
\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat tizenkettedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2007. m\'ajus 8.}

\beginsection A t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel

L\'attuk, hogy a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel \'ert\'ekes
inform\'aci\'ot ad arr\'ol, hogy hogyan viselkedik (nagysz\'am\'u)
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az eloszl\'asa. Bizonyos k\'erd\'esek
vizsg\'alat\'aban felmer\"ul ennek a probl\'em\'anak olyan
\'altal\'anosabb v\'altozata, ahol nem val\'os, hanem
vektor\'ert\'ek\H{u} f\"uggetlen, egyforma el\-osz\-l\'a\-s\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek a
viselked\'ese \'erdekel minket. L\'assunk n\'eh\'any olyan
probl\'em\'at, ahol ilyen k\'erd\'esek jelennek meg.

\medskip
\item{a.)} Tekints\"unk egy dob\'okock\'at. Feldobjuk sokszor,
fel\'{\i}rjuk a dob\'asok eredm\'eny\'et, \'es ennek alapj\'an
akarjuk eld\"onteni, hogy a dob\'okocka szab\'alyos-e. Term\'eszetes
azt v\'arni, hogy a dob\'okocka akkor szab\'alyos, ha mindegyik
dob\'aseredm\'eny a dob\'assz\'amok egyhatoda plusz egy kis
elt\'er\'es. De mely elt\'er\'eseket tekinthet\"unk kicsinek? Ha
csak azt n\'ezz\"uk, mennyi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
annak, hogy p\'eld\'aul a hatos dob\'asok sz\'am\'anak elt\'er\'ese
a dob\'asok sz\'am\'anak egyhatod\'at\'ol kisebb mint egy adott
sz\'am, akkor a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel pontos
le\'{\i}r\'ast ad erre a probl\'em\'ara. De ha a k\"ul\"onb\"oz\H{o}
do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek egy\"uttes viselked\'es\'ere vagyunk
kiv\'ancsiak, akkor \'uj eredm\'enyre van sz\"uks\'eg\"unk.
\item{b.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Ekkor a
$\summ_{j=1}^n\xi_j$ \"osszeg normaliz\'altj\'anak az
eloszl\'as\'ara j\'o le\'{\i}r\'ast ad a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel. Hasonl\'o \'all\'{\i}t\'ast mondhatunk a
$\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ \"osszeg nor\-ma\-liz\'alt\-j\'a\-nak az
eloszl\'as\'ara. De tudunk-e hasonl\'o eredm\'enyt adni a
$\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ \"osszegek normaliz\'altj\'anak az
egy\"uttes eloszl\'as\'ara?

\medskip
L\'etezik a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek olyan
t\"obb-dimenzi\'os v\'altozata, amelyet az irodalomban
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek neveznek.
A fenti k\'erd\'esek vizsg\'alat\'aban ez az eredm\'eny bizonyult
hasznosnak. Ezt hasonl\'oan lehet bizony\'{\i}tani
a m\'ar t\'argyalt egyv\'altoz\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelhez. Jelen el\H{o}ad\'as f\H{o} c\'elja
nem a bizony\'{\i}t\'as, hanem az eredm\'eny meg\'ert\'ese.
Els\H{o}sorban azt kell meg\'erten\"unk, hogy mi a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel megfogalmaz\'as\'aban megjelen\H{o}
norm\'alis eloszl\'as t\"obbv\'altoz\'os meg\-fe\-le\-l\H{o}\-je. 
Ennek keret\'eben tiszt\'aznunk kell azt is, hogy mi a val\'os
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben
bevezetett v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
meg\-fe\-le\-l\H{o}\-je vektor \'ert\'ek\H{u} 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben. Ugyancsak fontos
meg\'erteni vektor\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban val\'o konvergenci\'aj\'anak a
definici\'oj\'at, illetve annak legfontosabb tulajdons\'agait.

\medskip
Legyenek $\xi^{(j)}=\(\xi^{(j)}_1,\dots,\xi^{(j)}_k\)$,
$j=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, (v\'eletlen vektorok),
ahol r\"ogz\'{\i}tett $j$ indexre semmilyen (f\"uggetlens\'eg
jelleg\H{u}) felt\'etelt nem tesz\"unk fel az $\xi^{(j)}_1$,\dots,
$\xi^{(j)}_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"ott.
(T\"obb-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'eg\'enek a fogalm\'at ismertettem a 9. el\H{o}ad\'as
elej\'en, \'es az megtal\'alhat\'o az el\H{o}ad\'as
ismertet\'es\'enek els\H{o} \'es m\'asodik oldal\'an.) Tegy\"uk fel
tov\'abb\'a, hogy $E{\xi_s^{(j)}}^2<\infty$ minden $1\le s\le k$
indexre. Tekints\"uk az $S_n=(S_{n,1},\dots,S_{n,k})
=\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}=
\(\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_1,\dots,\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_k\)$,
$n=1,2,\dots$, v\'eletlen \"osszegeket. C\'elunk annak
bizony\'{\i}t\'asa, hogy az $S_n$ v\'eletlen vektorok alkalmas
normaliz\'altj\'anak l\'etezik hat\'areloszl\'asa, \'es a
hat\'areloszl\'ast pontosan le akarjuk \'{\i}rni. L\'atni fogjuk,
hogy ez lehets\'eges. A hat\'areloszl\'ast\'etelben megjelen\H{o}
hat\'areloszl\'asokat fogjuk t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'asnak nevezni.

L\'assuk, hogyan lehet t\'argyalni az el\H{o}bb eml\'{\i}tett 
k\'et probl\'em\'at egy ilyen jelleg\H{u} eredm\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Az a) feladat vizsg\'alat\'anak \'erdek\'eben
vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: Ha a dob\'okock\'at $n$ alkalommal dobjuk fel, akkor
legyen $\xi_j$, $1\le j\le n$, a k\"ovetkez\H{o} 6-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o: A $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $l$-ik koordin\'at\'aja 1, ha
a $j$-ik dob\'as \'ert\'eke $l$, $1\le l\le 6$, \'es $\xi_j$
\"osszes t\"obbi koordin\'at\'aja nulla. Ekkor a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, (az egyes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok koordin\'at\'ai nem
felt\'etlen\"ul f\"uggetlenek), \'es az $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$
\"osszeg $l$-ik koordin\'at\'aja egyenl\H{o} az $l$ \'ert\'ek\H{u}
dob\'asok sz\'am\'aval minden $1\le l\le 6$ index eset\'en. Ez\'ert
egy az $S_n$ v\'eletlen \"osszeg aszimptotikus viselked\'es\'et nagy
$n$ sz\'amokra le\'{\i}r\'o hat\'areloszl\'ast\'etel hasznos lehet
a sz\'amunkra. Hasonl\'o a helyzet a b) p\'eld\'aban, ha olyan
$\eta_j=(\xi_j,\xi_j^2)$, $1\le j\le n$, k\'et-dimenzi\'os
f\"uggetlen vektorok, $S_n=\summ_{j=1}^n\eta_j$ \"osszeg\'et
vizsg\'aljuk, amelyekre $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok.

Ismertetni fogom a centr\'alis hat\'aroszl\'ast\'etel
term\'eszetes megfelel\H{o}j\'et abban az esetben, ha
f\"uggetlen \'es egyforma eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektorok alkalmasan norm\'alt \"osszeg\'enek a viselked\'es\'et
vizs\-g\'al\-juk. Annak \'erdek\'eben, hogy ezt megtehessem, be
kell vezetnem a hat\'areloszl\'asban megjelen\H{o} norm\'alis
eloszl\'as t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}j\'et, amit
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis el\-osz\-l\'as\-nak fogunk nevezni.
De ehhez el\H{o}bb be kell vezetnem az egy-di\-men\-zi\-\'os
esetben defini\'alt v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}j\'et. Ezenk\'{\i}v\"ul meg kell
\'erteni, hogy a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
tulajdons\'agai hogyan \"or\"okl\H{o}dnek, ha azokanak a
t\"obb-dimenzi\'os esetben megjelen\H{o} megfelel\H{o}it
vizs\-g\'al\-juk. Az egy-di\-men\-zi\-\'os esetben defini\'alt
v\'arhat\'o \'ert\'eknek megfelel\H{o} t\"obb-dimenzi\'os
v\'arhat\'o \'ert\'ek (vektor) fogalm\'anak \'es
tulajdons\'againak a meg\'ert\'ese viszonylag egyszer\H{u}, de a
sz\'or\'asn\'egyzetnek megfelel\H{o} kovariancia m\'atrix
tulajdons\'againak j\'o meg\'ert\'ese sz\"uk\-s\'e\-ges\-s\'e teszi
n\'eh\'any a line\'aris algebr\'aban tanult fogalom \'es eredm\'eny
feleleven\'{\i}t\'es\'et. Megjegyzem hogy most \'es a
to\-v\'ab\-bi\-ak\-ban is a t\"obb-dimenzi\'os vektorokat mint
sorvektorokat tekintem. Val\'oj\'aban mind a sor mind az
oszlopvektor jel\"ol\'es lehets\'eges. Egyik jel\H{o}l\'es sem jobb
a m\'asikn\'al, \'es az irodalomban nem egys\'eges a jel\"ol\'es. A
fontos az, hogy k\"ovetkezetes jel\"ol\'est alkalmazzunk.

\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek \'es kovariancia m\'at\-ri\-x\'a\-nak
a definici\'oja.} {\it Legyen $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ $k$-dimenzi\'os
v\'eletlen vektor, amelynek minden koordin\'at\'aja teljes\'{\i}ti
az $EZ_j^2<\infty$, $1\le j\le k$, felt\'etelt. E v\'eletlen vektor
v\'arhat\'o \'ert\'eke az $EZ=(EZ_1,\dots,EZ_k)$ $k$-dimenzi\'os
vektor, kovariancia m\'atrixa pedig az a $D=(d_{j,l})$, $1\le j,l\le
k$, $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, mely m\'atrix $j$-ik
sor\'aban \'es $l$-ik oszlop\'aban l\'ev\H{o} elem a
$d_{j,l}=\Cov(Z_j,Z_l)=EZ_jZ_l-EZ_j EZ_l$ sz\'am.}

\medskip
Megfogalmazom a vektor\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek \'es kovariancia
m\'atrix\'anak n\'eh\'any fontos tulajdons\'ag\'at. Ezek
egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enyei a val\'os sz\'am \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok m\'ar t\'argyalt
tulajdons\'againak, ez\'ert a bizony\'{\i}t\'ast elhagyom.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel vektor \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek \'es kovariancia
m\'atrix\'anak n\'eh\'any tulajdons\'ag\'ar\'ol.}
{\it Legyenek $Z^{(j)}=\(Z^{(j)}_1,\dots,Z^{(j)}_k\)$,
$1\le j\le n$, v\'eletlen $k$-dimenzi\'os vektorok ugyanazon az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor a
$Z^{(1)}+\cdots+Z^{(n)}$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke megegyezik
a $Z^{(j)}$ vektorok v\'arhat\'o \'ert\'ekeinek az \"osszeg\'evel,
azaz
$$
E\(Z^{(1)}+\cdots+Z^{(n)}\)=EZ^{(1)}+\cdots+EZ^{(n)}.
$$
Ha a $Z^{(j)}$, $1\le j\le n$, v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek,
akkor a kovariancia m\'atrix is addit\'{\i}v, azaz, ha a $Z^{(j)}$
m\'atrix kovariancia m\'atrixa a $D_j$ m\'atrix, $1\le j\le n$,
akkor a $Z^{(1)}+\cdots+Z^{(n)}$ v\'eletlen \"osszeg kovariancia
m\'atrixa a $D_1+\cdots+D_n$ m\'atrix. Ha egy $Z=\(Z_1,\dots,Z_k\)$,
v\'eletlen vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke $M=(M_1,\dots,M_k)$,
kovariancia m\'atrixa a $D$ $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, $a$
tetsz\H{o}leges val\'os sz\'am, akkor az $aZ=\(aZ_1,\dots,aZ_k\)$,
v\'eletlen vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke  $aM$, kovariancia
m\'atrixa pedig az $a^2D$ kovariancia m\'atrix.
Legyen tov\'abb\'a $x=(x_1,\dots,x_k)$ tetsz\H{o}leges
$k$-dimenzi\'os vektor. Ekkor $E(Z+x)=EZ+x$, a $Z+x$ vektor
kovariancia m\'atrixa pedig megegyezik a $Z$ vektor kovariancia
m\'atrix\'aval.}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny c\'elja annak jellemz\'ese, hogy
milyen m\'atrixok jelenhetnek meg, mint alkalmas v\'eletlen vektor
kovariancia m\'atrixa. Ennek az eredm\'enynek az ismertet\'es\'eben
\'es bizony\'{\i}t\'as\'aban fel kell haszn\'alnunk a line\'aris
algebra n\'eh\'any alapvet\H{o} fogalm\'at \'es eredm\'eny\'et.
Igyekszem az \'all\'{\i}t\'asokat \'ugy le\'{\i}rni, hogy
\"onmagukban \'erthet\H{o}ek legyenek, Egy
kieg\'esz\'{\i}t\'esben le\'{\i}rom a felhaszn\'alt eredm\'enyek
is\-mer\-te\-t\'e\-s\'et \'es bizony\'{\i}t\'as\'at.

El\H{o}sz\"or id\'ezz\"uk fel a k\"ovetkez\H{o} line\'aris algebrai
fogalmat.

\medskip\noindent
{\bf Szimmetrikus \'es pozit\'{\i}v (szemi)definit m\'atrixok
definici\'oja.} {\it Legyen $D=(d_{j,l})$ egy $k\times k$
m\'eret\H{u} m\'atrix. Azt mondjuk, hogy a $D$ m\'atrix
szimmetrikus, ha minden $1\le j,l\le k$ indexre $d_{j,l}=d_{l,j}$.
Pontosabban azt k\"ovetelj\"uk meg, (ha nemcsak val\'os, hanem
\'altal\'anos komplex \'ert\'ek\H{u} elemekkel rendelkez\H{o}
m\'atrixokat is tekint\"unk, ami ebben az el\H{o}ad\'asban nem fog
el\H{o}fordulni), hogy $d_{j,l}=\bar d_{l,j}$, ahol $\bar z$ a $z$
komplex sz\'am konjug\'altja, azaz, ha $z=a+ib$, akkor
$\bar z=a-ib$. Egy $k\times k$ m\'eret\H{u} szimmetrikus
$D=(d_{j,l})$ m\'atrix posit\'{\i}v (szemi)definit, ha minden
$x=(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os vektorra
$xDx^*=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k x_j d_{j,l} x_l\ge0$. (Ebben a
formul\'aban $x^*$ jel\"oli az $x$ vektor transzpon\'altj\'at, azaz
azt az oszlopvektort, amelynek f\"ol\"ulr\H{o}l sz\'am\'{\i}va
$l$-ik eleme megegyezik az $x$ vektor balr\'ol sz\'am\'{\i}tott
$l$-ik elem\'evel. Ekkor $xDx^*$ a szok\'asos vektorszorz\'ast
jel\"oli.

A $D=(d_{i,j})$ szimmetrikus m\'atrixot (szigor\'uan) pozit\'{\i}v
definitnek nevez\"unk, ha pozit\'{\i}v szemidefinit, \'es
r\'aad\'asul az $xDx^*=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k x_j d_{j,l}x_l=0$
rel\'aci\'o csak abban a trivi\'alis esetben teljes\"ul, ha
$x_1=x_2=\cdots=x_k=0$.}

\medskip
Az eredm\'enyek \'es fogalmak jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben
\'erdemes megadni a fent le\'{\i}rt koordin\'atarendszerben
le\'{\i}rt definici\'ok koordin\'atarendszert\H{o}l f\"uggetlen
,,absztrakt" definici\'oj\'at is \'es meg\'erteni a k\'et
definici\'o kapcsolat\'at. Ennek le\'{\i}r\'as\'at (a
bizony\'{\i}t\'asok t\"obbs\'eg\'enek elhagy\'as\'aval) tartalmazza
a line\'aris algebrai \"osszefoglal\'o. A k\"ovetkez\H{o}
eredm\'enyben megfogalmazom azt a fontos eredm\'enyt, amely megadja
a kovariancia m\'atrixok jellemz\'es\'et. A bizony\'{\i}t\'as
felhaszn\'al bizonyos nem trivi\'alis line\'aris algebrai
eredm\'enyeket is.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a kovariancia m\'atrixok  jellemz\'es\'er\H{o}l.}
{\it Legyen $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ egy $k$-dimenzi\'os v\'eletlen
vektor. Ekkor a $Z$ vektor kovariancia m\'atrixa szimmetrikus \'es
pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix. Megford\'{\i}tva,
tetsz\H{o}leges $D$ szimmetrikus, pozit\'{\i}v szemidefinit
m\'at\-rix\-hoz l\'etezik olyan $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ v\'eletlen
vektor, amelynek ez a $D$ m\'atrix a kovariancia m\'atrixa. S\H{o}t
igaz a k\"ovetkez\H{o} tartalmasabb \'all\'{\i}t\'as is: Legyen
$Y=(Y_1,\dots,Y_k)$ olyan v\'eletlen vektor, amelynek a kovariancia
m\'atrixa az identit\'as m\'atrix, azaz $\Var Y_j=1$, $1\le j\le k$,
$\Cov(Y_j,Y_l)=0$, ha $1\le j,l\le k$, \'es $j\neq l$. (Ez a helyzet
p\'eld\'aul akkor, ha az $Y_j$, $1\le j\le k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es
$\Var Y_j=1$.) Ekkor l\'etezik olyan $A=(a_{j,l})$ $k\times k$
m\'eret\H{u} m\'atrix, amelyre igaz, hogy a
$Z=(Z_1,\dots,Z_k)=(Y_1,\dots,Y_k)A=\(\summ_{p=1}^k a_{1,p}Y_p,
\dots,\summ_{p=1}^k a_{k,p}Y_p\)$ v\'eletlen vektor kovariancia
m\'atrixa a $D$ m\'atrix.

Igaz tov\'abb\'a a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as is. Egy
$Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa akkor
\'es csak akkor (szigor\'uan) pozit\'{\i}v definit, ha e vektor
koordin\'at\'ai k\"oz\"ott nincs line\'aris \"osszef\"ugg\'es, azaz
ha $x_1,\dots,x_k$ val\'os sz\'amokra $\summ_{j=1}^k
x_jZ_j=K$ valamilyen $K$ (determinisztikus) val\'os sz\'amra egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, akkor $x_1=\cdots=x_k=0$.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ez az \'all\'{\i}t\'as annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol sz\'ol\'o egyszer\H{u}
ered\-m\'eny\-nek t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}je, amely szerint
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzete
nem negat\'{\i}v sz\'am. Tov\'abb\'a azt is tudjuk, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzete
szigor\'uan pozit\'{\i}v, ha ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o nem egyenl\H{o} egy konstanssal egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel. Ennek a t\'enynek a
megfelel\H{o}je a t\'etel v\'eg\'en kimondott \'all\'{\i}t\'as,
amely szerint  egy v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa
pozit\'{\i}v definit, ha nincs a v\'eletlen vektor
koordin\'at\'ainak olyan line\'aris kombin\'aci\'oja, amelyik egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megegyezik egy sz\'ammal. Ugyan\-is a
nem negat\'{\i}v sz\'amoknak a pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrixok
a pozit\'{\i}v sz\'amoknak pedig a pozit\'{\i}v definit m\'atrixok
felelnek meg magasabb dimenzi\'oban. Mag\'anak a t\'etelnek a
bizony\'{\i}t\'asa egy al\'abb megfogalmazand\'o nem trivi\'alis
line\'aris algebrai eredm\'enyen alapul, amelyik azt mondja ki,
hogy egy pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o, mint
egy alkalmas m\'atrix n\'enyzete. Ez az \'all\'{\i}t\'as annnak a
t\'enynek a t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}je, amely szerint
pozit\'{\i}v sz\'amokb\'ol lehet n\'egyzetgy\"ok\"ot vonni.
Jegyezz\"uk meg, hogy a pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrixokb\'ol
vont n\'egyzetgy\"ok nem egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott, mint ahogy a val\'os sz\'amok k\"oz\"ott
is csak akkor egy\'ertelm\H{u} a gy\"okvon\'as, ha csak a
pozit\'{\i}v gy\"ok\"ot tekintj\"uk.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a line\'aris algebr\'ab\'ol.} {\it Legyen $D$
pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix. Ekkor l\'etezik olyan $A$
m\'atrix, amelyre \'erv\'enyes a $D=A^*A$ azonoss\'ag, ahol $A^*$
az $A$ m\'atrix transz\-po\-n\'alt\-j\'at jel\"oli. S\H{o}t, olyan
$A$ m\'atrixot is v\'alaszthatunk, amelyre az $A$ m\'atrix
\"onadjung\'alt \'es szemidefinit, \'es $D=A^2$. Eme
megszor\'{\i}t\'as eset\'en az $D=A^*A=AA$ egyenlet megold\'asa
egy\'ertelm\H{u}. (Egy $A=(a_{j,l})$ $k\times k$ m\'eret\H{u}
m\'atrix transzpon\'altja az $A^*=(a_{l,j})$, illetve az
\'altal\'anos komplex sz\'amokat is tartalmaz\'o m\'atrixok
eset\'eben az $A^*=(\bar a_{l,j})$ $k\times k$ m\'eret\H{u}
m\'atrix, ahol $\bar z$ a $z$ komplex  sz\'am konjug\'altja.)}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa a line\'aris algebr\'ar\'ol
kimondott t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} Tekints\"unk el\H{o}sz\"or
egy $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ egy $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektort \'es
annak $D=\(d_{j,l}\)$, $d_{j,l}=\Cov (Z_j,Z_l)$, $1\le j,l\le k$,
kovariancia m\'atrix\'at. Ekkor $D$ szimmetrikus m\'atrix, mert
$d_{j,l}=d_{l,j}$, azaz $\Cov(Z_j,Z_l)=\Cov(Z_l,Z_j)$. M\'asr\'eszt
tetsz\H{o}leges $x=(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os vektorra
$$ \allowdisplaybreaks
\align
\Var\(\summ_{j=1}^k x_jZ_j\)&=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k
E\(x_jx_l(Z_jZ_l-EZ_jEZ_l)\)=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k
x_jx_l\Cov(Z_j,Z_l)\\
&=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k x_jx_ld_{j,l}=xDx^*,
\endalign
$$
\'es $\Var\(\summ_{j=1}^k x_jZ_j\)\ge0$.
Innen k\"ovetkezik, hogy $xDx^*\ge0$ tetsz\H{o}leges
$x=(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os vektorra, azaz $D$
szimmetrikus, pozit\'{\i}v szemi\-defi\-nit m\'atrix.

Megford\'{\i}tva, legyen $D$ pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix,
\'es $Y=(Y_1,\dots,Y_k)$ olyan v\'eletlen vektor, amelynek a
kovariancia m\'atrixa az identit\'as m\'atrix, azaz $\Var Y_j=1$,
$1\le j\le k$, $\Cov(Y_j,Y_l)=0$, ha $1\le j,l\le k$, \'es
$j\neq l$. A kimondott line\'aris algebrai eredm\'eny szerint
l\'etezik olyan $A=\(a_{j,l}\)$, $1\le j,l\le k$ $k\times k$
m\'eret\H{u} m\'atrix, amelyre $D=A^*A$. Azt \'all\'{\i}tom,
hogy a $Z=(Z_1,\dots,Z_k)=YA$, azaz a $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$,
$Z_j=\summ_{p=1}^k a_{p,j}Y_p$, $1\le j\le k$, v\'eletlen vektor
kovariancia m\'atrixa a $D$ m\'atrix. Innen k\"ovetkezik a fel\-adat
m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa is. Viszont $\Cov (Z_j,Z_l)
=\Cov\(\summ_{p=1}^k a_{p,j}Y_p, \summ_{q=1}^k a_{q,l} Y_q\)$,
ez\'ert $\Cov (Z_j,Z_l)=\summ_{p=1}^k\summ_{q=1}^k
a_{p,j}a_{q,l}\Cov(Y_p,Y_q)$, ahonnan, mivel $\Cov(Y_p,Y_q)=0$, ha
$p\neq q$, \'es $\Cov(Y_p,Y_p)=1$, $\Cov(Z_j,Z_l)
=\summ_{p=1}^ka_{p,j}a_{p,l}=d_{j,l}$, ahol $d_{j,l}$ a $D=A^*A$
m\'atrix $j$-ik sor\'aban \'es $l$-ik oszlop\'aban szerepl\H{o}
konstans.

V\'eg\"ul a $D$  kovariancia m\'atrix akkor \'es csak akkor
(szigor\'uan) pozit\'{\i}v definit, ha $xDx^*>0$, azaz
$\Var\(\summ_{j=1}^kx_j\xi_j\)>0$, azaz
$\summ_{j=1}^kx_j\xi_j\neq K$ valamilyen konstanssal minden nem
azonosan nulla $(x_1,\dots,x_k)\neq0$ vektorra.

\medskip
Ezut\'an be tudjuk vezetni a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyek fogalm\'at, \'es meg tudjuk fogalmazni a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.

\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok definici\'oja.}
{\it Defini\'aljuk el\H{o}sz\"or a t\"obb-di\-men\-zi\'os standard
norm\'alis eloszl\'ast. Azt mondjuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asa a $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as, ha a $\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek, \'es mindegyik $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $1\le j\le k$, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u. Ekvivalens megfogalmaz\'asban azt
mondhatjuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asa a $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as, ha
e v\'eletlen vektornak l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,
\'es az az $f(u_1,\dots,u_k)=\frac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\frac12\summ_{j=1}^k u_j^2\right\}$ f\"uggv\'eny.

Egy $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$ dimenzi\'os v\'eletlen vektor $k$
dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel, ha e v\'eletlen vektor eloszl\'asa megegyezik valamely
$(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A$
$k$-dimenzi\'os vektor eloszl\'as\'aval, ahol $A$ egy $k\times k$
m\'eret\H{u} m\'atrix, tov\'abb\'a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy
$k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor.

Egy $(\zeta_1,\dots,\zeta_k)$ v\'eletlen vektor  $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor, ha eloszl\'asa megegyezik egy
$(\eta_1,\dots,\eta_k)+(m_1,\dots,m_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'aval, ahol $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ egy $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, amelynek a v\'arhat\'o
\'ert\'eke nulla, \'es $(m_1,\dots,m_k)$ $k$-dimenzi\'os
determinisztikus vektor.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as
definici\'oj\'ab\'ol, illetve a 10.~el\H{o}ad\'as elej\'en
t\'argyalt feladat azon k\"ovetkezm\'eny\'eb\H{o}l, hogy f\"uggetlen
norm\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok line\'aris kombin\'aci\'oi is norm\'alis eloszl\'as\'uak
k\"ovetkezik, hogy egy t\"obb-v\'al\-to\-z\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o minden
koordin\'at\'aja norm\'alis eloszl\'as\'u. Az \'all\'{\i}t\'as
megford\'{\i}t\'asa nem igaz. K\'es\H{o}bb l\'atni fogunk p\'eld\'at
olyan k\'et\-v\'al\-to\-z\'os va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ora, amelynek mind a k\'et koordin\'at\'aja norm\'alis
eloszl\'as\'u, \H{o} maga m\'eg\-sem k\'et\-v\'al\-to\-z\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor.

\medskip
Megfogalmazok m\'eg egy k\'es\H{o}bb bizony\'{\i}tand\'o eredm\'enyt,
amely sz\"uk\-s\'e\-ges a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
eloszl\'ast\'etel kimond\'as\'ahoz.


\medskip\noindent
{\bf T\'etel a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Tekints\"unk egy $k$-dimenzi\'os
$(\eta_1,\dots,\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot,
ahol $A$ egy $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, $m=(m_1,\dots,m_k)$
$k$-dimenzi\'os (v\'eletlent\H{o}l nem f\"ugg\H{o}) vektor
\'es $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Akkor $(\eta_1,\dots,\eta_k)$
$m=(m_1,\dots,m_k)$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $D=A^*A$
kovariancia m\'atrix\'u v\'eletlen vektor. Egy norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa pozit\'{\i}v
(szemi)definit, \'es megford\'{\i}tva, minden $k\times k$
m\'eret\H{u} pozit\'{\i}v (szemi)definit m\'at\-rix\-hoz \'es $k$
dimenzi\'os vektorhoz l\'etezik olyan $k$-v\'altoz\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'e\-let\-len vek\-tor, amely\-nek ez a kovariancia
m\'atrixa \'es v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora.  Tov\'abb\'a egy
$k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'at meghat\'arozza annak $m$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek vektora \'es $D$ kovariancia m\'atrixa.}
\medskip

Jegyezz\"uk meg, hogy r\"ogz\'{\i}tett $D$ (szimmetrikus \'es
pozit\'{\i}v szemidefinit) m\'atrixra az $A^*A=D$ egyenletnek nem
egy\-\'er\-tel\-m\H{u} a megold\'asa. Tekints\"unk k\'et
k\"ul\"onb\"oz\H{o} $A$ \'es $B$ m\'atrixot, amelyre $A^*A=B^*B$.
A fenti t\'etel szerint, ha tekint\"unk egy $k$-dimenzi\'os standard
norm\'alis eloszl\'as\'u $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ vektort, illetve a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt $(\xi_1,\dots,\xi_k)A$
\'es $(\xi_1,\dots,\xi_k)B$ v\'eletlen vektorokat, akkor b\'ar ez
az ut\'obbi k\'et v\'eletlen vektor k\"ul\"onb\"oz\H{o},
eloszl\'asuk megegyezik. Ugyanis mind a k\'et (norm\'alis
eloszl\'as\'u) vektor nulla v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
$A^*A=B^*B$ kovariancia m\'atrix\'u. Ez a tulajdons\'ag er\H{o}sen
kihaszn\'alja azt, hogy norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol van sz\'o. Annak,
hogy egy t\"obb-dimenz\'os norm\'alis eloszl\'ast egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'aroz annak v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora \'es kovariancia
m\'atrixa fontos k\"ovetkezm\'enyei vannak. Ehhez a k\'erd\'eshez
k\'es\H{o}bb visszat\'erek.

Tanuls\'agos lehet a k\"ovetkez\H{o} p\'elda, amely seg\'{\i}thet
az el\H{o}z\H{o} t\'etel jobb meg\'ert\'es\'eben. Legyen
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor \'es $U$ egy unit\'er
transzform\'aci\'o a $k$-dimenzi\'os t\'erben, azaz legyen
$UU^*=U^*U=I$, ahol $I$ az identit\'as m\'atrix a $k$-dimenzi\'os
t\'erben. Az el\H{o}z\H{o} t\'etel szerint a $\xi=\xi I$ \'es
$\eta=\xi U$ v\'eletlen vektorok eloszl\'asa megegyezik, mert mind
a k\'et vektor norm\'alis eloszl\'as\'u, (minden koordin\'at\'aban)
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $UU^*=I$ kovariancia
m\'atrix-szal. Ez annak ellen\'ere \'{\i}gy van, hogy az $U$
unit\'er m\'atrix l\'enyegesen k\"ul\"onb\"ozhet
az $I$ identit\'as m\'atrixt\'ol.

Viszont a fenti p\'elda \'all\'{\i}t\'as\'anak ok\'at meg tudjuk
\'erteni, ha felid\'ezz\"uk az unit\'er transzform\'aci\'o 
szeml\'eletes jelent\'es\'et. Egy unit\'er transzform\'aci\'o 
t\'avols\'agtart\'o line\'aris lek\'epez\'es, ez\'ert a t\'er egy 
forgat\'asa (\'es ut\'ana esetleg a t\"ukr\"oz\'ese egy $k-1$ 
dimenzi\'os al\-t\'er\-re). M\'asr\'eszt l\'attuk, hogy egy 
standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye egy $x$ pontban csak e
pontnak az orig\'ot\'ol m\'ert $|x|$ t\'avols\'ag\'at\'ol f\"ugg.
Ez\'ert egy ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa
nem v\'altozik, ha elforgatjuk, (\'es akkor sem, ha ut\'ana esetleg
t\"ukr\"ozz\"uk egy $k-1$-dimenzi\'os alt\'erre). A fenti p\'elda
ezt a t\'enyt fejezi ki.

%A t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as tulajdons\'agair\'ol
%sz\'ol\'o valamint a kovariancia m\'atrixok jellemz\'es\'er\H{o}l
%sz\'ol\'o t\'etelekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy b\'armely
%$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
%v\'altoz\'o eset\'en l\'etezik olyan $k$-dimenzi\'os norm\'alis
%eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o,
%amelynek kovariancia m\'atrixa \'es v\'arhat\'o \'ert\'eke
%megegyezik ennek a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
%va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'onak a kovariancia
%m\'atrix\'aval \'es v\'arhat\'o \'ert\'ek\'evel. Tov\'abb\'a
%ennek a $k$-dimenzi\'os norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u
%va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'onak az
%eloszl\'as\'at meg\-ha\-t\'a\-rozza a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
%val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o kovariancia m\'atrixa \'es
%v\'arhat\'o \'ert\'eke. Erre az \'esz\-re\-v\'e\-tel\-re
%sz\"uk\-s\'e\-g\"unk van ahhoz, hogy l\'assuk: Az al\'abb
%megfogalmazott t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
%hat\'areloszl\'as \'ertelmes \'all\'{\i}t\'as.

Megfogalmazom ezen el\H{o}ad\'as f\H{o} eredm\'eny\'et.


\medskip\noindent
{\bf A t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.}
{\it Legyenek $\xi^{(j)}=\(\xi^{(j)}_1,\dots,\xi^{(j)}_k\)$,
$j=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre teljes\"ul az
$E{\xi^{(1)}_l}^2<\infty$, $1\le l\le k$ felt\'etel. Legyen a
$\xi^{(1)}=\(\xi^{(1)}_1,\dots,\xi^{(1)}_k\)$ vektor v\'arhat\'o
\'ert\'eke $E\xi^{(1)}=\(E\xi^{(1)}_1,\dots,E\xi^{(1)}_k\)$,
kovariancia m\'atrixa pedig egy $D$ $k\times k$ m\'eret\H{u}
m\'atrix. Defini\'aljuk az $S^{(n)}=\(S^{(n)}_1,\dots,S^{(n)}_k\)=
\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}=\(\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_1,\dots,
\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_k\)$ \"osszegeket, $n=1,2,\dots$. Ekkor
minden $(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os vektorra \'erv\'enyes a
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\frac1{\sqrt n}\(S^{(n)}_1-ES^{(n)}_1\)<x_1,
\dots,\frac1{\sqrt n}\(S^{(n)}_k-ES^{(n)}_k\) < x_k\)
=\Phi_D(x_1,\dots,x_k)
$$
azonoss\'ag, ahol $\Phi_{D}(x_1,\dots,x_k)$  a $k$-dimenzi\'os nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} $D$ kovariancia m\'at\-rix\'u norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny \'ert\'eke az $(x_1,\dots,x_k)$ pontban.}

\medskip\noindent
{\it 1.~megjegyz\'es.}\/ Ahhoz, hogy l\'assuk, hogy a fenti
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
\'ertelmes, tudnunk kell a k\"ovetkez\H{o} k\'et \'all\'{\i}t\'ast:

\medskip
\item{i)} Tetsz\H{o}leges (v\'eges) kovariancia m\'atrix-szal
rendelkez\H{o} v\'eletlen vektorhoz l\'etezik egy vele megegyez\H{o}
kovariancia m\'atrix\'u (\'es nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor.
\item{ii)} A t\'etelben szerepl\H{o} hat\'areloszl\'ast
egy\'etelm\H{u}en megadtuk, azaz egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek 
vektorral rendelkez\H{o} norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor 
eloszl\'as\'at egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en meghat\'arozza annak 
kovariancia m\'atrixa.

\item{} A fenti k\'et tulajdons\'ag k\"ovetkezik a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as
tu\-laj\-don\-s\'a\-gai\-r\'ol sz\'ol\'o t\'etelb\H{o}l. E t\'etel
legt\"obb \'all\'{\i}t\'as\'at m\'ar igazoltuk. De m\'eg meg kell
indokolni, hogy egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'ast mi\'ert
hat\'aroz meg annak v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora \'es kovariancia
m\'atrixa.

\medskip\noindent
 {\it 2.~megjegyz\'es.}\/ Az egy \'es t\"obbv\'altoz\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
meg\-fo\-gal\-ma\-z\'a\-s\'a\-ban m\'asfajta normaliz\'al\'ast
haszn\'altunk. Az egyv\'altoz\'os esetben az \"osszeg
sz\'or\'as\'aval, azaz $\sqrt n\sigma$ osztottunk, ahol
$\sigma^2=\Var\xi$, m\'{\i}g a t\"obbv\'al\-to\-z\'os
esetben $\sqrt n$-nel. Az egyv\'altoz\'os esetben is oszthattunk 
volna $\sqrt n$-nel, \'es akkor a hat\'areloszl\'as
egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma^2$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa lett volna. A
t\"obb\-v\'al\-to\-z\'os esetben az egyv\'altoz\'os esethez
hasonl\'o normaliz\'al\'as az $n^{-1/2}\Sigma^{-1}$ m\'atrix-szal
va\-l\'o szor\-z\'as lenne, ahol $\Sigma^2$ a tekintett v\'eletlen
vektorok kovariancia m\'atrixa, $\Sigma$ ennek po\-zi\-t\'{\i}v
n\'egy\-zet\-gy\"o\-ke, azaz az az egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en
meghat\'arozott pozit\'{\i}v definit $\Sigma$ m\'atrix, amelynek
n\'egyzete a $\Sigma^2$ kovariancia m\'atrix, $\Sigma^{-1}$ pedig
ennek a m\'atrixnak az inverze. Ilyen normaliz\'al\'ast akkor 
v\'alaszthatunk, ha a $\Sigma^2$ m\'atrix invert\'alhat\'o. Ez akkor
teljes\"ul, ha $\Sigma^2$ szigor\'uan pozit\'{\i}v definit. Ekkor 
a limesz egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. 
De bizonyos fontos esetekben ez a felt\'etel nem teljes\"ul. 
P\'eld\'aul, ha az el\H{o}ad\'as elej\'en tekintett (szab\'alyos) 
kocka v\'eletlen dob\'asait tekintj\"uk, akkor, mint a 
k\"ovetkez\H{o} feladat mutatja, nem in\-ver\-t\'al\-hat\'o 
kovariancia m\'atrix jelenik meg a hat\'areloszl\'asban. Ez azzal 
f\"ugg \"ossze, hogy a k\"ul\"onb\"oz\H{o} eredm\'eny\H{u} 
dob\'asok sz\'am\'anak az \"osszege (nem v\'eletlen) konstans, mert 
egyenl\H{o} az \"osszes dob\'as sz\'am\'aval.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $\xi^{(j)}=(\xi^{(j)}_1,\dots,\xi^{(j)}_6)$
f\"uggetlen, $1\le j\le n$, egyforma eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektorok $P(\xi_k^{(j)}=1)=\frac16$, minden $1\le k\le 6$,
$1\le j\le n$ indexre, \'es $\xi^{(j)}_{k'}=0$, ha $k'\neq k$,
\'es $\xi^{(j)}_k=1$, minden $1\le k,k'\le 6$ indexre. Legyen
$S=\frac1{\sqrt n}\summ_{j=1}^n\xi_j$ e v\'eletlen vektorok
normaliz\'alt \"osszege. Ekkor a $\xi^{(j)}$ \'es $S$ vektorok
kovariancia m\'atrixa az a $D=(d_{i,k})$, $1\le i,k\le 6$,
m\'atrix, amelyre $d_{i,k}=-\frac1{36}$, ha $i\neq k$,
$d_{k,k}=\frac5{36}$. A $D$ m\'atrix nem invert\'alhat\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi^{(j)}$ vektor $D$ m\'atrix\'anak
elemei $d_{i,k}=E\xi_i^{(j)}\xi^{(j)}_k-E\xi_i^{(j)}E\xi^{(j)}_k
=-E\xi_i^{(j)}E\xi^{(j)}_k=-\frac1{36}$,ha $i\neq k$, \'es
$d_{k,k}=E\(\xi^{(j)}_k\)^2-(E\xi^{(j)}_k)^2=\frac16-\(\frac16\)^2
=\frac5{36}$. Az $S$ v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa ugyanez
a $D$ m\'atrix. A $D$ m\'atrix nem invert\'alhat\'o, mert a
sor\"osszegei null\'aval egyenl\H{o}ek.

\medskip
Megjegyzem tov\'abb\'a, hogy az egyv\'altoz\'os esethez hasonl\'oan
a t\"obbv\'altoz\'os cent\-r\'a\-lis hat\'areloszl\'ast\'etelnek is
l\'etezik \'altal\'anos\'{\i}t\'asa f\"uggetlen nem felt\'etlen\"ul
egyforma el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen vektorok normaliz\'alt
\"osszegeinek hat\'areloszl\'as\'ara nagyon \'al\-ta\-l\'a\-nos
fel\-t\'e\-te\-lek mellett. Ezzel a k\'erd\'essel azonban itt nem
foglalkozunk.

A t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o a  klasszikus egy\-v\'al\-to\-z\'os 
esethez. Az ott bevezetett fogalmaknak \'es eredm\'enyeknek 
megadhat\'oak a t\"obb-dimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asaik, 
\'es a megfelel\H{o} eredm\'enyek hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'oak.
Ez\'ert csak a fogalmakat \'es az eredm\'enyeket fogom ismertetni.
A bizony\'{\i}t\'as a ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny fogalm\'anak
t\"obb-dimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'an alapul, illetve
azon, hogy az egydimenzi\'os esetben bizony\'{\i}that\'o
eredm\'enyek term\'eszetes m\'odon \'altal\'anos\'{\i}that\'oak a
t\"obb-dimenzi\'os esetre is. Ennek a k\'erd\'esnek r\"ovid
t\'argyal\'as\'at a kieg\'esz\'{\i}t\'esben \'{\i}rom le, ami nem
r\'esze a f\H{o} anyagnak. Viszont az el\H{o}ad\'as f\H{o}
r\'esz\'eben ismertetem (bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul) azokat az
eredm\'enyeket, amelyek seg\'{\i}tenek a t\"obbv\'altoz\'os
cent\-r\'a\-lis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-lel kapcsolatos
feladatok megold\'as\'aban.

\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
val\'o konvergenci\'aj\'anak a de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja.} {\it
Legyen $F_n(x_1,\dots,x_k)$, $n=1,2,\dots$, $k$-dimenzi\'os
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek sorozata. Azt mondjuk, hogy az
$F_n(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
konverg\'alnak egy $k$-dimenzi\'os $F(x_1,\dots,x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha
$\limm_{n\to\infty}F_n(x_1,\dots,x_k)=F(x_1,\dots,x_k)$
az $F(\cdot)$ (hat\'ar)\-elosz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
minden $(x_1,\dots,x_k)$ folytonoss\'agi pontj\'aban.}
\medskip\noindent

{\bf T\'etel az eloszl\'asban val\'o konvergencia
jellemz\'es\'er\H{o}l folytonos f\"ugg\-v\'e\-nyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} {\it $F_n(u_1,\dots,u_k)$, $n=1,2,\dots$
$k$-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek so\-ro\-za\-ta akkor
\'es csak akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u_1,\dots,u_k)$
$k$-dimenzi\'os el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez, ha minden a
$k$-dimenzi\'os t\'eren \'ertelmezett folytonos, korl\'atos
$g(u_1,\dots,u_k)$ f\"uggv\'enyre teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}\int g(u_1,\dots,u_k)\,F_n(\,du_1,\dots,\,du_k)
=\int g(u_1,\dots,u_k)\,F(\,du_1,\dots,\,du_k)
$$
azonoss\'ag.}

%\medskip\noindent
%{\it Megjegyz\'es:}\/ Mivel minden t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
%eloszl\'as eloszl\'asf\"uggv\'enye folytonos, (b\'ar nem
%felt\'etlen\"ul van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye) ez\'ert a
%t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
%azt mondja ki, hogy az ott tekintett normaliz\'alt \"osszegek
%eloszl\'asban konverg\'alnak egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
%\'es megfelel\H{o} kovariancia m\'atrix\'u norm\'alis
%el\-osz\-l\'as\-hoz. Jegyezz\"uk meg, hogy a tekintett normaliz\'alt
%\"osszegek v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es ko\-va\-riancia\-m\'at\-rixa
%megegyezik egy a hat\'areloszl\'assal rendelkez\H{o} v\'eletlen
%vektor v\'arhat\'o \'ert\'ek\'evel \'es kovariancia m\'atrix\'aval.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis 
hat\'areloszl\'ast\'etel val\'oj\'aban azt mondja ki, hogy a 
tekintett normaliz\'alt \"osszegeknek van hat\'areloszl\'asa, \'es
az a t\'etelben defini\'alt t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as.
Ez a t\'etel megfelel c\'eljainknak, de ha prec\'{\i}zek vagyunk,
akkor az \'altalunk kimondott t\'etel n\'emi magyar\'azatra szorul.
Ugyanis az ott kimondott limesz rel\'aci\'o nem k\"ovetkezik a
normaliz\'alt \"osszegek eloszl\'asban val\'o konvergenci\'aj\'ab\'ol
abban az esetben, ha a hat\'areloszl\'ask\'ent megjelen\H{o}
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis el\-osz\-l\'as kovariancia m\'atrixa
nem invert\'alhat\'o. Ekkor ugyanis ez az eloszl\'as egy alt\'erre
van koncentr\'alva, \'es a hat\'areloszl\'as nem folytonos minden
pontban. A t\'etelben kimondott \'all\'{\i}t\'as ekkor is 
\'erv\'enyes, de erre a t\'enyre nincs sz\"uks\'eg\"unk. Ennek
az \'all\'{\i}t\'asnak az igazol\'as\'ahoz azt kell kihaszn\'alni,
hogy a t\'etelben szerepl\H{o} \"osszeadand\'ok eloszl\'asa
ugyanabba az alt\'erbe van koncentr\'alva, mint a 
hat\'areloszl\'as.

\medskip
Az egydimenzi\'os esetben ki tudtuk sz\'amolni a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an annak (k\"ozel\'{\i}t\H{o})
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy sok f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o normaliz\'alt \"osszege egy
intervallumba esik. A t\"obb-dimenzi\'os esetben is szeretn\'enk
hasonl\'o ered\-m\'e\-nye\-ket alkalmazni. De ebben az esetben egy
\'altal\'anosabb probl\'ema jelenik meg. Olyan eredm\'enyre van
sz\"uks\'eg\"unk, amely seg\'{\i}t kisz\'am\'{\i}tani annak 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy f\"uggetlen v\'eletlen vektorok
normaliz\'alt \"osszegei valamilyen \'altal\'anos geometriai
alak\-zat\-ba, p\'eld\'aul egy g\"ombbe vagy ellipszoidba esnek. Olyan
eredm\'enyek \'erdekelnek minket, amelyek azt mondj\'ak ki, hogy
ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek hat\'ar\'ert\'eke is l\'etezik,
\'es ez a hat\'ar\'ert\'ek egyenl\H{o} azzal a sz\'ammal, amit a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel sugall. A
k\"ovetkez\H{o} k\'et t\'etel valamelyik\'eb\H{o}l, amelyek az
eloszl\'asban val\'o konvergencia tulajdons\'agair\'ol sz\'olnak,
levezethetj\"uk a centr\'alis hat\'areloszl\'as ilyen ir\'any\'u
k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nyeit.

\medskip\noindent
{\bf 1. T\'etel az eloszl\'asbeli konvergencia
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
$k$-di\-men\-zi\'os v\'eletlen vektorok sorozata, amelyek
eloszl\'asban konverg\'alnak egy $\xi_0$ $k$-di\-men\-zi\'os
v\'eletlen vektorhoz, \'es legyen $F$ a $k$-di\-men\-zi\'os t\'eren
\'ertelmezett folytonos f\"ugg\-v\'eny. (Az egyszer\H{u}s\'eg
\'erdek\'eben tekints\"unk val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'enyeket,
de val\'oj\'aban te\-kint\-he\-t\"unk tetsz\H{o}leges
$l$-dimenzi\'os t\'eren \'ertelmezett f\"uggv\'enyt.) Ekkor az
$\eta_k=F(\xi_k)$, $k=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak az $\eta_0=F(\xi_0)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.}

\medskip\noindent
{\bf 2. T\'etel az eloszl\'asbeli konvergencia
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Legyen $F_n$, $n=1,2,\dots$,
$k$-dimenzi\'os eloszl\'asok sorozata, amelyek eloszl\'asban
konverg\'alnak egy $F_0$ $k$-dimenzi\'os eloszl\'ashoz. Jel\"olje
$\mu_{F_n}$ az $F_n$ eloszl\'as szerint induk\'alt Stieltjes
m\'ert\'eket. Ha $A$ olyan halmaz a $k$-dimenzi\'os t\'eren,
amelynek $\partial A$ hat\'ara teljes\'{\i}ti a
$\mu_{F_0}(\partial A)=0$ azonoss\'agot az $F_0$
 hat\'areloszl\'asm\'ert\'ek szerinti $\mu_{F_0}$ Stieltes
m\'ert\'ek szerint, akkor
$\limm_{n\to\infty}\mu_{F_n}(A)=\mu_{F_0}(A)$.}
\medskip

A fenti k\'et t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom, noha azok
nem nehezek. Val\'oj\'aban e t\'etelek sokkal \'altal\'anosabb
v\'altozata is \'erv\'enyes \'es viszonylag egyszer\H{u}en 
bizony\'{\i}that\'o szepar\'abilis metrikus tereken defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekekre. (De ehhez egy
\'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb fogalomrendszer bevezet\'es\'ere lenne
sz\"uks\'eg\"unk, amivel itt nem fogok foglalkozni.) Vi\-szont
megmutatom, hogyan lehet megoldani a fenti k\'et eredm\'eny 
valamelyik\'enek \'es a t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis 
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel 
az el\H{o}ad\'as elej\'en megfogalmazott feladatot kock\'ak 
szab\'alyoss\'ag\'anak az ellen\H{o}rz\'es\'er\H{o}l.

Megmutatom, hogy hogyan lehet az eloszl\'asbeli konvergencia
tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o 1. t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel megoldani a bevezet\'es elej\'en
megfogalmazott feladatot kock\'ak szab\'alyoss\'ag\'anak
ellen\H{o}rz\'es\'et alkalmas dob\'assorozat megfigyel\'es\'enek
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. (A 2. t\'etelt is alkalmazhatn\'ank, 
de az els\H{o} t\'etel alkalmaz\'asa kiss\'e k\'enyelmesebbnek 
bizonyult.) Val\'oj\'aban egy \'altal\'anosabb eredm\'enyt fogok 
t\'argyalni, amely elvezet a matematikai statisztika egyik fontos
m\'odszer\'ehez, az \'ugynevezett $\chi$-n\'egyzet pr\'ob\'ahoz.

\medskip\noindent
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} feladatot:

\medskip\noindent
Legyen adva $k$ urna, \'es ellen\H{o}rizz\"uk azt a
feltev\'est, amely szerint ha egy goly\'ot v\'eletlen\"ul
bedobunk ezen ur\-n\'ak valamelyik\'ebe, akkor az $p_j$, $p_j>0$,
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a $j$-ik urn\'aba,
$\summ_{j=1}^k p_j=1$. Ezen fel\-te\-v\'es
ellen\H{o}rz\'es\'enek az \'erdek\'eben dobjunk egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $n$ goly\'ot ezekbe az urn\'akba, \'es jel\"olje
$\nu_n(j)$ a $j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at. Be 
fogjuk l\'atni, hogy feltev\'es\"unk teljes\"ul\'ese eset\'en a
$\summ_{j=1}^k\frac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok\-nak 
l\'etezik hat\'areloszl\'asuk $n\to\infty$ eset\'en, \'es ez a
hat\'areloszl\'as az \'ugynevezett $k-1$ sza\-bad\-s\'ag\-fo\-k\'u 
$\chi^2$ eloszl\'as.

Megfogalmazom ezt az eredm\'enyt pontosabban is. El\H{o}tte
bevezetem a $\chi^2$ eloszl\'asok definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf A $k$ szabads\'agfok\'u $\chi^2$ eloszl\'as definici\'oja.}
{\it Legyen $\xi_1,\dots,\xi_k$ $k$ darab f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Ekkor a $\summ_{j=1}^k\xi_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'at nevezz\"uk $k$ szabads\'agfok\'u
$\chi^2(k)$ eloszl\'asnak.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ L\'attuk a 9. el\H{o}ad\'as 5.
feladat\'aban, hogy a 2 sza\-bad\-s\'ag\-fo\-k\'u
$\chi^2(2)$ eloszl\'as a $\lambda=\frac12$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as, azaz az az eloszl\'as, amelynek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az $f(x)=\frac12e^{-x/2}$, ha
$x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$.

\medskip
Ezut\'an megfogalmazom a $\chi^2$ pr\'oba alapj\'aul szolg\'al\'o
eredm\'enyt. A bizony\'{\i}t\'as ismerete nem k\"otelez\H{o} a
vizsg\'an.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel urnadob\'as eredm\'eny\'enek aszimptotikus
viselked\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen adva $k$ darab urna, amelyekbe
bedobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul goly\'okat \'ugy, hogy
mindegyik goly\'o $p_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a $j$-ik
urn\'aba, $1\le j\le k$, $\summ_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\nu_n(j)$
a $j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at az $n$-ik dob\'as
ut\'an. Ekkor a
$$
\summ_{j=1}^k\frac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}, \qquad n=1,2,\dots
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $k-1$ szabads\'agfok\'u $\chi^2(k-1)$ el\-osz\-l\'as\-hoz, ha
$n\to\infty$. (Az urn\'ak $k$ sz\'ama r\"ogz\'{\i}tett.)}

\medskip
Megjegyzem, hogy a fenti t\'etelben megjelen\H{o} hat\'areloszl\'as
csak az urn\'ak $k$ sz\'am\'at\'ol f\"ugg, de nem f\"ugg a $p_j$,
$1\le j\le k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekt\H{o}l. Ez jelzi azt,
hogy term\'eszetes statisztik\'at vezett\"unk be, olyat amelyben a
k\"ul\"onb\"oz\H{o} urn\'akban lev\H{o} goly\'ok sz\'am\'anak az
elt\'er\'ese annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l egyforma fontos
szerepet j\'atszik. Az, hogy a ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as a $k-1$
szabads\'agfog\'u $\chi^2(k-1)$ eloszl\'as, azzal f\"ugg \"ossze,
hogy b\'ar $k$ v\'eletlen sz\'am s\'ulyozott n\'egyzet\"osszeg\'et
tekintett\"uk, (az egyes urn\'akba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'anak
elt\'er\'es\'et tekintett\"uk azok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l),
de ezek k\"oz\"ott van egy determinisztikus \"osszef\"ugg\'es.
Nevezetesen az, hogy az \"osszes urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'ama
minusz azok v\'arhat\'o \'ert\'eke null\'aval egyenl\H{o}. Ezt
inform\'alisan \'ugy szokt\'ak interpret\'alni, hogy $k-1$
szabads\'agi fokkal rendelkez\H{o} v\'eletlen vektorok
koordin\'at\'ainak a n\'egyzet\"osszeg\'et tekintett\"uk, illetve
azok hat\'areloszl\'as\'at. Ilyen eset\-ben a hat\'areloszl\'ast
olyan v\'eletlen \"osszeg adja meg, amelyben mindegyik szabads\'agi
foknak egy \"osszeadand\'o felel meg, amelyik f\"uggetlen a t\"obbi
\"osszeadand\'ot\'ol, \'es az egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o n\'egyzete. Az eredm\'eny
bizony\'{\i}t\'as\'at egy nem k\"otelez\H{o} kieg\'esz\'{\i}t\'esben
\'{\i}rom le.

\medskip\noindent
L\'assuk, hogy az el\H{o}ad\'as elej\'en eml\'{\i}tett m\'asodik
feladatot hogy tudjuk megoldani a t\"obb-v\'altoz\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.


\vfill\break

{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok.
Mutassuk meg, hogy a $\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ \"osszegek nor\-ma\-li\-z\'alt\-jai\-nak,
azaz a $\sqrt{\frac{12}n}\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\sqrt{\frac{180}n}\summ_{j=1}^n\(\xi_j^2-\frac 1{12}\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak az egy\"ut\-tes
el\-osz\-l\'asa a k\'et-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'ashoz konverg\'al, ha $n\to\infty$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  $E\xi=0$, $E\xi^2=\frac1{12}$,
$\Var\xi=\frac1{12}$, $\Var\xi^2=E\xi^4-(E\xi^2)^2
=\frac1{80}-\frac1{144}=\frac1{180}$. Tov\'abb\'a 
$\Cov(\xi,\xi^2)=E\xi^3-E\xi E\xi^2=0$. Ez\'ert a
$\(\sqrt{12}\xi_j,\sqrt{180}\(\xi_j^2-\frac1{12}\)\)$, $j=1,2,\dots$,
v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
\'es az identit\'as kovariancia m\'atrix-szal. Innen, \'es a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip

A fenti eredm\'enyek bizony\'{\i}t\'as\'aban kihaszn\'altuk azt a
t\'enyt, hogy egy norm\'alis eloszl\'as\'u vektor eloszl\'as\'at
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza annak v\'arhat\'o \'ert\'ek
vektora \'es kovariancia m\'atrixa. Ezt a kieg\'esz\'{\i}t\'esben
bebizony\'{\i}tom e v\'eletlen vektor karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. De ez a
bizony\'{\i}t\'as m\'ely, eddig nem tanult matematikai ismereteket
is felhaszn\'al. Itt kisz\'amolom egy norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Megmutatom,
hogy ez a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor
l\'etezik, ha a norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
kovariancia m\'atrixa invert\'alhat\'o. Ebben az esetben a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny kifejezhet\H{o} a v\'arhat\'o
\'ert\'ek \'es kovariancia m\'atrix seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Innen
k\"ovetkezik, hogy a norm\'alis eloszl\'ast meghat\'arozza a
kovariancia m\'atrixa \'es v\'arhat\'o \'ert\'ek m\'atrixa abban az
esetben, ha a kovariancia m\'atrix invert\'alhat\'o. A 
bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as igazol\'asa az
\'altal\'anos esetben visszavezethet\H{o} erre az eredm\'enyre, de 
ezt az \'ervel\'est nem dolgozom ki. Viszont adok egy m\'asik,
line\'aris al\-geb\-rai eredm\'enyeken alapul\'o bizony\'{\i}t\'ast 
arra, hogy egy  t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'ast 
meghat\'aroz annak  v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora \'es kovariancia 
m\'atrixa. A k\"ovetkez\H{o} line\'aris algebrai eredm\'enyt fogom
haszn\'alni, amelyet m\'atrixok pol\'ar felbont\'as\'anak is 
neveznek.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel m\'atrixok pol\'ar felbont\'as\'ar\'ol.} {\it Egy
$A$ $k\times k$ (n\'egyzetes) m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o $A=U K$
alakban, ahol $U$ unit\'er \'es $K$ szimmetrikus, pozit\'{\i}v 
definit  m\'atrix. (Hasonl\'oan felbonthat\'o $A=K_1U_1$
alakban egy szimmetrikus, pozit\'{\i}v definit \'es unit\'er
m\'atrix szorzat\'ara.)}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} Az\'ert nevezik ezt a felbont\'ast pol\'ar
felbont\'asnak, mert ez annak a meg\-fe\-le\-l\H{o}\-je, hogy egy 
$z$ komplex sz\'am fel\'{\i}rhat\'o $z=Re^{i\varphi}$ alakban, 
ahol $R=|z|$ a $z$ sz\'am abszolut \'ert\'eke, az $e^{i\varphi}$ 
t\'enyez\H{o}vel val\'o szorz\'as pedig $\varphi$ sz\"oggel
val\'o forgat\'ast jelent. Mivel k\'et m\'atrix szorzata nem
felt\'etlen\"ul kommutativ az $A=UK$ \'es $A=K_1U_1$ felbont\'asban
k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'atrixok szerepelhetnek.

\medskip\noindent
{\it A norm\'alis eloszl\'as egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'er\H{o}l 
sz\'ol\'o t\'etel bizony\'{\i}t\'asa a fenti line\'aris algebrai
\"osszef\"ugg\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}\/ El\'eg bel\'atni, hogy
egy $\zeta=\xi A$ nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} norm\'alis 
eloszl\'as\'u vektor eloszl\'as\'at, ahol $\xi$ $k$-dimenzi\'os
standard norm\'alis eloszl\'as\'u vektor, $A$ pedig $k\times k$
m\'eret\H{u} m\'atrix meghat\'arozza annak $D=A^*A$ kovariancia 
m\'atrixa. Ennek \'erdek\'eben \'{\i}rjuk fel az $A$ m\'atrix 
$A=UK$ pol\'ar felbont\'as\'at, \'es vegy\"uk \'eszre, hogy 
$D=A^*A=KU^*UK=K^2$, \'es mivel
egy pozit\'{\i}v (szemi)definit m\'atrix pozit\'{\i}v szemidefinit
n\'egyzetgy\"oke egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott, ez\'ert
$K=D^{1/2}$. Innen $\zeta=\xi A=\xi UD^{1/2}=\eta D^{1/2}$, ahol
$\eta=\xi U$. Viszont l\'attuk, hogy egy $U$ unit\'er 
transzform\'aci\'ora az $\eta=\xi U$ vektor is standard norm\'alis
eloszl\'as\'u. Innen k\"ovetkezik, hogy a $\zeta=\eta D^{1/2}$
v\'eletlen vektor eloszl\'asa csak a $D^{1/2}$ ez\'ert csak a $D$
m\'atrixt\'ol f\"ugg.

\medskip
Most megadom egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. 

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor 
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek az  alakj\'ar\'ol.} {\it Legyen 
adva egy $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, 
amelynek $m=(m_1,\dots,m_k)=(E\eta_1,\dots,E\eta_k)$ a v\'arhat\'o
\'ert\'ek vektora \'es $D=(d_{j,l})$, $d_{j,l}=\Cov(\eta_j,\eta_l)$,
$1\le j,l\le k$, a kovariancia m\'atrixa. Az $\eta$
$k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak akkor
\'es csak akkor van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha a $D$
kovariancia m\'atrix invert\'alhat\'o. Ha a $D$ kovariancia
m\'atrix invert\'alhat\'o, akkor az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$
v\'eletlen vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
k\"ovetkez\H{o} alak\'u:
$$
f(x)=f(x_1,\dots,x_k)=\frac1{(2\pi)^{k/2}\det D^{1/2}}\exp
\left\{ -(x-m)D^{-1}(x-m)^*/2\right\},
$$
ahol $x=(x_1,\dots,x_k)\in R^k$ $k$-dimenzi\'os vektor.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asa megegyezik egy olyan
$\bar\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)
=(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$ v\'eletlen vektornak az
eloszl\'as\'aval, amelyikre $\xi_j$, $1\le j\le k$, f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, \'es $D=A^*A$. Jegyezz\"uk meg, hogy a line\'aris
algebra standard eredm\'enyei szerint az $A$ \'es $A^*$
m\'atrixok egyszerre invert\'alhat\'oak vagy nem invert\'alhat\'oak,
\'es a $D=A^*A$ m\'atrix akkor \'es csak akkor invert\'alhat\'o, ha
az $A$ m\'atrix invert\'alhat\'o. Ez\'ert, ha a $D$ m\'atrix nem
invert\'alhat\'o, akkor az $\eta$ vektornak nincs
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha pedig a $D$ m\'atrix
invert\'alhat\'o, akkor a k\"ovetkez\H{o} m\'odon sz\'amolhatunk:

Alkalmazva az $x=yA+m$ transzform\'aci\'ot
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$, $x=(x_1,\dots,x_k)$, $y=(y_1,\dots,y_k)$
\'es $\varphi(y)=\varphi(y_1,\dots,y_k)=\frac1{(2\pi)^{k/2}}
e^{-(y_1^2+\cdots+y_k^2)/2}$ jel\"ol\'essel  kapjuk, hogy
tetsz\H{o}leges m\'erhet\H{o} $B\subset R^k$ halmazra
$$
\align
P(\bar\eta\in B)&=P(\eta\in B)=P\(\xi\in
(B-m)A^{-1}\)=\int_{(y_1,\dots,y_k)\in (B-m)A^{-1}}\varphi(y)\,dy\\
&=\frac1{|\det A|}\int_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
\varphi\((x-M)A^{-1}\)\,dx \endalign
$$
alak\'u, ahol $|\det A|$ az $x=yA+M$ lek\'epez\'es Jacobian-ja.

E formul\'ab\'ol kiolvashat\'o, hogy a vizsg\'alt norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $\frac1{|\det A|}
\varphi\((x-m)A^{-1}\)$ f\"uggv\'eny. Annak \'erdek\'eben, hogy
be\-bi\-zo\-ny\'{\i}t\-suk a t\'etelt vegy\"uk \'eszre, hogy mivel
$D=A^*A$, ez\'ert $\det D=\det A^*\det A=(\det A)^2$, \'es
$|\det A|=\det D^{1/2}$, ahonnan
$$
\align
\varphi\((x-m)A^{-1}\) &=\frac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\frac{((x-m)A^{-1},(x-m)A^{-1})}2\right\}\\
&=\frac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\frac{(x-m)A^{-1}\(A^{-1}\)^*(x-m)^*}2\right\}\\
&=\frac1{(2\pi)^{k/2}}
\exp\left\{-\frac{{(x-m)(A^*A)^{-1}}(x-m)^*}2\right\} \\
&=\frac1{(2\pi)^{k/2}}
\exp\left\{-\frac{(x-m)D^{-1}(x-m)^*}2\right\},
\endalign
$$
mert $A^{-1}\(A^{-1}\)^*=A^{-1}\(A^*\)^{-1}=\(A^* A\)^{-1}$.
Innen k\"ovetkezik a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip

\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
ka\-rak\-te\-risz\-tikus f\"uggv\'eny\'et megad\'o k\'epletben a
kovariancia m\'atrix szerepel, m\'{\i}g a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny\'et megad\'o k\'epletben a
kovariancia m\'atrix inverze. Mivel a ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"ugg\-v\'eny kisz\'amol\'as\'aban nem kell invert\'alni a
kovariancia m\'atrixot, ez\'ert a karakterisztikus f\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel k\"onnyebb vizsg\'alni a norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyek tulajdons\'agait.

\medskip
Annak, hogy egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'at egy\'ertelm\H{u}en meg\-ha\-t\'a\-roz\-za annak
v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora \'es kovariancia m\'atrixa
meglep\H{o} \'es fontos k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nyei vannak. L\'assuk 
be a k\"ovetkez\H{o} (fontos) \'all\'{\i}t\'ast.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis 
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, amelynek koordin\'at\'ai  
korrel\'alatlanok, azaz $\Cov(\xi_i,\xi_j)=0$, ha $i\neq j$. Ekkor 
$\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.  
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Feltehetj\"uk az \'altal\'anoss\'ag
megszor\'{\i}t\'asa n\'elk\"ul, hogy $E\xi_j=0$, $1\le j\le k$.
Legyen $E\xi_j^2=\sigma_j^2$. Tekints\"unk f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u $\eta_1,\dots,\eta_k$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, \'es vezess\"uk be a
$\tilde\eta=(\sigma_1\eta_1,\sigma_2\eta_2,\dots,\sigma_k\eta_k)$ 
v\'eletlen vektort. Ekkor $\tilde\eta$ nulla v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\H{u}, norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, amelynek
kovariancia m\'atrixa megegyezik a $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
kovariancia m\'atrix\'aval. Ez\'ert e k\'et vektor eloszl\'asa
megegyezik. Innen k\"ovetkezik, hogy a $\xi_1$,\dots, $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es
norm\'alis eloszl\'as\'uak.

\medskip\noindent
Annak \'erdek\'eben, hogy a fenti feladat eredm\'eny\'et jobban
tudjuk \'ert\'ekelni oldjuk meg a k\"ovetkez\H{o} feladatot.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassunk p\'eld\'at k\'et korrel\'alatlan $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora, amelyek nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sok egyszer\H{u} p\'eld\'at adhatunk.
Tekints\"uk p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'at: Legyen $\xi$
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban, Ekkor a $\xi$ \'es $\eta=\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok korrel\'alatlanok, de nem
f\"uggetlenek. Val\'oban, $E\xi=0$, $E\eta=E\xi^2=\frac1{12}$,
$E\xi\eta=E\xi^3=0$, $\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta=0$.
M\'asr\'eszt $\xi$ \'es $\eta$ nem f\"uggetlenek, s\H{o}t az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o determinisztikus f\"uggv\'enye.
Egy lehets\'eges form\'alis indokl\'asa annak, hogy $\xi$ \'es $\eta$
nem f\"uggetlen a k\"ovetkez\H{o}: Legyen $0<a<1$ tetsz\H{o}leges
sz\'am. Ekkor $\{\oo\colon\;\eta<a^2\}=\{\oo\colon\;|\xi|<a\}$. 
Ez\'ert $P(\xi<a,\eta<a^2)=P(\xi<a)$, azaz $P(\xi<a,\eta<a^2)\neq
P(\xi<a)P(\eta<a^2)$.

\medskip
V\'eg\"ul l\'assunk p\'eld\'at olyan k\'et-dimenzi\'os $(\xi,\eta)$
vektorra, amelynek mind a k\'et koordin\'at\'aja, azaz mind a $\xi$
mind az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o norm\'alis
eloszl\'as\'u, viszont a $(\xi,\eta)$ vektor (mint k\'et-dimenzi\'os
v\'eletlen vektor) nem norm\'alis eloszl\'as\'u.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $(\Omega,\Cal B, \bold P)$
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi mez\H ot: $\Omega=[0,1]$, \
$\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra $[0,1]$-en, \'es $\bold P$ a
Lebesgue m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $\xi$
\'es $\eta$ va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat ezen
a mez\H on: $\xi(x)=\Phi^{-1}(x)$,
$$
\eta(x)=\cases
\xi(1-x)& \text{ha }0\le x<\frac12\\
\xi\(x-\frac12\)& \text{ha }\frac12\le x\le1
\endcases.
$$
L\'assuk be, hogy $\xi$ \'es $\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, de a $(\xi,\eta)$ vektor
nem norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektor.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos eloszl\'as\'uak.
Tov\'abb\'a,
$$
P(\xi>x)=\lambda(\Phi(x),1])=1-\Phi(x)\;.
$$
Az, hogy  $(\xi,\eta)$ vektor nem norm\'alis eloszl\'as\'u
k\"ovetkezik p\'eld\'aul a $P(\xi+\eta=0)=\frac12$ azonoss\'agb\'ol.
Ugyanis, ha $(\xi,\eta)$ norm\'alis eloszl\'as\'u lenne, akkor
az lenne a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o is.
Ennek viszont ellentmond a $P(\xi+\eta=0)=\frac12$ rel\'aci\'o.

\medskip
{\it Nem k\"otelez\H{o} feladat.}
\medskip

\item{} Legyen $\xi$ egy $l$ v\'altoz\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $A$ egy $k\times l$ 
m\'eret\H{u} m\'atrix. Mutassuk meg (alapvet\H{o} line\'aris 
algebrai ismeretek felhaszn\'al\'as\'aval), hogy $\eta=\xi A$
egy $k$ v\'altoz\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.


\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es: A t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ar\'ol.

A bizony\'{\i}t\'asban az egyv\'altoz\'os esetben ismertetett
eredm\'enyek t\"obb-dimenzi\'os v\'al\-to\-za\-tai\-ra van
sz\"uks\'eg\"unk.

\medskip
Az egydimenzi\'os esethez hasonl\'oan  a fenti t\'etel \'es
Weierstrass m\'asodik app\-roxi\-m\'a\-ci\'os t\'etele (pontosabban
annak t\"obb-dimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asa)
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
konvergenci\'aj\'at j\'ol lehet vizsg\'alni a
karakterisztikus f\"uggv\'enyek al\'abb bevezetett t\"obb-dimenzi\'os
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a de\-fi\-ni\-ci\'oja.}
{\it Legyen $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, \'es jel\"olje
$F(u_1,\dots,u_k)=P(\xi_1<u_1,\dots,\xi_k<u_k)$,
$-\infty<u_j<\infty$, $1\le j\le k$, a $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. A
 $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak a karakterisztikus
f\"uggv\'enye a
$$
\align
\varphi(t_1,\dots,t_k)&=Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_k\xi_k)}
=\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty
e^{i(t_1u_1+\cdots+t_ku_k)}F(\,du_1,\dots,du_k),\\
&\qquad -\infty<t_j<\infty, \quad 1\le j\le k,
\endalign
$$
f\"uggv\'eny. Adva egy $F(u_1,\dots,u_k)$ $k$-dimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'eny az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et is defini\'alni fogjuk mint egy $F$ eloszl\'as\'u
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. (Mivel a karakterisztikus f\"uggv\'enyt a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki
lehet sz\'amolni, ez\'ert jogunk van egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l besz\'elni.)}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $F(x_1,\dots,x_k)$ \'es $G(x_1,\dots,x_k)$
k\'et eloszl\'asf\"uggv\'ey, amelyek ka\-rak\-te\-risz\-tikus
f\"uggv\'enyei megegyeznek. Ekkor $F(x_1,\dots,x_k)=G(x_1,\dots,x_k)$
minden $k$-di\-men\-zi\'os $(x_1,\dots,x_k)$ vektorra.}

\medskip\noindent
 Megfogalmazom az eloszl\'asf\"uggv\'enyek \'es azok
karakterisztikus f\"uggv\'enyei kon\-ver\-gen\-ci\'aja k\"oz\"otti
kapcsolatot le\'{\i}r\'o Alapt\'etelnek nevezett \'all\'{\i}t\'as
t\"obb-dimenzi\'os v\'al\-to\-za\-t\'at.

\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel
t\"obb-dimenzi\'os v\'altozata.} {\it Legyen $F_n(u_1,\dots,u_k)$,
$-\infty<u_j<\infty$, $1\le j\le k$, $k$-dimenzi\'os
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata
$\varphi_n(t_1,\dots,t_k)=\int e^{i(t_1u_1+\cdots+t_ku_k)}
F_n(\,du_1,\dots,\,du_k)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel,
$n=1,2,\dots$. Ha a $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)=
\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik minden $-\infty<t_j<\infty$, $1\le j\le k$, sz\'amra,
\'es a $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ limeszf\"uggv\'eny folytonos
az orig\'oban, akkor l\'etezik olyan $F_0(u_1,\dots,u_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny a $k$-dimenzi\'os t\'erben, amelynek a
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ f\"uggv\'eny a karakterisztikus
f\"uggv\'enye. Tov\'abb\'a e felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en
az $F_n(u_1,\dots,u_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
eloszl\'asban konverg\'alnak ehhez az $F_0(u_1,\dots,u_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.

Megford\'{\i}tva, ha $F_n(u_1,\dots,u_k)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy olyan so\-ro\-za\-ta, amely egy
$F_0(u_1,\dots, u_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez
kon\-ver\-g\'al eloszl\'asban, $\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$,
$n=1,2,\dots$, jel\"oli az $F_n(u_1,\dots,u_k)$,
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ pedig az $F_0(u_1,\dots,u_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'eny\'et, akkor $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)
=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ minden
$-\infty<t_j<\infty$, $1\le j\le k$, sz\'amra. Tov\'abb\'a, ez a
konvergencia egyenletes minden v\'eges
intervallumban.}

\medskip
Ahhoz, hogy a fenti eredm\'enyeket haszn\'alni tudjuk a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'aban ismern\"unk kell a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok karakterisztikus
f\"uggv\'enyeit. Err\H{o}l sz\'ol a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis elosz\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-r\H{o}l.}\/ {\it Legyen
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$
egy $k$-dimenzi\'os nor\-m\'a\-lis el\-osz\-l\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ahol $m=(m_1,\dots,m_k)$
$k$-dimenzi\'os (determinisztikus) vektor, $A=(a_{j,l})$,
$1\le j,l\le k$, $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, tov\'abb\'a
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Ekkor az $(\eta_1,\dots,\eta_k)$
v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
Ee^{i(t,\eta)}=Ee^{i(t_1\eta_1+\cdots+t_k\eta_k)}
=e^{i(t,m)-tA^*At^*/2}=\exp\left\{i\sum_{j=1}^k
t_jm_j-\frac12\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k d_{j,l}t_jt_l\right\}
$$
f\"uggv\'eny, ahol $(x,y)$ jel\"oli az $x=(x_1,\dots,x_k)$ \'es
$y=(y_1,\dots,y_k)$ vek\-to\-rok $(x,y)=\summ_{j=1}^kx_jy_j$
ska\-l\'ar\-szor\-za\-t\'at, $t=(t_1,\dots,t_k)$, $d_{j,l}$
az $A^*A$ kovariancia m\'atrix\'anak $j$-ik so\-r\'a\-ban, \'es $l$-ik
oszlop\'aban szerepl\H{o} konstans. A $D=A^*A$ m\'atrix megegyezik
az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor kovariancia
m\'atrix\'aval.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
Ee^{i(t,\eta)}=Ee^{i(t, A\xi+m)}=e^{i(t,m)}Ee^{i(tA^*,\xi)}=
e^{i(t,m)}e^{-tA^*At^*/2}=e^{i(t,m)-tA^*At^*/2},
$$
mert, ha $tA^*=\bar t=(\bar t_1,\dots,\bar t_k)$, akkor
$Ee^{i(tA^*,\xi)}=Ee^{i(\bar t_1\xi_1+\cdots+\bar t_k\xi_k)}=
\prodd_{j=1}^k Ee^{i\bar t_j\xi_j}=
\prodd_{j=1}^k e^{-\bar t_j^2/2}=e^{-(\bar t,\bar
t)/2}=e^{-tA^*At^*/2}$.

Az $\eta$ v\'eletlen vektor $D=(d_{j,l})$ kovariancia
m\'atrix\'aban a $j$-ik sor $l$-ik eleme
$d_{j,l}=\Cov(\eta_j,\eta_l)=\Cov\(\summ_{p=1}^k
a_{p,j}\xi_p,\summ_{q=1}^k a_{q,l}\xi_q\)=\summ_{p=1}^k
a_{p,j}a_{p,l}E\xi_p^2 =\summ_{p=1}^k a_{p,j}a_{p,l}$, \'es
ez az $A^*A$ m\'atrix $j$-ik sor\'aban \'es $l$-ik oszlop\'aban
\'all\'o elem. Ez\'ert az $\eta$ v\'eletlen vektor kovariancia
m\'atrixa a $D=A^*A$ m\'atrix. Az ny\'{\i}lv\'anval\'o, hogy
az $\eta$ v\'eletlen vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke~$m$.

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis 
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at 
egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en meghat\'arozza annak v\'arhat\'o 
\'ert\'ek vektora \'es kovariancia m\'atrixa.}

\medskip\noindent
{\it A k\"ovetkezm\'eny bizony\'{\i}t\'asa.}\/  Az el\H{o}z\H{o} 
t\'etel alapj\'an egy norm\'alis  eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor 
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza 
annak v\'arhat\'o \'ert\'ek  vektora \'es kovariancia m\'atrixa.
Viszont egy eloszl\'ast meghat\'aroz annak karekterisztikus 
f\"uggv\'enye.



\beginsection 2. Kieg\'esz\'{\i}t\'es. A $\chi$-n\'egyzet 
pr\'ob\'ar\'ol.

\medskip\noindent
Az urnadob\'as eredm\'eny\'enek aszimptotikus
viselked\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'asa azon alapul, hogy egyr\'eszt meg tudjuk adni a
$$
\left\{\frac{\nu_n(j)-np_j}{\sqrt{np_j}},\;j=1,\dots,k\right\}
$$
v\'eletlen vektorok ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-s\'at a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. M\'asr\'eszt alkalmazhatjuk az
eloszl\'asbeli konvergencia tulajdons\'agair\'ol kimondott
1.~t\'etelt. Ennek alapj\'an tudjuk azt, hogy ha
$\(\eta^{(n)}_1,\dots,\eta_k^{(n)}\)$ v\'eletlen vektorok
eloszl\'asban konverg\'alnak egy $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen
vektorhoz $n\to\infty$ eset\'en, \'es ha te\-kin\-t\"unk egy 
$f(x_1,\dots,x_k)$ folytonos $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'enyt, akkor 
az $f\(\eta^{(n)}_1,\dots,\eta_k^{(n)}\)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
az $f(\eta_1,\dots,\eta_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o\-hoz. Ezen ered\-m\'eny az $f$ f\"uggv\'eny alkalmas
(term\'eszetes) megv\'alaszt\'as\'aval lehet\H{o}v\'e teszi a minket
\'erdekl\H{o} statisztik\'ak hat\'areloszl\'as\'anak megad\'as\'at.
De ezzel m\'eg nem fejezz\"uk be a t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at. A 
kapott hat\'areloszl\'ast alkalmas, j\'ol \'attekinthet\H{o} alakban 
akarjuk megadni. Ez, mint l\'atni fogjuk, bizonyos line\'aris 
algebrai meggondol\'asok seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehets\'eges.

Ezt az\'ert tudjuk megtenni, mert mint azt k\'es\H{o}bb megmutatom,
ha $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} $D$ kovarianciam\'atrix\'u nor\-m\'a\-lis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor valamilyen ismert $D$ kovariancia
m\'atrix-szal, akkor bizonyos alapvet\H{o} line\'aris al\-geb\-rai
eredm\'enyek felhaszn\'al\'as\'aval egyszer\H{u} form\'aban
megadhatjuk a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'at.

%\medskip\noindent
%{\it A  $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel visszavezet\'ese
%annak redukci\'oj\'ara.}
%\medskip

Annak \'erdek\'eben, hogy az urnadob\'as eredm\'eny\'enek
aszimptotikus viselked\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelt
bebizony\'{\i}tsuk, el\H{o}sz\"or hat\'arozzuk meg a t\'etelben
szerepl\H{o} $\frac{(\nu_n(j)-np_j)}{\sqrt{np_j}}$, $1\le j\le k$,
v\'eletlen vektorok hat\'areloszl\'as\'at $n\to\infty$ eset\'en a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ennek \'erdek\'eben vezess\"uk be a
k\"ovetkez\H{o} 
$$
Z_m=(Z_m^{(1)},\dots,Z_m^{(k)}), \quad m=1,2,\dots,n,
$$
v\'eletlen vektorokat. A $Z_m$ vektor $Z_m^{(j)}$
koordin\'at\'aja~1, \'es az \"osszes t\"obbi koordin\'at\'aja
nulla ha az $m$-ik dob\'asban az $j$-ik urn\'aba esik a goly\'o.
Vezess\"uk be e v\'eletlen vektorok k\"ovetkez\H{o}
transzform\'altjait is: $X_m=(X_m^{(1)},\dots,X_m^{(k)})$,
$m=1,2,\dots,n$, $X_m^{(j)}=\frac{Z_m^{(j)}-p_j}{\sqrt {p_j}}$,
$1\le m\le n$, $1\le j\le k$. Vegy\"uk \'eszre, hogy a vizsg\'alt
$\nu_n(j)$ mennyi\-s\'e\-gek (a $j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok
sz\'ama az $n$-ik dob\'as ut\'an) \'es a fenti $X_m$ v\'eletlen
vektorok k\"oz\"ott a k\"ovetkez\H{o} kapcsolat \'erv\'enyes.
$$
\frac1{\sqrt n}\summ_{m=1}^nX_m=\(\frac{\nu_n(1)-np_1}
{\sqrt{np_1}},\dots,\frac{\nu_n(k)-np_k}{\sqrt{np_k}}\).
$$
Tov\'abb\'a az $X_m$ vektorok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak, v\'arhat\'o \'ert\'ek vektoruk nulla, \'es
kovariancia m\'atrixukat a 
 $\Cov(X_m^{(j)},X_m^{(l)})=-\sqrt{p_jp_l}$, $1\le j,l\le k$,
$j\neq l$, \'es $\Var X_m^{(j)}=(1-p_j)$, $1\le j,l\le k$, $1\le
m\le n$, k\'eplet adja meg. Ugyanis egyszer\H{u} sz\'amol\'as 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy $EZ_m=(p_1,\dots,p_k)$, 
$\Cov(Z_m^{(j)},Z_m^{(l)})=-p_jp_l$, $1\le j,l\le k$, $j\neq l$, 
\'es $\Var Z_m^{(j)}=p_j(1-p_j)$, $1\le j,l\le k$, $1\le m\le n$. 
Innen l\'atszik, hogy $EX_m=0$, \'es $\Cov(X_m^{(j)},X_m^{(l)})=
\frac{\Cov(Z_m^{(j)},Z_m^{(l)})}{\sqrt{p_jp_l}}=-\sqrt{p_jp_l}$,
$\Var X_m^{(j)}=\frac{\Var Z_m^{(j)}}{p_j}=1-p_j$.
A t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
szerint a $\(\frac{\nu_n(1)-np_1}{\sqrt{np_1}},\dots,
\frac{\nu_n(k)-np_k}{\sqrt{np_k}}\)$ eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak egy nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} \'es $D=(d_{i,j})$, $d_{i,j}=-\sqrt{p_ip_j}$, ha
$i\neq j$, $d_{j,j}=1-p_j$ kovariancia m\'atrix\'u
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ norm\'alis vektorhoz. (A fenti
\'ervel\'esb\H{o}l speci\'alisan az is k\"ovetkezik, hogy l\'etezik
olyan norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, amelynek $D$
a kovariancia m\'atrixa.)

Ez\'ert alkalmazva az eloszl\'asbeli konvergencia
tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o 1. t\'etelt az
$f(x_1,\dots,x_k)=\summ_{j=1}^kx^2_j$ folytonos
f\"uggv\'ennyel azt kapjuk, hogy a
$\summ_{j=1}^k\frac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok\-nak
van hat\'areloszl\'asuk, \'es az megegyezik a
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
el\-osz\-l\'a\-s\'a\-val, ahol $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
\'es $D$ kovariancia m\'atrix-szal. Ezt a kifejez\'est
fel\'{\i}rhatjuk f\"uggetlen standard norm\'alis 
el\-osz\-l\'a\-s\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
kvadratikus alakj\'aban is. Ezt a kifejez\'est szeretn\'enk 
mi\-n\'el egy\-sze\-r\H{u}bb, \'attekinthet\H{o}bb alakban 
megadni. E c\'elb\'ol hasznos bel\'atni az al\'abbi lemm\'at.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$
$k$-dimenzi\'os norm\'alis  eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $D$ kovariancia
m\'atrix-szal. Legyenek a $D$ m\'atrix saj\'at\'ert\'ekei a
$\lambda_1,\dots,\lambda_k$ sz\'amok (multiplicit\'assal). Ekkor a
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa megegyezik egy $\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval,
ahol $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ A $D$ m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o
$D=U\Lambda U^*$ alakban, ahol $U$ unit\'er, $\Lambda$ pedig olyan
diagon\'alis m\'atrix, melynek \'atl\'oj\'aban a $D$ m\'atrix
$\lambda_j$ saj\'at\'ert\'ekei vannak (multiplicit\'assal). (Az $U$
m\'atrix is fel\'{\i}rhat\'o explicit m\'odon a $D$ m\'atrix
saj\'atvektorainak seg\'{\i}ts\'eg\'evel, de erre a t\'enyre most
nincs sz\"uks\'eg\"unk.)

Az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa
megegyezik egy $\bar\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)
=\xi\Lambda^{1/2} U^* =(\xi_1,\dots,\xi_k)\Lambda^{1/2} U^*$
v\'eletlen vektor eloszl\'as\'aval, ahol $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Val\'oban
$\bar\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor, melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla \'es kovariancia
m\'atrixa a 
$$
(\Lambda^{1/2}U^*)^*\Lambda^{1/2}U^*
=U\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2} U^*=U\Lambda U^*=D
$$ 
m\'atrix. Ez\'ert az $\eta$ \'es $\bar\eta$ v\'eletlen vektorok 
eloszl\'asa megegyezik. Innen az is k\"ovetkezik, hogy a 
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
eloszl\'asa megegyezik a $\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval. Vegy\"uk 
\'eszre, hogy az
$\tilde\eta=(\tilde\eta_1,\dots,\tilde\eta_k)=\bar\eta U
=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)U$ vektorra teljes\"ul a
$\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2=\summ_{j=1}^k\tilde\eta_j^2$ azonoss\'ag,
mert $U$ unit\'er, teh\'at t\'a\-vol\-s\'ag\-tar\-t\'o
transz\-for\-m\'a\-ci\'o. Viszont $\tilde\eta=\bar\eta
U=\xi\Lambda^{1/2}U^*U=\xi\Lambda^{1/2}$.
Ez azt jelenti, hogy a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa megegyezik a
$\summ_{j=1}^k(\lambda_j^{1/2}\xi_j)^2=\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval, \'es ez a
Lemma \'all\'{\i}t\'asa.

%\medskip\noindent
%Befejezem a $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel
%bizony\'{\i}t\'as\'at.

\medskip\noindent
{\it Az urnadob\'as eredm\'eny\'enek aszimptotikus
viselked\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak
a befejez\'ese.}\/ Tekints\"uk a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, ahol
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek v\'arhat\'o
\'ert\'eke nulla, \'es $D=d_{j,l}$,
$d_{j,l}=\Cov(\eta_j,\eta_l)$, $1\le j,l\le k$, kovariancia
m\'at\-ri\-x\'at a $\Var\eta_j=(1-p_j)$, $1\le j,l\le k$, \'es
$\Cov(\eta_j,\eta_l)=-\sqrt{p_jp_l}$, ha $1\le j,l\le k$, \'es
$j\neq l$ k\'epletek hat\'arozz\'ak meg. Az el\H{o}z\H{o} lemma
alapj\'an azt kell megmutatni, hogy a fenti $D$ kovariancia
m\'atrixnak az 1 $k-1$ multiplicit\'as\'u saj\'at\'ert\'eke (azaz
$k-1$ ortonorm\'alt 1 saj\'at\'ert\'ekkel rendelkez\H{o}
saj\'atvektora van) \'es ezenk\'{\i}v\"ul m\'eg a nulla a
saj\'at\'ert\'eke 1-szeres multiplicit\'assal.

\'Irjuk fel a $D$ m\'atrixot $D=I-B$ alakban, ahol $I$ az
identit\'as m\'atrix, $B=(b_{i,j})$, $b_{i,j}=\sqrt{p_i}\sqrt{p_j}$,
$1\le i,j\le k$, \'es vegy\"uk \'eszre, hogy amennyiben egy $B$
m\'atrixnak a saj\'atvektorai $e_1,\dots,e_k$ vektorok,
$\lambda_1,\dots,\lambda_k$ saj\'at\'ert\'ekkel, akkor
tetsz\H{o}leges $c$ sz\'amra az $I+cB$ m\'atrix saj\'atvektorai
ugyanazok az $e_1,\dots,e_k$ vektorok
$1+c\lambda_1,\dots,1+c\lambda_k$ saj\'at\'ert\'ekkel. Ezt az
eredm\'enyt alkalmazva $c=-1$ v\'alaszt\'assal elegend\H{o}
megtal\'alni a $B$ m\'atrix saj\'at\'ert\'ekeit. Viszont egy
$B=(b_ib_j)$, $1\le i,j\le k$ alak\'u m\'atrix egyik saj\'atvektora
a $b=(b_1,\dots,b_k)$ vektor $\summ_{j=1}^kb_j^2$
saj\'at\'ert\'ekkel, \'es a $b$ vektort ortogon\'alisan
kieg\'esz\'{\i}t\H{o} alt\'er a $B$ m\'atrix $k-1$-dimenzi\'os
saj\'at altere nulla saj\'at\'ert\'ekkel. Ez azt jelenti, hogy a
nulla a $B$ m\'atrix $k-1$ multiplicit\'as\'u saj\'at\'ert\'eke,
mert $B$ $k-1$-dimenzi\'os nulla saj\'at\'ert\'ek\H{u}
saj\'atalter\'enek egy ortonorm\'alt b\'azisa $k-1$ ortonorm\'alt
saj\'atvektort biztos\'{\i}t nulla saj\'at\'ert\'ekkel.

Az el\H{o}bb megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asok egyszer\H{u}en
ellen\H{o}rizhet\H{o}ek. Val\'oban egyszer\H{u} sz\'amol\'as mutatja,
hogy a $b=(b_1,\dots,b_k)$ vektorra $bB=\(\summ_{j=1}^kb_j^2\)b$,
\'es ha valamely $c=(c_1,\dots,c_k)$ vektorra $\summ_{j=1}^kc_jb_j=0$,
akkor $cB=0$, mert ebben az esetben a $cB$ vektor $l$-ik 
koordin\'at\'aja $b_l\summ_{j=1}^kc_jb_j=0$. Ez azt jelenti a $b$ 
vektor ortogon\'alis kieg\'esz\'{\i}t\H{o} alter\'enek elemei a $B$
m\'atrix saj\'atvekorai nulla saj\'at\'ert\'ekkel. 

Jelen esetben $D=I-B$ alak\'u m\'atrixot tekintett\"unk, ahol a $B$ 
m\'atrix a fent vizsg\'alt alak\'u a $b_j=\sqrt{p_j}$ sz\'amokkal. 
Ez\'ert $\summ_{j=1}^kb_j^2=\summ_{j=1}^kp_j=1$, \'es a $B$
vektornak a nulla $k-1$-szeres az 1 pedig egyszeres
multiplicit\'as\'u saj\'at\'ert\'eke. Ez azt jelenti, hogy a
$D=I-B$ m\'atrixnak a nulla egyszeres az 1 pedig $k-1$-szeres
multiplicit\'as\'u gy\"oke, mint \'all\'{\i}tottuk.








\bye


