\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\TagsOnRight

%\parskip=1pt plus 1pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat m\'asodik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2007. febru\'ar 13.}

\beginsection Kolmogorov val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi
modellj\'enek a vizsg\'alata

Az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'ason t\'argyaltam n\'eh\'any
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi probl\'ema
megold\'as\'at. Ennek sor\'an bevezettem olyan a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as Kolmogov-f\'ele
definici\'oj\'at ki\-el\'e\-g\'{\i}\-t\H{o} mo\-delle\-ket,
amelyekben  e probl\'em\'ak vizsg\'alhat\'oak. A vizsg\'alt
feladatokban olyan ki\-s\'er\-le\-tek erem\'eny\'et kellett
tekinteni, amelyeknek v\'eges sok k\"ul\"onb\"oz\H{o}
(v\'eletlen) kimenetele le\-het\-s\'e\-ges, \'es ezt a t\'enyt
a feladatokat le\'{\i}r\'o modellek  konstrukci\'oj\'aban ki
is haszn\'altam. E modellek definici\'oj\'aban el\H{o}sz\"or
bevezettem az $\oo$ ele\-mi esem\'enyeket, amelyek a te\-kin\-tett
kis\'erlet lehets\'eges kimenetelei voltak, \'es a kis\'erlet
\"osszes lehets\'eges kimenetel\'et felsoroltam. Az $\Omega$
biztos biztos esem\'enyt \'ugy defini\'altam, mint az \"osszes
$\oo$ ele\-mi esem\'enyt tartalmaz\'o halmazt, az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'at, pedig mint az $\Omega$ \"osszes lehets\'eges
r\'eszhalmaz\'ab\'ol  \'all\'o $\sigma$-algebr\'at. V\'eg\"ul
minden lehets\'eges $\oo$ kimenetelnek megadtam a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, \'es egy $A\in\Cal A$ halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et \'ugy defini\'altam, mint az
\'altala tartalmazott ele\-mi esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az \"ossze\-g\'et. Ez a
konstrukci\'os m\'odszer j\'ol m\H{u}k\"odik, ha a tekintett
kis\'erlet lehets\'eges kimeneteleinek sz\'ama  v\'eges vagy
megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen. De olyan ese\-tek\-ben,
amikor  a lehets\'eges kimenetelek sz\'ama enn\'el
is nagyobb, p\'eld\'aul \'ugynevezett kontinum
sz\'a\-mos\-s\'a\-g\'u, akkor \'uj gondolatokat \'es a
m\'ert\'ekelm\'elet n\'eh\'any m\'ely ered\-m\'e\-ny\'et kell
alkalmazni egy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi
probl\'em\'ak vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-ban alkalmas modell
megkonstru\'al\'as\'ahoz.

Tekinthetj\"uk p\'eld\'aul annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
hogy egy az egys\'egn\'egyzetbe v\'e\-let\-le\-n\"ul ledobott pont
az egys\'egn\'egyzet egy r\'eszhalmaz\'aba esik vagy annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy egy v\'egtelen
fej-\'{\i}r\'as sorozatban az els\H{o} $n$ dob\'asban megjelen\H{o}
fej-dob\'asok sz\'a\-m\'a\-nak a relat\'{\i}v gyakoris\'aga
konverg\'al egy el\H{o}\'{\i}rt $\alpha$ sz\'amhoz. Az ilyen feladatok
vizsg\'alata nehezebb, \'es ezek ig\'enyelt\'ek a Kolmogorov-f\'ele
modellben szerepl\H{o} olyan az els\H{o} hall\'asra kiss\'e tal\'an
szokatlan fogalmak \'es tulajdons\'agok bevezet\'es\'et, mint a
$\sigma$-algebra vagy a $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny.
N\'eh\'any p\'eld\'at mutatok, amelyek jelzik, hogy hogyan lehet
ilyen bonyolultabb probl\'em\'akat Kolmogorov elm\'elet\'enek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel t\'argyalni. El\H{o}tte azonban megfogalmazok
n\'eh\'any olyan k\'erd\'est, amelyek vizsg\'alata
seg\'{\i}thet Kolmogorov elm\'elet\'enek meg\'ert\'es\'eben.

\medskip\noindent
{\it N\'eh\'any Kolmogorov elm\'elet\'evel kapcsolatos probl\'ema.}

\medskip
\item{A)} Term\'eszetes volt-e az $\Cal A$ $\sigma$-algebra
bevezet\'ese a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
definici\'oj\'aban? Mivel csak az $\Cal A$ $\sigma$-algebra \'altal
tartalmazott halmazok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et defini\'altuk,
felmer\"ulhet a k\'erd\'es: Nem fordulhat-e el\H{o}, hogy olyan
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere vagyunk kiv\'ancsiak,
amelyre ezt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget nem defini\'altuk?
\item{B)} Van-e m\'elyebb oka annak, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} definici\'oj\'aban szerepl\H{o}
$P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekr\H{o}l nem csak azt
tett\"uk fel, hogy addit\'{\i}v, hanem azt is, hogy
$\sigma$-addit\'{\i}v? A f\H{o} probl\'ema annak tiszt\'az\'asa,
hogy nem okoz-e ez a k\"ovetelm\'eny neh\'ezs\'egeket.
El\H{o}fordulhat-e, hogy egy v\'eletlen jelens\'egnek az\'ert nem
tudjuk meg\-ad\-ni a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et, mert
nem tudjuk biztos\'{\i}tani a modellben megjelen\H{o} $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\sigma$-additiv\'{\i}t\'as\'at?

\medskip
A fenti k\'erd\'esekre megnyugtat\'o v\'alaszt lehet
adni. Ezt fogom ismertetni, r\'eszben az el\H{o}ad\'as f\H{o}
r\'esz\'eben, r\'eszben egy kieg\'esz\'{\i}t\'esben. De e
k\'erd\'esek tiszt\'az\'asa t\"obb m\'ely m\'ert\'ekelm\'eleti
eredm\'enyen alapul, amelyek bizony\'{\i}t\'asa nem r\'esze ezen
kurzus anyag\'anak. Ez\'ert ezek bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom.
Viszont egy kieg\'esz\'{\i}t\'esben felid\'ezek n\'eh\'any
(kor\'abban tanult) fontos t\'enyt a v\'egtelen \'es azon bel\"ul a
megsz\'aml\'alhat\'o halmazokr\'ol. E k\'erd\'esek t\'argyal\'asa
el\H{o}tt egy olyan feladat megold\'as\'at \'{\i}rom le, amely
jelzi, hogy a fent jelzett probl\'em\'ak m\'eg viszonylag
egyszer\H{u} \'es term\'eszetes k\'erd\'esek vizsg\'alat\'aban
is megjelennek.

\medskip
{\it 1. feladat:}

\item{} Dobjunk fel egy szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen
sokszor. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o}
fej-dob\'asig kevesebb ideig kell v\'arni, mint arra, hogy az
els\H{o} fej-dob\'as ut\'an megjelenjen a m\'asodik fej-dob\'as?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A(i,j)$ azt az esem\'enyt,
hogy az els\H{o} fej-dob\'as  az $i$-ik, a m\'asodik fej-dob\'as
pedig az $i+j$-ik dob\'as. Ekkor minket a
$B=\bigcupp_{(i,j)\colon\; j>i\ge1}A(i,j)$ esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel. Tov\'abb\'a, az $A(i,j)$
esem\'eny azt az esem\'enyt jelenti, hogy el\H{o}sz\"or $i-1$
\'{\i}r\'as, azut\'an fej, ut\'ana $j-1$ \'{\i}r\'as, ut\'ana
pedig fej-dob\'as k\"ovetkezik. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$2^{-(i+j)}$. Innen
$$
\aligned
P(B)&=P\(\bigcupp_{(i,j)\colon\; j>i\ge1}A(i,j)\)
=\sum_{(i,j)\colon\; j>i\ge1}P(A(i,j)) \\
&=\sum_{(i,j)\colon\; j>i\ge1} \!\!\!  2^{-(i+j)}
=\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=i+1}^\infty \! 2^{-i}2^{-j}
=\sum_{i=1}^\infty 2^{-i}\sum_{j=i+1}^\infty 2^{-j}
=\sum_{i=1}^\infty 2^{-2i}=\frac13.
\endaligned \tag1
$$

\'Erdemes meggondolni, hogy milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
modellben tudjuk a fenti meg\-ol\-d\'ast t\'argyalni, \'es milyen
matematikai ismeretek sz\"uks\'egesek annak igazol\'as\'ahoz,
hogy jogunk van ebben a modellben dolgozni. Vegy\"uk \'eszre,
hogy mivel az els\H{o} fej-dob\'asig vagy az els\H{o} \'es
m\'asodik  fej-dob\'as k\"oz\"ott v\'egzett dob\'asok sz\'ama
tetsz\H{o}legesen nagy lehet, ez\'ert a feladatot term\'eszetes
olyan modellben t\'argyalni, ahol v\'egtelen sok f\"uggetlen
fej-\'{\i}r\'as dob\'as lehets\'eges. Megmutatom, hogyan lehet
ilyen modellt konstru\'alni, \'es milyen matematikai eredm\'enyekre
van sz\"uks\'eg\"unk annak igazol\'as\'ahoz, hogy ez a modell
teljes\'{\i}ti a k\'{\i}v\'ant felt\'eteleket.

\medskip\noindent
{\it Szab\'alyos p\'enzdarab v\'egtelen sz\'am\'u feldob\'as\'anak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi modellje.}

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at tekintj\"uk. Egy szab\'alyos
p\'enzdarabot feldobunk {\it v\'egtelen sokszor}\/ egym\'as ut\'an.
Alkossuk meg ennek egy lehets\'eges
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'asi
mo\-dell\-j\'et, \'es vizsg\'aljuk meg,
k\'epesek vagyunk-e vizsg\'alni abban az ilyen dob\'assorozatokra
megfogalmazhat\'o term\'eszetes probl\'em\'akat.

A term\'eszetes hozz\'a\'all\'as a k\"ovetkez\H{o}: Legyenek az
elemi esem\'enyek az
$$\oo=(\cdots, F,\cdots,I,\cdots)
$$
v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozatok, \'es legyen az $\Omega$ biztos
esem\'eny az \"osszes ilyen sorozatb\'ol \'all\'o halmaz. Ezut\'an
ki kell jel\"olni az $\Omega$ bizonyos r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at \'es defini\'alni kell az $A\in\Cal A$
halmazok $P(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Hangs\'ulyozni
szeretn\'em, hogy nem vagyunk k\"otelesek az $\Omega$ minden
lehets\'eges r\'eszhalmaz\'at belevenni az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'aba, \'es azoknak a halmazoknak, amelyek
nincsenek benne ebben a $\sigma$-algebr\'aban nem kell
defini\'alnunk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Ezzel a
szabads\'agunkkal \'elni is fogunk.

Vegy\"uk \'eszre, hogy minden $\oo$ elemi esem\'enynek nulla a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, tov\'abb\'a egy ,,tipikus''
$\Omega$-beli halmaz kontinum sok $\oo$ elemi esem\'enyb\H{o}l \'all.
Gondoljuk p\'eld\'aul meg, hogy az az esem\'eny, hogy az els\H{o}
dob\'as fej azon v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozatokb\'ol \'all,
amelynek els\H{o} jegye F, ezt pedig tetsz\H{o}leges tov\'abbi
sorrendben k\"ovethetik F \'es I jelek. Az az esem\'eny, hogy az
els\H{o} 20 dob\'asban t\"obb fej-dob\'as t\"ort\'ent, mint
\'{\i}r\'as dob\'as azon v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozatb\'ol
\'all, amelynek els\H{o} 20 jegy\'eben legal\'abb 11 F jel van,
\'es m\'as megk\"ot\'es nincsen. Az el\H{o}bb defini\'alt halmazok
kontinum sok null m\'ert\'ek\H{u} halmazb\'ol \'allnak. Viszont ez
az inform\'aci\'o nem elegend\H{o} egy halmaz (esem\'eny)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek a definic\'oj\'ahoz. Milyen
m\'odszert \'erdemes v\'alasztani? Term\'eszetes gondolat a
k\"ovetkez\H{o}: Vannak bizonyos ,,sz\'ep'' halmazok, amelyeknek
egy szab\'alyos p\'enzdob\'as eset\'en meg tudjuk
mondani a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Abb\'ol, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek $\sigma$-addit\'{\i}v
k\"ovetkezik, hogy tov\'abbi halmazok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
is egy\'ertelm\H{u}en meg van hat\'arozva. Abban b\'{\i}zhatunk,
hogy ily m\'odon halmazok el\'eg gazdag oszt\'aly\'anak meg van
hat\'arozva a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, \'es e halmazok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et a k\'{\i}v\'ant m\'odon
de\-fi\-ni\-\'al\-va j\'o modellt kapunk. L\'atni fogjuk, hogy ez az
elk\'epzel\'es helyes, \'es bizonyos (m\'ely) m\'ert\'ekelm\'eleti
ismeretek seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o modellt kapunk.

Fejts\"uk ki a fent mondottakat r\'eszletesebben: Defini\'aljuk
minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra, \'es $k$ hossz\'us\'ag\'u
$(\cdots,F,\cdots,I,\cdots)$ sorozatra az
$$
\aligned
A_k(\cdots,F,\dots,I,\dots)&=\{\oo\: \oo \text{ olyan v\'egtelen
fej-\'{\i}r\'as sorozat,} \\
&\qquad\text{ amelynek els\H{o} $k$ jegye ez a
$(\dots,F,\dots,I,\dots)$ sorozat}\}
\endaligned \tag$*$
$$
halmazt, \'es legyen $P(A_k(\dots,F,\dots,I,\dots))=2^{-k}$ e halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. Szem\-l\'e\-le\-te\-sen azt tett\"uk,
hogy tekintett\"uk azokat az esem\'enyeket, amelyek azt \'{\i}rj\'ak
le, hogy mi volt az els\H{o} $k$ dob\'as eredm\'enye, \'es ezek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et \'ugy defini\'altuk ahogy egy
szab\'alyos p\'enzdob\'as eset\'eben azt tenni kell. Term\'eszetes
elv\'ar\'as, hogy az el\H{o}bbi esem\'enyek legyenek benne a
konstru\'aland\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'aj\'aban, \'es ezek
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge legyenek az el\H{o}bb
megadott sz\'amok. A va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}
definici\'oja l\'enyeg\'eben ezen k\"ovetelm\'enyek
teljes\'{\i}t\'es\'eb\H{o}l \'all. A form\'alis definici\'o megad\'asa
\'er\-de\-k\'e\-ben bebizony\'{\i}tom a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u}
lemm\'at.
\medskip\noindent
{\bf Lemma:} {\it Legyen adva egy $\Omega$ halmaz, \'es $\Omega$
r\'eszhalmazainak valamilyen $\Cal F_0$ rendszere. L\'etezik egy az
$\Cal F_0$ halmazrendszert tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebra, azaz egy olyan $\Cal F$ $\sigma$-algebra, amelyre
igaz, hogy
\item{a.)} $\Cal F$  tartalmazza az $\Cal F_0$ halmazrendszert, azaz,
ha $F\in\Cal F_0$, akkor $F\in \Cal F$.
\item{b.)} Ha egy $\bar{\Cal F}$ $\sigma$-algebra tartalmazza az
$\Cal F_0$ halmazrendszert, akkor az tartalmazza a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at is, azaz, ha $F\in \Cal F$, akkor
$F\in \bar{\Cal F}$.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at szokt\'ak
az $\Cal F_0$ \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'anak is h\'{\i}vni.
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy
l\'etezik az $\Cal F_0$ halmazrendszert tartalmaz\'o $\sigma$-algebra.
Ilyen p\'eld\'aul, az $\Omega$ \"osszes r\'eszhalmaz\'at tartalmaz\'o
$\sigma$-algebra. Tekints\"uk az $\Cal F_0$ halmazrendszert
tartalmaz\'o \"osszes $\Cal G$ $\sigma$-algebra
$$
\Cal F^*=\bigcap_{\Cal F_0\subset \Cal G} \Cal G
$$
metszet\'et, ahol $\Cal F_0\subset \Cal G$ azt jelenti, hogy a
$\Cal G$ $\sigma$-algebra tartalmazza az $\Cal F_0$ halmazrendszert,
a metszet pedig \'ugy \'ertend\H{o}, hogy $F\in \bigcapp \Cal G$, ha
$F\in \Cal G$ a metszetben szerepl\H{o} mindegyik $\Cal G$
$\sigma$-algebr\'ara. Ny\'{\i}lv\'an $F\in\Cal F^*$ minden
$F\in\Cal F_0$ halmazra. Azt \'all\'{\i}tom tov\'abb\'a, hogy
$\Cal F^*$ $\sigma$-algebra. Val\'oban, ha $F_n$, $n=1,2,\dots$
halmazokra igaz, hogy $F_n\in \Cal F^*$, akkor az
$F=\bigcapp_{n=1}^\infty F_n$ halmazra szint\'en teljes\"ul, hogy
$F\in \Cal F^*$. Ugyanis, ekkor
minden $\Cal G\supset \Cal F_0$ $\sigma$-algebr\'ara, $F_n\in\Cal G$,
teh\'at a $\sigma$-algebra tulajdons\'ag miatt $F\in \Cal G$ az
ilyen $\sigma$-algebr\'akra. Innen k\"ovetkezik, hogy
$F=\bigcapp_{n=1}^\infty F_n\in \Cal F^*$. Hasonl\'oan
$\bigcupp_{n=1}^\infty F_n\in \Cal F^*$, $\Omega\in \Cal
F^*$, \'es $\Omega\setminus F\in \Cal F^*$, ha $F\in \Cal F^*$.

Ez\'ert $\Cal F^*$ egy az $\Cal F_0$ halmazrendszert tartalmaz\'o
$\sigma$-algebra. Innen, illetve $\Cal F^*$ definici\'oj\'ab\'ol
viszont k\"ovetkezik, hogy ez az $\Cal F_0$-t tartalmaz\'o
legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra. \medskip

Jelen esetben tekinthetj\"uk az \"osszes $(*)$ alak\'u halmazb\'ol
\'all\'o $\Cal F_0$ halmazrendszert \'es az \'altala gener\'alt
$\sigma$-algebr\'at. Ez lesz a defini\'aland\'o $(\Omega,\Cal A,P)$
rendszerben az $\Cal A$ $\sigma$-algebra. Defini\'alnunk kell m\'eg
a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket is az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'an. Ez lehets\'eges az al\'abb kimondott, \'es
ebben az el\H{o}ad\'assorozatban bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul
elfogadott t\'etel alapj\'an.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Tekints\"uk az \"osszes fej-\'{\i}r\'as
sorozatb\'ol \'all\'o $\Omega$ halmaz  $(*)$ k\'eplet \'altal
defini\'alt $A_k(F,\dots,I,\dots)$ alak\'u halmazokb\'ol \'all\'o
$\Cal F_0$ halmazrendszert, \'es a $\Cal F_0$ halmazrendszer \'altal
gener\'alt $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at. Minden r\"ogz\'{\i}tett
$k$-ra legyen $P(A_k(F,\dots,I,\dots)=2^{-k}$ tetsz\H{o}leges
$k$-hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as sorozatra. (Azaz, ak\'arhogy
is adjuk meg az els\H{o} $k$ dob\'as eredm\'eny\'et, annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez bek\"ovetkezik, legyen $2^{-k}$.)
Ekkor l\'etezik egy \'es csak egy olyan az $\Cal A$ $\sigma$-algebra
halmazain defini\'alt $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny,
amely az $A_k(\dots,F,\dots)$ alak\'u halmazokon az  el\H{o}bb
el\H{o}\'{\i}rt \'ert\'ekeket veszi fel.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Egy m\'ert\'ekelm\'eleti kieg\'esz\'{\i}t\'esben
megfogalmazom a fenti eredm\'enynek egy hasznos
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at, amelyet m\'ert\'ekterek v\'egtelen
szorzat\'ar\'ol sz\'ol\'o ered\-m\'eny\-nek neveznek. Ez
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy v\'eletlen kis\'erletek
v\'egtelen sok\-szo\-ri egym\'ast\'ol f\"uggetlen elv\'egz\'es\'et
le\'{\i}r\'o, \'es a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as Kolmogorov-f\'ele
axi\'o\-ma\-rend\-sze\-r\'et kiel\'eg\'{\i}t\H{o} modelleket
konstru\'aljunk.

\medskip
A fenti eredm\'eny azt jelenti, hogy l\'etezik a term\'eszetes
elv\'ar\'asokat kiel\'eg\'{\i}t\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ek, s\H{o}t ezek a
felt\'etelek egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozz\'ak a $\Cal A$
$\sigma$-algebra \"osszes esem\'eny\'enek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. A m\'ert\'ek egy\'ertelm\H{u}s\'ege
is fontos tulajdons\'ag. Ez azt fejezi ki, hogy az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'aban szerepl\H{o} halmazok
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'eke \'ertelmes,
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott sz\'am. Megjegyzem, hogy ez a
nem-trivi\'alis eredm\'eny val\'oj\'aban
spe\-ci\-\'a\-lis esete egy \'altal\'anosabb eredm\'enynek.
Ezeket az eredm\'enyeket itt nem t\'argyalom, de az ezen
el\H{o}ad\'ashoz \'{\i}rt Kieg\'esz\'{\i}t\'es~2 f\"uggel\'ekben
megadom a k\'erd\'esk\"or vizsg\'alat\'ahoz
sz\"uks\'eges legfontosabb eredm\'enyeket. A r\'eszletek pontos
kidolgoz\'asa a m\'er\-t\'ek\-elm\'e\-let tant\'argy t\'em\'aja.
Fazekas Istv\'an k\"onyve a 45. oldalon szint\'en t\'argyalja ezt a
probl\'em\'at, s\H{o}t a k\"onyv 7. fejezete (Appendix) tov\'abbi
\'ert\'ekes inform\'aci\'okat tartalmaz.

Megjegyzem, hogy a fent kimondott t\'etel nem csak azt
\'all\'{\i}totta, hogy a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
m\'ert\'ek addit\'{\i}v, hanem azt is, hogy az $\sigma$-addit\'{\i}v.
Vegy\"uk \'eszre, hogy az 1.~fel\-adat megold\'as\'aban a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekeknek nem csak az
addit\'{\i}vit\'as\'at hanem a $\sigma$-addit\'{\i}vit\'as\'at is
kihaszn\'altuk. (L\'asd az (1) formul\'at.) A
k\"ovetkez\H{o}kben t\'argyalok n\'eh\'any tov\'abbi
p\'eld\'at. L\'atni fogjuk, hogy a 4. feladat k\'et
k\"ul\"onb\"oz\H{o} megold\'as\'anak az \"osszehasonl\'{\i}t\'asa
azt mutatja, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
$\sigma$-additiv\'{\i}t\'as\'ab\'ol nem-trivi\'alis azonoss\'agok
is k\"ovetkeznek.

\medskip\noindent
{\it Feladatok:}

\item{2.)} Dobjunk fel egy szab\'alyos dob\'okock\'at egym\'as
ut\'an egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul v\'egtelen sokszor. Mutassuk
meg, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} $n$
dob\'asban pontosan $k$ darab 6-os dob\'as van
$\binom nk \(\frac56\)^{n-k}\(\frac16\)^k$. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $n$-ik dob\'asban lesz a $k$-ik
6-os dob\'as $\binom {n-1}{k-1} \(\frac56\)^{n-k}\(\frac16\)^k$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Minden dob\'assorozatnak feleltess\"uk
meg azt a $J$ \'es $R$ jelekb\H{o}l \'all\'o sorozatot, amelynek
az $i$-ik hely\'en a $J$ jel \'all, ha a $i$-ik dob\'as 6-os,
\'es az $R$ jel, ha az $i$-ik dob\'as 1, 2, 3, 4 vagy 5. Ezzel a
jel\"ol\'essel a feladat els\H{o} r\'esze \'ugy fogalmazhat\'o
\'at, hogy mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az \'{\i}gy
defini\'alt $J$ \'es $R$ jelekb\H{o}l \'all\'o sorozat els\H{o} $n$
tagj\'aban pontosan $k$ darab $J$ \'es $n-k$ $R$ jel \'all. A
sorozat minden hely\'en egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $\frac16$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel $J$, \'es $\frac56$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel $R$ jel \'all. Minden olyan $n$
hossz\'us\'ag\'u sorozatnak, amely $k$ darab $J$ \'es $n-k$ $R$
jelb\H{o}l \'all $\(\frac16\)^k\(\frac56\)^{n-k}$ a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. Mivel $\binom nk$ olyan $n$
hossz\'us\'ag\'u sorozat van, amelyiknek els\H{o} az $n$
jegy\'eben pontosan $k$ darab $J$ jel van, ez\'ert annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a sorozat els\H{o} $n$ jel\'eben
pontosan $k$ darab $J$ jel van
$\binom nk \(\frac56\)^{n-k}\(\frac16\)^k$.
\item{} Az, hogy a $k$-ik $J$ jel a sorozat $n$-ik tagj\'aban
jelenik meg azt jelenti, hogy a sorozat els\H{o} $n-1$ tagj\'aban
pontosan $k-1$ $J$-jel van, \'es az $n$-ik jel $J$. \"Osszesen
$\binom{n-1}{k-1}$ ilyen $n$ hossz\'us\'ag\'u sorozat van, \'es
minden ilyen sorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\(\frac16\)^k\(\frac56\)^{n-k}$. Ez\'ert a m\'asodik
k\'erd\'esre a v\'alasz
$\binom {n-1}{k-1} \(\frac56\)^{n-k}\(\frac16\)^k$.
\item{3.)}  Dobjunk fel egy szab\'alyos dob\'okock\'at egym\'as
ut\'an egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul v\'egtelen sokszor. Mutassuk
meg, hogy nulla annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ebben a
v\'egtelen dob\'assorozatban h\'aromn\'al kevesebb 6-os dob\'as
van. (Val\'oj\'aban, mint a bizony\'{\i}t\'as is mutatni fogja, a
h\'arom helyett tetsz\H{o}leges $k$ eg\'esz sz\'amot is
\'{\i}rhattam volna.)
\item{} {\it Megold\'as:}\/ K\'enyelmesebb azt megmutatni, hogy a
vizsg\'alt esem\'eny komp\-le\-men\-te\-r\'e\-nek, teh\'at annak
az esem\'enynek, hogy van legal\'abb 3 hatos dob\'as a v\'egtelen
do\-b\'as\-so\-ro\-zat\-ban 1 a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege.
Jel\"olje ezt az esem\'enyt $A$. El\'eg bel\'atni, hogy
minden $\e>0$  sz\'amra lehet defini\'alni olyan $A(\e)$ esem\'enyt,
amelyre $A(\e)\subset A$ \'es $P(A(\e))>1-\e$. Val\'oban, innen
k\"ovetkezik, hogy $P(A)\ge P(A(\e))>1-\e$ minden $\e>0$ sz\'amra.
Ez viszont csak \'ugy lehets\'eges, ha $P(A)=1$.
\item{} Tekints\"unk egy nagy $N$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk
azt az $A_N$ esem\'enyt, hogy az els\H{o}  $N$ dob\'as tartalmaz
legal\'abb egy hatos dob\'ast, \'es az $N+1$-ik \'es $2N$-ik, illetve
a $2N+1$-ik \'es $3N$-ik dob\'asok k\"oz\"ott is szerepel legal\'abb
egy hatos dob\'as. Ny\'{\i}lv\'an $A_N\subset A$, ez\'ert el\'eg
megmutatni, hogy minden $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan $N=N(\e)$
index, amelyre $P(A(\e))=P(A_{N(\e)})>1-\e$.

\item{} Viszont az $P(A_N)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget nem neh\'ez
kisz\'amolni. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} $N$
dob\'as nem tartalmaz hatos dob\'ast $\(\frac56\)^N$, \'{\i}gy annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy hatos dob\'ast
tartalmaz $1-\(\frac56\)^N$. Hasonl\'oan sz\'amolhat\'o ki az is,
hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $N+1$-ik \'es
$2N$-ik, illetve a $2N+1$-ik \'es $3N$-ik dob\'asok k\"oz\"ott
szerepel legal\'abb egy hatos dob\'as szint\'en $1-\(\frac56\)^N$.
Innen $P(A_N)=\(1-\(\frac56\)^N\)^3$. E formula alapj\'an
$\limm_{N\to\infty}P(A_N)=1$, ez\'ert l\'etezik olyan $N=N(\e)$,
amelyre $P(A_{N(\e)})>1-\e$, amint \'all\'{\i}tottuk.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Jel\"olje $B_N$ azt az
esem\'enyt, hogy az els\H{o} $N$ dob\'asban legal\'abb 3 hatos
dob\'as van. Mint az el\H{o}z\H{o} megold\'asban l\'attuk, el\'eg
megmutatni azt, hogy $\limm_{N\to\infty}P(B_N)=1$ vagy ami ezzel
ekvivalens, azt hogy $\limm_{N\to\infty}P(\Omega\setminus B_N)=
1-\limm_{N\to\infty}P(B_N)=0$. Viszont az $\Omega\setminus B_N$
esem\'eny azt jelenti, hogy az els\H{o} $N$ dob\'as 0, 1 vagy 2
dob\'as hatos dob\'ast tartalmaz. Ez\'ert a 2. feladat eredm\'enye 
alapj\'an $P(\Omega\setminus B_N)=\binom N0\(\frac56\)^N
+\binom N1\(\frac56\)^{N-1}\frac16
+\binom N2\(\frac56\)^{N-2}\(\frac16\)^2$. Innen l\'athat\'o, hogy
val\'oban $\limm_{N\to\infty}P(\Omega\setminus B_N)=0$.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
definici\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy az \"ures esem\'eny
(szem\-l\'e\-le\-te\-sen a be nem k\"ovetkez\H{o} esem\'eny)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla. Van olyan esem\'eny, ami
be\-k\"o\-vet\-kez\-het, a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege m\'egis
nulla. Erre mutat p\'eld\'at az el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye.
K\'es\H{o}bb m\'eg t\"obb ilyen p\'eld\'at fogunk l\'atni.
\medskip
\item{4.)} Dobjunk fel egy szab\'alyos dob\'okock\'at egym\'as
ut\'an egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul v\'egtelen sokszor.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy
a harmadik hatos dob\'as vagy a huszadik vagy valamely
k\'es\H{o}bbi dob\'asban jelenik meg.
\item{} {\it Els\H{o} megold\'as.}\/ Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 3. hatos dob\'as az $n$-ik
dob\'asban jelenik meg a 2. feladat eredm\'enye alapj\'an
$\binom {n-1}2 \(\frac56\)^{n-3}\(\frac16\)^3$. Ez\'ert a tekintett
esem\'eny a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$$
\sum_{n=20}^\infty\binom {n-1}2 \(\frac56\)^{n-3}\(\frac16\)^3.
$$
\item{} {\it M\'asodik megold\'as.}\/ El\H{o}sz\"or megmutatom, hogy
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a harmadik hatos dob\'as a
20. dob\'asban vagy azut\'an jelenik meg egyenl\H{o} annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy a az els\H{o} tizenkilenc
dob\'asban 0, 1 vagy k\'et hatos dob\'as t\"ort\'ent. Val\'oban, a
keresett esem\'eny komplementere az az esem\'eny, hogy a harmadik
hatos dob\'as vagy az els\H{o} tizenkilenc dob\'as valamelyik\'eben
vagy soha nem k\"ovetkezett be. De mivel az ut\'obbi esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla, (l\'asd a 3. feladat
eredm\'eny\'et) \'es egy esem\'eny bek\"ovetkez\'es\'enek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egyenl\H{o} egy minusz a komplementer
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, ez\'ert a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg egyenl\H{o} egy minusz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} 19 dob\'asban
legal\'abb h\'arom hatos dob\'as t\"ort\'ent. Ez viszont
egyenl\H{o} annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy
az els\H{o} 19 dob\'asban 0, 1 vagy k\'et hatos dob\'as t\"ort\'ent.
Ez\'ert a m\'asodik feladat eredm\'enye alapj\'an a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\(\frac56\)^{19}+\binom{19}1\(\frac56\)^{18}\frac16
+\binom{19}2\(\frac56\)^{17}\(\frac16\)^2.
$$
\item{5.)} Az el\H{o}z\H{o} feladat k\'et megold\'as\'aban
ugyanannak az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere
k\'et form\'alisan k\"ul\"onb\"oz\H{o} kifejez\'est kaptunk.
Mutassuk meg k\"ozvetlen\"ul (val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
meggondol\'asok n\'elk\"ul), hogy a k\'et kifejez\'es egyenl\H{o}.
Adjunk az analiz\'{\i}s m\'odszereit alkalmaz\'o bizony\'{\i}t\'ast
a 3. feladat eredm\'eny\'ere is.
\item{} {\it Megold\'as.} El\H{o}sz\"or a 3. feladatban szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kifejez\H{o} v\'egtelen \"osszeget
sz\'amolom ki az
$(1+x)^\alpha=\summ_{k=0}^\infty\binom \alpha k x^k$, ha $|x|<1$
azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol $\binom \alpha k
=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}$. (A fenti
azonoss\'ag minden val\'os $\alpha$ sz\'amra \'erv\'enyes,
\'es az $(1+x)^\alpha$ f\"uggv\'eny Taylor
sorfejt\'es\'eb\H{o}l k\"ovetkezik.) Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
\binom{n-1}2=\binom{n-1}{n-3}={(-1)^{n-1}}\frac{(-3)(-4)\cdots(1-n)}
{(n-3)!}=(-1)^{n-1}\binom{-3}{n-3},
$$
ahonnan $\summ_{n=3}^{\infty}\binom{n-1}2x^{n-3}=
\summ_{n=3}^{\infty}\binom{-3}{n-3}(-x)^{n-3}=
\summ_{n=0}^{\infty}\binom{-3}n(-x)^n=(1-x)^{-3}$ minden $|x|<1$
sz\'amra. Speci\'alisan, $x=\frac56$ v\'alaszt\'assal
$\summ_{n=3}^{\infty}
\binom{n-1}2\(\frac5{6}\)^{n-3}\(\frac16\)^3=1$. Ez az azonoss\'ag
ekvivalens azzal az \'all\'{\i}t\'assal, hogy egy szab\'alyos
dob\'okocka v\'egtelen sok egym\'as ut\'ani feldob\'asa eset\'en 1
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel legal\'abb 3 hatos dob\'as
megjelenik.

\item{} Hasonl\'o sz\'amol\'assal bebizony\'{\i}tom az
$$
\align
&\binom{19}0 x^{19} (1-x)^{-3}+\binom{19}1x^{18}(1-x)^{-2}
+\binom{19}2x^{17}(1-x)^{-1}\\
&=\sum_{n=17}^\infty\binom {n+2}2 x^n
=\sum_{n=20}^\infty\binom {n-1}2 x^{n-3}
\endalign
$$
azonoss\'agot. Az azonoss\'ag mind a k\'et oldal\'at megszorozva
$(1-x)^3$-nel, \'es behelyettes\'{\i}tve az $x=\frac56$ \'ert\'eket
az \'{\i}gy kapott azonoss\'agba megkapjuk, hogy a 4. feladatban
szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre adott k\'et kifejez\'es
egyenl\H{o}.

\item{} Az azonoss\'ag baloldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'est
Taylor sorba fejthetj\"uk a k\"ovetkez\H{o} azo\-nos\-s\'a\-gok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
$(1-x)^{-3}=\summ_{n=0}^\infty\binom {-3}n (-1)^{n}x^n
=\summ_{n=0}^\infty\binom {n+2}n x^n
=\summ_{n=0}^\infty\binom {n+2}2 x^n$,
$(1-x)^{-2}=\summ_{n=0}^\infty\binom {-2}n (-1)^{n}x^n
=\summ_{n=0}^\infty\binom {n+1}1 x^n$, \'es
$(1-x)^{-1}=\summ_{n=0}^\infty\binom n0 x^n$. Ezen
azo\-nos\-s\'a\-gok seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt kapjuk, hogy
$$
\align
&x^{19} (1-x)^{-3}+\binom{19}1x^{18}(1-x)^{-2}
+\binom{19}2x^{17}(1-x)^{-1}\\
&\qquad =\sum_{n=0}^\infty\binom {n+2}2\binom{19}0 x^{n+19}
+\sum_{n=0}^\infty\binom {n+1}1\binom{19}1 x^{n+18}
+\sum_{n=0}^\infty\binom {n}0\binom{19}2 x^{n+17}.
\endalign
$$
Ebben a kifejez\'esben a megfelel\H{o} tagokat \"osszevonva egy
olyan hatv\'anysort kapunk, amelyben $x^n$ egy\"utthat\'oja
$\binom{n-17}2\binom{19}0+\binom{n-17}1\binom{19}1+
\binom {n-17}0\binom{19}2$ minden $n\ge17$ kitev\H{o}re,
\'es az $n<17$ kitev\H{o}kre az $x^n$ tag egy\"utthat\'oja nulla.
Viszont tudjuk, hogy
$\binom{n-17}2\binom{19}0+\binom{n-17}1\binom{19}1+
\binom {n-17}0\binom{19}2 x^{n+17}=\binom{(n-17)+19}2=\binom{n+2}2$.
(L\'asd az els\H{o} el\H{o}ad\'as kieg\'esz\'{\i}t\'es\'eben
szerepl\H{o} 7. feladatot, amely ennek az azonoss\'agnak egy
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at tartalmazza.) Innen k\"ovetkezik
a bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag.
\medskip
Az el\H{o}z\H{o} feladatokban olyan azonoss\'agokat
bizony\'{\i}tottunk viszonylag egyszer\H{u}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-si
meggondol\'asok seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amelyeknek analitikus
bizony\'{\i}t\'asa sok munk\'at ig\'enyel. \'Erdemes megjegyezni,
hogy val\'oj\'aban a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi
meg\-gon\-do\-l\'a\-sok h\'atter\'eben is m\'ely \'es nehezen
bizony\'{\i}that\'o eredm\'enyek rejt\H{o}znek.
\'Er\-ve\-l\'e\-se\-ink\-ben kihaszn\'altuk, hogy egy szab\'alyos
dob\'okocka v\'egtelen sok egym\'ast k\"ovet\H{o}
f\"ug\-get\-len feldob\'as\'anak van val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
modellje, \'es ebben a modellben a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek $\sigma$-addit\'{\i}v. Az el\H{o}z\H{o} p\'eld\'ak azt
mutatt\'ak, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\sigma$-additivit\'as\'anak nem-trivi\'alis k\"ovetkezm\'enyei
vannak.

Tekints\"unk m\'eg egy egyszer\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi modellt,
val\'oj\'aban a leg\-egy\-sze\-r\H{u}bb modellt, amely sok
feladatban megjelenik. Tekints\"unk egy kis\'erletet, amely\-nek
$N$ lehets\'eges kimenetele van, \'es ezek mindegyike egyform\'an
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Egy ilyen kis\'erlet
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellje a
k\"ovetkez\H{o}. Vegy\"unk egy $N$ elem\H{u}
$\{x_1,\dots,x_N\}$ halmazt. Defin\'aljuk az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t a k\"ovetkez\H{o} m\'odon.
$\Omega=\{x_1,\dots,x_N\}$, $\Cal A$ az $\Omega$ \"osszes
r\'eszhalmaz\'ab\'ol \'all\'o halmaz, \'es egy $A\in\Cal A$
halmazra $P(A)=\frac{|A|}N$, ahol $|A|$ az $A$ halmaz elemeinek
sz\'am\'at jel\"oli. Ezt a k\'epletet \'ugy is szok\'as
interpret\'alni, hogy
$$
\text{val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg}=
\frac{\text{kedvez\H{o} esetek sz\'ama}}
{\text{\"osszes eset sz\'ama}},
$$
ahol a kedvez\H{o} eset egy a vizsg\'alt $A$ esem\'eny \'altal
tartalmazott elemi esem\'enyt jelent. Term\'eszetesen ez a k\'eplet
csak akkor \'erv\'enyes, ha minden lehets\'eges kimenet (elemi
esem\'eny) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egyenl\H{o}. Sokszor
tal\'alkozunk olyan  feladattal, amelyben ez a felt\'etel teljes\"ul,
viszont az $A$ halmaz k\"ozvetett m\'odon, az $X$  halmaz elemeinek
bizonyos tulajdons\'agai \'altal van defini\'alva. Ilyen feladatokban
az $A$ halmaz elemeinek \"osszesz\'aml\'asa valamilyen nem
felt\'etlen\"ul egyszer\H{u} kombinatorikus meggondol\'asokat
ig\'enyel.

Tekints\"unk egy ilyen feladatot, egy a lott\'oh\'uz\'as
lehets\'eges eredm\'eny\'enek a vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-vel
kapcsolatos probl\'em\'at. \'Erts\"uk el\H{o}sz\"or meg, hogy a
lott\'oh\'uz\'as ered\-m\'e\-ny\'e\-r\H{o}l sz\'ol\'o feladatok,
vagyis azok a probl\'em\'ak, amelyek arr\'ol sz\'olnak, hogy a
h\'uz\'as eredm\'enye milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik
egy halmazba, (milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
teljes\'{\i}t valamilyen tulajdons\'agot) az el\H{o}bb eml\'{\i}tett
feladattipusba tartozik. Val\'oban, ha el\H{o}\'{\i}rjuk azt is,
hogy mi volt az els\H{o}, a m\'asodik,\dots \"ot\"odik h\'uz\'as,
akkor minden h\'uz\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
egyenl\H{o}, (t\"ort\'enetesen
$\frac1{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}$).
De minket most nem \'erdekel a h\'uz\'assorozatban megjelen\H{o}
sz\'amok sorrendje, csak az, hogy melyik 5 h\'uz\'aseredm\'eny
jelent meg. Egy el\H{o}\'{\i}rt eredm\'eny annak az $5!$
h\'uz\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az \"osszege,
amely  h\'uz\'assorozatok ezt az 5 sz\'amot tartalmazz\'ak
tetsz\H{o}leges sorrendben. Innen
k\"ovetkezik, hogy minden lehets\'eges h\'uz\'aseredm\'enynek
ugyanannyi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, nevezetesen
$\frac1{\binom{90}5}$. Oldjuk meg a k\"ovetkez\H{o} feladatot.

\medskip
\item{6.)} Mi annak a a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
\"ot, n\'egy illetve, hogy h\'arom tal\'alatot \'er\"unk el
egy kit\"olt\"ott lott\'oszelv\'ennyel?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Egy lott\'oh\'uz\'as sor\'an minden
lehets\'eges h\'uz\'assorozatnak egyforma a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. Mint azt kor\'abban l\'attuk, 90
sz\'amb\'ol 5 sz\'amot $\binom{90}5$-f\'elek\'eppen lehet
kiv\'alasztani, (ha nem sz\'am\'{\i}t az,  hogy milyen sorrendben
h\'uztuk ki a sz\'amokat). Ez\'ert annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy 5 tal\'alatunk lesz, azaz pont
a lott\'oszelv\'enyen lev\H{o} sz\'amokat h\'uzt\'ak ki,
$\frac1{\binom{90}5}$. Az az esem\'eny, hogy 4 tal\'alatunk van azt
jelenti, hogy egy olyan sz\'am\"ot\"ost h\'uztak ki, amely pontosan
4 olyan sz\'amot tartalmaz, amely megegyezik az \'altalunk
bejel\"olt 5 sz\'am valamelyik\'evel. H\'any ilyen sorozat van? Egy
ilyen sorozat a lott\'oszelv\'enyen megjel\"olt 5 sz\'amb\'ol 4-et,
az ott meg nem jel\"olt 85 sz\'amb\'ol 1-et tartalmaz. \"Osszesen
$\binom54\binom{85}1=5\cdot 85$ ilyen sorozat van. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ezek valamelyik\'et h\'uzt\'ak ki,
azaz 4 tal\'alatunk lesz $\frac{\binom{85}1\binom54}{\binom{90}5}$.
Hasonl\'o meggondol\'asok alapj\'an annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy 3 tal\'alatunk lesz
$\frac{\binom{85}2\binom53}{\binom{90}5}$.

\medskip
T\'argyaljuk az el\H{o}ad\'as elej\'en felvetett m\'asik
k\'erd\'est is: Nem okoz-e gondot az, hogy nem minden halmaznak
defini\'altuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hanem csak azoknak,
amelyek egy alkalmas $\sigma$-algebr\'aba esnek? Erre a k\'erd\'esre
is megnyugtat\'o, nemleges v\'alaszt lehet adni, de ez a v\'alasz
n\'emi indokl\'asra szorul. Az indokl\'as h\'atter\'eben az az \'erv
van, hogy csak az olyan esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
\'erdekel minket, amelyeket bizonyos egyszer\H{u} megfigyel\'eseknek
a seg\'{\i}ts\'eg\'evel pontosan defini\'alni tudunk. Azt kell
meg\'erten\"unk, hogy az eredeti esem\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
defini\'alt \'uj esem\'enyek (halmazok) benne vannak az ezen
esem\'enyek \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'aban. Ugyanis az
\'uj  halmazok  definici\'oja le\'{\i}rhat\'o az eredeti halmazok
uni\'oinak, metszeteinek \'es k\"u\-l\"onb\-s\'e\-gei\-nek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Egy k\"or\"ulm\'enyre azonban figyelni kell.
Csak olyan definici\'okat tekinthet\"unk, amelyekben v\'eges vagy
megsz\'aml\'alhat\'o sok halmaz metszet\'et vagy uni\'oj\'at
vessz\"uk, mert csak \'{\i}gy tudjuk biztos\'{\i}tani azt, hogy az
\'ujonnan defini\'alt halmazok benne legyenek az eredeti halmazok
\'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'aban. Az e korl\'atoz\'as miatt
felmer\"ul\H{o} neh\'ezs\'egek lek\"uzd\'ese \'erdek\'eben \'erdemes
felid\'ezni n\'eh\'any klasszikus eredm\'enyt. Ilyen sz\'amunkra
\'erdekes eredm\'eny p\'eld\'aul az a t\'eny, hogy a racion\'alis
sz\'amok a val\'os sz\'amok egy minden\"utt s\H{u}r\H{u},
megsz\'aml\'alhat\'o r\'eszhalmaz\'at alkotj\'ak. A probl\'ema jobb
meg\'ert\'ese \'erdek\'eben tekints\"unk n\'eh\'any p\'eld\'at.

\medskip\noindent

\vfill\eject

\noindent
Az els\H{o} p\'elda a k\"ovetkez\H{o}:

\medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as:} {\it Tekints\"uk az el\H{o}bb defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, ahol egy szab\'alyos p\'enzdarab
v\'egtelen dob\'assorozat\'at defini\'altuk. Adva egy $\oo$ v\'egtelen
fej-\'{\i}r\'as dob\'assorozat, jel\"olje $k(n,\oo)$ az $\oo$ sorozat
els\H{o} $n$ jel\'eben szerepl\H{o} $F$ bet\H{u}k sz\'am\'at. L\'assuk
be, hogy az az $A$ halmaz, amelyet \'ugy defini\'alunk, hogy
$$
A=\left\{\oo\colon\; \text{\rm L\'etezik a }
\lim_{n\to\infty}\frac{k(n,\oo)}n
\text{ \rm hat\'ar\'ert\'ek.}\right\}
$$
teljes\'{\i}ti az $A\in \Cal A$ tulajdons\'agot. M\'as szavakkal: Az
az esem\'eny, hogy a fejdob\'asok relat\'{\i}v gyakoris\'ag\'anak van
hat\'ar\'ert\'eke azon esem\'enyek k\"oz\'e tartozik, amelyeknek
de\-fi\-ni\-\'al\-tuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as}\/ Az, hogy a $\frac{k(n,\oo)}n$,
$n=1,2,\dots$, sorozat valamely $\oo$-ra konverg\'al, ekvivalens azzal,
hogy a $\frac{k(n,\oo)}n$, $n=1,2,\dots$, sorozat Cauchy sorozat.
Ez azt jelenti, hogy minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$n_0=n_0(\e,\oo)$ k\"usz\"obindex, amelyre $n\ge n_0$ \'es
$\bar n\ge n_0$ eset\'en $\left|\frac{k(n,\oo)}n-\frac{k(\bar
n,\oo)}{\bar n} \right|<\e$. Ez ekvivalens azzal, hogy minden $p$
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amhoz l\'etezik olyan $n_0=n_0(p,\oo)$
k\"usz\"obindex, amelyre $n\ge n_0$ \'es $\bar n\ge n_0$ eset\'en
$\left|\frac{k(n,\oo)}n-\frac{k(\bar n,\oo)}{\bar n}\right|<\frac1p$.

Az, hogy ez az ut\'obbi \'all\'{\i}t\'as teljes\"ul egy $\oo$
v\'egtelen sorozatra valamilyen $p$ \'es $n_0$ sz\'amra, ekvivalens
azzal, hogy $\oo\in A_{p,n_0}$, ahol
$$
\align
A_{p,n_0}&=\left\{\oo\colon \;
\left|\frac{k(n,\oo)}n-\frac{k(\bar n,\oo)}{\bar
n}\right|<\frac1p\quad \text{ha } n\ge n_0,\; \bar n\ge n_0\right\}\\
&=\bigcap_{n=n_0}^\infty\bigcapp_{\bar n=n_0}^\infty
\left\{\oo\colon \left|\frac{k(n,\oo)}n-\frac{k(
\bar n,\oo)}{\bar n}\right|<\frac1p \right\}
=\bigcap_{n=n_0}^\infty\bigcapp_{\bar n=n_0}^\infty A(p,n,\bar n)
\endalign
$$
az $A(p,n,\bar n)=\left\{\oo\colon\left|\frac{k(n,\oo)}n
-\frac{k(\bar n,\oo)}{\bar n}\right|<\frac1p \right\}$
jel\"ol\'essel.

R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $p$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amot.
Egy $\oo$ v\'egtelen fej--\'{\i}r\'as sorozatra akkor \'es csak
akkor l\'etezik olyan $n_0=n_0(k,\oo)$ k\"usz\"obindex, amelyre
a $\left|\frac{k(n,\oo)}n-\frac{k(\bar n,\oo)}
{\bar n}\right|<\frac1p$ rel\'aci\'o tel\-je\-s\"ul minden
$n\ge n_0$ \'es $\bar n\ge n_0$ sz\'am eset\'en, ha
$$
\oo\in A_p=\bigcup_{n=1}^\infty A_{p,n}.
$$
A $\frac{k(n,\oo)}n$ sz\'amsorozat azokra az $\oo$ elemi
esem\'enyekre Cauchy sorozat, amelyekre
$$
\oo\in A=\bigcapp_{p=1}^\infty A_p.
$$
Vegy\"uk \'eszre, hogy az $A(p,n,\bar n)
=\left\{\oo\colon\;\left|\frac{k(n,\oo)}n-\frac{k(\bar n,\oo)}
{\bar n}\right|<\frac1p \right\}$
halmaz minden el\H{o}\'{\i}rt $(n,\bar n)$ sz\'am\-p\'ar\-ra \'es $p$
sz\'amra eleme  az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'anak, mert megmondhat\'o,
hogy mely $\max (n,\bar n)$ fej \'es \'{\i}r\'asjellel kezd\H{o}d\H{o}
sorozatok tartoznak hozz\'a ehhez a halmazhoz, \'es melyek nem.
Innen \'es a $\sigma$-algebra definici\'oj\'ab\'ol az is k\"ovetkezik,
hogy az ilyen halmazok seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt $A_{p,n_0}$
\'es $A_p$ halmazok minden $p$ \'es $n_0$ indexre elemei az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'anak, \'es ugyanez igaz az $A$ halmazra is. Az
$A\in \Cal A$ \'all\'{\i}t\'ast kellett bebizony\'{\i}tanunk.
\medskip

Tekintek n\'eh\'any hasonl\'o, de egyszer\H{u}bb probl\'em\'at.

{\it Feladatok:}

\medskip
\item{7.)} Legyenek $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. L\'assuk be, hogy
$\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k$ jel\"oli azt az
esem\'enyt, hogy az $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyek k\"oz\"ul
v\'eg\-te\-len sok bek\"ovetkezik.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az, hogy az $A_n$ esem\'enyek k\"oz\"ul
v\'egtelen sok bek\"ovetkezik, azt jelenti, hogy minden pozit\'{\i}v
eg\'esz $n$ sz\'amhoz van olyan $k\ge n$ index, amelyre az az $A_k$
esem\'eny bek\"ovetkezik, azaz a $B_n=\bigcupp_{k=n}^\infty A_k$
esem\'eny is bek\"ovetkezik. Az, hogy a $B_n$ esem\'eny minden
pozit\'{\i}v eg\'esz $n$ sz\'amra bek\"ovetkezik azt jelenti, hogy
bek\"ovetkezik a
$\bigcapp_{n=1}^\infty B_n=\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k$
esem\'eny.
\item{8.)} Legyenek $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal A,
P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. L\'assuk be, hogy
$\bigcupp_{n=1}^\infty\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ jel\"oli azt az
esem\'enyt, hogy az $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyek k\"oz\"ul v\'eges
sok kiv\'etellel mindegyik bek\"ovetkezik.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az, hogy az $A_n$ esem\'enyek majdnem
mindegyike bek\"ovetkezik, azt jelenti, hogy van olyan $n$ sz\'am,
melyre igaz, hogy minden $k\ge n$ indexre bek\"ovetkezik az $A_k$
esem\'eny, azaz a $B_n=\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ esem\'eny is
bek\"ovetkezik. Az, hogy a $B_n$ esem\'eny bek\"ovetkezik valamely $n$
sz\'amra azt jelenti, hogy bek\"ovetkezik az $\bigcupp_{n=1}^\infty
B_n= \bigcupp_{n=1}^\infty\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ esem\'eny.

\medskip
{\it H\'azi feladat:}

\item{} Tekints\"uk egy szab\'alyos p\'enzdarab v\'egtelen egym\'as
ut\'ani feldob\'as\'at. L\'assuk be, hogy az az esem\'eny, hogy
h\'arom egym\'as ut\'ani fej-dob\'as csak azut\'an t\"ort\'ent, hogy
e sorozat els\H{o} elem\'enek a megjelen\'ese el\H{o}tt m\'ar volt
t\'{\i}z fej-dob\'as m\'erhet\H{o} esem\'eny, amelynek van
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Mind az itteni mind k\'es\H{o}bbi feladatok
vizsg\'alata \'erdek\'eben \'erdemes fel\-ele\-ve\-n\'{\i}\-te\-ni
azt, hogy hogyan lehet sz\'amolni halmazok metszeteivel, uni\'oival,
k\"u\-l\"onb\-s\'e\-g\'e\-vel. K\"u\-l\"o\-n\"o\-sen hasznos
feleleven\'{\i}teni a Morgan-f\'ele azonoss\'agr\'ol, illetve a
konjunkt\'{\i}v \'es diszjunkt\'{\i}v norm\'alform\'akt\'ol
tanultakat.

%\medskip\noindent

\vfill\eject

\noindent
{\it Egy m\'asik probl\'ema, amelynek megold\'asa
nem-trivi\'alis anal\'{\i}zisbeli eredm\'enyek
fel\-hasz\-n\'a\-l\'a\-s\'at ig\'enyli:}
\medskip\noindent
Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul egy $x$ \'es egy $y$ pontot
egyenletesen a $[0,1]$ intervallumba, azaz mind az $x$ mind az $y$
pont egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $|b-a|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik egy $[a,b]\subset[0,1]$
intervallumba. Az $(x,y)$ sz\'amp\'ar kijel\"ol egy v\'eletlen
pontot az egys\'egn\'egyzeten. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy ez a pont beleesik az egys\'egn\'egyzet valamely $A$ halmaz\'aba?

Azt v\'arjuk, hogy ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg megegyezik a
halmaz \'es az egys\'egn\'egyzet metszet\'enek a ter\"ulet\'evel. Ez
az elk\'epzel\'es l\'enyeg\'eben helyes, de term\'eszetesen csak
azzal a megszor\'{\i}t\'assal, hogy olyan halmazt tekint\"unk,
amelynek van ter\"ulete. A k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} t\'etelben
megfogalmazom az anal\'{\i}zisnek azt az eredm\'eny\'et, amely
lehet\H{o}v\'e teszi a sz\"uks\'eges val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
modell megkonstru\'al\'as\'at. Ebben t\'etelben bevezetem az
anal\'{\i}zisben defini\'alt Borel $\sigma$-algebra \'es Lebesgue
m\'ert\'ek fogalm\'at is.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a Lebesgue m\'ert\'ek l\'etez\'es\'er\H{o}l az
Euklideszi t\'erben.} {\it Tekints\"uk a s\'{\i}k
$[a,b]\times [c,d]$ alak\'u r\'eszhalmazait, (amelyek t\'eglalapok),
\'es defini\'aljuk ezek ter\"ulet\'et a $(b-a)(d-c)$ k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \'Altal\'anosabban, tekints\"uk az
$n$-dimenzi\'os teret, $n\ge1$, \'es abban az
$[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \cdots\times[a_n,b_n]$ alak\'u
t\'eglatesteket, ahol $a_j<b_j$, $1\le j\le n$. Defini\'aljuk e
t\'eglatestek t\'erfogat\'at a $\prodd_{j=1}^n(b_j-a_j)$ k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Jel\"olje $\Cal B$ az ezen t\'eglatesteket
tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebr\'at. (Az irodalomban
ezt a $\sigma$-algebr\'at a Borel $\sigma$-algebr\'anak, a
$\sigma$-algebra elemeit pedig Borel m\'erhet\H{o} halmazoknak
nevezik.) Ekkor l\'etezik olyan m\'ert\'ek a $\Cal B$
$\sigma$-algebr\'an, amelyre teljes\"ul az a felt\'etel, hogy
minden t\'eglatest  m\'ert\'eke megegyezik annak t\'erfogat\'aval,
\'es ez a m\'ert\'ek egy\'ertelm\H{u}en meg van hat\'arozva. (Ezt
a m\'ert\'eket h\'{\i}vj\'ak az irodalomban Lebesgue m\'ert\'eknek.)
Azoknak a halmazoknak, amelyeknek a geometri\'aban defini\'alt\'ak a
t\'erfogat\'at megegyezik a t\'erfogata \'es Lebesgue m\'ert\'eke.}
\medskip

Ennek az eredm\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alni tudunk egy
sz\'amunkra k\'{\i}v\'anatos va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
modellt. Tekints\"uk a s\'{\i}kon defini\'alt Lebesgue m\'ert\'ek
megszor\'{\i}t\'as\'at a $[0,1]\times [0,1]$
egy\-s\'eg\-n\'egy\-zet, Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazaira,
amelyek egy $\Cal B_0$ Borel $\sigma$-algebr\'at alkotnak.
De\-fi\-ni\'al\-hat\-juk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t.

Legyenek az $\oo$ ele\-mi esem\'enyek az egys\'egn\'egyzet
pontjai, \'es a biztos esem\'eny, az $\Omega=[0,1]\times [0,1]$
egys\'egn\'egyzet. Legyen $\Cal A=\Cal B_0$, a $\Cal B$ Borel
$\sigma$-algebra megszor\'{\i}t\'asa az egys\'egn\'egyzetre, a
$P$ m\'ert\'ek pedig a Lebesgue m\'ert\'ek megszor\'{\i}t\'asa
a $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'ara. Mutatok h\'arom p\'eld\'at
arra, hogy hogyan lehet bizonyos feladatokat meg\-ol\-da\-ni
ennek a modellnek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip

\item{} {\it 9. feladat:}\/ K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott
megjelenik egy t\'eren egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes
eloszl\'assal. Mind a kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es
ha az addig nem j\"on, akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
annak, hogy tal\'alkoznak?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk az egys\'egn\'egyzetet, \'es
v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az egys\'egn\'egyzeten, amelynek
$x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy az els\H{o} ember az $y$
koordin\'at\'aja pedig megadja, hogy a m\'asodik ember mikor (8 plusz
h\'any \'orakor)
\'erkezett. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont egyenletes
eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, azaz annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy ez a pont az
egys\'egn\'egyzet egy (sz\'ep) r\'eszhalmaz\'aba esik meg\-egye\-zik e
halmaz ter\"ulet\'evel. Az, hogy a k\'et ember tal\'alkozik azt az
esem\'enyt jelenti, hogy az \'{\i}gy defini\'alt $(x,y)$ pont az
egys\'egn\'egyzet
$$
A=\left\{(x,y)\:-\frac12\le y-x\le \frac12\right\}\cap[0,1]\times
[0,1]
$$
r\'eszhalmaz\'aba esik. Ennek a halmaznak a ter\"ulete
$1-2\cdot\frac18=\frac34$, \'es ez a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg.
\item{} {\it 10. feladat:}\/ K\'et egy m\'eter hossz\'u botot
v\'eletlenszer\H{u}en, (egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul)
egyenletes eloszl\'assal elt\"or\"unk. A k\'et r\"ovidebb darabot
\"osszeragasztjuk. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
hogy az \'{\i}gy kapott \'uj bot hossza kisebb mint $0.8$ m\'eter?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez a feladat is t\'argyalhat\'o
hasonl\'o m\'odon. Tekints\"uk az egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-tet,
\'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az egys\'egn\'egyzeten,
amelynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy  hol t\"ort\"uk el az
els\H{o} botot az $y$ koordin\'at\'aja pedig azt, hogy hol t\"ort\"uk
el a m\'asodik botot. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont egyenletes
eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten. Az az esem\'eny, hogy az
\"osszeragasztott bot hossza kisebb mint $0.8$ megegyezik annak az
esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az $(x,y)$ pont
a k\"ovetkez\H{o} $A_1$, $A_2$, $A_3$ \'es  $A_4$ halmazok
$A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4$ uni\'oj\'aba esik:
$A_1=\{(x,y)\: x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_2=\{(x,y)\: x+(1-y)<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_3=\{(x,y)\: 1-x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$ \'es
$A_4=\{(x,y)\: 1-x+1-y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$. Rajzoljuk le
ezeket a halmazokat. Az \'abra mutatja, hogy az $A_1\cup A_2\cup
A_3\cup A_4$ halmaz komplementere az a n\'egyzet amelynek cs\'ucsai a
$(0.3,\,0.5)$, $(0.5,\,0,3)$, $(0.7,\,0.5)$, \'es $(0.5,\,0.7)$
pontok. Ennek a n\'egyzetnek a ter\"ulete, $0.08$ teh\'at a minket
\'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $1-0.08=0.92$.
\medskip
K\'es\H{o}bb tanulni fogunk olyan m\'odszereket, amelyek
lehet\H{o}v\'e teszik a fenti k\'et feladat megold\'as\'at m\'as
m\'odon. Akkor majd vissza fogunk t\'erni ezekhez a feladatokhoz.
\medskip

\item{} {\it 11. feladat:}\/ Dobjunk le az egys\'egintervallumra
v\'eletlen\"ul, egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 2 pontot. (Az, hogy
egy pont az egys\'egintervallum valamely r\'eszintervallum\'aba esik
egyenl\H{o} ezen intervallum hossz\'aval.) Ez a k\'et ledobott pont
az egys\'egintervallumot h\'arom r\'eszintervallumra osztja. Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az \'{\i}gy l\'etrej\"ott h\'arom
r\'eszintervallumb\'ol szerkeszthet\H{o} h\'aromsz\"og?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A h\'arom szakaszb\'ol akkor \'es csak
akkor szerkeszthet\H{o} h\'aromsz\"og, ha teljes\'{\i}tik a
h\'aromsz\"ogegyenl\H{o}tlens\'eget, azaz b\'armely kett\H{o}
\"osszhossza nagyobb, mint a harmadik intervallum hossza. Mivel a
h\'arom r\'eszintervallum \"osszhossza 1, ez ekvivalens azzal, hogy
mindegyik\"uk hossza kisebb, mint $\frac12$. Legyen az
els\H{o} ledobott pont koordin\'at\'aja $x$ a m\'asodik ledobott
pont\'e pedig $y$. Ekkor az $(x,y)$ pont egyenletes eloszl\'as\'u
a $[0,1]\times[0,1]$ egys\'egn\'egyzeten, \'es a keletkezett szakaszok
hossza $x$, $y-x$ \'es $1-y$, ha $x<y$, \'es $y$, $x-y$ \'es $1-x$,
ha $x>y$. A h\'arom szakaszb\'ol akkor \'es csak akkor
szerkeszthet\H{o} h\'aromsz\"og, ha a k\"ovetkez\H{o} k\'et
(egym\'ast kiz\'ar\'o) esem\'eny valamelyike bek\"ovetkezik:

\itemitem{} a.) $0\le x<\frac12$, $\frac12<y<1$, $0<y-x<\frac12$,
\itemitem{} b.) $0\le y<\frac12$, $\frac12<x<1$, $0<x-y<\frac12$.

\item{} (Az a.) eset felel meg annak, hogy $x<y$, a b.) eset annak,
hogy $y<x$.) Egyszer\H{u} geometriai meggondol\'as mutatja, hogy
mind az a) mind a b) eset teljes\"ul\'ese azt jelenti, hogy az
$(x,y)$ pont az egys\'egn\'egyzet egy $\frac12$ befog\'okkal
rendelkez\H{o} szab\'alyos der\'eksz\"og\H{u} egyenl\H{o}sz\'ar\'u
h\'aromsz\"ogbe esik. \'Igy a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$2\cdot\frac18=\frac14$.
\medskip

A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oj\'aban feltett\"uk, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek nemcsak addit\'{\i}v, hanem
$\sigma$-addit\'{\i}v is. Ez k\'enyelmesebb\'e teszi a
sz\'amol\'asokat, \'es ezenk\'{\i}v\"ul ez tette lehet\H{o}v\'e a
v\'egtelen dob\'assorozatot defini\'al\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek illetve a pontledob\'ast le\'{\i}r\'o Lebesgue m\'ert\'ek
{\it egy\'ertelm\H{u}}\/ definici\'oj\'at. \'Erdemes meg\'erteni a
$\sigma$-addit\'{\i}v \'es addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyek
k\"oz\"otti kapcsolatot. A Fazekas k\"onyv 23. oldal\'an
tal\'alhat\'o egy \'all\'{\i}t\'as (2.5 \'All\'{\i}t\'as) arr\'ol,
hogy a  m\'ert\'ekek $\sigma$-additivit\'asa ekvivalens azzal, hogy
az ilyen halmazf\"uggv\'enyek az additiv\'{\i}t\'ason k\'{\i}v\"ul
m\'eg egy  folytonoss\'agnak nevezett tulajdons\'agot is
teljes\'{\i}tenek. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast az al\'abbi
T\'etel~A eredm\'enyben pontosabban is megfogalmazom, \'es a
T\'etel~A (egyszer\H{u}) bizony\'{\i}t\'as\'at megadom a
Kieg\'esz\'{\i}t\'es~2-ben.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel A.} {\it Legyen adva egy $\Omega$ halmaz, annak
bizonyos r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\Cal A$ $\sigma$-algebra,
\'es azon egy v\'eges, $P$ add\'{\i}tiv nem-negat\'{\i}v
halmazf\"uggv\'eny, azaz feltessz\"uk, hogy $0<P(\Omega)<\infty$,
\'es $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$, ha $A$ \'es $B$ diszjunkt halmazok. A
$P$ halmazf\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor $\sigma$-addit\'{\i}v
az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an, ha teljes\'{\i}ti az al\'abbi a
m\'ert\'ek folytonoss\'ag\'anak nevezett tulajdons\'agot:

Ha $A_n\in\Cal A$, $n=1,2,\dots$ az $\Cal A$ $\sigma$-algebra
olyan elemei, amelyekre
$$
\cdots \subset A_n\subset A_{n-1}\subset\cdots\subset A_1,\quad
\text{\'es}\quad \bigcapp_{n=1}^\infty A_n=\emptyset,
$$
akkor $\limm_{n\to\infty} P(A_n)=0$.

A fenti \'all\'{\i}t\'as akkor is \'erv\'enyes, ha $\Cal A$
algebra, de nem felt\'etelen\"ul $\sigma$-algebra. Ez esetben a
$\sigma$-addit\'{\i}vit\'as \'ugy \'ertend\H{o}, hogy amennyiben az
$A_n$, $n=1,2,\dots$, halmazok diszjunktak, $A_n\in \Cal A$ minden
$n=1,2,\dots$ indexre, \'es ezenk\'{\i}v\"ul az
$A=\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\in \Cal A$ felt\'etel is teljes\"ul,
akkor $P(A)=\summ_{n=1}^\infty P(A_n)$.

Ha $P$ v\'eges, $\sigma$-addit\'{\i}v nem-negat\'{\i}v
halmazf\"uggv\'eny egy algebr\'an, akkor teljes\'{\i}ti a fent
megfogalmazott folytonoss\'agi tulajdons\'ag k\"ovetkez\H{o}
er\H{o}sebb v\'altozat\'at is. Legyen $B_n\in \Cal A$,
$n=0,1,2,\dots$, az $\Cal A$ algebra olyan monoton cs\"okken\H{o}
halmazsorozata, melyre
$$
\cdots \subset B_n\subset B_{n-1}\subset\cdots\subset B_1,\quad
\text{\'es}\quad \bigcapp_{n=1}^\infty B_n=B_0\in \Cal A,
$$
$C_n\in \Cal A$, $n=0,1,2,\dots$, az $\Cal A$ algebra olyan
monoton n\"ovekv\H{o} halmazsorozata, melyre
$$
\cdots \subset C_n\subset C_{n+1}\subset\cdots\quad
 \text{\'es}\quad \bigcupp_{n=1}^\infty C_n=C_0\in\Cal A.
$$
Ekkor $\limm_{n\to\infty}P(B_n)=P(B_0)$, \'es
$\limm_{n\to\infty}P(C_n)=P(C_0)$.}
\medskip

Vil\'agos, hogy legal\'abbis form\'alisan a $\sigma$-additit\'as
er\H{o}sebb k\"ovetelm\'eny mint csak az additivit\'as. De tudunk-e
p\'eld\'at adni egy $\sigma$-algebr\'an addit\'{\i}v, de nem
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyre? Elk\'epzelhet\H{o}-e, hogy
a $\sigma$-additiv\'{\i}t\'as el\H{o}\'{\i}r\'asa miatt bizonyos
\'erdekes feladatokra nem tudunk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt
adni?

Ezekre a k\'erd\'esekre megnyugtat\'o v\'alaszt tudunk adni.
L\'eteznek $\sigma$-algebr\'an addit\'{\i}v, de nem
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyek. Ezeket viszont mindig
csak nem konstrukt\'{\i}v m\'odon (kiv\'alaszt\'asi axi\'oma vagy egy
vele ekvivalens \'all\'{\i}t\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet megadni.)
A teljess\'eg kedv\'e\'ert a Kieg\'esz\'{\i}t\'es~3 r\'eszben
p\'eld\'at mutatok egy addit\'{\i}v, de nem $\sigma$-addit\'{\i}v
halmazf\"uggv\'enyre.
Konkr\'et, j\'ol megfogalmazhat\'o feladatokban nem jelenik
meg az a probl\'ema, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget megad\'o
term\'eszetes jel\"olt addit\'{\i}v, de nem $\sigma$-addit\'{\i}v.

V\'eg\"ul teszek m\'eg egy megjegyz\'est val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
modellek konstrukci\'oj\'ar\'ol. Ebben az el\H{o}ad\'asban
k\"ul\"onb\"oz\H{o} v\'eletlen jelens\'egeknek megadtuk egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi konstrukci\'oj\'at.
Ezek j\'o konstrukci\'ok voltak, de nem ezek az egyed\"uli j\'o
konstrukci\'ok. P\'eld\'aul egy szab\'alyos p\'enzdarab 10 egym\'as
ut\'ani feldob\'as\'ara az is lehet modell, hogy a p\'enzdarabot,
20 alkalommal dobjuk fel, de az utols\'o t\'{\i}z dob\'as
eredm\'eny\'et nem vessz\"uk figyelembe. Jegyezz\"uk meg azt is,
hogy a vizsg\'alt feladatokban a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'a\-ban nem j\'atszott szerepet az, hogy
a k\'{\i}v\'ant feladatnak milyen (a feladat felt\'eteleit
kiel\'eg\'{\i}t\H{o}) modellj\'et tekintett\"uk.

%Gondoljuk meg p\'eld\'aul, milyen \'ervel\'essel bizony\'{\i}tottuk
%be az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'ason azt, hogy az urnamodellben
%visszatev\'eses h\'uz\'as eset\'en annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
%hogy az els\H{o} illetve \"ot\"odik h\'uz\'askor kih\'uzott goly\'o
%sz\'{\i}ne piros megegyezik. Tekintett\"uk az \"osszes lehets\'eges
%h\'u\-z\'as\-so\-ro\-za\-tot, kisz\'amoltuk ezek
%val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit, \'es ilyen esem\'enyek
%\"ossze\-ge\-k\'ent sz\'amoltuk ki a vizsg\'alt
%val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Abban a modellben, amelyet
%mint a Kol\-mo\-go\-rov-f\'e\-le elm\'elet modellj\'et
%megkonstru\'altunk ebben a feladatban, ezek a
%h\'u\-z\'as\-so\-ro\-za\-tok voltak az elemi esem\'enyek.
%Val\'oj\'aban a bizony\'{\i}t\'as sor\'an csak azt haszn\'altuk ki,
%hogy ezek esem\'enyek (nem kell, hogy felt\'etlen\"ul tov\'abb nem
%bonthat\'o elemi esem\'enyek legyenek). Ez azt jelenti, hogy a
%visszatev\'eses urnamodell tetsz\H{o}leges modellj\'eben az \'altalunk
%ismertetett indokl\'as v\'egrehajthat\'o.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es 1. V\'egtelen halmazok
sz\'amoss\'aga. Megsz\'aml\'alhat\'o halmazok.

K\'et v\'eges halmaz nagys\'ag\'at term\'eszetes m\'odon \"ossze
tudjuk hasonl\'{\i}tani. Azt mondjuk, hogy az egyik nagyobb, mint
a m\'asik, ha t\"obb elemet tartalmaz. Ha k\'et halmaz ugyanannyi
elemet tartalmaz, akkor egyforma nagynak tekintj\"uk \H{o}ket.
Felmer\"ulhet az ig\'eny, hogy hasonl\'{\i}tsuk \"ossze v\'egtelen
halmazok nagys\'ag\'at is. Ez lehets\'eges a k\"ovetkez\H{o}
\'eszrev\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

K\'et v\'eges halmaz akkor \'es csak akkor egyenl\H{o} nagy, ha
elemeik k\"oz\"ott k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} lek\'epez\'est
lehet l\'etes\'{\i}teni. Ezt a tulajdons\'agot meg lehet fogalmazni
v\'eg\-te\-len halmazokra is, \'es ez teszi lehet\H{o}v\'e v\'egtelen
halmazok nagys\'ag\'anak az \"ossze\-ha\-son\-l\'{\i}\-t\'a\-s\'at. K\'et
$A$ \'es $B$ (nem felt\'etlen\"ul v\'eges) halmazt egyforma nagynak
tekint\"unk, hivatalos terminol\'ogi\'aval azt mondjuk r\'oluk, hogy
egyenl\H{o} sz\'amoss\'ag\'uak, ha l\'etezik elemeik k\"oz\"ott
k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'es. Ez azt jelenti,
hogy l\'etezik olyan $F\colon\; A\to B$ lek\'epez\'es, amelyben
minden $a\in A$ elemnek megfeleltet\"unk egy $b\in B$ elemet, az $A$
halmaz k\"ul\"onb\"oz\H{o} $a\in A$ \'es $a'\in A$, $a\neq a'$,
elemeinek $b=F(a)\in B$ \'es $b'=F(a')$ k\'epei
k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek, azaz $b\neq b'$, \'es minden $b\in B$ elemre
l\'etezik egyetlen $a\in A$ elem, amelyre $b=F(a)$. Azt mondjuk,
hogy a $B$ halmaz sz\'amoss\'aga nagyobb vagy egyenl\H{o}, mint az
$A$ halmaz sz\'amoss\'aga, ha l\'etezik az $A$ halmaznak
k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} lek\'epez\'ese a $B$ halmaz
valamely r\'eszhalmaz\'ara. Ha a $B$ halmaz sz\'amoss\'aga
nagyobb vagy egyenl\H{o}, mint az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga,
de nem egyenl\H{o} vele, azaz a k\'et halmaz k\"oz\"ott nem
l\'etezik k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'es, akkor
azt mondjuk, hogy a $B$ halmaz sz\'amoss\'aga (szigor\'uan) nagyobb,
mint az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga.

Ilyen m\'odon egy rendez\'est vezett\"unk be halmazok
sz\'amoss\'aga k\"oz\"ott. Meg\-jegy\-zem, hogy ez nem
mag\'at\'ol \'ertet\H{o}d\H{o} \'all\'{\i}t\'as. Ahhoz, hogy
jogunk legyen halmazok nagys\'ag\'anak el\H{o}bb bevezetett
\"osszehasonl\'{\i}t\'as\'at rendez\'esnek h\'{\i}vni, be kell
l\'atni n\'eh\'any \'all\'{\i}t\'ast. \'Igy p\'eld\'aul meg kell
mutatni, hogy tetsz\H{o}leges k\'et $A$ \'es $B$ halmazra
igaz, hogy vagy az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga nagyobb vagy
egyenl\H{o}, mint a $B$ halmaz sz\'amoss\'aga, vagy a $B$ halmaz
sz\'amoss\'aga nagyobb vagy egyenl\H{o}, mint az $A$ halmaz
sz\'amoss\'aga. Tov\'abb\'a azt is be kell bizony\'{\i}tani, hogy
ha mind az az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga nagyobb vagy egyenl\H{o},
mint a $B$ halmaz sz\'amoss\'aga, mind a $B$ halmaz sz\'amoss\'aga
nagyobb vagy egyenl\H{o}, mint az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga, akkor
a k\'et halmaz sz\'amoss\'aga egyenl\H{o}, azaz ebben az esetben
l\'etezik az $A$ halmaznak k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u}
lek\'epez\'ese a $B$ halmazra. Ezeknek a (nem ny\'{\i}lv\'anval\'o)
\'all\'{\i}t\'asoknak a bizony\'{\i}t\'asa nem t\'em\'aja ennek a
kurzusnak.

Egy l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg v\'eges \'es v\'egtelen halmazok
k\"oz\"ott az, hogy egy v\'egtelen halmaz \'es annak egy val\'odi
r\'eszhalmaza lehet egyenl\H{o} sz\'amoss\'ag\'u. P\'eld\'aul az
eg\'esz sz\'amok halmaz\'anak a sz\'amoss\'aga megegyezik a p\'aros
sz\'amok halmaz\'a\'eval. Val\'oban, az $F(x)=2x$ f\"uggv\'eny
k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} lek\'epez\'est l\'etes\'{\i}t az
eg\'esz sz\'amok \'es p\'aros eg\'esz sz\'amok k\"oz\"ott. Ez a
p\'elda is mutatja, hogy v\'egtelen halmazok nagys\'ag\'anak az
\"osszehasonl\'{\i}t\'asakor nem igaz minden olyan \'all\'{\i}t\'as
term\'eszetes megfelel\H{o}je, amely v\'eges halmazok k\"oz\"ott
igaz volt.

A v\'egtelen halmazok sz\'amoss\'aga k\"oz\"ott k\"ul\"on\"osen
fontos szerepet j\'atszik a meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o
sz\'amoss\'ag. Egy halmazt megsz\'aml\'alhat\'o sz\'amoss\'ag\'unak
nevez\"unk, ha sz\'amoss\'aga egyenl\H{o} a term\'eszetes sz\'amok
sz\'amoss\'ag\'aval. Az elnevez\'es oka az, hogy egy  $X$ halmaz
akkor \'es csak akkor megsz\'aml\'alhat\'o sz\'amoss\'ag\'u, ha
egyr\'eszt nem v\'eges sok elemb\H{o}l \'all, m\'asr\'eszt elemei
felsorolhat\'oak, azaz megadhat\'o olyan az $X$ elemeib\H{o}l
\'all\'o $\{x_1,x_2,\dots\}$ sorozat, amelyben el\H{o}bb-ut\'obb az
$X$ halmaz minden eleme sorra ker\"ul. Val\'oban, ha $X$
megsz\'aml\'alhat\'o halmaz, azaz l\'etezik k\"olcs\"on\"osen
egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'ese a term\'eszetes sz\'amokkal,
akkor legyen az $x_1,x_2,\dots$ sorozat $x_j$ eleme az az \'ert\'ek
ahov\'a a $j$ term\'eszetes sz\'amot k\'epezi a term\'eszetes
sz\'amok k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} lek\'epez\'ese az $X$
halmazra. M\'asr\'eszt, ha az $X$ halmaz elemeinek van
$X=\{x_1,x_2,\dots\}$ alak\'u felsorol\'asa, akkor az
$F\colon\;j\to x_j$ lek\'epez\'es k\"olcs\"on\"osen
egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'est l\'etes\'{\i}t a term\'eszetes
sz\'amok \'es az $X$ halmaz k\"oz\"ott.

Tulajdonk\'eppen a megsz\'aml\'alhat\'o sz\'amoss\'ag\'u halmazok a
legkisebb (sz\'amoss\'ag\'u) v\'egtelen halmazok. Be lehet l\'atni,
hogy a (nem felt\'etlen\"ul pozit\'{\i}v) eg\'esz sz\'amok halmaza
is megsz\'aml\'alhat\'o. S\H{o}t, be lehet l\'atni, hogy a
racion\'alis sz\'amok halmaza vagy a s\'{\i}k azon pontjainak a
halmaza, amelyeknek mind a k\'et koordin\'at\'aja racion\'alis
sz\'am szint\'en megsz\'aml\'alhat\'o sz\'amoss\'ag\'u.
Megsz\'aml\'alhat\'o sok megsz\'aml\'alhat\'o halmaz uni\'oja is
megsz\'aml\'alhat\'o.

Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy l\'etezik-e egy\'altal\'an
nem megsz\'aml\'alhat\'o sz\'a\-mos\-s\'a\-g\'u halmaz. A v\'alasz
erre a k\'erd\'esre igenl\H{o}. P\'eld\'aul a v\'egtelen hossz\'us\'ag\'u
nulla-egy sorozatok halmaza, vagy a sz\'amegyenes vagy a s\'{\i}k
pontjainak a sz\'amoss\'aga nagyobb, mint megsz\'aml\'alhat\'o.
A most eml\'{\i}tett halmazok sz\'amoss\'aga megegyezik, \'es ezen
halmazok sz\'amoss\'ag\'at kontinumnak nevezik. Megjegyzem,
hogy a kontinumn\'al is van nagyobb sz\'amoss\'ag, s\H{o}t
tetsz\H{o}leges halmazn\'al van n\'ala (szigor\'uan) nagyobb
sz\'amoss\'ag\'u halmaz.

Mi\'ert \'erdemes ezeket a halmazok sz\'amoss\'ag\'ar\'ol sz\'ol\'o
ismereteket feleleven\'{\i}teni egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi el\H{o}ad\'asban?
Az\'ert, mert ezen ismeretek sz\"uks\'egesek n\'eh\'any fogalom,
eredm\'eny meg\'ert\'es\'ehez. P\'eld\'aul, amikor egy egym\'as
ut\'an (megsz\'aml\'alhat\'oan) v\'egtelen sokszor feldobott
p\'enzdarab viselked\'es\'et le\'{\i}r\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
modellt konst\-ru\-\'al\-tunk, akkor az elemi esem\'enyeket \'ugy
defini\'altuk, mint a v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozatokat, \'es
a biztos esem\'enyt \'ugy defini\'altuk, mint az \"osszes ilyen
sorozatot tartalmaz\'o halmazt. Ahhoz, hogy l\'assuk, jogunk
van ebben a modellben minden elemi esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et null\'anak defini\'alni tudnunk kell,
hogy az elemi esem\'enyk\'ent defini\'alt fej-\'{\i}r\'as sorozatok
sz\'amoss\'aga, nagyobb mint megsz\'aml\'alhat\'o. Ez biztos\'{\i}tja,
hogy az 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} biztos esem\'eny nem
\'all\'{\i}that\'o el\H{o}, mint megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen
nulla m\'ert\'ek\H{u} halmaz uni\'oja. (A v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as
\'es v\'egtelen nulla-egy sorozatok k\"oz\"ott k\"olcs\"on\"osen
egy\'ertelm\H{u} meg\-fe\-lel\-te\-t\'es l\'etes\'{\i}thet\H{o}.
Ez\'ert mind a k\'et halmaz kontinum sz\'amoss\'ag\'u.)

%Val\'os sz\'amok egy $A$ halmaz elemeivel indexelt $x_a$, $a\in A$,
%elemeinek $\summ_{a\in A}x_a$ \"osszeg\'et csak abban az esetben
%tudjuk defini\'alni, ha az $A$ halmaz v\'eges vagy
%megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen. (Lehets\'eges, hogy egy ilyen
%\"osszeg megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen $A$ halmaz eset\'eben sem
%defini\'alhat\'o, mert a r\'eszlet\"osszegek egy divergens
%sorozatot alkotnak.) Mindenesetre, ha p\'eld\'aul az
%egys\'egintervallum pontjaival indexelt sz\'amok rendszer\'et
%tekintj\"uk, amit \'ugy is felfoghatunk, mint egy az
%egys\'egintervallumon \'ertelmezett f\"ugg\-v\'enyt, akkor az \'{\i}gy
%indexelt sz\'amok \"osszeg\'et nem lehet \'ertelmezni. F\"uggv\'enyek
%ese\-t\'e\-ben \"osszeg helyett integr\'alokat tudunk defini\'alni. Ez a
%t\'eny is jelzi, hogy v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen
%k\"ul\"onb\"oz\H{o} kimenettel rendelkez\H{o} v\'eletlen kis\'erletek
%vizs\-g\'a\-la\-ta kev\'esb\'e bonyolult, mint az \'altal\'anos eset\'e.
%Ez\'ert el\H{o}sz\"or ilyen probl\'em\'akkal fogunk foglalkozni.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es 2. M\'ert\'ekelm\'eleti ismeretek.

El\H{o}sz\"or le\'{\i}rom az el\H{o}ad\'asban megfogalmazott T\'etel A
bizony\'{\i}t\'as\'at.

\medskip\noindent
{\it A T\'etel A bizony\'{\i}t\'asa.}\/ L\'assuk el\H{o}sz\"or be,
hogy amennyiben a $P$ v\'eges \'ert\'ek\H{u} halmazf\"uggv\'eny
nem\-csak addit\'{\i}v, hanem $\sigma$-addit\'{\i}v is, akkor
teljes\'{\i}ti a folytonoss\'agi tulajdons\'agot: Le\-gye\-nek
$A_n\in\Cal A$, $n=1,2,\dots$, az $\Cal A$ $\sigma$-algebra (vagy
algebra) olyan elemei, amelyekre $\cdots \subset A_n\subset
A_{n-1}\subset\cdots\subset A_1$, \'es $\bigcapp_{n=1}^\infty
A_n=\emptyset$. Defini\'aljuk a (diszjunkt) $B_n=A_n\setminus A_{n+1}$,
halmazokat. Ekkor $A_n=\bigcupp_{k=n}^\infty B_k$, $n=1,2,\dots$,
ez\'ert a $P$ halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-addit\'{\i}vit\'asa
alapj\'an $P(A_n)=\summ_{k=n}^\infty P(B_k)$. Speci\'alisan,
$P(A_1)=\summ_{k=1}^\infty P(B_k)<\infty$. Ez\'ert minden $\e>0$
sz\'amhoz l\'etezik olyan $n_0=n_0(\e)$ k\"usz\"obindex, amelyre
teljes\"ul, hogy $P(A_n)=\summ_{k=n}^\infty P(B_k)<\e$, ha
$n\ge n_0$, \'es ezt kellett bel\'atni.

Ha a $P$ halmazf\"uggv\'eny addit\'{\i}v, \'es teljes\'{\i}ti a
folytonoss\'agi felt\'etelt, akkor tekints\"uk $A_n\in \Cal A$,
$n=1,2,\dots$ diszjunkt halmazok tetsz\H{o}leges rendszer\'et,
legyen $B_n=\bigcupp_{k=n}^\infty A_k$, $n=1,2,\dots$. (Jegyezz\"uk
meg, hogy akkor is tudjuk, hogy $B_n\in \Cal A$, ha $\Cal A$ algebra,
de nem felt\'etlen\"ul $\sigma$-algebra. Ugyanis feltett\"uk, hogy
$B_1\in\Cal A$, ez\'ert $B_n=B_1\setminus\(\bigcupp_{k=1}^{n-1}A_k\)
\in \Cal A$ minden $n=1,2,\dots$ indexre.) Ekkor $\cdots \subset
B_n\subset B_{n-1}\subset\cdots\subset B_1$, \'es
$\bigcapp_{n=1}^\infty B_n=\emptyset$, ez\'ert a $P$
halmazf\"uggv\'eny folytonoss\'agi tulajdons\'aga miatt
$\limm_{n\to\infty}P(B_n)=0$. Ez\'ert tetsz\H{o}leges $N$
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra
$$
P\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)=P\(\bigcupp_{n=1}^{N-1} A_n\)+P(B_N)
=\summ_{n=1}^{N-1} P(A_n)+P(B_N).
$$
Mivel $\limm_{N\to\infty}P(B_N)=0$, innen $N\to\infty$
hat\'ar\'atmenettel megkapjuk a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast.

Tekints\"uk ezut\'an azt az esetet, amikor $P$ v\'eges
$\sigma$-addit\'{\i}v, \'es ez\'ert folytonos hal\-maz\-f\"ugg\-v\'eny.
Legyen $B_n\in\Cal A$, $n=1,2,\dots$, az $\Cal A$ algebra monoton
cs\"okken\H{o} halmazsorozata, amelyre $\bigcapp_{n=1}^\infty
B_n=B_0\in \Cal A$. Ekkor $A_n=B_n\setminus B_0$ v\'alaszt\'assal
azt \'{\i}rhatjuk, hogy $\bigcapp_{n=1}^\infty A_n=\emptyset$, \'es
$\limm_{n\to\infty}P(B_n)=\limm_{n\to\infty}P(A_n)+P(B_0)=P(B_0)$.
Legyen $C_n\in\Cal A$, $n=1,2,\dots$, az $\Cal A$ algebra monoton
n\"ovekv\H{o} halmazsorozata, $C_0=\bigcupp_{n=1}^\infty C_n$. Ekkor
az $A_n=C_0\setminus C_n$ v\'alaszt\'assal azt \'{\i}rhatjuk, hogy
$\bigcapp_{n=1}^\infty A_n=\emptyset$, \'es
$\limm_{n\to\infty}P(C_n)=P(C_0)-\limm_{n\to\infty}P(A_n)=P(C_0)$,
\'es ezeket az \'all\'{\i}t\'asokat kellett bizony\'{\i}tani.

\medskip
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellekben szerepl\H{o} $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek
$\sigma$-addit\'{\i}vit\'as\'anak igazol\'as\'aban alapvet\H{o}
szerepet j\'atszik a m\'ert\'ekelm\'elet al\'abbi, itt nem
bizony\'{\i}tott na\-gyon fontos eredm\'enye:

\medskip\noindent
{\bf Carath\'eodory t\'etele m\'ert\'ekek egy\'ertelm\H{u}
kiterjeszt\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen adva egy nem-negat\'{\i}v
v\'eges $\mu$ m\'ert\'ek (azaz $\sigma$-addit\'{\i}v
halmazf\"uggv\'eny) egy $\Omega$ halmaz b\'{\i}zonyos
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\Cal A_0$ algebr\'an. Ekkor a $\mu$
m\'ert\'ek egy\'ertelm\H{u}en kiterjeszthet\H{o} az $\Cal A_0$
\'altal gener\'alt $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'ara.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Fontos, hogy ez az eredm\'eny nemcsak a
m\'ert\'ek kiterjeszthet\H{o}s\'eg\'et \'all\'{\i}tja, hanem annak
egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'et is. Ez azt jelenti, hogy a gener\'alt
$\sigma$-algebr\'aban szerepl\H{o} halmazok m\'ert\'ek\'et
(a minket \'erdekl\H{o} alkalmaz\'asok eset\'eben
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et) egy\-\'er\-tel\-m\H{u}en
tudjuk defini\'alni.
\medskip
A fenti eredm\'eny \"onmag\'aban nem elegend\H{o} az el\H{o}ad\'asban
tekintett szab\'alyos p\'enz\-da\-rab v\'egtelen dob\'assorozatokat
le\'{\i}r\'o modell helyess\'eg\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'ahoz. Meg
kell ugyanis el\H{o}sz\"or adni azt az $\Cal A_0$ algebr\'at \'es
rajta azt a $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyt, amely\-re a
t\'etelt alkalmazni tudjuk.

Jelen p\'eld\'aban term\'eszetes m\'odon defini\'alhatjuk azt az
$\Cal A_0$ algebr\'at \'es a rajta \'ertelmezett $P$ m\'ert\'eket,
amelyre a Carath\'eodory t\'etelt alkalmazni k\'{\i}v\'anjuk.
Nevezetesen, \'alljon $\Cal A_0$ az \"osszes lehets\'eges v\'egtelen
fej-\'{\i}r\'ast tartalmaz\'o $\Omega$ halmaz azon
r\'esz\-hal\-ma\-zai\-b\'ol, amelyek csak v\'eges sok
koordin\'at\'at\'ol f\"uggnek, azaz egy $A$ halmaz akkor \'es csak
akkor tartozik a $\Cal A_0$ algebr\'ahoz, ha l\'etezik egy $k$
pozit\'{\i}v eg\'esz  sz\'am \'es $k$-hossz\'us\'ag\'u
fej-\'{\i}r\'as sorozatoknak egy $B$ halmaza, amelyre igaz, hogy egy
v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozat akkor \'es csak akkor tartozik az
$A$ halmazba, ha az els\H{o} $k$ tagj\'ab\'ol \'all\'o $k$
hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as sorozat a $B$ halmazhoz tartozik.
(Az ilyen tipus\'u halmazokat h\'{\i}vj\'ak az irodalomban
henger-halmazoknak.) Tov\'abb\'a, legyen egy ilyen $A$ halmaz $P$
m\'ert\'eke a $B$ halmaz elemsz\'ama szorozva a $2^{-k}$ sz\'ammal.

Nem neh\'ez bel\'atni, hogy ilyen m\'odon egy $\Cal A_0$ algebr\'at
defini\'altunk, \'es azon egy $P$ nem-negat\'{\i}v egyre norm\'alt
addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyt. Viszont kor\'antsem
ny\'{\i}lv\'anval\'o, hogy a $P$ add\'{\i}tiv halmazf\"uggv\'eny
egyben $\sigma$-addit\'{\i}v is. Ennek bizony\'{\i}t\'asa m\'ely
ma\-te\-ma\-ti\-kai gondolatokat ig\'enyel.  Ennek r\'eszleteire
nem t\'erek ki. Viszont megfogalmazok egy olyan  az
el\H{o}ad\'asban eml\'{\i}tett m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyt,
amely val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szempontb\'ol
az\'ert \'erdekes, mert ez az eredm\'eny biztos\'{\i}tja azt, hogy
v\'egtelen sok f\"uggetlen kis\'erletnek is van
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi modellje. L\'etezik
Kolmogorovnak egy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
sz\'am\'ara m\'eg hasznosabb eredm\'enye, amelyet a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
alapt\'etel\'enek is neveznek. Ez az eredm\'eny nagyon pongyol\'an
megfogalmazva azt \'all\'{\i}tja, hogy minden \'ertelmesen
megfogalmazott v\'eletlen jelens\'egnek l\'etezik a
Kolmogorov-f\'ele axi\'omarendszert kiel\'eg\'{\i}t\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellje. Az eredm\'eny pontos
megfogalmaz\'as\'ara itt nem t\'erek ki.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel m\'ert\'ekterek v\'egtelen szorzat\'ar\'ol.} {\it
Legyen adva v\'egtelen sok $(\Omega_n,\Cal A_n,P_n)$,
$n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, azaz legyen
adva minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra egy $\Cal A_n$
$\sigma$-algebra valamely $\Omega_n$ halmazon \'es egy $P_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek ezen az $\Cal A_n$
$\sigma$-algebr\'an. (Az, hogy a $P_n$ m\'ert\'ek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  m\'ert\'ek azt jelenti, hogy
$P_n(\Omega_n)=1$.) Ekkor l\'etezik  ezen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}knek egy
$(\Omega^\infty,\Cal A^\infty,P^\infty)$ v\'egtelen szorzata, ami
szint\'en val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}.

R\'eszletesebben megfogalmazva ez a k\"ovetkez\H{o}t jelenti.
Defini\'aljuk az $\Omega^\infty$ halmazt \'ugy, mint az \"osszes
$\omega^\infty=(\oo_1,\oo_2,\dots)$, $\oo_n\in\Omega_n$,
$n=1,2,\dots$, alak\'u v\'egtelen sorozatb\'ol \'all\'o halmazt.
Vezess\"uk be ezen az
$\Cal A^\infty$ $\sigma$-algebr\'at, amely megegyezik az
$\Omega^\infty$ bizonyos r\'eszhalmazai, az
$$
A_1\times\cdots\times A_k
=\{\oo^\infty=(\oo_1,\oo_2,\dots)\colon\; \oo_1\in A_1,
\oo_2\in A_2,\dots, \oo_k\in A_k\}
$$
alak\'u \'ugynevezett hengerhalmazok \'altal gener\'alt
legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebr\'aval, ahol $k=1$, 2, \dots,
tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am, \'es $A_j\in\Cal A_j$
minden $1\le j\le k$ sz\'amra. Defini\'aljuk az
$A_1\times\cdots\times A_k$ alak\'u hengerhalmazok $P^\infty$
m\'ert\'ek\'et a
 $P^\infty(A_1\times\cdots\times A_k)=\prodd_{j=1}^kP_j(A_j)$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ez a hengerhalmazokon defini\'alt
f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en kiterjeszthet\H{o} egy $P^\infty$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekk\'e az $\Cal A^\infty$
$\sigma$-algebr\'ara, \'es ezt h\'{\i}vj\'ak a $P^\infty$
szorzatm\'ert\'eknek.}
\medskip



%Ez ut\'obbi
%\'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'aban \'erdemes felhaszn\'alni a
%T\'etel~A eredm\'eny\'et, amely szerint a $P$ halmazf\"uggv\'eny
%$\sigma$-addi\-t\'{\i}\-vi\-t\'a\-s\'a\-nak igazol\'as\'ahoz
%el\'eg bel\'atni, hogy az teljes\'{\i}ti a T\'etel~A-ban
%megfogalmazott folytonoss\'agi tulajdons\'agot. Ez ut\'obbi
%\'all\'{\i}t\'ast az\'ert viszonylag k\"onny\H{u} ellen\H{o}rizni,
%mert mint az elemien (b\'ar nem teljesen trivi\'alisan)
%megmutathat\'o, ha a fent-defini\'alt hengerhalmazok egy egym\'asba
%skatuly\'azott sorozat\'anak a metszete \"ures, akkor megadhat\'o
%e hengerhalmazok k\"oz\"ott v\'eges sok is \'ugy, hogy ezek metszete
%\"ures.

%\'Erdemes megjegyezni, hogy ha hasonl\'o eredm\'enyeket akarunk
%bel\'atni \'altal\'anosabb modellekben, akkor a fent v\'azolt m\'odszer
%adapt\'alhat\'o, de az \'ervel\'es az anal\'{\i}zis n\'eh\'any m\'ely
%,,absztrakt" eredm\'eny\'et is felhaszn\'alja. \'{\i}gy
%p\'eld\'aul nagyon hasznos az ilyen \'ervel\'esekben a topol\'ogia
%egyik alapvet\H{o}, m\'ely eredm\'enye, a Tyihonov t\'etel. Ez az
%eredm\'eny azt \'all\'{\i}tja, hogy kompakt topol\'ogikus terek
%direkt szorzata is kompakt topo\-l\'o\-gi\-kus t\'er. V\'eg\"ul az
%utols\'onak eml\'{\i}tett eredm\'eny is egy \'altal\'anosabb
%topol\'ogiai ered\-m\'eny\-nek a speci\'alis esete. E szerint az
%eredm\'eny szerint, ha egym\'asba skatuly\'azott kompakt halmazok
%metszete \"ures, akkor megadhat\'o ezen kompakt halmazok v\'eges sok
%tagja is \'ugy, hogy azok metszete \"ures.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es 3. Addit\'{\i}v, de nem
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyek.

A t\'argyalt p\'eld\'ak mindegyik\'eben olyan addit\'{\i}v
halmazf\"uggv\'enyeket vezett\"unk be, amelyek
$\sigma$-addit\'{\i}vak is. Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy
l\'eteznek-e egy\'altal\'an addit\'{\i}v, de nem
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyek. A v\'alasz az, hogy
l\'eteznek ilyen halmazf\"uggv\'enyek, de azok explicit m\'odon nem
adhat\'oak meg. Az ilyen halmazf\"uggv\'enyek l\'etez\'es\'enek a
bizony\'{\i}t\'asa felhaszn\'alja a kiv\'alaszt\'asi axi\'om\'at
vagy egy vele ekvivalens \'all\'{\i}t\'ast.

A teljess\'eg kedv\'e\'ert ismertetek egy h\'{\i}res p\'eld\'at
addit\'{\i}v, de nem $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyre. Az
itt le\'{\i}rt eredm\'eny ismerete nem sz\"uks\'eges az anyag f\H{o}
r\'esz\'enek a meg\'ert\'es\'ehez. Ez ink\'abb arra szolg\'al,
hogy az \'erdekl\H{o}d\H{o}k n\'emi kitekint\'est kapjanak m\'as
jelleg\H{u} matematikai t\'em\'akr\'ol is. A k\"ovetkez\H{o}
eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'at fogom le\'{\i}rni.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel addit\'{\i}v 0--1 \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'eny
l\'etez\'es\'er\H{o}l az eg\'esz sz\'amok r\'eszhalmazain.}
{\it Tekints\"uk az eg\'esz sz\'amok $Z=\{1,2,\dots\}$ halmaz\'at,
\'es a $Z$ halmaz \"osszes r\'eszhalmaz\'ab\'ol \'all\'o $\Cal Z$
$\sigma$-algebr\'at. L\'etezik olyan $\mu(A)$, $A\in\Cal Z$,
halmazf\"uggv\'eny a $Z$ halmaz \"osszes r\'eszhalmaz\'an, amely
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat:
\medskip
\item{a)} $\mu(\{j\})=0$ minden $j=1,2,\dots$ sz\'amra, azaz
minden egy pontb\'ol \'all\'o halmaz m\'ert\'eke nulla.
\item{b)} $\mu(Z)=1$, azaz az \"osszes term\'eszetes sz\'amot
tartalmaz\'o halmaz m\'ert\'eke 1.
\item{c)} $\mu(A)=0$ vagy $\mu(A)=1$ minden $A\in \Cal Z$ halmazra.
\item{d)} Ha $A$ \'es $B$ k\'et diszjunkt halmaz, akkor
$\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$, azaz a $\mu$ halmazf\"uggv\'eny
addit\'{\i}v.}

\medskip
Egy a  t\'etel felt\'eteleit teljes\'{\i}t\H{o} $\mu$
halmazf\"uggv\'eny addit\'{\i}v, de ny\'{\i}lv\'an nem
$\sigma$-addit\'{\i}v, mert
$\summ_{j=1}^\infty\mu(\{j\})\neq\mu(Z)$. (A baloldalon szerepl\H{o}
kifejez\'es \'ert\'eke 0, a jobboldalon sze\-rep\-l\H{o}\'e
pedig 1.) A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa \'ugynevezett transzfinit
indukci\'on alapul. A transzfinit indukci\'o v\'egrehajt\'as\'anak
a legk\'enyelmesebb m\'odja a Zorn lemma alkalmaz\'asa, \'es mi is
ezt az utat fogjuk k\"ovetni.

Megfogalmazom a Zorn lemm\'at. El\H{o}tte azonban bevezetek
n\'eh\'any a Zorn lemma megfogalmaz\'as\'aban haszn\'alt fogalmat.
Legyen adva egy $X$ halmaz, \'es teljes\"ulj\"on az $X$ halmaz
bizonyos $(x,y)$, $x\in X$ \'es $y\in X$ elemp\'arjai k\"oz\"ott
egy $x\preceq y$ rel\'aci\'o. Ha $x\preceq y$, akkor azt mondjuk,
hogy az $x$ elem kisebb vagy egyenl\H{o}, mint az $y$ elem. Akkor
mondjuk, hogy egy $X$ halmaz r\'eszben rendezett halmaz egy
$\preceq$ rendez\'essel, ha az $(X,\preceq)$ rendszer
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket:
\medskip
\item{1.)} $x\preceq x$ minden $x\in X$-re, (reflexivit\'as).
\item{2.)} Ha $x\preceq y$ \'es $y\preceq z$, akkor $x\preceq z$,
(tranzitivit\'as).
\item{3.)} Ha $x\preceq y$ \'es $y\preceq x$, akkor $x=y$,
(antiszimmetricit\'as).
\medskip\noindent
Viszont nem k\"ovetelj\"uk meg, hogy b\'armely k\'et $x\in X$
\'es $y\in X$ elem \"osszehasonl\'{\i}that\'o legyen.

Legyen adva egy $(X,\preceq)$ r\'eszben rendezett halmaz. Azt
mondjuk, hogy e r\'eszben rendezett halmaz egy $Y\subset X$
r\'eszhalmaza l\'anc, ha $Y$ tetsz\H{o}leges k\'et eleme
\"ossze\-ha\-son\-l\'{\i}t\-ha\-t\'o, azaz, ha $x,y\in Y$, akkor
teljes\"ul vagy az  $x\preceq y$ vagy az $y\preceq x$
rel\'aci\'o. Azt mondjuk, hogy  egy $x\in X$ elem fels\H{o}
korl\'atja egy $Y\subset X$ halmaznak, ha $y\preceq x$ minden
$y\in Y$ elemre. Egy $x\in\Cal X$ elem maxim\'alis elem az
$(X,\preceq)$ r\'eszben rendezett halmazban, ha nincs olyan
$y\in X$, $y\neq x$ elem, amelyre $x\preceq y$.

A fenti fogalmak seg\'{\i}ts\'eg\'evel egyszer\H{u}en
megfogalmazhat\'o (a kiv\'alaszt\'asi axi\'o\-m\'a\-val
ekvivalens) Zorn lemma.
\medskip\noindent
{\bf Zorn lemma.} {\it Legyen $(X,\preceq)$ olyan r\'eszben
rendezett halmaz, amelyben minden l\'ancnak l\'etezik fels\H{o}
korl\'atja. Akkor az $(X,\Cal X)$ r\'eszben rendezett halmazban
van maxim\'alis elem.}
\medskip

Ezut\'an r\'at\'erek a T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ara.
\medskip\noindent
{\it Az eg\'esz sz\'amok r\'eszhalmazain defini\'alt addit\'{\i}v
0--1 f\"uggv\'eny l\'etez\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa a Zorn lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}\/ Meg
akarjuk adni azon halmazok rendszer\'et, amelyeknek a m\'ert\'eke
nulla. Ennek \'erdek\'eben bevezetj\"uk a $Z$ halmaz
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\Cal A\subset\Cal Z$
halmazrendszereken a k\"ovetkez\H{o} $\alpha$ tulajdons\'agot. Egy
$\Cal A\subset\Cal Z$ hal\-maz\-rend\-szer akkor \'es csak akkor
rendelkezik az $\alpha$ tulajdons\'aggal, ha teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} fel\-t\'e\-te\-le\-ket:
\medskip
\item{i.)} $\{j\}\in \Cal A$ minden $j=1,2,\dots$ sz\'amra,
\item{ii.)} Ha $A\in \Cal A$, \'es $B\in \Cal A$, akkor
$A\cup B\in\Cal A$,
\item{iii.)} Ha $A\in \Cal A$, \'es $B\subset A$, akkor $B\in\Cal A$,
\item{iv.)} $Z\notin\Cal A$.

Vezess\"uk be a $\Cal A\subset\Cal B$ halmazrendszerek k\"oz\"ott
a k\"ovetkez\H{o} r\'eszbenrendez\'est: $\Cal A\preceq B$, akkor
\'es csak akkor, ha minden $A\in \Cal A$ halmazra $A\in\Cal B$.
Tekints\"uk azt az $(X,\preceq)$ rendszert, amelynek elemei az
$\alpha$ tulajdons\'aggal rendelkez\H{o} hal\-maz\-rend\-sze\-rek, \'es
k\"oz\"ott\"uk az el\H{o}bb bevezetett $\preceq$ r\'eszbenrendez\'es
\'erv\'enyes. K\"onnyen l\'athat\'o, hogy $(X,\preceq)$ r\'eszben
rendezett halmaz a fenti rendez\'essel. S\H{o}t, az is igaz, hogy
tetsz\H{o}leges $Y\subset X$ l\'ancnak van fels\H{o} korl\'atja.
Val\'oban, $z=\bigcupp_{y\in Y}y\in X$, \'es ez a $z$ elem fels\H{o}
korl\'atja az $Y$ l\'ancnak. (Megjegyzem, hogy az $Y$ halmaz,
\'{\i}gy a fenti uni\'o tartalmazhat megsz\'aml\'alhat\'on\'al
t\"obb elemet. A bizony\'{\i}t\'as ezen l\'ep\'es\'eben
van elrejtve a `transzfinit indukci\'o'.)

L\'attuk, hogy az $(X,\preceq)$ t\'er teljes\'{\i}ti a Zorn lemma
felt\'eteleit. Ez\'ert l\'etezik ebben a t\'erben egy
maxim\'alis $x=\Cal A$ elem. Azt akarjuk megmutatni, hogy az
$(X,\preceq)$ t\'er egy maxim\'alis $\Cal A$ eleme
az $\alpha$ tulajdons\'agban megfogalmazott i.)---iv.)
felt\'eteleken k\'{\i}v\"ul m\'eg a k\"ovetkez\H{o} v.)
felt\'etelt is teljes\'{\i}ti:
\medskip
\item{v.)} Minden $B\subset Z$ halmazra vagy $B\in\Cal A$ vagy
$Z\setminus B\in\Cal A$.
\medskip

Tekints\"unk ugyanis egy olyan $\Cal A$ halmazrendszert, amely
teljes\'{\i}ti az i.)--iv.) fel\-t\'e\-te\-le\-ket, de nem
teljes\'{\i}ti az v.) felt\'etelt. Megmutatjuk, hogy ez az $\Cal A$
nem lehet  maxim\'alis elem az $(X,\preceq)$ t\'erben. Val\'oban,
ha  $\Cal A$ teljes\'{\i}ti az i.)--iv.) felt\'eteleket, de
l\'etezik olyan $B\subset X$ halmaz, amelyre mind $B\notin\Cal A$
mind $Z\setminus B\notin A$, azaz az v.) felt\'etel nem teljes\"ul,
akkor az
$\bar{\Cal A}=\{A\cup \bar B\colon\; A\in\Cal A,\, \bar B\subset B\}$
halmazrendszer szint\'en teljes\'{\i}ti az i.)--iv.) felt\'eteleket.

Az i.)--iii.) felt\'etelek teljes\"ul\'ese ny\'{\i}lv\'anval\'o.
Vegy\"uk tov\'abb\'a \'eszre, hogy ha fenn\-\'all\-na a
$Z=A\cup \bar B$ rel\'aci\'o valamely $A\in \Cal A$ \'es
$\bar B\subset B$ halmazokra, akkor a $Z=A\cup B$,
$Z\setminus B\subset A$, \'es \'{\i}gy a $Z\setminus B\in \Cal A$
rel\'aci\'ok is \'erv\'enyesek voln\'anak, ami ellentmond
felt\'eteleinknek. Ez azt jelenti, hogy $\bar{\Cal A}\in X$.
\'Igy, mivel $\Cal A\preceq \bar{\Cal A}$, \'es
$\Cal A\neq \bar{\Cal A}$, az $\Cal A$ elem nem lehet maxim\'alis.

V\'eg\"ul megmutatom, hogy amennyiben egy $\Cal A$ halmazrendszer
teljes\'{\i}ti az i.)---v.) tulajdons\'agok mindegyik\'et, akkor a
$\mu(A)=0$, ha $A\in \Cal A$ \'es $\mu(A)=1$, ha $A\notin\Cal A$
k\'eplettel defini\'alt $\mu$ halmazf\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a
t\'etel a)--d) felt\'eteleit. Ezzel a t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at
befejezz\"uk.

Az a)--c) felt\'etelek teljes\"ul\'ese
ny\'{\i}lv\'anval\'o. A d) pontban megfogalmazott
$\mu(A)+\mu(B)=\mu(A\cup B)$ azonoss\'ag diszjunkt $A$ \'es $B$
halmazokra szint\'en nyilv\'anval\'o (a ii.) \'es iii.) felt\'etel
miatt), ha $\mu(A)=0$ vagy $\mu(B)=0$. Azt kell bel\'atni, hogy
nincs k\'et olyan diszjunkt $A\subset Z$ \'es $B\subset Z$ halmaz,
amelyekre $\mu(A)=1$ \'es $\mu(B)=1$. Val\'oban, ha lenne k\'et
ilyen $A$ \'es $B$ halmaz, akkor az v.) tulajdons\'ag miatt a
$C=Z\setminus A$ \'es $D=Z\setminus D$ halmazokra a $C\in \Cal A$
\'es $D\in\Cal A$ rel\'aci\'ok is teljes\"uln\'enek, \'es mivel
$C\cup D=Z$ ez azt jelenten\'e, hogy $Z\in\Cal A$. Ez viszont
ellentmond a iv.) felt\'etelnek.


\bye


