\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

%\parskip=1pt plus 1pt
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat hatodik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2007. m\'arcius 13.}

\beginsection  N\'eh\'any fontos diszkr\'et eloszl\'as.

T\'argyalom a legfontosabb diszkr\'et eloszl\'asok definici\'oj\'at.
El\H{o}sz\"or olyan p\'eld\'akat ismertetek, amelyekben ilyen
eloszl\'asok megjelennek. T\"obb olyan p\'eld\'at is t\'argyalok,
amelyekel bizonyos feladatokban m\'ar kor\'abban is tal\'alkoztunk.
Az els\H{o} p\'elda a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}.

\medskip\noindent
a.) {\it Binomi\'alis eloszl\'as.}

\medskip\noindent
Tekints\"unk el\H{o}sz\"or egy tipikus p\'eld\'at, amelyben a
binomi\'alis eloszl\'as megjelenik.

\noindent
Dobjunk fel egy p\'enzdarabot $n$ alkalommal egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul, \'es minden egyes dob\'asban legyen $p$, $0\le p\le 1$,
a fejdob\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy pontosan $k$ fejdob\'as
k\"ovetkezik be?

Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$.
Val\'oban, $\binom nk$ olyan fej-\'{\i}r\'as sorozat
l\'etezik, amely $k$ fej \'es $n-k$ \'{\i}r\'as-jelet tartalmaz, \'es
az adott felt\'etelek mellett minden egyes ilyen dob\'assorozatnak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $p^k(1-p)^{n-k}$. Az ilyen jelleg\H{u}
feladatok le\'{\i}r\'as\'ara vezett\'ek be a binomi\'alis eloszl\'as
fogalm\'at. \medskip\noindent
{\bf Binomi\'alis eloszl\'as definici\'oja.} {\it Azt mondjuk, hogy a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o binomi\'alis
eloszl\'as\'u $n$ \'es $p$ param\'eterrel, $n=1,2,\dots$, $0\le p\le
1$, ha $P(\xi=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ minden $0\le k\le n$
sz\'amra, \'es $P(\xi=k)=0$ egy\'ebk\'ent. Ezt az eloszl\'ast
szok\'as $B(n,p)$-vel jel\"olni.

Egy $B(1,p)$ eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, azaz egy olyan $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ot, amelyre $P(\xi=0)=1-p$, $P(\xi=1)=p$ Bernoulli
eloszl\'as\'unak is szoktak nevezni.} \medskip\noindent
Jegyezz\"uk meg, hogy val\'oban eloszl\'ast, defini\'altunk, azaz a
nem-negat\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \"osszege egy, mert a
binomi\'alis t\'etel szerint $$
\summ_{k=0}^n \binom nk p^k(1-p)^{n-k}=(p+(1-p))^n=1.
$$
Jegyezz\"uk meg, hogy a $B(n,p)$ \'es $B(m,p)$ binomi\'alis
eloszl\'asok konvoluci\'oja a $B(n+m,p)$ binomi\'alis eloszl\'as.
\medskip
(Eml\'ekeztet\H{o}\"ul felid\'ezem, hogy egy $\Cal
P=\{p_0,p_1,\dots\}$ \'es $\Cal Q=\{q_0,q_1,\dots\}$ eloszl\'as
konvoluci\'oja az az $\Cal R=\{r_1,r_2,\dots\}$ eloszl\'as melynek
elemeit az $r_n=\summ_{k=0}^n p_kq_{n-k}$, $n=1,2,\dots$, k\'eplet
hat\'aroz meg. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi tartalma a
k\"ovetkez\H{o}: Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, nem
negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyekre $P(\xi=n)=p_n$,
$P(\eta=n)=q_n$, $n=0,1,2,\dots$, akkor $\xi+\eta$ olyan nem
negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre
$P(\xi+\eta=n)=r_n$, $n=0,1,2,\dots$. Konvoluci\'o kisz\'amol\'asa
eset\'en sokszor hasznos lehet a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etel. Ha az
el\H{o}bb tekintett $\Cal P$, $\Cal Q$ \'es $\Cal R$ eloszl\'asokhoz
hozz\'arendelj\"uk az $F(x)=\summ_{n=0}^\infty p_nx^n$,
$G(x)=\summ_{n=0}^\infty q_nx^n$, $H(x)=\summ_{n=0}^\infty r_nx^n$,
hatv\'anysorokat, akkor azok teljes\'{\i}tik az $F(x)G(x)=H(x)$
azonoss\'agot. Tov\'abb\'a e f\"uggv\'enyek ismeret\'eben, szukcessziv
deriv\'al\'assal majd a nulla \'ert\'ek behelyettes\'{\i}t\'es\'evel
ki lehet sz\'amolni az eloszl\'asokban szerepl\H{o} sz\'amok
\'ert\'ekeit. A fenti hatv\'anysorokat szok\'as a megfelel\H{o}
eloszl\'as gener\'atorf\"uggv\'eny\'enek nevezni.
\medskip
Val\'oban a fenti konvoluci\'or\'ol sz\'ol\'o \'all\'{\i}t\'as
\'erv\'enyes, mivel a tekintett k\'et eloszl\'as konvoluci\'oja egy
olyan $p(k)$, $0\le k\le n+m$ eloszl\'as, amelyre
$$
\align
p(k)&=\sum_{j=0}^k \binom nj p^j(1-p)^{n-j}\binom m{k-j}
p^{k-j}(1-p)^{(m-(k-j))} \\
&=p^k(1-p)^{n-k}\sum_{j=0}^k\binom nj\binom m{k-j}
=\binom {n+m}kp^k(1-p)^{n-k},
\endalign
$$
mert
$$
\sum_{j=0}^k\binom nj\binom m{k-j}=\binom {n+m}k.
$$

Ez ut\'obbi \'all\'{\i}t\'asnak kombinatorikus bizony\'{\i}t\'as\'at
megadtam az els\H{o} el\H{o}ad\'as v\'eg\'en a `N\'eh\'any a
t\'argyalt kombinatorikus k\'erd\'esekkel kapcsolatos eredm\'eny'
fel\-adat\-sor 7. feladat\'anak az ismertet\'es\'eben. S\H{o}t, e
fel\-adat\-sor 9. feladat\'aban megadtam ezen azonoss\'ag egy
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'anak analitikus (az $(1+x)^\alpha$
f\"uggv\'eny hatv\'anysor\'anak az alakj\'an alapul\'o)
bizony\'{\i}t\'as\'at is.

Megmutatom azt is, hogyan lehet a binomi\'alis eloszl\'asok
konvoluci\'oj\'anak alakj\'ar\'ol sz\'ol\'o \'all\'{\i}t\'ast
gener\'atorf\"uggv\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel bel\'atni. Ennek
\'erdek\'eben sz\'amoljuk ki a binomi\'alis $B(n,p)$ eloszl\'as
$F_{n,p}(x)$ ge\-ne\-r\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.

$$
\align
F_{n,p}(x)&=\sum_{k=0}^n\binom nk p^k(1-p)^{n-k}x^k
=(1-p)^n\sum_{k=0}^n\binom nk \(\frac{px}{1-p}\)^k\\
&=(1-p)^n\[1+\frac{px}{1-p}\]^n=(1-p+px)^n.
\endalign
$$
Innen
$$
F_{n,p}(x)F_{m,p}(x)=(1-p+px)^n(1-p+px)^m=(1-p+px)^{n+m}=F_{n+m,p}(x)
$$
minden $n\ge1$, $m\ge1$ eg\'esz \'es $0\le p\le 1$ val\'os sz\'amra.
Ez azt jelenti, hogy a $B(n,p)$ \'es $B(m,p)$ eloszl\'asok
konvoluci\'oja a $B(n+m,p)$ eloszl\'as.

\vfill\eject

{\it Feladat:}
\medskip
\item{1.)} Adjunk egyszer\H{u}, a binomi\'alis eloszl\'as
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi tartalm\'at kihaszn\'al\'o
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'ast arra, hogy a $B(n,p)$ \'es $B(m,p)$
binomi\'alis eloszl\'asok konvoluci\'oja a $B(n+m,p)$ binomi\'alis
eloszl\'as.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ El\'eg megmutatni, hogy l\'eteznek olyan
f\"uggetlen $B(n,p)$ param\'eter\H{u} $\xi$ \'es $B(m,p)$
param\'eter\H{u} $\eta$ binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyek $\xi+\eta$ \"osszege
$B(n+m,p)$ param\'eter\H{u} binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ennek \'erdek\'eben tekints\"uk
egy olyan p\'enzdarab $n+m$ darab egym\'as ut\'ani f\"uggetlen
feldob\'as\'at, amely $p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es
$1-p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra. Legyen $\xi$
az els\H{o} $n$ dob\'asban, $\eta$ pedig az $n+1$-ik dob\'ast\'o az
$n+m$-ig dob\'asig tart\'o dob\'assorozatban megjelen\H{o} fej dob\'asok
sz\'ama. Ezek a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a k\'{\i}v\'ant
tulajdons\'agokat.

\medskip
Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $B(n,p)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et. A
legegyszer\H{u}bb m\'odszer a k\"ovetkez\H{o}: Legyenek
$\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, $B(1,p)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Ekkor $\xi=\summ_{j=1}^n\xi_j$
$B(n,p)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$E\xi_j=1\cdot p+0\cdot (1-p)=p$, $E\xi_j^2=1\cdot p+0\cdot (1-p)=p$,
$\Var \xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=p-p^2$ minden $j=1,\dots,n$ sz\'amra.
Ez\'ert a keresett v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
$E\xi=\summ_{j=1}^nE\xi_j=np$ \'es
$\Var\xi=\summ_{j=1}^n\Var\xi_j=np(1-p)$.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{2.)}
Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $B(n,p)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et az e fogalmakat
defini\'al\'o \"osszegek kisz\'am\'{\i}t\'as\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\xi=\summ_{k=1}^n k\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\quad
E\xi^2=\summ_{k=1}^n k^2\binom nk p^k(1-p)^{n-k},
$$
\'es $\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2$. Ezeket a kifejez\'eseket kell
kisz\'amolnunk.  Vegy\"uk \'eszre, hogy $k\binom nk=n\binom{n-1}{k-1}$,
$k^2\binom nk=k\binom nk+k(k-1)\binom nk=n\binom{n-1}{k-1}+
n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$. Innen
$$
\align
E\xi&=n\summ_{k=0}^{n-1} \binom {n-1}k p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}\\
&=np\summ_{k=0}^{n-1} \binom {n-1}k p^k(1-p)^{(n-1)-k}
=np(1+(1-p))^{n-1}=np,
\endalign
$$
$$ \allowdisplaybreaks
\align
E\xi^2&=n\summ_{k=0}^{n-1} \binom {n-1}k p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}
+n(n-1)\summ_{k=0}^{n-2} \binom {n-2}k p^{k+2}(1-p)^{n-k-2}\\
&=np+n(n-1)p^2\summ_{k=0}^{n-2} \binom {n-2}k p^k(1-p)^{(n-2)-k}\\
&=np+n(n-1)p^2(p+(1-p))^{n-1}=np+(n^2-n)p^2,
\endalign
$$
\'es $\Var\xi=np+(n^2-n)p^2-n^2p^2=np(1-p)$.

\medskip\noindent
A binomi\'alis eloszl\'as term\'eszetes t\"obbdimenzi\'os
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa a po\-li\-no\-mi\'a\-lis el\-osz\-l\'as.
Ennek meg\'ert\'es\'ehez tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} feladatot. Adva
van $r$ urna. Ezekbe be\-do\-bunk \"osszesen $n$ goly\'ot egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul. Az egyes goly\'ok $p_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
esnek az els\H{o} $p_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a m\'asodik,
\dots $p_r$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $r$-ik urn\'aba. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a $j$-ik urn\'aba $k_j$
goly\'o esik, $1\le j\le r$, $\summ_{j=1}^r k_r=n$? Ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\frac {n!}{k_1!k_2!\cdots k_r!}
p_1^{k_1}\cdots p_r^{k_r}$, mert $\frac {n!}{k_1!k_2!\cdots k_r!}$
ilyen dob\'assorozat van, \'es minden ilyen dob\'assorozat
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $p_1^{k_1}\cdots p_r^{k_r}$.

\medskip\noindent
{\bf Polinomi\'alis eloszl\'as definici\'oja} {\it A
$(\xi_1,\dots,\xi_r)$ $r$ v\'altoz\'os v\'eletlen vektor
polinomi\'alis eloszl\'as\'u $n$, $n=1,2,\dots$, \'es $p_j$,
$1\le j\le r$, param\'eterekkel, $\summ_{j=1}^rp_j=1$, ha
$$
P(\xi_1=k_1,\xi_2=k_2,\dots,\xi_r=k_r)=
\frac {n!}{k_1!k_2!\cdots k_r!} p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}
$$
az olyan $0\le k_j\le n$, $1\le j\le r$ sz\'amokra, amelyekre
$\summ_{j=1}^r k_j=n$.} \medskip \noindent
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{3.)} Legyen $(\xi_1,\dots,\xi_r)$ polinomi\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor  $n$ \'es $p_j$, $1\le
j\le r$, $\summ_{j=1}^rp_j=1$ param\'eterekkel. Ekkor
$E\xi_j=np_j$, $\Var \xi_j=np_j(1-p_j)$, $1\le j\le r$, \'es
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=-np_jp_k$, $1\le j,k\le r$, $j\neq k$.

\medskip\noindent
b.) {\it Negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as \'es annak
speci\'alis esete, a geometriai eloszl\'as.}

\medskip\noindent
Most is el\H{o}sz\"or egy olyan tipikus p\'eld\'at tekintek, amelyben
ezek az eloszl\'asok megjelennek.

\medskip\noindent
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $r$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amot, \'es
dobjunk fel egy p\'enzdarabot, amely $p$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a fej $1-p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra
egym\'as ut\'an t\"obbsz\"or egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul,
eg\'eszen addig amikor az $r$-ik fejdob\'as megjelenik. Mi a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge annak, hogy ez a $k+r$-ik dob\'as?

Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\binom {k+r-1}{r-1} (1-p)^k p^r$.
Ez ugyanis azt jelenti, hogy az els\H{o} $k+r-1$
dob\'asban pontosan $r-1$ fej \'es $k$ \'{\i}r\'as dob\'as t\"ort\'ent,
aminek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\binom {k+r-1}{r-1} (1-p)^k
p^{r-1}$, valamint a $k+r$-ik dob\'as fej, aminek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $p$, \'es f\"uggetlen az el\H{o}z\H{o}
esem\'enyt\H{o}l.
\medskip\noindent
{\bf Negat\'{\i}v binomi\'alis \'es geometriai eloszl\'as
definici\'oja.} {\it Azt mondjuk, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'as\'u $r$, $r=1,2,\dots$, \'es $p$, $0< p\le1$, param\'eterrel,
ha $\xi$ $r,r+1,\dots$, \'ert\'ekeket vesz fel \'es
$$
P(\xi=k+r)=\binom {k+r-1}{r-1} (1-p)^k p^r, \quad k=0,1,2,\dots.
$$
Az $r=1$ \'es $p$ param\'eterhez tartoz\'o negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'ast $p$ param\'eter\H{u} geometriai eloszl\'asnak is nevezik.}

\medskip\noindent
A m\'asodik el\H{o}ad\'ason t\'argyalt 3. \'es 5. feladat megold\'asi
m\'odszer\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg\-mu\-tat\-ha\-t\'o, hogy a
negativ  binomi\'alis eloszl\'as val\'oban
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeloszl\'as, azaz
$\summ_{k=0}^\infty\binom{k+r-1}{r-1} (1-p)^k p^r=1$. E feladatokban
ezt az \'all\'{\i}t\'ast csak egy speci\'alis esetben igazoltuk, (ha 
$k=3$, \'es $p=\frac16$), de az ott alkalmazott m\'odszer
alkalmazhat\'o az \'altal\'anos esetben is. A most megfogalmazott 
\'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezik n\'eh\'any m\'as, k\'es\H{o}bb  
bizony\'{\i}tand\'o eredm\'enyb\H{o}l is. T\'argyaljuk meg a 
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as n\'eh\'any fontos 
tulajdons\'ag\'at.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{4.)}  Bizony\'{\i}tsuk be val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
meggondol\'asok seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy egy $r_1$ \'es $p$
pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u} valamint egy $r_2$ \'es $p$ param\'eter\H{u}
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as konvol\'uci\'oja egy $r_1+r_2$
\'es $p$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeloszl\'as. K\"o\-vet\-ke\-z\'es\-k\'ep\-pen,
egy $r$ \'es $p$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as
el\H{o}\'all, mint $r$ darab $p$ param\'eter\H{u} geometriai eloszl\'as
konvoluci\'oja.

\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"unk k\'et egym\'as\'ol f\'uggetlen
v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as dob\'assorozatot, amelyekben az egyes 
dob\'asok $p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esnek a fej \'es $1-p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra. Tekints\"uk azt
a dob\'assorozatot, amely az els\H{o} dob\'assorozat elemeib\H{o}l
\'all, am\'{\i}g az $r_1$-ik fejdob\'as megjelenik, majd a m\'asodik
dob\'assorozat elemeivel folytat\'odik eg\'esz addig, m\'{\i} abban
az $r_2$-ik fejdob\'as megjelenik, majd a sorozat abbamarad. Jel\"olje
$\xi$ az \'{\i}gy defini\'alt sorozat hossz\'at, $\xi_1$ e sorozatnak az
els\H{o} v\'egtelen dob\'assorozattal, $\xi_2$ pedig e sorozatnak a
m\'asodik dob\'assorozattal k\"oz\"os r\'esz\'enek a hossz\'at.
Ekkor $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, $\xi_1+\xi_2=\xi$, tov\'abb\'a $\xi_1$, $\xi_2$ \'es $\xi$
 negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $(r_1,p)$, $(r_2,p)$, illetve $(r_1+r_2,p)$ param\'eterekkel.
Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
L\'assuk be az el\H{o}bbi feladat \'all\'{\i}t\'as\'at k\"ozvetlen 
sz\'amol\'assal is. El\'eg megmutatni azt, hogy egy $r$ \'es $p$  
param\'eter\H{u} negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
\'es egy $p$ param\'eter\H{u} geometriai eloszl\'as
konvoluci\'oja egy $r+1$ \'es $p$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v
binomi\'alis eloszl\'as.

Ehhez azt kell bel\'atni, hogy
$$
\summ_{j=0}^k\binom{r+j-1}{r-1} (1-p)^j p^r(1-p)^{k-j}p=\binom {k+r}r
(1-p)^k p^{r+1}.
$$
Ezt az azonoss\'agot k\"onnyen l\'atjuk, ha tudjuk, hogy \'erv\'enyes
a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'ag:
$$
\summ_{j=0}^k\binom{j+r-1}{r-1}=\binom{k+r} r.
$$
Az ut\'obbi azonoss\'ag viszont k\"ovetkezik p\'eld\'aul a
k\"ovetkez\H{o} kombinatorikai \'ervel\'esb\H{o}l. A term\'eszetes
sz\'amok halmaz\'an $\binom{k+r} r$ m\'odon jel\"olhet\"unk ki
$r+1$ sz\'amot \'ugy, hogy a (nagys\'ag szerint) $r+1$-ik sz\'am a
$k+r+1$ sz\'am legyen, \'es az azonoss\'ag jobboldala ezzel
egyenl\H{o}. Ezt viszont \'ugyis kisz\'amolhatjuk, hogy azt
tekintj\"uk, h\'any olyan
elrendez\'es van, amelyben az $r$-ik kijel\"olt pont a $j+r$, az
$r+1$-ik pedig a $k+r+1$ sz\'am, majd \"osszegez\"unk $0\le j\le k$-ra.
Mivel r\"ogz\'{\i}tett $j$-re az ilyen elrendez\'esek sz\'ama
$\binom{j+r-1}{r-1}$, innen k\"ovetkezik a fel\'{\i}rt azonoss\'ag.

Megmutatom, hogy hogyan lehet a fenti \"osszf\"ugg\'est analitikus m\'odon
be\-bi\-zo\-ny\'{\i}\-ta\-ni. Tekints\"uk az $r$ \'es $p$ param\'eterekhez
tartoz\'o $g_{r,p}(x)$ gener\'atorf\"uggv\'enyt, azaz a
$$
g_{r,p}(x)=\summ_{k=0}^\infty
\binom {k+r-1}{r-1} (1-p)^k p^r x^{k+r}
$$
\"osszeget. Ha bel\'atjuk, hogy ez az \"osszeg konvergens p\'eld\'aul
az $-1<x<1$ intervallumon, valamint $g_{r_1,p}(x)
g_{r_2,p}(x)=g_{r_1+r_2,p}(x)$, akkor innen az el\H{o}z\H{o}
el\H{o}ad\'as v\'eg\'en tett \'eszrev\'etelekb\H{o}l k\"ovetkezik az
\'all\'{\i}t\'as. A $g_{r,p}(x)$ f\"uggv\'eny viszont egyszer\H{u}en
z\'art alakra hozhat\'o. Ennek \'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
\align
\binom {k+r-1}{r-1}&=\binom {k+r-1}k
=\frac{(k+r-1)(k+r-2)\cdots (r+1)r}{k!}\\
&=\frac{r(r+1)\cdots (k+r-2)(k+r-1)}{k!}\\
&=(-1)^k\frac{(-r)(-r-1)\cdots (-r-k+2)(-r-k+1)}{k!}=(-1)^k\binom {-r}k,
\endalign
$$
ahonnan
$$
\align
g_{r,p}(x)&=\summ_{k=0}^\infty (-1)^k\binom {-r}k (1-p)^k p^r x^{k+r}
=(px)^r\summ_{k=0}^\infty \binom {-r}k(-(1-p)x)^k\\
&=(px)^r (1-(1-p)x)^{-r}=\(\frac{px}{1-(1-p)x}\)^r,
\endalign
$$
ami az $(1+x)^{-r}$ f\"uggv\'eny hatv\'anysor\'anak az alakj\'ab\'ol
l\'athat\'o. Innen viszont k\"onnyen l\'athat\'o a
gener\'atorf\"uggv\'enyekre fel\'{\i}rt azonoss\'ag. Megjegyzem, hogy
a 2. el\H{o}ad\'as 5. feladat\'anak a megold\'asa is hasonl\'o 
gondolatokon alapult.

A fenti azonoss\'ag ad magyar\'azatot arra, hogy mi\'ert nevezik a
most tekintett eloszl\'asokat negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'asnak.
Ugyanis, mivel $\binom {k+r-1}{r-1}=(-1)^k\binom {-r}k$,
$$
P(\xi=k+r)=\binom {k+r-1}{r-1} (1-p)^k p^r=\binom {-r}k
(p-1)^k p^r, \quad k=0,1,2,\dots.
$$
Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Ezt k\"onnyen kisz\'am\'{\i}thatn\'ank
a gener\'atorf\"uggv\'eny deriv\'al\'as\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
de ehelyett egy geometriai eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et
kisz\'amoljuk direkt m\'odon, majd az \'altal\'anos esetet
visszavezetj\"uk erre.

Legyen $\xi$ geometriai eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $p$ param\'eterrel, azaz legyen $P(\xi=k+1)=p^k(1-p)$,
$k=0,1,\dots$. Ekkor
$$
E\xi=\summ_{k=0}^\infty (k+1)(1-p)^kp=p\summ_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1},
$$
$E\xi^2=p\summ_{k=0}^\infty k^2(1-p)^{k-1}$, \'es
$\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$. Deriv\'aljuk k\'etszer a
$\summ_{k=0}^\infty x^k=\frac1{1-x}$, $|x|<1$ azonoss\'agot. Azt
kapjuk, hogy
$$
\frac1{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty k x^{k-1},
$$
$$
\frac2{(1-x)^3}=\sum_{k=2}^\infty k(k-1) x^{k-2}.
$$
Innen $x=1-p$ helyettes\'{\i}t\'essel
$\frac1{p^2}=\summ_{k=1}^\infty k(1-p)^{k-1}$,
$E\xi=p\summ_{k=1}^\infty k(1-p)^{k-1}=\frac p{p^2}=\frac1p$,
$\summ_{k=0}^\infty k^2(1-p)^{k-1}=
(1-p)\summ_{k=2}^\infty k(k-1)(1-p)^{k-2}+
\summ_{k=1}^\infty k(1-p)^{k-1}=\frac{2(1-p)}{p^3}+\frac1{p^2}$,
$E\xi^2=\frac{2(1-p)}{p^2}+\frac1p$,
$\Var\xi=\frac{2(1-p)}{p^2}+\frac1p-\frac1{p^2}
=\frac1{p^2}-\frac1p=\frac{1-p}{p^2}$.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{5.)} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $n$ \'es $p$ param\'eter\H{u}
negat\'{\i}v binomi\'alis elosz\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et
annak az ismeretnek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy egy $p$
param\'eter\H{u} geometriai eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $\frac1p$ \'es
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete $\frac{1-p}{p^2}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"unk $n$ f\"uggetlen geometriai
eloszl\'as\'u $\xi_1,\dots,\xi_r$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ot, \'es legyen $S=\summ_{j=1}^n\xi_j$. Ekkor $S$
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o $n$ \'es $p$ param\'eterekkel. Tov\'abb\'a,
$ES=nE\xi_1=\frac np$, $\Var S=\frac{n(1-p)}{p^2}$.

\medskip
T\'argyaljuk meg, hogyan lehet egy negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kisz\'amolni a
gener\'atorf\"uggv\'enye ismeret\'eben. S\H{o}t, l\'assunk be egy
olyan formul\'at, amely \'altal\'anosabb esetben is alkalmazhat\'o.

Legyen $\Cal P=\{p_k\colon\; k=1,2,\dots\}$, $p_k\ge 0$, $k=0,1,2,\dots$,
$\summ_{k=0}^\infty p_k=1$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg eloszl\'as a
nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amokon. Vezess\"uk be az ezen
eloszl\'ashoz tartoz\'o
$$
g(x)=g_{\Cal P}(x)=\sum_{k=0}^\infty p_kx^k.
$$
gener\'atorf\"uggv\'enyt. Vegy\"uk \'eszre, hogy a $g(x)$
f\"uggv\'enyt defini\'al\'o hatv\'anysor konvergens a $-1<x<1$
intervallumban. Tov\'abb\'a k\'etszeri deriv\'al\'as \'es az $x=1$
(form\'alis) helyettes\'{\i}t\'es azt sugallja, hogy
$$
g'(x)=\sum_{k=1}^\infty kp_kx^{k-1}, \quad
g''(x)=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)p_kx^{k-2},
$$
valamint
$$
g'(1)=\sum_{k=1}^\infty kp_k, \quad
g''(1)=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)p_k,
$$
\'es ezen azonoss\'agok seg\'{\i}ts\'eg\'evel kisz\'amolhatjuk a
keresett v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
Ugyanis $E\xi=\summ_{k=0}^\infty kp_k=g'(1)$, $E\xi^2
=\summ_{k=0}^\infty k^2p_k =\summ_{k=2}^\infty k(k-1)p_k+
\summ_{k=1}^\infty kp_k=g''(1)+g'(1)$, ahonnan
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=g''(1)+g'(1)-g'(1)^2$.

Felmer\"ul a k\'erd\'es, szabad-e az al\'abbi sz\'amol\'asokat
v\'egrehajtani. A probl\'em\'at az okozza, hogy hatv\'anysorokat
szabad tagonk\'ent deriv\'alni a konvergenciatartom\'any
belsej\'eben, de mi az $x=1$ helyettes\'{\i}t\'est hajtottuk
v\'egre, \'es lehet, hogy a $g(x)$ f\"uggv\'eny hatv\'anysora nem
terjeszthet\H{o} ki egy a $(-1,1)$ intervallumn\'al nagyobb
intervallumra. A negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as
gener\'atorf\"uggv\'enye eset\'en egy ilyen kiterjeszt\'es
lehets\'eges, de \'erdemes az \'altal\'anos esetet is tekinteni,
\'es ekkor nem szabad kiz\'arni ezt a lehet\H{o}s\'eget.

Az anal\'{\i}zis bizonyos eredm\'enyei biztos\'{\i}tj\'ak a fenti
sz\'amol\'as jogoss\'ag\'at. Egyr\'eszt igaz az, hogy ha egy
$h(x)=\summ_{k=0}^\infty a_kx^k$ hatv\'anysor konvergens egy
$(-A,A)$ intervallumban, \'es a $h(A)=\summ_{k=0}^\infty a_kA^k$
\"osszeg konvergens, akkor $\limm_{x\to A}h(x)=h(A)$. M\'asr\'eszt,
ha a $h(x)$ Taylor-sor $a_k$ egy\"utthat\'oi nem negat\'{\i}vak,
akkor $\limm_{x\to A}h(x)=h(A)$. Speci\'alisan, ha ebben az esetben
$\limm_{x\to A}h(x)<\infty$ akkor $h(A)<\infty$.  Ezeknek az
eredm\'enyeknek az alkalmaz\'as\'aval $A=1$ \'es $h(x)=g'(x)$
illetve $h(x)=g''(x)$ v\'alaszt\'assal meg lehet mutatni a fenti
sz\'amol\'asok jogoss\'ag\'at. \'Erdemes megjegyezni, hogy az
\'altal\'anos esetben a $g'(1)=\limm_{x\to 1} g'(x)$,
$g''(1)=\limm_{x\to 1} g''(x)$ k\'epletet kell alkamaznunk annak
\'erdek\'eben, hogy a $g'(1)$ \'es $g''(1)$ sz\'amokat \'ertelmezni
tudjuk.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az, hogy egy hatv\'anysor hogyan viselkedik a
kovergenciak\"or\'enek sz\'el\'en, a komplex f\"uggv\'enytan egyik
neh\'ez \'es fontos k\'erd\'ese. Annak \'erdek\'eben, hogy l\'assunk
egy egyszer\H{u} p\'eld\'at, amely r\'avil\'ag\'{\i}that arra, hogy
vigy\'azni kell a form\'alis sz\'amol\'asok sor\'an,
tekints\"uk az $h(x)=\frac 1{1+x}=\summ_{k=0}^\infty (-1)^{k} x^k$
hatv\'anysort. Ekkor $h(x)$ konvergens a $-1<x<1$ intervallumban,
$h(1)=\frac12$, \'es $h(x)$ hatv\'anysora az $x=1$ pontban, a
$\summ_{k=0}^\infty (-1)^{k}$ sor, divergens. Ez a p\'elda az\'ert
nem mond ellen a fent elmondottaknak, mert ebben a hatv\'anysorban
vannak negat\'{\i}v egy\"utthat\'ok is.

\medskip
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{6.)} L\'assuk be, hogy amennyiben egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o gener\'atorf\"uggv\'enye
va\-la\-mely $g(x)$ f\"uggv\'eny, akkor $E\xi=g'(1)$,
$\Var\xi=g''(1)+g'(1)-g'(1)^2$, ahol az \'altal\'anos esetben a
$g'(1)=\limm_{x\to1}g'(x)$ \'es $g''(1)=\limm_{x\to1}g''(x)$
k\'epletek defini\'alj\'ak ezeket a mennyis\'egeket. Sz\'amoljuk ki
egy $r$ \'es $p$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et, felhaszn\'alva, hogy e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'o gener\'atorf\"uggv\'enye a
$\(\frac{px}{1-(1-p)x}\)^r$ f\"uggv\'eny.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $g(x)=\summ_{k=0}^\infty p_kx^k$
f\"uggv\'eny k\'et egym\'asut\'ani deriv\'al\'asa
\'es az $x=1$ helyettes\'{\i}t\'es adja, hogy
$g'(1)=\summ_{k=1}kp_k=E\xi$,
$g''(1)=\summ_{k=1}k(k-1)p_k=E\xi(\xi-1)$. Mint azt az el\H{o}ad\'ason
megt\'argyaltuk az anal\'{\i}zis bizonyos eredm\'enyei
lehet\H{o}v\'e teszik a fent alkalmazott tagonk\'enti deriv\'al\'ast.
Ez\'ert $E\xi=g'(1)$, $E\xi^2=g''(1)+g'(1)$, \'es
$\Var\xi=g''(1)+g'(1)-g'(1)^2$.
\item{} Az $r$ \'es $p$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'as gener\'atorf\"uggv\'enye
$$
g(x)=\(\frac{px}{1-(1-p)x}\)^r.
$$
 Innen
$$
g'(x)= rp \(\frac{px}{1-(1-p)x}\)^{r-1}\frac1{\(1-(1-p)x\)^2},
$$
$$
\align
g''(x)=&r(r-1)p^2 \(\frac{px}{1-(1-p)x}\)^{r-2}\frac1{\(1-(1-p)x\)^4}\\
&\qquad+rp\(\frac{px}{1-(1-p)x}\)^{r-1}\frac{2(1-p)}{\(1-(1-p)x\)^3}.
\endalign
$$
Behelyettes\'{\i}t\'essel $E\xi=\frac rp$,
$g''(1)=\frac{r^2+r}{p^2}-\frac{2r}p$, $\Var\xi=g''(1)+g'(1)-g'(1)^2=
\frac{r(1-p)}{p^2}$.

\item{7.)} Mutassunk p\'eld\'at olyan $\Cal P=\{p_k\colon\; k=1,2,\dots\}$,
$p_k\ge 0$, $k=0,1,2,\dots$, $\summ_{k=0}^\infty p_k=1$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg eloszl\'asra a nem negat\'{\i}v eg\'esz
sz\'amokon, amelynek $g(x)=\summ_{k=0}^\infty p_kx^k$
gener\'atorf\"uggv\'enye semmilyen $\e>0$ sz\'am
eset\'en nem konvergens a $-1-\e<x<1+\e$ intervallumon.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $\alpha>1$ tetsz\H{o}leges sz\'am.
Ekkor $C(\alpha)=\summ_{k=1}^\infty \frac1{k^\alpha}<\infty$,
\'es $p_k=p_k(\alpha)=\frac1{C(\alpha)n^\alpha}$, $k=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeloszl\'as. Ennek gener\'ator f\"uggv\'enye
a $\summ_{k=1}^\infty p_kx^k=\frac1{C(\alpha)}\summ_{k=1}^\infty
\frac {x^k}{k^\alpha}$ semmilyen $\e>0$ sz\'amra nem konverg\'al a
$-1-\e<x<1+\e$ intervallumon, mert minden $x>1$  sz\'amra
$\limm_{k\to\infty} \frac {x^k}{k^\alpha}=\infty$.

\item{8.)} Legyen $\xi$ geometriai eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz
legyen $P(\xi=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\dots$. L\'assuk be, hogy
$\xi$ teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} (diszkr\'et) \"or\"okifj\'u
tulajdons\'agot.
$$
P(\xi=k+l|\xi>l)=p(1-p)^{k-1}=P(\xi=k).
$$
Adjuk meg ennek az azonoss\'agnak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi magyar\'azat\'at is.
\item{} {\it Megold\'as:}
$$
\align
P(\xi=k+l|\xi>l)&=\frac{P(\xi=k+l)}{\summ_{j=1}^\infty P(\xi=l+j)}
=\frac{p(1-p)^{k+l-1}}{\summ_{j=1}^\infty p(1-p)^{l+j-1}}\\
&=\frac{(1-p)^{k-1}}{\summ_{j=0}^\infty (1-p)^{j}}=p(1-p)^{k-1}=P(\xi=k).
\endalign
$$
Tekints\"uk egy a fej-oldal\'ara $p$ val\'{\'o}sz\'{\i}n\H{u}s\'eggel 
es\H{o} p\'enz\'erme v\'egtelen egym\'as ut\'ani feldob\'as\'at. A
most bebizony\'{\i}tott azonoss\'ag baloldal\'an annak a felt\'eteles
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge \'all, hogy ha az els\H{o} $l$ 
dob\'asban, nem volt fejdob\'as, akkor az $l$-ik dob\'as ut\'ani els\H{o}
fejdob\'as az $l+k$-ik dob\'asn\'al jelenik meg. Mivel az els\H{o} $l$ 
dob\'as \'es az ut\'ana k\"ovetkez\H{o} dob\'asok eredm\'enyei 
egym\'ast\'ol f\"uggetlenek, ez a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg 
megegyezik a felt\'etel n\'elk\"uli val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, \'es 
ezt fejezi ki ez az azonoss\'ag.

\medskip\noindent
b.) {\it Hipergeometrikus eloszl\'as.}

\medskip\noindent
Tekints\"unk el\H{o}sz\"or egy tipikus p\'eld\'at, amelyben ilyen
eloszl\'asok megjelennek.

\noindent
Adva van egy urn\'aban $M$ piros \'es $N-M$ feh\'er goly\'o.
Visszatev\'es n\'elk\"ul kih\'uzunk $n$, $n\le N$, goly\'ot. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$ piros goly\'ot h\'uztunk ki?

Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\frac{\binom Mk
\binom{N-M}{n-k}}{\binom Nn}$. Val\'oban, ha
megk\"ul\"onb\"oztetj\"uk az egyes goly\'okat, akkor $\binom Nn$
k\"ul\"onb\"oz\H{o} h\'uz\'aseredm\'eny alakulhat ki. (Nem
k\"ul\"onb\"oztet\"unk meg k\'et h\'uz\'aseredm\'enyt, ha ugyanazokat a
goly\'okat h\'uztuk ki csak m\'as sorrendben. Kiss\'e r\'eszletesebben
kifejtve: Az urn\'aban lev\H{o} goly\'okat sz\'amozzuk meg $1$-t\H{o}l
$N$-ig \'ugy, hogy a piros goly\'ok kapj\'ak az $1,\dots,M$ \'es a
feh\'er goly\'ok az $M+1,\dots,N$ sz\'amokat. Egy $n$ hossz\'us\'ag\'u
visszatev\'es n\'elk\"uli h\'uz\'assorozat eredm\'enye egy az
$1,\dots,N$ sz\'amokb\'ol \'all\'o $n$ hossz\'u sz\'amsorozat, amelynek
minden tagja k\"ul\"onb\"oz\H{o}. A k\"ul\"onb\"oz\H{o}
h\'uz\'assorozatok sz\'am\'at sz\'amoljuk ki, ha azonos\'{\i}tunk
k\'et olyan sorozatot, amelyben ugyanazok a sz\'amok szerepelnek csak
m\'as sorrendben. Ezut\'an azon $n$ hossz\'us\'ag\'u
h\'uz\'assorozatok sz\'am\'at sz\'amoljuk \"ossze, amelyekben $k$
piros, azaz az $1,\dots, M$ sz\'amok valamelyik\'evel
in\-de\-xe\-zett goly\'o van.) Olyan h\'uz\'assorozat,
amelyben az $M$ piros goly\'ob\'ol $k$-t, az $N-M$ feh\'er goly\'ob\'ol
pedig  $n-k$-t h\'uzunk ${\binom Mk \binom{N-M}{n-k}}$ van. Mivel
ezek azok az $n$ hossz\'u h\'uz\'assorozatok, amelyekben pontosan $k$
piros goly\'ot  h\'uzunk, \'es az egyes h\'uz\'assorozatok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege megegyezik, innen k\"ovetkezik az
\'all\'{\i}t\'as.

\medskip\noindent
{\bf A hipergeometrikus eloszl\'as
definici\'oja.} {\it Azt mondjuk, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o hipergeometrikus
eloszl\'as\'u $N$, $M$ \'es $n$ param\'eterekkel, ahol $N$, $M$ \'es
$n$ nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amok, $M<N$, $n<N$, ha
$$
P(\xi=k)=\frac{\binom Mk \binom{N-M}{n-k}}{\binom Nn}, \quad 0\le
k\le n.
$$
}\medskip
Ilyen m\'odon val\'oban eloszl\'ast defini\'altunk. A $\summ_{k=0}^n
P(\xi=k)=1$ azonoss\'aggal ekvivalens $\summ_{k=0}^n\binom
Mk\binom{N-M}{n-k}=\binom Nn$  azonoss\'agot (m\'as
jel\"ol\'essel) bel\'attuk a binomi\'alis eloszl\'as vizsg\'alat\'aban.

\noindent
A k\"ovetkez\H{o} feladat egy tipikus probl\'ema, ahol a
hipergeometrikus eloszl\'as megjelenik.

\medskip
\item{} Sz\'amoljuk ki annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a
lott\'oban pontosan h\'arom tal\'alatunk lesz.

\medskip\noindent
E feladat megold\'as\'at m\'ar ismertettem a 2. el\H{o}ad\'as 6.
feladat\'aban, ez\'ert ezt nem kell \'ujra t\'argyalnom. Oldjuk meg
a k\"ovetkez\H{o} feladatot.

\medskip
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{9.)} Sz\'amoljuk ki egy hipergeometrikus eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"unk egy urn\'at, amely $M$ piros
\'es $N-M$ feh\'er goly\'ot tartalmaz, \'es h\'uzzunk ki $n$ goly\'ot
visszatev\'es n\'elk\"ul.  Legyen $\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as
piros, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as feh\'er. Ekkor a megoldand\'o
feladat ekvivalens az $S=\summ_{j=1}^n\xi_j$ v\'arhat\'o \'er\'ek\'enek
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'enek a kisz\'amol\'as\'aval. Viszont m\'ar
kor\'abbi eredm\'enyekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $E\xi_j=\frac MN$,
$\Var\xi_j=\frac MN-\(\frac MN\)^2$ minden $1\le j\le N$ indexre,
tov\'abb\'a, $\Cov (\xi_j,\xi_k)=\frac MN\frac{M-1}{N-1}-\(\frac
MN\)^2$ minden $1\le j,k\le n$, $j\neq k$ sz\'amp\'arra.
A v\'arhat\'o \'ert\'ek additivit\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$ES=\frac{nM}N$. (Itt nincs sz\"uks\'eg az \"osszeadand\'ok
f\"uggetlens\'eg\'enek a felt\'etelez\'es\'ere.) Az \"osszeg
sz\'or\'asn\'egyzet\'enek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara tanult
\'altal\'anos k\'epletb\H{o}l, (amikor az \"osszeadand\'ok nem
felt\'etlen\"ul f\"uggetlenek) \'es a fenti formul\'akb\'ol
k\"ovetkezik, hogy
$$
\allowdisplaybreaks
\align
\Var S &=n\Var\xi_1+n(n-1)\Cov(\xi_1,\xi_2)\\
&=n\(\frac MN-\(\frac MN\)^2\)+n(n-1)\(
\frac MN\frac{M-1}{N-1}-\(\frac MN\)^2\)\\
&=n\frac MN\(1-\frac MN-(n-1)\frac{N-M}{(N-1)N}\)\\
&=n\frac MN\(1-\frac MN\)\(1-\frac{n-1}{N-1}\)
=n\frac MN\(1-\frac MN\)\frac{N-n}{N-1}.
\endalign
$$
\item{10.)} Sz\'amoljuk ki egy $N$, $M$ \'es $n$ param\'eter\H{u}
hipergeometrikus eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et,
azaz egy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et,
amelyre
$$
P(\xi=k)=\frac{\binom Mk \binom{N-M}{n-k}}{\binom Nn}, \quad 0\le
k\le n.
$$
Mutassuk meg, hogy $E\xi=n\frac MN$, $\Var\xi=\frac{nM}N\(1-\frac
MN\)\frac{n-n}{N-1}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"unk egy urn\'at, amely $M$ piros
\'es $N-M$ feh\'er goly\'ot tartalmaz, \'es h\'uzzunk ki $n$ goly\'ot
visszatev\'es n\'elk\"ul.  Legyen $\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as
piros, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as feh\'er. Ekkor a megoldand\'o
feladat ekvivalens az $S=\summ_{j=1}^n\xi_j$ v\'arhat\'o \'er\'ek\'enek
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'enek a kisz\'amol\'as\'aval. Viszont m\'ar
kor\'abbi eredm\'enyekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $E\xi_j=\frac MN$,
$\Var\xi_j=\frac MN-\(\frac MN\)^2$ minden $1\le j\le N$ indexre,
tov\'abb\'a, $\Cov (\xi_j,\xi_k)=\frac MN\frac{M-1}{N-1}-\(\frac
MN\)^2$ minden $1\le j,k\le n$, $j\neq k$ sz\'amp\'arra.
A v\'arhat\'o \'ert\'ek additivit\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$ES=\frac{nM}N$. (Itt nincs sz\"uks\'eg az \"osszeadand\'ok
f\"uggetlens\'eg\'enek a felt\'etelez\'es\'ere.) Az \"osszeg
sz\'or\'asn\'egyzet\'enek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara tanult
\'altal\'anos k\'epletb\H{o}l, (amikor az \"osszeadand\'ok nem
felt\'etlen\"ul f\"uggetlenek) \'es a fenti formul\'akb\'ol
k\"ovetkezik, hogy
$$
\allowdisplaybreaks
\align
\Var S &=n\Var\xi_1+n(n-1)\Cov(\xi_1,\xi_2)\\
&=n\(\frac MN-\(\frac MN\)^2\)+n(n-1)\(
\frac MN\frac{M-1}{N-1}-\(\frac MN\)^2\)\\
&=n\frac MN\(1-\frac MN-(n-1)\frac{N-M}{(N-1)N}\)\\
&=n\frac MN\(1-\frac MN\)\(1-\frac{n-1}{N-1}\)
=n\frac MN\(1-\frac MN\)\frac{N-n}{N-1}.
\endalign
$$

\medskip
Ha egy urnah\'uz\'asban $N$ \'es $N-M$ nagy, azaz sok feh\'er
\'es piros goly\'o van az urn\'aban, \'es fix sz\'am\'u goly\'ot
kih\'uzunk, akkor a h\'uz\'aseredm\'eny szempontj\'ab\'ol alig
van jelent\H{o}s\'ege annak, hogy a kih\'uzott goly\'okat
visszadobjuk-e vagy sem. Ilyen jelleg\H{u} \'all\'{\i}t\'ast
fogalmaz meg a k\"ovetkez\H{o} (egyszer\H{u}) feladat.

\medskip
\item{11.)} Ha $N\to\infty$, $\limm_{N\to\infty}\frac MN=p$, $0<p<1$,
$n$ r\"ogz\'{\i}tett eg\'esz sz\'am, akkor
$$
\limm_{N\to\infty} \frac{\binom Mk \binom{N-M}{n-k}}{\binom
Nn}=\binom nk p^k(1-p)^{n-k} \quad \text{minden } 0\le k\le n
\text{ sz\'amra}.
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&\frac{\binom Mk \binom{N-M}{n-k}}{\binom Nn}\\
&\qquad=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{M(M-1)\cdots(M-k+1)}{N(N-1)\cdots(N-k+1)}
\frac{(N-M)\cdots(N-M-n+k+1)}{(N-k)\cdots(N-n+1)}\\
&\qquad \to\binom nk p^k(1-p)^{n-k}  \text{ ha } N\to\infty,
\endalign
$$
mert $\frac{M(M-1)\cdots(M-k+1)}{N(N-1)\cdots(N-k+1)}\to p^k$, \'es
$\frac{(N-M)\cdots(N-M-n+k+1)}{(N-k)\cdots(N-n+1)}\to(1-p)^{n-k}$, ha
$N\to\infty$.

\medskip
A hipergeometrikus eloszl\'as term\'eszetes \'altal\'anos\'{\i}t\'asa
a polihipergeometrikus el\-osz\-l\'as. Ennek meg\'ert\'ese \'erdek\'eben
tekints\"uk a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} feladatot: Egy urn\'aban $r$
k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'o van, $N_1$ 1-es, $N_2$
2-es, \dots $N_r$ $r$-es sz\'{\i}n\H{u} goly\'o. Legyen $N=\summ_{j=1}^r
N_j$. Ezekb\H{o}l a goly\'okb\'ol kih\'uzunk $n$-et visszatev\'es
n\'elk\"ul. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k_1$ 1-es,
$k_2$ 2-es, \dots $k_r$ $r$-es sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot h\'uzunk ki?

A v\'alasz:
$$
\frac{\binom{N_1}{k_1}\binom{N_2}{k_2}\cdots\binom{N_r}{k_r}}
{\binom Nn},
$$
ahol $n=\summ_{j=1}^r k_r$. Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'oan t\"ort\'enhet mint a hipergeometrikus
eloszl\'as bevezet\'ese el\H{o}tt tekintett feladat\'e. Ennek a
feladatnak az alapj\'an vezett\'ek be a k\"ovetkez\H{o} fogalmat.

\medskip\noindent
{\bf A polihipergeometrikus eloszl\'as definici\'oja.} {\it Azt
mondjuk, hogy a $(\xi_1,\dots,\xi_r)$ v\'eletlen vektor
polihipergeometrikus eloszl\'as\'u $N_1,\dots N_r$ \'es $n$
param\'eterekkel, ahol $N_j$, $1\le j\le r$, \'es $n$ nem
negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amok, \'es $N=\summ_{j=1}^r N_j$
jel\"ol\'essel $n<N$, ha
$$
P(\xi_1=k_1,\dots,\xi_r=k_r)=
\frac{\binom{N_1}{k_1}\binom{N_2}{k_2}\cdots\binom{N_r}{k_r}}
{\binom Nn},
$$
ahol $n=\summ_{j=1}^r k_j$.}

\vfill\eject

{\it Feladatok:}
\medskip 
\item{12.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_L$ \'es
$\eta_1,\dots,\eta_M$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. L\'assuk be, hogy
$$
\Cov\(\sum_{j=1}^L\xi_j,\sum_{k=1}^M \eta_k\)=
\sum_{j=1}^L \sum_{k=1}^M  \Cov(\xi_j,\eta_k).
$$
\item{} {\it Megold\'as:}
$$
\align
\Cov\(\sum_{j=1}^L\xi_j,\sum_{k=1}^M \eta_k\)&=
E\(\sum_{j=1}^L\xi_j\cdot\sum_{k=1}^M \eta_k\)-
\(E\sum_{j=1}^L\xi_j\)\( E\sum_{k=1}^M \eta_k\) \\
&=\sum_{j=1}^L\sum_{k=1}^M E\xi_j \eta_k-
\sum_{j=1}^L\sum_{k=1}^M E\xi_j E\eta_k=
\sum_{j=1}^L \sum_{k=1}^M  \Cov(\xi_j,\eta_k).
\endalign
$$
\item{13.)} Legyen $(\xi_1,\dots,\xi_r)$ v\'eletlen vektor
polihipergeometrikus eloszl\'as\'u $N_1,\dots N_r$ \'es $n$
param\'eterekkel. Sz\'am\'{\i}tsuk ki az $E\xi_j$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekeket, a $\Var\xi_j$ sz\'or\'asn\'egyzetet minden $1\le
j\le r$ sz\'amra \'es a $\Cov(\xi_j,\xi_k)$
kovarianciaf\"uggv\'enyt, ha $1\le j,k\le r$, $j\neq k$.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ A hipergeometrikus eloszl\'asr\'ol
sz\'ol\'o hasonl\'o feladat m\'odszere term\'eszetes m\'odon
adapt\'alhat\'o ebben az esetben is.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or a
$\Cov(\xi_j,\xi_k)$ kovarianciaf\"uggv\'enyt. Ennek \'er\-de\-k\'e\-ben
tekints\"unk egy urn\'at, benne $N_1$ 1-es, $N_2$ 2-es,\dots, $N_r$
$r$-es sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot, \'es h\'uzzunk ki bel\H{o}l\"uk
$n$-et visszatev\'es n\'elk\"ul. Legyen $N=\summ_{k=1}^r N_r$, \'es
vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\eta_{l,s}$, $1\le l\le n$, $1\le
s\le r$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\eta_{l,s}=1$,
ha az $l$-ik h\'uz\'asban $s$-es sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot h\'uzunk,
\'es $\eta_{l,s}=0$, ha az $l$-ik h\'uz\'as eredm\'enye m\'as.
Defini\'aljuk a $\xi_s=\summ_{l=1}^n\eta_{l,s}$ v\'eletlen
\"osszegeket, $1\le s\le r$. Ekkor a $\Cov(\xi_j,\xi_k)$
kovarianciaf\"uggv\'enyt kell kisz\'amolnunk az el\H{o}bb
defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal.
\item{} Ezt a hipergeometrikus eloszl\'as eset\'en alkalmazott
\'ervel\'es term\'eszetes adap\-t\'a\-ci\'o\-j\'a\-val \'es az
el\H{o}z\H{o} h\'azi feladat eredm\'eny\'enek felhaszn\'al\'as\'aval
tehetj\"uk meg.
\item{} El\H{o}sz\"or ki kell sz\'amolnunk az
$\Cov\(\eta_{l,j},\eta_{l',k}\)$ kovarianciaf\"uggv\'enyeket. K\"ul\"on
kell v\'alasztani az $l=l'$ \'es $l\neq l'$ eseteket. Mind a k\'et
esetben haszn\'alhatjuk azt a t\'enyt, hogy hasonl\'oan a k\'et
sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot tartalmaz\'o urnamodellhez annak, hogy milyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel h\'uzok bizonyos el\H{o}\'{\i}rt
sz\'{\i}n\H{u} goly\'okat adott h\'uz\'asban nem f\"ugg att\'ol, hogy
hanyadik h\'uz\'ast tekintett\"uk.
\item{} Az $l=l'$ esetben
$$
\align
\Cov\(\eta_{l,j},\eta_{l,k}\)&=
P\(\eta_{l,j}=1,\eta_{l,k}=1\)-
P\(\eta_{l,j}=1\)P\(\eta_{l,k}=1\)\\
&=-P\(\eta_{1,j}=1\)P\(\eta_{1,k}=1\)=-\frac{N_j N_k}{N^2}.
\endalign
$$
Ha $l\neq l'$, akkor
$$
\align
\Cov\(\eta_{l,j},\eta_{l',k}\)&=
P\(\eta_{l,j}=1,\eta_{l',k}=1\)-
P\(\eta_{l,j}=1\)P\(\eta_{l',k}=1\)\\
&=P\(\eta_{1,j}=1,\eta_{2,k}=1\)
-P\(\eta_{1,j}=1\)P\(\eta_{1,k}=1\)\\
&=\frac{N_jN_k}{N(N-1)}-\frac{N_j N_k}{N^2}.
\endalign
$$
Innen, illetve az el\H{o}z\H{o} feladatban megfogalmazott
eredm\'eny alapj\'an
$$
\Cov(\xi_j,\xi_k)=-n\frac{N_j N_k}{N^2}+n(n-1)
\(\frac{N_jN_k}{N(N-1)}-\frac{N_j
N_k}{N^2}\)=n\frac{(n-N)N_jN_k}{(N-1)N^2}.
$$
Az $E\xi_j$ \'es $\Var\xi_j$ mennyis\'egeket is ki lehet
sz\'am\'{\i}tani hasonl\'oan, de erre nincs sz\"uks\'eg. Ha csak azt
vessz\"uk figyelembe, hogy az $l$-ik h\'uz\'asban $j$-es vagy m\'as
sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot h\'uztunk-e, azaz csak az $\eta_{j,l}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal dolgozunk, akkor r\"ovid
meggondol\'as ut\'an l\'athatjuk, hogy ugyanazt az eredm\'enyt kapjuk,
mint a (k\'et sz\'{\i}nnel rendelkez\H{o}) hipergeometrikus eloszl\'ast
modellez\H{o} urnamodell eset\'en $M=N_j$ \'es $N-M=N-N_j$
param\'eterekkel. Ez\'ert $E\xi_j=n\frac {N_j}N$, $\Var\xi_j=
n\frac {N_j}N\(1-\frac {N_j}N\)\frac{N-n}{N-1}$.

\medskip\noindent
{\it Poisson eloszl\'as.}

\medskip\noindent
A Poisson eloszl\'ast k\"ozvetlen\"ul fogom defini\'alni. Azok a
tulajdons\'agai, amelyek miatt fontos szerepet j\'atszik a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban k\'es\H{o}bb fognak
kider\"ulni.

\medskip\noindent
{\bf Poisson eloszl\'as definici\'oja.}  {\it Egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$
pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'as\'u, ha $\xi$
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$$
P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k=0,1,2,\dots
$$
}\medskip
Ez val\'oban val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg eloszl\'as, mert
$$
\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)=\sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda} e^\lambda=1.
$$
Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
ge\-ne\-r\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ez
$$
\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)x^k=\sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}x^k=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty
\frac{(\lambda x)^k}{k!}=e^{-\lambda} e^{\lambda x}=e^{\lambda(x-1)}.
$$
A k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast fontoss\'aga miatt fogalmazzuk
meg T\'etel form\'aj\'aban.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
el\-osz\-l\'a\-s\'a\-r\'ol.} {\it Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
f\"uggetlen, $\lambda$ illetve $\mu$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o, akkor
$\xi+\eta$ $\lambda+\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\align
P(\xi+\eta=k)&=\sum_{j=0}^kP(\xi=j,\eta=k-j)=
\sum_{j=0}^kP(\xi=j)P(\eta=k-j) \\
&=\sum_{j=0}^k \frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}
\frac{\mu^{k-j}}{(k-j)!}e^{-\mu}=
\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}
\sum_{j=0}^k \frac{k!}{j!(k-j)!} \lambda^j \mu^{(k-j)} \\
&=\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k.
\endalign
$$

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{14.)} Mutassuk meg, hogy a Poisson eloszl\'as
gener\'atorf\"uggv\'eny\'enek alakj\'ab\'ol l\'athat\'o, hogy
ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, $\lambda$ illetve
$\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $\xi+\eta$
$\lambda+\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{} {\it Megold\'as:} \/ Mivel egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
ge\-ne\-r\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nye $e^{\lambda(x-1)}$, egy $\mu$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o ge\-ne\-r\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nye $e^{\mu(x-1)}$,
\'es egy $\lambda+\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'o
gener\'atorf\"uggv\'enye  $e^{(\lambda+\mu)(x-1)}$, a feladat
\'all\'{\i}t\'asa k\"ovetkezik az
$$
e^{\lambda(x-1)}e^{\mu(x-1)}=e^{(\lambda+\mu)(x-1)}
$$
azonoss\'agb\'ol.

\medskip
A fenti eredm\'eny k\"ovetkezm\'enye, hogy amennyiben v\'eges sok
f\"uggetlen, Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak vessz\"uk az
\"osszeg\'et, az ism\'et Poisson eloszl\'as\'u lesz, amelynek
param\'etere az egyes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
param\'etereinek az \"osszege. A k\"ovetkez\H{o} feladat
\'all\'{\i}t\'asa, amelynek \'erdekes k\"ovetkezm\'enyei vannak,
tekinthet\H{o} \'ugy mint ennak az \'all\'{\i}t\'asnak a
megford\'{\i}t\'asa. Abban ugyanis egy al\-kal\-mas konstrukci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel egy Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot bontunk fel f\"uggetlen
kisebb param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{15.)} Legyen adva $k$ darab  urna, \'es ezekbe dobjunk be
v\'eletlen $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, ahol $\xi$ Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$
param\'eterrel. Legyenek az egyes dob\'asok eredm\'enyei
egym\'ast\'ol \'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlenek. Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy
minden egyes dob\'asn\'al a goly\'o $p_j\ge0$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a $j$-ik urn\'aba,
$j=1,\dots,k$, $\sum\limits_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\eta_j$ a
$j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at. Ekkor az $\eta_j$,
$j=1,\dots,k$, val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, \'es $\eta_j$ Poisson eloszl\'as\'u $\lambda p_j$
param\'eterrel, $j=1,\dots,k$.
\item{} {\it Megold\'as:}
$$
\align
P(\eta_1=l_1,\dots,\eta_k=l_k)
&=P(\xi=l_1+\cdots+l_k)\frac{(l_1+\cdots+l_k)!}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}\\
&=\frac{\lambda^{(l_1+\cdots+l_k)}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda} \\
&=\frac{\lambda^{l_1}\cdots\lambda^{l_k}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda(p_1+\cdots+p_k)}
=\prod_{j=1}^k\frac{ (\lambda p_j)^{l_j}}{l_j!}e^{-\lambda p_j}
\endalign
$$
tetsz\H{o}leges $l_1\ge0$, \dots, $l_k\ge0$ eg\'esz sz\'amokra. Innen
ad\'odik az \'all\'{\i}t\'as.

\medskip\noindent
L\'assuk be az el\H{o}z\H{o} feladat seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast:

\medskip
\item{16.)} Legyen adva $\xi$ Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$ param\'eterrel.
Dobjunk le egym\'ast\'ol \'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen\"ul v\'eletlen\"ul egyenletesen $\xi$
darab pontot az egys\'egintervallumra, azaz tegy\"uk fel, hogy minden
pont $b-a$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik valamely $[a,b]\subset
[0,1]$ intervallumba. Ekkor a $[0,1]$ intervallum tetsz\H{o}leges
felbont\'as\'ara $[s_0,s_1]$, $[s_1,s_2]$,\dots, $[s_{k-1},s_k]$
intervallumokra, $0=s_0<s_1<\cdots<s_k=1$, az egyes intervallumokba
es\H{o} pontok sz\'ama egym\'ast\'ol f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $s_j-s_{j-1}$, $1\le j\le k$,
param\'eterrel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} urnamodellt.
Tekint\"unk $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, teh\'at annyit, ah\'any
ledobott pontot tekintett\"unk az el\H{o}z\H{o} feladatban. Tegy\"uk az
$l$-ik goly\'ot a $j$-ik urn\'aba, ha a $l$-ik pont az $[s_{j-1},s_j]$
intervallumba esett, $1\le j\le k$. Akkor az el\H{o}z\H{o}  feladat
eredm\'enye alapj\'an az egyes urn\'akba es\H{o} goly\'ok sz\'ama
egym\'ast\'ol f\"uggetetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $s_j-s_{j-1}$, $1\le j\le k$,
param\'eterrel. Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$$
E\xi=\sum_{k=1}^\infty k\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
=e^{-\lambda}\lambda\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}
=\lambda e^{-\lambda+\lambda}=\lambda,
$$
$$
\align
E\xi^2=\sum_{k=1}^\infty k^2\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
&=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
+\sum_{k=1}^\infty k\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \\
&=e^{-\lambda}\lambda^2\sum_{k=2}^\infty
\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}+\lambda
=\lambda^2+\lambda,
\endalign
$$
\'es
$\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2=(\lambda+\lambda^2)-\lambda^2=\lambda$.

Megjegyzem, hogy a Poisson eloszl\'as v\'arhat\'o \'ert\'ek\'ere
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'ere kapott eredm\'enyek \"osszhangban 
vannak azzal a t\'ennyel, hogy f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszege olyan
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek
para\-m\'e\-te\-re az \"osszeadand\'ok param\'etereinek az \"osszege.
Ugyanis mind a v\'arhat\'o \'ert\'ek mind a sz\'or\'asn\'egyzet
addit\'{\i}v f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszegz\'ese eset\'en.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{17.)} Legyenek $\xi_j$, $j=1,\dots,r$, f\"uggetlen Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\lambda_j$,
$1\le j\le r$, param\'eterekkel. Mutassuk meg, hogy
$$
P\(\left.\vphantom{\sum_{j=1}^r}
\xi_1=k_1,\dots, \xi_r=k_r\right|\sum_{j=1}^r\xi_j=n\)=
\frac{n!}{k_1!\cdots k_r!}\prod_{j=1}^r \frac
{\lambda_j^{k_j}}{\(\summ_{s=1}^r\lambda_s\)^{k_j}},
$$
ha $\summ_{j=1}^r k_j=n$. Azaz a $\xi_1,\dots,\xi_r$ vektor
felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve, hogy
$\summ_{j=1}^r k_j=n$ a polinomi\'alis eloszl\'as $n$ \'es $p_j=
\frac{\lambda_j}{\summ_{s=1}^r\lambda_s}$, $1\le j\le r$,
param\'eterekkel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
P\(\left.\vphantom{\sum_{j=1}^r}
\xi_1=k_1,\dots, \xi_r=k_r\right|\sum_{j=1}^r\xi_j=n\)
&=\frac{P(\xi_1=k_1,\dots, \xi_r=k_r)}{P\(\sum_{j=1}^r\xi_j=n\)}\\
&=\frac{P(\xi_1=k_1)\cdots P(\xi_r=k_r)}{P\(\sum_{j=1}^r\xi_j=n\)},
\endalign
$$
mert $\{\oo\colon\;\sum_{j=1}^r\xi_j(\oo)=n\}\subset
\{\oo\colon\; \xi_1(\oo)=k_1,\dots, \xi_r(\oo)=k_r)\}$, \'es
a $\xi_1,\dots,\xi_r$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek. Innen
$$
\align
P\(\left.\vphantom{\sum_{j=1}^r}
\xi_1=k_1,\dots, \xi_r=k_r\right|\sum_{j=1}^r\xi_j=n\)&=
\frac{\prodd_{j=1}^r \frac{\lambda_j^{k_j}}{k_j!}e^{-\lambda_j}}
{\frac{\(\summ_{s=1}^r\lambda_s\)^{k_1+\cdots+k_r}
e^{-(\lambda_1+\cdots+\lambda_r}}{n!} }\\
&=\frac{n!}{k_1!\cdots k_r!}\prod_{j=1}^r \frac
{\lambda_j^{k_j}}{\(\summ_{s=1}^r\lambda_s\)^{k_j}}.
\endalign
$$

A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny a binomi\'alis eloszl\'as Poisson
k\"ozel\'{\i}t\'es\'er\H{o}l sz\'ol.
\medskip\noindent
{\bf Lemma binomi\'alis eloszl\'as Poisson
k\"ozel\'{\i}t\'es\'er\H{o}l.} {\it Minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra
tekints\"unk egy $S_n$ binomi\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot $B(n,p_n)$
eloszl\'assal, azaz $n$ \'es $p_n$ param\'eterekkel. Tegy\"uk fel
tov\'abb\'a, hogy a $\lambda_n=np_n$, $n=1,2,\dots$, sz\'amok
teljes\'{\i}tik a $\limm_{n\to\infty}\lambda_n=\lambda$
felt\'etelt valamilyen $\lambda>0$ sz\'ammal. Ekkor
$$
\lim_{n\to\infty} P(S_n=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
$$
minden $k=0,1,2,\dots$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}
$$
\align
P(S_n=k)&=\binom nk \(1-\frac {\lambda_n}n\)^{n-k}\(\frac
{\lambda_n}n\)^k=\\
&\frac{\lambda_n^k}{k!}
\(1-\frac {\lambda_n}n\)^n
\(1-\frac {\lambda_n}n\)^{-k}
\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\to \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},
\endalign
$$
ha $n\to\infty$ minden $k=0,1,2,\dots$ sz\'amra, mert
$$
\frac{\lambda_n^k}{k!}\to\frac{\lambda^k}{k!}, \quad
\(1-\frac {\lambda_n}n\)^n\to e^{-\lambda}, \quad
\(1-\frac {\lambda_n}n\)^{-k}\to1, \
$$
\'es $\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\to1$, ha $n\to\infty$.

\medskip\noindent
Az el\H{o}z\H{o} lemma eredm\'enye azt mondja, hogy ha tekint\"unk $n$
f\"uggeten, egyforma el\-osz\-l\'a\-s\'u $\xi_j^{(n)}$, $1\le j\le n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amelyekre
$P(\xi_j^{(n)}=0)=1-P(\xi_j^{(n)}=1)=\lambda_n$, illetve vessz\"uk ezek
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j^{(n)}$ \"osszeg\'et, akkor $n\to\infty$ \'es
$n\lambda_n\to\lambda$ eset\'en az $S_n$ \"ossze\-gek eloszl\'asa tart a
$\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'ashoz.
A k\"ovetkez\H{o} el\H{o}ad\'asban t\'ar\-gya\-lom ennek az
eredm\'enynek egy \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at, amely azt mutatja, hogy
f\"uggetlen, nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek az eloszl\'asa
nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett konverg\'al egy Poisson
eloszl\'ashoz. Ezen el\H{o}ad\'as befejez\'esek\'ent
megmutatom egy feladatsor seg\'{\i}ts\'eg\'evel egy kor\'abban
t\'argyalt feladat kapcsolat\'at a Poisson eloszl\'assal, illetve az
el\H{o}bb t\'argyalt lemm\'aval.

\medskip\noindent
{\it Tov\'abbi feladatok:}
\medskip
\item{1.)} Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o}, a 4. el\H{o}ad\'as
elej\'en t\'argyalt p\'eld\'at: Egy est\'elyen megjelenik $n$
h\'azasp\'ar. Egy t\'ancmester, aki nem tudja, hogy kik
h\'azast\'arsak \'es kik nem, v\'eletlen m\'odon p\'arba rendezi a
f\'erfiakat \'es n\H{o}ket a t\'anc el\H{o}tt. Jel\"olje $T_n$ az
egy\"utt t\'ancol\'o h\'azasp\'arok sz\'am\'at. Mutassuk meg, hogy
$E\binom{T_n}k=\frac1{k!}$ minden $1\le k\le n$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be minden
$1\le j_1<j_2<\dots<j_k\le n$ $k$ hossz\'us\'ag\'u sorozatra a
k\"ovetkez\H{o}
$\eta(j_1,\dots,j_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot:
$\eta(j_1,\dots,j_k)=1$, ha a $j_1$-ik, $j_2$-ik,\dots $j_k$-ik
h\'azasp\'arok mindegyike egym\'assal t\'ancol, \'es
$\eta(j_1,\dots,j_k)=0$ egy\'ebk\'ent. Ekkor
$$
\binom {T_n}k=\summ_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n}\eta(j_1,\dots,j_k),
$$
ahonnan
$$
E\binom {T_n}k=\summ_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n}
E\eta(j_1,\dots,j_k).
$$
Viszont
$E\eta(j_1,\dots,j_k)=\frac{(n-k)!}{n!}$, ahonnan
$E\binom {T_n}k=\binom nk\frac{(n-k)!}{n!}=\frac1{k!}$, mint
\'all\'{\i}tottuk.
\item{2.)} Tekints\"uk az el\H{o}z\H{o} feladat k\"ovetkez\H{o}
m\'odos\'{\i}tott v\'altozat\'at. Egy est\'elyen ott van $n$
h\'azasp\'ar minden f\'erfi tagja. Egym\'as ut\'an megjelennek a
feles\'egek, akiket egy jelenlev\H{o} t\'ancmester megt\'ancoltat
egy \'altala v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott f\'erfival. Minden
f\'erfit egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'alaszt, \'es az
egyes v\'alaszt\'asok egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-nek. Jel\"olje
$\bar T_n$ azon feles\'egek sz\'am\'at, akik a f\'erj\"ukkel
t\'ancolnak. Sz\'amoljuk ki az $E\binom{\bar T_n}k$ kifejez\'es
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et minden $1\le k\le n$ sz\'amra. Mutassuk
meg, hogy $\limm_{n\to\infty}E\binom{\bar T_n}k=\frac1{k!}$ minden
$k=1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be minden
$1\le j_1<j_2<\dots<j_k\le n$ $k$ hossz\'us\'ag\'u sorozatra a
k\"ovetkez\H{o} $\bar\eta(j_1,\dots,j_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot:
$\bar\eta(j_1,\dots,j_k)=1$, ha a $j_1$-ik, $j_2$-ik,\dots
$j_k$-ik feles\'egek mindegyike a f\'erj\'evel t\'ancol, \'es
$\bar\eta(j_1,\dots,j_k)=0$ egy\'ebk\'ent. Ekkor
$$
\binom {\bar T_n}k=\summ_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n}
\bar\eta(j_1,\dots,j_k),
$$
ahonnan
$$
E\binom {\bar T_n}k=\summ_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n}
E\bar\eta(j_1,\dots,j_k).
$$
Viszont
$E\bar\eta(j_1,\dots,j_k)=\frac1{n^k}$, ahonnan
$E\binom {\bar T_n}k=\binom nk\frac{1}{n^k}
=\frac1{k!}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}$. Innen l\'athat\'o,
hogy $\limm_{n\to\infty}E\binom {\bar T_n}k=\frac{1}{k!}$.
\item{3.)} Legyen $\zeta=\zeta_\lambda$ egy $\lambda$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Ekkor $E\binom\zeta k=\frac{\lambda^k}{k!}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\binom\zeta k=\summ_{n=k}^\infty\binom nk\frac{\lambda^n}{n!}
e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\lambda^k
\summ_{n=k}^\infty \frac1{k!}\frac{\lambda^{n-k}}{(n-k)!}
=\frac{\lambda^k}{k!}
e^{-\lambda}\summ_{n=k}^\infty\frac{\lambda^{n-k}}{(n-k)!}
=\frac{\lambda^k}{k!}.
$$
\item{4.)} Tekints\"uk az 1.) feladatban defini\'alt $T_n$ a 2.)
feladatban defini\'alt $\bar T_n$ \'es a 3.) feladatban bevezetett
$\zeta=\zeta_1$ $\lambda=1$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Mutassuk meg,
felhaszn\'alva az el\H{o}z\H{o} feladatok eredm\'enyeit, hogy
$\limm_{n\to\infty}ET_n^k=
\limm_{n\to\infty}E\bar T_n^k=E\zeta^k$ minden $k=1,2,\dots$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy a
$E\binom{T_n}0=E\binom{\bar T_n}0=\binom\zeta0=1$, ami az ott
megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asok megfelel\H{o}je az `elfajul\'o'
$k=0$ esetben. Tov\'abb\'a
$E\binom \eta k=\frac1{k!}E\eta(\eta-1)\cdots(\eta-k+1)=\frac1{k!}
(E\eta^k+B_{k-1,k}E\eta^{k-1}+\cdots+B_{1,k}E\eta+B_{0,k})$ alkalmas
$B_{j,k}$, $0\le j\le k-1$ konstansokkal, amelyek \'ert\'ekeit
explicit m\'odon meg lehet adni, de erre nem lesz sz\"uks\'eg\"unk.
M\'asr\'eszt az el\H{o}z\H{o} feladatokb\'ol k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}E\binom{T_n}k=E\limm_{n\to\infty}
\binom{\bar T_n}k=\binom\zeta k$ minden $k=0,1,2,\dots$ sz\'amra,
ahonnan k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az 4. el\H{o}ad\'as ismertet\'es\'enek a
v\'eg\'en egy kieg\'esz\'{\i}t\'esben megmutattam, hogy hogyan lehet
kisz\'amolni a szita formula egy \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a 4. el\H{o}ad\'as elej\'en tekintett feladatban
az egy\"utt t\'ancol\'o h\'azasp\'arok sz\'am\'anak az eloszl\'as\'at.
Az  ott ismertetett eredm\'enyb\H{o}l az is k\"ovetkezett, hogy ezek
az eloszl\'asok konverg\'alnak az 1 param\'eter\H{u}
Poisson eloszl\'ashoz, ha a h\'azasp\'arok $n$ sz\'ama konverg\'al a
v\'egtelenhez. Az el\H{o}z\H{o} feladatsorban megmutattuk, hogy ezen
eloszl\'asok minden momentuma konverg\'al az 1 param\'eter\H{u}
Poisson eloszl\'as megfelel\H{o} momentum\'ahoz. A
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as egy
\'altal\'anos, ebben az el\H{o}ad\'assorozatban nem t\'argyalt
eredm\'enye szerint ebb\H{o}l k\"o\-vet\-ke\-zik az eloszl\'asok
konvergenci\'aja is.

A feladatsorban szerepl\H{o} m\'asodik feladat c\'elja az eredm\'eny
h\'atter\'enek jobb meg\-vi\-l\'a\-g\'{\i}\-t\'a\-sa volt. Az ott
tekintett feladatban az, hogy az egyes feles\'egek a f\'erj\"ukkel
t\'ancolnak-e f\"uggetlen esem\'enyek voltak. Az els\H{o}
feladatban nem volt teljes f\"uggetlens\'eg ezen esem\'enyek
k\"oz\"ott, de \'erezhet\H{o}, hogy ez a f\"ugg\'es nagyon kicsi
volt. Heurisztikusan v\'arhat\'o, hogy `majdnem f\"uggetlen'
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegei nagyon
hasonl\'oan viselkednek f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszegeihez. Az itt t\'argyalt p\'elda ilyen
jelleg\H{u} jelens\'eget mutatott. Az azonban, hogy a `majdnem
f\"uggetlens\'eg' mit jelent \'altal\'anos nagyon neh\'ez k\'erd\'es.
Az ilyen probl\'em\'ak eld\"ont\'es\'ere nincsen univerz\'alis,
mindig haszn\'alhat\'o m\'odszer.

Vegy\"uk \'eszre azt is, hogy a m\'asodik feladatban defini\'alt
$\bar T_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $B(n,p)$ binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o volt $p=\frac1n$
param\'eterrel. A binomi\'alis eloszl\'as Poisson
k\"ozel\'{\i}t\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
az ilyen eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asai konverg\'alnak a Poisson eloszl\'ashoz $\lambda=1$
param\'eterrel $n\to\infty$ eset\'en. Azt l\'attuk be, hogy
az ezekt\H{o}l kiss\'e k\"ul\"onb\"oz\H{o}, de vel\"uk sok
hasonl\'os\'agot mutat\'o, az els\H{o} feladatban szerepl\H{o} $T_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak ugyanaz a hat\'areloszl\'asa,
(\'es momentumainak hat\'ar\'ert\'eke), ha $n\to\infty$.


\bye

