\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\font\script =cmcsc10
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight

\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat tizenharmadik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2007. m\'ajus 15.}

\medskip\noindent
A nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'et fogom t\'argyalni. Felid\'ezem
a nagy sz\'amok m\'ar t\'argyalt gyenge t\"orv\'eny\'et, \'es
megfogalmazom a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et is. Annak
\'er\-de\-k\'e\-ben, hogy az eredm\'enyeket jobban meg\'erts\"uk
felid\'ezek n\'eh\'any kor\'abban t\'argyalt fogalmat \'es
eredm\'enyt. A bizony\'{\i}t\'asok jelent\H{o}s r\'esz\'et
elhagyom, vagy a nem k\"otelez\H{o} {\it Kieg\'esz\'{\i}t\'es}\/
r\'eszben ismertetem.

\beginsection A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye.

T\'argyaltuk a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et. Ez az eredm\'eny
azt mondja ki, hogy ha $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"ug\-get\-len, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es
tekintj\"uk e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, r\'eszlet\"osszegeit \'es $\frac{S_n}n$
\'atlagait minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, akkor ezek az $\frac{S_n}n$
\'atlagok sztochasztikusan konverg\'alnak az $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\xi_1$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'ehez. Bel\'attuk, (a Csebisev egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel), hogy a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye
\'erv\'enyes akkor, ha a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete. Val\'oj\'aban ez a
felt\'etel l\'enyegesen gyeng\'{\i}thet\H{o}. Megmutatom, hogy
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlagai nagyon
\'altal\'anos felt\'etelek mellett nemcsak szto\-chasz\-ti\-ku\-san,
hanem egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel is konverg\'alnak a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\xi_1$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'ehez. Ezt az eredm\'enyt nevezik a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek. Megfogalmazom az eml\'{\i}tett eredm\'enyeket \'es
fogalmakat pontosan, \'es t\'argyalni fogom ezen eredm\'enyek
egym\'assal val\'o kapcsolat\'at. Sok eredm\'enyt csak kimondok, de
id\H{o}hi\'any miatt a bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom.

El\H{o}sz\"or fel\'{\i}rom a (r\'eszben m\'ar kor\'abban ismertetett)
k\"ul\"onb\"oz\H{o} konvergenciafogalmakat.

\medskip\noindent
{\bf Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergencia
definici\'oja:}  {\it Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak defini\'alva, m\'asr\'eszt)
$$
P\(\oo\colon\; \lim_{n\to\infty}\xi_n(\oo)=\xi(\oo)\)=1.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergenci\'at a  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban
\'es m\'ert\'ek\-elm\'e\-let\-ben majdnem minden\"utt val\'o
konvergenci\'anak is h\'{\i}vj\'ak.

\medskip\noindent
{\bf A sztochasztikus konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al sztochasztikusan egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
de\-fi\-ni\-\'al\-va, m\'asr\'eszt) minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty} P\(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|>\e\)=0.
$$
}

\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez vagy az
ezen el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny \'altal meghat\'arozott
el\-osz\-l\'as\-hoz, ha $\limm_{n\to\infty}P(\xi_n<u)=F(u)$
{\rm minden olyan $u$ sz\'amra, ahol az $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny f\"uggv\'eny folytonos.} (Azt mondjuk, hogy
a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha ez a sorozat
eloszl\'asban konverg\'al az $F(u)=P(\xi<u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez.)}

\medskip
A tov\'abbiakban t\'argyalni fogom (r\'eszben kit\H{u}z\"ott
feladatok form\'aj\'aban) a k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H{o}
konvergenciafogalmak k\"oz\"otti kapcsolatot.

\medskip\noindent
A felsorolt konvergencia fogalmak k\"oz\"ott a k\"ovetkez\H{o} a
kapcsolat:

\medskip\noindent
Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergencia $\Rightarrow$ Sztochasztikus konvergencia $\Rightarrow$
Eloszl\'asban val\'o konvergencia.

\medskip
T\'argyaljuk el\H{o}sz\"or az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi \'es
sztochasztikus konvergencia kapcsolat\'at.

Ha $\xi_n(\oo)\to\xi(\oo)$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
akkor defini\'alva az
$$
A_n=A_n(\e)=\left\{\oo\colon\;\supp_{k\ge n}|\xi_k(\oo)-\xi(\oo)|<\e\right\}
$$
halmazokat azt kapjuk, hogy az egym\'asba skatuly\'azott $A_n$
halmazokra, (azaz $A_1(\oo)\subset A_2\subset\cdots$), teljes\"ul
a $P\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)=1$ rel\'aci\'o. Ez\'ert
$\limm_{n\to\infty}P(A_n)=1$. Mivel  \'erv\'enyes a
$\{\oo\colon\;|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e\} \supset A_n$ rel\'aci\'o, ez\'ert
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e)\to1$, azaz
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|\ge\e)\to0$, ha $n\to\infty$. Ez azt jelenti,
hogy az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergenci\'ab\'ol
k\"ovetkezik a sztochasztikus konvergencia.

\medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:
\medskip
\item{} Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata, akkor \'es csak akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha az $\eta_n=\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata sztochasztikusan
konverg\'al null\'ahoz, azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$P\(\limm_{n\to\infty}\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|>\e\)=0$.

\medskip
L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy lehets\'eges olyan $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, \'es $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
konstru\'alni, amelyekre a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan tart $\xi$-hez, de a  $\xi_n$ sorozat nem
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.

Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t: $\Omega$ a $[0,1]$ intervallum,
$\Cal A$ a Borel m\'erhet\H{o} halmazok $\sigma$-algebr\'aja a $[0,1]$
intervallumon, a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a Lebesgue
m\'ert\'ek. Legyen
$$
\aligned
\xi_n(x)&=\left\{
\aligned
&1\quad\text{ha }x\in\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]\\
&0\quad\text{ha }x\notin\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]
\endaligned \right.  \\
&\qquad\qquad\qquad \text{akkor ha } 2^k\le n<2^{k+1},\quad
k=1,2,\dots,
\endaligned
$$
\'es $\xi(x)=0$ minden $0\le x\le 1$ sz\'amra. Ekkor
$P(|\xi_n-\xi|>\e)=2^{-k}$ minden $\e>0$ sz\'amra, ha $2^k\le
n<2^{k+1}$. Teh\'at a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan konverg\'al a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz. Viszont mivel $\limsupp_{n\to\infty}\xi_n(x)=1$
minden $0\le x\le 1$ sz\'amra, ez\'ert a $\xi_n$ sorozat nem
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.

M\'asr\'eszt a Borel-Cantelli lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
amennyiben minden $\e>0$ sz\'amra $\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi_n-\xi|>\e)<\infty$, akkor a $\xi_n$ sorozat egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. Mi\'ert?

A sztochasztikus konvergencia \'es eloszl\'asban val\'o konvergencia
k\"oz\"otti kap\-cso\-lat\-ra \'erv\'enyesek a k\"ovetkez\H{o} nem
k\"otelez\H{o} h\'azi feladatok form\'aj\'aban megfogalmazott
\'all\'{\i}t\'asok.

\medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:
\medskip

\item{a.)} Ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sztochasztikusan konverg\'alnak egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, akkor a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban is
konverg\'alnak ehhez a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz.
\item{b.)} Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a megford\'{\i}t\'asa nem
igaz. P\'eld\'aul, ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
amelyek nem elfajultak, azaz nincs olyan konstans amelyeket ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesznek fel, akkor a $\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'al\-to\-z\'ok eloszl\'asban
konverg\'alnak a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz,
viszont nem konverg\'alnak sztochasztikusan.
\item{c.)} Viszont igaz a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as: Ha
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak egy $a$ konstanshoz, (azaz
egy  olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, amely egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $a$ konstanst veszi fel, akkor a
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat sztochasztikusan is konverg\'al
ehhez az $a$ konstanshoz.
\medskip

Most r\'at\'erek annak t\'argyal\'as\'ara, hogy hogyan lehet a nagy
sz\'amok gyenge t\"or\-v\'e\-ny\'e\-nek a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'egen alapul\'o bizony\'{\i}t\'as\'at finom\'{\i}tva
a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"or\-v\'e\-ny\'et is bebizony\'{\i}tani
alkalmas felt\'etelek mellett. Az al\'abb ismertetend\H{o}
\'ervel\'esben val\'oj\'aban a t\'etel bizony\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben a sz\"uks\'egesn\'el sokkal er\H{o}sebb
kik\"ot\'eseket teszek. Id\'ezz\"uk fel a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eget, illetve a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'at a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip\noindent
{\bf Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg:} {\it Ha a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o m\'asodik momentuma
$E\xi^2=m_2$, akkor tetsz\H{o}leges $x>0$ sz\'amra
$$
P(|\xi|>x)\le \frac{m_2}{x^2}.
$$
Innen k\"ovetkezik, ha ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget a
$\bar\xi=\xi-E\xi$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
al\-kal\-maz\-zuk, hogy
$$
P(|\xi-E\xi|>x)\le \frac{\text{\rm Var}\,\xi}{x^2},
$$
 }

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg a Markov
egyenl\H{o}tlens\'eg k\"ovetkezm\'enye, amely szerint $P(|\xi|>x)\le
\frac {E|\xi|}x$. Alkalmazva ezt az \'all\'{\i}t\'ast a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora kapjuk a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eget. Hasonl\'o m\'odon, alkalmazva a Markov
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get a $\xi^{2k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ora, ahol $k$ tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am,
$x>0$, kapjuk, hogy $P(|\xi|>x)\le\frac{E\xi^{2k}}{x^{2k}}$

\medskip
A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et \'ugy bizony\'{\i}tottuk be,
hogy megvizsg\'altuk milyen becsl\'est ad a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere,
hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'atlaga legal\'abb $\e$-nal elt\'er e v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l. Id\'ezz\"uk fel ezt a sz\'amol\'ast,
illetve ezzel p\'arhuzamosan vizsg\'aljuk meg azt is, milyen
becsl\'est kapunk, ha tov\'abbra is azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot vizsg\'aljuk, amelyet \'ugy kapunk, hogy f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'atlaga minusz azok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et vessz\"uk, de most
ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak nemcsak a m\'asodik
momentum\'at sz\'amoljuk ki, mint tett\"uk a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg alkalmaz\'as\'aban, ha\-nem a negyediket is.
L\'atni fogjuk, hogy ekkor \'erdekes \'uj eredm\'enyeket kapunk.

Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket. Legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma el\-osz\-l\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$. Tegy\"uk fel, hogy $E\xi_1=0$, \'es
vizsg\'aljuk az
$$
E\(\frac{S_n}n\)^2,\quad E\(\frac{S_n}n\)^4\quad\text{\'es}\quad
P\(\frac{|S_n|}n>\e\)=P\(\left|\frac{S_n}n-E\xi_1\right|>\e\),\; \e>0
$$
kifejez\'eseket. Az utols\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
vizsg\'alat\'aban nem jelent megszor\'{\i}t\'ast az $E\xi_1=0$
felt\'etel, mert a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
a $\xi_j-E\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal
he\-lyet\-te\-s\'{\i}t\-ve az \'altal\'anos esetet erre a speci\'alis
esetre reduk\'alhatjuk.
$$
\text{Var}\,\frac{S_n}n=\frac1{n^2}\text{Var}\,{S_n}=
\frac n{n^2}\text{Var}\,\xi_1=
\frac 1n\text{Var}\,\xi_1,\quad
P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)\le\frac {\text{Var}\,\xi_1}{n\e^2}.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)=0$,
teh\'at \'erv\'enyes a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye.
$$
E\(\frac{S_n}n\)^4=\frac1{n^4}E(\xi_1+\cdots+\xi_n)^4,
$$
$$ \allowdisplaybreaks
\align
E(\xi_1+\cdots+\xi_n)^4&=\sum_{k=1}^n E\xi_k^4+6\sum\Sb 1\le j,k\le
n\\ j\neq k\endSb E\xi_j^2 E\xi_k^2
+4\sum\Sb 1\le j,k\le
n\\ j\neq k\endSb \underbrace{E\xi_j^3E\xi_k}_{=0} \\
&\qquad+4\sum\Sb 1\le j,k,l\le
n\\ j,k,l\text{ k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amok}\endSb
\underbrace{E\xi_j^2E\xi_kE\xi_l}_{=0} \\
&\qquad +\sum\Sb 1\le j,k,l,m\le
n\\ j,k,l,m\text{ k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amok}\endSb
\underbrace{E\xi_jE\xi_kE\xi_lE\xi_m}_{=0} \\
&=n E\xi_1^4+6n(n-1) (E\xi_1^2)^2,
\endalign
$$
ez\'ert
$$
P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)\le\frac{\frac1n
E\xi_1^4+6\(1-\frac1n)(E\xi_1)^2\)}{n^2\e^4}\le \frac{\const}{n^2\e^4}.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy
$\summ_{n=1}^\infty P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)<\infty$ minden
$\e>0$ sz\'amra, \'es a Borel--Cantelli lemma (k\"onnyebbik
fel\'eb\H{o}l) k\"ovetkezik, hogy minden $\e>0$ sz\'amra \'es majdnem
minden $\oo\in\Omega$ pontban teljes\"ul, hogy
$\left|\frac{S_n(\oo)}n\right|\le \e$, ha $n\ge
n_0(\oo)$. Alkalmazva ezt a rel\'aci\'ot minden $\e=\frac1k$ sz\'amra
$k=1,2,\dots$, kapjuk a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et,
amelyet az al\'abbi t\'etelben fogalmazok meg.

\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etel egy gyenge form\'aja.} {\it Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots,$
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, amelyekre teljes\"ul
az $E\xi_1^4<\infty$ felt\'etel, \'es vezess\"uk be az
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat. Ekkor az $\frac{S_n(\oo)}n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok majdnem minden
$\oo\in\Omega$-ra konverg\'alnak ez $E\xi_1$, sz\'amhoz, azaz ezek
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et.} \medskip
Megfogalmazom a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et kimond\'o
t\'etelt eredeti, \'eles for\-m\'a\-j\'a\-ban is.

\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et kimond\'o t\'etel.}
{\it Legyen $\xi_1$, $\xi_2$,\dots, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es defini\'aljuk
az $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegeket. Az
$\frac{S_n(\oo)}n$, $n=1,2,\dots$, sorozat akkor \'es csak akkor
konverg\'al pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha
$E|\xi_1|<\infty$. Ha $E|\xi_1|<\infty$, akkor ez a sorozat
teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, azaz
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{S_n(\oo)}n=E\xi_1\quad\text{majdnem minden }
\oo\in\Omega\text{-ra}.
$$
}
\medskip\noindent
L\'attuk, hogy a nagy sz\'amok k\"ul\"onb\"oz\H{o} t\"orv\'enyeit
kimond\'o t\'etelekben az \"osszeadand\'ok momentumair\'ol tesz\"unk
fel bizonyos felt\'eteleket. S\H{o}t, az utolj\'ara kimondott t\'etel
a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l, egyben jelzi
azt, hogy ez a felt\'etel nemcsak el\'egs\'eges, hanem sz\"uks\'eges
felt\'etel is. Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, mi\'ert j\'atszik olyan
fontos szerepet a momentumok l\'etez\'ese ezekben az eredm\'enyekben.

A nagy sz\'amok t\"orv\'enyei olyan \'all\'{\i}t\'ast fogalmaznak meg,
hogy f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
\'atlagai egyfajta tipikus viselked\'est mutatnak, amelyikben az
egyes \"osszeadand\'ok hat\'asa \"onmag\'aban nem jelent\H{o}s, azaz
nagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nem fordulhat el\H{o}, hogy van az
\"osszegben olyan kiugr\'oan nagy \'ert\'eket felvev\H{o} tag, amelynek
hat\'asa \"osszem\'erhet\H{o} az \"osszes t\"obbi tag hat\'as\'aval.
M\'arpedig az, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
valamely momentuma kisebb egy adott sz\'amn\'al olyan tulajdons\'agot
fogalmaz meg, amely szerint a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz fel nagy \'ert\'ekeket. Ahhoz,
hogy finomabb vizsg\'alatokat el tudjunk v\'egezni, ki kell tudnunk
fejezni a momentumok v\'egess\'eg\'et az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
nyelv\'en. A k\"ovetkez\H{o} lemma \'all\'{\i}t\'asa \'erdekes lesz a
nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'aban.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
abszolut \'ert\'ek\'enek akkor \'es csak akkor l\'etezik v\'arhat\'o
\'ert\'eke, azaz akkor \'es csak akkor teljes\"ul az $E|\xi|<\infty$
rel\'aci\'o, ha $\summ_{n=1}^\infty P(|\xi|>n)<\infty$.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Az al\'abb ismertetend\H{o} bizony\'{\i}t\'as
finom\'{\i}t\'as\'aval be lehet l\'atni, hogy egy $|\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak akkor \'es csak akkor van
v\'eges m\'asodik momentuma, ha
$\summ_{n=1}^\infty nP(|\xi|>n)<\infty$. \'Altal\'anosabban
$E|\xi|^\alpha<\infty$ valamilyen $\alpha>0$, sz\'amra akkor \'es
csak akkor, ha $\summ_{n=1}^\infty n^{\alpha-1}P(|\xi|>n)<\infty$.
De ezen \'all\'{\i}t\'asok bizony\'{\i}t\'as\'at, amelyekre nem lesz
sz\"uks\'eg\"unk, elhagyom.

\medskip\noindent
{\it A Lemma bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt a
speci\'alis esetet, amikor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o csak eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel. Ekkor az
$E|\xi|<\infty$ rel\'aci\'o  definici\'o szerint akkor \'es csak
akkor teljes\"ul, ha $\summ_{n=0}^\infty nP(|\xi|=n)<\infty$. Ezt
\'ugy is \'{\i}rhatjuk, hogy $\summ_{n=0}^\infty
n\(P(|\xi|>n-1)-P(\xi>n)\)<\infty$, \'es b\'armely r\"ogz\'{\i}tett
$N$ eg\'esz sz\'amra
$$
\summ_{n=0}^N nP(|\xi|=n)=\summ_{n=0}^N n\(P(|\xi|>n-1)-P(|\xi|>n)\)
=\summ_{n=0}^{N-1}P(|\xi|>n)-NP(|\xi|>N). \tag $*$
$$
Ha $E|\xi|=\infty$, akkor
$\summ_{n=1}^\infty P(|\xi|>n)=\limm_{N\to\infty}
\summ_{n=0}^{N-1}P(|\xi|>n)\ge \limm_{N\to\infty}
\summ_{n=0}^{N}nP(|\xi|=n)=\infty$ a $(*)$ rel\'aci\'o alapj\'an.
Ha $E|\xi|<\infty$, akkor $NP(|\xi|>N)\le E|\xi|$ minden $N$-re,
azaz az el\H{o}z\H{o} kifejez\'esnek van egy $N$-t\H{o}l f\"uggetlen
fels\H{o} becsl\'ese. Ez\'ert $\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi|>n)=\limm_{N\to\infty} \summ_{n=0}^{N-1}P(|\xi|>n)\le
\limm_{N\to\infty}\summ_{n=0}^{N}nP(|\xi|=n)+\const<\infty$, szint\'en
a $(*)$ rel\'aci\'o alapj\'an.

Egy \'altal\'anos $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eset\'en defini\'aljuk a $\xi_1$ \'es $\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat \'ugy, hogy $k\le |\xi|<k+1$ eset\'en $\xi_1=k$,
$\xi_2=k+1$, $k=0,1,2,\dots$. Ekkor $\xi_1\le |\xi|\le \xi_2$, \'es
$\xi_2-\xi_1\equiv1$, ez\'ert az $E|\xi_1|$, $E|\xi|$ \'es $E|\xi_2|$
v\'arhat\'o \'ert\'ekek egyszerre v\'egesek vagy v\'egtelenek.
Tov\'abb\'a $\summ_{n=0}^\infty P(|\xi|>n)=\summ_{n=0}^\infty
P(\xi_2>n)$, ez\'ert a Lemma \'all\'{\i}t\'asa az \'altal\'anos esetben
k\"ovetkezik annak m\'ar bebizony\'{\i}tott speci\'alis eset\'eb\H{o}l.

\medskip
Megmutatom az el\H{o}z\H{o} lemma eredm\'eny\'enek \'es a
Borel--Cantelli lemm\'anak a se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel, hogy
amennyiben $E|\xi_1|=\infty$, akkor a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oval azonos eloszl\'as\'u $\xi_j$, $j=1,2,\dots$,
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et.
Pontosabban azt \'all\'{\i}tom, hogy ebben az esetben az
$S_n(\oo)=\summ_{j=1}^n\xi_j(\oo)$, $n=1,2,\dots$, \"osszegekre az
$S_n(\oo)$ majdnem minden $\oo\in\Omega$ pontban nem konvergens.

Val\'oban, az el\H{o}bb megfogalmazott eredm\'eny, \'es a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos eloszl\'asa miatt az
$E|\xi_1|=\infty$ felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\infty=\summ_{n=1}^\infty P(|\xi_1|>n)=\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi_n|>n)$. Ez\'ert, \'es a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt a
Borel--Cantelli lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy majdnem minden
$\oo\in\Omega$-ra $|\xi_n(\oo)|>n$ v\'egtelen sok az ($\oo$ elemi
esem\'enyt\H{o}l f\"ugg\H{o}) $n$ indexre.

Tegy\"uk fel, hogy valamely $\oo\in \Omega$ elemi esem\'enyre
$\limm_{n\to\infty}\frac{S_n(\oo)}n=a$ valamilyen v\'eges $a$
sz\'amra, amelynek \'ert\'eke f\"ugghet az $\oo$ elemi
esem\'enyt\H{o}l. Ekkor a $\limm_{n\to\infty}\frac{S_{n-1}(\oo)}n=a$
rel\'aci\'o is teljes\"ul, ahonnan
$\limm_{n\to\infty}\(\frac{S_{n}(\oo)}n-\frac{S_{n-1}(\oo)}n\)
=\limm_{n\to\infty}\frac{\xi_n(\oo)}n=0$. Ez a rel\'aci\'o viszont,
mint l\'attuk egy 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi halmazon nem teljes\"ul.
\medskip

L\'attuk, hogy mind a nagy sz\'amok gyenge mind a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz arra van
sz\"uks\'eg\"unk, hogy k\'epesek legy\"unk f\"uggetlen (\'es egyforma
el\-osz\-l\'a\-s\'u), nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
$\xi_1,\xi_2,\dots,$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$, \"ossze\-g\'e\-nek
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ere j\'o becsl\'est tudjunk adni. Pontosabban
arra van sz\"uk\-s\'e\-g\"unk, hogy j\'ol meg tudjuk becs\"ulni minden
$n$ indexre \'es r\"ogz\'{\i}tett $\e>0$ sz\'amra a $P(|S_n|>\e n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Val\'oj\'aban a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'aban hasznosabb, ha a
 $P\(\supp_{1\le m\le n}|S_m|>\e n\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket
tudjuk j\'ol megbecs\"ulni. Els\H{o} l\'at\'asra azt gondolhatn\'ank,
hogy az ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek becsl\'es\'ere
al\-kal\-maz\-hat\-n\'ank a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.
Val\'oj\'aban a helyzet bonyolultabb.

A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel j\'o aszimptotik\'at ad a
$P(S_n>x\sqrt n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre nagy $n$ indexre,
\'es r\"ogz\'{\i}tett $x$ sz\'amra. De szabad-e r\"ogz\'{\i}tett $x$
helyett $n$-t\H{o}l f\"ugg\H{o} $x_n=\e \sqrt n$ (azaz
$\sqrt nx_n=\e n$) sz\'amot \'{\i}rni,
\'es alkalmazni form\'alisan a centr\'alis hat\'areloszl\'asban
szerepl\H{o} k\'epletet nem t\"or\H{o}dve az $x_n$ sz\'amnak az $n$
indext\H{o}l val\'o f\"ugg\'es\'evel? Azt, hogy e k\'erd\'es
felvet\'es\'en\'el nem form\'alis k\"ot\"ozk\"od\'esr\H{o}l van
sz\'o mutatja a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} p\'elda: Legyenek
$\xi_1,\xi_2\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre
$P(\xi_1=1)=P(\xi_1=-1)=\frac12$, $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$. Ekkor a
$p_n(x)=P\(S_n\ge nx\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre $p_n(x)=0$, ha
$x>1$, \'es $p_n(x)=2^{-n}$, ha $x=1$. (Az $x<1$ esetben is j\'o
aszimptotikus formul\'at lehet adni a $p_n(x)$ mennyis\'egre, de
ahhoz k\"ul\"on vizsg\'alat lenne sz\"uks\'eges, ez\'ert ezt
most nem tessz\"uk.) Ez a p\'elda azt mutatja, hogy a $p_n(x)$
f\"uggv\'eny nem \'ugy viselkedik, ahogy a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l ad\'od\'o form\'alis anal\'ogia
su\-gall\-n\'a. A $P(S_n\ge nx)$ alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
vizsg\'alat\'aval a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik fontos \'es \'erdekes fejezete a nagy elt\'er\'esek elm\'elete
foglalkozik. Ez az elm\'elet nem t\'em\'aja a jelen
el\H{o}ad\'assorozatnak.

A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'at
(amikor annak \'eles v\'altozat\'at vizsg\'aljuk, \'es csak a t\'etel 
sz\"uks\'eges felt\'eteleit haszn\'aljuk a bizony\'{\i}t\'asban)
az el\H{o}ad\'as f\H{o} r\'esz\'eben nem dolgozom ki. Viszont
megfogalmazom a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egy
fontos egyenl\H{o}tlens\'eg\'et az \'ugynevezett Kolmogorov
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get. Ennek bizony\'{\i}t\'as\'at 
meg\-adom egy {\it Kieg\'esz\'{\i}t\'esben}, \'es ott ismertetem 
azt is, hogyan lehet ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel bebizony\'{\i}tani
a nagy sz\'amok ner\H{o}s t\"or\-v\'e\-ny\'et.

\medskip
Annak sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etele is ismert, hogy
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok teljes\'{\i}ts\'ek a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et.
Megfogalmazom ezt az eredm\'enyt, de az \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom. Ennek az eredm\'enynek az
ismeret\'et sem v\'arom el a vizsg\'an.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata $F$ eloszl\'asf\"uggv\'ennyel. Ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor \'es csak
akkor teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'et, azaz a $\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$ \'atlag akkor
\'es csak akkor konverg\'al sztochasztikusan  $n\to\infty$ eset\'eben
egy $a$ sz\'amhoz, $-\infty<a<\infty$, ha
$$
\lim_{x\to\infty}x\[F(-x)+\(1-F(x)\)\]=0, \quad \text{\'es} \quad
\lim_{u\to\infty}\int_{-u}^u xF(\,dx)=a.
$$
}\medskip

Ha \"osszehasonl\'{\i}tjuk a nagy sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et azt l\'atjuk,  hogy a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye n\'emileg enyh\'ebb megk\"ot\'esek mellett
\'erv\'enyes mint a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye. \'Erdemes
l\'atni f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok olyan sorozat\'at, amely teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok
gyenge, de nem teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et. Ilyen p\'eld\'at fogalmazok meg a k\"ovetkez\H{o}
nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladatban. Egyben jelzem, hogyan lehet
bebizony\'{\i}tani azt, hogy ez a p\'elda teljes\'{\i}ti a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et an\'elk\"ul, hogy
felhaszn\'aln\'ank a nem bizony\'{\i}tott t\'etelt a nagy sz\'amok
gyenge t\"orv\'eny\'enek sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etel\'er\H{o}l.

\medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat

\medskip
\item{} Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta,
az $f(x)=\frac C{x^2\log |x|}$, ha $|x|>2$. $f(x)=0$, ha $|x|\le 2$,
k\'eplettel megadott s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel.
($\int_{|x|>2}\frac {C\,dx}{x^2\log |x|}=1$.)
Defini\'aljuk az $S_n=\summ_{k=1}^m\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket. L\'assuk be, hogy $E|\xi_1|=\infty$,
ez\'ert ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et. M\'asr\'eszt az $\frac{S_n}n$
\'atlagok szto\-chasz\-ti\-ku\-san tartanak null\'ahoz, azaz minden
$\e>0$ sz\'amra $P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)\to0$, ha
$n\to\infty$.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Legyen $\bar\xi_k=\bar
\xi_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|\le a_n\)$, $\bar{\bar\xi}_k=\bar{\bar
\xi}_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|>a_n\)$, \'es $\bar
S_n=\summ_{k=1}^n\bar\xi_k$, $\bar{\bar
S}_n=\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k$. Ekkor $P(|S_n|>\e n)\le
P\(|\bar S_n|>\frac\e2n\)+P\(|\bar{\bar S}_n|>\frac\e2n\)\le \frac
{\text {Var}\,\bar S_n}{\frac{\e^2}4n^2}+nP\(\bar{\bar \xi_1}\neq0\)$.
Adjunk az $a_n$ konstans alkalmas meg\-v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'a\-val
(p\'eld\'aul $a_n=n$) j\'o becsl\'est a $P(|S_n|>n\e)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.
\medskip

Term\'eszetesen felvet\H{o}dik a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'es:
Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre $E\xi_1=0$. Legyen
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$. Ekkor a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye szerint az $\frac{S_n}n$ \'atlagok sztochasztikusan
tartanak null\'ahoz, a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye szerint
pedig egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel is null\'ahoz tartanak.
Hogyan lehet \'eles\'{\i}teni a nagy sz\'amok gyenge illetve er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et? Pontosabban fogalmazva, milyen $a_n$, $n=1,2,\dots$
sorozatokra mondhatjuk, hogy $\frac{S_n}{a_n}$ sztochasztikusan tart
null\'ahoz, ha $n\to\infty$? Milyen $b_n$, $n=1,2,\dots$ sorozatokra
mondhatjuk, hogy $\frac{S_n}{b_n}$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
tart null\'ahoz, ha $n\to\infty$? Az egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert
tegy\"uk fel, hogy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
tekint\"unk, amelyeknek van m\'asodik momentumuk.

Az els\H{o} k\'erd\'esre a v\'alasz viszonylag egyszer\H{u}
k\"ovetkezm\'enye a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-nek,
\'es ezt tartalmazza a k\"ovetkez\H{o} feladat. A m\'asodik
k\'erd\'esre a v\'alaszt nehezebb megadni. Erre a k\'erd\'esre az
al\'abb megfogalmazott bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul k\"oz\"olt
iter\'alt logaritmust\'etel adja meg a v\'alaszt.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre $E\xi_1=0$ \'es
$E\xi_1^2<\infty$. Legyen $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$.
Ekkor pozit\'{\i}v val\'os sz\'amok valamely $a_n$ sorozat\'ara a
$\frac{S_n}{a_n}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor \'es
csak akkor tartanak sztochasztikusan null\'ahoz $n\to\infty$ eset\'en,
ha $\limm_{n\to\infty}\frac{a_n}{\sqrt n}=\infty$.
\medskip
V\'eg\"ul megfogalmazom a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik h\'{\i}res eredm\'eny\'et, az \'ugy\-neve\-zett iter\'alt
logaritmus t\'etelt \medskip\noindent
{\bf Iter\'alt logaritmus t\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok valamilyen $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyekre $E\xi_1(\oo)=0$,
$\Var\xi_1(\oo)=\sigma^2<\infty$.
Ekkor
$$
\limsup_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=1, \quad\text{majdnem minden
$\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre,}
$$
\'es
$$
\liminf_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=-1,
\quad\text{majdnem minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre.}
$$
}

\beginsection  A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
bevezet\H{o} el\H{o}ad\'as r\"ovid \'attekint\'ese.

Az el\H{o}ad\'assorozatot n\'eh\'any fontos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi probl\'ema
megfogalmaz\'as\'aval kezdtem, \'es ismertettem a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as t\"ort\'enet\'enek
n\'eh\'any \'erdekes for\-du\-l\'o\-pont\-j\'at. A probl\'em\'ak
megfogalmaz\'as\'anak c\'elja az volt, hogy k\'epet adjak arr\'ol,
milyen k\'er\-d\'e\-sek\-kel foglalkozik a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as. Ugyancsak fontos r\'esze
volt az el\H{o}ad\'asnak n\'e\-h\'any kombinatorikai probl\'ema
\'es eredm\'eny ismertet\'ese, amelyek fontos szerepet 
j\'at\-sza\-nak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi 
probl\'em\'ak vizsg\'alat\'aban. A probl\'em\'ak \'es m\'odszerek 
jobb meg\-\'er\-t\'e\-se \'erdek\'eben feleleven\'{\i}tettem 
n\'eh\'any anal\'{\i}zisbeli fogalmat, mindenekel\H{o}tt a Taylor 
sor fogalm\'at, illetve n\'eh\'any a v\'egtelen halmazok 
sz\'amoss\'ag\'aval kapcsolatos fontos fogalmat \'es eredm\'enyt.

Ezut\'an r\'at\'ertem a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
prec\'{\i}z, Kolmogorov \'altal kidolgozott el\-m\'e\-le\-t\'e\-nek 
az ismertet\'es\'ere. Ezen elm\'eleten bel\"ul k\"ul\"on\"osen
fontos annak meg\'ert\'ese, hogy hogyan lehet a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as probl\'em\'ait e
form\'alis, a halmazelm\'elet nyelv\'et haszn\'al\'o modell
keretei k\"oz\"ott t\'argyalni. Ugyancsak fontos annak
meg\-\'er\-t\'e\-se, hogy a probl\'em\'ak \'atfogalmaz\'asa a
Kolmogorov-f\'ele modellbe hogyan seg\'{\i}t konkr\'et feladatok
megold\'as\'aban. A Kolmogorov-f\'ele elm\'eletet el\H{o}sz\"or
olyan modellekben t\'argyaltuk, amelyben a megfigyel\'esnek csak
v\'eges, esetleg megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen sok 
ered\-m\'e\-nye lehets\'eges. Annak \'erdek\'eben, hogy ne csak 
v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen sok lehets\'eges 
kimenetelt tartalmaz\'o modellt tudjuk vizsg\'alni, sz\"uks\'eg 
volt bizonyos m\'ely m\'ert\'ekelm\'eleti ered\-m\'e\-nyek 
felid\'ez\'es\'ere. P\'eld\'at mutattam arra is, hogy a 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ek 
$\sigma$-addit\'{\i}vit\'as\'ab\'ol olyan azonoss\'agok is 
k\"ovetkeznek, amelyeket b\'ar be lehet bizony\'{\i}tani csup\'an
az anal\'{\i}zis eredm\'enyeinek a felhaszn\'al\'as\'aval, de egy
ilyen bizony\'{\i}t\'as rendk\'{\i}v\"ul sok sz\'amol\'ast
ig\'enyel.

Elegend\H{o} a fogalmak \'es eredm\'enyek jelent\'es\'enek
meg\'ert\'ese, illetve azt l\'atni, hogyan lehet ezt feladatok
megold\'as\'aban haszn\'alni. K\"ul\"on t\'argyaltam t\"obb olyan
feladatot, amelyek geometriai meggondol\'asok seg\'{\i}ts\'eg\'evel
egyszer\H{u}en megoldhat\'oak. Ezen megold\'asok h\'atter\'eben
term\'eszetes \'es szeml\'eletes, de m\'ely m\'ert\'ekelm\'eleti
eredm\'enyek vannak. B\'ar e m\'ert\'ekelm\'eleti erem\'enyek
bizony\'{\i}t\'as\'at nem t\'argyaltam, egy ilyen elveken alapul\'o
(j\'o) feladatmegold\'ast teljes \'ert\'ek\H{u}nek fogok
tekinteni a vizsg\'an.

Ezut\'an t\'argyaltam \'es bebizony\'{\i}tottam a Borel--Cantelli
lemm\'at. Itt is elegend\H{o} az eredm\'enyt meg\'erteni, illetve
term\'eszetes esetekben ezt az eredm\'eny tudni kell haszn\'alni.
Az el\H{o}ad\'asban t\'argyalt k\"ovetkez\H{o} fontos fogalom
a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg volt. Nagyon fontos
meg\'erteni, hogy hogyan kell ezt a fogalmat konkr\'et esetekben
haszn\'alni. Az itt kimondott ered\-m\'e\-nye\-ket jobban meg
lehet \'erteni, ha  konkr\'et feladatokat vizsg\'alunk.

Bevezettem esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'enek a fogalm\'at is. Az
itt kimondott fogalmak, eredm\'enyek ismerete rendk\'{\i}v\"ul
fontos. A t\'argyal\'as sor\'an sz\'oba ker\"ultek
m\'ert\'ekelm\'eleti fogalmak \'es eredm\'enyek. Az egyszer\H{u}bb
fogalmakat, mint p\'eld\'aul a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o},
a $\sigma$-algebra fogalm\'at ismerni kell, de m\'ar olyan
fogalmaknak az ismeret\'et, mint p\'eld\'aul a majdnem-minden\"utt
teljes\"ul\H{o} tulajdons\'agok, Lebesgue integr\'al, Fubini t\'etel
elegend\H{o} k\"or\"ulbel\"ul tudni, azon a szinten, ami ahhoz
kell, hogy a le\'{\i}rt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi eredm\'enyeket
\'erts\'ek \'es tudj\'ak haszn\'alni. Ezenbel\"ul a Fubini t\'etel
ismerete fontos, mert ezt nagyon sok feladat megold\'as\'aban
haszn\'alj\'ak. (Az itt haszn\'alt eredm\'enyek bizony\'{\i}t\'asa
\'es r\'eszletes t\'argyal\'asa a m\'ert\'ekelm\'elet \'es nem a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as t\'em\'aja. Arr\'ol, hogy
milyen szigor\'us\'aggal k\"ovetelik meg ezen eredm\'enyek
ismeret\'et a m\'ert\'ekelm\'elet vizsg\'an nem \'en d\"ont\"ok.)

T\"obb f\"uggetlen esem\'enyekkel kapcsolatos feladatot
t\'argyaltam. Ilyen feladatok megold\'as\'at a vizsg\'an tudni
kell. Ugyancsak t\'argyaltam az e probl\'emak\"or
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak tekinthet\H{o} 
\'ugynevezett szita-formul\'at, \'es n\'eh\'any ennek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg\-old\-ha\-t\'o prob\-l\'e\-m\'at. 
B\'ar ez a probl\'emak\"or a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as tem\'eszetes r\'esz\'enek
tekinthet\H{o}, ennek ismeret\'et, illetve (a csak) ezen formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel megoldhat\'o feladatok megold\'as\'at nem
k\"ovetelem meg a vizsg\'an.

Ezut\'an konkr\'et el\H{o}sz\"or diszkr\'et, majd
folytonos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
vizsg\'altam. Defini\'altam val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'et, v\'arhat\'o \'er\-t\'e\-k\'et,
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et \'es k\"ul\"onb\"oz\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kovarianciaf\"uggv\'eny\'et.
El\H{o}\-sz\"or disz\-kr\'et va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok eset\'eben defini\'altam ezeket a fogalmakat, \'es
csak k\'e\-s\H{o}bb vezettem be \H{o}ket folytonos eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben. Ennek a
t\'ar\-gya\-l\'as\-m\'od\-nak el\-s\H{o}\-sor\-ban metodol\'ogiai 
okai voltak. Ugyanis diszkr\'et eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok vizsg\'alata nem ig\'enyli 
m\'ely m\'ert\'ekelm\'eleti fogalmak \'es ered\-m\'e\-nyek 
ismeret\'et, \'es sok \'erdekes \'es fontos 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as jelens\'eg
m\'ar ezek seg\'{\i}ts\'eg\'evel is t\'argyalhat\'o.

Folytonos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
t\'argyal\'as\'aban a legfontosabb fogalmak, mint p\'eld\'aul a 
v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet prec\'{\i}z 
definici\'oj\'ahoz
sz\"uks\'eges a Lebesgue integr\'al fogalma. V\'azoltam a Lebesgue
integr\'al definici\'oj\'at, de e fogalom pontos ismerete (ezen
tant\'argy keretein bel\"ul) nem sz\"uks\'eges. Viszont ki kell 
tudni sz\'amolni v\'eletlen \"osszegek v\'arhat\'o \'ert\'eket, 
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zetet, \'es 
f\"ug\-get\-len val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
(konvoluci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel). Tudni kell, hogy a 
felhaszn\'alt t\'etelek milyen felt\'etelek mellett \'erv\'enyesek. 
E feladatok megold\'as\'anak \'er\-de\-k\'e\-ben j\'ol meg kell 
\'erteni, hogy hogyan \'erdemes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
probl\'em\'ak j\'o  modellj\'et bevezetni, \'es hogyan kell vel\"uk 
sz\'amolni. Ezenk\'{\i}v\"ul tudni kell az anal\'{\i}zisben tanult 
integr\'al \'es dif\-fe\-ren\-ci\'al\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as 
legfontosabb eredm\'enyeit is.

Bevezettem a legfontosabb diszkr\'et \'es folytonos eloszl\'asokat,
Ezekkel tudni kell sz\'amolni, illetve ezen eloszl\'asok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi tartalm\'at is tudni \'es \'erteni kell.

T\'argyaltam a Markov \'es Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eget.
Ezut\'an az el\H{o}ad\'as fontos t\'em\'aja volt az eloszl\'asok
fogalma, legfontosabb tulajdons\'agai, a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban 
sze\-rep\-l\H{o} k\"ul\"onb\"oz\H{o} konvergenciafogalmak 
(eloszl\'asban val\'o konvergencia, szto\-chasz\-ti\-kus konvergencia, 
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel val\'o konvergencia) valamint azok
jelent\'ese \'es kap\-cso\-la\-ta. Ugyan\-csak fontos meg\'erteni
a nagy sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, azt hogy mit
mondanak ki ezek az eredm\'enyek. A
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-sok r\'esz\-le\-tei\-nek ismerete nem
sz\"uks\'eges.

Az el\H{o}ad\'as legfontosabb t\'em\'aja a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel volt. Ennek t\'argyal\'asa \'erdek\'eben
bevezettem a karakterisztikus f\"uggv\'eny fogalm\'at. Ennek
er\'eszletes t\'ar\-gya\-l\'a\-s\'a\-ra azonban nem maradt
id\H{o}. Ezenk\'{\i}v\"ul a Fourier sorok elm\'elete, amely jobban
megvil\'ag\'{\i}tja az itt szerepl\H{o} fogalmakat \'es a
bizony\'{\i}t\'asok h\'atter\'et sokaknak nem szerepelt az eddigi
tananyag\'aban. Ez\'ert ennek az elm\'eleti r\'esznek az ismerete
a vizsg\'an nem sz\"uks\'eges. Viszont nagyon fontos tudni azt,
hogy hogyan \'es mire lehet haszn\'alni a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt. Ebbe beletartoznak az el\H{o}ad\'ason
t\'argyalt statisztikai probl\'em\'ak is.

V\'eg\"ul a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt
\'es a $\chi$-n\'egyzet pr\'ob\'at t\'ar\-gyal\-tam. Ezen bel\"ul
ismertettem bizonyos fogalmak (eloszl\'as f\"uggv\'eny,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, eloszl\'asban val\'o konvergencia,
v\'arhat\'o \'ert\'ek, sz\'or\'asn\'egyzet) t\"obb-dimenzi\'os
megfelel\H{o}it. Ezen fogalmakat \'es a hozz\'ajuk k\"ot\"od\H{o}
eredm\'enyeket ismerni kell. Viszont a
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-so\-kat
nem k\'erem, elegend\H{o} ezek bizonyos durva \'attekint\'es\'et
ismerni.

V\'eg\"ul megjegyzem, hogy a vizsga els\H{o}sorban feladatok
megold\'as\'ab\'ol fog \'allni. Ez\'ert a felk\'esz\"ul\'eshez azt
javaslom, hogy ne csak a definici\'okat, t\'eteleket, hanem a
t\'argyalt feladatokat is tanulm\'anyozz\'ak. Ez ut\'obbiak is
fontos r\'eszei az el\H{o}\-ad\'as\-so\-ro\-za\-tom\-nak, amelynek
r\'eszletes le\'{\i}r\'asa megtal\'alhat\'o a homepage-emen.

Homepage-em c\'{\i}me: http://www.renyi.hu/$\tilde{}\,\,$major

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es. A nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'asa.

Ebben a kieg\'esz\'{\i}t\'esben bebizony\'{\i}tom a nagy sz\'amok
t\"orv\'eny\'enek el\'eg\-s\'e\-ges\-s\'eg\-r\H{o}l sz\'ol\'o
fel\'et az al\'abb megfogalmazott Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Pontosabban, azt l\'atom be, hogy ha
$\xi_1,\xi_2,\dots,$ f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata,
amely teljes\'{\i}ti az $E|\xi_1|<\infty$ felt\'etelt, akkor ez a
sorozat teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et is.

\medskip\noindent
{\bf Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg}.
{\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, (nem
felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u)
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok, $E\xi_k=0$,
$E\xi_k^2=\sigma_k^2$. Tekints\"uk e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $S_k=\sum\limits_{p=1}^k\xi_p$, $k=1,\dots,n$,
r\'eszlet\"osszegeit. Ekkor
$$
P\(\sup_{1\le k\le n}|S_k|\ge x\)\le\frac{ES_n^2}{x^2}
=\frac{\sum\limits_{k=1}^n\sigma_k^2}{x^2}
$$
minden $x>0$-ra.}

{\it A Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'asa.}\/
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $x>0$ sz\'amot, \'es ve\-zes\-s\"uk be a
k\"ovetkez\H{o} $\tau=\tau(n,x)$ v\'eletlen id\H{o}pontot:
$\tau(\oo)=k$ valamely $1\le k\le n$ sz\'amra, ha $|S_k(\oo)|\ge x$,
\'es $|S_j(\oo)|<x$ minden $1\le j<k$ sz\'amra, \'es $\tau(\oo)=n$, ha
$|S_j(\oo)|<x$ minden $1\le j\le n$ indexre. A $\tau$ v\'eletlen
id\H{o}pont (meg\'all\'asi szab\'aly) szeml\'eletes tartalma a
k\"ovetkez\H{o}: Az els\H{o} olyan $k\le n$ id\H{o}pontot
keress\"uk, amelyre $S_k\ge x$. Ha van ilyen id\H{o}pont, akkor
$\tau$ ezzel az id\H{o}ponttal egyenl\H{o}. Ha nincs ilyen
id\H{o}pont, akkor $\tau=n$. Azt \'all\'{\i}tom, hogy
\'erv\'enyes az
$$
ES_\tau^2\le ES_n^2  \tag b
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg. Ennek bizony\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben vezess\"uk be a $\tau_j=\max(\tau,j)$, $1\le j\le n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Mivel $\tau_1=\tau$,
\'es $\tau_n=n$, ez\'ert a (b) rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\'eg megmutatni, hogy $ES_{\tau_j}^2\le ES_{\tau_{j+1}}^2$
minden $1\le j< n$ indexre. Viszont
$S_{\tau_j}(\oo)=S_{\tau_{j+1}}(\oo)$, ha $\tau>j$, \'es
$S_{\tau_{j}}(\oo)=S_j(\oo)$,
$S_{\tau_{j+1}}(\oo)=S_{j+1}(\oo)=S_j(\oo)+\xi_{j+1}(\oo)$, ha
$\tau\le j$. Ez\'ert el\'eg megmutatni, hogy
$$
\align
ES^2_{\tau_{j+1}}(\oo)-ES^2_{\tau_j}(\oo)&=
E\[\(S_{\tau_j}(\oo)+\xi_{j+1}(\oo)\)^2-S^2_{\tau_{j+1}}(\oo)\]I_A(\oo)\\
&=2EI_A(\oo)S_j(\oo)\xi_{j+1}(\oo)+E\xi_{j+1}^2(\oo)I_A(\oo)\ge0,
\endalign
$$
ahol $A$ az $\{\oo\colon\;\tau(\oo)\le j\}$ esem\'eny, \'es
$I_A(\oo)$ az $A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye. Ennek
\'erdek\'eben  vegy\"uk \'eszre, hogy a $\xi_{j+1}(\oo)$ \'es
$I_A(\oo)S_j(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"ug\-get\-le\-nek, mivel a m\'asodik
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o a
$\xi_1(\oo)$,\dots, $\xi_j(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok f\"ugg\-v\'e\-nye. Innen k\"ovetkezik, hogy
$$
EI_A(\oo)S_j(\oo)\xi_{j+1}(\oo)=EI_A(\oo)S_j(\oo)E\xi_{j+1}(\oo)=0.
$$
M\'asr\'eszt $E\xi_{j+1}^2(\oo)I_A(\oo)\ge0$. Innen k\"ovetkezik a
bizony\'{\i}tand\'o egyenl\H{o}tlens\'eg \'es a (b) rel\'aci\'o.

A Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg egyszer\H{u}en k\"ovetkezik a
(b)~rel\'aci\'ob\'ol \'es a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l.
Val\'oban, mivel $\left\{\oo\colon\supp_{1\le k\le n}|S_k(\oo)|
\ge x\right\}=\{\oo\colon\;|S_\tau(x)|\ge x\}$, ez\'ert
$$
P\(\sup_{1\le k\le n}|S_k|\ge x\)=
P\(|S_\tau|\ge x\)\le \frac{ES_\tau^2}{x^2}
\le\frac{ES_n^2}{x^2}.
$$

\medskip
\'Erdemes megjegyezni, hogy a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg
ugyan\-azt a fels\H o becsl\'est adja annak
val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy az $S_k$ r\'eszlet\"osszegek
szup\-r\'e\-mu\-ma nagyobb mint valamilyen $x>0$ sz\'am, mint amit
a Csebisev egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg ad annak az ese\-m\'eny\-nek
a val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy az utols\'o tag $S_n$
nagyobb, mint~$x$. Term\'eszetesen
$$
P\(\supp_{1\le k\le n}|S_k|>x|\)\ge P\(S_n|>x|\),
$$
de mint ahogy a Kolmogorov \'es Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg
\"osszehasonl\'{\i}t\'asa is sugallja a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg
baloldala nem sokkal nagyobb mint a jobboldala.

\medskip
A nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'enek bizony\'{\i}t\'as\'aban hasznos
a k\"ovetkez\H{o} technikai jelleg\H{u} lemma.

\medskip\noindent
{\bf Kronecker lemma:} {\it Ha az $a_n$ \'es $q_n$,
$n=1,2,\dots$ sz\'amsorozatok olyanok, hogy a
$\summ_{n=1}^\infty a_n$ \"osszeg konvergens, a $q_n$ sorozat
monoton n\H{o} \'es $\limm_{n\to\infty}q_n=\infty$, akkor
$\limm_{n\to\infty}\frac1{q_n}\summ_{k=1}^n a_kq_k=0$.}

\medskip\noindent
{\it A Kronecker lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vezess\"uk be az
$R_n=\summ_{j=n}^\infty a_j$, $n=1,2,\dots$, \"osszegeket, \'es
\'{\i}rjuk fel az $\frac1{q_n}\summ_{k=1}^n a_kq_k=
\frac1{q_n}\summ_{k=1}^n (R_k-R_{k+1})q_k=
\frac1{q_n}\summ_{k=1}^n R_k(q_k-q_{k-1})-R_{n+1}$
azonoss\'agot. (A fenti t\'{\i}pus\'u sz\'amol\'as, amelyet
Abel-f\'ele \'atrendez\'esnek h\'{\i}vnak, a parci\'alis
integr\'al\'as diszkr\'et megfelel\H{o}je.) Felhaszn\'alva, hogy
l\'etezik olyan $R<\infty$ sz\'am, amelyre $|R_n|<R$ minden
$n=1,2,\dots$ indexre, minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$n_0=n_0(\e)$ index, amelyre $|R_n|\le\e$, ha $n\ge n_0$, \'es
$q_k-q_{k-1}\ge0$ minden $k=1,2,\dots$, sz\'amra, az el\H{o}z\H{o}
azonoss\'ag alapj\'an fel\'{\i}rhatjuk a k\"ovetkez\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eget.
$$
\frac1{q_n}\left|\summ_{k=1}^n a_kq_k\right|\le
\frac1{q_n}\summ_{k=1}^{n_0} R(q_k-q_{k-1})+
\frac1{q_n}\summ_{k=n_0+1}^n \e(q_k-q_{k-1})+\e
\le R\frac {q_{n_0}}{q_n}+2\e,
$$
ha $n\ge n_0$. Mivel ez az egyenl\H{o}tlens\'eg minden $\e>0$
sz\'amra \'erv\'enyes, \'es $\limm_{n\to\infty} q_n=\infty$, innen
$n\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel k\"ovetkezik a Kronecker lemma
\'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek be nem bizony\'{\i}tott
r\'esz\'enek igazol\'as\'ahoz (ahhoz, hogy v\'eges v\'arhat\'o
\'ert\'ek l\'etez\'ese eset\'en igaz a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'enye) elegend\H{o} a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast
bebizony\'{\i}tani.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, $E|\xi_1|<\infty$,
$E\xi_1=0$, $S_n=\sum\limits_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, akkor
$\limm_{n\to\infty}\frac{S_n}n=0$ egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel.}

\medskip\noindent
{\it A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vezess\"uk be a t\'etelben
szerepl\H{o} $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
k\"ovetkez\H{o} felbont\'as\'at: $\xi_n=\xi_n'+\xi_n''$, ahol
$\xi'_n=\xi_nI(|\xi_n|\le n)$, $\xi''_n=\xi_nI(|\xi_n|>n)$,
\'es $I(A)$ az $A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'et
jel\"oli. Megmutatom, hogy a t\'etel \'all\'{\i}t\'as\'anak
bizony\'{\i}t\'as\'at reduk\'alni lehet a
$\limm_{n\to\infty}\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_n'=0$
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, s\H{o}t a
$\limm_{n\to\infty}\frac1n\summ_{k=1}^n(\xi_n'-E\xi_n')=0$
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'as\'ara.

Az els\H{o} redukci\'o igazol\'as\'ahoz el\'eg \'eszrevenni, hogy
$$
\summ_{k=1}^\infty P(\xi''_k\neq0)=\summ_{k=1}^\infty P(|\xi_k|>k)
=\summ_{k=1}^\infty P(|\xi_1|>k)\le
1+E|\xi_1|<\infty,
$$
ez\'ert a Borel--Cantelli lemma alapj\'an egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok $k$-ra teljes\"ul a
$\xi''_k\neq0$ esem\'eny. Innen $\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k''\to0$
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.

A m\'asodik redukci\'o igazol\'as\'ahoz el\'eg megmutatni, hogy
$$
\left|\frac 1n\sum_{k=1}^nE\xi_k'\right|
=\left|-\frac1n\summ_{k=1}^n E\xi_k''\right|
\le\frac1n\sum_{k=1}^n E|\xi_1|I(|\xi_1|\ge k)\to0,
$$
ha $n\to\infty$, mert $E|\xi_1|<\infty$, \'es ez\'ert
$E|\xi_1|I(|\xi_1|>k)\to0$, ha $k\to\infty$.

A reduk\'alt \'all\'{\i}t\'ast \'erdemes a Kronecker lemma
seg\'{\i}ts\'eg\'evel visszavezetni a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}
\'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'ara. A t\'etel felt\'eteleinek
teljes\"ul\'ese eset\'en a
$\summ_{n=1}^\infty\frac{\xi_n'-E\xi_n'}n$ \"osszeg egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konvergens. Val\'oban, ebb\H{o}l az
\'all\'{\i}t\'asb\'ol \'es a Kronecker lemm\'ab\'ol
$a_n=\frac{\xi_n'-E\xi_n'}n$ \'es $q_n=n$ v\'alaszt\'assal
k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}\summ_{k=1}^n\frac{\xi_k'-E\xi_k'}n=0$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.

Ezen \'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'ahoz
el\'eg bel\'atni, hogy tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra
$$
P\(\supp_{N\ge n}\left|\sum_{k=n}^N
\frac{\xi_k'-E\xi'_k}k\right|>\e\)\to0\quad\text{ha }n\to\infty.
$$
Innen ugyanis k\"ovetkezik, hogy
$$
P\(\supp_{N,M\colon\,N\ge n,\, M\ge n}\left|\sum_{k=M}^N
\frac{\xi_k'-E\xi'_k}k\right|>2\e\)
\to0\quad\text{ha }n\to\infty.
$$
Mivel ez az egyenl\H{o}tlens\'eg alkalmazhat\'o minden
$\e=\frac1k$, $k=1,2,\dots$, sz\'amra, innen k\"ovetkezik, hogy
a $\summ_{k=1}^n\frac{\xi_k'-E\xi_k'}k$ sorozat egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel Cauchy so\-ro\-zat, \'es
a $\summ_{k=1}^\infty\frac{\xi_k'-E\xi_k'}k$ \"osszeg egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konvergens.

Az igazoland\'o egyenl\H{o}tlens\'eget  a Kolmogorov
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel igazolhatjuk.
Ugyanis a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$
P\(\supp_{N\ge n}\left|\sum_{k=n}^N\frac{\xi_k'-E\xi_k'}k\right|>\e\)
\le\frac1{\e^2}\summ_{k=n}^\infty\frac{ \Var\xi_k'}{k^2}
\le\frac1{\e^2}\summ_{k=n}^\infty\frac{ E{\xi_k'}^2}{k^2}.
$$
Ez\'ert a k\'{\i}v\'ant egyenl\H{o}tlens\'eg igazol\'as\'ahoz
el\'eg megmutatni, hogy
$$
\sum_{k=1}^\infty \frac{E{\xi_k'}^2}{k^2}<\infty.
$$
Ez az egyenl\H{o}tlens\'eg k\"ovetkezik az al\'abbi
sz\'amol\'asb\'ol.
$$
\align
\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}E{\xi'_k}^2&\le
\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}E\xi_1^2I(|\xi_1|>k)\le
\const\sum_{j=1}^\infty
j^2P(j\le|\xi_1|<j+1)\(\sum_{k=j}^\infty\frac1{k^2}\)\\
&\le\const \sum_{j=1}^\infty j P(j\le|\xi_1|<j+1)
\le \const E|\xi_1|<\infty.
\endalign
$$




\bye











