\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

%\nopagenumbers

\centerline {\bf Az okt\'ober 26-i dolgozat}

\centerline{\it A v\'altozat}

\bigskip
  \item {1.} Egy urn\'aban 4 egyforma pap\'\i rlap van. Mindegyikre
    h\'arom sz\'amjegy van \'\i rva egym\'as mell\'e, m\'egpedig az
    els\H ore $0,0,0$, a m\'asodikra $0,1,1$, a harmadikra
    $1,0,1$, \'es a negyedikre $1,1,0$. H\'uzzunk ki egy lapot
    v\'eletlenszer\H uen. Jel\"olje $A_i$ azt az esem\'enyt, hogy
    egy olyan lapot h\'uztunk, amelynek $i$-edik jegye $1$-es,
    $i=1,2,3$. Mutassuk meg, hogy az $A_i$ esem\'enyek p\'aronk\'ent
    f\"uggetlenek, egy\"uttesen azonban nem! \hfill 4 pont


\item{2.} V\'eletlenszer\H uen fel\'\i runk k\'et $1$-n\'el
kisebb pozit\'\i v sz\'amot. Mennyi annak a 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a kiv\'alasztott sz\'amok 
m\'ertani k\"ozepe kisebb mint $1/2$?  $\;\; \;$ {3 pont}

\item{3.} Egy szab\'alyos kock\'at k\'etszer feldobunk. A $\xi $
  val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o jelentse a dobott p\'aros
  sz\'amok sz\'am\'at, az $\eta$ pedig a hatos dob\'asok
  sz\'am\'at. F\"uggetlen-e $\xi$ \'es $\eta$? Sz\'am\'\i tsuk ki $\xi
  $ \'es $\eta$ korrel\'aci\'os egy\"utthat\'oj\'at! \hfill 5 pont

\item{4.} P\'eter feldob egy kock\'at. Ha p\'aratlan sz\'amot dob,
  vesz\'\i t $1$ Ft-ot, ha hatost dob, nyer $4$ Ft-ot, egy\'ebk\'ent
  \'ujra dobhat. A m\'asodik dob\'asn\'al $1$ Ft-ot nyer, ha p\'arost
  dob, \'es $2$ Ft-ot vesz\'\i t, ha p\'aratlant. \'Allap\'\i tsuk
  meg, a j\'at\'ek P\'eter sz\'am\'ara el\H ony\"os, m\'elt\'anyos,
  vagy h\'atr\'anyos! \hfill 3 pont

\item{5.}  Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
sz\'azszor. Tekints\"uk a p\'aratlan \'ert\'ek\H{u}  dob\'asok
\"osszeg\'et, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et!  \hfill 3 pont
\medskip
\centerline {\bf Megold\'asok}
\medskip

\item{1.}  Az $A_1$ esem\'eny azt jelenti, hogy  a $\{(1,0,1),(1,1,0)\}$
halmaz elemeinek valamelyik\'et
az $A_2$ esem\'eny azt jelenti, hogy az $\{(0,1,1),(1,1,0)\}$
halmaz ele\-mei\-nek valamelyik\'et
az $A_3$ esem\'eny azt jelenti, hogy az $A_3=\{(0,1,1),(1,0,1)\}$
halmaz ele\-mei\-nek valamelyik\'et tartalmazza a kih\'uzott lap.
Innen a $A_1\cap A_2=\{(1,1,0)\}$, $A_1\cap A_3=\{(1,0,1)\}$,
$A_2\cap A_3=\{(0,1,1)\}$. Ez\'ert, $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)$, $P(A_1\cap A_2)
=P(A_1\cap A_3)=P(A_2\cap A_3)=\frac14$, teh\'at az $A_1$, $A_2$ \'es
$A_3$ esem\'enyek p\'aronk\'ent f\"uggetlenek. M\'asr\'eszt 
$A_1\cap A_2\cap A_3=\emptyset$, ahonnan
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=0$, \'es az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek nem
f\"uggetlenek.

\item{2.} Legyen a k\'et pont $0\le x,y\le1$. Ekkor az $(x,y)$ pont
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten. Az, hogy a k\'et
sz\'am m\'ertani k\"ozepe kisebb vagy egyenl\H{o}, mint $\frac12$ azt
jelenti, hogy $\sqrt {xy}\le \frac12$, ami azt jelenti, hogy $xy\le\frac14$.
Ez \'ugy lehets\'eges, hogy vagy $0\le x\le \frac14$ \'es $0\le y\le1$,
vagy $\frac14\le x\le 1$, \'es $0\le y\le \frac1{4x}$. Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\frac14+\int_{1/4}^1\frac1{4x}\,dx=\frac14+\frac14\[\log x\]_{\frac14}^1
=\frac14\(1+\log 1-\log\frac14\)=\frac14(1+\log 4)$.

\item{3.} Hat\'arozzuk meg a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttes
eloszl\'as\'at:
$$
\align
&a) \; P(\xi=2,\eta=2)=\frac1{36},\; b)\; P(\xi=2,\eta=1)=\frac19,
\; c)\; P(\xi=2,\eta=0)=\frac19, \\
&d)\; P(\xi=1,\eta=1)=\frac16,
\; e)\; P(\xi=1,\eta=0)=\frac13,
\; f)\; P(\xi=0,\eta=0)=\frac14
\endalign
$$
Az a) eset azt jelenti, hogy mind a k\'et dob\'as hatos; a b) eset azt
jelenti, hogy vagy az els\H{o} dob\'as hatos, a m\'asodik dob\'as a
2-es \'es 4-es dob\'as valamelyike, vagy a m\'asodik dob\'as hatos, az
els\H{o} dob\'as pedig a 2-es \'es 4-es dob\'as valamelyike; a c) eset
azt jelenti, hogy mind a k\'et dob\'as a 2-es \'es 4-es dob\'as
valamelyike, a d) eset azt jelenti, hogy az egyik dob\'as 6-os, a
m\'asik p\'aratlan; az e) eset azt jelenti, hogy az egyik dob\'as 2
vagy 4, a m\'asik p\'aratlan; az f) eset azt jelenti, hogy mind a
k\'et dob\'as p\'aratlan.

\item{} Innen $E\xi\eta=4\cdot\frac1{36}+2\cdot\frac19+\frac16=\frac12$,
$E\xi=1$, $E\eta=\frac13$, ahonnan
$\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta=\frac16$. Tov\'abb\'a,
$\Var\xi=\frac12$, $\Var\eta=\frac5{18}$, ez\'ert
$\text{Cor}\,(\xi,\eta)=\frac1{\sqrt 5}$.

\item{} Mivel a k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
korrell\'alt, nem lehet f\"uggetlen.

\item{4.} Legyen $\xi_1$ az els\H{o}, $\xi_2$ az (esetleges) m\'asodik
dob\'as sor\'an szerzett nyerem\'eny\"unk. Minket az
$E(\xi_1+\xi_2)=E\xi_1+E\xi_2$ \'ert\'eke \'erdekel.
$P(\xi_1=-1)=\frac12$, $P(\xi_1=4)=\frac16$,  
$P(\xi_1=0)=\frac13$. Innen $E\xi_1=\frac46-\frac12=\frac16$. 
$P(\xi_2=1)=\frac16$, $P(\xi_2=-2)=\frac16$, $P(\xi_2=0)=\frac23$, 
ahonnan $E\xi_2=\frac16$. $E\xi=0$, azaz a j\'at\'ek m\'elt\'anyos.

\item{5.} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le 100$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Legyen $\xi_j=1$, ha a
$j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, $\xi_j=3$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 3, $\xi_j=5$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 5,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, 4 vagy 6.
Ekkor a keresett \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=E\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j\)=
\summ_{j=1}^{100}E\xi_j=100E\xi_1$, sz\'or\'asn\'egyzete
$\Var\xi=\Var\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j\)
=\summ_{j=1}^{100}\Var\xi_j=100\Var\xi_1=100(E\xi_1^2-(E\xi_1)^2)$.
Ez\'ert, $E\xi_1=\frac16(1+3+5)=\frac32$,
$E\xi_1^2=\frac16(1+9+25)=\frac{35}6$, $\Var \xi_1=\frac{43} {12}$.
$E\xi=150$, $\Var\xi=\frac{4300}{12}$.


\vfill\eject

\centerline{\it B v\'altozat}


\bigskip
  \item{1.} Egy dobozban 1-t\H ol $8$-ig sz\'amozott, 8 db
    pap\'\i rlap van. V\'eletlenszer\H uen kivesz\"unk egy lapot.
     Az $A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek jelent\'ese legyen:
  \itemitem {} $A$: a kivett lapon p\'aros sz\'am \'all;
  \itemitem {} $B$: $4$-n\'el nem nagyobb sz\'am \'all;
  \itemitem{} $C$: a kih\'uzott sz\'am $2$, vagy $5$-n\'el nagyobb.
Mutassuk meg, hogy
$$
P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)
$$
\'es a h\'arom esem\'eny m\'egsem f\"uggetlen!
\hfill 4 pont

\item{2.} A $[0,1]$ intervallumot k\'et tal\'alomra
  felvett pont seg\'\i ts\'eg\'evel h\'arom r\'eszre osztjuk.
Mennyi annak a val\'o\-sz\'\i \-n\H us\'ege, hogy a kapott szakaszok
mindegyike r\"ovidebb mint $1/2$?  \hfill 3 pont

\item{3.} K\'et szab\'alyos p\'enz\'erme mindegyik\'enek egyik
  oldal\'ara null\'at,
  m\'asikra pedig egyest \'\i runk. A k\'et \'erm\'et feldobjuk. Jel\"olje
  $\xi$ a dobott sz\'amok \"osszeg\'et, $\eta$ pedig a dobott sz\'amok
  szorzat\'at.
  F\"uggetlen-e $\xi$ \'es $\eta$? Sz\'am\'\i tsuk ki $\xi
  $ \'es $\eta$ korrel\'aci\'os egy\"utthat\'oj\'at! \hfill 5 pont

\item{4.} Egy r\'eszv\'eny kiindul\'o \'ara egy pet\'ak. Egy \'ev
  m\'ulva vagy k\'etszeres\'ere n\"ovekszik az \'ara, vagy fel\'ere
  cs\"okken, vagy pedig v\'altozatlan marad -- mindegyik lehet\H
  os\'eg egyforma val\'osz\'\i n\H us\'eg\H u. A k\"ovetkez\H o
  \'evben ugyanez t\"ort\'enik, az el\H oz\H o \'evi v\'altoz\'ast\'ol
  f\"uggetlen\"ul. Mennyi k\'et \'ev m\'ulva a r\'eszv\'eny\'ar
  v\'arhat\'o \'ert\'eke? \hfill 3 pont

\item {5.}  Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
sz\'azszor. Tekints\"uk a p\'aros \'ert\'ek\H{u}  dob\'asok
\"osszeg\'et, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et! \hfill 3 pont

\medskip
\centerline {\bf Megold\'asok}
\medskip

\item{1.}  Az $A$ esem\'eny azt jelenti, hogy  a $A=\{2,4,6,8\}$
halmaz elemeinek valamelyike, a $B$ esem\'eny azt jelenti, hogy
a $B=\{1,2,3,4\}$ halmaz elemeinek valamelyike, a $C$ esem\'eny
azt jelenti, hogy az $C=\{2,6,7,8\}$ halmaz elemeinek valamelyike
tartalmazza a kih\'uzott lap sorsz\'am\'at. Innen
$A\cap B\cap C=\{2\}$, \'es $P(A)=P(B)=P(C)=\frac12$,
$P(A\cap B\cap C)=\frac18=P(A)P(B)P(C)$. Viszont, $B\cap C=\{2\}$,
$P(B\cap C)=\frac18\neq P(B)P(C)$.


\item{2.} Ezt a feladatot megoldottuk az okt\'ober 10-i gyakorlat 2.
feladat\'aban. Ezt a megold\'ast idem\'asolom.

\item{} Legyen az els\H{o} ledobott pont koordin\'at\'aja $x$ a
m\'asodik ledobott pont\'e pedig $y$. Ekkor az $(x,y)$ pont
egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]\times[0,1]$ egys\'egn\'egyzeten,
\'es ke\-let\-ke\-zett szakaszok hossza $x$, $y-x$ \'es $1-y$, ha $x<y$,
\'es $y$, $x-y$ \'es $1-x$, ha $x>y$. Akkor \'es csak akkor
teljes\"ul a feladat k\"ovetelm\'enye, ha a k\"ovetkez\H{o} k\'et
(egym\'ast kiz\'ar\'o) esem\'eny valamelyike bek\"ovetkezik:

\itemitem{a.)} $0\le x<\frac12$, $\frac12<y<1$, $0<y-x<\frac12$,
\itemitem{b.)} $0\le y<\frac12$, $\frac12<x<1$, $0<x-y<\frac12$.

(Az a.) eset felel meg annak, hogy $x<y$, a b.) eset annak, hogy
$y<x$.) Egyszer\H{u} geometriai meggondol\'as mutatja, hogy mind az
a) mind a b) eset teljes\"ul\'ese azt jelenti, hogy az $(x,y)$ pont
az egys\'egn\'egyzet egy $\frac12$ befog\'okkal rendelkez\H{o}
szab\'alyos der\'eksz\"og\H{u} egyenl\H{o}sz\'ar\'u h\'aromsz\"ogbe
esik. \'Igy a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$2\cdot\frac18=\frac14$.

\item{3.} Jel\"olje $\xi_1$ az els\H{o}, $\xi_2$ a m\'asodik feldobott
\'erm\'en megjelen\H{o} sz\'am \'ert\'ek\'et, $\xi=\xi_1+\xi_2$ a
sz\'amok \"osszeg\'et, $\eta=\xi_1\xi_2$ a sz\'amok szorzat\'at.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi$  \'es $\eta$ egy\"uttes eloszl\'as\'at.
$$
P(\xi=0, \eta=0)=\frac14,\quad
P(\xi=1, \eta=0)=\frac12,\quad
P(\xi=2, \eta=1)=\frac14.
$$
Innen $E\xi\eta=2\cdot\frac14=\frac12$, $E\xi=1$,
$E\eta=E\xi_1 E\xi_2=\frac14$,
$\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta=\frac14$,
$\Var\xi=\frac12$, $\Var\eta=\frac3{16}$
$\text{Cor}\,(\xi,\eta)=\frac{2\sqrt 6}3$.
A $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem f\"uggetlenek.

\item{4.)} Jel\"olje $\zeta_1$ azt, hogy  h\'anyszoros\'ara n\H{o} a
r\'eszv\'eny \'arfolyama az 1 \'evben, $\zeta_2$ azt, hogy
h\'anyszoros\'ara n\H{o} a r\'eszv\'eny \'arfolyama a 2. \'evben. Ekkor
a r\'eszv\'eny \'ert\'eke k\'et \'ev m\'ulva $\zeta_1\zeta_2$, \'es
$E\zeta_1\zeta_2=E\zeta_1E\zeta_2$.
$P(\zeta_j=2)=P(\zeta_j=1)=P(\zeta_j=\frac12)=\frac13$ mind $j=1$ mind
$j=2$ esetben. Ez\'ert $E\zeta_j=\frac13(\frac12+1+2)=\frac76$. Ez\'ert
a r\'eszv\'eny\'ar v\'arhat\'o \'ert\'eke k\'et \'ev m\'ulva
$E\zeta=\frac{49}{36}$.


\item{5.} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le 100$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Legyen $\xi_j=2$, ha a
$j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5.
Ekkor a keresett \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=E\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j\)
=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j=100E\xi_1$, sz\'or\'asn\'egyzete
$\Var\xi=\Var\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j\)=
\summ_{j=1}^{100}\Var\xi_j=100\Var\xi_1=100(E\xi_1^2-(E\xi_1)^2)$.
Ez\'ert, $E\xi_1=\frac16(2+4+6)=2$,
$E\xi_1^2=\frac16(4+16+36)=\frac{56}6$, $\Var \xi_1=\frac{16} 3$.
$E\xi=200$, $\Var\xi=\frac{1600}3$.



\vfill\eject

\noindent{\bf Az okt\'ober 31-i gyakorlaton t\'argyalt feladatok}


\medskip

\item{1.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk k\'etszer egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk az els\H{o} dob\'as \'ert\'ek\'et \'es a k\'et dob\'as
maximum\'at. Hat\'arozzuk meg e k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy\"uttes eloszl\'as\'at \'es kovarianci\'aj\'at.
\item{} {\it Megold\'as.}\/ Jel\"olje $\xi_1$ az els\H{o}, $\xi_2$
a m\'asodik dob\'as eredm\'enyet, \'es legyen $\eta=\max(\xi_1,\xi_2)$.
Ki kell sz\'am\'{\i}tanunk a $(\xi_1,\eta)$ egy\"uttes eloszl\'as\'at.
A $(\xi_1,\eta)$ v\'eletlen vektor olyan $(i,j)$ p\'arokat vesz fel,
amelyekre $1\le i\le j\le6$. Vezess\"uk be a $P(\xi_1=i,\eta=j)=P(i,j)$
jel\"ol\'est. $P(i,i)=P(\xi_1=i,\xi_2\le i)=P(\xi_1=i)P(\xi_2\le i)
=\frac i{36}$ minden $1\le i\le6$. Ha $1\le i<j\le 6$, akkor
$P(i,j)=P(\xi_1=i,\xi_2= j)=P(\xi_1=i)P(\xi_2=j)=\frac 1{36}$. Ezek a
k\'epletek megadj\'ak a $(\xi_1,\eta)$ egy\"uttes eloszl\'as\'at.
Innen $E\xi_1\eta=\summ_{1\le i\le j\le 6} ijP(i,j)
=\summ_{i=1}^6 i^2\frac i{36}+\summ_{1\le i<j\le 6}\frac{ij}{36}
=\frac{441}{36}+\frac{175}{36}=\frac{617}{36}$. Tov\'abb\'a 
$E\xi_1=\frac72$, \'es mivel $P(\eta=j)=\frac{2j-1}{36}$, ha 
$1\le j\le 6$, ez\'ert 
$E\eta=\summ_{j=1}^6 \frac{j(2j-1)}{36}=\frac{161}{36}$, \'es
$E\xi_1E\eta=\frac{1127}{72}$. Innen
$\Cov(\xi_1,\eta)=E\xi_1\eta-E\xi_1E\eta
=\frac{1234}{72}-\frac{1127}{72}=\frac{107}{72}$.

\item{2.} Legyen egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki 20 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'amoljuk ki a
kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 20$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j(\oo)=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros,
$\xi_j(\oo)=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er. Ekkor a
$\xi=\summ_{j=1}^{20}\xi_j$  \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell ki\-sz\'a\-mol\-nunk. Tov\'abb\'a
$E\xi_j=E\xi_1=\dfrac25$,
$\Var\xi_j=\Var\xi_1=\frac25-\frac4{25}=\frac6{25}$,
$E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2=\frac25\cdot
\frac{19}{49}-\frac4{25}=-\frac6{1245}$, ha $j\neq k$.
Innen a 20 dob\'asban kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke $20E\xi_1=20\cdot\frac25=8$,
\'es sz\'or\'asn\'egyzete
$20\Var\xi_1+20\cdot19\cdot\Cov(\xi_1,\xi_2)=
20\cdot\frac6{25}-380\cdot\frac6{1245} =\frac{144}{49}$.
\medskip

\item{3.} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk az egym\'ast k\"ovet\H{o} fej-fej
dob\'assorozatok sz\'am\'at, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 99$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$,
ha a $j$-ik \'es $j+1$-ik dob\'asok mindegyik\'enek eredm\'enye fej,
$\xi_j=0$ egy\'ebk\'ent. Vegy\"uk \'eszre, hogy minket az
$S=\summ_{j=1}^{99}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'erdekel. Ez\'ert
$ES=E\(\summ_{j=1}^{99}E\xi_j\)=\dfrac{99}4$,
mivel $E\xi_j=\dfrac14$. (\'Erdemes megjegyezni, hogy az ebben a
feladatban tekintett $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem f\"uggetlenek, de a f\"uggetlens\'egre nincs sz\"uks\'eg a
v\'arhat\'o \'ert\'ek additiv\'{\i}t\'as\'ahaz.)
\item{} A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'am\'{\i}t\'as\'aban viszont
figyelembe kell venn\"unk azt, hogy nem csupa f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'et vizsg\'aljuk.
Haszn\'aljuk a sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet
ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'a\-n\'al a k\"ovetkez\H{o} formul\'at.
$$
\Var S=\Var\(\summ_{j=1}^{99}\xi_j\)=\sum_{j=1}^{99}
\Var\xi_j+2\sum_{1\le j<k\le99}\Cov(\xi_j,\xi_k).
$$
Tov\'abb\'a $\Cov(\xi_j,\xi_k)=0$, ha $k\ge j+2$, mert ebben az esetben
$\xi_j$ \'es $\xi_k$ f\"uggetlenek, \'es
$E\xi_j\xi_{j+1}=\frac18-\frac1{16}=\frac1{16}$ minden $1\le j\le 98$
sz\'amra. Ugyanis $E\xi_j\xi_{j+1}=\frac18$, mivel
$\xi_j\xi_{j+1}=1$, ha a $j$-ik, $j+1$-ik \'es $j+2$-ik dob\'asok
mindegyike fej, aminek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac18$, \'es
$\xi_j\xi_{j+1}=0$ egy\'ebk\'ent. Tov\'abb\'a $E\xi_j\xi_{j+1}=\frac18$,
$E\xi_jE\xi_{j+1}=\frac1{16}$, ahonnan 
$\Cov(\xi_j,\xi_{j+1})=\frac1{16}$. Ezenk\'{\i}v\"ul
$\Var\xi_j=\frac14-\frac1{16}=\frac3{16}$. Innen $\Var
S=99\cdot\frac3{16}+2\cdot\frac{98}{16}=\frac{493}{16}$.
 
 


\bye
