\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat tizenegyedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2007. \'aprilis 24.}



\medskip\noindent
{\it Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol.}

\medskip\noindent
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel azt \'all\'{\i}tja, hogy
bizonyos va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'a\-sa\-inak a sorozata konverg\'al a norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. E t\'etel teljes, r\'eszletes
bizony\'{\i}t\'as\'aval nem fogok foglalkozni, de besz\'elek
n\'eh\'any a bizony\'{\i}t\'as sor\'an felmer\"ul\H{o} fontos
k\'erd\'esr\H{o}l.

El\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'essel fogok kiss\'e
r\'eszletesebben foglalkozni. A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
azt mondja ki, hogy bizonyos eloszl\'asf\"uggv\'enyek (f\"uggetlen
v\'altoz\'ok normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegeinek az
eloszl\'asf\"uggv\'enyei) eloszl\'asban konverg\'alnak a nor\-m\'a\-lis
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. De mit jelent az
eloszl\'asban val\'o konvergencia? Ez a k\'erd\'es kor\'antsem olyan
egyszer\H{u}, mint az els\H{o} pillanatban gondoln\'ank. Viszont
ennek tiszt\'az\'asa sz\"uks\'eges ahhoz, hogy j\'ol meg\'erts\"uk a
hat\'areloszl\'ast\'etelek tartalm\'at. El\H{o}sz\"or megadom a
helyes definici\'ot, \'es ut\'ana elmagyar\'azom, mi\'ert ez a
definici\'o fejezi ki a minket \'erdekl\H{o} konvergenci\'at.

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja.} {\it Legyen
$F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
sorozata a sz\'amegyenesen. Azt mondjuk, hogy az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak egy $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$ az
$F(\cdot)$ (hat\'ar)\-elosz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
minden folytonoss\'agi pontj\'aban.

Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata. Azt mondjuk, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha az $F_n(x)=P(\xi_n<x)$,
$-\infty<x<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
konverg\'alnak az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.

Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata. Azt mondjuk, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha az
$F_n(x)=P(\xi_n<x)$, $-\infty<x<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek
eloszl\'asban konverg\'alnak az $F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.}

\medskip\noindent
{\it 1.~megjegyz\'es:}\/ A fenti definici\'oban van bizonyos
\"onism\'etl\'es. Sokszor el\H{o}fordul, hogy ugyanazt a fogalmat
n\'emileg elt\'er\H{o} sz\'ohaszn\'alatban haszn\'alj\'ak. Ez\'ert
egym\'as mellett felsoroltam a k\"ul\"onb\"oz\H{o} lehets\'eges
megfogalmaz\'asokat. Tulajdonk\'eppen csak arr\'ol van sz\'o, hogy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban val\'o
konvergenci\'aj\'an e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak az eloszl\'asban val\'o
konvergenci\'aj\'at \'ertj\"uk. Tov\'abb\'a azt mondhatjuk, hogy az
eloszl\'asban val\'o konvergencia limesze egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ha a limesz ennek
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak az eloszl\'asa.

\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es:}\/ A norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny minden
pontban folytonos. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny
azt mondja ki, hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'altjai
eloszl\'asban konverg\'alnak a standard norm\'alis
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez. Ebben az esetben nincs
jelent\H{o}s\'ege annak, hogy a hat\'areloszl\'asl\'asf\"uggv\'eny
(jelen esetben nem l\'etez\H{o}) szakad\'asi pontjaiban nem
k\"ovetelj\"uk meg a konvergenci\'at.

\medskip
Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy mi\'ert van kit\"untetett szerepe a
hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny szakad\'asi pontjainak az
eloszl\'asf\"uggv\'eny konvergenci\'aj\'anak definici\'oj\'aban.
Term\'eszetes-e, hogy ezekben a pontokban nem k\"ovetelt\"uk
meg a konvergenci\'at? E k\'erd\'es meg\'ert\'es\'enek
\'erdek\'eben a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelt teszem.

Egy a sz\'amegegyenesen megadott $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny induk\'al
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket a sz\'amegyenesen. Ez az
a Stieltjes m\'ert\'ek, amelyet $\mu_F$-fel jel\"oltem. E m\'ert\'ek
l\'etez\'es\'et csak kimondtam egy t\'etelben, de az \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagytam, mert az a
m\'ert\'ekelm\'elet feladata. Az eloszl\'asban val\'o konvergencia
definici\'oj\'aban val\'oj\'aban nem az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'at k\"ovetelj\"uk meg az $F$ eloszl\'ashoz, hanem az
$F_n$ eloszl\'asok \'altal induk\'alt $\mu_{F_n}$ Stieltjes
m\'ert\'ekek konvergenci\'aj\'at az $F$ eloszl\'as \'altal induk\'alt
$\mu_F$ m\'ert\'ekhez. Szeml\'eletesen a $\mu_{F_n}$ m\'ert\'ekek
\'ugy k\'epzelhet\H{o}k el, mint olyan t\"o\-meg\-el\-osz\-l\'a\-sok a
sz\'amegyenesen, amelyekben egy $A\subset R$ halmaz ,,s\'ulya" a
$\mu_{F_n}(A)$ m\'ert\'ek. Az el\-osz\-l\'as\-ban val\'o konvergencia azt
jelenti, hogy a $\mu_{F_n}$ t\"omegeloszl\'asok nagy $n$
indexre k\"ozel vannak a $\mu_F$ t\"omegeloszl\'ashoz. A $\mu_{F_n}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek k\"ozels\'ege a $\mu_F$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez szeml\'eletesen azt jelenti,
hogy a $\mu_{F_n}$ t\"omegeloszl\'as kis megmozgat\'as\'aval el\H{o}
lehet \'all\'{\i}tani a $\mu_F$ t\"omegeloszl\'ast.

Az eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oj\'anak jobb
meg\'ert\'ese \'erdek\'eben tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o}
egyszer\H{u} p\'eld\'at. Legyen $x_0=0$, \'es $x_n$, $n=1,2,\dots$,
olyan sz\'amsorozat, amelyre $x_n<0$, $n=1,2,\dots$, \'es
$\limm_{n\to\infty}x_n=0$. Legyen $\mu_{F_n}$, $n=0,1,2,\dots$,
az a m\'ert\'ek, amely az $x_n$ pontba van koncentr\'alva, azaz
$\mu_{F_n}(\{x_n\})=1$, r\'eszletesebben $\mu_{F_n}(A)=1$, ha
$x_n\in A$, \'es $\mu_{F_n}(A)=0$, ha $x_n\notin A$. A $\mu_{F_n}$
eloszl\'as azon $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott
Stieltjes m\'ert\'ek, amelyre $F_n(x)=0$, ha $x\le x_n$, $F_n(x)=1$,
ha $x>x_n$. Term\'eszetes azt v\'arni, hogy az eloszl\'asf\"uggv\'eny
alkalmas definici\'oja eset\'en a most defini\'alt p\'eld\'aban az
$F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak
az $F_0$ eloszl\'ashoz. M\'asr\'eszt vegy\"uk \'eszre, hogy
$\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F_0(x)$ minden $x\neq0$ sz\'amra. De az
$x=0$ pontban, azaz az $F_0$ f\"uggv\'eny szakad\'asi pontj\'aban ez
a konvergencia nem teljes\"ul, mert $F_n(0)=1$, ha $n\ge1$,
\'es $F_0(0)=0$. Teh\'at az \'altalunk megadott definici\'o szerint
az $F_n$ eloszl\'asok eloszl\'asban konverg\'alnak az $F_0$
eloszl\'ashoz. De ahhoz, hogy ez teljes\"ulj\"on,
sz\"uks\'eg volt arra, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia
definici\'oj\'aban ne k\"ovetelj\"uk meg az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'at a hat\'arf\"uggv\'eny szakad\'asi pontjaiban.

Be lehet l\'atni, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia kifejezi
azt a szeml\'eletes tartalmat, amelyet a t\"omegeloszl\'asokkal val\'o
reprezent\'aci\'o sugall, ezt azonban nem tessz\"uk. Ehelyett egy olyan
eredm\'enyt fogalmazok meg, amely az eloszl\'asban val\'o
konvergencia egy ekvivalens jellemz\'es\'et adja meg. Ezt az
eredm\'enyt megfogalmazom itt, az el\H{o}ad\'as f\H{o} r\'esz\'eben,
de a bizony\'{\i}t\'ast csak a kieg\'esz\'{\i}t\'esben adom meg. Az
eredm\'eny ismertet\'ese ut\'an arr\'ol \'{\i}rok, hogy az mi\'ert
hasznos hat\'areloszl\'ast\'etelek vizsg\'alat\'aban.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel eloszl\'asban val\'o konvergencia k\"ul\"onb\"oz\H{o}
lehets\'eges jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it
El\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al el\-osz\-l\'as\-ban egy
$F(u)$  eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha minden a sz\'amegyenesen
defini\'alt folytonos \'es korl\'atos $g(u)$ f\"uggv\'enyre
teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}\int g(u)\,dF_n(u)=\int g(u)\,dF(u) \tag a
$$
azonoss\'ag.}

\medskip\noindent
{\it 1.~megjegyz\'es:}\/ Az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'aj\'anak
k\'et jellemz\'es\'et adtuk meg. Az egyik az eredeti definici\'o,
a m\'asik a t\'etelben megadott ekvivalens jellemz\'es.
A t\'etelben adott jellemz\'es az\'ert hasznos, mert amikor
eloszl\'asok konvergenci\'aj\'at akarjuk bi\-zo\-ny\'{\i}\-tani, akkor 
azt egyszer\H{u}bb \'ugy megtenni, hogy korl\'atos \'es folytonos
f\"ugg\-v\'e\-nyek ezen el\-osz\-l\'a\-sok szerinti integr\'alj\'anak a
konvergenci\'aj\'at bizony\'{\i}tjuk be. Vi\-szont, mint a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-te\-l\'e\-hez kapcsol\'od\'o 
az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'asban t\'argyalt p\'eld\'ak is
mutatj\'ak, a ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-te\-lek gyakorlati
alkalmaz\'asaiban \'altal\'aban el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-nak az ere\-de\-ti definici\'oj\'at 
haszn\'aljuk.

\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es:}\/ Az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'at
szok\'as gyenge konvergenci\'anak is ne\-vez\-ni. \'Erdemes
megjegyezni, hogy a funkcion\'alanal\'{\i}zisben is szok\'as Banach
terek funk\-cio\-n\'al\-jai\-nak gyenge konvergenci\'aj\'ar\'ol
besz\'elni, \'es az el\H{o}bb kimondott t\'etel azt is jelenti,
hogy a gyenge konvergenci\'anak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban \'es
funk\-cio\-n\'al\-ana\-l\'{\i}\-zis\-ben hasz\-n\'alt \'ertelmez\'ese
\"osszhangban van egym\'assal. Ugyanis egy a sz\'amegyenesen
defini\'alt $\mu$ (va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi) m\'ert\'eket
fel lehet fogni, mint a korl\'atos \'es folytonos f\"ugg\-v\'e\-nyek
Banach ter\'en \'ertelmezett (korl\'atos \'es line\'aris)
funkcion\'alt. Nevezetesen a $\mu$ m\'ert\'ek az $f(\cdot)$
korl\'atos \'es folytonos f\"uggv\'enyhez hozz\'arendeli a
$\mu(f)=\int f(u)\mu(\,du)$ sz\'amot. A funkcion\'alanal\'{\i}zisben
de\-fi\-ni\-\'alt fogalomrendszer szerint a $\mu_n$ m\'ert\'ekek
gyenge konvergenci\'aja a $\mu$ m\'ert\'ekhez azt jelenti, hogy
$\limm_{n\to\infty}\int f(u)\mu_n(\,du)=\int f(u)\mu(\,du)$ minden
folytonos \'es korl\'atos f\"ugg\-v\'eny eset\'eben, ez pedig
a fent kimondott t\'etel szerint a $\mu_n$ m\'ert\'ekeknek,
pontosabban az \'altaluk meghat\'arozott $F_n(x)=\mu_n(\{u\colon\;u<x\})$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek gyenge (azaz el\-osz\-l\'as\-beli)
konvergenci\'aj\'at jelenti a $\mu$ m\'ert\'ekhez, pontosabban
az \'altala meghat\'arozott $F(x)=\mu(\{u\colon\;u<x\})$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.

Sok vizsg\'alatban az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'anak a
t\'etelben megadott jel\-lem\-z\'e\-se jobban hasz\-n\'al\-ha\-t\'o
mint az eredeti definici\'o.

Megjegyzem, hogy  a fenti t\'etelnek van egy m\'asik haszna is.
Ez lehet\H{o}s\'eget ad arra, hogy eloszl\'asok konvergenci\'aj\'anak
definici\'oj\'at \'altal\'anosabb terekben is be\-ve\-zes\-s\"uk.
Ilyen ig\'eny ter\-m\'e\-sze\-tes m\'odon felmer\"ul, ha nemcsak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et
akarjuk vizsg\'alni, hanem v\'eletlen folyamatok\'et is. Ebben az
esetben az a prob\-l\'e\-ma mer\"ul fel, hogy olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'okkal kell dolgoznunk, amelyek
\'er\-t\'e\-k\"u\-ket nem a sz\'amegyenesen, hanem egy sokkal
gazdagabb t\'erben, p\'el\-d\'a\-ul a sz\'am\-egye\-ne\-sen
\'ertelmezett f\"uggv\'enyek ter\'en veszik fel. Viszont az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-nak
eredeti definici\'oja nem \'altal\'anos\'{\i}that\'o \'altal\'anos
terekre, mert az er\H{o}sen k\"o\-t\H{o}\-dik a sz\'am\-egye\-nes,
(illetve a t\"obb\-di\-men\-zi\'os el\-osz\-l\'a\-sok definici\'oja
eset\'eben az euklid\'eszi t\'er) geo\-met\-ri\'a\-j\'a\-hoz. Ha
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek helyett
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ekeket tekint\"unk,
akkor ezek konvergenci\'aj\'anak a definici\'oj\'at ter\-m\'e\-sze\-tes
m\'odon tudjuk defini\'alni nagyon \'altal\'anos terekben is az (a)
rel\'aci\'o \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Ha eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'at az (a) tulajdons\'ag
vizsg\'alat\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel akarjuk bebizony\'{\i}tani,
akkor term\'eszetes m\'odon felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy nem
le\-het\-s\'e\-ges-e ezt a felt\'etelt gyeng\'{\i}teni, nem
elegend\H{o}-e az (a) rel\'aci\'o teljes\"ul\'es\'et a folytonos
\'es korl\'atos f\"uggv\'enyeknek csak egy el\'eg gazdag
r\'eszoszt\'aly\'ara ellen\H{o}rizni, \'es ennek
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel eld\"onteni, hogy teljes\"ul-e az
eloszl\'asban val\'o konvergencia. Term\'eszetesen a folytonos \'es
korl\'atos f\"uggv\'enyek olyan r\'eszoszt\'aly\'at k\'{\i}v\'anjuk
tekinteni, amelyikre ez a felt\'etel k\"onnyebben
ellen\H{o}rizhet\H{o}. Kider\"ult, hogy erre a k\'erd\'esre
igenl\H{o} v\'alaszt lehet adni, elegend\H{o} csak a trigonometrikus
f\"uggv\'enyeket tekinteni, azaz az $g_t(u)=e^{itu}$,
$-\infty<t<\infty$, alak\'u f\"uggv\'enyeket. Megjegyzem,
hogy ezek a f\"uggv\'enyek komplex \'es nem val\'os \'ert\'ek\H{u}ek,
de mindazok az eredm\'enyek, amelyek val\'os \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra \'erv\'enyesek,
term\'eszetes m\'odon \'altal\'anos\'{\i}that\'ok komplex sz\'am
\'ert\'ek\H{u} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok\-ra is. Annak oka, hogy a trigonometrikus
f\"uggv\'enyeket j\'ol tudjuk haszn\'alni az, hogy minden
$-\infty<s,t<\infty$, param\'eterre teljes\"ul a
$g_s(u)g_t(u)=e^{isu}e^{itu}=e^{i(s+t)u}=g_{s+t}(u)$ azonoss\'ag.
L\'atni fogjuk, hogy ez az azonoss\'ag sok seg\'{\i}ts\'eget jelent,
ha f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek
eloszl\'as\'at vizsg\'aljuk. Megjegyzem, hogy az ilyen jelleg\H{u}
\"osszef\"ugg\'esek alkalmaz\'asa nemcsak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban
fontos. Ennek \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'an alapul az algebra egy
m\'ely \'es fontos ter\"ulete, a csoportreprezent\'aci\'ok
elm\'elete.

A tov\'abbi vizsg\'alatokban hasznos a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek al\'abb megadott definici\'oja.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es jel\"olje $F(u)=P(\xi<u)$,
$-\infty<u<\infty$, a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak a karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty e^{itu}F(\,du),\quad
-\infty<t<\infty,
$$
f\"uggv\'eny. Adva egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et is
defini\'alni fogjuk mint egy $F$ eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. (Mivel a karakterisztikus f\"uggv\'enyt a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki
lehet sz\'amolni, ez\'ert jogunk van egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l besz\'elni.) }

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} \'all\'{\i}t\'asokat azok
fontoss\'aguk miatt k\"ul\"on Lemma form\'aj\'aban mondom ki.

\medskip\noindent
{\bf Lemma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek viselked\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,
\xi_n$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, jel\"olje
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'et \'es $\varphi_j(t)$, $1\le j\le n$, a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ekkor az $S_n$ \"osszeg karakterisztikus
f\"uggv\'enye a $\psi_n(t)=Ee^{itS_n}=\prodd_{j=1}^n\varphi_j(t)$,
$-\infty<t<\infty$  f\"uggv\'eny. Ha $A$ \'es $B\neq0$ val\'os
sz\'amok, akkor a $\frac{S_n-A}B$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye az
$$
Ee^{it(S_n-A)/B}=e^{-itA/B}\psi_n\(\frac{t}B\)=e^{-itA/B}
\prodd_{j=1}^n\varphi_j\(\frac{t}B\)
$$
f\"uggv\'eny.

Legyen $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'ennyel, amelyre teljes\"ul az
$E|\xi|^k=\dsize\int_{-\infty}^\infty |u|^kF(\,du)<\infty$
egyenl\H{o}tlens\'eg valamilyen $k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra.
Ekkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\varphi(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a deriv\'altjai megadhat\'ok a
$\frac{d^j}{dt^j}\varphi(t)=\dsize\int_{-\infty}^\infty
i^ju^j e^{itu}F(\,du)$ k\'eplettel minden $0\le j\le k$ \'es
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Speci\'alisan, $t=0$ v\'alaszt\'assal
$\left.\frac{d^j\varphi(t)}{dt^j}\right|_{t=0}
=\dsize\int_{-\infty}^\infty i^ju^j F(\,du)=i^jE\xi^j$ minden $0\le
j\le k$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
Ee^{itS_n}=E^{it(\xi_1+\cdots+\xi_n)}
=Ee^{it\xi_1}e^{it\xi_2}\cdots e^{it\xi_n}
=Ee^{it\xi_1}Ee^{it\xi_2}\cdots Ee^{it\xi_n}
=\prodd_{j=1}^n\varphi_j(t)
$$
a $\xi_j$, $1\le j\le n$, f\"uggetlens\'ege miatt illetve az
$e^{it\xi_j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ebb\H{o}l
k\"ovetkez\H{o} f\"uggetlens\'ege miatt. Ezenk\'{\i}v\"ul
$$
Ee^{it(S_n-A)/B}= Ee^{i(t/B)S_n}e^{-itA/B}=e^{-itA/B}
\psi_n\(\frac{t}B\),
$$
ha az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye $\psi_n(t)$. Innen
k\"ovetkeznek a Lemma els\H{o} paragrafus\'aban kimondott
\'all\'{\i}t\'asok.

A Lemma m\'asodik paragrafus\'aban kimondott \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben \'{\i}rjuk fel a
$\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\dsize\int_{-\infty}^\infty
e^{itu}F(\,du)$ azonoss\'agot, \'es differenci\'aljuk $j$, $j\le k$,
alkalommal. Be lehet l\'atni, hogy az $E|\xi|^k<\infty$ felt\'etel
teljes\"ul\'ese eset\'en az azonoss\'ag jobb\-ol\-da\-l\'an az
integr\'al\'as \'es differenci\'al\'as sorrendje
felcser\'elhet\H{o}. Innen kapjuk, hogy  $\frac{d^j}{dt^j}\varphi(t)
=\dsize\int_{-\infty}^\infty i^ju^j e^{itu}F(\,du)$. Alkalmazva a
$t=0$ helyettes\'{\i}t\'est megkapjuk a Lemma utols\'o
\'all\'{\i}t\'as\'anak a bizony\'{\i}t\'as\'at is.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Legyenek $\xi_1,\xi_2.\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
amelyekre $E\xi_1=0$, \'es vezess\"uk be a $\sigma_2=\Var \xi_1$,
valamint az $Ee^{it\xi_1}=\varphi(t)$, $-\infty<t<\infty$ ($\varphi(t)$
a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'enye) jel\"ol\'eseket. Legyen tov\'abb\'a
$S_n=\summ_{k=1}\xi_k$ \'es $\bar S_n=\frac{S_n}{\sqrt n\sigma}$
az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o normaliz\'altja. Ekkor
$Ee^{itS_n}=\varphi(t)^n$, $Ee^{it\bar S_n}=
\varphi\(\frac t{\sqrt n\sigma}\)^n$, \'es $\varphi\(\frac
t{\sqrt n\sigma}\)\sim 1-\frac {t^2}{2 n\sigma^2}$. Ez a formula
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy viszonylag j\'o becsl\'est adjunk a
$\bar S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'ere. Azt k\'{\i}v\'anjuk vizsg\'alni, lehet\H{o}v\'e
teszi-e ez a formula egy j\'o ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel
bizony\'{\i}t\'as\'at f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nor\-ma\-li\-z\'alt \"ossze\-geire.

\medskip
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or csak azt a speci\'alis esetet, amikor
olyan olyan $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et tekintj\"uk, amelyik csak eg\'esz
\'ert\'ekeket vesz fel. Legyen $P(\xi=k)=p_k$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$,
$\summ_{k=-\infty}^\infty p_k=1$. Ekkor a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye
az $\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\summ_{k=-\infty}^\infty
e^{ikt}P(\xi=t)=\summ_{k=-\infty}^\infty p_ke^{ikt}$,
$-\infty<t<\infty$. Ekkor a $\varphi(t)$ f\"uggv\'eny $2\pi$ szerint
peri\'odikus, \'es tulajdonk\'eppen egy Fourier sor, amelynek $k$-ik
(azaz az $e^{ikt}$ trigonometrikus f\"uggv\'enyhez tartoz\'o Fourier
egy\"utthat\'oja) \ $p_k$. A Fourier sorok elm\'elet\'enek egy
egyszer\H{u}, de nagyon fontos eredm\'enye alapj\'an egy $\varphi(t)
=\summ_{k=-\infty}^\infty a_ke^{ikt}$, $-\pi<t\le\pi$, f\"uggv\'eny
Fourier egy\"utthat\'oit a $\varphi(t)$ Fourier sor
ismeret\'eben az
$$
a_k=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-ikt}\varphi(t)\,dt \tag$*$
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki lehet sz\'amolni. Az el\H{o}bb
kimondott Lemma alapj\'an f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszeg\'enek a karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'ere viszonylag egyszer\H{u}  \'es j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'est lehet adni. Ez \'es a ($*$) formula azt is
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben j\'o becsl\'est
adjunk arra, hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszegei egy adott \'ert\'eket vesznek fel. Ez lehet\H{o}v\'e teszi
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at abban a
speci\'alis esetben, ha eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'et vizsg\'aljuk. Az
\'altal\'anos eset vizsg\'alat\'anak a vez\'ermot\'{\i}vuma
tu\-laj\-don\-k\'eppen az, hogy hogyan tudjuk ezt a m\'odszert
adapt\'alni az \'altal\'anos esetre, amikor nem \'all
rendelkez\'es\"unkre a $(*)$ k\'eplethez hasonl\'o viszonylag
egyszer\H{u} ,,inverzi\'os formula". Az eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok vizsg\'alat\'anak
r\'eszleteit nem dolgozom ki. Viszont a kieg\'esz\'{\i}t\'esben
megmutatom, hogyan lehet ennek a m\'odszernek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel
az anal\'{\i}zis egyik fontos k\'eplet\'et, az el\H{o}z\H{o}
el\H{o}ad\'asban megfogalmazott Stirling formul\'at bebizony\'{\i}tani.

Ahhoz, hogy karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel j\'ol tudjunk
sz\'amolni, sz\"uks\'eg\"unk van olyan eredm\'enyre, amely szerint
a tri\-go\-no\-met\-ri\-kus polinomok a folytonos f\"uggv\'enyek
egy el\'eg gazdag r\'eszoszt\'aly\'at alkotj\'ak. Ilyen jelleg\H{u}
eredm\'eny Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele, amely
azt mondja ki, hogy folytonos \'es periodikus f\"uggv\'enyeket
tetsz\H{o}leges pontoss\'aggal lehet k\"ozel\'{\i}teni a szupr\'emum
norm\'aban trigonometrikus
polinomokkal. (Weierstrass els\H{o} approxim\'aci\'os t\'etele
hasonl\'o \'all\'{\i}t\'ast fogalmaz meg v\'eges intervallumban
folytonos f\"uggv\'enyek polinomokkal val\'o
app\-ro\-xi\-m\'al\-ha\-t\'o\-s\'a\-g\'a\-r\'ol.) Megfogalmazom ezt
az ered\-m\'enyt, \'es (v\'azlatosan) bebizony\'{\i}tom annak
n\'e\-h\'any sz\'a\-munk\-ra fontos k\"ovetkezm\'eny\'et.

\medskip\noindent
{\bf Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele.} {\it
Tetsz\H{o}leges folytonos \'es $2\pi$ szerint periodikus $f(t)$
f\"uggv\'enyre \'es $\e>0$ val\'os sz\'amra l\'etezik olyan
$P_n(t)=\summ_{k=-n}^n a_k e^{ikt}$ trigonometrikus polinom, amelyre
$$
\sup_{-\infty<t<\infty} |f(t)-P_n(t)|<\e.
$$
}\medskip

Ahhoz, hogy eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus
f\"uggv\'enyeinek konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkeztetni tudjunk
magunknak az eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek a konvergenci\'aj\'ara
tudnunk kell azt, hogy az a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
meghat\'arozz\'ak az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket.
Megfogalmazom ezt az eredm\'enyt, \'es megadom ennek
bizony\'{\i}t\'as\'at Weierstrass m\'asodik apprxim\'aci\'os
t\'etele seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezt a bizony\'{\i}t\'ast is csak a
kieg\'esz\'{\i}t\'esben ismertetem.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel arr\'ol, hogy egy eloszl\'asf\"uggv\'enyt meghat\'aroz
annak karakterisztikus f\"uggv\'enye.} {\it Legyen $F(\cdot)$ \'es
$G(\cdot)$ k\'et eloszl\'asf\"uggv\'ey, amelyek karakterisztikus
f\"uggv\'enye megegyezik. Ekkor $F(x)=G(x)$ minden
$-\infty<x<\infty$ sz\'amra.}

Az el\H{o}z\H{o} t\'etel bizony\'{\i}t\'asi m\'odszer\'enek
finom\'{\i}t\'asa seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet bebizony\'{\i}tani
a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt, amelyet fontoss\'aga miatt
alapt\'etelnek nevez\"unk. Ennek bizony\'{\i}t\'asa azonban a
Fourier anal\'{\i}zis m\'as m\'odszereit is felhaszn\'alja. Emiatt,
illetve id\H{o}hi\'any miatt a bizony\'{\i}t\'ast elhagyom.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel.}
{\it Legyen $F_n(u)$, $-\infty<u<\infty$,
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata $\varphi_n(t)=\int
e^{itu}F_n(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel, $n=1,2,\dots$.
Ha a $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)$ hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra, \'es a $\varphi_0(t)$
limeszf\"uggv\'eny folytonos az orig\'oban, akkor l\'etezik olyan
$F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny, amelynek a $\varphi_0(t)$
f\"uggv\'eny a karakterisztikus f\"uggv\'enye. Tov\'abb\'a e
felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en az $F_n(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek eloszl\'asban konverg\'alnak
az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.

Megford\'{\i}tva, ha $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy olyan sorozata, amely egy $F_0(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez kon\-ver\-g\'al eloszl\'asban,
$\varphi_n(t)$, $n=1,2,\dots$, jel\"oli az $F_n(u)$, $\varphi_0(t)$
pedig az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et, akkor $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty} \varphi_n(t)$
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Tov\'abb\'a, ez a konvergencia
egyenletes minden v\'eges intervallumban.}

\medskip
A fent kimondott t\'etel a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
rendk\'{\i}v\"ul fontos eredm\'enye, \'es az eloszl\'asbeli
konvergencia vizsg\'alat\'aban rendk\'{\i}v\"ul fontos
szerepet j\'atszik. Ez\'ert illik tudni ennek az eredm\'enynek a
pontos megfogalmaz\'as\'at. Viszont a minket \'erdekl\H{o}
hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz elegend\H{o}
tudni e t\'etel al\'abbi gyeng\'{\i}tett v\'altozat\'at, amelynek
bizony\'{\i}t\'asa egyszer\H{u}bb.

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel
gyeng\'{\i}tett v\'altozata.} {\it Legyen $F_n(u)$, $-\infty<u<\infty$,
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata $\varphi_n(t)=\int
e^{itu}F_n(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel, $n=1,2,\dots$,
\'es $F_0(u)$, $-\infty<u<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'eny
$\varphi_0(t)=\int e^{itu}F_0(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'ennyel.
Az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek akkor \'es csak akkor konverg\'alnak
eloszl\'asban az $F_0$ eloszl\'ashoz, ha a $\varphi_n(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyek konverg\'alnak a $\varphi_0(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyhez minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az alapt\'etel illetve annak gyeng\'{\i}tett
v\'altozat\'anak f\H{o} jelent\H{o}s\'ege abban \'all, hogy
lehet\H{o}v\'e teszik eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'anak
bizony\'{\i}t\'as\'at azok ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enyeinek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A l\'enyeges
k\"ul\"onbs\'eg az Alapt\'etel, illetve annak gyeng\'{\i}tett
v\'altozata k\"oz\"ott az, hogy az Alapt\'etel seg\'{\i}t a
hat\'areloszl\'as megtal\'al\'as\'aban akkor is, ha azt nem
ismerj\"uk a kezdet kezdet\'en, illetve annak vizsg\'alat\'aban,
hogy l\'etezik-e egy\'altal\'an valamilyen hat\'areloszl\'as. Ha eleve
megvan a jel\"olt a ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-ra, \'es annak ki tudjuk
sz\'am\'{\i}tani a karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et, (a centr\'alis
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel\-ben ez a helyzet), akkor a
konvergencia bizony\'{\i}t\'as\'ahoz elegend\H{o} az Alapt\'etel
gyeng\'{\i}tett v\'altozat\'anak a haszn\'alata.

\medskip

Az alapt\'etel, illetve annak gyeng\'{\i}tett v\'altozata alapj\'an
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg kisz\'amolni a standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et, \'es
megmutatni, hogy ha vessz\"uk f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek a
nor\-ma\-li\-z\'alt\-jait, akkor ezek karakterisztikus f\"uggv\'enyei
a standard norm\'alis eloszl\'as ka\-rak\-te\-risz\-tikus
f\"uggv\'eny\'ehez tartanak. El\H{o}sz\"or a standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakerisztikus f\"uggv\'eny\'et sz\'amolom
ki. Ez a sz\'amol\'as egyszer\H{u}, de fontos szerepet j\'atszik
benne a komplex f\"uggv\'enytan egyik alapvet\H{o} eredm\'enye arr\'ol,
hogy \'ugynevezett analitikus f\"uggv\'enyek integr\'al\'as\'an\'al
hogyan lehet \'athelyezni az integr\'al\'asi utat.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it A
$\varphi(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}$, $-\infty<u<\infty$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$g(t)=e^{-t^2/2}$ f\"uggv\'eny, azaz
$$
\int_{-\infty}^\infty
e^{itu}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=e^{-t^2/2}.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Magyar\'azat:}
$$
\align
\int_{-\infty}^\infty e^{itu}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du&=
\int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-(u-it)^2/2}e^{-t^2/2}\,du\\
&=e^{-t^2/2} \int_{-\infty-it}^{\infty-it} \frac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-u^2/2}e^{-t^2/2}\,du.
\endalign
$$
A fenti sz\'amol\'asban a szok\'asos technik\'at alkalmaztuk, az
exponensben szerepl\H{o} kvad\-ra\-ti\-kus alakot teljes n\'egyzett\'e
alak\'{\i}totuk \'at. Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$$
\int_{-\infty-it}^{\infty-it} \frac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-u^2/2}e^{-t^2/2}\,du=1.
$$
Ez az integr\'al abban k\"ul\"onb\"ozik a standard norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny integr\'alj\'at\'ol, hogy a norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny integr\'alj\'at nem a val\'os
tengelyen, hanem egy vele p\'arhuzamos egyenesen tekintj\"uk. Azt
\'all\'{\i}tom, hogy ez az integr\'al ugyanannyi, mintha a val\'os
tengelyen integr\'altunk volna. Ezt nem neh\'ez bel\'atni, ha szabad
hivatkozni a komplex f\"uggv\'enytan tal\'an legfontosabb
eredm\'eny\'ere, amely szerint egy analitikus f\"uggv\'eny
k\"orintegr\'alja egy z\'art g\"orb\'en nulla. Azt kell
kihaszn\'alni, hogy a $g(x)=e^{-z^2/2}$ f\"uggv\'eny analitikus az
eg\'esz sz\'ams\'{\i}kon, \'es ezenk\'{\i}v\"ul a $g(z)$ f\"uggv\'eny
olyan, hogy amennyiben a $z$ argumentum imagin\'arius r\'esz\'enek az
abszolut \'ert\'eke kisebb mint valamely fix $K$ sz\'am re\'alis
r\'esz\'enek az abszolut \'ert\'eke pedig nagyon nagy, akkor a
$g(z)$ f\"uggv\'eny nagyon kicsi. Mivel ez a bizony\'{\i}t\'as a
komplex f\"uggv\'enytani ismeretek felhaszn\'al\'asa
seg\'{\i}ts\'eg\'evel egyszer\H{u}en v\'egrehajthat\'o, viszont ez
a komplex f\"uggv\'enytani r\'esz, amelyet nem tanult mindenki
elengedhetetlen a bizony\'{\i}t\'asban, ez\'ert a r\'eszletek
kidolgoz\'as\'at elhagyom.

V\'azlatosan ismertetem, hogyan lehet a fenti eredm\'anyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel bel\'atni a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.
Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u, nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es 1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\varphi(t)$ karakterisztikus
f\"ugg\-v\'ennyel. Azt kell bel\'atni, hogy az 
$\frac{S_n}{\sqrt n}=\frac1{\sqrt n}\summ_{k=1}^n\xi_k$ normaliz\'alt
\"osszegek ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"ugg\-v\'e\-nyei konverg\'alnak 
a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny $e^{-t^2/2}$ 
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-hez, ha $n\to\infty$. 
Viszont a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus 
f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-r\H{o}l 
sz\'ol\'o lemma alapj\'an tudjuk, hogy az $\frac{S_n}{\sqrt n}$ 
normaliz\'alt \"osszeg karakterisztikus f\"uggv\'enye 
$\varphi^n\(\frac t{\sqrt n}\)^n$, tov\'abb\'a Taylor sorfejt\'es 
alapj\'an $\varphi\(\frac t{\sqrt n}\)\sim 1+i\frac{tE\xi_1}{\sqrt
n}-\frac{t^2E\xi_1^2}{2n}=1-\frac{t^2}{2n}$. Innen a vizsg\'alt
karakterisztikus f\"uggv\'enyek \'ert\'ekei
$\varphi^n\(\frac t{\sqrt n}\)^n
\sim\(1-\frac{t^2}{2n}\)^n\sim e^{-t^2/2}$. A teljes bizony\'{\i}t\'as
kidolgoz\'as\'ahoz azt kell megmutatni, hogy a felhaszn\'alt
aszimptotikus azonoss\'agok el\'eg j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est adnak. 

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassuk meg, a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy amennyiben $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
f\"uggetlen, norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $m_1$ \'es $m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$
\'es $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel, akkor $\xi+\eta$ norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1+m_2$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, \'es $\sigma_1^2+\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ \'Irjuk fel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\varphi_1(t)=Ee^{it\xi}$
az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\varphi_2(t)=Ee^{it\eta}$ \'es a $\zeta=\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\varphi_3(t)=Ee^{it(\xi+\eta)}$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et.
Azt kapjuk, hogy $\varphi_1(t)=e^{itm_1-\sigma_1^2t^2/2}$, mert
$\xi=\sigma_1\bar\xi+m_1$, ahol $\xi_1$ standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ahonnan
$\varphi_1(t)=Ee^{it(\sigma_1\bar\xi+m_1)}
=e^{itm_1}Ee^{i(t\sigma_1)\bar\xi}=e^{itm_1}e^{-(t\sigma_1)^2/2}$.
Hasonl\'oan, $\varphi_2(t)=e^{itm_2-\sigma_2^2t^2/2}$. Ez\'ert
$\varphi_3(t)=\varphi_1(t)\varphi_2(t)
=e^{it(m_1+m_2)-(\sigma_1^2+\sigma^2_2)t^2/2}$, ahonnan k\"ovetkezik,
hogy $\zeta$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $m_1+m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$\sigma_1^2+\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel.


\medskip
{\it N\'eh\'any tov\'abbi feladat:}
\medskip

\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely
$[a,a+1]$ illetve $[b,b+1]$ intervallumon. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a
$\xi+\eta$ \'es $\xi-\eta$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A feladatot meg lehet oldani
megfelel\H{o} konvoluci\'ok kisz\'am\'{\i}t\'as\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. De mivel ezt a feladatot m\'ar megoldottuk
egy speci\'alis esetben a 9. el\H{o}ad\'as 6. feladat\'aban,
egyszer\H{u}bb a feladat megold\'as\'at visszavezetni erre a
speci\'alis esetre. Ennek \'erdek\'eben vezess\"unk be k\'et
f\"uggetlen $\xi_0$ \'es $\eta_0$ a $[-\frac12,\frac12]$
intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot. Feltehetj\"uk, hogy $\xi=\xi_0+a+\frac12$ \'es
$\eta=\eta_0+b+\frac12$. Ekkor $\xi+\eta=\xi_0+\eta_0+a+b+1$,
$\xi-\eta=\xi_0-\eta_0+a-b$. Ezenk\'{\i}v\"ul $\xi_0+\eta_0$ \'es
$\xi_0-\eta_0$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye megegyezik, \'es ez
az eml\'{\i}tett feladat eredm\'enye szerint $g(x)=1-|x|$, ha
$-1\le x\le1$, $g(x)=0$, ha $x<-1$ vagy $x>1$. Innen $x+\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x-a-b-1)=1-|x-a-b-1|$,
ha $|x-a-b-1|\le1$, $g(x-a-b-1)=0$, ha $|x-a-b-1|>1$, $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x-a+b)=1-|x-a+b|$,
ha $|x-a+b|\le1$, $g(x-a+b)=0$, ha $|x-a+b|>1$.
\item{2.)} Egy egys\'egnyi oldal\'u n\'egyzet k\'et \'atellenes
oldal\'an tal\'alomra v\'alasztunk egy-egy pontot. Mekkora annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ezek t\'avols\'aga $\alpha$-n\'al
kisebb $(1\le\alpha<\sqrt2$)?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi$ a n\'egyzet egyik,
$\eta$ a n\'egyzet \'atellenes oldal\'ara ledobott pont 
\'ert\'ek\'et. A k\'et ledobott pont t\'avols\'aga (a 
Pitagorasz-t\'etel szerint)
$\sqrt{(\xi-\eta)^2+1}$, ez\'ert minket a
$P(\sqrt{(\xi-\eta)^2+1}<\alpha)=P(|\xi-\eta|<\sqrt{\alpha^2-1})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. $\xi$ \'es $\eta$
k\'et f\"uggetlen a $[0,1$ intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A feladatot egyr\'eszt
megoldhatjuk a geometriai val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek 
m\'od\-sze\-r\'e\-vel. Ekkor azt haszn\'aljuk, ki, hogy a 
$(\xi,\eta)$ v\'e\-let\-len vektor az egys\'egn\'egyzet egy 
v\'eletlen pontja, \'es a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg az
$\{(u,v)\colon\; 0\le u,v\le1,\; -\sqrt{\alpha^2-1}<u-v<
\sqrt{\alpha^2-1}\}$ halmaz ter\"ulete, ami $1-(1-\sqrt{\alpha^2-1})^2
=2\sqrt{\alpha^2-1}-(\alpha^2-1)$.
\item{} M\'asr\'eszt a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kisz\'amolhatjuk az
el\H{o}z\H{o} feladat se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel is. E feladat
eredm\'enye szerint ugyanis ismerj\"uk a $\xi-\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, ahonnan tetsz\H{o}leges
$0\le u\le 1$ sz\'amra
$P(|\xi-\eta|<u)=\int_{-u}^u g(x)\,dx=2\int_0^u(1-x)\,dx=2u-u^2$
Innen $u=\sqrt{\alpha^2-1}$ v\'alaszt\'assal a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$2\alpha-\alpha^2=2\sqrt{\alpha^2-1}-(\alpha^2-1)$.
\item{3.)} A $[0,1]$ intervallumon tal\'alomra felvesz\"unk k\'et
pontot. Mennyi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy 
a k\'et felvett pont t\'avols\'aga kisebb, mint a 0 pontnak a 
hozz\'a k\"ozelebb es\H{o} pontt\'ol val\'o t\'avols\'aga?
\item{} {\it Megold\'as:} Ezt a feladatot legegyszer\H{u}bben a
geometriai val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek m\'odszer\'evel tudjuk
megoldani. Egyszer\H{u}bb el\H{o}sz\"or a feladatban k\'erdezett
esem\'eny komplementer\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
kisz\'amolni. Legyen $\xi$ az els\H{o}, $\eta$ a m\'asodik ledobott
pont \'ert\'eke, \'es vezess\"uk be az 
$A=\{\oo\colon\; \xi(\oo)>2\eta(\oo)\}$
\'es  $B=\{\oo\colon\; \eta(\oo)>2\xi(\oo)\}$ esem\'enyeket. Ekkor 
a minket \'erdekl\H{o} esem\'eny komplementere az $A\cup B$ esem\'eny.
Tov\'abb\'a, az $A$ \'es $B$ esem\'enyek diszjunktak, $P(A)=P(B)$,
ez\'ert $P(A\cup B)=2P(A)$. A $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, \'es az $A$
esem\'eny azt jelenti, hogy ez a pont az $\{(u,v)\colon\;
0<2v<u\le1\}$ halmazba esik. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\frac14$. Ez\'ert $P(A\cup B)=\frac12$, \'es a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $1-\frac12=\frac12$.
\item{} Megjegyzem, hogy az el\H{o}bb tekintett $P(A)$ esem\'enyt
a k\"ovetkez\H{o}k\'epp sz\'a\-mol\-hat\-juk ki \'altal\'anos
elvek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et ismerj\"uk. Ez a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt
$g(u,v)=f(u)f(v)$, ahol $f(u)=1$, ha $0\le u\le1$,
$f(u)=0$, ha $u<0$ vagy $u>1$ a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen,
$$
\align
P(A)&=\int_{\{(x,y)\colon\; x>2y\}}g(x,y)\,dx\,dy
=\int_{\{(x,y)\colon\; x>2y\}}f(x)f(y)\,dx\,dy\\
&=\int_{\{(x,y)\colon\;1\ge x>2y>0\}}\,dx\,dy
=\int_0^1 \(\int_0^{x/2}\,dy\)\,dx
=\int_0^1\frac x2\,dx=\[\frac{x^2}4\]_0^1=\frac14.
\endalign
$$
\item{4.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\frac\eta\xi$ h\'anyados
eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tegy\"unk el\H{o}sz\"or egy
\'altal\'anos megjegyz\'est. Ha adva van k\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $\xi$ \'es
$\eta$, amelyek (egy\"uttes s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy
ismert $f(u,v)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny, akkor az
$\frac\eta\xi$ h\'anyados eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon sz\'amolhatjuk ki: Ve\-zes\-s\"uk be a $g(u,v)=g_x(u,v)$
f\"uggv\'enyt, amely a s\'{\i}kon az
$\left\{(u,v)\colon\;\frac vu<x\right\}$ halmaz
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nye, azaz $g(u,v)=1$, ha $\frac vu<x$,
\'es $g(u,v)=0$, ha $\frac vu\ge x$. Ekkor
$$
P\(\frac\eta\xi<x\)
=E g(\xi,\eta)=\int\int g(u,v) f(u,v)\,du\,dv=
\int\int_{\{(u,v)\colon\;\frac vu<x\}} f(u,v)\,du\,dv.
$$
L\'atni fogjuk, hogy az ebben a feladatban vizsg\'aland\'o integr\'al
viszonylag egyszer\H{u}, k\"onnyebben kezelhet\H{o}.
\item{} A feladatban vizsg\'aland\'o h\'anyados eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
\align
F(x)=P\(\frac\eta\xi <x\)&=\iint_{v<xu
}\frac1{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv\\
&=2\frac1{2\pi}\int_{-\frac{\pi}2<\varphi<\arctan x}\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr\,d\varphi =\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
Ebben a sz\'amol\'asban a fel\'{\i}rt integr\'alt \'at\'{\i}rtuk
$u=r\cos\varphi$, $v=r\sin\varphi$ transzform\'aci\'oval
pol\'arkoordin\'atarendszerben. E sz\'amol\'as sor\'an az
integrandusban megjelenik az $r$ Jacobian mint szorz\'o faktor.
Ezut\'an azt vegy\"uk \'eszre, hogy a bels\H{o} $r$ v\'altoz\'o
szerinti integr\'al $\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr=\[-e^{-r^2/2}\]_0^\infty=1$.
\item{} Kisz\'amoltuk a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az eloszl\'asf\"uggv\'eny
deriv\'altja, azaz az $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}=\frac1{\pi(1+x^2)}$
f\"uggv\'eny.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as.}\/ A $(\xi,\eta)$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\frac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$, ami
for\-ga\-t\'as\-in\-va\-ri\'ans f\"uggv\'eny. Innen k\"ovetkezik,
hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $(\xi,\eta)$ vektor
egy orig\'ob\'ol kiindul\'o $\alpha$ sz\"og\H{u} sz\"ogtartom\'anyba
esik, $\frac\alpha{2\pi}$. Ez\'ert
$$
\align
P\(\frac\eta\xi<x\)&=P\((\xi,\eta)\in
\[-\frac \pi2,\arctan x\)\cup \[\frac\pi2, \arctan x+\pi\)
\text{sz\"ogtartom\'anyban}\)\\
&=\frac1{2\pi}2\(\arctan x+\frac\pi2\)=\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$


\item{5.)} Tegy\"uk fel, hogy a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot
j\'atszhatjuk: Feldobnak egy szab\'alyos p\'enz\-da\-ra\-bot
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul egym\'as ut\'an. Amennyiben fej a
dob\'as eredm\'enye, akkor a feltett t\'et dupl\'aj\'at kapjuk, ha
\'{\i}r\'as, akkor a t\'et $\frac23$ r\'esz\'et elvesz\'{\i}tj\"uk,
\'es csak $\frac13$ r\'esz\'et \H{o}rizhetj\"uk meg.  Mivel ez a
j\'at\'ek el\H{o}ny\"os, ez\'ert feltessz\"uk minden j\'at\'ekban
minden p\'enz\"unket. L\'assuk be, hogy amennyiben $A$ volt a
vagyonunk a j\'at\'ek kezdete el\H{o}tt, \'es $Z_n$ jel\"oli
vagyonunkat az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an, akkor
\item{a)} $EZ_n=A\(\frac76\)^n$, azaz
vagyonunk v\'arhat\'o \'ert\'eke exponenci\'alisan n\H{o}.
\item{b)} $Z_n$ sztochasztikusan tart null\'ahoz,
azaz ha sok\'aig j\'atszunk akkor k\"ozel egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel majdnem minden p\'enz\"unket
elvesz\'{\i}tj\"uk. (Val\'oj\'aban $Z_n$ egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel is tart null\'ahoz, csak ennek
indokl\'as\'ahoz sz\"uks\'eges az el\H{o}\-ad\'a\-son eddig nem
t\'argyalt nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye is.)
\item{c)} \'Erts\"uk meg, hogy ez a k\'et \'all\'{\i}t\'as nem
mond egym\'asnak ellent.

\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=\frac13$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$P(\xi_j=2)=P\(\xi_j=\frac13\)=\frac12$, \'es ezenk\'{\i}v\"ul
$Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$. Ez\'ert
$E\xi_j=\frac12\(2+\frac13\)=\frac76$, \'es
$EZ_n=EA\xi_1\xi_2\cdots\xi_n =AE\xi_1 E\xi_2\cdots
E\xi_n=A\(\frac76\)^n$. Ez a feladat a) \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
A $Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$ rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik,
hogy $\frac1n\log Z_n=\frac{\log A}n+\frac1n \summ_{j=1}^n\log
\xi_j$. To\-v\'ab\-b\'a, $E\log\xi_j=\frac12\(\log2+\log\frac13\)
=-\frac12\log\frac32$. Ez\'ert a nagy sz\'amok (gyenge)
t\"orv\'enye sze\-rint $\frac1n\log Z_n$ sztochasztikusan konverg\'al
a negat\'{\i}v $-\frac12\log\frac32$ sz\'amhoz. Innen
tet\-sz\H{o}\-le\-ges $\e>0$ sz\'amra $P(Z_n>\e)=P\(\frac1n\log Z_n
>\frac{\log\e}n\)$,
\'es ez a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg null\'ahoz
tart, ha $n\to\infty$. Val\'oban, a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye, \'es a $-\frac1{10}>-\frac12\log\frac 32$
egyenl\H{o}tlens\'eg miatt $\limm_{n\to\infty}P\(\frac1n\log
Z_n<-\frac1{10}\)=1$. Mivel
$\limm_{n\to\infty}\frac{\log\e}n=0$ innen k\"ovetkezik a feladat
b) \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
Az a) r\'esz bizony\'{\i}t\'asa azon alapult, hogy $E\xi_j>1$,
a b) r\'esz\'e pedig azon, hogy $E\log \xi_j<0$. Ez a k\'et
egyenl\H{o}tlens\'eg teljes\"ulhet egyszerre, mert a v\'arhat\'o
\'ert\'ek \'es a logaritmus egym\'assal nem felcser\'elhet\H{o}. Igaz
az $E e^\eta\ge e^{E\eta}$ egyenl\H{o}tlens\'eg (ez a konvex
f\"uggv\'enyekre vonatkoz\'o \'ugynevezett Jensen egyenl\H{o}tlens\'eg
speci\'alis esete), ahonnan $\xi=\log\eta$ v\'alaszt\'assal $E\xi\ge
e^{\log E\xi}$, de egyenl\H{o}s\'eg nem \'{\i}rhat\'o a fenti
egyenl\H{o}tlens\'eg helyett. Jegyezz\"uk meg, hogy hasonl\'o, de
egyszer\H{u}bben \'erthet\H{o} p\'eld\'at mutat a feladat a) \'es
b) \'all\'{\i}t\'as\'anak egyszerre val\'o teljes\"ul\'es\'ere a
k\"ovetkez\H{o} modell. Olyan j\'at\'ekot j\'atszunk, amelyben
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel elvesz\'{\i}tj\"uk,
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel pedig megh\'aromszorozzuk
a p\'enz\"unket. Az egyes j\'at\'ekok egym\'ast\'ol f\"uggetlenek,
\'es minden id\H{o}pontban minden p\'enz\"unket feltessz\"uk. Ekkor
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an
minden p\'enz\"unket elvesz\'{\i}tj\"uk, $1-\(\frac12\)^n$, ami
rendk\'{\i}v\"ul gyorsan tart egyhez, \'es p\'enz\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'eke $3^n\(\frac12\)^n$, ami exponenci\'alisan gyorsan n\H{o}
az $n$ f\"uggv\'eny\'eben. Hasonl\'o, csak kiss\'e rejtettebb eset
t\"ort\'enik az \'altalunk t\'argyalt feladatban is. Tekints\"uk a
feladatban vizs\-g\'alt j\'at\'ek nyerem\'eny\'et sok j\'at\'ek
ut\'an. Azt \'all\'{\i}thatjuk, hogy nagy $n$ indexre az $n$-ik
j\'at\'ek ut\'an nagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel alig marad
p\'enz\"unk. Viszont kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nagyon sok
p\'enzt nyer\"unk, \'es ez\'ert nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'eke nagy. Ez az oka annak, hogy nemcsak a b), hanem az a)
\'all\'{\i}t\'as is teljes\"ul.

\medskip\noindent
{\it \'Eszrev\'etel az \"ot\"odik feladathoz:}
\medskip\noindent
Tekints\"uk az el\H{o}z\H{o} feladatban tekintett j\'at\'ekot
azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy a j\'at\'ek minden egyes
fordul\'oj\'aban vagyonunk $u$-ad r\'esz\'et, $0\le u\le1$, tessz\"uk
fel t\'etk\'ent. Jel\"olje $Z_n(u)$ vagyonunkat a j\'at\'ek $n$-ik
l\'ep\'ese ut\'an. Ekkor az $\frac1n\log Z_n(u)$
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sztochasztikusan
konverg\'alnak egy $B(u)$ sz\'amhoz. Hat\'arozzuk meg a legjobb $\bar
u$ sz\'amot, amelyikre $B(\bar u)=\supp_{0\le u\le 1}B(u)$. L\'assuk
be, hogy $B(\bar u)>0$.

\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a $\xi_j=\xi_j(u)$,
$j=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat,
me\-lyek\-re $\xi_j=1+u$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej,
\'es $\xi_j=\xi_j(u)=1-\frac {2u}3$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor az $n$-ik l\'ep\'esben
a vagyonunk $Z_n=A\xi_1\cdots\xi_n$, a $\xi_j$, $j=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak, ez\'ert $\frac1n\log Z_n=\frac{\log A}n
+\frac1n\summ_{j=1}^n\log \xi_j$, \'es a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye sze\-rint az $\frac1n\log Z_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sztochasztikusan konverg\'alnak a $B(u)=E\log
\xi_1=\frac12\(\log(1+u)+\log\(1-\frac
{2u}3\)\)=\frac12\log(1+u)\(1-\frac {2u}3\)$ sz\'amhoz.
A $B(u)$ f\"ugg\-v\'eny a maximum\'at az $\bar u=\frac14$ helyen
veszi fel, \'es $B(\bar u)=\frac12\log\frac{25}{24}>1$.

\beginsection N\'eh\'any az eloszl\'asok konvergenci\'aj\'aval
kapcsolatos eredm\'eny bizony\'{\i}t\'asa.

{\it Az eloszl\'asban val\'o konvergencia k\"ul\"onb\"oz\H{o}
lehets\'eges jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-sa.} Tegy\"uk fel el\H{o}sz\"or azt,
hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, \'es tekints\"unk egy folytonos
\'es korl\'atos $g(\cdot)$ f\"uggv\'enyt a sz\'am\-egye\-ne\-sen.
Ekkor a $g$ f\"uggv\'eny folytonoss\'aga \'es az $F$ illetve $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek viselked\'ese miatt $\pm\infty$ pontok
k\"ornyezet\'eben minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan el\'eg
nagy $K=K(\e)>0$, amelyre $\int_{u\colon\;|u|>K} |g(u)|\,dF_n(u)<\e$
minden $n=1,2,\dots$ indexre, \'es ez az \'all\'{\i}t\'as
\'erv\'enyes  akkor is, ha az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'ennyel helyettes\'{\i}tj\"uk. Tov\'abb\'a a
folytonos $g(\cdot)$ f\"uggv\'eny a $[-K,K]$ intervallumban
egyenletesen folytonos. Ennek az \'eszrev\'etelnek \'es annak a
t\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$
az $F(\cdot)$ minden folytonoss\'agi pontj\'aban be lehet l\'atni,
v\'eve a $[-K,K]$ intervallumnak egy olyan el\'eg finom
feloszt\'as\'at, amelynek az oszt\'opontjai az $F$ f\"uggv\'eny
folytonoss\'agi pontjai, hogy
$$
\left|\int_{u\colon\;|u|\le K} g(u)\,dF_n(u)-\int_{u\colon\;|u|\le K}
g(u)\,dF(u)\right|<\e,\quad\text{ha } n\ge n_0(\e).
$$
(E l\'ep\'esben kihaszn\'aljuk azt, hogy egy monoton f\"uggv\'enynek
csak megsz\'aml\'alhat\'o sok szakad\'asi pontja van. Mi\'ert?)
Innen $\e\to0$ hat\'ar\'atmenettel megkapjuk az (a) \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at.

Megford\'{\i}tva tegy\"uk fel, hogy teljes\"ul az (a) rel\'aci\'o,
\'es legyen $x$ az $F$ f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontja.
R\"ogz\'{\i}tve egy kis $\e>0$ sz\'amot defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $g^\pm(u)=g_{x,\e}^\pm(u)$, $-\infty<u<\infty$
folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyeket: $g^+(u)=0$, ha $u\ge
x+\e$, $g^+(u)=1$, ha $u\le x$, $g^+(u)=\frac{x+\e-u}\e$, ha $x\le
u\le x+\e$, $g^-(u)=0$, ha $u\ge x$, $g^-u)=1$, ha $u\le x-\e$,
$g^-(u)=\frac{x-u}\e$, ha $x-\e\le u\le x$. Alkalmazva az (a)
\'all\'{\i}t\'ast kapjuk, hogy
$$
\align
F(x-\e)&\le \int g_{\e,x}^-(u) F(\,du)
=\limm_{n\to\infty}\int g_{\e,x}^-(u) F_n(\,du)
\le \liminff_{n\to\infty} F_n(x) \\
&\le \limsupp_{n\to\infty} F_n(x)\le
\limm_{n\to\infty}\int g_{\e,x}^+(u) F_n(\,du)=
\int g_{\e,x}^+(u) F(\,du)\le F(x+\e),
\endalign
$$
\'es v\'eve az $\e\to0$
hat\'ar\'atmenetet kapjuk, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$,
felt\'eve, hogy az $x$ pont az $F$ f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontja.

\medskip\noindent
{\it Annak bizony\'{\i}t\'asa, hogy egy eloszl\'asf\"uggv\'enyt
meghat\'aroz a karakterisztikus f\"uggv\'enye.}\/ Vegy\"uk \'eszre,
hogy Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etel\'eb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy tet\-sz\H{o}\-le\-ges $K>0$ \'es $\e>0$
sz\'amokra \'es a $K$ sz\'am szerint periodikus $h(\cdot)$
f\"uggv\'enyre igaz, hogy l\'etezik
olyan $P_n(t)=\summ_{j=-n}^n a_j e^{2\pi ijt/K}$ trigonometrikus
polinom, amelyre teljes\"ul a $\supp_{-\infty<t<\infty}
|P_n(t)-h(t)|\le\e$ becsl\'es. Integr\'alva a $h(\cdot)$ \'es a
$P_n(\cdot)$ f\"uggv\'enyt a $F$ \'es $G$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
szerint, a fenti approxim\'aci\'ob\'ol kapjuk, hogy $\int
|h(u)-P_n(u)|F(\,du)\le\e$ \'es $\int |h(u)-P_n(u)|G(\,du)\le\e$.
Ez\'ert $\left|\int h(u)F(\,du)-\int h(u)G(\,du)\right|\le2\e$. Mivel
ez minden $\e>0$ sz\'amra igaz, ez\'ert $\int h(u)F(\,du)=\int
h(u)G(\,du)$. Tov\'abb\'a, innen k\"ovetkezik az is, hogy ha $
h(\cdot)$ kompakt tart\'oj\'u, folytonos f\"uggv\'eny, azaz ha
l\'etezik olyan $A$ sz\'am, amelyre $h(u)=0$, ha $|u|\ge A$, akkor
$\int h(u)F(\,du)=\int h(u)G(\,du)$. Val\'oban, defini\'aljuk minden
$K>A$ sz\'amra azt a $h_K(\cdot)$ f\"uggv\'enyt, amely a $h(\cdot)$
f\"uggv\'eny  $[-K,K]$ intervallumra vett megszor\'{\i}t\'as\'anak
a $2K$ szerinti periodikus kiterjeszt\'ese, azaz $h_K(u)=h(u-2lK)$,
ahol $l$ olyan eg\'esz sz\'am, amelyre $-K\le u<K$. Ekkor $\int h(u)
F(\,du)=\limm_{K\to\infty}\int h_K(u) F(\,du)=\limm_{K\to\infty}\int
h_K(u) G(\,du) =\int h(u) G(\,du)$.

Legyenek $-\infty<x<y<\infty$ olyan sz\'amok a sz\'amegyenesen,
amelyek folytonoss\'agi pontjai mind az $F$ mind a $G$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek. Bel\'atjuk a fenti rel\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $F(y)-F(x)=G(y)-G(x)$. Val\'oban,
r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\e>0$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $h(\cdot)=h_{\e}(\cdot)$f\"uggv\'enyt: $h(u)=1$,
ha $x\le u\le y$, $h(u)=0$, ha $y+\e\le u$ vagy $u\le x-\e$,
$h(u)=\frac{y+\e-u}\e$, ha $y\le u\le y+\e$,
$h(u)=\frac{u-x+\e}\e$, ha $x-\e\le u\le x$. Felhaszn\'alva az $\int
h^\pm_{\e}(u)F(\,du)=\int h^\pm_{\e}(u)G(\,du)$ azonoss\'agot,
\'es azt hogy $\limm_{\e\to0}\int
h_{\e}(u)F(\,du)= F(y)-F(x)$, $\limm_{\e\to0}\int
h_{\e}(u)G(\,du)=G(y)-G(x)$, ha $x$ \'es $y$ az $F$ \'es $G$
f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontjai, $\e\to0$
hat\'ar\'atmenettel kapjuk az $F(y)-F(x)=G(y)-G(x)$ azonoss\'agot.

Ez ut\'obbi azonoss\'agot felhaszn\'alva \'es alkalmazva az
$x\to-\infty$ hat\'ar\'atmenetet kapjuk, hogy $F(y)=G(y)$, ha $y$
mind az $F(\cdot)$ mind a $G(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
foly\-to\-nos\-s\'a\-gi pontja. Mivel az $F$ \'es $G$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek csak megsz\'aml\'alhat\'o sok szakad\'asi
pontja van, \'es mind a k\'et f\"uggv\'eny balr\'ol folytonos,
innen k\"ovetkezik, hogy az $F$ \'es $G$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
megegyeznek.
\medskip

\medskip\noindent
{\bf Stirling formula:}
{\it
$$
n!\sim\sqrt{2\pi n}\(\frac ne\)^n,
$$
}

\medskip\noindent
{\it A Stirling formula bizony\'{\i}t\'asa:} El\H{o}sz\"or azt
mutatom meg, hogy
$$
n!=\(\frac ne\)^n\frac{2\pi}{\dsize\int_{-\pi}^\pi
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}. \tag a
$$

Tekints\"unk egy $\xi$ Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot $\lambda=n$ param\'eterrel, legyen azaz
$P(\xi=k)=\frac{n^k}{k!}e^{-n}$, $k=0,1,2,\dots$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $P(t)=Ee^{it\xi}$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et. Ez a  k\"ovetkez\H{o} $P_n(t)$
Fourier sor:
$$
P_n(t)=\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)e^{itk}
=\sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!}e^{-n+ikt}
=e^{-n}\sum_{k=0}^\infty \frac{(ne^{it})^k}{k!}
=e^{-n+ne^{it}}.
$$
Innen, illetve a $(*)$ formul\'ab\'ol $k=n$ v\'alaszt\'assal kapjuk,
hogy
$$
P(\xi=n)=\frac{n^n}{n!}e^{-n}
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-int}P_n(t)\,dt
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-int-n+ne^{it}})\,dt.
$$
Ez a formula ekvivalens az (a) formul\'aval.

Az (a) formula alapj\'an a Stirling formula bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\'eg megmutatni azt, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt n}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^\pi
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt=1,
$$
amit \'ugyis \'{\i}rhatunk, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{-\pi}^\pi e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}
{\int_{-\infty}^\infty e^{-nt^2/2}\,dt}=1.
$$
Viszont tekintve az $e^{it}$ f\"uggv\'eny Taylor sor\'at kapjuk, hogy
$$
n(e^{it}-1-it)=-n\(\frac{t^2}2+\alpha(t)t^3\)=-\frac{nt^2}2
+\beta(t)n^{-1/8},
$$
alkalmas $|\alpha(t)|\le \const$ \'es $|\beta(t)|\le \const$
egy\"utthat\'okkal, ha $|t|\le n^{3/8}$, ahonnan
$e^{n(e^{it}-1-it)}=e^{-nt^2/2}e^{\beta(t)n^{-1/8}}=e^{-nt^2/2}
\(1+\gamma(t)n^{-1/8}\)$, $|\gamma(t)|\le \const$, ha $t\le n^{3/8}$,
\'es
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\dsize\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}}
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}
{\dsize\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}} e^{-nt^2/2}\,dt}=1.
$$
Tov\'abb\'a nem neh\'ez bel\'atni, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}}
e^{-nt^2/2}\,dt} {\int_{-\infty}^\infty e^{-nt^2/2}\,dt}=1,
$$
ez\'ert el\'eg megmutatni, hogy az
$\int_{-\pi}^{-n^{-3/8}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt$ \'es
$\int^{\pi}_{n^{-3/8}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt$
in\-teg\-r\'a\-lok el\'eg kicsik. Ennek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
jegyezz\"uk viszont meg, hogy $|e^z|=e^{\Re z}$ tetsz\H{o}leges $z$
komplex sz\'amra, ahol $\Re z$  a $z$ sz\'am val\'os r\'esz\'et
jel\"oli. Innen
$$
|e^{n(e^{it}-1-it)}|=e^{n(\cos t-1)}\le e^{-\const n^{1/4}},
$$
ha $n^{3/8}\le|t|\le \pi$, ahonnan k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant
becsl\'es.
\medskip




\bye


Jegyezz\"uk meg
tov\'abb\'a, hogy minden karakterisztikus f\"uggv\'eny folytonos
minden\"utt. Ez\'ert az az eloszl\'asban val\'o konvergencia
sz\'am\'ara az Alapt\'etelben megfogalmazott k\"ovetelm\'eny, hogy a
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyek limesze egy null\'aban folytonos
f\"uggv\'eny term\'eszetes elv\'ar\'as. Val\'oj\'aban ennek a
li\-mesz\-nek minden\"utt folytonosnak kell lennie, de a null\'aban
val\'o folytonoss\'ag az igaz\'an fontos, \'es egyben legnehezebben
bizony\'{\i}that\'o tulajdons\'ag. Felmer\"ulhet az a k\'erd\'es,
hogy mi\'ert olyan fontos ez a tulajdons\'ag. Ennek meg\'ert\'ese az
el\H{o}ad\'asban el\-ha\-gyott bizony\'{\i}t\'as egyik kulcsl\'ep\'ese.
Az esetleges \'erdekl\H{o}d\H{o}k sz\'am\'ara megfogalmazom fel\-adat
form\'aj\'aban azt az eredm\'enyt, amelyik megfogalmazza, milyen
sz\'amunkra \'ert\'ekes k\"ovetkezm\'enye van a hat\'arf\"uggv\'enynek
a null\'aban val\'o konvergenci\'aj\'aanek. Tov\'abb\'a n\'emi
seg\'{\i}ts\'eget is adok e fel\-adat megold\'as\'ahoz. Ugyancsak
t\'argyalok n\'eh\'any tov\'abbi fel\-ada\-tot, amelyek
seg\'{\i}thetnek az alapt\'etelben szerepl\H{o} felt\'etelek
je\-len\-t\H{o}\-s\'e\-g\'e\-nek jobb meg\-\'er\-t\'e\-s\'e\-ben.
\medskip\noindent
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozata, amelyek $\varphi_n(\cdot)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'eben
konverg\'alnak egy a null\'aban folytonos f\"uggv\'enyhez.
\itemitem{a.)} L\'assuk be (a Lebesgue t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel),
hogy ekkor tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e)$ sz\'am, amelyre
$\limm_{n\to\infty} \frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt\le\e$, ahol $\Re z$ a $z$ sz\'am re\'alis
r\'esz\'et jel\"oli.
\itemitem{b.)} Mutassuk meg, hogy amennyiben $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek $\varphi_n(\cdot)$ ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enyei teljes\'{\i}tik az a) r\'eszben megfogalmazott
tulajdons\'agot, ak\-kor minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$K=K(\e)$ sz\'am, amelyre $F_n(-K)+(1-F_n(K))\le \e$ minden
$n=1,2,\dots$ sz\'amra.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassuk meg, hogy egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
$\varphi(t)=\int e^{itu}F(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
folytonos minden pontban.
\medskip

Annak \'erdek\'eben, hogy l\'assuk annak a
felt\'etelnek a fontoss\'ag\'at, amely szerint a hat\'arf\"uggv\'eny
folytonos az orig\'oban tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o}
feladatban megadott p\'eld\'at.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $F_n(\cdot)$, $n=1,2\dots$, a $[-n,n]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata, azaz
legyen $F_n(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$f_n(u)=\frac1{2n}$, ha $-n\le u\le n$, $f_n(u)=0$, ha $|u|>n$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadott f\"uggv\'eny. L\'assuk be,
hogy az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus f\"uggv\'enyei minden
pontban konverg\'alnak az $\varphi(0)=1$, $\varphi(t)=0$, ha
$t\neq0$ k\'eplettel megadott $\varphi(t)$ f\"uggv\'enyhez,
amelyik az orig\'oban nem folytonos. Tov\'abb\'a az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek nem konverg\'alnak eloszl\'asban, mert
minden v\'eges $[a,b]$ intervallumra $\limm_{n\to\infty}F_n([a,b])=0$.



\medskip\noindent
Az al\'abbiakban r\"oviden ismertetem a nagy sz\'amok gyenge 
t\"orv\'enye mellett a nagy sz\'a\-mok er\H{o}s t\"or\-v\'e\-ny\'et is.

\beginsection A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye.

T\'argyaltuk a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, amely szerint ha
tekintj\"uk $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"ug\-get\-len, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$,
$j=1,\dots,n$, \"osszeg\'et \'es $\frac{S_n}n$ \'atlag\'at, akkor
az $\frac{S_n}n$ \'atlagok sztochasztikusan konverg\'alnak egy
de\-ter\-mi\-nisz\-ti\-kus sz\'am\-hoz, amely a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\xi_1$ v\'arhat\'o
\'ert\'eke. Bel\'attuk, (a Csebisev egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel), hogy a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye
\'erv\'enyes akkor, ha a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete. Val\'oj\'aban ez a
felt\'etel l\'enyegesen gyeng\'{\i}thet\H{o}. Ezenk\'{\i}v\"ul,
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlagai nagyon
\'altal\'anos felt\'etelek mellett nemcsak sztochasztikusan, hanem
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel is konverg\'alnak a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\xi_1$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'ehez. Ezt az eredm\'enyt nevezik a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek. Megfogalmazom az eml\'{\i}tett eredm\'enyeket \'es
fogalmakat pontosan, \'es t\'argyalni fogom ezen eredm\'enyek
egym\'assal val\'o kapcsolat\'at. Sok fontos \'es tanuls\'agos
eredm\'enyt csk kimondok, de id\H{o}hi\'any miatt a
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom.

El\H{o}sz\"or fel\'{\i}rom a (r\'eszben m\'ar kor\'abban ismertetett)
k\"ul\"onb\"oz\H{o} konvergenciafogalmakat.

\medskip\noindent
{\bf Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergencia
definici\'oja:}  {\it Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak defini\'alva, m\'asr\'eszt)
$$
P\(\oo\colon\; \lim_{n\to\infty}\xi_n(\oo)=\xi(\oo)\)=1.
$$
}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergenci\'at a  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban
\'es m\'ert\'ek\-elm\'e\-let\-ben majdnem minden\"utt val\'o
konvergenci\'anak is h\'{\i}vj\'ak.

\medskip\noindent
{\bf A sztochasztikus konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al sztochasztikusan egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
de\-fi\-ni\-\'al\-va, m\'asr\'eszt) minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty} P\(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|>\e\)=0.
$$
}

\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez vagy az
ezen el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny \'altal meghat\'arozott
el\-osz\-l\'as\-hoz, ha $\limm_{n\to\infty}P(\xi_n<u)=F(u)$
{\rm minden olyan $u$ sz\'amra, ahol az $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny f\"uggv\'eny folytonos.} (Azt mondjuk, hogy
a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha ez a sorozat
eloszl\'asban konverg\'al az $F(u)=P(\xi<u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez.)}

\medskip
Le\'{\i}rom a k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H{o}
konvegenciafogalmak k\"oz\"otti kapcsolatot.

\medskip
Igaz a k\"ovetkez\H{o} kapcsolat: Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergencia $\Rightarrow$ Sztochasztikus konvergencia $\Rightarrow$
Eloszl\'asban val\'o konvergencia.

T\'argyaljuk r\'eszletesebben az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi \'es
sztochasztikus konvergencia kapcsolat\'at.

Ha $\xi_n(\oo)\to\xi(\oo)$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
akkor defini\'alva az
$$
A_n=A_n(\e)=\left\{\oo\colon\;\supp_{k\ge n}|\xi_k(\oo)-\xi(\oo)|<\e\right\}
$$
halmazokat azt kapjuk, hogy az egym\'asba skatuly\'azott $A_n$
halmazokra, (azaz $A_1(\oo)\subset A_2\subset\cdots$), teljes\"ul
a $P\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)=1$ rel\'aci\'o. Ez\'ert
$\limm_{n\to\infty}P(A_n)=1$. Mivel  \'erv\'enyes a
$\{\oo\colon\;|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e\} \supset A_n$ rel\'aci\'o,
ez\'ert $P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e)\to1$, azaz
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|\ge\e)\to0$, ha $n\to\infty$. Ez azt jelenti,
hogy az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergenci\'ab\'ol
k\"ovetkezik a sztochasztikus konvergencia.

\medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azifeladat:
\medskip
\item{} Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata, akkor \'es csak akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha az $\eta_n=\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata sztochasztikusan
konverg\'al null\'ahoz, azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$P\(\limm_{n\to\infty}\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|>\e\)=0$.

\medskip
L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy lehets\'eges olyan $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, \'es $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
konstru\'alni, amelyekre a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan tart $\xi$-hez, de a  $\xi_n$ sorozat nem
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.

Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t: $\Omega$ a $[0,1]$ intervallum,
$\Cal A$ a Borel m\'erhet\H{o} halmazok $\sigma$-algebr\'aja a $[0,1]$
intervallumon, a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a Lebesgue
m\'ert\'ek. Legyen
$$
\aligned
\xi_n(x)&=\left\{
\aligned
&1\quad\text{ha }x\in\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]\\
&0\quad\text{ha }x\notin\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]
\endaligned \right.  \\
&\qquad\qquad\qquad \text{akkor ha } 2^k\le n<2^{k+1},\quad
k=1,2,\dots,
\endaligned
$$
\'es $\xi(x)=0$ minden $0\le x\le 1$ sz\'amra. Ekkor
$P(|\xi_n-\xi|>\e)=2^{-k}$ minden $\e>0$ sz\'amra, ha $2^k\le
n<2^{k+1}$. Teh\'at a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan konverg\'al a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz. Viszont mivel $\limsupp_{n\to\infty}\xi_n(x)=1$
minden $0\le x\le 1$ sz\'amra, ez\'ert a $\xi_n$ sorozat nem
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.

M\'asr\'eszt a Borel-Cantelli lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
amennyiben minden $\e>0$ sz\'amra $\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi_n-\xi|>\e)<\infty$, akkor a $\xi_n$ sorozat egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. Mi\'ert?

A sztochasztikus konvergencia \'es eloszl\'aban val\'o konvergencia
k\"oz\"otti kapcsolatra \'erv\'enyesek a k\"ovetkez\H{o} nem
k\"otelez\H{o} h\'azi feladatok form\'aj\'aban megfogalmazott
\'all\'{\i}t\'asok.

\medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azifeladat:
\medskip
\item{a.)} Ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sztochasztikusan konverg\'alnak egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, akkor a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban is
konverg\'alnak ehhez a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz.
\item{b.)} Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a megford\'{\i}t\'asa nem
igaz. P\'eld\'aul, ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
amelyek nem elfajultak, azaz nincs olyan konstans amelyeket ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesznek fel, akkor a $\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'al\-to\-z\'ok eloszl\'asban
konverg\'alnak a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz,
viszont nem konverg\'alnak sztochasztikusan.
\item{c.)} Viszont igaz a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as: Ha
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak egy $a$ konstanshoz, (azaz
egy  olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, amely egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $a$ konstanst veszi fel, akkor a
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat sztochasztikusan is konverg\'al
ehhez az $a$ konstanshoz. \medskip

Most r\'at\'er\"unk annak t\'argyal\'as\'ara, hogyan lehet a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'egen
alapul\'o bizony\'{\i}t\'as\'at finom\'{\i}tva a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et is bebizony\'{\i}tani alkalmas felt\'etelek mellett.
Az al\'abb ismertetend\H{o} \'ervel\'esben val\'oj\'aban a t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben a sz\"uks\'egesn\'el sokkal
er\H{o}sebb kik\"ot\'eseket tesz\"unk. Id\'ezz\"uk fel a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eget, illetve a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'at a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip\noindent
{\bf Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg:} {\it Ha a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o m\'asodik momentuma
$E\xi^2=m^2$, akkor tetsz\H{o}leges $x>0$ sz\'amra
$$
P(|\xi|>x)\le \frac{m_2}{x^2}.
$$
Innen k\"ovetkezik, ha ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget a
$\bar\xi=\xi-E\xi$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
al\-kal\-maz\-zuk, hogy
$$
P(|\xi-E\xi|>x)\le \frac{\text{\rm Var}\,\xi}{x^2},
$$
}

\medskip
A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et \'ugy bizony\'{\i}tottuk be,
hogy megvizsg\'altuk milyen becsl\'est ad a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere,
hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'atlaga legal\'abb $\e$-nal elt\'er e v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l. Id\'ezz\"uk fel ezt a sz\'amol\'ast,
illetve ezzel p\'arhuzamosan vizsg\'aljuk meg azt is, milyen
becsl\'est kapunk, ha tov\'abbre is azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot vizsg\'aljuk, amelyet \'ugy kapunk, hogy f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'atlaga minusz azok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et vessz\"uk, de most
ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak nemcsak a m\'asodik
momentum\'at sz\'amoljuk ki, mint tett\"uk a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg alkalmaz\'as\'aban, ha\-nem a negyediket is.
L\'atni fogjuk, hogy ekkor \'erdekes \'uj eredm\'enyeket kapunk.

Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket. Legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma el\-osz\-l\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$. Tegy\"uk fel, hogy $E\xi_1=0$, \'es
vizsg\'aljuk az
$$
E\(\frac{S_n}n\)^2,\quad E\(\frac{S_n}n\)^4\quad\text{\'es}\quad
P\(\frac{|S_n|}n>\e\)=P\(\left|\frac{S_n}n-E\xi_1\right|>\e\),\; \e>0
$$
kifejez\'eseket. Az utols\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
vizsg\'alat\'aban nem jelent megszor\'{\i}t\'ast az $E\xi_1=0$
felt\'etel, mert a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
a $\xi_j-E\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal
he\-lyet\-te\-s\'{\i}t\-ve az \'altal\'anos esetet erre a speci\'alis
esetre reduk\'alhatjuk.
$$
\text{Var}\,\frac{S_n}n=\frac1{n^2}\text{Var}\,{S_n}=
\frac n{n^2}\text{Var}\,\xi_1=
\frac 1n\text{Var}\,\xi_1,\quad
P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)\le\frac {\text{Var}\,\xi_1}{n\e^2}.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)=0$,
teh\'at \'erv\'enyes a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye.
$$
E\(\frac{S_n}n\)^4=\frac1{n^4}E(\xi_1+\cdots+\xi_n)^4,
$$
$$
\align
E(\xi_1+\cdots+\xi_n)^4&=\sum_{k=1}^n E\xi_k^4+6\sum\Sb 1\le j,k\le
n\\ j\neq k\endSb E\xi_j^2 E\xi_k^2
+4\sum\Sb 1\le j,k\le
n\\ j\neq k\endSb \underbrace{E\xi_j^3E\xi_k}_{=0} \\
&\qquad+4\sum\Sb 1\le j,k,l\le
n\\ j,k,l\text{ k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amok}\endSb
\underbrace{E\xi_j^2E\xi_kE\xi_l}_{=0} \\
&\qquad +\sum\Sb 1\le j,k,l,m\le
n\\ j,k,l,m\text{ k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amok}\endSb
\underbrace{E\xi_jE\xi_kE\xi_lE\xi_m}_{=0} \\
&=n E\xi_1^4+6n(n-1) (E\xi_1^2)^2,
\endalign
$$
ez\'ert
$$
P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)\le\frac{\frac1n
E\xi_1^4+6\(1-\frac1n)(E\xi_1)^2\)}{n^2\e^4}\le \frac{\const}{n^2\e^4}.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy
$\summ_{n=1}^\infty P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)<\infty$ minden
$\e>0$ sz\'amra, \'es a Borel--Cantelli lemma (k\"onnyebbik
fel\'eb\H{o}l) k\"ovetkezik, hogy minden $\e>0$ sz\'amra \'es majdnem
minden $\oo\in\Omega$ pontban teljes\"ul, hogy
$\left|\frac{S_n(\oo)}n\right|\le \e$, ha $n\ge
n_0(\oo)$. Alkalmazva ezt a rel\'aci\'ot minden $\e=\frac1k$ sz\'amra
$k=1,2,\dots$, kapjuk a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et,
amelyet az al\'abbi t\'etelben fogalmazunk meg.

\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel
egy {\it gyenge form\'aja}\/:} {\it Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots,$
f\"uggetlen egyforma eloszl\'aa\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, amelyekre teljes\"ul
az $E\xi_1^4<\infty$ felt\'etel, \'es vezess\"uk be az
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat. Ekkor az $\frac{S_n(\oo)}n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok majdnem minden
$\oo\in\Omega$-ra konverg\'alnak ez $E\xi_1$, sz\'amhoz, azaz ezek
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et.} \medskip
Megfogalmazom a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et kimond\'o
t\'etelt eredeti, \'eles for\-m\'a\-j\'a\-ban is.

\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et kimond\'o t\'etel.}
{\it Legyen $\xi_1$, $\xi_2$,\dots, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es defini\'aljuk
az $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegeket. Az
$\frac{S_n(\oo)}n$, $n=1,2,\dots$, sorozat akkor \'es csak akkor
konverg\'al pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha
$E|\xi_1|<\infty$. Ha $E|\xi_1|<\infty$, akkor ez a sorozat
teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, azaz
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{S_n(\oo)}n=E\xi_1\quad\text{majdnem minden }
\oo\in\Omega\text{-ra}.
$$
}

\medskip\noindent
L\'attuk, hogy a nagy sz\'amok k\"ul\"onb\"oz\H{o} t\"orv\'enyeit
kimond\'o t\'etelekben az \"osszeadand\'ok momentumair\'ol tesz\"unk
fel bizonyos felt\'eteleket. S\H{o}t, az utolj\'ara kimondott t\'etel
a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l, egyben jelzi
azt, hogy ez a felt\'etel nemcsak el\'egs\'eges, hanem sz\"uks\'eges
felt\'etel is. Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, mi\'ert j\'atszik olyan
fontos szerepet a momentumok l\'etez\'ese ezekben az eredm\'enyekben.

A nagy sz\'amok t\"orv\'enyei olyan \'all\'{\i}t\'ast fogalmaznak meg,
hogy f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
\'atlagai egyfajta tipikus viselked\'est mutatnak, amelyikben az
egyes \"osszeadand\'ok hat\'asa \"onmag\'aban nem jelent\H{o}s, azaz
nagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nem fordulhat el\H{o}, hogy van az
\"osszegben olyan kiugr\'oan nagy \'ert\'eket felvev\H{o} tag, amelynek
hat\'asa \"osszem\'erhet\H{o} az \"osszes t\"obbi tag hat\'as\'aval.
M\'arpedig az, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
valamely momentuma kisebb egy adott sz\'amn\'al olyan tulajdons\'agot
fogalmaz meg, amely szerint a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz fel nagy \'ert\'ekeket. Ahhoz,
hogy finomabb vizsg\'alatokat el tudjunk v\'egezni, ki kell tudnunk
fejezni a momentumok v\'egess\'eg\'et az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
nyelv\'en. A k\"ovetkez\H{o} lemma \'all\'{\i}t\'asa \'erdekes lesz a
nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'aban.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
abszolut \'ert\'ek\'enek akkor \'es csak akkor l\'etezik v\'arhat\'o
\'ert\'eke, azaz akkor \'es csak akkor teljes\"ul az $E|\xi|<\infty$
rel\'aci\'o, ha $\summ_{n=1}^\infty P(|\xi|>n)<\infty$.}
\medskip\noindent
