\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat harmadik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2007. febru\'ar 20.}


\beginsection A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg.

Egy $A$ esem\'eny (halmaz) $P(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege azt
m\'eri, hogy mennyire tartjuk va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-nek
ennek az $A$ esem\'enynek a bek\"ovetkez\'es\'et. Viszont ha tudjuk,
hogy egy m\'asik $B$ esem\'eny bek\"ovetkezett, akkor ez a plusz
inform\'aci\'o megv\'altoztathatja meg\-it\'e\-l\'e\-s\"un\-ket 
err\H{o}l a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egr\H{o}l. \'Erdemes ezt a 
k\'erd\'est r\'eszletesebben is t\'argyalni. Ez\'ert bevezetj\"uk a 
$P(A|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget, amely az $A$ esem\'eny 
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et m\'eri, felt\'eve a $B$ 
esem\'enyt, azaz azt, hogy a $B$ esem\'eny bek\"ovetkezett. A 
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oja egyszer\H{u}, 
\'es n\'eh\'any egyszer\H{u} \'es term\'eszetes t\'eny meg\'ertese 
ut\'an j\'ol tudunk vele sz\'amolni. Viszont, mivel ez nagyon 
fontos fogalom, \'erdemes t\"obb p\'eld\'at (lehet\H{o}leg
\"on\'all\'oan) megoldani annak \'erdek\'eben, hogy a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel min\'el biztosabban tudjunk
b\'anni. El\H{o}sz\"or megadom e fogalom pontos definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oja.}
{\it Legyen $B$ egy olyan esem\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyre $P(B)>0$. Egy
ugyanezen a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n l\'ev\H{o} $A$
esem\'eny $P(A|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
felt\'eve a $B$ esem\'enyt (azaz a $B$ esem\'eny
be\-k\"ovet\-ke\-z\'e\-s\'et) a
$$
P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
$$
k\'eplet adja meg.}
\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Csak pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
$B$ esem\'enyek, azaz $P(B)>0$ eset\'en defini\'aljuk a  $P(A|B)$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget.
\medskip

E definici\'o szeml\'eletes tartalma a k\"ovetkez\H{o}. Ha a $B$
esem\'eny bek\"ovetkezik, akkor minden a $B$ esem\'enyt kiz\'ar\'o
esem\'eny felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, (felt\'eve a
$B$ esem\'enyt) nulla, tov\'abb\'a tetsz\H{o}leges $A$ esem\'eny
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege megegyezik az $A\cap B$
esem\'eny felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel.
Term\'eszetes feltenni, hogy az $A\cap B$ esem\'eny $P(A\cap B|B)$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege ar\'anyos az $A\cap B$
esem\'eny $P(A\cap B)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel. Mivel
$P(B|B)=1$, ez sugallja a fenti definic\'ot.

\medskip\noindent
Annak \'erdek\'eben, hogy jobban meg\'erts\"uk a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg fogalm\'at tekints\"uk n\'eh\'any
feladatot.

\medskip\noindent
\item{1.)} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 10 alkalommal.
V\'alaszoljuk meg a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} k\'et k\'erd\'est:
\itemitem{a.)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
pontosan 6 fejdob\'as t\"ort\'enik?
\itemitem{b.)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
pontosan 6 fejdob\'as t\"ort\'enik, ha tudjuk, hogy az els\H{o}
p\'enzdob\'as eredm\'enye fej?
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az a.) k\'erd\'esre a v\'alasz az, hogy
$\binom{10}6 2^{-10}$, mert $\binom{10}6$ egym\'ast kiz\'ar\'o
esem\'enyt kell figyelembe venni, \'es ezek mindegyik\'enek
$2^{-10}$ a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege.
\item{} A b.) k\'erd\'esre a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg form\'alis definici\'oj\'at nem ismerve
a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} v\'alaszt adn\'ank: Ez a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\binom95 2^{-9}$, mert a felt\'etel
tel\-je\-s\"u\-l\'e\-se eset\'eben $\binom95$ egym\'ast kiz\'ar\'o
esem\'enyt kell figyelembe venni, azt, hogy a 2.-t\'ol a 10.
dob\'asig a (2. \'es 10. dob\'ast is belesz\'am\'{\i}tva), teh\'at
9 dob\'asban pontosan 5 fejdob\'as t\"ort\'ent, \'es ezen
esem\'enyek mindegyik\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $2^{-9}$.
\item{} A form\'alis definici\'o szerinti sz\'amol\'asban
kiss\'e m\'ask\'eppen \'ervel\"unk, de ugyanazt az eredm\'enyt
kapjuk. Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy a 10 dob\'asban
pontosan 6 fejdob\'as t\"ort\'ent, \'es $B$ azt az esem\'enyt,
hogy az els\H{o} fejdob\'as fej. Ekkor a
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell kisz\'amolni. Tov\'abb\'a
$P(B)=\frac12$, $P(A\cap B)=\binom952^{-10}$, ez\'ert
$P(A|B)=\binom952^{-9}$. A $P(A\cap B)=\binom952^{-10}$
azonoss\'ag az\'ert igaz, mert $A\cap B$ az az esem\'eny, hogy
az els\H{o} dob\'as fej, \'es az ut\'ana k\"ovetkez\H{o} 9
dob\'asban pontosan 5 fejdob\'as t\"ort\'ent. \"Osszesen
$\binom95$ ilyen dob\'assorozat van, \'es ezek
mindegyik\'enek $2^{-10}$ a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege.

\medskip\noindent
\item{2.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk k\'etszer
egym\'as ut\'an.
\itemitem{a)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
lesz legal\'abb egy hatos dob\'as?
\itemitem{b)} Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy lesz legal\'abb egy hatos dob\'as, ha tudjuk, hogy a k\'et
dob\'as \'ert\'eke k\"ul\"onb\"oz\H{o}?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Minden $(i,j)$, $1\le i,j\le6$
dob\'asp\'ar val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac1{36}$. Az a)
k\'erd\'es megv\'alaszol\'as\'ahoz \"ossze kell sz\'amolni, hogy
h\'any olyan dob\'asp\'ar van, amelynek leg\-al\'abb az egyik
eleme 6-os. Hat olyan dob\'asp\'ar van, amelyiknek az els\H{o} eleme
6-os. Ezenk\'{\i}v\"ul m\'eg 5 olyan dob\'asp\'ar van, amelyiknek
a m\'asodik eleme 6-os, de az els\H{o} eleme nem hatos, teh\'at
m\'eg nem sz\'amoltuk. Ez\'ert \"osszesen 11 a felt\'etelt
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} dob\'asp\'ar van, \'es a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\frac{11}{36}$.
\item{} Vezess\"uk be az $A$ esem\'enyt, ami azt jel\"oli, hogy
volt 6-os dob\'as \'es a $B$ esem\'enyt, ami azt jel\"oli, hogy
a k\'et dob\'as \'ert\'eke k\"ul\"onb\"oz\H{o}. A b) k\'erd\'es
megv\'alaszol\'as\'ahoz a $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell kisz\'amolnunk.
Vegy\"uk \'eszre, hogy $P(A\cap B)=\frac{10}{36}$, mert 10 olyan
dob\'asp\'ar van, amely mind az $A$ esem\'enyben, mind a $B$
esem\'enyben benne van. Vagy az els\H{o} dob\'as hatos, \'es a
a m\'asodik dob\'as nem az, vagy az els\H{o} dob\'as nem hatos,
\'es a m\'asodik dob\'as az. Hasonl\'oan, $P(B)=\frac{30}{36}$,
mert a $B$ esem\'enyt teljes\'{\i}t\H{o} dob\'asp\'arok els\H{o}
elem\'et 6, a m\'asodik elem\'et 5-f\'elek\'epp v\'alaszthatjuk.
Innen a keresett felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$P(A|B)=\frac13$.
\item{} (L\'atjuk, hogy az ebben a feladatban tekintett felt\'etel
n\'elk\"uli \'es felt\'eteles va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg
k\"ul\"onb\"ozik egym\'ast\'ol, de elt\'er\'es\"uk kicsi.)
\medskip
\item{3.)} Reggel valaki hazulr\'ol elmenve a lak\'askulcsot
elteszi, m\'egpedig \'ugy, hogy 0.5 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
teszi a kab\'atzseb\'ebe, 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a
nadr\'agzseb\'ebe \'es 0.2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a
mell\'enyzseb\'ebe. A nap folyam\'an mindenfel\'e j\'ar, ez\'ert a
lak\'askulcs a kab\'atzseb\'eb\H{o}l 0.1, a nadr\'agzseb\'eb\H{o}l
0.2, a mell\'enyzseb\'eb\H{o}l viszont 0
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik ki. Este hazat\'erve
ember\"unk el\H{o}sz\"or a kab\'at majd a nad\-r\'ag\-zse\-b\'e\-ben
keresi a kulcsot, de egyik helyen sem tal\'alja. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a lak\'askulcs
ott van a mell\'enyzseb\'eben?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy
ember\"unk a lak\'askulcsot a kab\'at $A_2$, hogy a nadr\'ag \'es
$A_3$, hogy a mell\'enyzseb\'ebe tette. Jel\"olje tov\'abb\'a $B$
azt az esem\'enyt, hogy a kulcs nem veszett el. Ekkor felt\'eteleink
szerint az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek egym\'ast kiz\'ar\'oak,
$P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$ tov\'abb\'a $P(B|A_1)=0.9$,
$P(B|A_2)=0.8$ \'es $P(B|A_3)=1$. Vezess\"uk be a
$C=(\bar B\cap A_1)\cup (\bar B\cap A_2)\cup A_3$ esem\'enyt. Ekkor
$C$ jelenti azt az esem\'enyt, hogy ember\"unk este nem tal\'alta a
lak\'askulcsot sem a kab\'at sem a nadr\'agzseb\'eben. Ez\'ert
minket a $P(B|C)=\frac{P(B\cap C)}{P(C)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont $P(C)=P(A_1\cap \bar
B)+P(A_2\cap \bar B)+P(A_3)=P(\bar B|A_1)P(A_1)+P(\bar
B|A_2)P(A_2)+P(A_3)=0.1\cdot 0.5+0.2\cdot 0.3+0.2=0.31$, \'es
$P(B\cap C)=P(B\cap A_3)=P(A_3)=0.2$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke
$\frac{0.2}{0.31}=\frac{20}{31}$.

\medskip\noindent
A felt\'eteles \'es hagyom\'anyos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg fogalmai
k\"oz\"ott fogalmaz meg kapcsolatot a k\"ovetkez\H{o} lemma.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es legyen rajtva adva egy
$B\in\Cal A$ esem\'eny, amelyre $P(B)>0$. Vezess\"uk be a
$P_B$, $P_B(A)=P(A|B)$, $A\in \Cal A$, halmazf\"uggv\'enyt a $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'an. Ekkor $(\Omega, \Cal A,P_B)$ szint\'en
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ $P_B(\Omega)=1$, $\Cal A$ $\sigma$-algebra,
azt kell m\'eg ellen\H{o}rizni, hogy $P_B$ $\sigma$-additiv az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'an, azaz, ha $A_n$, $n=1,2,\dots$, diszjunkt halmazok,
akkor $P_B\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)=\summ_{n=1}^\infty P_B(A_n)$.
Viszont ebben az esetben az $A_n\cap B$ halmazok is diszjunktak,
ez\'ert
$$
\align
P_B\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)
&=\frac{P\(\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)\cap B\)}{P(B)}=
\frac{P\(\bigcupp_{n=1}^\infty (A_n\cap B)\)}{P(B)}\\
&=\frac{\summ_{n=1}^\infty P(A_n\cap B)}{P(B)}
=\summ_{n=1}^\infty P(A_n|B)=\summ_{n=1}^\infty P_B(A_n).
\endalign
$$
\medskip

Megfogalmaztam n\'eh\'any egyszer\H{u} \'all\'{\i}t\'ast a
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egr\H{o}l. Ezeket nem kell
felt\'etlen\"ul megtanulni, mert olyan \"osszef\"ugg\'eseket
fejeznek ki, amelyekre magunkt\'ol is r\'aj\"ov\"unk. Fontosabb
ink\'abb meg\'erteni azt, hogy konkr\'et feladatokban
hogyan hasz\-n\'al\-j\'ak ezeket az \"osszef\"ugg\'eseket.

El\H{o}sz\"or felid\'eztem a teljes esem\'enyrendszer definici\'oj\'at
(l\'asd a Fazekas k\"onyv 3.6 definici\'oj\'at a 33. oldalon), ami
l\'enyeg\'eben nem m\'as mint a halmazelm\'eletben szerepl\H{o}
partici\'o fogalm\'anak \'ujrafogalmaz\'asa a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as nyelv\'en.

\medskip\noindent
{\bf Teljes esem\'enyrendszer definici\'oja}  {\it Legyen adva egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es azon
$A_n\in\Cal A$ esem\'enyek (halmazok) v\'eges vagy
megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen rend\-sze\-re. Azt mondjuk, hogy
az $A_n$ esem\'enyek teljes esem\'enyrendszert alkotnak, ha azok
diszjunkt halmazok (m\'as sz\'oval egym\'ast kiz\'ar\'o
esem\'enyek), \'es \ $\bigcupp_n A_n=\Omega$.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ha egy $A$ halmazt el\H{o}\'all\'{\i}tunk
v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen sok diszjunkt $A_n$
halmaz uni\'ojak\'ent, azaz $A=A_1\cup A_2\cup A_3\cup\cdots$, akkor
egy ilyen el\H{o}\'all\'{\i}t\'ast az $A$ halmaz partici\'oj\'anak
nevez\"unk. Ennek az \'altal\'anosan haszn\'alt fogalomnak a
felhaszn\'al\'as\'aval egy teljes esem\'enyrendszert az $\Omega$
biztos esem\'eny partici\'oj\'anak is ne\-vez\-he\-t\"unk.

\medskip\noindent
{\bf Teljes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg t\'etele.} {\it Alkossanak a
$B_n$ halmazok pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi halmazokb\'ol
\'all\'o teljes esem\'enyrendszert. Ekkor tetsz\H{o}leges $A$ halmazra
$$
P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots.
$$}
(L\'asd a Fazekas k\"onyv 3.7 t\'etel\'et a 33. oldalon.)
\medskip\noindent
{\it A  T\'etel bizony\'{\i}t\'asa:}
$$
P(A)=P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\cdots=
P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots.
$$
\medskip\noindent
{\bf Bayes formula.} (l\'asd a Fazekas k\"onyvben a 35. oldalon.)
$$
P(B|A)=P(A|B)\frac{P(B)}{P(A)}, \quad\text{ha } P(A)>0,\;\;\text{\'es }
P(B)>0.
$$
\medskip\noindent
Megfogalmaztam egy egyszer\H{u} eredm\'enyt, amelyet n\'eha a teljes
ese\-m\'eny\-rend\-szer\-r\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelnek is h\'{\i}vnak.
(L\'asd a Fazekas k\"onyv 3.10 T\'etel\'et a 36. oldalon).

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva egy $A$ esem\'eny \'es egy
$B_1,B_2,\cdots$, teljes esem\'enyrendszer. Ekkor
$$
P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}
{\summ_{n=1}^\infty P(A|B_n)P(B_n)} \quad \text{minden }i=1,2,\dots,
\text{ sz\'amra.}
$$
}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy a fel\'{\i}rt
kifejez\'esben a sz\'aml\'al\'o
$$
P(A|B_i)P(B_i)=P(A\cap B_i),
$$
a nevez\H{o} pedig $\summ_{n=1}^\infty
P(A|B_n)P(B_n)=\summ_{n=1}^\infty P(A\cap B_n)=P(A)$.
\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}z\H{o} t\'etelben szerepl\H{o}
formula az\'ert hasznos, mert a k\"ovetkez\H{o} gyakran
el\H{o}fordul\'o probl\'em\'anak a megold\'as\'aban seg\'{\i}t.
Ismerj\"uk egy $A$ esem\'eny $P(A|B_1)$, $P(A|B_2)$,\dots
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit felt\'eve egy $B_1,
B_2,\dots$, teljes esem\'enyrendszert, de minket a $P(B_i|A)$,
$i=1,2,\dots$, felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \'erdekelnek.
E t\'etel ered\-m\'e\-nye szerint ezeket egyszer\H{u}en ki tudjuk
sz\'am\'{\i}tani, ha ismerj\"uk a $P(B_n)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket is. \medskip
Konkr\'et esetekben ezekre az \"osszef\"ugg\'esekre magunk is
r\'aj\"ohet\"unk an\'elk\"ul, hogy a form\'alis k\'epleteket
n\'ezz\"uk. Tekints\"unk n\'eh\'any p\'eld\'at.

\medskip\noindent
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{4.)} H\'arom g\'ep gy\'art csavarokat, az egyik 0.01 a m\'asodik
0.02 a harmadik 0.03 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel gy\'art
hib\'as csavarokat. A csavarokat egy rakt\'arba viszik, \'es
\"osszekeverik azokat. Egy gy\'artott csavar 0.5
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult az
els\H{o} 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a m\'asodik \'es 0.2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a harmadik g\'epen.
Kivesz\"unk egy csavart, megn\'ezz\"uk, \'es azt tal\'aljuk, hogy az
hib\'as. Milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a csavar eme
felt\'etelek mellett az els\H{o} g\'epen?
\item{} {\it Megold\'as:} Jel\"olje $A_1$, $A_2$ illetve $A_3$ azt az
esem\'enyt, hogy a csavar az els\H{o}, m\'asodik vagy harmadik g\'epen
k\'esz\"ult, $B$ azt az esem\'enyt, hogy a csavar hib\'as. Ekkor minket
a $P(A_1|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Tudjuk,
hogy $P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$, tov\'abb\'a
$P(B|A_1)=0.01$, $P(B|A_2)=0.02$, \'es $P(B|A_3)=0.03$. Ekkor
$$
\align
P(A_1|B)&=\frac{P(B\cap A_1)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B\cap
A_1)+ P(B\cap A_2)+P(B\cap A_3)}\\
&=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+
P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}\\
&=\frac{0.01\cdot 0.5}{0.01\cdot 0.5+0.02\cdot0.3+0.03\cdot 0.2}.
\endalign
$$
\medskip
\item{5.)} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
(szab\'alyos) dob\'okocka mindk\'et dob\'as\'anak az eredm\'enye
hatos felt\'eve, hogy legal\'abb az egyik dob\'as hatos?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt,
hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos, $A_2$ azt az esem\'enyt,
hogy a m\'asodik dob\'as eredm\'enye hatos. Akkor minket a $P(A_1\cap
A_2|A_1\cup A_2)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Viszont
$$
P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)=\frac{P((A_1\cap A_2)\cap(A_1\cup
A_2))}{P(A_1\cup A_2)}=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1\cup A_2)}.
$$
M\'asr\'eszt $P(A_1\cap A_2)=\frac1{36}$, $P(A_1\cup A_2)=1-P(\bar
A_1\cap \bar A_2)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$. Innen a keresett
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\frac1{11}$.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} (egyszer\H{u}) feladat c\'elja az, hogy
\"osszehasonl\'{\i}tsuk annak eredm\'eny\'et az el\H{o}bb t\'argyalt
feladat eredm\'eny\'evel, \'es megbesz\'elj\"uk m\'ast jelent az a
felt\'etelt, hogy k\'et kockadob\'as k\"oz\"ul az egyik megnevezett
dob\'as (p\'eld\'aul az els\H{o} dob\'as) hatos, \'es
az hogy ad\'odott hatos dob\'as. K\'epesek vagyunk-e szeml\'elet\"unk
alapj\'an sz\'amol\'as n\'elk\"ul megmondani,  hogy melyik feltev\'es
mellett nagyobb annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
mind a k\'et dob\'as hatos? \medskip
\item{6.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk k\'etszer egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy mind a
k\'et dob\'as hatos, felt\'eve hogy az els\H{o} dob\'as hatos?
\item{}{Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy az
els\H{o} dob\'as hatos, $A_2$ pedig azt az esem\'enyt, hogy a m\'asodik
dob\'as hatos. Ekkor $A_1\cap A_2$ az az esem\'eny, hogy mind a k\'et
dob\'as hatos, \'es minket a $P(A_1\cap A_2|A_1)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. Viszont,
$P(A_1\cap A_2|A_1)=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}
=\frac{P(A_1)P(A_2)}{P(A_1)}=P(A_2)=\frac16$.

\medskip\noindent
Ezut\'an a k\"ovetkez\H{o} feladatot t\'argyaltam.
(l\'asd a Fazekas k\"onyvben a 3.4 P\'eld\'at a 32. oldalon)
\medskip
\item{7.)} Ha egy $n$ l\'etsz\'am\'u csoportban $r$
v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott di\'aknak dolgozatot kell \'{\i}rni,
mi annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb
di\'aknak is dolgozatot kell \'{\i}rni, felt\'eve, hogy a legjobb
di\'ak is \'{\i}r dolgozatot.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A$  azt az esem\'enyt, hogy a
legrosszabb di\'ak \'{\i}r dolgozatot, $B$ azt az esem\'enyt, hogy a
legjobb di\'ak \'{\i}r dolgozatot. Ekkor mi a $P(A|B)=\frac{P(A\cap
B)}{P(B)}$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget akarjuk
kisz\'am\'{\i}tani. Viszont $P(A\cap B)=\frac
{\binom{n-2}{r-2}}{\binom nr}$, mert $\binom{n-2}{r-2}$ olyan
v\'alaszt\'as van, amelyben mind a legjobb mind a legrosszabb di\'ak
\'{\i}r dolgozatot, \"osszesen $\binom nr$ v\'alaszt\'as van, \'es
minden v\'alaszt\'as egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}. Hasonl\'oan,
$P(B)=\frac{\binom{n-1}{r-1}}{\binom nr}$. Innen egyszer\H{u}
sz\'amol\'assal
$$
P(A|B)=\frac{\binom{n-2}{r-2}}
{\binom{n-1}{r-1}}=\frac{r-1}{n-1}.
$$
Az el\H{o}ad\'as kieg\'esz\'{\i}t\'es\'eben tov\'abbi a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel kapcsolatos feladatot le\'{\i}rtam
e feladatok megold\'as\'aval egy\"utt.  Ott visszat\'ertem erre a
feladatra is, \'es ismertettem annak egy m\'asfajta heurisztikus
elveken alapul\'o t\'argyal\'as\'at, illetve azt, hogy mi\'ert ad
ez a heurisztikus \'ervel\'es helyes eredm\'enyt.

\beginsection Esem\'enyek f\"uggetlens\'ege.

Esem\'enyek \'es a k\'es\H{o}bb t\'argyaland\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
legfontosabb fogalmai k\"oz\'e tartozik. Heurisztikusan azt
mondhatjuk, hogy egy $A$ esem\'eny akkor f\"uggetlen egy $B$
esem\'enyt\H{o}l, ha az $A$ esem\'eny bek\"ovetkez\'ese vagy  be
nem k\"ovetkez\'ese nem befoly\'asolja annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a $B$ esem\'eny bek\"ovetkezik-e.
Ez azt sugallja, hogy a $B$ esem\'eny akkor f\"uggetlen az $A$
esem\'enyt\H{o}l, ha $P(B|A)=P(B)$. Ezt az
\"osszef\"ugg\'est \'atrendezve jutunk a k\"ovetkez\H{o}
definici\'ohoz.

\medskip \noindent
{\bf K\'et esem\'eny f\"uggetlens\'eg\'enek a definici\'oja.} {\it Azt
mondjuk, hogy egy $A$ \'es $B$ esem\'eny f\"uggetlen, ha $P(A\cap
B)=P(A)P(B)$.} 

\medskip\noindent
Ez a definici\'o azonban \"onmag\'aban nem elegend\H{o}
sz\'amunkra. Besz\'elni akarunk t\"obb esem\'eny
f\"uggetlens\'eg\'er\H{o}l is. Ez\'ert a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot
is bevezetj\H{u}k.
\medskip\noindent
{\bf T\"obb esem\'eny f\"uggetlens\'eg\'enek definici\'oja:} {\it Az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek akkor (teljesen)
f\"uggetlenek, ha az $\{1,\dots,n\}$ indexhalmaz minden
$\{j_1,\dots,j_k\}\subset \{1,\dots,n\}$ r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra
$$
P(A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_k})=P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_k}).
$$
Esem\'enyek v\'egtelen $A_1,A_2,\dots$ sorozata akkor \'es csak akkor
f\"uggetlen, ha tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v $n$ eg\'esz sz\'amra az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek f\"uggetlenek.}
\medskip
Speci\'alisan $n=3$ esetben ez a definici\'o a k\"ovetkez\H{o}t
jelenti: Az $A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek akkor f\"uggetlenek,
ha a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agok {\it mindegyike}\/ teljes\"ul:
$$
\align
P(A\cap B)&=P(A)P(B) \\
P(A\cap C)&=P(A)P(C) \\
P(B\cap C)&=P(B)P(C) \\
P(A\cap B\cap C)&=P(A)P(B)P(C).
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Al\'abb bevezetj\"uk esem\'enyek p\'aronk\'enti
f\"uggetlens\'eg\'enek  az irodalomban szint\'en haszn\'alt fogalm\'at.
Fontos, hogy esem\'enyek p\'aronk\'enti f\"uggetlens\'eg\'enek \'es
(teljes) f\"uggetlens\'eg\'enek a fogalm\'at meg
tudjuk k\"ul\"onb\"oztetni egym\'ast\'ol.

\medskip\noindent
{\bf Esem\'enyek p\'aronk\'enti f\"uggetlens\'eg\'enek a
definici\'oja.} {\it Legyen $A_1,A_2,\dots$, ese\-m\'e\-nyek (v\'eges
vagy v\'egtelen) sorozata egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.
Azt mondjuk, hogy ezek az esem\'enyek p\'aronk\'ent f\"uggetlenek, ha
tetsz\H{o}leges k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amokb\'ol \'all\'o $(j,k)$,
$j\neq k$, indexekre $P(A_j\cap A_k)=P(A_j)P(A_k)$.}

\medskip\noindent
Megmutatand\'o, hogy az esem\'enyek (teljes) f\"uggetlens\'eg\'enek
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} felt\'etelek mindegyike fontos
tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} feladatot.
\medskip \item{}
Adjunk p\'eld\'at egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}re azon h\'arom $A_1$, $A_2$ \'es
$A_3$ ese\-m\'eny\-re, amelyekre $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=
P(A_1)P(A_2)P(A_3)$, de az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek
nem f\"uggetlenek.

\item{} {\it Egy lehets\'eges konstrukci\'o:}\/ Legyen
$\Omega=\{1,2,3,4,5\}$, $\Cal A$ az $\Omega$ halmaz \"osszes
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, $P(\{1\})=x$,
$P(\{2\})=P(\{3\})=P(\{4\})=y$, $P(\{5\})=1-x-3y$, alkalmas $x$ \'es
$y$ sz\'amokkal, $P(A)=\summ_{u\in A} P(\{u\})$ minden $A\in \Cal A$
halmazra. Defini\'aljuk az $A_1=\{1,2\}$, $A_2=\{1,3\}$ \'es
$A_3=\{1,4\}$ halmazokat. Ekkor $A_1\cap A_2\cap A_3=\{1\}$, ez\'ert
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=x$. M\'asr\'eszt $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=x+y$.
V\'alasszuk meg az $x$ \'es $y$ sz\'amokat \'ugy, hogy $x=(x+y)^3$.
Egy lehet\H{o}s\'eg erre, $x+y=\frac13$, \'es ekkor
$x=(x+y)^3=\frac1{27}$, $y=\frac8{27}$,  tov\'abb\'a
$P(\{5\})=\frac2{27}$. Ebben a p\'eld\'aban
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$. Viszont $A_1\cap
A_2=\{1\}=A_1\cap A_2\cap A_3$, \'{\i}gy ny\'{\i}lv\'an
$P(A_1\cap A_2)\neq P(A_1)P(A_2)$. Teh\'at a f\"uggetlens\'eg nem
teljes\"ul.

\medskip
L\'assunk p\'eld\'at arra is, hogy esem\'enyek p\'aronk\'enti
f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l nem k\"ovetkezik azok f\"uggetlens\'ege.
\medskip\noindent
{\it P\'elda:}\/ Defini\'alunk egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, azon h\'arom $A_1$, $A_2$,
$A_3$-mal jel\"olt esem\'enyt, amelyek p\'aronk\'ent f\"uggetlenek,
azaz $P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2)$, $P(A_1\cap A_3)=P(A_1)P(A_3)$
\'es $P(A_2\cap A_3)=P(A_2)P(A_3)$, de nem teljes\"ul a $P(A_1\cap
A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$ azonoss\'ag, teh\'at
ezek az esem\'enyek nem f\"uggetlenek.

\'Alljon az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}ben
$\Omega$ 4 pontb\'ol, a jobb szeml\'elhet\H{o}s\'eg kedv\'e\'ert
legyenek ezek az $(1,1)$, $(1,2)$, $(2,1)$, $(2,2)$ pontok, \'alljon
$\Cal A$ az $\Omega$ halmaz \"osszes r\'eszhalmaz\'ab\'ol, \'es
legyen $P(\{(1,1)\})=P(\{(1,2)\})=P(\{(2,1)\})=P(\{(2,2)\})=\frac14$.
Tekints\"uk az $A_1=\{(1,1),(1,2)\}$ $A_2=\{(1,1),(2,1)\}$ \'es
$A_3=\{(1,1),(2,2)\}$ halmazokat. Ekkor teljes\"ulnek a $P(A_1\cap
A_2)=P(A_1)P(A_2)$, $P(A_1\cap A_3)=P(A_1)P(A_3)$ \'es $P(A_2\cap
A_3)=P(A_2)P(A_3)$ azonoss\'agok, mert $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac12$,
\'es $A_1\cap A_2=A_1\cap A_2=A_2\cap A_3=\{(1,1)\}$, $P(A_1\cap
A_2)=P(A_1\cap A_3)=P(A_2\cap A_3)=\frac14$. M\'asr\'eszt,
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)\neq P(A_1)P(A_2)P(A_3)$, mert
 $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(\{(1,1)\})=\frac14$, \'es
$P(A_1)P(A_2)P(A_3)=\frac18$.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ $n$ esem\'eny f\"uggetlens\'eg\'enek a
definici\'oj\'aban \"osszesen $2^n-n-1$ nem trivi\'alis azonoss\'ag
szerepel. (Az 1 elem\H{u} $\{j\}$, $1\le j\le n$, alak\'u
r\'eszhalmazoknak megfelel\H{o} $P(A_j)=P(A_j)$ \'es az \"ures
halmaznak megfelel\H{o} $1=1$ azonoss\'agok automatikusan
tel\-je\-s\"ul\-nek.) A nem trivi\'alis azonoss\'agok egyik\'et
sem lehet a f\"uggetlens\'eg definici\'oj\'ab\'ol elhagyni. Be
lehet l\'atni, hogy a definici\'oban szerepl\H{o} b\'armely nem
trivi\'alis azonoss\'agot elhagyva lehet konstru\'alni egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t \'es azon $n$ olyan esem\'enyt,
amelyek a f\"uggetlens\'eg definici\'oj\'aban szerepl\H{o} \"osszes
t\"obbi nem trivi\'alis azonoss\'agot teljes\'{\i}tik, de ezt az
azonoss\'agot nem. Ez\'ert ezek az esem\'enyek nem
f\"ug\-get\-le\-nek.

\medskip
Fogalmazzuk meg a f\"uggetlen esem\'enyekre vonatkoz\'o
tulajdons\'agok k\"oz\"ul a legfontosabbakat.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Ha $A_1,\dots, A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek, \'es
bevezetj\"uk az $A_j^{1}=A_j$ \'es $A_j^{-1}=\Omega\setminus A_j$
jel\"ol\'eseket, akkor tetsz\H{o}leges $\e_j=\pm1$, $1\le j\le n$,
sorozatra az $A_1^{\e_1},\dots,A_n^{\e_n}$ esem\'enyek f\"uggetlenek.}
\medskip\noindent
{\it Indokl\'as:}\/ El\'eg bel\'atni, hogy egy $A_j$ halmaz
kicser\'el\'ese az $A_j^{-1}$ halmazra nem v\'altoztatja meg a
halmazrendszer f\"uggetlens\'eg\'et. Tov\'abb\'a az indexek
szim\-met\-ria tulajdons\'aga miatt el\'eg a $j=1$ esettel foglalkozni.
Ezut\'an a f\"uggetlens\'eget defini\'al\'o rel\'aci\'ok k\"oz\"ul
el\'eg azokat ellen\H{o}rizni, amelyekben a $j=1$ index szerepel. Azt
kell megmutatni, hogy az $A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek f\"uggetlens\'ege
eset\'en teljes\"ul az
$$
P((\Omega\setminus A_1)\cap A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})=
P(\Omega\setminus A_1)P( A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})
$$
azonoss\'ag minden $2\le l_1<\cdots<l_s$ indexre. Viszont ekkor
$$
\align
P((\Omega\setminus A_1)\cap A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})&=
P(A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})-
P(A_1\cap A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})\\
&=P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})-
P(A_1)P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})\\
&=(1-P(A_1))P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})\\
&=P(\Omega\setminus A_1)P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s}).
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyenek $A_1,\dots,A_n, B_1,\dots, B_m$
esem\'enyek f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. Tet\-sz\H{o}\-le\-ges olyan
$C$ esem\'enyre, amelyik el\H{o}\'all\'{\i}that\'o az $A_1,\dots,
A_k$ halmazokb\'ol v\'eges sok metszet, uni\'o \'es
komplementerk\'epz\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel igaz, hogy a
$B_1,\dots,B_m$ \'es $C$ halmazok f\"uggetlenek.}
\medskip\noindent
{\bf Eml\'ekeztet\H{o} 1.} {\it Tanult\'ak, hogy ha adva van
v\'eges sok halmaz, akkor minden ezekb\H{o}l a 
halmazokb\'ol uni\'o, metszet \'es komplementer k\'epz\'essel
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o halmaz megadhat\'o \'ugynevezett
konjunkt\'{\i}v vagy diszjunkt\'{\i}v norm\'alform\'aban. Ez a
k\"ovetkez\H{o}t jelenti: Le\-gyen adva egy $\Omega$ halmaz 
v\'eges sok $A_1$,\dots, $A_n$ r\'eszhalmaza, \'es jel\"olje
$A_j^{-1}=\Omega\setminus A_j$ az $A_j$ halmaz komplementer\'et,
$1\le j\le n$. Vezess\"uk be tov\'abb\'a az $A_j^{1}=Aj$
jel\"ol\'est \'es az $\e_j=\pm1$, $1\le j\le n$, sz\'amokat
valamint az \"osszes lehets\'eges $(\e_1,\dots,\e_n)$ alak\'u
sorozatb\'ol \'all\'o halmazt. Ekkor minden az $A_1,\dots,A_n$
halmazokb\'ol v\'eges sok uni\'o, metszet \'es komplementer
seg\'{\i}ts\'eg\'evel el\H{o}\'all\'{\i}that\'o  $C$ halmaz
megadhat\'o a k\"ovetkez\H{o} m\'odon is: L\'etezik az $n$ 
hossz\'us\'ag\'u $\pm1$ sorozatokb\'ol \'all\'o $\Sigma$
halmaznak olyan $J=J(C)\subset\Sigma$ r\'eszhalmaza, amelyre
$$
C=\bigcupp_{(\e_1,\dots,\e_n)\in
J}(A_1^{\e_1}\cap A_2^{\e_2}\cap\cdots\cap A_n^{\e_n})
$$
(konjunkt\'{\i}v norm\'alforma), \'es l\'etezik a $\Sigma$ halmaznak
olyan $\bar J=\bar J(C)\subset\Sigma$ r\'eszhalmaza, amelyre
$$
C=\bigcapp_{(\e_1,\dots,\e_n)\in \bar J}(A_1^{\e_1}\cup
A_2^{\e_2}\cup\cdots\cup A_n^{\e_n})
$$
(diszjunkt\'{\i}v norm\'alforma).}
\medskip\noindent
{\bf Eml\'ekeztet\H{o} 2.} {\it B\'ar erre nem lesz sz\"uks\'eg\"unk,
id\'ezz\"uk fel a diszjunkt\'{\i}v \'es konjunkt\'{\i}v norm\'alforma
l\'etez\'es\'enek egy lehets\'eges indokl\'as\'at. Mindegyik $A_j$,
$1\le j\le n$, halmaz el\H{o}\'all\'{\i}that\'o ilyen alakban. Ebben
a speci\'alis esetben a $J=\bar J$ halmazt \'ugy v\'alasztjuk, mint
azon $(\e_1,\dots,\e_n)$ sorozatok halmaz\'at, amelyeknek a $j$-ik
koordin\'at\'aja $\e_j=1$, a t\"obbi koordin\'ata tetsz\H{o}leges. 
Ezut\'an el\'eg bel\'atni, hogy amennyiben
k\'et $B_1$ \'es $B_2$ halmaz  el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
konjunkt\'{\i}v \'es diszjunt\'{\i}v norm\'alform\'aban, akkor
ugyanez igaz a $B_1\cap B_2$, $B_1\cup B_2$, $\Omega\setminus B_1$
\'es $\Omega\setminus B_2$ halmazokra is.  Ez n\'emi sz\'amol\'assal
megmutathat\'o. E sz\'amol\'asban \'erdemes felhaszn\'alni az al\'abbi
de Morgan formul\'anak nevezett azonoss\'agokat, amelyeket
egy\'ebk\'ent is tudni kell: $\overline{B_1\cup B_2}=\bar B_1\cap \bar
B_2$, $\overline{B_1\cap B_2}=\bar B_1\cup \bar B_2$, ahol $\bar B$
jel\"oli a $B$ halmaz komplementer\'et. \'Altal\'anosabban,
tetsz\H{o}leges $B_1$,\dots $B_k$ halmazokra
$\overline{B_1\cup B_2\cup\cdots\cup B_k}=\bar B_1\cap \bar
B_2\cap\cdots\cap \bar B_k$, \'es
$\overline{B_1\cap B_2\cap\cdots\cap B_k}=\bar B_1\cup \bar
B_2\cup\cdots\cup \bar B_k$.}
\medskip\noindent
{\it A lemma indokl\'asa:}\/ Minden ilyen $C$ halmaz fel\'{\i}rhat\'o
konjunkt\'{\i}v norm\'alform\'aban, azaz az el\H{o}bb bevezetett
jel\"ol\'eseket haszn\'alva $C=\bigcupp_{(\e_1,\dots,\e_n)\in J}
A^{\e_{1}}\cap\cdots\cap A^{\e_{n}}$ alakban, ahol $J$ egy $n$
hossz\'us\'ag\'u $\pm1$ sorozatokb\'ol \'all\'o halmaz. Tov\'abb\'a
az ebben a kifejez\'esben szerepl\H{o}
$A(\e_1,\dots,\e_n)=A^{\e_{_1}}\cap\cdots\cap A^{\e_{n}}$
esem\'enyek k\"ul\"onb\"oz\H{o} $(\e_1,\dots,\e_n)$ sorozatokra
diszjunktak, \'es az $A(\e_1,\dots,\e_n)$, $B_1$,\dots, $B_n$
esem\'enyek f\"uggetlenek. Fel\'{\i}rva a f\"uggetlens\'eg
definic\'oj\'aban szerepl\H{o} azonoss\'agokat
ezekre a halmazrendszerekre, majd azokat \"osszeadva az \"osszes
$(\e_1,\dots,\e_n)\in J$ indexre megkapjuk a Lemma
\'all\'{\i}t\'as\'at.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $A_1,\dots,A_n, B_1,\dots, B_m$ olyan esem\'enyek egy 
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi me\-z\H{o}n, amelyekre
$B_1,\dots,B_m$ diszjunktak, \'es $A_1,\dots,A_n, B_j$ f\"uggetlen
esem\'enyek minden $1\le j\le m$ indexre. Ekkor 
$A_1,\dots,A_n,B_1+\cdots+B_m$ f\"uggetlen esem\'enyek.

\vfill\eject

Ezut\'an tekintettem n\'eh\'any p\'eld\'at.
\medskip
{\it Feladatok f\"uggetlen esem\'enyekkel kapcsolatos
probl\'em\'akr\'ol.}
\medskip

\item{1.)} Egy 100 tag\'u t\'arsas\'ag minden egyes tagja
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $\frac1{1000}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel betegszik meg. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a t\'arsas\'agnak lesz beteg
tagja? A kapott eredm\'enyr\H{o}l mit mondhatunk? Az nagyon
nagy, (majdnem 1) vagy nagyon kicsi (majdnem nulla) \'ert\'ek?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_j$ azt az esem\'enyt,
hogy a t\'arsas\'ag $j$-ik tagja megbetegszik. Ekkor a
$P(A_j)=\frac1{1000}$, \'es az $A_j$ esem\'enyek f\"uggetlenek.
Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or a minket \'erdekl\H{o} esem\'eny
komplementer\'enek, azaz annak az esem\'enynek a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy mindenki
eg\'eszs\'eges. Ez az $\bigcapp_{j=1}^{100}(\Omega\setminus A_j)$
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. Mivel 
$P(\Omega\setminus A_j)=1-\frac1{1000}$, \'es az
$A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l k\"ovetkezik az
$\Omega\setminus A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'ege is, ez\'ert
$P\(\bigcapp_{j=1}^{100}(\Omega\setminus A_j)\)
=\(1-\frac1{1000}\)^{100}$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $1-\(1-\frac1{1000}\)^{100}$.
\item{} V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg, hogy $\(1-\frac1{1000}\)^{100}=
\(\(1-\frac1{1000}\)^{1000}\)^{1/10}\sim e^{-1/10}$. 
Ez a sz\'am nagyon k\"ozel van az egyhez, ez\'ert a minket
\'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke kicsi.
\item{2.)} Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t. $\Omega=\{1,\dots, n\}$, ahol $n$ valamely pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'am, $\Cal A$ az $\Omega$ \"osszes r\'eszhalmazaib\'ol
\'all\'o $\sigma$-algebra,
$$
P(A)=\frac{\text{az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga}}n.
$$
Legyen $n=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$ az $n$ sz\'am
pr\'{\i}mt\'enyez\H{o}s felbont\'asa, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $A_j$ esem\'enyeket:
$A_j=\{m\colon\; m\text{ oszthat\'o a $p_j$ sz\'ammal}\}$,
$1\le j\le k$. Legyen
$B=\{m\colon\; m\text{ relat\'{\i}v prim az $n$ sz\'amhoz k\'epest}\}$.
Mutassuk meg, hogy
\itemitem{a.)} Az $A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek.
\itemitem{b.)} $P(B)=\prodd_{j=1}^k\(1-\frac1{p_j}\)$, ez\'ert
\"osszesen $n\cdot\prodd_{j=1}^k\(1-\frac1{p_j}\)$ $n$-n\'el
kisebb \'es az $n$-hez k\'epest relat\'{\i}v prim van.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $A_j=\left\{p_j,2p_j,\dots,\frac
n{p_j}p_j\right\}$ egy $\frac n{p_j}$ sz\'amb\'ol \'all\'o halmaz,
ez\'ert $P(A_j)=\frac1{p_j}$, $1\le j\le k$. Az $A_{j_1}\cap
A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s}$ halmaz az $n$-n\'el kisebb
$p_{j_1}\cdots p_{j_s}$ sz\'ammal oszthat\'o sz\'amokb\'ol \'all
minden $1\le j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$ sorozatra, ez\'ert
sz\'amoss\'aga $\frac n{p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$, \'es
$P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s})
=\frac1{p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$. Ez azt jelenti, hogy
$P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s})=P(A_{j_1})
P(A_{j_2})\cdots P(A_{j_s})$ minden $1\le j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$
sorozatra, ez\'ert az $A_1$, $A_2$, \dots $A_k$ halmazok
f\"uggetlenek.
\item{} V\'eg\"ul $B=\Omega\setminus (A_1\cup\cdots\cup A_k)
=\bigcapp_{j=1}^k(\Omega\setminus A_j)$. Ez\'ert \'es az $A_j$
esem\'enyek f\"uggetlens\'ege miatt $P(B)=\prodd_{j=1}^k
P(\Omega\setminus A_j)=\prodd_{j=1}^k \(1-\frac1{p_j}\)$, ahonnan
k\"ovetkezik a $B$ halmaz sz\'amoss\'ag\'ara megadott k\'eplet.
\item{3.)} H\'usz h\'eten kereszt\"ul j\'atszunk a lott\'on. Minden
h\'eten kit\"olt\"unk (egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul) 10
lott\'oszelv\'enyt. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy pontosan k\'et olyan h\'et lesz, amelyen lesz h\'armas
n\'egyes vagy \"ot\"os tal\'alatunk?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A 2. el\H{o}ad\'as 6. feladat\'anak
megold\'asa alapj\'an annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
egy kit\"olt\"ott lott\'oszelv\'eny tartalmaz h\'arom, n\'egy
vagy \"ot tal\'alatot
$$
p_1=\frac{1+\binom{85}1\binom54+\binom{85}2\binom53}{\binom{90}5}.
$$
Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy valamely h\'eten van
h\'arom vagy n\'egy tal\'alatunk \'ugy sz\'amolhat\'o ki, hogy
tekint\"unk 10 f\"uggetlen kis\'erletet, amelyek mindegyike $p_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\"ovetkezik be, \'es annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et k\'{\i}v\'anjuk kisz\'amolni, hogy
ezen kis\'erletek legal\'abb egyike si\-ke\-res. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy nem volt si\-ke\-res kis\'erlet
$(1-p_1)^{10}$, \'{\i}gy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
volt (legal\'abb egy) sikeres kis\'erlet $p_2=1-(1-p_1)^{10}$.
Teh\'at minden h\'eten $p_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
k\"ovetkezik sikeres lott\'oszelv\'eny kit\"olt\'es. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $i$-edik \'es $j$-ik (p\'eld\'aul
a harmadik \'es \"ot\"odik) h\'eten k\"ovetkezik be sikeres
lott\'okit\"olt\'es, a t\"obbi h\'eten pedig nem $p_2^2(1-p_2)^{18}$.
Mivel az ilyen h\'etp\'arokat $\binom {20}2$-f\'elek\'epp
v\'alaszthatjuk ki, a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\align
&\binom{20}2p_2^2(1-p_2)^{18}
=\binom{20}2\(1-(1-p_1)^{10}\)^2
(1-p_1)^{180}\\
&\qquad =\binom{20}2\(1-\(1-
\frac{1+\binom{85}1\binom54+\binom{85}2\binom53}{\binom{90}5}\)^{10}\)^2\\
&\qquad\qquad \(1-
\frac{1+\binom{85}1\binom54+\binom{85}2\binom53}{\binom{90}5}\)^{180}.
\endalign
$$
\item{4.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen sokszor
egym\'as ut\'an. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan
az \"ot\"odik dob\'asban jelenik meg az els\H{o} fej-dob\'as? Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik fej-dob\'as pontosan
\"ot dob\'assal az els\H{o} fej-dob\'as ut\'an k\"ovetkezik be?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Akkor lesz az els\H{o} fej-dob\'as az
\"ot\"odik  dob\'as, ha el\H{o}sz\"or n\'egy \'{\i}r\'as-dob\'as
majd egy fej-dob\'as t\"ort\'enik. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\(\frac12\)^4\cdot\frac12=\(\frac12\)^5$. Hasonl\'oan, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $k$-ik dob\'as lesz az els\H{o}
fej-dob\'as $2^{-k}$, $k=1,2,\dots$, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
pedig, hogy a $k$-ik dob\'as lesz az els\H{o} fej-dob\'as, ut\'ana
pedig 5 dob\'as m\'ulva k\"ovetkezik be a m\'asodik fej-dob\'as
$2^{-k}\cdot2^{-5}=2^{-k-5}$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
hogy az els\H{o} \'es m\'asodik fej-dob\'as k\"oz\"ott pontosan 5
dob\'as k\"ovetkezik be kisz\'amolhatjuk \'ugy is, hogy kisz\'amoljuk
minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra kisz\'amoljuk annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a $k$-ik dob\'as volt az els\H{o}
\'es a $k+5$-ik dob\'as a m\'asodik fej-dob\'as, majd
\"osszegez\"unk $k=1,2,\dots$-ra. \'Igy azt kapjuk, hogy a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\summ_{k=1}^\infty
2^{-k-5}=2^{-5}\summ_{k=1}^\infty 2^{-k}=2^{-5}$.
\item{5.)} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an
eg\'eszen addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az utols\'oel\H{o}tti dob\'as eredm\'enye fej?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az esem\'eny, amelyiknek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et ki akarjuk sz\'amolni, a
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} m\'odon is jellemezhet\H{o}: El\H{o}sz\"or
$k$ darab \'{\i}r\'asdob\'as t\"ort\'enik valamely $k=0,1,2,\dots$,
sz\'ammal, majd ut\'ana k\'et fejdob\'as k\"ovetkezik be. Ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$$
\sum_{k=0}^\infty \(\dfrac12\)^k\cdot
\frac12\cdot\frac12=\frac14\sum_{k=0}^\infty
\frac1{2^k}=\frac24=\frac12.
$$
\item{6.)}  Legyenek $A_1\dots, A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek,
amelyeknek ismerj\"uk $P(A_j)$, $1\le j\le n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit. Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy pontosan $k$ darab, illetve hogy
legal\'abb $k$ darab $A_j$ esem\'eny k\"ovetkezik be, $0\le k\le n$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az, hogy pontosan $k$ darab $A_j$
esem\'eny k\"ovetkezik be azt jelenti, hogy l\'eteznek olyan
$1\le j_1<j_2<\cdots<j_k\le n$ sz\'amok, hogy az
$A_{j_1},\dots,A_{j_k}$ esem\'enyek bek\"ovetkeznek, m\'{\i}g
$s\neq j_l$, $1\le l\le k$, $1\le s\le n$ indexekre az $A_s$
esem\'eny nem k\"ovetkezik be, azaz az $\bar A_s$ esem\'eny
k\"ovetkezik be. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege r\"ogz\'{\i}tett
$1\le j_1<j_2<\cdots<j_k\le n$ indexekre
$$
P(A_{j_1}\cap \cdots\cap A_{j_k}\cap
\bigcapp_{s\in\{1,\dots,n\}\setminus\{j_1,\dots,j_k\}} \bar A_s)
=\prodd_{s=1}^kP(A_{j_s})\prodd
_{t\in\{1,\dots,n\}\setminus\{j_1,\dots,j_k\}}(1-P(A_t)).
$$
\'Igy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan $k$ darab
$A_j$ esem\'eny k\"ovetkezik be
$$
\align
P_k&=\sum_{(j_1,\dots,j_k)\colon 1\le j_1<j_2\le \cdots j_k\le n}
P(A_{j_1}\cap \cdots\cap A_{j_k}\cap
\bigcapp_{s\in\{1,\dots,n\}\setminus\{j_1,\dots,j_k\}} \bar A_s)\\
&=\sum_{(j_1,\dots,j_k)\colon 1\le j_1<j_2\le \cdots j_k\le n}
\prodd_{s=1}^kP(A_{j_s})\prodd
_{t\in\{1,\dots,n\}\setminus\{j_1,\dots,j_k\}}(1-P(A_t)).
\endalign
$$
Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb $k$ darab $A_j$
esem\'eny k\"ovetkezik be $Q_k=\summ_{l=k}^n P_l$.
\medskip

Gyakran tal\'alkozunk az al\'abbi k\'erd\'essel, sokszor egy
\"osszetett feladat r\'esz\-fel\-ada\-ta\-k\'ent. Tekints\"unk bizonyos
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyeket, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy legal\'abb az egyik\"uk
bek\"ovetkezik. Form\'alisan megfogalmazva, sz\'am\'{\i}tsuk ki a
$P(A_1\cup\cdots\cup A_n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget.

A k\"ovetkez\H{o} k\'et fontos speci\'alis esetben meg tudjuk
oldani ezt a feladatot:
\item{a)} Ha az $A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek diszjunktak,
azaz $A_i\cap A_j=\emptyset$, ha $i\neq j$, $1\le i,j\le n$,
\item{b)} Ha az $A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek f\"uggetlenek.
\item{} Az a) esetben
$$
P(A_1\cup\cdots\cup A_n)=P(A_1)+\cdots+P(A_n).
$$
A b) esetben
$$
\align
P(A_1\cup\cdots\cup A_n)
&=1-P(\overline{A_1\cup\cdots\cup A_n})
=1-P(\bar A_1\cap\cdots\cap \bar A_n)\\
&=1-P(\bar A_1)\cdots P(\bar A_n)
=1-(1-P(A_1))\cdots (1-P(A_n))
\endalign
$$
ahol $\bar A=\Omega\setminus A$ az $A$ esem\'eny komplementer\'et
jel\"oli. (A fenti sz\'amol\'asban kihaszn\'altuk azt az eredm\'enyt,
amely szerint, ha $A_1,\dots, A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek, akkor
$\bar A_1,\dots,\bar A_n$ is az.)
\medskip

Mit mondhatunk az \'altal\'anos esetben, ha a tekintett
$A_1,A_2,\dots,A_n$ esem\'enyek nem felt\'etlen\"ul diszjunktak
\'es nem felt\'etlen\"ul f\"uggetlenek? Ez nehezebb k\'erd\'es,
\'es az \'altal\'anos esetben a $P(A_1\cup\cdots\cup A_n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget nem lehet kifejezni csak a $P(A_j)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. De ebben az
esetben is van egy hasznos \'es tartalmas eredm\'eny, az
\'ugynevezett szita formula, amely lehet\H{o}v\'e teszi a
$P(A_1\cup\cdots\cup A_n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
kisz\'am\'{\i}t\'as\'at bizonyos plusz inform\'aci\'ok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ismertetem ezt az eredm\'enyt. A
k\"ovetkez\H{o} el\H{o}ad\'asban t\'argyalni fogok
egy olyan feladatot, amelyet ennek az eredm\'enynek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudunk megoldani.

A kombinatorik\'aban is van az ismertetetend\H{o} eredm\'enynek
egy megfelel\H{o}je, amelyet szint\'en szita formul\'anak neveznek.
\'Erdemes ezt a k\'et eredm\'enyt, amelyek, mint k\'es\H{o}bb
l\'atni fogjuk val\'oj\'aban ekvivalensek, p\'arhuzamosan
ismertetni. Annak \'erdek\'eben, hogy megk\"ul\"onb\"oztess\"uk
\H{o}ket kombinatorikus \'es
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szita formul\'ar\'ol
fogok besz\'elni.

El\H{o}sz\"or a kombinatorikus szita formul\'at ismertetem: Legyen
adva egy v\'eges $A$ halmaz, amely el\H{o}\'all bizonyos nem
felt\'etlen\"ul diszjunkt $A_j$, $1\le j\le n$, halmazok
$A=A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n$ uni\'ojak\'ent.
Szeretn\'enk megsz\'amolni az $A$ halmaz elemeinek $|A|$ sz\'am\'at.
Tekints\"unk egy olyan esetet, amikor erre k\"ozvetlen\"ul nem
vagyunk k\'epesek, de meg tudjuk sz\'amolni az $A_j$ halmazok
elemeinek $|A_j|$ sz\'am\'at minden $1\le j\le n$ sz\'amra. Ekkor
az $S_1=\summ_{j=1}^n |A_j|$ mennyis\'eg  term\'eszetes becsl\'es
lenne az $|A|$ sz\'amra. De ez csak egy fels\H{o} becsl\'es az
\'altal\'anos esetben, mert egy olyan elemet, amely mind az $A_i$
mind az $A_j$ halmazban benne van valamely $i\neq j$ indexp\'arra
k\'etszer sz\'amoltunk az $S_1$ kifejez\'esben holott csak egyszer
kellett volna. Ezt korrig\'aland\'o vezess\"uk be az
$S_2=\summ_{1\le i<j\le n}|A_i\cap A_j|$ \"osszeget, \'es vegy\"uk
az $S_1-S_2$ becsl\'est. Ekkor azonban csak az $S_1-S_2\le |A|$
egyenl\H{o}tlens\'eget kapjuk, mert p\'eld\'aul egy olyan elemet,
amely h\'arom halmazban van benne h\'aromszor sz\'amoltuk az $S_1$
\"osszegben \'es h\'aromszor vontuk le az $S_2$ \"osszegben.
(Ha az $A_i$, $A_j$ \'es $A_k$ halmazban van a tekintett
pont akkor pozit\'{\i}v el\H{o}jellel sz\'amoltuk az $S_1$
\"osszeg $|A_1|$, $|A_2|$ \'es $|A_3|$ tagjaiban \'es
negat\'{\i}v el\H{o}jellel az $S_2$ \"osszeg $|A_i\cap A_j|$,
$|A_i\cap A_k|$ \'es $|A_j\cap A_k|$ tagjaiban. Ez\'ert
korrig\'aljuk ezt az \"osszeget. Vezess\"uk be az
$S_3=\summ_{1\le i<j<k\le n}|A_i\cap A_j\cap A_k|$
kifejez\'eseket. Ekkor be lehet l\'atni, hogy $S_1-S_2+S_3\ge |A|$.
Ha azonoss\'agot akarunk kapni akkor ezt a korrekci\'os elj\'ar\'ast
tov\'abb kell folytatni, mert p\'eld\'aul
a 4 k\"ul\"onb\"oz\H{o} $A_j$ halmazban szerepl\H{o} elemeket
figyelembe v\'eve \dots A fenti, kiss\'e nagyvonal\'uan t\'argyalt
gondolatmenetet r\'eszletesebben kidolgozva \'es folytatva a
k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyhez jutunk.
\medskip\noindent
{\bf Kombinatorikus szita formula.} {\it Legyenek adva bizonyos
v\'eges sok elemet tartalmaz\'o $A_1,\dots,A_n$ halmazok,
\'es tekints\"uk ezek $A=A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n$
uni\'oj\'at. Jel\"olje $|X|$ egy v\'eges $X$ halmaz elemeinek a
sz\'am\'at. Az $A$ halmaz elemeinek $|A|$ sz\'am\'at a
k\"ovetkez\H{o} formul\'aval fejezhetj\"uk ki. Vezess\"uk be az
$$
S_k=\sum_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n} |A_{j_1}\cap \cdots\cap  A_{j_k}|,
\quad 1\le k\le n,
$$
mennyis\'egeket. Ekkor
$$
|A|=|A_1\cup \cdots\cup A_n|=S_1-S_2+S_3-\cdots +(-1)^{n+1}S_n.
$$
Tov\'abb\'a,
$$
S_1-S_2=\sum _{j=1}^n|A_j|-\sum_{1\le j<k\le n}|A_j\cap A_k|\le
|A|=|A_1\cup \cdots\cup A_n|\le S_1=\sum_{j=1}^n|A_j|
$$
\'es \'altal\'aban
$$
\sum_{k=1}^{2l}(-1)^{k+1}S_k\le
|A|=|A_1\cup \cdots\cup A_n|\le \sum_{k=1}^{2l-1}(-1)^{k+1}S_k
$$
minden $l$ indexre. (Legyen $S_k=0$, ha $k>n$.) Ez az
egyenl\H{o}tlens\'eg azt jelenti, hogy a kombinatorikus 
szita formul\'aban szerepl\H{o}
$S_1-S_2+S_3-\cdots$ el\H{o}jeles \"osszeg p\'aratlan sz\'am\'u
tagot tartalmaz\'o r\'eszlet\"osszegei fels\H{o} \'es p\'aros
sz\'am\'u tagot tartalmaz\'o r\'eszlet\"osszegei als\'o becsl\'est
adnak az $|A|=|A_1\cup\cdots\cup A_n|$ mennyis\'egre.}
\medskip
Ezen eredm\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi
megfelel\H{o}je, a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szita
formula, hasonl\'o eredm\'enyt \'all\'{\i}t bizonyos $A_1,\dots,A_n$
esem\'enyek uni\'oj\'anak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'e\-r\H{o}l.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szita formula.}
{\it Legyenek adva tetsz\H{o}leges $A_1,\dots,A_n$
ese\-m\'e\-nyek egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ekkor
$$
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)=S_1-S_2+S_3-\cdots +(-1)^{n+1}S_n,
$$
ahol
$$
S_k=\sum_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n}P(A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_k}).
$$
Tov\'abb\'a,
$$
S_1-S_2=\sum _{j=1}^nP(A_j)-\sum_{1\le j<k\le n}P(A_j\cap A_k)\le
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)\le S_1=\sum_{j=1}^nP(A_j)
$$
\'es \'altal\'aban
$$
\sum_{k=1}^{2l}(-1)^{k+1}S_k\le
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)\le \sum_{k=1}^{2l-1}(-1)^{k+1}S_k
$$
minden $l$ indexre. (Legyen $S_k=0$, ha $k>n$.) Ez az
egyenl\H{o}tlens\'eg azt jelenti, hogy a $P(A_1\cup\cdots\cup A_n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget a szita formul\'aban kifejez\H{o}
$S_1-S_2+S_3-\cdots$ el\H{o}jeles \"osszeg p\'aratlan sz\'am\'u tagot
tartalmaz\'o r\'eszlet\"osszegei fel\"ulr\H{o}l \'es p\'aros sz\'am\'u
tagot tartalmaz\'o r\'eszlet\"osszegei alulr\'ol becs\"ulik meg a
vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget.
}\medskip

{\it H\'azi feladat:}

\item{} Mutassuk meg, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szita formula a
kor\'abban ismertetett k\'epleteket adja speci\'alis esetk\'ent
diszjunkt vagy f\"uggetlen $A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek
uni\'oj\'anak $P(A_1\cup\cdots\cup A_n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es. Tov\'abbi feladatok a
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'amol\'as\'ar\'ol.

\item{1.)} Egy di\'ak a feltett k\'erd\'esre (h\'arom
lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul kell kiv\'alasztani a helyeset) $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tudja a j\'o v\'alaszt. Ha nem tudja,
akkor tippel, \'es ez $\frac13$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel ad helyes eredm\'enyt. Mi a
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tudja a v\'alaszt felt\'eve, hogy j\'o v\'alaszt adott?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy
tudja  a j\'o v\'alaszt, $B$ azt az esem\'enyt, hogy j\'o
v\'alaszt ad. A $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'ek\'ere vagyunk ki\-v\'an\-csi\-ak.
Ekkor $P(A\cap B)=P(A)=p$, $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar
A\cap B)=P(A)+P(B|\bar A)P(\bar A)=P(A)+(1-P(A))P(B|\bar A)=\frac13
=p+\frac13(1-p)$. Innen $P(A|B)=\frac p{p+\frac13(1-p)}$.
\item{2.)} Egy urn\'aban $z$ z\"old \'es $s$ s\'arga goly\'o van.
Egym\'as ut\'an kih\'uzunk n\'egy goly\'ot \'ugy, hogy minden
h\'uz\'as ut\'an a goly\'ot visszadobjuk az urn\'aba, \'es vele
egy\"utt az urn\'aba dobunk 2 ellenkez\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot.
Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egy z\"old, z\"old, z\"old, s\'arga
h\'uz\'assorozatnak?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/  Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as ered\-m\'e\-nye $Z$=(z\"old), annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a m\'asodik h\'uz\'as $Z$,
felt\'eve, hogy az els\H{o} h\'uz\'as $Z$, annak a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a  harmadik h\'uz\'as
eredm\'enye $Z$ felt\'eve, hogy el\H{o}tte $Z,Z$ \'es annak
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, \'es hogy a negyedik
h\'uz\'as eredm\'enye $S$ felt\'eve, hogy el\H{o}tte $Z,Z,Z$
h\'uz\'as t\"ort\'ent.
Ez a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg, illetve ezek a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek $\frac{z}{z+s}$, $\frac z{z+s+2}$,
$\frac z{z+s+4}$, $\frac{s+6}{z+s+6}$. A keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\frac{z}{z+s}\cdot\frac z{z+s+2}\cdot\frac z{z+s+4}\cdot
\frac{s+6}{z+s+6}$.
\item{3.)} A Fazekas k\"onyv egyik feladata (3.4 P\'elda a 32. oldalon)
arr\'ol sz\'ol, hogy ha egy $n$ l\'etsz\'am\'u csoportban $r$
v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott di\'aknak dolgozatot kell \'{\i}rni, mi
annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb
di\'aknak is dolgozatot kell \'{\i}rni, felt\'eve, hogy a legjobb
di\'ak is dolgozatot \'{\i}r. Heurisztikusan \'ugy \'ervelhet\"unk,
hogy ha a legjobb di\'ak dolgozatot \'{\i}r, akkor annak
(felt\'eteles) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb di\'ak
is dolgozatot \'{\i}r, azzal egyenl\H{o}, hogy a marad\'ek $n-1$ di\'ak
k\"oz\"ul \H{o}t is kiv\'alasztj\'ak a marad\'ek $r-1$
dolgozat\'{\i}r\'o k\"oz\'e, teh\'at $\frac{r-1}{n-1}$. Kiss\'e
pontosabban, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a ketten
dolgozatot \'{\i}rnak, $\frac{r(r-1)}{n(n-1)}$, annak, hogy a
legjobb di\'ak dolgozatot \'{\i}r $\frac rn$, ahonnan k\"ovetkezik az
\'all\'{\i}t\'as. Ha a k\"onyvben szerepl\H{o} eredm\'enyt
egyszer\H{u}bb alakra hozzuk, l\'atjuk hogy az eredm\'eny helyes.
Adjunk k\"ozvetlen, a szeml\'eletet k\"ovet\H{o} prec\'{\i}z
bizony\'{\i}t\'ast arra, hogy a fenti formul\'ak az adott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre helyesek.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az urna visszatev\'es n\'elk\"uli h\'uz\'as
modellj\'enek \'ervel\'es\'et alkalmazhatjuk ebben az esetben is.
Tegy\"uk fel, hogy egym\'as ut\'an kiv\'alasztjuk a dolgozatot
\'{\i}r\'okat, Minden l\'ep\'esben az eddig ki nem v\'alasztottak
valamelyik\'et v\'alasztjuk ki egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
Ha kijel\"olj\"uk (az urn\'ab\'ol val\'o h\'uz\'asn\'al szerepl\H{o}
\'ervel\'est haszn\'alva) egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a
legjobb, egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a legrosszabb
di\'akot, egy k\"ul\"on csoportba az \"osszes t\"obbit, akkor
r\"ogz\'{\i}tve egy $1\le j,k\le r$, $j\neq k$ sz\'amp\'art kapjuk,
hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik
v\'alaszt\'asn\'al v\'alasztunk az els\H{o}, a $k$-ik v\'alaszt\'askor
a m\'asodik csoportb\'ol, meg\-egye\-zik annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} v\'alaszt\'askor
v\'alasztunk az els\H{o}  \'es a m\'asodik v\'alaszt\'askor a m\'asodik
csoportb\'ol. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege viszont
$\frac1{n(n-1)}$. Mivel  a fenti esem\'enyek k\"ul\"onb\"oz\H{o}
$(j,k)$ sz\'amp\'arokra kiz\'arj\'ak egym\'ast, ez\'ert annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb \'es a legrosszabb di\'ak
is dolgozatot \'{\i}r $\frac{r(r-1)}{n(n-1)}$. Hasonl\'oan,
l\'athat\'o, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb
di\'ak dolgozatot \'{\i}r az $\frac rn$ sz\'ammal egyenl\H{o}.
\item{4.)} Adott k\'et v\'aros, az igazmond\'ok \'es hazugok v\'arosa.
Az igazmond\'ok v\'aros\'aban egy k\'erd\'esre 0.9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel helyes a hazugok v\'aros\'aban pedig 0.8
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel hamis v\'alaszt adnak. Meg\'erkez\"unk
v\'eletlen\"ul az egyik v\'arosba, egyforma, azaz $\frac12$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az igazmond\'ok vagy a hazugok
v\'aros\'aba. Megk\'erdezz\"uk az els\H{o} embert, akivel
tal\'alkozunk, hogy az igazmond\'ok v\'aros\'aba \'ert\"unk-e. Azt a
v\'alaszt kapjuk, hogy nem. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy az igazmond\'ok v\'a\-ro\-s\'a\-ba \'er\-kez\-t\"unk?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy az
igazmond\'ok v\'aros\'aba \'erkezt\"unk, \'es $B$ azt az esem\'enyt,
hogy a v\'eletlen\"ul megk\'erdezett ember azt v\'alaszolja
k\'erd\'es\"unkre, hogy nem az igazmond\'ok v\'aros\'aba \'erkezt\"unk.
Ekkor minket a $P(A|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
\'ert\'eke \'erdekel. Tudjuk tov\'abb\'a, hogy $P(A)=\frac12$,
$P(B|A)=0.1$, $P(B|\bar A)=0.2$. (Az els\H{o} esetben az igazmond\'ok
v\'aros\'aban megk\'erdezett ember hazudik, a m\'asodikban a hazugok
v\'aros\'aban megk\'erdezett ember igazat mond.) Ez\'ert
$$
P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B|A)P(A)}
{P(B|A)P(A)+P(B|\bar A)P(\bar A)}
=\frac{0.1\cdot 0.5} {0.1\cdot0.5+0.2\cdot 0.5}=\frac13.
$$
\item{5.)} Egy teszt-vizsg\'an, ahol h\'arom lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul
kell kiv\'alasztani a helyes v\'alaszt ketten vesznek r\'eszt. Az
els\H{o} r\'esztvev\H{o} $p_1$, a m\'asodik r\'esztvev\H{o} pedig
$p_2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel tudja a helyes v\'alaszt,
tov\'abb\'a a vizsga k\'et r\'esztvev\H{o}je egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul tudja vagy nem tudja, hogy mi a helyes v\'alasz.
Mindk\'et r\'esztvev\H{o} a j\'o v\'alaszt jel\"oli meg, ha tudja
azt, ellenkez\H{o} esetben pedig mindent\H{o}l f\"uggetlen\"ul
egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'eletlen\"ul bejel\"oli a
h\'arom lehets\'eges v\'alasz valamelyik\'et. Mi a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind a k\'et r\'esztvev\H{o}
a helyes v\'alaszt jel\"olte be, felt\'eve, hogy ugyanazt a v\'alaszt
adta?
\item{} {\it Megold\'as:} Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy az
els\H{o} di\'ak j\'ol v\'alaszol, $B$ azt az esem\'enyt, hogy a
m\'asodik di\'ak j\'ol v\'alaszol, $D_1$ azt az esem\'enyt, hogy
mind a k\'et jel\"olt az
els\H{o}k\'ent felsororolt felt\"untetett rossz v\'alaszt $D_2$ pedig
azt az esem\'enyt, hogy mind a k\'et
jel\"olt a m\'asodiknak felsorolt rossz v\'alaszt adja.
Ekkor $C=(A\cap B)\cup D_1\cup D_2$ jel\"oli azt
az esem\'enyt, hogy a k\'et di\'ak egyform\'an v\'alaszol.
Benn\"unket a $P(A\cap B|C)=\frac{P(A\cap B\cap C)}{P(C)}
=\frac{P(A\cap B)}{P((A\cap B)\cup D_1\cup D_2)}$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Viszont $P(A)=p_1+\frac13(1-p_1)=\frac{1+2p_1}3$,
$P(B)=\frac{1+2p_2}3$, \'es az $A$ \'es $B$ esem\'enyek
f\"uggetlenek. Innen $P(A\cap B)=\frac{1+2p_1}3\cdot\frac{1+2p_2}3$,
$P(C)=R(A\cap B)+P(D_1)+P(D_2)=\frac{1+2p_1}3\cdot\frac{1+2p_2}3+2
\frac{1-p_1}3\cdot\frac{1-p_2}3$. Ugyanis
$P(D_1)=P(D_2)=\frac{(1-p_1)}3\cdot\frac{(1-p_2)}3$, mivel az
els\H{o} jel\"olt akkor adja az els\H{o} rossz v\'alaszt,
ha nem tudja a helyes v\'alaszt, \'es a
h\'arom lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul az els\H{o} rossz v\'alaszt jel\"oli
ki, \'es ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $(1-p_1)\frac13$. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik jel\"olt ugyanezt
a v\'alaszt adja $(1-p_2)\frac13$, a k\'et jel\"olt egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul v\'alaszol, ahonnan $P(D_1)=\frac{(1-p_1)}3\cdot
\frac{(1-p_2)}3$. Hasonl\'oan, a $P(D_2)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre
ugyanazt az \'ert\'eket kapjuk. Innen
$$
P(A\cap B|C)=\frac{(1+2p_1)(1+2p_2)}{(1+2p_1)(1+2p_2)+2(1-p_1)(1-p_2)}.
$$
\item{6.)} Bizony\'{\i}tsuk be a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot,
amelyet teleszk\'op szab\'alynak is szoktak nevezni: Ha adva vannak
$A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelyekre $P(A_1\cap\cdots\cap A_k)>0$, akkor
$$
P(A_1\cap\cdots\cap A_k)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots
P(A_k|A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
&P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots
P(A_k|A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})\\
&\qquad=P(A_1)\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}
\frac{P(A_1\cap A_2\cap A_3)}{P(A_1\cap A_2)}\cdots \frac{P(A_1\cap
A_2\cdots\cap A_{k-1}\cap A_k)}{P(A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})}\\
&\qquad =P(A_1\cap A_2\cap\cdots \cap A_k).
\endalign
$$
\item{7.)} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\'ar\'ol leszednek 100
alm\'at, \'es beteszik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
(meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-tet\-len) l\'ad\'aba. Ez egyik
f\'ar\'ol szedett alm\'ak (egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) $\frac14$
a m\'asik f\'ar\'ol szedett alm\'ak pedig (szint\'en egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul) $\frac1{10}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
f\'ergesek. Kivesz\"unk az egyik (v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott)
l\'ad\'ab\'ol k\'et alm\'at \'es mind a kett\H{o} f\'erges. Ezek
ut\'an kivesz\"unk a m\'asik l\'ad\'ab\'ol egy alm\'at. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez az alma m\'ar nem f\'erges?
\item{} {\it Megold\'as:} \'Erts\"uk meg el\H{o}sz\"or pontosabban a
feladatot. Jel\"olje $B$ azt az esem\'enyt, hogy els\H{o} alkalommal a
rosszabb f\'ar\'ol leszedett alm\'akat tartalmaz\'o l\'ad\'ahoz
ny\'u\-lunk. Ekkor egyr\'eszt $P(B)=\frac12$. M\'asr\'eszt, ha egym\'as
ut\'an, esetleg v\'altogatva a l\'ad\'akat kivesz\"unk egym\'as ut\'an
a l\'ad\'akb\'ol alm\'akat, defini\'aljuk a $j_1,\dots, j_k$
h\'u\-z\'as\-so\-ro\-za\-tot, ahol mindegyik $j_s=\pm1$, $j_1=1$,
$j_s=1$ azt jelenti, hogy a $s$-ik h\'uz\'as sor\'an az els\H{o}nek
kiv\'alasztott l\'ad\'ab\'ol, $j_s=-1$ pedig azt, hogy a m\'asik
l\'ad\'ab\'ol v\'alasztottunk alm\'at, akkor $A(j_1,\dots,j_n)$-nel
jel\"olve azt az esem\'enyt, hogy minden kiv\'alasztott alma f\'erges,
fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
P(A(j_1,\dots,j_n)|B)&=\(\frac14\)^{u(j_1,\dots,j_n)}
\(\frac1{10}\)^{n-u(j_1,\dots,j_n)},\\
P(A(j_1,\dots,j_n)|\bar B)&=\(\frac1{10}\)^{u(j_1,\dots,j_n)}
\(\frac1{4}\)^{n-u(j_1,\dots,j_n)},
\endalign
$$
ahol $u(j_1,\dots,j_n)$ jel\"oli a $j_1,\dots,j_n$ sorozatban
szerepl\H{o} $+1$ jelek sz\'am\'at. Hasonl\'oan fel tudjuk \'{\i}rni
annak felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy egy
el\H{o}\'{\i}rt h\'uz\'assorozat eset\'en, amelyikben megmondjuk,
hogy mikor melyik l\'ad\'ab\'ol h\'uztunk alm\'at a f\'erges \'es j\'o
almah\'uz\'asoknak el\H{o}\'{\i}rt sorozata jelenik meg, felt\'eve
a $B$ esem\'enyt vagy annak komplementer\'et, a $\bar B$ esem\'enyt.
Jel\"olje $C$
azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} k\'et h\'uz\'asban f\'erges alm\'at
h\'uzunk, $D$ pedig azt, hogy a harmadik h\'uz\'asban (a l\'ada
megv\'altoztat\'asa ut\'an) j\'o alm\'at h\'uzunk. Ekkor a
$P(D|C)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget akarjuk kisz\'amolni. Viszont,
$$
P(C)=P(C|B)P(B)+P(C|\bar B)P(\bar B)
=\frac12\(\(\frac14\)^2+\(\frac1{10}\)^2\)=\frac{29}{800},
$$
$$
\align
P(C\cap D)&=P(C\cap D|B)P(B)+P(C\cap D|\bar B)P(\bar B)\\
&=\frac12\(\(\frac14\)^2\frac9{10}+\(\frac1{10}\)^2\frac34\)
=\frac{51}{1600}.
\endalign
$$
Innen $P(D|C)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}=\frac{51}{58}$.

\item{8.)} Egy vizsg\'an 19 di\'ak vesz r\'eszt. \"Osszesen 11
vizsgak\'erd\'es van, amelyek k\"oz\"ul minden di\'ak kett\H{o}t
kap. 9 di\'ak kiv\'al\'oan, 6 di\'ak j\'ol, \'es
n\'egy di\'ak k\"ozepesen k\'esz\"ult fel. Egy kiv\'al\'oan
felk\'esz\"ult di\'ak mind a 11 k\'erd\'esre j\'ol tud
v\'alaszolni, egy j\'ol felk\'esz\"ult di\'ak 8-ra, egy
k\"ozepesen felk\'esz\"ult di\'ak pedig 6-ra. Egy di\'ak
helyes v\'alaszt ad mind a k\'et k\'erd\'esre. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy \H{o} a j\'ol felk\'esz\"ult
di\'akok k\"oz\'e tartozik?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy
a tekintett di\'ak a kiv\'al\'oan, $A_2$ hogy a j\'ol \'es $A_3$,
hogy a k\"ozepesen felk\'esz\"ult di\'akok k\"oz\'e tartozik.
Jel\"olje $B$ azt az esem\'enyt, hogy mind a k\'et k\'erd\'esre
j\'ol v\'alaszol. Ekkor a $P(A_2|B)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell kisz\'amolnunk. Viszont
$P(A_1\cap B)=\frac9{19}$, $P(A_2\cap B)=\frac6{19}(\frac8{11})^2$,
\'es $P(A_3\cap B)=\frac4{19}(\frac6{11})^2$, ahonnan
 $P(B)=P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+P(A_3\cap B)=
=\frac9{19}+\frac6{19}(\frac8{11})^2+
\frac4{19}(\frac6{11})^2=\frac{147}{11\cdot19}$, \'es
$P(A_2|B)=\frac{P(A_2\cap B)}{P(B)}=\frac{6\cdot64}{147\cdot11}
=\frac{128}{539}$.

\item{9.)} Egy utaz\'o az \'utlevel\'et keresi
\'{\i}r\'oasztal\'anak 6 fi\'okj\'aban. De egy\'altal\'an nem
biztos, hogy az \'utlev\'el az \'{\i}r\'oasztalban tal\'alhat\'o.
Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege 0.9, \'es az \'utlev\'el egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel lehet mindegyik fi\'okban. Mennyi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az \'utlev\'el a 6. fi\'okban
van, ha az utaz\'o az els\H{o} 5 fi\'okot m\'ar kinyitotta, de ezek
egyik\'eben sem tal\'alta az \'utlevel\'et?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_j$, $1\le j\le6$, azt az
esem\'enyt, hogy az \'utlev\'el a $j$-ik fi\'okban van,
$\bar A_j$ ennek az esem\'enynek a komplementer\'et, \'es legyen 
$B=\bigcupp_{j=1}^6A_j$ az az esem\'eny, hogy az \'utlev\'el 
valamelyik fi\'okban van.  Tudjuk, hogy 
$P(A_j)=P(A_j|B)P(B)=\frac16\cdot0.9$ minden $1\le j\le 6$ indexre, 
\'es az $A_j$, $1\le j\le6$, esem\'enyek diszjunktak. Ezen
\'eszrev\'etelek alapj\'an a feladatot \'{\i}gy fogalmazhatjuk
\'at: Adott 6 egym\'ast kiz\'ar\'o $A_j$, $1\le j\le6$, esem\'eny,
\'es mindegyiknek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege 
$\frac16\cdot0.9$. Sz\'amoljuk ki az $A_6$ esem\'eny 
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et ama felt\'etel mellett,
hogy az $A_j$, $1\le j\le5$, esem\'enyek egyike sem k\"ovetkezik be.

\item{} A $P\(A_6\left|\bigcapp_{j=1}^5 \bar A_j\)\right.$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell kisz\'amolni. M\'asr\'eszt
$A_6\subset \bigcapp_{j=1}^5 \bar A_j$. Ez\'ert
$P\(A_6\cap\bigcapp_{j=1}^5 \bar A_j\)=P(A_6)$, \'es
$$
P\(A_6\left|\bigcapp_{j=1}^5 \bar A_j\)\right.
=\frac{P(A_6)}{P\(\bigcapp_{j=1}^5 \bar A_j\)}
=\frac{P(A_6)}{1-P\(\bigcupp_{j=1}^5 A_j\)}
=\frac{P(A_6)}{1-\summ_{j=1}^5P(A_j)}. 
$$
Innen
$$
P\(A_6\left|\bigcapp_{j=1}^5 \bar A_j\)\right.
=\frac{0.9\cdot\frac16}{1-5\cdot0.9\cdot\frac16}
=\frac9{60-45}=\frac35.
$$


\bye



