\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1.5pt

\parskip=1pt plus 1pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat els\H{o} el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2007. febru\'ar 6.}

\medskip\noindent
Tekints\"unk el\H{o}sz\"or n\'eh\'any p\'eld\'at, amelyek
megmutatj\'ak, hogy milyen k\'er\-d\'e\-sek\-kel fog\-lal\-ko\-zik
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as.

Tapasztalatb\'ol tudjuk, hogy \'evente k\"or\"ulbel\"ul ugyan\-annyi
fi\'u \'es l\'any sz\"uletik. Ugyan\-akkor, az, hogy az egyes
\'ujsz\"ul\"ottek fi\'uk lesznek-e vagy l\'anyok a v\'eletlent\H{o}l
f\"ugg. Term\'eszetes feltenni, hogy minden \'ujsz\"ul\"ott
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul lesz $\frac12$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel fi\'u vagy l\'any. Az, hogy ilyen
k\"or\"ulm\'enyek k\"oz\"ott minden \'evben k\"or\"ulbel\"ul
ugyan\-annyi fi\'u \'es l\'any sz\"uletik, teh\'at nem az a helyzet,
hogy egyik \'evben a sz\"uletend\H{o} fi\'uk a m\'asik \'evben a
sz\"uletend\H{o} l\'anyok sz\'ama sokkal nagyobb, a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egy nagyon fontos
eredm\'eny\'enek a {\it nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'enek}\/ a
k\"ovetkezm\'enye. Ez a t\"orv\'eny azt mondja, hogy ha sok
egym\'ast\'ol f\"uggetlen kis\'erletet v\'egz\"unk, amelyek
eredm\'enye valamely v\'eletlen sz\'am, akkor a m\'ert eredm\'enyek
\'atlaga nagyon kev\'ess\'e ingadozik a kis\'erletek eredm\'eny\'enek
v\'arhat\'o \'ert\'eke k\"or\"ul. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast
k\'es\H{o}bb pontosabban is meg fogom fogalmazni.

Szeretn\'enk pontosabb eredm\'enyeket kapni arr\'ol, hogy mekkora ez
az ingadoz\'as. Ilyen eredm\'enyt \'{\i}r le az \'ugynevezett {\it
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.} A probl\'ema meg\'ert\'ese
\'erdek\'eben tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at. Valaki a
k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot aj\'anlja fel nek\"unk. Feldob egy
(szerinte) szab\'alyos p\'enzdarabot 10~000 alkalommal. Fejdob\'as
eset\'en mi fizet\"unk neki 1 forintot, \'{\i}r\'asdob\'as eset\'en
\H{o} fizet nek\"unk 1 forintot. Elhissz\"uk-e, hogy a p\'enzdarab
val\'oban szab\'alyos volt, ha mind a 10~000 dob\'as fej volt? \'Es
akkor, ha 9000 fej \'es 1000 fej dob\'as t\"ort\'ent? Ha 6000 fej
\'es 4000 \'{\i}r\'asdob\'as? Ha 5200 fej \'es 4800 \'{\i}r\'asdob\'as?
Ha 5050 fej \'es 4950 \'{\i}r\'asdob\'as?

Term\'eszetesen elvileg el\H{o}fordulhat, hogy egy szab\'alyos
p\'enzdarab, amelyet 10~000 alkalommal feldobunk minden egyes esetben
a fej oldalra esik. De ennek a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge
rendk\'{\i}v\"ul kicsi, $2^{-10~000}$. Nagyon hihetetlennek t\H{u}nhet,
hogy egy ilyen esem\'eny val\'oban bek\"ovetkezik. Ugyancsak
rendk\'{\i}v\"ul kicsi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
fej\-do\-b\'a\-sok sz\'ama nagyobb mint 9000. A nagy sz\'amok t\"orv\'enye
szerint nagy $x$ sz\'amra annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
fej\-do\-b\'a\-sok sz\'ama nagyobb mint $5000+x$ rendk\'{\i}v\"ul
kicsi nagy $x$ sz\'amok eset\'en. De felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy mely
$x$ sz\'amok tekinthet\H{o}k nagynak. Ahhoz, hogy ezt a k\'erd\'est meg
tudjuk v\'alaszolni, j\'o lenne ismerni egy olyan eredm\'enyt, amelyik
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg megadja annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint $5000+x$ egy szab\'alyos
p\'enzdob\'as feldob\'asa eset\'en. Ilyen eredm\'eny ismeretes, \'es
ezt nevezik a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek.

%\'Erdemes megjegyezni, hogy ilyen jelleg\H{u} k\'erd\'esek m\'askor
%is term\'eszetes m\'odon felmer\"ulnek. P\'eld\'aul a 2000. \'evi
%amerikai eln\"okv\'alaszt\'ason nagyon szoros volt a Florida \'allamban
%megadott eredm\'eny. A k\"ul\"onb\"oz\H{o} id\H{o}pontokban megadott
%eredm\'enyek szerint egyszer mondtak olyan szoros eredm\'enyt is,
%amely szerint a leadott 5~000~000 szavazatb\'ol a k\'et jel\"oltre
%leadott szavazatok k\"ul\"onbs\'ege mind\"ossze 300 volt. Felmer\"ul a
%k\'erd\'es: Ha feltessz\"uk, hogy az egyes szavaz\'ok egym\'ast\'ol
%f\"uggetlen\"ul szavaztak, \'es $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
%v\'alasztott\'ak valamelyik jel\"oltet, akkor egy ilyen
%rendk\'{\i}v\"ul szoros v\'alaszt\'asi eredm\'eny rendk\'{\i}v\"ulinek
%tekinthet\H{o} vagy viszonylag nagy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
%hogy a szavazatok k\"ul\"onbs\'ege ilyen felt\'etelek mellett kisebb
%mint 300. A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eget
%ny\'ujt e k\'erd\'es megv\'alaszol\'as\'aban, \'es e szerint az
%eredm\'eny szerint egy ilyen esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
%k\"or\"ulbel\"ul $0.1$. Ezt a feladatot k\'es\H{o}bb t\'argyalni
%fogjuk.

\'Erdemes megjegyezni, hogy a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
m\'as fontos probl\'em\'akban is megjelenik. Mutatok erre egy
p\'eld\'at. Tegy\"uk fel, hogy 100 l\'ampa \"ossz\'elettartam\'ara
vagyunk kiv\'ancsiak. Olyan l\'amp\'akat haszn\'alunk, amelyek
mindegyik\'enek v\'arhat\'o \'elettartama 100 \'ora, de val\'odi
\'elettartamuk egy ek\"or\"uli \'ert\'ek valamilyen v\'e\-let\-len
ingadoz\'assal. Ha egy l\'ampa ki\'eg, akkor kicser\'elj\"uk
a k\"ovetkez\H{o} l\'amp\'ara, amelynek v\'arhat\'o \'elettartama
szint\'en 100 \'ora, de val\'odi \'elettartama e v\'arhat\'o
\'ert\'ek k\"or\"ul ingadozik. Az \"osszes l\'ampa
egy\"uttes \'elettartama ekkor 10~00 \'ora plusz valamilyen
v\'eletlen ingadoz\'as. A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
ennek az ingadoz\'asnak az eloszl\'as\'ar\'ol mond ki egy nagyon
\'erdekes eredm\'enyt. Ennek az eloszl\'asnak jellegzetes alakja
van, amely bizonyos \'ertelemben nem f\"ugg  a l\'amp\'ak
\'elettartalm\'anak viselked\'es\'et\H{o}l. Ez magyar\'azza meg azt
is, hogy mi\'ert jelenik meg teljesen k\"ul\"onb\"oz\H{o}
probl\'em\'akban egy jellegzetes harangg\"orb\'enek nevezett g\"orbe.
Ennek pontosabb ma\-gya\-r\'a\-za\-t\'at csak k\'es\H{o}bb, a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel t\'ar\-gya\-l\'a\-sa sor\'an
fogom megadni.

Ugyanis a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek, ennek a
rendk\'{\i}v\"ul fontos eredm\'enynek, a megfogalmaz\'asa n\'eh\'any
a k\'es\H{o}bbiekben t\'argyalt fogalom ismeret\'et ig\'enyli.
P\'eld\'aul mit jelent a l\'ampa \'elettartam\'anak a v\'arhat\'o
\'ert\'eke? Ez heurisztikus szinten \'erthet\H{o}, de ahhoz hogy
sz\'amolni is tudjunk a v\'arhat\'o \'ert\'ekkel e fogalom pontosabb
kidolgoz\'asa \'es meg\'ert\'ese sz\"uks\'eges. Ugyancsak meg kell
\'erten\"unk azt, hogy  amikor a l\'ampa \'elettartam\'anak az
ingadoz\'as\'at tekintj\"uk, akkor hogyan \'erdemes m\'erni ennek
nagys\'ag\'at. E probl\'em\'ak tiszt\'az\'asa fontos r\'esz\'et
k\'epezik a k\'es\H{o}bbi el\H{o}ad\'asoknak.

A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as megalkot\'as\'aban
k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H{o} szerencsej\'at\'ekok vizsg\'alata is
nagyon fontos szerepet j\'atszott. Az ilyen k\'erd\'esek alaposabb
vizsg\'alata nagyon hasz\-nos\-nak bizonyult, t\"obb \'er\-t\'e\-kes
gondolat h\'atter\'eben szerencsej\'at\'ekokkal kapcsolatos
meggondol\'asok rejlenek. \'Erdemes megjegyezni, hogy az
els\H{o} ilyen h\'{\i}res probl\'ema De M\'er\'e lovagt\'ol
sz\'armazik, aki Pascalnak tette fel k\'et szerencsej\'at\'ekkal
kapcsolatos k\'erd\'es\'et. Ezek egyik\'et de M\'er\'e lovag is
meg tudta v\'alaszolni, de a m\'asikat nem. Pascal meg\-ol\-dot\-ta
ezt a feladatot, amelyet lev\'elben elk\"uld\"ott a Toulouseban
\'el\H{o} Fermatnak. Fermat is megoldotta ezt a probl\'em\'at.
Fermat megold\'asi m\'odszere k\"ul\"onb\"oz\"ott, de ugyanazt az
eredm\'enyt kapta. Ezut\'an \'{\i}rta Pascal sokat id\'ezett
mondat\'at: Ugyanaz az igazs\'ag P\'arizsban \'es Toulouseban.
Le\'{\i}rom de M\'er\'e lovag k\'erd\'eseit, \'es egy
kieg\'esz\'{\i}t\'esben a r\'ajuk adhat\'o v\'alaszt is. De e
feladatok megold\'asa a gyakorlatok anyaga.

\medskip\noindent
{\it De M\'er\'e lovag probl\'em\'aja:}
\medskip
\item{a.)} Ha egy kock\'at 4-szer feldobunk, akkor mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy hatos dob\'as lesz?
Ha k\'et kock\'at 24-szer feldobunk, mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy dupla hatos lesz?
\item{} (De M\'er\'e lovag arra csod\'alkozott r\'a, hogy az els\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\frac12$-n\'el kicsit kisebb, a m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg pedig $\frac12$-n\'el kicsit nagyobb.)
\item{b.)} K\'et j\'at\'ekos egy igazs\'agos j\'at\'ekot j\'atszik,
amelynek mindegyik fordul\'oj\'aban az egyes j\'at\'ekosok $\frac12$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nyernek, illetve vesz\'{\i}tenek.
Meg\'allapodnak, hogy az a j\'at\'ekos nyeri el a t\'etet, aki
el\H{o}sz\"or \'er el hat nyer\'est. De a j\'at\'ekot f\'elbe kell
szak\'{\i}taniuk akkor, amikor az egyik\"uknek h\'arom a m\'asikuknak
pedig \"ot nyer\'ese volt. Hogyan kell igazs\'agosan osztozkodniuk?

\medskip
A fenti k\'erd\'eseket m\'ar a XVII. sz\'azadban megt\'argyalta
Pascal \'es Fermat. Sokan innent\H{o}l sz\'am\'{\i}tj\'ak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as elm\'elet\'enek
l\'etrej\"ott\'et.  Ezut\'an is t\"obb nagy matematikus
foglalkozott ezzel a t\'em\'aval. K\"oz\"ul\"uk k\"ul\"on
eml\'{\i}t\'est \'erdemel Pierre--Simon Laplace (1749--1827), aki
egyik f\H{o} m\H{u}v\'et az {\it Analitikus
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egelm\'elet}\/ c\'{\i}m\H{u}
k\"onyvet (Th\'eorie  Analitique des Probabilit\'es) ennek a
t\'em\'anak szentelte. S\H{o}t ezenk\'{\i}v\"ul meg\'{\i}rta
e k\"onyvnek a m\H{u}velt nagyk\"oz\"ons\'eg sz\'am\'ara
k\'esz\'{\i}tett v\'altozat\'at is {\it Filoz\'ofiai essz\'e a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asr\'ol}\/  (Essai
Phylosophique sur les Probabilit\'es) c\'{\i}men. M\'egis a mai
modern val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as megalkot\'as\'at
j\'oval k\'es\H{o}bbre dat\'alj\'ak. Ez And\-rei Nyikolaevics
Kolmogorov (1903--1987)  nev\'ehez f\H{u}z\H{o}dik, aki az 1930-as
\'evekben \'{\i}rt  {\it Grundbegriffe der
Wahr\-shein\-lich\-keits\-theorie}\/ (A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as alapjai) c\'{\i}m\H{u}
m\H{u}v\'eben vezette be a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
ma haszn\'alt modellj\'et. Tov\'abb\'a be\-bi\-zo\-ny\'{\i}\-tott
n\'eh\'any olyan alap\-ve\-t\H{o} ered\-m\'enyt is, amelyek
lehet\H{o}v\'e tett\'ek e modell haszn\'alat\'at. Annak, hogy a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
el\-m\'e\-le\-t\'et ilyen k\'es\H{o}n alkott\'ak meg k\'et f\H{o} oka
volt. Egyr\'eszt filoz\'ofiai szinten neh\'ez volt megfogalmazni
\'es elfogadtatni a v\'eletlen alkalmas fogalm\'at. A m\'asik ok
matematikai jelleg\H{u}. A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
elm\'elet\'enek szigor\'u meg\-ala\-po\-z\'a\-sa felhaszn\'alja a XX.
sz\'azadi matematika egy  m\'ely elm\'elet\'enek, a
m\'ert\'ekelm\'eletnek az eredm\'enyeit is.

B\'ar a hallgat\'os\'ag ezt az elm\'eletet nem tanulta, ez nem
z\'arja ki az el\H{o}ad\'as meg\-\'er\-t\'e\-s\'et. A
m\'ert\'ekelm\'elet ugyanis  arra szolg\'al, hogy egyr\'eszt
matematikailag szi\-go\-r\'u\-an  igazolja azoknak a m\'odszereknek
a jogoss\'ag\'at, amelyeket a j\'ozan \'esz dikt\'al, m\'asr\'eszt
megmutassa, hogy mindazok a k\'erd\'esek, amelyeket
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi probl\'em\'anak
tekint\"unk t\'argyalhat\'o a kidolgozott elm\'elet keretein
bel\"ul. Ismertetni fogom Kolmogorov modellj\'et, de azokat
a m\'ely elm\'eleti eredm\'enyeket, amelyek ennek alapj\'aul
szol\-g\'al\-nak, (\'es amelyek ismeret\'ere nincs sz\"uks\'eg\"unk
konkr\'et feladatok megold\'as\'aban) bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul
fogom k\"oz\"olni. Ezel\H{o}tt azonban egy kis kit\'er\H{o}t teszek.
Felid\'ezem a kombinatorika n\'eh\'any olyan eredm\'eny\'et, amelyek
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban is
fontos szerepet j\'atszanak. \'Attekintem, hogy h\'anyf\'elek\'epp
lehet egy $n$ elem\H{u} halmazb\'ol $k$~ele\-met
ki\-v\'a\-lasz\-ta\-ni, illetve n\'eh\'any ezzel kapcsolatos
k\'erd\'est t\'argyalok.

\beginsection Egy kombinatorikai k\'erd\'es vizsg\'alata.

A k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'essel foglalkozunk. H\'anyf\'elek\'epp
lehet egy $n$ elem\H{u} halmazb\'ol $k$ elemet, $k\le n$,
kiv\'alasztani? Vegy\"uk el\H{o}sz\"or is \'eszre, hogy
val\'oj\'aban egy n\'egy k\'erd\'esb\H{o}l \'all\'o
k\'erd\'escsoportr\'ol van sz\'o. A pontos k\'erd\'esfeltev\'eskor
ugyanis meg kell mondani, hogy sz\'am\'{\i}t-e a kiv\'alaszt\'as
sorrendje. Azaz ha egym\'as ut\'an kiv\'alasztunk $k$ elemet $n$
elemb\H{o}l, \'es k\'et olyan v\'alaszt\'assorozatot tekint\"unk,
amelyekben ugyanazt a $k$ elemet v\'alasztjuk ki, de m\'as
sorrendben, akkor ezt a $k$ elem k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
kiv\'alaszt\'as\'anak tekintj\"uk-e vagy sem. Ugyancsak tiszt\'azni
kell azt, hogy ha egy elemet kiv\'alasztottunk v\'alaszthatjuk-e
ugyanazt az elemet m\'egegyszer vagy sem. Ezt a k\'erd\'est \'ugy
is meg szokt\'ak fogalmazni, hogy visszatev\'essel v\'alasztunk-e
vagy visszatev\'es n\'elk\"ul. Az al\'abbiakban p\'eld\'aval
megvil\'ag\'{\i}tva mind a n\'egy lehet\H{o}s\'eget t\'argyalom.
Az egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert feltehetj\"uk, hogy az $n$
elem\H{u} halmaz, amelyb\H{o}l v\'alasztunk megegyezik az
$\{1,2,\dots,n\}$ halmazzal.

\medskip
\item{} Probl\'ema A) H\'anyf\'elek\'epp lehet kiv\'alasztani $n$
elem k\"oz\"ul $k$ elemet, ha minden elemet csak egyszer
(visszatev\'es n\'elk\"ul) v\'alaszthatunk, \'es nem sz\'am\'{\i}t
a sorrend?
\item{} Probl\'ema B) H\'anyf\'elek\'epp lehet kiv\'alasztani $n$
elem k\"oz\"ul $k$ elemet, ha minden elemet csak egyszer
(visszatev\'es n\'elk\"ul) v\'alaszthatunk, \'es sz\'am\'{\i}t a
sorrend?

\medskip
E k\'et feladat \'es a k\"ozt\"uk lev\H{o} k\"ul\"onbs\'eg
meg\'ert\'ese \'erdek\'eben tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o}
k\'erd\'est: H\'anyf\'ele eredm\'enye lehet egy lott\'oh\'uz\'asnak?
Ha azt k\'erdezz\"uk, h\'any k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H{o} eredm\'eny
jelenhet meg a m\'asnapi \'ujs\'agban, akkor a v\'alasz az \"ot
hossz\'us\'ag\'u, 1 \'es 90 k\"oz\"otti sz\'amokat felvev\H{o},
szigor\'uan monoton n\"ovekv\H{o} sz\'amsorozatok sz\'ama. Ha valaki
elmegy a lott\'oh\'uz\'asra, \'es feljegyzi mag\'anak az egym\'as
ut\'an kih\'uzott sz\'amokat, akkor egy \"ot hossz\'us\'ag\'u
\'ert\'ekeit 1 \'es 90 k\"oz\"ott felvev\H{o} sz\'amsorozatot jegyez
fel mag\'anak, amelynek \'ert\'ekei nem felt\'etlen\"ul monoton
n\H{o}nek. K\'erdezhetj\"uk azt is h\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o}
eredm\'enyt jegyezhet fel az ilyen megfigyel\H{o}. Az els\H{o}
esetben az A) a m\'asodik esetben a B) probl\'ema megold\'as\'at
k\'erdezz\"uk  $n=90$, $k=5$ esetben.

\medskip\noindent
A B) k\'erd\'esre a v\'alasz $n(n-1)\cdots(n-k+1)$, mert az els\H{o}
elemet $n$ a m\'asodik elemet $n-1$, \'es \'{\i}gy tov\'abb a $k$-ik
elemet $n-k+1$ f\'elek\'epp v\'alaszthatjuk.
\medskip\noindent
Az A) k\'erd\'esre a v\'alasz
$\binom nk=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$, mert ha
megk\"ul\"onb\"oztetj\"uk a $k$ elem k\'et olyan
ki\-v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'at, amelyekben
ugyanazokat az elemeket v\'alasztjuk, de m\'as sorrendben, akkor
$n(n-1)\cdots(n-k+1)$ v\'alaszt\'as lehets\'eges. M\'asr\'eszt ha
k\'et sorozatot nem k\"u\"onb\"oztet\"unk meg akkor, ha ugyanazokat
az elemeket tartalmazz\'ak csak esetleg m\'as sorrendben, akkor
az el\H{o}z\H{o} \"osszesz\'aml\'al\'asban minden
lehets\'eges sorozatot $k!$ multiplicit\'assal sz\'amoltunk.

\medskip
\item{} Probl\'ema C) H\'anyf\'elek\'epp lehet kiv\'alasztani $n$
elem k\"oz\"ul $k$ elemet, ha minden elemet t\"obbsz\"or is
(visszatev\'essel) v\'alaszthatjuk, \'es nem sz\'am\'{\i}t
a sorrend?
\item{} Probl\'ema D) H\'anyf\'elek\'epp lehet kiv\'alasztani $n$
elem k\"oz\"ul $k$ elemet, ha minden elemet t\"obbsz\"or is
(visszatev\'essel) v\'alaszthatjuk, \'es sz\'am\'{\i}t a
sorrend?
\medskip\noindent
P\'elda olyan feladatra, amelyben a C) \'es D) probl\'ema jelenik
meg: Megk\'erdez\"unk $k$ embert, hogy mikor, azaz az \'ev h\'anyadik
napj\'an sz\"ulettek. (Az egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert tegy\"uk
fel, hogy senki sem sz\"uletett a sz\"ok\H{o}napon, azaz febru\'ar
29-\'en.) Ha valaki egym\'as ut\'an feljegyzi, hogy a $k$
megk\'erdezett szem\'ely az \'ev melyik napj\'an sz\"uletett, \'es
arra vagyunk kiv\'ancsiak, h\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o} feljegyz\'es
lehets\'eges, akkor a D) k\'erd\'est kell meg\-v\'a\-la\-szol\-nunk.
Ha feljegyezz\"uk n\"ovekv\H{o} sorrendben azokat a napokat,
amelyeken a megk\'erdezett emberek valamelyik\'enek sz\"ulet\'esnapja
van, \'es minden napot annyiszor jegy\-z\"unk fel, ah\'any\-szor
valamelyik megk\'erdezett ezt, mint sz\"ulet\'esnapot megadta, akkor
a lehets\'eges sz\'am\-so\-ro\-za\-tok sz\'am\'anak megad\'asa a C)
k\'erd\'eshez vezet.

\medskip\noindent
A D) k\'erd\'esre a v\'alasz egyszer\H{u}; $n^k$ v\'alaszt\'as
lehets\'eges, mert $k$ alkalommal $n$ elem valamelyik\'et
v\'alaszthatjuk.

\medskip
A C) k\'erd\'es megv\'alaszol\'asa nehezebb. Az A) feladat
megold\'as\'aban haszn\'alt m\'odszer ebben az esetben nem
alkalmazhat\'o. (Gondoljuk meg p\'eld\'aul, hogy h\'any
k\"ul\"onb\"oz\H{o} h\'arom hossz\'us\'ag\'u sorozat adhat\'o meg,
ha megmondjuk, hogy melyik sz\'am\-jegy h\'anyszor jelenhet meg. Egy
csupa 1-esb\H{o}l \'all\'o sorozat csak egyf\'elek\'epp adhat\'o
meg, \'ugy mint 1,1,1. Egy k\'et 1-esb\H{o}l \'es egy 2-esb\H{o}l
\'all\'o sorozat h\'arom k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'o\-don adhat\'o meg:
1,1,2, 1,2,1, 2,1,1. Egy egy 1-es egy 2-es \'es egy 3-asb\'ol
\'all\'o sorozat hat k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon adhat\'o meg:
1,2,3, 1,3,2, 2,1,3, 2,3,1, 3,1,2, 3,2,1. Azaz, k\"ul\"onb\"oz\H{o}
tipus\'u sorozatok sorbarendez\'eseinek a sz\'ama
k\"ul\"onb\"oz\H{o}.) A C) feladat megold\'asa m\'as gondolatok
alkalmaz\'as\'at ig\'enyli.

\medskip\noindent
A C) k\'erd\'esre a v\'alasz $\binom {n+k-1}k$. Ennek meg\'ert\'ese
\'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy a k\'erd\'es ekvivelens a
k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'aval. H\'any $k$ hossz\'us\'ag\'u
monoton (nem felt\'etlen\"ul szigor\'uan monoton) sorozat van,
amelynek elemei az $\{1,2,\dots,n\}$ halmaz elemei? Ezen
ekvivalencia meg\'ert\'es\'enek \'erdek\'eben \'erdemes az $n$
elem\H{u} halmazt az $\{1,2,\dots,n\}$ halmaznak v\'alasztani.
Ebben az esetben egy lehets\'eges halmaz kiv\'alaszt\'asa megegyezik
egy olyan (nem felt\'etlen\"ul szigor\'uan) n\"ovekv\H{o} $k$
hossz\'us\'ag\'u sz\'amsorozat meg\-ad\'a\-s\'a\-val, amelynek
elemei 1 \'es $n$ k\"oz\"otti eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel.

Az ilyen sorozatok \"osszesz\'amol\'asa \'erdek\'eben alkalmazzuk
a k\"ovetkez\H{o} gon\-do\-lat\-mene\-tet. Minden egyes ilyen
tulajdons\'ag\'u sorozatnak feleltess\"uk meg a k\"ovetkez\H{o}
sorozatot. Az els\H{o} sz\'amhoz adjunk 0-t a m\'asodikhoz
1-et, a harmadikhoz 2-t, \dots, a $k$-ikhoz $k-1$-et. Ilyen m\'odon
egy szigor\'uan n\"ovekv\H{o} $k$ hossz\'us\'ag\'u sorozatot kapunk,
amelynek elemei az $1,2,\dots,n+k-1$ sz\'amok valamelyik\'et veszik
fel. S\H{o}t, ilyen m\'odon k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u}
megfeleltet\'est adunk a $k$ hossz\'us\'ag\'u (nem felt\'etlen\"ul
szigor\'uan) n\"ovekv\H{o} \'ert\'ekeit az $\{1,\dots,n\}$ halmazban
felvev\H{o}, illetve a $k$ hossz\'us\'ag\'u, (szigor\'uan)
n\"ovekv\H{o} \'es \'ert\'ekeit az $\{1,2,\dots, n+k-1\}$ halmazban
felvev\H{o} sorozatok k\"oz\"ott. Ez\'ert a keresett tulajdons\'ag\'u
sorozatok sz\'ama megegyezik a $k$ hossz\'us\'ag\'u szigor\'uan
n\"ovekv\H{o}, \'ert\'ekeit az $\{1,2,\dots, n+k-1\}$ halmazban
felvev\H{o} sorozatok sz\'am\'aval. Az ilyen sorozatok sz\'ama
$\binom{n+k-1}k$.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A C) k\'erd\'es feladat megold\'as\'aban
felhaszn\'altuk azt a t\'enyt, hogy k\'et halmaz, amelyek elemei
k\"oz\"ott k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'es
l\'etes\'{\i}thet\H{o} ugyan\-annyi elemb\H{o}l \'all. Ez az
\'eszrev\'etel \'erv\'enyes v\'egtelen halmazokra is. S\H{o}t,
v\'egtelen halmazok eset\'en ezen tulajdons\'ag
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alj\'ak azt, hogy k\'et halmaznak
mikor ugyanakkora a sz\'amoss\'aga. Ez a t\'eny megjelenik a
megsz\'aml\'alhat\'o sz\'amoss\'ag\'u halmazok definici\'oj\'aban
is, amelynek meg\'ert\'es\'ere a k\'es\H{o}bbiekben
sz\"uks\'eg\"unk lesz.

\medskip
{\it Feladat:}
$$
\align
\binom nk=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}&=
\frac{n!}{k!(n-k)!}=\binom n{n-k}, \\
\binom nk+\binom n{k-1}&=\binom {n+1}k.
\endalign
$$
\medskip

Egy kieg\'esz\'{\i}t\'esben t\'argyalni fogok n\'eh\'any a most
t\'argyalt kombinatorikai k\'er\-d\'e\-sek\-kel kapcsolatos
feladatot.

\beginsection A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
Kolmogorov-f\'ele  modellje.

K\'et term\'eszetes elv\'ar\'asunk van a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egy j\'o modellj\'evel
szemben.

\medskip
\item{(i)} Elv\'arjuk, hogy minden term\'eszetes v\'eletlennel
kapcsolatos feladat t\'argyalhat\'o le\-gyen benne.
\item{(ii)} Elv\'arjuk, hogy azok a hasznos gondolatok, \'ervek,
amelyek lehet\H{o}v\'e teszik konkr\'et feladatok megold\'as\'at,
alkalmazhat\'oak legyenek benne.
\medskip
Kolmogorov modellje mind a k\'et k\'{\i}v\'analmat kiel\'eg\'{\i}ti.
E modell ismertet\'ese fontos r\'esze lesz ennek az
el\H{o}ad\'assorozatnak. Miel\H{o}tt ennek ismertet\'es\'ere
r\'at\'ern\'ek tekintek n\'eh\'any egy\-sze\-r\H{u} feladatot,
amelyek vizsg\'alata seg\'{\i}t meg\'erteni e modellt. Ezeket
a feladatokat megoldjuk n\'eh\'any
term\'eszetes \'erv seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as egy
prec\'{\i}z t\'argyal\'as\'aban ezen \'ervek jogoss\'ag\'at
k\"ul\"on meg kell indokolni. Viszont l\'atni fogjuk, hogy
Kolmogorov elm\'elete \'ugy van fel\'ep\'{\i}tve, hogy abban
k\"ozvetlen\"ul l\'athat\'o az itt alkalmazott m\'odszerek
jogoss\'aga.

\medskip
\item{1.)} Egy p\'enzdarabot feldobunk k\'etszer. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan egy fejdob\'as lesz? Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy fejdob\'as lesz?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A dob\'asok lehets\'eges kimenete,
$(F,F)$, $(F,I)$, $(I,F)$ \'es $(I,I)$. Ezen lehets\'eges kimenetelek
mindegyik\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac14$. Ez\'ert annak
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy pontosan egy fejdob\'as,
azaz az $(F,I)$ vagy $(I,F)$ dob\'assorozat k\"ovetkezik be $\frac12$.
Annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy legal\'abb egy
fejdob\'as, azaz az $(F,F)$, $(F,I)$ vagy $(I,F)$ dob\'assorozatok
eredm\'enye k\"ovetkezik be, $\frac34$.
\item{2.)} Feldobunk k\'et szab\'alyos dob\'okock\'at. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek
\"osszege pontosan 9 illetve pontosan 10? H\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o}
m\'odon fordulhat el\H{o}, hogy a dob\'asok \"osszege 9 \'es h\'any
k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon lehet a dob\'asok \"osszege 10?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A dob\'asok \"osszeg\'enek eredm\'enye
akkor 9, ha a $(3,6)$, $(4,5)$, $(5,4)$ vagy $(6,3)$ dob\'asp\'arok
valamelyike k\"ovetkezik be. Ezen dob\'assorozatok mindegyik\'enek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac1{36}$, ez\'ert $\frac4{36}=\frac19$
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az \"osszeg pontosan 9.
Hasonl\'oan, az \"osszeg akkor 10, ha a $(4,6)$, $(5,5)$ vagy $(6,4)$
dob\'asp\'arok valamelyike jelenik meg, \'es ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac3{36}=\frac1{12}$. Jegyezz\"uk meg,
hogy a fenti t\'argyal\'asban az egyes kimenetelek felsorol\'as\'aban
nemcsak azt vett\"uk figyelembe, hogy milyen dob\'aseredm\'enyek
jelentek meg, hanem azt is, hogy melyik kock\'an jelentek meg ezek
a dob\'aseredm\'enyek.
\medskip
\item{3.)} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 25 goly\'ot visszatev\'essel. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye piros? Annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as eredm\'enye
piros \'es a m\'asodik\'e feh\'er? Annak, hogy az \"ot\"odik
h\'uz\'as eredm\'enye piros? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as
eredm\'enye piros \'es a tizenhatodik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} h\'uz\'as piros $\frac{20}{50}=\frac25$, mert 50 goly\'ob\'ol
h\'uzzuk ki a 20 piros goly\'o valamelyik\'et, \'es minden goly\'ot
egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel h\'uzunk ki. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros, a
m\'asodik feh\'er, $\frac25\cdot\frac35=\frac6{25}$, mert
el\H{o}sz\"or 50 goly\'o k\"oz\"ul v\'alasztjuk ki a h\'usz piros
goly\'o valamelyik\'et majd 50 goly\'o valamelyik\'eb\H{o}l  a 30
feh\'er goly\'o valamelyik\'et, \'es minden h\'uz\'as egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Hasonl\'oan, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az 5. h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk ki $\frac25$, \'es
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 5. h\'uz\'as sor\'an piros
\'es a 16. h\'uz\'as sor\'an feh\'er goly\'ot h\'uzunk
$\frac25\cdot\frac35=\frac6{25}$.
\item{} Jegyezz\"uk meg, hogy a k\"ovetkez\H{o} feladat megold\'asa
egy olyan \'ervet tartalmaz, amelyik ebben az esetben is
alkalmazhat\'o, \'es megmutatja, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 5. h\'uz\'as piros \'es a 16.
h\'uz\'as feh\'er megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel,
hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros \'es a m\'asodik h\'uz\'as feh\'er.
\'Erdemes ezeket az \'ervel\'eseket m\'egegyszer v\'egiggondolni
azut\'an, hogy megt\'argyaltuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
pontos definici\'oj\'at.
\item{4.)} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 25 goly\'ot {\it visszatev\'es n\'elk\"ul}. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye piros? Annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as eredm\'enye piros
\'es a m\'asodik\'e feh\'er? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as
eredm\'enye piros? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as eredm\'enye
piros \'es a tizenhatodik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} h\'uz\'as piros $\frac{20}{50}=\frac25$, mert 50
goly\'ob\'ol h\'uzzuk ki a 20 piros goly\'o valamelyik\'et, \'es
minden goly\'ot egyforma va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
h\'uzunk ki. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as piros, a m\'asodik feh\'er,
$\frac25\cdot\frac{30}{49}=\frac{60}{245}$, mert
el\H{o}sz\"or 50 goly\'o k\"oz\"ul v\'alasztjuk ki a h\'usz piros
goly\'o valamelyik\'et, majd 49 goly\'o valamelyik\'eb\H{o}l  a 30
feh\'er goly\'o valamelyik\'et, \'es minden h\'uz\'as egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Bel\'atjuk, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 5. h\'uz\'asban piros goly\'ot
h\'uzunk ki, megegyezik annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel,
hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros, azaz $\frac25$. Tov\'abb\'a annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 5. h\'uz\'as sor\'an piros
\'es a 16. h\'uz\'as sor\'an feh\'er goly\'ot h\'uzunk megegyezik
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye piros \'es a m\'asodik h\'uz\'as eredm\'enye  feh\'er.
Ez\'ert ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg is
$\frac25\cdot\frac{30}{49}=\frac{60}{245}$.
\item{} Tekints\"uk ugyanis az \"osszes 25 hossz\'us\'ag\'u
h\'uz\'assorozatot. Ekkor annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
hogy az 5. h\'uz\'as eredm\'enye piros a 16. h\'uz\'as eredm\'enye
feh\'er megegyezik az \"osszes olyan 25 hossz\'us\'ag\'u
h\'uz\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az \"osszeg\'evel,
amelyek 5. hely\'en piros \'es a 16. hely\'en feh\'er jegy \'all.
Hasonl\'oan sz\'am\'{\i}that\'o ki annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros \'es a m\'asodik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er, azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy az 5. hely
helyett az els\H{o} \'es a 16. hely helyett a m\'asodik helyet kell
tekinteni. Be fogjuk l\'atni, hogy ugyanaz a k\'eplet fejezi ki ezt a
k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget, ez\'ert azok
megegyeznek. Ezt az \'ervel\'est kiss\'e \'altal\'anosabban fogjuk
kifejteni egy m\'as alkalmaz\'asokban is hasznos egyszer\H{u} lemma
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip

\item{} Annak \'erdek\'eben, hogy a fent jelzett \'ervel\'est
v\'egrehajthassuk, vegy\"uk el\H{o}sz\"or \'eszre a k\"ovetkez\H{o}
t\'enyt. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
el\H{o}\'{\i}rt konkr\'et 25 hossz\'us\'ag\'u sorozat jelenik meg
csak att\'ol f\"ugg, hogy ez a sorozat h\'any piros \'es h\'any feh\'er
goly\'ot tartalmaz, de nem f\"ugg a feh\'er \'es piros h\'uz\'asok
sorrendj\'et\H{o}l. Val\'oban, ha egy h\'uz\'assorozat $s$ piros \'es
$25-s$ feh\'er goly\'ot tartalmaz, akkor e sorozat megjelen\'es\'enek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $P(s)=\frac{20\cdot19\cdots(20-s+1)\cdot
30\cdot29\cdots(30-(25-s)+1)}{50\cdot49\cdots26}$. Ugyanis egy
el\H{o}\'{\i}rt h\'uz\'assorozat va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge
$\prodd_{j=1}^{25}\frac{l(j)}{50-j+1}$, ahol $l(j)$ az a $j-1$-ik
h\'uz\'as ut\'an az urn\'aban maradt piros goly\'ok sz\'ama, ha a
$j$-ik h\'uz\'as piros, \'es a $j-1$-ik h\'uz\'as ut\'an az urn\'aban
maradt feh\'er goly\'ok sz\'ama, ha a $j$-ik h\'uz\'as feh\'er.
Ez a kifejez\'es meg\-egye\-zik a megadott formul\'aval, mert
$\prodd_{j=1}^{25} l(j)=20\cdot19\cdots(20-s+1)\cdot
30\cdot29\cdots(30-(25-s)+1)$. Ugyanis  az azonoss\'ag k\'et
oldal\'an fel\'{\i}rt szorzatokban ugyanazok a t\'enyez\H{o}k
szerepelnek, csak m\'as sorrendben.

\item{} A 4. feladatot a fenti tulajdons\'ag \'es az al\'abbi lemma
seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet megoldani. Ennek a lemm\'anak tov\'abbi
hasznos k\"ovetkezm\'enyei is vannak.
\medskip\noindent
{\bf Lemma bizonyos h\'uz\'assorozatok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l.} {\it Legyen adva $n$ piros
vagy feh\'er goly\'o egy olyan egym\'as ut\'ani v\'eletlen
kiv\'alaszt\'asa, amelyben egy el\H{o}\'{\i}rt $n$
hossz\'u\-s\'a\-g\'u $k$  piros  \'es $n-k$ feh\'er  goly\'ot
tartalmaz\'o sorozat  kiv\'alaszt\'as\'anak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege csak a $k$ sz\'amt\'ol f\"ugg. (Azaz
k\'et olyan h\'uz\'assorozat  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
amelyekben ugyan\-annyi piros \'es feh\'er goly\'ot h\'uztunk ki,
csak m\'as sorrendben megegyezik.) R\"ogz\'{\i}ts\"unk $p$
k\"ul\"onb\"oz\H{o} $1\le l_1<l_2<\cdots<l_p\le n$ id\H{o}pontot
\'es egy $p$ hossz\'us\'ag\'u piros--feh\'er jelsorozatot.
Jel\"olje $r$, $0\le r\le p$, a piros-feh\'er jelek eme
r\'eszsorozat\'aban szerepl\H{o} piros jelek sz\'am\'at.
Tekints\"uk annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az
$l_j$ id\H{o}pontban kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}ne megegyezik
a r\"ogz\'{\i}tett $p$ hossz\'us\'ag\'u piros--feh\'er
jelsorozat $j$-ik elem\'evel minden $1\le j\le p$ indexre. Ez
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg megegyezik annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} $r$
h\'uz\'asban piros \'es az ut\'ana k\"ovetkez\H{o}
$p-r$ h\'uz\'asban feh\'er goly\'ot h\'uztunk.}
\medskip\noindent
{\it 1. Megjegyz\'es.} A fenti lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel k\"onnyen
befejezhetj\"uk a 4. feladat meg\-ol\-d\'a\-s\'at. L\'attuk ugyanis,
hogy a tekintett modellben teljes\"ulnek a lemma felt\'etelei. Ez\'ert
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as
eredm\'enye piros megegyezik annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'e\-vel, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as piros. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
\"ot\"odik h\'uz\'as eredm\'enye piros \'es a tizenhatodik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er egyenl\H{o} annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros,
a m\'asodik pedig feh\'er. Ez ut\'obbi
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket pedig m\'ar kisz\'amoltuk.
\medskip\noindent
{\it 2. Megjegyz\'es.} L\'etezik a fenti lemm\'anak egy hasznos
\'es term\'eszetes \'altal\'anos\'{\i}t\'asa \'ugy\-neve\-zett
felcser\'elhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol,
amely hasonl\'oan, s\H{o}t kiss\'e egy\-sze\-r\H{u}b\-ben
bizony\'{\i}that\'o. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast is megfogalmazom
k\'es\H{o}bb egy r\"ovid kieg\'esz\'{\i}t\'esben. Ezt az
\'altal\'anosabb eredm\'enyt \'erdemes n\'eh\'any k\'es\H{o}bb
bevezetend\H{o} fontos fogalom ismeret\'eben megfogalmazni, \'es
ez az oka a halaszt\'asnak.
\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ El\'eg bel\'atni, hogy
tetsz\H{o}leges $r\le s\le n-p+r$ sz\'amra a k\"ovetkez\H{o}
A) \'es B) esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege megegyezik:

\item{} {\it A) esem\'eny:}\/ Olyan ($n$ hossz\'us\'ag\'u)
h\'uz\'assorozatot v\'alasztunk, amelyben az $l_j$-ik helyen
lev\H{o} elemnek a sz\'{\i}ne megegyezik a r\"ogz\'{\i}tett
$p$ hossz\'us\'ag\'u piros--feh\'er jelsorozat $j$-ik elem\'evel
minden $1\le j\le p$ indexre, \'es amely pontosan $s$ darab
piros goly\'ot tartalmaz.
\item{} {\it B) esem\'eny:}\/ Olyan $n$ hossz\'us\'ag\'u
h\'uz\'assorozatot v\'alasztunk, amelynek az els\H{o} $r$
eleme piros, az ut\'ana k\"ovetkez\H{o} $p-r$ eleme feh\'er,
\'es amely pontosan $s$ darab piros goly\'ot tartalmaz.

Ugyanis \"osszegezve ezeket az azonoss\'agokat minden
$r\le s\le l-p+r$ indexre megkapjuk a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast.

Viszont ezeket az azonoss\'agokat k\"onnyen
ellen\H{o}r\'{\i}zhetj\"uk. Val\'oban, jel\"olje $P(s)$ egy olyan
($n$ hossz\'us\'ag\'u) sorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, amely
pontosan $s$ piros goly\'ot tartalmaz. Ekkor az A) esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\binom {n-p}{s-r}P(s)$. Ugyanis
$\binom {n-p}{p-r}$ olyan sorozat van, amely teljes\'{\i}ti az A)
esem\'eny definici\'oj\'aban szerepl\H{o} felt\'eteleket, (ez
az\'ert igaz, mert $p$ helyen, a $j_1,\dots,j_p$ id\H{o}pontokban
a kih\'uzott goly\'ok sz\'{\i}ne el\H{o}\'{\i}rt, \'es ezek
k\"oz\"ott $r$ darab piros sz\'{\i}n\H{u} goly\'o van, \'{\i}gy a
marad\'ek $n-p$ helyen pontosan $s-r$ piros goly\'onak kell lennie,)
\'es minden ilyen sorozat megjelen\'es\'enek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $P(s)$. Hasonl\'oan a B) esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege is $\binom {n-p}{s-r}P(s)$.

\medskip
Az el\H{o}z\H{o} p\'eld\'ak, illetve azok megold\'asai mutatj\'ak,
hogy \'erdemes a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi fel\-ada\-tok egy
halmazelm\'eleti modellj\'et tekinteni, \'es azokat jobban
meg\'erteni. A form\'alis definici\'o megad\'asa el\H{o}tt
tekints\"unk n\'eh\'any hasonl\'o probl\'em\'at, ahol azonban a
r\'eszletek kidolgoz\'asa sz\"uks\'egess\'e teszi nehezebb
matematikai k\'erd\'esek tiszt\'az\'as\'at.
\medskip\noindent
{\it Els\H{o} p\'elda:} Ledobunk a $[0,1]$ egys\'egintervallumra
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul el\H{o}sz\"or egy $x$ majd egy $y$
pontot, azaz annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $x$ vagy $y$
pont az egy\-s\'eg\-inter\-val\-lum valamely $[a,b]\subset[0,1]$
r\'eszintervallum\'aba esik megegyezik ezen intervallum
$|b-a|$ hossz\'aval, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig, hogy az
egys\'egn\'egyzet belsej\'eben l\'ev\H{o} az $(x,y)$ pontp\'ar \'altal
meghat\'arozott pont egy az egys\'egn\'egyzetben lev\H{o}
$[a,b]\times[c,d]\subset [0,1]\times[0,1]$ t\'eglalapba esik
megegyezik ennek a t\'eglalapnak $(b-a)(c-d)$ ter\"ulet\'evel.
Azt v\'arjuk, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $(x,y)$
pont egy az egys\'egn\'egyzet belsej\'eben l\'ev\H{o} $r$ sugar\'u
k\"orbe esik megegyezik ennek a k\"ornek $r^2\pi$ ter\"ulet\'evel.
\'Altal\'anosabban, azt v\'arjuk, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $(x,y)$ pont egy az
egys\'egn\'egyzet belsej\'eben l\'ev\H{o} $A$ halmazba esik
egyenl\H{o} ennek a halmaznak a ter\"ulet\'evel.

Helyes-e ez a term\'eszetes elk\'epzel\'es? Alapj\'aban v\'eve helyes,
de felmer\"ul egy komoly elvi probl\'ema. Nevezetesen a k\"ovetkez\H{o}:
Annak az \'all\'{\i}t\'asnak, hogy a v\'eletlen $(x,y)$ pont akkora
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik egy $A$ halmazba, mint amennyi ennek
az $A$ halmaznak a ter\"ulete csak akkor van \'ertelme, ha
besz\'elhet\"unk az $A$ halmaz ter\"ulet\'er\H{o}l. Tudjuk-e
\'ertelmezni tetsz\H{o}leges halmaz ter\"ulet\'et? Gondoljuk meg, hogy
m\'ar egy k\"or ter\"ulet\'enek a meghat\'aroz\'asa sem egyszer\H{u}.
\'Altal\'anosabban, a k\'erd\'esk\"or (bizonyos m\'ely elm\'eleti
eredm\'enyek felhaszn\'al\'as\'aval) megmutathat\'o, hogy komoly elvi
okok miatt nem tudjuk minden halmaz ter\"ulet\'et defini\'alni. De
azoknak a halmazoknak, amelyek konkr\'et fel\-ada\-tok\-ban megjelennek
mindig defini\'alhat\'o a ter\"ulet\"uk. Annak igazol\'asa viszont,
hogy ez val\'oban \'{\i}gy van komoly elm\'eleti eredm\'enyek
bizony\'{\i}t\'as\'at \'es felhaszn\'al\'as\'at ig\'enyli. Ennek
alaposabb vizsg\'alata nem ennek az el\H{o}ad\'asnak a t\'em\'aja.
\medskip\noindent
{\it M\'asodik p\'elda:} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot
v\'egtelen sokszor egym\'as ut\'an egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul.
Jel\"olje $k(n)$ a fejdob\'asok sz\'am\'at az els\H{o} $n$ dob\'asban.
Azt v\'arjuk, hogy a $\frac{k(n)}n$ sz\'amoknak van
$\limm_{n\to\infty}\frac{k(n)}n$ hat\'ar\'ert\'ek\"uk, \'es ez a
hat\'ar\'ert\'ek az $\frac12$ sz\'am 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
L\'atni fogjuk, hogy ez az \'all\'{\i}t\'as igaz. Ezt az
\'all\'{\i}t\'ast h\'{\i}vj\'ak a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek (ebben a speci\'alis esetben). De ahhoz, hogy ezt
az \'all\'{\i}t\'ast bebizony\'{\i}tsuk el\H{o}sz\"or azt kell
tiszt\'aznunk, hogy a megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asnak van
\'ertelme. Mint l\'atni
fogjuk, nem minden lehets\'eges esem\'enynek defini\'aljuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Meg kell mutatnunk, hogy annak az
esem\'enynek, hogy a $\limm_{n\to\infty}\frac{k(n)}n$
hat\'ar\'ert\'ek l\'etezik, \'es ez a hat\'ar\'ert\'ek
$\frac12$ val\'oban van val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege.
Annak \'erdek\'eben, hogy ezt megtehess\"uk, el\H{o}sz\"or meg kell
fogalmaznunk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
pontos elm\'elet\'et, \'es meg kell ismern\"unk annak n\'eh\'any
alapvet\H{o} fogalm\'at.

\beginsection Kolmogorov elm\'elet\'enek n\'eh\'any fontos fogalma.

El\H{o}sz\"or bevezetek n\'eh\'any Kolmogorov elm\'elet\'eben
fontos fogalmat. K\'es\H{o}bb ezek szem\-l\'e\-le\-tes tartalm\'aval
is foglalkozni fogunk.
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} definici\'oja.} {\it Azt
mondjuk, hogy egy $(\Omega,\Cal A,P)$ rendszer
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}, ha $\Omega$, amelyet
biztos esem\'enynek is nevez\"unk, bizonyos \'altal\'aban $\oo$-val
jel\"olt elemekb\H{o}l (pontokb\'ol) \'all, amelyeket elemi
esem\'enyeknek is neveznek. Ezenk\'{\i}v\"ul kijel\"olt\"uk az
$\Omega$ halmaz bizonyos kit\"untetett r\'eszhalmazait, amelyek
\'ugynevezett $\sigma$-algebr\'at alkotnak, \'es a kijel\"olt
halmazokb\'ol \'all\'o $\sigma$-algebr\'at $\Cal A$-val
jel\"olt\"uk. Az $A\in\Cal A$ halmazoknak (esem\'enyeknek) van
$P(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\"uk, \'es ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek nem-negat\'{\i}v egyre norm\'alt
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyt, \'ugynevezett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket alkotnak.}
\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy a fenti definici\'ot teljess\'e tegy\"uk,
tiszt\'aznunk kell a $\sigma$-algebra illetve a nem-negat\'{\i}v
egyre norm\'alt $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny fogalm\'at.
Azut\'an meg kell \'erteni, hogy p\'eld\'aul a kor\'abban vizsg\'alt
feladatokat hogyan t\'argyalhatjuk a fenti definici\'ot
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} modellek seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip\noindent
{\bf Algebra \'es $\sigma$-algebra definici\'oja.} {\it Legyen adva
egy $\Omega$ halmaz, \'es azoknak bizonyos $A\subset \Omega$
r\'eszhalmazainak $\Cal A$ rendszere. Azt mondjuk, hogy $\Cal A$
algebra, ha tetsz\H{o}leges $A\in \Cal A$ halmazra ennek
komplementere, az $\Omega\setminus A$ halmaz is eleme a $\Cal A$
halmazrendszernek, azaz $\Omega\setminus A\in \Cal A$, \'es az
$\emptyset$ \"ures halmaz is eleme az $\Cal A$ algebr\'anak, azaz
$\emptyset\in \Cal A$. Tov\'abb\'a, ha $A\in \Cal A$ \'es $B\in \Cal A$
elemei az $\Cal A$ halmazrendszernek, akkor e halmazok metszete illetve
uni\'oja is teljes\'{\i}ti az $A\cap B\in\Cal A$ \'es $A\cup B\in
\Cal A$ felt\'eteleket.

Az $\Cal A$ algebra akkor $\sigma$-algebra, ha ezen k\'{\i}v\"ul a
k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket is teljes\'{\i}ti: Ha $A_1,A_2,\dots$,
megsz\'aml\'alhat\'o sok halmaz, amelyek az $\Cal A$ algebra elemei,
azaz $A_n\in \Cal A$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, akkor ezek
metszete \'es uni\'oja is benne van az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'aban, azaz $\bigcapp_{n=1}^\infty A_n\in\Cal A$,
\'es $\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\in\Cal A$.}
\medskip\noindent
{\bf Addit\'{\i}v \'es $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny
definici\'oja.} {\it Legyen adva egy $\Omega$ halmaz
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\Cal A$ $\sigma$-algebra. Azt mondjuk,
hogy egy $\mu(A)$, $A\in\Cal A$, halmazf\"uggv\'eny addit\'{\i}v, ha
b\'armely diszjunkt $A\in \Cal A$ \'es $B\in \Cal A$ halmazra
$\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$. Azt mondjuk, hogy ez a $\mu$
halmazf\"uggv\'eny nemcsak addit\'{\i}v, hanem $\sigma$-addit\'{\i}v
is, ha minden diszjunkt $A_n\in\Cal A$, $n=1,2,\dots$, halmazsorozatra
$\mu\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)=\summ_{n=1}^\infty\mu(A_n)$. Ez a
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny nem-negat\'{\i}v, ha minden
$A\in\Cal A$ halmazra $\mu(A)\ge0$, \'es egyre norm\'alt, ha
$\mu(\Omega)=1$.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A jel\"ol\'esrendszer az irodalomban nem
egys\'eges. Van ahol k\'et $A$ \'es $B$ halmaz uni\'oj\'at \'es
metszet\'et $A\cup B$ illetve $A\cap B$-vel \'es van ahol $A+B$ illetve
$AB$-vel jel\"olik. Hasonl\'oan megsz\'aml\'alhat\'o sok halmaz
uni\'oj\'at illetve metszet\'et szok\'as bizonyos helyeken
$\bigcupp_{n=1}^\infty A_n$, illetve a $\bigcapp_{n=1}^\infty A_n$
jel\"ol\'essel, m\'asutt pedig a $\summ_{n=1}^\infty A_n$ illetve
$\prodd_{n=1}^\infty A_n$ jel\"ol\'essel megadni. V\'eg\"ul k\'et
halmaz k\"ul\"onbs\'eg\'et szok\'as bizonyos helyeken
$A\setminus B$-vel m\'asutt $A-B$-vel jel\"olni.
\medskip
L\'assunk n\'eh\'any p\'eld\'at arra, hogyan tudunk
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi probl\'em\'at  a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o} Kolmogorov f\'ele definici\'oja alapj\'an megfogalmazni.
\medskip

\item{a.)} Adjuk meg egy szab\'alyos p\'enz t\'{\i}z egym\'asut\'ani
(f\"uggetlen) dob\'as eredm\'enyeinek egy modellj\'et.
\medskip\item{} A term\'eszetes hozz\'a\'all\'as a k\"ovetkez\H{o}:
Vegy\"uk az \"osszes lehets\'eges 10 hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as
sorozatot. Ezek lesznek az $\oo=(F,\dots, I,\dots)$ elemi esem\'enyek.
Az $\Omega$ biztos esem\'eny az \"osszes lehets\'eges el\H{o}bb
defini\'alt $\oo$ elemi esem\'enyekb\H{o}l \'all\'o halmaz. Az $\Cal A$
$\sigma$-algebra az $\Omega$ \"osszes lehets\'eges r\'eszhalmaz\'ab\'ol
\'all.) Ilyen m\'odon val\'oban $\sigma$-algebr\'at  defini\'altunk.
Defini\'alnunk kell m\'eg a $P(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket minden
$A\in \Cal A$ halmazra. Ezt a k\"ovetkez\H{o}k\'epp tessz\"uk: Minden
$\oo$ elemi esem\'enyre $P(\{\oo\})=\(\frac12\)^{10}$, mert egy
szab\'alyos p\'enzdarab feldob\'asakor minden dob\'assorozatnak ennyi
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. V\'eg\"ul $P(A)=\summ_{\oo\in A}
P(\{\oo\})$ minden $A\in \Cal A$ halmazra.
\medskip
\item{b.)} Egy p\'enzdarabot, mely $\frac13$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es $\frac23$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara feldobunk
(egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) 10-szer egym\'as ut\'an. Adjunk erre
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $\oo$ egy elemi esem\'eny egy 10
hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as sorozat. Te\-kint\-s\"uk az \"osszes
ilyen sorozatb\'ol \'all\'o halmazt, ez legyen $\Omega$, a biztos
esem\'eny. Legyenek a $\Cal A$ $\sigma$-algebra elemei az $\Omega$
halmaz r\'eszhalmazai. (Az \"osszes lehets\'eges r\'eszhalmazt
tekintj\"uk.) Defini\'alnunk kell m\'eg egy $A\in\Cal A$
halmaz (esem\'eny) va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et $P(A)$ is.
Ezt a k\"ovetkez\H{o} m\'odon tessz\"uk: $P(A)=\summ_{\oo\in
A}P(\{\oo\})$, \'es $P(\{\oo\})=\(\frac13\)^k\cdot\(\frac23\)^{10-k}$,
ha az $\oo$ elemi esem\'eny olyan sorozat, amelyik $k$ fej \'es $10-k$
\'{\i}r\'asjelb\H{o}l \'all. (Ugyanis minden fej-dob\'as eset\'en
$\frac13$ \'es minden \'{\i}r\'as-dob\'as eset\'en $\frac23$-dal, a
fej, illetve  \'{\i}r\'asdob\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel kell
megszorozni a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget.)
\item{c.)} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 25 goly\'ot
\smallskip
\itemitem{a.)} visszatev\'essel,
\itemitem{b.)} visszatev\'es n\'elk\"ul.
\smallskip
Adjunk erre val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt mind a k\'et esetben.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az el\H{o}z\H{o} feladat megold\'as\'ahoz
hasonl\'o konstrukci\'ot adhatunk. Legyenek az $\oo$ elemi esem\'enyek
a 25 hossz\'us\'ag\'u $P$, $F$ (piros, feh\'er) jelekb\H{o}l \'all\'o
sorozatok, az $\Omega$ biztos esem\'eny az \"osszes ilyen sorozatb\'ol
\'all\'o halmaz, $\Cal A$ az $\Omega$ r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o
halmaz, $P(A)=\summ_{\oo\in A}P(\{\oo\})$, minden $A\in\Cal A$
halmazra, \'es defini\'alnunk kell m\'eg a $P(\{\oo\})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Eddig a pontig az a.) \'es b.) esetet
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} konstrukci\'o nem k\"ul\"onb\"oz\"ott. A
k\"ul\"onbs\'eg az lesz, hogy a k\'et esetben m\'ask\'epp fogjuk
defini\'alni a $P(\{\oo\})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Az a.)
esetben, amikor visszatev\'essel h\'uzzuk ki a goly\'okat, egy olyan
$\oo$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, amelyik $k$ $P$ \'es $25-k$ $F$ jelet
tartalmaz $\(\frac25\)^k\(\frac35\)^{25-k}$, mert minden piros
h\'uz\'asnak $\frac{20}{50}$ \'es minden feh\'er h\'uz\'asnak
$\frac{30}{50}$ a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, (a h\'uz\'as el\H{o}tt
az urn\'aban lev\H{o} piros illetve feh\'er goly\'ok sz\'ama osztva az
urn\'aban lev\H{o} goly\'ok sz\'am\'aval.) A b.) eseben, amikor
visszatev\'es n\'elk\"ul h\'uzzuk a goly\'okat, egy olyan $\oo$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, amelyik $k$ $P$ \'es $25-k$ $F$ jelet
tartalmaz $\frac{25\cdot24\cdots(25-k+1)\cdot
30\cdot29\cdots(30-(25-k)+1)}{50\cdot49\cdots26}$. Ugyanis egy
el\H{o}\'{\i}rt h\'uz\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\prodd_{j=1}^{25}\frac{l(j)}{50-j+1}$, ahol $l(j)$ az a $j-1$-ik
h\'uz\'as ut\'an az urn\'aban maradt piros goly\'ok sz\'ama, ha a
$j$-ik h\'uz\'as piros, \'es a $j-1$-ik h\'uz\'as ut\'an az urn\'aban
maradt feh\'er goly\'ok sz\'ama, ha a $j$-ik h\'uz\'as feh\'er.
Gondoljuk meg, hogy ez a kifejez\'es megegyezik a megadott
formul\'aval, ha $k$ feh\'er \'es $25-k$ piros h\'uz\'as t\"ort\'ent.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 10-szer egym\'as
ut\'an. Adjunk erre va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi modellt.

\beginsection N\'eh\'any a t\'argyalt kombinatorikus
k\'erd\'esekkel kapcsolatos eredm\'eny

Annak a t\'enynek, hogy egy $n$ elem\H{u} halmazb\'ol $\binom nk$
m\'odon lehet $k$ elemet kiv\'alasztani vissza\-te\-v\'es n\'elk\"ul,
ha nem sz\'am\'{\i}t a sorrend t\"obb \'erdekes k\"ovetkezm\'enye
\'es \'at\-fog\-al\-ma\-z\'a\-sa van. Tov\'abb\'a megfogalmazhat\'oak
ezen eredm\'enyek bizonyos \'erdekes
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sai. Ilyen
\'all\'{\i}t\'asokat fogok t\'argyalni feladatok, illetve azok
megold\'as\'anak for\-m\'a\-j\'a\-ban. El\H{o}\-sz\"or megfogalmazom
a  feladatokat, \'es ut\'ana le\'{\i}rom azok egy lehets\'eges
megold\'as\'at. (Egyes feladatokn\'al lehetne m\'as, esetleg
\'erdekesebb megold\'asokat is megadni.

\item{1.)} Egy $n$ elem\H{u} halmazt $\binom nk$-f\'ele m\'odon
lehet k\'et diszjunkt $k$ \'es $n-k$ elem\H{u} halmaz
uni\'oj\'ara bontani. (Ha $n$ p\'aros sz\'am, $k=\frac n2$, akkor
$k=n-k$, \'es amennyiben $A_1,A_2$ egy a feladat felt\'eteleit
teljes\'{\i}t\H{o} felbont\'as, akkkor $A_2,A_1$ is az. Ebben a
feladatban k\'et ilyen felbont\'ast k\"ul\"onb\"oz\H{o}nek
tekint\"unk.)
\item{2.)} Legyen adva egy $n$ elem\H{u} halmaz \'es $r\ge 2$
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am, valamint $k_1,\dots,k_r$ nem
negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amok, amelyekre $k_1+\cdots+k_r=n$. Ezt
az $n$ elem\H{u} halmazt $\frac {n!}{k_1!\cdots k_r!}$
f\'elek\'epp lehet $r$ darab diszjunkt $k_1$, $k_2$,\dots, $k_r$
elem\H{u} halmaz uni\'oj\'ara bontani. (Ha adva van az $n$
elem\H{u} halmaz k\'et olyan $B_1,\dots,B_r$ \'es
$\bar B_1,\dots,\bar B_r$ felbont\'asa $r$ diszjunkt
r\'eszhalmazra, amelyek ugyanazokat a r\'esz\-hal\-ma\-zo\-kat
tartalmazz\'ak, de m\'as sorrendben, akkor ezeket
k\"ul\"onb\"oz\H{o}eknek tekintj\"uk. Ilyen felbont\'asp\'arok
l\'etezhetnek, ha a $k_1,\dots,k_r$ sz\'amok nem mind
k\"ul\"onb\"oznek.)
\item{3.)} Egy $n$ elem\H{u} $A$ halmaznak $2^n$ r\'eszhalmaza
van. (Az \"ures halmazt \'es mag\'at az $A$ halmazt is a
r\'eszhalmazok k\"oz\'e sz\'am\'{\i}tjuk.)
\item{4.)} Legyen adva $r$ urna, \'es dobjunk be egym\'as ut\'an
$n$ goly\'ot ezen $r$ urna valamelyik\'ebe. R\"ogz\'{\i}ts\"unk $r$
nem-negat\'{\i}v $k_1,\dots,k_r$ eg\'esz sz\'amot \'ugy, hogy
$\summ_{j=1}^r k_j=n$. Ekkor $\frac {n!}{k_1!\cdots k_r!}$ olyan
dob\'assorozat van, amelyben a $j$-ik urn\'aba $k_j$ goly\'o
esik minden $1\le j\le r$ sz\'amra.
\item{5.)} Igaz a binomi\'alis t\'etel, azaz
$$
(a+b)^n=\summ_{j=0}^n \binom nj a^j b^{n-j}.
$$
\item{6.)} Igaz a binomi\'alis t\'etel k\"ovetkez\H{o}
polinomi\'alis t\'etelnek nevezett \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.
Le\-gye\-nek adva $a_1,\dots,a_r$ val\'os (vagy komplex)
sz\'amok \'es egy $n$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am. Ekkor
$$
(a_1+\cdots+a_r)^n=\sum\Sb (j_1,\dots,j_r)\colon\; j_u\ge 0,\,
1\le u\le r\\
j_1+\cdots+j_r=n \endSb \frac{n!}{j_1!\cdots j_r!}
a_1^{j_1}\cdots a_r^{j_r}.
$$
\item{7.)} Minden nem negat\'{\i}v eg\'esz $n$, $m$ \'es $k$
sz\'amokra igaz az
$$
\binom{n+m}k=\binom n0\dbinom mk+\binom n1\binom m{k-1}+\binom
n2\binom m{k-2}+\cdots+\binom nk\binom m0
$$
azonoss\'ag. (Tegy\"uk fel, hogy $n+m\ge k$.)

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny, --- amely a binomi\'alis t\'etel
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'anak is tekinthet\H{o} --- az
$(1+x)^\alpha$ f\"uggv\'eny Taylor sorfejt\'ese, ahol $\alpha$
tetsz\H{o}leges (nem felt\'etlen\"ul eg\'esz \'es nem
felt\'etlen\"ul pozit\'{\i}v) sz\'am.
\item{8.)} Minden $\alpha$, $-\infty<\alpha<\infty$,  \'es $x$,
$-1<x<1$, val\'os sz\'amra
$$
(1+x)^\alpha=\sum_{j=0}^\infty \binom \alpha j x^j,
$$
ahol $\binom\alpha j=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-j+1)}{j!}$,
ha $j\ge1$, (azaz \'{\i}gy adtuk meg az $\binom nj$ binomi\'alis
egy\"utthat\'o de\-fi\-ni\-ci\'o\-j\'a\-nak form\'alis
kiterjeszt\'es\'et abban az esetben, ha az $n$ sz\'amnak
megfelel\H{o} $\alpha$ sz\'am nem felt\'etlen\"ul pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'am), \'es $\binom\alpha0=1$.
\item{9.)} A 7.) feladatban megfogalmazott azonoss\'ag \'erv\'enyes
nem eg\'esz $n$ \'es $m$ sz\'amokra is, ha a binomi\'alis
egy\"utthat\'okat \'ugy defini\'aljuk, mint azt a 8. feladatban
tett\"uk.

\medskip\noindent
{\it Megold\'asok:}
\item{1.)} Egy ilyen felbont\'as megad\'as\'ahoz el\'eg megadni a
$k$ elem\H{u} halmazt. Ezt viszont $\binom nk$-f\'elek\'epp
v\'alaszthatjuk ki. (A $k$-elem\H{u} halmaz megad\'asakor $k$
elemet kell ki\-v\'a\-lasz\-ta\-ni $n$ elemb\H{o}l, \'es nem
sz\'am\'{\i}t, hogy milyen sorrendben v\'alasztjuk ki azokat.)
\item{2.)} V\'alasszuk ki el\H{o}sz\"or az $n$ elem\H{u} $k_1$
elem\H{u} r\'eszhalmaz\'at. Ezt $\binom n{k_1}$ m\'odon tehetj\"uk
meg. Ezut\'an marad egy $n-k_1$ elem\H{u} halmaz, ahonnan $k_2$
elemet $\binom{n-k_1}{k_2}$ m\'odon v\'alaszthatunk ki. A $k_3$
elem\H{u} halmazt a marad\'ek $n-k_1-k_2$ elem\H{u} halmazb\'ol
$\binom{n-k_1-k_2}{k_3}$ m\'odon v\'alaszthatjuk ki. Az \"osszes
halmaz lehets\'eges kiv\'alaszt\'as\'anak a sz\'ama
$$
\align
&\prod_{s=1}^r\binom {n-k_1-\cdots-k_{s-1}}{k_s} \\
&\qquad=
\prod_{s=1}^r\frac{\prodd_{u=0}^{k_s-1}(n-k_1-\cdots-k_{s-1}-u)}
{k_s!}
=\frac{n!}{k_1!\cdots k_r!},
\endalign
$$
ahol
$\binom {n-k_1-\cdots-k_{s-1}}{k_s}=\binom n{k_1}$, ha $s=1$, \'es
hasonl\'oan $\prodd_{u=0}^{k_s-1}(n-k_1-\cdots-k_{s-1}-u)
=n(n-1)\cdots (n-k_1+1)$ az $s=1$
esetben a m\'asodik sorban. Ilyen m\'odon megkapjuk a feladat
egy lehets\'eges megold\'as\'at.
\item{3.)} Soroljuk fel az $n$ elem\H{u} halmaz elemeit egym\'as
ut\'an. Egy r\'eszhalmazt megadhatunk \'ugy, hogy minden felsorolt
elemr\H{o}l eld\"ontj\"uk, hogy belevessz\"uk-e a r\'eszhalmazba
vagy nem. \'Ily m\'odon $n$ alkalommal kell igen vagy nem
d\"ont\'est hozni. Az \"osszes lehets\'eges d\"ont\'essorozat
sz\'ama $2^n$.
\item{4.)} Tekints\"uk az $A=\{1,2,\dots,n\}$ $n$-elem\H{u} halmazt,
\'es minden dob\'assorozatnak fe\-lel\-tes\-s\"uk meg az $A$
halmaznak azt az $r$ diszjunkt $B_1,\dots,B_r$ halmazb\'ol \'all\'o
felbont\'as\'at, amelyben $B_s$, $1\le s\le r$, azon id\H{o}pontok
halmaza, amikor a goly\'ot az $s$-ik urn\'aba dobtuk. Ilyen m\'odon
a tekintett urn\'akba t\"ort\'en\H{o} goly\'odob\'asok k\"oz\"ott
\'es egy $n$ elem\H{u} halmaz $r$ diszjunkt halmazra val\'o
felbont\'asai k\"oz\"ott k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u}
megfeleltet\'est l\'etes\'{\i}tett\"unk. Ez\'ert a 4. feladat
megold\'asa k\"ovetkezik a m\'asodik\'eb\'ol.
\item{5.)} V\'egezz\"uk el az
$(a+b)^n=\undersetbrace{\text{$n$-szer}}\to{(a+b)\cdots(a+b)}$
szorzatban a tagonk\'enti szorz\'asokat. Ekkor $n$-hossz\'us\'ag\'u
$a$ \'es $b$ jegyekb\H{o}l \'all\'o szorzatok \"osszeg\'et kapjuk.
A binomi\'alis t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg megmutatni
azt, hogy ebben az \"osszegben $\binom nk$ olyan szor\-zat van,
amely $k$ darab $a$ \'es $n-k$ darab $b$ jelet tartalmaz. Viszont
minden ilyen szorzatnak megfeleltethetj\"uk az $n$ elem\H{u}
$C=\{1,2,\dots,n\}$ halmaznak a felbont\'as\'at k\'et diszjunkt $A$
\'es $B$ halmazra \'ugy, hogy $A$ tartalmazza azokat a helyeket,
ahol $a$ \'es $B$ azokat a helyeket, ahol $b$ jel \'all. Mivel az
els\H{o} feladat szerint a $C$ halmaznak $\binom nk$ olyan felbont\'asa
van, amelyben $A$ $k$ \'es $B$ $n-k$ elem\H{u} halmaz, innen
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{6.)} V\'egezz\"uk el az
$(a_1+\cdots+a_r)^n=\undersetbrace{\text{$n$-szer}}
\to{(a_1+\cdots+a_r)\cdots(a_1+\cdots+a_r)}$ szorzatban a
tagonk\'enti szorz\'asokat. Olyan $n$ hossz\'us\'ag\'u szorzatok
\"osszeg\'et kapjuk, amelyek mindegyik tagja az $a_1,\dots,a_r$
sz\'amok valamelyike. Azt kell megmutatni, hogy az \'{\i}gy
keletkezett szorzatok k\"oz\"ott minden olyan $j_1,\dots,j_r$
nem negat\'{\i}v eg\'eszekb\H{o}l \'all\'o sorozatra, amelyre
teljes\"ul a $\summ_{s=1}^rj_s=n$ azonoss\'ag
$\frac{n!}{j_1!\cdots j_r!}$ olyan tag van, amely $j_1$ darab
$a_1$-et, $j_2$ darab $a_2$-t, \'es \'{\i}gy tov\'abb $j_r$
darab $a_r$-et tartalmaz. Viszont fe\-lel\-tes\-s\"unk
meg minden egyes ilyen szorzatnak egy olyan $n$ hossz\'us\'ag\'u
dob\'assorozatot $r$ urn\'aba, ahol az $s.$-ik goly\'ot,
$1\le s\le n$, akkor dobjuk a $p.$-ik urn\'aba, $1\le p\le r$, ha
a szorzat $s.$-ik tagja $a_p$. Ilyen m\'odon k\"olcs\"on\"osen
egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'est l\'etes\'{\i}t\"unk az \'{\i}gy
keletkezett szorzatok \'es a 4. feladatban szerepl\H{o}
urnamodell lehets\'eges kimenetelei k\"oz\"ott. Ez\'ert a
fel\'{\i}rt azonoss\'ag k\"ovetkezik a 4. feladat
eredm\'eny\'eb\H{o}l.
\item{7.)} A k\"ovetkez\H{o} kombinatorikai meggondol\'as megadja
a bizony\'{\i}t\'ast. Sz\'amoljuk ki k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
m\'odon, hogy egy urn\'ab\'ol, amelyben $n+m$
(megk\"ul\"onb\"oztethet\H{o}) goly\'o van, h\'anyf\'elek\'epp
v\'alaszthatunk ki $k$ goly\'ot. Ez egyr\'eszt $\binom{n+m} k$, ami
a baloldali kifejez\'essel egyenl\H{o}. M\'asr\'eszt, fess\"unk $n$
goly\'ot piros \'es $m$ goly\'ot feh\'er sz\'{\i}n\H{u}re. Ekkor
$\binom ns\binom m{k-s}$ f\'ele m\'odon v\'alaszthatunk ki $k$
goly\'ot \'ugy, hogy ezek k\"oz\"ul $s$ piros \'es $k-s$ feh\'er.
Ezeket a kifejez\'eseket \"osszegezve minden $0\le s\le k$ sz\'amra
egyr\'eszt megkapjuk az azonoss\'ag jobboldal\'an szerepl\H{o}
kifejez\'est, m\'asr\'eszt a baloldalon szerepl\H{o} kifejez\'est
sz\'amoltuk ki m\'as m\'odon.
\item{8.)} E feladat megold\'as\'aban felhaszn\'aljuk a matematikai
anal\'{\i}zis n\'eh\'any fontos ered\-m\'e\-ny\'et. Ezen
eredm\'enyek szerint egy el\'eg s\'{\i}ma $f(x)$ f\"uggv\'eny
egy $a$ pont k\"or\"uli \'ert\'ekeire \'erv\'enyes az
$f(x)=\summ_{j=0}^\infty \frac {f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j$
azonoss\'ag, ahol $f^{(j)}(a)$ az $f(x)$ f\"uggv\'eny $j$-ik
deriv\'altj\'at jel\"oli az $x=a$ pontban. Ez az azonoss\'ag
\'erv\'enyes minden olyan $x$ pontban, amelyre
$|x-a|<\liminff_{j\to\infty}|f^{(j)}(a)|^{1/j}$.
A fenti azonoss\'ag jobboldal\'an megjelen\H{o} hatv\'anysort
nevezik az $f(x)$ f\"uggv\'eny Taylor sor\'anak.
\item{} Az $f(x)=(1+x)^\alpha$ f\"uggv\'enyre $a=0$ v\'alaszt\'assal
alkalmazhat\'o ez az eredm\'eny, azaz ebben az esetben teljes\"ulnek
a k\'{\i}v\'ant felt\'etelek. Az $f(x)=(1+x)^\alpha$ esetben
$f^{(0)}(0)=f(0)=1$, $f^{(j)}(0)=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-j+1)$,
ha $j\ge1$, ez\'ert $\frac{f^{(j)}(0)}{j!}=\binom\alpha j$. Nem
neh\'ez bel\'atni, hogy minden $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan
$C(\e)>0$ sz\'am, amelyre
$\left|\binom\alpha j\right|\le C(\e)(1+\e)^j$ minden $j=1,2,\dots$
sz\'amra, ahonnan $\liminff_{j\to\infty} |f^{(j)}(0)|^{1/j}\le1$.
Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ha $\alpha=n$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am,
akkor $\binom\alpha j=0$ minden $j>n$ sz\'amra, mert ebben az
esetben az $n(n-1)\cdots (n-j+1)$ szorzat tartalmazza a nulla
t\'enyez\H{o}t. Ez\'ert ebben az esetben a megadott Taylor
sorfejt\'es $(1+x)^n=\summ_{j=0}^n\binom njx^j$ alakban
\'{\i}rhat\'o, \'es ez az azonoss\'ag \'erv\'enyes minden $x$
val\'os sz\'amra. Ez az azonoss\'ag ekvivalens a binomi\'alis
t\'etellel. Az $\alpha=-1$ esetben azt kapjuk, hogy
$\binom{-1}j=\frac{(-1)(-2)\cdots(-j)}{j!}=(-1)^j$, ahonnan
$(1+x)^{-1}=\frac1{1+x}=\summ_{j=0}^\infty (-1)^jx^j$, ha
$|x|<1$. \'Irjuk \'at ezt az azonoss\'agot $y=-x$
helyettes\'{\i}t\'essel. Azt kapjuk, hogy
$\frac1{1-y}=\summ_{j=0}^\infty y^j$, ha $|y|<1$. Ez ut\'obbi
k\'eplet megegyezik a geometriai sor \"osszegez\'esi
formul\'aj\'aval.

\item{9.)} Ennek a feladatnak a megold\'as\'aban is felhaszn\'aljuk
a matematikai anal\'{\i}zis n\'eh\'any eredm\'eny\'et. Egyr\'eszt
felhaszn\'aljuk azt a t\'enyt, hogy egy
$f(x)=\summ_{j=0}^\infty a_jx^j$
hat\-v\'any\-sor $a_j$ egy\"utthat\'oit egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozz\'ak az $f(x)$ f\"uggv\'eny \'ert\'ekei nulla egy kis
k\"ornyezet\'eben. (Ezek az egy\"utthat\'ok megegyeznek az $f(x)$
f\"uggv\'eny Taylor sorfejt\'es\'eben megjelen\H{o}
egy\"utthat\'okkal.) M\'asr\'eszt, hatv\'anysorok szorz\'asakor a
szorzatot ugyan\'ugy sz\'amolhatjuk ki, mint polinomok eset\'en.
\item{} \'Irjuk \'at az $(1+x)^m(1+x)^n=(1+x)^{n+m}$ azonoss\'agot
az itt megjelen\H{o} f\"uggv\'enyek hatv\'anysora
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Azt kapjuk, hogy
$$
\(\summ_{j=0}^\infty\binom mj x^j\)\(\summ_{j=0}^\infty\binom nj x^j\)
=\(\summ_{j=0}^\infty\binom {m+n}jx^j\),
$$
ha $|x|<1$. V\'egezz\"uk el a beszorz\'ast a baloldalon, \'es
sz\'a\-mol\-juk  ki $x^k$ egy\"utthat\'oj\'at. Azt kapjuk, hogy ez
$\summ_{j=0}^k \binom mj\binom n{k-j}$. Ez egyenl\H{o} az $x^k$ tag
egy\"utthat\'oj\'aval az azo\-nos\-s\'ag jobboldal\'an szerepl\H{o}
hatv\'anysorban, azaz a $\binom {n+m}k$ sz\'ammal, \'es ezt kellett
bel\'atni.

\beginsection De M\'er\'e lovag k\'et probl\'em\'aja

\item{}  {\it 1. probl\'ema.}\/ Ha egy kock\'at 4-szer feldobunk,
akkor mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy
hatos dob\'as lesz? Ha k\'et kock\'at 24-szer feldobunk, mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy dupla hatos lesz?
\item{} {\it 2. probl\'ema.}\/ K\'et j\'at\'ekos egy igazs\'agos
j\'at\'ekot j\'atszik, amelynek mindegyik fordul\'oj\'aban az egyes
j\'at\'ekosok $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nyernek,
illetve vesz\'{\i}tenek. Meg\-\'alla\-pod\-nak, hogy az a
j\'at\'ekos nyeri el a t\'etet, aki el\H{o}sz\"or \'er el hat
nyer\'est. De a j\'at\'ekot f\'elbe kell szak\'{\i}taniuk akkor,
amikor az egyik\"uknek h\'arom a m\'asikuknak pedig \"ot nyer\'ese
volt. Hogyan kell igazs\'agosan osztozkodniuk?
\medskip

{\it Az 1. probl\'ema megold\'asa:}\/
\medskip
\item{} Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy dob\'as
eredm\'enye nem hatos $\frac56$, annak pedig, hogy 4 egym\'as ut\'ani
dob\'asban nem jelenik meg a hatos $\(\frac 56\)^4$. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy n\'egy dob\'asban megjelenik egy
hatos $P_1=1-\(\frac56\)^4$. Hasonl\'oan, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy k\'et kocka dob\'as\'aban nem jelenik
meg a dupla hatos $\frac{35}{36}$, annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy ez 24 dob\'asban nem jelenik meg $\(\frac{35}{36}\)^{24}$. Annak
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy 24 dob\'asban megjelenik
egy dupla hatos $P_2=1-\(\frac{35}{36}\)^{24}$.
\item{} \'Erdemes meg\'erteni, hogy a $P_1$ \'es $P_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek mi\'ert vannak olyan k\"ozel egym\'ashoz.
Vezess\"uk be az $a_n=\(1-\frac1n\)^n$, $n=1,2,\dots$, sz\'amokat.
Ekkor $1-P_1=a_6^{2/3}$, $1-P_2=a_{36}^{2/3}$. Viszont tanultuk az
anal\'{\i}zisben, hogy $\limm_{n\to\infty} a_n=e^{-1}$, $e=2.71\dots$.
Tov\'abb\'a ez az $a_n$ sorozat el\'eg gyorsan tart a
hat\'ar\'ert\'ek\'ehez, ez\'ert az $a_6\sim e^{-1}$ \'es $a_{36}\sim
e^{-1}$ el\'eg j\'o k\"ozel\'{\i}t\'es.  Ez\'ert mind a $P_1$
mind a $P_2$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg j\'ol k\"ozel\'{\i}thet\H{o}
az $1-e^{-2/3}$ sz\'ammal. Tov\'abb\'a ismeretes, hogy az $a_n$
sorozat monoton n\H{o}, \'es innen ad\'odik, hogy $P_1>P_2$.
T\"ort\'enetesen az $1-e^{-2/3}\sim0.49$ sz\'am k\"ozel van
$\frac12$-hez, \'es a $P_1$ \'es $P_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
az $\frac12$ sz\'amot k\"ozrefogj\'ak. A $P_1$ sz\'am \'ert\'eke
$\frac12+\frac{23}{1296}\sim 0.52$.

\medskip
{\it A 2. probl\'ema megold\'asa.}\/
\item{} Tekints\"uk azt az \'altal\'anosabb probl\'em\'at, amikor
$n$ nyer\'es kell a t\'et megszerz\'es\'ehez, \'es az els\H{o}
j\'at\'ekos $k$, a m\'asodik j\'at\'ekos pedig $l$ alkalommal
nyert. Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} $(n-k)+(n-l)-1=2n-k-l-1$
fordul\'ot. Az els\H{o} j\'at\'ekos akkor \'es csak akkor
nyern\'e el a t\'etet, ha ezekben a fordul\'okban legal\'abb $n-k$
alkalommal nyer. Ennek val\'osz\'{\i}n\'os\'ege
$P=2^{k+l+1-2n}\summ_{j=n-k}^{2n-k-l-1}\binom{2n-k-l-1}j$.
Jelen esetben az els\H{o} j\'at\'ekos $\frac 78$, a m\'asodik
j\'at\'ekos $\frac18$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nyeri el a
t\'etet. Az igazs\'agos teh\'at a $7:1$ ar\'any\'u osztozkod\'as.

\medskip\noindent
{\it T\"ort\'eneti megjegyz\'es.}\/
\medskip\noindent
Matematika-t\"ort\'en\'eszek kider\'{\i}tett\'ek, hogy mindk\'et
most t\'argyalt feladat j\'oval kor\'abban ismert volt,
miel\H{o}tt de M\'er\'e lovag kit\H{u}zte \H{o}ket. Az a)
feladat eredeti megfogalmaz\'as\'aban azt k\'erdezz\"uk, hogy
h\'anyszor kell feldobni k\'et kock\'at ahhoz, hogy annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy legal\'abb egyszer 2
hatost dobunk nagyobb legyen, mint 1/2. De M\'er\'e maga is
megoldotta ezt a feladatot, de sajnos, \dots k\'et m\'odszerrel,
amelyek k\"ul\"onb\"oz\H{o} eredm\'enyre vezettek:  24
\'es 25 dob\'as. De M\'er\'e biztos volt abban, hogy a k\'et
m\'odszer egyform\'an megb\'{\i}zhat\'o, \'es a k\'et megold\'as
k\"ul\"onb\"oz\H{o} eredm\'enye miatt a matematika
,,ingatags\'ag\'at'' tette felel\H{o}ss\'e. Pascal, miut\'an
meggy\H{o}z\H{o}d\"ott arr\'ol, hogy a helyes v\'alasz 25, le
sem \'{\i}rta a megold\'ast. (De M\'er\'e lovag \'ugy gondolta,
hogy ha n\'egy dob\'as elegend\H{o} ahhoz, hogy egy kock\'aval
legal\'abb $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel hatost dobjunk,
akkor minthogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy k\'et
kocka mindegyik\'evel hatost dobunk $\frac16$-szor kisebb mint
annak, hogy egy kock\'aval dobunk hatost, ez\'ert (szerinte)
6-szor t\"obb, teh\'at $4\times6=24$ dob\'as kell ahhoz, hogy
legal\'abb $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\"ovetkezz\'ek
be k\'et hatos dob\'as.)

\medskip
{\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:}
\medskip
\item{} L\'assuk be, hogy az $a_n=\(1-\frac1n\)^n$ sorozat val\'oban
monoton n\"ovekszik.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ L\'assuk be, hogy az $a_n$ sorozat
,,folytonos kiterjeszt\'ese" a val\'os sz\'amokra, az
$a(x)=\(1-\frac1x\)^x$ f\"uggv\'eny,
illetve annak logaritmusa az $f(x)=x\log\(1-\frac1x\)$ f\"uggv\'eny
monoton n\H{o} az $x\ge1$ f\'elegyenesen. Ennek \'erdek\'eben
mutassuk meg, hogy $f(x)$ konk\'av f\"uggv\'eny, amelynek
deriv\'altja a v\'egtelenben null\'ahoz tart.)

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es. A Taylor sorfejt\'esr\H{o}l.

\'Attekintem a Taylor sorfejt\'es sz\'amunkra leg\'erdekesebb
eredm\'enyeit. Ezt \'erdemes a k\"ovetkez\H{o} Lagrange-t\'ol
sz\'armaz\'o eredm\'ennyel
kezdeni.

\medskip\noindent
{\bf Lagrange t\'etele f\"uggv\'enyek alkalmas polinom
k\"ozel\'{\i}t\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen $f(x)$ egy $k+1$-szer,
$k\ge0$, differenci\'alhat\'o f\"uggv\'eny
valamely $[a-h,a+h]$ intervallumban.  Ekkor \'erv\'enyes az
$$
f(a+u)=f(a)+f'(a)u+\frac{f''(a)}2 u^2+\cdots+\frac{f^{(k)}(a)}{k!}u^k
+\frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}u^{k+1}, \quad \text{ha } |u|<h,
$$
azonoss\'ag, ahol $f^{(j)}(x)$ az $f$ f\"uggv\'eny $j$-ik
deriv\'altja az $x$ pontban, $\xi$ egy alkalmas pont az $(a,a+u)$
intervallumban, ha $u>0$, \'es  az $(a-u,a)$ intervallumban, ha
$u<0$.}

\medskip
Megfogalmazom e t\'etel egy fontos k\"ovetkezm\'eny\'et.

\medskip\noindent
{\bf Lagrange t\'etel\'enek a k\"ovetkezm\'enye.} {\it Legyen
$f(x)$ v\'egtelen sokszor
differenci\'alhat\'o f\"uggv\'eny valamely $[a-h,a+h]$
intervallumban, amelyre teljes\"ul a
$$
\limm_{k\to\infty}\frac{h^k}{k!}\supp_{a-h<x<a+h} |f^{(k)}(x)|=0
$$
felt\'etel. Ekkor
$$
f(a+u)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(a)}{k!}u^k \quad \text{minden
$|u|<h$ sz\'amra.}
$$
(A fenti k\'epletben $f^{(0)}(a)=f(a)$.)}
\medskip

A fenti eredm\'eny azt sugallja, hogy ha adva van egy az $a$ pontban
v\'egtelen sokszor differenci\'alhat\'o $f$ f\"uggv\'eny, akkor
\'erdemes bevezetni e f\"uggv\'enynek a
$$
\summ_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(a)}{k!}u^k
$$
Taylor sor\'at. Ezt a v\'egtelen sort nevezik az $f(x)$
f\"uggv\'eny $a$ pont k\"or\"uli hat\-v\'any\-sor\'a\-nak.
Ezenk\'{\i}v\"ul, ha adva van egy $A_k$,
$k=0,1,2,\dots$ sz\'amsorozat, akkor defini\'alhatjuk az
$$
\summ_{k=0}^\infty A_k u^k
$$
(form\'alis) hatv\'anysort. Ezut\'an vizsg\'alhatjuk hatv\'anysorok
\'es v\'egtelen sokszor differenci\'alhat\'o f\"uggv\'enyek
kapcsolat\'at. Igaz-e, hogy minden hatv\'anysor v\'egtelen sokszor
dif\-fe\-ren\-ci\'al\-ha\-t\'o? Igaz-e, hogy minden v\'egtelen
sokszor differenci\'alhat\'o f\"uggv\'eny hatv\'anysorba
fejt\-he\-t\H{o}? Az els\H{o} k\'erd\'esre a v\'alasz igenl\H{o}.
(Ez \'ugy \'ertend\H{o}, hogy csup\'an annyi felt\'etelt kell tenni
a hatv\'anysor egy\"utthat\'oira, ami biztos\'{\i}tja a hatv\'anysor
konvergenci\'aj\'at egy al\-kal\-mas intervallumban.) Ezt mondja ki
az al\'abbi t\'etel. Ahhoz viszont, hogy egy v\'egtelen sokszor
differenci\'alhat\'o f\"uggv\'eny hatv\'anysorba fejthet\H{o}
legyen, n\'emi extra felt\'etelt m\'eg fel kell tenni.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel hatv\'anysorok tulajdons\'agair\'ol.} {\it
Tekints\"unk egy
$$
g(u)=\summ_{k=0}^\infty A_ku^k
$$
alak\'u hatv\'anysort, \'es vezess\"uk be az
$A=\limsupp_{k\to\infty} A_k^{1/k}$ sz\'amot. Ekkor a $g(u)$
hatv\'anysor konvergens minden $|u|<\frac1A$ \'es divergens minden
$|u|>\frac1A$ sz\'amra. (Az $u=\pm \frac1A$ eset nehezebb. Ez
k\"ul\"on vizsg\'alatokat ig\'enyel. Ezzel a k\'erd\'essel azonban
itt nem foglalkozom.) A $g(u)$ hatv\'anysor tagonk\'ent
differenci\'alhat\'o az $|u|<\frac1A$ intervallumban, azaz
$$
g'(u)=\summ_{k=1}^\infty kA_ku^{k-1} \quad \text{ha } |u|<\frac1A.
$$
}

\medskip
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy a fenti t\'etelt lehet alkalmazni a
$g'(u)$ majd rekurzive a $g(u)$ f\"uggv\'eny $k$-ik
deriv\'altj\'ara, a $g^{(k)}(u)$ f\"uggv\'enyre minden $k=1,2,\dots$
indexre az $|u|<\frac1A$ intervallumban, \'es ez azt jelenti, hogy
a $g(\cdot)$ f\"uggv\'eny v\'egtelen sokszor differenci\'alhat\'o
ebben az intervallumban. R\'eszletesebben kifejtve,
$$
g^{(j)}(u)=\summ_{k=j}^\infty k(k-1)\cdots (k-j+1)
A_ku^{k-j} \quad \text{minden $j=1,2,\dots$ sz\'amra, ha }
|u|<\frac1A.
$$

\'Erdemes kimondani az al\'abbi lemm\'at, amely val\'oj\'aban az
utols\'o t\'etel egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye.

\medskip\noindent
{\bf Lemma hatv\'anysorok egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'er\H{o}l.} {\it
Egyezzen meg k\'et $g(u)=\summ_{k=0}^\infty A_ku^k$ \'es
$h(u)=\summ_{k=0}^\infty B_ku^k$ hatv\'anysor valamely $|u|<\alpha$
intervallumban. Akkor $A_k=B_k$ minden $k=0,1,2,\dots$ indexre.}

\medskip

A Lagrange t\'etel k\"ovetkezm\'enye alapj\'an minden olyan
v\'egtelen sokszor dif\-fe\-ren\-ci\'al\-ha\-t\'o f\"uggv\'eny,
amelynek a (t\"obbsz\"or\"os) deriv\'altjai nem n\H{o}nek
t\'uls\'agosan gyorsan megadhat\'o hatv\'anysor alakban, \'es ez a
hatv\'anysor el\H{o}\'all\'{\i}t\'as az el\H{o}z\H{o} lemma szerint
egy\'ertelm\H{u}. A Lagrange t\'etel k\"ovetkezm\'eny\'eben
szerepl\H{o} felt\'etel gyeng\'{\i}thet\H{o}, de teljesen el nem
hagyhat\'o. Van olyan v\'egtelen sokszor differenci\'alhat\'o
f\"uggv\'eny, amely nem \'all\'{\i}that\'o el\H{o} hatv\'anysor
alakban. Ilyen f\"uggv\'enyre mutat p\'eld\'at a k\"ovetkez\H{o}
h\'{\i}res p\'elda.

\medskip\noindent
{\bf P\'elda v\'egtelen sokszor differenci\'alhat\'o, de
hatv\'anysorba nem fejthet\H{o} f\"ugg\-v\'eny\-re.} {\it Legyen
$f(x)=e^{-1/x^2}$, ha $x>0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$. Ez az $f(x)$
f\"uggv\'eny az $x=0$ pontban is v\'egtelen sokszor
differenci\'alhat\'o, \'es $f^{(k)}(0)=0$ minden $k=0,1,2,\dots$
sz\'amra. (Az $f(x)$ f\"uggv\'eny az $x\neq0$ pontokban is
v\'egtelen sokszor differenci\'alhat\'o.) Ez a v\'egtelen sokszor
differenci\'alhat\'o f\"uggv\'eny az $x=0$ pont k\"ornyezet\'eben
nem fejthet\H{o} hatv\'anysorba.}

\medskip
Azokat a (v\'egtelen sokszor differenci\'alhat\'o) f\"uggv\'enyeket,
amelyek hatv\'anysorba fejthet\H{o}ek analitikusnak nevezik. Az
analitikus f\"uggv\'enyek (illetve azoknak a komplex
sz\'ams\'{\i}kra val\'o kiterjeszt\'es\'enek) a vizsg\'alata a
komplex f\"uggv\'enytan rendk\'{\i}v\"ul fontos t\'em\'aja. Sok
olyan analitikus f\"uggv\'eny van, amelyek hatv\'anysor\'at illik
ismerni. A legfontosabb hatv\'anysorok:
$$
\align
e^x&=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \qquad -\infty<x<\infty\\
\sin x&=\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
\qquad -\infty<x<\infty\\
\cos x&=\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}
\qquad -\infty<x<\infty\\
\log(1+x)&=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac {x^k}k \qquad-1<x<1\\
(1+x)^\alpha&=\sum_{k=0}^\infty \binom\alpha k \frac {x^k}k
\qquad -1<x<1 \quad \text{ha } -\infty<\alpha <\alpha.
\endalign
$$
Az utols\'o azonoss\'agban
$\binom\alpha k=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}$.
\'Erdemes megjegyezni, hogy ez az azonoss\'ag az $\alpha=-1$
esetben a $\frac1{1+x}=\summ_{k=0}^\infty (-1)^{k+1}x^k$ geometriai
sor\"osszeget kifejez\H{o} azonoss\'ag. Ha $\alpha=n$ pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'am, akkor ez az azonoss\'ag az
$(1+x)^n=\summ_{k=0}^n\binom nk x^k$ binomi\'alis azonoss\'aggal
egyezik meg.

Egy f\"uggv\'eny hatv\'anysor\'anak az els\H{o} n\'eh\'any
tagj\'anak az \"osszege j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est ad a
f\"uggv\'enyre. Az, hogy milyen j\'o ez a k\"ozel\'{\i}t\'es
megbecs\"ulhet\H{o} a Taylor sor alakj\'ab\'ol, vagy
Lagrange t\'etel\'eb\H{o}l f\"uggv\'enyek alkalmas polinom
k\"ozel\'{\i}t\'es\'er\H{o}l. Ilyen jelleg\H{u} becsl\'esek fontos
szerepet j\'atszanak sok vizsg\'alatban. Hatv\'anysorokkal j\'ol
lehet sz\'amolni. Kiss\'e inform\'alisan azt mondhatjuk, hogy
hatv\'anysorokkal \'ugy sz\'amolhatunk, mint (v\'eges) polinomokkal.
Ezt az \'all\'{\i}t\'ast nem fejtem ki r\'eszletesen. Tal\'an
\'erdemes megjegyezni, hogy ide tartozik a hatv\'anysorok
tagonk\'enti differenci\'alhat\'os\'ag\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel.
Ez a hatv\'anysorok egy fontos tulajdons\'aga, mert \'altal\'anos
esetben egy f\"uggv\'enysor ta\-gon\-k\'enti
differenci\'alhat\'os\'ag\'anak biztos\'{\i}t\'as\'ahoz bizonyos
extra felt\'eteleket kell tenni.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es 2. Egy n\'epszer\H{u} feladat
t\'argyal\'asa a tanultak alapj\'an.

Tanuls\'agos \'es n\'epszer\H{u} az al\'abbi feladat.

\medskip\noindent
{\it A k\"ovetkez\H{o} lehet\H{o}s\'eget aj\'anlj\'ak fel nek\"unk.
Egy \'ep\"uletben h\'arom gar\'azs van, \'es mindegyiknek az ajtaja be
van z\'arva. Az egyik gar\'azsban egy aut\'o van. Megk\'erhetj\"uk,
hogy nyiss\'ak ki az egyik gar\'azsajt\'ot. Ha annak a gar\'azsnak
az ajtaj\'at nyittatjuk ki, amelyikben az aut\'o van, akkor ezt az
aut\'ot hazavihetj\"uk, de ha egy m\'asikat nyittatunk ki, akkor
\"ures k\'ezzel kell hazamenn\"unk.

R\'amutatunk az egyik gar\'azsajt\'ora. Ezut\'an kinyitnak egy
m\'asik gar\'azsajt\'ot, amelyik m\"og\"ott nincs aut\'o. Ezut\'an
kinyittathatjuk vagy azt a gar\'azsajt\'ot, amelyikre eredetileg
r\'amutattunk, vagy megv\'altoztathatjuk a v\'elem\'eny\"unket,
\'es a m\'asik m\'eg ki nem nyitott gar\'azsajt\'ot nyittathatjuk ki.
\'Erdemes-e megv\'altoztatni a v\'elem\'eny\"unket, \'es a m\'asik
m\'eg ki nem nyitott gar\'azsajt\'ot kinyittatni vagy mindegy, hogy
melyik ajt\'ot nyittatjuk ki? (C\'elunk term\'eszetesen az, hogy
min\'el nagyobb val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel hazavihess\"uk az
aut\'ot.)}

\medskip\noindent
A v\'alasz az, hogy \'erdemes a m\'asik ajt\'ot kinyittatni, mert
akkor $\frac23$, m\'{\i}g az eredetileg kijel\"olt ajt\'o
kinyittat\'asa eset\'en csak $\frac13$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
vihetj\"uk haza az aut\'ot. Annak \'erdek\'eben, hogy ezt j\'ol
meg\'erts\"uk, \'es teljes biztons\'aggal a sz\'amunkra
el\H{o}ny\"os megold\'ast v\'alasszuk, \'erdemes megfogalmazni
pontosan azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt, amely le\'{\i}rja
a feladatban megadott procedur\'at. Ezt teszem az al\'abbi
magyar\'azatban.

\medskip\noindent
{\it Magyar\'azat:}\/ Nevezz\"uk el azt az ajt\'ot, amelyre
r\'amutattunk az 1-es, a m\'asik k\'et ajt\'o k\"oz\"ul a baloldalit
a 2-es, a jobboldalit a 3-as ajt\'onak. Mindh\'arom ajt\'o
m\"og\"ott $\frac13$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel van az aut\'o. 
Le\'{\i}rok egy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt, amely 
a feladatban le\'{\i}rt elj\'ar\'asnak egy lehets\'eges
megval\'os\'{\i}t\'as\'at adja meg. 

Tegy\"uk fel, hogy feldobnak egy szab\'alyos p\'enzdarabot, amelyik
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej vagy \'{\i}r\'as
oldal\'ara, \'es ennek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel d\"ontik el, hogy
melyik ajt\'ot nyitj\'ak ki. Vezess\"uk be az $(1,F)$, $(1,I)$,
$(2,F)$, $(2,I)$, $(3,F)$ \'es $(3,I)$ esem\'enyeket, ahol az 1, 2
illetve 3 sz\'am azt jel\"oli, hogy az aut\'o az 1-es, 2-es vagy
3-as ajt\'o m\"og\"ott van az $F$ \'es $I$ jel pedig, hogy a
p\'enzdob\'as eredm\'enye fej vagy \'{\i}r\'as. Ezen esem\'enyek
diszjunktak, \'es mindegyik\"uk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\frac16$. Ha az $(1,I)$ esem\'eny k\"ovetkezik be akkor a 2-es, ha
az $(1,F)$ esem\'eny k\"ovetkezik be, akkor a 3-as ajt\'ot nyitj\'ak
ki. (Ha az 1-es esem\'eny k\"ovetkezik be, akkor a m\'asik k\'et
ajt\'o b\'armelyik\'et kinyithatj\'ak, \'es a p\'enzfeldob\'as
szolg\'al arra, hogy v\'alasszunk.) Ha a $(2,F)$ vagy $(2,I)$
esem\'eny k\"ovetkezik be, akkor a h\'armas, ha a $(3,F)$ vagy
$(3,I)$ esem\'eny k\"ovetkezik be, akkor a 2-es ajt\'ot nyitj\'ak
ki. (Ezekben az esetekben k\"otelez\H{o} \'{\i}gy elj\'arni.) Ha
azt az ajt\'ot nyittatjuk ki, amelyre eredetileg r\'amutattunk,
akkor az $(1,F)$ vagy $(1,I)$ esem\'eny bek\"ovetkezte eset\'en
nyerj\"uk meg az aut\'ot, \'es ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\frac13$. Ha a m\'asik ajt\'ot nyittatjuk ki, akkor az aut\'ot a
$(2,F)$, $(2,I)$, $(3,F)$ vagy $(3,I)$ kimenetelek valamelyike
eset\'en nyerj\"uk meg. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig
$\frac23$. Vegy\"uk \'eszre, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, 
hogy az az eredetileg kiv\'alsztott 1-es ajt\'o kinyittat\'asa 
eset\'en  hazavihetj\"uk az aut\'ot 
$P(\{(1,F)\})+P(\{1,i)\})=P(\{1\})=\frac13$, \'es ez nem f\"ugg 
att\'ol, hogy milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esett az \'erme 
a fej vagy \'{\i}r\'as oldalra. Hasonl\'oan, annak a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asik ajt\'o kinyit\'asa 
eset\'en vihetj\"uk haza az aut\'ot
$P(\{(2,F)\})+P(\{2,i)\})+P(\{(3,F)\})+P(\{3,i)\})=P(\{2\})+P(\{3\})
=\frac23$ f\"uggetlen\"ul att\'ol, hogy milyen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esett az \'erme a fej vagy \'{\i}r\'as 
oldalra. 

Az el\H{o}bb tekintett modell csak l\'atsz\'olag speci\'alis. Az
\'altal\'anos esetben is hasonl\'o modell \'{\i}rja le a
feladatban tekintett procedur\'at. Az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg az,
hogy a p\'enzdob\'as helyett egy m\'asik (k\'et kimenetel\H{u})
v\'eletlen kis\'erletet kell elv\'egezni annak eld\"ont\'es\'ere,
hogy melyik ajt\'ot nyissuk ki abban az esetben, ha ez nem
egy\'ertelm\H{u}.



\bye
