\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

%\parskip=1pt plus 1pt
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat negyedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2007. febru\'ar 27.}

\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or mutatok egy olyan feladatot, amelyet viszonylag
k\"onnyen meg tudunk oldani az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'ason
megfogalmazott val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi
szita formula se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel.

\medskip
\item{} Egy est\'elyen megjelenik $n$ h\'azasp\'ar. Egy
t\'ancmester, aki nem tudja, hogy kik h\'azast\'arsak \'es kik nem,
v\'eletlen m\'odon p\'arba rendezi a f\'erfiakat \'es n\H{o}ket
a t\'anc el\H{o}tt. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
egyetlen h\'azasp\'ar sem t\'ancol egy\"utt? Mi ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a hat\'ar\'ert\'eke, ha $n\to\infty$?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $A_j$
esem\'enyeket:
$$
A_j=\text{a $j$-ik h\'azasp\'ar egy\"utt t\'ancol,}\quad 1\le j\le n.
$$
Ekkor minket a $P(\overline{A_1\cup\dots\cup A_{n}})=
1-P(A_1\cup\dots\cup A_{n})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Sz\'amoljuk ki a $P(A_1\cup\dots\cup A_{n})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szita formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ennek \'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy
a $P(A_{j_1}\cap \cdots\cap A_{j_k})=\frac{(n-k)!}{n!}$ azonoss\'ag
\'erv\'enyes minden lehets\'eges $1\le j_1<\cdots<j_k\le n$
sz\'am-$k$-asra. Ugyanis az \"osszes lehets\'eges
p\'arba\'all\'{\i}t\'asok sz\'ama $n!$, m\'{\i}g az olyan
p\'arba\'all\'{\i}t\'asok sz\'ama, amelyben a $j_1$-ik,
$j_2$-ik,\dots, $j_k$-ik h\'azasp\'ar egy p\'arba ker\"ul $(n-k)!$.
Ez\'ert a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szita
formul\'aban bevezetett $S_k$ mennyis\'eg \'ert\'eke
$S_k=\binom nk\frac{(n-k)!}{n!}=\frac1{k!}$ minden $1\le k\le n$
sz\'amra.

\item{} Innen ad\'odik, hogy a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $n$ h\'azasp\'ar eset\'en
$$
\align
P(\overline{A_1\cup \dots\cup A_{n}})&=1-P(A_1\cup\dots\cup A_{n}) \\
&=1-S_1+S_2+\cdots+(-1)^n S_n=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!},
\endalign
$$
ahonnan
$$
P(\overline{A_1\cup \dots\cup A_{n}})
=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}\to \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}
=\frac1e\quad \text{ ha } n\to\infty.
$$
Teh\'at nagy $n$ sz\'amra annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
egy h\'azasp\'ar sem fog egy\"utt t\'ancolni k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg
$\frac1e$.

\medskip
Egy m\'asik feladat, ahol a szita formula j\'ol alkalmazhat\'o.

\medskip
{\it Feladat:}

\medskip
\item{} Egy cornflake gy\'art\'o c\'eg minden dobozba betesz
egy kupont, \'es \"osszesen 10 k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H{o} kupont
haszn\'al. Mekkora annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind
a 10 kupont megkapja egy olyan v\'as\'arl\'o, aki 25 doboz
cornflake-et vesz?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_j$, $1\le j\le10$ azt az
esem\'enyt, hogy a $j$-ik kupont megkapta a v\'as\'arl\'o, \'es
$\bar A_j$ ennek az esem\'enynek a komplementer\'et. Ekkor a
$P\(\bigcapp_{j=1}^{10}A_j\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
kisz\'amolnunk. Viszont $P\(\bigcapp_{j=1}^{10}A_j\)=
1-P\(\bigcupp_{j=1}^{10}\bar A_j\)$, \'es
$P\(\bigcupp_{j=1}^{10}\bar A_j\)=\summ_{k=1}^{10}(-1)^kS_k$,
ahol
$S_k=\summ P(\bar A_{j_1}\cap\bar A_{j_2}\cap\cdots \cap\bar A_{j_k})$,
\'es a $\{j_1,\dots,j_k\}$ indexhalmaz a fenti szumm\'aban
az $\{1,\dots,10\}$ halmaz \"osszes $k$ elem\H{u} 
r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-b\'ol \'all.
\item{} Viszont
$P(\bar A_{j_1}\cap\bar A_{j_2}\cap\cdots \cap\bar A_{j_k})
=\(\frac{10-k}{10}\)^{25}$, annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a lehets\'eges 10 kuponb\'ol mind a 25 v\'as\'arl\'asn\'al
a $j_1$,\dots $j_k$ index\H{u} kuponokt\'ol
k\"ul\"onb\"oz\H{o} $10-k$ kupon valamelyik\'et kapjuk. Ez\'ert
$S_k=\binom{10}k \(\frac{10-k}{10}\)^{25}$ minden $1\le k\le10$
indexre $k=10$-re $S_k=S_{10}=0$, ahonnan
$P\(\bigcapp_{j=1}^{10}A_j\)=
\summ_{k=0}^9(-1)^k\binom{10}k\(1-\frac k{10}\)^{25}$.




\medskip
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szita formula
bizony\'{\i}t\'as\'at a kieg\'esz\'{\i}t\'esben fogom t\'argyalni.
Itt azt mutatom meg, hogy a kombinatorikus szita formula
egyszer\H{u}en levezethet\H{o} a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szita formul\'ab\'ol.

Ennek \'erdek\'eben tekints\"unk bizonyos $A_1,\dots,A_n$ v\'eges
halmazokat, \'es jel\"olj\"uk e halmazok uni\'oj\'at
$A=A_\cup\cdots\cup A_n$-nel. Legyen $A=\{x_1,\dots,x_N\}$ egy $N$
elem\H{u} halmaz, \'es vezess\"uk be azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, amelyben az $A$
halmaz elemeit v\'alaszthatjuk ki egyenletes eloszl\'assal.
R\'eszletesebben kifejtve, a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t defini\'aljuk: $\Omega=A$,
$\Cal A$ az $A$ halmaz \"osszes r\'eszhalmaz\'ab\'ol \'all\'o
$\sigma$-algebra, $P(\{x_j\})=\frac1N$ minden $1\le j\le N$
sz\'amra, ahonnan $P(B)=\frac{|B|}N$ minden $B\subset A$ halmazra.
Megmutatom, hogy a kombinatorikus szita formul\'at megkaphatjuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi szita formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ha
azt a most defini\'alt $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n az $A_1,\dots,A_n$ halmazokra alkalmazzuk.

Jel\"olj\"uk a kombinatorikus szita formul\'aban defini\'alt $S_j$,
$1\le j\le n$, \"osszegek megfelel\H{o}it a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
szita formul\'aban $\bar S_j$-vel. Ekkor ny\'{\i}lv\'an
$S_j=N\bar S_j$. Tov\'abb\'a, mivel $P(A)=1$, a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi szita formula azt adja, hogy
$S_1-S_2+S_3-\cdots +(-1)^{n+1}S_n=
N(\bar S_1-\bar S_2+\bar S_3-\cdots +(-1)^{n+1}\bar S_n)=NP(A)=N$,
\'es mivel $|A|=N$, ezt kellett bizony\'{\i}tanunk. A
kombinatorikus szita formul\'aban megfogalmazott
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-gek hasonl\'oan vezethet\H{o}k le
ezen \'all\'{\i}t\'asok megfelel\H{o}ib\H{o}l a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szita formul\'aban.

Megford\'{\i}tva, a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi
szita formula is egyszer\H{u}en levezethet\H{o} a kombinatorikus
szita formul\'ab\'ol. De ehhez sz\"uks\'eg\"unk van a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'es azok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek a fogalm\'ara \'es n\'eh\'any e fogalmakkal
kapcsolatos  fontos eredm\'enyre. Ez\'ert e levezet\'es
ismertet\'es\'et az el\H{o}ad\'as v\'eg\'ere halasztom.

\medskip\noindent
K\"ovetkez\H{o} t\'em\'ank a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik fontos eredm\'enye,
a Borel--Cantelli lemma. El\H{o}sz\"or inform\'alisan ismertetem,
hogy milyen probl\'ema vizsg\'alat\'aban jelent meg ez az eredm\'eny.

A k\'erd\'es a k\"ovetkez\H{o}: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos
esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen sok bek\"ovetkezik: a.) egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, b.) pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel? P\'eld\'aul mikor mondhatjuk egy
(vagy pozit\'{\i}v) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel azt, hogy v\'egtelen
sok olyan nap van, amelyikben valami j\'o k\"ovetkezik? Ez azt
jelenti, hogy b\'armely nap b\'{\i}zhatunk abban, hogy nem
m\'ult el az \"osszes olyan nap, amelyben valami j\'o t\"ort\'enik,
\'erdemes m\'eg \'elni.

A Borel--Cantelli lemm\'at megfogalmaz\'as\'anak \'es
bizony\'{\i}t\'as\'anak \'erdek\'eben \'erdemes
a halmazelm\'elet nyelv\'en megfogalmazni azt a t\'enyt, hogy
b\'{\i}zonyos esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen sok
k\"o\-vet\-ke\-zik be. Ez azt jelenti, hogy ha adva van v\'egtelen
sok  $A_1,A_2,\dots$ esem\'eny (halmaz) egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor azt az esem\'enyt, hogy
ezek k\"oz\"ul v\'egtelen sok k\"ovetkezik be defini\'alni
k\'{\i}v\'anjuk az $A_1,A_2,\dots$ esem\'enyek halmazelm\'eleti
f\"uggv\'enyek\'ent, azaz (megsz\'aml\'alhat\'o) uni\'o, metszet \'es
komple\-menter\-k\'ep\-z\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Ezt a feladatot megoldottuk kor\'abban, l\'asd a 2. el\H{o}ad\'as
7. feladat\'at. Eszerint a keresett esem\'eny
$\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k$ alakban adhat\'o
meg, \'es ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere vagyunk kiv\'ancsiak.
Err\H{o}l a k\'erd\'esr\H{o}l ad inform\'aci\'ot a Borel--Cantelli
lemma.

\medskip\noindent
{\bf Borel--Cantelli lemma.} {\it Legyen adva v\'egtelen sok
$A_1,A_2,\cdots$ esem\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. A k\"ovetkaz\H{o} k\'et
\'all\'{\i}t\'as igaz:
\item{a.)} Ha $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)<\infty$, akkor
$$
P\(\bigcapp_{n=1}^\infty \bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)=0,
$$
azaz ebben az esetben egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel csak
v\'eges sok $A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be.
\item{b.)} Ha $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$, \'es az $A_n$,
$n=1,2,\dots$, esem\'enyek f\"uggetlenek, akkor
$$
P\(\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)=1,
$$
azaz ebben az esetben egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen sok
sok $A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be.} \medskip

Teszek n\'eh\'any megjegyz\'est ezzel az eredm\'ennyel kapcsolatban.
Ha a $P(A_n)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek vi\-szony\-lag
kicsik, ami jelen esetben azt jelenti, hogy az \"osszeg\"uk
konvergens, akkor csak v\'eges sok $A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. A m\'asik ir\'any\'u
\'all\'{\i}t\'asban nemcsak azt k\"ovetelt\"uk meg, hogy az
esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei legyenek vi\-szony\-lag
nagyok, \"osszeg\"uk legyen divergens, hanem azt is, hogy az egyes
$A_n$ esem\'enyek legyenek f\"uggetlenek. Ebben az esetben viszont
er\H{o}sebb \'all\'{\i}t\'ast fogalmaztam meg. Nemcsak azt
\'all\'{\i}tottam, hogy ebben az esetben annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege hogy v\'egtelen sok $A_n$ esem\'eny
k\"ovetkezik be pozit\'{\i}v, hanem azt is, hogy ez
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg 1. Ha teh\'at az $A_n$ esem\'enyek
f\"uggetlenek, akkor csak k\'et lehet\H{o}s\'eg fordulhat el\H{o}.
Vagy nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\"ovetkezik be v\'egtelen
sok $A_n$ esem\'eny (ha a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \"osszege
konvergens) vagy pedig egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel (ha a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \"osszege divergens). K\"ozb\"uls\H{o}
lehet\H{o}s\'eg nincs.

A b) esetben megfogalmazott eredm\'enyben az $A_n$ esem\'enyek
f\"uggetlens\'ege nagyon fontos felt\'etel. Ezt a felt\'etelt lehet
gyeng\'{\i}teni, de teljesen elhagyni nem lehet. Ezt mutatja az
al\'abbi k\'et p\'elda:

Legyen az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} a
$[0,1]$ intervallum, rajta a Borel m\'erhet\H{o} halmazok
$\sigma$-algebr\'aja, \'es a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek a Lebesque m\'ert\'ek.

\medskip
\item{} {\it 1. p\'elda.}\/ Legyen $A_n=\[0,\frac12\]$  minden
$n=1,2,\dots$, sz\'amra. Ekkor $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$,
$\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k=\[0,\frac12\]$,
ez\'ert
$P\(\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)=\frac12$.
\item{} {\it 2. p\'elda.}\/ Legyen $A_n=\(0,\frac1n\)$,
$n=1,2,\dots$. Ekkor
$\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\summ_{j=1}^\infty \frac1n=\infty$,
$\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k=\emptyset$, ez\'ert
$P\(\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)=0$.
\medskip
Az els\H{o} p\'eld\'aban egy olyan esetet l\'attunk, amelyben annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy v\'egtelen sok $A_n$ k\"ovetkezik be,
$\frac12$, teh\'at sem nem nulla sem nem 1. A m\'asodik p\'eld\'aban
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok $A_n$ esem\'eny
k\"ovetkezett be, noha a $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$
rel\'aci\'o teljes\"ult. Term\'eszetesen egyik p\'eld\'aban sem voltak
a tekintett $A_n$ esem\'enyek f\"ug\-get\-le\-nek. Ezek a p\'eld\'ak
mutatj\'ak, hogy a Borel--Cantelli t\'etel b) r\'esz\'eben
szerepl\H{o} f\"uggetlens\'eg felt\'etel l\'enyeges. Az
gyeng\'{\i}thet\H{o} ugyan, de teljesen el nem hagyhat\'o.

R\'at\'erek a Borel--Cantelli lemma bizony\'{\i}t\'as\'ara. A
bizony\'{\i}t\'ashoz sz\"uks\'eg\"unk van a k\"ovetkez\H{o} lemm\'ara,
amelynek \'all\'{\i}t\'as\'at tartalmazza a 2. el\H{o}ad\'as
14. oldal\'an megfogalmazott T\'etel~A.

\medskip\noindent
{\bf Lemma a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
folytonoss\'ag\'ar\'ol.} {\it Legyen adva $B_1\subset B_2\subset
\cdots$, $B_n\in\Cal A$, $n=1,2,\dots$, esem\'enyeknek n\"ovekv\H{o}
sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.
Legyen $B=\bigcupp_{n=1}^\infty B_n$. Ekkor l\'etezik a
$\limm_{n\to\infty}P(B_n)$ hat\'ar\'ert\'ek, \'es
$\limm_{n\to\infty}P(B_n)=P(B)$.

Legyen adva $C_1\supset C_2\supset \cdots$, $C_n\in\Cal A$.
$n=1,2,\dots$, esem\'enyeknek cs\"okken\H{o} sorozata egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Legyen
$C=\bigcapp_{n=1}^\infty C_n$. Ekkor l\'etezik a
$\limm_{n\to\infty}P(C_n)$ hat\'ar\'ert\'ek, \'es
$\limm_{n\to\infty}P(C_n)=P(C)$.}

\medskip\noindent
{\it A Borel--Cantelli lemma bizony\'{\i}t\'asa.} Az a.) r\'esz
bizony\'{\i}t\'asa:
$$
P\(\bigcapp_{n=1}^\infty \bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)\le
P\(\bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)\le
\sum_{k=n}^\infty P\(A_k\) \quad \text{minden $n$ sz\'amra.}
$$
Mivel $\summ_{k=1}^\infty P\(A_k\)<\infty$, minden $\e>0$ sz\'amhoz
l\'etezik olyan $n=n(\e)$ sz\'am, hogy $\summ_{k=n}^\infty P\(A_k\)<\e$,
ahonnan az el\H{o}z\H{o} rel\'aci\'o szerint
$P\(\bigcapp_{n=1}^\infty \bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)\le \e$.
Innen k\"o\-vet\-ke\-zik az a.) r\'esz \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
A b.) r\'esz bizony\'{\i}t\'asa: Az el\H{o}bbi lemma szerint a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek folytonoss\'ag\'ar\'ol kapjuk,
hogy az $A_n$ halmazok f\"uggetlens\'ege miatt
$$
\align
P\(\bigcapp_{n=1}^\infty \bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)
&=\limm_{N\to\infty} P\(\bigcupp_{k=N}^\infty A_k\)
=\limm_{N\to\infty}\[\limm_{M\to\infty} P\(\bigcupp_{k=N}^M A_k\)\] \\
&=\limm_{N\to\infty}\[\limm_{M\to\infty}\(1-P\(\bigcapp_{k=N}^M
(\Omega\setminus A_k)\)\)\] \\
&=\limm_{N\to\infty}\[\limm_{M\to\infty}\(1-\prod_{k=N}^M
\(1-P(A_k)\)\)\].
\endalign
$$
Ez\'ert el\'eg bel\'atni, hogy minden r\"ogz\'{\i}tett $N$ sz\'amra
$\limm_{M\to\infty}\prodd_{k=N}^M \(1-P(A_k)\)=0$, ha
$\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$. Viszont az $1-x\le e^{-x}$
egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$\prodd_{k=N}^M\(1-P(A_k)\)\le\exp\left\{-\summ_{k=N}^M
P(A_k)\right\}$, ahonnan $\limm_{M\to\infty}\prodd_{k=N}^M
\(1-P(A_k)\)=0$, ha $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$.

A felhaszn\'alt $1-x\le e^{-x}$ egyenl\H{o}tlens\'eg p\'eld\'aul a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon l\'athat\'o: Az $f(x)=e^x$ f\"uggv\'eny
konvex, $f(0)=1$, $f'(0)=1$. Az $f(x)=e^x$ f\"uggv\'eny konvexit\'asa
miatt e f\"uggv\'eny $(0,f(0))$ ponton \'atmen\H{o} \'erint\H{o}je
minden val\'os $x$-re a az $f(x)$  f\"uggv\'eny alatt van, azaz
$e^x\ge x+1$. Az $x$ sz\'am helyett $-x$-et \'{\i}rva megkapjuk a
k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Az anal\'{\i}zisben bizony\'{\i}tj\'ak \'es
haszn\'alj\'ak a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt: Adva $x_n$ val\'os
sz\'amoknak olyan sorozata, amelyre $0\le x_n<1$ minden $n=1,2,\dots$,
sz\'amra $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)>0$, ha $\summ_{k=1}^\infty
x_k<\infty$, \'es $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)=0$, ha
$\summ_{k=1}^\infty x_k=\infty$. B\'ar nek\"unk erre nem lesz
sz\"uks\'eg\"unk, az el\H{o}ad\'as kieg\'esz\'{\i}t\'es\'eben megadom
ennek a formul\'anak el\H{o}bb heurisztikus indokl\'as\'at majd
prec\'{\i}z bizony\'{\i}t\'as\'at, mivel ez tanuls\'agos.
\medskip

\beginsection Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'es azok f\"uggetlens\'ege

El\H{o}sz\"or bevezettem a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
fogalm\'at.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fogalma.} {\it
Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}. Egy ezen a t\'eren \'ertelmezett val\'os \'ert\'ek\H{u}
(m\'erhet\H{o}) $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak fogunk nevezni. Azaz $\xi$ az $\Omega\to R^{1}$
lek\'epez\'es. Az a megk\"ot\'es, hogy a f\"uggv\'eny legyen
m\'erhet\H{o} azt jelenti, hogy minden $x$ val\'os sz\'amra az
$\{\oo\colon\; \xi(\oo)<x\}\in \Cal A$ felt\'etel teljes\"ul.

Id\H{o}nk\'ent hasznos nemcsak val\'os \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'or\'ol besz\'elni,
hanem kiss\'e \'altal\'anosabban olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat defini\'alni, amelyek
\'ert\'ekeiket egy \'al\-ta\-l\'a\-nos t\'eren veszik fel.
(P\'eld\'aul bizonyos esetekben \'erdemes olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-kat tekinteni, amelyek
\'ert\'eke komplex sz\'am, vagy nem egyetlen sz\'am, hanem egy
sz\'am-$n$-es. Az ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
vektor \'ert\'ek\H{u}nek szokt\'ak h\'{\i}vni.) Annak \'erdek\'eben,
hogy ezt megtehess\"uk tekints\"unk valamilyen $X$ halmazt, \'es e
halmaz kit\"untetett r\'esz\-hal\-ma\-zai\-nak $\Cal X$
osz\-t\'a\-ly\'at, amelyek $\sigma$-algebr\'at alkotnak. Egy az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt
$X$ t\'erbeli \'ert\'ekeket felvev\H{o} (m\'erhet\H{o})
f\"uggv\'enyt $X$-t\'er \'ert\'ek\H{u}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'o\-nak ne\-ve\-z\"unk.
Az, hogy ez a f\"uggv\'eny m\'erhet\H{o} azt jelenti, hogy minden
$Y\in\Cal X$ halmazra az $\{\oo\colon\; \xi(\oo)\in Y\}\in\Cal A$
felt\'etel teljes\"ul.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ L\'attuk, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok (sz\'ep, azaz m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'enyeket jelentenek.
Az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg a kor\'abban haszn\'alt f\"uggv\'enyek \'es
a most bevezetett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"ott
abban \'all, hogy most egy  \'altal\'anosabb t\'eren, egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} $\Omega$
halmaz\'an \'es nem felt\'etlen\"ul a sz\'amegyenesen
\'ertelmezett f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket tekint\"unk. Ez egyben azt is
jelenti, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal ugyan\'ugy
sz\'a\-mol\-ha\-tunk, mint ahogy azt eddig f\"uggv\'enyekkel tett\"uk.
\medskip
Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy mi\'ert vezett\"uk be azt a
mesterk\'eltnek t\H{u}n\H{o} felt\'etelt, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o legyen {\it m\'erhet\H{o}}\/
f\"uggv\'eny. Az\'ert, mert term\'eszetes k\'{\i}v\'ans\'ag az,
hogy legyen \'ertelme annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l
besz\'elni, hogy az $\{\oo\colon\; \xi(\oo)<x\}$ esem\'eny
be\-k\"o\-vet\-ke\-zett. Viszont csak $\Cal A$-beli halmazoknak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l tudunk besz\'elni. Term\'eszetes
enn\'el is t\"obbet kiv\'anni, nevezetesen azt, hogy a sz\'amegyenes
minden ,,sz\'ep'' $B$ halmaz\'ara az $\{\oo\colon\; \xi(\oo)\in B\}$
halmaz legyen a $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'aban, azaz legyen
\'ertelme ennek az esem\'enynek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l is besz\'elni. A
m\'ert\'ekelm\'eletben bel\'att\'ak, hogy amennyiben
a sz\'am\-egye\-nes Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazait tekintj\"uk
sz\'ep halmazoknak, akkor a m\'erhet\H{o}s\'eg \'altalunk
megk\"ovetelt felt\'eteleib\H{o}l k\"ovetkezik ez az er\"osebb
tulajdons\'ag is.

A fenti \'ervel\'es azt mutatja, hogy a m\'erhet\H{o}s\'eg
megk\"ovetel\'ese term\'eszetes. M\'asr\'eszt tov\'abbi eredm\'enyek
azt is mutatj\'ak, hogy minden ,,defini\'alhat\'o" f\"uggv\'eny egyben
m\'erhet\H{o} is, ez\'ert ennek a tulajdons\'agnak a megk\"ovetel\'ese
nem jelent igazi megszor\'{\i}t\'ast, a tov\'abbiakban
megfeledkezhet\"unk r\'ola. Az \'altal\'anos terekben \'ertelmezett
m\'er\-he\-t\H{o}\-s\'eg\-r\H{o}l hasonl\'ot mondhatunk. \'Erdemes
megjegyezni, hogy b\'ar form\'alisan a val\'os \'es \'altal\'anos
t\'erbeli f\"uggv\'eny m\'erhet\H{o}s\'eg\'et m\'ask\'epp
defini\'altuk ez a k\"ul\"onbs\'eg csak l\'at\-sz\'o\-la\-gos.
Vezess\"uk be a sz\'amegyenesen a Borel m\'erhet\H{o} halmazok $\Cal B$
$\sigma$-algebr\'aj\'at, \'es t\'ars\'{\i}tjuk a sz\'amegyenest
ezzel a $\sigma$-algebr\'aval. Ekkor a val\'os \'ert\'ek\H{u}
m\'erhet\H{o} f\"ugg\-v\'e\-nyek\-nek az \'altal\'anos esetbeli
definici\'oja az $(X,\Cal X)=(R,\Cal B)$ v\'alaszt\'assal megegyezik
a val\'os \'ert\'ek\H{u} m\'erhet\H{o} f\"uggv\'enyek eredeti
definici\'oj\'aval.

\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'es azok eloszl\'asa.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n diszkr\'etnek vagy diszkr\'et eloszl\'as\'unak h\'{\i}vunk,
ha megadhat\'o egy v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen
sz\'amoss\'ag\'u $x_1,x_2,\cdots$, halmaz \'ugy, hogy az
$\{\oo\colon\; \xi(\oo)=x_n\}$, $n=1,2,\dots$, halmazok teljes
esem\'enyrendszert alkotnak. Egy diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at meghat\'arozz\'ak
azok az $x_1,x_2,\dots$, \'ert\'ekek amelyeket az felvesz \'es a
$p_n=P(\xi=x_n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek. (Jegyezz\"uk meg, hogy
$\summ_n P(\xi=x_n)=1$.)

Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ disz\-kr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, amelyek valamilyen
$x_1,x_2,\dots$ \'er\-t\'e\-ke\-ket vesznek fel. Ezek egy\"uttes
eloszl\'as\'at meghat\'arozz\'ak a $P(\xi_1=x_{j_1},
\xi_2=x_{j_2},\dots,\xi_k=x_{j_k})$, $j_s=1,2,\dots$, $1\le s\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek.}

\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ disz\-kr\'et
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.
Vegyenek fel ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
valamely $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket. Azt mondjuk, hogy a
$\xi_1$, $\xi_2$,\dots, $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, ha
$$
P\(\xi_1=x_{j_1},\xi_2=x_{j_2},\dots,\xi_k=x_{j_k}\)=
P\(\xi_1=x_{j_1}\)P\(\xi_2=x_{j_2}\)\cdots P\(\xi_k=x_{j_k}\)
$$
minden $j_s=1,2,\dots$, $1\le s\le k$, indexre.}

\medskip \noindent
{\it 1. Megjegyz\'es.}\/ A fenti definici\'oban feltett\"uk, hogy a
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
amelyeknek az egy\"uttes eloszl\'as\'at vagy f\"uggetlens\'eg\'et
defini\'altuk ugyanazokat az \'er\-t\'e\-ke\-ket veszik fel. Ez
azonban nem jelent megszor\'{\i}t\'ast. Ugyanis, ha  egyes\'{\i}tj\"uk
ezen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
\'ert\'ekk\'eszlet\'et, akkor \'ujra legfeljebb megsz\'aml\'alhat\'o
sz\'amoss\'ag\'u halmazt kapunk, \'es mondhatjuk, hogy az egyes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ezen halmazb\'ol veszik fel
az \'ert\'ekeitket. Lehets\'eges, hogy ily m\'odon sok nulla
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi esem\'enyt is bevezett\"unk, de ez nem okoz
probl\'em\'at.

\medskip \noindent
{\it 2. Megjegyz\'es.}\/ Annak, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oknak az eloszl\'as\'at defini\'altuk m\'elyebb oka van. A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban olyan probl\'em\'akkal
foglalkozunk, amelyek csak att\'ol f\"uggnek, hogy k\"ul\"onb\"oz\H{o}
esem\'enyeknek mennyi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\"uk,
k\"ul\"onb\"oz\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok
milyen \'ert\'eket milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesznek fel.
Arra vagyunk ki\-v\'an\-csiak, hogy ezen ismereteknek milyen
k\"ovetkezm\'enyei vannak. Viszont a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-\'as\-ban vizsg\'alt
k\'erd\'esekre adott v\'alasz nem f\"ugg att\'ol, hogy milyen
v\'eletlen hat\'asok v\'altott\'ak ki a megfigyelt v\'eletlen
eredm\'enyeket, azaz milyen az a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o},
amelyben a vizsg\'alt esem\'enyek \'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok megjelentek. Ez az oka annak, hogy minket igaz\'ab\'ol
nem maguk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, hanem azok
(egy\"uttes) eloszl\'asa \'erdekel.

Megfogalmazok egy viszonylag egyszer\H{u}, de hasznos \'all\'{\i}t\'ast.

\medskip\noindent
{\bf Lemma f\"uggetlen diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok tulajdons\'agair\'ol.}
{\it Legyenek adva $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen, diszkr\'et
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n,
melyek valamilyen $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel. Legyenek
$A_1\subset \{x_1,x_2,\dots\},A_2\subset \{x_1,x_2,\dots\},\dots,
A_k\subset \{x_1,x_2,\dots\}$ tetsz\H{o}leges halmazok. Ekkor
$$
P\(\xi_1\in A_1,\xi_2\in A_2,\dots,\xi_k\in A_k\)=
P\(\xi_1\in A_1\)P\(\xi_2\in A_2\)\cdots P\(\xi_k\in A_k\).
$$
Speci\'alisan, ekkor tetsz\H{o}leges $\{j_1,\dots,
j_s\}\subset\{1,\dots,k\}$ indexhalmazra a $\xi_{j_1},\dots,\xi_{j_s}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.}

\medskip\noindent
 {\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A f\"uggetlens\'eg miatt
$$
\align
&P\(\xi_1\in A_1,\xi_2\in A_2,\dots,\xi_k\in A_k\)\\
&\qquad=\summ_{x_1\in A_1}\summ_{x_2\in A_2}\cdots\summ_{x_k\in A_k}
P\(\xi_1=x_1,\xi_2= x_2,\dots,\xi_k=x_k\)\\
&\qquad=\summ_{x_1\in A_1}\summ_{x_2\in A_2}\cdots\summ_{x_k\in A_k}
P\(\xi_1=x_1)P(\xi_2=x_2)\cdots P(\xi_k=x_k\).
\endalign
$$
M\'asr\'eszt
$$
\align
&P\(\xi_1\in A_1\)P\(\xi_2\in A_2\)\cdots P\(\xi_k\in A_k\)\\
&\qquad=\summ_{x_1\in A_1} P\(\xi_1=x_1\) \summ_{x_2\in A_2}
P\(\xi_2=x_2\) \cdots\summ_{x_k\in A_k} P\(\xi_k=x_k\).
\endalign
$$
Elv\'egezve a beszorz\'asokat megkapjuk a lemma els\H{o}
\'all\'{\i}t\'as\'at.

A lemma m\'asodik \'all\'{\i}t\'as\'at megkapjuk az els\H{o}
\'all\'{\i}t\'as speci\'alis
esetek\'ent $A_{j_u}=\{x_{j_u}\}$, $1\le u\le s$ \'es
$A_j=\{x_1,x_2,\dots\}$, $u\in \{1,\dots,k\}\setminus \{j_1,\dots,
j_s\}$ v\'alaszt\'assal.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ F\"uggetlen, diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eredeti definici\'oja
er\H{o}\-sen kihaszn\'alta azt, hogy diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol besz\'el\"unk.
P\'eld\'aul, ha olyan $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol besz\'el\"unk,
amelyek egy pontnak az egy\-s\'eg\-inter\-val\-lum\-ra t\"ort\'en\H{o}
egyenletes eloszl\'as\'u v\'eletlen ledob\'as\'at \'{\i}rj\'ak le,
akkor a te\-kin\-tett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
teljes\'{\i}tik a $P(\xi_j=x)=0$ rel\'aci\'ot. Ilyen esetben a
diszkr\'et eloszl\'asok f\"uggetlens\'eg\'et megad\'o definici\'o
mind\"ossze a $0=0$ se\-mmit\-mon\-d\'o fel\-t\'e\-telt \'{\i}rja
el\H{o}. Ez\'ert az \'altal\'anos esetben m\'as, tartalmasabb
k\"ovetelm\'enyt kell tal\'alnunk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek a jellemz\'es\'ere. Az
el\H{o}z\H{o} lemma \'all\'{\i}t\'asa su\-gall egy ilyen
definici\'ot. B\'ar bizonyos k\'enyelmi okok miatt kiss\'e m\'as
definici\'ot fogunk megadni, ki fog der\"ulni, hogy az ekvivalens
az e lemma eredm\'enye \'altal sugallt definici\'oval.

\medskip
\'Erdemes meg\'erteni esem\'enyek \'es diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-len\-s\'e\-ge
k\"oz\"otti kapcsolatot. Ennek \'erdek\'eben bevezetem egy halmaz
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a fogalm\'at. Lehet,
hogy ezt az egyszer\H{u} \'es term\'eszetes fogalmat
anal\'{\i}zis ta\-nul\-m\'a\-nya\-ik\-ban is bevezett\'ek, de
ott val\'osz\'{\i}n\H{u}leg a karakterisztikus f\"uggv\'eny
elnevez\'est haszn\'alt\'ak. Ez az elnevez\'es term\'eszetes. Mi
m\'egsem ezt haszn\'aljuk, mert a
val\-\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban ez
a kifejez\'es m\'ar foglalt; egy eg\'eszen m\'as fogalmat illetnek
ezzel a n\'evvel.

\medskip \noindent
{\bf Halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it
Legyen adva egy $A\in \Cal A$ esem\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Az $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'en azt a $\chi_A(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \'ertj\"uk, amelyre
$\chi_A(\oo)=1$, ha $\oo\in A$, \'es $\chi_A(\oo)=0$, ha
$\oo\notin A$.}

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} lemma \'erv\'enyes.

\medskip\noindent
{\bf Lemma esem\'enyek \'es azok indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek
kapcsolat\'ar\'ol.} {\it Legyenek  $A_1$,\dots, $A_k$ esem\'enyek
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
mez\H{o}n. Az $A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek akkor \'es csak akkor
f\"uggetlenek, ha azok $\chi_{A_1}(\oo),\dots,\chi_{A_k}(\oo)$
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nyei f\"uggetlenek.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Ha a
$\chi_{A_1}(\oo),\dots,\chi_{A_k}(\oo)$
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nyek f\"uggetlenek, akkor ezek
tetsz\H{o}leges r\'eszhalmaza is f\"uggetlen az el\H{o}z\H{o} lemma
eredm\'enye szerint. Ez\'ert minden $\{j_1,\dots,j_s\}
\subset\{1,\dots,k\}$ indexhalmazra
$$
\align
P\(A_{j_1}\cap\cdots\cap
A_{j_s}\)&=P\(\chi_{A_{j_1}}=1,\dots,\chi_{A_{j_s}}=1\)\\
&=P\(\chi_{A_{j_1}}=1\)\cdots P\(\chi_{A_{j_s}}=1\)
=P\(A_{j_1}\)\cdots P\(A_{j_s}\).
\endalign
$$

Ha az $A_1,\dots, A_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek, akkor egyes $A_j$
esem\'enyeket azok komplementer\'evel helyettes\'{\i}tve ism\'et
f\"uggetlen esem\'enyeket kapunk. Fel\'{\i}rva minden ilyen
rel\'aci\'ot, megkapjuk az \"osszes olyan azonoss\'agot, amelyet
a $\chi_{A_1}(\oo),\dots,\chi_{A_k}(\oo)$
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nyeknek teljes\'{\i}teni\"uk kell,
ha azok f\"uggetlenek.
\medskip

Ugyancsak hasznos bizonyos esetekben a k\"ovetkez\H{o} lemma 
\'all\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l}$
diszkr\'et \'ert\'ek\H{u}, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'al\-to\-z\'ok, $f(x_1,\dots,x_k)$ egy $k$ v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, 
\'es defini\'aljuk az $\eta=f(\xi_1,\dots,\xi_k)$ 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi  v\'altoz\'ot. Ekkor 
$\eta,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})$ f\"uggetlen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ R\"ogz\"{\i}ts\"unk egy $y$ sz\'amot, \'es
vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $B=B(y)$ halmazt. 
$B=\{(x_1,\dots,x_k)\colon\; x_j\in X,\;1\le j\le k,
\;f(x_1,\dots,x_k)=y\}$. Ekkor
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&P(\eta=y,x_{k+1}=x_{k+1},\dots,x_{k+l}=x_{k+l}) \\
&\qquad=\sum_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k,x_{k+1}=x_{k+1},\dots,x_{k+l}=x_{k+l})\\
&\qquad =\sum_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
P(\xi_1=x_1)\cdots P(\xi_k=x_k)P(x_{k+1}=x_{k+1})\cdots P(x_{k+l}=x_{k+l})\\
&\qquad =P(\eta=y) P(x_{k+1}=x_{k+1})\cdots P(x_{k+l}=x_{k+l}),
\endalign
$$
\'es ezt kellett bel\'atni.
\medskip
T\'argyalom a k\"ovetkez\H{o} feladatot.

\medskip
{\it Feladat.}
\medskip
\item{} V\'eletlen\"ul megh\'{\i}vunk 30 embert. Tegy\"uk fel, hogy az
egyes embereknek egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul van sz\"ulet\'esnapjuk,
\'es minden ember eset\'eben $\frac1{365}$ annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az \'ev valamely napj\'an
sz\"uletett. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van k\'et
ember a t\'arsas\'agban, akiknek ugyanaznap van a sz\"ulet\'esnapjuk?
\item{} \'Altal\'anosabban, van $n$ urna, amelyekbe bedobunk
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $k$ goly\'ot \'ugy, hogy mindegyik
goly\'o egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik az egyes urn\'akba.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van olyan urna amelybe
legal\'abb k\'et goly\'o esik? \'Erdekel minket tov\'abb\'a ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a viselked\'ese, ha mind az $n$ mind a
$k$ sz\'am nagy, \'es a $k=k(n)$ sz\'amnak megfelel\H{o} a
nagys\'agrendje. L\'assuk be, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek van hat\'ar\'ert\'eke,
ha $n\to \infty$, $\frac k{\sqrt n}\to\alpha$ valamilyen
$0\le \alpha<\infty$ sz\'ammal, \'es hat\'arozzuk meg ezt a
hat\'ar\'ert\'eket.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hogy a $j$-ik embernek az
\'ev hanyadik napj\'an van a sz\"ulet\'esnapja. Ekkor
a $\xi_j$, $1\le j\le 30$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, $P\(\xi_j=l\)=\frac1{365}$, $1\le j\le 30$, $1\le l\le
365$, \'es $P(\xi_j\neq \xi_j'\;\text{ha }j\neq j')$
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mindenkinek
k\"ul\"onb\"oz\H{o} nap van a sz\"ulet\'esnapja.
Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg viszont
$$
\frac{365\cdot 364\cdots(365-30+1)}{365^k}
=\prod_{j=1}^{29}\(1-\frac j{365}\),
$$
mert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} ember
sz\"ulet\'esnapja az $l_1$-ik, a m\'asodik\'e az $l_2$-ik \'es
\'{\i}gy tov\'abb a $k$-ik ember sz\"ulet\'esnapja az $l_k$-ik napon
van $\frac1{365^k}$, tetsz\H{o}leges $1\le l_j\le 365$, $1\le j\le 30$
sz\'amok eset\'en, \'es ezeket a sz\'amokat $\prodd_{j=0}^{k-1}(365-j)$
m\'odon v\'alaszthatjuk \'ugy, hogy mindegyik $l_j$ sz\'am
k\"ul\"onb\"oz\H{o} legyen. \'Igy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy van k\'et ember akinek ugyanazon a napon van a sz\"ulet\'esnapja
$1-\prodd_{j=1}^{29}\(1-\frac j{365}\)$.
\item{} Hasonl\'oan, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ha $k$
goly\'ot dobunk $n$ urn\'aba az adott m\'odon, akkor van olyan urna,
amelyikbe legal\'abb k\'et goly\'o esik $1-\prodd_{j=1}^{k-1}\(1-\frac
jn\)$. Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est a
$\log\prodd_{j=1}^{k-1}\(1-\frac jn\)=\summ_{j=1}^{k-1}\log\(1-\frac
jn\)$ kifejez\'esre, ha $n\to\infty$, $\frac{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$.
Heurisztikus \'ervel\'es szerint mivel $\log\(1-\frac jn\)\sim-\frac
jn$ a $\log(1+x)$ f\"uggv\'eny Taylor sorfejt\'ese szerint, ez\'ert
$\summ_{j=1}^{k-1}\log\(1-\frac jn\)\sim -\summ_{j=1}^{k-1}\frac
jn=-\frac{(k-1)k}{2n}$, ahonnan $\log\prodd_{j=1}^{k(n)-1}\(1-\frac
jn\)\to-\frac{\alpha^2}2$, ha $n\to\infty$, \'es $\frac
{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$. Ez a sz\'amol\'as precizz\'e tehet\H{o}, ha
felhaszn\'aljuk p\'eld\'aul azt az egyenl\H{o}tlens\'eget, amely
szerint
$$
\left|\log\(1-\frac jn\)+\frac jn\right|\le
\frac{2j^2}{n^2}\le\frac{\const}n,\quad\text{ha
} n \text{ el\'eg nagy \'es }\frac j{\sqrt n}\le\alpha+1,
$$
ami szint\'en k\"ovetkezik a $\log(1+x)$ Taylor sorfejt\'es\'eb\H{o}l.
Innen azt kapjuk, hogy $1-\prodd_{j=1}^{k(n)-1}\(1-\frac jn\)\to
1-e^{-\alpha^2/2}$, ha $n\to\infty$, \'es
$\frac{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$.

\medskip\noindent
K\"ovetkez\H{o} t\'em\'ank a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik legfontosabb fogalm\'ahoz, a v\'arhat\'o \'er\-t\'ek\-hez
kapcsol\'odik. El\H{o}sz\"or, a jobb meg\'ert\'es \'erdek\'eben csak
diszkr\'et eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et vezetem be. T\'argyalom annak
legfontosabb tu\-laj\-don\-s\'a\-gait. Nagyon fontos, hogy meg\'erts\"uk
j\'ol azokat a feladatokat, amelyek arr\'ol sz\'olnak, hogy hogyan
tudjuk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et effekt\'{\i}ve ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-tani.

\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke.} {\it Legyen $\xi$ diszkr\'et
el\-osz\-l\'a\-s\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o,
amely $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesz fel $p_k=P(\xi=x_k)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel, $k=1,2,\dots$,
$\summ_{k=1}^\infty P(\xi=x_k)=1$. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke az
$$
E\xi=\sum_{k=1}^\infty x_k P(\xi=x_k)
$$
\"osszeg, felt\'eve hogy ez az \"osszeg abszolut konvergens. Ha
ez az \"osszeg nem abszolut konvergens, akkor nem defini\'aljuk
az $E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.}

\medskip\noindent
{\it 1. Megjegyz\'es.}\/ Most \'es a tov\'abbiakban az egyszer\H{u}bb
\'es egys\'egesebb jel\"ol\'es \'erdek\'eben feltessz\"uk, hogy a
diszkr\'et eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
(megsz\'aml\'alhat\'oan) v\'egtelen sok \'ert\'eket vesz fel. Ez nem
jelent megszor\'{\i}t\'ast, mert ha $\xi$ csak v\'eges sok \'ert\'eket
vesz fel, akkor is feltehetj\"uk, hogy ezenk\'{\i}v\"ul m\'eg felvesz
v\'egtelen sok \'ert\'eket nulla va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel.

\medskip\noindent
{\it 2. Megjegyz\'es.}\/ A v\'arhat\'o \'ert\'eket az angol {\it
expectation}\/ sz\'o kezd\H{o}bet\H{u}j\'evel az $E$ bet\H{u}vel
jel\"olj\"uk. Manaps\'ag ez a legelterjedtebb jel\"ol\'es, b\'ar
haszn\'alj\'ak az $M$ bet\H{u}t is a n\'emet {\it mathematischer
Mittelwert}\/ sz\'o alapj\'an.

\medskip\noindent
{\it Eml\'ekeztet\H{o}.}\/ Azt mondjuk, hogy a $\summ_{n=1}^\infty
y_n$ sor abszolut konvergens, ha nemcsak a $\summ_{n=1}^\infty y_n$,
hanem a $\summ_{n=1}^\infty |y_n|$ sor is konvergens, azaz
$\summ_{n=1}^\infty |y_n|<\infty$. Ha csak a $\summ_{n=1}^\infty y_n$
sor konvergens, \'es a $\summ_{n=1}^\infty |y_n|$ sor divergens, akkor
felt\'etelesen konvergens sorr\'ol besz\'el\"unk.

Id\'ezz\"unk fel n\'eh\'any eredm\'enyt, amelyek megmagyar\'azz\'ak
mi\'ert k\"ovetelt\"uk meg a v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'aban,
hogy a $\summ_{k=1}^\infty x_k P(\xi=x_k)$ sor ne csak konvergens,
hanem abszolut konvergens is legyen.

Ha a $\summ_{n=1}^\infty y_n$ sor abszolut konvergens, akkor ennek
tetsz\H{o}leges \'atrendez\'ese azaz tetsz\H{o}leges olyan
$\summ_{n=1}^\infty y_{k(n)}$ \"osszeg, amelyre a $k(n)=j$
egyenletnek pontosan egy meg\-ol\-d\'a\-sa van minden $1\le j<\infty$
eg\'esz sz\'amra szint\'en konvergens, \'es ugyanaz a hat\'ar\'ert\'eke
mint az eredeti sorrendben. Ez a tulajdons\'ag nem abszolut konvergens
sorozatokra m\'ar nem \'erv\'enyes. S\H{o}t, ebben az esetben a
k\"ovetkez\H{o} negat\'{\i}v jelleg\H{u} \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes.

Legyen $\summ_{n=1}^\infty x_n$ egy konvergens, de nem abszolut
konvergens \"osszeg. Ekkor tet\-sz\H{o}\-le\-ges
$-\infty\le\alpha\le\infty$ sz\'amra l\'etezik e sor tagjainak olyan
(az $\alpha$ sz\'amt\'ol f\"ugg\H{o}) $k(n)$, $n=1,2,\dots$
\'atrendez\'ese, amelyre
$\limm_{N\to\infty}\summ_{n=1}^N x_{k(n)}=\alpha$.

Mi\'ert fontos az a megk\"ot\'es, hogy a v\'arhat\'o \'ert\'eket
defini\'al\'o \"osszeg nemcsak konvergens, hanem abszolut konvergens
is? Vegy\"uk p\'eld\'aul azt az esetet, amikor a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ekei az \"osszes
racion\'alis sz\'am halmaza. A racion\'alis sz\'amok, mivel
megsz\'aml\'alhat\'oan sokan vannak felsorolhat\'oak mint egy
$x_1,x_2,\dots$, sorozat, de ennek a felsorol\'asnak nincs egy
term\'eszetes sorrendje. Ez\'ert a v\'arhat\'o \'ert\'eket defini\'al\'o
\"osszeg csak akkor \'ertelmes, ha annak \'ert\'eke nem f\"ugg att\'ol,
hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o lehets\'eges
$x_k$ \'ert\'ekeit milyen sorrendben soroljuk fel.

Az abszolut konvergens sorok fent eml\'{\i}tett tulajdons\'aga
szerepelt az ana\-l\'{\i}\-zis tan\-anyag\-ban. A bizony\'{\i}t\'as
megism\'etl\'ese helyett l\'assunk ink\'abb egy p\'eld\'at, amely
megmutatja, hogy a nem abszolut konvergens sorok m\'ask\'eppen
viselkednek, mint az abszolut konvergensek. Tekints\"uk az
$S=1-1+\frac12-\frac12+\frac13-\frac13+\frac14-\frac14+\cdots$
sort. Ez a sor konvergens, hat\'ar\'ert\'eke z\'er\'o, ugyanakkor nem
abszolut konvergens, mert $\summ_{k=1}^\infty\frac1k=\infty$.
Tekints\"uk e sor k\"ovetkez\H{o} \'atrendez\'es\'et:
$S=1+\summ_{k=1}^\infty\(\frac1{2^k}+\frac1{2^k+1}+\cdots
+\frac1{2^{k+1}-1}-\frac1k\)$. Ez az \'atrendezett sor divergens,
mert a $k$-ik tagra $\frac1{2^k}+\frac1{2^k+1}+\cdots
+\frac1{2^{k+1}-1}-\frac1k\ge
\frac{2^k}{2^{k+1}}-\frac1k=\frac12-\frac1k$. R\"oviden, kiss\'e
nagyvonal\'uan, azt mondhatjuk, hogy abszolut konvergens sorozatokkal
ugyanolyan szabadon sz\'amolhatunk (\'atrendezhetj\"uk \H{o}ket,
abszolut konvergens sorok szorzataiban elv\'egezhetj\"uk a tagonk\'enti
szorz\'ast), mint v\'eges \"osszegek eset\'eben, m\'{\i}g nem abszolut
konvergens sorok eset\'eben ezt nem tehetj\"uk meg.

\medskip\noindent
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a v\'arhat\'o \'ert\'eket egy viszonylag
egyszer\H{u} feladatban.

\vfill\eject

\medskip
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a fej-dob\'asok sz\'a\-m\'a\-nak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
pontosan $k$ fejdob\'as t\"ort\'enik 100 dob\'as ese\-t\'e\-ben
$\binom{100}k2^{-100}$, $0\le k\le100$. Ez\'ert
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\binom{100}k2^{-100}$
a keresett v\'arhat\'o \'ert\'ek. Ezt az \"osszeget ki tudjuk
sz\'am\'{\i}tani a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel: $k\binom nk=n \binom{n-1}{k-1}$, ha
$1\le k\le n$. Innen $n=100$ v\'alaszt\'assal
$$ \allowdisplaybreaks
\align
E\xi&=\summ_{k=0}^{100}k\binom{100}k2^{-100}=
100\summ_{k=0}^{99}\binom{99}k2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}\binom{99}k\(\frac12\)^{99}\\
&=50\cdot\(\frac12+\frac12\)^{99}=50.
\endalign
$$
\medskip
Heurisztikusan a k\"ovetkez\H{o} m\'odon \'erveln\'enk: Egy
p\'enzfeldob\'as eset\'en a fejek sz\'am\'anak a v\'arhat\'o
\'ert\'eke $\frac12$, sz\'az p\'enzfeldob\'as eset\'en a
p\'enzdob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$100\cdot\frac12=50$.

A k\"ovetkez\H{o} fontos eredm\'eny, amelynek bizony\'{\i}t\'asa a
k\"ovetkez\H{o} el\H{o}ad\'as anyaga lesz megmagyar\'azza, hogy a
fenti heurisztika mi\'ert adott helyes eredm\'enyt, \'es ennek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel hogyan lehet kisz\'am\'{\i}tani sok esetben
egyszer\H{u}en val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it  Legyenek $\xi_1$, $\xi_2$ (diszkr\'et
eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, ame\-lyek\-nek
l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk. Ekkor a $\xi_1+\xi_2$
\"osszegnek is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E(\xi_1+\xi_2)=E\xi_1+E\xi_2.
$$
}

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyenek adva $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_k$
(diszkr\'et eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok,
ame\-lyek\-nek l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk, \'es legyenek
$c_1,\dots,c_k$ val\'os sz\'amok. Ekkor a
$c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_k\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E\(c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_k\xi_k\)
=c_1E\xi_1+c_2E\xi_2+\cdots+c_kE\xi_k.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ \'Erdemes hangs\'ulyozni, hogy a fenti
eredm\'enyben nem t\'etelezt\"uk fel, hogy a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek. Ez
az \'eszrev\'etel bizonyos alkalmaz\'asokban hasznos. K\'es\H{o}bb
tanulni fogjuk, hogy a most megfogalmazott eredm\'eny nemcsak
disz\-kr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszegeire \'erv\'enyes. \medskip
L\'assuk, hogy hogyan tudjuk kisz\'am\'{\i}tani az el\H{o}z\H{o}
feladatban tekintett v\'arhat\'o \'ert\'eket a fenti eredm\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Azaz a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o azt sz\'amolja, hogy
mennyi a $j$-ik dob\'as eredm\'eny\'enek hozad\'eka a fej-dob\'asok
sz\'am\'ahoz. Ekkor minket az $E\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j\)$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek \'erdekel. Viszont a fenti eredm\'eny alapj\'an
$E\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j\)=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$, \'es
$E\xi_j=1\cdot P(\xi_j=1)+0\cdot P(\xi_j=0)=
\frac12\cdot1+\frac12\cdot0=\frac12$ minden $1\le j\le 100$ indexre,
ahonnan $E\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j\)=100\cdot\frac12=50$.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek \"osszeg\'enek
a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le100$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$,
ha a $j$-ik dob\'as 1, $\xi_j=2$, ha a $j$-ik dob\'as 2, $\xi_j=3$,
ha a $j$-ik dob\'as 3, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as 4, $\xi_j=5$,
ha a $j$-ik dob\'as 5, \'es $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as 6. Ekkor
a vizsg\'alt \"osszeg $S=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$, ahonnan
$ES=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$. Mivel $E\xi_j=\frac16(1+2+\cdots+6)=3.5$
minden $1\le j\le100$ indexre, innen $ES=100\cdot3.5=350$.


\medskip\noindent
V\'eg\"ul k\'et \'all\'{\i}t\'ast bizony\'{\i}tok, ahol
felhaszn\'alom a most tanult fogalmakat, \'es azt, hogy a
v\'arhat\'o \'ert\'ek addit\'{\i}v. Egyr\'eszt megmutatom, hogy
hogyan lehet a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-si
szita formul\'at a kombinatorikus szita formul\'ab\'ol levezetni.
M\'asr\'eszt megfogalmazom \'es bebizony\'{\i}tom az els\H{o}
el\H{o}ad\'asban kimondott bizonyos h\'uz\'assorozatok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l sz\'ol\'o lemma egy
term\'eszetes \'es hasznos \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at.

\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi szita
formul\'at igazoljuk a kombinatorikai szita formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel tekints\"uk azt az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi me\-z\H{o}t, ahol az $A_1$,\dots, $A_n$
esem\'enyek defini\'alva vannak, \'es defini\'aljuk minden
$\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre \'es $B\in\Cal A$ halmazra
azt a $\bar B=\bar B(\oo)$ (1 vagy nulla elemet tartalmaz\'o
halmazt), amely az $\oo$ elemb\H{o}l \'all, ha $\oo\in B$ \'es
az \"ures halmazzal egyenl\H{o}, ha $\oo\notin B$. Megmutatom,
hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szita formula
levezethet\H{o} a kombinatorikus szita formul\'ab\'ol, ha azt az
$\bar A_1(\oo),\dots,\bar A_n(\oo)$ halmazok uni\'oj\'ara alkalmazzuk
minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre, majd ezeket az azonoss\'agokat
`\'atlagoljuk' az $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyekre a $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek szerint. E procedura sor\'an
felhaszn\'aljuk a v\'arhat\'o \'ert\'ek n\'eh\'any fontos 
tulajdons\'ag\'at. Nevezetesen arra van sz\"uks\'eg\"unk, hogy 
esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'es indik\'atorf\"uggv\'eny\"uk
v\'arhat\'o \'ert\'eke egyenl\H{o}, \'es a v\'arhat\'o
\'ert\'ek addit\'{\i}v. Vegy\"uk \'eszre azt is, hogy
$|\bar B(\oo)|=I_B(\oo)$ minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre
\'es $B\in\Cal A$ halmazra.

Vezess\"uk be a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi szita formul\'aban
defini\'alt $S_k$ \"osszegeknek megfelel\H{o}
$\bar S_k(\oo)=\summ_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n}|\bar A_{j_1}(\oo)
\cap\cdots\cap \bar A_{j_k}(\oo)|
=\summ_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n}I_{A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_k}}(\oo)$,
$1\le k\le n$, va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat. A
v\'arhat\'o \'ert\'ek addit\'{\i}v tulajdons\'aga \'es esem\'enyek
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge \'es indik\'ator f\"uggv\'eny\"uk
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek egyenl\H{o}s\'ege miatt $E\bar S_k(\oo)=S_k$,
$1\le k\le n$. Tov\'abb\'a a kombinatorikus szita formula alapj\'an
$|I_{A_1\cup\cdots\cup A_n}(\oo)|=
|\bar A_1)(\oo)\cup\cdots\cup\bar A_n(\oo)|=\bar S_1(\oo)-\bar S_2(\oo)
+\bar S_3(\oo)-\cdots +(-1)^{n+1}\bar S_n(\oo)$. Ebben az
azonoss\'agban v\'arhat\'o \'ert\'eket v\'eve \'es \'ujb\'ol
felhaszn\'alva a v\'arhat\'o \'ert\'ek addit\'{\i}vit\'as\'at
illetve esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'es indik\'ator
f\"uggv\'eny\"uk v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek az egyenl\H{o}s\'eg\'et
megkapjuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi diagram formula
azonoss\'ag\'at. Az ebben az eredm\'enyben fel\'{\i}rt
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-gek hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'oak a
kombinatorikus diagram formula egyenl\H{o}tlens\'egeinek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy megfogalmazhassam az els\H{o}
el\H{o}ad\'asban kimondott bizonyos h\'uz\'assorozatok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l sz\'ol\'o lemma egy
hasznos \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at el\H{o}sz\"or be\-ve\-ze\-tem
a k\"ovetkez\H{o} fogalmat.
\medskip\noindent
{\bf Felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'eges sorozat\'anak a definici\'oja.} {\it Legyenek
$\xi_1,\dots,\xi_n$ diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi me\-z\H{o}n, amelyek \'ert\'ekeiket
valamely $X=\{x_1,x_2,\dots\}$ v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan
v\'eg\-te\-len halmazon veszik fel. Jel\"olje $\Pi(n)$ az 
$\{1,2,\dots,n\}$  halmaz \"osszes permut\'aci\'oj\'ab\'ol \'all\'o 
halmazt. Azt mondjuk, hogy a $\xi_1,\dots,\xi_n$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok felcser\'elhet\H{o}ek, ha 
ak\'arhogy v\'alasztunk ki egy
$\pi=(\pi(1),\dots,\pi(n))\in \Pi(n)$ permut\'aci\'ot \'es
$x_l\in X$, $1\le l\le n$, elemeket az $X$ halmazb\'ol, teljes\"ul a
$$
P(\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\dots,\xi_n=x_n)=
P(\xi_{\pi(1)}=x_1,\xi_{\pi(2)}=x_2,\dots,\xi_{\pi(n)}=x_n)
$$
azonoss\'ag.}

\medskip
\'Erts\"uk meg, hogy a felcser\'elhet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szeml\'eletes tartalma a
k\"ovetkez\H{o}. Felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eset\'eben a $P(\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\dots,\xi_n=x_n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg csak att\'ol f\"ugg, hogy a tekintett
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok milyen 
$x\in X$ \'ert\'ekeket vesznek fel \'es milyen multiplicit\'assal,
de nem f\"ugg att\'ol, hogy milyen sorrendben veszik fel ezeket az
\'ert\'ekeket. Vegy\"uk \'eszre, hogy egy ilyen tu\-laj\-don\-s\'a\-got
haszn\'altunk fel a visszatev\'eses urnamodellek vizsg\'alat\'aban 
is. \'Erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u}, de hasznos
\"osszef\"ugg\'es.

\medskip\noindent
{\bf Lemma felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asair\'ol.} {\it
Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ diszkr\'et eloszl\'as\'u,
felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n,
amelyek \'ert\'ekeiket valamely $X=\{x_1,x_2,\dots\}$ v\'eges vagy
meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o halmazon veszik fel. Tekints\"unk
valamilyen  r\"ogz\'{\i}tett $1\le k\le n$ sz\'amot, az $X$ t\'er
valamely $x_l\in X$, $1\le l\le k$, elemeinek sorozat\'at \'es az
$\{1,\dots,n\}$ halmaz egy $k$ elem\H{u}
$\{j_1,\dots,j_k\}\subset\{1,\dots,n\}$ r\'eszhalmaz\'at.
\'Erv\'enyes a
$$
P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)=
P(\xi_{j_1}=x_1,\dots,\xi_{j_k}=x_k)
$$
azonoss\'ag.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy olyan
$\pi\in\Pi(n)$ permut\'aci\'ot, amelyre
$\pi(1)=j_1$, $\pi(2)=j_2$,\dots, $\pi(k)=j_k$. Fel\'{\i}rhatjuk a
$$
\align
&P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)\\
&\qquad=\sum_{x_l\colon\; x_l\in X, \text{ ha } k+1\le l\le n}
P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k,x_{k+1}=x_{k+1},\dots,\xi_n=x_n)
\endalign
$$
azonoss\'agot. M\'asr\'eszt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok felcser\'elhet\H{o}s\'ege miatt
$$
\align
&\sum_{x_l\colon\; x_l\in X, \text{ ha } k+1\le l\le n}
P(\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k,x_{k+1}=x_{k+1},\dots,\xi_n=x_n)\\
&\qquad=\!\!\!\! \sum_{x_l\colon\; x_l\in X, \text{ ha } k+1\le l\le n}
\!\!\!\! P(\xi_{\pi(1)}=x_1,\dots,\xi_{\pi(k)}=x_k,
x_{\pi(k+1)}=x_{k+1},\dots,\xi_{\pi(n)}=x_n)\\
&\qquad=P(\xi_{\pi(1)}=x_1,\dots,\xi_{\pi(k)}=x_k)
=P(\xi_{j_1}=x_1,\dots,\xi_{j_k}=x_k),
\endalign
$$
\'es ezekb\H{o}l az azonoss\'agokb\'ol k\"ovetkezik a lemma
\'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamely $r\ge1$ \'es $s\ge0$ eg\'esz
sz\'amokat. Legyen adva egy urna abban valah\'any goly\'o, amelyek
mindegyike az $1,\dots,r$ sz\'amokkal jelzett sz\'{\i}nek
valamelyik\'et veszi fel. H\'uzzunk ki $n$ goly\'ot az urn\'ab\'ol
egym\'as ut\'an (minden urn\'aban lev\H{o} goly\'ot egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel h\'uzzuk) \'ugy, hogy azut\'an,
hogy kih\'uztunk egy goly\'ot visszadobunk az urn\'aba $s$ darab
a kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}n\'evel azonos sz\'{\i}n\H{u}
goly\'ot. Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik kih\'uzott goly\'o
sz\'{\i}n\'et. L\'assuk be, hogy $\xi_1,\dots,\xi_n$
felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.



\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es 1.

Az el\H{o}ad\'asban megeml\'{\i}tettem a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt:
\medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as.}\/ {\it Legyen $x_n$ val\'os
sz\'amoknak olyan sorozata, amelyre $0\le x_n<1$ minden $n=1,2,\dots$,
sz\'amra. Ekkor $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)>0$, ha $\summ_{k=1}^\infty
x_k<\infty$, \'es $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)=0$, ha
$\summ_{k=1}^\infty x_k=\infty$.}

\medskip\noindent
{\it Indokl\'as.}\/ Heurisztikusan a k\"ovetkezz\H{o} m\'odon
\'ervelhet\"unk: Logaritmust v\'eve kapjuk, hogy
$\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)>0$ akkor \'es csak akkor, ha
$\summ_{k=1}^\infty -\log(1-x_k)<\infty$. Viszont azt, hogy az ut\'obbi
\"osszeg konvergens-e vagy divergens az d\"onti el, hogy kis $x_k$
sz\'amokra a $-\log (1-x_k)$ \"osszeadand\'ok milyen kicsik. Mivel
$-\log(1-x)=x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\cdots$, a
$-\log(1-x_k)$ mennyis\'egnek term\'eszetes j\'o k\"ozel\'{\i}t\'ese
az $x_k$ kifejez\'es, (a Taylor sor els\H{o} tagja), \'es ez azt
sugallja, hogy a $\summ_{k=1}^\infty -\log(1-x_k)$ illetve
$\summ_{k=1}^\infty x_k$ v\'egtelen sorok egyszerre konvergensek
vagy divergensek.

N\'emi munk\'aval a fenti \'ervel\'es prec\'{\i}zz\'e tehet\H{o}.
El\H{o}sz\"or azt kell meggondolni, hogy a feladat
\'all\'{\i}t\'as\'aban a $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)>0$ tulajdons\'ag
a $\summ_{k=1}^\infty -\log(1-x_k)<\infty$ egyenl\H{o}tlens\'eggel,
a $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)=0$ tulajdons\'ag pedig a
$\summ_{k=1}^\infty -\log(1-x_k)=\infty$ rel\'aci\'oval ekvivalens.
Ehhez azt kell felhaszn\'alni, hogy eset\"unkben $0<1-x_k<1$, \'es
$-\log(1-x_k)>0$. Ezut\'an vegy\"uk \'eszre, hogy a
$-\summ_{k=1}^\infty \log(1-x_k)$ \'es $\summ_{k=1}^\infty x_k$ sorok
mindegyike divergens, ha r\"ogz\'{\i}tve egy kis pozit\'{\i}v sz\'amot
p\'eld\'aul az $\frac1{10}$ sz\'amot az $x_k$ sz\'amsorozatnak
v\'egtelen sok olyan tagja van, amelyek nagyobbak mint ez az
$\frac1{10}$ sz\'am. Tov\'abb\'a, \'egy v\'egtelen \"osszeg
konvergenci\'aj\'at vagy divergenci\'aj\'at nem befoly\'asolja
v\'eges sok tagj\'anak az \'ert\'eke. Ez\'ert az \"osszegekben
szerepl\H{o} $x_k\ge\frac1{10}$ tagokat elhagyva el\'eg csak azzal az
eset\-tel foglalkozni, amikor $x_k\le \frac1{10}$ minden $k$-ra.
Viszont ekkor $\frac12x_k<-\log(1+x_k)<2x_k$ minden $k=1,2,\dots$
sz\'amra, ahonnan $\frac12\summ_{k=1}^n x_k<\summ_{k=1}^n
-\log(1-x_k)<2\summ_{k=1}^n x_k$ minden $n$-re, \'es innen
k\"ovetkezik, hogy a $\summ_{k=1}^\infty x_k$ \'es $\summ_{k=1}^\infty
-\log(1-x_k)$ sorok egyszerre konverg\'alnak vagy diverg\'alnak.

\medskip \noindent
\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es 2. {\it A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szita formula
\'es annak egy \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.}

A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szita formula egy
olyan bizony\'{\i}t\'as\'at ismertetem, amely egy \"onmag\'aban
is \'erdekes, \'es m\'as esetekben is alkalmazhat\'o eredm\'enyen
alapul. Ezt az al\'abbi lemm\'aban fogalmazom meg.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyenek adva valamely $A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es
defini\'aljuk ezek felhaszn\'al\'as\'aval v\'eges sok uni\'o, metszet
\'es komplementer seg\'{\i}ts\'eg\'evel bizonyos
$B_j=f_j(A_1,\dots,A_n)$, $1\le j\le k$, esem\'enyeket.
R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamely $c_1,\dots,c_k$ val\'os sz\'amokat. A
$$
\summ_{j=1}^kc_j P(B_j)=
\summ_{j=1}^kc_j P\(f_j(A_1,\dots,A_n)\)\ge0
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg teljes\"ul tetsz\H{o}leges
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt tetsz\H{o}leges
$A_1,\dots,A_n$ halmazokra, ha speci\'alisan teljes\"ul abban a
($2^n$ sz\'am\'u) speci\'alis esetben, amikor mindegyik $A_j$ halmaz
vagy az $\Omega$ biztos vagy az $\emptyset$ \"ures esem\'eny.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Jel\"olje
$A_j^{-1}=\Omega\setminus A_j$ az $A_j$ halmaz komplementer\'et.
Vezess\"uk be az $A_j^1=A_j$ jel\"ol\'est, \'es jel\"olj\"on
$(k_1,\dots,k_n)$, $k_j=\pm1$, $1\le j\le n$, valamely $n$
hossz\'us\'ag\'u $\pm1$ sorozatot. \'Irjuk fel mindegyik
$B_j=f_j(A_1,\dots,A_n)$ esem\'enyt konjunkt\'{\i}v norm\'alforma
alakban. Felhaszn\'alva, hogy a konjunkt\'{\i}v norm\'alform\'aban
diszjunkt halmazok uni\'oja jelenik meg, a vizsg\'aland\'o
egyenl\H{o}tlens\'eg fel\'{\i}rhat\'o
$$
\summ_{(k_1,\dots,k_n)\colon\;  k_j=\pm1,\; j=1,\dots,n}
d(k_1,\dots,k_n)P\(A_{1}^{k_1}\cap\cdots\cap A_{n}^{k_n}\)\ge0
\tag A
$$
alakban alkalmas $d(k_1,\dots,k_n)$ egy\"utthat\'okkal. Az~(A)
egyenl\H{o}tlens\'eg ny\'{\i}lv\'an
\'erv\'enyes minden $A_1,\dots,A_n$ halmazrendszerre, ha
$d(k_1,\dots,k_n)\ge0$ minden $(k_1,\dots,k_n)$ argumentumra.
Ez\'ert el\'eg megmutatni, hogy amennyiben az~(A)
egyenl\H{o}tlens\'eg teljes\"ul minden olyan speci\'alis esetben,
amikor az $A_j$, $1\le j\le n$, halmazok mindegyike vagy az
$\Omega$ biztos vagy az $\emptyset$ \"ures esem\'eny, akkor
$d(k_1,\dots,k_n)\ge0$ az \"osszes $(k_1,\dots,k_n)$ argumentumra.

Ezt megmutatand\'o, r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $n$ hossz\'us\'ag\'u
$(k_1,\dots,k_n)$ $\pm1$ sorozatot, \'es de\-fi\-ni\-\'al\-juk
ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel $A_1,\dots,A_n$ halmazoknak azt a
sorozat\'at, amelyre $A_j=\Omega$, ha $k_j=1$, \'es $A_j=\emptyset$,
ha $k_j=-1$, $1\le j\le n$. Ezzel a v\'alaszt\'assal az (A) formula
baloldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'es $d(k_1,\dots,k_n)$-nel
egyenl\H{o}, ez\'ert ez csak \'ugy lehet nem negat\'{\i}v, ha
$d(k_1,\dots,k_n)\ge0$. Mivel ezt az \'ervet minden lehets\'eges
$(k_1,\dots,k_n)$ $\pm1$ sorozatra alkalmazhatjuk, innen
k\"ovetkezik a lemma \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
{\it A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szita formula
bizony\'{\i}t\'asa a lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}\/ A lemma
alap\-j\'an elegend\H{o} bel\'atni a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szita formul\'at abban
a speci\'alis esetben, ha mindegyik $A_j$ esem\'eny a biztos vagy
az \"ures esem\'eny. Ekkor ugyanis a szita formula bal \'es
jobboldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'esek k\"ul\"onbs\'eg\'er\H{o}l
tudjuk, hogy egyr\'eszt nagyobb vagy egyenl\H{o} mint nulla,
m\'asr\'eszt kisebb egyenl\H{o}, mint nulla. Tekints\"uk azokat az
eseteket, amikor az $A_j$ esem\'enyek k\"oz\"ott $r$ darab biztos
\'es $n-r$ \"ures esem\'eny van, $0\le r\le n$. Feltehetj\"uk, hogy
$r\ge1$, mert $r=0$ eset\'en, amikor mindegyik $A_j$ esem\'eny az
\"ures halmaz, az azonoss\'ag mindk\'et oldala null\'aval
egyenl\H{o}. Ha $1\le r\le n$, akkor
$S_l=\binom rl$ az $1\le l\le r$ esetben, \'es $S_l=0$, ha $l\ge r$.
Ez\'ert az $1\le r\le n$ esetben a szita formula jobboldal\'an
\'all\'o kifejez\'es $\summ_{l=1}^r(-1)^{l+1}S_l=
\summ_{l=1}^r(-1)^{l+1}\binom rl=1-\summ_{l=0}^r(-1)^{l}\binom
rl=1-(1-1)^r=1$, a baloldali kifejez\'es pedig szint\'en
$P(A_1\cup\cdots\cup A_n)=P(\Omega)=1$.

Hasonl\'o meggondol\'asok alapj\'an a szita formul\'aban
megfogalmazott egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-gek igazol\'ahoz el\'eg
megmutatni azt, hogy $1-\summ_{l=1}^s(-1)^{l+1}\binom rl\le 0$,
azaz $\summ_{l=0}^s(-1)^l\binom rl\le 0$, ha $1\le s\le r$, \'es
$s$ p\'aratlan sz\'am, \'es $\summ_{l=0}^s(-1)^l\binom rl\ge 0$,
ha $1\le s\le r$, \'es $s$ p\'aros sz\'am. (A bizony\'{\i}tand\'o
\'all\'{\i}t\'as ezen redukci\'oj\'ahoz \'ugy jutunk a fenti lemma
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $r$-val jel\"olj\"uk azon $A_j$
halmazok sz\'am\'at, amelyekre $A_j=\Omega$, \'es fel\'{\i}rjuk,
hogy mit jelent a lemma szerint bizony\'{\i}tand\'o
\'all\'{\i}t\'as ebben az esetben. Az $r=0$ esetben az
ellen\H{o}rizend\H{o} egyenl\H{o}tlens\'egek nyilv\'anval\'oan
teljes\"ulnek, mert ekkor minden tekintett kifejez\'es null\'aval
egyenl\H{o}.)

A bizony\'{\i}tand\'o egyenl\H{o}tlens\'egeket el\H{o}sz\"or az
$s\le \[\frac r2\]$ esetben l\'atjuk be, ahol $[x]$
jel\"oli az $x$ sz\'am eg\'esz r\'esz\'et.  Felhaszn\'alva az
$\binom r0\le \binom r1\le\cdots \le \binom r{[\frac r2]}$
egyenl\H{o}tlens\'egeket azt kapjuk ebben az esetben, hogy
$$
\summ_{l=0}^{2s'+1}(-1)^l\binom rl=
\summ_{l=0}^{s'}\(\binom r{2l}-\binom r{2l+1}\)\le0,\text{ ha }s=2s'+1,
$$ 
\'es
$$\summ_{l=0}^{2s'}(-1)^l\binom rl=\binom r0+
\summ_{l=1}^{s'}\(\binom r{2l}-\binom r{2l-1}\)\ge0,\text{ ha }s=2s'.
$$ 
Az $\[\frac r2\]<s<r$ eset
vissza\-ve\-zet\-he\-t\H{o} az $s\le \[\frac r2\]$ esetre a
$\summ_{l=0}^s(-1)^l\binom rl=-\summ_{l=s+1}^r(-1)^l\binom rl
=-\summ_{l=s+1}^r(-1)^l\binom r{r-l}
=(-1)^{r+1}\summ_{l=0}^{r-s-1}(-1)^l\binom rl$
azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel, mivel ezen azo\-nos\-s\'ag
jobboldal\'anak az el\H{o}jel\'et ismerj\"uk a
$r-s-1\le \[\frac r2\]$ egyenl\H{o}tlens\'eg miatt. V\'eg\"ul az
$s=r$ esetben $\summ_{l=0}^s(-1)^l\binom rl=0$, ez\'ert a
k\'{\i}v\'ant egyenl\H{o}tlens\'eg ebben az esetben is tel\-je\-s\"ul.

Ismertetem a szita formula egy hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o 
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at.

\medskip\noindent
{\bf A szita formula egy \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.}
{\it Legyenek adva tetsz\H{o}leges $A_1,\dots,A_n$ ese\-m\'e\-nyek egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es
vezess\"uk be az $N=N(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot,
amely egyen\H{o} azon $j$ indexek sz\'am\'aval, amelyekre az 
$\oo\in A_j$ rel\'aci\'o teljes\"ul. Ekkor
$$
P(N=r)=\sum_{i=0}^{n-r}(-1)^i{i+r\choose i}S_{i+r},\quad
\text{minden } 0\le r\le n \text{ sz\'amra},
$$
ahol
$$
S_0=1,\quad S_k=\sum_{1\le i_1<\dots<i_k\le n}
P\(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k}\),\quad 1\le k\le n.
$$
Tov\'abb\'a ezen \"osszeg r\'eszlet\"osszegei felv\'altva als\'o
illetve fels\H{o} becsl\'est adnak a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre, azaz
$$
\sum_{i=0}^s(-1)^i{i+r\choose i}S_{i+r}\ge P(N=r)
\quad \text{ha } 0\le s\le n-r \text{ \'es } s
\text{ p\'aros sz\'am.}
$$
\'es
$$
\sum_{i=0}^s(-1)^i{i+r\choose i}S_{i+r}\le P(N=r)
\quad \text{ha } 0\le s\le n-r \text{ \'es } s
\text{ p\'aratlan sz\'am.}
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Mivel $P(N=0)=1-P(A_1\cup\cdots\cup A_n)$
\'es $S_0=1$ ez az eredm\'eny az $r=0$ esetben megegyezik a szita
formul\'aval.

\medskip\noindent
{\it A szita formula \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'anak a
bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A szita formula bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
hasonl\'oan ebben az esetben is reduk\'alhatjuk a
bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'at arra a
speci\'alis esetre, amikor a tekintett $A_j$ esem\'enyek k\"oz\"ott
$k$ darab $\Omega$ biztos \'es $n-k$ darab \"ures esem\'eny van,
$0\le k\le n$. S\H{o}t, azt is feltehetj\"uk, hogy $k>r$. Ugyanis
$k<r$ eset\'en a fel\'{\i}rt azonoss\'ag illetve
egyenl\H{o}tlens\'egek mind a k\'et oldala 0-val, m\'{\i}g $k=r$
eset\'en 1-gyel egyenl\H{o}. Ugyanis $S_{r+i}=0$, ha $r+i>k$, ami
minden $i\ge 0$-ra teljes\"ul, ha $k<r$, ha $k<r$. Ez\'ert ebben az
esetben a tekintett azonoss\'ag \'es egyenl\H{o}tlens\'egek
jobboldal\'an 0 \'all. A $k=r$ esetben $S_{r+i}=0$, ha $i\ge1$,
\'es $S_{r+0}=1$. M\'asr\'eszt $P(N=r)=0$, ha $k\neq r$, \'es
$P(N=r)=k$, ha $k=r$. Ezekb\H{o}l az \'all\'{\i}t\'asokb\'ol
k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as fenti redukci\'oj\'anak a
jogoss\'aga.

M\'asr\'eszt a tekintett speci\'alis esetben (amikor pontosan $k$
darab biztos esem\'eny van, \'es a t\"obbi $n-k$ esem\'eny pedig
\"ures) $S_{r+i}=\binom k{r+i}$, \'es
$\binom{i+r}i\binom k{i+r}=\binom kr\binom{k-r}i$. Innen a
bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag jobboldal\'an \'all\'o kifejez\'es
$$
\align
\sum_{i=0}^{n-r}(-1)^i{i+r\choose i}S_{r+i}
&=\sum_{i=0}^{n-r}(-1)^i{i+r\choose i}\binom k{r+i}
=\sum_{i=0}^{n-r}(-1)^i\binom kr\binom{k-r}i\\
&=\binom kr\sum_{i=0}^{k-r}(-1)^i\binom{k-r}i
=\binom kr\sum_{i=0}^{k-r}(1-1)^{k-r}=0,
\endalign
$$
ha $k>r$. Innen k\"ovetkezik, hogy a fel\'{\i}rt azonoss\'ag
val\'oban \'erv\'enyes. Az egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-gek
bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o, csak ebben az esetben a sz\'amol\'as
v\'eg\'en a $\summ_{i=0}^{k-r}(-1)^i\binom{k-r}i=0$ azonoss\'ag
helyett a szita formula bizony\'{\i}t\'asa sor\'an m\'ar igazolt
a $\summ_{i=0}^s(-1)^i\binom{k-r}i\ge0$, ha $0\le s\le k-r$
\'es $s$ p\'aros sz\'am, \'es
$\summ_{i=0}^s(-1)^i\binom{k-r}i\le0$, ha $0\le s\le k-r$ \'es $s$
p\'aratlan sz\'am egyenl\H{o}tlens\'egeket kell haszn\'alni.

\medskip
Bebizony\'{\i}tok egy hasonl\'o azonoss\'agot, amelyben a
$P(N\ge r)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget sz\'a\-mol\-juk ki az $S_k$
mennyis\'egek seg\'{\i}ts\'eg\'evel, azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy legal\'abb $r$ $A_j$ esem\'eny
k\"ovetkezett be. Megmutatom, hogy ez a formula egyszer\H{u}en 
le\-ve\-zet\-he\-t\H{o} az el\H{o}z\H{o} eredm\'enyben
bizony\'{\i}tott a $P(N=r)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget
kifejez\H{o} azo\-nos\-s\'ag\-b\'ol.

\medskip\noindent
{\bf Formula a $P(N\ge r)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
kifejez\'es\'ere.} {\it A szita formula el\H{o}bb megfogalmazott
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'aban bevezetett jel\"ol\'eseket
alkalmazva fel\'{\i}rhatjuk a
$$
P(N\ge r)=\sum_{i=0}^{n-r}(-1)^i{i+r-1\choose i}S_{i+r},\quad
\text{minden } 1\le r\le n \text{ sz\'amra},
$$
azonoss\'agot, ahol
$$
S_0=1,\quad S_k=\sum_{1\le i_1<\dots<i_k\le n}
P\(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k}\),\quad 1\le k\le n.
$$
}
\medskip\noindent
{\it A formula bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A k\'eplet $r=n$-re
\'erv\'enyes, mert $P(N\ge n)=S_n$, \'es az azonoss\'ag jobboldal\'an
\'all\'o kifejez\'es is ezzel egyenl\H{o} az $r=n$ esetben. (Ekkor
az \"osszeg csak az $i=0$ tagot tartalmazza.) Az azonoss\'agot $r$
szerinti backward indukci\'oval \'es a $P(N=r)$ kifejez\'esre m\'ar
bizony\'{\i}tott azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel bizony\'{\i}tjuk
be. Ugyanis, ha az azonoss\'agot tudjuk $r+1$-re, akkor
fel\'{\i}rhatjuk a
$$
\align
P(N\ge r)&=P(N=r)+P(N\ge r+1)\\
&=\sum_{i=0}^{n-r}(-1)^i{i+r\choose i}S_{i+r}+
\sum_{i=0}^{n-r-1}(-1)^i{i+r\choose i}S_{i+r+1}
\endalign
$$
azonoss\'agot. Mivel
$\summ_{i=0}^{n-r-1}(-1)^i{i+r\choose i}S_{i+r+1}
=\summ_{i=1}^{n-r}(-1)^{i-1}{i+r-1\choose i-1}S_{i+r}$, innen azt
kap\-juk, hogy
$$
\align
P(N\ge r)
&=\sum_{i=1}^{n-r}(-1)^i\({i+r\choose i}-\binom{i+r-1}{i-1}\)S_{i+r}+S_r\\
&=\sum_{i=1}^{n-r}(-1)^i{i+r-1\choose i}S_{i+r}+S_r,
\endalign
$$
mivel $\binom{i+r}i=\binom{i-r-1}{i-1}+\binom{i+r-1}i$, \'es ezt az
azonoss\'agot kellett bizony\'{\i}tani.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Tekints\"uk az el\H{o}ad\'as (\'es a jegyzet) elej\'en
megfogalmazott p\'eld\'at, \'es sz\'amoljuk ki az
\'altal\'anos\'{\i}tott szita formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy pontosan $r$, $r\ge0$,
h\'azasp\'ar t\'ancol egy\"utt. Mi e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
hat\'ar\'ert\'eke, ha $n\to\infty$?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az eredeti feladat megold\'asa sor\'an
kisz\'amoltuk, hogy $S_k=\frac1{k!}$. Ez\'ert az
\'altal\'anos\'{\i}tott szita formula alapj\'an annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $n$ h\'azasp\'arb\'ol \'all\'o
t\'arsas\'agban az egy\"utt t\'ancol\'o h\'azasp\'arok $N_n$ sz\'ama
pontosan $r$
$$
P(N_n=r)=\sum_{i=0}^{n-r}(-1)^i{i+r\choose i}S_{i+r}=
\sum_{i=0}^{n-r}(-1)^i{i+r\choose i}\frac1{(i+r)!}=
\frac1{r!}\sum_{i=0}^{n-r}(-1)^i\frac1{i!}.
$$
Innen
$$
\lim_{n\to\infty} P(N=r)=\frac1{r!}\sum_{i=0}^\infty(-1)^i\frac1{i!}
=\frac1{r!}\frac1e.
$$



\bye


