Az október 26-i dolgozat A változat

1. Egy urnában 4 egyforma papírlap van. Mindegyikre három számjegy van írva egymás mellé, mégpedig az elsőre 0, 0, 0, a másodikra 0, 1, 1, a harmadikra 1, 0, 1, és a negyedikre 1, 1, 0. Húzzunk ki egy lapot véletlenszerűen. Jelölje A_{i} azt az eseményt, hogy egy olyan lapot húztunk, amelynek i-edik jegye 1-es, i = 1, 2, 3. Mutassuk meg, hogy az A_{i} események páronként függetlenek, együttesen azonban nem! 4 pont

2. Véletlenszerűen felírunk két 1-nél kisebb pozitív számot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott számok mértani közepe kisebb mint 1/2? 3 pont

3. Egy szabályos kockát kétszer feldobunk. A ξ valószínűségi változó jelentse a dobott páros számok számát, az η pedig a hatos dobások számát. Független-e ξ és η? Számítsuk ki ξ és η korrelációs együtthatóját! 5 pont

4. Péter feldob egy kockát. Ha páratlan számot dob, veszít 1 Ft-ot, ha hatost dob, nyer 4 Ft-ot, egyébként újra dobhat. A második dobásnál 1 Ft-ot nyer, ha párost dob, és 2 Ft-ot veszít, ha páratlant. Állapítsuk meg, a játék Péter számára előnyös, méltányos, vagy hátrányos! 3 pont

5. Egy szabályos dobókockát feldobunk egymás után százszor. Tekintsük a páratlan értékű dobások összegét, és számítsuk ki ennek várható értékét és szórásnégyzetét! 3 pont

Megoldások

1. Az A_{1} esemény azt jelenti, hogy a {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} halmaz elemeinek valamelyikét az A_{2} esemény azt jelenti, hogy az {(0, 1, 1), (1, 1, 0)} halmaz elemeinek valamelyikét az A_{3} esemény azt jelenti, hogy az A_{3} = {(0, 1, 1), (1, 0, 1)} halmaz elemeinek valamelyikét tartalmazza a kihúzott lap. Innen a A_{1} ∩ A_{2} = {(1, 1, 0)}, A_{1} ∩ A_{3} = {(1, 0, 1)}, A_{2} ∩ A_{3} = {(0, 1, 1)}. Ezért, P (A_{1}) = P (A_{2}) = P (A_{3}), P (A_{1} ∩ A_{2}) = P (A_{1} ∩ A_{3}) = P (A_{2} ∩ A_{3}) = \frac{1}{4}, tehát az A_{1}, A_{2} és A_{3} események páronként függetlenek. Másrészt A_{1} ∩ A_{2} ∩ A_{3} = ∅, ahonnan P (A_{1} ∩ A_{2} ∩ A_{3}) = 0, és az A_{1}, A_{2} és A_{3} események nem függetlenek.

2. Legyen a két pont 0 ≤ x, y ≤ 1. Ekkor az (x, y) pont egyenletes eloszlású az egységnégyzeten. Az, hogy a két szám mértani közepe kisebb vagy egyenlő, mint \frac{1}{2} azt jelenti, hogy \sqrt{xy} ≤ \frac{1}{2}, ami azt jelenti, hogy xy ≤ \frac{1}{4}. Ez úgy lehetséges, hogy vagy 0 ≤ x ≤ \frac{1}{4} és 0 ≤ y ≤ 1, vagy \frac{1}{4} ≤ x ≤ 1, és 0 ≤ y ≤ \frac{1}{4x}. Ennek valószínűsége

\frac{1}{4} + ∫_{1/4}^{1} \frac{1}{4x} dx = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} [log x]1_{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} (1 + log 1 − log \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}(1 + log 4).

3. Határozzuk meg a ξ és η valószínűségi változók együttes eloszlását:

a) P (ξ = 2, η = 2) = \frac{1}{36}, b) P (ξ = 2, η = 1) = \frac{1}{9}, c) P (ξ = 2, η = 0) = \frac{1}{9},

d) P (ξ = 1, η = 1) = \frac{1}{6}, e) P (ξ = 1, η = 0) = \frac{1}{3}, f) P (ξ = 0, η = 0) = \frac{1}{4}

Az a) eset azt jelenti, hogy mind a két dobás hatos; a b) eset azt jelenti, hogy vagy az első dobás hatos, a második dobás a 2-es és 4-es dobás valamelyike, vagy a második dobás hatos, az első dobás pedig a 2-es és 4-es dobás valamelyike; a c) eset azt jelenti, hogy mind a két dobás a 2-es és 4-es dobás valamelyike, a d) eset azt jelenti, hogy az egyik dobás 6-os, a másik páratlan; az e) eset azt jelenti, hogy az egyik dobás 2 vagy 4, a másik páratlan; az f) eset azt jelenti, hogy mind a két dobás páratlan. Innen Eξη = 4 · \frac{1}{36} + 2 · \frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}, Eξ = 1, Eη = \frac{1}{3}, ahonnan Cov (ξ, η) = Eξη − EξEη = \frac{1}{6}. Továbbá, Var ξ = \frac{1}{2}, Var η = \frac{5}{18}, ezért Cor (ξ, η) = \frac{1}{\sqrt{5}}.

Mivel a két valószínűségi változó korrellált, nem lehet független.

4. Legyen ξ_{1} az első, ξ_{2} az (esetleges) második dobás során szerzett nyereményünk. Minket az E(ξ_{1} + ξ_{2}) = Eξ_{1} + Eξ_{2} értéke érdekel. P (ξ_{1} = −1) = \frac{1}{2}, P (ξ_{1} = 4) = \frac{1}{6}, P (ξ_{1} = 0) = \frac{1}{3}. Innen Eξ_{1} = \frac{4}{6} − \frac{1}{2} = \frac{1}{6}. P (ξ_{2} = 1) = \frac{1}{6}, P (ξ_{2} = −2) = \frac{1}{6}, P (ξ_{2} = 0) = \frac{2}{3}, ahonnan Eξ_{2} = \frac{1}{6}. Eξ = 0, azaz a játék méltányos.

5. Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 100, valószínűségi változókat. Legyen ξ_{j} = 1, ha a j-ik dobás eredménye 1, ξ_{j} = 3, ha a j-ik dobás eredménye 3, ξ_{j} = 5, ha a j-ik dobás eredménye 5, ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye 2, 4 vagy 6. Ekkor a kere-

sett összeg várható értéke Eξ = E ( ∑_{j=1}^{100} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{100} Eξ_{j} = 100Eξ_{1}, szórásnégyzete

Var ξ = Var ( ∑_{j=1}^{100} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{100} Var ξ_{j} = 100Var ξ_{1} = 100(Eξ_{1}^{2} − (Eξ_{1})^{2}). Ezért,

Eξ_{1} = \frac{1}{6}(1 + 3 + 5) = \frac{3}{2}, Eξ_{1}^{2} = \frac{1}{6}(1 + 9 + 25) = \frac{35}{6}, Var ξ_{1} = \frac{43}{12}. Eξ = 150, Var ξ = \frac{4300}{12}.

B változat

1. Egy dobozban 1-től 8-ig számozott, 8 db papírlap van. Véletlenszerűen kiveszünk

egy lapot. Az A, B és C események jelentése legyen:

A: a kivett lapon páros szám áll; B: 4-nél nem nagyobb szám áll; C: a kihúzott szám 2, vagy 5-nél nagyobb. Mutassuk meg, hogy

P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C)

és a három esemény mégsem független! 4 pont 2. A [0, 1] intervallumot két találomra felvett pont segítségével három részre osztjuk.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kapott szakaszok mindegyike rövidebb mint 1/2? 3 pont

3. Két szabályos pénzérme mindegyikének egyik oldalára nullát, másikra pedig egyest írunk. A két érmét feldobjuk. Jelölje ξ a dobott számok összegét, η pedig a dobott számok szorzatát. Független-e ξ és η? Számítsuk ki ξ és η korrelációs együtthatóját! 5 pont

4. Egy részvény kiinduló ára egy peták. Egy év múlva vagy kétszeresére növekszik az ára, vagy felére csökken, vagy pedig változatlan marad – mindegyik lehetőség egyforma valószínűségű. A következő évben ugyanez történik, az előző évi változástól függetlenül. Mennyi két év múlva a részvényár várható értéke? 3 pont

5. Egy szabályos dobókockát feldobunk egymás után százszor. Tekintsük a páros értékű dobások összegét, és számítsuk ki ennek várható értékét és szórásnégyzetét! 3 pont

Megoldások

1. Az A esemény azt jelenti, hogy a A = {2, 4, 6, 8} halmaz elemeinek valamelyike, a B esemény azt jelenti, hogy a B = {1, 2, 3, 4} halmaz elemeinek valamelyike, a C esemény azt jelenti, hogy az C = {2, 6, 7, 8} halmaz elemeinek valamelyike tartalmazza a kihúzott lap sorszámát. Innen A ∩ B ∩ C = {2}, és P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2}, P (A∩B∩C) = \frac{1}{8} = P (A)P (B)P (C). Viszont, B∩C = \{2\}, P (B∩C) = \frac{1}{8} ≠ P (B)P (C).

2. Ezt a feladatot megoldottuk az október 10-i gyakorlat 2. feladatában. Ezt a megoldást idemásolom. Legyen az első ledobott pont koordinátája x a második ledobott ponté pedig y. Ekkor az (x, y) pont egyenletes eloszlású a [0, 1] × [0, 1] egységnégyzeten, és keletkezett szakaszok hossza x, y − x és 1 − y, ha x < y, és y, x − y és 1 − x, ha x > y. Akkor és csak akkor teljesül a feladat követelménye, ha a következő két (egymást kizáró) esemény valamelyike bekövetkezik: a.) 0 ≤ x < \frac{1}{2}, \frac{1}{2} < y < 1, 0 < y − x < \frac{1}{2}, b.) 0 ≤ y < \frac{1}{2}, \frac{1}{2} < x < 1, 0 < x − y < \frac{1}{2}.

(Az a.) eset felel meg annak, hogy x < y, a b.) eset annak, hogy y < x.) Egyszerű geometriai meggondolás mutatja, hogy mind az a) mind a b) eset teljesülése azt jelenti, hogy az (x, y) pont az egységnégyzet egy \frac{1}{2} befogókkal rendelkező szabályos derékszögű egyenlőszárú háromszögbe esik. Így a keresett valószínűség 2 · \frac{1}{8} = \frac{1}{4}.

3. Jelölje ξ_{1} az első, ξ_{2} a második feldobott érmén megjelenő szám értékét, ξ = ξ_{1} +ξ_{2} a számok összegét, η = ξ_{1}ξ_{2} a számok szorzatát. Számítsuk ki ξ és η együttes eloszlását.

P (ξ = 0, η = 0) = \frac{1}{4}, P (ξ = 1, η = 0) = \frac{1}{2}, P (ξ = 2, η = 1) = \frac{1}{4}.

Innen Eξη = 2 · \frac{1}{4} = \frac{1}{2}, Eξ = 1, Eη = Eξ_{1}Eξ_{2} = \frac{1}{4}, Cov (ξ, η) = Eξη − EξEη = \frac{1}{4}, Var ξ = \frac{1}{2}, Var η = \frac{3}{16} Cor (ξ, η) = \frac{2\sqrt{6}}{3}. A ξ és η valószínűségi változók nem függetlenek.

4.) Jelölje ζ_{1} azt, hogy hányszorosára nő a részvény árfolyama az 1 évben, ζ_{2} azt, hogy hányszorosára nő a részvény árfolyama a 2. évben. Ekkor a részvény értéke két év múlva ζ_{1}ζ_{2}, és Eζ_{1}ζ_{2} = Eζ_{1}Eζ_{2}. P (ζ_{j} = 2) = P (ζ_{j} = 1) = P (ζ_{j} = \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} mind j = 1 mind j = 2 esetben. Ezért Eζ_{j} = \frac{1}{3}(\frac{1}{2} + 1 + 2) = \frac{7}{6}. Ezért a részvényár várható értéke két év múlva Eζ = \frac{49}{36}.

5. Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 100, valószínűségi változókat. Legyen ξ_{j} = 2, ha a j-ik dobás eredménye 2, ξ_{j} = 4, ha a j-ik dobás eredménye 4, ξ_{j} = 6, ha a j-ik dobás eredménye 6, ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye 1, 3 vagy 5. Ekkor a kere-

sett összeg várható értéke Eξ = E ( ∑_{j=1}^{100} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{100} Eξ_{j} = 100Eξ_{1}, szórásnégyzete

Var ξ = Var ( ∑_{j=1}^{100} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{100} Var ξ_{j} = 100Var ξ_{1} = 100(Eξ_{1}^{2} − (Eξ_{1})^{2}). Ezért,

Eξ_{1} = \frac{1}{6}(2 + 4 + 6) = 2, Eξ_{1}^{2} = \frac{1}{6}(4 + 16 + 36) = \frac{56}{6}, Var ξ_{1} = \frac{16}{3}. Eξ = 200, Var ξ = \frac{1600}{3}.

Az október 31-i gyakorlaton tárgyalt feladatok

1.) Egy szabályos dobókockát feldobunk kétszer egymás után. Tekintsük az első dobás értékét és a két dobás maximumát. Határozzuk meg e két valószínűségi változó együttes eloszlását és kovarianciáját.

Megoldás. Jelölje ξ_{1} az első, ξ_{2} a második dobás eredményet, és legyen η = max(ξ_{1}, ξ_{2}). Ki kell számítanunk a (ξ_{1}, η) együttes eloszlását. A (ξ_{1}, η) véletlen vektor olyan (i, j) párokat vesz fel, amelyekre 1 ≤ i ≤ j ≤ 6. Vezessük be a P (ξ_{1} = i, η = j) = P (i, j) jelölést. P (i, i) = P (ξ_{1} = i, ξ_{2} ≤ i) = P (ξ_{1} = i)P (ξ_{2} ≤ i) = \frac{i}{36} minden 1 ≤ i ≤ 6. Ha 1 ≤ i < j ≤ 6, akkor P (i, j) = P (ξ_{1} = i, ξ_{2} = j) = P (ξ_{1} = i)P (ξ_{2} = j) = \frac{1}{36}. Ezek a képletek megadják a (ξ_{1}, η) együttes eloszlását. Innen

Eξ_{1}η = ∑_{1≤i≤j≤6} ijP (i, j) = ∑_{i=1}^{6} i^{2} \frac{i}{36} + ∑_{1≤i<j≤6} \frac{ij}{36} = \frac{441}{36} + \frac{175}{36} = \frac{617}{36}. Továbbá

Eξ_{1} = \frac{7}{2}, és mivel P (η = j) = \frac{2j−1}{36}, ha 1 ≤ j ≤ 6, ezért Eη = ∑_{j=1}^{6} \frac{j(2j−1)}{36} = \frac{161}{36}, és

Eξ_{1}Eη = \frac{1127}{72}. Innen Cov (ξ_{1}, η) = Eξ_{1}η − Eξ_{1}Eη = \frac{1234}{72} − \frac{1127}{72} = \frac{107}{72}.

2. Legyen egy urnában 20 piros és 30 fehér golyó. Húzzunk ki 20 golyót visszatevés nélkül. Számoljuk ki a kihúzott piros golyók számának várható értékét és szórásnégyzetét.

Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 20, valószínűségi változókat: ξ_{j}(ω) = 1, ha a j-ik húzás eredménye piros, ξ_{j}(ω) = 0, ha a j-ik húzás eredménye

fehér. Ekkor a ξ = ∑_{j=1}^{20} ξ_{j} összeg várható értékét és szórásnégyzetét kell kiszámol-

nunk. Továbbá Eξ_{j} = Eξ_{1} = \frac{2}{5}, Var ξ_{j} = Var ξ_{1} = \frac{2}{5} − \frac{4}{25} = \frac{6}{25}, Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k} =

Eξ_{1}ξ_{2} − Eξ_{1}Eξ_{2} = \frac{2}{5} · \frac{19}{49} − \frac{4}{25} = −\frac{6}{1245}, ha j ≠ k. Innen a 20 dobásban kihúzott piros golyók számának várható értéke 20Eξ_{1} = 20 · \frac{2}{5} = 8, és szórásnégyzete 20Var ξ_{1} + 20 · 19 · Cov (ξ_{1}, ξ_{2}) = 20 · \frac{6}{25} − 380 · \frac{6}{1245} = \frac{144}{49}.

3. Feldobunk egy szabályos pénzdarabot 100-szor egymás után. Tekintsük az egymást követő fej-fej dobássorozatok számát, és számítsuk ki ennek várható értékét és szórásnégyzetét.

Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 99, valószínűségi változókat: ξ_{j} = 1, ha a j-ik és j + 1-ik dobások mindegyikének eredménye fej, ξ_{j} = 0 egyébként.

Vegyük észre, hogy minket az S = ∑_{j=1}^{99} ξ_{j} valószínűségi változó várható értéke

érdekel. Ezért ES = E ( ∑_{j=1}^{99} Eξ_{j}) = \frac{99}{4}, mivel Eξ_{j} = \frac{1}{4}. (Érdemes megjegyezni,

hogy az ebben a feladatban tekintett ξ_{j} valószínűségi változók nem függetlenek, de a függetlenségre nincs szükség a várható érték additivításáhaz.)

A szórásnégyzet kiszámításában viszont figyelembe kell vennünk azt, hogy nem csupa független valószínűségi változó összegét vizsgáljuk. Használjuk a szórásnégyzet kiszámolásánál a következő formulát.

Var S = Var (∑_{j=1}^{99} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{99} Var ξ_{j} + 2 ∑_{1≤j<k≤99} Cov (ξ_{j}, ξ_{k}).

Továbbá Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = 0, ha k ≥ j + 2, mert ebben az esetben ξ_{j} és ξ_{k} függetlenek, és Eξ_{j}ξ_{j+1} = \frac{1}{8} − \frac{1}{16} = \frac{1}{16} minden 1 ≤ j ≤ 98 számra. Ugyanis Eξ_{j}ξ_{j+1} = \frac{1}{8}, mivel ξ_{j}ξ_{j+1} = 1, ha a j-ik, j + 1-ik és j + 2-ik dobások mindegyike fej, aminek valószínűsége \frac{1}{8}, és ξ_{j}ξ_{j+1} = 0 egyébként. Továbbá Eξ_{j}ξ_{j+1} = \frac{1}{8}, Eξ_{j}Eξ_{j+1} = \frac{1}{16}, ahonnan Cov (ξ_{j}, ξ_{j+1}) = \frac{1}{16}. Ezenkívül Var ξ_{j} = \frac{1}{4} − \frac{1}{16} = \frac{3}{16}. Innen Var S = 99 · \frac{3}{16} + 2 · \frac{98}{16} = \frac{493}{16}.