\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

%\parskip=1pt plus 1pt
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat \"ot\"odik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2007. m\'arcius 6.}

\medskip\noindent
A v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'againak bizony\'{\i}t\'as\'aban
nagyon hasznos az al\'abbi seg\'edt\'etel, amely megegyezik a
Fazekas k\"onyvben szerepl\H{o} 2.6 \'All\'{\i}t\'assal a 61.
oldalon.

\medskip\noindent
{\bf Seg\'edt\'etel.} {\it Legyen $\xi$ egy diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, amely
va\-la\-mi\-lyen $x_1,x_2,\dots$, \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
legyen $B_k=\{\oo\colon\;\xi(\oo)=x_k\}$, $k=1,2,\dots$, a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ekei \'altal
meghat\'arozottt teljes ese\-m\'eny\-rend\-szer. Legyen $C_j$,
$j=1,2,\dots$, egy enn\'el finomabb teljes ese\-m\'eny\-rend\-szer,
azaz tegy\"uk fel, hogy a $C_j\in\Cal A$ halmazok diszjunktak,
$\bigcupp_{j=1}^\infty  C_j=\Omega$, \'es minden $C_j$ halmazhoz
tartozik olyan $B_k$ halmaz, amelyre $C_j\subset B_k$. Ha
$C_j\subset B_k$, akkor rendelj\"uk hozz\'a a $C_j$ halmazhoz
az $y_j=x_k$ sz\'amot. A $\summ_{k=1}^\infty x_kP(B_k)$ \'es
$\summ_{j=1}^\infty y_jP(C_j)$ \"osszegek egyszerre abszolut
konvergensek, \'es ha ezek az \"osszegek abszolut konvergensek,
akkor
$$
E\xi=\summ_{k=1}^\infty x_kP(B_k)=\summ_{j=1}^\infty y_jP(C_j).
$$
}

\medskip
Kiss\'e nagyvonal\'uan \'es pongyol\'an fogalmazva a Seg\'edt\'etelt
a k\"ovetkez\H{o} m\'odon is interpret\'alhatjuk. Az $E\xi$
v\'arhat\'o \'ert\'eket defin\'al\'o $E\xi=\sum x_kP(B_k)$,
$B_k=\{\oo\colon\; \xi(\oo)=x_k\}$ \"osszegben a $B_k$ halmazt fel lehet
osztani kis $C_j$ darabokra (a kicsis\'eg itt azt jelenti, hogy
mindegyik $C_j$ halmaznak kicsi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege),
\'es a v\'arhat\'o \'ert\'eket $E\xi=\sum y_jP(C_j)$ alakban is
fel\'{\i}rhatjuk, ahol $y_j$ a $\xi(\oo)$ f\"uggv\'eny \'ert\'eke a
$C_j$ halmazon. A v\'arhat\'o \'ert\'ek ilyen fel\'{\i}r\'asa
eml\'ekeztet az integr\'alok definici\'oj\'aban szerepl\H{o}
integr\'alk\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegekre.

Val\'oj\'aban itt sokkal t\"obbr\H{o}l van sz\'o, mint puszta
form\'alis anal\'ogi\'ar\'ol. A m\'er\-t\'ek\-elm\'e\-let\-ben
bevezett\'ek az \'ugynevezett Lebesgue integr\'al fogalm\'at,
ami \'altal\'anosabb, mint a Riemann integr\'al. A v\'arhat\'o
\'ert\'ek, amir\H{o}l besz\'el\"unk, a $\xi(\oo)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'o\-nak, azaz
az $(\Omega,\Cal A,P)$ t\'eren defini\'alt (m\'erhet\H{o})
f\"uggv\'enynek a Lebesgue integr\'alja a $P$ m\'ert\'ek szerint.
Erre a t\'enyre a k\'es\H{o}bbiekben nem lesz sz\"uks\'eg\"unk,
de sok meggondol\'as h\'atter\'eben ennek ismerete rejt\H{o}zik.
\'Igy p\'eld\'aul a v\'arhat\'o \'ert\'ek addit\'{\i}vit\'asa az
integr\'al addit\'{\i}vit\'as\'anak az \'atfogalmaz\'asa.
B\'ar itt nem foglalkozunk a Lebesgue integr\'al fogalm\'anak
kidolgoz\'as\'aval, mert erre nincs sz\"uks\'eg\"unk,
val\'oj\'aban az ehhez sz\"uks\'eges munka jelent\H{o}s r\'esz\'et
megtessz\"uk. Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'anak
bevezet\'es\'evel  az egyszer\H{u} (elemi) f\"uggv\'enyek Lebesgue
integr\'alj\'at defini\'aljuk, \'es a v\'arhat\'o \'ert\'ek
tulajdons\'againak a bizony\'{\i}t\'as\'aval a Lebesgue
integr\'al legfontosabb tulajdons\'agait bizony\'{\i}tjuk.

\medskip\noindent
{\it A Seg\'edt\'etel bizony\'{\i}t\'asa:}  El\H{o}sz\"or azt
mutatjuk meg, hogy a $\summ_{k=1}^\infty x_kP(B_k)$ \'es
$\summ_{j=1}^\infty y_jP(C_j)$ \"osszegek egyszerre abszolut
konvergensek.

Ha a $\summ_{k=1}^\infty x_kP(B_k)$ \"osszeg abszolut konvergens,
akkor l\'etezik olyan $L<\infty$ sz\'am, amelyre
$\summ_{k=1}^\infty |x_k|P(B_k)=L$, \'es ez\'ert minden $N$ indexre
$$
\summ_{j=1}^N |y_j|P(C_j)\le
\summ_{k=1}^\infty |x_k|P(B_k)=L.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy $\summ_{j=1}^\infty |y_j|P(C_j)\le L$,
azaz a $\summ_{j=1}^\infty y_jP(C_j)$ \"osszeg is
abszolut konvergens.

Ha a $\summ_{j=1}^\infty y_jP(C_j)$ \"osszeg  abszolut konvergens,
akkor $\summ_{j=1}^\infty |y_j|P(C_j)\le L<\infty$ al\-kal\-mas $L$
sz\'ammal, ahonnan tetsz\H{o}leges $N$ indexre
$$
\summ_{k=1}^N |x_k|P(B_k)= \summ_{k=1}^N\summ_{j\colon\;C_j\subset
B_k}^\infty |y_j|P(C_j)\le \summ_{j=1}^\infty |y_j|P(C_j)\le L<\infty,
$$
\'es ez\'ert a $\summ_{k=1}^\infty x_kP(B_k)$ \"osszeg is abszolut
konvergens. Ezzel bel\'attuk, hogy a k\'et te\-kin\-tett \"osszeg
egyszerre abszolut konvergens.

Ha a fenti sorok abszolut konvergensek akkor minden $\e>0$ sz\'amhoz
l\'etezik olyan $N=N(\e)$ index, hogy
$$
\summ_{k=N}^\infty |x_k| P(B_k)<\e. \tag A1
$$
Ekkor
$$
\summ_{k=N}^\infty\summ_{j\colon\; C_j\subset B_k}|y_j|P(C_j)<\e. \tag A2
$$
Legyen $U_k=\{j\colon\; C_j\subset B_k\}$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
Ekkor minden $U_k$ halmaznak van olyan v\'eges $V_k=V_k(\e)\subset
U_k$ r\'eszhalmaza, amelyre
$$
|x_k|\summ_{j\in U_k\setminus V_k} P(C_j)\le \e 2^{-k}
$$
Ez\'ert minden $k=1,2,\dots$ indexre
$$
\left|\summ_{j\colon\;j\in V_k}^\infty y_j P(C_j)-
\summ_{j\colon\;C_j\subset B_k}^\infty y_j P(C_j)\right|
\le \summ_{j\in U_k\setminus V_k} |y_j| P(C_j)<\e2^{-k} \tag B1
$$
\'es
$$
\left|\summ_{j\colon\;j\in V_k}^\infty y_j P(C_j)-x_kP(B_k)\right|
\le\summ_{j\in U_k\setminus V_k} |y_j| P(C_j)<\e2^{-k}. \tag B2
$$
A (B1) egyenl\H{o}tlens\'egeket \"osszegezve $k\le N-1$-re \'es
felhaszn\'alva az (A1) egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get valamint a
h\'aromsz\"og egyenl\H{o}tlens\'eget, azt kapjuk, hogy
$$
\left|\summ_{j=1}^\infty y_j P(C_j)
-\summ_{k=1}^{N-1}\summ_{j\in V_k} y_j P(C_j)\right|
\le\summ_{k=N}^\infty\summ_{j\in V_k}|y_j| P(C_j)+
\summ_{k=1}^{N-1}\summ_{j\in U_k\setminus V_k} |y_j| P(C_j)\le 2\e.
\tag C1
$$
Hasonl\'oan, a (B2) egyenl\H{o}tlens\'eg \"osszegez\'es\'eb\H{o}l
$k\ge N-1$-re \'es az (A2) rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\left|\summ_{k=1}^\infty x_k P(B_k)
-\summ_{k=1}^{N-1}\summ_{j\in V_k} y_j P(C_j)\right|
\le  \summ_{k=N}^\infty |x_k| P(B_k)+
\summ_{k=1}^{N-1}\summ_{j\in U_k\setminus V_k} |y_j| P(C_j)\le 2\e.
\tag C2
$$
A (C1) \'es (C2) egyenl\H{o}tlens\'egeket \"osszehasonl\'{\i}tva
kapjuk, hogy
$$
\left|\summ_{j=1}^\infty y_j P(C_j)-
\summ_{k=1}^\infty x_k P(B_k)\right|\le4\e.
$$
Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as minden $\e>0$ sz\'amra \'erv\'enyes,
innen k\"ovetkezik a Seg\'edt\'etel \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip \noindent
{\it A v\'arhat\'o \'ert\'ek addit\'{\i}vit\'as\'at kifejez\H{o}
$E(\xi_1+\xi_2)=E\xi_1+E\xi_2$ azonoss\'ag bizony\'{\i}t\'asa.}
Az $\xi_1$ \'es $\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
vegy\'ek fel az $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket. Vezess\"uk be a
$C(j,k)=\{\oo\colon\; \xi_1(\oo)=x_j,\xi_2(\oo)=x_k\}$, $j,k=1,2,\dots$,
esem\'enyeket. A Seg\'edt\'etelt alkalmazva a
$B(k)=\{\oo\colon\;\xi_1(\oo)=x_k)$ \'es az el\H{o}bb bevezetett
$C(j,k)$ halmazokkal kapjuk, hogy
$$
E\xi_1=\summ_{j=1}^\infty\summ_{k=1}^\infty x_j P(C(j,k)).
$$
Hasonl\'oan a Seg\'edt\'etel alkalmaz\'asa a
$\tilde B(k)=\{\oo\colon\;\xi_2(\oo)=x_k)$ \'es a
$C(j,k)$ halmazokkal azt adja, hogy
$$
E\xi_2=\summ_{j=1}^\infty\summ_{k=1}^\infty x_k P(C(j,k)),
$$
E k\'et azonoss\'agot \"osszeadva, kapjuk, hogy
$$
E\xi_1+E\xi_2=\summ_{j=1}^\infty\summ_{k=1}^\infty(x_j+x_k)P(C(j,k)).
$$
M\'asr\'eszt, ism\'et a Seg\'edt\'etel alapj\'an (a
$B(j,k)=\{\oo\colon\;\xi_1(\oo)+\xi_2(\oo)=x_j+x_k)\}$ \'es
$C(j,k)$ halmazokkal) \'erv\'enyes az
$$
E(\xi_1+\xi_2)=\summ_{j=1}^\infty\summ_{k=1}^\infty(x_j+x_k)P(C(j,k))
$$
rel\'aci\'o is. Ezekb\H{o}l az \"osszef\"ugg\'esekb\H{o}l k\"ovetkezik
az $E\xi_1+E\xi_2=E(\xi_1+\xi_2)$ azonoss\'ag.
\medskip

Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamilyen
$g(\xi)$ f\"uggv\'eny\'enek $Eg(\xi)$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
kisz\'amolhatn\'ank a v\'arhat\'o \'ert\'ek eredeti
definici\'oj\'anak a felhaszn\'al\'as\'aval \'ugy, hogy
el\H{o}sz\"or kisz\'amoljuk a $g(\xi)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'at. De sokszor egyszer\H{u}bb a v\'arhat\'o
\'ert\'ek kisz\'amol\'as\'at az al\'abbi egyszer\H{u} t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel v\'egezni.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o f\"uggv\'eny\'enek a v\'arhat\'o
\'er\-t\'e\-k\'e\-r\H{o}l.} {\it Legyen $\xi$ diszkr\'et
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amely bizonyos
$x_1,x_2,\dots$ \'ert\'eket vesz fel, \'es legyen $g(x)$ az
$X=\{x_1,x_2,\dots\}$ halmazon defini\'alt val\'os \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'eny. Ekkor
$$
Eg(\xi)=\summ_{j=1}^\infty g(x_j) P(\xi=x_j),
$$
felt\'eve, hogy a $\summ_{j=1}^\infty g(x_j) P(\xi=x_j)$ \"osszeg
abszolut konvergens.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/   Vezess\"uk be a
$C_j=\{\oo\colon\; \xi(\oo)=x_j\}$ halmazokat \'es $y_j=g(x_j)$
sz\'amokat, $j=1,2,\dots$. Ekkor alkalmazva a Seg\'edt\'etelt a
$B_k=\{\oo\colon\; g(\xi(\oo))=x_k\}$ \'es a fenti $C_j$ halmazokkal
az $\eta=g(\xi)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ora megkapjuk a T\'etel \'all\'{\i}t\'as\'at.

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok szorzat\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l sz\'ol.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
szorzat\'ar\'ol.} {\it Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$
f\"ug\-get\-len, diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, amelyek mindegyik\'ere l\'etezik az $E\xi_j$,
$1\le j\le n$ v\'arhat\'o \'ert\'ek. Ekkor az
$E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$ v\'arhat\'o \'ert\'ek is l\'etezik, \'es
$$
E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n=E\xi_1E\xi_2\cdots E\xi_n.
$$}

\noindent
{\it Megjegy\'es:}\/ A fent megfogalmazott eredm\'eny
rendk\'{\i}v\"ul fontos tulajdons\'aga a {\it f\"ug\-get\-len}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak.

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Tegy\"uk fel, hogy a $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $x_1,x_2,\dots$, \'ert\'ekeket
vesznek fel. Ekkor
$$
\align
E\xi_1\cdots E\xi_n&=\sum_{j_1=1}^\infty x_{j_1}P(\xi_1=x_{j_1})\cdots
\sum_{j_n=1}^\infty x_{j_n}P(\xi_n=x_{j_n}) \\
&=\sum_{j_1=1}^\infty\cdots \sum_{j_n=1}^\infty x_{j_1}\cdots x_{j_n}
P(\xi_1=x_{j_1})\cdots P(\xi_n=x_{j_n}) \\
&=\sum_{j_1=1}^\infty\cdots \sum_{j_n=1}^\infty x_{j_1}\cdots x_{j_n}
P(\xi_1=x_{j_1},\cdots,\xi_n=x_{j_n}),
\endalign
$$
a $\xi_j$, $1\le j\le n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege miatt, valamint az\'ert mert a fenti sorok
mindegyike abszolut konvergens. (Ugyanis abszolut konvergens sorok
szorzata is abszolut konvergens.) Viszont a Seg\'edt\'etel
alapj\'an a fenti azonoss\'ag jobboldal\'an szerepl\H{o}
kifejez\'es $E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$, ez\'ert
$$
E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n=E\xi_1E\xi_2\cdots E\xi_n.
$$

A fenti eredm\'enyek alkalmaz\'asak\'ent megoldjuk a
k\"ovetkez\H{o} feladatot.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{1.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk t\'{\i}zszer.
Sz\'amoljuk ki a dob\'as\"osszeg harmadik hatv\'any\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j(\oo)=k$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye $k$, $1\le j\le 10$, $1\le k\le 6$. Ekkor az
$E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3$ v\'arhat\'o \'ert\'eket kell
kisz\'am\'{\i}tanunk. Ennek \'erdek\'eben tekints\"uk a
$\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3$ kifejez\'est \'es \'erts\"uk meg
milyen tagokat kapunk, ha elv\'egezz\"uk a beszorz\'asokat.
Egyr\'eszt megjelenik 10 darab $\xi_j^3$ alak\'u kifejez\'es, \'es
$E\xi_j^3=E\xi_1^3$ minden ilyen tagra. Ezenk\'{\i}v\"ul megjelenik
$3\cdot 10\cdot 9$ darab $\xi_j^2\xi_k$, $j\neq k$, alak\'u
kifejez\'es, mert a lehets\'eges $(j,k)$ p\'arokat $10\cdot 9$
m\'odon v\'alaszthatjuk ki, \'es a $k$ (a n\'egyzetre nem emelt 
t\'enyez\H{o}) h\'arom helyen sze\-re\-pel\-het a szorzatban. 
(Teh\'at p\'eld\'aul a
$\xi_1\xi_2^2$ alak\'u tagnak 3 lesz az egy\"utthat\'oja a 
szorzatban.) Tov\'abb\'a minden ilyen
tagra $E\xi_j^2\xi_k=E\xi_j^2E\xi_k=E\xi_1^2 E\xi_1$. Tov\'abb\'a,
hasonl\'o meggondol\'asok alapj\'an l\'athatjk, hogy
$10\cdot9\cdot8$ m\'odon jelenhet meg $\xi_j\xi_k\xi_l$ alak\'u tag,
ahol a $j$, $k$ \'es $l$ indexek mind k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek, \'es
ezekre $E\xi_j\xi_k\xi_l=\(E\xi_1\)^3$. Val\'oban, a $\xi_j\xi_k\xi_l$
alak\'u alak\'u tagok \"osszesz\'aml\'al\'as\'an\'al
vegy\"uk \'eszre, hogy $1\le j<k<l\le10$ alak\'u sz\'amh\'armasokat
$\binom{10}3$ f\'elek\'epp v\'alaszthatunk, a $\xi_j$ t\'enyez\H{o}
a szorzatban 3-f\'elek\'epp jelenhet meg, a szorzat els\H{o},
m\'asodik vagy harmadik tagj\'aban, a $\xi_k$ t\'enyez\H{o} ezut\'an
2-f\'elek\'epp, a $\xi_l$ t\'enyez\H{o} pedig egyf\'elek\'epp
v\'alaszthat\'o. M\'asfajta tag nem jelenikmeg a szorzatban. Innen
a v\'arhat\'o \'ert\'ek  addit\'{\i}vit\'as\'at kihaszn\'alva azt
kapjuk, hogy $E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3=10E\xi_1^3+270
E\xi_1E(\xi_1^2)+720\(E\xi_1\)^3=735+14332.5+30870=45937.5$, mert
$E\xi_1=3.5$, $E\xi_1^2=\frac{91}6$ \'es $E\xi_1^3=73.5$.

\beginsection A sz\'or\'asn\'egyzet fogalma.

Az (egyel\H{o}re csak diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben defini\'alt)
v\'arhat\'o \'ert\'ek azt m\'eri, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok k\"or\"ulbel\"ul mekkora \'ert\'eket vesznek fel.
M\'erni akarjuk azt is, hogy mekkora a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o ingadoz\'asa a v\'arhat\'o \'ert\'eke k\"or\"ul. Ennek
\'erdek\'eben vezett\'ek be a sz\'or\'asn\'egyzet (angolul variance)
fogalm\'at. Ismertetem ennek definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf A sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja:} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$. Ekkor
a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et
a
$$
\Var \xi=E\(\xi-E\xi\)^2
$$
k\'eplet defini\'alja. Ha $E\xi^2=\infty$ akkor a $\Var\xi$
sz\'or\'asn\'egyzetet nem defini\'aljuk vagy azt mondjuk, hogy
$\Var\xi=\infty$.}

\medskip\noindent
{\bf Lemma a sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'amol\'as\'ar\'ol.}
$$
\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2.
$$
Tov\'abb\'a, $\(E\xi\)^2\le E\xi^2$.
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\align
0\le \Var\xi&=E\(\xi-E\xi\)^2=E\(\xi^2-2\xi
E\xi+\(E\xi\)^2\)\\
&=E\xi^2-2E\xi E\xi+(E\xi)^2=E\xi^2-(E\xi)^2
\endalign
$$
a v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agai miatt. \"Osszehasonl\'{\i}tva
a bal \'es jobboldalt kapjuk a megfogalmazott egyenl\H{o}tlens\'eget.
\medskip\noindent
{\it 1.~megjegyz\'es.}\/ Ha prec\'{\i}zek vagyunk, akkor
felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy teljesen kifog\'astalan-e
a fenti bizony\'{\i}t\'as. Az okozhat probl\'em\'at, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eket csak
akkor de\-fi\-ni\'al\-tuk ha a defini\'al\'o \"osszeg abszolut
konvergens. Ezt viszont csak az $E\xi^2$ kifejez\'est
defini\'al\'o \"osszeg\-r\H{o}l tett\"uk fel. Ugyanakkor az
$E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel is szabadon sz\'amoltunk. Nem
okoz-e ez gondot?

Az, hogy a fenti sz\'amol\'as jogos, p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon l\'athat\'o. Vegyen fel a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket, \'es defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\xi_n$ k\"ozel\'{\i}t\'eseit,
$n=1,2,\dots$, a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: $\xi_n(\oo)=\xi(\oo)$, ha
$\xi(\oo)=x_k$, $1\le k\le n$, $\xi_n(\oo)=0$, ha $\xi(\oo)=x_k$, \'es
$k>n$. Ekkor a $\xi_n(\oo)$ illetve ennek abszolut \'ert\'ek\'evel a
$|\xi_n(\oo)|$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal szabadon
v\'egrehajthatjuk a fenti sz\'amol\'asokat. Innen k\"ovetkezik, hogy
$\(E|\xi_n(\oo)|\)^2\le E\xi_n^2(\oo)\le E\xi^2(\oo)$. Innen viszont
$n\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel kapjuk, hogy
$(E|\xi|)^2=\limm_{n\to\infty}\(E|\xi_n(\oo)|\)^2 \le E\xi^2(\oo)$. Ez
azt jelenti, hogy az $E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket meghat\'aroz\'o
\"osszeg is abszolut konvergens, \'es a fenti sz\'amol\'asokat
el\-v\'e\-gez\-het\-j\"uk.

\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es.}\/ A sz\'or\'asn\'egyzet egy viszonylag
egyszer\H{u} m\'er\H{o}sz\'ama a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o ingadoz\'as\'anak annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l.
Az, hogy val\'oban ez az ingadoz\'as legjobb m\'er\H{o}sz\'ama
k\'es\H{o}bb ismertetend\H{o} eredm\'enyekb\H{o}l k\"ovetkezik.

\medskip
{\it Feladat:}
\item{2.)} Minden $m$ val\'os sz\'amra
$$
E(\xi-m)^2=E(\xi-E\xi)^2+\((E\xi)-m\)^2.
$$
K\"ovetkez\'esk\'eppen
$$
\Var \xi=\inf_{-\infty<m<\infty} E\[(\xi-m)^2\].
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
E(\xi-m)^2&=E\[(\xi-E\xi)+(E\xi-m)\]^2\\
&=E(\xi-E\xi)^2-2E(\xi-m)E(\xi-E\xi)+\(E(\xi-m)\)^2\\
&=E(\xi-E\xi)^2+\((E\xi)-m\)^2,
\endalign
$$
mert $2E(\xi-m)E(\xi-E\xi)=2E(\xi-m)(E\xi-E\xi)=0$. Ebb\H{o}l az
azonoss\'agb\'ol ad\'odik, hogy $E(\xi-m)^2\ge E(\xi-E\xi)^2$
minden $m$ val\'os sz\'amra. Viszont $m=E\xi$ eset\'en az
egyenl\H{o}tlens\'eg k\'et oldala megegyezik.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {Minden $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amra
$$
\Var(a\xi+b)=a^2\Var\xi.
$$
}\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\align
\Var(a\xi+b)&=E\[(a\xi+b)-E(a\xi+b)\]^2
=E\[(a\xi+b)-aE\xi-b\]^2\\
&=E\[a^2(\xi-E\xi)^2\]=a^2E(\xi-E\xi)^2=a^2\Var\xi.
\endalign
$$
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny rendk\'{\i}v\"ul hasznos
\"osszef\"ugg\'est ad, ha f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek sz\'or\'asn\'egyzet\'et akarjuk
kisz\'am\'{\i}tani. Hangs\'ulyozom, hogy ebben az eredm\'enyben
fontos a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege. K\'es\H{o}bb megfogalmazom ennek az eredm\'enynek
egy olyan \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at, amely akkor is \'erv\'enyes,
ha az \"osszeadand\'ok nem felt\'etlen\"ul f\"uggetlenek. L\'atni
fogunk olyan p\'eld\'akat is, amelyek megold\'as\'aban ezt az
\'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb eredm\'enyt \'erdemes alkalmazni.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} Ha {\it $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$$
\Var(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_n)=
\Var\xi_1+\Var\xi_2+\cdots+\Var\xi_n.
$$
}\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} Ha {\it $\xi_1,\xi_2,\dots, \xi_n$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$c_1,c_2,\dots,c_n$ val\'os sz\'amok, akkor
$$
\Var(c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_n\xi_n)=
c_1^2\Var\xi_1+c^2_2\Var\xi_2+\cdots+c_n^2\Var\xi_n.
$$
}\medskip\noindent
{\it A T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vezess\"uk be a
$\bar\xi_j=\xi_j-E\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat.
Ekkor
$$
\align
\Var(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_n)&=
E(\bar\xi_1+\bar\xi_2+\cdots+\bar\xi_n)^2 \\
&=E\(\bar\xi_1^2+\bar\xi_2^2+\cdots+\bar\xi_n^2
+2\summ_{j=1}^{n-1}\summ_{k=j+1}^n \bar\xi_j\bar\xi_k\)\\
&=E\bar\xi_1^2+E\bar\xi_2^2+\cdots+E\bar\xi_n^2
+2\summ_{j=1}^{n-1}\summ_{k=j+1}^n E\bar\xi_j\bar\xi_k\\
&=E\bar\xi_1^2+E\bar\xi_2^2+\cdots+E\bar\xi_n^2
=\Var\xi_1+\Var\xi_2+\cdots+\Var\xi_n,
\endalign
$$
mert
$E\bar\xi_j\bar\xi_k=E\bar\xi_jE\bar\xi_k=0$ minden $1\le j<k\le n$
sz\'amra a $\xi_j$ illetve a $\bar\xi_j$, $1\le j\le n$,
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege
miatt.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{3.)} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a fej-dob\'asok sz\'a\-m\'a\-nak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt
egyr\'eszt direkt m\'odon fel\'{\i}rva \'es kisz\'amolva a
v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es sz\'or\'asn\'egyzetet kifejez\H{o}
\"osszegeket, m\'asr\'eszt egyszer\H{u}bben az el\H{o}z\H{o} t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A fejdob\'asok sz\'ama 0 \'es
100 k\"oz\"ott van. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$
fejdob\'as k\"ovetkezik be, $0\le k\le 100$, $p_k=\binom {100}k
2^{-100}$. Ez\'ert a dob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\binom {100}k 2^{-100}$, ahol $\xi$
jel\H{o}li a fejdob\'asok sz\'am\'at megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Tov\'abb\'a $E\xi^2
=\summ_{k=0}^{100} k^2\binom {100}k 2^{-100}$, a sz\'or\'asn\'egyzet
pedig $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$. Ezeket az \"osszegeket
k\"ozvetlen\"ul kisz\'am\'{\i}thatjuk. Val\'oban,
$k\binom{100}k=100\binom{99}{k-1}$,
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\binom {100}k 2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}k\binom {99}k
2^{-99}=50\(\frac12+\frac12\)^{99}=50$. Tov\'abb\'a,
$k^2\binom{100}k=[k(k-1)+k]\binom{100}k=100\cdot99\cdot
\binom{98}{k-2}+100\cdot\binom{100}{99}$, $E\xi^2=2^{-100}\cdot
100\cdot99\cdot\summ_{k=0}^{98}\binom{98}k+
2^{-100}\cdot100\cdot\summ_{k=0}^{99}\binom{99}k=2^{-100}\(100\cdot99
\cdot(1+1)^{98}+100\cdot(1+1)^{99}\)=25\cdot99+50$,
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi^2)=25$.
\item{} Val\'oj\'aban a vizsg\'alt v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es
sz\'or\'asn\'egyzetet egyszer\H{u}bben is ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk.
Vezess\"uk be a $\xi_j(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, $\xi_j(\oo)=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej
$\xi_j(\oo)=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, $1\le j\le100$.
Ekkor a fejdob\'asok sz\'ama $\xi(\oo)=\summ_{j=1}^{100}\xi_j(\oo)$,
$E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$, $\Var\xi=\summ_{j=1}^{100}\Var\xi_j$.
Mivel $E\xi_j=\frac12$, $E\xi_j^2=\frac12$, $\Var\xi_j=\frac14$, $1\le
j\le100$, ez\'ert $E\xi=\frac12\cdot100=50$,
$\Var\xi=\frac14\cdot100=25$.
\medskip
\item{4.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek \"osszeg\'enek
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Legyenek $\eta_1$,$\dots,\eta_{100}$ {\it f\"uggetlen}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre
$P(\eta_j=k)=\frac16$, $1\le j\le 100$, $1\le k\le6$. Ekkor a
kisz\'am\'{\i}tand\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
$E\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}E\eta_j$,
$\Var\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}\Var\eta_j$.
(A m\'asodik rel\'aci\'o felhaszn\'alja a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok f\"uggetlens\'eg\'et.)
$E\eta_j=\frac16(1+2+3+4+5+6)=3.5$,
$E\eta_j^2=\frac16(1+4+9+16+25+36)=\frac{91}6$,
$\Var\eta_j=\frac{35}{12}$, $E\xi=350$, $\Var\xi=\frac{3500}{12}$.
\item{5.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'enyeinek
az \"osszeg\'et, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{}  {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le100$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, \'es
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Ekkor a
$S=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et akarjuk
kisz\'amolni. $E\xi_j=\frac16(2+4+6)=2$,
$E\xi_j^2=\frac16(2^2+4^2+6^2)=\frac{28}3$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\frac{16}3$, ahonnan a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt
$ES=100E\xi_1=200$, $\Var S= 100\Var\xi_1=\frac{1600}3$.

\medskip
Megfogalmazom az el\H{o}z\H{o} t\'etel egy olyan
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at, amely lehet\H{o}v\'e teszi, hogy
ki\-sz\'a\-mol\-juk nem felt\'etlen\"ul f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et. Ennek \'erdek\'eben
el\H{o}sz\"or bevezetek egy \'uj fogalmat, k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o kovarianciaf\"uggv\'eny\'et.
Ez azt m\'eri hogy milyen er\H{o}s a kapcsolat k\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o k\"oz\"ott.

\medskip\noindent
{\bf A kovarianciaf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$
\'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek
mindegyik\'enek l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete, azaz
$E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$. Ekkor a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
kovarianciaf\"uggv\'eny\'et $\Cov(\xi,\eta)$-t a
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)\]
$$
kifejez\'es defini\'alja. Ha a $E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$
felt\'etelek valamelyike nem teljes\"ul, akkor nem defini\'aljuk a
$\Cov(\xi,\eta)$
kovarianciaf\"uggv\'enyt.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/
$|(\xi-E\xi)||(\eta-E\eta)|\le\frac{|\xi-E\xi|^2}2+
\frac{|\eta-E\eta|^2}2$, ahonnan
$E|(\xi-E\xi)||(\eta-E\eta)|\le\frac{E|\xi-E\xi|^2}2+
\frac{E|\eta-E\eta|^2}2<\infty$. Innen k\"ovetkezik, hogy az
$E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$ felt\'etelek teljes\"ul\'ese
eset\'en a $\Cov(\xi,\eta)$-t defini\'al\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek
val\'oban l\'etezik.

\medskip\noindent
{\bf Korrel\'alatlan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
definici\'oja.} {\it Azt mondjuk, hogy k\'et $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o korrel\'alatlan, ha
$\Cov(\xi,\eta)=0$.}

\medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta.
$$
\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $\Cov(\xi,\eta)=0$,
azaz e k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o korrel\'alatlan.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/
$$
\Cov(\xi,\eta)=E[\xi\eta-\eta E\xi-\xi E\eta+E\xi E\eta]
=E\xi\eta-E\xi E\eta-E\xi E\eta+E\xi E\eta=E\xi\eta-E\xi E\eta.
$$
\medskip
Most megfogalmazom az al\'abbi eredm\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a sz\'or\'asn\'egyzet\'er\H{o}l:

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyek
mindegyik\'enek l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete, akkor
$$
\align
\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)
&=\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k\le n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k\le n}\Cov(\xi_j,\xi_k)\\
&=\summ_{j=1}^n\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le n,\; j\neq k}\Cov(\xi_j,\xi_k).
\endalign
$$
}

\medskip \noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/
$$
\align
\Var \! \(\summ_{j=1}^n\xi_j\)&=E\(\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
-\(E\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
=E\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n\xi_j\xi_k\)
-\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n E\xi_jE\xi_k\)\\
&=\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^nE\xi_j\xi_k\)
-\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n E\xi_jE\xi_k\)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\(E\xi_j^2-(E\xi_j)^2\)+
2\summ_{1\le j<k\le n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).
\endalign
$$
\'es $E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\Var\xi_j$, $E\xi_j\xi_k-E\xi_j
E\xi_k=\Cov(\xi_j,\xi_k)$.
\medskip
Megmutatom, hogy a fenti eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel
vi\-szony\-lag egy\-sze\-r\H{u}\-en ki tudjuk sz\'amolni bizonyos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Erre mutat p\'eld\'at a k\"ovetkez\H{o}
k\'et feladat.

\medskip
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{6.)} Legyen egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki 20 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'amoljuk ki
a kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 20$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j(\oo)=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros, $\xi_j(\oo)=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er.
Ekkor a $\xi=\summ_{j=1}^{20}\xi_j$  \"osszeg v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
ki\-sz\'a\-mol\-nunk. Tov\'abb\'a $E\xi_j=E\xi_1=\frac25$,
$\Var\xi_j=\Var\xi_1=\frac25-\frac4{25}=\frac6{25}$,
$E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2=\frac25\cdot
\frac{19}{49}-\frac4{25}=-\frac6{1245}$, ha $j\neq k$.
Innen a 20 dob\'asban kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke $20\cdot\frac25=8$ \'es
sz\'or\'asn\'egyzete $20\cdot\frac6{25}-380\cdot\frac6{1245}
=\frac{144}{49}$.
\item{7.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enz\'erm\'et 100-szor
egym\'as ut\'an. Tekints\"uk az egym\'ast k\"ovet\H{o} fej-fej
dob\'assorozatok sz\'am\'at, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 99$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik \'es $j+1$-ik dob\'asok mindegyik\'enek
eredm\'enye fej, $\xi_j=0$ egy\'ebk\'ent. Vegy\"uk \'eszre, hogy
minket az $S=\summ_{j=1}^{99}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'erdekel. Ez\'ert
$ES=E\(\summ_{j=1}^{99}E\xi_j\)=\frac{99}4$, mivel
$E\xi_j=\frac14$. (\'Erdemes megjegyezni, hogy az ebben a
feladatban tekintett $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok nem f\"uggetlenek, de a f\"uggetlens\'egre nincs
sz\"uks\'eg a v\'arhat\'o \'ert\'ek additiv\'{\i}t\'as\'ahaz.)
\item{} A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'am\'{\i}t\'as\'aban viszont
figyelembe kell venn\"unk azt, hogy nem csupa f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'et vizsg\'aljuk.
Haszn\'aljuk a sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet
ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'a\-n\'al a k\"ovetkez\H{o} formul\'at.
$$
\Var S=\Var\(\summ_{j=1}^{99}\xi_j\)=\sum_{j=1}^{99}
\Var\xi_j+2\sum_{1\le j<k\le99}\Cov(\xi_j,\xi_k).
$$
Tov\'abb\'a $\Cov(\xi_j,\xi_k)=0$, ha $k\ge j+2$, mert ebben az
esetben $\xi_j$ \'es $\xi_k$ f\"uggetlenek, \'es
$\Cov(\xi_j,\xi_{j+1})=\frac18-\frac1{16}=\frac1{16}$ minden
$1\le j\le 98$ sz\'amra. Ugyanis $E\xi_j\xi_{j+1}=\frac18$, mivel
$\xi_j\xi_{j+1}=1$, ha a $j$-ik, $j+1$-ik \'es $j+2$-ik dob\'asok
mindegyike fej, aminek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac18$, \'es
$\xi_j\xi_{j+1}=0$ egy\'ebk\'ent. Tov\'abb\'a
$E\xi_jE\xi_{j+1}=\frac1{16}$. Ezenk\'{\i}v\"ul
$\Var\xi_j=\frac14-\frac1{16}=\frac3{16}$. Innen $\Var
S=99\cdot\frac3{16}+2\cdot\frac{98}{16}=\frac{493}{16}$.

\beginsection F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
A konvoluci\'o \'es gener\'atorf\"uggv\'eny.

A k\"ovetkez\H{o} el\H{o}ad\'asban a legfontosabb diszkr\'et
eloszl\'asokr\'ol \'es azok tulajdons\'agair\'ol fogok besz\'elni.
Ki fogom sz\'amolni ezen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et, 
\'es adott eloszl\'as\'u f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek az eloszl\'as\'at. A k\'er\-d\'e\-sek 
egyszer\H{u}bb t\'argyal\'asa \'erdek\'eben bevezetek n\'eh\'any 
fogalmat, \'es felid\'ezek n\'eh\'any ered\-m\'enyt az 
anal\'{\i}zisb\H{o}l. El\H{o}sz\"or eloszl\'asok konvoluci\'oj\'at 
majd ge\-ne\-r\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et defini\'alom, \'es 
t\'argyalom  azt, hogy ezek a fogalmak milyen kapcsolatban vannak 
a minket \'erdekl\H{o} probl\'em\'akkal.

Az els\H{o} vizsg\'aland\'o k\'erd\'es az, hogy hogyan lehet
kisz\'amolni f\"uggetlen, diszkr\'et eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
az eloszl\'as\'at. Ennek kapcs\'an bevezetem diszkr\'et
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'a\-sai\-nak a konvoluci\'oj\'at, \'es teszek n\'e\-h\'any
meg\-jegy\-z\'est.

Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek va\-la\-mi\-lyen
$x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel. Ekkor ezek \"osszege, a
$\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o szint\'en
diszkr\'et, \'es eloszl\'as\'at ki tudjuk sz\'amolni a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon:
$$
P(\xi+\eta=x)= \!\!\! \summ_{(x_j,x_k)\colon\; x_j+x_k=x} \!\!\!
P(\xi=x_j,\eta=x_k)
= \!\!\! \summ_{(x_j,x_k)\colon\; x_j+x_k=x} \!\!\!
P(\xi=x_j)P(\eta=x_k)
$$
Ez a k\'eplet egyszer\H{u}s\"odik abban a fontos speci\'alis esetben,
ha a f\"uggetlen $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok csak eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel, \'es m\'eg
egyszer\H{u}bb akkor, ha csak nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket
vesznek fel. Azt az eredm\'enyt, amelyet ebben a speci\'alis esetben
kapunk, megfogalmazom t\'etel form\'aj\'aban is.

\medskip \noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen,
eg\'esz \'ert\'ekeket felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Ekkor a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o is csak eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$$
P(\xi+\eta=n)=\sum_{k=-\infty}^\infty P(\xi=k) P(\eta=n-k), \quad
n=0,\pm1, \pm2,\dots.
$$
Ez a formula tov\'abb egyszer\H{u}s\"odik, ha a f\"uggetlen $\xi$
\'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok csak nem
negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel. Ekkor
$$
P(\xi+\eta=n)=\sum_{k=0}^nP(\xi=k)P(\eta=n-k),\quad\text{ha }n\ge0,
$$
\'es
$$
P(\xi+\eta=n)=0,\quad \text{ha } n<0.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ A t\'etel els\H{o} k\'eplete azonnal
ad\'odik a t\'etel el\H{o}tt t\'argyalt \'altal\'anos esetb\H{o}l
abban az esetben, ha a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekei eg\'esz sz\'amok. A m\'asodik k\'eplet
az els\H{o} k\'eplet k\"ovetkezm\'enye, ha \'eszrevessz\"uk, hogy
el\'eg csak azon $(k,n-k)$ p\'arokra \"osszegezni, amelyekre
$P(\xi=k)P(\eta=n-k)\neq0$. Ez azt jelenti, hogy abban az esetben,
ha $\xi$ \'es $\eta$ nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek
fel, akkor az \"osszegez\'esb\H{o}l kihagyhatjuk azokat a tagokat,
amelyekre $k<0$ vagy $n-k<0$, azaz $k>n$.

\medskip
A fenti eredm\'eny miatt \'erdemes bevezetni a k\"ovetkez\H{o}
definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et, eg\'esz \'ert\'ek\H{u}  eloszl\'as\'asok
konvoluci\'oj\'anak a definici\'oja.} {\it Legyen
$$
\Cal P=\{p_k\colon\; k=0,\pm1,\pm2,\dots\}\quad\text{\'es}\quad
\Cal Q=\{q_k\colon\; k=0,\pm1,\pm2,\dots\}
$$
k\'et az eg\'esz sz\'amokon \'ertelmezett diszkr\'et elosz\'as, azaz
tegy\"uk fel, hogy $p_k\ge0$, $q_k\ge0$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$,
$\summ_{k=-\infty}^\infty p_k=1$ \'es $\summ_{k=-\infty}^\infty q_k=1$.
Ekkor a $\Cal P$ \'es $\Cal Q$ eloszl\'asok konvoluci\'oja, az a
$\Cal R=\Cal P*\Cal Q=\{r_n\colon\; n=0,\pm1,\pm2,\dots\}$ eloszl\'as,
amelyre
$$
r_n=\sum_{k=-\infty}^\infty p_k q_{n-k}, \quad n=0,\pm1,\pm2,\dots.
$$
Abban a speci\'alis esetben, ha $p_k=0$ \'es $q_k=0$ minden $k<0$
sz\'amra, az $r_n=0$ azonoss\'ag \'erv\'enyes minden $n<0$ indexre,
\'es
$$
r_n=\sum_{k=0}^n p_k q_{n-k}, \quad n=0,1,2,\dots.
$$
}
\medskip\noindent
{\it A gener\'ator f\"uggv\'enyek fogalma.}

\medskip\noindent
\'Erdemes a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelt tenni. Legyen $f(x)$ \'es
$g(x)$ k\'et f\"uggv\'eny, amelyek hatv\'anysorba fejthet\H{o}ek, azaz,
$$
f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k x^k, \quad
g(x)=\sum_{k=0}^\infty b_k x^k,
$$
ha $-A<x<A$ valamilyen $A>0$ sz\'ammal. Ekkor az $f(x)g(x)$ szorzat
is sorba fejthet\H{o}, azaz
$$
f(x)g(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n x^n
$$
(ugyanabban a $-A<x<A$ intervallumban), \'es
$$
c_n=\summ_{k=0}^n a_kb_{n-k}.
$$
Vegy\"uk \'eszre, hogy a fenti hatv\'anysorokban szerepl\H{o} $a_k$,
$b_k$ \'es $c_n$ egy\"utthat\'ok k\"oz\"ott hasonl\'o rel\'aci\'o
\'erv\'enyes mint ami a nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'eket felvev\H{o}
eloszl\'asok kon\-vo\-lu\-ci\'o\-j\'a\-nak a definici\'oj\'aban szerepelt.
Ezenk\'{\i}v\"ul \'erdemes ismerni a k\"ovetkez\H{o} anal\'{\i}zisben
bizony\'{\i}tott eredm\'enyeket.
\medskip
\item{a.)} Ha az $f(x)$ f\"uggv\'eny hatv\'anysorba fejthet\H{o},
azaz $f(x)=\summ_{k=0}^\infty a_k x^k$ valamilyen $-A<x<A$
intervallumon, $A>0$, akkor az $f(x)$ f\"uggv\'eny \'ert\'ekei a
$-A<x<A$ intervallumon meghat\'arozz\'ak az $a_n$ egy\"utthat\'okat.
(S\H{o}t, azok explicit m\'odon kisz\'am\'{\i}that\'oak az $n! a_n
=\left.\frac{d^nf(x)}{dx^n}\right|_{x=0}$ k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.)
\item{b.)} Ha $f_n(x)$, $n=1,2,\dots$, f\"uggv\'enyeknek egy olyan
sorozata, amelyek mindegyike el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
$f_n(x)=\summ_{k=0}^\infty a_{k,n}x^k$ hatv\'anysor alakban valamilyen
$-A<x<A$, $A>0$ intervallumon, ahol az $A>0$ sz\'am nem f\"ugg az $n$
indext\H{o}l, tov\'abb\'a l\'etezik az $f(x)=\limm_{n\to \infty}f_n(x)$
hat\'ar\'ert\'ek minden $-A<x<A$ sz\'amra, akkor az $f(x)$
hat\'arf\"uggv\'eny is hatv\'anysorba fejthet\H{o}
$f(x)=\summ_{k=0}^\infty a_kx^k$ alakban a $-A<x<A$ intervallumon.
Tov\'abb\'a $a_k=\limm_{n\to\infty}a_{k,n}$ minden
$k=0,1,2,\dots$ egy\"utthat\'ora.
\medskip
K\'es\H{o}bb l\'atni fogjuk, hogy a hatv\'anysorok fent
eml\'{\i}tett tulajdons\'agai j\'ol hasz\-n\'al\-ha\-t\'o\-ak
bizonyos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vizsg\'alatokban. Ugyanis egy
nem-negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\'ekeket felvev\H{o} $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $p_k=P(\xi=k)$,
$k=0,1,2,\dots$, eloszl\'as\'ahoz hoz\-z\'a\-ren\-del\-het\-j\"uk
az $f(x)=\summ_{k=0}^\infty p_k x_k$ f\"uggv\'enyt, amelyet ezen
eloszl\'as gener\'atorf\"uggv\'eny\'enek neveznek.
Megfogalmazom e fogalom definici\'oj\'at pontosabban is.

\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et, nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\H{u} eloszl\'as
gener\'atorf\"uggv\'eny\'enek a de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja:}\/ {\it Legyen
adva egy $\Cal P=\{p_0,p_1,p_2,\dots\}$ eloszl\'as a nem-negat\'{\i}v
eg\'esz sz\'amokon, azaz olyan sz\'am\-so\-ro\-zat, amelyenk tagjaira
$p_k\ge0$ minden $0\le k\le \infty$ sz\'amra, \'es $\summ_{k=1}^\infty
p_k=1$. (Az elnevez\'es oka az, hogy l\'etezik olyan $\xi$
nem-negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amelyre $P(\xi=k)=p_k$ minden $k=0,1,2,\dots$ sz\'amra.)
Ennek az eloszl\'asnak a gener\'atorf\"uggv\'enye az
$$
F(x)=\sum_{k=0}^\infty p_kx^k
$$
f\"uggv\'eny.}
\medskip
A fent mondottak alapj\'an nemcsak az igaz, hogy egy $\Cal P$
eloszl\'as meghat\'arozza $F(x)$ gener\'atorf\"uggv\'eny\'et,
hanem megford\'{\i}tva az $F(x)$ gener\'atorf\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki lehet sz\'amolni azt az eloszl\'ast,
amelynek ez a gener\'atorf\"uggv\'enye, mivel
$$
k!p_k=\left.\frac{dF^k(x)}{dx^k}\right|_{x=0}, \qquad k=0,1,2,\dots.
$$
Egy eloszl\'as gener\'atorf\"uggv\'enye mindig konvergens a
$-1\le x\le 1$ intervallumban. Ha egy $\Cal P$ eloszl\'as
gener\'atorf\"uggv\'enye $F(x)$ egy $\Cal Q$ eloszl\'as
gener\'atorf\"uggv\'enye $G(x)$, akkor $\Cal P*\Cal Q$
konvoluci\'ojuk gener\'atorf\"uggv\'enye az $F(x)G(x)$ 
f\"uggv\'eny. Tov\'abb\'a, eloszl\'asok gener\'atorf\"uggv\'enyeinek 
konvergenci\'aj\'ab\'ol maguknak az eloszl\'asoknak a 
kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-ra is k\"ovetkeztetni tudunk. 
R\'eszletesebben kifejtve a k\"ovetkez\H{o}r\H{o}l van sz\'o.

Legyen adva minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra egy $p_{n,k}$, 
$k=0,1,2,\dots$, eloszl\'as a nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amokon, 
azaz teljes\"uljenek a $p_{n,k}\ge0$ \'es $\summ_{k=0}^\infty p_{n,k}=1$
tulajdons\'agok. Feleltess\"uk meg ezeknek az eloszl\'asoknak az
$F_n(x)=\summ_{k=0}^\infty p_{n,k}x^k$ gener\'atorf\"uggv\'enyeket
(hatv\'anysorokat). Ha az $F_n(x)$ gener\'atorf\"uggv\'enyek 
pontonk\'ent konverg\'alnak egy $F(x)$ f\"uggv\'enyhez vala\-mely
$-A\le x\le A$, $0<A\le 1$ intervallumban, akkor ez az $F(x)$ 
f\"uggv\'eny fel\'{\i}rhat\'o $F(x)=\summ_{k=0}^\infty p_kx^k$, 
$-1<x<1$, hatv\'anysor alakban, \'es 
$\limm_{n\to\infty}p_{n,k}=p_k$ minden $k=0,1,2,\dots$ sz\'amra.

A fenti eredm\'eny hasznos m\'odszert biztos\'{\i}t annak 
ellen\H{o}rz\'es\'ere, hogy bizonyos eloszl\'asok konverg\'alnak-e. 
Megjegyzem, hogy a megfogalmazott eredm\'enyben nem 
\'all\'{\i}\-tot\-tam, hogy a $p_k$ hat\'ar\'ert\'ekek 
teljes\'{\i}tik a $\summ_{k=0}^\infty p_k=1$ azonoss\'agot, azaz 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi eloszl\'ast hat\'aroznak meg. A 
legt\"obb konkr\'et feladatban ez a tulajdons\'ag teljes\"ul, de
azt k\"ul\"on ellen\H{o}rizni kell. Az eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'at,
amelyben \'erdemes felhaszn\'alni bizonyos komplex f\"uggv\'enytani
eredm\'enyeket elhagyom.

\medskip
A fent megfogalmazott eredm\'enyek lehet\H{o}v\'e teszik, hogy bizonyos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vizsg\'alatokat viszonylag egyszer\H{u}en
v\'egrehajthassunk a gener\'atorf\"uggv\'enyek 
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel.

\beginsection Tov\'abbi feladatok a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es
sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'amol\'as\'ar\'ol

\item{1.)} Egy urn\'aban 10 piros \'es 20 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk visszatev\'es n\'elk\"ul 10 goly\'ot. A p\'aros sorsz\'am\'u
h\'uz\'asok eset\'en feh\'er goly\'o h\'uz\'as eset\'en nyer\"unk 3
forintot, piros goly\'o h\'uz\'as eset\'en pedig nem nyer\"unk
\'es nem vesz\'{\i}t\"unk semmit. A p\'aratlan sorsz\'am\'u
h\'uz\'asok eset\'en piros h\'uz\'as eset\'en 2 forintot nyer\"unk,
feh\'er goly\'o h\'uz\'as eset\'en nem nyer\"unk \'es nem
vesz\'{\i}t\"unk semmit. Sz\'amoljuk ki a nyerem\'eny\"unk
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le10$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: P\'aros $j$
sz\'amokra $\xi_j=3$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er
goly\'o. P\'aratlan $j$ sz\'amokra $\xi_j=2$, ha a $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye piros, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
feh\'er goly\'o. Ekkor az $S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ \"osszeg
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'amolnunk. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki az $E\xi_j$
v\'arhat\'o \'ert\'ekeket, $\Var\xi_j$ sz\'or\'asn\'egyzeteket \'es
$\Cov(\xi_j,\xi_k)$ kovarianci\'akat. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros
$\frac13$, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er $\frac23$. Ez\'ert $E\xi_j=2$, ha $j$ p\'aros,
$E\xi_j=\frac23$, ha $j$ p\'aratlan, \'es
$ES=5\(2+\frac23\)=13\frac13$.
\item{} A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy $E\xi_j^2=6$, $\Var\xi_j=2$, ha $j$ p\'aros,
\'es $E\xi_j^2=\frac43$, $\Var\xi_j=\frac{8}9$. Tov\'abb\'a annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy k\'et $j$ \'es $k$ indexre $j\neq k$,
a $j$-ik \'es $k$-ik h\'uz\'as mindegyike feh\'er $\frac{2\cdot
19}{3\cdot 29}=\frac{38}{87}$, annak, hogy mindk\'et h\'uz\'as piros
$\frac{9}{3\cdot 29}=\frac3{29}$, annak, hogy az egyik h\'uz\'as
feh\'er, a m\'asik h\'uz\'as piros $\frac{2\cdot10}{3\cdot 29}=\frac{20}{57}$.
Ez\'ert $E\xi_j\xi_k=9\cdot\frac{2\cdot 19}{3\cdot 29}=\frac{114}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{114}{29}-4=-\frac2{29}$, ha $j$ \'es $k$
p\'aros, $E\xi_j\xi_k=4\cdot\frac{3}{29}=\frac{12}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{12}{29}-\frac{4}9=-\frac{8}{263}$, ha $j$
\'es $k$ p\'aratlan, $E\xi_j\xi_k=6\cdot\frac{20}{57}=\frac{40}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{40}{29}-\frac{4}3=\frac{4}{87}$, ha $j$ \'es
$k$ k\"oz\"ul az egyik p\'aros, a m\'asik p\'aratlan. Olyan $(j,k)$
p\'ar, $1\le j,k\le 10$, $j\neq k$, melyre $j$ \'es $k$ mindegyike
p\'aros vagy mindegyike p\'aratlan, \"osszesen 20 van, \'es olyan
$(j,k)$ p\'ar, amelyekre az egyik p\'aros, a m\'asik p\'aratlan $2\cdot
5\cdot 5=50$  van, ez\'ert
$$
\summ_{1\le j,k\le 10,\,j\neq k}\Cov(\xi_j,\xi_k)=20\(-\frac2{29}
-\frac{8}{263}\)+50\cdot\frac{4}{87}=\frac{80}{263}.
$$
Innen
$$
\align
\Var S&=\sum_{j=1}^{10}\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le 10,\,j\neq k}\Cov(\xi_j,\xi_k)\\
&=5\(2+\frac89\)+
\frac{80}{263}=\frac{130}9+\frac{80}{263}=\frac{3850}{263}.
\endalign
$$
\item{2.)} Tekints\"uk a 4. el\H{o}ad\'as elej\'en tekintett
k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'at: Egy est\'elyen megjelenik $n$
h\'azasp\'ar. Egy t\'ancmester, aki nem tudja, hogy kik
h\'azast\'arsak \'es kik nem, v\'eletlen m\'odon p\'arba rendezi a
f\'erfiakat \'es n\H{o}ket a t\'anc el\H{o}tt. Sz\'amoljuk ki az
egym\'assal t\'ancol\'o h\'azasp\'arok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Mi ezek
hat\'ar\'ert\'eke, ha $n\to\infty$?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$,
ha a $j$-ik h\'azasp\'ar egy\"utt t\'ancol, \'es $\xi_j=0$, ha nem
t\'ancolnak egy\"utt. Ekkor minket az $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel. Ennek kisz\'am\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy
$P(\xi_j=1)=1-P(\xi_j=0)=\frac1n$ minden $1\le j\le n$ indexre, \'es
$P(\xi_j=1,\xi_k=1)=\frac1{n(n-1)}$ minden $1\le j,k\le n$,
$j\neq k$ indexre. Innen $E\xi_j=E\xi_j^2=\frac1n$, $1\le j\le n$,
$E\xi_j\xi_k=\frac1{n(n-1)}$, ha $j\neq k$,
$\Var\xi_j=\frac1n-\frac1{n^2}$, \'es
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k
=\frac1{n(n-1)}-\frac1{n^2}=\frac1{n^2(n-1)}$, ha $j\neq k$. Ez\'ert
$ES_n=\summ_{j=1}^nE\xi_j=1$, $\Var S_n=\sum_{j=1}^n\Var\xi_j
+2\summ_{1\le j<k\le n}\Cov(\xi_j,\xi_k)
=n\(\frac1n-\frac1{n^2}\)+n(n-1)\frac1{n^2(n-1)}=1$. Ez\'ert mind a
v\'arhat\'o \'ert\'ek mind a sz\'or\'asn\'egyzet hat\'ar\'ert\'eke~1,
ha $n\to\infty$.
\item{3.)} Feldobunk egy dob\'okock\'at, majd ezut\'an egy
szab\'alyos p\'enzdarabot annyi alkalommal, amennyi a kockadob\'as
eredm\'enye volt. (Az egyes dob\'asok eredm\'enyei f\"uggetlenek
egym\'ast\'ol.) Sz\'amoljuk ki a fejdob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_{j,k}$, $1\le j\le 6$, $1\le k\le j$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat:
$$
\xi_{j,k}(\oo)=\left\{
\aligned
1&\quad \text{ha a kockadob\'as eredm\'enye $j$ \'es a $k$-ik
p\'enzdob\'as\'e fej} \\
0&\quad \text{ha a kockadob\'as eredm\'enye $j$ \'es a $k$-ik
p\'enzdob\'as\'e \'{\i}r\'as} \\
0&\quad \text{ha a kockadob\'as eredm\'enye nem } j
\endaligned\right.
$$
Ekkor minket az $S=\summ_{j=1}^6\summ_{k=1}^j \xi_{j,k}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-te \'erdekel. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
E\xi_{j,k}=P(\text{a kockadob\'as eredm\'enye $j$, a $k$-ik
p\'enzdob\'as\'e fej})=\frac1{12},
$$
$E\xi_{j,k}^2=\frac1{12}$, $\Var\xi_{j,k}^2=\frac{11}{144}$,
$E\xi_{j,k}\xi_{j,k'}=\frac1{24}$, ha
$k\neq k'$, ahonnan $\Cov(\xi_{j,k},\xi_{j,k'})=\frac5{144}$ ebben
az esetben. Tov\'abb\'a $E\xi_{j,k}\xi_{j',k'}=0$,
$\Cov(\xi_{j,k},\xi_{j',k'})=-\frac1{144}$, ha $j\neq j'$
(f\"uggetlen\"ul a $k$ \'es $k'$ sz\'amok viszony\'at\'ol. Innen,
$ES=\summ_{j=1}^6\summ_{k=1}^j E\xi_{j,k}=\frac{1+\cdots
+6}{12}=\frac{21}{12}=\frac74$, \'es
$$
\Var S=\summ_{j=1}^6\summ_{k=1}^j
\Var\xi_{j,k}+\summ_{(j,k),(j',k')\colon\;
j\neq j'\text{ vagy }k\neq k'}\Cov (\xi_{j,k},\xi_{j',k'}),
$$
ahonnan $\Var
S=\frac{11}{144}(1+\cdots+6)-\frac{1\cdot(21-1)+2\cdot(21-2)
+\cdots6\cdot(21-6)}{144}+\frac5{144}(2\cdot1+3\cdot2+\cdots 6\cdot
5)$. Ezt a k\'epletet \'ugy kapjuk, hogy k\"ul\"on sz\'amoljuk azon
$\Cov (\xi_{j,k},\xi_{j',k'})$ mennyis\'egek hozad\'ek\'at amelyekre
$j\neq j'$ \'es azut\'an azok\'et, amelyekre $j=j'$, de $k\neq k'$.
Innen $\Var S=\frac{231-350+350}{144}=\frac{77}{48}$.

\bye

