}\)$ sorait, $1\le j\le n$, mint 
vektorokat az $n$-dimenzi\'os t\'erben. Ekkor $\det A$ 
egyenl\H{o} az $a^{(j)}$, $1\le j\le n$, vektorok \'altal 
kifesz\'{\i}tett parallelepipedon el\H{o}jeles t\'erfogat\'aval. 
Az $A$ m\'atrix sorvektorai \'altal kifesz\'{\i}tett 
pa\-rallelepipedon az $n$-dimenzi\'os egys\'egkocka k\'epe, ha 
az $A$ m\'atrix \'altal meghat\'arozott line\'aris
transzform\'aci\'ot alkalmazzuk r\'a. Ez\'ert a $\det A$ 
kifejez\'es geometriai tartalma az, hogy az $A$ m\'atrix \'altal
meghat\'arozott line\'aris transzform\'aci\'o h\'anyszoros\'ara 
nagy\'{\i}tja egy $n$-dimenzi\'os vektorok \'altal
kifesz\'{\i}tett parallelepipedon el\H{o}jeles t\'erfogat\'at.
Ennek a geo\-met\-riai t\'enynek fontos k\"ovetkezm\'enyei
vannak. Az el\H{o}bb t\'argyalt eredm\'enynek is ez \'all a 
h\'atter\'eben.

Tekints\"uk ugyanis a bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag k\'et 
oldal\'an szerepl\H{o} integr\'al egy-egy 
integr\'alk\"ozel\'{\i}t\'es\'et. Ennek \'erdek\'eben tekints\"uk 
az $A$ halmaznak egy kis \'atm\'er\H{o}j\H{u} $K_j$, $j=1,2,\dots$, 
halmazokb\'ol \'all\'o $\bigcupp K_j=A$ partici\'oj\'at valamint 
minden $K_j$ halmazban egy
$\xi^{(j)}=\(\xi_1^{(j)},\dots,\xi_n^{(j)}\)\in K_j$ pontot. Legyen
tov\'abb\'a $\bar K_j=\bold T (K_j)$ a $K_j$ halmaz,
$\eta^{(j)}=\(\eta_1^{(j)},\dots,\eta_n^{(j)}\)\in \bar K_j$ pedig az
$\xi^{(j)}$ pont k\'epe a $\bold T$ transzform\'aci\'o
hat\'as\'ara. Ekkor a baloldali integr\'alnak j\'o k\"ozel\'{\i}t\'ese
a $\summ_j f(\bold T\xi^{(j)})\Cal J(\xi^{(j)})\text{Vol}\,(K_j)=
\summ_j f(\eta^{(j)})\Cal J(\xi^{(j)})\text{Vol}\,(K_j)$, a jobboldali
integr\'alnak pedig a $\summ_j f(\eta^{(j)}) \text{Vol}\,(\bar K_j)$
\"osszeg, ahol $\text{Vol}\,(K)$ a $K$ halmaz t\'erfogat\'at jel\"oli.
Ahhoz, hogy l\'assuk, hogy ez a k\'et integr\'alk\"ozel\'{\i}t\H{o}
\"osszeg k\"ozel van egym\'ashoz azt kell meg\'erten\"unk, hogy
$J(\xi^{(j)})\text{Vol}\,(K_j)\sim\text{Vol}\,(\bar K_j)$. Ez ut\'obbi
\'all\'{\i}t\'ast viszont a m\'atrixok determin\'ans\'ar\'ol mondottak
tulajdons\'aga, illetve a $\bold T$ transzform\'aci\'onak a $\xi^{(j)}$
pontok k\"or\"uli term\'eszetes lineariz\'aci\'oja
seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet l\'atni.

Ha a $\bold T$ transzorm\'aci\'ot az $\xi^{(j)}$ pont kis 
k\"ornyezet\'eben tekintj\"uk, \'es ott vessz\"uk ennek
k\"ozel\'{\i}t\'es\'et a $\xi^{(j)}$ pont k\"or\"uli Taylor 
sor\'aval az els\H{o} tagig, akkor l\'athatjuk, hogy mi\'ert
\'erv\'enyes a megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as. Ez a
l\'{\i}neariz\'alt transzform\'aci\'o az $\xi^{(j)}$ pont kis
k\"ornyezet\'et alkot\'o $K_j$ halmazt k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg az
$\eta^{(j)}$ kis k\"ornyezet\'et alkot\'o $\bold K_j$ halmazba viszi.
Tolv\'abb\'a e transzform\'aci\'o alkalmaz\'asa egy halmaz 
t\'erfogat\'at a $\bold T$ transzform\'aci\'o $\xi^{(j)}$-beli 
deriv\'alt m\'atrix\'anak a determin\'ans\'aval, azaz az 
$J(\xi^{(j)})$ sz\'ammal szorozza meg. Mivel minket a 
tartom\'anyoknak nem az el\H{o}jeles, hanem az el\H{o}jel 
n\'elk\"uli t\'erfogata, pontosabban fogalmazva a t\'erfogat 
abszolut \'ert\'eke \'erdekel, ez\'ert a $|J(\xi^{(j)})|$ 
sz\'ammal kell szoroznunk. \'Igy jelenik meg a Jacobian az 
integr\'altranszform\'aci\'os k\'epletben.



\bye

