\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

\noindent{\bf A szeptember 26-i gyakorlat t\'em\'aja}
\medskip

\item{1.)} Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
hogy lott\'on (pontosan)  h\'arom tal\'alatot \'er\"unk el.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Sz\'amoljuk ki, h\'any olyan
h\'uz\'assorozat van, amely a (majdani lot\-t\'o\-h\'u\-z\'a\-son) 
kih\'uzott  5 sz\'amb\'ol pontosan 3-at tartalmaz, \'es \"osszesen 
h\'any 5 hossz\'us\'ag\'u h\'u\-z\'as\-soro\-zat van. (A 
h\'uz\'assorozatok \"osszesz\'amol\'as\'an\'al nem vessz\"uk 
figyelembe, hogy milyen sorrendben h\'uztuk ki a goly\'okat, csak azt, 
hogy mi a kih\'uzott 5 goly\'o.) K\'epzelj\"uk el \'ugy, hogy a 
kih\'uzott (eltal\'aland\'o)
goly\'ok pirosra, a nem kih\'uzott goly\'ok feh\'erre vannak festve.
Akkor az a k\'erd\'es, hogy h\'anyf\'elek\'epp tudunk az 5 piros
goly\'ob\'ol 3-at, a 85 feh\'er goly\'ob\'ol 2-t kiv\'alasztani.
Megt\'argyaltuk, hogy a 85 goly\'ob\'ol $\binom{85}2$-f\'elek\'eppen
tudunk kiv\'alasztani 2-t, \'es 5 goly\'ob\'ol
$\binom53$-f\'elek\'eppen tudunk kiv\'alasztani 3-t. Az \"osszes
olyan 5 elem\H{u} sorozat sz\'ama, amely 3 piros \'es 2 feh\'er
goly\'ot tartalmaz $\binom{85}2\binom53$. Megbesz\'elt\"uk
kor\'abban, hogy 90 goly\'ob\'ol 5-\"ot $\binom{90}5$-f\'elek\'eppen
v\'a\-laszt\-ha\-tunk ki. Minden h\'uz\'assorozat
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egyforma, ez\'ert
a h\'arom tal\'alat va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge
$$
\frac{\text{kedvez\H{o} eset}}{\text{\"osszes eset}}=
\frac{\binom{85}2\binom53}{\binom{90}5}.
$$
\item{} {\it Megjegyz\'es.}\/ Azt mondtuk, hogy minden h\'uz\'assorozat
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egyforma nagy. Ez k\"ozvetlen\"ul akkor
l\'athat\'o, ha a h\'uz\'assorozatokban a kih\'uzott goly\'ok
h\'uz\'as\'anak a sorrendj\'et is figyelembe vessz\"uk, m\'{\i}g
sz\'amunkra az az eset az \'erdekes, amikor azt nem vessz\"uk
figyelembe. De ez a m\'asodik eset k\"onnyen visszavezethet\H{o}
az els\H{o} esetre, mert minden a h\'uz\'assorozat sorrendj\'et
figyelembe nem vev\H{o} sorozat megjelen\'ese ugyanannyi
(nevezetesen $5!$) a h\'uz\'assorozat sorrendj\'et figyelembe
vev\H{o} sorozat valamelyik\'enek a megjelen\'es\'et jelenti.

\item{2.)} Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
hogy lott\'on legal\'abb h\'arom tal\'alatot \'er\"unk el.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az, hogy legal\'abb h\'arom tal\'alatunk
van azt jelenti, hogy h\'arom, n\'egy vagy \"ot tal\'alatunk van.
Tov\'abb\'a ez a h\'arom esem\'eny egym\'ast kiz\'arja,
(m\'ask\'epp fogalmazve ezek diszjunkt esem\'enyek). Ez\'ert a
kisz\'amoland\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg egyenl\H{o} annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy 5 tal\'alatunk van plusz annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy 4 tal\'alatunk van plusz
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy 3 tal\'alatunk van.
Ezt az el\H{o}z\H{o} feladathoz hasonl\'oan tudjuk kisz\'amolni,
\'es az eredm\'eny:
$$
\frac{1+\binom{85}1\binom54+\binom{85}2\binom53}{\binom{90}5}.
$$
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A k\'erd\'es term\'eszetes folytat\'asa
olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek kisz\'amol\'asa, mint p\'eld\'aul
a k\'et tal\'alat el\'er\'es\'enek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege akkor,
ha t\"obb szelv\'enyt is kit\"olt\"unk. Az ilyen k\'erd\'esek
vizsg\'alat\'at azonban elhalasztom. Ezekre akkor t\'er\"unk vissza,
ha tanultuk a f\"uggetlens\'eg fogalm\'at.

\vfill\eject

{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Egy urn\'aban $l_1$ darab 1-es sz\'{\i}n\H{u}, $l_2$ darab
2-es sz\'{\i}n\H{u}, \'es \'{\i}gy tov\'abb $l_s$ darab $s$-es
sz\'{\i}n\H{u} goly\'o van. H\'any olyan (visszatev\'eses)
$r=r_1+\cdots+r_s$ hossz\'u h\'uz\'assorozat van, amelyik
pontosan $r_1$ darab 1-es sz\'{\i}n\H{u}, $r_2$ darab 2-es
sz\'{\i}n\H{u}, \'es \'{\i}gy tov\'abb
$r_s$ darab $s$ sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot tartalmaz?
\medskip

\medskip
\item{3.} K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott megjelenik egy t\'eren
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes eloszl\'asal. Mind a
kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es ha az addig nem j\"on,
akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tal\'alkoznak?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk az
egys\'egn\'egyzetet, \'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az
egys\'egn\'egyzeten, melynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy az
els\H{o} ember az $y$ koordin\'at\'aja pedig megadja, hogy a m\'asodik
ember ember mikor \'erkezett. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, azaz annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy ez a pont az
egys\'egn\'egyzet egy (sz\'ep) r\'eszhalmaz\'aba esik meg\-egye\-zik
e halmaz ter\"ulet\'evel. Az, hogy a k\'et ember tal\'alkozik azt az
esem\'enyt jelenti, hogy az \'{\i}gy defini\'alt $(x,y)$ pont az
egys\'egn\'egyzet
$$
A=\left\{(x,y)\:-\frac12\le y-x\le \frac12\right\}\cap[0,1]\times
[0,1]
$$
r\'eszhalmaz\'aba esik. Ennek a halmaznak a ter\"ulete
$1-2\cdot\dfrac18=\dfrac34$, \'es ez a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg.
\item{4.} K\'et egy m\'eter hossz\'u botot v\'eletlenszer\H{u}en,
(egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) egyenletes eloszl\'assal elt\"or\"unk.
A k\'et r\"ovidebb darabot \"osszeragasztjuk. Mi annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az \'{\i}gy kapott \'uj bot
hossza kisebb mint $0.8$ m\'eter?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez a feladat is hasonl\'o
m\'odon t\'argyalhat\'o. Tekints\"uk az egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-tet,
\'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az egys\'egn\'egyzeten,
melynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy  hol t\"ort\"uk el az
els\H{o} botot az $y$ koordin\'at\'aja pedig azt, hogy hol t\"ort\"uk
el a m\'asodik botot. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont egyenletes
eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten. Az az esem\'eny, hogy az
\"osszeragasztott bot hossza kisebb mint $0.8$ megegyezik annak az
esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az $(x,y)$ pont
a k\"ovetkez\H{o} $A_1$, $A_2$, $A_3$ \'es  $A_4$ halmazok
$A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4$ uni\'oj\'aba esik:
$A_1=\{(x,y)\: x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_2=\{(x,y)\: x+(1-y)<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_3=\{(x,y)\: 1-x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$ \'es
$A_4=\{(x,y)\: 1-x+1-y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$. Rajzoljuk le
ezeket a halmazokat. Az \'abra mutatja, hogy az $A_1\cup A_2\cup
A_3\cup A_4$ halmaz komplementere az a n\'egyzet melynek cs\'ucsai
a $(0.3,\,0.5)$, $(0.5,\,0,3)$, $(0.7,\,0.5)$, \'es $(0.5,\,0.7)$
pontok. Ennek a n\'egyzetnek a ter\"ulete, $0.08$ teh\'at a minket
\'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $1-0.08=0.92$.

\medskip\noindent
\'Erts\"uk meg azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt, amelyben a
fenti probl\'em\'akat t\'argyaltuk. Milyen $(\Omega, \Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}ben tudjuk t\'argyalni a 3.
feladatot?

Az $\oo$ elemi esem\'enyeket term\'eszetes m\'odon defini\'alhatjuk.
Egy lehets\'eges kimenetel az, hogy az els\H{o} ember $8+x$ \'orakor
a m\'asodik ember $8+y$ \'orakor \'erkezik,  $0\le x,y\le1$. Ezt
term\'eszetes m\'odon azonos\'{\i}thatjuk az $(x,y)$ pontp\'arral.
Ilyen m\'odon defin\'alhatjuk az $\Omega=[0,1]\times[0,1]$
egys\'egn\'egyzetet, mint a biztos esem\'enyt, \'es egy
$(x,y)\in[0,1]\times[0,1]$ elemi esem\'eny azt jelenti, hogy
az els\H{o} ember $8+x$ a m\'asodik ember pedig $8+y$ \'orakor
\'erkezett.

A $\Cal A$ $\sigma$-algebra \'es a $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an
\'ertelmezett $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek definici\'oja
sokkal nehezebb. Ez n\'eh\'any a matematika m\'ely \'es az \"On\"ok
tananyag\'aban nem sze\-rep\-l\H{o} eredm\'eny\'en alapul. Viszont 
az eredm\'enyek szeml\'eletesek, ez\'ert a probl\'ema az
eredm\'enyek pontos ismerete n\'elk\"ul is t\'argyalhat\'o. Az
term\'eszetes, hogy $P(\{\oo\})=0$ minden $\oo=(x,y)$ elemi
esem\'enyre. Az $\Cal A$ $\sigma$-algebra az $\Omega$
r\'eszhalmazaib\'ol \'all, \'es term\'eszetes egy $A$ halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et \'ugy defini\'alni, mint ennek a
halmaznak a ter\"ulet\'et. De besz\'elhet\"unk-e az egys\'egn\'egyzet
tetsz\H{o}leges r\'eszhalmaz\'anak a ter\"ulet\'er\H{o}l? A v\'alasz
erre a k\'erd\'esre nemleges, \'es a helyzet pontos
tiszt\'az\'as\'ahoz a matematika m\'ely eredm\'enyeire van
sz\"uks\'eg. L\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg a kor\'abban tekintett
\'es most t\'argyalt probl\'ema k\"oz\"ott, hogy a jelen esetben az
elemi esem\'enyek ismert $P(\{\oo\})=0$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nem
seg\'{\i}t az \'altal\'anos halmazok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek
a meghat\'aroz\'as\'aban. M\'ar egy $[a,b]\times [c,d]$ t\'eglalap
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek a definici\'oj\'ahoz sem elegend\H{o}
az elemi esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az ismerete.
(Itt tal\'alkozunk azzal az eredm\'ennyel, hogy egy t\'eglalapnak
kontinum sok, teh\'at t\"obb mint megsz\'aml\'alhat\'oan sok pontja
van.) Mit lehet tenni e probl\'ema megold\'asa \'erdek\'eben?

Term\'eszetes, hogy az $[a,b]\times[c,d]\subset\Omega$ t\'eglalapok
definici\'oj\'at a $P([a,b]\times[c,d])=(b-a)(d-c)$ k\'eplettel
defini\'aljuk, azaz egy t\'eglalap val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
megegyezik e t\'eglalap ter\"ulet\'evel. Ezenk\'{\i}v\"ul
megk\"ovetelj\"uk, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\sigma$-addit\'{\i}v, azaz v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan
v\'egtelen sok diszjukt halmaz uni\'oj\'anak a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege megegyezik az uni\'oban szerepl\H{o} 
halmazok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az \"osszeg\'evel. Ez a 
tulajdons\'ag sok halmaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et 
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza. A matematika itt nem t\'argyalt 
ered\-m\'e\-nyei\-b\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a t\'eglalapokon 
defini\'alt \'es a ter\"ulettel egyenl\H{o} 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en
kiterjeszthet\H{o} a t\'eglalapokat tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebr\'ara, (az, hogy be\-sz\'el\-he\-t\"unk a t\'eglalapokat
tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebr\'ar\'ol szint\'en r\'esze
az ered\-m\'eny\-nek), \'es sz\'ep halmazokra ez megegyezik a halmaz
ter\"ulet\'evel. A $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget a t\'eg\-la\-la\-pok 
te\-r\"u\-le\-t\'e\-nek a fenti kiterjeszt\'esek\'ent defini\'aljuk a 
t\'eglalapokat tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an.

Ilyen m\'odon defini\'aljuk az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t. Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy 
nem okoz-e probl\'em\'at az, hogy nem defini\'altuk minden halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. A v\'alasz erre a k\'erd\'esre
nemleges. Ugyanis csak olyan halmazok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere
vagyunk kiv\'ancsiak, amelyeket alkalmas (megsz\'aml\'alhat\'o uni\'ok,
metszetek \'es komplementer k\'epz\'es) m\H{u}veletek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alni tudunk, \'es az ilyen halmazok benne
vannak az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'aban.

\medskip
\item{5.} Adjunk term\'eszetes m\'odon
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi modellt arra,
hogy egy szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen sokszor feldobunk.
M\'as megfogalmaz\'asban feladatunk a k\"ovetkez\H{o}: Konstru\'aljunk
olyan $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t,
amelyben \'er\-tel\-mez\-ni tudjuk azt az $A_j$ esem\'enyt, hogy a
$j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $P(A_j)=\frac12$ minden $j=1,2,\dots$,
s\H{o}t teljes\"ul a $P(A_1^{\e_1}\cap\cdots\cap
A_k^{\e_k})=\(\frac12\)^k$ azonoss\'ag is minden $k=1,2,\dots$,
sz\'amra $\e_j=\pm1$, $j=1,2,\dots$ kitev\H{o}re, ahol
$A_j^1=A_j$ \'es $A_j^{-1}=\Omega\setminus A_j$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyenek az $\oo$ elemi esem\'enyek  a
v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozatok, \'es de\-fi\-ni\-\'al\-juk az
$\Omega$ biztos esem\'enyt mint az \"osszes $\oo$-t tartalmaz\'o
halmazt. Defini\'alnunk kell m\'eg az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at
\'es a $P(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} teljes definici\'oja
\'erdek\'eben. Jelen esetben $P\{\oo\}=0$ minden $\oo$ elemi
esem\'enyre, \'es a k\'{\i}v\'ant $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at, illetve
$P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget nem tudjuk olyan egyszer\H{u}en
defini\'alni, mint v\'eges dob\'assorozatok eset\'eben. Val\'oj\'aban 
csak a m\'ert\'ekelm\'elet n\'eh\'any fontos, de nem tanult
eredm\'eny\'ere hivatkozva tudjuk ezt megtenni. Legyen
$A_j\subset\Omega$ az a halmaz, amelyik megegyezik azzal az
esem\'ennyel, hogy a $j$-ik dob\'as fej, azaz $A_j=\bigcupp_{\oo\;j
\text{-ik koordin\'at\'aja fej}} \{\oo\}$, azaz az \"osszes olyan
$\oo= (\dots,F,\dots, I,\dots)$ v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozat
uni\'oj\'at tekintj\"uk, amelyek $j$-ik koordin\'at\'aja fej.
Defini\'aljuk az \"osszes $A(\e_1,\dots,\e_k)=\bigcapp_{j=1}^k
A_j^{\e_j}$, $k=0,1,2,\dots$, $1\le j\le k$  halmazt. Ez annak felel
meg, hogy azokat a dob\'assorozatokat tekintj\"uk, amelyekben az
els\H{o} $k$ dob\'as eredm\'eny\'et el\H{o}\'{\i}rjuk, a t\"obbi
dob\'as eredm\'enye tetsz\H{o}leges lehet. Term\'eszetes elv\'ar\'as,
hogy ezek az $A(\e_1,\dots,\e_k)$ halmazok benne legyenek az
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'aban. Egy viszonylag egyszer\H{u}en
bizony\'{\i}that\'o eredm\'eny azt mondja ki, hogy l\'etezik egy
legsz\H{u}kebb az \"osszes $A(\e_1,\dots,\e_k)$ alak\'u halmazt
tartalmaz\'o $\sigma$-algebra. Ez lesz a $\Cal A$ $\sigma$-algebra.
Defini\'aljuk a $P(A(\e_1,\dots,\e_k))$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket
a $P(A(\e_1,\dots,\e_k))=\(\frac12\)^k$ k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. (Ez a term\'eszetes definici\'o.) A
m\'ert\'ekelm\'elet egy m\'ely eredm\'enye szerint ezen esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egy\'ertelm\H{u}en kiterjeszthet\H{o} az
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'ara \'ugy, hogy $\sigma$-add\'{\i}t\'{\i}v
halmazf\"uggv\'enyt, azaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket
kapjunk. M\'as\-k\'epp kifejezve, meg lehet adni a $P(A)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket minden $A\in \Cal A$ halmazra,
m\'eg\-pe\-dig egy\'ertelm\H{u}en \'ugy, hogy $\sigma$-addit\'{\i}v
halmazf\"uggv\'enyt kapjunk, \'es a $0\le P(A)\le1$, $A\in\Cal A$,
\'es $P(\Omega)=1$ rel\'aci\'ok is teljes\"ulnek. Ez a kiterjeszt\'es
lesz a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\Cal A$-n.

\item{6.} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an
eg\'eszen addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az utols\'oel\H{o}tti dob\'as eredm\'enye fej?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az esem\'eny, amelyiknek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et ki akarjuk sz\'amolni, a
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} m\'odon is jellemezhet\H{o}: El\H{o}sz\"or
$k$ darab \'{\i}r\'asdob\'as t\"ort\'enik valamely $k=0,1,2,\dots$,
sz\'ammal, majd ut\'ana k\'et fejdob\'as k\"ovetkezik be. Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$$
\sum_{k=0}^\infty \(\dfrac12\)^k\cdot
\frac12\cdot\frac12=\frac14\sum_{k=0}^\infty
\frac1{2^k}=\frac24=\frac12.
$$
 \medskip


\medskip
\item{7.} Ledobunk az egys\'eg intervallumra egy pontot
v\'eletlen\"ul egyenletes eloszl\'asban, azaz annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a ledobott pont egy $[a,b]$
intervallumba esik, $[a,b]\subset [0,1]$ $b-a$-val egyenl\H{o}.
L\'assuk be, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a ledobott
pont pontosan a $\frac \pi6$ pontba esik nulla.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
ledobott pont a $\frac\pi6$ pontba esik kisebb, mint annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a ledobott pont a
$\[\frac\pi6-\e,\frac\pi6+\e\]$ intervallumba esik, \'es ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege~$2\e$. Ez igaz
minden $\e>0$ sz\'amra. Ez csak \'ugy lehets\'eges, ha a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nulla.
\medskip\noindent
{\bf Fontos megjegyz\'es:} {\it Az \"ures, be nem k\"ovetkez\H{o}
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla. Az el\H{o}bb t\'argyalt
egyszer\H{u} feladatok azt mutatj\'ak, hogy lehets\'eges az, hogy egy
esem\'eny bek\"ovetkezhet, a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
m\'egis nulla. Nagyon fontos, hogy ezt j\'ol meg\'erts\"uk.}
\medskip


\item{8.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk v\'egtelen sokszor.
Mutassuk meg, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy nem lesz
fejdob\'as nulla. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legfeljebb
100 fejdob\'as lesz szint\'en nulla. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} $n$ dob\'asban nem lesz
fejdob\'as, azaz csupa \'{\i}r\'asdob\'as k\"ovetkezik be $2^{-n}$.
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy\'altal\'an nem lesz
fejdob\'as megegyezik annak az esem\'enynek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy minden $n$ sz\'amra az els\H{o}
$n$ dob\'asban nem lesz fejdob\'as, aminek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege kisebb, mint $2^{-n}$ minden $n=1,2,\dots$
sz\'amra. Ez\'ert a vizsg\'alt esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, amely k\"ul\"onb\"oz\H{o} $2^{-n}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} esem\'enyek metszete, $n=1,2,\dots$,
nulla.
\item{} Hasonl\'oan annak az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az els\H{o} $100n$ dob\'asban
legfeljebb 100 fejdob\'as k\"ovetkezik be kisebb, mint annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy vagy az els\H{o} 100 sem a 101.
\'es 200. k\"oz\"otti sem az $100(n-1)+1$. \'es $100n$. k\"oz\"otti
dob\'asban nem t\"ort\'enik tiszta fejdob\'as sorozat, \'es ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\(1-2^{-100}\)^n$. Ez\'ert annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy\'altal\'an nem k\"ovetkezik be
fejdob\'as kisebb, mint $\(1-2^{-100}\)^n$ minden $n$ sz\'amra,
teh\'at nulla.

\bye

\medskip
\item{3.} Ledobunk az egys\'eg intervallumra egy pontot
v\'eletlen\"ul egyenletes eloszl\'asban, azaz annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a ledobott pont egy $[a,b]$
intervallumba esik, $[a,b]\subset [0,1]$ $b-a$-val egyenl\H{o}.
L\'assuk be, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a ledobott
pont pontosan a $\frac \pi6$ pontba esik nulla.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
ledobott pont a $\frac\pi6$ pontba esik kisebb, mint annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a ledobott pont a
$\[\frac\pi6-\e,\frac\pi6+\e\]$ intervallumba esik, \'es ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege~$2\e$. Ez igaz
minden $\e>0$ sz\'amra. Ez csak \'ugy lehets\'eges, ha a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nulla.
\medskip\noindent
{\bf Fontos megjegyz\'es:} {\it Az \"ures, be nem k\"ovetkez\H{o}
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla. Az el\H{o}bb t\'argyalt
egyszer\H{u} feladatok azt mutatj\'ak, hogy lehets\'eges az, hogy egy
esem\'eny bek\"ovetkezhet, a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
m\'egis nulla. Nagyon fontos, hogy ezt j\'ol meg\'erts\"uk.}
\medskip

\item{4.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at sokszor feldobunk egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a
3. hatos dob\'as a 20. vagy  az egyik k\'es\H{o}bbi
dob\'asban jelenik meg?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez azt jelenti, hogy az els\H{o} 19
dob\'asban nulla, egy vagy k\'et hatos jelenik meg. Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\(\frac56\)^{19}
+\binom{19}1\(\frac56\)^{18}\cdot\frac16
+\binom{19}2\(\frac56\)^{17}\cdot\(\frac16\)^2$.
\item{}{\it M\'asodik megold\'as:}\/ Ez azt jelenti, hogy a harmadik
hatos dob\'as eredm\'enye a 20, 21, 22 vagy valamelyik k\'es\H{o}bbi
dob\'as eredm\'enye. (Tudni kell, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el\H{o}bb-ut\'obb megjelenik a harmadik
fej-dob\'as.) Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$$
\(\frac16\)^3\summ_{k=20}^{\infty}
\binom{k-1}2\(\frac5{16}\)^{k-3}.
$$

Annak \'erdek\'eben, hogy meg\'erts\"uk az els\H{o} megold\'as
jogoss\'ag\'at l\'assuk be, hogy
\item{4a.} Annak, hogy egy szab\'alyos dob\'okocka v\'egtelen sok
egym\'as ut\'ani feldob\'asa sor\'an nem jelenik meg h\'arom hatos
nulla a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege.
\item{} Val\'oj\'aban ennek a feladatnak a
megold\'asa hasonl\'o a m\'asodik feladat megold\'as\'ahoz, de
le\'{\i}rom.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az \'all\'{\i}t\'as ekvivalens azzal, hogy
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy bek\"ovetkezik legal\'ab h\'arom
hatos dob\'as~1. Ez ut\'obbi esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
viszont nagyobb mint az, hogy (ak\'arhogyan is r\"ogz\'{\i}t\"unk egy
$n$ eg\'esz sz\'amot) annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} $n$ dob\'as k\"oz\"ul legal\'abb egy hatos, az $n+1$-ik \'es
$2n$-ik dob\'as k\"oz\"otti dob\'asok k\"oz\"ul legal\'abb az egyik
hatos \'es a $2n+1$-ik \'ea $3n$-ik dob\'as k\"oz\"otti dob\'asok
k\"oz\"ul legal\'abb az egyik hatos. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
viszont $\(1-\(\frac56\)^n\)^3$. Ez\'ert a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek enn\'el a sz\'amn\'al nagyobbnak kell lenni
tetsz\H{o}leges $n$-re, ami csak \'ugy lehets\'eges, hogy
ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg 1.
\medskip
Felmer\"ulhet az a k\'erd\'es, hogy hogyan lehet megmutatni
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi meggondol\'asok n\'elk\"ul
azt, hogy az el\H{o}bb t\'argyalt feladat k\'et megold\'as\'aban
szerepl\H{o} k\'et l\'at\-sz\'o\-lag teljesen k\"ul\"onb\"oz\H{o}
kifejez\'es megegyezik. Megmutatom, hogy hogy a m\'asodik \"osszegben
szerepl\'o v\'egtelen \"osszeg \"osszegezhet\H{o} a
$(1+x)^\alpha=\summ_{k=0}^\infty\binom \alpha k x^k$, ha $|x|<1$
azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol $\binom \alpha
k=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}$. (A fenti
azonoss\'ag minden val\'os $\alpha$ sz\'amra \'erv\'enyes,
tekinthet\H{o} \'ugy mint az \'altal\'anos\'{\i}tott binomi\'alis
t\'etel, \'es az $(1+x)^\alpha$ f\"uggv\'eny Taylor
sorfejt\'es\'eb\H{o}l k\"ovetkezik.) Azt kell \'eszrevenni, hogy
$$
\binom{k-1}2=\frac
{(2-k)(1-k)}2={(-1)^{k-1}}\frac{(-3)(-4)\cdots(1-k)}
{(k-3)!}=(-1)^{k-1}\binom{-3}{k-3},
$$
ahonnan $\summ_{k=3}^{\infty}\binom{k-1}2\(\frac5{16}\)^{k-3}=
\summ_{k=3}^{\infty}\binom{-3}{k-3}\(-\frac5{16}\)^{k-3}=
\summ_{k=0}^{\infty}\binom{-3}k\(-\frac5{16}\)^k=\(1-\frac56\)^{-3}=
\(\frac16\)^{-3}$. Teh\'at $\(\frac16\)^3\summ_{k=3}^{\infty}
\binom{k-1}2\(\frac5{16}\)^{k-3}=1$. Ez az azonoss\'ag ekvivalens
azzal az \'all\'{\i}t\'assal, hogy egy szab\'alyos dob\'okocka
v\'egtelen sok egym\'as ut\'ani feldob\'asa eset\'en 1
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel legal\'abb 3 hatos dob\'as
t\"ort\'enik.

\bye


\medskip
\item{7.} Legyen adva v\'egtelen sok $A_1,A_2,\dots$ esem\'eny.
Fejezz\"uk ki ezen esem\'enyek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel az
\'uni\'o, metszet \'es komplementer lek\'epez\'esek
felhaszn\'al\'as\'aval azt az esem\'enyt, hogy az $A_1,A_2,\dots$
esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen sok k\"o\-vet\-ke\-zik be.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az az
esem\'eny, hogy az $A_1,A_2,\dots$ esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen
sok k\"o\-vet\-ke\-zik be \'ugy is megfogalmazhat\'o, hogy
b\'armely $n$ indexre l\'etezik olyan $N\ge n$ index melyre az $A_N$
esem\'eny bek\"ovetkezik. R\"ogz\'{\i}tett $n$ sz\'amra az az
esem\'eny, hogy bek\"ovetkezett az $A_N$ esem\'eny valamely $N\ge n$
indexre fel\'{\i}rhat\'o mint a $B_n=\bigcupp_{n=N}^\infty A_N$
esem\'eny. Az, hogy a $B_n$ esem\'enyek mindegyike bek\"ovetkezik az
$C=\bigcapp_{n=1}^\infty B_n$ esem\'eny. Ez\'ert
a vizsg\'alt esem\'eny fel\'{\i}rhat\'o $C=\bigcapp_{n=1}^\infty B_n
 =\bigcapp_{n=1}^\infty \(\bigcupp_{n=N}^\infty A_N\)$ alakban
\'{\i}rhat\'o.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Fejezz\"uk ki uni\'o, metszet \'es komplementerk\'epz\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt az esem\'enyt, hogy v\'egtelen sok
$A_1,A_2,\dots$ esem\'enyek k\"oz\"ul v\'eges sok
kiv\'etel\'evel mindegyik bek\"ovetkezik.
\medskip
\item{8.} Adjunk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt a negyedik \'es
\"ot\"odik feladatban szerepl\H{o} feladatra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk azt az $\Omega$ halmazt,
amelynek $\oo$ elemi esem\'enyei a lehets\'eges h\'uz\'assorozatok
halmaza, azaz $\oo$ egy t\'{\i}z hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as
sorozat. $\Omega$, a biztos esem\'eny, az \"osszes lehets\'eges
h\'uz\'assorozatot tartalmaz\'o halmaz, $\Cal A$ pedig az
$\Omega$ \"osszes lehets\'eges r\'eszhalmaz\'ab\'ol \'all\'o
$\sigma$-algebra. Adva egy $A\in\Cal A$ halmaz, ennek $P(A)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egyenl\H{o} a $P(A)=\summ_{\oo\in
A}P(\{\oo\})$ \"osszeg \'ert\'ek\'evel. Eddig a pontig a
visszatev\'eses \'es visszatev\'es n\'elk\"uli h\'uz\'assorozatot
le\'{\i}r\H{o} modell definici\'oja megegyezik. A k\"ul\"onbs\'eg
akkor jelenik meg, amikor az elemi esem\'enyek $P(\{\oo\})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et defini\'aljuk. Ez abban az esetben,
ha az $\oo$ h\'uz\'assorozat $l$ piros \'es $10-l$ feh\'er h\'uz\'ast
tartalmaz, akkor a visszatev\'eses esetben  $P(\{\oo\})=\bar
P(l)=\(\frac25\)^l\(\frac35\)^{10-l}$, m\'{\i}g a
visszatev\'es n\'elk\"uli esetben
$$
P(\{\oo\})=P(l)=\frac{20\cdot19\cdots (20-l+1)\cdot30\cdot29
\cdots(30-(10-l)+1)} {50\cdot49\cdots 41}.
$$
\medskip
\item{} Ha marad m\'eg id\H{o}, megt\'argyaljuk a k\"ovetkez\H{o}
feladatot is.
\medskip
\item{9.} Adjunk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi modellt
egy szab\'alyos kocka v\'egtelen do\-b\'as\-so\-ro\-za\-t\'a\-ra.




 \bye
