\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus1pt

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat hetedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2007. m\'arcius 20.}

\medskip\noindent
Els\H{o} t\'em\'ank a Poisson eloszl\'as tulajdons\'againak
tov\'abbi vizsg\'alata.

\medskip
L\'attuk az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'ason, hogy ha binomi\'alis
eloszl\'as\'u $S_n$, $n=1,2,\dots$,
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'okat tekint\"unk $n$ \'es $p_n$  param\'eterekkel, azaz
$S_n$ eloszl\'asa megegyezik egy $\summ_{j=1}^n\xi_j^{(n)}$
\"osszeg eloszl\'as\'aval, ahol a $\xi_j^{(n)}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es
$$
P\(\xi_j^{(n)}=1\)=1-P\(\xi_j^{(n)}=0\)=p_n,\quad 1\le j\le n,
$$
tov\'abb\'a teljes\"ul a $\limm_{n\to\infty}np_n=\lambda$
felt\'etel valamely $\lambda>0$ sz\'ammal, akkor
$\limm_{n\to\infty}P(S_n=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
minden $k$ eg\'esz sz\'amra.

Az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'as eredm\'enyeib\H{o}l az is
k\"ovetkezik, hogy olyan $T_n=\summ_{j=1}^n\eta_j^{(n)}$ alak\'u
$n=1,2,\dots$, v\'eletlen \"osszegekre, amelyekben
r\"ogz\'{\i}tett $n$ sz\'amra az $\eta_j^{(n)}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek \'es
Poisson eloszl\'as\'uak $\frac {\lambda_n}n$ param\'eterrel, \'es
$\limm_{n\to\infty}\lambda_n=\lambda>0$ szint\'en teljes\"ul a
$\limm_{n\to\infty}P(T_n=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
rel\'aci\'o minden $k$ eg\'esz sz\'amra. Ekkor ugyanis $T_n$
Poisson eloszl\'as\'u $\lambda_n$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel.

Bel\'atok egy olyan eredm\'enyt, amelynek a fent tekintett k\'et
p\'elda speci\'alis esete. Azut\'an megt\'argyalom ennek az
eredm\'enynek az alapj\'an azt, hogy mi\'ert fontos a Poisson
eloszl\'as, mi\'ert term\'eszetes feltenni, bizonyos v\'eletlen
je\-len\-s\'e\-ge\-ket Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'{\i}rnak le.

\medskip\noindent
{\bf Hat\'areloszl\'ast\'etel Poisson hat\'areloszl\'assal.} {\it
Legyen adva minden r\"ogz\'{\i}tett $n=1,2,\dots$ sz\'amra
$\xi_1^{(n)},\dots,\xi_n^{(n)}$ f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u,
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan sorozata, mely
sorozatok teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} fel\-t\'e\-te\-le\-ket:

\medskip
\item{a)} $\limm_{n\to\infty} n P\(\xi_1^{(n)}=1\)=\lambda>0$.
\item{b)} $\limm_{n\to\infty} n P\(\xi_1^{(n)}\ge2\)=0$.
\medskip
Ekkor az $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j^{(n)}$, $n=1,2,\dots$,
v\'eletlen \"osszegekre teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}P(S_n=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
$$
rel\'aci\'o minden $k$ nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amra.}

\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ \'Erv\'enyes e t\'etel \'all\'{\i}t\'as\'anak
megfelel\H{o} \'altal\'anos\'{\i}t\'asa. Alkalmas felt\'etelek
mellett f\"ug\-get\-len nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\H{u}, de
nem felt\'etlen\"ul azonos eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok \"osszeg\'enek
az eloszl\'asa konverg\'al egy Poisson eloszl\'ashoz. Egy ilyen
a fenti t\'etelhez hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o \'all\'{\i}t\'ast
megfogalmazok nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat form\'aj\'aban.

\medskip
Ennek az eredm\'enynek t\"obb k\"ul\"onb\"oz\H{o} bizony\'{\i}t\'asa
ismeretes. Az egyik tanuls\'agos bizony\'{\i}t\'as a
gener\'atorf\"uggv\'enyek m\'odszer\'en alapul. Itt ezt a
bizony\'{\i}t\'ast fogom ismertetni.

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak gondolata:}\/ Tekints\"uk az
$S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$$
G_n(x)=\summ_{j=0}^\infty P(S_n=j)x^j, \quad n=1,2,\dots,
$$
gener\'atorf\"uggv\'enyeit. A gener\'atorf\"uggv\'eny m\'odszer
azt sugallja, hogy l\'assuk be a
$\limm_{n\to\infty} G_n(x)=G(x)$ rel\'aci\'ot valamilyen $-A<x<A$,
$A>0$, intervallumban, ahol $G(x)=e^{\lambda(x-1)}$, a $\lambda$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as gener\'atorf\"uggv\'enye.
Ugyanis, mivel hatv\'anysorok konvergenci\'aj\'ab\'ol
k\"ovetkezik a hatv\'anysorok deriv\'altjainak a konvergenci\'aja
is, \'es hatv\'anysorokat szabad ta\-gon\-k\'ent deriv\'alni, e
rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik a
$\limm_{n\to\infty}\left.\frac{d^kG_n(x)}{dx^k}\right|_{x=0}
=\left.\frac{dG^k(x)}{dx^k}\right|_{x=0}=\lambda^ke^{-\lambda}$
\"osszef\"ugg\'es minden $k=0,1,2,\dots$ sz\'amra. (Ebben a
l\'ep\'esben felhaszn\'altam az anal\'{\i}zis n\'eh\'any
alapvet\H{o}, de nem trivi\'alis ered\-m\'e\-ny\'et.) Azaz
$k!\limm_{n\to\infty}P(S_n=k)=k!\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
minden $k=0,1,\dots$ sz\'amra. A bizony\'{\i}tand\'o
rel\'aci\'o igazol\'as\'anak \'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre,
hogy a $G_n(x)$ f\"uggv\'enyt fel\'{\i}rhatjuk (a
gener\'atorf\"uggv\'enyek tulajdons\'agai miatt)
a k\"ovetkez\H{o} alakban: $G_n(x)=g_n^n(x)$ minden $-1<x<1$
sz\'amra, ahol $g_n(x)=\summ_{j=0}^\infty P(\xi^{(n)}_1=j)x^j$,
a $\xi^{(n)}_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
gener\'atorf\"uggv\'enye.

A fenti azonoss\'agot felhaszn\'alva, majd a bizony\'{\i}tand\'o
rel\'aci\'oban logaritmust v\'eve el\'eg megmutatni azt, hogy
$\limm_{n\to\infty}n\log g_n(x)=\lambda(x-1)$. Tov\'abb\'a, mivel
$P\(\xi_1^{(n)}=0\)=1-P\(\xi_1^{(n)}=1\)-\summ_{j=2}^\infty
P\(\xi_1^{(n)}=j\)$, ez\'ert
$$
g_n(x)=1+P\(\xi^{(n)}_1=1\)\(x-1\)
+\summ_{j=2}^\infty P\(\xi^{(n)}_1=j\)\(x^j-1\).
$$
Ez\'ert az a) \'es b) felt\'etelek miatt azt v\'arjuk, hogy a
$g_n(x)\sim 1+\frac\lambda n\(x-1\)$ formula j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'es. Mivel $\log(1+u)\sim u$ kis $u$ sz\'amokra,
ez\'ert term\'eszetes azt v\'arni, hogy
$\log g_n(x)\sim \frac\lambda n\(x-1\)$ j\'o k\"ozel\'{\i}t\'es,
\'es $\limm_{n\to\infty}\log g_n(x)=\lambda\(x-1\)$, ahonnan
k\"ovetkezik a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa. A T\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'at befejezz\"uk, ha igazoljuk a fenti
k\"ozel\'{\i}t\'esek jo\-gos\-s\'a\-g\'at.

\medskip\noindent
{\it A T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'ese.}\/ Vegy\"uk
\'eszre, hogy minden $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan $n_0=n_0(\e)$
k\"usz\"obindex, amelyre $\left|g_n(x)-\(1+\frac\lambda
n(x-1)\)\right|<\frac\e n$, ha $n\ge n_0$ \'es $|x|<1$. Val\'oban
a $g_n(x)=1+P\(\xi^{(n)}_1=1\)\(x-1\)+\summ_{j=2}^\infty
P\(\xi^{(n)}_1=j\)\(x^j-1\)$ azonoss\'ag teljes\"ul.
Ezenk\'{\i}v\"ul  a b) rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\left|\summ_{j=2}^\infty P\(\xi^{(n)}_1=j\)\(x^j-1\)\right| \le
2\summ_{j=2}^\infty P\(\xi^{(n)}_1=j\)= 2P\(\xi^{(n)}_1\ge2\)\le
\frac\e{2n},
$$
\'es az a) rel\'aci\'ob\'ol pedig az,
hogy $\left|P\(\xi^{(n)}_1=1\)\(x-1\)-\frac\lambda
n(x-1)\right|<\frac\e{2n}$, ha $n\ge n_0$ \'es $|x|<1$.
Ez\'ert igaz a fenti azonoss\'ag.

Tov\'abb\'a, mivel mint azt p\'eld\'aul a $\log(1+x)$ f\"uggv\'eny
Taylor sorfejt\'es\'eb\H{o}l lehet l\'atni, $|\log(1+u)-u|<u^2$, ha
$|u|<\frac12$, ez\'ert a fenti egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l
$u=g_n(x)-1$ v\'alaszt\'assal kapjuk, hogy
$\left|\log g_n(x)-(g_n(x)-1)\right|<\frac{2\e}n$, \'es
$\left|\log g_n(x)-\frac{\lambda(x-1)} n\right|<\frac{3\e}n$,
ha $n\ge n_1$, \'es $|x|\le 1$ alkalmas $n_1=n_1(\e)$
k\"usz\"obindexre. Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as igaz minden $\e>0$
sz\'amra, ez\'ert $\limm_{n\to\infty}n\log g_n(x)=\lambda(x-1)$,
$\limm_{n\to\infty}g_n(x)^n=e^{\lambda(x-1)}$, ha $x<1$. Viszont
l\'attuk, hogy innen k\"ovetkezik a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
{\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat.}
\medskip
\item{} Legyen
$$
\align
&\xi_{1,1}\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1}\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
sz\'eriasorozat, azaz tegy\"uk fel, hogy az egy sorban \'all\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket:
\item{1.)} A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel.
\item{2.)} $P(\xi_{k,j}=1)=\lambda_{k,j}$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=\lambda>0$.
\item{3.)} $\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}\to0$, ha $k\to\infty$,
\'es $\summ_{j=1}^{n_k}P\(\xi_{k,j}\ge2\)\to0$, ha $k\to\infty$.

\item{} Ekkor az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $\lambda$ para\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'ashoz, ha
$k\to\infty$, azaz
$\limm_{k\to\infty}P(S_k=l)=\frac{\lambda^l}{l!}e^{-\lambda}$ minden
$l=0,1,2,\dots$ sz\'amra.

\medskip\noindent
{\it A Hat\'areloszl\'ast\'etel szeml\'eletes tartalma:} Tekints\"uk
p\'eld\'aul a csillaghull\'ast. H\'any hull\'ocsillagot l\'atunk egy
adott id\H{o}\-in\-ter\-val\-lum\-ban, (mondjuk egy \'ora alatt)
egy ny\'ar \'ejszakai megfigyel\'esen? Szeretn\'enk tudni, hogy a
lehullott csillagok (v\'eletlen sz\'ama) milyen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi t\"orv\'enyeknek tesz eleget.
Ezt meg\'ertend\H{o}, osszuk fel az egy \'ora id\H{o}intervallumot
r\"ovid $\Delta T$ hossz\'us\'ag\'u id\H{o}intervallumokra. A
lehullott csillagok sz\'ama e r\"ovid $\Delta T$
id\H{o}intervallumokban lehullott csillagok sz\'am\'anak az
\"osszege. Feltehetj\"uk, hogy diszjunkt id\H{o}intervallumokban
lehullott csillagok sz\'ama egym\'ast\'ol f\"uggetlen, \'es a
k\"ul\"onb\"oz\H{o} r\"ovid intervallumokban lehull\'o csillagok
sz\'ama hasonl\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi t\"or\-v\'e\-nye\-ket
teljes\'{\i}t. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy r\"ovid
id\H{o}\-inter\-val\-lum\-ban lehull egy csillag nagyon kicsi, \'es
ar\'anyos az id\H{o}intervallum hossz\'aval. Annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy egy kis
id\H{o}\-in\-ter\-val\-lum\-ban kett\H{o} vagy m\'eg t\"obb csillag
is lehull, m\'eg ehhez k\'epest is elhanyagolhat\'o. Ez azt jelenti,
hogy term\'eszetes feltenni, hogy  teljes\"ulnek az el\H{o}bb
megfogalmazott t\'etel felt\'etelei. Ez\'ert az alkalmazhat\'o, \'es
innen k\"ovetkezik, hogy egy adott id\H{o}intervallumban lehullott
csillagok sz\'ama Poisson eloszl\'as\'u. Hasonl\'o \'ervel\'es
alkalmazhat\'o sok m\'as hasonl\'o esetben. Ez magyar\'azza meg,
hogy mi\'ert k\"ul\"on\"osen fontos a Poisson eloszl\'as.


A diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okr\'ol sz\'ol\'o ismertet\'est egy a
hi\-per\-geo\-met\-ri\-kus eloszl\'assal kapcsolatos statisztikai
probl\'em\'aval z\'arom. Ez a p\'elda az\'ert is \'erdekes lehet,
mert term\'eszetes m\'odon megismertet minket a matematikai
statisztika n\'eh\'any olyan fontos fogalm\'aval, mint a
becsl\'es vagy a konfidenciaintervallum.

\medskip\noindent
{\it Egy a hipergeometrikus eloszl\'assal kapcsolatos statisztikai
probl\'em\'ar\'ol.}
\medskip
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at:

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Egy t\'oban 3000 hal van. V\'eletlen\"ul kihal\'asznak
bel\H{o}le 1000 darabot, \'es ezekre piros p\"otty\"ot festenek \'es
visszaengedik \H{o}ket. Ezut\'an ism\'et kifognak v\'eletlen\"ul
1000 halat. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
kifogott halak k\"oz\"ott 100 megfestett van?
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$\frac{\binom{1000}{100}\binom{2000}{900}} {\binom{3000}{1000}}$,
mert ennyi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy 1000 hal
kiv\'alaszt\'asa eset\'en az 1000 megfestett halb\'ol 100-at a 2000
meg nem festett halb\'ol pedig 900 halat v\'alasztunk.


\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A gyakorlatban el\H{o}fordul\'o k\'erd\'es
ennek a ford\'{\i}tottja. Elv\'egezz\"uk a fenti kis\'erletet,
megsz\'amoljuk a m\'asodik fog\'asban kifogott megfestett
halak sz\'am\'at, \'es ebb\H{o}l pr\'ob\'alunk a t\'oban lev\H{o}
halak ismeretlen sz\'am\'ara k\"ovetkeztetni. Milyen elj\'ar\'as
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel tudjuk ezt j\'ol megtenni?

\medskip
\'Erdemes ezt a probl\'em\'at r\'eszletesebben megt\'argyalni.
Nem tudjuk, hogy h\'any hal van a t\'oban. De ennek
megbecsl\'ese \'erdek\'eben a k\"ovetkez\H{o} elj\'ar\'ast
alkalmazhatjuk:

V\'egezz\"unk k\'et fog\'ast, az els\H{o} fog\'asban kifogott
halakat jel\"oljuk meg, \'es sz\'amoljuk meg, hogy a m\'asodik
fog\'asban h\'any megjel\"olt \'es megjel\"oletlen halat fogtunk.
Ennek alapj\'an meg akarjuk \'allap\'{\i}tani, hogy h\'any hal
lehet \"osszesen a t\'oban. Ezt term\'eszetesen csak bizonyos
(v\'eletlent\H{o}l f\"ugg\H{o}) pontoss\'aggal tudjuk
meghat\'arozni. Az ilyen tipus\'u fel\-ada\-tok tipikusak a
matematikai statisztik\'aban, az ilyen probl\'em\'ak vizsg\'alat\'at
nevezik becsl\'eselm\'eletnek. Vil\'agos, hogy a feladatban
szerepl\H{o} adatok eset\'en nem val\'osz\'{\i}n\H{u}, hogy
1000-n\'el alig t\"obb hal van a t\'oban, mert akkor sokkal t\"obb
megjel\"olt hal lenne a m\'asodik fog\'asban. Az hogy rengeteg,
mondjuk 1~000~000 hal lenne a t\'oban szint\'en nem t\'ul
val\'osz\'{\i}n\H{u}, mert akkor sokkal kevesebb megjel\"olt hal
lenne a m\'asodik fog\'asban. A matematikai statisztik\'aban
kidolgoztak egy \'altal\'anos elvet, egy maximum likelihood
m\'odszernek ne\-ve\-zett elj\'ar\'ast, amely nagyon
\'altal\'anos felt\'etelek mellett j\'o m\'odszert ad a minket
\'erdekl\H{o} mennyis\'eg becsl\'es\'ere.
Megt\'argyaljuk, hogy milyen eredm\'enyt ad ez a jelen esetben is
al\-kal\-maz\-hat\'o m\'odszer. Te\-kint\-s\"unk egy kiss\'e
\'altal\'anosabb probl\'em\'at. Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
jel\"ol\'eseket:

\medskip
\item{} $x$ jel\"oli a t\'oban l\'ev\H{o} halak (ismeretlen)
sz\'am\'at.
\item{} $n$ jel\"oli az els\H{o} fog\'asban kifogott (\'es
megjel\"olt) halak sz\'am\'at.
\item{} $r$ jel\"oli a m\'asodik fog\'asban kifogott halak
sz\'am\'at.
\item{} $k$ jel\"oli a m\'asodik fog\'asban kifogott,
el\H{o}z\"oleg megjel\"olt halak sz\'am\'at.

\medskip\noindent
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy adott (ismeretlen) $x$ \'es
$n$, $r$ sz\'amok eset\'en pontosan $k$ megjel\"olt halat fogunk ki
$$
q_k(x,n,r)=\frac{\binom{n}k\binom {x-n}{r-k}}{\binom xr}.
$$
Tekints\"uk az ismeretlen $x$ sz\'am (maximum likelihood)
becsl\'es\'enek azt az $x$ sz\'amot, amelyre a $q_k(x,n,r)$
mennyis\'eg (r\"ogz\'{\i}tett $n$, $k$ \'es $r$ sz\'amok mellett)
maxim\'alis.

\item{} Hat\'arozzuk meg a fenti feladatban a maximum likelihood
becsl\'est.
\item{} N\'emi sz\'amol\'as mutatja, hogy
$$
\frac{q_k(x,n,r)}{q_k(x-1,n,r)}=\frac
{x-n}{x-n-r+k}\cdot\frac{x-r}x=\frac{x^2-rx
-nx+rn}{x^2-rx-nx+kx}.
$$
Ez a t\"ort kisebb mint egy, ha $rn<kx$, nagyobb mint egy, ha
$rn>kx$. Ez\'ert a becsl\'es $rn=kx$, azaz $x=\frac {rn}k$,
pontosabban az e sz\'amot k\"ozrefog\'o eg\'esz sz\'amok
valamelyike. Val\'oban $x<\frac {rn}k$ eset\'eben a $q_k(x,n,r)$
f\"uggv\'eny (mint az $x$ v\'altoz\'o f\"uggv\'enye r\"ogz\'{\i}tett
$k$, $n$ \'es $r$ param\'eterekkel) monoton n\H{o}, $x>\frac {rn}k$
eset\'eben pedig a $q_k(x,n,r)$ f\"uggv\'eny monoton cs\"okken.
\medskip

Term\'eszetes k\'erd\'es az, hogy az \'{\i}gy kapott becsl\'es
val\'oban j\'o-e. Azt nem v\'arhatjuk, hogy az adott becsl\'es
teljesen pontos. A term\'eszetes elv\'ar\'as az, hogy meg tudjuk
adni az $x$ pontnak viszonylag egy kis k\"ornyezet\'et, egy olyan
$[x-a,x+a]$ intervallumot, amely\-re igaz, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a halak val\'odi sz\'ama ebbe az
intervallumba esik nagyobb, mint egy el\H{o}\'{\i}rt egyhez k\"ozeli
sz\'am. A matematikai statisztik\'aban az adott tulajdons\'aggal
rendelkez\H{o} (v\'eletlen) intervallumot konfidencia
(megb\'{\i}zhat\'os\'agi) intervallumnak h\'{\i}vj\'ak.

Ahhoz, hogy ilyen konfidenciaintervallumot tudjunk szerkeszteni
sz\"uks\'eg van bizonyos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'as\'anak jobb ismeret\'ere, \'es ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik alapvet\H{o}
feladata. Jegyezz\"uk meg, hogy a most vizsg\'alt feladatban,
ha a t\'oban $x$ sz\'am\'u hal van, \'es az els\H{o} fog\'asban
$n$, a m\'asodik fog\'asban pedig $r$ halat fogunk ki, akkor a
m\'asodik fog\'asban kifogott v\'eletlen $k$ sz\'am\'u megjel\"olt
hal sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke $Ek=\frac {rn}x$. Ahhoz,
hogy vizsg\'alni tudjuk mennyire j\'o a becsl\'es, hogyan lehet j\'o
konfidenciaintervallumot konstru\'alni, azt kell meg\'erten\"unk,
hogy mekkora az ingadoz\'asa a $k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak a v\'arhat\'o \'ert\'eke k\"or\"ul. Ez\'ert \'erdemes
egy hipergeometrikus eloszl\'as sz\'or\'asn\'egyzet\'et
kisz\'amolni. Tov\'abbi \'ert\'ekes
inform\'aci\'okat nyerhet\"unk, ha t\'eteleket bizony\'{\i}tunk
hipergeometrikus eloszl\'asok aszimptotikus eloszl\'as\'ara, ha a
benne szerepl\H{o} param\'eterek nagyok. B\'ar ezzel a
k\'erd\'essel nem fogunk foglalkozni, hasonl\'o probl\'em\'akat
fogunk t\'argyalni, amelyek vizsg\'alat\'aban ilyen jelleg\H{u}
k\'erd\'esek megold\'asa hasznos.

\beginsection \'Altal\'anos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
\'es vel\"uk kapcsolatos alapvet\H{o} fogalmak.

Megbesz\'elt\"uk, hogy egy $\xi$ (val\'os \'ert\'ek\H{u})
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ertelmezett (m\'erhet\H{o})
f\"uggv\'eny. \'Altal\'aban, nem a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat adjuk meg, hanem azoknak al\'abb defini\'alt
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
$\xi(\oo)$ (val\'os \'ert\'ek\H{u}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ennek $F(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'en az
$F(x)=P\(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\}\)$, $-\infty<x<\infty$,
f\"uggv\'enyt \'ertj\"uk.}

\medskip\noindent
E fogalmak jobb meg\'ert\'es\'enek \'erdek\'eben tekints\"uk a
k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'akat.

\medskip
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{1.)} Tekints\"uk egy szab\'alyos dob\'okocka feldob\'as\'at,
illetve azt a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely
megadja, hogy mi a dob\'as eredm\'enye. Mi a $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye?

\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o az 1, 2, 3, 4, 5 \'es 6 \'ert\'ekek valamelyik\'et veszi
fel, mindegyiket $\frac16$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez\'ert
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $\xi(\oo)<x$ null\'aval
egyenl\H{o}, ha $x<1$. S\H{o}t $x=1$ eset\'eben is teljes\"ul a
$P(\xi<1)=0$ azonoss\'ag, mert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
n\'ezz\"uk, hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
szigor\'uan kisebb mint az $x$ sz\'am. Ez\'ert $F(x)=0$, ha
$-\infty<x\le1$. Ha $1<x<2$, akkor az $\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\}$
esem\'eny azt jelenti, hogy a dob\'as eredm\'enye 1. Ez az
\'all\'{\i}t\'as igaz $x=2$ eset\'eben is. Ez\'ert $F(x)=\frac16$,
ha $1<x\le2$. Ha $2<x\le3$, akkor az
$\{\oo\colon\colon\;\xi(\oo)<x\}$ esem\'eny azt jelenti, hogy a
dob\'as eredm\'enye 1 vagy 2. Ez\'ert $F(x)=\frac26$, ha $2<x\le3$.
Ezt a gondolatot v\'egigk\"ovetve kapjuk, hogy $F(x)=0$, ha
$-\infty<x\le1$, $F(x)=\frac j6$, ha $j<x\le j+1$, $1\le j\le 5$,
\'es $F(x)=1$, ha $6<x<\infty$,

\medskip
\item{2.)} Feldobunk egy p\'enzdarabot, amely $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej, $1-p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra k\'etszer
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Jel\"olje $\xi$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely a fejdob\'asok
sz\'am\'at adja meg. Adjuk meg a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'at a $P(\xi=0)=(1-p)^2$, $P(\xi=1)=2p(1-p)$
\'es $P(\xi=2)=p^2$ k\'epletek adj\'ak meg. Ez azt jelenti, hogy a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)=P(\xi<x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ere $F(x)=0$, ha $x\le0$, $F(x)=(1-p)^2$,
ha $0<x\le 1$, $F(x)=P(\xi=0)+P(\xi=1)=(1-p)^2+2p(1-p)=1-p^2$, ha
$1<x\le 2$, \'es $F(x)=1$, ha $x\ge2$.
\item{3.)} Ledobunk egy pontot v\'eletlen\"ul az
egys\'egintervallumra, azaz annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
a ledobott pont valamely $[a,b]\subset[0,1]$ intervallumba esik
legyen $b-a$. Jel\"olje $\xi$ a ledobott pont hely\'enek a
nagys\'ag\'at. Adjuk meg a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Mivel $P(\xi<x)=0$, ha $x\le 0$,
$P(\xi<x)=P(\xi\in[0,x))=x$, ha $0\le x\le1$, \'es $P(\xi<x)=1$, ha
$x>1$, ez\'ert az $F(x)=P(\xi<x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyre $F(x)=0$,
ha $x<0$, $F(x)=x$, ha $0\le x\le1$, \'es $F(x)=1$, ha $x>1$.
\item{4.)} Ledobunk egy pontot v\'eletlen\"ul a $[0,2]$
intervallumra, azaz annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
ledobott pont valamely $[a,b]\subset[0,2]$ intervallumba esik legyen
$\frac{b-a}2$. Valaki fel\'{\i}rja a ledobott pont hely\'et egy
jegyz\H{o}k\"onyvbe, ha a ledobott pont a $[0,1]$ intervallumba
esik, \'es a 0 \'ert\'eket \'{\i}rja be, ha ez a pont az $[1,2]$
intervallumba esik. Jel\"olje $\eta$ a jegyz\H{o}k\"onyvbe
\'{\i}rt sz\'am \'ert\'ek\'et. Adjuk meg az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi$ a ledobott
pont hely\'enek az \'ert\'ek\'et. Ekkor $P(\eta<0)=0)$,
$P(\eta=0)=P(\xi\in[1,2])=\frac12$,
$P(\eta<x)=P(\xi<x)+P(\xi\in[1,2])=\frac12+\frac x2$, ha
$0\le x\le1$, \'es $P(\eta<x)=1$, ha $x>1$. Innen az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye a k\"ovetkez\H{o}: $F(x)=0$,
ha $x\le0$, $F(x)=\frac12+\frac x2$, ha $0\le x\le1$, \'es
$F(x)=1$, ha $x\ge1$.

\medskip
Az els\H{o} k\'et p\'eld\'aban egy diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et
adtuk meg. A harmadik p\'eld\'aban szerepl\H{o}
eloszl\'asf\"uggv\'eny folytonos f\"uggv\'eny volt. Az ilyen
eloszl\'asokat folytonos eloszl\'asnak h\'{\i}vj\'ak az
irodalomban. A negyedik p\'eld\'aban sze\-rep\-l\H{o}
eloszl\'asf\"uggv\'eny nem volt folytonos, mert a nulla pontban
ugr\'asa van, \'es ugyan\-csak nem volt egy diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye.

\medskip
Mi\'ert fontos az eloszl\'asf\"uggv\'eny fogalma? \'Altal\'aban nem
tudjuk, hogy milyen v\'eletlen hat\'asok eredm\'enyek\'ent jelenik
meg egy $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\'ert\'eke, csak azt, hogy milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
vesz fel ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o bizonyos
\'ert\'ekeket. Ez\'ert term\'eszetes, hogy csak ezeket a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket adjuk meg. A $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye csak az $\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\}$
alak\'u esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et adja meg. A
k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'es az, hogy nem jelent-e ez
megszor\'{\i}t\'ast, hiszen minket az \"osszes
$\{\oo\colon\;\xi(\oo)\in B\}$ alak\'u esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel, ahol $B$ ,,sz\'ep" halmaz.
Vi\-szont bizonyos m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyekb\H{o}l
k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
meghat\'arozza az \"osszes ilyen esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Az, hogy egy halmaz ,,sz\'ep"
pontosan azt jelenti, hogy ez a halmaz Borel m\'erhet\H{o}.
L\'assuk, hogyan lehet n\'eh\'any ilyen esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et meghat\'arozni.

Mivel $\{\oo\colon\;a\le\xi(\oo)<b\}=\{\oo\colon\;\xi(\oo)<b\}
\setminus\{\oo\colon\;\xi(\oo)<a\}$, ez\'ert
$$
P\(\{\oo\colon\;a\le\xi(\oo)<b\}\)=
P\(\{\oo\colon\;a\le\xi(\oo)<b\}\)-P\(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<a\}\)
=F(b)-F(a).
$$
Mivel $\{\oo\colon\;a\le \xi(\oo)\le b\}=\bigcapp_{n=1}^\infty
\left\{\oo\colon\;a\le\xi(\oo)<b+\frac1n\right\}$, \'es a
 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\sigma$-ad\-di\-ti\-vi\-t\'a\-s\'a\-b\'ol k\"ovetkeznek
annak folytonoss\'agi tulajdons\'agai, ez\'ert
$$
\align
P\(\{\oo\colon\;a\le \xi(\oo)\le b\}\)&=\limm_{n\to\infty}
P\(\left\{\oo\colon\;a\le\xi(\oo)<b+\frac1n\right\}\)\\
&=\limm_{n\to\infty}\[F\(b+\frac1n\)-F(a)\].
\endalign
$$
Hasonl\'oan, ha adva van diszjunkt z\'art $[a_k,b_k]$,
$1\le k\le n$, intervallumok halmaza, akkor
$$
P\(\bigcupp_{k=1}^n\left\{\oo\colon\; a_k\le \xi(\oo)\le b_k\right\}\)=
\summ_{k=1}^n\limm_{N\to\infty}\[F\(b_k+\frac1N\)-F(a_k)\].
$$

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen adva egy $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye. Hat\'arozzuk meg ennek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $\{\oo\colon\;a<\xi(\oo)<b\}$ alak\'u
esem\'enyek, $-\infty<a<b<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
valamint annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy $\xi(\oo)$
valamilyen p\'aros eg\'esz \'ert\'eket vesz fel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
P\(\{\oo\colon\;a<\xi(\oo)<b\}\)=&
\limm_{n\to\infty} P\(\left\{\oo\:a+\frac1n\ge\xi(\oo)<b\right\}\)\\
&=\limm_{n\to\infty} \[F(b)-F\(a+\frac1n\)\].
\endalign
$$
Egy tetsz\H{o}leges $u$ pontra $P(\xi=u)
=\limm_{n\to\infty}\[F\(u+\frac1n\)-F(u)\]$. Ez\'ert annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o valamely p\'aros eg\'esz \'ert\'eket vesz fel
$\summ_{k=-\infty}^\infty \limm_{n\to\infty}\[F\(2k+\frac1n\)-F(2k)\]$.

\medskip
Megfogalmazom azokat eredm\'enyeket, amelyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
jellemezni tudjuk az eloszl\'asf\"uggv\'enyeket, illetve, amelyek
kimondj\'ak, hogy az elosz\'asf\"uggv\'enyek meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak
a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket.

\medskip\noindent
{\bf Lemma eloszl\'asf\"uggv\'enyek tulajdons\'agair\'ol.}
{\it Legyen $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es
legyen $F(x)=P(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\})$,
$-\infty<x<\infty$, e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat.

\medskip
\item{a)} $F(x)$ monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny.
\item{b)} $F(x)$ balr\'ol folytonos f\"uggv\'eny, azaz
 $\limm_{h\to0,\, h>0} F(x-h)=F(x)$ minden $-\infty<x<\infty$
sz\'amra.
\item{c)} $\limm_{x\to\infty}F(x)=1$.
\item{d)} $\limm_{x\to-\infty}F(x)=0$.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'as\'anak jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Ha egy $F(x)$
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az el\H{o}z\H{o} lemm\'aban
megfogalmazott a)---d) tulajdons\'agokat, akkor az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny. R\'eszletesebben megfogalmazva
ez azt jelenti, hogy ha az $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
a)---d) felt\'eteleket, akkor l\'etezik egy $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es azon olyan $\xi(\oo)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, amelynek az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye ez az $F(x)$ f\"uggv\'eny.}

\medskip
A fent megfogalmazott T\'etel felhaszn\'al egy fontos
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyt, amelyet megfogalmazok. De
e t\'etel bizony\'{\i}t\'asa a m\'ert\'ekelm\'elet anyaga, ez\'ert
azt itt nem t\'argyaljuk.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel B.} {\it Ha egy $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
el\H{o}z\H{o} lemm\'aban megfogalmazott a)---d) tulajdons\'agokat
akkor l\'etezik egy olyan \'ugynevezett $\mu_F(\cdot)$ az $F$
f\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott Stieltjes m\'ert\'ek, amely
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat.

\medskip
\item{a)} A sz\'amegyenes minden $B$ Borel halmaz\'anak l\'etezik
$\mu_F(B)$ Stieltjes m\'ert\'eke.
\item{b)} A $\mu_F(\cdot)$ halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-addit\'{\i}v
a sz\'amegyenes Borel-halmazaib\'ol \'all\'o (Borel)
$\sigma$-algebr\'an, \'es $\mu_F(R^1)=1$.
\item{c)} $\mu_F([a,b))=F(b)-F(a)$ minden $-\infty\le a<b\le\infty$
sz\'amra. Speci\'alisan, \hfill\break
$\mu_F((-\infty,b))=F(b)$ minden $-\infty<b<\infty$ sz\'amra.
\medskip
Egy az el\H{o}z\H{o} lemma a)---d) tulajdons\'agait
teljes\'{\i}t\H{o} $F(x)$ f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozza azokat az $\mu_F(B)$ sz\'amokat minden Borel
m\'erhet\H{o} $B$ halmazra, amelyekre teljes\"ul, hogy
$\mu_F((-\infty,b))=F(b)$ minden $-\infty<b< \infty$ sz\'amra,
\'es $\mu_F(\cdot)$ $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny a
sz\'amegyenes Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an.}
\medskip

% a $\mu_F(B)=P(\{\oo\colon\;\xi(\oo)\in B\})$
%halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-addit\'{\i}v a sz\'amegyenes Borel
%$\sigma$-algebr\'aj\'an, \'es $P(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<b\})=F(b)$.
Az el\H{o}bb megfogalmazott T\'etel~B-b\H{o}l \'es a m\'ert\'ekelm\'elet
egy fontos eredm\'eny\'eb\H{o}l, a m\'asodik el\H{o}ad\'as
kieg\'esz\'{\i}t\'es\'eben ismertetett Carath\'eodory-f\'ele 
kiterjeszt\'esi t\'etelb\H{o}l az is k\"ovetkezik, hogy az $F(x)$ 
eloszl\'asf\"uggv\'eny meghat\'arozza a
$P(\{\oo\colon\;\xi(\oo)\in B\})=F_\mu(B)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket
minden Borel--m\'erhet\H{o} $B$ halmazra.

\medskip\noindent
{\it A Lemma bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Mivel $\{\oo\colon\;\xi(\oo)<a\}
\subset\{\oo\colon\;\xi(\oo)<b\}$, ha $a<b$, ez\'ert
$P(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<a\})\le P(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<b\})$ ebben
az esetben, \'es ez az a) tulajdons\'ag.

Az a) tulajdons\'ag \'erv\'enyess\'ege miatt a b) tulajdons\'ag
bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben el\'eg megmutatni azt, hogy ha $h_n$,
$n=1,2,\dots$, olyan monoton cs\"okken\H{o} sorozat, amelyre
$\limm_{n\to\infty}h_n=0$, akkor $\limm_{n\to\infty}F(x-h_n)=
\limm_{n\to\infty}P\(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x-h_n\}\)= F(x)=
P\(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\}\)$. Ez viszont k\"ovetkezik az
$\bigcupp_{n=1}^\infty\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x-h_n\}
=\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\}$
rel\'aci\'ob\'ol \'es a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
folytonoss\'ag\'ab\'ol. A c) \'es d) tulajdons\'ag
bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o.

\medskip\noindent
{\it A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak
jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel bizony\'{\i}t\'asa a
T\'etel~B seg\'{\i}ts\'eg\'evel:}\/ Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o}
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t,
$\Omega=R^1$, a sz\'am\-egye\-nes, $\Cal A=\Cal B$, a sz\'amegyenes
Borel m\'erhet\H{o} halmazainak $\sigma$-algebr\'aja, $P=\mu_F$, a
Borel m\'erhet\H{o} halmazok $\sigma$-algebr\'aj\'an az $F$
f\"uggv\'eny \'altal defini\'alt Stieltjes m\'ert\'ek, amelynek
l\'etez\'es\'et a T\'etel~B \'all\'{\i}t\'asa fogalmazza meg. Legyen
$\xi(x)=x$, azaz jelen p\'eld\'aban az $\oo$ elemi esem\'enyek az
$x$ val\'os sz\'amok, \'es a $\xi(x)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o az $x$ helyen az $x$ sz\'ammal egyenl\H{o}. Ekkor
$P(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\})=\mu_F(u\colon\;u<x)=F(x)$ minden $x$
sz\'amra. Ez azt jelenti, hogy a defini\'alt $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa az $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny.

\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es.}\/ Az el\H{o}z\H{o} bizony\'{\i}t\'as egyetlen
nehezebb l\'ep\'ese annak igazol\'asa, hogy a konstru\'alt $\mu_F$
halmazf\"uggv\'eny (val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi) m\'ert\'ek, azaz
$\sigma$-addit\'{\i}v. Megjegyzem, hogy ennek az \'all\'{\i}t\'asnak
a bizony\'{\i}t\'asa elker\"ulhetetlen. Ugyan\-is a T\'etel~B
\'all\'{\i}t\'asa k\"onnyen levezethet\H{o} a bizony\'{\i}tott
eredm\'enyb\H{o}l.

\medskip \noindent
{\it 2. megjegyz\'es.}\/ Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy mi a
jelent\H{o}s\'ege sz\'amunkra a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etelnek. Ezen eredm\'eny fontoss\'ag\'anak oka a k\"ovetkez\H{o}.
Gyakran megfogalmazunk olyan feladatot, amelyben egy olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'or\'ol akarunk tudni valamit,
amelyiknek az eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et egy k\'eplettel megadtuk.
Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy \'ertelmes feladatot fogalmaztunk-e
meg, azaz l\'etezik-e ilyen eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o. A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak
jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel azt \'all\'{\i}tja, hogy
amennyiben az \'altalunk megadott k\'eplet teljes\'{\i}t n\'eh\'any
olyan felt\'etelt, amelyet minden eloszl\'asf\"uggv\'enynek
teljes\'{\i}tenie kell, akkor ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o l\'etezik.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} L\'assuk be, hogy l\'etezik olyan diszkr\'et eloszl\'as\'u
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek $F(x)=P(\xi<x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ere igaz, hogy minden $-\infty<a<b<\infty$
sz\'amp\'arra $F(a)<F(b)$ szigor\'u egyenl\H{o}tlens\'eggel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Egy lehets\'eges konstrukci\'o a
k\"ovetkez\H{o}. Legyen $r_1,r_2,\dots$, a racion\'alis sz\'amok
sorozata valamilyen sorrendben felsorolva. Defini\'aljunk olyan $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot, amelyre
$P(\xi=r_j)=2^{-j}$, $j=1,2,\dots$. Ekkor $\xi$ diszkr\'et
el\-osz\-l\'a\-s\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
ennek $F(x)$ eloszl\'as\'ara $F(b)-F(a)=P(a<\xi<b)>0$, mert
$P(a<\xi<b)>P(\xi=r_j)>0$, ahol $r_j$ egy az $[a,b]$ intervallum
belsej\'eben l\'ev\H{o} racion\'alis sz\'am.

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} t\'em\'ank val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek a definici\'oja \'es legfontosabb
tulajdons\'agai az \'altal\'anos esetben.

\beginsection Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'eke.

A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egy nagyon fontos fogalma
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'eke.
Ezt a fogalmat r\'eszletesen t\'argyaltuk diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben. Az \'altal\'anos
eset t\'argyal\'asa visszavezethet\H{o} erre a speci\'alis esetre
alkalmas hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezt a
hat\'ar\'atmenet elj\'ar\'ast kiss\'e \'altal\'anosabb form\'aban
elv\'egezt\'ek a m\'ert\'ekelm\'eletben az \'ugynevezett Lebesgue
integr\'al bevezet\'es\'en\'el. A
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
t\'argyal\'as\'aban a v\'arhat\'o \'ert\'ek vizsg\'alat\'at
 egyszer\H{u}en \'es gyorsan el tudj\'ak v\'egezni, ha szabad
haszn\'alni a Lebesgue integr\'al fogalm\'at.

Ebben az el\H{o}ad\'asban a k\"ovetkez\H{o} k\"oztes megold\'ast
v\'alasztom. Elmagyar\'azom azt a k\'epet, amely term\'eszetess\'e
teszi a haszn\'alt Lebesgue m\'ert\'ek definici\'oj\'at, \'es
szem\-l\'e\-le\-te\-sen megmutatom, hogy mi\'ert \'erv\'enyesek a
legfontosabb eredm\'enyek. A form\'alis r\'eszletek kidolgoz\'asa
viszont nem ennek az el\H{o}ad\'asnak a t\'em\'aja.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek {\it form\'alis}\/ definici\'oja.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n.
E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'ugy defini\'aljuk, mint a $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enynek az
$$
E\xi(\oo)=\int \xi(\oo) dP(\oo)
$$
Lebesgue integr\'alj\'at a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
szerint, felt\'eve, hogy $\int |\xi(\oo)| dP(\oo)<\infty$. Ha ez a
felt\'etel nem teljes\"ul, akkor nem defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.}

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} {\it Fontos T\'etel}\/-nek nevezett eredm\'eny
lehet\H{o}v\'e teszi egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek kisz\'am\'{\i}t\'as\'at csak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek az ismeret\'eben.

\medskip\noindent
{\bf Fontos T\'etel.} {\it Legyen $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelynek $F(x)$ az $F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$,
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor
$$
E\xi(\oo)=\int_{-\infty}^\infty xF(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol
az $F$ m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty |x| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o} esetben
az $E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}
\medskip
S\H{o}t, igaz a Fontos T\'etel k\"ovetkez\H{o}
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa. \medskip\noindent
{\bf A Fontos T\'etel \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelynek $F(x)$ az
$F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye.
Legyen $g(x)$ tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen, \'es defini\'aljuk az $\eta(\oo)=g(\xi(\oo))$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ekkor
$$
E\eta(\oo)=Eg(\xi(\oo))=\int_{-\infty}^\infty  g(x) F(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol
az $F$ m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty|g(x)| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o}
esetben az $E\eta$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}bb megfogalmazott eredm\'enyekben
szerepelt az $\int_{-\infty}^\infty|x| F(\,dx)<\infty$, illetve
$\int_{-\infty}^\infty|g(x)| F(\,dx)<\infty$ felt\'etel. E
felt\'etelek term\'eszetes megfelel\H{o}i annak a diszkr\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben szerepl\H{o}
felt\'etelnek,  hogy egy diszkr\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et defini\'al\'o \"osszeg legyen abszolut konvergens.
\medskip

A v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'aban szerepelt a Lebesgue
integr\'al fogalma. Ennek a fogalomnak a jelent\'ese n\'emi
ma\-gya\-r\'a\-zat\-ra szorul. Sz\'amunkra el\'eg lesz egy olyan
k\'ep ma\-gya\-r\'a\-zat\-k\'ent, amelyik szeml\'eletesen megmutatja
ennek \'ertelm\'et. Ilyen magyar\'azatot adok az al\'abbiakban egy r\"ovid
kieg\'esz\'{\i}t\'esben, amelyben nem t\"orekszem teljess\'egre.
K\"ul\"on \'erdemes megjegyezni, hogy maga az $\int
\xi(\oo)\,P(\,d\oo)$ integr\'al azon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n van defini\'alva, ahol a $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, (eml\'ekezz\"unk, hogy
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ertelmezett (m\'erhet\H{o})
f\"uggv\'eny) \'es maga az integr\'al\'as is az ezen a mez\H{o}n
\'ertelmezett t\'eren l\'etezik. M\'egis a Fontos t\'etelben,
illetve annak \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-ban olyan
eredm\'enyt fogalmaztam meg, amely lehet\H{o}v\'e teszi egy ilyen
integr\'al kisz\'amol\'as\'at an\'elk\"ul, hogy explicite
megadn\'ank azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, ahol
dolgozunk. A t\'etel tal\'an legfontosabb \'all\'{\i}t\'asa az,
hogy el\'eg tudnunk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, \'es akkor ki tudjuk
sz\'amolni mind a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, mind a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy tetsz\H{o}leges
f\"uggv\'eny\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.

Az itt szerepl\H{o} integr\'al \'altal\'anosabb, mint az
anal\'{\i}zisben tanult Riemann illetve Riemann--Stieltjes
integr\'al. Viszont, ha az ut\'obbiak l\'eteznek, akkor azok
megegyeznek a minket \'erdekl\H{o} integr\'allal. V\'eg\"ul
megjegyzem, hogy tanultuk kor\'abban, hogyan lehet kisz\'amolni
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
illetve azok f\"uggv\'enyeinek v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Ezt
\'erdemes ide\'{\i}rni, hogy l\'assuk hasonl\'os\'agukat a Fontos
T\'etellel, illetve annak \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'aval.
Val\'oj\'aban a kor\'abban megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asok
ezeknek az eredm\'enyeknek az \'altal\'anos\'{\i}t\'asai.

Legyen $\xi$ diszkr\'et \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amely valamely $x_1,x_2,\dots$, val\'os \'ert\'ekeket
vesznek fel. Ekkor
$$
\align
E\xi&=\sum_i x_i P(\xi=x_i)\\
Eg(\xi)&=\sum_i g(x_i) P(\xi=x_i),
\endalign
$$
felt\'eve, hogy a jobboldalon szerepl\H{o} \"osszegek abszolut
konvergensek.

A Lebesgue integr\'al teljes\'{\i}ti a Riemann integr\'alra
\'erv\'enyes additivit\'asi tulajdons\'ag k\"ovetkez\H{o}
term\'eszetes \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at:
$$
\int \(c_1\xi_1(\oo)+c_2\xi_2(\oo)\)dP(\oo)=
c_1\int \xi_1(\oo)dP(\oo)+ c_2\int \xi_2(\oo)dP(\oo)
$$
minden (integr\'alhat\'o) $\xi_1$ \'es $\xi_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora \'es val\'os $c_1$, $c_2$
sz\'amra. Ennek az azonoss\'agnak a k\"ovetkezm\'enye
(val\'oj\'aban \'atfogalmaz\'asa) a k\"ovetkez\H{o}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha k\'et $\xi_1$, $\xi_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
(amelyek ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
defini\'alva) l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, $c_1$ \'es $c_2$
k\'et val\'os sz\'am, akkor a $c_1\xi_1+c_2\xi_2$ kifejez\'esnek
is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E\(c_1\xi_1+c_2\xi_2\)= c_1E\xi_1+c_2E \xi_2.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ez az eredm\'eny azt \'all\'{\i}tja,
hogy az \'altal\'anos esetben is \'erv\'enyes a diszkr\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol sz\'ol\'o eredm\'eny,
amely v\'eletlen \"osszegek v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
additivit\'as\'at fejezi ki. Ebben az esetben sem kell
megk\"ovetelni a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
(\'altal\'anos esetben m\'eg nem t\'argyalt) f\"uggetlens\'eg\'et.
A fenti eredm\'eny a v\'arhat\'o \'ert\'eknek eredeti
definici\'oj\'ab\'ol ad\'odott, amely a v\'arhat\'o \'ert\'eket
mint egy ``absztrakt" Lebesgue integr\'alt adta meg. Sokszor
hasznosabb a v\'arhat\'o \'ert\'ek eredeti definic\'oja helyett
azt a Fontos T\'etelnek nevezett eredm\'enyt, illetve annak
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at al\-kal\-maz\-ni, amely lehet\H{o}v\'e
teszi egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek kisz\'am\'{\i}t\'as\'at akkor is, ha csak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et
ismerj\"uk. M\'egis, mint a fenti eredm\'eny mutatja, n\'eha
\'erdemes az eredeti definici\'ora hivatkozni.

\medskip
A v\'arhat\'o \'ert\'ek (Lebesgue integr\'al form\'aj\'aban
megadott definici\'oj\'ab\'ol) k\"onnyen l\'athat\'o, hogy ha egy
$\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora teljes\"ul a
$P(\xi(\oo)\ge0)=1$ felt\'etel, akkor $E\xi(\oo)\ge0$. Innen
k\"ovetkezik, hogy amennyiben k\'et $\xi(\oo)$ \'es $\eta(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
teljes\"ul, hogy $P(\xi(\oo)\ge\eta(\oo))\ge0$, akkor
$E\xi(\oo)\ge E\eta(\oo)$. Val\'oban, ekkor
$E\xi(\oo)-E\eta(\oo)=E\(\xi(\oo)-\eta(\oo)\)\ge0$. Ennek az
\'eszrev\'etelnek egyik k\"ovetkezm\'enye az al\'abbi Markov
egyenl\H{o}tlens\'egnek nevezett \'all\'{\i}t\'as.

\medskip\noindent
{\bf Markov egyenl\H{o}tlens\'eg.} {\it Ha $\xi(\oo)$ nem
negat\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz
ha  \hfill\break $P(\xi(\oo)\ge0)=1$, akkor
$$
P(\xi(\oo)\ge x)\le\frac{E\xi(\oo)}x \quad\text{minden $x>0$ sz\'amra.}
$$
}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o al\'abbi
$\eta(\oo)$ transzform\'altj\'at:
$$
\eta(\oo)=\left\{
\aligned
x&\quad \text{ha }\xi(\oo)\ge x\\
0&\quad \text{ha } 0\le\xi(\oo)<x
\endaligned\right.
$$
Ekkor $P(\xi(\oo)\ge\eta(\oo))=1$, ez\'ert $E\xi(\oo)\ge
E\eta(\oo)=xP(\eta(\oo)\ge x)=xP(\xi(\oo)\ge x)$, ahonnan
k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as.

\medskip
Defini\'aljuk \'altal\'anos esetben is val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

\medskip\noindent
{\bf Sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$.
Ekkor e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzete
$$
\Var\xi=E\(\xi-E\xi\)^2
$$
(Ha $E\xi^2=\infty$, akkor vagy nem defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et,
vagy azt mondjuk, hogy $\Var\xi(\oo)=\infty$.}

\medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2.
$$

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\Var\xi=E\(\xi-E\xi\)^2=E\(\xi^2-2\xi E\xi+\(E\xi\)^2\)=
E\xi^2-2E\xi E\xi+\(E\xi\)^2=E\xi^2-\(E\xi\)^2.
$$

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}z\H{o} lemm\'ab\'ol \'es a
$\Var\xi\ge0$ egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$(E\xi)^2\le E\xi^2$. Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak igaz a
k\"ovetkez\H{o} Cauchy--Schwarz egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg\-nek
nevezett egyenl\H{o}tlens\'eg: $(E\xi\eta)^2\le E\xi^2E\eta^2$.
S\H{o}t, ez az \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyesebb az al\'abbi
\'elesebb form\'aban is: Adva egy $(X,\Cal A,\mu)$ m\'ert\'ekt\'er,
azon k\'et (m\'erhet\H{o}) $f(x)$ \'es $g(x)$ f\"uggv\'eny,
$x\in X$, akkor
$\(\int f(x)g(x)\mu(\,dx)\)^2\le\int f(x)^2\mu(\,dx)\int g(x)^2\mu(\,dx)$.
Ez azt jelenti, hogy a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg
\'erv\'enyes tetsz\H{o}leges ($\sigma$-v\'eges) \'es nemcsak egyre
norm\'alt, azaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek szerinti
integr\'alra.

B\'ar a fenti egyenl\H{o}tlens\'egre nem lesz sz\"uks\'eg\"unk
k\'es\H{o}bb, \'es annak bizony\'{\i}t\'as\'at nem kell tudni a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as vizsg\'an, m\'egis
ismertetem annak bizony\'{\i}t\'as\'at, mivel az tanuls\'agos.
Ezt a bizony\'{\i}t\'ast megkaphatjuk az el\H{o}z\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'as\'anak a
finom\'{\i}t\'as\'aval. Nevezetesen, tetsz\H{o}leges $\lambda$
val\'os sz\'amra fel\'{\i}rhatjuk, hogy $0\le \int (f(x)+\lambda
g(x))^2\mu(\,dx)=\lambda^2\int g(x)^2\mu(\,dx)+2\lambda \int
f(x)g(x)\mu(\,dx)+\int f(x)^2\mu(\,dx)$. V\'alasszuk a $\lambda$
sz\'amot a fenti egyenl\H{o}tlens\'egben, mint $\lambda=-\frac{\int
f(x) g(x)\mu(\,dx)}{\int g(x)^2\mu(\,dx)}$. (Jegyezz\"uk meg, hogy
az \'altal\'anoss\'ag megszor\'{\i}t\'asa n\'elk\"ul feltehetj\"uk,
hogy $\int g(x)^2\mu(\,dx)>0$. Ellenkez\H{o} esetben ugyanis $\int
g(x)^2\mu(\,dx)=0$, ahonnan $g(x)=0$ (majdnem) minden $x\in X$
sz\'amra (a $\mu$ m\'ert\'ek szerint). A $\lambda$ sz\'am fenti
v\'alaszt\'asa nagyon term\'eszetes, mivel egy minden $\lambda$
param\'eterre \'erv\'enyes, \'es mi azt a param\'etert
v\'alasztottuk, ahol a tekintett m\'asodfok\'u polinom felveszi a
minimum\'at.) Ezzel a v\'alaszt\'assal azt kapjuk, hogy
$$
-\frac{\(\int f(x)g(x)\mu(\,dx)\)^2}{\int g(x)^2\mu(\,dx)}+\int
f(x)^2\mu(\,dx)\ge0,
$$
ami ekvivalens a Cauchy--Schwarz egyenl\H{o}tlens\'eggel.

\medskip
\'Altal\'aban, a sz\'or\'asn\'egyzet tulajdons\'againak
a bizony\'{\i}t\'asa csak a v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agait
haszn\'alja. Ez\'ert a diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eset\'eben \'erv\'enyes
$$
\Var(a\xi+b)=a^2\Var\xi
$$
azonoss\'agot hasonl\'oan lehet bizony\'{\i}tani az \'altal\'anos
esetben.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} \'Altal\'anos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eset\'eben is \'erv\'enyes a
$$
\inf_{-\infty<M<\infty} E(\xi-M)^2=\Var\xi
$$
azonoss\'ag.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az \"ot\"odik el\H{o}ad\'as 2.
feladat\'aban bebizony\'{\i}tottuk ezt az \'all\'{\i}t\'ast
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra.
Az ott ismertetett megold\'as v\'altozat\'as n\'elk\"ul
alkalmazhat\'o a most t\'argyalt \'altal\'anos esetben is.

\medskip\noindent
Megfogalmazom \'es bebizony\'{\i}tom az al\'abbi Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'egnek nevezett \'all\'{\i}t\'ast.
\medskip\noindent
{\bf Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg.} {\it Minden $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora, amelyre $E\xi^2<\infty$
$$
P(|\xi-E\xi|\ge x)\le\frac{\Var\xi}{x^2}\quad\text{minden $x\ge0$
sz\'amra.}
$$
}\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}
$$
P(|\xi-E\xi|\ge x)=P((\xi-E\xi)^2\ge x^2)\le
\frac{E(\xi-E\xi)^2}{x^2}=\frac{\Var\xi}{x^2}
$$
a Markov egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg az\'ert hasznos,
mert a benne szerepl\H{o} sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet sok \'erdekes
esetben k\"onnyen kisz\'amolhat\'o. Felmer\"ulhet az a k\'erd\'es,
hogy a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg mennyire \'eles. Erre a
k\'erd\'esre k\'es\H{o}bb m\'eg visszat\'erek.
\medskip

A Fontos T\'etelnek nevezett eredm\'enyb\H{o}l, illetve annak
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'ab\'ol k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak, illetve egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggv\'eny\'enek
a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et ki lehet sz\'am\'{\i}tani csak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek
az ismeret\'eben.

Gyakorlati szempontb\'ol, annak \'erdek\'eben, hogy a
leggyakrabban el\H{o}fordul\'o esetekben jobban tudjunk
sz\'amolni, \'erdemes bevezetni egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a definici\'oj\'at.
Ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a probl\'em\'akban felmer\"ul\H{o}
\'es sokszor k\'e\-nyel\-met\-le\-n\"ul kezelhet\H{o} Lebesgue
integr\'alokat \'at\'{\i}rjuk mint (k\"oz\"ons\'eges) Riemann
integr\'alokat. Ez lesz a k\"ovetkez\H{o} el\H{o}ad\'as els\H{o}
t\'em\'aja. Ennek meg\'ert\'ese \'erdek\'eben \'erdemes
feleleven\'{\i}teni az anal\'{\i}zisben t\'argyalt Newton--Leibniz
formul\'ar\'ol tanultakat.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es: A Lebesgue integr\'al fogalm\'ar\'ol

A Lebesgue integr\'al term\'eszetes definici\'oj\'aban ezt az
integr\'alt el\H{o}sz\"or a leg\-egy\-sze\-r\H{u}bb f\"uggv\'enyek
eset\'eben defini\'aljuk term\'eszetes m\'odon, majd ezt a
definici\'ot kiterjesztj\"uk \'altal\'anos f\"uggv\'enyekre
folytonoss\'agi meggondol\'asok alapj\'an. Ezt a
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}\-k\'epp tehetj\"uk. Legyen adva egy $(X,\Cal
A,\mu)$ m\'ert\'ekt\'er, azaz egy $X$ alaphalmaz, kijel\"olj\"uk
annak bizonyos r\'eszhalmazait, amelyek $\sigma$-algebr\'at alkotnak,
\'es $\mu$ $\sigma$-v\'eges m\'ert\'ek az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an.
(Egy m\'ert\'ek, azaz $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny akkor
$\sigma$-v\'eges, ha l\'etezik az $X$ alaphalmaz
$X=\bigcupp_{j=1}^\infty B_j$, felbont\'asa
megsz\'aml\'alhat\'oan sok olyan $B_j$ halmazra uni\'oj\'ara,
amelyekre $\mu(B_j)<\infty$.) Az $(X,\Cal A,\mu)$ t\'eren
\'ertelmezett (m\'erhet\H{o}) $f(\cdot)$ f\"uggv\'enyeknek akkor
defini\'aljuk a $\mu$ m\'ert\'ek szerinti integr\'alj\'at, ha azok
teljes\'{\i}tenek bizonyos felt\'eteleket, \'es ezeket az
integr\'alokat $\int f(x)\mu(\,dx)$ form\'aban jel\"olj\"uk.
Jegyezz\"uk meg, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
speci\'alis $(X,\Cal A,\mu)$ m\'ert\'ekt\'er. Bizonyos
vizsg\'alatokban hasznos, ha figyelm\"unket nem korl\'atozzuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}k\"on de\-fi\-ni\-\'alt
f\"ugg\-v\'e\-nyek (azaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok)
integr\'alj\'ara.

Egy $f(\cdot)$ f\"uggv\'enyt elemi f\"uggv\'enynek nevez\"unk, ha
csak v\'eges sok k\"ul\"onb\"oz\H{o} \'ert\'eket vesz fel, azaz
l\'etezik v\'eges sok olyan $z_1,x_2,\dots,z_k$ sz\'am \'ugy, hogy
$\bigcupp_{j=1}^k\{x\colon\;f(x)=z\}=\Omega$. Ennek az elemi
f\"uggv\'enynek az integr\'alj\'at az
$$
\int f(x)\mu(\,dx)=\summ_{j=1}^k z_j\mu\(\{x\colon\; f(x)=z_j\}\)
$$
\"osszeg defini\'alja. (Ez hasonl\'o a diszkr\'et eloszl\'as\'u
f\"uggv\'enyek integr\'alj\'anak de\-fi\-ni\-ci\'o\-j\'a\-hoz. Az
egyetlen k\"ul\"onbs\'eg az, hogy itt csak v\'eges sok \'ert\'ekeket
felvev\H{o} f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket te\-kin\-t\"unk, m\'{\i}g ott
megengedt\"uk azt is, hogy egy f\"uggv\'eny megsz\'aml\'alhat\'oan
sok \'ert\'eket vegyen fel. Defini\'alhattuk volna az elemi
f\"uggv\'enyeket is \'altal\'anosbban, megengedhett\"uk volna, hogy azok
megsz\'aml\'alhat\'o sok \'ert\'eket vegyenek fel, de az itt tekintett
definici\'o technikailag k\'enyelmesebb, \'es ennek haszn\'alat\'aval
semmit sem vesz\'{\i}t\"unk.) Ha adva van egy nem-negat\'{\i}v $f(x)$
f\"uggv\'eny az az $(X,\Cal A,\mu)$ m\'er\-t\'ek\-t\'e\-ren, akkor
azt k\"ozel\'{\i}thetj\"uk elemi $f_n(x)$ elemi f\"uggv\'enyekkel
p\'eld\'aul a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} m\'odon. Legyen
$f_n(x)=k2^{-n}$, ha $k2^{-n}\le x\le (k+1)2^{-n}$,
$k=0,1,\dots,2^{2n}$, \'es defini\'aljuk az $f(x)$ f\"uggv\'eny
integr\'alj\'at, az $\int f(x)\mu(\,dx)=\limm_{n\to\infty}\int
f_n(x)\mu(\,dx)$ k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Egy \'altal\'anos
(m\'erhet\H{o}) $f(x)$ f\"uggv\'eny eset\'eben defini\'aljuk annak
pozit\'{\i}v \'es negat\'{\i}v r\'esz\'et, mint $f_+(x)=\max(0,f(x))$,
$f_-(x)=\min(0,f(x))$, \'es $\int f(x)\mu(\,dx)=\int
f_+(x)\mu(\,dx)-\int(-f_-(x))\mu(\,dx)$. Be lehet l\'atni, hogy az
el\H{o}bb defini\'alt integr\'al \'ertelmes (p\'eld\'aul a fel\'{\i}rt
limesz val\'oban l\'etezik, ha $\int |f(x)|\mu(\,dx)<\infty$).

Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, mi a kapcsolat az \'{\i}gy defini\'alt
integr\'al \'es az anal\'{\i}zisben tanult Riemann \'es
Riemann--Stieltjes integr\'al k\"oz\"ott, mik a Lebesgue integr\'al
legfontosabb tulajdons\'agai.

A hagyom\'anyos anal\'{\i}zis oktat\'asban az \'ugynevezett Riemann
integr\'alt vezetik be el\H{o}sz\"or. Egy $[a,b]$ intervallumon
\'ertelmezett $f(u)$ f\"uggv\'eny $\int_a^b f(u)\,du$
integr\'alj\'at \'ugy defini\'alj\'ak, hogy el\H{o}sz\"or alkalmas
k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegeket vezetnek be a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon. Felosztj\'ak az $[a,b]$ intervallumot $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$
oszt\'opontok seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amelyekre $\supp_{1\le k\le n}
(x_k-x_{k-1})$ kicsi, mindegyik $[x_{k-1},x_k]$ intervallumban
kijel\"olnek egy $\xi_k \in[x_{k-1},x_k]$ pontot, \'es a
$\summ_{k=1}^n f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})$ k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegeket
tekintik. Az $\int_a^b f(u)\,du$ integr\'alt \'ugy defini\'alj\'ak
mint ezen integr\'alk\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek
hat\'ar\'ert\'ek\'et, ha $\supp_{1\le k\le n}(x_k-x_{k-1})$
null\'ahoz tart.

Egy $f$ f\"uggv\'enynek valamely az $[a,b]$ intervallumon megadott
$F(u)$ f\"uggv\'eny sze\-rin\-ti $\int_a^b f(u)F(\,du)$
Rie\-mann--Stiel\-tjes intergr\'alj\'at hasonl\'oan
defini\'alj\'ak. A k\"ul\"onbs\'eg az, hogy most a k\"ozel\'{\i}t\H{o}
\"ossze\-gek\-ben az $x_k-x_{k-1}$ megv\'altoz\'asokat az $F(\cdot)$
f\"uggv\'eny $F(x_k)-F(x_{k-1})$ megv\'altoz\'asaival
helyettes\'{\i}tik, azaz a $\summ_{k=1}^nf(\xi_k)
\(F(x_k)-F(x_{k-1})\)$ k\"ozel\'{\i}t\H{o}\"osszegeket,
illetve azok ha\-t\'ar\-\'er\-t\'e\-k\'et te\-kintik. K\'enyelmi
okok miatt egyszer\H{u}bb csak olyan feloszt\'asokat tekinteni,
amelyekben minden $x_k$ oszt\'opont az  $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny
folytonoss\'agi pontja.

A fenti definici\'ot a k\"ovetkez\H{o} m\'odon is interpret\'alhatjuk.
Nevezz\"unk egy az $[a,b]$ intervallumon \'ertelmezett $f(x)$
f\"uggv\'enyt egyszer\H{u} vagy l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enynek, ha
l\'etezik az $[a,b]$ intervallumnak olyan $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$
feloszt\'asa, amelyre az $f(x)$ f\"uggv\'eny konstans minden egyes
$[x_k,x_{k+1})$ intervallumon, $0\le k<n$. Az ilyen l\'epcs\H{o}s
f\"uggv\'enyek integr\'alj\'at az $\int_a^b f(x)\,dx=\summ_{k=1}^n
f(x_k)(x_k-x_{k-1})$, \'es $\int_a^b
f(x)F(\,dx)=\summ_{k=1}^nf(x_k)\(F(x_k)-F(x_{k-1})\)$ k\'epletekkel
defini\'aljuk. Az \'altal\'anosabb f\"uggv\'enyek integr\'alj\'at
\'ugy defini\'aljuk, hogy k\"ozel\'{\i}tj\"uk \H{o}ket a fent
le\'{\i}rt m\'odon l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyekkel, \'es a
f\"uggv\'eny integr\'alja a megfelel\H{o} l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyek
integr\'aljainak a limesze.

\medskip
Tekints\"uk a sz\'amegyenest, rajta a $\Cal B$ Borel
$\sigma$-algebr\'at, \'es azon a Lebesque m\'ert\'eket. Vegy\"uk
\'eszre, hogy mind a Riemann mind a Lebesue integr\'al eset\'eben
el\H{o}sz\"or bizonyos elemi f\"uggv\'enyeknek defini\'aljuk az
integr\'alj\'at alkalmas k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, majd a definici\'okat alkalmas
hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel kiterjesztj\"uk. Ez\'ert
nem  meg\-le\-p\H{o}, hogy abban az esetben, amikor mind a k\'et
integr\'al l\'etezik, akkor azok megegyeznek.

Legyen $F$ valamely monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny az $[a,b)$
intervallumon. A Lebesgue in\-teg\-r\'al\-hoz hasonl\'oan az
$\int_a^b f(u)F(\,du)$ Riemann--Stieltjes integr\'alnak
megfelel\H{o} Le\-besgue--Stiel\-tjes integr\'alt is defini\'alhatunk.
Ebben az esetben is az $(X,\Cal A,\mu)$ teret \'ugy
de\-fi\-ni\-\'al\-juk, hogy az $X$ halmaz a sz\'amegyenes, (vagy
esetleg annak egy r\'eszintervalluma, $\Cal A$ a sz\'amegyenesen
vagy az intervallumon bevezetett Borel $\sigma$-algebra. A definici\'o
teljess\'e t\'etel\'ehez defini\'alni kell a $\mu$ m\'ert\'eket.
Ezt az $[a,b)$ intervallumon vagy sz\'am\-egye\-ne\-sen defini\'alt
$F$ monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny hat\'arozza meg.


A m\'ert\'ekelm\'elet egyik eredm\'enye szerint az $F$
f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en meghat\'aroz az $[a,b)$
intervallum Borel--m\'erhet\H{o} halmazainak
$\sigma$-algebr\'aj\'an egy olyan $\sigma$-addit\'{\i}v
$\mu_F$ az $F$ f\"uggv\'eny Stieltjes m\'ert\'ek\'enek nevezett
halmazf\"uggv\'enyt, amelyre $\mu_F([u,v))=F(v)-F(u)$ minden
$a\le u<v\le b$. A Lebesgue--Stieltjes integr\'al
definici\'oj\'anak legnehezebb l\'ep\'ese annak megmutat\'asa,
hogy ilyen m\'odon egy m\'ert\'eket azaz egy
$\sigma$-addit\'{\i}v $\mu_F$ halmazf\"uggv\'enyt defini\'alunk.
Az $\int_a^b f(u)F(\,du)$ Lebesue--Stieltjes integr\'al az
$\int f(x)\mu(\,dx)$ Lebesgue integr\'al, ha az $[a,b]$
intervallumon \'es a rajta tekintett Borel $\sigma$-algebr\'an az
$F$ f\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott $\mu_F$ m\'ert\'eket
v\'alasztjuk $\mu$ a m\'ert\'eknek. A Riemann-Stieltjes \'es
Lebesgue--Stieltjes integr\'alok megegyznek, ha mind a k\'et
integr\'al l\'etezik.

L\'attuk, hogy a Lebesgue \'es Riemann integr\'alok definici\'oj\'anak
a szelleme nagyon hasonl\'o. Mind a k\'et esetben el\H{o}sz\"or
sz\'ep, egyszer\H{u} esetekben defini\'aljuk az integr\'alt, majd
hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel ezt a definici\'ot
kiterjesztj\"uk. A Lebesgue integr\'al definici\'oj\'at nem nehezebb
meg\'erteni mint a Riemann integr\'al\'et. Annak f\H{o} oka, hogy az
oktat\'asban a Riemann integr\'alok t\'argyal\'as\'ara helyezik a
hangs\'ulyt --- bizonyos tudom\'anyt\"ort\'eneti okokon k\'{\i}v\"ul
--- az, hogy a Lebesgue integr\'alok fel\'ep\'{\i}t\'ese
sz\"uks\'egess\'e teszi $\sigma$-addit\'{\i}v m\'ert\'ekek
haszn\'alat\'at, \'es ez elker\"ulhetetlenn\'e tesz bizonyos
nem-trivi\'alis m\'ert\'ekelm\'eleti vizsg\'alatokat. A Lebesgue
integr\'alok definici\'oj\'aban, amikor egy halmaz
n\'{\i}v\'ohalmazait tekintj\"uk nem k\"ovetelj\"uk meg, hogy ezeknek
a n\'{\i}v\'ohalmazoknak sz\'ep geometriai strukt\'ur\'ajuk legyen.
Ennek k\"ovetkezt\'eben sokkal gazdagabb azon f\"uggv\'enyek
oszt\'alya amelyeknek defini\'alni tudjuk a Lebesgue integr\'alj\'at.
Ugyanis az integr\'al definici\'oj\'aban sz\"uks\'eges
hat\'ar\'atmeneteketet a Lebesgue integr\'al definici\'oj\'aban
k\"onnyebb v\'egrehajtani mint a Riemann integr\'al\'eban. S\H{o}t
a Lebesgue integr\'al definici\'oja --- szemben a Riemann
integr\'al\'eval --- nem k\"ot\H{o}dik a sz\'amegyenes
geometri\'aj\'ahoz.

A Lebesgue integr\'al rendelkezik a Riemann integr\'alr\'ol tanult
legfontosabb tu\-laj\-don\-s\'a\-gok\-kal. \'Igy p\'eld\'aul line\'aris
oper\'ator az integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek ter\'en, azaz
tetsz\H{o}leges $f$ \'es $g$ (integr\'alhat\'o) f\"uggv\'enyre
valamint $a$ \'es $b$ sz\'amokra
$$
\int(a f(x)+bg(x))\mu(\,dx)=a\int f(x)\mu(\,dx)+b\int
g(x)\mu(\,dx).
$$
Bizonyos fontos, itt nem ismertetett eredm\'enyek
(Lebesgue t\'etel, Beppo--Levy t\'etel Fatou lemma) arr\'ol sz\'olnak,
hogy konvergens f\"uggv\'enysorok eset\'en mikor
cser\'elhet\H{o} fel a limesz \'es integr\'al\'as sorrendje, azaz
a $\lim \int f_n(x)\mu(\,dx)=\int\lim f_n(x)\mu(\,dx)$ azonoss\'ag
milyen felt\'etelek mellett \'erv\'enyes. A k\"ovetkez\H{o}
el\H{o}ad\'asban \'es \'altal\'anosabban f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok vizsg\'alat\'aban
fontos szerepet j\'atszik a k\"ovetkez\H{o} alkalommal
ismertetend\H{o} Fubini t\'etel, amely szerint egy
szorzatm\'ert\'ek szerinti k\'etv\'altoz\'os f\"ugg\-v\'eny integr\'alja
szukcessz\'{\i}v integr\'al\'assal is kisz\'amolhat\'o.

V\'eg\"ul megjegyzem, hogy a Fontos T\'etelnek illetve ezen eredm\'eny
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'anak a bizony\'{\i}t\'asa viszonylag
egyszer\H{u}, ha j\'ol meg\'ertj\"uk a Lebesgue integr\'al
definici\'oj\'at. A Fontos T\'etel \'all\'{\i}t\'asa szeml\'eletesen, 
de kiss\'e
pongyol\'an fogalmazva azt jelenti, hogy egy $(\Omega,\Cal A,P)$
t\'eren defini\'alt $\int g(\xi(\oo))\,dP(\oo)$ integr\'al
`\'atm\'asolhat\'o' egy $\int g(x)\mu_F(\,dx)$ integr\'all\'a
az $(R^1,\Cal B,\mu_F)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, ahol
$\mu_F$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa
\'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott $\mu_F$ Lebesgue--Stieltjes
m\'ert\'ek. Ez az \'all\'{\i}t\'as k\"onnyen l\'athat\'o $g(x)$
l\'ep\-cs\H{o}s\-f\"ugg\-v\'e\-nyek eset\'eben. \'Altal\'anos
(m\'erhet\H{o}) $g(x)$ f\"ugg\-v\'e\-nyek j\'ol
k\"ozel\'{\i}thet\H{o}ek l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyekkel, \'es
ilyen m\'odon az $\int g(\xi(\oo))\,dP(\oo)$
Le\-besgue integr\'al olyan k\"o\-ze\-l\'{\i}\-t\H{o} \"osszegeit
kapjuk, amelyek kifejezhet\H{o}ek a $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'o $F(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et tartalmaz\'o \"osszegek
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. Ez ut\'obbi \"osszegek
ter\-m\'e\-sze\-tes k\"o\-ze\-l\'{\i}\-t\H{o}\"ossze\-gei az $\int
g(x)F(\,dx)$ Lebesque--Stieltjes in\-teg\-r\'al\-nak. Ezut\'an
alkalmas ha\-t\'ar\-\'at\-me\-net se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel
meg\-kap\-hat\-juk a Fontos T\'etel
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak a
bizony\'{\i}t\'as\'at.


\bye
