A Valószínűségszámítás I. előadássorozat ötödik előadása. 2007. március 6.

A várható érték tulajdonságainak bizonyításában nagyon hasznos az alábbi segédtétel, amely megegyezik a Fazekas könyvben szereplő 2.6 Állítással a 61. oldalon.

Segédtétel. Legyen ξ egy diszkrét eloszlású valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, amely valamilyen x_{1}, x_{2}, …, értékeket vesz fel, és legyen B_{k} = {ω: ξ(ω) = x_{k}}, k = 1, 2, …, a ξ valószínűségi változó értékei által meghatározottt teljes eseményrendszer. Legyen C_{j}, j = 1, 2, …, egy ennél finomabb teljes esemény-

rendszer, azaz tegyük fel, hogy a C_{j} ∈ A halmazok diszjunktak, ⋃_{j=1}^{∞} C_{j} = Ω, és minden

C_{j} halmazhoz tartozik olyan B_{k} halmaz, amelyre C_{j} ⊂ B_{k}. Ha C_{j} ⊂ B_{k}, akkor ren-

deljük hozzá a C_{j} halmazhoz az y_{j} = x_{k} számot. A ∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (B_{k}) és ∑_{j=1}^{∞} y_{j}P (C_{j}) összegek

egyszerre abszolut konvergensek, és ha ezek az összegek abszolut konvergensek, akkor

Eξ = ∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (B_{k}) = ∑_{j=1}^{∞} y_{j}P (C_{j}).

Kissé nagyvonalúan és pongyolán fogalmazva a Segédtételt a következő módon is interpretálhatjuk. Az Eξ várható értéket defináló Eξ = ∑ x_{k}P (B_{k}), B_{k} = {ω: ξ(ω) = x_{k}} összegben a B_{k} halmazt fel lehet osztani kis C_{j} darabokra (a kicsiség itt azt jelenti, hogy mindegyik C_{j} halmaznak kicsi a valószínűsége), és a várható értéket Eξ = ∑ y_{j}P (C_{j}) alakban is felírhatjuk, ahol y_{j} a ξ(ω) függvény értéke a C_{j} halmazon. A várható érték ilyen felírása emlékeztet az integrálok definiciójában szereplő integrálközelítő összegekre.

Valójában itt sokkal többről van szó, mint puszta formális analógiáról. A mértékelméletben bevezették az úgynevezett Lebesgue integrál fogalmát, ami általánosabb, mint a Riemann integrál. A várható érték, amiről beszélünk, a ξ(ω) valószínűségi változónak, azaz az (Ω, A, P) téren definiált (mérhető) függvénynek a Lebesgue integrálja a P mérték szerint. Erre a tényre a későbbiekben nem lesz szükségünk, de sok meggondolás hátterében ennek ismerete rejtőzik. Így például a várható érték additívitása az integrál additívitásának az átfogalmazása. Bár itt nem foglalkozunk a Lebesgue integrál fogalmának kidolgozásával, mert erre nincs szükségünk, valójában az ehhez szükséges munka jelentős részét megtesszük. Diszkrét eloszlású valószínűségi változók várható érték definiciójának bevezetésével az egyszerű (elemi) függvények Lebesgue integrálját definiáljuk, és a várható érték tulajdonságainak a bizonyításával a Lebesgue integrál legfontosabb tulajdonságait bizonyítjuk.

A Segédtétel bizonyítása: Először azt mutatjuk meg, hogy a ∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (B_{k}) és ∑_{j=1}^{∞} y_{j}P (C_{j})

összegek egyszerre abszolut konvergensek.

Ha a ∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (B_{k}) összeg abszolut konvergens, akkor létezik olyan L < ∞ szám,

amelyre ∑_{k=1}^{∞} |x_{k}|P (B_{k}) = L, és ezért minden N indexre

∑_{j=1}^{N} |y_{j}|P (C_{j}) ≤ ∑_{k=1}^{∞} |x_{k}|P (B_{k}) = L.

Innen következik, hogy ∑_{j=1}^{∞} |y_{j}|P (C_{j}) ≤ L, azaz a ∑_{j=1}^{∞} y_{j}P (C_{j}) összeg is abszolut kon-

vergens.

Ha a ∑_{j=1}^{∞} y_{j}P (C_{j}) összeg abszolut konvergens, akkor ∑_{j=1}^{∞} |y_{j}|P (C_{j}) ≤ L < ∞ alkal-

mas L számmal, ahonnan tetszőleges N indexre

∑_{k=1}^{N} |x_{k}|P (B_{k}) = ∑_{k=1}^{N} ∑_{j: C_{j}⊂B_{k}}^{∞} |y_{j}|P (C_{j}) ≤ ∑_{j=1}^{∞} |y_{j}|P (C_{j}) ≤ L < ∞,

és ezért a ∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (B_{k}) összeg is abszolut konvergens. Ezzel beláttuk, hogy a két tekin-

tett összeg egyszerre abszolut konvergens.

Ha a fenti sorok abszolut konvergensek akkor minden ε > 0 számhoz létezik olyan N = N(ε) index, hogy

∑_{k=N}^{∞} |x_{k}|P (B_{k}) < ε.  (A1)

Ekkor

∑_{k=N}^{∞} ∑_{j: C_{j}⊂B_{k}} |y_{j}|P (C_{j}) < ε.  (A2)

Legyen U_{k} = {j: C_{j} ⊂ B_{k}} minden k = 1, 2, … számra. Ekkor minden U_{k} halmaznak van olyan véges V_{k} = V_{k}(ε) ⊂ U_{k} részhalmaza, amelyre

|x_{k}| ∑_{j∈U_{k}\V_{k}} P (C_{j}) ≤ ε2^{−k}

Ezért minden k = 1, 2, … indexre

| ∑_{j: j∈V_{k}}^{∞} y_{j}P (C_{j}) − ∑_{j: C_{j}⊂B_{k}}^{∞} y_{j}P (C_{j})| ≤ ∑_{j∈U_{k}\V_{k}} |y_{j}|P (C_{j}) < ε2^{−k}  (B1)

és

| ∑_{j: j∈V_{k}}^{∞} y_{j}P (C_{j}) − x_{k}P (B_{k})| ≤ ∑_{j∈U_{k}\V_{k}} |y_{j}|P (C_{j}) < ε2^{−k}.  (B2)

A (B1) egyenlőtlenségeket összegezve k ≤ N − 1-re és felhasználva az (A1) egyenlőtlenséget valamint a háromszög egyenlőtlenséget, azt kapjuk, hogy

|∑_{j=1}^{∞} y_{j}P (C_{j}) − ∑_{k=1}^{N−1} ∑_{j∈V_{k}} y_{j}P (C_{j})| ≤ ∑_{k=N}^{∞} ∑_{j∈V_{k}} |y_{j}|P (C_{j}) + ∑_{k=1}^{N−1} ∑_{j∈U_{k}\V_{k}} |y_{j}|P (C_{j}) ≤ 2ε.

(C1)

Hasonlóan, a (B2) egyenlőtlenség összegezéséből k ≥ N − 1-re és az (A2) relációból következik, hogy

|∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (B_{k}) − ∑_{k=1}^{N−1} ∑_{j∈V_{k}} y_{j}P (C_{j})| ≤ ∑_{k=N}^{∞} |x_{k}|P (B_{k}) + ∑_{k=1}^{N−1} ∑_{j∈U_{k}\V_{k}} |y_{j}|P (C_{j}) ≤ 2ε.

(C2)

A (C1) és (C2) egyenlőtlenségeket összehasonlítva kapjuk, hogy

|∑_{j=1}^{∞} y_{j}P (C_{j}) − ∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (B_{k})| ≤ 4ε.

Mivel ez az állítás minden ε > 0 számra érvényes, innen következik a Segédtétel állítása.

A várható érték additívitását kifejező E(ξ_{1} + ξ_{2}) = Eξ_{1} + Eξ_{2} azonosság bizonyítása. Az ξ_{1} és ξ_{2} valószínűségi változók vegyék fel az x_{1}, x_{2}, … értékeket. Vezessük be a C(j, k) = {ω: ξ_{1}(ω) = x_{j}, ξ_{2}(ω) = x_{k}}, j, k = 1, 2, …, eseményeket. A Segédtételt alkalmazva a B(k) = {ω: ξ_{1}(ω) = x_{k}) és az előbb bevezetett C(j, k) halmazokkal kapjuk, hogy

Eξ_{1} = ∑_{j=1}^{∞} ∑_{k=1}^{∞} x_{j}P (C(j, k)).

Hasonlóan a Segédtétel alkalmazása a B̃(k) = {ω: ξ_{2}(ω) = x_{k}) és a C(j, k) halmazokkal azt adja, hogy

Eξ_{2} = ∑_{j=1}^{∞} ∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (C(j, k)),

E két azonosságot összeadva, kapjuk, hogy

Eξ_{1} + Eξ_{2} = ∑_{j=1}^{∞} ∑_{k=1}^{∞}(x_{j} + x_{k})P (C(j, k)).

Másrészt, ismét a Segédtétel alapján (a B(j, k) = {ω: ξ_{1}(ω) + ξ_{2}(ω) = x_{j} + x_{k})} és C(j, k) halmazokkal) érvényes az

E(ξ_{1} + ξ_{2}) = ∑_{j=1}^{∞} ∑_{k=1}^{∞}(x_{j} + x_{k})P (C(j, k))

reláció is. Ezekből az összefüggésekből következik az Eξ_{1} +Eξ_{2} = E(ξ_{1} +ξ_{2}) azonosság.

Egy ξ valószínűségi változó valamilyen g(ξ) függvényének Eg(ξ) várható értékét kiszámolhatnánk a várható érték eredeti definiciójának a felhasználásával úgy, hogy először kiszámoljuk a g(ξ) valószínűségi változó eloszlását. De sokszor egyszerűbb a várható érték kiszámolását az alábbi egyszerű tétel segítségével végezni.

Tétel diszkrét eloszlású valószínűségi változó függvényének a várható értékéről. Legyen ξ diszkrét eloszlású valószínűségi változó, amely bizonyos x_{1}, x_{2}, … értéket vesz fel, és legyen g(x) az X = {x_{1}, x_{2}, … } halmazon definiált valós értékű függvény. Ekkor

Eg(ξ) = ∑_{j=1}^{∞} g(x_{j})P (ξ = x_{j}),

feltéve, hogy a ∑_{j=1}^{∞} g(x_{j})P (ξ = x_{j}) összeg abszolut konvergens.

Bizonyítás: Vezessük be a C_{j} = {ω: ξ(ω) = x_{j}} halmazokat és y_{j} = g(x_{j}) számokat, j = 1, 2, . . .. Ekkor alkalmazva a Segédtételt a B_{k} = {ω: g(ξ(ω)) = x_{k}} és a fenti C_{j} halmazokkal az η = g(ξ) valószínűségi változóra megkapjuk a Tétel állítását.

A következő eredmény független valószínűségi változók szorzatának a várható értékéről szól.

Tétel független valószínűségi változók szorzatáról. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n} független, diszkrét eloszlású valószínűségi változók, amelyek mindegyikére létezik az Eξ_{j}, 1 ≤ j ≤ n várható érték. Ekkor az Eξ_{1}ξ_{2} ⋯ ξ_{n} várható érték is létezik, és

Eξ_{1}ξ_{2} ⋯ ξ_{n} = Eξ_{1}Eξ_{2} ⋯ Eξ_{n}.

Megjegyés: A fent megfogalmazott eredmény rendkívül fontos tulajdonsága a független valószínűségi változóknak.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók x_{1}, x_{2}, …, értékeket vesznek fel. Ekkor

Eξ_{1} ⋯ Eξ_{n} = ∑_{j_{1}=1}^{∞} x_{j_{1}}P (ξ_{1} = x_{j_{1}}) ⋯ ∑_{j_{n}=1}^{∞} x_{j_{n}}P (ξ_{n} = x_{j_{n}})

= ∑_{j_{1}=1}^{∞} ⋯ ∑_{j_{n}=1}^{∞} x_{j_{1}} ⋯ x_{j_{n}}P (ξ_{1} = x_{j_{1}}) ⋯ P (ξ_{n} = x_{j_{n}})

= ∑_{j_{1}=1}^{∞} ⋯ ∑_{j_{n}=1}^{∞} x_{j_{1}} ⋯ x_{j_{n}}P (ξ_{1} = x_{j_{1}}, ⋯, ξ_{n} = x_{j_{n}}),

a ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ n valószínűségi változók függetlensége miatt, valamint azért mert a fenti sorok mindegyike abszolut konvergens. (Ugyanis abszolut konvergens sorok szorzata is abszolut konvergens.) Viszont a Segédtétel alapján a fenti azonosság jobboldalán szereplő kifejezés Eξ_{1}ξ_{2} ⋯ ξ_{n}, ezért

Eξ_{1}ξ_{2} ⋯ ξ_{n} = Eξ_{1}Eξ_{2} ⋯ Eξ_{n}.

A fenti eredmények alkalmazásaként megoldjuk a következő feladatot.

Feladat:

1.) Egy szabályos dobókockát feldobunk tízszer. Számoljuk ki a dobásösszeg harmadik hatványának a várható értékét. Megoldás: Vezessük be a következő valószínűségi változókat: ξ_{j}(ω) = k, ha a

j-ik dobás eredménye k, 1 ≤ j ≤ 10, 1 ≤ k ≤ 6. Ekkor az E ( ∑_{j=1}^{10} ξ_{j}(ω))^{3}

várható értéket kell kiszámítanunk. Ennek érdekében tekintsük a ( ∑_{j=1}^{10} ξ_{j}(ω))^{3}

kifejezést és értsük meg milyen tagokat kapunk, ha elvégezzük a beszorzásokat. Egyrészt megjelenik 10 darab ξ_{j}^{3} alakú kifejezés, és Eξ_{j}^{3} = Eξ_{1}^{3} minden ilyen tagra. Ezenkívül megjelenik 3 · 10 · 9 darab ξ_{j}^{2}ξ_{k}, j ≠ k, alakú kifejezés, mert a lehetséges (j, k) párokat 10 · 9 módon választhatjuk ki, és a k (a négyzetre nem emelt tényező) három helyen szerepelhet a szorzatban. (Tehát például a ξ_{1}ξ_{2}^{2} alakú tagnak 3 lesz az együtthatója a szorzatban.) Továbbá minden ilyen tagra Eξ_{j}^{2}ξ_{k} = Eξ_{j}^{2}Eξ_{k} = Eξ_{1}^{2}Eξ_{1}. Továbbá, hasonló meggondolások alapján láthatjk, hogy 10 · 9 · 8 módon jelenhet meg ξ_{j}ξ_{k}ξ_{l} alakú tag, ahol a j, k és l indexek mind különbözőek, és ezekre Eξ_{j}ξ_{k}ξ_{l} = (Eξ_{1})^{3}. Valóban, a ξ_{j}ξ_{k}ξ_{l} alakú alakú tagok összeszámlálásánál vegyük észre, hogy 1 ≤ j < k < l ≤ 10 alakú számhármasokat \binom{10}{3} féleképp választhatunk, a ξ_{j} tényező a szorzatban 3-féleképp jelenhet meg, a szorzat első, második vagy harmadik tagjában, a ξ_{k} tényező ezután 2-féleképp, a ξ_{l} tényező pedig egyféleképp választható. Másfajta tag nem jelenikmeg a szorzatban.

Innen a várható érték additívitását kihasználva azt kapjuk, hogy E ( ∑_{j=1}^{10} ξ_{j}(ω))^{3} =

10Eξ_{1}^{3} + 270Eξ_{1}E(ξ_{1}^{2}) + 720 (Eξ_{1})^{3} = 735 + 14332.5 + 30870 = 45937.5, mert Eξ_{1} = 3.5, Eξ_{1}^{2} = \frac{91}{6} és Eξ_{1}^{3} = 73.5.

A szórásnégyzet fogalma.

Az (egyelőre csak diszkrét eloszlású valószínűségi változók esetében definiált) várható érték azt méri, hogy valószínűségi változók körülbelül mekkora értéket vesznek fel. Mérni akarjuk azt is, hogy mekkora a valószínűségi változó ingadozása a várható értéke körül. Ennek érdekében vezették be a szórásnégyzet (angolul variance) fogalmát. Ismertetem ennek definicióját.

A szórásnégyzet definiciója: Legyen ξ olyan valószínűségi változó, amelyre Eξ^{2} < ∞. Ekkor a ξ valószínűségi változó szórásnégyzetét a

Var ξ = E (ξ − Eξ)^{2}

képlet definiálja. Ha Eξ^{2} = ∞ akkor a Var ξ szórásnégyzetet nem definiáljuk vagy azt mondjuk, hogy Var ξ = ∞.

Lemma a szórásnégyzet kiszámolásáról.

Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2}.

Továbbá, (Eξ)^{2} ≤ Eξ^{2}.

Bizonyítás:

0 ≤ Var ξ = E (ξ − Eξ)^{2} = E (ξ^{2} − 2ξEξ + (Eξ)^{2})
= Eξ^{2} − 2EξEξ + (Eξ)^{2} = Eξ^{2} − (Eξ)^{2}

a várható érték tulajdonságai miatt. Összehasonlítva a bal és jobboldalt kapjuk a megfogalmazott egyenlőtlenséget.

1. megjegyzés. Ha precízek vagyunk, akkor felmerülhet a kérdés, hogy teljesen kifogástalan-e a fenti bizonyítás. Az okozhat problémát, hogy egy valószínűségi változó várható értéket csak akkor definiáltuk ha a definiáló összeg abszolut konvergens. Ezt viszont csak az Eξ^{2} kifejezést definiáló összegről tettük fel. Ugyanakkor az Eξ várható értékkel is szabadon számoltunk. Nem okoz-e ez gondot?

Az, hogy a fenti számolás jogos, például a következő módon látható. Vegyen fel a ξ valószínűségi változó x_{1}, x_{2}, … értékeket, és definiáljuk a ξ valószínűségi változó ξ_{n} közelítéseit, n = 1, 2, …, a következő módon: ξ_{n}(ω) = ξ(ω), ha ξ(ω) = x_{k}, 1 ≤ k ≤ n, ξ_{n}(ω) = 0, ha ξ(ω) = x_{k}, és k > n. Ekkor a ξ_{n}(ω) illetve ennek abszolut értékével a |ξ_{n}(ω)| valószínűségi változókkal szabadon végrehajthatjuk a fenti számolásokat. Innen következik, hogy (E|ξ_{n}(ω)|)^{2} ≤ Eξ_{n}^{2}(ω) ≤ Eξ^{2}(ω). Innen viszont n → ∞ határátmenettel kapjuk, hogy (E|ξ|)^{2} = lim_{n→∞} (E|ξ_{n}(ω)|)^{2} ≤ Eξ^{2}(ω). Ez azt jelenti, hogy az Eξ várható értéket meghatározó összeg is abszolut konvergens, és a fenti számolásokat elvégezhetjük.

2. megjegyzés. A szórásnégyzet egy viszonylag egyszerű mérőszáma a valószínűségi változó ingadozásának annak várható értékétől. Az, hogy valóban ez az ingadozás legjobb mérőszáma később ismertetendő eredményekből következik.

Feladat: 2.) Minden m valós számra

E(ξ − m)^{2} = E(ξ − Eξ)^{2} + ((Eξ) − m)^{2} .

Következésképpen

Var ξ = inf_{−∞<m<∞} E [(ξ − m)^{2}] .

Megoldás:

E(ξ − m)^{2} = E [(ξ − Eξ) + (Eξ − m)]^{2}
= E(ξ − Eξ)^{2} − 2E(ξ − m)E(ξ − Eξ) + (E(ξ − m))^{2}
= E(ξ − Eξ)^{2} + ((Eξ) − m)^{2} ,

mert 2E(ξ − m)E(ξ − Eξ) = 2E(ξ − m)(Eξ − Eξ) = 0. Ebből az azonosságból adódik, hogy E(ξ − m)^{2} ≥ E(ξ − Eξ)^{2} minden m valós számra. Viszont m = Eξ esetén az egyenlőtlenség két oldala megegyezik.

Lemma. Minden a és b valós számra

Var (aξ + b) = a^{2}Var ξ.

Bizonyítás:

Var (aξ + b) = E [(aξ + b) − E(aξ + b)]^{2} = E [(aξ + b) − aEξ − b]^{2}
= E [a^{2}(ξ − Eξ)^{2}] = a^{2}E(ξ − Eξ)^{2} = a^{2}Var ξ.

A következő eredmény rendkívül hasznos összefüggést ad, ha független valószínűségi változók összegének szórásnégyzetét akarjuk kiszámítani. Hangsúlyozom, hogy ebben az eredményben fontos a tekintett valószínűségi változók függetlensége. Később megfogalmazom ennek az eredménynek egy olyan általánosítását, amely akkor is érvényes, ha az összeadandók nem feltétlenül függetlenek. Látni fogunk olyan példákat is, amelyek megoldásában ezt az általánosabb eredményt érdemes alkalmazni.

Tétel. Ha ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, akkor

Var (ξ_{1} + ξ_{2} + ⋯ + ξ_{n}) = Var ξ_{1} + Var ξ_{2} + ⋯ + Var ξ_{n}.

Következmény. Ha ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, c_{1}, c_{2}, …, c_{n} valós számok, akkor

Var (c_{1}ξ_{1} + c_{2}ξ_{2} + ⋯ + c_{n}ξ_{n}) = c_{1}^{2}Var ξ_{1} + c_{2}^{2}Var ξ_{2} + ⋯ + c_{n}^{2}Var ξ_{n}.

A Tétel bizonyítása. Vezessük be a ξ̄_{j} = ξ_{j} − Eξ_{j} valószínűségi változókat. Ekkor

Var (ξ_{1} + ξ_{2} + ⋯ + ξ_{n}) = E(ξ̄_{1} + ξ̄_{2} + ⋯ + ξ̄_{n})^{2}

= E (ξ̄_{1}^{2} + ξ̄_{2}^{2} + ⋯ + ξ̄_{n}^{2} + 2 ∑_{j=1}^{n−1} ∑_{k=j+1}^{n} ξ̄_{j}ξ̄_{k})

= Eξ̄_{1}^{2} + Eξ̄_{2}^{2} + ⋯ + Eξ̄_{n}^{2} + 2 ∑_{j=1}^{n−1} ∑_{k=j+1}^{n} Eξ̄_{j}ξ̄_{k}

= Eξ̄_{1}^{2} + Eξ̄_{2}^{2} + ⋯ + Eξ̄_{n}^{2} = Var ξ_{1} + Var ξ_{2} + ⋯ + Var ξ_{n},

mert Eξ̄_{j}ξ̄_{k} = Eξ̄_{j}Eξ̄_{k} = 0 minden 1 ≤ j < k ≤ n számra a ξ_{j} illetve a ξ̄_{j}, 1 ≤ j ≤ n, valószínűségi változók függetlensége miatt.

Feladat:

3.) Egy szabályos pénzdarabot feldobunk 100-szor egymás után. Számoljuk ki a fejdobások számának a várható értékét és szórásnégyzetét. Számítsuk ki ezt egyrészt direkt módon felírva és kiszámolva a várható értéket és szórásnégyzetet kifejező összegeket, másrészt egyszerűbben az előző tétel segítségével.

Megoldás: A fejdobások száma 0 és 100 között van. Annak valószínűsége, hogy k fejdobás következik be, 0 ≤ k ≤ 100, p_{k} = \binom{100}{k}2^{−100}. Ezért a dobások számának

várható értéke Eξ = ∑_{k=0}^{100} k\binom{100}{k}2^{−100}, ahol ξ jelőli a fejdobások számát megadó

valószínűségi változót. Továbbá Eξ^{2} = ∑_{k=0}^{100} k^{2}\binom{100}{k}2^{−100}, a szórásnégyzet pedig

Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2}. Ezeket az összegeket közvetlenül kiszámíthatjuk. Valóban,

k\binom{100}{k} = 100\binom{99}{k−1}, Eξ = ∑_{k=0}^{100} k\binom{100}{k}2^{−100} = 50 ∑_{k=0}^{99} k\binom{99}{k}2^{−99} = 50 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})^{99} = 50.

Továbbá, k^{2}\binom{100}{k} = [k(k−1)+k]\binom{100}{k} = 100·99·\binom{98}{k−2}+100·\binom{100}{99}, Eξ^{2} = 2^{−100}·100·

99 · ∑_{k=0}^{98} \binom{98}{k} + 2^{−100} · 100 · ∑_{k=0}^{99} \binom{99}{k} = 2^{−100} (100 · 99 · (1 + 1)^{98} + 100 · (1 + 1)^{99}) =

25 · 99 + 50, Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ^{2}) = 25. Valójában a vizsgált várható értéket és szórásnégyzetet egyszerűbben is kiszámíthatjuk. Vezessük be a ξ_{j}(ω) valószínűségi változókat, ξ_{j}(ω) = 1, ha a j-ik dobás eredménye fej ξ_{j}(ω) = 0, ha a j-ik dobás eredménye írás, 1 ≤ j ≤ 100. Ekkor a

fejdobások száma ξ(ω) = ∑_{j=1}^{100} ξ_{j}(ω), Eξ = ∑_{j=1}^{100} Eξ_{j}, Var ξ = ∑_{j=1}^{100} Var ξ_{j}. Mivel Eξ_{j} =

\frac{1}{2}, Eξ_{j}^{2} = \frac{1}{2}, Var ξ_{j} = \frac{1}{4}, 1 ≤ j ≤ 100, ezért Eξ = \frac{1}{2} · 100 = 50, Var ξ = \frac{1}{4} · 100 = 25.

4.) Egy szabályos dobókockát feldobunk 100-szor egymás után. Számoljuk ki a dobáseredmények összegének várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Legyenek η_{1},…, η_{100} független valószínűségi változók, amelyekre P (η_{j} = k) = \frac{1}{6}, 1 ≤ j ≤ 100, 1 ≤ k ≤ 6. Ekkor a kiszámítandó várható érték és

szórásnégyzet E ∑_{j=1}^{100} η_{j} = ∑_{j=1}^{100} Eη_{j}, Var ∑_{j=1}^{100} η_{j} = ∑_{j=1}^{100} Var η_{j}. (A második reláció

felhasználja a tekintett valószínűségi változók függetlenségét.) Eη_{j} = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3.5, Eη_{j}^{2} = \frac{1}{6}(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{6}, Var η_{j} = \frac{35}{12}, Eξ = 350, Var ξ = \frac{3500}{12}.

5.) Egy szabályos dobókockát feldobunk 100-szor egymás után. Tekintsük a páros értékű dobások eredményeinek az összegét, és számítsuk ki ennek várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 100 valószínűségi változókat: ξ_{j} = 2, ha a j-ik dobás eredménye 2, ξ_{j} = 4, ha a j-ik dobás eredménye 4, ξ_{j} = 6, ha a j-ik dobás eredménye 6, és ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye 1, 3 vagy

5. Ekkor a S = ∑_{j=1}^{100} ξ_{j} valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét

akarjuk kiszámolni. Eξ_{j} = \frac{1}{6}(2 + 4 + 6) = 2, Eξ_{j}^{2} = \frac{1}{6}(2^{2} + 4^{2} + 6^{2}) = \frac{28}{3}, Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = \frac{16}{3}, ahonnan a ξ_{j} valószínűségi változók függetlensége miatt ES = 100Eξ_{1} = 200, Var S = 100Var ξ_{1} = \frac{1600}{3}.

Megfogalmazom az előző tétel egy olyan általánosítását, amely lehetővé teszi, hogy kiszámoljuk nem feltétlenül független valószínűségi változók összegének a szórásnégyzetét. Ennek érdekében először bevezetek egy új fogalmat, két valószínűségi változó kovarianciafüggvényét. Ez azt méri hogy milyen erős a kapcsolat két valószínűségi változó között.

A kovarianciafüggvény definiciója. Legyen ξ és η két valószínűségi változó, amelyek mindegyikének létezik szórásnégyzete, azaz Eξ^{2} < ∞ és Eη^{2} < ∞. Ekkor a ξ és η valószínűségi változók kovarianciafüggvényét Cov (ξ, η)-t a

Cov (ξ, η) = E [(ξ − Eξ)(η − Eη)]

kifejezés definiálja. Ha a Eξ^{2} < ∞ és Eη^{2} < ∞ feltételek valamelyike nem teljesül, akkor nem definiáljuk a Cov (ξ, η) kovarianciafüggvényt.

Megjegyzés: |(ξ − Eξ)||(η − Eη)| ≤ \frac{|ξ−Eξ|^{2}}{2} + \frac{|η−Eη|^{2}}{2} , ahonnan E|(ξ − Eξ)||(η − Eη)| ≤ \frac{E|ξ−Eξ|^{2}}{2} + \frac{E|η−Eη|^{2}}{2} < ∞. Innen következik, hogy az Eξ^{2} < ∞ és Eη^{2} < ∞ feltételek teljesülése esetén a Cov (ξ, η)-t definiáló várható érték valóban létezik.

Korrelálatlan valószínűségi változók definiciója. Azt mondjuk, hogy két ξ és η valószínűségi változó korrelálatlan, ha Cov (ξ, η) = 0.

Lemma.

Cov (ξ, η) = Eξη − EξEη.

Következmény. Ha ξ és η két független valószínűségi változó, akkor Cov (ξ, η) = 0, azaz e két valószínűségi változó korrelálatlan.

A lemma bizonyítása.

Cov (ξ, η) = E[ξη −ηEξ −ξEη +EξEη] = Eξη −EξEη −EξEη +EξEη = Eξη −EξEη.

Most megfogalmazom az alábbi eredményt valószínűségi változók összegének a szórásnégyzetéről:

Tétel. Ha ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók ugyanazon a valószínűségi mezőn, amelyek mindegyikének létezik szórásnégyzete, akkor

Var (∑_{j=1}^{n} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{n} Var ξ_{j} + 2 ∑_{1≤j<k≤n}(Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k})

= ∑_{j=1}^{n} Var ξ_{j} + 2 ∑_{1≤j<k≤n} Cov (ξ_{j}, ξ_{k})

= ∑_{j=1}^{n} Var ξ_{j} + ∑_{1≤j,k≤n, j≠k} Cov (ξ_{j}, ξ_{k}).

Bizonyítás.

Var (∑_{j=1}^{n} ξ_{j}) = E (∑_{j=1}^{n} ξ_{j})^{2}− (E ∑_{j=1}^{n} ξ_{j})^{2}= E (∑_{j=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} ξ_{j}ξ_{k}) − (∑_{j=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} Eξ_{j}Eξ_{k})

= (∑_{j=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} Eξ_{j}ξ_{k}) − (∑_{j=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} Eξ_{j}Eξ_{k})

= ∑_{j=1}^{n} (Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2}) + 2 ∑_{1≤j<k≤n}(Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k}).

és Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = Var ξ_{j}, Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k} = Cov (ξ_{j}, ξ_{k}).

Megmutatom, hogy a fenti eredmény segítségével viszonylag egyszerűen ki tudjuk számolni bizonyos valószínűségi változók összegének a szórásnégyzetét. Erre mutat példát a következő két feladat.

Feladatok:

6.) Legyen egy urnában 20 piros és 30 fehér golyó. Húzzunk ki 20 golyót visszatevés nélkül. Számoljuk ki a kihúzott piros golyók számának várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 20, valószínűségi változókat: ξ_{j}(ω) = 1, ha a j-ik húzás eredménye piros, ξ_{j}(ω) = 0, ha a j-ik húzás eredménye

fehér. Ekkor a ξ = ∑_{j=1}^{20} ξ_{j} összeg várható értékét és szórásnégyzetét kell kiszámol-

nunk. Továbbá Eξ_{j} = Eξ_{1} = \frac{2}{5}, Var ξ_{j} = Var ξ_{1} = \frac{2}{5} − \frac{4}{25} = \frac{6}{25}, Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k} = Eξ_{1}ξ_{2}−Eξ_{1}Eξ_{2} = \frac{2}{5} · \frac{19}{49} − \frac{4}{25} = −\frac{6}{1245}, ha j ≠ k. Innen a 20 dobásban kihúzott piros golyók számának várható értéke 20· \frac{2}{5} = 8 és szórásnégyzete 20· \frac{6}{25} −380· \frac{6}{1245} = \frac{144}{49}.

7.) Feldobunk egy szabályos pénzérmét 100-szor egymás után. Tekintsük az egymást követő fej-fej dobássorozatok számát, és számítsuk ki ennek várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 99, valószínűségi változókat: ξ_{j} = 1, ha a j-ik és j + 1-ik dobások mindegyikének eredménye fej, ξ_{j} = 0 egyébként.

Vegyük észre, hogy minket az S = ∑_{j=1}^{99} ξ_{j} valószínűségi változó várható értéke

érdekel. Ezért ES = E ( ∑_{j=1}^{99} Eξ_{j}) = \frac{99}{4}, mivel Eξ_{j} = \frac{1}{4}. (Érdemes megjegyezni,

hogy az ebben a feladatban tekintett ξ_{j} valószínűségi változók nem függetlenek, de a függetlenségre nincs szükség a várható érték additivításáhaz.) A szórásnégyzet kiszámításában viszont figyelembe kell vennünk azt, hogy nem csupa független valószínűségi változó összegét vizsgáljuk. Használjuk a szórásnégyzet kiszámolásánál a következő formulát.

Var S = Var (∑_{j=1}^{99} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{99} Var ξ_{j} + 2 ∑_{1≤j<k≤99} Cov (ξ_{j}, ξ_{k}).

Továbbá Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = 0, ha k ≥ j + 2, mert ebben az esetben ξ_{j} és ξ_{k} függetlenek, és Cov (ξ_{j}, ξ_{j+1}) = \frac{1}{8} − \frac{1}{16} = \frac{1}{16} minden 1 ≤ j ≤ 98 számra. Ugyanis Eξ_{j}ξ_{j+1} = \frac{1}{8}, mivel ξ_{j}ξ_{j+1} = 1, ha a j-ik, j + 1-ik és j + 2-ik dobások mindegyike fej, aminek valószínűsége \frac{1}{8}, és ξ_{j}ξ_{j+1} = 0 egyébként. Továbbá Eξ_{j}Eξ_{j+1} = \frac{1}{16}. Ezenkívül Var ξ_{j} = \frac{1}{4} − \frac{1}{16} = \frac{3}{16}. Innen Var S = 99 · \frac{3}{16} + 2 · \frac{98}{16} = \frac{493}{16}.

Független valószínűségi változók. A konvolució és generátorfüggvény.

A következő előadásban a legfontosabb diszkrét eloszlásokról és azok tulajdonságairól fogok beszélni. Ki fogom számolni ezen valószínűségi változók várható értékét és szórásnégyzetét, és adott eloszlású független valószínűségi változók összegének az eloszlását. A kérdések egyszerűbb tárgyalása érdekében bevezetek néhány fogalmat, és felidézek néhány eredményt az analízisből. Először eloszlások konvolucióját majd generátorfüggvényét definiálom, és tárgyalom azt, hogy ezek a fogalmak milyen kapcsolatban vannak a minket érdeklő problémákkal.

Az első vizsgálandó kérdés az, hogy hogyan lehet kiszámolni független, diszkrét eloszlású valószínűségi változók összegének az eloszlását. Ennek kapcsán bevezetem diszkrét eloszlású valószínűségi változók eloszlásainak a konvolucióját, és teszek néhány megjegyzést.

Legyen ξ és η két független, diszkrét eloszlású valószínűségi változó, amelyek valamilyen x_{1}, x_{2}, … értékeket vesznek fel. Ekkor ezek összege, a ξ +η valószínűségi változó szintén diszkrét, és eloszlását ki tudjuk számolni a következő módon:

P (ξ + η = x) =  ∑_{(x_{j},x_{k}): x_{j}+x_{k}=x}P (ξ = x_{j}, η = x_{k}) =  ∑_{(x_{j},x_{k}): x_{j}+x_{k}=x}P (ξ = x_{j})P (η = x_{k})

Ez a képlet egyszerűsödik abban a fontos speciális esetben, ha a független ξ és η valószínűségi változók csak egész értékeket vesznek fel, és még egyszerűbb akkor, ha csak nem negatív egész értékeket vesznek fel. Azt az eredményt, amelyet ebben a speciális esetben kapunk, megfogalmazom tétel formájában is.

Tétel. Legyen ξ és η két független, egész értékeket felvevő valószínűségi változó. Ekkor a ξ + η valószínűségi változó is csak egész értékeket vesz fel, és

P (ξ + η = n) = ∑_{k=−∞}^{∞} P (ξ = k)P (η = n − k), n = 0, ±1, ±2, ….

Ez a formula tovább egyszerűsödik, ha a független ξ és η valószínűségi változók csak nem negatív egész értékeket vesznek fel. Ekkor

P (ξ + η = n) = ∑_{k=0}^{n} P (ξ = k)P (η = n − k), ha n ≥ 0,

és

P (ξ + η = n) = 0, ha n < 0.

Bizonyítás: A tétel első képlete azonnal adódik a tétel előtt tárgyalt általános esetből abban az esetben, ha a valószínűségi változók x_{1}, x_{2}, … értékei egész számok. A második képlet az első képlet következménye, ha észrevesszük, hogy elég csak azon (k, n − k) párokra összegezni, amelyekre P (ξ = k)P (η = n − k) ≠ 0. Ez azt jelenti, hogy abban az esetben, ha ξ és η nem negatív egész értékeket vesznek fel, akkor az összegezésből kihagyhatjuk azokat a tagokat, amelyekre k < 0 vagy n − k < 0, azaz k > n.

A fenti eredmény miatt érdemes bevezetni a következő definiciót.

Diszkrét, egész értékű eloszlásások konvoluciójának a definiciója. Legyen

P = {p_{k}: k = 0, ±1, ±2, … } és Q = {q_{k}: k = 0, ±1, ±2, … }

két az egész számokon értelmezett diszkrét eloszás, azaz tegyük fel, hogy p_{k} ≥ 0, q_{k} ≥ 0,

k = 0, ±1, ±2, …, ∑_{k=−∞}^{∞} p_{k} = 1 és ∑_{k=−∞}^{∞} q_{k} = 1. Ekkor a P és Q eloszlások kon-

voluciója, az a R = P ∗ Q = {r_{n}: n = 0, ±1, ±2, … } eloszlás, amelyre

r_{n} = ∑_{k=−∞}^{∞} p_{k}q_{n−k}, n = 0, ±1, ±2, ….

Abban a speciális esetben, ha p_{k} = 0 és q_{k} = 0 minden k < 0 számra, az r_{n} = 0 azonosság érvényes minden n < 0 indexre, és

r_{n} = ∑_{k=0}^{n} p_{k}q_{n−k}, n = 0, 1, 2, ….

A generátor függvények fogalma.

Érdemes a következő észrevételt tenni. Legyen f(x) és g(x) két függvény, amelyek hatványsorba fejthetőek, azaz,

f(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k}, g(x) = ∑_{k=0}^{∞} b_{k}x^{k},

ha −A < x < A valamilyen A > 0 számmal. Ekkor az f(x)g(x) szorzat is sorba fejthető, azaz

f(x)g(x) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}x^{n}

(ugyanabban a −A < x < A intervallumban), és

c_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{n−k}.

Vegyük észre, hogy a fenti hatványsorokban szereplő a_{k}, b_{k} és c_{n} együtthatók között hasonló reláció érvényes mint ami a nem negatív egész értéket felvevő eloszlások konvoluciójának a definiciójában szerepelt. Ezenkívül érdemes ismerni a következő analízisben bizonyított eredményeket. a.) Ha az f(x) függvény hatványsorba fejthető, azaz f(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k} valamilyen

−A < x < A intervallumon, A > 0, akkor az f(x) függvény értékei a −A < x < A intervallumon meghatározzák az a_{n} együtthatókat. (Sőt, azok explicit módon kiszámíthatóak az n!a_{n} = \frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}} |_{x=0} képlet segítségével.)

b.) Ha f_{n}(x), n = 1, 2, …, függvényeknek egy olyan sorozata, amelyek mindegyike

előállítható f_{n}(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k,n}x^{k} hatványsor alakban valamilyen −A < x < A, A >

0 intervallumon, ahol az A > 0 szám nem függ az n indextől, továbbá létezik az f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) határérték minden −A < x < A számra, akkor az f(x)

határfüggvény is hatványsorba fejthető f(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k} alakban a −A < x < A

intervallumon. Továbbá a_{k} = lim_{n→∞} a_{k,n} minden k = 0, 1, 2, … együtthatóra.

Később látni fogjuk, hogy a hatványsorok fent említett tulajdonságai jól használhatóak bizonyos valószínűségi vizsgálatokban. Ugyanis egy nem-negatív egész értékékeket felvevő ξ valószínűségi változó p_{k} = P (ξ = k), k = 0, 1, 2, …, eloszlásához hozzáren-

delhetjük az f(x) = ∑_{k=0}^{∞} p_{k}x_{k} függvényt, amelyet ezen eloszlás generátorfüggvényének

neveznek. Megfogalmazom e fogalom definicióját pontosabban is.

Diszkrét, nem negatív egész értékű eloszlás generátorfüggvényének a definiciója: Legyen adva egy P = {p_{0}, p_{1}, p_{2}, … } eloszlás a nem-negatív egész számokon, azaz

olyan számsorozat, amelyenk tagjaira p_{k} ≥ 0 minden 0 ≤ k ≤ ∞ számra, és ∑_{k=1}^{∞} p_{k} =

1. (Az elnevezés oka az, hogy létezik olyan ξ nem-negatív egész értékű valószínűségi változó, amelyre P (ξ = k) = p_{k} minden k = 0, 1, 2, … számra.) Ennek az eloszlásnak a generátorfüggvénye az

F (x) = ∑_{k=0}^{∞} p_{k}x^{k}

függvény.

A fent mondottak alapján nemcsak az igaz, hogy egy P eloszlás meghatározza F (x) generátorfüggvényét, hanem megfordítva az F (x) generátorfüggvény segítségével ki lehet számolni azt az eloszlást, amelynek ez a generátorfüggvénye, mivel

k!p_{k} = \frac{dF^{k}(x)}{dx^{k}} |_{x=0} , k = 0, 1, 2, ….

Egy eloszlás generátorfüggvénye mindig konvergens a −1 ≤ x ≤ 1 intervallumban. Ha egy P eloszlás generátorfüggvénye F (x) egy Q eloszlás generátorfüggvénye G(x), akkor P ∗ Q konvoluciójuk generátorfüggvénye az F (x)G(x) függvény. Továbbá, eloszlások generátorfüggvényeinek konvergenciájából maguknak az eloszlásoknak a konvergenciájára is következtetni tudunk. Részletesebben kifejtve a következőről van szó.

Legyen adva minden n = 1, 2, … számra egy p_{n,k}, k = 0, 1, 2, …, eloszlás a nem

negatív egész számokon, azaz teljesüljenek a p_{n,k} ≥ 0 és ∑_{k=0}^{∞} p_{n,k} = 1 tulajdonságok.

Feleltessük meg ezeknek az eloszlásoknak az F_{n}(x) = ∑_{k=0}^{∞} p_{n,k}x^{k} generátorfüggvényeket

(hatványsorokat). Ha az F_{n}(x) generátorfüggvények pontonként konvergálnak egy F (x) függvényhez valamely −A ≤ x ≤ A, 0 < A ≤ 1 intervallumban, akkor ez az F (x)

függvény felírható F (x) = ∑_{k=0}^{∞} p_{k}x^{k}, −1 < x < 1, hatványsor alakban, és lim_{n→∞} p_{n,k} = p_{k}

minden k = 0, 1, 2, … számra.

A fenti eredmény hasznos módszert biztosít annak ellenőrzésére, hogy bizonyos eloszlások konvergálnak-e. Megjegyzem, hogy a megfogalmazott eredményben nem állí-

tottam, hogy a p_{k} határértékek teljesítik a ∑_{k=0}^{∞} p_{k} = 1 azonosságot, azaz valószínűségi

eloszlást határoznak meg. A legtöbb konkrét feladatban ez a tulajdonság teljesül, de azt külön ellenőrizni kell. Az eredmény bizonyítását, amelyben érdemes felhasználni bizonyos komplex függvénytani eredményeket elhagyom.

A fent megfogalmazott eredmények lehetővé teszik, hogy bizonyos valószínűségi vizsgálatokat viszonylag egyszerűen végrehajthassunk a generátorfüggvények segítségével.

További feladatok a várható érték és szórásnégyzet kiszámolásáról

1.) Egy urnában 10 piros és 20 fehér golyó van. Kihúzunk visszatevés nélkül 10 golyót. A páros sorszámú húzások esetén fehér golyó húzás esetén nyerünk 3 forintot, piros golyó húzás esetén pedig nem nyerünk és nem veszítünk semmit. A páratlan sorszámú húzások esetén piros húzás esetén 2 forintot nyerünk, fehér golyó húzás esetén nem nyerünk és nem veszítünk semmit. Számoljuk ki a nyereményünk várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 10, valószínűségi változókat: Páros j számokra ξ_{j} = 3, ha a j-ik húzás eredménye piros, ξ_{j} = 0, ha a j-ik húzás eredménye fehér golyó. Páratlan j számokra ξ_{j} = 2, ha a j-ik húzás eredménye

piros, ξ_{j} = 0, ha a j-ik húzás eredménye fehér golyó. Ekkor az S = ∑_{j=1}^{10} ξ_{j} összeg

várható értékét és szórásnégyzetét kell kiszámolnunk. Ennek érdekében számoljuk ki az Eξ_{j} várható értékeket, Var ξ_{j} szórásnégyzeteket és Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) kovarianciákat. Annak valószínűsége, hogy a j-ik húzás eredménye piros \frac{1}{3}, annak valószínűsége, hogy j-ik húzás eredménye fehér \frac{2}{3}. Ezért Eξ_{j} = 2, ha j páros, Eξ_{j} = \frac{2}{3}, ha j páratlan, és ES = 5 (2 + \frac{2}{3}) = 13\frac{1}{3}. A szórásnégyzet kiszámítása érdekében vegyük észre, hogy Eξ_{j}^{2} = 6, Var ξ_{j} = 2, ha j páros, és Eξ_{j}^{2} = \frac{4}{3}, Var ξ_{j} = \frac{8}{9}. Továbbá annak valószínűsége, hogy két j és k indexre j ≠ k, a j-ik és k-ik húzás mindegyike fehér \frac{2·19}{3·29} = \frac{38}{87}, annak, hogy mindkét húzás piros \frac{9}{3·29} = \frac{3}{29}, annak, hogy az egyik húzás fehér, a másik húzás piros \frac{2·10}{3·29} = \frac{20}{57}. Ezért Eξ_{j}ξ_{k} = 9 · \frac{2·19}{3·29} = \frac{114}{29}, Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = \frac{114}{29} − 4 = −\frac{2}{29}, ha j és k páros, Eξ_{j}ξ_{k} = 4 · \frac{3}{29} = \frac{12}{29}, Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = \frac{12}{29} − \frac{4}{9} = −\frac{8}{263}, ha j és k páratlan, Eξ_{j}ξ_{k} = 6 · \frac{20}{57} = \frac{40}{29}, Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = \frac{40}{29} − \frac{4}{3} = \frac{4}{87}, ha j és k közül az egyik páros, a másik páratlan. Olyan (j, k) pár, 1 ≤ j, k ≤ 10, j ≠ k, melyre j és k mindegyike páros vagy mindegyike páratlan, összesen 20 van, és olyan (j, k) pár, amelyekre az egyik páros, a másik páratlan 2 · 5 · 5 = 50 van, ezért

∑_{1≤j,k≤10, j≠k} Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = 20 (−\frac{2}{29} − \frac{8}{263}) + 50 · \frac{4}{87} = \frac{80}{263}.

Innen

Var S = ∑_{j=1}^{10} Var ξ_{j} + ∑_{1≤j,k≤10, j≠k} Cov (ξ_{j}, ξ_{k})

= 5 (2 + \frac{8}{9}) + \frac{80}{263} = \frac{130}{9} + \frac{80}{263} = \frac{3850}{263}.

2.) Tekintsük a 4. előadás elején tekintett következő példát: Egy estélyen megjelenik n házaspár. Egy táncmester, aki nem tudja, hogy kik házastársak és kik nem, véletlen módon párba rendezi a férfiakat és nőket a tánc előtt. Számoljuk ki az egymással táncoló házaspárok számának a várható értékét és szórásnégyzetét. Mi ezek határértéke, ha n → ∞? Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ n, valószínűségi változókat: ξ_{j} = 1, ha a j-ik házaspár együtt táncol, és ξ_{j} = 0, ha nem táncolnak együtt. Ekkor min-

ket az S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j} valószínűségi változó várható értéke és szórásnégyzete érdekel.

Ennek kiszámítása érdekében vegyük észre, hogy P (ξ_{j} = 1) = 1 − P (ξ_{j} = 0) = \frac{1}{n} minden 1 ≤ j ≤ n indexre, és P (ξ_{j} = 1, ξ_{k} = 1) = \frac{1}{n(n−1)} minden 1 ≤ j, k ≤ n, j ≠ k indexre. Innen Eξ_{j} = Eξ_{j}^{2} = \frac{1}{n}, 1 ≤ j ≤ n, Eξ_{j}ξ_{k} = \frac{1}{n(n−1)}, ha j ≠ k, Var ξ_{j} = \frac{1}{n} − \frac{1}{n^{2}} , és Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k} = \frac{1}{n(n−1)} − \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{n^{2}(n−1)}, ha

j ≠ k. Ezért ES_{n} = ∑_{j=1}^{n} Eξ_{j} = 1, Var S_{n} = ∑_{j=1}^{n} Var ξ_{j} + 2 ∑_{1≤j<k≤n} Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) =

n (\frac{1}{n} − \frac{1}{n^{2}} )+n(n−1)\frac{1}{n^{2}(n−1)} = 1. Ezért mind a várható érték mind a szórásnégyzet határértéke 1, ha n → ∞.

3.) Feldobunk egy dobókockát, majd ezután egy szabályos pénzdarabot annyi alkalommal, amennyi a kockadobás eredménye volt. (Az egyes dobások eredményei függetlenek egymástól.) Számoljuk ki a fejdobások számának várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j,k}, 1 ≤ j ≤ 6, 1 ≤ k ≤ j, valószínűségi változókat:

ξ_{j,k}(ω) = \{ \begin{matrix}1 & ha a kockadobás eredménye j és a k-ik pénzdobásé fej \\ 0 & ha a kockadobás eredménye j és a k-ik pénzdobásé írás \\ 0 & ha a kockadobás eredménye nem j \end{matrix}

Ekkor minket az S = ∑_{j=1}^{6} ∑_{k=1}^{j} ξ_{j,k} valószínűségi változó várható értéke és szórás-

négyzete érdekel. Vegyük észre, hogy

Eξ_{j,k} = P (a kockadobás eredménye j, a k-ik pénzdobásé fej) = \frac{1}{12},

Eξ_{j,k}^{2} = \frac{1}{12}, Var ξ_{j,k}^{2} = \frac{11}{144}, Eξ_{j,k}ξ_{j,k′} = \frac{1}{24}, ha k ≠ k′, ahonnan Cov (ξ_{j,k}, ξ_{j,k′}) = \frac{5}{144} ebben az esetben. Továbbá Eξ_{j,k}ξ_{j′,k′} = 0, Cov (ξ_{j,k}, ξ_{j′,k′}) = −\frac{1}{144}, ha j ≠ j′

(függetlenül a k és k′ számok viszonyától. Innen, ES = ∑_{j=1}^{6} ∑_{k=1}^{j} Eξ_{j,k} = \frac{1+···+6}{12} =

\frac{21}{12} = \frac{7}{4}, és

Var S = ∑_{j=1}^{6} ∑_{k=1}^{j} Var ξ_{j,k} + ∑_{(j,k),(j′,k′): j≠j′ vagy k≠k′} Cov (ξ_{j,k}, ξ_{j′,k′}),

ahonnan Var S = \frac{11}{144}(1+⋯+6)−\frac{1·(21−1)+2·(21−2)+···6·(21−6)}{144}+\frac{5}{144}(2·1+3·2+⋯ 6·5). Ezt a képletet úgy kapjuk, hogy külön számoljuk azon Cov (ξ_{j,k}, ξ_{j′,k′}) mennyiségek hozadékát amelyekre j ≠ j′ és azután azokét, amelyekre j = j′, de k ≠ k′. Innen Var S = \frac{231−350+350}{144} = \frac{77}{48}.